6 Proporcionalidad numérica 6 PROPORCIONALIDAD … · 2018-05-08 · los descuentos de las rebajas...

$: 6 Proporcionalidad numérica 6 PROPORCIONALIDAD … · 2018-05-08 · los descuentos de las rebajas con el ... Escribe las siguientes fracciones como números ... 6 caramelos de fresa$
6 Proporcionalidad numérica

174Unidades didácticas Matemáticas 2.º ESO

Esta unidad continúa trabajando el concepto de proporcionalidad ya trabajado en 1.º de ESO. El trabajo de este año se centra en estudiar la diferencia entre la proporcionalidad directa y la proporcionalidad inversa.

La unidad continúa profundizando la proporcionalidad resolviendo problemas en los que se relaciona más de dos magnitudes aplicando el método de reducción a la unidad para resolverlos.

La última parte de la unidad se dedica a trabajar los porcentajes calculando la parte, el porcentaje o el total. El último epígrafe se centra en los aumentos y disminuciones porcentuales. En los dos epígrafes se trabajan todos los porcentajes utilizando su expresión decimal.

La metodología debe permitir a los alumnos el desarrollo y adquisición de la competencia matemática y también del resto de competencias clave. Por esta razón, se presentan en la unidad secciones en las que cobra importancia el trabajo de dichas competencias.

Comunicación lingüística (CL)Es la protagonista de la sección Lee y comprende las matemáticas en la que se trabaja la comprensión lectora partiendo de artículos relaciona-dos con la proporcionalidad numérica y en particular con el cálculo de porcentajes.

Competencia digital (CD)Se integra a lo largo de la unidad haciendo partícipes a los alumnos de las ventajas que tiene recurrir a los medios informáticos para compren-der determinados contenidos relacionados con la proporcionalidad numérica.

Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT)Se desarrolla a lo largo de toda la unidad y especialmente en la sección Matemáticas vivas donde, partiendo de una situación cotidiana como es la eficiencia energética, los alumnos profundizarán en las aplicaciones de la proporcionalidad numérica.

Competencias sociales y cívicas (CSC)La consideración de distintas implicaciones en el tema de estudio contribuye a su preparación como ciudadanos informados.

Competencia aprender a aprender (CAA)En toda la unidad se considera la necesidad de potenciar en los alumnos su espíritu crítico potenciando el pensamiento creativo. La puesta en común de los distintos trabajos constituye una ocasión para la integración de conocimientos adquiridos por distintas vías así como para el análisis y la comparación de distintas formas de abordar un mismo objetivo.

Competencia sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (CSIEE)La unidad contiene un gran número de problemas y la resolución de los mismos contribuye a fomentar la autonomía e iniciativa personal, porque se utilizan para planificar estrategias, asumir retos y contribuyen a convivir con la incertidumbre, controlando al mismo tiempo los procesos de toma de decisiones.

Se desarrolla especialmente en varias de las últimas actividades de cada sección (Investiga o Desafío).

El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de tres semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos, ya que hay que tener en cuenta el tiempo necesario para la exposición de los trabajos.

ObjetivosLos objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son:

❚❚ Distinguir magnitudes directa e inversamente proporcionales.

❚❚ Averiguar valores desconocidos de magnitudes directa e inversamente proporcionales.

❚❚ Resolver situaciones donde aparezcan dos magnitudes relacionadas de forma directa o inversamente proporcional.

❚❚ Identificar situaciones en las que se relacionan más de dos magnitudes.

❚❚ Resolver problemas de proporcionalidad compuesta.

PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA6

175

6Proporcionalidad numérica

Unidades didácticas Matemáticas 2.º ESO

❚❚ Manejar porcentajes y calcular la parte, el porcentaje o el total, conocidos dos de ellos.

❚❚ Calcular aumentos y disminuciones porcentuales.

❚❚ Comprender y resolver problemas en los que es necesario el uso de la proporcionalidad numérica.

❚❚ Realizar una tarea de trabajo cooperativo utilizando la proporcionalidad.

Atención a la diversidadCon el fin de atender los distintos ritmos de aprendizaje de los alumnos, se proponen, algunas actividades de refuerzo y de ampliación que podrán utilizarse como alternativa o complemento a las que figuran en el libro del alumno. Se establecen actividades diferenciadas a modo de fichas de trabajo que pueden servir como adaptación curricular para los casos en que fuera necesario.

Material complementarioEn el material complementario Comprende y resuelve problemas se proponen actividades para trabajar la comprensión y la resolución de problemas relacionadas con el estudio de la proporcionalidad numérica.

Por otra parte, el material complementario Practica+ cuenta con un repaso de los contenidos y procedimientos estudiados sobre la proporcio-nalidad numérica y se proponen nuevas actividades para repasar y afianzar dichos contenidos.

Además, para ayudar a los alumnos a comprender y practicar conceptos relacionados con la proporcionalidad numérica pueden acceder a las lecciones 1031, 1036, 1039, 1060, 1073 y 1302 de la web www.mismates.es.

P R O G R A M A C I Ó N D E L A U N I D A D

Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluablesRelación de

actividades del libro del alumno

Competencias clave

Proporcionalidad directa e inversa

1. Utilizar diferentes estrategias (empleo de tablas, obtención y uso de la razón de proporcionalidad,medios tecnológicos...) para obtener elementos desconocidos a partir de otros conocidos en situaciones de la vida real en las que existan magnitudes directa o inversamente proporcionales.

1.1. Identifica y discrimina relaciones de proporcionalidad directa y las emplea para resolver problemas en situaciones cotidianas.1.2. Identifica y discrimina relaciones de proporcionalidad inversa y las emplea para resolver problemas en situaciones cotidianas.1.3. Analiza situaciones sencillas y reconoce que intervienen magnitudes que no son directa ni inversamente proporcionales.1.4. Analiza situaciones sencillas y reconoce que intervienen repartos de proporcionalidad directa e inversa.

1-3, 5, 6, 11, 13, 1457-59, 61, 63, 65,67, 701-4, 7-10, 12, 145, 58, 60, 62, 64, 66,68-701

15-1771, 72

CMCTCDCLCSCCAA CSIEE

Problemas de proporcionalidad

Proporcionalidad compuesta

2. Utilizar diferentes estrategias (empleo de tablas, obtención y uso de la razón de proporcionalidad,medios tecnológicos...) para obtener elementos desconocidos a partir de otros conocidos en situaciones de la vida real en las que se relacionan más de dos magnitudes directa o inversamente proporcionales.

2.1. Analiza situaciones sencillas y reconoce que intervienen más de dos magnitudes directa e inversamente proporcionales.

18-24

73-77


Porcentajes 3. Utilizar porcentajes y sus propiedades para recoger, transformar e intercambiar información y resolver problemas relacionados con la vida cotidiana.

4. Elegir la forma de cálculo apropiada (mental, escrita o con calculadora) usando diferentes estrategias que permitan simplificar las operaciones con porcentajes y estimando la coherencia y precisión de los resultados obtenidos.

3.1. Identifica porcentajes y los utiliza para representar, ordenar e interpretar adecuadamente la información.3.2. Emplea adecuadamente los porcentajes para resolver problemas cotidianos contextualizados, representando e interpretando mediante medios tecnológicos, si es necesario, los resultados obtenidos.4.1. Desarrolla estrategias de cálculo mental para realizar cálculos exactos o aproximados valorando la precisión exigida en la operación.4.2. Realiza cálculos con porcentajes decidiendo la forma más adecuada (mental, escrita o con calculadora), coherente y precisa.

25-3178-81

32-3852-5682-87Matemáticas vivas

78, 80

25-3178-81


Aumentos y disminuciones porcentuales

5. Utilizar diferentes estrategias para obtener elementos desconocidos a partir de otros conocidos en situaciones de la vida real en las que existan variaciones porcentuales.

5.1. Identifica y discrimina aumentos y disminuciones porcentuales, y los emplea para resolver problemas en situaciones cotidianas.

39-5188-96PC1

CMCTCLCSCCAA CSIEE



MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDADPARA EL PROFESOR

MATERIAL COMPLEMENTARIO

PARA EL ALUMNO

Actividades de RefuerzoActividades de Ampliación

Propuesta de Evaluación APropuesta de Evaluación B

Matemáticas en el día a díaContenido WEB. Impuestos

1. Proporcionalidad directa e inversa Vídeo. Problema de proporcionalidad

Vídeo. Problema de proporcionalidad compuesta

Actividades interactivas

3. Proporcionalidad compuesta GeoGebra. Porcentajes, razones y decimales

5. Aumentos y disminuciones porcentuales

MisMates.esLecciones 1031, 1036, 1039, 1060, 1073 y 1302 de la web mismates.es

Practica+

Adaptación curricular

Comprende y resuelve problemas

Trabajo cooperativoTarea cuya estrategia cooperativa es Búsqueda de información, de Mel Silberman

176

2. Problemas de proporcionalidad

Presentación de la unidad Ideas previasRepasa lo que sabes

4. Porcentajes

¿Qué tienes que saber? • Proporcionalidad. Método de las

constantes • Proporcionalidad. Reducción a la

unidad • Aumentos y disminuciones

porcentuales

Matemáticas vivasEficacia energética • Estudio de la clasificación energética

de los electrodomésticos mediante porcentajes

AvanzaInterés simple

Porcentajes críticosPsicología de los aumentos porcentuales

Lee y comprende las matemáticasEl tomate: cuando su precio se cuadriplica de la tierra a la mesa • Estudio de los porcentajes para

calcular precios

Actividades finales

177



Sugerencias didácticas

La unidad comienza haciendo reflexionar a los alumnos so-bre el uso de los porcentajes en su vida diaria relacionando los descuentos de las rebajas con el cálculo de porcentajes.

Con la entrada se intenta que los alumnos hagan uso de los porcentajes a la hora de realizar un consumo responsable en las temporadas de rebajas comprobando los descuentos y analizando el ahorro que supone.

Contenido WEB. IMPUESTOS

En la sección Matemáticas en el día a día se introduce un recur-so TIC para complementar la página de inicio con información relativa a la unidad. En este caso se explican brevemente en qué consisten y cómo se aplican algunos tipos de impuestos, especial-mente el IVA.

Puede utilizarse para motivar a los alumnos antes de comenzar a trabajar la unidad, ya que se trata de un concepto habitual en la vida cotidiana, o como ampliación para aquellos alumnos que muestren un interés especial.

113

6 PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA

Cuando se acerca el final de la temporada de invierno o de verano, llegan a las tiendas las rebajas. ¿Y quién no ha realizado alguna vez una compra atraído, en mayor o menor medida, por los grandes descuentos que aparecen en los escaparates de todas las tiendas?

Ahora bien, a la hora de comprar, es aconsejable fijarse en el precio inicial y el precio final; de esta forma, podemos comprobar si el descuento que nos hacen es el que se indica en la publicidad y no nos están engañando.

REPASA LO QUE SABES1. Realiza estas multiplicaciones y divisiones.

a) 3,2 ⋅ 0,6 c) 1 400 : 0,3 e) 120 ⋅ 1,25

b) 0,5 : 150 d) 4 350 ⋅ 0,05 f) 1,28 : 3,2

2. Escribe las siguientes fracciones como números decimales.

a) 4

5 b)

1

4 c)

7

10 d)

17

20

3. Expresa como fracciones los números decimales propuestos.

a) 0,05 b) 1,25 c) 4,5 d) 0,045

4. Escribe la razón entre los caramelos de fresa y limón si hay:

a) 15 caramelos de fresa y 8 de limón.

b) 6 caramelos de fresa y 4 de limón.

5. Halla el término desconocido en las siguientes proporciones.

a) 4

5=

x

15 b)

x

3=16

12 c)

4

x=10

15 d)

8

6=

4

x

Cuando se acerca el final de la temporada de invierno o de verano, llegan a las tiendas las rebajas. ¿Y quién no ha realizado alguna vez una compra atraído, en mayor o menor medida, por los grandes descuentos que aparecen en los escaparates de todas las tiendas?

Ahora bien, a la hora de comprar, es aconsejable fijarse en el precio inicial y el precio final; de esta forma, podemos comprobar si el descuento que nos hacen es el que se indica en la publicidad y no nos están engañando.

1.

IDEAS PREVIAS

❚ Operaciones con

números decimales.

❚ Expresión decimal de

una fracción y viceversa.

❚ Razón de dos

cantidades.

❚ Término desconocido de

una proporción.

ma2e20

El impuesto sobre el valor añadido (IVA) es un impuesto aplicado en muchos países que obliga a los consumidores a pagar una cantidad proporcional al precio del objeto o del servicio solicitado.

Matemáticas en el día a día ][Repasa lo que sabesSoluciones de las actividades

1. Realiza estas multiplicaciones y divisiones.

a) 3,2 ⋅ 0,6 b) 0,5 : 150 c) 1 400 : 0,3 d) 4 350 ⋅ 0,05 e) 120 ⋅ 1,25 f) 1,28 : 3,2

a) 3,2 ⋅ 0,6 = 1,92 c) 1 400 : 0,3 = 4 666,66... e) 120 ⋅ 1,25 = 150

b) 0,5 : 150 = 0,0033... d) 4 350 ⋅ 0,05 = 217,5 f) 1,28 : 3,2 = 0,4

2. Escribe las siguientes fracciones como números decimales.

a) 4

5 = 4 : 5 = 0,8 b)

1

4 = 1 : 4 = 0,25 c)

7

10 = 7 : 10 = 0,7 d)

17

20 = 0, 85

3. Expresa como fracciones los números decimales propuestos.

a) 0,05 = 5

100=

1

20 b) 1,25 =

125

100=

5

4 c) 4,5 =

45

10=

9

2 d) 0,045 =

45

1 000=

9

200

4. Escribe la razón entre los caramelos de fresa y limón si hay:

a) 15 caramelos de fresa y 8 de limón. b) 6 caramelos de fresa y 4 de limón.

a) 15

8 b)

6

4=

3

2

5. Halla el término desconocido en las siguientes proporciones.

a) 4

5=

x

15 b)

x

3=

16

12 c)

4

x=

10

15 d)

8

6=

4

x

a) 4

5=

x

15→ x =

15 ⋅ 4

5= 12 c)

4

x=

10

15→ x =

4 ⋅15

10= 6

b) x

3=

16

12→ x =

16 ⋅3

12= 4 d)

8

6=

4

x→ x =

4 ⋅6

8= 3



1. Proporcionalidad directa e inversa

Soluciones de las actividades1 Indica y justifica si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales, inversamente proporcionales o no tienen

relación de proporcionalidad.

a) El tiempo que pasa Ana viendo la televisión antes de un examen y la nota que saca en el examen.

b) El número de billetes de 5 € y el dinero que tiene Juan.

c) El número de grifos iguales abiertos y el tiempo de llenado de un recipiente.

d) El número de noches que se pasan en un alojamiento rural y el precio por la estancia.

e) El número de personas que asiste a un cumpleaños y la tarta que les toca.

f) El número de bombones de una caja y el precio de esta.


En este primer epígrafe comenzamos trabajando las relacio-nes de proporcionalidad directa e inversa.

Es aconsejable que los alumnos no identifiquen las magni-tudes inversamente proporcionales como las «no» direc-tamente proporcionales, conviene dejar claro que existen magnitudes que no se relacionan de forma directa ni inver-samente proporcional.

También es importante desterrar la idea de que son magni-tudes directamente proporcionales cuando a más de una le corresponde más de la otra, y son inversas, cuando a más de una le corresponde menos de la otra.

Es muy importante que los alumnos manejen las dos for-mas de comprobar si dos magnitudes son directamente proporcionales o inversamente proporcionales. Se pueden dar ejemplos en los que se observe que solo se puede utili-zar una de las formas.

115

6Actividades6 Proporcionalidad numérica

114

Indica y justifica si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales, inversamente proporcionales o no tienen relación de proporcionalidad.a) El tiempo que pasa Ana viendo la televisión antes de un examen y la nota

que saca en el examen.b) El número de billetes de 5 € y el dinero que tiene Juan.c) El número de grifos iguales abiertos y el tiempo de llenado de un recipiente.d) El número de noches en un alojamiento rural y el precio por la estancia.e) El número de personas que asiste a un cumpleaños y la tarta que les toca.f) El número de bombones de una caja y el precio de esta.

Identifica el tipo de proporcionalidad que existe entre los pares de magnitudes de las siguientes tablas.

a) Magnitud A 3 6 21 c) Magnitud A 2 4 8

Magnitud B 5 10 35 Magnitud B 18 9 4,5

b) Magnitud A 5 10 15 d) Magnitud A 7 21 3

Magnitud B 6 3 2 Magnitud B 6 2 14

1

2

Copia y completa las siguientes tablas, en las que se da la relación de proporcionalidad indicada.a) Directamente proporcional c) Inversamente proporcional

Magnitud A 6 3 O Magnitud A 6 O 24

Magnitud B 4 O 12 Magnitud B 4 12 O

b) Directamente proporcional d) Inversamente proporcional

Magnitud A 8 O 2 Magnitud A 8 O 4

Magnitud B 12 6 O Magnitud B 2 1 O

3

1. PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA

María está realizando un experimento en el laboratorio. Tiene que medir varias magnitudes y estudiar qué tipo de relación existe entre ellas.

Fíjate en las tablas que aparecen en sus anotaciones. Al estudiar la relación entre la magnitud A y la magnitud B, María ha observado que:

❚ Cuando multiplicamos o dividimos el valor de una magnitud por un número, la otra magnitud queda multiplicada o dividida por el mismo número.

❚ Al relacionar con razones pares de valores correspondientes, el cociente no varía.

1

5=

2

10=

6

30=

10

50= 0,2

Dos magnitudes son directamente proporcionales si:

❚ Al multiplicar (o dividir) los valores de una de ellas por un número, la otra queda multiplicada (o dividida) por el mismo número.

❚ Los cocientes de los pares de valores correspondientes se mantienen constantes. Este valor se denomina constante de proporcionalidad directa.

Al estudiar la relación entre la magnitud C y la magnitud D, María ha reparado también en que:

❚ Cuando multiplicamos o dividimos el valor de una magnitud por un número, la otra magnitud queda dividida o multiplicada por el mismo número.

❚ Al efectuar las multiplicaciones entre pares de valores correspondientes, el producto no varía.

1 ⋅ 24 = 2 ⋅ 12 = 6 ⋅ 4 = 8 ⋅ 3 = 24

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si:

❚ Al multiplicar (o dividir) los valores de una de ellas por un número, la otra queda dividida (o multiplicada) por el mismo número.

❚ Los productos de los pares de valores correspondientes se mantienen constantes. Este valor se denomina constante de proporcionalidad inversa.

Aprenderás a… ● Distinguir magnitudes directa e inversamente proporcionales.

● Averiguar valores desconocidos de magnitudes directa e inversamente proporcionales.

Una magnitud es cualquier cualidad que se puede expresar mediante un número.

Lenguaje matemático

EJERCICIO RESUELTO

} Completa las tablas, que corresponden a los valores de dos magnitudes:

a) Directamente proporcionales. b) Inversamente proporcionales.

Magnitud A 2 O 14 Magnitud A 2 6 O

Magnitud B 6 24 O Magnitud B 18 O 9

Solución

a) Magnitud A 2 8 14 b) Magnitud A 2 6 4


Magnitud A 1 2 6 10

Magnitud B 5 10 30 50

⋅ 2

⋅ 2 : 5

: 5

⋅ 2

: 2

: 4

⋅ 4

Magnitud C 1 2 6 8

Magnitud D 24 12 4 3

⋅ 4 ⋅ 3

⋅ 4 : 3

⋅ 7 ⋅ 2

⋅ 7 : 2

Investiga

Utiliza una hoja de cálculo para saber si la tabla relaciona magnitudes inversamente proporcionales.

4 A 9,6 25 50 1,52 64

B 15 5,76 2,88 128 2,25

Presta atención

Cuando se comparan los valores de dos magnitudes:

❚ Si, al aumentar los valores de una de ellas, se incrementan también los de la otra, las magnitudes no tiene por qué ser directamente proporcionales.

❚ Si, al aumentar los valores de una de ellas, disminuyen los de la otra, las magnitudes no tiene por qué ser inversamente proporcionales.

179



a) No tiene relación de proporcionalidad ya que al doble de tiempo viendo la televisión no le corresponde ni el doble ni la mitad de nota en el examen.

b) Directamente proporcionales ya que al doble de billetes de corresponde el doble de dinero.

c) Inversamente proporcionales ya que al doble de grifos le corresponde la mitad de tiempo, siempre y cuando los grifos tengan el mismo caudal.

d) Directamente proporcionales ya que al doble de noches le corresponde el doble de precio por la estancia.

e) Inversamente proporcional ya que al doble de asistentes le corresponde la mitad de tarta.

f) No tiene relación de proporcionalidad ya que al doble de bombones en la caja no le corresponde ni el doble ni la mitad del precio.

2 Identifica el tipo de proporcionalidad que existe entre los pares de magnitudes de las siguientes tablas.





a) Directamente proporcional, se mantienen constantes los cocientes: 3

5=

6

10=

31

35

b) Inversamente proporcional, se mantienen constantes los productos: 5 ⋅ 6 = 10 ⋅ 3 = 15 ⋅ 2

c) Inversamente proporcional, se mantienen constantes los productos: 2 ⋅ 18 = 4 ⋅ 9 = 8 ⋅ 4,5

d) Inversamente proporcional, se mantienen constantes los productos: 7 ⋅ 6 = 21 ⋅ 2 = 3 ⋅ 143 Copia y completa las siguientes tablas, en las que se da la relación de proporcionalidad indicada.

a) Directamente proporcional c) Inversamente proporcional

Magnitud A 6 3 O Magnitud A 6 O 24

Magnitud B 4 O 12 Magnitud B 4 12 O

b) Directamente proporcional d) Inversamente proporcional

Magnitud A 8 O 2 Magnitud A 8 O 4

Magnitud B 12 6 O Magnitud B 2 1 O





Investiga4 Utiliza una hoja de cálculo para saber si la tabla relaciona magnitudes inversamente proporcionales.

A 9,6 25 50 1,52 64

B 15 5,76 2,88 128 2,25

Construir una fila con el producto de las dos celdas, comprobando que todos los productos son 144 excepto 1,52 ⋅ 128 que vale 194,56.

Luego, el resto de parejas son inversamente proporcionales, pero el conjunto de todas no lo es.



2. Problemas de proporcionalidad

Soluciones de las actividades5 Si un helado vale 1,15 €, ¿cuánto valen 2, 3, 4 y 10 helados iguales?

Las magnitudes número de helado y precio son directamente proporcionales luego se tiene esta tabla:

N.º de helados 1 2 3 4 10

Precio (€) 1,15 2,30 3,45 4,60 11,50

6 Un pastor tiene un rebaño de 350 ovejas que consumen 140 kg de pienso al día. Si vende 50 ovejas, ¿cuánto pienso necesita diariamente?

Las magnitudes número de ovejas y cantidad de pienso al día son directamente proporcionales.

350

140=

300

x→ x =

140 ⋅300

350= 120 kg


Para realizar los problemas de proporcionalidad se van a utilizar dos métodos diferentes. Uno que utiliza la constan-te de proporcionalidad, que simplificando el proceso es la regla de tres directa o inversa, y otro que utiliza la reducción a la unidad de una de las magnitudes que intervienen. Este método resulta muy útil para posteriormente resolver los problemas de proporcionalidad compuesta.

Es importante recalcar que antes de elegir el método tienen que estar seguros de qué tipo de proporcionalidad existe entre las dos magnitudes.

Vídeo. PROBLEMA DE PROPORCIONALIDAD

En el vídeo se resuelve, paso a paso, un problema de proporciona-lidad aplicando los dos métodos explicados en la página. En pri-mer lugar, mediante el uso de la constante de proporcionalidad. Después, usando el método de reducción a la unidad. Finalmente pueden verse ambos procedimientos simultáneamente.

Puede reproducirse en clase como apoyo a la explicación de am-bas formas de resolución o como recurso para que los alumnos repasen los dos métodos para resolver este tipo de problemas.

117


116

2. PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD

Juan se ha encargado de comprar el regalo para el cumpleaños de Javier. Cada uno de los 4 amigos que han participado tiene que aportar 9 €. Cuando Juan empieza a recoger el dinero, deciden sumarse 2 amigos más. ¿Cuánto tiene que aportar cada uno de los 6 amigos?

Podemos resolverlo utilizando la constante de proporcionalidad.

1 Decidimos el tipo de proporcionalidad que existe entre las magnitudes.

Se trata de una relación de proporcionalidad inversa, ya que si se duplica el número de amigos, se reduce a la mitad el dinero que tiene que aportar cada uno.

2 Establecemos la relación que existe entre los valores correspondientes de las magnitudes según sean directa o inversamente proporcionales.

Números de amigos que participan 4 6→ 4 ⋅ 9 = 6 ⋅ x

Dinero que aporta cada amigo 9 x

3 Hallamos el valor del dato desconocido en la ecuación obtenida.

4 ⋅9 = 6 ⋅ x → x =4 ⋅9

6= 6

Así pues, para pagar el regalo, cada amigo tiene que aportar 6 €.

Observemos que se obtiene el mismo resultado si se utiliza el método de reducción a la unidad.

1 Decidimos el tipo de proporcionalidad que existe entre las magnitudes.

Ya hemos determinado que en este caso se trata de magnitudes inversamente proporcionales.

2 Calculamos el valor asociado a la unidad en la magnitud de la que conocemos todos los datos.

3 A partir de él, hallamos el dato desconocido.

Aprenderás a… ● Resolver situaciones donde aparezcan dos magnitudes relacionadas de forma directa o inversamente proporcional.

} Una máquina ha fabricado 250 tornillos en 2 horas. Al día siguiente, la misma máquina está funcionando durante 5 horas. Calcula cuántos tornillos ha fabricado la máquina de dos formas distintas: utilizando la constante de proporcionalidad y por el método de reducción a la unidad.

SoluciónLas magnitudes número de tornillos fabricados y número de horas son directamente proporcionales porque al doble de tornillos le corresponde el doble de horas de funcionamiento de la máquina.Podemos aplicar cualquiera de los métodos anteriores para obtener el resultado.

EJERCICIO RESUELTO

ma2e21

Si un helado vale 1,15 €, ¿cuánto valen 2, 3, 4 y 10 helados iguales?

Un pastor tiene un rebaño de 350 ovejas que consumen 140 kg de pienso al día. Si vende 50 ovejas, ¿cuánto pienso necesita diariamente?

Una granja de conejos recibe un pedido de pienso y llena el depósito, con lo que tiene comida para 150 conejos durante 12 días. Después de vender 30 conejos, ¿durante cuántos días tienen comida los conejos que quedan en la granja?

El AMPA de un centro de enseñanza contrata un autobús para realizar una salida extraescolar. Si la actividad la realizan 50 estudiantes tiene que pagar cada uno 6 €. Sin embargo, al final solo van 40 alumnos. ¿Cuánto tiene que pagar cada uno?

Para levantar una pared, se ha formado una cuadrilla de 8 obreros. Terminar con la obra les llevó un total de 6 horas. ¿Cuántos obreros más hubieran hecho falta para hacer la misma obra en 4 horas?

Después de una fuerte tormenta, los bomberos han tenido que emplear dos autobombas durante 6 horas para desaguar un garaje inundado. ¿Cuántas horas se hubiera tardado utilizando 3 autobombas?

Un coche consume 6,2 L cada 100 km recorridos.a) Con 22,32 L, ¿cuántos kilómetros ha hecho?b) Si recorre 450 km, ¿cuántos litros ha gastado?

Para vaciar el agua de un depósito, es preciso realizar 180 extracciones con un cubo de 4 L de capacidad. Si se dispone de un cubo de 5 L, ¿cuántas extracciones serían necesarias para sacar toda el agua del depósito?

En una panadería se elaboran 120 cruasanes con 5 kg de harina. ¿Cuántos kilos de harina serían necesarios para hacer 90 cruasanes?

5

6

7

8

9

10

11

12

13

En una empresa de albañilería han presupuestado cobrar 450 € por 6 horas de trabajo durante 5 días.a) ¿Cuántas horas diarias se tendrá que trabajar

para realizar el mismo trabajo en 8 días?b) ¿Qué importe habrá que presupuestar si el

trabajo se va a realizar durante 8 días con la misma jornada?

14

Reparte 5 200 € de forma directa e inversamente proporcional a los números:a) 6 y 2 b) 2, 3 y 4

Ana y María cobran por un trabajo 1 260 € que se reparten de forma inversamente proporcional a las horas que han faltado al trabajo. ¿Cuánto le toca a cada una si han faltado 5 y 7 horas, respectivamente?

15

16

} Reparte 150 entre los números 2 y 3 de forma directa e inversamente proporcional.

Solución❚ Directamente proporcional. Estos cocientes son

iguales:

cantidad a 2

2=

cantidad a 3

3=

Total

2 + 3=

150

2 + 3= 30

cantidad a 2

2= 30 → cantidad a 2 = 30 ⋅ 2 = 60

cantidad a 3

3= 30 → cantidad a 3 = 30 ⋅ 3 = 90

❚ Inversamente proporcional. Equivale a repartir de forma directamente proporcional a sus inversos:

cantidad a 2

1

2

=cantidad a 3

1

3

=150

1

2+

1

3

=150

5

6

= 180

cantidad a 2

1/2= 180 cantidad a 2 = 180

1

2= 90

cantidad a 3

1/3= 180 cantidad a 3 = 180

1

3= 60

EJERCICIO RESUELTO

Investiga

¿Puede un pentágono tener sus ángulos interiores proporcionales a los números 1, 2, 3, 4 y 5? Justifica tu respuesta.

17

❚ La regla de tres directa consiste en hallar el valor desconocido sin plantear la igualdad de razones:

A B

a : b x =b c

ac ⋅ x

❚ La regla de tres inversa consiste en hallar el valor desconocido sin plantear la igualdad de productos:

A B

a ⋅ b → x =a ⋅b

cc : x

Lenguaje matemático

181



7 Una granja de conejos recibe un pedido de pienso y llena el depósito, con lo que tiene comida para 150 conejos durante 12 días. Después de vender 30 conejos, ¿durante cuántos días tienen comida los conejos que quedan en la granja?

Las magnitudes número de conejos y número de días son inversamente proporcionales.

150 ⋅ 12 = 120 ⋅ x → x =150 ⋅12

120= 15 días

8 El AMPA de un centro de enseñanza contrata un autobús para realizar una salida extraescolar. Si la actividad la realizan 50 estudiantes tiene que pagar cada uno 6 €. Sin embargo, al final solo van 40 alumnos. ¿Cuánto tiene que pagar cada uno?

Las magnitudes número estudiantes y dinero que tiene que pagar son inversamente proporcionales.

50 ⋅ 6 = 40 ⋅ x → x =50 ⋅6

40 = 7,50 €

9 Para levantar una pared, se ha formado una cuadrilla de 8 obreros. Terminar con la obra les llevó un total de 6 horas. ¿Cuántos obreros más hubieran hecho falta para hacer la misma obra en 4 horas?

Las magnitudes número de obreros y número de horas son inversamente proporcionales.

8 ⋅ 6 = x ⋅ 4 → x =8 ⋅6

4 = 12 obreros

10 Después de una fuerte tormenta, los bomberos han tenido que emplear dos autobombas durante 6 horas para desaguar un garaje inundado. ¿Cuántas horas se hubiera tardado utilizando 3 autobombas?

Las magnitudes número de autobombas y número de horas son inversamente proporcionales.

2 ⋅ 6 = 3 ⋅ x → x =2 ⋅6

3 = 4 horas

11 Un coche consume 6,2 L por cada 100 km recorridos.

a) Con 22,32 L, ¿cuántos kilómetros ha hecho?

b) Si recorre 450 km, ¿cuántos litros ha gastado?

Las magnitudes cantidad de combustible y distancia recorrida son directamente proporcionales.

a) 6,2

100=

22,32

x→ x =

22,32 ⋅100

6,2= 360 km

b) 6,2

100=

x

450→ x =

6,2 ⋅ 450

100= 27,9 L

12 Para vaciar el agua de un depósito, es preciso realizar 180 extracciones con un cubo de 4 L de capacidad. Si se dispone de un cubo de 5 L, ¿cuántas extracciones serían necesarias para sacar toda el agua del depósito?

Las magnitudes número de extracciones y capacidad del cubo son inversamente proporcionales.

180 ⋅ 4 = x ⋅ 5 → x =180 ⋅ 4

5 = 144 extracciones

13 En una panadería se elaboran 120 cruasanes con 5 kg de harina. ¿Cuántos kilos de harina serían necesarios para hacer 90 cruasanes?

Las magnitudes número de cruasanes y cantidad de harina son directamente proporcionales.

120

5=

90

x→ x =

90 ⋅5

120 = 3,75 kg



14 En una empresa de albañilería han presupuestado cobrar 450 € por 6 horas de trabajo durante 5 días.

a) ¿Cuántas horas diarias se tendrá que trabajar para realizar el mismo trabajo en 8 días?

b) ¿Qué importe habrá que presupuestar si el trabajo se va a realizar durante 8 días con la misma jornada?

a) Las magnitudes número de horas y número de días para el mismo trabajo son inversamente proporcionales.

6 ⋅ 5 = x ⋅ 8 → x =6 ⋅5

8 = 3,75 h

b) Las magnitudes dinero de la obra y número de días con la misma jornada son directamente proporcionales.

450

5=

x

8→ x =

450 ⋅8

5 = 720 €

15 Reparte 5 200 € de forma directamente e inversamente proporcional a los números:

a) 6 y 2 b) 2, 3 y 4

a) Directamente proporcional: 5200

6 + 2= 650

Cantidad a 6: 650 ⋅ 6 = 3 900 € Cantidad a 2: 650 ⋅ 2 = 1 300 €

Inversamente proporcional: 5200

1

6+

1

2

=5200

4

6

= 7800 €

Cantidad a 6: 7800 ⋅1

6= 1300 € Cantidad a 2: 7800 ⋅

1

2= 3900 €

b) Directamente proporcional: 5200

2 + 3 + 4= 577,77

Cantidad a 2: 577,77 ⋅ 2 = 1 155,54 € Cantidad a 3: 577,77 ⋅ 3 = 1 733,31 €

Cantidad a 4: 577,77 ⋅ 4 = 2 311,18 €

Inversamente proporcional: 5200

1

2+

1

3+

1

4

=5200

13

12

= 4 800 €

Cantidad a 2: 4 800 ⋅1

2 = 2 400 € Cantidad a 3: 4 800 ⋅

1

3 = 1 600 €

Cantidad a 4: 4 800 ⋅1

4 = 1 200 €

16 Ana y María cobran por un trabajo 1 260 € que se reparten de forma inversamente proporcional a las horas que han faltado al trabajo. ¿Cuánto le toca a cada una si han faltado 5 y 7 horas, respectivamente?

1260

1

5+

1

7

=1260

12

35

= 3675 € Cantidad a Ana: = 735 € Cantidad a María: = 525 €

Investiga17 ¿Puede un pentágono tener sus ángulos interiores proporcionales a los números 1, 2, 3, 4 y 5?

Justifica tu respuesta.

La suma de los ángulos interiores de un pentágono es 540º, luego se tiene que:

540

1+ 2 + 3 + 4 + 5=

540

15= 36°

Tenemos que un ángulo es 5 ⋅ 36 = 180º y formaría una recta.

183



3. Proporcionalidad compuesta

Soluciones de las actividades18 Copia y completa las siguientes tablas, en las que se relacionan varias magnitudes.

a) Directa Inversa

Magnitud A Magnitud B Magnitud C

12 6 24

16 ⋅24

121

10 x =6 ⋅24 ⋅10

12 ⋅8= 15 8


Conviene relacionar la proporcionalidad compuesta con el método de reducción a la unidad del epígrafe anterior.

También es importante hacer ver a los alumnos que la mag-nitud desconocida no tiene porque ser la central, pero es esta magnitud la que los alumnos tienen que averiguar cómo se relaciona con las otras dos.

Vídeo. PROBLEMA DE PROPORCIONALIDAD COMPUESTA

En el vídeo se resuelve, paso a paso, un problema de proporcio-nalidad compuesta aplicando el método de reducción a la unidad con las dos magnitudes conocidas. Puede reproducirse en clase como apoyo a la explicación o como recurso para que los alumnos repasen el procedimiento para resolver este tipo de problemas.

119


118

Copia y completa las siguientes tablas, en las que se relacionan varias magnitudes.a) Directa Inversa


12 6 24

10 O 8

b) Directa


2 15 3

5 6 O

c) Inversa


7 8 10

O 14 5

Para alimentar 8 cerdos durante 15 días, se precisan 140 kg de pienso. ¿Cuántos kilos de pienso son necesarios para mantener 24 cerdos durante 60 días?

Un depósito con 30 m3 de agua es vaciado por 2 autobombas que están funcionando durante 7 horas al día. ¿Cuánto tiempo tardarán en vaciar un estanque con 45 m3 tres autobombas del mismo tipo?

Una lámpara con 3 bombillas consume 27 kW durante las 4 horas que está encendida. Al día siguiente se funde una bombilla y la lámpara solo está encendida durante 2 horas. ¿Cuántos kilovatios habrá consumido?

En una obra dos generadores de luz han consumido 15 L de combustible funcionando 8 horas. ¿Cuántas horas pueden estar funcionando 3 generadores con 45 L de combustible?

Observa el siguiente dibujo.

¿Cuántos días tardarán en pintar la valla 2 pintores?

18

Directa

Inversa

19

20

21

22

23

3. PROPORCIONALIDAD COMPUESTA

A una empresa le ofrecen reponer todas las farolas de una ciudad con bombillas de bajo consumo. La empresa calcula que con 2 de sus máquinas trabajando 4 horas diarias producirá las 2 500 bombillas del encargo. Al llegar el pedido definitivo, la cifra aumenta a 5 000 bombillas. De este modo, la dirección de la empresa decide emplear las 8 máquinas de que dispone; ¿cuántas horas al día tendrán que estar en funcionamiento?

Para calcular el número de horas, tenemos que resolver una situación de proporcionalidad compuesta donde se relacionan más de dos magnitudes.

1 Identificamos el tipo de proporcionalidad (directa o inversa) que relaciona cada magnitud con la que tiene el dato desconocido.

Magnitud con el dato desconocido

N.º de máquinas N.º de horas N.º de bombillas

Directa: dejando fijo las máquinas, al duplicar las horas de funcionamiento,

se duplican las bombillas.

Inversa: dejando fijas las bombillas, al duplicar las máquinas, se reduce a la

mitad el número de horas diarias.

2 Operamos hasta conseguir la unidad en las magnitudes de las que conocemos todos los datos.En este caso, primero fijamos las bombillas y después, las máquinas.


2 4 2 500

1 8 2 500

1 0,0032 1

3 Operamos para obtener el dato desconocido y su relación con los conocidos.


1 0,0032 1

1 16 5 000

8 2 5 000

Para producir las 5 000 bombillas, se necesitan 8 máquinas trabajando 2 horas al día.

Aprenderás a… ● Identificar situaciones en las que se relacionan más de dos magnitudes.

● Hallar valores desconocidos de varias magnitudes relacionadas.

Presta atención

A la hora de conseguir la unidad o los valores necesarios en las magnitudes, ten en cuenta si las magnitudes se relacionan de forma directa o inversa.

} Un total de 4 destructoras de papel trituran 60 kg de papel en 5 horas. ¿Cuánto papel pueden triturar 8 destructoras que funcionen durante 3 horas?

Solución

EJERCICIO RESUELTO

ma2e22

DESAFÍOCon 6 botes de pintura de 1,5 L se han pintado 60 m de verja de 90 cm de altura. ¿Cuántos botes de 5 L de pintura serán necesarios para pintar una verja similar de 50 cm de altura y 120 m de longitud?

24

: 2

: 2 500: 2 500

⋅ 2

⋅ 8

⋅ 5 000 ⋅ 5 000

: 8



b) Directa Directa


2 15 3

1 13

15 ⋅2

5 6 x =3 ⋅5 ⋅6

15 ⋅2= 3

c) Inversa Inversa


7 8 10

7 ⋅ 8 ⋅ 10 1 1

x =7 ⋅8 ⋅10

14 ⋅5= 8 14 5

19 Para alimentar 8 cerdos durante 15 días, se precisan 140 kg de pienso. ¿Cuántos kilos de pienso son necesarios para mantener 24 cerdos durante 60 días?

Directa Directa

Cantidad de pienso (kg) N.° de días N.° de cerdos

140 15 8

140

15 ⋅81 1

x =140 ⋅60 ⋅24

15 ⋅8= 1680 60 24

20 Un depósito con 30 m3 de agua es vaciado por 2 autobombas que están funcionando durante 7 horas al día. ¿Cuánto tiempo tardarán en vaciar un estanque con 45 m3 tres autobombas del mismo tipo?

Inversa Directa

Capacidad (m3) N.º de autobombas N.º de horas

30 2 7

45 3 x =7 ⋅2 ⋅ 45

30 ⋅3= 7

21 Una lámpara con 3 bombillas consume 27 kW durante las 4 horas que está encendida. Al día siguiente se funde una bombilla y la lámpara solo está encendida durante 2 horas. ¿Cuántos kilovatios habrá consumido?

Directa Directa

N.º de bombillas Potencia (kW) N.º de horas

3 27 4

2 x =27 ⋅2 ⋅2

3 ⋅ 4= 9 2

185



22 En una obra dos generadores de luz han consumido 15 L de combustible funcionando 8 horas. ¿Cuántas horas pueden estar funcionando 3 generadores con 45 L de combustible?

Directa Inversa

N.º de generadores Cantidad de combustible (L) N.º de horas

2 15 8

3 45 x =8 ⋅2 ⋅ 45

15 ⋅3= 16

23 Observa el siguiente dibujo.

¿Cuántos días tardarán en pintar la valla 2 pintores?

Inversa Directa

N.º de pintores N.º de días Superficie (m2)

5 3 125

13 ⋅5

1251

2 x =3 ⋅5 ⋅280

125 ⋅2= 16,8 280

Desafío24 Con 6 botes de pintura de 1,5 L se han pintado 60 m de verja de 90 cm de altura. ¿Cuántos botes de 5 L de pintura serán

necesarios para pintar una verja similar de 50 cm de altura y 120 m de longitud.

Directa Inversa

Directa

N.º de botes Capacidad (L) Longitud de la verja (m) Altura de la verja (cm)

6 1,5 60 90

x =6 ⋅1,5 ⋅120 ⋅50

60 ⋅90 ⋅5= 2 5 120 50



4. Porcentajes

Soluciones de las actividades25 Copia y completa la siguiente tabla.

Significado Porcentaje Razón N.º decimal

3 de cada 5 60 %3

50,6

4 de cada 100 4 %1

250,04

5 de cada 8 62,5 %5

80,625

3 de cada 4 75 %3

40,75


Antes de empezar este epígrafe conviene recordar las di-ferentes formas de expresar un mismo porcentaje y desta-car la utilidad y rapidez de utilizar su expresión decimal al operar.

Es importante comenzar los ejercicios utilizando la expresión:

TOTAL ⋅ PORCENTAJE = PARTE

De esta forma los alumnos observan que no hay gran dife-rencia a la hora de calcular lo que se pide, tan solo hay que despejar en esta expresión lo que se desconozca.

En este epígrafe conviene trabajar con los alumnos el uso de la calculadora.

GeoGebra. PORCENTAJES, RAZONES Y DECIMALES

Este recurso puede utilizarse en clase para complementar la explicación de los porcentajes. Moviendo el deslizador pueden obtenerse la representación gráfica, la razón y el decimal corres-pondiente a cada porcentaje, facilitando la comprensión de la relación entre el total y la parte que se calcula en cada ejemplo. También puede servir para que los alumnos planteen de forma razonada la resolución de los problemas de la página siguiente.

121


120

4. PORCENTAJES

En temporada turística suelen aparecer en los medios de comunicación informaciones como la de la imagen.

Observa que figura un porcentaje que indica que 95 de cada 100 plazas hoteleras estarán ocupadas. El porcentaje se expresa con el símbolo %, aunque también lo podemos indicar como una razón o como un número decimal.

95 de cada 100 95 de cada 100 95% =95

100=

19

20= 0,95

En estas informaciones, el número de habitaciones, cuáles de ellas están ocupadas o el porcentaje de ocupación son datos que presentan esta relación entre ellos:

Número total de habitaciones

del hotel ⋅

Porcentaje de habitaciones

ocupadas =

Número de habitaciones

ocupadas en el hotel

TOTAL ⋅ PORCENTAJE = PARTE

Observa las afirmaciones realizadas por los recepcionistas de algunos hoteles:

❚ Tenemos 450 habitaciones disponibles con una ocupación del 84 %.

¿Cuántas habitaciones tiene ocupadas el hotel?

Total: 450

Parte: x

Porcentaje: 84% 0,84

450 0,84 = x x = 378

El hotel tiene 378 habitaciones ocupadas.

❚ Tenemos ocupadas 210 habitaciones de las 375 de nuestro hotel.

¿Qué porcentaje de ocupación tiene el hotel?

Total: 375

Parte: 210

Porcentaje: x

375 x = 210 x =210

375= 0,56 56%

El hotel tiene una ocupación del 56 %.

❚ Tenemos una ocupación del 85 %, y hay ocupadas 187 habitaciones.

¿Cuántas habitaciones tiene el hotel?

Total: x

Parte: 187

Porcentaje: 85% 0,85

x 0,85 = 187 x =187

0,85= 220

El hotel tiene un total de 220 habitaciones.

Al calcular un porcentaje, siempre intervienen tres cantidades relacionadas de esta forma: Total ⋅ Porcentaje = Parte

Aprenderás a… ● Manejar porcentajes.

● Calcular la parte, el porcentaje o el total, conocidos dos de ellos.

Presta atención

A la hora de trabajar con porcentajes, utilizamos su expresión decimal. De este modo, los cálculos resultan más sencillos.

En tu vida diaria

Habitualmente, el porcentaje también se denomina tanto por ciento.

Copia y completa la siguiente tabla.


3 de cada 5 O O O

O 4 % O O

O O5

8O

O O O 0,75

Escribe la expresión decimal de los siguientes porcentajes.

a) 23 % c) 4,3 % e) 52,6 %

b) 2 % d) 75,2 % f) 99,9 %

Calcula estos porcentajes.

a) El 9 % de 432. c) El 68 % de 500.

b) El 38 % de 75. d) El 90 % de 3 520.

Halla los porcentajes propuestos.

a) El 5,4 % de 2 520. c) El 80,5 % de 400.

b) El 7,54 % de 1 500. d) El 92,45 % de 250.

Averigua el total conociendo la parte y el porcentaje.

a) Parte: 112,192 Porcentaje: 32 %

b) Parte: 65,875 Porcentaje: 15,5 %

Determina el porcentaje conociendo el total y la parte.

a) Total: 325,5 Parte: 244,125

b) Total: 200 Parte: 10,4


Total Porcentaje Parte

325,5 O 227,85

O 32 % 172,8

O 85 % 52,7

354 2,5 % O

260 O 208

O 15,5 % 116,25

25

26

27

28

29

30

31

En una encuesta sobre lectura, el 8 % de los 725 encuestados ha contestado que no habían leído ningún libro en el último año. ¿Cuántas personas afirman haber leído algún libro el último año?

Después de una tormenta, un agricultor dice que ha perdido el 40 % de la cosecha. Si se han dañado 406 kg de verdura por la tormenta, ¿cuántos kilos se estima que hubiera tenido la totalidad de la cosecha?

En las especificaciones técnicas de cierta máquina se indica que esta necesita una revisión si el porcentaje de piezas defectuosas elaboradas por ella supera el 3 %. Durante la última hora se han detectado 76 piezas defectuosas de las 2 350 que ha fabricado. ¿Es necesario hacer una revisión?

Noelia asegura que tiene el 62,5 % de preguntas acertadas en un test. Si ha contestado bien a 25 preguntas, ¿de cuántas preguntas consta el test?

En una maratón popular participaron 23 450 atletas. El 20 % de los que inician la carrera no llegan a superar la mitad del recorrido. De los que sí superan la mitad, el 65 % completa la carrera y llega a la meta. ¿Cuántos atletas logran culminar la prueba?

La distribución por deporte practicado de los 120 alumnos de 2.º de ESO de un centro escolar es la que muestra el siguiente gráfico.

a) ¿Cuántos alumnos practican fútbol sala?b) ¿Cuántas chicas juegan al tenis?c) ¿Qué porcentaje de los alumnos de 2.º de ESO

son chicos y hacen tenis?

32

33

34

35

36

37

DESAFÍOUna empresa ha diseñado un nuevo logo para sustituir el que ahora tienen. Fíjate en él y decide qué porcentaje del círculo grande ocupa el pequeño.

38

ma2e23

Un porcentaje representa una parte del total.

Recuerda

187



26 Escribe la expresión decimal de los siguientes porcentajes.

a) 23 % b) 2 % c) 4,3 % d) 75,2 % e) 52,6 % f) 99,9 %

a) 0,23 b) 0,02 c) 0,043 d) 0,752 e) 0,526 f) 0,99927 Calcula estos porcentajes.

a) El 9 % de 432. c) El 68 % de 500.

b) El 38 % de 75. d) El 90 % de 3 520.

a) 432 ⋅ 0,09 = 38,88 c) 500 ⋅ 0,68 = 340

b) 75 ⋅ 0,38 = 28,5 d) 3 520 ⋅ 0,9 = 3 16828 Halla los porcentajes propuestos.

a) El 5,4 % de 2 520. c) El 80,5 % de 400.

b) El 7,54 % de 1 500. d) El 92,45 % de 250.

a) 2 520 ⋅ 0,054 = 136,08 c) 400 ⋅ 0,805 = 322

b) 1 500 ⋅ 0,0754 = 113,1 d) 250 ⋅ 0,9245 = 231,12529 Averigua el total conociendo la parte y el porcentaje.

a) Parte: 112,192 Porcentaje: 32%

b) Parte: 65,875 Porcentaje; 15,5%

a) x ⋅ 0,32 = 112,192 → x =112,192

0,32 = 350,6

b) x ⋅ 0,155 = 65,875 → x =65,875

0,155 = 425

30 Determina el porcentaje conociendo el total y la parte.

a) Total: 325,5 Parte: 244,125

b) Total: 200 Parte 10,4

a) 325,5 ⋅ x = 244,125 → x =244,125

325,5 = 0,75 → 75 %

b) 200 ⋅ x = 10,4 → x =10,4

200 = 0,052 → 5,2 %

31 Copia y completa la siguiente tabla.


325,5227,85

325,5= 0,7 → 70 % 227,85

172,8

0,32= 540 32 % 172,8

52,7

0,85= 62 85 % 52,7

354 2,5 % 354 ⋅ 0,025 = 8,85

260208

260= 0,8 → 80 % 208

116,25

0,155= 750 15,5 % 116,25



32 En una encuesta sobre lectura, el 8 % de los 725 encuestados ha contestado que no habían leído ningún libro en el último año. ¿Cuántas personas afirman haber leído algún libro el último año?

El 8 % afirma no haber leído ningún libro luego el 92 % sí ha leído algún libro.

725 ⋅ 0,92 = 667

Afirman haber leído algún libro 667 personas.33 Después de una tormenta, un agricultor dice que ha perdido el 40 % de la cosecha. Si han dañado 406 kg de verdura por

la tormenta, ¿cuántos kilos se estima que hubiera tenido la totalidad de la cosecha?

Los 406 kg son el 40 % de la cosecha.

Total ⋅ 0,4 = 406 → Total = 406

0,4 = 1 015 kg

34 En las especificaciones técnicas de cierta máquina se indica que esta necesita una revisión si el porcentaje de piezas de-fectuosas elaboradas por ella supera el 3 %. Durante la última hora se han detectado 76 piezas defectuosas de las 2 350 que ha fabricado. ¿Es necesario hacer una revisión?

2 350 ⋅ Porcentaje = 76 → Porcentaje = 76

2 350 = 0,032 → 3,2 %

Supera ligeramente el porcentaje y hay que hacer una revisión.35 Noelia asegura que tiene el 62,5 % de preguntas acertadas en un test. Si ha contestado bien a 25 preguntas, ¿de cuántas

preguntas consta el test?

Total ⋅ 0,625 = 25 → Total = 25

0,625 = 40 preguntas

36 En una maratón popular participaron 23 450 atletas. El 20 % de los que inician la carrera no llegan a superar la mitad del recorrido. De los que sí superan la mitad, el 65 % completa la carrera y llega a la meta. ¿Cuántos atletas logran culminar la prueba?

Calculamos el 80 % de los que inician la prueba y a estos le calculamos el 65 %.

(23 450 ⋅ 0,8) ⋅ 0,65 = 18 760 ⋅ 0,65 = 12 194 corredores 37 La distribución por deporte practicado de los 120 alumnos de

2.º de ESO de un centro escolar es la que muestra el siguiente gráfico.

a) ¿Cuántos alumnos practican fútbol sala?

b) ¿Cuántas chicas juegan al tenis?

c) ¿Qué porcentaje de los alumnos de 2.º de ESO son chicos y hacen tenis?

a) 120 ⋅ 0,55 = 66 alumnos

b) 120 ⋅ 0,05 = 6 alumnos practican tenis y de estos 6 ⋅ 0,666 = 4 son chicas.

c) El 33,3 % del 5 % del total que son:

0,333 ⋅ 0,06 = 0,0166; esto es, un 1,7 %

Desafío38 Una empresa ha diseñado un nuevo logo para sustituir el que ahora tienen. Fíjate en él y decide qué

porcentaje del círculo grande ocupa el pequeño.

Llamamos 2r al radio del círculo grande, de esta forma tenemos que el pequeño tiene radio r.

El área del círculo grande es π ⋅ (2r)2 = 4πr2 y el del pequeño es πr2, luego:

4πr2 ⋅ Porcentaje = πr2 → Porcentaje = πr2

4πr2=

1

4 = 0,25 → 25 %

189



5. Aumentos y disminuciones porcentuales

Soluciones de las actividades39 Copia y completa la tabla con la expresión decimal de los siguientes aumentos y disminuciones porcentuales.

Porcentaje Aumento Disminución

12 % 1,12 0,88

8 % 1,08 0,92

90 % 1,9 0,1

50 % 1,5 0,5

40 Indica el porcentaje de aumento de estas expresiones decimales.

a) 1,23 b) 1,048 c) 2 d) 1,65 e) 1,99 f) 2,15

a) 23 % b) 4,8 % c) 100 % d) 65 % e) 99 % f) 115 %41 Escribe el porcentaje de disminución de las siguientes expresiones decimales.

a) 0,7 b) 0,16 c) 0,325 d) 0,98 e) 0,842 f) 0,3

a) 30 % b) 84 % c) 67,5% d) 2 % e) 15,8 % f) 70 %


Podemos relacionar la entrada de la unidad con este epí-grafe y trabajar el epígrafe aumentando y disminuyendo porcentajes a compras realizadas.

Se puede proponer un juego en el que los alumnos calculen rebajas o incrementos en una tienda ficticia en clase.

Es muy útil antes de realizar los cálculos comprobar que los alumnos relacionan el porcentaje del aumento o la dis-minución con el porcentaje que tienen que calcular de la cantidad total.

123


122

5. AUMENTOS Y DISMINUCIONES PORCENTUALES

Sergio ha participado en un concurso televisivo en el que tiene que ir contestando correctamente a una serie de preguntas.

Después de contestar a cada pregunta, el presentador gira una rueda con diferentes porcentajes: si la respuesta ha sido correcta, el premio se incrementa en el porcentaje que salga, mientras que, si falla, el premio se reduce en ese mismo porcentaje.

Después de varias rondas de preguntas, Sergio lleva acumulado un premio de1 200 € y se dispone a responder a la siguiente ronda de preguntas.

❚ Contesta correctamente a la pregunta, gira a la ruleta… y sale el 35 %.

100 % + 35 % = 135 %

Aumentar el 35 % a una cantidad equivale a calcular el 100 % + 35 % = 135 %.

Total ⋅ Porcentaje = Parte

1 200 ⋅ 1,35 = 1 620

❚ La siguiente pregunta la falla, gira la ruleta… y cae en el 55 %.

100 % − 55 % = 45 % 55 %

Disminuir el 55 % una cantidad equivale a calcular el 100 % − 55 % = 45 %.


1 620 ⋅ 0,45 = 729

Para calcular un aumento porcentual, se suma al 100 % el porcentaje que se incrementa, y para hallar una disminución porcentual, se resta al 100 % el porcentaje que se reduce. Después, se halla el porcentaje resultante.

En las dos últimas preguntas la ruleta cae las dos veces en la casilla del 5 %.

❚ Si acierta las dos preguntas.

Aumento del 5 % Aumento del 5 %

729 ⋅ 1,05 = 765,45 → 765,45 ⋅ 1,05 = 803,7225

729 ⋅ (1,05 ⋅1,05) = 729 ⋅1,1025 = 803,7225

Aumentar el 5 % y el 5 % equivale a incrementar el 10,25 %.

El premio final sería de 803,72 €.

❚ Si falla las dos últimas preguntas.

Disminución del 5 % Disminución del 5 %

729 ⋅ 0,95 = 692,55 → 692,55 ⋅ 0,95 = 657,9225

729 ⋅ (0,95 ⋅0,95) = 729 ⋅0,9025 = 657,9225

Disminuir el 5 % y el 5 % equivale a reducir el 100 − 90,25 = 9,75 %.

El premio final sería de 657,92 €.

Aprenderás a… ● Manejar aumentos y disminuciones porcentuales.

● Hallar incrementos o descuentos en cantidades.

Presta atención

El producto de dos monomios siempre es otro monomio.

Presta atención

Los aumentos o disminuciones porcentuales no se suman ni restan.

Copia y completa la tabla con la expresión decimal de los siguientes aumentos y disminuciones porcentuales.

Porcentaje Aumento Disminución

12 % O O

8 % O O

90 % O O

50 % O O

Indica el porcentaje de aumento de estas expresiones decimales. a) 1,23 c) 2 e) 1,99b) 1,048 d) 1,65 f) 2,15

Escribe el porcentaje de disminución de las siguientes expresiones decimales.a) 0,7 c) 0,325 e) 0,842b) 0,16 d) 0,98 f) 0,3

Adrián se ha comprado un pantalón por 42,20 €, una camiseta por 18,50 € y una chaqueta por 35,90 €. Al llegar a la caja, le dicen que están de rebajas y que todo tiene un 25 % de descuento. ¿Cuánto tiene que pagar?

Debido a las últimas lluvias un pantano con 683 hm3 de agua embalsada se ha incrementado en un 2,5 %. ¿Cuántos hectómetros cúbicos tiene ahora el pantano?

En una tienda de electrodomésticos, una nevera con un precio de 260 € fue rebajada un 15 %; al cabo de un mes, volvieron a rebajarla otro 15 %. a) ¿Cuál es el precio después de la segunda rebaja?b) ¿Cuál es el porcentaje de la rebaja de la nevera?

El precio de un móvil era de 240 €. A Luismi le han hecho una rebaja de un 21 %, pero después le han cargado el 21 % de IVA. ¿Cuánto ha pagado Luismi por el teléfono?

39

40

41

42

43

44

45

Al subir un 20 % el precio de unas gafas de sol, estas han pasado a costar 86,40 €. ¿Cuánto valían antes de la subida?

Han rebajado una televisión un 15 %. Si cuesta 384,20 €, ¿cuál era su precio antes de la rebaja?

Al finalizar la campaña de verano, una empresa decide incrementar en un determinado porcentaje el precio de todos sus productos. Si un artículo que costaba 45,20 € pasa a costar 47,46 €, ¿en qué porcentaje ha aumentado el precio?

Una tienda está de liquidación por cierre y ha rebajado en un mismo porcentaje todos los artículos del establecimiento. Si unas deportivas que antes costaban 64 € valen ahora 38,40 €, ¿cuál ha sido el porcentaje de rebaja aplicado al precio?

Después del éxito que tuvieron en un centro de enseñanza los campeonatos escolares del curso pasado, este año ha habido un notable incremento en los participantes. El número de alumnos apuntados a bádminton ha pasado de 24 a 75, y en baloncesto, de 55 a 132. ¿En qué deporte ha habido un mayor incremento porcentual?

46

47

48

49

50

EJERCICIO RESUELTO

} Calcula:

a) El precio inicial de un producto que, rebajado un 32 %, cuesta 35,70 €.

b) El porcentaje de incremento en un artículo que inicialmente cuesta 42 € y pasa a costar 44,94 €.

Solucióna) Total ⋅ Porcentaje = Parte

x ⋅ 0,68 = 35,7 → x = 35,7

0,68 = 52,5

100 % − 32 % = 68 %

Cuesta 52,50 €.b) Total ⋅ Porcentaje = Parte

42 ⋅ x = 44,94 → x = 44,94

42 = 1,07

Se ha incrementado en un 7 %.

DESAFÍODecide en qué porcentaje varía el área de los siguientes rectángulos.51

10%

10%



42 Adrián se ha comprado un pantalón por 42,30 €, una camiseta por 18,50 € y una chaqueta por 35,90 €. Al llegar a la caja, le dicen que están de rebajas y que todo tiene un 25 % de descuento. ¿Cuánto tiene que pagar?

Pantalón: 42,30 ⋅ 0,75 = 31,725 → 31,73 € Camiseta: 18,50 ⋅ 0,75 = 13,875 → 13,88 €

Chaqueta: 35,90 ⋅ 0,75 = 26,925 → 26,93 €43 Debido a las últimas lluvias un pantano con 683 hm3 de agua embalsada se ha incrementado en un 2,5 %. ¿Cuántos

hectómetros cúbicos tiene ahora el pantano?

683 ⋅ 1,025 = 700,075 hm3

44 En una tienda de electrodomésticos, una nevera con un precio inicial de 260 € fue rebajada un 15 %; al cabo de un mes, volvieron a rebajarla otro 15 %.

a) ¿Cuál es el precio después de la segunda rebaja? b) ¿Cuál es el porcentaje de la rebaja de la nevera?

a) Aplicamos dos veces un descuento del 15 %. b) 0,85 ⋅ 0,85 = 0,7225 → 72,25 %

(260 ⋅ 0,85) ⋅ 0,85 = 221 ⋅ 0,85 = 187,85 € Luego tiene descuento del 27,75 %45 El precio de un móvil era de 240 €. A Luismi le han hecho una rebaja de un 21 %, pero después le han cargado el 21 %

de IVA. ¿Cuánto ha pagado Luismi por el teléfono?

240 ⋅ 1,21 ⋅ 0,79 = 229,416 Luismi ha pagado por el teléfono 229,42 €.46 Al subir un 20 % el precio de unas gafas de sol, estas han pasado a costar 86,40 €. ¿Cuánto valían antes de la subida?

Total ⋅ 1,20 = 86,40 → Total = 86,4

1,2 = 72 €

47 Han rebajado una televisión en un 15 %. Si cuesta 384,20 €, ¿cuál era su precio antes de la rebaja?

Total ⋅ 0,85 = 384,20 → Total = 384,2

0,85 = 452 €

48 Al finalizar la campaña de verano, una empresa decide incrementar en un determinado porcentaje el precio de todos sus productos. Si un artículo que costaba 45,20 € pasa a costar 47,46 €, ¿en qué porcentaje ha aumentado el precio?

45,20 ⋅ Porcentaje = 47,46 → Porcentaje = 47,46

45,2 = 1,05 → 5 % de aumento

49 Una tienda de deportes está de liquidación por cierre y ha rebajado en un mismo porcentaje todos los artículos que que-dan en el establecimiento. Si unas deportivas que antes costaban 64 € valen ahora 38,40 €, ¿cuál ha sido el porcentaje de rebaja aplicado al precio?

64 ⋅ Porcentaje = 38,4 → Porcentaje = 38,4

64 = 0,6 → 40 % de disminución

50 Después del éxito que tuvieron en un centro de enseñanza los campeonatos escolares del curso pasado, este año ha ha-bido un notable incremento en los participantes. El número de alumnos apuntados a bádminton ha pasado de 24 a 75, y en baloncesto, de 55 a 132. ¿En qué deporte ha habido un mayor incremento porcentual?

Bádminton: 24 ⋅ Porcentaje = 75 → Porcentaje = 75

24 = 3,125 → 212,5 % de aumento

Baloncesto: 55 ⋅ Porcentaje = 132 → Porcentaje = 132

55 = 2,4 → 140 % de aumento

Desafío51 Decide en qué porcentaje varía el área de los siguientes rectángulos.

10%

10%

El área del rectángulo es x ⋅ y, y la del rectángulo modificado 1,1x ⋅ 0,9y.

El porcentaje es: 1,1x ⋅0,9 y

xy = 1,1 ⋅ 0,9 = 0,99 Por tanto, el área se ha reducido en un 1 %.

191



Lee y comprende las matemáticas

6 LEE Y COMPRENDE LAS MATEMÁTICAS

124 125

6Actividades

El tomate: cuando su precio se cuadruplica de la tierra a la mesa

¿Se ha preguntado qué o quiénes intervienen en la formación del precio de, pongamos por caso, el tomate? ¿Qué hace que se cuadruplique desde el campo hasta que llega a su mesa?

En la actualidad, al agricultor se le paga por el kilo de tomate para ensalada 0,47 céntimos y en la tienda de turno se vende a 1,86 euros, según el Índice de Precios en Origen y Destino (IPOD) de agosto de este año, que elaboran la organización de agricultores COAG y las asociaciones de consumidores UCE y CEACCU. […]Oficialmente, en la estructura tradicional de la cadena de valor hortofrutícola elaborada por el Ministerio de Agricultura, y consensuada con el sector, intervienen hasta cuatro eslabones: agricultor, cooperativa, mayoristas y tienda. Pero, extraoficialmente, intervienen más actores entre transportistas, almacenes, logística o conservación que incrementan el coste. Hay ocasiones que mayorista y distribuidor coinciden. Es el caso de las plataformas de distribución creadas por grandes cadenas de hipermercados y supermercados.

Agricultor → Beneficio: −29 % (*)

(*) Los agricultores dicen que el resultado es positivo al reducir los costes.

Cooperativa → Beneficio: 17 %

Plataformas mayoristas → Beneficio: 3 %

Tienda → Beneficio 6 %

Fuente: elmundo.es

Antonio acaba de recoger su plantación de tomates. Un intermediario le ofrece por toda la cosecha 6 580 €.

a) ¿Cuánto dinero van a costar estos mismos tomates en la tienda de turno?

b) ¿Cuál sería el beneficio que obtendría la tienda que los vende?

Analiza la pregunta

a) ¿Cuánto dinero van a costar estos mismos tomates en la tienda de turno?

Hallamos el porcentaje de incremento del precio del tomate y lo aplicamos a los 6 580 € que le pagan a Antonio.

b) ¿Cuál sería el beneficio que obtendría la tienda que los vende?

Necesitamos calcular el precio sin el beneficio de la tienda.

Busca los datos

a) Obtenemos el total y la parte del porcentaje en la siguiente frase.

[...], al agricultor se le paga por el kilo de tomate para ensalada 0,47 céntimos y en la tienda de turno se vende a 1,86 euros, [...]

Total: 0,47 Porcentaje: desconocido Parte: 1,86

b) Encontramos el beneficio obtenido por la tienda.

Utiliza las matemáticas

a) Calculamos el porcentaje que representa la parte del total.


0,47 ⋅ x = 1,86 → x = 1,86

0,47 = 3,9574…

Luego, se ha incrementado en un 295,74 %.

Aplicamos este porcentaje al dinero pagado en origen y se tiene que:

6 580 ⋅ (1 + 2,9574) = 26 040

b) Hallamos el precio sin el 6 % de beneficio.


x ⋅ 1,06 = 26 040 → x = 26 040

1,06 = 24 566,04

Así, la tienda ha obtenido un beneficio de:

26 040 − 24 566,04 = 1 473,96 €

María se ha alegrado al leer esta noticia, ya que su hipoteca va a bajar.

52 Una empresa tiene todos sus taxis adaptados y lee la siguiente noticia.

54

Con la caída del euribor indicada en el artículo, el ahorro es de 135,70 €. ¿Qué ahorro se habría producido si el euribor hubiera bajado 0,54 puntos?

El euríbor deja rebajas para las hipotecasde 135 € al año

El euribor, el índice al que se referencian la mayoría de las hipotecas a tipo variable en España, ha cerrado hoy septiembre con una caída hasta el 0,154 %, es decir de 0,208 puntos por debajo respecto a septiembre de 2014. Esto supone marcar un nuevo mínimo histórico y abaratar las hipotecas en unos 135,70 euros al año.

Las caídas durante el mes que hoy finaliza han sido constantes, aunque cada vez han ido estrechándose más. El euribor comenzó septiembre en el 0,161 % y ha ido reduciendo su posición hasta el 0,142 % de hoy, de manera que en tasa mensual ha cerrado en el 0,154 %.

Ana tiene una consulta de dietética y ofrece esta información en su entrada.

53

Teniendo en cuenta el consumo de calorías indicado en esta noticia, ¿cuántas calorías se ingerían en 1964?

Los españoles ingieren menos calorías que en los años 60, pero tienen más sobrepeso

La ingesta de calorías por parte de los españoles se ha reducido un 39,5 % desde 1964, según los primeros datos del estudio Anibes (Antropometría, ingesta y balance energético en España), que se presentaron este miércoles. Los últimos datos, de 2013, muestran un consumo de 1 820 cal de media, un dato que, de hecho, está incluso ligeramente por debajo de lo recomendado por las autoridades sanitarias para todas las franjas de edad salvo en los niños. […]

Y si la cantidad de alimentos que se ingieren no es la correcta, tampoco lo es la proporción de cada uno. «Tenemos un balance energético desequilibrado», dijo el presidente de la FEN. Por ejemplo, los hidratos de carbono (cereales, pasta, legumbres, frutas) suponen solo el 41,4 % de las calorías, cuando la Agencia Europea de Seguridad Alimentaria (EFSA) recomienda que su proporción esté por encima del 50 %.

Una ciudad con 85 000 habitantes dispone de una flota de 532 taxis, de los que tan solo hay 16 adaptados. ¿Cuántos taxis como mínimo es necesario adaptar para el 2017?

Los taxistas piden ayuda a la Junta para adaptar los taxis como exige la UE

En 2017, al menos el cinco por ciento de los taxis de municipios de más de 50 000 habitantes tendrán que ser adaptados, pero en Castilla-La Mancha todavía hay localidades que no cumplen con este porcentaje, ha explicado la Federación Regional del Taxi.

Fuente: abc.es

Juan acaba de leer este artículo y tiene que repostar gasolina en su coche.

55

Juan acaba de llenar su depósio en una gasolinera low cost por 45,60 €. ¿Cúanto dinero le habría costado llenarlo en una gasolinera tradicional?

¿La gasolina low cost daña el motor?

❚ La única diferencia con el combustible de grandes marcas son los aditivos que les añaden

La crisis ha convertido al ahorro en un mantra y ha permitido el florecimiento de nuevos modelos de negocio. Entre ellos, las gasolineras low cost, que no pertenecen a ninguna de las grandes cadenas petroleras y que ofrecen un ahorro de hasta un 15% por litro de combustible. Estos puntos de venta crecieron un 65 % entre 2007 y 2014, mientras que la red de los operadores tradicionales se contrajo un 1,3 %.

Fuente: elpais.es

Indica si son correctas estas afirmaciones.

a) Duplicar una cantidad es aumentarla el 100 %.

b) No es posible hacer un incremento de más del 100 % en una cantidad.

c) A Felipe le van a rebajar el artículo en más del 100 %.

56

Soluciones de las actividades52 María se ha alegrado al leer esta noticia, ya que su hipoteca va a bajar.

El euríbor deja rebajas para las hipotecas de 135 € al año El euribor, el índice al que se referencian la mayoría de las hipotecas a tipo variable en España, ha cerrado hoy septiembre con una caída hasta el 0,154 %, es decir de 0,208 puntos por debajo respecto a septiembre de 2014. Esto supone marcar un nuevo mínimo histórico y abaratar las hipotecas en unos 135,70 euros al año.Las caídas durante el mes que hoy finaliza han sido constantes, aunque cada vez han ido estrechándose más. El euribor comenzó septiem-bre en el 0,161 % y ha ido reduciendo su posición hasta el 0,142 % de hoy, de manera que en tasa mensual ha cerrado en el 0,154 %.

Con la caída del euribor indicada en este artículo, el ahorro es de 135,70 €. ¿Qué ahorro se habría producido si el euribor hubiera bajado 0,54 puntos?

Establecemos una relación de proporcionalidad directa entre el porcentaje de rebaja del euribor y el ahorro obtenido.

0,208

135,70=

0,54

x→ x =

0,54 ⋅135,70

0,208= 352,30 €


En esta sección se trabaja la comprensión lectora desde las matemáticas. Se presenta un artículo y tras su lectura, se plantea a los alumnos alguna situación que pueden encon-trarse en su vida cotidiana y que deben resolver extrayendo información de dicha noticia.

Para llegar a la solución del problema propuesto deben se-guir estos pasos:

1.º Analizar la pregunta que se les plantea.

2.º Buscar los datos necesarios en la noticia.

3.º Utilizar las matemáticas para poder resolver la pregunta planteada.

En este caso, se pretende que los alumnos reflexionen sobre cómo resolver problemas aplicando porcentajes.

Una vez analizado este ejemplo resuelto los alumnos se en-frentan a otras situaciones similares.



53 Ana tiene una consulta de dietética y ofrece esta información en su entrada.

Los españoles ingieren menos calorías que en los años 60, pero tienen más sobrepesoLa ingesta de calorías por parte de los españoles se ha reducido un 39,5 % desde 1964, según los primeros datos del estudio Anibes (An-tropometría, ingesta y balance energético en España), que se presentaron este miércoles. Los últimos datos, de 2013, muestran un consu-mo de 1 820 cal de media, un dato que, de hecho, está incluso ligeramente por debajo de lo recomendado por las autoridades sanitarias para todas las franjas de edad salvo en los niños. […]Y si la cantidad de alimentos que se ingieren no es la correcta, tampoco lo es la proporción de cada uno. «Tenemos un balance energético desequilibrado», dijo el presidente de la FEN. Por ejemplo, los hidratos de carbono (cereales, pasta, legumbres, frutas) suponen solo el 41,4 % de las calorías, cuando la Agencia Europea de Seguridad Alimentaria (EFSA) recomienda que su proporción esté por encima del 50 %.

Teniendo en cuenta el consumo de calorías indicado en esta noticia, ¿cuántas calorías se ingerían en 1964?

Una reducción del 39,5 % equivale a calcular el 60,5 %.

Total ⋅ 0,605 = 1 820 → Total = 1820

0,605 = 3 008,26 cal

54 Una empresa tiene todos sus taxis adaptados y lee la siguiente noticia.

Los taxistas piden ayuda a la Junta para para adaptar los taxis como exige la UEEn 2017, al menos el cinco por ciento de los taxis de municipios de más de 50 000 habitantes tendrán que ser adaptados, pero en Castilla-La Mancha todavía hay localidades que no cumplen con este porcentaje, ha explicado la Federación Regional del Taxi.

Fuente: abc.es

Una ciudad con 85 000 habitantes dispone de una flota de 532 taxis, de los que tan solo hay 16 adaptados. ¿Cuántos taxis como mínimo es necesario adaptar para el 2017?

Calculamos el 5 % de la flota de taxis.

532 ⋅ 0,05 = 26,6

Como hay 16 taxis, al menos hay que adaptar 11 taxis más.55 Juan acaba de leer este artículo y tiene que repostar gasolina en su coche.

¿La gasolina low cost daña el motor?❚❚ La única diferencia con el combustible de grandes marcas son los aditivos que les añadenLa crisis ha convertido al ahorro en un mantra y ha permitido el florecimiento de nuevos modelos de negocio. Entre ellos, las gasolineras low cost, que no pertenecen a ninguna de las grandes cadenas petroleras y que ofrecen un ahorro de hasta un 15 % por litro de combusti-ble. Estos puntos de venta crecieron un 65 % entre 2007 y 2014, mientras que la red de los operadores tradicionales se contrajo un 1,3 %.

Fuente: elpais.es

Juan acaba de llenar su depósio en una gasolinera low cost por 45,60 €. ¿Cúanto dinero le habría costado llenarlo en una gasolinera tradicional?

Total ⋅ 0,85 = 45,60 → Total = 45,60

0,85 = 53,65 €

Analiza56 Indica si son correctas estas afirmaciones.

a) Duplicar una cantidad es aumentarla el 100 %.

b) No es posible hacer un incremento de más del 100 % en una cantidad.

c) A Felipe le van a rebajar el artículo en más del 100 %.

a) Es cierto. b) Es falso. c) No tiene sentido.

193




En esta sección se destacan los procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido tras estudiar esta unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de:

❚❚ Reconocer situaciones cotidianas en las que se presenta la proporcionalidad.

❚❚ Aplicar el método de las constantes y la reducción a la unidad para resolver problemas de proporcionalidad.

❚❚ Calcular aumentos y disminuciones porcentuales.

Actividades finalesSoluciones de las actividades57 Copia y completa las siguientes frases para que sean ciertas.

a) Si las magnitudes son directamente proporcionales al triple de una magnitud, le corresponde el § de la otra magnitud.

b) Si al doble de una magnitud le corresponde la mitad de la otra magnitud, las magnitudes son § proporcionales.

c) Si dos magnitudes son inversamente proporcionales, se mantienen constantes los § de los valores correspondientes.

d) Si dos magnitudes son directamente proporcionales se mantienen constantes los § de los valores correspondientes.

a) Si las magnitudes son directamente proporcionales al triple de una magnitud, le corresponde el triple de la otra mag-nitud.

b) Si al doble de una magnitud le corresponde la mitad de la otra magnitud, las magnitudes son directamente propor-cionales.

c) Si dos magnitudes son inversamente proporcionales, se mantienen constantes los productos de los valores correspon-dientes.

d) Si dos magnitudes son directamente proporcionales se mantienen constantes los cocientes de los valores correspon-dientes.

¿Qué tienes que saber?

126 127

¿QUÉ6 tienes que saber? Actividades Finales 6

Javier reparte entre sus tres amigos las manzanas de su árbol, y cada uno se lleva 4 kg de manzanas. Si a uno de ellos no le gusta esta fruta, ¿cuántos kilos se llevará cada uno de sus otros amigos?

El número de amigos y el número de kilos de manzanas que se lleva cada uno son inversamente proporcionales: al doble de amigos le corresponde la mitad de kilos de manzanas.

Establecemos la relación entre los datos.

N.º de amigos N.º de kilos

3 4

2 x

Igualamos los productos de valores correspondientes.

2 ⋅ x = 3 ⋅ 4 → 2x = 12 → x =12

2= 6

A cada amigo le corresponden 6 kg de manzanas.

Proporcionalidad. Método de las constantesTen en cuenta1 Establecemos el tipo de

proporcionalidad que existe entre las magnitudes.

2 Efectuamos los cocientes si las magnitudes son directamente proporcionales o los productos si son inversamente proporcionales.

3 Resolvemos la ecuación obtenida.

La proporción para conseguir un determinado tono de rosa es de 5 L de pintura blanca por 2 L de pintura roja. Si se han utilizado 3 L de pintura roja, ¿cuántos litros de pintura blanca se necesitan para obtener dicho tono de rosa?

El número de litros de pintura blanca y el de pintura roja son directamente proporcionales, ya que al doble de pintura blanca le corresponde el doble de pintura roja.

N.º litros pintura blanca N.º litros pintura roja

5 2

2,5 1

7,5 3

: 2: 2

⋅ 3⋅ 3

Se necesitan 7,5 L de pintura blanca.

Proporcionalidad. Reducción a la unidadTen en cuenta1 Establecemos el tipo de

proporcionalidad que existe entre las magnitudes.

2 Calculamos el valor asociado a la unidad en la magnitud de la que conocemos todos los datos.

3 A partir de él, hallamos el dato desconocido.

Una camiseta que costaba 18 € ha sido rebajada en un 15 %. Al ir a pagar, le dicen a Eva que al precio hay que sumarle el 21 % de IVA. ¿Cuánto tiene que pagar Eva por la camiseta?

Descuento del 15 %

18 ⋅ 0,85 ⋅ 1,21 = 18,513

Aumento del 21 %

La camiseta cuesta 18,51 €.

Aumentos y disminuciones porcentualesTen en cuenta

❚ Aumento porcentual: se suma al 100 % el porcentaje que se incrementa y se halla el porcentaje.

❚ Disminución porcentual: se resta al 100 % el porcentaje que se reduce y se halla el porcentaje resultante.

Proporcionalidad directae inversa

Copia y completa las siguientes frases para que sean ciertas.

a) Si las magnitudes son directamente proporcionales al triple de una magnitud, le corresponde el § de la otra magnitud.

b) Si al doble de una magnitud le corresponde la mitad de la otra magnitud, las magnitudes son § proporcionales.

c) Si dos magnitudes son inversamente proporcionales, se mantienen constantes los § de los valores correspondientes.

d) Si dos magnitudes son directamente proporcionales se mantienen constantes los § de los valores correspondientes.

Identifica si existe algún tipo de proporcionalidad entre las magnitudes de la tabla.

En caso afirmativo, indica qué tipo de proporcionalidad se da. Justifica las respuestas.

a) Magnitud A 12 8 4 28,8


b) Magnitud A 5 10 7 12

Magnitud B 17,5 35 24,5 42

c) Magnitud A 4 6 12 24

Magnitud B 3 2 4 8

d) Magnitud A 5 10 20 35


En cierta frutería cobran 1,15 € por 3 kg de patatas. Copia y completa la tabla con los valores de las dos magnitudes.

N.º de kilos de patatas 3 6 O

Precio (€) 1,15 O 5,75

¿Existe alguna relación de proporcionalidad entre las dos magnitudes?

El producto de dos números es 64. Copia y completa la tabla con los valores de las dos magnitudes.

Primer número 32 O 64 O

Segundo número O 16 O 8

¿Existe alguna relación de proporcionalidad entre ambos números?

57

58

59

60

Averigua el valor de los datos desconocidos de las siguientes tablas de magnitudes directamente proporcionales.

a) Magnitud A a 7 11,2 c

Magnitud B 1 5 b 15

b) Magnitud A 1 3 10 c

Magnitud B a b 18 10,8

Averigua el valor de los datos desconocidos de estas tablas de magnitudes inversamente proporcionales.

a) Magnitud A a 36 1 9

Magnitud B 12 b c 8

b) Magnitud A 81 8 b 54

Magnitud B 2 a 27 c

Juan ha estado repartiendo publicidad durante 7 días y ha cobrado 410,20 €. ¿Cuántos días deberá trabajar para cobrar 1 113,40 €?

Con 6 grifos abiertos, que vierten agua de forma constante, se llena un depósito en 12 horas. Si se usan 8 grifos para llenar el mismo depósito, ¿cuánto tiempo tardarán en completarlo?

Javier se ha descargado 3,2 megas de un fichero en 5 segundos. ¿Cuánto tarda en descargarse el fichero completo si tiene 15 megas?

Se ha alquilado un autobús para una excursión de 32 personas, y cada una de ellas tiene que pagar 6,30 €. A última hora se apuntan 8 personas más. ¿Cuánto dinero tendrá que desembolsar cada excursionista para pagar el alquiler del autobús?

En la entrada de un parking hay un aviso que advierte de que se tarifa por minutos. Si por una estancia de 42 min le han cobrado 1,26 € a Esteban, ¿cuánto costará una estancia de hora y media?

Una empresa tiene cuadrillas formadas por 3, 5 y 12 personas. Se han realizado los cálculos para que la cuadrilla de 5 personas efectúe cierto encargo y tendría que dedicar 180 jornadas de trabajo. ¿Cuánto jornadas necesitarían las otras dos cuadrillas?

61

62

63

64

65

66

67

68



58 Identifica si existe algún tipo de proporcionalidad entre las magnitudes de la tabla. En caso afirmativo, indica qué tipo de proporcionalidad se da. Justifica las respuestas.

a) Magnitud A 12 8 4 28,8 c) Magnitud A 4 6 12 24

Magnitud B 12 18 36 5 Magnitud B 3 2 4 8

b) Magnitud A 5 10 7 12 d) Magnitud A 5 10 20 35

Magnitud B 17,5 35 24,5 42 Magnitud B 3 6 12 21

a) Inversamente proporcionales, se mantienen constantes los productos.

12 ⋅ 12 = 8 ⋅ 18 = 4 ⋅ 36 = 28,8 ⋅ 5 = 144

b) Directamente proporcionales, se mantiene constantes los cocientes.

5

17,5=

10

35=

7

24,5=

12

42= 3,5

c) No hay relación de proporcionalidad, no se mantienen constantes ni los productos, ni los cocientes.

d) Directamente proporcionales, se mantiene constantes los cocientes.

5

3=

10

6=

20

12=

35

21= 1,6

59 En cierta frutería cobran 1,15 € por 3 kg de patatas. Copia y completa la tabla con los valores de las dos magnitudes.

N.º de kilos de patatas 3 6 O

Precio (€) 1,15 O 5,75

¿Existe alguna relación de proporcionalidad entre las dos magnitudes?

Al doble de kilos de patatas le corresponde el doble de precio luego las magnitudes son directamente proporcionales.

N.º de kilos de patatas 3 6 5 ⋅ 3 = 15

Precio (€) 1,15 2 ⋅ 1,15 = 2,30 5,75

60 El producto de dos números es 64. Copia y completa la tabla con los valores de las dos magnitudes.

Primer número 32 O 64 O

Segundo número O 16 O 8

¿Existe alguna relación de proporcionalidad entre ambos números?

Se mantienen constantes los productos, por tanto, son magnitudes inversamente proporcionales.

Primer número 32 4 64 8

Segundo número 2 16 1 8

61 Averigua el valor de los datos desconocidos de las siguientes tablas de magnitudes directamente proporcionales.

a) Magnitud A a 7 11,2 c b) Magnitud A 1 3 10 c

Magnitud B 1 5 b 15 Magnitud B a b 18 10,8

a) a

1=

7

5→ a = 1,4

11,2

b=

7

5→ b =

11,2 ⋅5

7= 8

c

15=

7

5→ c =

15 ⋅7

5= 21

b) 1

a=

10

18→ a = 1,8

3

b=

10

18→ b =

3 ⋅18

10= 5,4

c

10,8=

10

18→ c =

10,8 ⋅10

18= 6

195



62 Averigua el valor de los datos desconocidos de estas tablas de magnitudes inversamente proporcionales.

a) Magnitud A a 36 1 9 c) Magnitud A 81 8 b 54

Magnitud B 12 b c 8 Magnitud B 2 a 27 c

a) a ⋅ 12 = 9 ⋅ 8 → a =9 ⋅8

12 = 6 36 ⋅ b = 9 ⋅ 8 → b =

9 ⋅8

36 = 2 1 ⋅ c = 9 ⋅ 8 → c = 72

b) 81 ⋅ 2 = 8 ⋅ a → a =81⋅2

8 = 20,25 81 ⋅ 2 = b ⋅ 27 → b =

81⋅2

27 = 6 81 ⋅ 2 = 54 ⋅ c → c =

81⋅2

54 = 3

63 Juan ha estado repartiendo publicidad durante 7 días y ha cobrado 410,20 €. ¿Cuántos días deberá trabajar para cobrar 1 113,40 €?

Las magnitudes número de días trabajados y dinero son directamente proporcionales luego se mantienen constantes los

cocientes: 7

410,2=

x

1113,40→ x =

7 ⋅1113,40

4 10,2 = 19 días

64 Con 6 grifos abiertos, que vierten agua de forma constante, se llena un depósito en 12 horas. Si se usan 8 grifos para llenar el mismo depósito, ¿cuánto tiempo tardarán en completarlo?

Las magnitudes número de grifos y número de horas son inversamente proporcionales luego se mantienen constantes los

productos: 6 ⋅ 12 = 8 ⋅ x → x =6 ⋅12

8 = 9 horas

65 Javier se ha descargado 3,2 megas de un fichero en 5 segundos. ¿Cuánto tarda en descargarse el fichero completo si tiene 15 megas?

Las magnitudes número de megas y número de segundos son directamente proporcionales luego se mantienen constan-

tes los cocientes: 3,2

5=

15

x→ x =

5 ⋅15

3,2 = 23,4 s

66 Se ha alquilado un autobús para una excursión de 32 personas, y cada una de ellas tiene que pagar 6,30 €. A última hora se apuntan 8 personas más. ¿Cuánto dinero tendrá que desembolsar cada excursionista para pagar el alquiler del autobús?

Las magnitudes número de personas y precio a pagar son inversamente proporcionales luego se mantienen constantes

los productos: 32 ⋅ 6,30 = 40 ⋅ x → x =32 ⋅6,30

40 = 5,04 €

67 En la entrada de un parking hay un aviso que advierte de que se tarifa por minutos. Si por una estancia de 42 min le han cobrado 1,26 € a Esteban, ¿cuánto costará una estancia de hora y media?

Las magnitudes número de minutos y precio del parking son directamente proporcionales luego se mantiene constantes

los cocientes: 42

1,26=

90

x→ x =

1,26 ⋅90

42 = 2,70 €

68 Una empresa tiene cuadrillas formadas por 3, 5 y 12 personas. Se han realizado los cálculos para que la cuadrilla de 5 personas efectúe cierto encargo y tendría que dedicar 180 jornadas de trabajo. ¿Cuántas jornadas necesitarían las otras dos cuadrillas?

Las magnitudes integrantes de la cuadrilla y número de jornadas son inversamente proporcionales luego se mantienen constantes los productos.

Cuadrilla de 3 personas: 5 ⋅ 180 = 3 ⋅ x → x =5 ⋅180

3 = 300 jornadas

Cuadrilla de 12 personas: 5 ⋅ 180 = 12 ⋅ x → x =5 ⋅180

12 = 75 jornadas



69 Con un ciclomotor que circula a 50 km/h se tarda 40 min en cubrir cierto recorrido.

a) ¿Cuánto tardará un coche que circule a 90 km/h?

b) ¿Cuánto necesitará una bicicleta que circule 12 km/h?

Las magnitudes velocidad y tiempo son inversamente proporcionales, luego se mantienen constantes los productos.

a) 50 ⋅ 40 = 90 ⋅ x → x =50 ⋅ 40

90 = 22,2 min b) 50 ⋅ 40 = 12 ⋅ x → x =

50 ⋅ 40

12 = 166,7 min

70 Con las dos bolsas de 1,5 kg de pienso que Isidro tiene en casa podrán comer sus 3 gatos durante 10 días.

a) ¿Cuánto tiempo durarán las bolsas si además tiene que alimentar a los 2 gatos de su vecino?

b) ¿Cuánto tiempo comerán los gatos de Isidro si este compra 2 bolsas más?

c) ¿Cuántas bolsas deberá comprar para alimentar a sus gatos durante 25 días?

a) Las magnitudes número de gatos y número de días son inversamente proporcionales para un número fijo de bolsas, luego se mantienen constantes los productos.

3 ⋅ 10 = 5 ⋅ x → x =3 ⋅10

5 = 6 días

b) Las magnitudes número de días y número de bolsas son directamente proporcionales para un número de gatos fijo, luego se mantienen constantes los cocientes.

2

10=

4

x→ x =

10 ⋅ 4

2 = 20 días

c) Las magnitudes número de días y número de bolsas son directamente proporcionales para un número de gatos fijo, luego se mantienen constantes los cocientes.

2

10=

x

25→ x =

2 ⋅25

10 = 5 bolsas

129

Actividades Finales 6

128


Tres cuartos de los alumnos de una clase de 2.º de ESO se han apuntado a una excursión para esquiar en alta montaña. Si van 15 alumnos a esquiar, ¿cuántos alumnos hay en la clase?

El gráfico muestra el resultado de un estudio estadístico sobre cómo realizan el transporte a su trabajo los habitantes de cierta localidad.

22 %

30 %8 %

4 %

24 %

12 %A pie/en bicicletaVehículo privadoTaxiTrenAutobúsOtros

Si la encuesta se realizó a 1 250 personas:a) ¿Cuántas contestaron que realizan el trayecto a

pie o en bici?b) ¿Cuántas contestaron que en autobús o tren?c) ¿Cuántas aseguraron que no van en vehículo

privado?

En la elección de delegado, Amanda ha obtenido 7 votos, Raquel 12 y Manuel 9. ¿Cuál es el porcentaje de votos de Raquel?

El entrenador de un equipo de baloncesto tiene que calcular los porcentajes de tiro de su quinteto inicial para analizar el partido.

Puesto 1

Puesto 2

Puesto 3

Puesto 4

Puesto 5

Canastas intentadas 10 18 7 9 12

Canastas acertadas 4 12 5 6 10

¿Qué jugador tiene mejor porcentaje de tiro?

Un pintor ha gastado el 25 % de la pintura por la mañana y un 40 % del resto por la tarde.a) ¿Qué porcentaje de pintura ha empleado ese día?b) Si tenía 25 L de pintura, ¿cuánta le queda para

el día siguiente?

El 80 % de los participantes en un congreso habla inglés perfectamente, y de estos, el 25 % son hombres. Si en el congreso hay 308 hombres que saben hablar inglés, ¿cuántos participantes tiene el congreso?

82

83

84

85

86

87

Con un ciclomotor que circula a 50 km/h se tarda 40 min en cubrir cierto recorrido.a) ¿Cuánto tardará un coche que circule a

90 km/h?b) ¿Cuánto necesitará una bicicleta que circule

12 km/h?

Con las dos bolsas de 1,5 kg de pienso que Isidro tiene en casa podrán comer sus 3 gatos durante 10 días.a) ¿Cuánto tiempo durarán las bolsas si además

tiene que alimentar a los 2 gatos de su vecino?b) ¿Cuánto tiempo comerán los gatos de Isidro si

este compra 2 bolsas más?c) ¿Cuántas bolsas deberá comprar para alimentar

a sus gatos durante 25 días?

Cuatro amigos deciden jugar un décimo de la lotería de navidad. Cada uno aporta una cantidad diferente: Juan, 5 €; Marta, 6 €; Iván, 4 €, y Marcos, los 5 € que faltan. El décimo resulta premiado con 30 000 € y deciden repartirlo de forma directamente proporcional al dinero invertido. ¿Cuánto le toca a cada amigo?

Los 5 500 € en premios de una carrera se reparten de forma inversamente proporcional a la posiciones de llegada. ¿Cuánto le toca a cada uno de los tres primeros clasificados?

Proporcionalidad compuesta

Juan está preparando las vacaciones con 5 amigos y reserva en un hotel una estancia de 7 días por 1 008 €. Al final solo van 4 amigos, pero deciden prolongar su estancia durante 10 días; ¿cuánto les costará el alojamiento?

Funcionando durante 3 h, 2 máquinas tienen un consumo de 2 592 kW. Si se pone en funcionamiento una máquina más y se dejan las 3 trabajando durante 8 h, ¿a cuánto ascenderá su consumo?

Las 45 farolas de una calle consumen 32 € funcionando durante 8 h. Cuando llega el invierno, hay que aumentar a 11 el número de horas encendidas; además, se funden las bombillas de 5 farolas. ¿Cuánto dinero consumirán las restantes?

69

70

71

72

73

74

75

Aumentos y disminuciones porcentuales

Realiza estas variaciones porcentuales.

a) Un aumento del 12 % a 450.

b) Una rebaja del 4,5 % a 1 200.

c) Un descuento del 42,7 % a 5 000.

d) Un incremento del 95 % a 140.

Una tienda de electrodomésticos tiene dos televisores de similares características: uno cuesta 560 €, y el otro tiene un precio de 652 €, pero se le aplica un descuento del 15 %. ¿Qué televisor resulta más barato?

La cosecha de aceitunas de este año ha sido mala, y el precio del aceite de oliva se va a incrementar en un 14 %. Si ahora se está vendiendo a 3,75 € el litro, ¿cuánto costará después de la subida?

En una tienda tienen rebajados todos los artículos un 22 %. Una camisa marcaba 32 € antes de las rebajas y ahora cuesta 26,50 €. ¿Está bien hecho el descuento? En caso contrario, ¿cuánto debería costar la camiseta?

Después de subir un artículo un 6 %, vale 47,70 €. ¿Cuánto costaba antes de la subida?

A Javier le han descontado un 15 % de su sueldo. ¿Qué porcentaje le tendrían que aumentar para volver a ganar lo mismo?

Si a una cantidad le aumentan el 12 % y después le disminuyen el 35 %, ¿en qué porcentaje ha variado?

En una tienda en rebajas puede verse este cartel:

Si esta silla de oficina ha tenido dos rebajas, una del 10 % y otra del 25 %, ¿cuánto costaba antes de las dos rebajas?

Un alumno ve incrementada su nota en un 15 % por el trabajo realizado durante toda la evaluación. ¿Qué nota debe tener para que le suban a un 7?

88

89

90

91

92

93

94

95

96

Todos los años, la clase de 2.º de ESO de un centro escolar realiza una excursión de 3 días para recorrer una ruta verde de 82 km andando cada día 5 h. Este año han decidido cambiar a una ruta de 120 kmy dedicar un día más. ¿Cuántas horas durará la caminata cada día?

Para pintar un edificio, 3 pintores dedican 2 h diarias durante 10 días. ¿Cuántas horas al día se necesitarían para pintar el mismo edificio en solo 2 días pero con 5 pintores?

Porcentajes



2 de cada 5 O O O

O 0,5 % O O

O O28

350O

O O O 0,354

Escribe la expresión decimal de los siguientes porcentajes.a) 12,5 % c) 30,8 % e) 0,6 %b) 3 % d) 25,2 % f) 80,08 %

Calcula estos porcentajes.a) El 2 % de 560. c) El 62,5 % de 400.b) El 10,2 % de 450. d) El 80,4 % de 600.

Copia la tabla y complétala calculando los datos que faltan.

76

77

78

79

80

81


1 450 O 407,45

O 32,5 % 146,25

700 O 336

35,7 55 % O

O 0,5 % 200

205 48,2 % O

197



71 Cuatro amigos deciden jugar un décimo de la lotería de navidad. Cada uno aporta una cantidad diferente: Juan, 5 €; Marta, 6 €; Iván, 4 €, y Marcos, los 5 € que faltan. El décimo resulta premiado con 30 000 € y deciden repartirlo de forma directamente proporcional al dinero invertido. ¿Cuánto le toca a cada amigo?

30 000

5 + 6 + 4 + 5=

30 000

20= 1500

Para Juan y Marcos: 5 ⋅ 1 500 = 7 500 € cada unoPara Marta: 6 ⋅ 1 500 = 9 000 €Para Iván: 4 ⋅ 1 500 = 6 000 €

72 Los 5 500 € en premios de una carrera se reparten de forma inversamente proporcional a la posiciones de llegada. ¿Cuán-to le toca a cada uno de los tres primeros clasificados?

5 500

1+1

2+

1

3

=5 500

11

6

= 3 000

Para el primero: 3 000 € Para el segundo: 3 000 ⋅ 1

2 = 1 500 € Para el tercero: 3 000 ⋅

1

3 = 1 000 €

73 Juan está preparando las vacaciones con 5 amigos y reserva en un hotel una estancia de 7 días por 1 008 €. Al final solo van 4 amigos, pero deciden prolongar su estancia durante 10 días; ¿cuánto les costará el alojamiento? Directa Directa

N.º de amigos N.º de días Precio (€)

5 7 1 008

1 11008

5 ⋅7

4 101008 ⋅ 4 ⋅10

5 ⋅7= 1152

74 Funcionando durante 3 h, 2 máquinas tienen un consumo de 2 592 kW. Si se pone en funcionamiento una máquina más y se dejan las 3 trabajando durante 8 h, ¿a cuánto ascenderá su consumo? Directa Directa

N.º de horas N.º de máquinas Consumo en kW

3 2 2 592

1 12 592

3 ⋅2

8 32 592 ⋅3 ⋅8

3 ⋅2= 10 368

75 Las 45 farolas de una calle consumen 32 € funcionando durante 8 h. Cuando llega el invierno, hay que aumentar a 11 el número de horas encendidas; además, se funden las bombillas de 5 farolas. ¿Cuánto dinero consumirán las restantes? Directa Directa

N.º de farolas Gasto (€) N.º de horas

45 32 8

132

45 ⋅81

4032 ⋅11⋅ 40

45 ⋅8= 39,11 11



76 Todos los años, la clase de 2.º de ESO de un centro escolar realiza una excursión de 3 días para recorrer una ruta verde de 82 km andando cada día 5 h. Este año se ha decidido cambiar a una ruta de 120 km y dedicar un día más. ¿Cuántas horas durará la caminata cada día? Directa Inversa

N.º de días N.º de kilómetros N.º de horas

3 82 5

1 15 ⋅3

82

4 1205 ⋅3 ⋅120

82 ⋅ 4= 5,49

77 Para pintar un edificio, 3 pintores dedican 2 h diarias durante 10 días. ¿Cuántas horas al día se necesitarían para pintar el mismo edificio en solo 2 días pero con 5 pintores? Inversa Inversa

N.º de pintores N.º de horas N.º de días

3 2 5

1 2 ⋅ 3 ⋅ 10 1

52 ⋅3 ⋅10

5 ⋅2= 6 2

78 Copia y completa la siguiente tabla.

Significado Porcentaje Razón N.º decimal Significado Porcentaje Razón N.º decimal

2 de cada 5 40 %2

50,4 2 de cada 25 8 %

28

3500,08

1 de cada 200 0,5 %1

2000,005 177 de cada 500 35,4 %

177

5000,354

79 Escribe la expresión decimal de los siguientes porcentajes.

a) 12,5 % b) 3 % c) 30,8 % d) 25,2 % e) 0,6 % f) 80,08 %

a) 0,125 b) 0,03 c) 0,308 d) 0,252 e) 0,006 f) 0,800880 Calcula estos porcentajes.

a) El 2 % de 560. b) El 10,2 % de 450. c) El 62,5 % de 400. d) El 80,4 % de 600.

a) 560 ⋅ 0,02 = 11,2 b) 450 ⋅ 0,102 = 45,9 c) 400 ⋅ 0,625 = 250 d) 600 ⋅ 0,804 = 482,481 Copia la tabla y complétala calculando los datos que faltan.


1 450407,45

1450= 0,281→ 28,1 % 407,45

146,25

0,325= 450 32,5 % 146,25

700336

700= 0,48 → 48 % 336

35,7 55 % 35,7 ⋅ 0,55 = 19,635

200

0,005= 40000 0,5 % 200

205 48,2 % 205 ⋅ 0,482 = 98,81

199



82 Tres cuartos de los alumnos de una clase de 2.º de ESO se han apuntado a una excursión para esquiar en alta montaña. Si van 15 alumnos a esquiar, ¿cuántos alumnos hay en la clase? Tres cuartos equivale al 75 % luego se tiene que:

Total ⋅ 0,75 = 15 → Total = 15

0,75 = 20 alumnos

83 El gráfico muestra el resultado de un estudio estadístico sobre cómo realizan el transporte a su trabajo los habitantes de cierta localidad.

Si la encuesta se realizó a 1 250 personas:

a) ¿Cuántas contestaron que realizan el trayecto a pie o en bici?

b) ¿Cuántas contestaron que en autobús o tren?

c) ¿Cuántas aseguraron que no van en vehículo privado?

a) 1 250 ⋅ 0,22 = 275 personas

b) Autobús o tren suman el 28 %.

1 250 ⋅ 0,28 = 350 personas

c) 1 250 ⋅ 0,3 = 375 personas van en vehículo privado luego 1 250 − 375 = 875 personas no van en vehículo privado.84 En la elección de delegado, Amanda ha obtenido 7 votos, Raquel 12 y Manuel 9. ¿Cuál es el porcentaje de votos de Ra-

quel?

El total de votos son 7 + 12 + 9 = 28 votos, el porcentaje de votos de Raquel es:

28 ⋅ Porcentaje = 12 → Porcentaje = 12

28 = 0,43 → 43 %

85 El entrenador de un equipo de baloncesto tiene que calcular los porcentajes de tiro de su quinteto inicial para analizar el partido.

Puesto 1 Puesto 2 Puesto 3 Puesto 4 Puesto 5

Canastas intentadas 10 18 7 9 12

Canastas acertadas 4 12 5 6 10

¿Qué jugador tiene mejor porcentaje de tiro?

Calculamos el porcentaje de tiro de cada jugador.

Puesto 1 Puesto 2 Puesto 3 Puesto 4 Puesto 5

Porcentaje4

10= 0,4 → 40 %

12

18= 0,67 → 67 %

5

7= 0,71→ 71%

6

9= 0,67 → 67 %

10

12= 0,83 → 83 %

El jugador con mayor porcentaje de tiro es el del puesto 5 con un 83 %.86 Un pintor ha gastado el 25 % de la pintura por la mañana y un 40 % del resto por la tarde.

a) ¿Qué porcentaje de pintura ha empleado ese día?

b) Si tenía 25 L de pintura, ¿cuánta le queda para el día siguiente?

a) Por la mañana le queda el 75 %, y de esto, le queda por la tarde el 60 %.

Luego al finalizar el día le queda: 0,75 ⋅ 0,6 = 0,45 → 45 % y ha gastado el 55 %.

b) (25 ⋅ 0,75) ⋅ 0,6 = 25 ⋅ 0,45 = 11,25

Por tanto, le quedan 11,25 L de pintura.87 El 80 % de los participantes en un congreso habla inglés perfectamente, y de estos, el 25 % son hombres. Si en el con-

greso hay 308 hombres que saben hablar inglés, ¿cuántos participantes tiene el congreso?

(Total ⋅ 0,80) ⋅ 0,25 = 308 → Total ⋅ 0,2 = 308 → Total = 308

0,2 = 1 540 participantes

22 %

30 %8 %

4 %

24 %

12 %A pie/en bicicletaVehículo privadoTaxiTrenAutobúsOtros



88 Realiza estas variaciones porcentuales.

a) Un aumento del 12 % a 450. c) Un descuento del 42,7 % a 5 000.

b) Una rebaja del 4,5 % a 1 200. d) Un incremento del 95 % a 140.

a) 450 ⋅ 1,12 = 504 b) 1 200 ⋅ 0,955 = 1 146 c) 5 000 ⋅ 0,573 = 2 865 d) 140 ⋅ 1,95 = 27389 Una tienda de electrodomésticos tiene dos televisores de similares características: uno cuesta 560 €, y el otro tiene un

precio de 652 €, pero se le aplica un descuento del 15 %. ¿Qué televisor resulta más barato?

El televisor de 652 € cuesta con el descuento 652 ⋅ 0,85 = 554,20 €

Luego resulta más barato que el que cuesta 560 €.90 La cosecha de aceitunas de este año ha sido mala, y el precio del aceite de oliva se va a incrementar en un 14 %. Si ahora

se está vendiendo a 3,75 € el litro, ¿cuánto costará después de la subida?

3,75 ⋅ 1,14 = 4,275 → 4,28 €91 En una tienda tienen rebajados todos los artículos un 22 %. Una camisa marcaba 32 € antes de las rebajas y ahora cuesta

26,50 €. ¿Está bien hecho el descuento? En caso contrario, ¿cuánto debería costar la camiseta?

Calculamos el precio con el descuento.

32 ⋅ 0,78 = 24,96 No está bien etiquetada, debería marcar 24,96 €.92 Después de subir un artículo un 6 %, vale 47,70 €. ¿Cuánto costaba antes de la subida?

Total ⋅ 1,06 = 47,70 → Total = 47,70

1,06 = 45 €

93 A Javier le han descontado un 15 % de su sueldo. ¿Qué porcentaje le tendrían que aumentar para volver a ganar lo mismo?

Si llamamos x al sueldo de Javier, el sueldo reducido un 15 % sería 0,85x.

0,85x ⋅ porcentaje = x → Porcentaje = x

0,85 x=

1

0,85 = 1,1765…

Le tendrían que aumentar aproximadamente el 18 %.94 Si a una cantidad le aumentan el 12 % y después le disminuyen el 35 %, ¿en qué porcentaje ha variado?

Cantidad ⋅ 1,12 ⋅ 0,65 = Cantidad ⋅ 0,728 → 72,8 %

Luego se ha rebajado un 100 − 72,8 = 27,2 %.95 En una tienda en rebajas puede verse este cartel:

Si esta silla de oficina ha tenido dos rebajas, una del 10 % y otra del 25 %, ¿cuánto costaba antes de las dos rebajas?

Total ⋅ 0,9 ⋅ 0,75 = 81 → Total = 81

0,9 ⋅0,75=

81

0,675 = 120 €

96 Un alumno ve incrementada su nota en un 15 % por el trabajo realizado durante toda la evaluación. ¿Qué nota debe tener para que le suban a un 7?

Total ⋅ 1,15 = 7 → Total = 7

1,15 = 6,09

201



Matemáticas vivas. Eficiencia energética

6 MATEMÁTICAS VIVAS 6Eficiencia energética

130 131

En cualquiera de nuestros hogares, los electrodomésticos son de uso común.

Al ir a comprar uno de ellos, la eficiencia energética es fundamental a la hora de elegir un modelo u otro.

Desde no hace mucho tiempo, algunos electrodomésticos, en particular los frigoríficos, deben tener la llamada etiqueta energética.

Esta etiqueta nos permite conocer de forma rápida y clara cuán eficiente es el electrodoméstico en cuestión. Cuánto más lo sea, mayor será también el ahorro de energía: un menor consumo que se traduce en un mayor ahorro económico.

RELACIONA

Un frigorífico de clase A consume 340 kWh al año, un 45 % menos que uno de la clase D y un 60 % menos que uno de la clase G.

a. Calcula la diferencia de consumo entre el frigorífico de la clase A y el de la clase D, y entre el de la clase A y el de la clase G.entre el de la clase A y el de la clase G.

UTILIZA EL LENGUAJE MATEMÁTICO

b. Si suponemos que 1 kWh cuesta 10 CENT, calcula el ahorro que supone comprar uno de la clase A frente a uno de la clase D cada año. ¿Y cuánto sería el ahorro frente a uno de la clase G?

El frigorífico de Hugo es de la clase E y consume 650 kWh. Como se trata de un modelo poco eficiente, va a cambiarlo y quiere informarse sobre cuál sería el consumo de aparatos de otras clases energéticas.

a. ¿Cuánto consumiría un frigorífico de la clase A++?

b. ¿Puede estar clasificado como A un frigorífico que tiene un consumo de 480 kWh?que tiene un consumo de 480 kWh?

ARGUMENTA

c. ¿Cuánto debe consumir un frigorífico para poder clasificarlo en la categoría menos eficiente?

3

4

COMPRENDE

La clasificación energética establece un porcentaje sobre el consumo medio del electrodoméstico. Observa este gráfico sobre el consumo de cada categoría energética.

A++MÁS EFICIENTE

MENOS EFICIENTE

A+

A

B

C

D

E

F

G

Consumo de energía inferior al 30 % de la media

Entre el 30 % y el 42 %







Superior al 125 %

a. ¿Qué clasificación tiene un electrodoméstico que consume el 62 % de la media? que consume el 62 % de la media?

COMUNICA

b. ¿Y uno que consume el 105,7 % de la media?

Si la media de consumo de un frigorífico se establece en 680 kWh al año.

a. ¿Cuánto gasta un frigorífico de clase D con un consumo del 92 % de la media?

b. ¿Y cuánto gasta uno de clase A++ con un consumo del 26% de la media?

RESUELVE

1

2

REFLEXIONA

Suponiendo que el consumo medio de un frigorífico es de 10 348 kWh en 15 años, que es el tiempo medio de vida de estos aparatos, copia y completa los datos de esta tabla en tu cuaderno.

En el siguiente gráfico se resumen los resultados de un estudio sobre el ahorro de los frigoríficos según su clase energética.

•

•

•

•

•

•

900800700600500400300200100

0

9080706050403020100

Clase C Clase B Clase A Clase A+ Clase A++ Clase A+++

646

507

374299

224149

90

71

52

42

3121

Consumo (kWh/año)Coste económico anual (€)•

Consumo (kWh/año) Coste (€)

Supongamos que el coste de un frigorífico de cada clase energética es el que muestra la tabla.

Clase A+++ Clase A++ Clase A+ Clase A Clase B Clase C

730 € 693 € 660 € 453 € 430 € 409 €

Realiza una tabla en la que se refleje el tiempo necesario para recuperar la inversión hecha en cada frigorífico de una clasificación energética superior.

5

6

medio de vida de estos aparatos, copia y completa los datos de esta tabla en tu cuaderno.REPRESENTA

¿Cuánto consumiría un frigorífico de la

PIENSA Y RAZONA

de una clasificación energética superior.

RESUELVE

TRABAJO

COOPERATIVO

TAREAAveriguad qué otros artículos tienen también etiquetas de eficiencia energética. Investigad sobre estas clasificaciones y las diferentes formas de ahorro energético que existen en la actualidad.


En esta sección trabajamos de un modo más concreto las competencias, en particular la competencia matemática. Se presenta una situación cotidiana, la eficacia energética, en la que intervienen los porcentajes.

En la resolución de diferentes actividades de comprensión, relación y reflexión, los alumnos desarrollarán algunas de las com-petencias matemáticas evaluadas por el estudio PISA: Comunica, Resuelve, Utiliza el lenguaje matemático, Piensa y razona, Argumenta o Representa.

Para finalizar la sección se incluye el apartado Trabajo cooperativo donde se propone una tarea cuya estrategia cooperativa es Búsqueda de información, de Mel Silberman.

Los alumnos buscarán qué artículos tienen etiquetas de eficiencia energética, además de los que se citan en las actividades anteriores. Además, investigarán sobre las clasificaciones y diferentes formas de ahorro energético que existen hoy en día.

¿Cómo se realizará la tarea? Los alumnos realizarán la tarea en pequeños grupos y, finalmente, examinarán sus respuestas con el resto de la clase, y las elaborarán para ampliar los resultados.

Soluciones de las actividades

En cualquiera de nuestros hogares, los electrodomésticos son de uso común.

Al ir a comprar uno de ellos, la eficiencia energética es fundamental a la hora de elegir un modelo u otro.

Desde no hace mucho tiempo, algunos electrodomésticos, en particular los frigoríficos, deben tener la llamada etiqueta ener-gética.

Esta etiqueta nos permite conocer de forma rápida y clara cuán eficiente es el electrodoméstico en cuestión. Cuánto más lo sea, mayor será también el ahorro de energía: un menor consumo que se traduce en un mayor ahorro económico.



Comprende1 La clasificación energética establece un porcentaje sobre el consumo

medio del electrodoméstico.

Observa este gráfico sobre el consumo de cada categoría energética.

a) ¿Qué clasificación energética tiene un electrodoméstico que consu-me el 62 % de la media?

b) ¿Y uno que consume el 105,7 % de la media?

a) La B.

b) La E.2 Si la media de consumo de un frigorífico se establece en 680 kWh al año.

a) ¿Cuánto gasta un frigorífico de clase D con un consumo del 92 % de la media?

b) ¿Y cuánto gasta uno de clase A++ con un consumo del 26 % de la media?

a) 680 ⋅ 0,92 = 625,6 kWh

b) 680 ⋅ 0,26 = 176,8 kWh

Relaciona3 Un frigorífico de clase A consume 340 kWh al año, un 45 % menos que uno de la clase D y un 60 % menos que uno de

la clase G.

a) Calcula la diferencia de consumo entre el frigorífico de la clase A y el de la clase D, y entre el de la clase A y el de la clase G.

b) Si suponemos que 1 kWh cuesta 10 cent, calcula el ahorro que supone comprar uno de la clase A frente a uno de la clase D cada año. ¿Y cuánto sería el ahorro frente a uno de la clase G?

a) Clase D: Total ⋅ 0,55 = 340 → Total = 340

0,55 = 618,18 kWh

Clase G: Total ⋅ 0,40 = 340 → Total = 340

0,4 = 850 kWh

b) Clase A frente a clase D: 618,18 − 340 = 278,18 kWh → 278,18 ⋅ 10 = 2 781,8 cent = 27,18 €

Clase A frente a clase G: 850 − 340 = 510 kWh → 510 ⋅ 10 = 5100 cent = 51 €4 El frigorífico de Hugo es de la clase E y consume 650 kWh. Como se trata de un modelo poco eficiente, va a cambiarlo y

quiere informarse sobre cuál sería el consumo de aparatos de otras clases energéticas.

a) ¿Cuánto consumiría un frigorífico de la clase A++?

b) ¿Puede estar clasificado como A un frigorífico que tiene un consumo de 480 kWh?

c) Cuánto debe consumir un frigorífico para poder clasificarlo en la categoría menos eficiente.

Tomamos como consumo medio 620 kWh, de tal manera que sea coherente que consumiendo 650 kWh sea de la clase E, pues: 650/620 ≈ 1,05

a) Consume menos del 30 %, es decir menos que: 620 ⋅ 0,3 = 186 kWh

b) Un frigorífico de la clase A tiene que consumir entre el 42 % y el 55 %.

620 ⋅ 0,42 = 260,4 kWh 620 ⋅ 0,55 = 341 kWh

Luego con un consumo de 480 kWh no puede tener calificación A.

c) Tiene que ser superior al 125 %, es decir más que: 620 ⋅ 1,25 = 775 kWh

A++MÁS EFICIENTE

MENOS EFICIENTE

A+

A

B

C

D

E

F

G

Consumo de energía inferior al 30 % de la media








Superior al 125 %

203



Reflexiona5 Suponiendo que el consumo medio de un frigorífico es de 10 348 kWh en 15 años, que es el tiempo medio de vida de

estos aparatos, copia y completa los datos de esta tabla en tu cuaderno.

Consumo de energía en 15 años (kWh)

Coste económico en 15 años (euros)

Ahorro al sustituirlo por una de clase A+++ (euros)

A++ 25 % 2 587 259 0

A+ 35 % 3 621,8 362 103,5

A 46 % 4 760,08 476 217,35

B 70 % 7 243,6 726 465,75

C 80 % 8 278,4 828 569,25

D 94 % 9 727,12 973 714,15

E 100 % 10 348 1 035 776,25

F 114 % 11 796,72 1 180 921,15

G 140 % 14 487,20 1 448 1 190,25

6 En el siguiente gráfico se resumen los resultados de un estudio sobre el ahorro de los frigoríficos según su clase energética.

•

•

•

•

•

•

900800700600500400300200100

0

9080706050403020100

Clase C Clase B Clase A Clase A+ Clase A++ Clase A+++

646

507

374299

224149

90

71

52

42

3121

Consumo (kWh/año)Coste económico anual (€)•

Consumo (kWh/año) Coste (€)

Supongamos que el coste de un frigorífico de cada clase energética es el que muestra la tabla.

Clase A+++ Clase A++ Clase A+ Clase A Clase B Clase C

730 € 693 € 660 € 453 € 430 € 409 €

Realiza una tabla en la que se refleje el tiempo necesario para recuperar la inversión hecha en cada frigorífico de una clasificación energética superior.



A++ A+ A B C

A+++730 − 693 = 37€

31 − 21 = 10 €/año

3,7 años

730 − 660 = 70 €

42 − 21 = 21 €/año

3,3 años

730 − 453 = 277 €

52 − 21 = 31 €/año

8,9 años

730 − 430 = 300 €

71 − 21 = 50 €/año

6 años

730 − 409 = 321€

90 − 21 = 69 €/año

4,7 años

A++693 − 660 = 33 €

42 − 31 = 11 €/año

3 años

693 − 453 = 240

52 − 31 = 21 €/año

11,4 años

693 − 430 = 263 €

71 − 31 = 40 €/año

6,6 años

693 − 409 = 284 €

90 − 31 = 59 €/año

4,8 años

A+660 − 453 = 207 €

52 − 42 = 10 €/año

20,7 años

660 − 430 = 230€

71 − 42 = 29 €/año

7,9 años

660 − 409 = 251 €

90 − 42 = 48 €/año

5,2 años

A

453 − 430 = 23

71 − 52 = 19 €/año

1,2 años

453 − 409 = 44

90 − 52 = 38 €/año

1,2 años

B

430 − 409 = 21

90 − 71 = 19 €/año

1,1 años

Trabajo cooperativo

TAREAAveriguad qué otros artículos tienen también etiquetas de eficiencia energética. Investigad sobre estas clasificaciones y las diferentes formas de ahorro energético que existen en la actualidad.

Respuesta abierta.

205



132


Si se depositan en el banco 6 000 € a 2,5 % de interés simple, al cabo de un tiempo el banco devuelve unos intereses que dependen del tiempo que el dinero esté en depósito.

Tiempo Interés Capital final

1 año 2,5 % de 6 000 = 6 000 ⋅ 0,025 = 150 6 000 + 150 = 6 150 €

2 años 2 ⋅ (2,5 % de 6 000) = 2 ⋅ (6 000 ⋅ 0,025) = 300 600 + 300 = 6 300 €

10 años 10 ⋅ (2,5% de 6 000) = 10 ⋅ (6 000 ⋅ 0,025) = 1 500 6 000 + 1 500 = 7 500 €

6 000

C C + C · r · 1

6 150

1 añoC + C · r · 2

6 300

2 añosC + C · r · 10

7 500

210 añosC + C · r · t

t años

Si el tiempo, t, se expresa en meses o en días, se utilizan las fracciones t

12o

t

360.

❚ Un capital de 5 000 € de interés al 1,8 % durante 5 meses.

Capital fi nal = 5 000 + 5 000 ⋅ 0,018 ⋅ 5

12 = 5 000 + 37,5 = 5 037,50 €

❚ Un capital de 9 000 € al 2,4 % de interés durante 140 días.

Capital fi nal = 9 000 + 9 000 ⋅ 0,024 ⋅ 140

360 = 9 000 + 8,4 = 9 008,4 €

AVANZA Interés simple

A1. Indica en cada caso el interés al que han estado 100 € en un banco durante un año si al fi nal había el siguiente dinero en la cuenta.

a) 101,60 € b) 109,50 € c) 125,60 €

A2. Calcula el capital fi nal en que se convertirán 10 000 € al 1,5 % de interés durante:

a) 3 años c) 5 años c) 12 años

A3. Determina cuál es el capital fi nal en el que se convertirán 1 000 € al 3,2 % durante los siguientes períodos de tiempo.

a) 280 días b) 400 días c) 8 meses

A4. Un capital de 6 000 € se ha convertido al 3% de interés en 6 900 €. ¿Cuántos años ha estado depositado en el banco el dinero?

PORCENTAJES CRÍTICOS Psicología de los aumentos porcentuales

Muchas empresas ofrecen descuentos aparentemente diferentes en sus productos y que realmente son iguales, pero al consumidor le atrae más uno que el otro. Observa estas ofertas.

Aunque ambas ofertas son económicamente iguales la mayoría de los consumidores eligen la primera porque parece que se obtiene más cantidad por el mismo precio.

PC1. Analiza cuál de las siguientes ofertas es la más adecuada para el consumidor.

Términos bancarios

❚ Capital: dinero que se deposita en el banco.

❚ Tipo de interés o rédito: dinero que paga al año el banco por 100 €.

❚ Tiempo: número de años que el capital está en el banco.

❚ Interés simple: cuando en el capital se retira al final de cada período.

❚ Oferta 1 1,30 : 2,5 = 0,52 €/L

❚ Oferta 2 1,39 · 0,75 = 1,04 € por los dos litros 1,04 : 2 = 0,52 €/L


En la sección Avanza de esta unidad se introduce el interés simple como aplicación de la proporcionalidad.

Su aplicación y utilidad en la vida cotidiana se trabajará con mayor profundidad en cursos superiores.


A1. Indica en cada caso el interés al que han estado 100 € en un banco durante un año si al final había el siguien-te dinero en la cuenta.

a) 101,60 € b) 109,50 € c) 125,60 €

a) 1,6 % b) 9,5 % c) 25,6 %

A2. Calcula el capital final en que se convertirán 10 000 € al 1,5 % de interés durante:

a) 3 años b) 5 años c) 12 años

a) Capital final = 10 000 + 10 000 ⋅ 0,015 ⋅ 3 = 10 450 €

b) Capital final = 10 000 + 10 000 ⋅ 0,015 ⋅ 5 = 10 750 €

c) Capital final = 10 000 + 10 000 ⋅ 0,015 ⋅ 12 = 11 800 €

A3. Determina cuál es el capital final en el que se converti-rán 1 000 € al 3,2 % durante los siguientes períodos de tiempo.

a) 280 días b) 400 días c) 8 meses

a) 1 000 + 1 000 ⋅ 0,032 ⋅ 280

360 = 1 024,89 € c) 1 000 + 1 000 ⋅ 0,032 ⋅

8

12 = 1 021,33 €

b) 1 000 + 1 000 ⋅ 0,032 ⋅ 400

360 = 1 035,56 €

A4. Un capital de 6 000 € se ha convertido al 3 % de interés en 6 900 €. ¿Cuántos años ha estado depositado en el banco el dinero?

6 900 = 6 000 + 6 000 ⋅ 0,03 ⋅ t → 900 = 180t → t = 900

180 = 5 años

Porcentajes críticos. Psicología de los aumentos porcentualesSugerencias didácticas

Para finalizar la unidad se analizan de modo crítico diferentes descuentos aplicados a productos para ser capaces de decidir cuáles son los más adecuados.


PC1. Analiza cuál de las siguientes ofertas es la más adecuada para el consumidor.

El descuento por unidad en las tres ofertas resulta ser el mismo, una chocolatina cuesta el 75 % de su valor. Sin em-bargo, en la primera oferta tenemos que comprar 4 chocolatinas, en la segunda 2 chocolatinas y para la última oferta solo necesitamos comprar una chocolatina. Por tanto, la más adecuada para el consumidor sería la última porque para conseguir el descuento puede comprar cualquier cantidad.

Avanza. Interés simple



1. Averigua si las dos magnitudes de la tabla se relacionan de forma directa o inversamente proporcional.

a) Magnitud A 12 18 9 b) Magnitud A 2 6 3


a) Son inversamente proporcionales, y se mantienen constantes los productos.

12 ⋅ 3 = 18 ⋅ 2 = 9 ⋅ 4 = 36

b) Son directamente proporcionales, y la razón se mantiene constante.

2

3=

6

9=

3

4,5

2. Marta ha comprado 3,5 kilos de manzanas por 4,20 €. Si María ha comprado el mismo tipo de manzanas por 3,36 €, ¿cuántos kilos ha comprado?

Las magnitudes son directamente proporcionales y la razón se mantiene constante.

3,5

4,2=

x

3,36→ x =

3,5 ⋅3,36

4,2= 2,8

Ha comprado 2,8 kg de manzanas.

3. En un carpintería con 3 carpinteros en 2 días han fabricado 10 mesas. ¿Cuántos días son necesarios para que 2 carpinteros hagan 30 mesas?

Inversa Directa

N.º de carpinteros N.º de días N.º de mesas

3 2 10

12 ⋅3

101

22 ⋅3 ⋅30

10 ⋅2= 9 30

4. Marcos ha contestado bien el 65 % de las actividades de un test. Si el test tiene 120 preguntras, ¿cuántas preguntas ha contestado mal?

Ha contestado mal 100 − 65 = 35 % de las preguntas.

120 ⋅ 0,35 = 42

Ha contestado mal a 42 preguntas.

5. En la publicidad de una tienda dice que todos los artículos que superen los 100 € serán rebajados en un 12 %. ¿Cuánto costará un artículo que marca 155 €?

155 ⋅ 0,88 = 136,4

El artículo costará 136,40 €.

PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA A

207



1. Averigua los datos que faltan para que las magnitudes de la tabla se relacione como se indica en cada caso.

a) Directamente proporcional. b) Inversamente proporcional.

Magnitud A 8 a 10 Magnitud A 6 12 b

Magnitud B 12 9 b Magnitud B 8 a 24

a) Como son directamente proporcionales se mantienen constantes los cocientes.

8

12=a

9=

10

b→

8

12=a

9→ a =

8 ⋅9

12= 6

8

12=

10

b→ b =

10 ⋅12

8= 15

b) Como son inversamente proporcionales se mantienen constantes los productos.

6 ⋅8 = 12 ⋅ a = b ⋅24 →6 ⋅8 = 12 ⋅ a → a =

6 ⋅8

12= 4

6 ⋅8 = b ⋅24 → b =6 ⋅8

24= 2

2. Javier tiene una explotación agrícola. Entre 24 trabajadores tardan 10 días en recoger la cosecha. Si necesita recogerlas en 6 días, ¿cuántos trabajadores más debe contratar?

Las magnitudes número de trabajadores y número de días trabajados son inversamente proporcionales y se mantienen constantes los productos. Luego se tiene que:

24 ⋅ 10 = 6 ⋅ x → x =24 ⋅10

6 = 40

Necesitaría disponer de 40 trabajadores, esto es, 16 trabajadores más.

3. En una pastelería industrial trabajando 8 horas diarias, han necesitado 5 días para fabricar 1 000 magdalenas. ¿Cuántos días tardarán en hacer 4 500 magdalenas trabajando 10 horas diarias?

Inversa Directa

N.º de horas N.º de días N.º de magdalenas

8 5 1 000

15 ⋅8

10001

105 ⋅8 ⋅ 4500

1000 ⋅10= 18 4 500

4. En una clase de 32 alumnos, 24 de ellos han realizado una actividad extraescolar. ¿Qué porcentaje de alumnos no ha participado en la actividad?

Como son 32 alumnos, si 24 participan en la actividad 8 alumnos no la realizan.

32 ⋅ x = 8 → x =8

32= 0,25

No han realizado la actividad un 25 % de los alumnos de la clase.

5. Debido a las rebajas una camisa ha pasado de costar 35,80 € a 28,64 €. ¿Qué porcentaje han rebajado la camisa?

35,80 ⋅ x = 28,64 → x =28,64

35,80 = 0,8

Luego han rebajado la camisa un 20 %.

PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA B

6 Proporcionalidad numérica 6 PROPORCIONALIDAD … · 2018-05-08 · los descuentos de las rebajas...

Documents

Transcript of 6 Proporcionalidad numérica 6 PROPORCIONALIDAD … · 2018-05-08 · los descuentos de las rebajas...