Extensiones del modelo de regresin lineal con dos variables

Extensiones delmodelo de regresinlineal con dos variablesRegresin a travs del origenHay ocasiones en las cuales la funcin de regresin poblacional (FRP) de dos variables adquiere la siguiente forma:

En este modelo, el trmino del intercepto est ausente o es cero, lo cual explica el nombre: regresin a travs del origen.

A manera de ilustracin consideremos el modelo de asignacin de precios de activos de capital (CAPM, del ingls capital asset pricing model) de la teora moderna de portafolios, la cual, en su versin de prima por riesgo, se expresa como:

Donde:

ERi = tasa esperada de rendimiento del ttulo i.ERm = tasa esperada de rendimiento del portafolios del mercado como la representa, por ejemplo, el ndice compuesto de acciones S&P 500.rf = tasa de rendimiento libre de riesgo, por ejemplo, el rendimiento de los bonos del Tesoro estadounidense a 90 das.i = el coeficiente Beta, una medida de riesgo sistemtico, es decir, el riesgo que no se ha eliminado con la diversificacin. Asimismo, es una medida del grado en el cual la i-sima tasa de rendimiento del ttulo se mueve con el mercado. Un i > 1 implicaun ttulo voltil o riesgoso, mientras que i < 1 es un ttulo seguro. (Nota: No confunda esta i con el coeficiente de la pendiente de la regresin con dos variables, 2.)Si los mercados de capitales funcionan de manera eficiente, el CAPM postula que la prima esperada por el riesgo del ttulo (= ERi rf) es igual a ese coeficiente del ttulo multiplicado por la prima esperada del riesgo del mercado (= ERm rf). Si el CAPM se mantiene se da la situacin que se indica a continuacin:

La lnea que aparece en la figura se conoce como lnea del mercado de valores (LMV).Para fines empricos, el CAPM suele expresarse as:

Este ltimo modelo se conoce como el Modelo del Mercado. Si el CAPM es vlido, se espera que i sea cero, como se muestra a continuacin:

Observen que la ltima ecuacin, la variable dependiente, Y, es (Ri rf), y la variable explicativa, X, es i, el coeficiente de volatilidad, y no (Rm rf). Por consiguiente, para realizar la regresin, se debe estimar primero i, el cual se obtiene por lo general de la lnea caracterstica.

6Como muestra este ejemplo, algunas veces la teora que sirve de base requiere que el trmino del intercepto est ausente del modelo. La hiptesis del ingreso permanente de Milton Friedman, que afirma que el consumo permanente es proporcional al ingreso permanente, es otro caso en el que el modelo de intercepto cero puede ser apropiado, como tambin en la teora del anlisis de costos, que postula que la variable costo de produccin es proporcional a la produccin; y algunas versiones de la teora monetarista que afirman que la tasa de cambio de los precios (es decir, la tasa de inflacin) es proporcional a la tasa de cambio de la oferta monetaria.Cmo se estiman modelos stos modelos y qu problemas presentan?

Para responder, primero escribimos la FRM, a saber:

Es interesante comparar estas frmulas con las obtenidas cuando se incluye el trmino del intercepto en el modelo:

Nota: Se trata de sumas de cuadrados simples (es decir, no corregidas por la media) y de productos cruzados.Formas funcionales de los modelos de regresinComo se menciono anteriormente, la Ctedra trata sobre todo con modelos lineales en los parmetros, que pueden ser o no lineales en las variables. En las secciones que siguen consideraremos algunos modelos de regresin muy comunes, que pueden ser no lineales en las variables pero s lineales en los parmetros, o que pueden serlo mediante transformaciones apropiadas de las variables. En particular, analizaremos los siguientes modelos de regresin:

El modelo log-lineal.Modelos semilogartmicos.Modelos recprocos.El modelo logartmico recproco.

A continuacin, analizaremos las caractersticas especiales de cada modelo, los casos en los cuales su uso es apropiado y la forma de estimarlos. Cmo medir la elasticidad: modelo log-linealConsidere el siguiente modelo, conocido como modelo de regresin exponencial:

que puede expresarse tambin como:

donde ln = logaritmo natural (es decir, logaritmo en base e y donde e = 2,718).Si escribimos la ecuacin anterior como:

donde = ln 1, este modelo es lineal en los parmetros y 2, lineal en los logaritmos de las variables Y y X, y se estima por regresin MCO. Debido a esta linealidad, tales modelos se denominan modelos log-log, doble-log o log-lineales.

Si se cumplen los supuestos del modelo clsico de regresin lineal, los parmetros de la ltima ecuacin se estiman por el mtodo MCO, considerando que

Una caracterstica atractiva del modelo log-log, que lo ha hecho muy popular en el trabajo emprico, es que el coeficiente de la pendiente 2 mide la elasticidad de Y respecto de X, es decir, el cambio porcentual en Y ante un pequeo cambio porcentual en X. As, si Y representa la cantidad demandada de un bien y X su precio unitario, 2 mide la elasticidad-precio de la demanda, parmetro de gran inters en economa. Si la relacin entre la cantidad demandada y el precio es como se muestra en la figura a), la transformacin doble-log de la figura b) dar entonces la estimacin de la elasticidad-precio (2).

Modelos semilogartmicos: log-lin y lin-logCmo medir la tasa de crecimiento: modelo log-linA los economistas, comerciantes y gobiernos con frecuencia les interesa encontrar la tasa de crecimiento de ciertas variables econmicas, como poblacin, PNB, oferta monetaria, empleo, productividad y dficit comercial.

Supongan que deseamos conocer la tasa de crecimiento del gasto de consumo personal en servicios para los datos de la tabla que se indica a continaucin. Sea Yt el gasto real en servicios en el tiempo t y Y0 el valor inicial del gasto en servicios (es decir, el valor al final del cuarto trimestre de 2002). Gasto personal total y categoras (miles de millones de dlares de 2000 ajustados por la inflacin; datos trimestrales con tasas anuales ajustadas por estacionalidad)

Recordaran la muy conocida frmula del inters compuesto, vista en los cursos bsicos de economa.donde r es la tasa de crecimiento compuesta de Y (es decir, a travs del tiempo). Con el logaritmo natural anterior, nos queda:

Escribimos entonces,Al agregar el trmino de perturbacin, obtenemos:

Este modelo es como cualquier otro modelo de regresin lineal en el sentido de que los parmetros 1 y 2 son lineales. La nica diferencia es que la variable dependiente o regresada es el logaritmo de Y y la regresora o variable explicativa es el tiempo, que adquiere valores de 1, 2, 3, etctera.

Los modelos recin vistos, se denominan modelos semilog porque slo una variable (en este caso, la regresada) aparece en forma logartmica. Para fines descriptivos, un modelo en el cual la variable regresada es logartmica se denomina modelo log-lin. Ms adelante, consideraremos un modelo en el cual la variable regresada es lineal pero la(s) regresora(s) es (son) logartmica(s): un modelo lin-log.Antes de presentar los resultados de la regresin, examinemos las propiedades del modelo anterior. En este modelo, el coeficiente de la pendiente mide el cambio proporcional constante o relativo en Y para un cambio absoluto dado en el valor de la regresora (en este caso, la variable t), es decir,

Si multiplicamos el cambio relativo en Y por 100, el ratio anterior dar entonces el cambio porcentual, o la tasa de crecimiento, en Y ocasionada por un cambio absoluto en X, la variable regresora.

Es decir, 100 por 2 da como resultado la tasa de crecimiento en Y; 100 por 2 se conoce, en la bibliografa, como la semielasticidad de Y respecto de X.El modelo lin-logA diferencia del modelo de crecimiento recin estudiado, en el cual nos interesaba encontrar el crecimiento porcentual en Y ante un cambio unitario absoluto en X, ahora deseamos encontrar el cambio absoluto en Y debido a un cambio porcentual en X. Un modelo que cumple este propsito, se escribe como:

Con fines descriptivos se le llama modelo lin-log.Interpretemos el coeficiente de la pendiente 2. Como de costumbre,

El segundo paso se deriva de que un cambio en el log de un nmero es un cambio relativo.

Simblicamente, tenemos:

donde, como es usual, denota un cambio pequeo. La ecuacin anterior se escribe, en forma equivalente, as:

Esta ecuacin plantea que el cambio absoluto en Y (= Y) es igual a la pendiente multiplicada por el cambio relativo en X. Si este ltimo se multiplica por 100, entonces la ltima ecuacin da el cambio absoluto en Y ocasionado por un cambio porcentual en X. As, si X/X cambia en 0,01 unidades (o 1%), el cambio absoluto en Y es 0,01(2). Por tanto, si en una aplicacin se encuentra que 2 =500, el cambio absoluto en Y es (0,01)(500) = 5,0. Por consiguiente, cuando se utiliza MCO para estimar regresiones como en modelo lin-log, se debe multiplicar el valor del coeficiente estimado de la pendiente por 0,01, o, lo que es lo mismo, dividirlo entre 100. Si no tiene presente lo anterior, la interpretacin en una aplicacin ser muy equivocada.La pregunta prctica es: cundo resulta til un modelo lin-log?

Se ha encontrado una interesante aplicacin en los as llamados modelos de gasto Engel.Engel postul que: el gasto total que se dedica a los alimentos tiende a incrementarse en progresin aritmtica, mientras que el gasto total aumenta en progresin geomtrica.-Una progresin aritmtica es una sucesin de nmeros tales que la diferencia de dos trminos sucesivos cualesquiera de la secuencia es una constante, cantidad llamada diferencia de la progresin o simplemente diferencia o incluso "distancia".-Una progresin geomtrica es una secuencia en la que el elemento se obtiene multiplicando el elemento anterior por una constante denominada razn o factor de la progresin25Debe sealarse que, algunas veces, la transformacin logartmica se emplea para reducir la heteroscedasticidad, as como la asimetra.

Una caracterstica comn de muchas variables econmicas es que tienen asimetra positiva (por ejemplo, distribucin del tamao de las empresas, o distribucin del ingreso o riqueza) y son heteroscedsticas.

Una transformacin logartmica de dichas variables reduce tanto la asimetra como la heteroscedasticidad.

Por eso, los economistas laborales acostumbran usar logaritmos de los salarios en la regresin de stos sobre, por poner un ejemplo, el nivel de escolaridad, medido ste por los aos de educacin recibida.Modelos recprocosLos modelos del siguiente tipo se conocen como modelos recprocos:

A pesar de que este modelo es no lineal en la variable X porque entra inversamente o en forma recproca, el modelo es lineal en 1 y 2, y, por consiguiente, es un modelo de regresin lineal.Este modelo tiene las siguientes caractersticas: a medida que X aumenta indefinidamente, el trmino 2 (1/X) se acerca a cero (nota: 2 es una constante) y Y se aproxima al valor lmite o asinttico 1. Por consiguiente, modelos como recprocos contienen un valor asinttico o lmite que tomar la variable dependiente cuando el valor de la variable X aumente indefinidamente.

Algunas formas probables de la curva correspondiente al modelo se muestran en las siguientes grficas:

Ejemplo: La curva de PhillipsUna aplicacin importante es la conocida curva de Phillips de macroeconoma.

Con base en los datos de tasa de variacin porcentual de los salarios nominales (Y ) y la tasa porcentual de desempleo (X) en el Reino Unido durante el periodo 1861 a 1957, Phillips obtuvo una curva cuya forma general se parece a la figura b) (de la grfica anterior).

Al sustituir esta suposicin en la ecuacin anterior y escribir el modelo de regresin en la forma estndar, obtenemos la siguiente ecuacin de estimacin:

Modelo log hiprbola o recproco logartmicoConcluimos este anlisis de los modelos recprocos con el modelo recproco logartmico, que adopta la siguiente forma:

Su forma se ilustra en la grfica. Como se muestra ah, al principio Y se incrementa con una tasa creciente (es decir, la curva es convexa al inicio) y luego aumenta con una tasa decreciente (la curva se convierte en cncava). Por consiguiente, este modelo sera apropiado para representar una funcin de produccin de corto plazo. Recuerden que la microeconoma establece que si el trabajo y el capital son insumos en una funcin de produccin, y si se mantiene constante el insumo capital pero se incrementa el insumo mano de obra, la relacin entre producto y mano de obra de corto plazo se parecer a la grfica.