EL SOL BRILLANDO... i Y YO CIEGO!

•   Estas palabras me las comentó hace muchos años un cieguito en un parque de Los Angeles, donde yo, como joven, me senté a pasar las horas del día sintiéndome muy triste y solo. El cieguito, ya muy anciano, se entretenía en dar de comer a las palomas y entablamos conversación.

•  

• Le comenté hasta cierto punto algo de lo que estaba sintiendo y el ancianito me preguntó:

•   -¿Has visto lo lindo que brilla el sol?• Sin darme cuenta que a quien me

hablaba no podía ver, le contesté:-          En realidad ni me había fijado.

•  El anciano me contestó:•  -“ EL SOL BRILLANDO Y TU CIEGO...”

• Han pasado muchos años de aquel encuentro y muchos años para darme cuenta que muchas veces vamos por la vida “CIEGOS”. Nos levantamos con el “PROBLEMA” y caminamos todo el día con el “PROBLEMA” y el sol y la vida brillando a nuestro alrededor y no lo vemos.

•  • No permitas que pase tu día sin mirar aquello

hermoso que te rodea. No pierdas ni un minuto más oscureciendo tu vida la de otros a tu alrededor. Todos tenemos problemas, pero recuerda que éstos son nuestra oportunidad para aprender y crecer.

•  • QUE NO PASE UN DIA MAS DONDE TERMINES DICIENDO:• “EL SOL BRILLANDO...¡Y YO CIEGO!”

Reducción para ángulos positivos menores de una vuelta.

Reducción para ángulos mayores de una vuelta.

Reducción para ángulos negativos.

Reducción para ángulos menores de una vuelta

Sabemos que todo ángulo positivo menor de una vuelta (360º) se puede descomponer como un ángulo cuadrantal, más o menos un ángulo agudo, dependiendo del cuadrante al que pertenece.

Si el ángulo pertenece al segundo cuadrante lo descomponemos como(180º -α)

Si pertenece al tercer cuadrante lo descomponemos como (α – 180º)

Si pertenece al cuarto cuadrante lo descomponemos como (360º -α)

Se denomina así al ángulo agudo que forma el lado final de un ángulo mayor de 90º respecto al eje de las abscisas .

Para hallar el ángulo referencial aplicamos las siguientes fórmulas según el cuadrante al que pertenecen el ángulo final del ángulo dado.

EJEMPLO 1- Reducir al primer cuadrante Sen 240º

• Solución:• 240 Є al III C• Su ángulo referencial es (α – 180º)• 240 – 180 = 60• El Seno en el III C es negativo ( – )• Entonces Sen 240º = – Sen 60º

II C

180º -α

I C

α

III C

α -180º

IV C

360º -α

EJEMPLO 2- Reducir al primer cuadrante Ctg 280º

• Solución:• 280 Є al IV C• Su ángulo referencial es (360º - α )• 360 – 280 = 80• La cotangente en el IV C es negativo( -)• Entonces Ctg 280º = - Ctg 80º

EJERCICIOS:Reduce los siguientes ángulos al primer cuadrante

Cos 140º

Csc 3 /4

Sen 300º

Sec 170º

SEGUNDO CASO: REDUCCIÓN PARA ANGULOS MAYORES DE

UNA VUELTA Cuando el ángulo es mayor de 360º se

siguen los siguientes pasos:1. Dividimos el ángulo dado entre 360º ó 2

dependiendo del sistema en que se trabaje.2. Las funciones trigonométricas del ángulo

dado son iguales a las respectivas F.T. del residuo ( de la división efectuada)

3. Si dicho residuo es menor de 90º ó /2, el problema habrá concluido, pero si fuera mayor, entonces aplicamos cualesquiera de lo métodos explicados en el primer caso.

EJEMPLOReducir al primer cuadrante Sen 2910º

• Solución:• 2910• Su residuo es 30º • 30 Є al I C• Angulo referencial es 30 y (+)• Entonces Sen 2910º = Sen 30º = 1/2

360

EJERCICIOS:Reduce los siguientes ángulos al primer cuadrante

• Tg 1845º• Cos 1290º• Sen 3930º• Tg 313 /3

Reducción para ángulos negativos• Cuando el ángulo es negativo se siguen los siguientes

pasos:1. Función trigonométrica del ángulo positivo se convierte a

F.T. de ángulo positivo2. Se aplican las reglas anteriores

Sen (-α) = - Sen α

Cos (-α) = Cos α

Tg (-α) = - Tg α

Ctg (-α) = - Ctg α

Sec (-α) = Sec α

Csc (-α) = - Csc α

EJEMPLOReducir al primer cuadrante Sen (-210º)

• Solución:Solución: Sen ( -210º ) = – ( sen 210)Sen ( -210º ) = – ( sen 210)Pero 210 Pero 210 ЄЄ III cuadrante III cuadranteAngulo referencial es 210 – 180º = 30ºAngulo referencial es 210 – 180º = 30ºSigno del coseno en el III C es negativo Signo del coseno en el III C es negativo Entonces sen ( -210º) = + sen 30º = ½Entonces sen ( -210º) = + sen 30º = ½

EjerciciosReducir al primer cuadrante.

• Tg (-1458º)• Ctg (-252º)• Cos (-260º)• Sec(- 1260º)

Simplificar

1.- R = tg( + x) . Cos ( 270º -x)

ctg (270º + x) . Sen (360º - x)

a)1 b) -1 c)0 d) 2 e) N.A.

2.- E = tg (540º - A) . Ctg (360º +A) Cos (180º + A) + 2 Sen (90º+A)

a) Sec A b) – Sec A c) ½ d)-1 e) N.A.

3.Reducir y calcular:

• F = Sen 6540º + Sec 7590º Tg 4290

a) -5√ 3 b) -7√ 3 c) -7 d) 7√ 3 e) 3√ 3 2 2 2 2 2

4. Hallar el valor de:

• M = Sen 140º – – tg 320º• Cos 230º ctg 130º

• a) 1 b) -1 c) 2 d) -2 e) 0