6 niciacin a ea 6 INICIACIÓN AL ÁLGEBRA · se formaliza el concepto de ecuación así como el de...

6 Iniciación al Álgebra

166Unidades didácticas Matemáticas 1.º ESO

Esta unidad inicia los contenidos de Álgebra que van a aprender los alumnos. En cada curso estos contenidos irán tomando mayor presen-cia, reduciéndose los relacionados con números. Esta unidad es muy importante pues es la primera vez que se enfrentan con el álgebra y es necesario construir una buena base y que los contenidos queden lo suficientemente claros para retomarlos el próximo curso.

La primera parte de la unidad se centra en las expresiones algebraicas comenzando por las más sencillas, los monomios. Una vez formalizado el concepto de monomio se pasa a realizar operaciones con ellos. La segunda parte se centra en el estudio de ecuaciones. En un primer epígrafe se formaliza el concepto de ecuación así como el de solución, y el segundo se centra en la resolución de ecuaciones sencillas.

La metodología debe permitir a los alumnos el desarrollo y adquisición de la competencia matemática y también del resto de competencias clave. Por esta razón, se presentan en la unidad secciones en las que cobra importancia el trabajo de dichas competencias.

Comunicación lingüística (CL) Es la protagonista de la sección Lee y comprende las matemáticas en la que se trabaja la comprensión lectora partiendo de artículos relacio-nados con el álgebra.

Competencia digital (CD)Se integra a lo largo de la unidad haciendo partícipes a los alumnos de las ventajas que tiene recurrir a los medios informáticos para compren-der determinados contenidos relacionados con el álgebra.

Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT)Se desarrolla a lo largo de toda la unidad y especialmente en la sección Matemáticas vivas donde, partiendo de una situación cotidiana como es el análisis de los engranajes de un reloj o de una bicicleta, los alumnos profundizarán en las aplicaciones del álgebra.

Competencias sociales y cívicas (CSC)La consideración de distintas implicaciones en el tema de estudio contribuye a su preparación como ciudadanos informados.

Competencia aprender a aprender (CAA)En toda la unidad se considera la necesidad de potenciar en los alumnos su espíritu crítico potenciando el pensamiento creativo. La puesta en común de los distintos trabajos constituye una ocasión para la integración de conocimientos adquiridos por distintas vías así como para el análisis y la comparación de distintas formas de abordar un mismo objetivo.

Competencia sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (CSIEE)La unidad contiene un gran número de problemas y la resolución de los mismos contribuye a fomentar la autonomía e iniciativa personal, porque se utilizan para planificar estrategias, asumir retos y contribuyen a convivir con la incertidumbre, controlando al mismo tiempo los procesos de toma de decisiones. Se desarrolla especialmente en las últimas actividades de cada sección (Investiga o Desafío).

El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de tres semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos, ya que hay que tener en cuenta el tiempo necesario para la exposición de los trabajos.

ObjetivosLos objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son:

❚❚ Identificar pautas y regularidades en secuencias numéricas y geométricas.❚❚ Diferenciar lenguaje cotidiano, numérico y algebraico, y traducir expresiones del lenguaje cotidiano al algebraico.❚❚ Reconocer los monomios como expresiones algebraicas, y operar con ellos. ❚❚ Identificar los elementos principales de una ecuación y conocer el concepto de solución de una ecuación.❚❚ Hallar ecuaciones equivalentes a una dada y resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita.❚❚ Comprender y resolver problemas en los que es necesario el uso de ecuaciones.❚❚ Realizar una tarea de trabajo cooperativo utilizando las ecuaciones.

INICIACIÓN AL ÁLGEBRA6

167

6Iniciación al Álgebra

Unidades didácticas Matemáticas 1.º ESO

Atención a la diversidadCon el fin de atender los distintos ritmos de aprendizaje de los alumnos, se proponen, algunas actividades de refuerzo y de ampliación que podrán utilizarse como alternativa o complemento a las que figuran en el libro del alumno. Se establecen actividades diferenciadas a modo de fichas de trabajo que pueden servir como adaptación curricular para los casos en que fuera necesario.

Material complementarioEn el material complementario Comprende y resuelve problemas se proponen actividades para trabajar la comprensión y la resolución de problemas relacionadas con el estudio de las ecuaciones.

Por otra parte, el material complementario Practica+ cuenta con un repaso de los contenidos y procedimientos estudiados sobre ecuaciones y se proponen nuevas actividades para repasar y afianzar dichos contenidos.

Además, para ayudar a los alumnos a comprender y practicar conceptos relacionados con las ecuaciones pueden acceder a las lecciones 1033, 1154, 1158, 1179, 1182 y 1187 de la web www.mismates.es.

P R O G R A M A C I Ó N D E L A U N I D A D

Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluablesRelación de

actividades del libro del alumno

Competencias clave

Pautas y regularidades

1. Analizar procesos numéricos cambiantes, identificando los patrones y leyes generales que los rigen.

1.1. Identifica propiedades y leyes generales a partir del estudio de procesos numéricos recurrentes o cambiantes.1.2. Describe situaciones que dependen de secuencias lógicas o regularidades.

1-368, 69

4, 570-72

CMCTCLCSCCAACSIEE

Del lenguaje cotidiano al algebraico

2. Utilizar el lenguaje algebraico para expresarlos, comunicarlos, y realizar predicciones sobre su comportamiento al modificar las variables.

2.1. Describe situaciones o enunciados que dependen de cantidades variables o desconocidas, mediante expresiones algebraicas.2.2. Identifica propiedades y leyes generales a partir del estudio de procesos numéricos recurrentes o cambiantes y las expresa mediante el lenguaje algebraico.2.3. Realiza predicciones sobre el comportamiento de expresiones algebraicas al modificar el valor de las variables.2.4. Identifica monomios y los emplea adecuadamente para resolver problemas cotidianos contextualizados.

8-13

6, 773-75

14, 1576, 77

16-1878-80

CMCTCLCSCCAA CSIEE

Expresiones algebraicasMonomios

Suma y resta de monomios

3. Operar con monomios.

4. Utilizar las operaciones con monomios para resolver problemas relacionados con la vida cotidiana.

3.1. Elige la forma de cálculo apropiada utilizando diferentes estrategias que permitan simplificar operaciones con monomios.3.2. Opera con monomios utilizando la jerarquía de las operaciones, medios tecnológicos o estrategias de cálculo mental.4.1. Emplea adecuadamente las operaciones con monomios para resolver problemas cotidianos contextualizados.

19-23, 25, 2628-36, 81-91

2492

27, 37Matemáticas vivas 1, 2, 4

CMCTCDCLCSCCAA CSIEE

Multiplicación y división de monomiosMultiplicar monomiosMultiplicar un número por una suma o resta de monomiosDividir monomios

EcuacionesElementosSoluciones

5. Reconocer identidades y ecuaciones e identificar los elementos y soluciones de una ecuación.

5.1. Reconoce identidades y ecuaciones. 5.2. Identifica los elementos de una ecuación.5.3. Comprueba, dada una ecuación, si un número es solución de la misma.

38, 4139, 40, 9342-4594

CMCTCLCSCCAA CSIEE

Ecuaciones de primer gradoRegla de la sumaRegla del producto

6. Utilizar el lenguaje algebraico para simbolizar y resolver problemas mediante el planteamiento de ecuaciones de primer grado, aplicando para su resolución métodos algebraicos o gráficos y contrastando los resultados obtenidos.

6.1. Formula algebraicamente una situación cotidiana mediante ecuaciones de primer grado. 6.2. Resuelve ecuaciones de primer grado utilizando las reglas de la suma y del producto, medios tecnológicos o de cálculo mental.6.3. Emplea adecuadamente el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado para resolver problemas cotidianos contextualizados.6.4. Interpreta y comprueba los resultados obtenidos al resolver ecuaciones de primer grado y problemas en los que intervienen estas.

55, 5610246-5395-101CM1-CM354, 57-66103-111Matemáticas vivas 367Trabajo cooperativo

CMCTCDCLCSCCAA CSIEE

MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDAD

2. Del lenguaje cotidiano al lenguaje algebraico

5. Multiplicación y división de monomios

• Multiplicar monomios • Dividir monomios

Lee y comprende las matemáticasEcuaciones cinematográficas • Análisis de una promoción de

entradas gratis

¿Qué tienes que saber? • Lenguaje algebraico • Valor numérico de una expresión

algebraica • Operaciones con monomios • Ecuaciones de primer grado con una

incógnita

Matemáticas vivasEngranajes • Estudio de los engranajes de un reloj

AvanzaEcuaciones con denominadores

Cálculo mentalEstrategia para resolver ecuaciones sencillas

PARA EL PROFESOR

MATERIAL COMPLEMENTARIO

PARA EL ALUMNO

Actividades de RefuerzoActividades de Ampliación

Propuesta de Evaluación APropuesta de Evaluación B

Presentación de la unidad Ideas previasRepasa lo que sabes

Matemáticas en el día a díaContenido WEB. Las primeras ecuaciones

1. Pautas y regularidades

4. Suma y resta de monomios

Vídeo. Multiplicación de monomios

Actividades interactivas

3. Expresiones algebraicas • Monomios

Vídeo. División de monomios

Vídeo. Ecuaciones de primer grado

6. Ecuaciones • Elementos de una ecuación • Soluciones de una ecuación

7. Ecuaciones de primer grado • Regla de la suma • Regla del producto

MisMates.esLecciones 1033, 1154, 1158, 1179, 1182 y 1187 de la web mismates.es

Practica+

Adaptación curricular

Comprende y resuelve problemas


Actividades finales

Trabajo cooperativoTarea cuya estrategia es Plantear el trabajo que se va a realizar, de Ferreiro Gravié

Unidades didácticas Matemáticas 1.º ESO168

169



Sugerencias didácticas

La unidad comienza con la idea de utilizar una letra para representar un número desconocido y realizar operaciones con esas letras.

La utilización de letras en lugar de números ya lo han traba-jado los alumnos, por ejemplo a la hora de escribir fórmulas como las de las áreas de figuras planas. Con esta idea se presenta en la entrada una serie de sellos que se dedicó a 10 fórmulas muy importantes para la sociedad.

Contenido web. LAS PRIMERAS ECUACIONES

Documento en el que se explica la aparición de las ecuaciones de primer grado en la antigua civilización egipcia y se introduce el método de la falsa posición para resolver ecuaciones lineales sencillas.

Se trata de un recurso que complementa la página de inicio de la unidad con información relativa al tema. Puede utilizarse para motivar a los alumnos antes de comenzar con los contenidos o como ampliación del mismo para aquellos alumnos que muestren un interés especial.

113

6 INICIACIÓN AL ÁLGEBRA

Existen situaciones en las que necesitamos representar un número desconocido por el momento. Para ello, lo sustituimos por una letra. Por ejemplo:

x

Cuando realizamos operaciones con esa letra, o lo que es lo mismo, con ese número desconocido, estamos utilizando lo que se conoce como lenguaje algebraico:

2 ⋅ x + 3

Encontramos lenguaje algebraico en los sitios más insospechados, por ejemplo en los sellos. En 1971, Nicaragua emitió Las 10 fórmulas matemáticas que cambiaron la faz de la Tierra, una serie postal que consiste en diez fórmulas en lenguaje algebraico cuyo significado se explica en el reverso de cada sello.

REPASA LO QUE SABES1. Aplica la propiedad distributiva y resuelve.

a) 3 ⋅ (5 + 2) b) 8 ⋅ (12 − 7) c) (−2) ⋅ (4 − 1)

2. Saca factor común en estas expresiones.

a) 4 ⋅ 3 + 4 ⋅ 5 b) 12 ⋅ 7 − 12 ⋅ 3 c) 8 ⋅ 3 − 5 ⋅ 3

3. Observa y aplica la operación inversa en cada caso.

3 + 2 = 5 → 3 = 5 − 2 3 ⋅ 2 = 6 → 3 = 6 : 2

8 − 6 = 2 → 8 = 2 + 6 8 : 4 = 2 → 8 = 2 ⋅ 4

a) 8 + 4 = 12 c) 5 ⋅ 2 = 10

b) 10 − 3 = 7 d) 15 : 3 = 5

Existen situaciones en las que necesitamos representar un número desconocido por el momento. Para ello, lo sustituimos por una letra. Por ejemplo:

Cuando realizamos operaciones con esa letra, o lo que es lo mismo, con ese número desconocido, estamos utilizando lo que se conoce como

Encontramos lenguaje algebraico en los sitios más insospechados, por ejemplo en los sellos. En 1971, Nicaragua emitió la Tierra, lenguaje algebraico cuyo significado se explica en el reverso de cada sello.

IDEAS PREVIAS

Los números enteros:

❚ Propiedad conmutativa,

asociativa y distributiva.

❚ Sacar factor común.

❚ Operaciones inversas:

suma y resta,

multiplicación

y división.

Hace más de 4 000 años, los egipcios ya resolvían ecuaciones de primer grado, en las que usaban la palabra aha, que significa montón, para designar una cantidad desconocida.

Matemáticas en el día a día ][ma1e22

Repasa lo que sabesSoluciones de las actividades

1. Aplica la propiedad distributiva y resuelve.

a) 3 ⋅ (5 + 2)

b) 8 ⋅ (12 − 7)

c) (−2) ⋅ (4 − 1)

a) 3 ⋅ 5 + 3 ⋅ 2 = 15 + 6 = 21

b) 8 ⋅ 12 − 8 ⋅ 7 = 96 + 56 = 40

c) −2 ⋅ 4 − (−2) ⋅ 1 = −8 + 2 = −6

2. Saca factor común en estas expresiones.

a) 4 ⋅ 3 + 4 ⋅ 5

b) 12 ⋅ 7 − 12 ⋅ 3

c) 8 ⋅ 3 − 5 ⋅ 3

a) 4 ⋅ (3 + 5) b) 12 ⋅ (7 − 3) c) (8 − 5) ⋅ 3

3. Observa y aplica la operación inversa en cada caso.

3 + 2 = 5 → 3 = 5 − 2 3 ⋅ 2 = 6 → 3 = 6 : 2

8 − 6 = 2 → 8 = 2 + 6 8 : 4 = 2 → 8 = 2 ⋅ 4

a) 8 + 4 = 12 c) 5 ⋅ 2 = 10

b) 10 − 3 = 7 d) 15 : 3 = 5

a) 8 = 12 − 4 c) 5 = 10 : 2

b) 10 = 7 + 3 d) 15 = 5 ⋅ 3



1. Pautas y regularidades

115

6Actividades6 Iniciación al Álgebra

114

Escribe el siguiente término de estas secuencias numéricas.a) 2, 4, 6, 8, … c) 3, 5, 7, 9, …b) 5, 10, 15, 20, … d) 10, 100, 1 000, 10 000, …

Observa y dibuja las dos figuras siguientes en tu cuaderno. Después, responde a las preguntas.

a) ¿Cuántos cuadrados tendrá la figura que ocupa la sexta posición?b) ¿Cuántos tendrá la figura que ocupa la décima posición?c) Si llamamos n a una posición cualquiera de las que puede ocupar la figura

en la secuencia, ¿cuántos cuadrados tendrá la figura en la posición n?

Responde a las preguntas de la actividad anterior en el caso de estas secuencias geométricas.

I 1 2 3 4

II 1 2 3 4

O

Observa esta tabla y contesta en tu cuaderno.

1 2 3 4 10 n

O O

a) ¿Cuántos cuadrados grises tendrá la figura 10? ¿Y la n?b) ¿Cuántos cuadrados azules tendrán las figuras anteriores?c) ¿Cuántos cuadrados tendrán esas figuras en total?

1

2

3

4

1. PAUTAS Y REGULARIDADES

Javier está construyendo triángulos con un juego de bolas y barras imantadas. Ha formado una serie como esta:

Nos fijamos en el número de triángulos de la serie, y en el número de bolas y barras que los forman:

N.º de triángulos 1 2 3 4

N.º de bolas 3 4 5 6

N.º de barras 3 5 7 9

Observamos las series y nos preguntamos qué regla de construcción siguen:

❚ Número de bolas: comenzamos con 3 bolas y para el siguiente triángulo necesitamos 1 bola más.

❚ Número de barras: comenzamos con 3 barras y para el siguiente triángulo necesitamos 2 barras más.

Una secuencia es una serie de números o figuras en la que cada elemento se puede conocer mediante una regla de construcción.

Para calcular un término cualquiera de una secuencia tenemos que tener en cuenta la posición que ocupa en ella (n). Así, en el ejemplo anterior resulta:

❚ Número de bolas: a cada número le corresponden 2 unidades más.

❚ Número de barras: a cada número le corresponde el doble, más 1 unidad.

Posición 1 2 3 n

N.º de bolas 1 + 2 2 + 2 3 + 2 n + 2

N.º de barras 2 ⋅ 1 + 1 2 ⋅ 2 + 1 2 ⋅ 3 + 1 2 ⋅ n + 1

Aprenderás a… ● Identificar pautas o regularidades en secuencias numéricas y geométricas.

Cuando queremos referirnos a un número cualquiera, solemos representarlo por la letra ene de número:

n

Lenguaje matemático

Una secuencia geométrica es una serie de figuras que siguen una regla de construcción.


DESAFÍOHay muchos test de inteligencia en los que aparecen secuencias de fichas de dominó y en los que hay que adivinar cuál será la siguiente. ¿Cuál de las opciones (A, B, C o D) corresponde a la ficha que falta en el ejemplo?

A B C D

5

Soluciones de las actividades1 Escribe el siguiente término de estas secuencias numéricas.

a) 2, 4, 6, 8, … b) 5, 10, 15, 20, … c) 3, 5, 7, 9, … d) 10, 100, 1 000, 10 000, …

a) 10 b) 25 c) 11 d) 100 0002 Observa y dibuja las dos figuras siguientes en tu cuaderno. Después, responde a las preguntas.

a) ¿Cuántos cuadrados tendrá la figura que ocupa la sexta posición?

b) ¿Cuántos tendrá la figura que ocupa la décima posición?

c) Si llamamos n a una posición cualquiera de las que puede ocupar la figura en la secuencia, ¿cuántos cuadrados tendrá la figura en la posición n?

Las siguiente figura corresponde a un cuadrado de 5 cuadraditos de lado, y la siguiente a uno de 6 cuadraditos de lado.

a) 62 = 36 cuadraditos b) 102 = 100 cuadraditos c) Tendrá n2 cuadraditos.


Este es el primer epígrafe del bloque de Álgebra que los alumnos van a ver. En él se pretende que los alumnos bus-quen regularidades en algunas situaciones para que sean capaces de obtener generalizaciones.

Conviene utilizar materiales manipulables, como el pro-puesto en el epígrafe o alguno similar, para que los alumnos puedan trabajar en el proceso de generalización. No todos ellos van a necesitar construir el mismo número de elemen-tos de la serie para llegar a la generalización.

171



3 Responde a las preguntas de la actividad anterior en el caso de estas secuencias geométricas.

I 1 2 3 4

II 1 2 3 4

O

I a) 11 cuadraditos

b) 19 cuadraditos

c) 2n − 1

II a) 35 cuadraditos

b) 99 cuadraditos

c) (n + 1)2 − 14 Observa esta tabla y contesta en tu cuaderno.

1 2 3 4 10 n

O O

a) ¿Cuántos cuadrados grises tendrá la figura 10? ¿Y la n?

b) ¿Cuántos cuadrados azules tendrán las figuras anteriores?

c) ¿Cuántos cuadrados tendrán esas figuras en total?

a) La figura 10 tendrá 102 cuadrados grises.

b) La figura n tendrá n2 cuadrados grises.

c) La figura 10 tendrá 112 cuadrados azules.

d) La figura n tendrá (n + 1)2 cuadrados azules.

e) La figura 10 tendrá 102 + 112 en total.

f) La figura n tendrá n2 + (n + 1)2 cuadrados.

Desafío5 Hay muchos test de inteligencia en los que aparecen secuencias de fichas de dominó y en los que hay que adivinar cuál

será la siguiente. ¿Cuál de las opciones (A, B, C o D) corresponde a la ficha que falta en el ejemplo?

A B C D

La parte de arriba será 2 porque hay dos seises, luego dos unos, entonces tocaría un 2. La de abajo tiene que ser un uno, pues va aumentando hasta el 6 y luego vuelve a empezar.



2. Del lenguaje cotidiano al algebraico

117


116

Indica si estas expresiones están escritas en lenguaje numérico o algebraico.

a) 9 + 3,2 ⋅ 5 c) 3 ⋅ a

2b e) 5 ⋅ b2 + 2 ⋅ a

b) 5,32 ⋅ a + 7 d) 3 ⋅ 45 + 3

25 f) 2 ⋅ a + 3 ⋅ a

Relaciona en tu cuaderno cada enunciado con su traducción algebraica.

Lenguaje cotidiano Lenguaje algebraico

Un número, más 3. x2 + 3

El doble de un número, más 3. x + 3

La mitad de un número, más 3. 2x + 3

La mitad de la suma de un número más 3. (3 + x)2

El cuadrado de la suma de un número más 3.

x + 3

2

El cuadrado de un número, más 3.

x

2+ 3

Expresa en lenguaje algebraico las siguientes expresiones.a) El doble de un número. c) La suma de dos números distintos.b) La mitad de un número. d) El cuadrado de un número.

Escribe cada apartado en lenguaje algebraico.a) La suma del doble de un número y el triple de otro.b) La mitad de un número más su doble.c) El producto de un número por su consecutivo.d) La tercera parte de la suma de dos números distintos.e) El producto de tres números consecutivos.

Fíjate en las diferencias y expresa estas frases en lenguaje algebráico.

❚ La mitad de la suma de dos números.

❚ La suma de la mitad de dos números.

❚ El cuadrado de la suma de dos números.

❚ La suma de los cuadrados de dos números.

6

7

8

9

10

2. DEL LENGUAJE COTIDIANO AL ALGEBRAICO

Marta tiene dos cajas con caramelos. En la etiqueta de una de las cajas pone que contiene 40 caramelos, pero desconoce cuántos caramelos hay en la otra.

La caja amarilla tiene 40 caramelos. La caja rosa tiene x caramelos.

¿Cuántos caramelos hay en cada una de estas situaciones?

Caja con 40 caramelos Caja con x caramelos

Marta añade 4 caramelos en cada caja. 40 + 4 x + 4

Marta tiene 4 cajas iguales de cada tipo. 4 ⋅ 40 4 ⋅ x

Marta se come 4 caramelos de cada caja. 40 − 4 x − 4

Marta se queda con la cuarta parte de caramelos de cada

caja.

40

4

x

4

❚ El lenguaje cotidiano expresa la información con palabras.

❚ El lenguaje numérico expresa la información con números y operaciones matemáticas.

❚ El lenguaje algebraico expresa la información con letras, números y operaciones matemáticas.

Aprenderás a… ● Diferenciar lenguaje cotidiano, numérico y algebraico.

● Traducir expresiones del lenguaje cotidiano al algebraico.

Cuando desconocemos el valor de un número, solemos representarlo por la letra equis:

x

Se puede representar también por cualquier otra letra.


} ¿Cómo se expresan en lenguaje numérico o algebraico estas situaciones?

❚ El triple de siete

❚ La mitad de la diferencia entre 100 y 12

❚ El doble de la diferencia entre un número y 3

❚ El doble de un número, menos tres

Solución

Lenguaje numérico Lenguaje algebraico

El triple de siete 3 ⋅ 7 —

La mitad de la diferencia entre 100 y 12 (100 − 12) : 2 —

El doble de la diferencia entre un número y 3 — 2 ⋅ (x − 3)

El doble de un número, menos tres — 2 ⋅ x − 3

EJERCICIO RESUELTO

Cuando escribimos una multiplicación de un número por una letra, podemos prescindir del signo ⋅. Es decir:

2 ⋅ x = 2x


El origen del lenguaje algebraico hay que buscarlo en la civilización musulmana, en concreto en el período en el que vivió el matemáticoAl-khwarizmi, considerado el padre del Álgebra.

Investiga en Internet sobre los comienzos del Álgebra.

11

El número consecutivo a otro número es el que le sigue.

Recuerda

Investiga

Soluciones de las actividades6 Indica si estas expresiones están escritas en lenguaje numérico o algebraico.

a) 9 + 3,2 ⋅ 5 c) 3 ⋅ a

2b e) 5 ⋅ b2 + 2 ⋅ a

b) 5,32 ⋅ a + 7 d) 3 ⋅ 45 + 3

25 f) 2 ⋅ a + 3 ⋅ a

a) Numérico c) Algebraico e) Algebraico

b) Algebraico d) Numérico f) Algebraico


Este epígrafe es clave a la hora de comenzar el trabajo del Álgebra. Los alumnos tienen que conocer el significado de las letras que utilizan para representar números desconoci-dos.

Se puede trabajar con toda la clase llamando x a un número que puede pensar cada alumno y se propondrán operacio-nes con este número. Mientras, el profesor va escribiendo en la pizarra la expresión algebraica que resulta.

173



7 Relaciona en tu cuaderno cada enunciado con su traducción algebraica.

Lenguaje cotidiano Lenguaje algebraico

Un número, más 3. x2 + 3

El doble de un número, más 3. x + 3

La mitad de un número, más 3. 2x + 3

La mitad de la suma de un número más 3. (3 + x)2

El cuadrado de la suma de un número más 3.x + 3

2

El cuadrado de un número, más 3.x

2+ 3

8 Expresa en lenguaje algebraico las siguientes expresiones.

a) El doble de un número.

b) La mitad de un número.

c) La suma de dos números distintos.

d) El cuadrado de un número.

a) 2x b) x

2 c) x + y d) x2

9 Escribe cada apartado en lenguaje algebraico.

a) La suma del doble de un número y el triple de otro.

b) La mitad de un número más su doble.

c) El producto de un número por su consecutivo.

d) La tercera parte de la suma de dos números distintos.

e) El producto de tres números consecutivos.

a) 2x + 3y

b) x

2+ 2x

c) x ⋅ (x + 1)

d) x + y

3e) x ⋅ (x + 1) ⋅ (x + 2)

10 Fíjate en las diferencias y traduce estas frases en tu cuaderno.

❚❚ La mitad de la suma de dos números.

❚❚ La suma de la mitad de dos números.

❚❚ El cuadrado de la suma de dos números.

❚❚ La suma de los cuadrados de dos números.

❚❚x + y

2yx

2+y

2 → No existe diferencia ya que el resultado es el mismo.

❚❚ (x + y)2 y x2 + y2 → En este caso el resultado es distinto.

Investiga11 El origen del lenguaje algebraico hay que buscarlo en la civilización musulmana, en concreto en el período en el que vivió

el matemático Al-khwarizmi, considerado el padre del Álgebra. Investiga en Internet sobre los comienzos del Álgebra.

Respuesta abierta.



3. Expresiones algebraicas

Soluciones de las actividades12 Expresa en lenguaje algebraico el área de cada uno de estos rectángulos.

a) c)

3 x

y

x

2y

b) d)

2y

3

x

y

a) 3x ⋅ y b) 2y ⋅ 3 c) x ⋅ 2y c) x ⋅ y13 Juan tiene x años. ¿Cuántos años tienen estas personas?

a) Andrés tiene 5 años menos. c) María tiene el doble de años.

b) Rosa tiene 12 años más. d) Pedro tiene la mitad de años.

a) x − 5 b) x + 12 c) 2x d) x

2


En este caso formalizamos conceptos y ponemos nombre a los elementos de una expresión algebraica.

Es conveniente relacionar este epígrafe con la traducciones al lenguaje algebraico del epígrafe anterior.

119


118

Expresa en lenguaje algebraico el área de cada uno de estos rectángulos.a) c)

3 x

y

x

2y

b) d)

2y

3

x

y

Juan tiene x años. ¿Cuántos años tienen estas personas?a) Andrés tiene 5 años menos. c) María tiene el doble de años.b) Rosa tiene 12 años más. d) Pedro tiene la mitad de años.

Calcula el valor numérico de x2 − 2x para los siguientes valores de x:a) x = 2 c) x = −1 e) x = 10b) x = 0 d) x = −3 f) x = −10

Calcula, para x = 1 e y = −2, el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas.a) x + y c) x − y2 e) 2x2 − y

b) 2x − y d) 3x + y

2 f) 3 + x2 −

3 y

2

Señala cuáles de estas expresiones son monomios e indica su coeficiente, su parte literal y su grado.

a) 2b − a c) 25x3y5z e) 3xy

2

b) 2x2y d) 1

2xy3 f)

x

2 y

Los datos del dibujo hacen referencia a los metros de largo y de ancho que tiene una parcela.a) ¿Cuánto miden los lados de la parcela en

total? Contesta con una expresión algebraica.b) ¿Cuál es el área de la parcela?

12

13

14

15

16

17

3. EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Juan mide el doble que su hermana María, menos 30 cm.

María mide x cm y Juan mide 2x − 30 cm.

Decimos que 2x − 30 es una expresión algebraica.

Una expresión algebraica es una combinación de números, letras y operaciones matemáticas.

Si María mide 90 cm, ¿cuánto mide Juan?

Para calcularlo, sustituimos la estatura de María en la expresión que tenemos.

María mide x cm.María mide 90 cm.

x = 90

Juan mide 2x − 30 cm.x = 90

2 ⋅ 90 − 30 = 180 − 30 = 150

Juan mide 150 cm.

El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras por su valor y realizar las operaciones indicadas.

Monomios

Observa las siguientes expresiones algebraicas.

3x −5ab6 3

5x3 y

Todas ellas son el producto de un número por una o varias letras.

Monomio Coeficiente Parte literal Grado del monomio

3x 3 x 1

−5ab6 −5 ab61 + 6 = 7

3

5x3 y

3

5x3y 3 + 1 = 4

Un monomio es el producto de un número conocido (coeficiente) por una o varias letras (parte literal) cuyos exponentes son números naturales.

El grado de un monomio es la suma de los exponentes de las letras que lo forman.

Aprenderás a… ● Comprender qué es una expresión algebraica.

● Hallar el valor numérico de una expresión algebraica.

● Reconocer los monomios como expresiones algebraicas.

Presta atención

El valor numérico de una expresión algebraica varía según los valores que tengan las letras.

Presta atención

Estas expresiones no son monomios porque los exponentes de la parte literal no son números naturales.

x−1 x1/2 xy

Presta atención

Recuerda que el área de un rectángulo es:

A = base ⋅ altura

DESAFÍOTraza varios caminos imaginarios desde el punto A hasta el punto B en cada cuadrícula. Indica la distancia que se recorre en cada trayecto.

ab

2 a3 b

A

BA

B

18

a

b

175



14 Calcula el valor numérico de x2 − 2x para los siguientes valores de x:

a) x = 2 b) x = 0 c) x = −1 d) x = −3 e) x = 10 f) x = −10

a) 22 − 2 ⋅ 2 = 4 − 4 = 0 d) (−3)2 − 2 ⋅ (−3) = 9 + 6 = 15

b) 02 − 2 ⋅ 0 = 0 e) 102 − 2 ⋅ 10 = 100 − 20 = 80

c) (−1)2 − 2 ⋅ (−1) = 1 + 2 = 3 f) (−10)2 − 2 ⋅ (−10) = 100 + 20 = 12015 Calcula, para x = 1 e y = −2, el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas.

a) x + y c) x − y2 e) 2x2 − y

b) 2x − y d) 3x + y

2 f) 3x + x2 −

3 y

2

a) 1 + (−2) = 1 − 2 = −1 d) 3 ⋅1+ (−2)

2=

3− 2

2=

1

2b) 2 ⋅ 1 − (−2) = 2 + 2 = 4 e) 2 ⋅ 12 − (−2) = 2 + 2 = 4

c) 1 − (−2)2 = 1 − 4 = −3 f) 3 + 12 −3 ⋅ (−2)

2= 3 + 1+ 3 = 7

16 Señala cuáles de estas expresiones son monomios e indica su coeficiente, su parte literal y su grado.

a) 2b − a c) 25x3y5z e) 3xy

2

b) 2x2y d) 1

2xy3 f)

x

2 y

a) No es monomio. d) Monomio: Coeficiente 1

2 y parte literal xy3.

Grado 4

b) Monomio: Coeficiente 2 y parte literal x2y. e) Monomio: Coeficiente 3

2 y parte literal xy.

Grado 3 Grado 2

c) Monomio: Coeficiente 25 y parte literal x3y5z. f) No es monomio.

Grado 9 17 Los datos del dibujo hacen referencia a los metros de largo y de ancho que tiene una parcela.

a) ¿Cuántos miden los lados de la parcela en total? Contesta con una expresión algebraica.

b) ¿Cuál es el área de la parcela?

a) 2a + 2b b) a ⋅ b

Desafío18 Traza varios caminos imaginarios desde el punto A hasta el punto B en cada cuadrícula. Indica la distancia que se recorre

en cada trayecto.

Respuesta abierta. Por ejemplo, marcamos el trayecto más corto.

a) 4a + 4b b) 4 ⋅ 3b + 5 ⋅ 2a

ab

2 a3 b

A

BA

B

a

b



4. Suma y resta de monomios

121


120

¿Qué parejas de monomios son semejantes?a) x2, −2x2 d) −12a2, 12k2

b) 12ab2, 2a2b e) 3abc , 2bca

c) 3xy

2,12 yx

5 f)

2z3

3, z2

3

Agrupa estos monomios en monomios semejantes.

12x2 2xy3 x2 −x3y

−5x3y yx3 −y3x −6xy3

21x3y 4xy3 −2x2 3x3y

19

20

Suma los siguientes monomios.a) 3x2 + 5x2 d) 7xy2 + 8xy2

b) 12ab + 7ab e) 35x + 2xc) 14z + z f) a3b + 4a3b

Calcula estas restas.a) 12x2 − 5x2 d) 5xy2 − 6xy2

b) ab − 7ab e) 5x − 12xc) 3z − z f) a3b − 10a3b

21

22

Resuelve estas operaciones y deja indicadas las que no se puedan realizar.

a) 12xy2 − 7xy2 c) 4pq2 −1

2pq2

b) ab

2−

ba

3 d) 5a3 − 7a2

Copia y completa en tu cuaderno.a) 3x + § = 8x d) −4ab2 + § = 6ab2

b) § − x2 = −7x2 e) 12xy − § = −xyc) § + 5b4 = −12b4 f) § + 5z4 = 6z4

23

24

4. SUMA Y RESTA DE MONOMIOS

En la papelería de Roberto, los bolígrafos y lapiceros tienen diferentes precios.

Bolígrafo: x

Lapicero: y

❚ Álvaro ha comprado 3 bolígrafos para su hijo y otros 2 bolígrafos para su hija.

El precio total de su compra es:3x + 2x = 5x

Los monomios 3x y 2x son semejantes porque tienen la misma parte literal.

Su suma o resta equivale a la suma o resta de sus coeficientes, manteniendo la misma parte literal: 3x + 2x = (3 + 2)x = 5x

❚ En otra ocasión, Álvaro tiene que comprar 3 bolígrafos y 2 lapiceros.

El precio total de la compra se expresa así:3x + 2y

Los monomios 3x y 2y no tienen la misma parte literal. En este caso, su suma o su resta se deja indicada: 3x + 2y

❚ Eva compra 5 bolígrafos y 1 lapicero, pero, a la hora de pagar, deja 2 bolígrafos y coge un 1 lapicero más. ¿Cómo se expresa el precio de su compra?

5x + y − 2x + y = 3x + 2y

En la expresión simplificamos los monomios que son semejantes y dejamos el resultado indicado con los monomios que no se pueden simplificar.

5x + y − 2x + y = (5 − 2)x + (1 + 1)y = 3x + 2y

Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal.

La suma o resta de monomios semejantes es otro monomio con la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma o resta de los coeficientes.

La suma o resta de monomios no semejantes se deja indicada.

Aprenderás a… ● Reconocer monomios semejantes.

● Sumar y restar monomios.

Presta atención

Un monomio formado solo por letras tiene de coeficiente 1.

y → coeficiente 1

} Resuelve 5ab2 + 7ab2 − ab2.

Solución 5ab2 + 7ab2 − ab2 = = (5 + 7 − 1)ab2 = 11ab2

EJERCICIO RESUELTO

Simplifica.a) 2 + 3x − 4 + 5x b) 3x2 + 5x − x c) 4x3 − 3x2 − 8x3 + 7x2

d) 2x − x + x4 − x2 e) 15x4 − x2 + 3x2 − 7x2 f) −7x2 − x + 2x2

Reduce estas expresiones todo lo que puedas.a) 2xy2 − 5xy + 4xy2 − xy

b) x

2+ 3x2 −

2x

3+ 1

c) −5x2y − 3x + yx2 + 12x

d) −2acb

3+ 3ba−

bca

2+ ab

25

26

} Resuelve 12ab2 − 5a + 13ab2 + a.

Solución 12ab2 − 5a + 13ab2 + a = = (12 + 13)ab2 + (−5 + 1)a = = 25ab2 + (−4)a = = 25ab2 − 4a

EJERCICIO RESUELTO

} Resuelve 7ab2 − 12a.

Solución7ab2 − 12a → 7ab2 y 12a no son semejantes, por tanto, la operación se deja indicada.

EJERCICIO RESUELTO

DESAFÍOOrdena estas tarjetas para formar una igualdad. 27

Soluciones de las actividades19 ¿Qué parejas de monomios son semejantes?

a) x2, −2x2 c) 3xy

2,12 yx

5 e) 3abc , 2bca

b) 12ab2, 2a2b d) −12a2, 12k2 f) 2z3

3,z2

3Son semejantes las parejas de los apartados a), c) y e), el resto no son semejates.

20 Agrupa estos monomios en monomios semejantes.

12x2 2xy3 x2 −x3y

−5x3y yx3 −y3x −6xy3

21x3y 4xy3 −25x2 3x3y

Son semejantes:

❚❚ 12x2, x2, −25x2

❚❚ 2xy3, −y3x, −6xy3, 4xy3

❚❚ −x3y, −5x3y, yx3, 21x3y, 3x3y


Primero hay que centrarse en el concepto de monomios semejantes, es importante destacar que deben tener la mis-ma parte literal para que se pueden sumar o restar. Convie-ne trabajar este concepto con diferentes ejemplos cercanos y manipulables por los alumnos.

Si los alumnos comprenden esta condición, es relativamente sencillo enlazarlo con la suma de monomios no semejantes.

Los alumnos suelen tener problemas a la hora de realizar esas operaciones de monomios no semejantes.

177



21 Suma los siguientes monomios.

a) 3x2 + 5x2 c) 14z + z e) 35x + 2x

b) 12ab + 7ab d) 7xy2 + 8xy2 f) a3b + 4a3b

a) 8x2 c) 15z e) 37x

b) 19ab d) 15xy2 f) 5a3b22 Calcula estas restas.

a) 12x2 − 5x2 c) 3z − z e) 5x − 12x

b) ab − 7ab d) 5xy2 − 6xy2 f) a3b − 10a3b

a) 7x2 c) 2z e) −7x

b) −6ab d) −xy2 f) −9a3b23 Resuelve estas operaciones y deja indicadas las que no se puedan realizar.

a) 12xy2 − 7xy2 b) ab

2−

ba

3 c) 4pq2 −

1

2pq2 d) 5a3 − 7a2

a) 5xy2 b) 3ab

6−

2ba

6=ab

6 c)

7

2pq2 d) 5a3 − 7a2

24 Copia y completa en tu cuaderno.

a) 3x + § = 8x c) § + 5b4 = −12b4 e) 12xy − § = −xy

b) § − x2 = −7x2 d) −4ab2 + § = 6ab2 f) § + 5z4 = 6z4

a) 3x + 5x = 8x c) −17b4 + 5b4 = −12b4 e) 12xy − 13xy = −xy

b) −6x2 − x2 = −7x2 d) −4ab2 + 10ab2 = 6ab2 f) 11z4 + 5z4 = 6z4

25 Simplifica.

a) 2 + 3x − 4 + 5x c) 4x3 − 3x2 − 8x3 + 7x2 e) 15x4 − x2 + 3x2 − 7x2

b) 3x2 + 5x − x d) 2x − x + x4 − x2 f) −7x2 − x + 2x2

a) 8x − 2 c) −4x3 + 4x2 e) 15x4 − 5x2

b) 3x2 + 4x d) x4 − x2 + x f) −5x2 − x2

26 Reduce estas expresiones todo lo que puedas.

a) 2xy2 − 5xy + 4xy2 − xy c) −5x2y − 3x + yx2 + 12x

b) x

2+ 3x2 −

2x

3+ 1 d) −

2acb

3+ 3ba−

bca

2+ ab

a) 6xy2 − 6xy c) −4x2y + 9x

b) 3x2 −x

6+ 1 d)

7abc

6+ 4ab

Desafío27 Ordena estas tarjetas para formar una igualdad.

3x2 + 2x2 + 5 − 3 = 5x2 + 2



5. Multiplicación y división de monomios

123


122

Realiza las siguientes multiplicaciones de monomios.a) 2a ⋅ 2a c) 3a2 ⋅ 4a4 e) 5a ⋅ 2y4

b) 2a ⋅ 2b d) a7 ⋅ a3 f) 2a2 ⋅ 2y2

Halla los siguientes productos.

a) 3x ⋅ 2xy ⋅ x2y c) −2ab2( ) ⋅ a3b ⋅ −3b( )

b) 2xz3 ⋅ −y2( ) ⋅5 x3 yz2 d) −3xy( ) ⋅ −2x2 y( ) ⋅ −4 xy2( )

Fíjate en las fracciones de monomios y resuelve los productos.

a) 2

3x2 ⋅

6

5x3 c)

ab2

2⋅a3b

7 e)

−3x2 y

2⋅5 xy

3

b) 7

2xy2 ⋅ 4 x3 d) 7 xz5 ⋅

4 xz

14 f) −

5 x6

7⋅−3x2 y

5

Simplifica.a) 3 ⋅ (1 + 2x) c) 5a ⋅ (a + b) e) 2a ⋅ (a + b + c)b) 5x ⋅ (4 − x) d) 7a2 ⋅ (a − b) f) (7 + 8x) ⋅ x2

Expresa como suma y resta de monomios.

a) 4a2 + a− 3( ) ⋅2a2 c) 3xy ⋅ x + 2 y + 3x − y( )

b) 5ab3 −12a2b3( ) ⋅3ab2 d) 3xy ⋅ 5 xy2 + 3xy2( )

Desarrolla las potencias del numerador y denominador de estas fracciones de monomios para realizar la división.

a) x6

x3 c)

yz2

yz e)

xy3z2

yz

b) y5

y2 d)

x2 y3

x f)

xy2z

xyz

Realiza las siguientes divisiones.

a) 8 x2 : 2x( ) c) 10 y6 : 2 y( ) e) 14 x5 : 2x( )

b) 15 y 4 : 5 y2( ) d) 16b6 : 8b6( ) f) 9z2 : z2

Halla estos cocientes.

a) 8 xy2 : 4 x( ) c) 12x5 y2 : 2xy( )

b) 105 xy 4 : 5 y2( ) d) 32ab2c2 : 8abc2( )

Piensa y escribe una división de monomios de la que resulte:a) Un número.b) Un monomio.

28

29

30

31

32

33

34

35

36

5. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE MONOMIOS

Sergio quiere multiplicar y dividir monomios. Recuerda que las letras en una expresión algebraica son números desconocidos, por lo que aplica las propiedades de los números.

Multiplicar monomios

Para multiplicar dos monomios, se multiplican, por un lado, los coeficientes y, por otro, las partes literales.

Multiplicar un número por una suma o resta de monomios

Cuando un número multiplica a una suma o una resta de monomios, podemos simplificar la expresión.

Propiedad distributiva

3 ⋅ (2x − 5y) = 3 ⋅ 2x − 3 ⋅ 5y = 6x − 15y

Para multiplicar un número por una suma o una resta de monomios, se multiplica el número por cada monomio.

Dividir monomios

Para dividir dos monomios, se dividen, por un lado, los coeficientes y, por otro, las partes literales.

Aprenderás a… ● Multiplicar varios monomios.

● Dividir dos monomios.

Presta atención

El producto de dos monomios siempre es otro monomio.

DESAFÍOOrdena estas tarjetas para formar dos igualdades que sean correctas.37

ma1e23

ma1e24

Soluciones de las actividades28 Realiza las siguientes multiplicaciones de monomios.

a) 2a ⋅ 2a b) 2a ⋅ 2b c) 3a2 ⋅ 4a4 d) a7 ⋅ a3 e) 5a ⋅ 2y4 f) 2a2 ⋅ 2y2

a) 4a2 b) 4ab c) 12a6 d) a10 d) 10 ay4 f) 4a2y2


El grado de abstracción de este epígrafe es mayor que el del anterior. Los alumnos no tienen nada cercano o manipula-ble con lo que puedan trabajar el cálculo de multiplicacio-nes y divisiones de monomios.

Es muy útil antes de multiplicar o dividir monomios realizar algunos ejercicios de operaciones con potencias de núme-ros naturales con la misma base para después introducir estas operaciones con monomios.

La multiplicación de un número por una suma o una resta de monomios va a ser importante debido a su utilidad.

Suele ser aconsejable hacerles ver que, como las letras re-presentan números, aunque tengan en principio valor des-conocido, en realidad se está aplicando la propiedad distri-butiva.

Vídeo. MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS

En el vídeo se resuelve un producto de monomios de coeficiente 1 y otro de monomios con coeficientes distintos, mostrando la apli-cación de las propiedades de las potencias y de la multiplicación. Es conveniente destacar que una vez se haya comprendido el pro-cedimiento se pueden realizar las operaciones directamente.

Vídeo. DIVISIÓN DE MONOMIOS

En el vídeo se resuelve una división de monomios con coeficiente 1, indicando la aplicación de las propiedades de las potencias, y dos divisiones de monomios con distintos coeficientes, explicando los pasos a seguir. Es conveniente destacar que una vez se haya comprendido el procedimiento se pueden realizar las operaciones directamente. Tanto este vídeo como el anterior pueden utilizarse para explicar este tipo de ejercicios en la pizarra o como recurso para que los alumnos repasen.

179



29 Halla los siguientes productos.

a) 3x ⋅ 2xy ⋅ x2y c) (−2ab2) ⋅ a3b ⋅ (−3b)

b) 2xz3 ⋅ (−y2) ⋅ 5x3yz2 d) (−3xy) ⋅ (−2x2y) ⋅ (−4xy2)

a) 6x4y2 b) −10x4y3z5 c) 6a4b4 d) −24x4y4

30 Fíjate en las fracciones de monomios y resuelve los productos.

a) 2

3x2 ⋅

6

5x3 c)

ab2

2⋅a3b

7 e)

−3x2 y

2⋅5 xy

3

b) 7

2xy2 ⋅ 4 x3 d) 7 xz5 ⋅

4 xz

14 f) −

5 x6

7⋅−3x2 y

5

a) 12

15x5 =

4

5x5 c)

1

14a4b3 e)

−15 x3 y2

6=−5

2x3 y2

b) 28 x4 y2

2= 14 x4 y2 d)

28 x2z6

14= 2x2z6 f) −

−15 x8 y

35=

3

7x8 y

31 Simplifica.

a) 3 ⋅ (1 + 2x) c) 5a ⋅ (a + b) e) 2a ⋅ (a + b + c)

b) 5x ⋅ (4 − x) d) 7a2 ⋅ (a − b) f) (7 + 8x) ⋅ x2

a) 3 + 6x c) 5a2 + 5ab e) 2a2 + 2ab + 2ac

b) 20x − 5x2 d) 7a3 − 7a2b f) 7x2 + 8x3

32 Expresa como suma y resta de monomios.

a) (4a2 + a − 3) ⋅ 2a2 c) 3xy ⋅ (x + 2y + 3x − y)

b) (5ab3 − 12a2b3) ⋅ 3ab2 d) 3xy ⋅ (5xy2 + 3xy2)

a) 8a4 + 2a3 − 6a2 c) 3xy ⋅ (4x + y) = 12x2y +3xy2

b) 15a2b5 − 36a3b5 d) 3xy ⋅ 8xy2 = 24x2y3

33 Desarrolla las potencias del numerador y denominador de estas fracciones de monomios para realizar la división.

a) x

x3 b)

y

y2 c)

yz2

yz d)

x2 y3

x e)

xy3 y2

yz f)

xy2z

xyza) x3 b) y3 c) z d) xy3 e) xy2z f) y

34 Realiza las siguientes divisiones.

a) 8x2 : (2x) b) 15y4 : (5y2) c) 10y6 : (2y) d) 16b6 : (8b6) e) 14x5 : (2x) f) 9z2 : z2

a) 4x b) 3y2 c) 5y5 d) 2 e) 7x4 f) 935 Halla estos cocientes.

a) 8xy2 : (4x) b) 15xy4 : (5y2) c) 12x5y2 : (2xy) d) 32ab2c2 : (8abc2)

a) 2y2 b) 3xy2 c) 6x4y d) 4b36 Piensa y escribe una división de monomios de la que resulte:

a) Un número. b) Un monomio.

Respuesta abierta, por ejemplo:

a) 15ab2 : (3ab2) = 5 b) 15 ab2 : (15b) = ab

Desafío37 Ordena estas tarjetas para formar dos igualdades que sean correctas.

Hay varias respuestas posibles, por ejemplo: 2x2 ⋅ 3x3 = 6x5 y 8x4 : x = 8x3



125


124

Decide si las siguientes igualdades son identidades o ecuaciones.a) 2x + 1 = 1 + 2x c) 5x − x = 4x e) 6x − 5x = 2b) x + 5 = 8 d) 12 − x = 3 f) x + x + x = 3x

¿Cuáles son las incógnitas en estas ecuaciones?a) 8x = 16 c) 2a + 5 = a2 e) xy + 1 = xb) 12 − b = 3 d) x + 12 = 3y f) 5z − x = 4zx

Observa e indica el grado de cada una de las ecuaciones.a) x − 5x = 12 c) x4 − x2 = 4x e) xy + 5 = 8yb) 2x + 12 = x3 d) x + x3 + x2 = 3 f) xyz − 8 = 0

Forma ecuaciones con las piezas del puzle.

a) Escribe la ecuación correspondiente en cada caso.b) Indica cuáles son los términos de cada una de ellas.

Averigua cuál de los siguientes valores es solución de la ecuación:

3x −1

2+ 5 = 2x + 3

a) 0 b) −1 c) 3 d) 2

Copia la tabla en tu cuaderno e indica los valores numéricos que son solución de cada ecuación.

Valores numéricos

Ecuación x = 1 x = 2 x = 0 x = −1

2x + 1 = 7 − x O O O O

x2 −1

2= x + 1 O O O O

x2 − x − 2 = 0 O O O O

Establece, en cada caso, un valor de x que resuelva la ecuación.a) x + 1 = 5 c) 2x + 1 = 11 e) 4x + 1 = 21 b) x − 2 = 6 d) 3x = 12 f) 5x + 2 = 12

38

39

40

41

42

43

44

6. ECUACIONES

¿Cuántas canicas hay en cada caja?

Aprenderás a… ● Reconocer identidades y ecuaciones.

● Identificar los elementos principales de una ecuación.

● Conocer el concepto de solución de una ecuación.

DESAFÍOSi las dos primeras balanzas están en equilibrio, ¿cuántas canicas se necesitan en la última para que también esté equilibrada?

45

Traducimos al lenguaje algebraico.

Llamamos x al número de canicas que hay en cada caja.

x + x = 2x

Cualquier valor de x hace cierta la igualdad.

x = 1 → 1 + 1 = 2 ⋅ 1

x = −3 → (−3) + (−3) = 2 · (−3)

…

x + x = 2x es una identidad.

x + 20 = 50

Solo algunos valores de x hacen cierta la igualdad.

x = 30 → 30 + 20 = 50

x = −1 → (−1) + 20 ≠ 50

x = −10 → (−10) + 20 ≠ 50

x + 20 = 50 es una ecuación.

Incógnita: x Miembros

Términos: 2x + 3x2 = 3 − x Grado: 1 2 0 1Grado de la ecuación: 2

Una igualdad entre dos expresiones algebraicas puede ser:

❚ Una identidad si cualquier valor de las letras hace cierta la igualdad.

❚ Una ecuación si solo algunos valores de las letras hacen cierta la igualdad.

Elementos de una ecuación

Los elementos de una ecuación son:

❚ Miembros: expresiones algebraicas que se encuentran a cada lado de la igualdad.

❚ Términos: cada uno de los sumandos que aparecen en cada miembro.

❚ Incógnitas: las letras que figuran en las expresiones algebraicas.

❚ Grado de la ecuación: el mayor grado de los términos que hay en la ecuación.

Soluciones de una ecuación

¿Qué valor de x hace que se cumpla la ecuación 3x − 1 = 2x + 3?

❚ Si x = 1, sustituimos en los dos miembros de la ecuación:

3 ⋅ 1 − 1 = 3 − 1 = 2 2 ≠ 5 → x = 1 no es solución de la ecuación.2 ⋅ 1 + 3 = 2 + 3 = 5

❚ Si x = 4, sustituimos en los dos miembros de la ecuación:

3 ⋅ 4 − 1 = 12 − 1 = 11 11 = 11 → x = 4 es solución de la ecuación.2 ⋅ 4 + 3 = 8 + 3 = 11

Las soluciones de una ecuación son los valores que toman las incógnitas para que se cumpla la igualdad.

Soluciones de las actividades38 Decide si las siguientes igualdades son identidades o ecuaciones.

a) 2x + 1 = 1 + 2x c) 5x − x = 4x e) 6x − 5x = 2

b) x + 5 = 8 d) 12 − x = 3 f) x + x + x = 3x

a) Igualdad b) Ecuación c) Igualdad d) Ecuación e) Ecuación f) Igualdad39 ¿Cuáles son las incógnitas en estas ecuaciones?

a) 8x = 16 c) 2a + 5 = a2 e) xy + 1 = x

b) 12 − b = 3 d) x + 12 = 3y f) 5z − x = 4zx

a) x b) b c) a d) x, y e) x, y f) x, z40 Observa e indica el grado de las ecuaciones.

a) x − 5x = 12 c) x4 − x2 = 4x e) xy + 5 = 8y

b) 2x + 12 = x3 d) x + x3 + x2 = 3 f) xyz − 8 = 0

a) 1 b) 3 c) 4 d) 3 e) 2 f) 3


Este es otro epígrafe donde se van a formalizar conceptos. Esta es la primera vez que los alumnos se van a enfrentar con las ecuaciones y es importante que conozcan todos los conceptos asociados a estas.

A los alumnos les suele resultar difícil diferenciar entre ecuaciones e identidades, sobre todo si se trata de casos complicados. Conviene indicarles que ambas, ecuaciones e identidades, se van a tratar de la misma forma.

También es importante que los alumnos comprendan la di-ficultad a la hora de encontrar las soluciones de una ecua-ción. Los alumnos se van a encontrar desde ecuaciones muy sencillas en las que la solución es muy fácil de identificar sin realizar ninguna operaciona hasta ecuaciones complejas.

Deben ser conscientes de que el objetivo de este curso es empezar a resolver ecuaciones sencillas, para ir resolviendo ecuaciones más complejas en cursos siguientes.

6. Ecuaciones

181



41 Forma ecuaciones con las piezas del puzle.

a) Escribe la ecuación correspondiente en cada caso.

b) Indica cuáles son los términos de cada una de ellas.

a) Piezas azules: 7y − 1 = 4y2 − 2

Piezas verdes: 12 − 3xy = x − y

b) Terminos de la ecuación azul: 7y, −1, 4y2, −2

Términos de la ecuación verde: 12, −3xy, x, −y42 Averigua cuál de los siguientes valores es solución de la ecuación:

3x −1

2+ 5 = 2x + 3

a) 0 b) −1 c) 3 d) 2

La solución es la c) porque: 3 ⋅3 − 1

2+ 5 =

9−1

2+ 5 =

8

2+ 5 = 4 + 5 = 9 y 2 ⋅ 3 + 3 = 6 + 3 = 9

43 Copia la tabla en tu cuaderno e indica los valores numéricos que son solución de cada ecuación.

Valores numéricos Valores numéricos

Ecuación x = 1 x = 2 x = 0 x = −1 Ecuación x = 1 x = 2 x = 0 x = −1

2x + 1 = 7 − x O O O O 2x + 1 = 7 − x No Sí No No

x2 −1

2= 3x −1 O O O O

x2 −1

2= 3x −1 No No No No

x2 − x − 2 = 0 O O O O x2 − x − 2 = 0 No Sí No Sí

44 Establece, en cada caso, un valor de x que resuelva la ecuación.

a) x + 1 = 5 c) 2x + 1 = 11 e) 4x + 1 = 21

b) 2x + 1 = 5 d) 3x = 12 f) 5x + 2 = 12

a) x = 4 c) x = 5 e) x = 5

b) x = 2 d) x = 4 f) x = 2

Desafío45 Si las dos primeras balanzas están en equilibrio, ¿cuántas canicas se necesitan en la última para que también esté equili-

brada?

En la segunda balanza podemos ver que cada bloque azul se puede sustituir por uno rojo más tres canicas. Sustituimos el bloque azul de la primera balanza. Ahora, en la primera balanza hay en un plato 3 bloques rojos y 3 canicas y en el otro plato 12 canicas. Luego cada bloque rojo equivale a 3 canicas.

En el segundo plato de la tercera balanza se necesitan 3 canicas para que esté equilibrada.



127


126

Halla ecuaciones equivalentes aplicando la regla de la suma.a) x + 5 = 7 d) 12 = x − 3 b) 2 + x = 1 e) 8 = 12 − xc) 6 = x + 8 f) 15 − x = 20

Aplica la regla del producto para obtener ecuaciones equivalentes.a) 2x = 8 d) 12 = 3x

b) 4 =x

3 e) 5x = 25

c) x

5= 2 f)

2x

3= 4

46

47

Resuelve estas ecuaciones.a) 2x − 3 = 5 + x d) 3 − 2x = 5 − 3xb) 8x − 3 = 5 + 7x e) −x + 7 = 12 − 2xc) 12x + 7 = −1 + 11x f) 4x + 2 = 1 + 3x

Halla el valor de x en las siguientes ecuaciones.a) 2x + 5 = 7 d) 7 + 3x = 4x + 5b) 12 = 6 + 9x e) 3x + 7 = −2 + 5xc) 5 − x = 3x + 7 f) 6x + 12 = 3 − 2x

48

49

Copia y completa para que los valores numéricos de x sean solución de la ecuación.a) 2x + § = 3, para x = 1b) § + 3x = 15, para x = 4c) 2 − 3x = §, para x = −1d) 3x = x + §, para x = 2

¿Cuál es el valor de x en cada caso?a) 3x − 5 − 5x = 2 + 3x − 12b) −6 + 2x + 12 = x − 3 − 4xc) 7x + 3 = x − 3x + 5 − 2xd) 1 − 2x + 4x = 12 − 5x + 3 − 2x

50

51

Resuelve las siguientes ecuaciones.a) −5 = 4x + 2(5x −1)b) 2x + 2(x − 3) = 5 − x c) 3x − 1 = 5 + 3(2 − 3x) d) 2(4 − 3x) = 5 − 7x + 2

Elimina paréntesis y resuelve.a) 3 − 2(x − 3) = 4b) 5x − 4 = 3 − 2(3 − 2x) c) 3x = 2x − (6 − 3x)d) 4x − 5(1 − 2x) = 4 − 5x

52

53

7. ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Maya tiene que resolver estas dos ecuaciones. Le informan de que ambas tienen las mismas soluciones, así que decide resolver la más sencilla.

x + 3

2+ 1 = 4 x + 3 = 6

Resolver una ecuación es hallar sus soluciones, es decir, hallar los valores de las incógnitas que cumplen la igualdad.

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

Para obtener ecuaciones equivalentes podemos utilizar diferentes reglas.

Regla de la suma

Si a los dos miembros de una ecuación se le suma o resta el mismo número o expresión algebraica, se obtiene una ecuación equivalente.

3x − 3 = 2x

❚ Si sumamos 3 a cada miembro: 3x − 3 + 3 = 2x + 3

❚ Obtenemos una ecuación equivalente: 3x = 2x + 3

Regla del producto

Si los dos miembros de una ecuación se multiplican o dividen por el mismo número distinto de cero, se obtiene una ecuación equivalente.

2x

3= 4

❚ Si multiplicamos por 3 cada miembro: 2x

3⋅3 = 4 ⋅3

❚ Obtenemos una ecuación equivalente: 2x = 12

Para hallar el valor de x en una ecuación, tenemos que dejar la x sola en uno de los miembros. Esto se llama despejar la incógnita.

Aprenderás a… ● Hallar ecuaciones equivalentes a una dada.

● Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita.

❚ La suma y la resta son operaciones inversas.

❚ La multiplicación y la división son operaciones inversas.

Recuerda

Cuando simplificamos términos en una ecuación decimos que reducimos términos.


} Resuelve la ecuación x + 2 = 6 − 3x.

SoluciónRecordamos que hay que despejar la x y realizamos estos pasos:

x + 2 = 6 − 3x x = 6 − 3x − 2 x = 4 − 3x x + 3x = 4 4x = 4

x =

4

4= 1

El 2 que está sumando, pasa al otro miembro restando.

El 3x que está restando, pasa al otro miembro sumando.

El 4 que está multiplicando, pasa al otro miembro dividiendo.

EJERCICIO RESUELTO } Resuelve 3x = 5 − 2(3 − 5x).

Solución

1 Aplicamos la propiedad distributiva para eliminar el paréntesis.

3x = 5 − 2(3 − 5x)

3x = 5 − 6 + 10x

3x = −1 + 10x

2 Despejamos la incógnita.

3x = −1 + 10x → 1 = 10x − 3x → 1 = 7x1 = 7 x →1

7= x

EJERCICIO RESUELTO

DESAFÍO

} Resuelve la ecuación: 3x − 2 = 6 + x

Solución

EJERCICIO RESUELTO

En una heladería, la bola de cada variedad tieneun precio distinto. ¿Cuánto cuesta cada una?

54

ma1e25

Soluciones de las actividades46 Halla ecuaciones equivalentes aplicando la regla de la suma.

a) x + 5 = 7 d) 12 = x − 3

b) 2 + x = 1 e) 8 = 12 − x

c) 6 = x + 8 f) 15 − x = 20

a) x + 5 = 7 → x + 5 − 5 = 7 − 5 → x = 2

b) 2 + x = 1 → 2 + x − 2 = 1 − 2 → x = − 1

c) 6 = x + 8 → 6 − 8 = x + 8 − 8 → −2 = x

d) 12 = x − 3 → 12 + 3 = x − 3 + 3 → 15 = x

e) 8 = 12 − x → 8 + x = 12 − x + x → 8 + x − 8 = 12 − 8 → x = 4

f) 15 − x = 20 → 15 − x + x = 20 + x → 15 − 20 = 20 + x − 20 → −5 = x


En primer lugar, es importante que entiendan la diferencia entre ecuación y expresión algebraica.

Es aconsejable que los alumnos realicen bastantes ejerci-cios en los que apliquen la regla de la suma y la regla del producto. Posteriormente, tienen que mecanizar el proceso hasta llegar a decir que lo que está sumando pasa restando, y viceversa, así como que lo que está multiplicando pasa dividiendo, y viceversa. Procediendo de este modo, com-probarán que no hay ninguna magia al pasar de un lado al otro en la ecuación.

Vídeo. ECUACIONES DE PRIMER GRADO

En el vídeo se muestra el procedimiento para resolver una ecua-ción de primer grado aplicando las reglas de la suma y del produc-to. En el desarrollo se muestra también la resolución habitual de este tipo de ecuaciones pasando los términos de un miembro a otro. El vídeo puede utilizarse para explicar este procedimiento en la pizarra o como recurso para que los alumnos repasen.

7. Ecuaciones de primer grado

183



47 Aplica la regla del producto para obtener ecuaciones equivalentes.

a) 2x = 8 c) x

5= 2 e) 5x = 25

b) 4 =x

3 d) 12 = 3x f)

2x

3= 4

a) 2x

3=

8

2→ x = 4 c)

5 x

5= 5 ⋅2 → x = 10 e)

5 x

5=

25

5→ x = 5

b) 4 ⋅3 =3x

3→ x = 12 d)

12

3=

3x

3→ 4 = x f)

2 ⋅3x

3 ⋅2=

4 ⋅3

2→ x = 6

48 Resuelve estas ecuaciones.

a) 2x − 3 = 5 + x c) 12x + 7 = −1 + 11x e) −x + 7 = 12 − 2x

b) 8x − 3 = 5 + 7x d) 3 − 2x = 5 − 3x f) 4x + 2 = 1 + 3x

a) 2x − 3 = 5 + x → 2x − x = 5 + 3 → x = 8

b) 8x − 3 = 5 + 7x → 8x − 7x = 5 + 3 → x = 8

c) 12x + 7 = −1 + 11x → 12x − 11x = −1 − 7 → x = −8

d) 3 − 2x = 5 − 3x → −2x + 3x = 5 − 3 → x = 2

e) −x + 7 = 12 − 2x → −x + 2x = 12 − 7 → x = 5

f) 4x + 2 = 1 + 3x → 4x − 3x = 1 − 2 → x = −1 49 Halla el valor de x en las siguientes ecuaciones.

a) 2x + 5 = 7 c) 5 − x = 3x + 7 e) 3x + 7 = −2 + 5x

b) 12 = 6 + 9x d) 7 + 3x = 4x + 5 f) 6x + 12 = 3 − 2x

a) 2x + 5 = 7 → 2x = 7 − 5 → 2x = 2 → x = 2

2 = 1

b) 12 = 6 + 9x → 12 − 6 = 9x → 6 = 9x → x = 6

9=

2

3

c) 5 − x = 3x + 7 → − x − 3x = 7 − 5 → −4x = 2 → x = 2

−4= −

1

2

d) 7 + 3x = 4x + 5 → 3x − 4x = 5 − 7 → −x = −2 → x = −2

−1 = 2

e) 3x + 7 = −2 + 5x → 3x − 5x = −2 − 7 → −2x = −9 → x = −9

−2=

9

2

f) 6x + 12 = 3 − 2x → 6x + 2x = 3 − 12 → 8x = −9 → x = −9

850 Copia y completa para que los valores numéricos de x sean solución de la ecuación.

a) 2x + § = 3, para x = 1 c) 2 − 3x = §, para x = −1

b) § + 3x = 15, para x = 4 d) 3x = x + §, para x = 2

a) 2x + 1 = 3

b) 3 + 3x = 15

c) 2 − 3x = 5

d) 3x = x + 4



51 ¿Cuál es el valor de x en cada caso?

a) 3x − 5 − 5x = 2 + 3x − 12 c) 7x + 3 = x − 3x + 5 − 2x

b) −6 + 2x + 12 = x − 3 − 4x d) 1 − 2x + 4x = 12 − 5x + 3 − 2x

a) −5 − 2 + 12 = 3x + 5x − 3x → 5 = 5x → x = 1

b) 2x − x + 4x = −3 + 6 − 12 → 5x = −9 → x = −9

5

c) 7x − x + 3x + 2x = 5 − 3 → 11x = 2 → x =2

11

d) −2x + 4x + 5x + 2x = 12 + 3 − 1 → 9x = 14 → x =14

952 Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) −5 = 4x + 2(5x − 1) c) 3x − 1 = 5 + 3(2 − 3x)

b) 2x + 2(x − 3) = 5 − x d) 2(4 − 3x) = 5 − 7x + 2

a) −5 = 4x + 10x − 2 → −3 = 14x → x =−3

14

b) 2x + 2x − 6 = 5 − x → 5x = 11 → x =11

5

c) 3x − 1 = 5 + 6 − 9x → 12x = 12 → x =12

12= 1

d) 8 − 6x = 5 − 7x + 2 → x = −153 Elimina paréntesis y resuelve.

a) 3 − 2(x − 3) = 4 c) 3x = 2x − (6 − 3x)

b) 5x − 4 = 3 − 2(3 − 2x) d) 4x − 5(1 − 2x) = 4 − 5x

a) 3 − 2x + 6 = 4 → −2x = −5 → x =−5

−2=

5

2

b) 5x − 4 = 3 − 6 + 4x → x = 1

c) 3x = 2x − 6 + 3x → −2x = −6 → x =−6

−2= 3

d) 4x − 5 + 10x = 4 − 5x → 19x = 9 → x =9

19

Desafío54 En una heladería, la bola de cada variedad tiene un precio distinto. ¿Cuánto cuesta cada una?

La bola de fresa cuesta 1,50 : 3 = 0,50 €.

De los dos primeros cucuruchos sabemos que la de naranja es 1,65 − 1,50 = 0,15 € más cara que la de vainilla. Una bola de vainilla más una de naranja suman 1,35 €. Si llamamos x al precio de la bola de vainilla y resolvemos la ecuación:

x + x + 0,15 = 1,35

Tenemos que la bola de vainilla cuesta 0,60 € y la de naranja 0,75 €. Por tanto, el precio del chocolate tiene que ser 0,40 €.

185



Lee y comprende las matemáticas

Soluciones de las actividades55 Un número más su consecutivo suman 47.

a) Expresa un número en lenguaje algebraico.

b) Escribe el consecutivo de un número en lenguaje algebraico.

c) Escribe la ecuación que represente al enunciado.

d) Resuelve le ecuación. ¿De qué número se trata?

a) x c) x + x + 1 = 47

b) x + 1 d) x + x + 1 = 47 → 2x = 46 → x = 23

Se trata del número 23.


En esta sección se trabaja la comprensión lectora desde las matemáticas. Se presenta un artículo y tras su lectura, se plantea a los alumnos alguna situación que pueden encon-trarse en su vida cotidiana y que deben resolver extrayendo información de dicha noticia.

Para llegar a la solución del problema propuesto deben se-guir los estos pasos:

1.º Analizar la pregunta que se les plantea.

2.º Buscar los datos necesarios en la noticia.

3.º Utilizar las matemáticas para poder resolver la pregunta planteada.

En este caso, se pretende que los alumnos reflexionen sobre cómo resolver problemas planteando ecuaciones.

Una vez analizado este ejemplo resuelto los alumnos se en-frentan a otras situaciones similares.

6 LEE Y COMPRENDE LAS MATEMÁTICAS

128 129

6Actividades

Ecuaciones cinematográficas

Entradas gratis para el estreno de la última película de ciencia ficción de la directora Olivia Heins

Las entradas para la última entrega de la saga Super Science Heroes, de la joven directora Olivia Heins, se han puesto a disposición del público. Esta vez no tienes que pagar para conseguir una entrada, sino que tienes que ser un auténtico as de las matemáticas y ser capaz de resolver el reto «cinematemático» que te propone la productora.

El reto es el siguiente:

Una entrada de cine es más cara que una caja de palomitas. De hecho, la entrada de cine cuesta el doble que la caja de palomitas.Si una persona paga 21 € por tres entradas de cine y una caja de palomitas, ¿cuánto cuesta una entrada? ¿Y la caja de palomitas?Dale vueltas al coco y consigue tu entrada gratis para Super Science Heroes III… ¡Y disfruta de la ciencia!

Los institutos y colegios animan a sus estudiantes a participar en el concurso. Basta con introducir tus datos y la resolución del reto en la página web de la película.

Todas las soluciones correctas tendrán premio. Las 1 500 primeras respuestas válidas obtendrán una entrada gratis, y el resto recibirá el guion de la película en versión digital y firmado por los protagonistas de la saga. Merece mucho la pena saber matemáticas, ¿o no?

Berta es una de las mayores fans de la saga Super Science Heroes. Fue de las primeras en enviar la resolución del reto a través de la página web de la película.

Desde la productora, la han felicitado por su forma sencilla y clara de explicar la resolución del problema.

Veamos los pasos que siguió en su explicación.

Analiza la pregunta

¿Cuánto cuesta una entrada? ¿Y una caja de palomitas?

Para contestar a las preguntas, tenemos que definir una incógnita, por ejemplo:

x = precio de la caja de palomitas

Busca los datos

❚ Primero damos nombre a los datos a partir de la incógnita:

x = precio de la caja de palomitas

2x = precio de la entrada de cine

❚ Después planteamos una ecuación que resuelva las preguntas:

3 entradas ⋅ precio entrada + precio palomitas = 21 €

3 ⋅ 2x + x = 21

Utiliza las matemáticas

Calculamos el precio de la entrada y el precio de las palomitas mediante la resolución de la ecuación:

3 ⋅ 2x + x = 21 → 6x + x = 21 → 7x = 21

x =21

7→ x = 3

Por tanto:

x = precio de las palomitas → Las palomitas cuestan 3 €.

2x = precio de la entrada → La entrada de cine cuesta 6 €.

Comprobamos el resultado:

3 ⋅ 6 + 3 = 21

Un número más su consecutivo suman 47.a) Expresa un número en lenguaje algebraico.b) Escribe el consecutivo de un número en lenguaje

algebraico.c) Escribe la ecuación que represente al enunciado.d) Resuelve la ecuación. ¿De qué número se trata?

El triple de un número menos 12 es igual a dicho número más 6.a) Escribe el triple de un número menos 12 en

lenguaje algebraico.b) Expresa un número más 6 en lenguaje algebraico.c) Relaciona los apartados anteriores mediante

una ecuación según el enunciado.d) ¿Cuál es ese número?

Juan es el mediano de tres hermanos. Su hermana mayor tiene 6 años más, y el menor, 10 años menos que Juan. ¿Cuál es la edad de cada uno si entre los tres suman 41 años?

Luisa reparte 150 € entre sus tres nietos de forma que el mayor recibe el doble y 2 € más que el pequeño, y el mediano, 12 € más también con respecto al pequeño. ¿Cuánto dinero recibe cada nieto?

Ismael ha comprado 3 lapiceros y 2 borradores. No recuerda el precio de cada artículo, pero sí que pagó 3,25 €. También recuerda que un lapicero era 0,25 € más barato que un borrador. ¿Cuánto cuesta cada artículo?

55

56

57

58

59

Belén ha metido sus vasos en una caja para hacer una mudanza. La caja se le cae y le quedan el doble de vasos intactos que rotos. Si Belén tenía 39 vasos, ¿cuántos vasos rotos e intactos tiene?

La edad del padre de Iván es el triple que la de su hijo y dentro de 10 años tendrá el doble. ¿Cuántos años tiene Iván ahora?

Los dos máximos goleadores de un equipo han marcado 52 goles. Si uno ha anotado 2 tantos más que el otro, ¿cuántos metieron cada uno?

En un garaje hay estacionados 30 vehículos entre coches y motos. Si en total hay 104 ruedas, ¿cuántos coches y cuántas motos hay en el aparcamiento?

¿Cuántos caramelos tiene Edurne?

Una madre tiene 42 años, y su hijo, 7 años. ¿Cuántos años tienen que pasar para que la madre tenga el doble de edad que el hijo?

Sara tiene 18 monedas, unas de 50 CENT y otras de 20 CENT. ¿Cuántas monedas tiene si todas juntas suman 5,70 €?

60

61

62

63

64

65

66

Completa en tu cuaderno estos enunciados para que su ecuación correspondiente tenga sentido.67

a) La edad de Juan hace tres años…2(x − 3) = x + 5

b) La edad de tres hermanos…(x + 5) + x + (x − 7) = 33

c) María ha comprado 6 kilos de fruta, entre naranjas

y manzanas…1,20x + 1,80(6 − x) = 9,60



56 El triple de un número menos 12 es igual a dicho número más 6.

a) Escribe el triple de número menos 12 en lenguaje algebraico.

b) Expresa un número más 6 en lenguaje algebraico.

c) Relaciona los apartados anteriores mediante una ecuación según el enunciado.

d) ¿Cuál es ese número?

a) 3x − 12

b) x + 6

c) 3x − 12 = x + 6

d) 3x − 12 = x + 6 → 2x = 18 → x = 9

El número buscado es el 9.57 Juan es el mediano de tres hermanos. Su hermana mayor tiene 6 años más, y el menor, 10 años menos que Juan. ¿Cuál

es la edad de cada uno si entre los tres suman 41 años?

Edad de Juan: x Edad de la hermana mayor: x + 6 Edad del hermano menor: x − 10

x + x + 6 + x − 10 = 41 → 3x = 45 → x = 15

Las edades de los tres hermanos son 21, 15 y 5 años.58 Luisa reparte 150 € entre sus tres nietos de forma que el mayor recibe el doble y 2 € más que el pequeño, y el mediano,

12 € más también con respecto al pequeño. ¿Cuánto dinero recibe cada nieto?

Nieto mayor: 2x + 2 Nieto mediano: x +12 Nieto pequeño: x

2x + 2 + x + 12 + x = 150 → 4x = 136 → x = 34

El pequeño recibe 34 €, el mediano recibe 46 € y el mayor recibe 70 €.59 Ismael ha comprado 3 lapiceros y 2 borradores. No recuerda el precio de cada artículo, pero sí que pagó 3,25 €. También

recuerda que un lapicero era 0,25 € más barato que un borrador. ¿Cuánto cuesta cada artículo?

Precio del borrador: x Precio del lapicero: x − 0,25

3(x − 0,25) + 2x = 3,25 → 3x − 0,75 + 2x = 3,25 → 5x = 4 → x = 0,8

El borrador cuesta 0,80 € y los lapiceros 0,55 €.60 Belén ha metido sus vasos en una caja para hacer una mudanza. La caja se le cae y le quedan el doble de vasos intactos

que rotos. Si Belén tenía 39 vasos, ¿cuántos vasos rotos e intactos tiene?

Vasos rotos: x Vasos intactos: 2x

x + 2x = 39 → 3x = 39 → x = 13

Tiene 13 vasos rotos y 26 intactos.61 La edad del padre de Iván es el triple que la de su hijo y dentro de 10 años tendrá el doble. ¿Cuántos años tiene Iván

ahora?

Edad de Iván: x Dentro de 10 años: x + 10

Edad de su padre: 3x Dentro de 10 años: 3x + 10

2(x + 10) = 3x + 10 → 2x + 20 = 3x + 10 → −x = −10 → x = 10

Iván tiene 10 años y su padre 30 años.62 Los dos máximos goleadores de un equipo han marcado 52 goles. Si uno ha anotado 2 tantos más que el otro, ¿cuántos

metieron cada uno?

Un goleador: x El otro goleador: x + 2

x + x + 2 = 52 → 2x = 50 → x = 25

Uno ha marcado 25 goles y el otro 27.63 En un garaje hay estacionados 30 vehículos entre coches y motos. Si en total hay 104 ruedas, ¿cuántos coches y cuántas

motos hay en el aparcamiento?

Número de coches: x Número de motos: 30 − x

4x + 2(30 − x) = 104 → 4x + 60 − 2x = 104 → 2x = 44 → x = 22

Hay 22 coches y 8 motos.

187



64 ¿Cuántos caramelos tiene Edurne?

Número de caramelos de Edurne: x

x − 1 = 2(x − 4) → x − 1 = 2x − 8 → −x = −7 → x = 765 Una madre tiene 42 años, y su hijo, 7 años. ¿Cuántos años tienen que pasar para que la madre tenga el doble de edad

que el hijo?

Tienen que pasar x años.

x + 42 = 2(x + 7) → x + 42 = 2x + 14 → 28 = x

Tienen que pasar 28 años.66 Sara tiene 18 monedas, unas de 50 cent y otras de 20 cent. ¿Cuántas monedas tiene si todas juntas suman 5,70 €?

Número de monedas de 50 cent: x Número de monedas de 20 cent: 18 − x

0,5x + 0,2(18 − x) = 5,7 → 0,5x + 3,6 − 0,2x = 5,7 → 0,3x = 2,1 → x = 7

Hay 7 monedas de 50 cent y 11 de 20 cent.

Analiza67 Completa en tu cuaderno estos enunciados para que su ecuación correspondiente tenga sentido.

a) La edad de Juan hace tres años…2(x − 3) = x + 5

b) La edad de tres hermanos…(x + 5) + x + (x − 7) = 33

c) María ha comprado 6 kilos de fruta, entre naranjas

y manzanas…1,20x + 1,80(6 − x) = 9,60

Respuesta abierta, por ejemplo:

a) …es la mitad que la que tendrá dentro de cinco años.

b) …suman 33 años. El mayor es 5 años mayor que el mediano y el pequeño es 7 años menor que el mediano.

c) …Las naranjas cuestan 1,20 € y las manzanas 1,80 €, y ha pagado 9,60 €.




En esta sección se destacan los procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido tras estudiar esta unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de:

❚❚ Utilizar el lenguaje algebraico. ❚❚ Realizar operaciones con monomios.

❚❚ Calcular el valor numérico de una expresión algebraica. ❚❚ Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita.

Actividades finalesSoluciones de las actividades68 Escribe el siguiente término en cada caso.

a) 3, 6, 9, 12, 15, … b) 3, 5, 7, 9, 11, … c) 5, 50, 500, 5 000, … d) 1, 4, 9, 16, 25, …

a) 18 b) 13 c) 50 000 d) 3669 Escribe los cinco primeros números de estas secuencias, en las que n indica el valor de la posición que ocupan.

a) 3n − 2 b) 2n2 c) n3 d) 3n2 − n

a) 1, 4, 7,10, 13 b) 2, 8, 18, 32, 50 c) 1, 8, 27, 64, 125 d) 2, 10, 24, 44, 7070 Observa la tabla.

Posición 1 2 3 4 a) ¿Cuántas bolas tendrá la figura que ocupa la cuarta posición?

b) ¿Cuántas tendrá la que ocupa la sexta posición?

a) 1 + 2 + 3 + 4 = 10

b) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21

Figura O

N.° de bolas 1 3 6 O

¿Qué tienes que saber?

130

¿QUÉ6 tienes que saber?

131

Traduce a lenguaje algebraico.

a) El doble de un número.

b) El doble de un número, más tres.

c) El cuadrado de la suma de un número más tres.

a) 2 ⋅ x

b) 2 ⋅ x + 3

c) (x + 3)2

Lenguaje algebraicoTen en cuenta

El lenguaje algebraico expresa la información con letras, números y operaciones matemáticas.

Realiza estas operaciones con monomios.

a) 7xy2 + 3xy2 c) 6x5y3 ⋅ 3x2y

b) 7xy2 − 3xy2 d) 6x5 y3 : 3x2 y( )a) 7xy2 + 3xy2 = (7 + 3) ⋅ xy2 = 10xy2

b) 7xy2 − 3xy2 = (7 − 3) ⋅ xy2 = 4xy2

c) 6 x5 y3 ⋅3x2 y = 6 ⋅3( ) ⋅ x5 ⋅ x2( ) ⋅ y3 ⋅ y( ) = 18 ⋅ x5+2 ⋅ y3+1 = 18 x7 y 4

d) 6 x5 y3 : 3x2 y( ) = 6 : 3( ) ⋅ x5 : x2( ) ⋅ y3 : y( ) = 2 ⋅ x5−2 ⋅ y3−1 = 2x3 y2

Operaciones con monomiosTen en cuenta

❚ La suma o resta de monomios semejantes es otro monomio con la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma o resta de los coeficientes de los monomios.

❚ Para multiplicar o dividir dos monomios, se multiplican o dividen, por un lado, los coeficientes y, por otro, las partes literales.

Calcula el valor numérico de 3x2 − xy para los valores x = −1 e y = 2, y para los valores x = 3 e y = −2.

3 ⋅ (−1)2 − (−1) ⋅ y = 3 ⋅ 1 + 1 ⋅ y = 3 + y = 3 + 2 = 5

3x2 − xy x = −1 y = 2

3 ⋅ 32 − 3 ⋅ y = 3 ⋅ 9 − 3y = 27 − 3y = 27 − 3 ⋅ (−2) = 27 + 6 = 33

x = 3 y = −2

Valor numérico de una expresión algebraicaTen en cuenta

El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras por su valor y realizar las operaciones indicadas.

Este valor numérico varía según los valores que tengan las incógnitas.

Pautas y regularidades

Escribe el siguiente término en cada caso.

a) 3, 6, 9, 12, 15, …

b) 3, 5, 7, 9, 11, …

c) 5, 50, 500, 5 000, …

d) 1, 4, 9, 16, 25, …

Escribe los cinco primeros números de estas secuencias, en las que n indica el valor de la posición que ocupan.

a) 3n − 2 c) n3

b) 2n2 d) 3n2 − n

Observa la tabla.

Posición 1 2 3 4

Figura O

N.º de bolas 1 3 6 O

a) ¿Cuántas bolas tendrá la figura que ocupa la cuarta posición?

b) ¿Cuántas tendrá la que ocupa la sexta posición?

Observa y contesta a las siguientes preguntas.

Explica tus respuestas con ayuda del dibujo.

a) ¿Cuántos cuadrados tendrá la figura que ocupa la cuarta posición en la secuencia?

b) ¿Y la que ocupa la décima posición?

c) ¿Cuántos cuadrados tendrá la figura que ocupa el lugar n en la secuencia?

Fijate en la siguiente sucesión de cubos.

a) ¿Cuántos cubos hay en la segunda posición?

b) ¿Y en la tercera?

c) Dibuja la construcción que ocupa la cuarta posición y di cuántos cubos la forman.

68

69

70

71

72

Lenguaje algebraico

¿Están escritas estas expresiones en lenguaje numérico o en lenguaje algebraico?

a) 3xy − 5 c) 5x2 − 3xy

b) 2 ⋅ (3 + 5) d) 2xy − y

x2

Expresa en lenguaje algebraico:a) El triple de un número.

b) La cuarta parte de un número.

c) El producto de dos números diferentes.

d) La raíz cuadrada de un número.

Traduce a lenguaje algebraico:a) El cuadrado de la diferencia entre un número y

su doble.

b) La mitad del triple de un número, más su doble.

c) Un número más uno, elevado al cuadrado.

d) La suma de un número más la mitad del número más uno.

Copia y completa la tabla con los valores numéricos indicados.

x = 2 x = 0 x = −2 x = −3

3x2 − 1 O O O O

(x + 2)2 O O O O

x2

2−

x

3O O O O

x

2− 3x O O O O

Calcula, para x = 2 e y = −1, el valor numérico de:

a) (x + 2y)2 b) 3x − 2y2 c) x

2− y d) 2(x − y)

Indica cuáles de estas expresiones algebraicas son monomios. ¿Por qué el resto no lo son?

a) 3xy + y b) 3x

2 c)

3x5

y d) b3a

Escribe el grado de estos monomios.

a) 5xz4 b) x2y5z c) 3x6yz d) 12ab4

Copia la siguiente tabla y completa los datos que faltan.

Monomio Coeficiente Parte literal Grado

−xy O O O

O 6 ab4 O

73

74

75

76

77

78

79

80

Resuelve 7x − 3 = 5x − 7.

7x − 3 = 5x − 7 → 7x − 5x = − 7 + 3 → 2x = −4 → x = −4

2 = −2

Ecuaciones de primer grado con una incógnitaTen en cuenta

❚ Regla de la suma: se suma o se resta el mismo número o expresión algebraica a los miembros de una ecuación.

❚ Regla del producto: se multiplican o se dividen los miembros de una ecuación por el mismo número distinto de 0.

Regla de la suma Regla del producto

Actividades Finales 6

189



71 Observa y contesta a las siguientes preguntas. Explica tus respuestas con ayuda del dibujo.

a) ¿Cuántos cuadrados tendrá la figura que ocupa la cuarta posición en la secuencia?

b) ¿Y la que ocupa la décima posición?

c) ¿Cuántos cuadrados tendrá la figura que ocupa el lugar n en la secuencia?

a) 42 + 1 = 17 b) 102 + 1 = 101 c) n2 + 172 Fíjate en la siguiente sucesión de cubos.

a) ¿Cuántos cubos hay en la segunda posición?

b) ¿Y en la tercera?

c) Dibuja la construcción que ocupa la cuarta posición y di cuántos cubos la forman.

a) 4 b) 9 c) 1673 ¿Están escritas estas expresiones en lenguaje numérico o en lenguaje algebraico?

a) 3xy − 5 b) 2 ⋅ (3 + 5) c) 5x2 − 3xy d) 2xy − y

x2

a) Algebraico b) Numérico c) Algebraico d) Numérico74 Expresa en lenguaje algebraico:

a) El triple de un número. c) El producto de dos números diferentes.

b) La cuarta parte de un número. d) La raíz cuadrada de un número.

a) 3x b) x

4 c) x ⋅ y d) x

75 Traduce a lenguaje algebraico:

a) El cuadrado de la diferencia entre un número y su doble. c) Un número más uno, elevado al cuadrado.

b) La mitad del triple de un número, más su doble. d) La suma de un número más la mitad del número más uno.

a) (x − 2x)2 b) 3x

2+ 2x c) (x + 1)2 d) x +

x

2+ 1

76 Copia y completa la tabla con los valores numéricos indicados.

Monomio Coeficiente Parte literal Grado

−xy −1 xy 2

6ab4 6 ab4 5

x = 2 x = 0 x = −2 x = −3

3x2 − 1 11 −1 11 26

(x + 2)2 16 4 0 1

x2

2−

x

3

4

30

8

3

11

2x

2− 3x −5 0 5

15

2

77 Calcula, para x = 2 e y = −1, el valor numérico de:

a) (x + 2y)2 b) 3x − 2y2 c) x

2− y d) 2(x − y)

a) (2 − 2)2 = 0 b) 3 ⋅ 2 − 2 ⋅ (−1)2 = 4 c) 1 + 1 = 2 d) 2(2 − (−1)) = 678 Indica cuáles de estas expresiones algebraicas son monomios. ¿Por qué el resto no lo son?

a) 3xy + y b) 3x5

y c) 3x

2 d) 2b3a

Son monomios la c) y la d). La a) no lo es por que hay sumas y la b) porque y está dividiendo.79 Escribe el grado de estos monomios.

a) 5xz4 b) x2y5z c) 3x6yz d) 12ab4

a) 5 b) 8 c) 8 d) 580 Copia la siguiente tabla y completa los huecos que faltan.



81 Resuelve estas sumas y restas.

a) 5x2 − 3x2 c) 12ab2 + 2ab2 e) −3x + 7x g) 9z − 10z

b) 2xy − 8xy d) −x3y − 2x3y f) 8x2y + x2y h) −z3x + 5xz3

a) 2x2 b) −6xy c) 14ab2 d) −3x3y e) 4x f) −z g) 9x2y h) 4xz3

82 Opera los siguientes monomios.

a) −z + 5z − 12z + 3z c) −8y3 − y3 + 12y3 + 7y3

b) 3xy2 − 5xy2 + xy2 + 12xy2 d) 13x2z + 2x2z − x2z − 20x2z

a) −5z b) 11xy2 c) 10y3 d) −6x2z83 Simplifica estas expresiones.

a) 12z − 5z2 − 4z2 − 3z + 5z c) 3xy2 − 2x2 + x + 7x2 − 5x

b) 3x2 − 2x + 6x − x2 + 12x2 d) 12xy − 3xy + 3x − x + 7y

a) 14z − 9z2 b) 4x + 14x2 c) 3xy2 + 5x2 − 4x d) 9xy + 2x + 7y84 Expresa de forma más sencilla.

a) −z2 +3

5z − 2z +

z2

2−

2z

5 c)

xy

2− x2 y −

xy

3+xy2

2+ xy

b) 12a2 + 5a−a

2+

3

4a−

12

3a2 d)

ab

5− 2b2a +

2ba2

3−

ba

2

a) −z2

2−

9z

5 b) 8a2 +

21

4a c)

7 xy

6+xy2

2− x2 y d) −

3ab

10−

4ba2

385 Multiplica estos monomios.

a) 3x2 ⋅ 2xy c) −8xy2 ⋅ 3x3y e) 12z4 ⋅ (−4x4z2)

b) 6x2 ⋅ (−3x4) d) ab ⋅ 5b3 f) −x2yz3 ⋅ 2xy4z2

a) 6x3y b) −18x6 c) −24x4y3 d) 5ab4 e) −48x4z6 f) −2x3y5z5

132


133

Operaciones con monomios

Resuelve estas sumas y restas.

a) 5x2 − 3x2 e) −3x + 7xb) 2xy − 8xy f) 8x2y + x2yc) 12ab2 + 2ab2 g) 9z − 10zd) −x3y − 2x3y h) −z3x + 5xz3

Opera los siguientes monomios.a) −z + 5z − 12z + 3zb) 3xy2 − 5xy2 + xy2 + 12 xy2

c) −8y3 − y3 + 12y3 + 7y3

d) 13x2z + 2x2z − x2z − 20x2z

Simplifica estas expresiones.

a) 12z − 5z2 − 4z2 − 3z + 5z b) 3x2 − 2x + 6x − x2 + 12x2

c) 3xy2 − 2x2 + x + 7x2 − 5x d) 12xy − 3xy + 3x − x + 7y

Expresa de forma más sencilla.

a) −z2 +3

5z − 2z +

z2

2−

2z

5

b) 12a2 + 5a−a

2+

3

4a−

12

3a2

c) xy

2− x2 y −

xy

3+xy2

2+ xy

d) ab

5− 2b2a +

2ba2

3−

ba

2

Multiplica estos monomios.

a) 3x2 ⋅ 2xy d) ab ⋅ 5b3

b) 6 x2 ⋅ −3x4( ) e) 12z4 ⋅ −4 x4 z2( )

c) −8xy2 ⋅ 3x3y f) −x2yz3 ⋅ 2xy4z2

Opera.

a) 3x3 ⋅ −2( ) ⋅5 x2 c) 2ab2 ⋅ −5b( ) ⋅ −a3( )

b) 12xy ⋅ 3x2y ⋅ y4 d) −zy2 ⋅ 12z4 ⋅ 5y3z

Realiza estas operaciones.

a) 3xy ⋅ 2x2 ⋅ 5x2y3 c) x2

3⋅2x5

4⋅3x

b) 2

3z2 ⋅

z3

5⋅−z

2 d) −

ab

2⋅−2a2b

3⋅2a3b2

Elimina los paréntesis en las siguientes expresiones.

a) 5 ⋅ x − 3x2( ) c) 4 ⋅ 3x − 2 y + 4 xy( )

b) −1

3⋅ 12− 3xy( ) d)

1

2⋅ 4 x2 − 6 x( )

81

82

83

84

85

86

87

88

Resuelve.

a) −x = 12 + 3x − 5x + 8

b) 12x − 4x + 5 = 3x − 10

c) −x + 5 − 3x = 1 − 7x + 3

d) −12 + 3x + 5 = 14

e) 9 − 3x = 2x − 5x + 3 − 6x

f) 3x + 5 − 7x = 12 − x + 3x − 6

Halla el valor de x.

a) 3(x − 1) + 1 = 2x + 8

b) 4 + 2(3 − 4x) = 4 − 10x

c) 5 − 7x = 5(1 − 2x) + 7

d) 8 − x = 9x + 4(2 − x)

Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) 5x − 2(1 − x) = 4

b) −3(2 − 4x) = 5x − 1

c) 2 − 3x = 1 − 4(3x − 2)

d) 4x = −5(1 − 3x) + 5

Determina el valor de x.

a) 3x − (2x − 1) = 5x + 2(3x − 4)

b) 3 + 2(3 − 2x) + 1 = 5 − 3(1 − x)

c) 7x + 1 = 5x − 3(2 − 5x) + 3

d) 4x + 3(2x − 3) = −(3 − 4x) + 5

Determina el valor de la caja en las siguientes situaciones.

a)

b)

c)

98

99

100

101

102

Realiza estas divisiones.

a) 18 x4 : 9 x2( ) d) 15 yx2 : −5 xy( )

b) 5b5 : b2 e) 12ab4 : −3ab2( )

c) 32z4 : 8 z3( ) f) 3x5 yz2 : x4 z( )

Efectúa los cocientes.

a) 2

3x3 :

1

2x

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ c) 12a6b4 :

3

2a2b

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

b) 3xy3

2:xy

6 d) −

xz5

3:xz2

2

Realiza estas divisiones.

a) 3x5y 4

2:x2y3: x c) yz3

2:2z3: (yz )

b) a3b2

5: a2 : a d) a3b :

1

2ab

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ : a

2

Resuelve las multiplicaciones y divisiones respetando la jerarquía de las operaciones.

a) x2 y

3:

x

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ y c) a3b2c

3:ac5⋅b2

b) a2b5⋅ab2

2: a2 d)

x5 y 4 z

2: x2 y( ) : x

2

Ecuaciones

Escribe los miembros, los términos y el grado de estas ecuaciones.a) 3xy + 2 = x − 1 c) 12ab2 − a2 = 5 − ab) 5x3 − 3x2 = − 1 + x d) 3z2 − 2z + 5 = 0

Indica si x = −1 es solución de estas ecuaciones.

a) x − 6 = 2x c) 3x

2+

1

3=

1

6− x

b) x2 − 2x − 3 = 0 d) 3(x + 1) = x − 1

Resuelve.a) 2x − 3 = x + 1 d) 4y − 7 = 2 + 3yb) 5a + 2 = 3 + 4a e) 2 + 8x = 9x + 1c) 2 − z = 3 − 2z f) −b + 7 = 3 − 2b

Halla el valor de x en las ecuaciones.a) 3x = 6 d) 8x = 2b) 8x = −4 e) 3x = 5c) −5x = 25 f) −6x = −8

Calcula el valor de x en cada caso.a) 5x − 3 = 3 + 3x d) 8x − 3 = 4x + 9 b) 3 − 2x = 4 + 5x e) x + 8 = 3x − 4 c) 3x − 1 = 6x + 2 f) 4x + 3 = −2x − 9

89

9190

91

92

93

94

95

96

97

El área de estos rectángulos es 30 cm2. ¿Cuánto miden sus lados?

a)

2 cm

x + 5 cm

b)

x + 2 cm

5 cm

La base de un rectángulo mide el doble que su altura. Si el perímetro del rectángulo es de 60 cm, ¿cuánto mide cada lado?

¿Qué edad tiene cada niño?

Andrea tiene 21 cromos y su hermano Gabriel solo 13. ¿Cuántos le tiene que dar Andrea a Gabriel para que los dos tengan el mismo número de cromos?

En los cuatro exámenes de matemáticas, Luis ha mejorado 1 punto en cada examen respecto al anterior. Si la suma de sus notas es de 26 puntos, ¿qué ha sacado en cada examen?

La longitud que tienen tres velas se diferencia en solo un centímetro. ¿Cuál es la longitud de cada vela si entre las tres suman 33 cm?

Susana ha comido el doble de caramelos que Alina, más dos. Si comieron 20 caramelos, ¿cuántos comió Alina?

La edad de Óliver dentro de 6 años será la mitad que la de su padre. Si el padre tiene ahora 40 años, ¿cuál es la edad de Óliver en la actualidad?

En la cabalgata de este año han llevado el doble de camellos que de dromedarios. Si en total había 30 jorobas, ¿cuántos animales de cada tipo había?

103

104

105

106

107

108

109

110

111

Actividades Finales 6

191



86 Opera.

a) 3x3 ⋅ (−2) ⋅ 5x2 b) 12xy ⋅ 3x2y ⋅ y4 c) 2ab2 ⋅ (−5b) ⋅ (−a3) d) −zy2 ⋅ 12z4 ⋅ 5y3z

a) −30x5 b) 36x3y6 c) 10a4b3 d) −y5z6

87 Realiza estas operaciones.

a) 3xy ⋅ 2x2 ⋅ 5x2y3 b) 2

3z2 ⋅

z3

5⋅−z

2 c)

x2

3⋅2x5

4⋅3x d) −

ab

2⋅−2a2b

3⋅2a3b2

a) 30x5y4 b) −2z6

30= −

z6

15 c)

6 x8

12=

x8

2 d)

4a6b4

6= −

2a6b4

688 Elimina los paréntesis en las siguientes expresiones.

a) 5 ⋅ (x − 3x2) b) −2 ⋅ (12 − 3xy) c) 4(3x − 2y + 4xy) d) 1

2⋅ 4 x2 − 6 x( )

a) 5x − 15x2 b) −24 + 6xy c) 12x − 8y + 16xy d) 4

2x2 −

6

2x = 2x2 − 3x

89 Realiza estas divisiones.

a) 18x4 : (9x2) b) 5b5 : b2 c) 32z4 : (8z3) d) 15yx2 : (−5xy) e) 12ab4 : (−3ab2) f) 3x5yz2 : (x4z)

a) 2x2 b) 5b3 c) 4z d) −3x e) −4b2 f) 3xyz90 Efectúa los cocientes.

a) 2

3x3 :

1

2x

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ b)

3xy3

2:xy

6 c) 12a6b4 :

3

2a 2b

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ d) −

xz5

3:xz2

2

a) 4

3x2 b)

18 y2

2= 9 y2 c)

24

3a4b3 = 8a4b3 d) −

2z3

391 Realiza estas divisiones.

a) 3x5 y 4

2:x2 y

3: x b)

a3b2

5: a2 : a c)

yz3

2:

2z

3: ( yz ) d) a

3b :1

2ab

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟: a2

a) 9 x5 y 4

2x2 y: x =

9 x5 y 4

2x3 y=

9 x2 y3

2 c)

3 yz3

4 z: ( yz ) =

3 yz3

4 yz2=

3z

4

b) a3b2

5a2: a =

a3b2

5a3=b2

5 d)

2a3b

ab: a2 =

2a3b

a3b= 2

92 Resuelve las multiplicaciones y divisiones respetando la jerarquía de las operaciones.

a) x2 y

3:

x

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⋅ y b)

a2b

5⋅ab2

2: a2 c)

a3b2c

3:ac

5⋅ b2 d)

x5 y 4 z

2: x2 y( ) : x

2

a) 2x2 y

3x⋅ y =

2x2 y2

3x=

2xy2

3 c)

5a3b2c

3ac⋅ b2 =

5a3b4c

3ac=

5a2b4

3

b) a3b3

10: a2 =

a3b3

10a2=ab3

10 d)

x5 y 4 z

2x2 y:x

2=

2x5 y 4 z

2x3 y= x2 y3z

93 Escribe los miembros, los términos y el grado de estas ecuaciones.

a) 3xy + 2 = x − 1 b) 5x3 − 3x2 = −1 + x c) 12ab2 − a2 = 5 − a d) 3z2 − 2z + 5 = 0

a) Miembros: 3xy + 2, x − 1 Términos: 3xy, 2, x, −1 Grado: 2

b) Miembros: 5x3 − 3x2, −1 + x Términos: 5x3, −3x2 , −1, x Grado: 3

c) Miembros: 12ab2 − a2, 5 − a Términos: 12ab2, −a2, 5, −a Grado: 3

d) Miembros: 3z2 − 2z + 5, 0 Términos: 3z2, −2z, 5, 0 Grado: 294 Indica si x = −1 es solución de estas ecuaciones.

a) x − 6 = 2x b) x2 − 2x − 3 = 0 c) 3x

2+

1

3=

1

6− x d) 3(x + 1) = x − 1

a) No b) Sí c) No d) No



95 Resuelve.

a) 2x − 3 = x + 1 c) 2 − z = 3 − 2z e) 2 + 8x = 9x + 1

b) 5a + 2 = 3 + 4a d) 4y − 7 = 2 + 3y f) −b + 7 = 3 − 2b

a) 2x − x = 1 + 3 → x = 4 c) −z + 2z = 3 − 2 → z = 1 e) 2 − 1 = 9x − 8x → 1 = x

b) 5a − 4a = 3 − 2 → a = 1 d) 4y − 3y = 2 + 7 → y = 9 f) −b + 2b = 3 − 7 → b = −496 Halla el valor de x en las ecuaciones.

a) 3x = 6 c) −5x = 25 e) 3x = 5

b) 8x = −4 d) 8x = 2 f) −6x = −8

a) x =6

3→ x = 2 c) x =

25

−5→ x = −5 e) x =

5

3

b) x =−4

8→ x =

−1

2 d) x =

2

8→ x =

1

4 f) x =

−8

−6→ x =

4

397 Calcula el valor de x en cada caso.

a) 5x − 3 = 3 + 3x c) 3x − 1 = 6x + 2 e) x + 8 = 3x − 4

b) 3 − 2x = 4 + 5x d) 8x − 3 = 4x + 9 f) 4x + 3 = −2x − 9

a) 5x − 3x = 3 + 3 → 2x = 6 → x =6

3= 3 d) 8x − 4x = 9 + 3 → 4x = 12 → x =

12

4= 3

b) −2x − 5x = 4 − 3 → −7x = 1 → x =1

−7= −

1

7 e) x − 3x = −4 − 8 → −2x = −12 → x =

−12

−2= 6

c) 3x − 6x = 2 + 1 → −3x = 3 → x =3

−3= −1 f) 4x + 2x = −9 − 3 → 6x = −12 → x =

−12

6= 2

98 Resuelve.

a) −x = 12 + 3x − 5x + 8 c) −x + 5 − 3x = 1 − 7x + 3 e) 9 − 3x = 2x − 5x + 3 − 6x

b) 12x − 4x + 5 = 3x − 10 d) −12 + 3x + 5 = 14 f) 3x + 5 − 7x = 12 − x + 3x − 6

a) −x − 3x + 5x = 12 + 8 → x = 20 d) 3x = 14 + 12 − 5 → 3x = 21 → x =21

3= 7

b) 12x − 4x − 3x = −10 − 5 → 5x = −15 → x = −3 e) −3x − 2x + 5x + 6x = 3 − 9 → 6x = −6 → x =−6

6= 1

c) −x − 3x + 7x = 1 + 3 − 5 → 3x = −1 → x =−1

3 f) 3x − 7x + x − 3x = 12 − 6 − 5 → −6x = 1 → x =

6

−6= −

1

699 Halla el valor de x.

a) 3(x − 1) + 1 = 2x + 8 b) 4 + 2(3 − 4x) = 4 − 10x c) 5 − 7x = 5(1 − 2x) + 7 d) 8 − x = 9x + 4(2 − x)

a) 3x − 3 + 1 = 2x + 8 → 3x − 2x = 8 + 3 − 1 → x = 10

b) 4 + 6 − 8x = 4 − 10x → −8x + 10x = 4 − 4 − 6 → 2x = −6 → x =−6

2= −3

c) 5 − 7x = 5 − 10x + 7 → −7x + 10x = 5 + 7 − 5 → 3x = 7 → x =7

3

d) 8 − x = 9x + 8 − 4x → −x − 9x + 4x = 8 − 8 → −6x = 0 → x =0

−6= 0

100 Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) 5x − 2(1 − x) = 4 b) −3(2 − 4x) = 5x − 1 c) 2 − 3x = 1 − 4(3x − 2) d) 4x = −5(1 − 3x) + 5

a) 5x + 2x = 4 + 2 → 7x = 6 → x =6

7 c) −3x + 12x = 1 + 8 − 2 → 9x = 7 → x =

7

9

b) 12x − 5x = −1 + 6 → 7x = 5 → x =5

7 d) 4x − 15x = −5 + 5 → −11x = 0 → x =

0

−11= 0

193



101 Determina el valor de x.

a) 3x − (2x − 1) = 5x + 2(3x − 4) c) 7x + 1 = 5x − 3(2 − 5x) + 3

b) 3 + 2(3 − 2x) + 1 = 5 − 3(1 − x) d) 4x + 3(2x − 3) = −(3 − 4x) + 5

a) 3x − 2x − 5x − 6x = −8 − 1 → −10x = −9 → x =9

10 c) 7x − 5x − 15x = −6 + 3 − 1 → −13x = − 4 → x =

4

13

b) −4x − 3x = 5 − 3 − 3 − 6 − 1 → −7x = −8 → x =8

7 d) 4x + 6x − 4x = −3 + 5 + 9 → 6x = 11 → x =

11

6102 Determina el valor de la caja en las siguientes situaciones.

a) b) c)

a) x + 1 + 1 = 5 → x = 3 kg c) 3x + 1 + 1 = x + 5 + 1 → 3x − x = 6 − 2 → 2x = 4 → x = 2 kg

b) 2x + 1 = x + 5 → 2x − x = 5 − 1 → x = 4 kg103 El área de estos rectángulos es 30 cm2. ¿Cuánto miden sus lados?

a) b)

2 cm

x + 5 cm

x + 2 cm

5 cm

a) (x + 5) ⋅ 2 = 30 → 2x + 10 = 30 → 2x = 20 → x = 10 cm b) 5 ⋅ (x + 2) = 30 → 5x + 10 = 30 → 5x = 20 → x = 4 cm104 La base de un rectángulo mide el doble que su altura. Si el perímetro del rectángulo es de 60 cm, ¿cuánto mide cada lado?

Altura: x Base: 2x x + x + 2x + 2x = 60 → 6x = 60 → x = 10

La base mide 20 cm y la altura mide 10 cm.105 ¿Qué edad tiene cada niño?

x + (x + 4) = (x + 4) + 10 → 2x + 4 = x + 14 → x = 10

Las edades son 10 y 14 años.

106 Andrea tiene 21 cromos y su hermano Gabriel solo 13. ¿Cuántos le tiene que dar Andrea a Gabriel para que los dos ten-gan el mismo número de cromos?

Cromos que pasa Andrea a Gabriel: x 21 − x = 13 + x → −2x = −8 → x = 4 Tiene que darle 4 cromos.107 En los cuatro exámenes de matemáticas, Luis ha mejoreado 1 punto en cada examen repecto al anterior. Si la suma de

sus notas es de 26 puntos, ¿qué ha sacado en cada examen?

x + x + 1 + x + 2 + x + 3 = 26 → 4x = 20 → x = 5 Las notas han sido 5, 6, 7 y 8.108 La longitud que tienen tres velas se diferencia en solo un centímetro. ¿Cuál es la longitud de cada velas si entre las tres

suman 33 cm?

x + x + 1 + x + 2 = 33 → 3x = 30 → x = 10 Las velas miden 10, 11 y 12 cm respectivamente.109 Susana ha comido el doble de caramelos que Alina más dos. Si comieron 20 caramelos, ¿cuántos comió Alina?

Caramelos de Susana: x Caramelos de Alina: 2x + 2 x + 2x + 2 = 20 → 3x = 18 → x = 6

Susana se comió 6 y por tanto, Alina comió 14 caramelos.110 La edad de Óliver dentro de 6 años será la mitad que la de su padre. Si el padre tiene ahora 40 años, ¿cuál es la edad de

Óliver en la actualidad?

Edad de Oliver: x 2(x + 6) = 40 + 6 → 2x + 12 = 46 → 2x = 34 → x = 17111 En la cabalgata de este año han llevado el doble de camello que de dromedarios. Si en total había 30 jorobas, ¿cuántos

animales de cada tipo había?

N.º de dromedarios: x N.º de camellos: 2x x + 2 ⋅ (2x) = 30 → 5x = 30 → x = 6 Había 6 dromedarios y 12 camellos.



Matemáticas vivas

EngranajesSugerencias didácticas

En esta sección trabajamos de un modo más concreto las competencias, en particular la competencia matemática. Se presenta una situación cotidiana, los engranajes, en la que intervienen las ecuaciones.

En la resolución de diferentes actividades de comprensión, relación y reflexión, los alumnos desarrollarán algunas de las com-petencias matemáticas evaluadas por el estudio PISA: Piensa y razona, Comunica, Argumenta, Representa, Utiliza el lenguaje matemático o Resuelve.

Para finalizar la sección, se incluye el apartado Trabajo cooperativo donde se propone una tarea cuya estrategia cooperativa es Plantear el trabajo que se va a realizar, de Ferreiro Gravié.

Para desarrollar esta tarea, los alumnos investigarán cuáles son los desarrollos de las bicicletas que utilizan los ciclistas profe-sionales en las diferentes etapas de una vuelta ciclista.

Soluciones de las actividades

Los engranajes son piezas dentadas que transmiten un movimiento circular.

Al encajar los dientes de las piezas, una rueda gira y arrastra a la otra.

6 MATEMÁTICAS VIVAS

134 135

6Engranajes

Los engranajes son piezas dentadas que transmiten un movimiento circular.

Al encajar los dientes de las piezas, una rueda gira y arrastra a la otra.

RELACIONA

Observa de nuevo los engranajes.

a. Si la rueda grande tiene x dientes, ¿cuántos tendría que tener la rueda pequeña para que, por cada vuelta de la grande, la pequeña diera el doble de vueltas?

b. Si la rueda pequeña tiene x dientes, ¿cuántos tendría que tener la rueda grande para que, por cada vuelta de la pequeña, la grande diera la tercera parte de vueltas?

UTILIZA EL LENGUAJE MATEMÁTICO

La relación entre las vueltas que da cada rueda en un minuto y los dientes de las ruedas es la siguiente:

dp ⋅ vp = dg ⋅ vg

donde:

dp = dientes de la rueda pequeña

vp = velocidad de la rueda pequeña

dg = dientes de la rueda grande

vg = velocidad de la rueda grande

Si un engranaje tiene una rueda de 6 dientes y otra de 15 dientes, y la rueda pequeña tiene una velocidad de engranaje de 5 vueltas por minuto, ¿qué velocidad lleva la rueda grande?

RESUELVE

2

3

COMPRENDE

Observa los engranajes anteriores.

a. ¿Cuántos dientes tiene la rueda grande?

b. ¿Cuántos dientes tiene la rueda pequeña?

c. ¿Qué relación hay entre los dientes de las dos ruedas?

PIENSA Y RAZONA

d. ¿Cuántas vueltas da la rueda pequeña si la grande ha dado 2 vueltas?

e. ¿Cuántas vueltas da la rueda grande si la pequeña ha dado 6 vueltas?

f. ¿Ves alguna relación entre las respuestas anteriores? Explícala con tus palabras.

COMUNICA

g. ¿Cuántos dientes tendrían que tener las ruedas para que, por cada vuelta de la rueda grande, la pequeña diera 2 vueltas?

ARGUMENTA

h. Dibuja cómo serían las ruedas del apartado anterior.

REPRESENTA

1

REFLEXIONA

Las bicicletas utilizan dos engranajes unidos por una cadena de transmisión para moverse. Esta cadena sirve para transmitir el movimiento de los pedales a la rueda de la bicicleta.

La mayoría de las bicicletas tienen varios platos y varios piñones para ir modificando lo que se llama desarrollo, que es el número de metros recorridos con cada pedalada.

El desarrollo de una bicicleta se calcula con esta fórmula:

desarrollo =perímetro de la rueda ⋅n.° de dientes del plato

n.° de dientes del piñón

La siguiente tabla muestra el desarrollo de una bicicleta que utiliza un plato con 42 dientes y diferentes piñones. El perímetro de la rueda es de 2,07 m, que es el más usual en una bicicleta de montaña.

N.º de dientes del piñón 12 18 22 24 32

Desarrollo 7,25 4,83 3,95 3,62 2,72

a. Realiza una tabla en la que figuren los diferentes desarrollos que puede tener una bicicleta con los platos y los piñones indicados.

REPRESENTA

b. Calcula los siguientes desarrollos y reflexiona sobre cuál utilizaríais para rodar en un llano, en una cuesta o en una bajada.

ARGUMENTA

4

TRABAJO

COOPERATIVO

195



Comprende1 Observa los engranajes anteriores.

a) ¿Cuántos dientes tiene la rueda grande?

b) ¿Cuántos dientes tiene la rueda pequeña?

c) ¿Qué relación hay entre los dientes de las dos ruedas?

d) ¿Cuántas vueltas da la rueda pequeña si la grande ha dado 2 vueltas?

e) ¿Cuántas vueltas da la rueda grande si la pequeña ha dado 6 vueltas?

f) ¿Ves alguna relación entre las respuestas anteriores? Explícala con tus palabras.

g) ¿Cuántos dientes tendrían que tener las ruedas para que, por cada vuelta de la rueda grande, la pequeña diera 2 vueltas?

h) Dibuja cómo serían las ruedas del apartado anterior.

a) 12 dientes

b) 8 dientes

c) La relación es 8 a 12.

d) La grande se mueve 24 dientes luego la pequeña da 24 : 8 = 3 vueltas.

e) La pequeña se mueve 48 dientes luego la grande da 48 : 12 = 4 vueltas.

f) Por cada 2 vueltas de la grande la pequeña da 3 vueltas.

g) La rueda grande debería tener el doble de dientes que la pequeña.

h) Por ejemplo, dos ruedas, una con 6 dientes y otra con 12.

Relaciona2 Observa de nuevo los engranajes.

a) Si la rueda grande tiene x dientes, ¿cuántos tendría que tener la rueda pequeña para que, por cada vuelta de la grande, la pequeña diera el doble de vueltas?

b) Si la rueda pequeña tiene x dientes, ¿cuántos tendría que tener la rueda grande para que, por cada vuelta de la peque-ña, la grande diera la tercera parte de vueltas?

a) La mitad de dientes b) El triple de dientes3 La relación entre las vueltas que da cada rueda en un minuto y los dientes de las ruedas es la siguiente:

dp ⋅ vp = dg ⋅ vg

donde:

dp = dientes de la rueda pequeña dg = dientes de la rueda grande

vp = velocidad de la rueda pequeña vg = velocidad de la rueda grande

Si un engranaje tiene una rueda de 6 dientes y otra de 15 dientes, y la rueda pequeña tiene una velocidad de engranaje de 5 vueltas por minuto, ¿qué velocidad lleva la rueda grande?

6 ⋅ 5 = 15 ⋅ x → 30 = 15x → x = 2

La velocidad es de 2 vueltas por minuto.



Reflexiona4 Las bicicletas utilizan dos engranajes unidos por una cadena de transmisión para moverse. Esta cadena sirve para trans-

mitir el movimiento de los pedales a la rueda de la bicicleta.

La mayoría de las bicicletas tienen varios platos y varios piñones para ir modificando lo que se llama desarrollo, que es el número de metros recorridos con cada pedalada.

El desarrollo de una bicicleta se calcula con esta fórmula: desarrollo =perímetro de la rueda ⋅n.° de dientes del plato

n.° de dientes del piñón

La siguiente tabla muestra el desarrollo de una bicicleta que utiliza un plato con 42 dientes y diferentes piñones. El perí-metro de la rueda es de 2,07 m, que es el más usual en una bicicleta de montaña.

N.° de dientes del piñón 12 18 22 24 32

Desarrollo 7,25 4,83 3,95 3,62 2,72

a) Realiza una tabla en la que figuren los diferentes desarrollos que puede tener una bicicleta con los platos y los piñones indicados.

b) Calcula los siguientes desarrollos y reflexiona sobre cuál utilizaríais para rodar en un llano, en una cuesta o en una bajada.

a) N.º de dientes del piñón

11 15 19 32

N.º

pla

to 22 4,14 3,04 2,40 1,42

32 6,02 4,42 3,79 2,07

44 8,28 6,07 4,79 2,85

Trabajo cooperativo

Respuesta abierta.

b) ❚ 2,07 ⋅ 44

11= 8,28 m . Desarrollo largo para las bajadas.

❚ 2,07 ⋅22

32= 1,42 m. Desarrollo corto para las subidas.

❚❚2,07 ⋅32

19= 3,49 m . Desarrollo medio para los llanos.

197



136


CÁLCULO MENTAL Estrategia para RESOLVER ECUACIONES SENCILLAS

Hay ecuaciones sencillas que se prestan a hacer un cálculo mental rápido para hallar el valor de x:

SI TENGO… ME PREGUNTO… Y RESUELVO

x + 5 = 7 ¿Qué número hay que sumar a 5 para que dé 7? x = 2

3x = 15 ¿Qué número hay que multiplicar a 3 para que dé 15? x = 5

CM1. Indica cómo resolverías las siguientes ecuaciones mentalmente.

a) x + 8 = 10 f) 4 − x = 2

b) x − 4 = 10 g) 12 + x = 10

c) 4 + x = 12 h) 3 − x = 4

d) 12 = x − 8 i) 2 = 10 − x

e) 3 = x − 6 j) 5 − x = 8

CM2. Resuelve mentalmente. ¿Qué pregunta te haces?

a) 4x = 12 c) 7x = −14

b) 8x = 24 d) −2x = 6

CM3. Resuelve mentalmente. ¿Qué preguntas te haces?

a) 2x − 4 = 10 b) 3x + 2 = 8

Observa cómo se eliminan los denominadores en una ecuación:

x − 2

3− 2 =

5 x

6−

3

4 →

12 ⋅ ( x − 2)

3−12 ⋅2 =

12 ⋅5 x

6−

12 ⋅3

4 → 4(x − 2) − 24 = 2 ⋅ 5x − 3 ⋅ 3 →

Multiplicamos todos los términos por el mínimo

común múltiplo de los denominadores. Simplifi camos todoslos denominadores.

Resolvemos la ecuación.

→ 4x − 8 − 24 = 10x − 9 → 4x − 10x = −9 + 8 + 24 → −6x = 23 → x = −23

6

AVANZA Ecuaciones con denominadores

A1. Resuelve.

a) 3x

2+

5

3= 7 d)

7

2− x =

3x

4

b) x

5+ 1 =

3

2 e) x −

3

2=

x

5

c) 3x

4− 2 =

x

3 f)

3x

4−

1

3=

5

6

A2. Halla el valor de x en estas ecuaciones.

a) 3x −1

2+ 5 = 2x −

3− 2x

4

b) 2x −2− 6 x

3=

1

4+x −1

2

c) 3x −1

2+

5− 2x

6= 2−

x −1

9

A3. Halla el valor de x.

a) 3x + 1

2+x −1

5=

x + 5

3

b) 3( x − 2)

5−

2(3− 2x )

4= 1

c) 5 x −7(4− 3x )

2= 5−

3( x −1)

6

d) 2( x −7)

3−

x −1

2= 5 +

2(3−5 x )

6

A4. La mitad de un número más su tercera parte suman 15. ¿De qué numero se trata?

A5. Ainhoa tiene la mitad de caramelos que Ander. Si este tiene 10 caramelos más que su amiga, ¿cuántos caramelos tiene cada uno?


En la sección Avanza de esta unidad se introduce la resolu-ción de ecuaciones con denominadores.

La resolución de este tipo de ecuaciones y de otros se traba-jará con mayor profundidad en cursos superiores.


A1. Resuelve.

a) 3x

2+

5

3= 7 c)

3x

4− 2 =

x

3 e) x −

3

2=

x

5

b) x

5+ 1=

3

2 d)

7

2− x =

3x

4 f)

3x

4−

1

3=

5

6

a) 6 ⋅3x

2+ 6 ⋅

5

3= 6 ⋅7 → 9 x + 10 = 42 → 9 x = 32 → x =

32

9

b) 10 ⋅x

5+ 10 ⋅1= 10 ⋅

3

2→ 2x + 10 = 15 → 2x = 5 → x =

5

2

c) 12 ⋅3x

4−12 ⋅2 = 12 ⋅

x

3→ 9 x − 24 = 4 x → 5 x = 24 → x =

24

5

d) 4 ⋅7

2− 4 ⋅ x = 4 ⋅

3x

4→ 14− 4 x = 3x → 14 = 7 x → x = 2

e) 10 ⋅ x −10 ⋅3

2= 10 ⋅

x

5→ 10 x −15 = 2x → 8 x = 15 → x =

15

8

f) 12 ⋅3x

4−12 ⋅

1

3= 12 ⋅

5

6→ 9 x − 4 = 10 → 9 x = 14 → x =

14

9

Avanza. Ecuaciones con denominadores



A2. Halla el valor de x en estas ecuaciones.

a) 3x −1

2+ 5 = 2x −

3− 2x

4

b) 2x −2− 6 x

3=

1

4+x −1

2

c) 3x −1

2+

5− 2x

6= 2−

x −1

9

a) 4 ⋅3x −1

2+ 4 ⋅5 = 4 ⋅2x − 4 ⋅

3− 2x

4→ 2(3x −1) + 20 = 8 x − (3− 2x ) →

→ 6x − 2 + 20 = 8x − 3 + 2x → −4x = −21 → x =−21

−4=

21

4

b) 12 ⋅2x −12 ⋅2− 6 x

3= 12 ⋅

1

4+ 12 ⋅

x −1

2→ 24 x − 4(2− 6 x ) = 3 + 6( x −1) →

→ 24x − 8 + 24x = 3 + 6x − 6 → 42x = 5 → x =5

42

c) 18 ⋅3x −1

2+ 18 ⋅

5− 2x

6= 18 ⋅2−18 ⋅

x −1

9→ 9(3x −1) + 3(5− 2x ) = 36− 2( x −1) →

→ 27x − 9 + 15 − 6x = 36 − 2x + 2 → 23x = 32

A3. Halla el valor de x.

a) 3x + 1

2+x −1

5=

x + 5

3

b) 3( x − 2)

5−

2(3− 2x )

4= 1

c) 5 x −7(4− 3x )

2= 5−

3( x −1)

6

d) 2( x −7)

3−

x −1

2= 5 +

2(3−5 x )

6

a) 30 ⋅3x + 1

2+ 30 ⋅

x −1

5= 30 ⋅

x + 5

3→ 15(3x + 1) + 6( x −1) = 10( x + 5) →

→ 45 x + 15 + 6 x − 6 = 10 x + 50 → 41x = 41→ x = 1

b) 20 ⋅3( x − 2)

5− 20 ⋅

2(3− 2x )

4= 20 ⋅1→ 12( x − 2)−10(3− 2x ) = 20 →

→ 12x − 24 − 30 + 20x = 20 → 32x = 74 → x =74

32=

37

16

c) 6 ⋅5 x − 6 ⋅7(4− 3x )

2= 6 ⋅5− 6 ⋅

3( x −1)

6→ 30 x − 21(4− 3x ) = 30− 3( x −1) →

→ 30x − 84 + 63x = 30 − 3x + 3 → 96x = 117 → x =117

96=

39

32

d) 6 ⋅2( x −7)

3− 6 ⋅

x −1

2= 6 ⋅5 + 6 ⋅

2(3−5 x )

6→ 4( x −7)− 3( x −1) = 30 + 2(3−5 x ) →

→ 4x − 28 −3x +3 = 30 + 6 −10x → 11x = 61 → x =61

11

A4. La mitad de un número más su tercera parte suman 15. ¿De qué número se trata?x

2+x

3= 15 → 6 ⋅

x

2+ 6 ⋅

x

3= 6 ⋅15 → 3x + 2x = 90 → 5 x = 90 → x = 18

El número es el 18.

199



A5. Ainhoa tiene la mitad de caramelos que Ander. Si este tiene 10 caramelos más que su amiga, ¿cuántos caramelos tiene cada uno?

x −x

2= 10 → 2 ⋅ x − 2 ⋅

x

2= 2 ⋅10 → 2x − x = 20 → x = 20

Ander tiene 20 y Ainhoa tiene 10 caramelos.

Cálculo mental. Estrategia para resolver ecuaciones sencillasSugerencias didácticas

Para finalizar la unidad se trabaja una estrategia de cálculo mental para resolver ecuaciones sencillas, basada en el razona-miento ¿Qué número hay que sumar/restar/multiplicar/dividir a esta cantidad para que dé esta otra cantidad?


CM1. Indica cómo resolverías las siguientes ecuaciones mentalmente.

a) x + 8 = 10 f) 4 − x = 2

b) x − 4 = 10 g) 12 + x = 10

c) 4 + x = 12 h) 3 − x = 4

d) 12 = x − 8 i) 2 = 10 − x

e) 3 = x − 6 j) 5 − x = 8

a) x = 2 f) x = 2

b) x = 14 g) x = −2

c) x = 8 h) x = −1

d) x = 20 i) x = 8

e) x = 9 j) x = −3

CM2. Resuelve mentalmente. ¿Qué pregunta te haces?

a) 4x = 12 c) 7x = −14

b) 8x = 24 d) −2x = 6

a) ¿Qué número hay que multiplicar a 4 para que dé 12? x = 3

b) ¿Qué número hay que multiplicar a 8 para que dé 24? x = 3

c) ¿Qué número hay que multiplicar a 7 para que dé −14? x = −2

d) ¿Qué número hay que multiplicar a −2 para que dé 6? x = −3

CM3. Resuelve mentalmente. ¿Qué preguntas te haces?

a) 2x − 4 = 10 b) 3x + 2 = 8

a) ¿Cuál es el número cuyo doble menos 4 es 10? x = 7

b) ¿Cuál es el número cuyo triple más 2 es 8? x = 2



1. Continúa las siguientes secuencias de números.

a) 5, 10, 15, 20, ___, ___, ___,…

b) 9, 12, 15, 18, ___, ___, ___,…

a) 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35,…

b) 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27,…

2. Traduce las siguientes frases al lenguaje algebraico.

a) Un número más su doble menos tres.

b) El triple de la suma de dos números.

a) x + 2x − 3

b) 3(x + y)

3. Realiza las siguientes operaciones con monomios.

a) 3x + 3x2 − 5x + 7x − 6x2

b) 3x ⋅ (5xy2)

a) −3x2 + 5x

b) 15x2y2

4. Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) 3x + 1 = 5x − 3 − x

b) x − 7 − 5x = 3 + 6x

a) 1 + 3 = 5x − x − 3x

4 = x

b) x − 5x − 6x = 3 + 7

−10x = 10

x =−10

10= −1

5. El doble de las canicas que tiene Andrea es igual al número de canicas que tiene más 8 canicas. ¿Cuántas canicas tiene Andrea?

Andrea tiene x canicas.

2x = x + 8

2x − x = 8

PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA A

201



1. Escribe el número que ocupa el lugar n en las siguientes series de números.

a) 3, 12, 27,… b) 0, 2, 4, 6,…

a) 3 = 3 ⋅ 12 b) 0 = 2 ⋅ (1 − 1)

12 = 3 ⋅ 22 2 = 2 ⋅ (2 − 1)

27 = 3 ⋅ 32 4 = 2 ⋅ (3 − 1)

N = 3 ⋅ n2 6 = 2 ⋅ (4 − 1)

N = 2 ⋅ (n − 1)

2. Traduce al lenguaje algebraico estas frases.

a) El cuadrado de un número es igual a su mitad más 3.

b) La suma de dos números consecutivos es 45.

a) x2 =x

2+ 3

b) Un número: x

Su consecutivo: x + 1

x + (x + 1) = 45

3. Realiza las siguientes operaciones con monomios.

a) (3x + 2y) ⋅ x b) (8xy2 + 4x2 − 12x3y) : (2x)

a) 3x2 + 2yx b) 4y2 + 2x − 6x2y

4. Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) 3x − 6 − 5x = 2x + 11 b) 5 − 2(1 − 3x) = 5x − 3

a) 3x − 5x − 2x = 11 + 6 b) 5 − 2 + 6x = 5x − 3

−4x = 17 6x − 5x = −3 − 5 + 2

x = −17

4 x = −6

5. Alberto ha comprado 2 bolígrafos y 3 cuadernos y ha pagado 7 €. Si los cuadernos cuestan 1 € más que los bolígrafos, ¿cuánto cuesta un bolígrafo? ¿Y un cuaderno?

Los bolígrafos cuestan x.

Los cuadernos cuestan x + 1.

2 ⋅ (x) + 3 ⋅ (x + 1) = 7

2x + 3x + 3 = 7

5x = 4

x =4

5= 0,8

Los bolígrafos cuestan 0,80 €, y los cuadernos 1,80 €.

PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA B

6 niciacin a ea 6 INICIACIÓN AL ÁLGEBRA · se formaliza el concepto de ecuación así como el de...

Documents

Transcript of 6 niciacin a ea 6 INICIACIÓN AL ÁLGEBRA · se formaliza el concepto de ecuación así como el de...