Ch. 6 Larson/Farber

Estatística Aplicada

Larson Farber

6 Intervalos de confiança

Ch. 6 Larson/Farber

Intervalos de confiançaIntervalos de confiançaIntervalos de confiançaIntervalos de confiança

para a médiapara a médiapara a médiapara a média

(amostras grandes)(amostras grandes)(amostras grandes)(amostras grandes)

Seção 6.1

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Estimativa pontual

DEFINIÇÃO:Uma estimativa pontual é a estimativa de um único valor para um parâmetro populacional. A melhor estimativa pontual da média populacional é a média amostral .

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Exemplo: estimativa pontual

A média amostral é:

A estimativa pontual para o preço de todos os bilhetes só de ida de Atlanta a Chicago é de US$ 101,77.

A seguir, você verá uma amostra aleatória com 35 preços de passagens

(em dólares) para um vôo só de ida de Atlanta a Chicago. Determine a

estimativa pontual para a média populacional, �F.

99101107

102109

98

105103101

10598

107

10496

105

959894

100104111

11487

104

108101

87

103106117

94103101

10590

3.562101,77

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Uma estimativa intervalar é um intervalo (ou amplitude) de valores usado para estimar um parâmetro populacional.

•101,77

Estimativa pontual

( )•101,77

O nível de confiança, c, é a probabilidade de que a estimativa intervalar contenha o parâmetro populacional em questão.

Estimativas intervalares

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0 z

Distribuição amostral de

Para c = 0,95

0,950,0250,025

95% de todas as médias amostrais terão escores z entre z = –1,96 e z = 1,96.

Distribuição demédias amostrais

Quando o tamanho da amostra é de pelo menos 30, a distribuição amostral para é normal.

–1,96 1,96

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O erro máximo da estimativa, E, é a maior distância possível entre a estimativa pontual e o valor doparâmetro que se está estimando,a dado nível de confiança, c.

Quando n $30, o desvio padrão amostral, s, pode ser usado no lugar de .

Usando zc = 1,96, s = 6,69 e n = 35,

Você tem uma confiança de 95% de que o erro máximo seja de US$ 2,22.

Erro máximo da estimativa

Determine E, o erro máximo da estimativa, para o preço de um bilhete só de ida de Atlanta a Chicago, a um nível de confiança de 95%, dado que s = 6,69.

6,696,691,96

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Definição: um intervalo de confiança c para a média populacional é:

Intervalos de confiança para

Você encontrou = 101,77 e E = 2,22.

•101,77( )

Extremo esquerdo

99,55

Extremo direito

103,99

Com 95% de confiança, você pode dizer que a média de preço para o bilhete só de ida de Atlanta a Chicago fica entre US$ 99,55 e US$ 103,99.

Determine o intervalo de confiança de 95% para o bilhete só de ida de Atlanta a Chicago.

101,77 – 2,22 = 99,55 101,77 + 2,22 = 103,99

99,55 103,99

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Tamanho da amostraDados um nível de confiança c e um erro máximo da estimativa E, o tamanho mínimo da amostra n necessário para se estimar , a média populacional, é:

Você deverá incluir ao menos 43 bilhetes na sua amostra. Como já tem 35, você precisará de mais 8.

Você quer estimar a média de preço para um bilhete só de ida de Atlanta a Chicago. Quantos bilhetes terão de ser incluídos em sua amostra se você quiser estar 95% seguro de que a média amostral está a no máximo US$2 da média populacional?

1,96 6,6942,98

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Intervalos de confiança Intervalos de confiança Intervalos de confiança Intervalos de confiança

para a médiapara a médiapara a médiapara a média

(amostras pequenas)(amostras pequenas)(amostras pequenas)(amostras pequenas)

Seção 6.2

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0t

n = 13g.l. = 12c = 90%

0,90

A distribuição t

–1,782 1,782

O valor crítico para t é de 1,782. 90% das médias amostrais (n = 13) estarão entre t = –1,782 e t = 1,782.

0,05 0,05

Distribuição amostral de

Se a distribuição de uma variável aleatória x é normal e n < 30, a distribuição amostral de será uma distribuição t com n – 1 graus de liberdade.

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O intervalo de confiançaem amostras pequenas

2. O erro máximo da estimativa é

1. A estimativa pontual é = 4,3 libras.

Erro máximo da estimativa:

Em uma amostra aleatória de 13 adultos norte-americanos, a média de lixo reciclado por pessoa foi de 4,3 libras por dia, com um desvio padrão de 0,3 libra. Admita que a variável seja normalmente distribuída e construa um intervalo de confiança de 90% para .

1,782 0,1480,3

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•4,3

O intervalo de confiançaem amostras pequenas

4,15 < < 4,45

(

Extremo esquerdo

4,152)

Extremo direito

4,448

Com 90% de confiança, você pode dizer que a média de lixo reciclado por pessoa está entre 4,15 e 4,45 libras por dia.

2. O erro máximo da estimativa é:

1. A estimativa pontual é: = 4,3 libras

1,782 0,1480,3

4,3 – 0,148 = 4,152 4,3 + 0,148 = 4,448

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Intervalos de confiança Intervalos de confiança Intervalos de confiança Intervalos de confiança

para proporções para proporções para proporções para proporções

populacionaispopulacionaispopulacionaispopulacionais

Seção 6.3

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Se e , a distribuição amostral para é normal.

Intervalos de confiançapara proporções populacionais

é a estimativa pontual para a proporção de fracassos, onde

A estimativa pontual para p, a proporção populacional de sucessos, é dada pela proporção de sucessos em uma amostra

(Lido como p chapéu.)

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Intervalos de confiançapara proporções populacionais

O erro máximo da estimativa, E, para um intervalo de confiança c é:

Um intervalo de confiança c para uma proporção populacional, p, é:

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1. A estimativa pontual para p é:

2. Como 1.907(0,235) $ 5 e 1.907(0,765) $ 5, a distribuição amostral é normal.

Intervalo de confiança para p

Em um estudo com 1.907 acidentes de tráfico, 449 estavam relacionados ao uso de álcool. Construa um intervalo de confiança de 99% para a proporção de acidentes fatais relacionados ao álcool.

3.

1.9070,235

0,235 0,765

2,575(0,235)(0,765)

0,0251.907

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0,21 < p < 0,26

(

Extremo esquerdo

0,21•0,235

)

Extremo direito

0,26

Com 99% de confiança, você pode dizer que a proporção de acidentes fatais relacionados ao álcool está entre 21% e 26%.

Intervalo de confiança para p

Em um estudo com 1.907 acidentes de tráfico, 449 estavam relacionados ao uso de álcool. Construa um intervalo de confiança de 99% para a proporção de acidentes fatais relacionados ao álcool.

0,235 – 0,025 = 0,21 0,235 + 0,025 = 0,26

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Se você tem uma estimativa premilinar para p e q, o tamanho mínimo da amostra necessário para se estimar p, dados um intervalo de confiança c e o erro máximo da estimativa E, é:

Tamanho mínimo da amostra

Se você não tiver uma estimativa preliminar, use 0,5 para .e

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Você precisará de uma amostra com pelo menos 4.415 acidentes.

Como não há estimativas preliminares, use 0,5 para

Exemplo: tamanhomínimo da amostra

Você deseja estimar a proporção de acidentes fatais relacionados ao álcool a um nível de confiança de 99%. Determine o tamanho mínimo da amostra necessário para estimar a proporção populacional com uma precisão de 2%.

.e

2,575(0,5)(0,5)

0,024.414,14

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Com uma amostra preliminar você precisa den = 2.981 para sua amostra.

Exemplo: tamanhomínimo da amostra

Você deseja estimar a proporção de acidentes fatais relacionados ao álcool a um nível de confiança de 99%. Determine o tamanho mínimo da amostra necessário para estimar a proporção populacional com uma precisão de 2%. Use uma estimativa preliminar de p = 0,235.

2,575

0,02(0,235)(0,765) 2.980,05

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Intervalos de confiança Intervalos de confiança Intervalos de confiança Intervalos de confiança

para variância e desvio para variância e desvio para variância e desvio para variância e desvio

padrãopadrãopadrãopadrão

Seção 6.4

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A estimativa pontual para é s2 e para é s.

A distribuição qui-quadrado

Se o tamanho da amostra é n, use uma distribuição qui-quadrado χ 2 com n – 1 g.l. para formar um intervalo de confiança c.

A área à direita de χR2 é (1 – 0,95)/2 = 0,025 e a área à

direita de χL2 é (1 + 0,95)/2 = 0,975

χR2 = 28,845χL

2 = 6,908

6,908 28,845

0,95

Se o tamanho da amostra é 17, há 16 g.l.

Determine χR2, ó valor crítico da cauda à direita, e χL

2, o valor crítico da cauda à esquerda, para c = 95% e n = 17.

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Um intervalo de confiança cpara uma variância populacional é:

Para estimar o desvio padrão tire a raiz quadrada de cada extremo.

Você seleciona ao acaso os preços de 17 CD players. O desvio padrão amostral é de US$ 150. Construa um intervalo de confiança de 95% para e .

Intervalos de confiança para

28,845 6,908

12.480,50 52.113,49

e

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Intervalos de confiança para

Para estimar o desvio padrão tire a raiz quadrada de cada extremo.

Determine a raiz quadrada de cada parte.

Você pode dizer, com 95% de confiança, que está entre 12.480,50 e 52.113,49 e entre US$ 117,72 e US$ 228,28.

12.480,50 52.113,49

US$ 117,72 US$ 228,28

e