5TO AÑO - IV BIM - COMPENDIO 2013 - FIN

CEP Santa María de la Providencia

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Aritmética

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1. CONCEPTO

La estadística es una metodología que nos

provee de un conjunto de métodos, pautas

y procedimientos, para la recolección,

organización (clasificación), análisis e

interpretación de datos en forma

adecuada, para en base de ellos, tomar

decisiones cuando existen situaciones de

incertidumbre.

Ejemplo:

Estudiar la variación mensual del precio

del dólar durante los últimos 5 años,

para averiguar qué mes del año es el

más favorable para comprar dólares.

El grado de aceptación de un producto

por los consumidores para averiguar la

rentabilidad de un negocio dedicado a

tal producto.

2. CLASES DE ESTADÍSTICA

Descriptiva

Inferencial

2.1. Estadística Descriptiva

Parte de la estadística que se ocupa

de la recolección, organización,

presentación, descripción y

simplificación de datos.

2.2. Estadística Inferencial

Es la parte de la estadística, que en

base a los resultados y análisis de los

datos aplicando las teorías necesarias,

pretende inferir las peculiaridades y

las leyes que gobiernan la población

de la cual proceden los datos.

3. CONCEPTO BÁSICOS

3.1. Población

Conjunto de todos los individuos en las

cuales se presentan una característica

que se tiene interés en estudiar.

3.2. Muestra

Es un subconjunto de la población,

elegido convenientemente con el

propósito de obtener información y

conclusiones de la población del cual

proviene.

Se toman muestras cuando es difícil o

costosa la observación de todos los

elementos de la población.

4. VARIABLE ESTADÍSTICA

Una variable es un símbolo que representa

a uno de los elementos de un conjunto de

datos.

Ejemplo:

Sea “x” la variable “estatura” de los alumnos

de 4to. de secundaria entonces “x” puede

tomar los valores siguientes:

x1 = 1,68 mts. x2 = 1,66 mts.

x3 = 1,52 mts. x4 = 1,85 mts.

5. CLASIFICACIÓN DE VARIABLES

5.1. Variable Cualitativa

Cuando presenta una cualidad o

atributo de la población.


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Ejemplo:

- Estadio civil

5.2. Variable Cuantitativa

Cuando los valores que asume son

números, como resultado de conteos.

Ejemplo:

Peso, edad, estatura, etc.

6. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: O

PROMEDIOS

Existen diferentes tipos de promedios,

entre ellos los más usuales son:

La media aritmética o media.

a) La mediana.

b) La moda.

c) La media geométrica.

d) La media cuadrática.

e) La media armónica.

7.1. Para datos sueltos:

Sean los siguientes datos:

a1, a2, a3, a4, … , an

A. MEDIA ARITMÉTICA a.m)x(

)x( = n

a...aaa n321

Ejemplo:

Dados los siguientes datos: 4, 12, 5, 7, 8, 6

Hallar la media aritmética.

Solución:

6

6875124x

= 8,4

x = 8,4

B. MEDIANA (Me)

La mediana de un conjunto de datos

ordenados en forma creciente o decreciente

es la cantidad que divide a los datos en dos

grupos de igual número de elementos.

Caso 1: n = impar término

central

Caso 2: n = par semisuma de los

dos términos centrales

Ejemplo 1 :

Considérense las siguientes 6 datos de

medida de pesos.

3,8 kg, 4, 6; 5,2; 9,0; 8,4; 3,6

Solución:

Ordenando los datos:

3,6; 3,8; 4,6; 5,2; 8,4; 9,0

n = 6 n : par

Me = Enésima t3 y t4

Me = 2

8,9

2

2,56,4

Me = 4,9

Ejemplo 2 :

Considere los siguientes 7 datos de notas

de los alumnos del 4to. año 08, 09, 12,

05, 14, 06, 08.

Solución:


0,5, 06, 08, 08, 09, 12, 14

Luego n = 7; n = impar

Me = Término central

Me = 08

C. MODA (Mo)

Es un rango de la variable que se repite

con mayor número de veces en la

distribución.

Ejemplo:

Consideremos los siguientes datos:

10, 13, 11, 8, 9, 10, 13, 8, 10, 14, 11, 12

Solución:


8, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 13, 13, 14

notamos que el dato con mayor repetición

es 10.

Mo = 10


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Organización y representación de

datos en una tabla de frecuencias

Veamos previamente algunas definiciones:

Tamaño de muestra (n)

Número total de datos

Alcances (A)

Intervalo definido por los datos de menor y

mayor valor.

Rango (R)

También llamado “recorrido de los datos” es la

diferencia entre el mayor y el menor de los

valores que toma la variable.

Determinación del número de intervalos

(k)

Si “n” es el número de datos, entonces:

k = n es el número de intervalos que se

recomienda dividir la muestra.

“En realidad NO existe una regla fija para

determinar el número óptimo de intervalos.

Juega un papel importante el CRITERIO del

investigador”

Determinación del tamaño de los

intervalos

Dividimos el rango (R) entre el número de

intervalos (k), también se le denomina

amplitud de clase.

NOTA: Cada uno de los intervalos se considera cerrado a la izquierda y abierto a la derecha. Esta regla no se aplica al último intervalo, el cual se considera cerrado a la derecha.

1. De los siguientes datos:

8, 12, 15, 15, 13, 21, 24, 36.

Hallar su x

a) 16 b) 18 c) 20

d) 22 e) 24

2. De los siguientes datos:

1.20; 1.22; 1.20; 1.18; 1.35

Hallar su x

a) 1.20 b) 1.21 c) 1.22

d) 1.23 e) 1.25

3. En la última práctica calificada de aritmética

se obtuvieron las siguientes notas de 5

alumnos.

08, 12, 14, 06, 20

Hallar Me respectivamente.

a) 8 b) 6 c) 12

d) 14 e) 20

4. En el último examen se obtuvieron las

siguientes notas de 8 alumnos: 12, 14, 16, 12,

14, 08, 05, 03. Hallar Me respectivamente.

a) 8 b) 12 c) 12,5

d) 14 e) 14,5

5. De los siguientes datos hallar la moda:

6, 8, 4, 6, 6, 8, 4, 12, 13, 4, 6

a) 4 b) 6 c) 8

d) 12 e) 13

6. De los siguientes datos halla la mediana:

14, 16, 25, 36, 18, 12, 11, 16, 14

a) 12 b) 11 c) 14

d) 16 e) 25

7. De los siguientes datos no agrupados hallar

la media aritmética:

26, 34, 24, 16, 14, 12, 16, 18

a) 26 b) 34 c) 20

d) 12 e) 18


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8. Las edades de los 10 alumnos de 4to. año

son los siguientes: 14, 15, 16, 14, 15, 15, 16,

14, 14, 14

Hallar: x , Mo, Me. Dar como respuesta la

suma de ellos.

a) 14 b) 14,5 c) 14,7

d) 28,5 e) 43,2

9. A continuación se muestra las notas

obtenidas por 30 alumnos de un aula en el

último examen bimestral de Aritmética

18 13 18 17 12

13 14 16 18 13

14 15 14 12 20

15 16 14 18 16

16 16 14 17 18

17 17 12 17 19

Construir una tabla de frecuencias, hallando:

a) Tamaño de la muestra

b) Alcance

c) Rango

d) El número de intervalos

e) El ancho de los intervalos

10. A continuación se muestra los pesos de 24

personas

64 65 52 57 56 69

72 75 53 54 68 65

64 63 52 66 57 61

66 65 67 68 62 65

1. Indicar la “ x ” de los siguientes datos:

6, 8, 14, 16, 18, 9, 6

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 14

2. Indicar la “Me” de los siguientes datos:

12, 14, 16, 17, 14, 14, 14, 14, 16, 13, 11, 11

a) 13 b) 14 c) 16

d) 17 e) 13

3. Del problema “2” indicar la “Mo”

a) 12 b) 14 c) 16

d) 17 e) 13

4. Dados los siguientes datos de las edades de

10 profesores de ciencias:

22, 25, 23, 36, 32, 36, 23, 23, 23, 25

Dar la “Mo”

a) 22 b) 23 c) 25

d) 28 e) NA

5. Del problema anterior hallar la “me”

a) 24 b) 26,2 c) 26

d) 26,6 e) 26,8

6. Del problema “4” dar la x

a) 26 b) 26,2 c) 26,4

d) 26,6 e) 26,8

7. A continuación se muestra los pesos de 24

personas

64 65 52 57 56 69

72 75 53 54 68 65

64 63 52 66 57 61

66 65 67 68 62 65

Construir una tabla de frecuencias, hallando: a) Tamaño de la muestra b) Alcance c) Rango d) El número de intervalos e) El ancho de los intervalos


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Marca de Clase (Xi)

Es el promedio de los límites de un intervalo de clase.

Frecuencia absoluta simple (fi)

Se llama frecuencia absoluta de un valor de variable, al número de veces que se repite dicho valor

en el conjunto de datos.

Frecuencia absoluta acumulada (Fi)

Es la suma de las frecuencias relativas correspondientes a los datos menores e iguales al dato en

referencia.

Frecuencia Relativa (hi)

La frecuencia relativa de un valor, es el cociente de su frecuencia absoluta entre el tamaño de la

muestra.

hi = n

fi

Frecuencia Relativa Acumulada (hi)

La frecuencia relativa de un valor, es el cociente de su frecuencia absoluta entre el tamaño de la

muestra.

Hi = Fi

n

Tabla de distribución de frecuencias


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01.- A continuación se muestra las notas obtenidas por 40 alumnos de un aula en el último examen

bimestral de Aritmética

16 15 12 17 16 19

12 15 13 14 18 15

14 13 12 16 17 19

16 15 17 18 12 15

15 14 18 16 17 14

12 16 18 17 19 20

13 14 16 15

Construir la tabla de distribución, hallar la marca de clase, las frecuencias absolutas, la frecuencia

acumulada, la frecuencia relativa simple y la frecuencia relativa acumulada.

02.- A continuación se muestra los pesos de 24 personas

40 64 42 70 56 63

58 68 53 64 68 62

62 63 55 56 57 62

67 85 57 58 66 68

Construir la tabla de distribución, hallar la marca de clase, la frecuencia absoluta, la frecuencia

acumulada, la frecuencia relativa simple y la frecuencia relativa acumulada.

03.- A continuación se muestra las edades de 24 personas

10 14 23 34 16 40

15 16 11 38 18 25

18 18 18 35 37 12

16 15 11 27 21 18

Construir la tabla de distribución, hallar la marca de clase, la frecuencia absoluta, la frecuencia

acumulada, la frecuencia relativa simple y la frecuencia relativa acumulada


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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS AGRUPADOS Media Aritmética

k

i ii 1

X .f

Xn

Donde: K = número de intervalos de clase Xi = Marca de clase de la clase i fi = Frecuencia absoluta de clase i hi = Frecuencia relativa de la clase i Para el ejemplo

680X 17

40

Mediana (Me)

m 1

e m mm

nF

2M L W .f

Donde:

Lm : Límite inferior de la clase mediana

Wm : Amplitud de la clase mediana

n : número total de datos

Fm-1 : Frecuencia absoluta acumulada dela clase que precede a la clase mediana

fm : Frecuencia absoluta de la clase mediana


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Para nuestro ejemplo:

e

4018

1152M 15 5. 16,427 7

Moda (Mo)

1

o1 2

dM Lo Wo

d d

Donde:

Lo : Límite inferior de la clase modal.

Wo : Amplitud de la clase modal.

d1 : diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase precedente.

d2 : diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase siguiente.

Para el ejemplo: f2 = 10 ……. Ahí se ubica la clase modal. d1 = 10 – 8 = 2 d2 = 10 – 7 = 3

o

o

2M 10 5

2 3

M 12


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MEDIDAS DE DISPERSIÓN Miden el grado de dispersión de los datos respecto a un promedio. Las medidas de dispersión que estudiaremos son: VARIANZA La varianza de un conjunto de datos mide la dispersión matemática de los datos con respecto a la media.

2i i2 f (X X)

sn

Donde:

fi : frecuencia de cada una de las clases

Xi : marca de clase de la clase i

X : media aritmética

n : total de datos

DESVIACIÓN ESTANDAR Es la raíz cuadrada de la varianza.

Desviación estándar = s =

2i if (X X)

n

COEFICIENTE DE VARIACIÓN Es la relación entre la desviación estándar y la media aritmética.

C.V. = s

X ó C.V. =

s100%

X


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01.- A continuación se muestra las notas obtenidas por 18 alumnos de un aula en el último examen

bimestral de Aritmética

16 15 12 17 16 18

12 15 13 14 18 15

14 13 15 16 17 20

Construir la tabla de distribución, Hallar la media, la m ediana, la moda, la varianza la desviación

estándar y el coeficiente de variación

02.- A continuación se muestra los pesos de 24 personas

40 64 42 70 56 63

58 68 53 64 68 62

62 63 55 56 57 62

67 85 57 58 66 68

Construir la tabla de distribución, Hallar la media, la mediana, la moda, la varianza la desviación


03.- A continuación se muestra las edades de 24 personas

10 14 23 34 16 40

15 16 11 38 18 25

18 18 18 35 37 12

16 15 11 27 21 18

Construir la tabla de distribución, Hallar la media, la mediana, la moda, la varianza la desviación



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01.- Dado el siguiente cuadro estadístico. Halle a+b+c, si los intervalos de clase tienen ancho común

Ii Xi fi Fi hi Hi

[ 0 ; > 20

[ 20 ; > 30

[ ; > a c 0,20

[ ; > b 0,70

[ 32 ; ] 60

a) 150 b) 166 c) 170 d) 180 e) 145 02.- La siguiente tabla muestra la distribución de las estaturas correspondientes a 80 basquetbolistas de un club, determine que tanto por ciento de los basquetbolistas miden menos de 200cm y f5

Ii (cm) fi Fi hi

[ 170 ; 180 >

[ 180 ; 190 > 48 60

[ 190 ; 200 > 0,125

[ 200 ; 210 > 0,075

[ 210 ; 220 >

a) 85% ; 5 b) 85,5% ; 4 c) 87,5% ; 4 d) 88% ; 5 e) 75% ; 5 03.- Calcule la mediana en:

Ii Xi fi hi Hi

[ 30 ; 50 > 0,20

[ ; > 20

[ ; > 0,90

[ ; >

TOTAL 50

a) 50 b) 66 c) 70 d) 65 e) 55


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04.- Calcule la moda en:

Ii fi Fi hi

[ 20 ; > 12

[ ; > 0,15

[ ; >

[ ; >

[ 60 ; > 60

a) 35 b) 36 c) 40 d) 45 e) 55 05.- Calcule a+b+c

Ii fi Fi hi

[ 10 ; >

[ ; > 5

[ ; > 3

[ ; > c a

[ ; 40 > 1 20 b

a) 18,35 b) 18,36 c) 19,40 d) 19,45 e) 55 05.- Calcule la media aritmética

Ii Xi fi Fi

[ 200 ; > a

[ ; > b/9 70

[ ; 500 > b c

[ ; > 3a 160

a) 18,35 b) 18,36 c) 19,40 d) 19,45 e) 55 06.- Calcular a . b + f1 + f3 + n + x3

Ii Xi fi hi

[ 2 ; b > a f1

[ ; > 8 5 0,125

[ ; >

[ ; > 0,375

n

a) 85 b) 86 c) 94 d) 96 e) 85


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1. En el siguiente cuadro de frecuencias:

[20;30>

[30;50>

[50;80>

[80;90>

8

9

12

11

40

Determinar la suma de las frecuencias relativas del primer y tercer intervalo de clase

a) 0,36 d) 9,55 b) 0,45 e) 0,60 c) 0,50

2. El siguiente cuadro muestra la estatura de un grupo de estudiantes.

Hallar el número total de estudiantes. A) 80 B) 70 C) 60 D) 50 E) 40

3. Hallar la frecuencia de la clase [1,75 - 1,79], con respecto al cuadro anterior.

A) 20 B) 25 C) 30 D) 10 E) 12

4. La siguiente tabla muestra las puntuaciones en un test de aptitud vocacional sometido a 30 personas.

Complete la tabla y responder ¿Cuántas personas obtuvieron de 73 a 83 puntos? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7


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5. En base a la siguiente tabla de distribución de frecuencias:

xi = n° de hijos por familia

f i = n° de familias

Calcular el porcentaje de familias que tienen menos de 5 hijos.

A) 88% B) 68% C) 30% D) 24% E) 4,12%

6. Completar la siguiente tabla de distribución de frecuencias e indicar el valor de f1 + f3.

[20;30>

[ ;40>

[ ;50>

[ ;60]

0,40

0,08

20

10

Total

a) 24 c) 44

b) 34 d) 50 e) 40

7. Se tiene la siguiente tabla de frecuencias incompleta:

Notas hi Hi

[0 ; 4 > 0,18

[4 ; 8 > 0,44

[8 ; 12 >

[12 ; 16 > 0,12 0,91

[16 ; 20 >

Halla la nota promedio

a) 10,80 b) 9,80 c) 7,85

d) 8,72 e) 7,89


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INTERÉS : Es la suma de dinero o ganancia que produce un capital, al ser prestado durante cierto tiempo a una tasa porcentual fijada. Para éste capitulo es necesario que tengas en cuenta ciertos conceptos: Rédito : Es la tasa porcentual al que fue sometido o prestado el capital, esto siempre será representado en porcentaje por ejemplo: 10%; 1,5%; etc, etc. Capital : Es la cantidad de dinero que es prestado o depositado en alguna entidad financiera.

Además debes saber que existen dos tipos de interés: interés simple e interés compuesto. Se dice interés simple cuando los intereses que gana el capital se retiran, quedando el capital constante. Ejemplo: Sea un Capital = 2000 soles y el rédito = 10% y el tiempo = 3 periodos Como se ve en el ejemplo el capital siempre es 2000 soles y además el interés es contante de periodo a periodo.

Fórmula para hallar el interés Simple:

C t r I

100

I : Interés C : Capital t : Tiempo (años, meses, días) r : Rédito (tasa porcentual %) OBSERVACIONES:

El denominador de la fórmula varía de acuerdo al tiempo: * Si el tiempo está en años el denominador es : 100 * Si el tiempo está en meses el denominador es: 1200 * Si el tiempo está en días el denominador es: 36 000

En este capítulo se debe tomar en cuenta que :

Mes Comercial = 30 días

Año Comercial = 360 días.

Mes calendario o normal tiene la cantidad de días dependiendo del mes a tratar, por ejemplo el mes de enero tiene 31 días.

I periodo II periodo III periodo

C= 2000 C= 2000 C= 2000

Interés= 200 Interés= 200 Interés= 200


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Año calendario tiene 365 días si el año NO es bisiesto y si el año es bisiesto tendría 366 días ya que en el mes de febrero se aumenta 1 día más, es decir el mes de febrero tiene 29 días.

El rédito para ser reemplazado en la fórnula siempre debe estar expresado en periodo ANUAL, y no en periodos parciales, y si lo fuera se tiene que encontrar el equivalente anual, como por ejemplo:

10% diario 10% . 360 = 3600% anual

10% mensual 10% . 12 = 120% anual

10% bimestral 10% . 6 = 60% anual

10% trimestral 10% . 4 = 40% anual

10% cuatrimestral 10% . 3 = 30% anual

10% semestral 10% . 2 = 20% anual

10% pentamestral 10% . 2,4 = 24% anual

10% octomestral 10% . 1,5 = 15% anual

10% quincenal 10% . 24 = 240% anual

10% semanal 10% . 360

7 =

3600

7% anual

Ejemplo: Hallar el interés que produce un capital de 200 soles, prestado al 40% bimestral en 8 meses. Solución: Capital = 200 Tiempo = 8 meses Rédito(Tasa) = 40% bimestral (este dato no se debe aplicar en la fórmula porque está en bimestres)

Rédito = 40 . 6 240% anual

200 8 240% I 320

1200

Monto (M) .- El monto es la cantidad de dinero que se paga al final del préstamo es decir el capital (dinero prestado) más el interés ( la ganancia).

Monto C I Nota: Un año es bisiesto cuando el número que se le designa es divisible por cuatro, sin embargo los años acabados en dos ceros sólo son bisiestos en el caso de que sea también divisibles por 400, asi el año 2 000 es bisiesto pero no fue así en los casos de 1700, 1800 y 1900.

1. Cual es la utilidad de un capital de 4000 dólares, que fue prestado al 10% semestral durante 2 trimestres.

a) 200 b) 400 c) 500 d) 600 e) 100

2. Cual es el beneficio que un capital de 2500 dólares produce al ser invertido al 5% pentamestral, durante 3 cuatrimestres.

3. a) 300 b) 400 c) 700 d) 250 e) 150

4. Cual es el rédito semestral al fue prestado un capital de 3600 soles, durante 5 meses ganando 600 soles.

a) 10% b) 20%


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Sec - IV Bim

c) 40% d) 60% e) 5%

5. Un capital de 2000 soles fue prestado a “x” meses ganando 100 soles al 20% cuatrimestral. Hallar “x”.

a) 8 b) 5 c) 2 d) 3 e) 1

6. Cual es el capital que ganó 600 dólares al ser prestado durante un semestre, al 5% octomestral.

a) 12000 b) 24000 c) 15000 d) 16000 e) 18000

7. ¿En cuanto se convierte S/. 3000 al ser depositado durante 2 bimestres, al 10% trimestral?

a) 400 b) 2500 c) 3400 d) 500 e) 200

8. Si César prestó S/. 6000, durante 28 días, al 1,5% semestral. Cuanto le cancelarón por dicho préstamo.

a) 14 b) 5114 c) 6014 d) 8105 e) 214

9. Se prestó S/. 3600 durante 2/3 de mes, al 1,4% semanal. Cual es el monto?

a) 744 b) 144 c) 2514 d) 3744 e) 577

10. ¿Durante cuanto tiempo hay que depositar un capital para que se triplique al 10%?

a) 10 años b) 50 meses c) 40 días d) 20 años e) 60 días

11. ¿Durante cuanto tiempo hay que depositar un capital para que se cuadruplique al 15%?

a) 20 años b) 40 semanas c) 50 días d) 60 quincenas e) 10 bimestres

12. Cuál es el interés compuesto que produce S/.10000 al 2%, capitalizable anualmente en 2 años.

a) 10404 b) 140 c) 540 d) 404 e) 504

13. Cuál es el interés compuesto que produce S/. 20000 al 2% anual, capitalizable semestralmente en un año.

a) 20412 b) 1440 c) 1444 d) 402 e) 122

14. ¿A que porcentaje se debe colocar un capital para que en 2 años y 6 meses produzca un interés igual al 3/5 del monto?

a) 50% b) 10% c) 60% d) 70% e) 9%

15. ¿A cuantos meses se debe colocar un capital al 10% semestral produzca un interés son los 1/7 del monto?

a) 20 meses b) 30 meses c) 50 meses d) 10 meses e) 15 meses

16. ¿A cuantos días se debe colocar un capital al 5% semestralmente para que gane un interés igual al 10% del monto?

a) 500 b) 200 c) 700 d) 150 e) 400

17. Se prestó un capital al 7% si se hubiese impuesto dos año más al mismo porcentaje, el interés habría sido el 125% del anterior. ¿Por cuánto tiempo se prestó?

a) 6 b) 8 c) 9 d) 5


24

Guía Didáctica

Aritmética

5to.

Sec - IV Bim

e) 10

18. Una persona divide su capital en tres partes iguales y la impone al 1% mensual, 5% trimestral y 4% semestral respectivamente logrando una renta anual de S/. 1000. ¿Cuál era su capital? a) 7200 b) 7500 c) 7400 d) 7800 e) 7900

19. Una persona coloca la quinta parte de su capital durante un semestre al 3% trimestral y el resto durante 5 meses al 2% bimestral, ganando una renta total de S/.260. a) 1000 b) 4000 c) 6000 d) 5000 e) 5500

20. Si se hubiese depositado un capital al 5% en lugar del 3% se hubiese ganado S/.200 más. ¿Cuál es el interés que se hubiera ganado en el mismo plazo anterior si la tasa hubiera sido 10%? a) 1200 b) 1000 c) 5000 d) 2000 e) 300

21. Por cuantos años se prestará un capital al 7% anual para que el monto sea S/. 4050 sabiendo que si se presta al 7,5% semestral el monto que se genera es de 5250? a) 3 b) 5 c) 6 d) 7 e) 4

1. Calcular el interés producido por S/. 3000 impuestos al 15% durante 3 años. a) S/. 500 b) 600 c) 800 d) 1000 e) N.A. 2. Determinar el interés generado al depositar S/. 3600 al 9% trimestral durante 8 meses. a) S/. 500 b) 624 c) 700 d) 764 e) 864 3. ¿Cuál es el capital que se coloca al 30% durante 5 años, para obtener un interés de S/. 3000? a) S/. 1000 b) 1200 c) 1500 d) 2000 e) 3500 4. ¿A qué tasa de interés la suma de 20000 llegará a un monto de 30000

colocado a un interés simple en un año y 6 meses? a) 10% b) 20 c) 30 d) 40 e) N.A. 5. ¿Cuál es el monto producido por un capital de S/. 8000 colocados al 9% anual durante 4 años y 7 meses? a) S/. 8000 b) 53000 c) 6000 d) 11000 e) 11300 6. ¿Cuál es el capital que colocado al 9% quincenal genera en 2 meses un interés de S/. 72000? a) S/. 10000 b) 15000 c) 18000 d) 20000 e) 30000 7. Calcular el interés producido por S/. 3680 que se han impuesto al 30% durante 5 años. a) S/. 3680 b) 4000 c) 4680 d) 5000 e) 5520 8. Cuanto gana un capital de $2000 que fue prestado durante 5 meses, al 3% semestral? a) 40 b) 50 c) 60 d) 80 e) 90 9. Cuanto produce un capital de $3000 que fue prestado durante 4 meses, al 5%. a) 20 b) 50 c) 90 d) 100 e) 110

10. Cuál es el capital que durante 6 meses, al 2% semestral, produce $50. a) 2400 b) 3000 c) 2500 d) 3500 e) 4500

11. A cuantos meses se prestó un capital de $1500 al 3% trimestral y ganó $75 a) 2 b) 4 c) 6 d) 5 e) 8

12. Cuál es el rédito trimestral al que fue prestado un capital de $1000 durante 7 meses, ganando $70. a) 2% b) 4% c) 3% d) 5% e) 9%

Dos personas tienen juntos S/.167280, la primera impone su dinero al 4% durante 3 meses y recibe un interés doble del que tendría la segunda imponiendo el suyo al 5%, durante 7 meses. Indique el capital menor.


25

Guía Didáctica

Aritmética

5to.

Sec - IV Bim

a) 32450 b) 24480 c) 40480 d) 36480 e) 23320


26

Guía Didáctica

Aritmética

5to.

Sec - IV Bim

rc ra

rb

A

B

C

r

O

Arista Cara

Cara

x

y

B

A

70º


27

Guía Didáctica

Aritmética

5to.

Sec - IV Bim


28

Guía Didáctica

Aritmética

5to.

Sec - IV Bim

PLANO: Es una superficie ilimitada de puntos, donde toda recta que pase por dos de sus puntos está íntegramente

Contenida en el plano.

* Postulados para la determinación de un plano:

Un plano queda determinado por:

1. Tres puntos no colineales.

2. Una recta y un punto exterior a ella.

3. Dos rectas secantes.

4. Dos rectas paralelas.

* Posiciones de dos planos:

1. Planos Secantes:

2. Planos Paralelos:

29


Guía Didáctica

5to.

Sec - IV Bim

Geometría

Posiciones de una recta y un plano:

1. Secantes:

2. Paralelas:

Posiciones de dos rectas en el espacio:

1. Secantes:

2. Paralelas:

3. Cruzadas o Alabeadas:

• Recta Perpendicular a un plano:

Una recta es perpendicular a un plano si es perpendicular a dos rectas contenidas en él.

NOTA: Si una recta es perpendicular a un plano, será perpendicular a todas las rectas contenidas en él.

30


Guía Didáctica

5to.

Sec - IV Bim

Geometría

* Teorema de las Tres perpendiculares:

Q

a

b

EH

FSi:

a Q

b Q FE b

HE b

Propiedad: Teorema de Thales entre planos paralelos.

1. Indicar verdadero o falso.

I. Una recta y un punto que no pertenece a ella

determina un plano.

II. Dos rectas secantes no forman un plano.

III. Dos rectas paralelas determinan un plano.

a) VFV b) VVV c) FVF

d) FFF e) VFF

2. Indica verdadero o falso.

I. Tres puntos cualquiera determinan un plano.

II. Una recta y un punto determinan una plano.

III. Dos puntos no colineales forman un plano.

a) VVV b) VFF c) FFF

d) FVV e) VFV


I. La intersección de un plano y una esfera nos da un

círculo.

II. Una recta esta contenida en un plano cuando todos

los puntos de dicha recta pertenecen al plano.

III. Todo plano tienen porciones limitadas

a) VFV b) FFV c) VFF

d) VVV e) VVF

4. Calcular el máximo número de planos que

determinan 5 puntos no colineales en el espacio.

a) 4 b) 6 c) 8

d) 10 e) 15

5. ¿Cuántos planos como mínimo forman 6 rectas

paralelas?

a) 5 b) 10 c) 15

d) 20 e) 25

6. ¿Cuántos planos como máximo forman 15 rectas

paralelas?

a) 35 b) 55 c) 85

d) 105 e) 120

7. Con 10 puntos no colineales; ¿Cuántos planos como

máximo se pueden determinar?

a) 100 b) 110 c) 120

d) 130 e) 140

8. Con 14 puntos no colineales. ¿Cuántos planos como

máximo se pueden determinar?

31


Guía Didáctica

5to.

Sec - IV Bim

Geometría

a) 364 b) 286 c) 324

d) 484 e) 268

9. Se tiene dos cuadrados ABCD y ABEF ubicadas en

planos perpendiculares y cuyos centros son P y Q

respectivamente. Calcular la distancia PQ si AB = 4.

a) 2 b) 2 2 c) 2

d) 3 2 e) 5 2

10. Calcular la proyección de AB , sobre el plano “P”; si

“A” pertenece al plano “P”. AB = 50 y BH = 48.

a) 7

b) 14

c) 16

d) 18

e) 24

11. Calcular la proyección de AC sobre el plano “Q”,

si “B” pertenece al plano “Q” , si “B” pertenece al

plano “Q” , AN = 4 , MC = 6 y AC = 26.

a) 12

b) 24

c) 13

d) 26

e) 10

12. En la figura A’B’ = 12 la diferencia de las distancias

de B y A al plano P es 5. Hallar AB .

a) 10

b) 11

c) 12

d) 13

e) 15

13. Se tiene un plano Q, un segmento de recta AB de

8m situado en el plano y un punto “P” que dista 12m del

plano. Hallar la distancia de AB al pie de la distancia

mencionada, si AP = BP = 13m.

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 5,2

1. Indicar verdadero o falso

I. Dos planos son paralelos entre si no tienen punto en

común.

II. Una recta esta contenida en un plano cuando al

menos un punto de dicha recta pertenece al plano.

III. Una recta es paralela a un plano si no tiene un

punto en común.

a) VVF b) VFV c) VFF

d) VVV e) FVV


I. Una recta es secante a un plano si solo se tiene un

punto en común.

II. Dos rectas no coplanares son rectas llamadas

alabeadas.

III. Rectas paralelas son rectas coplanares que tienen

un punto en común.

a) VVF b) VFF c) FVV

d) FFV e) VVV

3. Con 8 puntos no colineales cuantos planos como

máximo se pueden determinar.

a) 50 b) 55 c) 56

d) 60 e) 62



a) 200 b) 210 c) 220

d) 240 e) 250



a) 4000 b) 4300 c) 4960

d) 4980 e) 4990

P

A

A

’

B

’

B

P A

H

B

P

M B

A

N

C

32


Guía Didáctica

5to.

Sec - IV Bim

Geometría

6. Se tiene dos cuadrados ABCD y ABEF ubicados en

planos perpendiculares y cuyos centros son P y Q

respectivamente. Calcular la distancia PQ; si: AB = 6.

a) 5 b) 3 2 c) 3 3

d) 5 2 e) 6 2

7. Se tiene un rectángulo ABCD donde AD = 5, CD =4, si

del punto D se levanta una perpendicular DE . Calcular EC

sabiendo que AE = 13.

a) 10 b) 2 10 c) 3 10

d) 4 10 e) 5 10

8. De la figura, calcular la proyección AB al plano Q

Si : Sen = 5

3

a) 3

b) 4

c) 5

d) 4,5

e) 3,5

9. De la figura calcular : x

a) a

b) a 2

c) 2a 2

d) a 3

e) 2a 3

10. Al caer un libro del 4to año de secundaria quedo en

la siguiente posición. Calcular la distancia AB .

a) 10cm

b) 15

c) 20

d) 25

e) 28

11. Calcular BN, si los cuadrados ABCD y ADNM son

perpendiculares Si: MN = 18 2 .

a) 18

b) 16

c) 18 2

d) 18 6

e) 36 3

12. Del gráfico, el ABC es perpendicular al plano del

cuadrado ACDE. Calcular BD; AB = 2.

a) 2

b) 2 2

c) 3 3

d) 3

e) 4

En la figura PQ es perpendicular al plano “A”, “Q” es

centro de la circunferencia de radio 6, y “B” es punto

de tangencia, si BC = 10 y PQ = 8.

Calcular PC.

a) 6

b) 8

c) 10

d) 10 2

e) 16 2

Q

A

B

a

a

x

a

60º

A B

20cm 20cm

B

C

A M

D N

B

A

C

E

D

A B

C Q

P

33


Guía Didáctica

5to.

Sec - IV Bim

Geometría

* Ángulo Diedro:

Es una figura formada por dos semiplanos que tienen una recta común llamada arista del ángulo diedro.

A

BF

E

C

DP

Q * Aristas: AB, CD* Caras: E, F, P, Q* Ángulo Plano ó Rectilíneo: y

* Notación: Ángulo Diedro: d - AB d - CD

* Ángulo Poliedro:

Es aquél ángulo sólido que se encuentra determinado por rayos concurrentes, coplanares entre sí dos a dos.

Vértice: OArista: OA, OB, OC, ODCaras: AOB, BOC, COD, AODÁngulo Diedro: Notación: Ángulo Poliedro O - ABCD

b c

a

d

A B C D

O

Clasificación:

de 3 caras: Ángulo Triedro

de 4 caras: Ángulo Tetraedro

de 5 caras: Ángulo Pentaedro

de 6 caras: Ángulo Exaedro

* Ángulo Triedro:

Es aquél ángulo sólido que se determina por tres rayos concurrentes coplanares entre sí dos a dos.

Vértice: OAristas: OA, OB, OCCaras: aº, bº, cºÁngulos Diedros: Notación: Ángulo Triedro: O - ABC

O

A B C

b

a

c

34


Guía Didáctica

5to.

Sec - IV Bim

Geometría

Clases de Ángulos Triedros:

a. Unirectángulo b. Birectángulo c. Trirectángulo

d. Isósceles e. Equilátero

Propiedades:

1. En todo ángulo poliedro la suma de los valores de sus caras es mayor que 0º pero menor que 360º. 2. En todo ángulo Triedro el valor de una cara es menor que la suma de las otras dos, pero mayor que la diferencia de ellas mismas. 3. En todo ángulo Triedro a mayor cara se opone mayor ángulo Diedro. 4. En todo ángulo Triedro la suma de sus ángulos Diedros es mayor que 180º pero menor que 540º. 5. En todo ángulo Triedro a caras iguales se oponen ángulos Diedros de valores iguales.

1. Indicar verdadero o falso. I. Dos planos son perpendiculares cuando determinan diedros que mide 90º. II. El lugar Geométrico de los puntos equidistantes de las caras de un diedro es el plano bisector del diedro. III. Dos planos que se cortan forman diedros adyacentes suplementarios. a) VFF b) VVF c) VVV

d) FFV e) FVF

2. Indicar verdadero ó falso I. En todo triedro la suma de las medidas de las caras es mayor de 0º y menor de 360º. II. Un triedro Bi-rectángulo es aquel que tiene dos caras que miden 45º.

III. Un ángulo triedro es aquel ángulo poliedro de tres caras. a) FFF b) VVV c) VFV

d) VVF e) FFV

3. En un rectángulo ABCD: AB = 2 y BC = 4. Se dobla el rectángulo por los puntos medios de BC y AD formándose un ángulo diedro de 60º. Hallar la distancia entre los vértices A y C en la posición final.

a) 2 b) 3 3 c) 3

d) 2 2 e) 6

35


Guía Didáctica

5to.

Sec - IV Bim

Geometría

4. Dado el triedro tri-rectángulo O-ABC sobre sus aristas se toman longitudes OA = OB = OC = 10. Calcular el área de la región triangular ABC.

a) 25 6 b) 75 6 c) 50 3

d) 50 6 e) 25 3

5. Dado un triedro tri-rectángulo O-ABC cuyas aristas

OA, OB, OC miden 4 2 . Calcular el área de la región

triangular ABC.

a) 16 b) 16 3 c) 18

d) 18 2 e) 17 3

6. Se tiene un triángulo isósceles AOB; AO = OB = 2a, se

levanta la perpendicular OM al plano del triángulo, tal

que OM = a 6 se une “M” con “A” y “B”. Hallar el

diedro AB . Si: m ∡ AOB = 90º.

a) 30º b) 60º c) 37º

d) 53º e) 45º

7. Se tiene un triángulo rectángulo isósceles AOB

( º90O

) AO = OB = 2m por “O”. Se levanta la

perpendicular OM al plano del triángulo tal que

OM= 2 , se une M con A y B. Hallar la medida del

diedro AB .

a) 30º b) 37º c) 45º

d) 53º e) 60º

8. En la figura AB = 15, BC = 20, AC = 25; BP es

perpendicular al plano del triángulo ABC. Calcular el

ángulo diedro que forman los planos de los triángulos

ABC y APC. Además BP = 12.

a) 37º

b) 15º

c) 60º

d) 30º

e) 45º

9. Se tiene una plano “P” y un segmento AB exterior.

Calcular la medida del ángulo que forman AB y el plano

“P” sabiendo que A y B distan del plano 13cm y 7cm

respectivamente además la proyección de AB sobre el

plano mide 12cm.

a) 45º b) 30º c) 22º33’

d) 15º e) 18º

10. Dos caras de un triedro miden 80º y 120º, ¿entre qué

límites varía la tercera cara?.

a) 40º y 200º b) 80º y 160º

c) 40º y 240º d) 40º y 160º

e) 60º y 180º

11. En el gráfico “BF” perpendicular al plano del cuadrado

ABCD. Si : AB = BF = a y M es punto medio de CD . Calcular

el área del triángulo FDM.

a) 2a

2

b) 2a 2

2

c) 2a2

d) 2a 2

4

e) 238a

4

12. Se tiene un cuadrado ABCD de lado 6cm , del lado

AB se toma el punto “P” y exterior al plano del

cuadrado se toma “Q” de modo que PQ sea

perpendicular al plano. Calcular el ángulo diedro que

forman los planos del triángulo CDP y el cuadrado ABCD

sabiendo que PQ = 3cm.

a) 53º b) 53/2 c) 37º

d) 37º/2 e) 30º


I. En todo ángulo triedro la suma de las medidas de los

ángulos diedros es mayor de 180º y menor de 540º.

A

B

P

C

A D

B C

F

M

36


Guía Didáctica

5to.

Sec - IV Bim

Geometría

II. Un triedro tri-rectángulo es aquel que tiene sus tres

caras que miden 90º.

III. Un triedro rectángulo es aquel que tiene una cara

que mide 90º.

a) VFV b) FFV c) VVF

d) VVV e) FFF

2. En la figura mostrada los rectángulos ABCD y ADFG

se encuentran en planos que forman un diedro de

120º. Hallar BF, si: CD = AG = 2m y FG = 6m.

a) 4

b) 3

c) 4 3

d) 3 3

e) 2 6

3. Se tiene un triángulo rectángulo isósceles AOB en el

cual AO = OB = 6 m por el punto O se levanta la

perpendicular OM al plano del triángulo. Hallar OM si

el diedro AB formado mide 60º.

a) 1m b) 2m c) 3m

d) 3,5m e) 3,8m

4. Se tiene un plano Q y un segmento AB = 12m en el

espacio. Hallar la medida del ángulo formado por AB

con el plano, si las proyectantes de A y B miden 13m y 7m respectivamente. a) 30º b) 37º c) 45º

d) 53º e) 60º

5. En el triángulo rectángulo ABC los catetos AB y BC

miden 15 y 20m. Por B se levanta la perpendicular

m312BP al plano del triángulo, luego se une P con A

y C. Calcular la medida del diedro AC .

a) 30º b) 37º c) 45º

d) 53º

6. Un plano P tiene una inclinación de 60º sobre el plano. ¿A qué distancia del plano Q se debe trazar otro plano paralelo que corta a P1 tal que sus intersecciones distan 42cm?.

a) 21cm b) 31,5cm c) 21 2

d) 21 2 e) 21 2

7. Se traza PQ perpendicular a un plano “Q” esta en el plano haciendo centro en Q. Se traza una circunferencia de radio 24cm, por un punto B de esta se traza la tangente BC de 30 m. Hallar: “PC”. Si: PQ = 32.

a) 40 b) 30 c) 50

d) 60 e) 20

8. Un triángulo al ser proyectado sobre un plano determina un triángulo cuya área es la mitad del área del primero. El diedro que forman los planos de los dos triángulos mide: a) 15º b) 45º c) 30º

d) 50º e) 75º

9. Dos caras de un ángulo triedro miden 140º y 160º. La tercera cara puede medir: a) 80º b) 90º c) 60º d) 40º e) 20º 10. Dos caras de un triedro miden 120º y 130º respectivamente, la tercera cara puede medir: a) 10º b) 20º c) 110º d) 120º e) 130º Un triángulo al ser proyectado sobre un plano determina un triángulo cuya área es la mitad del área del primero. El diedro que forman los planos de los dos triángulos mide:

a) 15º b) 45º c) 30º

d) 60º e) 75º

d) 53º e) 60º

A

B C

D

F G

37


Guía Didáctica

5to.

Sec - IV Bim

Geometría

POLIEDROS

Convexocara

vértice

No Convexo

vértice

Arista

TEOREMA DE EULER

C = 5

V = 5

A = 8

C + V = A + 2C = 7

V = 10

A = 15

5 + 5 = 8 + 2 7 + 10 = 15 + 2

TEOREMA

Sic = suma de los ángulos

internos de todas las caras.

Sic = 360º (A - C) = 360º (V - 2)

Sean : n 1, n2, n3, n4, .......

Los números de lados de las caras

del sólido.

2

...nnnn 4321

*

Aristas =

A : número de aristas

V : número de vértices

C : número de lados

38


Guía Didáctica

5to.

Sec - IV Bim

Geometría

POLIEDROS REGULARES: Sólo existen cinco poliedros regulares.

Tetraedro R. Hexaedro R. Dodecaedro R

Octaedro R Icosaedro R

Polie dro Regular

Tetraedro

Hexaedro

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro

CForma

CaraV A

4 4 6

6 8 12

8 6 12

12 20 30

20 12 30

PROPIEDADES DE LOS POLIEDROS REGULARES

A) Tetraedro Regular

3

6ah 32aA

12

23aV

B) Octaedro Regular

2ad

32a2A

3

23aV

C) Hexaedro Regular

3ad

2a6A

3aV

h: altura

A: área

V: volumen

d: diagonal del sólido

A: área

V: volumen

d: diagonal del cubo

A: área

V: volumen

39


Guía Didáctica

5to.

Sec - IV Bim

Geometría

1. Un poliedro está formado por 6 triángulos, 4 pentágonos y 7 cuadriláteros convexos. ¿Cuántos vértices tiene dicho poliedro? a) 12 b) 13 c) 16

d) 17 e) NA

2. ¿Cuántas caras tiene un ángulo poliedro de un octaedro regular? a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

3. Hallar la suma de las medidas de los ángulos en las caras de un ángulo poliedro de un octaedro regular. a) 300° b) 240° c) 270°

d) 360° e) 180°

4. ¿Cuántas caras tiene un ángulo poliedro de un icosaedro regular? a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

5. Hallar la suma de las medidas de los ángulos en todas las caras de un ángulo sólido de un icosaedro regular. a) 180° b) 360° c) 450°

d) 320° e) 300°

6. Se da un icosaedro regular de1 m de arista. Hallar su área.

a) 5 3 b) 15 c) 3 5

d) 5 5 e) 20m2

7. Si la arista de un tetraedro es 3. Calcular su altura.

a) 3 b) 3 6 c) 6

d) 26

e) 36

8. Calcular el área de un tetraedro regular cuya arista

es 3 .

a) 3 b) 3 3 c) 2 3

d) 4 3 e) 3 2

9. Calcular el volumen de un tetraedro regular cuya arista es 6.

a) 18 b) 18 2 c) 18 3

d) 9 3 e) 4 2

10. Calcular el volumen de un tetraedro regular,

sabiendo que su área total es 3 .

a) 2 b) 62 c)

122

d) 123 e)

32

11. Calcular el área total de un hexaedro regular cuya arista es 4.

a) 48 b) 96 c) 36

d) 72 e) 96 3

12. Calcular el volumen del hexaedro regular cuya arista

es 4 2 .

a) 128 b) 128 2 c) 64 2

d) 32 2 e) 4 2

13. Calcular el área de un hexaedro regular cuya diagonal

es 2 3 .

a) 64 b) 18 c) 36 d) 24 e) 17 14. Calcular la diagonal del cubo sabiendo que su área total es 18m2. a) 1m b) 2m c) 3m d) 4m e) 6m

40


Guía Didáctica

5to.

Sec - IV Bim

Geometría

1. Un poliedro está formado por 6 triángulos y 3 cuadriláteros, hallar: a) el número de caras

b) el número de aristas

c) el número de vértices

2. Hallar la suma de las medidas de las caras de un ángulo poliedro de un hexaedro regular. a) 360° b) 300° c) 180° d) 270° e) 240° 3. En un dodecaedro regular, ¿cuánto suman las medidas de los ángulos en todas las caras de un ángulo sólido? a) 540° b) 324° c) 180° d) 360° e) 362° 4. Calcular la altura de un tetraedro regular cuya

arista es 2 .

a) 32

b) 362 c)

36

d) 26 e)

332

5. Calcular la diagonal de un cubo sabiendo que su

arista es 2 3 .

a) 2 b) 4 c) 6

d) 8 e) 6 3

6. Calcular el área total de un tetraedro regular

sabiendo que su arista es 3 .

a) 3 b) 3 3 c) 6

d) 2 3 e) 433

7. Calcular el área total del hexaedro regular cuya

arista es 3 .

a) 2 b) 1 c) 3

d) 6 e) 18

8. Calcular el volumen de un tetraedro regular, cuya arista es 30m.

a) 2000 b) 2200 c) 2250 2

d) 2250 3 e) 450 2

9. Calcular el volumen del hexaedro regular, si la

arista es 4 2

a) 64 b) 8 2 c) 128 2

d) 64 2 e) 36 2

10. Calcular el área de un tetraedro regular, cuya

altura es 2 6

a) 9 b) 9 2 c) 18 2

d) 36 2 e) 36 3

Un poliedro que tiene 12 vértices y 21 aristas está formado por "2p" triángulos, "c" cuadriláteros y "p" pentágonos, todos convexos. Entonces, "p" y "c" son, respectivamente: a) 1 y 8 b) 3 y 2 c) 2 y 5 d) 3 y 4 e) 4 y 1

PRISMA

41


Guía Didáctica

5to.

Sec - IV Bim

Geometría

h

Paralelepípedo rectangular

(Rectoedro y ortoedro)

*

Área = 2(ab+ bc+ ac)

Volumen = abc

D2 = a 2 + b2 + c 2

V = (A ) . AlturaBASE

a

c

b

D

base

genera triz o

altura (g)

2 Rg)R2(AL

)Rg(R2AT

)R(S2

R

su desarro llo la tera l

g

g

R

Arista

la teral

Altura

Cara la tera l

vérticebase

El nombre del prisma

depende del polígono

de la ba se. Los gráfi-

cos muestran a un pris-

ma triangular y a otro

hexa gonal.

CLASIFICACIÓN

I. Prisma Recto

Altura o

arista

lateral

su desarrollo lateral)LateralArista(.)P2(A BASEL

BASELT A2AA

altura.)A(V BASE

II. Prisma Oblicuo

sección

recta

)LateralArista(.)P2(A R.SL

)LateralArista(.)A(V R.S

Altura.)A(V BASE ( )

II. Paralelepípedo

Las caras opuestas son paralelogramos congruentes y de planos paralelos.

CILINDRO

42


Guía Didáctica

5to.

Sec - IV Bim

Geometría

1. Calcular el área lateral de un prisma recto cuyo perímetro de la base es igual a 5 y cuya altura es 12. a) 30 b) 60 c) 120 d) 40 e) F.D. 2. Calcular el área total de un prisma recto cuadrangular cuya arista básica mide 3 y su altura es 6. a) 72 b) 18 c) 80 d) 90 e) 100 3. Calcular el volumen de un prisma cuya base tiene un área igual a 7, y una altura de 8. a) 28 b) 56 c) 65 d) 32 e) N.A. 4. Calcular el área total de un rectoedro cuyas dimensiones son: 2 , 3 y 4 a) 25 b) 52 c) 24 d) 12 e) 9 5. Calcular el área lateral del prisma recto mostrado. a) 3 b) 6 c) 8 d) 12 e) 16

6. Calcular el área total del cubo.

Si: S = 25

a) 20

b) 10 2 c) 30 2

d) 30 e) 60 7. Del problema anterior. Calcular el volumen del cubo.

a) 125 b) 25 c) 25 5

d) 5 5 e) 10 5

8. Calcular “S” , si la figura es un prisma. A = 15m2 , B = 20m2

a) 20 2 m2

b) 10 c) 20 d) 25 e) N.A. 9. Calcular el área lateral de un cilindro circular recto cuyo radio de la base es 4 y la altura 5.

a) 8 b) 20 c) 40

d) 80 e) 60 10. Calcular el área total de un cilindro de revolución

cuyo radio de la base es π2

y cuya generatriz es 4.

a) 2(4 π2 +1) d) π2

b) 2( π2 +2) e) N.A.

c) 2

11. Calcular el volumen de un cilindro de revolución cuya base es de 10m2 y una altura de 3m. a) 15m3 b) 30 c) 12 d) 5 e) N.A. 12. Calcular el área lateral del cilindro de revolución mostrado.

a) 60

S

S

B

A

12

5

30º

(3-

3 )

43


Guía Didáctica

5to.

Sec - IV Bim

Geometría

b) 120

c) 10 d) 60 e) 120 13. Calcular el volumen del cilindro circular recto mostrado. Si: S = 4m2. a) 60m3 b) 16 c) 160 d) 32 e) f) 64 14. Calcular el volumen del cilindro.

Si: A = 32

a) 93

b) 27

c) 12

d) 16

e) 15

1. Calcule el volumen del prisma regular. a) 36 b) 18 c) 72

d) 48

e) 4 3

2. Calcular el área lateral de un prisma recto cuyo perímetro de la base es 6 y cuya altura es 15. a) 45 b) 60 c) 90 d) 30 e) 15 3. Calcular el área total de un prisma recto cuadrangular de arista básica 5 y una altura de 8. a) 80 b) 20 c) 200 d) 100 e) N.A. 4. Calcular el volumen de un prisma cuya base tiene un área de 12, y cuya altura es igual a 5. a) 30 b) 60 c) 90 d) 15 e) 75 5. Las dimensiones de un paralelepípedo recto son: 3, 4 y 5 . Halle su área total. a) 47 b) 24 c) 94 d) 48 e) 12 6. Del problema anterior, indique verdadero o falso.

- La Longitud de la apotema es 3 ( )

- El área lateral es 24 3 ( )

- El área de una base es 12 ( ) - El prisma tiene 18 aristas ( ) a) VVFF b) VFVF c) VVVF d) FFVV e) N.A. 7. Calcular el área lateral de un cilindro circular recto cuyo radio de la base es 8 y una altura de 4.

a) 64 b) 128 c) 32

d) 16 e) 256 8. Calcular el área total de un cilindro de revolución

sabiendo que una base es de 16m2 y la altura es de 5m.

2 3

O

120º A

3 m

O S

10

44


Guía Didáctica

5to.

Sec - IV Bim

Geometría

a) 40m2 b) 72 c) 48

d) 24 e) N.A. 9. Calcular el volumen de un cilindro de revolución cuya base es de 15m2 y una altura de 4m. a) 30m2 b) 15 c) 60

d) 40 e) 60 10. Calcular el área lateral del cilindro de revolución mostrado. (R = 5)

a) 20

b) 40

c) 80

d) 50

e) 100 11. Calcular el volumen del cilindro circular recto mostrado. Si: S = 2m2. a) 60m3 b) 160 c) 16 d) 64 e) 32

12. Calcular el volumen del cilindro. Si: A = 62.

a) 93

b) 27

c) 45

d) 12

e) 15 Halle el volumen sombreado del cilindro de revolución. (R = 4 , r = 2)

a) 20

b) 40

c) 60

d) 120 e) N.A.

120º

A

5

R R

2R

45º S

10m

R

5

45


Guía Didáctica

5to.

Sec - IV Bim

Geometría

I.- PIRAMIDE

Elementos :

* Vértice : O

* Base : ABCD

* Altura : H

* Arista laterales : OA , OB , ......

Notación: Pirámide : O - ABCD

PIRÁMIDE REGULAR:

* Apotema de la pirámide : AP

* Apotema de la base : ap

* Semiperímetro de la base : PBASE

* Área Lateral : (AL)

AL = PBASE . AP

* Área Total : (AT)

AT = PBASE (AP+aP)

* Volumen : (V)

V = 1

3. SBASE . h

en cualquier pirámide

II.- CONO DE REVOLUCIÓN

* Generatriz : g

* Radio de la base : r

H

O

AD

B C

O

B C

H

A

M

D

h Ap

ap

h

O

HA r

g

46


Guía Didáctica

5to.

Sec - IV Bim

Geometría

DESARROLLO DEL ÁREA LATERAL (AL)

* Área Lateral (AL)

AL = rg

* Área Total (AT)

AT = r (g+r)

* Volumen (V)

V = 1

3 r2 h

1. Calcular el área lateral de la pirámide regular. a) 16 b) 32 c) 12

d) 12 2

e) 16 2

2. Calcular el área total de una pirámide cuadrangular

regular si la arista básica es 4 y la altura 2 3 .

a) 16 b) 32 c) 12 d) 24 e) 48 3. De acuerdo a la figura. Calcular el volumen del sólido. a) 18 b) 36 c) 12 d) 21 e) 9 4. La base de una pirámide regular es 20m2 y la altura 6m. Calcular el volumen del sólido. a) 40m3 b) 20 c) 60 d) 30 e) N.A. 5. De acuerdo al problema anterior. Calcular el volumen del sólido.

a) 9 3 b) 6 3 c) 18 3

d) 12 e) 27 3

6. Calcular el área lateral de un cono cuyo diámetro de la base es 2 y cuya generatriz es 6.

a) 10 b) 5 c) 15

d) 20 e) 2,5 7. Calcular el área lateral de la pirámide regular. a) 18

b) 6 3

c) 18 3

d) 12 e) 15 8. Si el radio de la base de un cono es 1 y su altura

3 . Calcular el área lateral del sólido.

a) 4 b) 2 3 c) 2

d) 6 e) 0.5 9. Calcular el área total del cono de revolución mostrado.

a) 4

b) 5

c) 3

d) 10

e) 8 10. 3 11. Calcular el radio de la base de un cono de revolución, si la generatriz es igual a 5 y el área lateral

es 5.

4

4

2

9

O

8

1

A A

Og g

2 r

°

2 3

3

47


Guía Didáctica

5to.

Sec - IV Bim

Geometría

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 12. Calcular el área total del cono de revolución siguiente.

a) 4

b) 5

c) 6

d) 8

e) 3 13. Calcular el volumen de un cono de revolución, si la base tiene un área de 5m2 y la altura mide 6m. a) 10m3 b) 15 c) 20 d) 80 e) N.A. 1. Calcular el área lateral de una pirámide regular, cuya arista básica es 2 y de igual medida al apotema lateral. (base cuadrada). a) 2 b) 4 c) 8 d) 12 e) 16 2. Calcule el área total de la pirámide cuadrangular regular. a) 16 b) 20 c) 12 d) 15

e) 4 3

3. El perímetro de la base de una pirámide regular es de 12km, su apotema lateral de 0,5km. ¿Cuál será su área lateral? a) 6km2 b) 60 c) 30

d) 3 e) 6 4. Calcular el área lateral de un cono cuyo radio de la base es 1 y cuya generatriz es 10.

a) 2.5 b) 3.5 c) 10

d) 10 e) N.A. 5. Calcular el volumen de la siguiente pirámide. A = 12m2 , h = 5m a) 60m3 b) 30 c) 15 d) 25 e) 20 6. El volumen de una pirámide regular es 90m3 y el área de la base es 30m2 . Halle la altura. a) 18m b) 9m c) 3m

d) 3 m e) N.A.

7. Si el diámetro de la base de un cono es 4 y su altura

2 3 . Halle el área lateral del sólido.

a) 4 b) 2 3 c) 6

d) 10 e) 8 8. Calcule el área lateral del cono de revolución mostrado. a) 60

b) 60

c) 30 d) 30

e) 50 9. La figura muestra un cono de revolución. Halle su área total.

S = 3 m2

a) 6m2

b) 12

c) 18

d) 20 e) N.A. 10. Calcular la medida de la generatriz de un cono de revolución, si el radio de la base es igual a 1 y el área

lateral 5. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

1

O

3

2

2 3

A

h

6

O

37º

2

O

S

48


Guía Didáctica

5to.

Sec - IV Bim

Geometría

Esfera y Superficie Esférica:

01) Hallar “x”

A.- Volumen

2Area

B.- Media esfera ó hemisferio

Volumen = 18 m3

C.- Cilindro y Esfera D.- Cilindro y hemisferio

Area lateral del cilindro: 50 m2 Volumen = 45 cm3

49


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5to.

Sec - IV Bim

Geometría

02) Hallar la superficie esférica, si el área de su círculo

máximo es 36.

a) 100 u2

b) 144

c) 124

d) 120

e) 152

03) En el gráfico si el volumen de la esfera es 32/3 u2.

Calcular el volumen del cilindro.

a) 16 u3

b) 18

c) 30

d) 24

e) 20

04) Calcular el volumen del cono menor:

a) 720 u3

b) 868

c) 700

d) 668

e) 768

05) En la figura, en que relación se encuentra el volumen del cono recto de revolución y el volumen de la esfera inscrita en dicho cono? a) 3/1 b) 2/1 c) 8/5 d) 4/1 e) 8/3

06) La diagonal del cubo mostrado es 6 3 . Calcular el

volumen de la esfera inscrita en el cubo.

a) 27

b) 36

c) 54

d) 81

e) 288

07) En un cesto se han colocado dos pelotas de igual

radio y el volumen de uno de ellos es de 32/3. Hallar el volumen del cesto.

a) 16

b) 22

c) 42

d) 30 e) N.A.

08) En la figura se muestra un cono equilátero cuya

altura mide 6cm. Hallar el área de la esfera inscrita.

a) 36

b) 16

c) 72

d) 120

e) 144

09) Se inscribe un cubo en una esfera de radio 3 m.

Calcular su arista.

a) 6 m b) 3 3 c) 2

d) 2 3 e) N.A

10) El diámetro de una esfera mide 60cm. ¿Cuál es el diámetro de la base de un cono de igual volumen, cuya altura es 30cm? a) 0.60m b) 1.20 c) 1.80 d) 2.40 e) N.A La pirámide y el cono mostrados son sólidos

equivalentes. Si: r = , calcular “a”

a) /2

b) /3

c)

d)

e) 2

R

50


Guía Didáctica

5to.

Sec - IV Bim

Álgebra

51


Guía Didáctica

5to.

Sec - IV Bim

Álgebra

52


Guía Didáctica

5to.

Sec - IV Bim

Álgebra

1

2

1

4

1

8

razón r términos de númeronúltimo o Enésimoa

Primeroa

n

1

SUCESIÓN e llama así al conjunto ordenado de acuerdo a una ley de formación. Ejemplo: ; ; ; ...... Ley de Formación: Los denominadores son potencias consecutivas de 2. Progresiones Aritméticas (P.A.)

Son aquellas sucesiones en las que se cumple que cualquier término, después del primero es igual al anterior más una cantidad constante llamada razón (r) o diferencia. Ejemplo:

2; 5; 8; 11; ... r = 3 (P.A. creciente: r > 0)

10; 6; 2; -2; ... r = -4 (P.A. decreciente: r < 0)

a; a + r; a + 2r; ... Razón “r” Representaciones Específicas

Para tres términos (a - r); a; (a + r). Razón “r”

Para cuatro términos (a - 3r); (a - r); (a + r); (a + 3r). Razón “2r” Notación Las progresiones aritméticas, llamadas también progresiones por diferencia, se representan de la siguiente manera: ÷ a1 . a2 . a3 . ...... . an En donde: Propiedades

1. La diferencia entre dos términos consecutivos es constante e igual a la razón. En: ÷ a1 . a2 . a3 . ...... . an Se cumple: a2 - a1 = a3 - a2 = ...... = r

2. El enésimo término es igual al primero más el número de términos disminuido en uno, multiplicado por la razón. Así tendremos: an = a1 + (n - 1)r

* Ejemplo: En: 2; 8; 14; ... . Calcular el quinto y el vigésimo término. Solución: Se tiene : a1 = 2 ; r = 6

Þ a5 = a1 + (5 - 1) r a5 = 2 + 4 × 6 = 26

Þ a20 = a1 + (20 - 1) r a20 = 2 + 19 × 6 = 116

3. La suma de los “n” términos de una P.A. es igual a la semisuma de los términos extremos multiplicado por el número de términos.

53


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5to.

Sec - IV Bim

Álgebra

n2

aa n1

.A.M"m"

..........................

1m

ab

514

227r

Así: S = Además, como : an = a1 + (n - 1) r

n2

r)1n(a2Sn

2

r)1n(aaS 111

Si “n” es impar: S = (ac)n

* Ejemplo: Calcular: S = 5 + 8 + 11 + ... (20 términos) Solución: Se tiene: a1 = 5

r = 3

202

3)120()5(2S

= 670 n = 20 Medios Aritméticos o Diferenciales Se llama así a los términos de una progresión aritmética, comprendidos entre los términos extremos. Ejemplo:

3 medios aritméticos

6; 10; 14; 18; 22

Interpolación de Medios Aritméticos Interpolar “m” medios aritméticos entre los números “a” y “b” , es formar una P.A. cuyo primer término será “a”, el último “b” y el número de términos “m + 2”. Para poder interpolar se debe calcular la razón de interpolación. Si se desea interpolar “m” M.A. entre los números “a” y “b” se debe formar: ÷ a b Aplicando: an = a1 + (n - 1) r

tendremos: b = a + (m + 2 - 1) r r = Razón de interpolación * Ejemplo: Interpolar 4 M.A. entre los números 2 y 27. Solución: Se tiene que: a = 2 ; b = 27 ; m = 4 Luego:

Interpolando:

Medios interpolados

2; 7; 12; 17; 22; 27

54


Guía Didáctica

5to.

Sec - IV Bim

Álgebra

1. Hallar el vigésimo segundo término de la siguiente progresión:

2, 4, 6, 8, 10, …

a) 22 b) 44 c) 20 d) 48 e) N.A. 2. Dada la siguiente P.A.:

2a3;...;6a;4a;2a

Hallar el número de términos: a) 149 b) 150 c) 151 d) 152 e) N.A. 3. En la siguiente progresión aritmética. Hallar

el valor de la razón:

5y;2y;6x;3x

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A. 4. En la siguiente progresión aritmética de razón

7, hallar: “x + y + z + w”

33; xy ; zw

a) 15 b) 12 c) 21 d) 18 e) N.A. 5. En la siguiente progresión aritmética, hallar el

valor de razón.

32; ab ; 44; cd ; …

a) 4 b) 6 c) 12 d) 5 e) 1 6. En la siguiente progresión aritmética, hallar la

suma del primer término y la razón.

...;xy;cd;48;ab

a) 24 b) 36 c) 48 d) 60 e) N.A. 7. Indicar el décimo noveno término de la

progresión aritmética siguiente:

16(n) ; 27(n) ; 40(n); …

a) 176(n) b) 185(n) c) 260(n) d) 350(n) e) N.A. 8. El término que ocupa el lugar 100 de una P.A.

es 404. El 4to. término es 20, calcular el 1er. término.

a) 8 b) 9 c) 13 d) 400 e) N.A. 9. La suma de los términos de la progresión

33; 39; 45; 51; … ; 567 es: a) 27 000 b) 10 550 c) 19 000 d) 6 000 e) N.A. 10. Hallar el término central en la siguiente P.A. (x + 3) ; (5x) ; (8x - 1); … ; (x + 103) a) 40 b) 50 c) 60

d) 55 e) N.A.

11. En la P.A. (… -59, -61) determinar el número de términos, si la suma de todos ellos es nulo.

a) 60 b) 58 c) 61 d) 63 e) 62 12. La suma de 3 números en P.A. creciente es

27, y su producto es 504. Hallar el menor término.

a) 3 b) 5 c) 6 d) 4 e) 9

13. Dada la P.A.

. . .,2

3,2,

2

5,3 que terminó

es 49. a) 100 b) 120 c) 105 d) 110 e) 112 14. Si la suma de los “n” primeros términos de

una P.A. es Sn = 2n + 3n2 Indicar el 10º término

55


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5to.

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Álgebra

a) 59 b) 58 c) 61 d) 63 e) 64 15. Dadas las sucesiones: 15, 17, 19, 21 …………………. -12, -7, -2, 3 …………………. ¿Qué términos correspondientes de estas dos progresiones tienen el mismo valor? a) 9 b) 10 c) 12 d) 14 e) 6

1. Hallar el valor de “S”, si está en P.A. S = 23(x) + 30(x) + 35(x) ………+ 155(x)

a) 1312 b) 1812 c) 1216 d) 1412 e) 1640 2. Dadas las P.A. 3, 2x, 3x, ……………… a, 2x, 2a, ……………… Hallar “a” a) 4 b) 2 c) 6 d) 8 e) -6 3. El cuarto término de una P.A. es 16 y el

décimo término es 28. Hallar el término 50. a) 108 b) 110 c) 106 d) 112 e) 109 4. Sea P.A. {a, b, c, d} de razón r. Calcular: M = {a2 + d2 – b2 – c2}: r2 a) 4 b) 1 c) 2 d) 3 e) 6

5. En la sucesión 9

17

7

13

5

9

3

5 …

¿Qué lugar ocupa el término 61/31?

a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17 6. Hallar un número de 3 cifras que aumenta en

270 cuando se invierte el orden de sus 2 primeras cifras y disminuye en 99 cuando se invierte el orden de sus cifras extremas. Sabiendo que la suma de sus cifras es 20.

a) 685 b) 675 c) 715 d) 695 e) 785 7. Calcular el término de lugar 21 en la

siguiente progresión aritmética

5ba;04b;93a;b8a

a) 302 b) 303 c) 310 d) 350 e) N.A. 8. Determinar la suma de los 70 primeros

números naturales impares, y dar como respuesta la suma de las cifras del número hallado.

a) 13 b) 15 c) 16 d) 17 e) N.A.

En una progresión aritmética de cinco términos, el primer término es 3 y su suma es 45. Calcular el quinto término. a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 18

56


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Álgebra

Ejemplo:

- 2; 6; 18; 54; .... q = 3 (P.G. creciente: q > 1)

- 180; 60; 20; 3

20

; ..... q = 3

1

(P.G. decreciente: 0 < q < 1)

- 5; -10; 20; -40; ...... q = -2 (P.G. oscilante: q < 0)

- t; tq; tq2; .... razón : q

57


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Álgebra

razónq

términosdenúmeron

últimooenésimot

primerot

n

1

* Notación: Las progresiones geométricas, llamadas también progresiones por cociente se representan de la siguiente manera: ¸¸ t1 : t2 : t3 : ...... tn

En donde:

Propiedades 1. El cociente de dividir dos términos consecutivos es constante e igual a la razón. En: ¸¸ t1 : t2 : t3 : .... tn

se cumple:

q.........t

t

t

t

2

3

1

2

2. El enésimo término es igual al primero multiplicado por la razón elevada a la (n - 1)

tn = t1.qn-1

* Ejemplo: En 3; 12; 48; ... Calcular los términos de lugares 20 y 35. Solución: Se tiene: t1 = 3; q = 4

Aplicando: tn = t1.qn - 1

t20 = 3 . 420 - 1 ; t35 = 3 . 435 - 1

3. El producto de multiplicar los "n" términos de una progresión geométrica limitada se obtiene al extraer raíz cuadrada al producto de términos extremos elevados a la "n".

n

n1 )t.t(P

* Ejemplo: Hallar:

términos11

2048.........8.4.2P

Solución: Por fórmula:

11)2048.2(P

4. La suma de los términos de una progresión geométrica limitada se obtiene al multiplicar el último término por la razón, menos el primer término, todo dividido entre la razón menos uno.

1q

tq.tS 1n

Además: como: tn = t1.qn - 1

1q

)1q(tS

1q

tq.q.tS

n11

1n1

* Ejemplo: Hallar: S = 3 + 6 + 12 + .... (30 términos) Solución: Se tiene: t1 = 3; q = 2; n = 30

58


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Álgebra

.G.M"m"

....................

1m

a

b

)12(312

)12(3S 30

30

5. La suma límite de los términos de una progresión geométrica ilimitada (siempre que 0 < q < 1 ó -1 < q < 0), se obtiene al dividir el primer término entre uno menos la razón.

q1

tS 1

límite

* Ejemplo: S = 36 + 18 + 9 + ..... Solución:

Se tiene: q = 2

1

; t1 = 36

72S

2

1

36S

2

11

36S

Medios geométricos o proporcionales Se llama así a los términos de una progresión geométrica comprendidos entre los términos extremos.

162;54;18;6;2

cosgeométrimedios3

Interpolación de medios geométricos Interpolar "m" medios geométricos entre los números "a" y "b" es formar una progresión geométrica cuyo primer término es "a", el último "b" y el número de términos "m + 2". Para poder interpolar se debe calcular la razón de interpolación. Para interpolar "m" medios geométricos entre los números "a" y "b" se debe formar: ¸¸ a : : b Aplicando:

tn = t1.qn-1

b = a.qm+2- q = * Ejemplo: Interpolar tres medios geométricos entre 2 y 32. Solución: Se tiene: a = 2; b = 32; m = 3

2

2

32q 13

Interpolando:

32;16;8;4;2

erpoladosintmedios

59


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Álgebra

1. Dada las siguientes sucesiones. ¿Cuáles

son P. G.?

I. 1 , 1/2 , 1/4

II. 1 , 2 , 4

III. 1 , -1/2 , 1/4

2. Si en una progresión geométrica:

a1 = 2 y a6 = 64. Encuentre

r, a4

a) 2; 61 b) 3; 16 c) 2; 16

d) 3; 64 e) N.A.

3. Interpolar cuatro medios geométricos

entre 1/9 y –27

a) 1/3, 1, 3 y 9

b) d) 1/3, -1, 3 y 9

c) 1/3, -1, -3 y 9

d) –1/3, 1, -3 y 9

e) NA

4. Calcular la razón y el primer término

de una P. A. en el cual a3 = 3 y

el séptimo es 3/16

a) 12; -1/2 b) 12; 1/2

c) 1/2, 12 d) 1/2, -12

e) –1/2, 12

5. El segundo término de una P. G. es –18

y el quinto término es 16/3. Calcular el

cuarto término.

a) 1 b) 3 c) 4

d) 8 e) N.A.

6. Encuentre cuatro números positivos

que formen una P. G. de modo que a1 +

a2 = 15 y a3 + a4 = 60. De cómo

respuesta la razón.

a) 1 b) –1 c) 2

d) –2 e) 3

7. El producto de tres números en P. G.

es 27. ¿Cuál es el término central?

a) 1 b) 3 c) 6

d) 9 e) 18

8. Si el producto de tres números que

están en P. G. es 1000 y la razón

es 3. Los tres números son

a) 1 1/3, 4, 12

b) d) 3, 9, 27

c) 2, 6, 18

d) 3 1/3, 10, 30

e) 2 1/3, 7 , 21

9. En una P. G. si a5 = 9 y a7 = 1 entonces

a6 vale :

a) 8 b) 5 c) 7

d) 3 e) 1

60


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5to.

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Álgebra

10. Calcular la suma de los términos de la

progresión : 5 , 5/2 , 5/4 , 5/8 , .......

a) 5 b) 8 c) 9

d) 10 e) 12

11. Encontrar “x” para que : 2

4x ; x + 2

y 2(x-2) estén en P. G.

a) 3 b) 2 c) 5

d) 1 e) N.A.

12. Determinar cuántos términos tiene

una P. G. cuyo primer término es 2 y

cuyo último término es 512 si su suma

es 682.

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 4

13. Calcular la suma de todas las áreas de

todos los cuadrados que se pueden

inscribir sucesivamente a partir de un

cuadrado de 4 m de lado.

a) 16 m2 b) 64 c) 32

d) 48 e) N.A.

14. Calcular la suma de todos los número

naturales, múltiplos de 6, menores que

200.

a) 3636 b) 3663 c) 3366

d) 3676 e) N.A.

1. Dado los números 3 y 12 que número

se debe intercalar entre ambos para

obtener una P. G.

a) 4 b) 5 c) 6

d) 8 e) 10

2. El quincuagésimo múltiplo de 3 es :

a) 141 b) 144 c) 147

d) 150 e) 153

3. El producto de tres números que

forman una P. G. es 343.

Calcular el término central.

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

4. El sexto término de una P. G. es 1024

y la razón es 4. Entonces el tercer

término es :

a) 1 b) 4 c) 16

d) 64 e) 81

5. El producto de los 10 primeros

términos de la progresión : 1 , 1/2 , 1/4

, 1/8 , ... es :

a) 2-15 b) 2-20 c) 2-25

d) 2-30 e) 2-45

61


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5to.

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Álgebra

6. La suma de : 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ......

es :

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

7. Hallar la suma de los 20 primeros

términos múltiplos de 3.

a) 620 b) 630 c) 600

d) 590 e) N.A.

8. ¿Cuánto vale la razón de la siguiente P.

G. :

2(x - 2) ; x + 2 y 2

4x ?

a) 2/5 b) –4/3 c) 3/2

d) –2/3 e) 5/6

9. La medida de los ángulos internos de

un triángulo forman una progresión

geométrica de razón 2. Calcular el

ángulo mayor.

a) 20º b) 34 c) 53

d) 10 e) 720/7

Hallar el décimo tercer término:

......,

81

1,

243

1,

729

1

a) 243 b) 2 187 c) 81 d) 729 e) 3

62


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5to.

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Álgebra

Matriz Cuadrada. Cuando el

número de filas es igual al número

de columnas.

Ejemplos:

41

32; de orden 2 x 2

Arreglo rectangular de elementos

o números, que consta de m filas

por n columnas.

Se dice que es de orden m x n.

Matrices y Determinantes

Matriz

Ejemplo:

8765

4321

Fila 1 Fila 2

Columna

1 Columna

2 Columna

3 Columna

4

Matriz de

Orden 2 x 4

Es el valor que adopta una matriz.

Ejemplo:

54

32A Matriz

54

32|A| Determinante

|A| = 5(2) – 4(3) = -2

Valor del Determinante

Nota: El determinante de A o |A|

también se denota con .

Determinante

63


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Álgebra

Determinantes de Segundo Orden

Para su cálculo efectuamos las operaciones del recuadro indicadas por las flechas :

a b

= = ad – bc

c d

Ejemplos: Hallar el determinante de las siguientes matrices

1. 3 5 2. 2 3 3. x-1 x P = Q = R =

7 2 -7 2 2 x+1

Solución:

Apliquemos la RESTA DE PRODUCTOS CRUZADOS en cada ejemplo :

1. (7)(5)(2)(3)27

53ΔP P = 6 – 35 P = -29 Rpta.

2. 7)((3)2x227

32Q

Δ Q = 2 + 21 Q = 23 Rpta.

3. (2)(x)1)(x1)(x1x2

x1xΔR

R = x2 – 1 – 2x Rpta.

Determinantes de Tercer Orden

En este curso, sólo emplearemos para el cálculo de estos determinantes la REGLA DE SARRUS, cuyo

procedimiento es el siguiente:

Se repite las dos primeras filas (o las dos primeras columnas) a continuación de las existentes, después

de lo cual :

Se suman los resultados de multiplicar los elementos de la diagonal principal y las dos paralelas a ellas

que tengan 3 elementos, obteniendo S1.

64


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5to.

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Álgebra

Se suman los resultados de multiplicar los elementos de la diagonal secundaria y las dos paralelas a ellas

que tengan 3 elementos, obteniendo S2.

- El valor del determinante estará dado por : = S1 – S2

Así : Si el determinante a calcular fuera :

tsr

pnm

cba

Método 1

Por la REGLA DE SARRUS horizontal, volvemos a escribir las dos primeras columnas en el lado derecho :

a b c a b

m n p m n

r s t r s

Método 2

Por la REGLA DE SARRUS vertical, volvemos a escribir las dos primeras filas en la parte inferior :

a b c

m n p

r s t

a b c

m n p

Ejemplos:

Hallar el determinante :

1 2 3

= 4 5 6

7 8 9

DS DP

= (ant + bpr + cms) – (cnr + aps +

bmt) DP DS

DP DS

= (ant + msc + rbp) – (cnr + psa +

tbm) DP DS

65


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Álgebra

Solución:

Por la REGLA DE SARRUS horizontal :

1 2 3 1 2

= 4 5 6 4 5

7 8 9 7 8

= [ 1 x 5 x 9 + 2 x 6 x 7 + 3 x 4 x 8 ] – [ 3 x 5 x 7 + 1 x 6 x 8 + 2 x 4 x 9 ]

= [ 45 + 84 + 96 ] – [ 105 + 48 + 72 ]

= 225 – 225 = 0 Respuesta

Comprobemos:

Por la REGLA DE SARRUS vertical: 1 2 3

= 4 5 6

7 8 9

1 2 3

4 5 6

Aplicando: = D.P. – D.S.

= [ 1 x 5 x 9 + 4 x 8 x 3 + 7 x 2 x 6 ] – [ 3 x 5 x 7 + 6 x 8 x 1 + 9 x 2 x 4 ]

= [ 45 + 96 + 84 ] – [ 105 + 48 + 72 ]

= 225 – 225 = 0

DS DP

D.S. D.P.

66


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Álgebra

1. Sea A una matriz:

00

03A

Determinar: |A|

a) 1 b) -1 c) 03

d) 5 e) -2

2. Sea B una matriz triangular superior:

30

21B

Determinar: |B|

3. Sea:

104

212

103

A

543

705

214

B

Indicar: A + B

a)

647

917

117

d)

647

917

321

b)

642

957

117

e)

765

413

210

c)

642

917

117

4. Si:

14

32A

12

34B

12

45C

Indicar el valor de |A| + |B| + |C|

a) 10 b) 15 c) -15

d) 7 e) -7

5. Dados:

54

m2mA

ba

p3B

Indicar el valor de: E = a + b + p + m

Siendo: A = B

a) 6 b) 10 c) 12

d) 16 e) 18

6. Si:

1n1n2

nmA

ba

29B

Indicar: a + b

a) 2 b) 4 c) 6

d) 8 e) 20

7. Sea:

121m

412

345

A2

123

qk

pnm

B

Donde: A = B

Indicar: “A + B”

a)

243

414

683

b)

486

724

6810

c)

246

424

6810

d)

2812

286

245

e)

243

414

683

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

67


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Álgebra

Calcular los siguientes determinantes:

8. 71

07

a) 1 b) 6 c) 5

d) 4 e) 7

9. 21

63

a) 3 b) 2 c) 1

d) 6 e) 0

10. Resolver:

442

2x

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

11. Calcular:

2x27

2272x2

|A|

a) x b) 4x c) x2

d) 4x2 e) N.A.

12. Calcular:

132

453

125

|B|

a) 579 b) 579 c) 51418

d) 51418 e) N.A.

13. Calcular:

baba

baba|E|

a) 2ab b) 2(a2 + b2) c) a2 + b2

d) 4ab e) N.A.

14. Simplificar:

xyz

yz0

0xy

x0z

E

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) N.A.

15. Indicar el valor de:

22

22

22

abab2

ab2ab

bab2aE

a) a3 – b3 b) a2 + b2 c) ab2

d) a + b e) N.A.

1. Si:

86

42A

02

13B

Indicar: A + B

a)

08

55 b)

80

55 c)

88

55

d)

88

33 e)

58

85

2. Si:

64

31A

Indicar: 2A

a)

138

62 b)

128

62 c)

108

62

d)

86

42 e)

86

122

68


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Álgebra

3. Si: A = B Siendo:

32m

b54

321

A

321

454

32a

B

Indicar: m

ba

a) 3 b) 6 c) 5

d) 10 e) 8

4. Resolver: (siendo x < 0)

5x2

2x

a) 3 b) 4 c) 5

d) -2 e) -3

I. Calcular los siguientes determinantes:

5. 23

21

a) 4 b) -4 c) 2

d) 10 e) 14

6. 21

63

a) -1 b) 0 c) 1

d) 2 e) -2

7. 2

2

a2a

)4a2a(a

a) 2 b) 4 c) a

d) a3 e) 8

8. 103

210

013

a) 3 b) 6 c) 9

d) 12 e) 15

9. 12537

37125

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

10. Calcular:

yx2

)yx(yyxE

a) 1 b) (x + y)2 c) (x - y)2

d) -2 e) 0

Calcular:

nmnm

nmnm

a) 4m b) (m + n)2 c) 4mn

d) 3mn e) (m - n)2

69


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NÚMEROS IMAGINARIOS

Resultan de extraer la raiz de indice par de un número negativo.

Da unidad imaginario es 1 y según la notación de GAUSS.

Ejemplos, calcular:

A) 36 B) 100 C) 8

Potencias de i.

i = 1

i2 = ( 1 )

2 = -1

i3 = i

2.i = (-1)i = -i

i4 = i

2.i

2 = (-1)(-1) = 1

i5 = i

4.i = (1)i = i

i6 = i

4.i

2 = (1)(-1) = -1

i7 = i

4.i

3 = (1)(-i) = -i

i8 = i

4.i

4 = (1)(1) = 1

En general

i = 1

i4n = 1 i4n+2 = -1

i4n+1 = i i4n+3 = -i

70


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Álgebra

01. Simplificar:

754

3

128.32.16

16.27.3.12.9

A) 20i B) –24i C) 27i

D) 24i E) –27i

02. 498125

a) 9i b) 8 c) 7i

d) 4 e) N.A.

03. Efectuar:

(8 + 9i) + (10 + 3i)

A) 12+3i B) 14+i C) 16+6i

D) 18+12i E) 18+6i

04. Efectuar:

(2+ i3 )(5 - i3 )

A) 12+2 i2 B) 13+ i3

C) 8+4 i2 D) 12-2 i2

E) 13-3 i3

05. Efectuar: i

i

1

A) 2

1 i B)

2

1 i C)

2

1 i

D) 2

1 i E) N. A.

06. 4981

a) 15 b) –63 c) 63

d) 81 e) N.A.

07. Calcular: (1 + i)100

A) -250

B) 250

C) -350

D) 350

E) –1

08. Simplificar:

4)1(

8

1

1

1

1

ii

i

i

iE

A) 2 B) -2 C) 1 D) -1 E) 0

09. Simplificar:

9

9

1

)1(

i

iF

A) 10 B) 12 C) 14

D) 16 E) 18

10. Calcular:

6

23

)1(

)1()1(

i

iiE

A) 1/2 B) 1/4 C) i /4

D) 1/2 E) i /2

11. Simplificar:

E = i3682

+ i1783

+ i213

A) 1 B) –1 C) 2

D) –2 E) 0

12. Simplificar:

2

2

9

2 )1()1(

i

i

i

iK

A) 1 B) 0 C) 2

D) –1 E) 1/2

71


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5to.

Sec - IV Bim

Álgebra

1) 164

a) 6i b) 4i c) 8

d) 10 e) N.A.

2) 498125

a) 9i b) 8 c) 7i

d) 4 e) N.A.

3) 2516

a) 20 b) 9 c) 20i

d) –20 e) N.A.

4) 644365

a) –960 b) 180 c) 560

d) 48 e) -48

5) Reducir:

21 1 3

13

( ) ( );

i iS i

i

a) 1-3i b) -2 c) 10

d) 2 e) -10

6) Resuelve:

)156()23)(52( + 10

a) 2 b) 2i c) –2i

d) –2 e) N.A.

7) Resuelve:

i222523 ))((

a) 13 b) 14 c) 15

d) 18 e) 17

8) Resuelve:

i2943174 ))((

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

9) Simplificar:

E = i356 + i563 + i635 + i365 + i536 + i653

a) 1 b) 2 c) i

d) 2i e) -2i

10) Simplifica:

41

8

1

1

1

1

)( ii

i

i

iE

a) 1 b) 2 c) –1

d) –2 e) -3

11) Simplifica: 9

9

1

1

i

iF

)(

a) 16 b) 2 c) 10

d) 8 e) 13

12) Efectúa:

P = (5+3i) (4-2i) (1+i) (6-7i)

a) 120 b) 240 c) 340

d) 440 e) N.A.

Efectuar:

1

11

11

11

11

1

iE

i

i

i

i

i

a) 1 - i b) 1 + i c) 0

d) 1 e) i

72


Guía Didáctica

5to.

Sec - IV Bim

Álgebra

73


Guía Didáctica

5to.

Sec - IV Bim

Álgebra

16. Determina los siguientes logaritmos. a) Log10 = b) Log30 =

c) Log2

3=

d) Log

24 =

e) Log

39 =

f) Log36 =

17. Aplicando la identidad fundamental determinar el valor de las siguientes expresiones:

a) 5

3Log

3 =

b) 2

5Log

5 =

c) 47Log

7 =

d) 5

4Log

43 =

e) 2

4Log2

4 =

f) 37Log3

7 =

g) 2

5Log

543 =

18. Determinar el valor de: E = Log10 + Log1000 + 1

a) 3 b) 2 c) 4 d) 5 e) 6

19. Determinar el valor de:

A = Log104 + Logee5 + Ine

a) 1 b) 2 c) 5 d) 3 e) 10

20. Hallar “x” en cada uno de los siguientes logaritmos: a) Log

39 = x

b) Log

5625 = x

c) Log

7343 = x

d) Log

2x = 3

e) Log

5x = 2

f) Log

x25 = 2

g) Log

x36 = 2

h) Log

x25 =

21. Hallar: “E ”

Si: 3Log2Log

6LogE

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

22. Indicar el valor de:

4

3Log

3

2Log

2

4LogA

222

a) 1 b) 2 c) 0

d) -1 e) 4

74


Guía Didáctica

5to.

Sec - IV Bim

Álgebra

23. Si: Log2 = 0,3

Log3 = 0,4 Hallar el valor de: E = Log

39 + Log

24 + Log6

a) 1,4 b) 4,3 c) 4,7 d) 4,9 e) 5,3

24. Indicar el valor de: a) Log

327 =

b) 8Log

2=

c) 325

5Log =

d) 3Log3

=

25. Hallar “x” en:

35

Log5100Logx

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

26. Calcular:

9

1Log

3,0

a) 1 b) 2 c) 3 d) 0 e) 4

27. Si: L = Log2(Log

2256)

Hallar: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

28. Simplificar:

243

32Log

81

50Log

16

75LogG

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

29. Calcular: 12

3

3Log2Log

1E

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

30. Reducir: (Log

23 + Log

25) . Log

152

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

1. Calcular los siguientes logaritmos: a) Log

864 =

b) Log

232 =

c) Log

927 =

d) Log

12525 =

e) 2Log8

=

f) 3Log

3

1=

2. Hallar “x” en: 2xLog 225

a) 5 b) 125 c) 25 d) 1/5 e) 1

3. Reducir: 3Log3

1Log

22

a) 3 b) 9 c) 1 d) 32 e) 27

4. Reducir: 7

1Log

5

49Log5Log

777

a) 0 b) 1 c) 2 d) -1 e) 3

75


Guía Didáctica

5to.

Sec - IV Bim

Álgebra

5. Hallar: “E”

3

1Log3LogE

99

a) 1 b) 2 c) 3 d) 9 e) 18

6. Reducir: 2

12Log3LogA

169

a) 1 b) 2 c) 3 d) -1 e) 0

7. Simplificar: 5

2Log

23 a) 81 b) 243 c) 9 d) 1/3 e) 36

8. Hallar “x” en: x88Log 4522

a) 1/8 b) 3/8 c) 16/5 d) 25/8 e) 8/25

9. Hallar “x” en: 53)2x(

3Log

a) 1 b) 3 c) 4 d) 7 e) 8

10. Calcular el logaritmo de 243 en base 27. a) 5 b) 2 c) 3/2 d) 5/3 e) 2/5

11. Hallar: 9

3Log5

3Log

)3(E

a) 27 b) 45 c) 15 d) 25 e) 9

12. El logaritmo de 0,0625 en base 2 es: a) 0,025 b) 0,25 c) 5 d) -4 e) -2

13. Hallar “x” de: Logx(x + 30) = 2

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 6 y 5

14. Halle “x” de: 2010 )x2x(Log a) 4 b) 3 c) 2 d) 5 e) 4 y 5

15. Resolver: Log(x - 1) + Log(x - 2) = 2 a) 1 b) 0 c) 3

d) -2 e) -3

Calcular:

92

3Log

74

3Log

23

37Log

222

a) 4 b) 1 c) 2

d) 5 e) 0

76


Guía Didáctica

5to.

Sec - IV Bim

Álgebra

77


Guía Didáctica

5to.

Sec - IV Bim

Trigonometría

78


Guía Didáctica

5to.

Sec - IV Bim

Trigonometría

FÓRMULAS

Para la Suma:

TanyTanx1

TanyTanx)yx(Tan

SenySenxCosyCosx)yx(Cos

CosxSenyCosySenx)yx(Sen

II. Para la Diferencia:

TanyTanx1

TanyTanx)yx(Tan

SenySenxCosyCosx)yx(Cos

CosxSenyCosySenx)yx(Sen

PROPIEDADES: I.

ySenxCos)yx(Cos)yx(Cos

ySenxSen)yx(Sen)yx(Sen

22

22

II.

CosyCosx

)yx(SenTanyTanx

III.

: donde ; )x(SenbaK

R b, a bCosx aSenx K : Si

22

b

a

a + b2 2

APLICACIONES

Desarrollaremos los siguientes ejercicios:

1. Calcular: sen75º

tenemos que:

sen75º = sen(45º + 30º) = sen45º

cos30º + sen30º cos45º

reemplazando:

operando:

2. Reducir: E = (sena + cosa) (senb + cosb)

operando : E = sena senb + sena cosb + cosa

senb + cosa cosb

Þ E = sen(a + b) + cos(a - b)

1. Calcular: "sen15º"

a) 2

26

b) 2

26

c) 4

26

d) 4

26

e) N.A.

2. Calcular: "sen16º"

a) 0,22 b) 0,32 c) 0,45

d) 0,28 e) 0,36

3. Reducir:

ycos

xcosysen)yxsen(E

a) 1 b) senx c) cosx

d) tgx e) ctgx

4. Reducir:

ycos xcos

)yxsen()yxsen(E

a) 2 b) tgx c) tgy

d) 2tgx e) 2tgy

5. Demostrar que:

coscos

)sen(tgtg

79


Guía Didáctica

5to.

Sec - IV Bim

Trigonometría

6. Demostrar que:

coscos

)sen(tgtg

7. Calcular: "cos8º"

a) 0,7 2 b) 0,5 2 c) 0,3 2

d) 0,9 2 e) N.A.

8. Calcular:

xcos

)xº60cos()xº60cos(E

a) 2 b) 1 c) 3

d) 2

3 e) 32

9. Reducir:

ysenxsen

)yxcos()yxcos(E

a) 1 b) 2 c) -2

d) 2ctgx ctgy e) -2ctgx ctgy

10. Calcular: "tg8º"

a) 2

1 b)

3

1 c)

5

1

d) 6

1 e)

7

1

11. Si: sena =2

1 ; Є IIC

cosb =2

1 ; β Є IVC

calcular:

"sen(a + b)"

a) 4

26

b) 4

26

c) 4

62

d) 4

)26(

e) N.A.

12. Con los datos anteriores; calcular:

"cos( + β)"

a) 4

26

b) 4

26

c) 4

62

d) 4

)26(

e) 4

13

Reducir:

ytgxtg )yxtg(

ytgxtgE

a) 1 b) tgx c) tgy

d) ctgx e) ctgy

2. Si:

x + y = 45º;

tgx = 2

calcular: "tgy"

a) 4

1 b)

4

1 c)

3

1

d) 3

1 e)

3

2

3. Si:

tg(x + y) = 3

tgx = 2

hallar: "tgy"

a) 1 b) 5

1 c)

7

1

d) 8

1 e) 7

4. Hallar "x" si:

senx cos10º + sen10º cosx = sen50º

a) 10º b) 20º c) 30º

d) 40º e) 50º

80


Guía Didáctica

5to.

Sec - IV Bim

Trigonometría

5. Hallar "x" si:

cosx cos(x + 10º) - senx sen(x + 10º) = cos40º

a) 5º b) 10º c) 15º

d) 20º e) 25º

6. Reducir:

ytg

ycosxcos

)yxsen(E

a) tgx b) ctgx c) secx

d) cscx e) N.A.

7. Si: x + y = 45º

calcular:

E = tgx + tgy + tgx tgy

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

8. Si: ABCD es un cuadrado;

calcular: "tgx"

CB

DAE2 1

x

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

9. Del gráfico;

calcular "tgθ"

C

D

E

BA

45º

a) 11

1 b)

11

2 c)

11

3

d) 11

4 e)

11

5

10. Del gráfico, calcular "tgx"

si: AB BC

a) 1 b) 2 c) 3

d) 3

1 e)

2

1

Reducir:

ytgxtg

)yxtg(

ytgxtgE

a) 1 b) tgx c) tgy

d) ctgx e) ctgy

81


Guía Didáctica

5to.

Sec - IV Bim

Trigonometría

Desarrollar fórmulas que permitan calcular las funciones

trigonométricas de un ángulo que es el doble del otro.

FORMULAS BÁSICAS

• sen40º = • cos40º = • tg40º = _____________

• sen6x = • cos6x = • tg6x = ______________

• senx = • cosx = • tgx = _______________

OBSERVACIONES

1. 1 - cos2x = 2sen2x 2. 1 + cos2x = 2cos2x

3. xtg

cos2x1

cos2x1 2

4. (senx + cosx)2 = 1 +

sen2x

5. (senx - cosx)2 = 1 - sen2x

* En la medida que apliquemos correctamente las

fórmulas, adquiriremos mayores criterios de solución

para problemas de este capítulo.

1.Demostrar que: sen2x = 2senx cosx

2. Demostrar que: cos2x = cos2x - sen2x

3. Demostrar que: 1 - cos2x = 2sen2x

4. Demostrar que: 1 + cos2x = 2cos2x

5. Demostrar que : (senx + cosx)2 = 1+ sen2x

6. Demostrar que:

x2senxtg1

xtg2

2

7. Demostrar que:

x2cosxtg1

xtg1

2

2

8. Demostrar que:

x2sen

2

1xcosxsen

9. Demostrar que:

cos4x - sen4x = cos2x

10. Demostrar que:

(1 - tg2x) (1 - tg22x) tg4x = 4tgx

11. Si:

IC;

3

1sen

calcular: "sen2 "

a) 9

2 b)

3

2 c)

9

22

d) 9

24 e)

6

2

82


Guía Didáctica

5to.

Sec - IV Bim

Trigonometría

12. Si:

IC;

3

1sen

calcular: "cos2 "

a) 1/9 b) 1/3 c) 1/7

d) 5/9 e) 7/9

13. Si: tg = 2;

calcular "tg2 "

a) 4/3 b) -4/3 c) 3/4

d) -3/4 e) N.A.

14. Si: tg = 3; IC

calcular: "sen2 "

a) 0,2 b) 0,4 c) 0,6

d) 0,8 e) 1

15. Si: cos =3

1 ;

calcular: "cos4 "

a) -1/9 b) -2/9 c) -4/9

d) -6/7 e) -7/9

1. Reducir:

E = 4senx cosx cos2x

a) sen2x b) sen4x c) sen8x

d) cos2x e) cos4x

2. Reducir:

E = 4senx cos3x - 4sen3x cosx

a) senx b) sen2x c) 2sen2x

d) 4senx e) sen4x

3. Reducir:

E = tgx cos2x + ctgx sen2x

a) sen2x b) 2sen2x

c) XSEN 22

1 d) XCOS2

2

1

e) cos2x

4. Reducir:

E = (senx + cosx)2 - 1

a) sen2x b) 2sen2x

c) x2sen

2

1

d) x2cos

2

1

e) cos2x

5. Reducir:

E = (senx + cosx + 1) (senx + cosx - 1)

a) 1 b) -1 c) sen2x

d) 2sen2x e) N.A.

6. Demuestre una fórmula para "cos4x" en términos del

"cosx"

7. Demuestre que:

tgx + ctgx = 2csc2x

8. Demuestre que:

ctgx - tgx = 2ctg2x

9. Con la ayuda de los dos últimos problemas, reducir:

E = ctgx - tgx - 2tg2x

a) tg4x b) ctg4x

c) 2ctg4x d) 4ctg4x

e) 4tgx

10. Si: ctgx - tgx = 4

calcular: "tg4x"

a) 2

1 b) 1 c)

4

3

d) 3

4 e)

4

3

Del gráfico; calcular: tan

A) 3

3 B) 2 C) 5

5

D) 6

6 E) 7

7

3

2

83


Guía Didáctica

5to.

Sec - IV Bim

Trigonometría

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE LA VARIABLE MITAD

Cosx1

Cosx1

2

xTan

2

Cosx1

2

xCos

2

Cosx1

2

xSen

2

x de Tangente

2

x de Coseno

2

x de Seno

Donde el signo ( ) dependerá del cuadrante en el que se

ubique x

2

CotxCscx2

xCotCotxCscx

2

xTan

2

x de Cotangente

2

x de Tangente

1. Demuestre la fórmula para:

" sen2

x"

2. Demuestre la fórmula para:

" cos2

x"

3. Demuestre la fórmula especial para:

" tg2

x"

4. Demuestre la fórmula especial para: " tg2

xc "


a) 2+ 3 b) 2 3 c) 3 +1

d) 3 -1 e) 3 -2


a) 2+ 3 b) 2 3 c) 3 +1

d) 3 -1 e) 3 -2

7.Calcular: " tg18º30' " a) 1 b) 2 c) 4

d) 1

3 e)

1

2

8. Calcular: ctg26º30' a) 1 b) 2 c) 3 d) e) 9. Calcular: " tg22º30' "

a) 2 -1 b) 2 +1 c) 3 1

d) 3 +1 e) 2 3

10. Calcular: " ctg22º30' "

a) 2 +1 b) 2 -1 c) 3 -1

d) 3 +1 e) 2- 3

11. Si: cosx = 1

3; x <0º;90º>

calcular: " cos2

x"

a) 3

3 b)

3

6 c)

6

6

d) 6

3 e) N.A.

12. Si: cosx = 2

3 ; x <90º;180º>

calcular: " sen2

x"

a) 15

6 b)

30

6 c)

15

8

d) 30

8 e) N.A.

84


Guía Didáctica

5to.

Sec - IV Bim

Trigonometría

01. Si cos = -0.8 )2

3(

Hallar

2csc

A)

3

3 B)

3

10 C)

10

3

D)

2

1 E)

2

2

02. Hallar

2cot

x , si

5

3cos x

x 2

3,

A) 1 B) 2 C) -1 D) -2 E) 3

03. Simplificar:

)2cot2(csc2

tan2

cot xxxx

E

A) secx B) cscx C) 2secx D) 2csc E) tanx

04. Simplificar:

)2cos1)(cos1(

2.cos

aa

asenaE

A) 2

tana B)

2cot

a C) tana

D) cota E) tan2a

05. Simplificar:

y = (cot2 + csc2) ( 1+sec)

A) sen B)2

cos C) tan3

D) tan2 E) 2

cot

06. Simplificar:

12

tan.2

cos2

2

xsenx

xxsenM

A) senx B) cosx C) tanx D) cotx E) secx

07. Si: ma

2tan , hallar cosa

A)

1

22 m

m B)

1

22 m

m

C) 2

2

1

1

m

m

D) 2

2

1

1

m

m

E)

1

12

2

m

m

08. Simplificar:

aa

sena

cot.2

22

tan 2

A) sena B) cosa C) tana D) seca E) csca

09. La expresión:

22cos

22cos

xsen

x

xsen

x

Equivale a: A) secx + cscx B) tanx + cot x/2 C) secx + cosx D) cscx+ cosx E) secx + tanx

10. Reducir:

1sec

1sec

x

xE

A) tanx B)2

tanx C)

2cot

x

D) cotx E)

2sec

x

Simplificar: senA

CosAsenA

1

)1( 2

A) 2

Asen B)

2cos

A C)

2cos 2 A

D) 2

4 2 Asen E)

2cos4 2 A

85


Guía Didáctica

5to.

Sec - IV Bim

Trigonometría

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE ANGULO TRIPLE

xTan31

xTanTanx3x3Tan

2

3

Cosx3xCos4x3Cos

3xSen4Senx3x3Sen

3

Seno de 3x Coseno de 3x Tangente de 3x

FÓRMULAS ESPECIALES:

1x2Cos2

1x2Cos2Tanxx3Tan)1x2Cos2(Cosxx3Cos)1x2Cos2(Senxx3Sen

DEGRADACIONES:

x3CosCosx3xCos43

x3SenSenx3xSen43

01. Si: 3

1senx , calcular el valor de sen3x.

A) 27

31 B) 27

25 C) 27

11

D) 27

8 E) 27

23

02. Simplificar:

sen

sensenE

33

A) 3sen B) 3cos2 C) 2sen

2

D) 2cos2 E) sen

03. Si: 3

2cos x , calcular el valor de cos3x.

A) 27

1 B) 27

2 C) 27

4

D) 27

5 E) 27

7

04. Simplificar:

cos

cos3cos 3E

A) 3sen2 B) -3sen

2 C) 3cos

2

D) -3cos2 E) sen

05. Si: tanx = 2, calcular el valor de tan3x.

A)

11

2 B)

11

1 C)

11

3

D)

11

4 E)

11

5

06. Simplificar:

2

2

3 tan31

tan37

tan

tan33tan

E

A) -1 B) 1 C) 2 D) -2 E) 0

07. Calcular el valor de: E = sen16º. sen54º. sen66º

A) 4

15 B)

16

15

C) 16

15 D)

4

15

E) N.A.

08. Calcular el valor de: E = tan20º. tan40º. tan80º

A) 1 B) 3 C) 2

D) 2 E) 3

09. Simplificar:

xx

xsenxsenE

3coscos

33

3

A) cotx B) secx C) cscx D) tanx E) senx

10. Calcular:

º40cosº20cos

º40cosº20cos 33

E

86


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5to.

Sec - IV Bim

Trigonometría

A) 3 B)

4

3 C)

3

4

D)

3

2 E)

2

3

01. Reducir:

x

xsenxsen

senx

xsenxsenM

cos

3434 33

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

02. Si: 3

2senA ; entonces sen3A es:

A) 1 B) 23

19 C)

22

27

D)

29

21 E)

27

22

03. Reducir:

xsensenx

xx

33

3coscos3

A) senx B) cosx C) tanx D) cotx E) secx

04. Si: 3senx – sen3x = 4N. Hallar N. A) senx B) sen2 x C) sen3 x D) sen4 x E) sen5 x

05. Reducir:

sen

sensenE

34 3

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

06. Si: 3

1cos

Calcular cos3

A) 22

17 B) 25

22 C)

25

22

D) 27

23 E) 27

23

07. Calcular cot3, si tan = 2

A)

2

11 B)

11

2 C)

11

7

D)

7

11 E)

11

4

08. Calcular el equivalente de: E = 4cos20º. Cos40º. Cos80º

A) 1 B)

2

1 C)

3

1

D)

4

1 E) 2

09. Calcular: M = sen10º. Sen50º. Sen70º

A)

5

1 B) 4

1 C)

3

1

D)

8

1 E)

2

1

10. Simplificar:

xx

xE 2cos2

cos

3cos

A) 1 B) 2 C) 0 D) -1 E) 3

Reducir:

K = sen3x sen3x + cos

3x cos3x

A) cos2x B) cos22x C) cos

32x

D) sen2x E) sen32x

87


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Trigonometría

IDENTIDADES PARA LA SUMA Y PRODUCTO DE SENOS Y/O

COSENOS

CASO I : Para la suma o diferencia de dos Senos o Cosenos a producto.

2

BA enS

2

BA Sen2CosACosB

2

BA Cos

2

BA Cos2CosBCosA

2

BA Cos

2

BA Sen2SenBSenA

2

BA Cos

2

BA Sen2SenBSenA

Demostración: Conocemos:

(4) .................. SenxSenyCosxCosy)yx(Cos

(3) .................. SenxSenyCosxCosy)yx(Cos

(2) .................. CosxSenySenxCosy)yx(Sen

(1) .................. CosxSenySenxCosy)yx(Sen

Si sumamos (1) + (2) obtenemos :

Sen(x + y) + Sen(x - y) = 2Senx Cosy........... (*)

Hacemos un cambio de variable:

Sea: x y A

x y B

obtenemos:

A B A Bx y

2 2

Luego en (*) :

A B A BSenA SenB 2Sen Cos

2 2

Las restantes identidades pueden verificarse en forma análoga.

1. Reducir: E = Sen70° + Sen20°

a) 2 b) 2 Sen25°

c) 2 Cos25° d) 2

2

e) 2–

2. Reducir:

E = (Cos70° + Cos50°) Sec10°

a) 1 b) 1/2 c) 2

d) 3/2 e) 1/3

3. Reducir:

E = (Sen70° + Cos70°) Sec25°

a) 1 b) 2 c) 2

2

d) 2

1 e) 2

4. Simplificar:

80Cos

20Sen–40SenE

a) 1 b) 2 c) 3

d) 2

3 e)

2

2

5. Simplificar:

x3Cosx7Cos

x3Senx7SenE

a) Tgx b) Tg2x c) Tg3x

d) Tg4x e) Tg5x

6. Simplificar:

Cosxx3Cos

Senx–x3SenE

a) Tgx b) Ctgx c) Tg2x

d) Ctg2x e) 2

7. Simplificar:

x2Sen

x3Cos–CosxE

a) Senx b) -Senx c) 2Senx

d) –2Senx e) Cos2x

8. Reducir:

70Cos–10Cos

10Sen70SenE

88


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Trigonometría

a) 3 b) 3– c) 3

3

d) 3

3– e)

2

3

9. Simplificar:

30Cos50Cos40Cos20Cos100CosE

a) Sen10° b) Cos10° c) Csc10°

d) Sec10° e) Ctg10°

10. Calcular:

E = Cos20° + Cos100° + Cos140°

a) 0 b) 1 c) Sen10°

d) Cos10° e) -1

1. Reducir:

xCosx3Sen

x2Senx4SenE

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

2. Reducir:

10Cos

20Sen40Sen

a) 1 b) 1/2 c) 1

d) 2Sen10° e) Cos10°

3. Reducir:

Cosxx4Cos2

x3Sen–x5SenE

a) 1 b) 2 c) Senx

d) Tgx e) Ctgx

4. Reducir:

10Sen7Sen2

3Sen–17SenE

a) 1 b) 2 c) Tg10°

d) Ctg10° e) Tg3°

5. Reducir:

Cosxx2Cos

Cosxx3CosE

a) 1 b) 2 c) Sen3x

d) Sen2x e) Cosx

6. Reducir:

xSenx3Sen

x2Cos–x4CosE

a) 1 b) –1 c) 2

d) –2 e) Senx

7. Reducir:

2Cos8Sen2–

6Cos–10CosE

a) 1 b) 2 c) Tg2°

d) Ctg2° e) Sen2°

8. Simplificar:

x2Sen

x3Cos–CosxE

a) Senx b) –Senx c) 2Senx

d) –2Senx e) Cos2x

9. Simplificar: Cosxx3Cosx5Cos

Senxx3Senx5SenE

a) Tgx b) Tg2x c) Tg3x

d) Tg4x e) Tg5x

10. Transformar a producto:

E = Sen8x + Sen6x + Sen4x + Sen2x

a) Sen5x Cos2x Cosx

b) 4Sen5x Cos2x Cosx

c) 4 Cos5x Cos2x Cosx

d) Cos5x Cos2x Cosx

e) 4 Sen2x Cos3x Cosx

Pase a producto de cosenos: 825E

a) 4Cos41° Cos4° b) 10Cos41° Cos4°

c) 20Cos41° Cos4° d) 40Cos41° Cos4°

e) 80Cos41° Cos4°

89


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Trigonometría

REPASO 01. Calcular:

M = sen15º + cos 15º

A) 4

2 B)

2

2 C)

2

2

D) 4

6 E) 6

02. Simplificar:

cos.cos

)cos()cos( M

A) 1 B) -1 C) 2

D) 2 E) 1/2

03. Simplificar:

)cos()cos(

)()(

yxyx

yxsenyxsenE

A) tanx B) tany C) coty

D) cotx E) -coty

04. Si: 3

2 ba

Calcular:

E = (cosa - cosb)2 + (sena - senb)2

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4

05. Simplificar:

Cos(45º+x) cos(45º-x) + sen(45º+x) sen(45º-x)

A) 1 B) cosx C) cos2x

D) senx E) sen2x

06. Reducir:

).cos.(costantan1

tantansenysenxyx

yx

yx

A) sen(x-y) B) sen(x+y)

C) cos(x+y) D) cos(x-y)

E) 1

07. Si: senx + cosx = n

Hallar: sen2x

A) n2 B) 2 n

2 C) n

2 -1

D) 2n2 -1 E) 2n

2 + 1

08. Siendo:

sen + cos = sen

sen + cos = cos

Calcular:

R = sen2 + sen2

A) 1 B) –1 C) cos2

D) –2cos2 E) 1-cos2

09. Reducir:

E = 8senx cosx cos2x cos4x

A) senx B) sen2x C) sen3x

D) sen4x E) sen8x

10. Hallar:

M = cos20º cos40º cos80º

A) 1 B) 1/2 C) 1/4

D) 1/6 E) 1/8

11. Reducir:

xsenxsenx

xxsenE 2

2

1

cos

cos 33

A) 1 B) 1/2 C) 0

D) senx E) cosx

12. Calcular el valor de:

E = sen16º. sen54º. sen66º

A) 4

15 B)

16

15

C) 16

15 D)

4

15

E) N.A.

13. Calcular el valor de:

E = tan20º. tan40º. tan80º

A) 1 B) 3 C) 2

D) 2 E) 3

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Raz. Matemático

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Raz. Matemático

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Raz. Matemático

SABIAS QUE: Para comprender este método analizaremos un ejemplo ilustrativo. Veamos un ejemplo ilustrativo ¿Cuántas monedas de S/. 2 debo entregar para pagar una deuda de S/. 29, si tengo 10 monedas de S/.5 y S/.2? Solución:

Supuesto: Si las 10 monedas fueran de S/. 5 tendría en total 10 x 5 = 50 soles.

Pero la deuda sólo asciende a S/. 29. por lo que sobraría: 50 – 29 = 21 soles.

Esto se debe a que hemos considerado que todas las monedas son de S/. 5 y ninguna de S/. 2.

Al no considerar 1 moneda de S/. 2 aumento al dinero que tengo en 5-2 = 3 soles (error unitario), luego el número de monedas de S/ 2 que no consideré es :

N° de monedas de S/.2=UnitarioError

TotalError=

3

21= 7

1. En un billetera hoy 24 billetes que hace un total de $560. Si sólo habían billetes de $50 y $10. ¿Cuántas eran de cada clase?. a) 14 y 10 b) 16 y 8 c) 12 y 12 d) 15 y 19 e) N.A. 2. En un examen, cada respuesta correcta vale 4 puntos y cada incorrecta vale (-1) punto. Si un alumno, luego de responder 30 preguntas obtuvo 80 puntos. ¿En cuántas se equivocó?. a) 7 b) 9 c) 8 d) 6 e) 10 3. En un zoológico, entre todas las jirafas y avestruces se podían contar 30 ojos y 44 patas. Determinar el número de alas. a) 14 b) 28 c) 16 d) 12 e) 30 4. Un litro de leche pura pesa 1030 gramos, si un vendedor entregó 55 litros que pasaban 56,5 kg. Calcular la cantidad de agua que contenía esta entrega. a) 5L b) 4 c) 9 d) 13 e) 11 5. En una prueba de 50 preguntas, un alumno gana 2 puntos por repuesta correcta pero pierde un punto por cada equivocación. ¿Cuántas respondió correctamente, si obtuvo 64 puntos y contesto todas?. a) 42 b) 36 c) 38 d) 34 e) 32

6. Se tiene 3600 soles en billetes de S/.100 y S/.50 que se han repartido entre 45 personas tocándole c/u unos billetes. ¿Cuántas personas recibieron un billete de S/.100? a) 30 b) 18 c) 27 d) 15 e) N.A. 7. Un número se triplica, el resultado se aumenta en 4, al resultado se le extrae la raíz cuadrada y por último se le disminuye 10, quedando 0. ¿Cuál es el número inicial?

a) 36 b) 32 c) 10 d) 500 e) 48

8. Cada vez que Juan va al cajero automático, retira dinero de tal manera que dúplica su dinero y de inmediato gasta 10 soles. Si cierto día fue al cajero 3 veces seguidas, luego de los cuales tiene 170, ¿Cuánto tenía inicialmente?

a) S/. 60 b) S/. 40 c) S/. 45 d) S/. 30 e) S/. 50

9. De un recipiente lleno de agua, se extrae 2 litros, luego se derrama la mitad del líquido, enseguida se le adiciona 4 litros finalmente se consume la mitad del agua, quedando 8 litros en el recipiente. Calcular la capacidad del recipiente.

a) 18 L b) 26 c) 24 d) 30 e) 16

10. Tres jugadores, Hugo, Paco y Luis convienen en que el que pierda la partida, triplicará el dinero de los otros dos. Pierde una partida cada uno en el orden antes mencionado y quedan con 36; 57 y 55 soles respectivamente. Dar como respuesta la suma de las cifras con que empezó Luis.

a) 1 b) 5 c) 8 d) 6 e) 4

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Raz. Matemático

11. Cada día de un reservorio de agua, se consume la mitad del contenido más 20 litros; si después de 3 días consecutivos quedan 10 litros en el reservorio. ¿Cuántos litros de agua se consumieron?

a) 350 lts b) 360 c) 370 d) 200 e) 400

12. 4 personas A, B, C y D se pusieron a jugar con la condición de que el ganador de cada partida, debe recibir la mitad de dinero que en ese momento tiene cada uno de los otros 3 jugadores. Se sabe que ganaron en orden alfabético y al finalizar la cuarta partida cada uno quedó con 40, 72, 80 y 44 dólares respectivamente. ¿Cuánto ganó la persona "D"?

a) 64 b) 68 c) 36 d) 72 e) N.A

1. En una granja hay 60 animales entre chanchitos y patitos. Si se cuentan 150 patas. Entonces ¿Cuántos chanchitos hay en la granja? a) 45 b) 30 c) 20 d) 15 e) 60 2. En verano concurrían a la academia algunos con sus bicicletas y otros con sus triciclos. El vigilante para saber que no le faltaba ninguno, contaba siempre 255 ruedas y 200 pedales. Dar como respuesta el número de bicicletas. a) 65 b) 55 c) 45 d) 50 e) 100 3. En una competencia ciclística habían triciclos y bicicletas. Si se contaron 55 timones y 135 llantas ¿Cuántos eran las bicicletas que habían en dicha competencia? a) 40 b) 30 c) 25 d) 20 e) 35 4. Raúl tiene S/. 3500 en billetes de S/. 50 y S/. 100 ¿Cuál será la cantidad de billetes de mayor denominación si hay en total 45 billetes? a) 20 b) 25 c) 30 d) 15 e) 45 5. Lucho para pagar una deuda de S/. 100 emplea billetes de 10 y 5 ¿Cuántos billetes de los 15, con que pagó dicha deuda son de 10? a) 20 b) 10 c) 5 d) 8 e) 13 6. Si se desea envasar 100 litros de gaseosa en botellas de 3 Lts. y 4Lts. Si el total de botellas es 30. ¿Cuántas son de 3 Lts.? a) 10 b) 15 c) 25 d) 20 e) 30

7. Una persona ingreso a un restaurante, gastó la mitad de lo que tenía y dejo 3 soles de propina: Luego ingreso a una heladería, gastó la mitad de los que aún le quedaba y dejó 2 soles de propina, quedándose sin dinero. ¿Cuánto tenía inicialmente?.

a) 12 soles b) 16 c) 10 d) 14 e) 18

8. Aun número se le efectuaron las siguientes operaciones, se le agrego 10, al resultado se le multiplico por 5, para quitarle enseguida 26. Si a este resultado se extrae la raíz cuadrada y por último se multiplica por 3, se obtiene 24. ¿Cuál es el número?.

a) 12 b) 10 c) 8 d) 6 e) 14

9. Dos jugadores; acuerdan que después de cada partida la que pierde duplicará el dinero de otra. Después de dos partidas, que las ha ganado una sola jugadora cada una tiene 64 soles. ¿Cuánto tenía la perdedora al inicio?.

a) S/.16 b) 128 c) 96 d) 112 e) 32

10. Tres personas A, B y C se pusieron a jugar con la condición de que el perdedor de cada partida, debería duplicar el dinero de los otros 2. Se sabe que perdieron en orden alfabético, uno cada vez, quedándose cada uno con $32 al final ¿Cuánto tenía el jugador "B" al inicio?

a) $54,5 b) $27,5 c) $22,5 d) $28 e) N.A

11. Tres jugadores: A, B y C acuerdan que después de cada partido el perdedor duplicará el dinero de los otros dos. Habiendo perdido cada jugador una partida en el orden ABC, resulta que el 1º tiene 24 soles, el 2º 28 y el 3º 14. ¿Cuánto dinero perdió “A”?.

a) 8 b) 10 c) 12 d) 16 e) 18

12. Cada vez que una persona ingresa a una cafetería gasta la tercera parte de lo que tiene en ese momento, más cuatro soles. Al salir por 3ra vez se queda sin dinero, ¿Cuánto tenía al comienzo?

a) S/.48 b) 15,6 c) 28,5 d) 22,5 e) 17,5

Dos obreros trabajan diariamente ganando uno de ellos 2 soles más que el otro. Después de cierto tiempo reciben 240 y 210 soles respectivamente. ¿Cuánto ganó diariamente cada obrero? A) 11 y 13 soles B) 22 y 24 soles C) 10 y 12 soles D) 16 y 18 soles E) 14 y 16 soles

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Método Práctico Si las cantidades son del mismo tipo, se debe tomar en cuenta lo siguiente:

i) Lo que falta y lo que sobra se suman, las otras cantidades se restan y estos resultados se dividen. ii) Lo que sobra y lo que sobra se resta, las otras 2 cantidades se restan y estos dos resultados se dividen.

Ejemplo 1: En la Semana de la Educación Inicial la tutora desea repartir chocolates a sus alumnos, si les da 5 a cada uno le faltarían 30 chocolates, si les da 3 a cada uno le sobraría 70 chocolates. ¿Cuántos chocolates tiene la tutora? Solución: falta sobra

Número de niños = 5035

7030

Número de chocolates =50(5) - 30 = 220 O también:

Da 5 Falta 30

Da 3 Sobra 70

N° de Niños = 5035

7030

N° de chocolates = 3(50) + 70 = 220 Ejemplo 2: Un padre de familia dice: si a cada uno de mis hijos les doy S/.3 me sobraría S/.19, pero si a cada uno les doy S/.5 me sobraría S/.5. ¿Cuánto tiene el padre de familia? Solución: sobró sobró

N° de Hijos : 35

519

= 7

Dinero que tiene = 7(3) + 19 = S/.40 o tambien :

Da : 3 sobra : 19

Da : 5 sobra : 5

N° de hijos =35

519

= 7

Dinero que tiene = 5(7) + 5 = S/.40

1. Un vendedor ofrece un lote de camisas a 24 soles c/u para ganar 60 soles respecto a su inversión pero si decide venderlo a 18 soles cada camisa, pierde 30 soles. ¿Cuántas camisas tienen el lote? a) 15 b) 17 c) 18 d) 12 e) 12 2. Unos alumnos hacen una colecta para adquirir una pelota para su equipo de Básquet. Su c/u colaborase con 3 soles faltarían 20 soles, entonces deciden aumentar la colaboración a 3,5 soles y ahora les alcanza y sobra 5 soles. ¿Cuánto cuesta la pelota?. a) 150 b) 170 c) 180 d) 120 e) 125 3. Un padre va con sus hijos a un concierto y al querer comprar entradas de 65 soles. Observa que le falta para 4 de ellos y tiene que comprar entradas de 35 soles. Es así que entran todos y le sobra 10 soles. ¿Cuántos hijos llevó al concierto?. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

4. Se requiere rifar una computadora con cierto # de boletos si se vende cada boleta a 10 soles se pierde 1000 y si se vende a 15 soles se gana 1500 soles. Determinar el # de boletos y el precio de la computadora. a) 500; 6400 b) 600 ; 1200 c) 400 ; 5000 d) 500 ; 6000 e) 300 ; 7000 5. Se desea rifar un reloj vendiéndose cierto # de boletos. Si se vende cada boleto a S/.0,70 se pierde 40 soles y si se vende cada boleto a S/.0,80. Se gana 50 soles. El precio del reloj en soles es: a) 90 b) 220 c) 720 d) 670 e) 120 6. Un matrimonio dispone de una suma de dinero para ir al teatro con sus hijos. Si compra entradas de S/.8 le faltaría S/.12 y si adquiere entradas a S/.5 le sobraría S/.15. ¿Cuántos hijos tiene el matrimonio?. a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 7. Un ingeniero quiere premiar a algunos de sus ayudantes; dando 5 soles a c/u le faltarían 3 soles y dándoles 4 soles le sobrarían 7 soles, dar la suma del # de ayudantes y el # total de soles? a) 10 b) 47 c) 57 d) 67 e) 48

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Raz. Matemático

8. Se contrata un empleado; por el tiempo de 9 meses; prometiéndole pasar S/.800 más un reloj; pero al cabo de 5 meses se le despide, pagándole entonces S/.200 más el reloj. Determine el precio del reloj? a) S/.400 b) 450 c) 500 d) 550 e) 600 9. En el aula los alumnos están agrupados en bancas de 6 alumnos cada una; si se les coloca en bancas de 4 alumnos, se necesitarán 3 bancas más. ¿Cuántos alumnos hay presentes? a) 36 b) 38 c) 40 d) 42 e) 44 10. Se organizó una colecta para obsequiar unas sandalias a Mario; si cada uno diera 15 soles faltarían 14 soles pero si cada uno diera 17 soles sobrarían 22 soles. ¿Cuál es el valor de las sandalias? a) 323 soles b) 285 c) 299 d) 258 e) 284

1. Una persona quiere repartir cierto número de caramelos a sus sobrinos. Si les da 8 caramelos a c/u le sobran 45 y si les da 11 a c/u, le faltan 27. ¿Cuántos caramelos quiere repartir?. a) 237 b) 327 c) 273 d) 723 e) 372 2. Si se forman filas de 7 niños sobran 5 pero faltarían 4 niños para formar 3 filas adicionales de 6 niños. ¿Cuántos niños son?. a) 72 b) 61 c) 68 d) 116 e) 12 3. Un padre va con sus hijos al teatro y al querer comprar entradas de 30 soles observa que le falta para 3 de ellos, y resuelve comprar de 15 soles. De esta manera entran todos y le sobran 30 soles. ¿Cuántos eran los hijos?. a) 5 b) 8 c) 7 d) 6 e) 9 4. Si compro 10 camisas me faltarían 100 soles para comprar 4 más, pero si sólo 6 camisas me sobran 200 soles. Entonces el dinero que tengo es: a) 750 b) 425 c) 525 d) 325 e) 875

5. Si se posaron 3 palomas en cada poste, sobrarían 4 postes, pero si se osara una paloma en cada poste, sobrarían 6 palomas. ¿Cuál es la cantidad de postes? a) 6 b) 7 c) 10 d) 8 e) 9 6. Un alumno dice a otro; si quiero comprar 15 chocolates me faltan 10 soles, pero comprando tan solo 10 me sobran 15 soles. ¿Cuánto dinero tenía?. a) 80 b) 75 c) 48 d) 90 e) 65 7. Un grupo de personas decide ir al teatro, si van a platea les faltan 240 soles y si van a galería les sobra 160 soles. Si invitan a uno les sobraría solo 10 soles, pero si uno de ellos se va sólo les faltaría 40 soles. ¿Cuántos son el grupo?. a) 5 b) 8 c) 6 d) 7 e) N.A. 8. Si vendiese a 5 soles los 5/6 de kilogramo de uva que tengo ganaría 40 soles; en cambio si vendo a 3 soles los 3/5 de kilogramo, perdería 16 soles. ¿Cuántos kilogramos de uva tengo? a) 40 b) 52 c) 56 d) 50 e) 48 9. En una iglesia, si los asistentes se sientan de 12 en cada banca, se quedan 11 de ellos de pie, pero si se sientan 15 en cada banca, la última sólo tendrá 11 feligreses. ¿Cuántos asistentes tiene la iglesia? a) 57 b) 63 c) 49 d) 71 e) 73 10. Se organizó una colecta para obsequiar unas sandalias a Mario; si cada uno diera 15 soles faltarían 14 soles pero si cada uno diera 17 soles sobrarían 22 soles. ¿Cuál es el valor de las sandalias? a) 323 soles b) 285 c) 299 d) 258 e) 284 Mientras iba al mercado a vender sus pescados, Lorena pensaba: “Si vendo todos a 1,80 soles cada uno, me compraría un vestido y me sobrarán 6 soles; si vendo todos a 2 soles cada uno, me compraría el vestido y me sobrarían 9 soles”. ¿Cuánto cuesta dicho vestido? a) 21 soles b) 22 c) 28 d) 33 e) menos de 20

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EJEMPLO: Sabiendo que 6 varas de paño cuestan lo mismo que 5 metros y que 2 metros valen 300 soles. ¿Cuánto costarán 4 varas?

a) 500 b) 400 c) 600 d) 800 e) N.A. Resolución: Así tendremos:

6 varas = 5 metros 2 metros = S/. 300 S/. x = 4 varas Multiplicando 6 . 2 x = 5 . 300 . 4

x = 2.6

4.300.5 500

∴ x = S/. 500

1. Sabiendo que 2 kilos de frijoles cuestan lo mismo que 3 kilos de azúcar, 4 lápices valen lo que 5 kilos de azúcar, que 3 cuadernos valen 30 soles y que 8 lápices cuestan lo mismo que 4 cuadernos. ¿Cuánto costarán 6 kilos de frijoles?. a) S/.63 b) 24 c) 36 d) 48 e) N.A. 2. ¿El trabajo de cuántos hombres equivaldría el trabajo de 8 niños, si el trabajo de 4 niños equivale al de 3 niñas, el de una mujer al de 2 niñas y el de 3 mujeres al de un hombre?. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 3. En un mercado por 3 kilos de arroz, dan 5 kilos de azúcar, de la misma manera por 8 kilos de azúcar dan 4 kilos de frijoles, por 10 kilos de frijoles dan 2 kilos de carne de res. ¿Cuántos kilos de carne de res nos darán por 30 kilos de arroz?. a) 2 b) 4 c) 5 d) 8 e) 12 4. En una feria agropecuaria por 3 patos dan 2 pollos; por 4 pollos dan 3 gallinas; por 12 gallinas dan 8 monos, 5 monos cuestan 150 dólares. ¿Cuánto tengo que gastar para adquirir 5 patos?. a) $50 b) 80 c) 60

d) 65 e) N.A. 5. Si 2 triángulos pueden cambiarse por 5 círculos, 3 círculos por 4 cuadrados. ¿Cuántos cuadrados pueden ser cambiados por 9 triángulos?.

a) 32 b) 31 c) 36 d) 28 e) 30 6. En un bazar 4 pantalones equivalen al precio de 5 camisas; 4 chompas cuestan tanto como 6 camisas. ¿Cuántas chompas pueden comprarse con el precio de 12 pantalones?.

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) N.A. 7. En cierto pueblo se realiza el siguiente trueque: a) 5 sacos de papa se cambian por 4 de camote. b) 10 sacos de yuca se cambian por 6 de olluco. c) 8 sacos de camote se cambian por 3 de olluco. ¿Cuántos sacos de papa se cambian por 2 sacos de yuca?.

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 1 8. Si por 2 cuadrados dan 5 círculos, por 3 círculos dan 12 triángulos. ¿Cuántos triángulos dan por 2 cuadrados?.

a) 16 b) 18 c) 20 d) 22 e) 24 9. En una joyería 4 cadenas de oro equivalen a 10 de plata, 9 de plata equivalen a 3 de diamante, 24 de acero equivalen a 6 de diamante, además por 36000 soles me dan 4 cadenas de acero. ¿Cuántas cadenas de oro dan por 60000 soles?.

a) 2 b) 3 c) 5

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d) 4 e) 8 10. En una feria agropecuaria 7 gallinas cuestan lo mismo que 2 pavos; 14 patos cuestan lo mismo que 5 pavos; 3 conejos cuestan lo mismo que 8 patos. ¿Cuánto costarán 4 gallinas si un conejo cuesta 30 soles?.

a) 36 b) 42 c) 60 d) 54 e) 28

1. Por cada 2 años que tiene “A”, “B” tiene 3 años y por cada 4 años que tiene B; C tiene 5 años. Si C nació 14 años antes que “A”. Hallar la edad de “B”. a) 18 años b) 20 c) 24 d) 30 e) 32 2. Si 2 veces “A” equivale a 3 veces “B”; 6 veces “B” equivale a 4 veces “C” y 5 veces “C” equivale a 15 veces “D”. ¿Cuántas veces “D” equivale a “A”? a) 2 b) 3 c) 4 d) 1 e) 5 3. Sobre un estante se pueden colocar 15 libros de ciencias y 5 libros de letras ó 9 libros de letras y 5 libros de ciencias. ¿Cuántos libros de LETRAS únicamente entran al estante? a) 10 b) 11 c) 20 d) 14 e) N.A 4. En una feria venden 8 plátanos al mismo precio que 6 duraznos, 4 duraznos lo mismo que 10 nísperos; una docena de nísperos al mismo precio que 2 piñas. Si 10 piñas cuestan S/. 64. ¿Cuánto cuesta cada plátano? a) S/. 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 5. En una joyería: 4 cadenas de oro equivalen a 10 de plata; 9 de plata equivalen a 2 de diamantes y 5 de diamantes a 30 de acero. Por 6 soles me dan 2 cadenas de acero. ¿Cuántas cadenas de oro me darán por 120 soles? a) 8 b) 9 c) 10 d) 15 e) 12 6. A avanza en 28 pasos, lo que B en 30; B en 35, lo que C en 40; y C en 21, lo que D en 14, A y D hacen un mismo recorrido, dando D 900 pasos. ¿Cuál será la longitud en metros de ese recorrido, si cada paso de A es de 0,8 metros?

a) 441 b) 832 c) 862 d) 64 e) 900 7. Si 4 triángulos equivalen a 5 círculos; 6 círculos a 7 cuadrados. ¿Cuántos triángulos equilibrarán a 70 cuadrados? a) 44 b) 54 c) 45 d) 40 e) 48 8. En un restaurante: 4 lomos equivalen a 10 cau-cau, 9 cau-cau equivalen a 3 churrascos del mismo modo que 8 churrascos equivalen a 6 ceviches. Por 16 soles le dan 4 ceviches. ¿Cuántos platos de lomo darán por 30 soles? a) 6 b) 10 c) 12 d) 15 e) más de 15 9. Por cada 3 soles que tiene Juan, Pedro tiene 2 soles y por cada 4 soles que tiene Pedro: Luis tiene 3 soles. Si entre Pedro y Juan tienen 240 soles. ¿Cuánto tiene Luis? a) 60 soles b) 84 c) 70 d) 72 e) 80 10. Si 4 camotes pesan igual que 7 cebollas, 5 cebollas tanto como 12 tomates, 2 tomates tanto como 7 caiguas y 18 caiguas tanto como 3 papas. Si se sabe además que 3 camotes hacen un kilogramo, ¿cuántas papas pesarán igual que 20 Kg de camote? a) 147 b) 160 c) 81 d) 64 e) N. A.

El trabajo que puede hacer un operario en 7 días lo puede hacer un segundo operario en 6 días; el que puede hacer éste en 9 días lo puede hacer un tercero en 8 días y el que puede hacer este en 12 días lo puede hacer un cuarto en 14 días. En hacer una casa el primero tardaría 4 días más que el cuarto operario. ¿En cuántos días podrá hacer dicha casa el tercer operario?

a) 27 71 d b) 27 7

2 d

c) 27 73 d

d) 27 74 d e) 27 7

5

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1) El trabajo de cuántos hombres equivaldrá al trabajo de 8 niñas, si el trabajo de 4 niñas equivale al de 3 niños, el de una mujer al de 2 niños y el de 3 mujeres al de un hombre. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 2) ¿Qué suma necesitará un gobierno para pagar a 4 generales si el sueldo de 6 coroneles equivale al de 10 comandantes, el de 5 comandantes al de 12 tenientes, el de 2 generales al de 4 coroneles; el de 6 tenientes al de 9 sargentos y si 4 sargentos ganan S/.2400 al mes? a) S/.14000 b) S/.24400 c) S/.32600 d) S/.48000 e) S/.28800 3) En una feria venden 8 plátanos al mismo precio que 6 duraznos, 4 duraznos lo mismo que 10 nísperos. Una docena de nísperos al mismo precio que 2 piñas, si 10 piñas cuestan S/.320, ¿cuánto pagaré por 2 plátanos, 3 duraznos y una piña? a) S/.90 b) S/.91 c) S/.92 d) S/.93 e) S/.94 4) Hace algunos años, por 5 melocotones daban 8 melones, por 9 melones daban 4 manzanas; por 3 naranjas daban 2 manzanas y por 6 plátanos daban 10 naranjas. ¿Cuántos plátanos darán por 50 melocotones? a) 24 b) 18 c) 16 d) 28 e) 32 5) Si 2 fichas negras equivalen a 5 fichas amarillas 9 grises equivalen a 3 amarillas, 7 marrones equivalen a 8 grises, 10 fichas doradas, a 6 marrones, 14 doradas a 16 rojas, además 20 fichas rojas equivalen a 9 fichas blancas, 15 fichas azules equivalen a 3 negras y 3 fichas blancas a 2 verdes. ¿A cuántas fichas verdes equivalen 24 fichas azules? a) 15 b) 20 c) 16 d) 12 e) 18 06)En un cofre hay un total de s/. 183 en 45 monedas de s/. 5 y s/. 2 ¿ cuántas monedas son de mayor denominación?. a) 62 b) 34 c) 12 d) 31 e) 53 6) Con 2 motos obtenemos 15 bicicletas, con 7 patines obtenemos 16 pelotas, con 49 patines obtenemos 5 bicicletas; con 6 motos, ¿Cuántas pelotas se obtendrán? a) 715 b) 1008 c) 942 d) 810 e) 1012 7) Tengo 50 billetes, unos de s/.10 y otros de s/. 50. si uso todos los billetes que tengo para pagar una deuda de s/. 780, ¿Cuántos billetes son de s/. 10? a) 35 b) 43 c) 26 d) 41 e) 29 8) Una jarra llena de vino pesa 8Kg y vacía 1Kg. Si se vende el contenido en vasos que pesan 270g. y vacíos 20g. ¿Cuántos vasos se pueden vender en total? a) 15 b) 20 c) 28 d) 30 e) 36

99


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9) Entre gallinas y conejos se cuenta en un corral 48 cabezas y 158 patas ¿cuántas gallinas y conejos hay? a) 15 y 40 b) 17 y 31 c) 18 y30 d) 16 y 32 e) 10 y 38 10) Juan gastó s/. 140 al comprar 43 kg de naranjas y manzanas, donde el precio de cada especie es de s/. 4 y s/. 2 respectivamente. ¿Cuántos kg de naranjas compró? a) 25 b) 27 c) 28 d) 20 e) 29 11) En un grupo de cerdos y gallinas, el número de patas excede en 42 al doble del número de cabezas. El número de cerdos es: a) 21 b) 6 c) 8 d) 10 e) NA 12) Cada vez que Jorge se encuentra con Rosa, éste le duplica el dinero a ella. En agradecimiento Rosa le da un sol. Si en un día se han encontrado 2 veces, luego de las cuales Rosa tiene 25 soles, ¿cuánto tenía inicialmente ella? a) S/.7 b) 21 c) 5 d) 12 e) 24 13) Cuando un campesino saca agua de un pozo, extrae la mitad del contenido y 5 litros más. Si después de 3 extracciones quedan aún 10 litros en el pozo, ¿cuántos litros habían inicialmente? a) 180 lt b) 150 lt c) 120 lt d) 140 lt e) 110 lt 14) Pablo y Tania se ponen a jugar casino, primero pierde Pablo S/.30, luego pierde Tania y tiene que duplicarse el dinero a Pablo, quedando de esta manera Pablo con 80 soles y Tania con 40 soles. ¿Cuánto tenía Pablo inicialmente? a) S/.50 b) S/.65 c) S/.110 d) S/.80 e) S/.70 15) Se tiene 2 depósitos de vino , “A” y “B” . De “A” pasan a “B” 20 litros; luego de “B” pasan a “A” la mitad de los litros que tiene “B”. Si quedan “A” y “B” con 115 y 35 litros respectivamente, ¿Cuántos litros tenía “A y B” inicialmente? a) 200 y 50 b) 250 y 50 c) 100 y 50 d) 270 y 40 e) N.A. 16) Verónica e Inés juegan a los dados. Pierde primero verónica y duplica el dinero a Inés; luego pierde Inés y da 13 soles a Verónica y por último vuelve a perder Verónica, duplicándole el dinero a Inés. Si ahora Verónica tiene S/.12 e Inés S/.46, ¿cuánto ganó o perdió Verónica? a) Ganó S/.28 b) Perdió S/.28 c) Ganó S/.26 d) Perdió S/.26 e) Ganó S/.12 17) Un número se aumenta en 40; el resultado se divide entre 4, el cociente obtenido se aumenta en 5, al resultado se le extrae la raíz cuadrada, al resultado se multiplica por 15 y luego al producto obtenido se le divide entre 25 resultando 3. Hallar el número. a) 32 b) 42 c) 40 d) 81 e) 50

100


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110XCHAPECHAPE3300000

10CHAPE3X)CHAPE100000(

1CHAPE3XCHAPE1

Ejemplo: Hallar: A + P + A + C + H + E Si: 1 CHAPE x 3 CHAPE 1 Solución Colocando en forma horizontal: P = 5 E = 7

A + P + A + C + H + E = 34

1. Si se cumple que: 111bbbaaa y

1665bbbaaa hallar el valor de: baba )(

a) 756 b) 764 c) 715 d) 718 e) 719

2. Si se sabe que: 4468mxabc y

2972nxabc ; hallar el valor de: mnxabc

a) 73456 b) 4764 c) 47652 d) 71568 e) 476719

3. Al dividir el número abc entre el número bc , se

obtuvo 11 de cociente y 80 residuo. Calcular: “a + b-2c” a) 15 b) 14 c) 13 d) 18 e) 12

4. Si 37420DEJETxy29936DEJEEx

Calcular: DEJExTE

a) 40756 b) 404136 c) 404132 d) 40418 e) NA

5. Si CUATRODOSxDOS ; Donde: S = 2 y si

uno de los productos parciales termina en cero.

Hallar: CUA

a) 215 b) 254 c) 231 d) 253 e) 252

6. Si : ALOOOLLAA ; O cero

Calcular el valor de la suma de las cifras de :

LOLAOLLA

a) 25 b) 27 c) 13 d) 28 e) 12

7. Si se cumple que: a.a.ab.abc 21528

Hallar: “a-b +c” a) 5 b) 6 c) 3 d) 8 e) NA

8. Si se sabe que: 33663mxd0ab y que:

;420mxCO Hallar el valor de: mxabcd

CHAPE7299999

CHAPE3CHAPE10299999

8a

2H

4C

42857CHAPE

101


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80

abc

11

bc

338...9

xabc

a) 3409 b) 3024 c) 3313 d) 3408 e) 3412

9. Si bc5b5b47 Hallar; cbbc

a) 55 b) 66 c) 63 d) 68 e) 62

10. Si xa)edcba(aa ; calcular el valor

de: R abcde bcdea ceabd dabab edecc

a) 12225 b) 122221 c) 122213 d) 12348 e) 122223 11. Se tiene la operación:

BBBBBB6ABCAB X ¿Cuál es el valor de: A+B C?

a) 5 b) 4 c) 3 d) 8 e) 2

12. Si: ;1648.....999MIA X Calcular el valor de :

99MAMA X

a) 31995 b) 319965 c) 318976 d) 32318 e) 139968 13. Si: Hallar: “a+b+c” a) 15 b) 14 c) 13 d) 18 e) 19

1. Si se cumple que: 2349.........41xRIE Hallar

el valor de REIR a) 7897 b) 7987 c) 8789 d) 8589 e) Ninguna

2. Si se cumple que: 2424248xababa Hallar

el valor de: abaab

a) 320 b) 200 c) 220 d) 300 e) N. A

3. Si a3c16a13a66bc ; Hallar el valor de: a

+ b +c a) 12 b) 15 c) 11 d) 13 e) N. A 4. Se tiene la operación:

;mmmmmm3xabcabc ¿Cuál es el valor de:

a +b +c + m? a) 21 b) 23

c) 25 d) 27 e) N. A

5. Si: 9676....9999xPAL ; Calcular el valor de:

11xPALA a) 35652 b) 36562 c) 53662 d) 36552 e) 35662 6. Hallar: a + b + c; si se cumple que: a) 10 b) 8 c) 9 d) 15 e) N. A

7. Si 4.... cbaabc y 2016baxbc

Hallar el valor de: “b” a) 5 b) 1 c) 3 d) 2 e) 4 8. Hallar el valor de: “a-(b + c)”. Si se sabe que:

4xbcbaabc

a) -2 b) 1 c) -3 d) 3 e) 2

9. Se sabe que : 2312mxabc

1734nxabc

¿Cuánto es abc x mn ?

a) 9652 b) 24854 c) 21954 d) 25854 e) N.A. 10. Si: Hallar: A + B - C a) 7 b) 12 c) 11 d) 15 e) 8

11. Si: 1MADRE 3 MADRE1

Hallar: MAMA

a) 2828 b) 5757 c) 4242 d) 2525 e) 7171 Se demuestra que:

EMAD +

SAM

ROMA

Donde: O = cero

Hallar: el máximo valor de la palabra “ ROMA ”.

a) 9126 b) 9107 c) 8142 d) 7856 e) N.A

102


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CLASE 6: CONTEO DE FIGURAS

I. CONTEO DE SEGMENTOS

2. ¿Cuántos segmentos hay en la siguiente figura?

A

B

C

D

E

F

G

H

I

JKLMNÑO

3. ¿Cuántos segmentos hay en la figura?

1 2 3 4 5 48 49 50

II. CONTEO DE TRIÁNGULOS

4. ¿Cuántos triángulos hay en las figuras mostradas?

I II III IV

5. Indicar el número de triángulos en la figura :

# de triángulos :

6. ¿Cuántos triángulos hay en las figuras mostradas?

a)

103


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# de triángulos :

b)

# de triángulos :

12

3

910

III. CONTEO DE CUADRADOS

7. ¿Cuántos cuadrados hay en cada una de las figuras mostradas?

# de cuadrados :

a a a a a a

a

a

a

a

b)

# de cuadrados :

1

2

3

24

25

26

IV. CONTEO DE CUADRILÁTEROS

8. ¿Cuántos cuadriláteros hay en cada una de las figuras mostradas?

a)

# de cuadriláteros en la a ltura

# de cuadriláteros en la base

Total de cuadriláteros :

b)

104


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1

2

34

20

19

18

En la altura :

En la base :

Total de cuadriláteros :

V. CONTEO DE CUBOS

Caso 1 : Cuando el sólido es un cubo formado por cubos simples :

23333333333

2

)1n(n+ n3 ....21321211

1

1 11

1 1

1

2

2

2

212

1 21

1

2

2 12

3

3

3

n

n

n

En general :

2

2

)1n(n

Número total

de cubos

Caso 2 : Cuando el sólido es un paralelepípedo formado por cubos simples :

1

1

2

2

m

n

p

1 2

............)2p)(2n)(2m()1p)(1n)(1m(pnm Número total

de cubos

Así sucesivamente continuando hasta que uno de los factores sea 1.

Ejemplo : ¿Cuántos cubos hay en la figura, sabiendo que en la construcción se han empleado bloques cúbicos (cubos

simples o unitarios) como el cubo sombreado.

105


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1

1

2

2

m

n

p

1 2

Número total de cubos =

VI. CONTEO DE PARALELEPÍPEDOS

La figura muestra un paralelepípedo que puede estar formado ya sea por cubos simples o por paralelepípedos simples.

2

)1p(p

2

)1n(n

2

)1m(m

Número de

Para lelepípedos

01. ¿Cuántos segmentos hay en la figura mostrada?

a) 265 b) 260 c) 270 d) 274 e) 280

02. ¿Cuántos triángulos hay en la figura adjunta?

a) 46 b) 49 c) 48 d) 50 e) 52

03. ¿Cuántos cuadrados hay en total en la figura?

a) 32 b) 33 c) 34 d) 35 e) 36


a) 72 b) 73 c) 74 d) 75 e) 76

05. ¿Cuántos triángulos hay en total?

a) 59 b) 65 c) 63 d) 60 e) 61

06. ¿Cuántos cuadriláteros que por lo menos tenga un

* en su interior hay en la figura?

*

*

*

a) 39 b) 18 c) 38 d) 17 e) 40


106


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1

357

17

19

a) 379 b) 358 c) 309 d) 324 e) 316

08. ¿Cuántos triángulos tienen por lo menos un * en

su interior?

*

*

*

*

*

a) 52 b) 53 c) 54 d) 55 e) 56

09. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura?

1

2

34

1514

1312

a) 105 b) 106 c) 110 d) 100 e) 95

10. ¿Cuántos triángulos hay en la figura mostrada?

a) 66 b) 67 c) 68 d) 69 e) 70


a) 6 b) 7 c) 5 d) 8 e) 9

12. ¿Cuántas letras "U" se pueden contar como

máximo en la figura mostrada?

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 1. ¿Cuántos segmentos hay en la figura mostrada?

a) 180 b) 168 c) 172 d) 156 e) 178

2. ¿Cuántos triángulos hay en la figura mostrada?

a) 29 b) 30 c) 31 d) 32 e) 28


a) 9 b) 10 c) 11

107


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d) 12 e) 13 4. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?

a) 56 b) 42 c) 36 d) 48 e) 50

5. ¿Cuántos triángulos tienen en su interior por lo

menos un asterisco?

*

*

*

*

a) 25 b) 26 c) 33 d) 29 e) 19

6. ¿Cuántos sectores circulares se puede contar en

la figura?

a) 40 b) 35 c) 60 d) 70 e) 30

7. ¿Cuántos segmentos hay en la siguiente figura?

1 3 5 7 9 35 37 39

a) 312 b) 324 c) 424 d) 490 e) 514

8. ¿Cuántos triángulos hay en la figura, que tengan por lo menos una letra en su interior?

a) 7 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10

9. Hallar el número total de cuadriláteros.

5049

4847

12

3

a) 2570 b) 2600 c) 2550 d) 2450 e) 2500

10. ¿Cuántos ángulos agudos hay en la figura?

1 2 3 60

a) 1890 b) 1900 c) 1910 d) 1870 e) 1880

11. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?

1 2 3 4 38 39 40

a) 392 b) 388 c) 396 d) 385 e) 390 12. ¿Cuántos semicírculos hay en la figura? ("O" : centro)

O

108


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a) 23 b) 24 c) 25

d) 26 e) 27

¿Cuántos triángulos hay en la figura mostrada? a) 154 b) 155 c) 156 d) 157 e) N.A

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PARTE I - ENGRANAJES GIROS La bicicleta va hacia la derecha y las ruedas..... También hacia la derecha. El sentido en que las ruedas están girando (hacia la derecha) se denomina: HORARIO pues es el sentido en que giran las agujas de un reloj. OBSERVA:

A B

H

AH

Como A es más grande que B,

Entonces :

A da menos vueltas que B

Ambos recorren la misma

cantidad de dientes

H H

A B

A B

H AH

H

H

H

Las ruedas ubicadas en

un mismo eje giran a

la misma velocidad

y en el mismo sentido

01.- ¿En que sentido giran las ruedas “B” y “C”, si la rueda “A” gira en sentido horario? Respuesta: ………………

110


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02.- ¿En que sentido giran las ruedas “B” y “C” cuando “A” gira en el sentido indicado” Respuesta: ……… 03.- ¿En qué sentido giran las ruedas “B” y “C”? Respuesta: ………….. 04.- Si la rueda “A” gira en el sentido indicado, ¿cuántas ruedas giran en sentido contrario? Respuesta: …………. 05.- “A” gira en sentido antihorario. ¿En qué sentido giran las ruedas B y C? Respuesta: ……… 06.- “A” gira en sentido antihorario. ¿En qué sentido giran las ruedas B y C? Respuesta: ………

07. Del gráfico ¿cuántas poleas giran en sentido antihorario?

Respuesta: ……… 08. En que sentido giran las poleas "x" e "y".

A

BF y

C

D

Ex

Respuesta: ……… 09. ¿Qué poleas se mueven a la derecha?

Respuesta: ……… 10. ¿Qué polea se mueve más rapido y hacia la izquierda?

Respuesta: ……… PARTE II – CERILLOS SABIAS QUE: a) Dado un triángulo formado con tres cerillas, ¿cómo conseguir ocho triángulos añadiendo la mínima cantidad de cerillos y sin mover las anteriores?

Solución: Agregamos tres cerillas como mínimo y así obtenemos ocho triángulos

111


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b) En la foto tenemos representada una vaca mirando hacia la derecha, cuantos palitos debemos mover como mínimo para que la vaca quede mirando hacia la izquierda

Solucion: Solo bastara mover dos palitos para lograrlo

A continuación presentamos 10 ejercicios, dedica a cada ejercicio un tiempo prudencial. 01.- Se tienen doce cerillas dispuestas en cuatro cuadrados pequeños como sigue: a) Retira cuatro cerillas, dejando dos cuadrados iguales. b) Mueve tres cerillas, para hacer tres cuadrados del mismo tamaño. c) Mueve cuatro cerillas, para hacer tres cuadrados del mismo tamaño. d) Mueve dos cerillas para hacer siete cuadrados de tamaños diferentes. 02.- Retirando once cerillas, deja seis. 03.- En la disposición de la figura siguiente, es sencillo dejar sólo dos triángulos equiláteros, retirando cuatro cerillas; asimismo eliminando tres. Pero sabrá el lector

suprimir sólo dos cerillas y dejar dos triángulos equiláteros? ( no deben quedar cerillas sueltas). 04.- La figura mostrada es un famoso: “Templo griego” que está hecho con once cerillas. Cambia de lugar 4 cerillas de manera que obtengas 5 cuadrados.

05.- La llave está hecha con diez cerillas, cambiar de lugar cuatro de tal forma que resulten tres cuadrados. 06.- Se ha construido una casa utilizando 10 cerillas. Cambiar en ella la posición de dos cerillas, de tal forma que la casa aparezca de otro costado. 07.- Un cangrejo de cerillas camina hacia arriba (ver figura), cambiar la posición de tres cerillas de tal forma que el cangrejo camine hacia abajo. 08.- Dado un triángulo formado con tres cerillas, ¿cómo conseguir que sean en total cuatro triángulos iguales al original añadiendo solo tres cerillas más y sin mover las anteriores?

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09.- Dado un triángulo formado con tres cerillas, ¿cómo conseguir seis triángulos añadiendo solo tres cerillas y sin mover las anteriores?”

10.- De los siguientes gráficos mover un cerillo para que se verifique la igualdad: a)

b)

c)

01.- Si el engranaje “E” se mueve en el sentido de la flecha. Indicar cuales se mueven hacia la izquierda.

A) C B) A, B C) D D) A y C

E) N.A.

02.- Si el engranaje “6” se mueven en el sentido contrario de la flecha indicar cuáles se mueven a la izquierda.

A) 1, 2 B) 2, 4 y 5 C) 3, 5 D) 1, 3, 5 E) N.A.

03.- ¿Cuál de los engranajes se mueven más lento y hacia donde (Tamaño: D>A>C>B) A) A, izquierda B) C, Derecha

C) B, Derecha D) D, izquierda E) A y D

04.- Si el engranaje “1” se mueve como indica la flecha, decir cuántos se mueven en sentido horario A) 2 B) 3

C) 4 D) 5 E) 6

05. ¿Cuántas poleas tienen sentido horario en

el gráfico?

1

2

3 4

5 6

7 8

9

a) 1 b) 2 c) 3

d) 5 e) 4 06. El Nº de poleas que se mueven en sentido horario y antihorario son respectivamente:

a) 4, 6 b) 5, 5 c) 8, 2 d) 6, 4 e) 7, 3 07. En qué sentido se mueven las poleas X, Y, Z, W del gráfico.

YD

Z

EW

Ax

C

B

113


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a) I-D-D-I b) D-I-I-D c) D-I-I-I d) D-I-D-D e) D-D-I-I 08. Cuántas poleas se mueven a la izquierda:

A B C D E F G H I J

a) 4 b) 3 c) 5 d) 2 e) 1

09.- ¿Cuántos fósforos deben quitarse como mínimo para formar tres cuadrados?

A) 8 B) 7 C) 6

D) 5 E) NA 10.- ¿Cuántos fósforos debes quitar como mínimo para formar dos cuadrados?

A) 7 B) 6 C) 5 D) 4

E) 3

11.- ¿Cuántos fósforos debes quitar como mínimo para formar dos cuadrados del mismo tamaño? A) 4 B) 3 C) 2

D) 5 E) NA

12.- ¿Cuántos fósforos debes mover como

mínimo para formar siete cuadrados? A) 2 B) 4 C) 5 D) 8 E) NA

13.- ¿Cuántos fósforos debes quitar como mínimo para formar seis triángulos? A) 2

B) 3 C) 4

D) 5 E) 6

14.- En la figura se tiene un pez. ¿Cuántos palitos se debe mover como mínimo para que el pez mire hacia otro lado? Sin cambiar su forma A) 3 B) 2

C) 4 D) 5 E) 6 15.- ¿Cuántos fósforos debes agregar como

mínimo para formar cinco rombos? A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

16.- ¿Cuántos fósforos debes mover como mínimo para formar cuatro triángulos iguales. A) 2 B) 3 C) 1

D) 4 E) 5 17.- De los siguientes gráficos mover un cerillo

para que se verifique la igualdad: a)

b)

¿Qué poleas se mueven más despacio y a la derecha?

A F HGBCD E

a) B, F b) B, G c) H, G d) D, E, A e) F y H

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1. Si: (a+b+c)2 = 169;

Hallar: abc bca cab

a) 1 221 b) 1 332 c) 1 443 d) 1 554 e) 1 665

2. Calcular el máximo número de cuadriláteros.

a) 600 b) 900 c) 588

d) 589 e) 590 3. Si se cumple: Halle la suma de cifras del dividendo si es máximo posible a) 7 b) 9 c) 6 d) 11 e) 10

4. Si: TOMA DAME 7507

Donde: T > D ; 0 = cero

Hallar: TODO

a) 5010 b) 4020 c) 6010 d) 5020 e) 4030

5. Si: 2ab 17ca

Hallar: a+b+c a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

6. Si: 2x5 abca

Hallar: x(a+b+c) a) 70 b) 84 c) 91 d) 77 e) 98

7. Si:

JULIA1

3

1JULIA

Hallar: J + U + L + I + A A) 24 B) 26 C) 28 D) 30 E) N.A. 8. Si:

Hallar: A + B – C A) 9 B) 8 C) 6 D) 3 E) 2 9. Si:

abc . a = 1071

abc . b = 1785

abc . c = 2499

Hallar 2abc , dar como respuesta la suma de las

cifras del resultado. A) 9 B) 15 C) 18 D) 24 E) 27 10. Hallar el total de triángulos que se observan: a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60

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11. ¿Cuántos ángulos agudos hay en la siguiente figura si la figura total forma 90º?

a) 2

)2)(1( nn

b) 2

)2n)(1n(

c) 1

)5n)(2n(

d) 4

)6n)(2n(

e) 4

)4n)(8n(

12. ¿Cuántos cuadrados se puede observar en la figura formada por cuadraditos? a) 15 b) 21 c) 25 d) 31 e) 37 13. ¿Cuántos paralelogramos hay en la siguiente figura? a) 50 b) 60 c) 30 d) 45 14. ¿Cuántos segmentos se cuentan en? a) 561 b) 488 c) 624 d) 936 e) 330 15. ¿Cuántos triángulos hay en la figura? a) 15 b) 16 c) 17 d) 19 e) N.A 16. ¿Cuántos triángulos que no contengan asterisco (*) se pueden contar? a) 11 b) 10 c) 9 d) 12 e) N.A

17. ¿Cuántos fósforos debes quitar como mínimo para formar tres cuadrados iguales? A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 18. Si el engranaje A, se mueve como indica la flecha, indicar cuales se mueven para la derecha. A) C, D B) B C) B, C y E D) B y E E) N.A. 19. Si el engranaje “B”, se mueve en el sentido de la flecha. Indicar cuales se mueven a la derecha. A) A y C B) A y E C) C y E D) A, C y E E) N.A. 20. 21. De los siguientes gráficos mover un cerillo para que se verifique la igualdad:

A)

B)

Sabiendo que: 5MANUEL1A

; calcular la suma de

cifras de ELENA A) 17 B) 18 C) 11 D) 10 E) N.A

*

*

1 2 3 4

32 33

n

n-1

n-2

1

2

3

4

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SABIAS QUE: ¿Cómo puedo hacer para saber dónde queda el Norte-Sur-Este-Oeste? Que tu brazo derecho apunte a donde sale el sol y el izquierdo a donde se oculta entonces estarás viendo hacia el norte, eso sí es de día.

01.- En el siguiente esquema:

Colocar los números del 1 al 8, tal que dos números consecutivos no estén seguidos en dos casilleros horizontales, ni verticales, ni en diagonal. 02.- En el esquema:

Colocar los números de 1 al 9 tal que cada fila, cada columna, y cada diagonal sume siempre 15. 03.- Distribuir en los casilleros del cuadrado, los números del 1 al 9 de tal manera que cada columna y cada fila, sumen como lo indique el número que está ubicado en el círculo de la respectiva columna o fila.

04.- Miss Susy sube una escalera con el curioso método de subir 7 escalones y bajar 6; si en total subió 91 escalones ¿cuántos escalones tiene la escalera? a) 15 b) 14 c) 19 d) 40 e) 20 05.- Un galgo persigue a una liebre que lleva 90 saltos de adelanto, sabiendo que el galgo da 7 saltos mientras la liebre da 6 y que 4 saltos de la liebre equivalen a 3 del galgo. ¿Cuántos saltos dará el galgo para alcanzar a la liebre? a) 120 b) 180 c) 170 d) 189 e) N.A 06.- En un determinado mes el primer día cayó lunes y el último también. ¿Qué día caerá el 2 de febrero de dicho año? a) Lunes b) martes c) miércoles d) jueves e) viernes 07.- Cuando Abdul se dirigía a la Meca, se cruzó en el camino con un jeque, quien tenía 5 esposas y cada esposa tenía 3 hijos y cada hijo 2 esclavas. ¿Cuántas personas iban a la ciudad? a) 1 b) 23 c) 22 d) 18 e) 21 08.- Se coloca una moneda de un sol sobre una mesa. ¿Cuántas monedas iguales de un sol se podrán colocar tangentes a ella como máximo? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 09.- Se tiene una torta en forma de un cilindro recto, el cual se desea dividir en porciones. Si se efectúan 4 cortes rectos con el cuchillo, ¿cuántas porciones como máximo se pueden obtener? a) 4 b) 5 c) 8

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d) 18 e) 14 10.- ¿Cuántos meses del año tienen 28 días? a) 1 b) 2 c) 12 d) 6 e) f.d. 11.- Si un saltamontes en cada salto alcanza 72 cm y no se cansa, porque tiene muchas energías. ¿Qué altura alcanzará si salta 5 veces seguidas? a) 720 m b) 72 m c) 3,52 m d) 360 cm e) 72 cm 12.- Si a Martha le corresponde 20 unidades a Enrique 30 unidades y tanto a Luis como a Juan le corresponde 10 unidades. ¿Cuántas unidades le corresponden a Maximiliano en el mismo sistema? a) 400 unid b) 50 unid c) 45 unid d) 55 unid e) N.A 13.- Un caballero al encontrarse con una dama, le dice: - Creo conocerla; la dama contesta: - Es evidente “puesto que su madre fue la única hija de mi madre”. ¿Qué parentesco existe entre ellos? a) Primos b) tía, sobrino c) hermanos d) madre, hijo e) no existe 14.- Tres clases de caramelos de limón, fresa y naranja, han sido envasados en tres latas distintas. Por equivocación, las etiquetas han sido colocadas en latas que no corresponden al tipo de caramelo que contiene. ¿Cuántas latas se debe abrir para saber con seguridad el tipo de caramelo que contiene cada una? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) ninguna 15.- En un frasco hay una bacteria que tiene la capacidad de duplicarse cada minuto. Luego de media hora el frasco estaba por la mitad: ¿Cuánto tiempo tardará el frasco en estar completamente lleno? a) 40min b) 31 c) 60 d) 30 e) N.A

01.- Un mono trata de salir de un pozo escalando la pared. Cada día logra ascender 3 metros pero de noche desciende 2 metros. ¿Cuánto tardará en llegar a lo alto del pozo y escapar, si la profundidad del pozo es de 30 metros? a) 27 días b) 28 días c) 30 días d) 26 días e) 29 días 02.- Una hormiga se encuentra en un vértice A de un ladrillo, y desea llegar al vértice opuesto B. ¿Cuál es la longitud de la menor distancia que debe recorrer aproximadamente? a) 12 m b) 15 m c) 16 m

d) 13 m e) 21 m 03.- Victor dispone de 6 trozos de cadena de 4 eslabones cada uno y los lleva a un herrero para que las uniera y formara con ellos una sola cadena. Si el herrero cobra S/. 5 por abrir y soldar un eslabón, ¿cuánto debe pagar como mínimo la persona? a) S/. 15 b) S/. 25 c) S/. 20 d) S/. 30 e) S/. 35 04.- Ailer quiere compartir la torta que preparó con sus siete amigos. ¿Cuántos cortes debe realizar como mínimo? a) 2 b) 3 c) 5 d) 4 e) 6 05.- Nilsito quiere dividir la pizza de manera que quede sólo un trozo de pimiento en cada porción. Cuantas líneas como mínimo deberá hacer. a) 2 b) 3 c) 5 d) 4 e) 6 06.- ¿Cuantas líneas como mínimo usaras para unir los nueve puntos? a) 2 b) 3 c) 5 d) 4 e) 6 07.- El profesor Mario se encuentra en el medio del desierto y decide caminar 3 km. al Este. Luego 5 km. al norte, luego 18km. al Oeste; Luego 40km. al Sur y 15km. al Este. ¿A cuántos km. del punto de partida se encuentra? a) 35km. b) 0 c) 20 d) 25 e) 40 09.- San Julito plantea el siguiente problema: Si por cada 9 latas de cerveza vacías me dan una llena ¿cuántas latas podré consumir si tengo 125 latas vacías? a) 13 b) 17 c) 14 d) 16 e) 15 08.- Se tiene una balanza de 2 platillos y 13 bolas de

billar, aparentemente iguales pero una de ellas pesa más ¿cuál es el menor número de pesadas en la que se puede determinar con seguridad la bola que pesa más?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

Un hombre llega a la comisaría desesperado diciendo: Fui a trabajar y cuando volví a mi casa estaba cerrada con llave, como no podía entrar, desempañe el vidrio y logré ver a mi mujer apuñalada en el piso. Luego de escuchar el relato lo esposan y lo encarcelan, ¿Por qué? ................................................

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SUMA DE PRODUCTOS COMPUESTOS POR FACTORES CONSECUTIVOS

a) De 2 en 2

J = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + ………….. + 19 x 20

b) De 3 en 3

A = 1 x 2 x 3 + 2 x 3 x 4 + 3 x 4 x 5 + ………….. + 19 x 20 x 21

c) De 4 en 4

P = 1 x 2 x 3 x 4 + 2 x 3 x 4 x 5 + 3 x 4 x 5 x 6 + ………….. + 19 x 20 x 21 x 22

SUMA DE PRODUCTOS COMPUESTOS POR FACTORES CUYA DIFERENCIA ES CONSTANTE

a) Determinar el valor de “j”

S = 1 x 4 + 2 x 5 + 3 x 6 + …………….. + 36 x 39

b) Hallar la suma total del siguiente arreglo

7 + 8 + 9 + 10 + ………………… + 40

8 + 9 + 10 + ………………… + 40

9 + 10 + ………………… + 40

40

SUMA DE PRODUCTOS COMPUESTOS POR FACTORES CUYA SUMA ES CONSTANTE

a) Calcular:

1 x 25 + 2 x 24 + 3 x 23 + …………………….. + 12 x 14

b) Hallar la suma total del siguiente arreglo:

1

1 + 2

1 + 2 + 3

1 + 2 + 3 + 4

1 + 2 + 3 + 4 + ……………… + 15

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SUMA DE LAS INVERSAS DE LOS PRODUCTOS COMPUESTOS POR FACTORES CUYA DIFERENCIA

ES CONSTANTE:

a) Halla el valor de “R” si:

12x10

1.........

8x6

1

6x4

1

4x2

1R

b) Calcular:

sumandos20

. . . . . .. . . . . . . . . .7x10

1

5x6

1

3x2

1E

SERIE GEOMÉTRICA ILIMITADA

Si: a1 + a2 + a3 + ………………… = r1

a1

; donde r <1, -1>

y r 0

a) Calcular el valor de:

. . . . .. . . . . . . . . .8

2

4

1

4

2

2

1

2

2

b) La suma de los infinitos términos de una progresión geométrica es 3. Determina el tercer término

si la razón es 3/4.

r r

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1. Dados:

S1 = 10 11 + 11 12 + 12 13 + ... + 20 21

S2 = 1 2 + 2 3 + 3 4 + ... + 20 21

Hallar: S1 S2

a) 5310 b) 5410 c) 5510

d) 5610 e) 5710

2. Hallar:

S = 1 (20) + 2 (19) + 3 (18) + ... + 20 (1)

a) 1560 b) 1540 c) 1610

d) 1570 e) 1624

3. Calcular:

S = 1 (99) + 2 (98) + 3 (97) + ... + 50 (50)

a) 24 320 b) 84 575 c) 49 570

d) 69 360 e) 28 575

4. Hallar:

S = 1 (3) + 2 (4) + 3 (5) + ... + 20 (22)

a) 3290 b) 3160 c) 3194

d) 3198 e) 9431

5. Hallar “S” si tiene 16 términos:

S = 1 (5) + 2 (6) + 3 (7) + ...

a) 2041 b) 2042 c) 2040

d) 2431 e) 2641

6. Hallar:

S = 2 + 6 + 12 + 20 + ... + 930

a) 19 840 b) 3 380 c) 5 456

d) 9 920 e) N.A.

7. Hallar el valor de la siguiente suma:

S = 2 + 6 + 12 + 20 + ... + 600

a) 2 200 b) 3 200 c) 8 200

d) 4 200 e) 5 200

8. Calcular:

S = 21

1

+ 32

1

+ 43

1

+ ... + 1817

1

a) 17/18 b) 18/19 c) 19/20

d) 20/21 e) N.A.

9. Calcular “S”:

S = 105

1

+ 1510

1

+ 2015

1

+ ... +

1051001

a) 1/5 b) 2/50 c) 3/100

d) 4/205 e) 4/105

10. Ejecutar:

S = 42

1

+ 83

1

+ 124

1

+ ... + 12431

1

a) 17/57 b) 17/63 c) 15/62

d) 19/71 e) 19/61

1. Hallar:

S = 6 + 24 + 60 + ... + 17 550

a) 5 850 b) 122 850 c) 102 500

d) 64 425 e) N.A.

2. Resolver:

S = 30 + 60 + 120 + 210 + ... + 6 840

a) 17 455 b) 35 910 c) 95 580

d) 70 810 e) N.A.

3. Hallar “S” si tiene 16 términos:

S = 1 (5) + 2 (6) + 3 (7) + ...

a) 2 041 b) 2 042 c) 2 040

d) 2 431 e) 2 641

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4. Hallar:

S = 21

1

+ 32

1

+ 43

1

+ ... + 1716

1

a) 17/18 b) 1 c) 15/23

d) 15/24 e) 16/17

5. Hallar:

S = 21 +

61 +

121 +

201 + ... +

16401

a) 1 b) 41/40 c) 39/40

d) 40/41 e) N.A.

6. Hallar:

S = 43 +

242 +

201 + ... +

1561

a) 11/12 b) 12/13 c) 1

d) 1/13 e) N.A.

7. Resolver:

S = 6 + 12 + 20 + ... + 1262

a) 23 310 b) 15 540 c) 7 770

d) 2 560 e) N.A.

8. Hallar:

S = 1 2 2 + 2 5 4 + 3 6 6 + ... + 20 23

40

a) 130 600 b) 14 400 c) 176 800

d) 105 420 e) 210 500

9. Hallar la suma:

S =

Sumandos40

97755331 ...

a) 3 280 b) 1 570 c) 1 250

d) 3 500 e) 3 280

10. Calcule el valor de:

S = 1 + 42 +

41 +

162 +

161 +

642 + ...

a) 411 b)

3

)24( c)

162

d) 2 + 2 e) 3

)24(

Hallar la suma total de los términos del siguiente

arreglo:

50

49 49

48 48 48

47 47 47 47

1 1 1 1 ... 1

a) 29 000 b) 28 100 c) 22 100

d) 24 100 e) 23 100

122


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TEOREMA (PITÁGORAS)

c2 = a2 + b2 TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES

LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA

b

a c

a 3

2a a

60º

30º

a

a 2 a

45º

45º

4a

5a 3a

53º

37º

r r

r

B

A

L = 2R

LAB = 2360

r

123


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1. 2 postes miden 8 y 15 m respectivamente y están separados 24 m. ¿Cuál es la distancia entre sus extremos superiores? a) 26 m b) 25 c) 30 d) 27 e) 28

2. Las agujas de un reloj miden 4 y 6 cm respec-tivamente. ¿Cuál es la distancia entre sus extremos a las 8 p.m.?

a) 10 cm. b) 2 19 c) 4 19

d) 4 7 e) N.A.

3. La distancia entre el punto medio del lado de un triángulo equilátero a uno de los otros lados es 2 3 cm.

Hallar el perímetro de dicho triángulo. a) 24 cm. b) 30 c) 12 d) 18 e) 21

4. Hallar el perímetro del polígono ABCDEFG. Los cuadrados ABCH y DEFG son iguales de lado 4 cm.; además

CG = 7 cm. a) 28 cm. b) 24 c) 32 d) 26 e) 25

5. Hallar la longitud de la cadena necesaria para atar los 3 cilindros iguales de radio “R”

a) (3 + r)

b) (r + 6)

c) 4(r + 3)

d) 2r( + 3)

e) 6r

6. En la figura se muestran los cuadrados “A”, “B” y “C”. Hallar:

CdePerímetro

BdePerímetroAdePerímetro

a) 1/2 b) 1/4 c) 3/4 d) 1/8 e) 1

7. Los cincos lados consecutivos de un hexágono equiángulo miden: 1, 2, 3, 2, 1 cm. respectivamente. ¿Cuánto

mide el sexto lado? a) 1 cm. b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

8. Hallar el perímetro de la región sombreada. Si ABC es equilátero.

a) 4(3 + 3 3 )cm

b) 2(9 + 3 )

c) 3 + 2

d) 6 + 2 3

e) 4(3 + 3 )

B C

D E

H

F G

A

A B

C

6 cm

A C

B

124


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Raz. Matemático

9. Todos los radios son iguales a 2 cm. Entonces “H” mide.

a) 5 3 + 2 cm.

b) 10 3 + 4

c) 10 3 + 2

d) 5 3 + 4

e) N.A.

10. Hallar la longitud de la cadena AB = 12 m.

a) 12m b) 6 c) 18

d) 15 e) F.D. 1. Hallar el perímetro de la región sombreada.

a) a( 3 + 5)

b) a(3 2 + 5)

c) a(2 3 + 6)

d) a(2 3 + 5)

e) N.A.

2. Hallar el perímetro de la región sombreada. f) 3a + 4b – 6c g) 2(a + b – 3c) h) 4a + 6b – 4c i) 4(a + b – 2c) j) N.A.

H

r1 r3

r2 A B

60º

60º 60º

a a

a

a

c

c

c

c c

a

b b

125


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Raz. Matemático

3. Hallar el perímetro de la región sombreada (ABCD es un cuadrado M, N, P, Q son puntos medios)

k) 4(2 + ) cm

l) 8(2 + ) cm

m) 16(2 + )

n) 16(4 + )

o) 8(4 + )

4. Si: BC = 10, entonces la suma de las longitudes de los siete segmentos paralelos a BC es: a) 33 b) 34 c) 35 d) 45 e) N.A.

5. La escalera mide 25 m de largo y se apoya sobre la pared. Hallar “x” cuando se desliza.

a) 9 cm. b) 15 c) 5 d) 8 e) 4

6. La longitud de la sombra de una lámpara situada en un piso horizontal es mayor que la altura de la lámpara el ángulo “x” formado por la sombra con el piso horizontal será menor que: a) 30º b) 36º c) 40º d) 45º e) 15º

7. Hallar el perímetro de figura sombreada el lado del triangulo ABC es 12 cm.

a) 22 cm. b) 18 cm. c) 16 cm. d) 16,5 cm2 e) N.A.

A C

B

x

7m

a

7 + x

a - 4

M

A Q D

P

C B N

a a

a a

a a

a

a

C

B

A

126


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Raz. Matemático

8. Tres rectángulos de 7 cm. de largo y 2 cm. de ancho se han superpuesto en la forma en que se indica en la

figura. ¿Cuál es el perímetro de la figura resultante? a) 34 cm. b) 32 cm. c) 36 cm. d) 38 cm. e) N.A.

9. La circunferencia del gráfico tienen un radio de 10 m. el recorrido AC es igual a:

a) 10 m

b) 25

c) 30

d) 20 e) N.A.

10. Hallar el perímetro de la región sombreada si todos los círculos son iguales.

a) 5R b) 10R c) 14R

d) 20R

Se suelta una hormiga y una mosca del punto A, si ambas llegan al punto B. ¿Cuál es la suma de las mínimas distancias que recorrerán la mosca y la hormiga? (Suponer que es un cubo formado por palitos apoyado en el piso)

a) 16( 53 )

b) 16 5

c) 16 3

d) 8( 125 ) e) N.A.

A

c

8u

8u

A

B

8u 8u

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Física

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Física

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La electricidad en una forma u otra la encontramos en casi todo lo que nos rodea. Desde un foco encendido hasta una computadora, en esta era de avances tecnológicos es importante conocer cuáles son los fundamentos de la electricidad y comprender como se han logrado estos avances y los que vendrán. La electrostática es una parte de la física que estudia la electricidad en reposo. Descubrimiento de la electricidad Si después de peinarnos en un día seco y teniendo también el cabello seco, aproximamos el peine a pequeños pedacitos de papel observaremos que son atraídos por el peine y permanecerán pegados a él. Este fenómeno fue observado por primera vez por los griegos 600 años antes de nuestra era. El filósofo y matemático Tales de Mileto observó que un trozo de ámbar (resina de madera fosilizada) después de ser frotado con una piel de animal, adquiría la propiedad de atraer cuerpos ligeros como pequeños trozos de papel, semillas secas, cabello, etc. Sólo hasta casi 2000 años más tarde comenzaron a realizarse observaciones sistemáticas y cuidadosas de estos fenómenos, entre los cuales destaca el médico inglés William Gilbert. El observó que otros cuerpos se comportaban como el ámbar al frotarlos y que la atracción que ejercen se manifestaba sobre cualquier cuerpo, aun cuando no sea ligero.

Fig 1 Un peine frotado puede levantar pequeños trozos de papel. Como la designación griega que corresponde al ámbar es elektron, Gilbert comenzó a usar el término "eléctrico" para referirse a todo cuerpo que se comportaba como el ámbar, surgiendo las expresiones "electricidad", "electrizar" etc. En la actualidad sabemos que todas las sustancias pueden electrizarse al ser frotadas con otra sustancia. Por ejemplo una varilla de vidrio se electriza cuando la frotamos con un paño de seda y puede atraer trozos de papel; la ropa de nylon (ropas deportivas) también se electrizan al friccionarse con nuestro cuerpo; las nubes en movimiento se electrizan por su rozamiento con el aire. Carga eléctrica Si suspendemos una barra de plástico mediante un hilo de nylon del techo y le acercamos otra barra de plástico, no existe atracción ni repulsión; pero si ambas barras son frotadas con un pedazo de piel observaremos que al acercarlas existe una repulsión; lo mismo ocurrirá si tenemos dos barras de vidrio frotadas con un paño de seda, esto lo ilustramos en la figura 2.

Fig 2 Dos barras de plástico frotadas con piel se repelen mutuamente. Luego si una barra de plástico frotada con piel se aproxima a otra barra de vidrio frotada con seda se observará una fuerza de atracción.

130


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Estos hechos se explican diciendo que: Al frotar una barra se le comunica carga eléctrica y estas cargas en las dos barras ejercen fuerzas entre si.

plástico vidrio Fig 3. Una barra de plástico frotada con piel y otra de vidrio frotada con seda se atraen mutuamente. Los efectos eléctricos de atracción o repulsión no se limitan al plástico frotado con piel o al vidrio frotado con seda. Cualquier sustancia frotada con cualquier otra, en condiciones apropiadas recibe carga eléctrica en cierto grado. Sea cual sea la sustancia a la que se comunicó carga eléctrica se vera que, si atrae al vidrio, repelerá al plástico y viceversa. No existen cuerpos electrizados que atraen al vidrio y al plástico simultáneamente. Entonces la conclusión de estas experiencias es que: Solo hay dos tipos de carga eléctrica y que cargas similares se repelen y cargas diferentes se atraen. Benjamin Franklin denominó cargas positivas a las que aparecen en el vidrio y cargas negativas a las que aparecen en el plástico.

+ +

- -

+ - Fig. 4 Los cuerpos con cargas del mismo nombre se repelen y con nombres distintos se atraen. Naturaleza eléctrica de la materia Se llama átomo a la parte mas pequeña de la materia y tiene dos partes claramente definidas el núcleo y la envoltura. El núcleo contiene practicamente toda la masa del átomo. En la parte llamada envoltura, que casi no tiene masa, se encuentran las partículas eléctricas llamadas electrones. En el núcleo se encuentran los protones y neutrones. Los protones tienen carga positiva (el tipo de carga con que se electrifica el vidrio) y los electrones carga negativa (el tipo de carga con que se electrifica el plástico) y los neutrones carecen de carga eléctrica. Un cuerpo no electrizado posee el mismo número de electrones y protones. Los protones no se pueden arrancar del átomo, debido a que existe una gran fuerza que los mantiene unidos en el núcleo denominada fuerza nuclear fuerte que solo actúa a pequeñas distancias y es mucho mayor que la fuerza electrica de repulsión que hay entre los protones. Aunque los electrones internos de un átomo están fuertemente unidos al núcleo, de carga contraria, los electrones externos de muchos átomos están unidos muy debilmente y es fácil extraerlos. La cantidad de energía para arrancar un electrón a un átomo varia de una sustancia a otra. Por ejemplo, los electrones están unidos con mas firmeza en el caucho que en la piel de un animal. Por lo tanto cuando frotamos una barra de plástico con un trozo de piel hay una transferencia de electrones de la piel a la barra. En estas condiciones el plástico tiene un excedente de electrones y está cargado negativamente. La piel a su vez, tiene una deficiencia de electrones y está cargada positivamente en resumen.

Todo cuerpo cuyo número de electrones sea distinto al de protones tiene carga eléctrica. Si tiene más electrones que protones su carga es negativa y se tiene menos electrones

que protones su carga es positiva.

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Debemos observar que los electrones y protones no poseen en su seno nada negativo ni positivo, esto es sólo una denominación que se aplica a una propiedad intrínseca de la materia, que se manifiesta mediante repulsión y atracción.

+ + +

+ + +

Fig. 5 Al frotar la piel con la barra de plástico hay una transferencia de electrones de la piel a la barra. Conductores, aisladores y semiconductores

a) Los conductores eléctricos son materiales que poseen electrones libres y permiten el paso de las cargas eléctricas, por ejemplo, en los metales los electrones de las orbitas más lejanos no permanecen unidos a sus átomos y tienen la libertad de movimiento, denominándose a estos electrones libres. b) Aisladores o dieléctricos son materiales que no poseen electrones libres por lo tanto, no es posible el desplazamiento de carga eléctrica libre a través de estos cuerpos. En estos materiales los electrones están fuertemente unidos a sus núcleos. Son ejemplos de aislantes: la madera, el caucho, el vidrio, los plásticos, el papel. c) Semiconductores son materiales que poseen muy pocos electrones libres y que a determinadas condiciones se comportan como conductores y en condiciones contrarias como aisladores. Entre ellos tenemos el Silicio y el Germanio, utilizados en la electrónica para la fabricación de microchips, diodos electrónicos, etc.

LM 31

074008

Fig 6. El Silicio, que es un semiconductor se emplea para la fabricación de chips que son usados en las computadoras. Formas de cargar un cuerpo Electrización por contacto Consiste en cargar un cuerpo con sólo ponerlo en contacto con otro previamente electrizado. En este caso, ambos quedarán cargados con carga del mismo signo. Esto se debe a que habrá transferencia de electrones libres desde el cuerpo que los posea en mayor cantidad hacia el que los contenga en menor proporción y manteniéndose este flujo hasta que la magnitud de la carga sea la misma en ambos cuerpos.

A B A B A B

(a) (b) (c) Fig. 7 (a) El cuerpo cargado "A" se acerca al cuerpo descargado "B". (b) Cuando se ponen en contacto hay una transferencia de electrones. (c) Al final se separan y los dos quedarán cargados siempre con el mismo signo.

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Electrización por frotamiento Esta forma de electrización ya ha sido explicada en la sección anterior, al frotar la barra de plástico con la piel. Es importante recalcar que en esta forma de electrización se producen cuerpos electrizados con cargas de signos opuestos.

Fig. 8 a) Al frotar un paño de lana con una varilla de plástico, hay una transferencia de electrones de la piel a la barra.

b) El paño de lana adquiere carga positiva (+Q) y la varilla carga negativa (-Q) Electrización por inducción Un cuerpo cargado eléctricamente puede atraer a otro cuerpo que está neutro. Cuando se acerca un cuerpo electrizado a un cuerpo neutro, se establece una interacción eléctrica entre las cargas del primero y las del cuerpo neutro. Como resultado de esta interacción, la distribución inicial se ve alterada: el cuerpo electrizado provoca el desplazamiento de los electrones libres del cuerpo neutro. En este proceso de redistribución de cargas, la carga neta inicial no ha variado en el cuerpo neutro, pero en algunas zonas se carga positivamente y en otras negativamente. Se dice entonces que aparecen cargas eléctricas inducidas. Entonces el cuerpo electrizado, denominado inductor, induce una carga con signo contrario en el cuerpo neutro y por lo tanto lo atrae. El diagrama de abajo muestra el procedimiento para electrificar un cuerpo por inducción. Es destacable que la carga obtenida por este método es de signo opuesto a la carga de inductor.

Fig. 9 Pasos para electrizar un cuerpo por inducción.

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Propiedades de la carga eléctrica 1. Principio de conservación de la carga eléctrica

En concordancia con los resultados experimentales, el principio de conservación de la carga establece que no hay destrucción ni creación de carga eléctrica, y afirma que en todo proceso eléctrico la carga total se conserva, tal como pensó Franklin. Hemos visto que cuando se frota una barra de vidrio con seda, aparece en la barra una carga positiva. Las medidas muestran que aparece en la seda una carga negativa de igual magnitud. Esto hace pensar que el frotamiento no crea la carga eléctrica sino que simplemente la transporta de un objeto al otro, alterando la neutralidad eléctrica de ambos. Así, en un proceso de electrización, el número total de protones y electrones no se altera y sólo hay una separación de las cargas eléctricas. Por tanto, no hay destrucción ni creación de carga eléctrica, es decir, la carga eléctrica total se conserva. En todo proceso de electrización la carga total permanece constante siempre que el sistema este aislado.

2. Cuantización de la carga eléctrica La experiencia ha demostrado que la carga eléctrica no es contínua, o sea, no es posible que tome valores arbitrarios, sino que los valores que puede adquirir son múltiplos enteros de una cierta carga eléctrica mínima. Esta propiedad se conoce como cuantización de la carga y el valor fundamental corresponde al valor de carga eléctrica que posee el electrón y al cual se lo representa como "e". Cualquier carga Q que exista físicamente, puede escribirse como:

Q = ± n e Donde: n = es el número de electrones ganados o perdidos

e = carga fundamental de un electrón o protón 1,6 x 10-19 Coulomb (C)

Vale la pena destacar que para el electrón la carga es -e, para el protón vale +e y para el neutrón es cero (0). Medición de la carga eléctrica

El valor de la carga eléctrica de un cuerpo, representada como "q" o "Q", se puede medir por el número de electrones en exceso o en defecto que posee. En el Sistema Internacional de Unidades la unidad de carga eléctrica se denomina coulomb (símbolo C).

19

18

11,6 10

6,25 10

Ce x C

x

Resumen de carga eléctrica

Las propiedades fundamentales de la carga eléctrica son:

- La carga eléctrica está cuantificada y su unidad más elemental es la carga del electrón. - Existen dos tipos de carga: positiva y negativa. La interacción electrostática entre cargas del mismo

signo es repulsiva, mientras que la interacción entre cargas de signo opuesto es atractiva. - La carga eléctrica se conserva en cualquier proceso de electrización que tenga lugar en un sistema

aislado. - La unidad de carga eléctrica en el SI es el coulumb.

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1. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda.

I. La electrostática estudia las cargas eléctricas en movimiento. II. La designación griega del ambar es elektro. III. Existen dos tipos de cargas eléctricas.

a) FVV b) FFV c) FVF d) VVV e) FFF 2. Complete la oración adecuadamente: William ........... en 1600 publica su obra De Magnete y emplea por primera vez el término .........

a) Franklin - vitrio b) Newton - eléctrico c) Gilbert - ambar d) Franklin - eléctrico

e) Gilbert – eléctrico 3. Indicar las proposiciones verdaderas:

I. Dos barras de plástico frotadas por separado utilizando una piel, se atraen. II. Existen sólo dos tipos de carga. III. El electrón tiene carga positiva. a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y II e) I y III 4. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. Los conductores tienen electrones libres. II. Los aisladores no poseen electrones libres. III. El agua es un conductor eléctrico. a) VVF b) VFV c) FVV d) VVV e) FVV 5. De la siguiente lista de materiales: Plástico, papel, grafito, madera, ácidos, agua, vidrio, cuerpo humano. ¿Cuántos son aisladores? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8 6. Indicar verdadero (V) o falso (F)

I. Cuando se electriza un cuerpo por contacto los dos quedan al final con cargas de signos iguales. II. Al frotar un paño de seda con el vidrio, este último se carga negativamente. III. Los metales son conductores.

a) VFF b) FVV c) FFV d) VFV e) VVV

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Física

7. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

I. Si un cuerpo pierde electrones se carga negativamente. II. Un cuerpo neutro no tiene electrones ni protones III. Los electrones tienen carga negativa.

a) VFF b) FVV c) FFV d) VFV e) VVV

8. Respecto a la carga eléctrica indicar verdadero (V) o falso (F)

I. La unidad de carga en el Sistema Internacional de unidades es el coulomb (C). II. Es una propiedad de la materia que nos indica el exceso o carencia de electrones que posee un cuerpo. III. La carga mínima, denominada elemental, que es la que posee un electrón o un protón es

1,6.10-19C. a) VFF b) FVV c) FFV d) VFV e) VVV

9. Indicar las relaciones correctas:

I. 1 mC = .10-3 C (milicoulomb)

II. 1 nC = .10-2 C (nanocoulumb)

III. 1C = 10-6 C (microcoulumb) a) VFF b) FVV c) FFV d) VFV e) VVV 10. Indicar la alternativa incorrecta:

a) La unidad de carga eléctrica es el coulomb. b) Cuando un cuerpo gana electrones se carga negativamente. c) El plástico es un material aislante. d) En todo proceso de electrización la carga total disminuye.

e) La carga eléctrica esta cuantizada.

11. Una varilla de vidrio al ser frotado con una tela de seda pierde tres mil millones de electrones. a) ¿Cuál es la carga de la varilla de vidrio luego de ser frotada? b) ¿Cuál es la carga de la tela de seda luego de frotar al vidrio?

a) -4,8 x 10-10C

+4,8 x 10-10C

b) +4,8 x 10-10C

-4,8 x 10-10C

c) 1,6 x 10-15

1,6 x 10-21 d) 3,2 x 10-15

3,2 x 10-10

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Física

12. En un laboratorio un grupo de alumnos determinó la carga eléctrica de tres cuerpos y los valores obtenidos fueron:

Q1 = + 4 x 10-18C

Q2 = - 2,04 x 10-18C

Q3 = + 5,6 x 10-18C

¿Las medidas fueron correctas? ¿Cuál o cuáles fueron medidas correctas? a) Q1 y Q2 b) Q1 y Q3

c) Q2 y Q3 d) ninguna

13. Se tienen dos esferas metálicas del mismo radio cargadas con -8 contacto y luego se separan. Hallar la carga final de la esfera que tenía carga negativa.

a) 6 C b) 6 C

c) 12 C d) 4 C

14. Una varilla de plástico gana por frotamiento dos mil millones de electrones, ¿cuál es su carga eléctrica?

a) 3,2x10-10 C b) -3,2x10-10 C c) 3,2x10-13 C

d) -3,2x10-13 C e) -3,2x10-7 C 15. Una esfera metálica tiene sobre su superficie un defecto de 30 electrones. ¿Cuál es su carga eléctrica?

a) -4,8 x 10-18 C b) -3,2 x 10-18 C

c) -4,8 x 10-18 C d) 3,2 x 10-18 C

e) -6,4 x 10-18 C 1. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. Si un cuerpo gana electrones se carga positivamente. II. La carga eléctrica esta cuantizada. III. Un dieléctrico no tiene electrones libres. a) FVV b) VFV c) VVF d) VVV e) FVF 2. Indicar verdadero (V) o falso (F):

I. Dos cuerpos que poseen igual carga eléctrica se atraen. II. En la electrización por fricción los dos cuerpos quedan con cargas de signos iguales. III. El agua es un conductor de la carga eléctrica.

a) FFF b) VFV c) VFF d) FFV e) VVF

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} Tierra

3. Indicar las proposiciones verdaderas:

I. La carga de un electrón es -1,6 x 10-19 C. II. En cualquier proceso de electrización la carga total no cambia. III. Si un cuerpo se electriza por inducción su carga es opuesta a la carga del inductor.

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y II e) Todas 4. Si el cuerpo A repele al cuerpo B; el cuerpo B atrae al cuerpo C que tiene un defecto de electrones; indicar las proposiciones verdaderas: I. A tiene un exceso de electrones. II. B es de carga positiva. III. C no tiene carga. a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y II e) Todas 5. Marca la afirmación correcta:

a) Un cuerpo esta electrizado cuando ha ganado o perdido electrones. b) La electrización por frotamiento consiste en el paso de electrones de un cuerpo a otro. c) Debido a que no existen electrones libres en un aislante, no se puede electrizar. d) Existen sólo dos tipos de carga.

e) En la electrización por contacto los cuerpos quedan con cargas de signo distintos. 6. Si un cuerpo perdió 20 mil electrones, ¿cuál es su carga eléctrica?

a) 3,2 x 10-21 b) 3,2 x 10-22 c) 1,6 x 10-15

d) 1,6 x 10-21 e) 3,2 x 10-15 7. ¿Cuántos electrones perdió un cuerpo que tiene una carga de 0,8 C?

a) 5 x 1016 b) 4 x1016 c) 5 x 1018

d) 4 x 1018 e) 8 x 1018 8. Si un cuerpo gana 120 electrones, ¿cuál es su carga eléctrica?

a) -1,92 x 10-19C b) -1,92 x 10-21C

c) -1,92 x 10-14C d) -1,92 x 10-17C

e) -1,92 x 1017C

9. Un cuerpo con carga 4 x 10-8C pierde 2 billones de electrones adicionales, hallar su carga final.

a) 28 x 10-8 C b) 24 x 10-8 C c) 36 x 10-8 C

d) 16 x 10-8 C e) 12 x 10-8 C 10. Una esfera conductora con carga negativa se conecta a tierra mediante un cable metálico. Indicar la alternativa correcta:

a) La esfera pierde protones. b) La esfera pierde neutrones. c) La esfera gana electrones. d) La esfera pierde electrones. e) La esfera gana protones.

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Física

Luego de reconocer que existen dos tipos de carga la positiva y la negativa se comenzó a medir la fuerza que existe entre las cargas y fue Coulomb que luego de muchas mediciones y observaciones enunció la ley que lleva su nombre. LEY DE COULOMB La fuerza de atracción o repulsión entre dos cargas es directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. Expresada como una fórmula para dos cargas q1 y q2 separadas una distancia "d", tendremos que la fuerza

es:

1 2

2

Kq qF

d .................. (1)

IMPORTANTE

* La fuerza entre las cargas actúa sobre la línea que une a las cargas. Esta fuerza cumple la tercera ley de Newton, de acción y reacción.

1

* En la fórmula de Coulomb las cargas "q1" y "q2" van en valor absoluto (sin signos), deben estar

expresadas en Coulomb. * La constante K de la fórmula se denomina constante de Coulomb y depende del medio que separa a las cargas; su valor en el vacío o aire es:

2

9

2

N.mK 9.10

C

SUPERPOSICIÓN DE FUERZAS Si tenemos más de dos cargas y queremos determinar la fuerza eléctrica resultante sobre una de las cargas debemos analizar la interacción entre esta carga y las demás y luego calcular la resultante vectorial de todas las fuerzas.

Fig. Fuerza resultante sobre la carga "q2", por la acción de "q1" y "q3".

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Bloque I


I. La fuerza de atracción o repulsión entre dos cargas es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.

II. La fuerza de atracción entre dos cargas son iguales en magnitud pero opuestas en dirección.

III. La ley de Coulomb describe la fuerza entre dos cuerpos cargados. a) VFV b) VVV c) VVF d) FVV e) FFV 2. Respecto a la fuerza eléctrica entre dos cargas eléctricas, ¿qué proposiciones son verdaderas?

I. Su valor es directamente proporcional al producto de las cargas. II. Si una de las cargas es neutra solo existe fuerza sobre una de las cargas. III. Si las cargas se alejan la fuerza disminuye.

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y III e) Todas 3. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

I. La fuerza eléctrica entre dos cargas eléctricas son siempre de sentido contrario. II. La fuerza eléctrica entre dos cargas es directamente proporcional a la distancia que

separa las cargas. III. La fuerza eléctrica entre dos cargas tienen sentido opuesto solamente cuando las

cargas tiene signos opuestos. a) FFF b) VFF c) VVF d) FFV e) FVF 4. Si la distancia entre dos partículas idénticas cargadas eléctricamente se reduce a la mitad, entonces la fuerza de interacción entre ellas: a) Se reduce a la mitad. b) Se duplica. c) Se cuadruplica d) No cambia e) Se reduce a la cuarta parte.

5. Hallar la fuerza de atracción entre una carga de 4x10-4 C y otra de -5x10-4 C separadas 3 m. a) 100 N b) 150 c) 200 d) 10 e) 20

6. Calcular la fuerza de repulsión entre dos cargas de 20 C y 5 C separadas 20 cm.

a) 22,5 N b) 225 c) 2,25 d) 4,5 e) 45

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Física

7. Dos partículas tienen cargas iguales y están separadas una distancia de 3 cm. Si se repelen con una fuerza de 160N, ¿cuál es la carga de cada partícula?

a) 2 C b) 3 c) 4

d) 8 e) 9 8. El protón y el electrón del átomo de hidrógeno se atraen con una fuerza "F". Si el radio de la órbita del electrón se reduce a la mitad, ¿cuál es la nueva fuerza de atracción entre estas partículas? a) F b) 2F c) 4F d) F/2 e) F/4 9. Dos cargas puntuales Q1 y Q2 se atraen en el aire con cierta fuerza "F". Suponga que el valor

de Q1 se duplica y el de Q2 se vuelve 8 veces mayor. Para que el valor de la fuerza "F" permanezca

invariable la distancia entre Q1 y Q2 deberá ser:

a) 32 veces mayor b) 4 veces mayor c) 16 veces mayor d) 4 veces menor e) 16 veces menor

10. Calcular la fuerza resultante sobre "q3". (q1 = 10 C ; q2 = -5 C ; q3 = 20 C )

q1

q2

q3

10cm 20cm

a) 22,5 N() b) 22,5 N() c) 42,5 N()

d) 42,5 N() e) 20 N() 1. Completar adecuadamente, respecto a la ley de Coulomb "La fuerza de atracción o repulsión entre dos cargas eléctricas es ……….. proporcional al producto de las cargas e …………… proporcional al cuadrado de la distancia que separa sus centros".

2. Sean y las fuerzas de atracción o repulsión entre dos cargas eléctricas. Indicar la

proposición correcta, respecto a los sentidos de y .

I. Son opuestos solamente cuando los cargas tienen signos iguales. II. Son iguales solamente cuando las cargas poseen signos opuestos. III. Son siempre opuestos, cualesquiera que sean los signos de las cargas.

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y II e) Todas

3. Considere cuatro objetos electrizados A, B, C y D. Se halla que A repele a C y atrae a B. A su vez B repele a D. Si se sabe que D tiene un exceso de electrones, indicar las proposiciones correctas.

I. B está electrizado negativamente. II. A está electrizado positivamente. III. C tiene un defecto de electrones.

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y II e) Todas

141


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Física

4. Hallar la fuerza de atracción electrostática entre un electrón y un protón cuando se encuentran

separados 10-10m (radio del átomo de hidrógeno)

a) 2,2.10-8 N b) 2,3.10-8 N c) 2.10-8 N

d) 2,1.10-8 N e) 3.10-8 N

5. Si la distancia de separación entre dos cargas se duplica, entonces la fuerza entre ellas se:

a) Duplica b) no pasa nada c) triplica d) se vuelve a la mitad

6. ¿Cuál debe ser la distancia que separe a dos cargas de 4 C y -10 C para que la fuerza de

atracción sea 4 N? a) 10 cm b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 7. La fuerza eléctrica de repulsión entre dos cargas es 40 N. Si la distancia entre ellas se duplica, hallar la nueva fuerza de repulsión. a) 8 N b) 10 c) 20 d) 40 e) 25

8. Hallar la fuerza eléctrica resultante que actua sobre la carga Q3. Si Q1 = 2.10

-4c

Q2=-8.10-4

c ; Q3 = +10-4

c

a) 100N b) 110 c) 120 d) 130 e) 140 9. Dos cargas puntuales de +6 c cada una están separadas 2cm. ¿Cuál es la fuerza de repulsión entre

ellas? a) 710N b) 810 c) 510 d) 610 e) 1210 10. Una carga puntual de: -16 c se sitúa a 8 cm. de otra carga puntual de 12 c . Calcule la fuerza de

atracción entre las cargas. a) 270N b) 280 c) 290 d) 300 e) 310

142


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Física

INTRODUCCIÓN:

La fuerza eléctrica, como la fuerza gravitacional, varía inversamente con el cuadrado de la distancia entre dos objetos. Ambas fuerzas pueden actuar a grandes distancias. ¿Cómo se ejerce una fuerza a través de lo que parece estar vacío? Tratando de entender la fuerza eléctrica, Michael Faraday (1791 - 1867) desarrollo el concepto de campo eléctrico.

Definición: Es aquella región del espacio modificado por la presencia de las cargas eléctricas, es decir, es aquella zona donde las cargas dejan sentir su presencia. La presencia del campo eléctrico se manifiesta por la aplicación de fuerzas sobre las cargas eléctricas que se colocan en su interior.

+Q Q

Campo

Eléctrico

OBSERVACIÓN El concepto de campo no se limita únicamente al estudio de los fenómenos eléctricos. De manera general, siempre que a cada punto de cierta región le corresponda un cierto valor de una magnitud determinada, diremos que en tal región existe un campo asociado a ella.

F

CAMPOGRAVITACIONAL

CAMPOMAGNÉTICO

CAMPOELÉCTRICO

F

F

CARGA DE PRUEBA (q0)

Es la carga positiva ficticia que sirve para verificar si en alguna región del espacio existe la presencia de un campo eléctrico.

INTENSIDAD DEL CAMPO ELÉCTRICO () Magnitud vectorial cuyo módulo y dirección describen el campo eléctrico.

143


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Física

Q q0

OBSERVACIÓNEl módulo de la carga de prueba debe ser tan pequeña que su presenciano provoca una distorsión en el campo que se estudia.Q: carga que crea el campo eléctrico.

Módulo: Mide el módulo de la fuerza que el campo eléctrico ejerce sobre la carga de prueba (qo)

colocada en un punto del espacio afectado por el campo.

E =F

qoUnidad: N/C

Dirección: Coincide con la dirección de la fuerza que experimenta la carga de prueba.

+

Q

+

qo F

E

Q qoF

E

+

OBSERVACIÓN Para la existencia del campo eléctrico en una determinada región no es necesario la presencia de la carga de prueba.

+

Q E Q F

d d

E =KQ

2..... campo creado por una carga puntualE =

F

qo=

KQqo/d

qo

2

d

+

E1

E2

E3

-

E1

E2

E3

Fig. 1 Representación de la intensidad de campo eléctrico para diferentes posiciones.

Principio de superposición

Si tenemos varias cargas eléctricas puntuales que crean en un punto los campos eléctricos E1, E2 y

E3, el campo eléctrico resultante será la suma vectorial de todos los campos.

(+)Q1

(+)Q2 (-)Q

3

E3

E1E

2

P

1

En el punto "P":

E = E + E + Etotal 2 3

144


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Líneas de fuerza

Son líneas imaginarias ideadas por Michael Faraday (1791 - 1867) que permiten representar gráficamente a los campos eléctricos, de modo que ellas en cada punto poseen la misma dirección del campo.

Características: - Se asume que salen de las cargas positivas y entran a las cargas negativas. - Las líneas de fuerza nunca se cortan entre sí.

- El campo eléctrico E es tangente a la línea de fuerza. - En aquella región donde las líneas están mas juntas el campo eléctrico será mayor.

Líneas de campo eléctrico de tres distribuciones de carga diferentes. En general, la magnitud de E es diferente en puntos distintos a lo largo de una línea de campo dada.

Bloque I 1. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

I. El campo eléctrico es la zona que rodea a una carga eléctrica. II. La intensidad de campo eléctrico es una cantidad física vectorial. III. Las líneas de fuerza se emplean para representar a un campo eléctrico.

a) VVF b) VFV c) FVV d) VVV e) VFF 2. Respecto a las líneas de fuerza, ¿qué proposiciones son verdaderas? I. Fueron ideadas por Michael Faraday. II. Siempre salen de las cargas positivas. III. Se pueden cortar.

145


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a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo I y II d) Todas e) Sólo III 3. Indicar verdadero (V) o falso (F), respecto al campo eléctrico.

I. Es la región que rodea una carga eléctrica. II. Es la región que rodea a una carga negativa. III. Si un cuerpo es neutro no produce campo eléctrico.

a) VVF b) VFV c) FVV d) VVV e) VFF

4. Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda: I. La intensidad de campo eléctrico (E) es una cantidad vectorial. II. Si la carga es positiva la intensidad de campo que produce en un punto apunta hacia la carga.

III. La unidad de la intensidad de campo eléctrico en el S.I. es N/C. a) VVF b) VFV c) FVV d) VVV e) VFF

5. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas, respecto a las líneas de fuerza? I. Se emplean para representar al campo eléctrico. II. Salen de las cargas positivas.

III. En la región donde están más juntas la intensidad de campo eléctrico es mayor. a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo I y II d) Todas e) Sólo III 6. En el triángulo equilátero mostrado indique aproximadamente la dirección de la intensidad de campo eléctrico resultante en el punto "P".

q +- q

P

7. Hallar el módulo de la intensidad de campo eléctrico resultante en el punto "P". (q1=4.10-7 C;

q2= 3.10-7 C)

q1

+2 m

q2

-1 m

P

8. En cierta región una carga de prueba de 5x10-8 C experimenta una fuerza de 0,04 N, ¿cuál es la magnitud del campo eléctrico?

a) 6x105 N/C b) 8x105 c) 6x106

d) 4x105 e) 8x106

9. Hallar la magnitud del campo eléctrico producido por una carga de 8x10-8 C, a 2 m de dicha carga. a) 180 N/C b) 90 c) 18 d) 9 e) 270

146


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10. ¿A qué distancia de una carga puntual de 12 C se crea un campo eléctrico de módulo 27 x

105 N/C? a) 0,1 m b) 0,2 c) 0,3 d) 0,5 e) 2 1. Indique la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. En la vecindad de un cuerpo cargado eléctricamente:

I. Existe un campo eléctrico E . II. En cada punto de la región, la dirección del campo eléctrico depende del signo de la

carga que genera el campo. III. Las líneas de fuerza se emplean para representar al campo eléctrico.

a) VVV b) VVF c) FVF d) VFV e) VFF 2. Indique la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. En la vecindad de un cuerpo cargado eléctricamente:

I. Existe un campo eléctrico E . II. En cada punto de la región, la dirección del campo eléctrico depende del signo de la

carga que genera el campo. III. Las líneas de fuerza son necesariamente cerradas.

a) VVV b) VFF c) FVF d) VVF e) FFF

3. Indicar las proposiciones correctas:

I. Las líneas de fuerzas son líneas imaginarias creadas por Faraday. II. Las líneas de fuerza no se pueden cruzar.

III. Si una carga es negativa las líneas de fuerza salen de la carga. a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo I y II d) Todas e) Sólo III

4. ¿Cuál es el módulo de la intensidad de campo eléctrico resultante en el punto "P"? (q1=8.10-8

C; q2= -9.10-8 C)

q1

+20 cm

q2

-30 cm

P

5. Determinar la intensidad de campo eléctrico total en el punto "M".

a) 8 kN/C b) 6 c) 4 d) 16 e) 18

147


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6. Hallar la intensidad de campo eléctrico total en el punto medio del segmento que separa dos cargas:

Q1 = -6x10-8 C y Q2 = 4 x 10-8 C.

La distancia entre ambas es de 4m. a) 135 N/C b) 270 c) 90 d) 45 e) 225

7. Hallar la intensidad de campo eléctrico en un punto ubicado a 40 cm de una carga de 8x10-9 C. a) 270 N/C b) 180 c) 450 d) 45 e) 27 8. Grafique aproximadamente el vector que representa al campo eléctrico creado por la carga negativa Q en el punto A.

Q(-)

A

a) b) c)

d) e) 9. Calcular el valor de la carga que a 3m de ella crea un campo eléctrico de módulo 5 kN/C.

a) 5 mC b) 5 C c) 5 C

d) 0,5 C e) 50 C

10. Hallar la intensidad de campo eléctrico en un punto ubicado a 40 cm de una carga de 8 x 10-9

C. a) 270 N/C b) 180 c) 450 d) 45 e) 27

148


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Introducción:

Hasta ahora hemos calculado intensidades de campo eléctrico ( E ) producido por cargas puntuales y a medida que nos alejamos de la carga que crea el campo, la intensidad va disminuyendo. Vamos a ver en este capítulo que hay campo eléctrico cuya intensidad no cambia al alejarnos o acercarnos a las cargas que crean el campo eléctrico a este campo se le denomina uniforme.

Campo Eléctrico Uniforme

Consideremos dos placas planas paralelas, separadas una distancia pequeña comparada con sus dimensiones. Supongamos que se encuentran con cargas del mismo valor pero de signos contrarios. Se ha demostrado que cualquier carga soltada entre las placas sufre la acción de una fuerza constante producida por el campo. Si despreciamos los efectos gravitatorios la carga se moverá siguiendo una trayectoria rectilínea perpendicular a las placas electrizadas. Si graficamos las líneas de fuerza del campo tendremos:

++

+

+

++

+

+

-

-

--

-

-

--

E

A

B

Fig. 1 - El campo eléctrico entre las placas electrizadas es uniforme. En los extremos de las placas el campo no es uniforme.

En la figura 1 se ha exagerado la separación entre las placas, solo con el objeto de visualizar el campo uniforme. La separación entre las placas debe ser muy pequeña para lograr el campo uniforme. Para investigar el campo eléctrico que produce una carga +Q se coloca una carga prueba, positiva y pequeña +q a una distancia r, veremos que la carga de prueba es repelida por una fuerza F.

2

2

QqK

F KQrE E Eq q r

Observaciones. 1. La intensidad de campo en cualquier punto del campo es la misma. En la figura 1 tenemos

A BE E E .

149


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2. Si una carga positiva es soltada en el campo uniforme, está experimentará una fuerza F en la misma dirección del campo eléctrico.

E

+ F

q .qF E

3. Si la carga es negativa, experimentará una fuerza en dirección contraria al campo uniforme.

E

F

q

Donde: F :Es la fuerza del campo eléctrico (N)

E : Es la intensidad de campo eléctrico en N/C. q : Es la carga colocada en el campo.


I. Un campo eléctrico uniforme es constante sólo en módulo. II. Las líneas de fuerza de un campo eléctrico uniforme son paralelas. III. Se crea un campo eléctrico uniforme entre dos cargas puntuales.

a) FVF b) FVV c) VVV d) VVF e) FFF 2. Respecto al campo eléctrico uniforme que proposiciones son verdaderas:

I. Al colocar una carga positiva en el campo, aparecerá sobre la carga una fuerza de dirección contraria al campo eléctrico.

II. La magnitud de la fuerza "F" ejercida por el campo uniforme "E" sobre una carga "q" colocada en este campo es F = qE

III. Si una carga neutra es colocada en el campo eléctrico experimenta una fuerza eléctrica.

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Ninguna e) Todas


I. Una carga puntual puede crear un campo uniforme. II. Dos placas cargadas con signos diferentes y paralelas crean un campo eléctrico

uniforme, si la distancia entre ellas es pequeña. III. Las líneas de fuerza paralelas representan un campo eléctrico uniforme.

a) FFV b) VVF c) VFV d) FVV e) FVF

150


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Física

4. La figura muestra las trayectorias seguidas por dos cargas q1 y q2 colocadas en un campo

uniforme, despreciando los efectos de la fuerza de la gravedad. Indicar qué proposiciones son verdaderas.

q

E

1

q2

I. La carga q1 es positiva.

II. La carga q2 es positiva.

III. Las trayectorias mostradas son imposibles.

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y II e) II y III

5. Una carga puntual de 12 C es soltada en un campo uniforme cuya intensidad es 4 x 105 N/C.

Si la masa de la carga es 2 mg y se desprecia los efectos de la gravedad, calcular: a) La fuerza que el campo ejerce a la carga.

b) La aceleración que adquiere la carga.

6. Una carga q =4 mC es colocada en un campo eléctrico uniforme de 3,2 x 104 N/C. Hallar la fuerza que aparece sobre la carga.

a) 128 N b) 12,8 c) 1,28 d) 64 e) 6,4 7. En cierta región existe un campo eléctrico uniforme horizontal y hacia la derecha cuya magnitud

es 2x104 N/C una carga eléctrica de 4 C es soltada en este campo. Calcular la fuerza que

aparece sobre la carga.

a) 4.10-2 N b) 6.10-2 c) 8.10-2

d) 5.10-2 e) 2.10-2 8. La carga mostrada en la figura es de 3 mC y se encuentra en equilibrio en la posición mostrada. Hallar la tensión en la cuerda del hilo aislante. (E = 200 N/C)

E37°

a) 2 N b) 1 c) 3 d) 5 e) 8

9. Hallar el peso de una carga q= + 4C si se encuentra en reposo E=6N/C.

a) 4N b) 6N c) 20N

d) 18N e) 24N

151


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Física

A E

B

C

10. Si la esfera pesa 6N y posee una carga de 8 C se encuentra en equilibrio en la posición

mostrada. Hallar la tensión en la cuerda, la intensidad de campo eléctrico es 50 kN/C.

t

qg

Hilo aislante

a) 4N b) 8 c) 6 d) 10 e) 2

1. Indique Verdadero (V) o Falso (F) respecto a un campo uniforme: I. Su valor es constante en cualquier punto del campo. II. Su valor depende de la distancia. III. Se representa por líneas de fuerza paralelas.

a) FFV b) VVF c) VVV d) FVV e) N.A

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) según corresponda:

I. Un campo eléctrico uniforme se crea en la región que separa dos placas metálicas paralelas; cargadas con la misma carga pero de signos contrarios y separados por una pequeña distancia. II. Una carga puntual puede crear un campo uniforme III. Si tenemos dos cargas puntuales podemos crear un campo eléctrico uniforme.


3. Si las líneas de fuerza representan un campo eléctrico uniforme y EA, EB, EC son las

intensidades de campo eléctrico en los puntos A, B, C respectivamente, indicar la proposición correcta.

I. EA > EB

II. EA = EC

III.EB < EC

4. En cuál de las 3 regiones el campo uniforme tiene una mayor intensidad.

I II III

152


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Física

37°

-q

5. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) según corresponda:

I. El campo eléctrico uniforme obtenido por dos placas paralelas de signos contrarios está orientado de la placa positiva a la placa negativa. II. Si las placas paralelas estuvieron muy separadas se sigue creando un campo eléctrico uniforme. III.En una región del espacio, puede haber simultáneamente un campo eléctrico uniforme y un campo gravitatorio.


6. Una carga eléctrica se suelta en una región donde existe un campo uniforme. Si no existe fuerza gravitatoria, ¿qué proposiciones son verdaderas?

I. Si la carga es positiva se desplazará en la misma dirección del campo eléctrico. II. Si la carga fuera negativa se desplazará en dirección opuesta al campo eléctrico. III. La carga sea positiva o negativa se desplazará con un M.R.U.


7. Indicar en qué dirección se mueve la carga q=+5C (no considerar el efecto de gravedad)

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 1

8. Hallar la aceleración de la carga q= - 5C. E=20N/C; indicar además su dirección. m=4kg (g=10m/s²)

a) 12 b) 15 c) 12

d) 15 e) 20

9. Una esfera de 400 g de masa con una carga q = -3 C se encuentra en equilibrio, como se

muestra en la figura. Hallar la magnitud del campo eléctrico E. (g = 10 m/s2)

a) 1 MN/C b) 4 c) 3 d) 2 e) 5

10. Hallar el peso de una carga q= +4C si se encuentra en reposo E=6N/C.

a) 4N b) 6N c) 20N d) 18N e) 24N

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Física

INTRODUCCION: En nuestro quehacer diario utilizamos la energía asociada a las interacciones eléctricas. Cada vez que prendemos un foco hacemos uso de la energía eléctrica que se transforma en energía luminosa, cuando funciona un ventilador, de igual manera recibe energía eléctrica y la convierte en energía mecánica y lo mismo ocurre en cualquier aparato eléctrico. Hasta ahora hemos estudiado la fuerza entre las cargas eléctricas y los efectos del campo eléctrico sobre cargas ubicadas en él. En este capítulo estudiaremos la energía asociada a las cargas denominada energía potencial eléctrica.

II

Fig. 1 La corriente eléctrica (I) que es un flujo de cargas eléctricas posee energía, al pasar por el foco se transforma en energía luminosa y por un ventilador en energía mecánica. Energía potencial eléctrica Recordemos la relación entre el trabajo y la energía potencial gravitatoria. Si tenemos un maletín sobre la mesa y lo alzamos hasta una cierta altura debemos realizar un trabajo en contra de la aceleración de la gravedad. El trabajo realizado incrementa la energía potencial del maletín. Si soltamos el maletín observaremos que la energía potencial ganada se convierte en energía cinética. Análogamente un objeto con carga eléctrica puede tener energía potencial en virtud de su posición en un campo eléctrico. Del mismo modo que se requiere trabajo para alzar un objeto contra el campo gravitacional terrestre, se necesita trabajo para empujar una carga contra el campo eléctrico de un cuerpo cargado. La energía potencial eléctrica de una partícula cargada aumenta cuando se realiza trabajo para empujarla contra el campo eléctrico de algún otro objeto cargado.

+

+

+ +

+

+

+ + +

+

+

+

+

B A

+

Fig. 2 Si queremos llevar una carga eléctrica positiva desde A hasta B contra el campo eléctrico tenemos que realizar un trabajo. La energía potencial eléctrica en B será mayor que la energía potencial eléctrica en A. Si la energía potencial eléctrica en A la designamos por UA y en B por UB, entonces el trabajo realizado

para llevar una carga eléctrica desde A hasta B será UB - UA.

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Potencial eléctrico (V) Se define el potencial eléctrico en un punto "P" de un campo eléctrico como el trabajo realizado por unidad de carga al traer una carga desde el infinito y colocarla en el punto "P".

+

+

+ +

+

+

+ + +

+

+

+

Q

q0

P

P

P0

WV

q

................... 1

Unidades: Joule

VoltioCoulomb

(V)

Por ejemplo en un punto "P" el potencial eléctrico es 60 voltios, esto significa que para traer una carga de un Coulomb desde el infinito y colocarlo en el punto "P" se debe realizar un trabajo de 60 J. Además en este recorrido la energía potencial eléctrica de la carga aumentó en 60 J. Observación: También se puede calcular el potencial eléctrico en un punto "P", si se conoce la carga que crea el campo y a que distancia está de la carga, con la siguiente relación:

+

+

+ +

+

+

+ + +

+

+

+

QPd

Punto "P":

p

KQV

d ................. 2

Unidades:

Q = Coulomb (c) d = metro (m) V = voltio (v)

Importante

* La carga Q va con su signo. * El potencial eléctrico es directamente proporcional a la carga que crea el campo. * El potencial eléctrico es inversamente proporcional con la distancia. A medida que nos

alejamos el potencial disminuye. * El potencial eléctrico en un punto muy distante (infinito) es cero.

0V

155


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Física

EJEMPLO:

1. Calcular el potencial eléctrico creado por una carga de 6 x 10-8C a 2m y 3m de la carga. Resolución Ubicando los datos en un esquema.

2 m

3 m

Q= 6x10 C-8

A

B

Punto "A": 9 8

AA

KQ 9x10 x6x10V 270 V

d 2

Punto "B": 9 8

BB

KQ 9x10 x6x10V 180 V

d 3

Como podemos observar el potencial es menor si estamos más lejos de la carga. Analizando los resultados observamos que si traemos una carga de un Coulomb desde el infinito y lo colocamos en el punto B necesitamos realizar un trabajo de 180J pero si la llevamos al punto "A" necesitamos un trabajo mayor que es de 270J. La diferencia entre estos trabajos es decir 270J - 180J= 90J es el aumento que experimenta la energía potencial eléctrica si trasladáramos la carga de "B" hacia "A". El potencial eléctrico es una cantidad física escalar. En la fórmula 2 si la carga Q es positiva el potencial eléctrico es positivo y si la carga Q es negativo el potencial eléctrico también lo es.

POTENCIAL ELÉCTRICO DEBIDO A UN SISTEMA DE CARGAS PUNTUALES Si cerca de un punto P existen varias cargas eléctricas cada una creará un potencial eléctrico en dicho punto. El potencial eléctrico total se obtiene sumando todos los potenciales eléctricos.

1

P

Q

2Q 3Q

En el punto "P"

PV V

Vp = V1 + V2 + V3 + ... + Vn ............ 3

156


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220v

1c

AB

1c

A B+ -

12v

DIFERENCIA DE POTENCIAL ELÉCTRICO O VOLTAJE

Supongamos que soltamos una carga de prueba positiva en un punto "A" (fig. 3) perteneciente a un campo eléctrico. Entonces sobre la carga aparecerá una fuerza producida por el campo que trasladará la carga hasta un punto B. Diremos entonces que la fuerza del campo eléctrico ha realizado un trabajo para trasladar la carga desde A hasta B y este trabajo es la energía potencial que la carga ha ganado.

+

+

+

+

+

+

q0

FeA B

Fig.3 Al soltar la carga q0 en el punto "A", el campo eléctrico creado por la carga de la izquierda la

hace avanzar hasta "B". Se define la diferencia de potencial entre estos dos puntos "A" y "B" de la siguiente forma:

VA - VB = A B

0

W

q

................. 4

Unidades: W = Joule (J) q0 = Coulomb (C)

VA; VB = Voltio (V)

Importante

* WA B es el trabajo realizado por el campo eléctrico.

* q0 es la carga de prueba.

* El potencial en A es mayor que el potencial en B (VA>VB).

* La diferencia de potencial eléctrico (VA-VB) también se denomina voltaje.

El concepto de diferencia de potencial o voltaje se encuentra en nuestra vida diaria. Por ejemplo los tomacorrientes de las casas tienen un voltaje de 220 V. Como sabemos 220 V = 220 J/C, esto significa que si un aparato se conecta a este tomacorriente cada carga de 1 Coulomb que se desplace de un terminal a otro recibirá 220 J de energía del campo eléctrico en el tomacorriente y a su vez la carga transmitirá al aparato la energía que recibe. De la misma manera cuando decimos que la batería de un automóvil tiene un voltaje de 12 V, habrá una energía de 12 J que cada Coulomb recibirá cuando vaya de un terminal a otro de la batería. Fig. 4 La diferencia de potencial o voltaje proporciona en el tomacorriente del primer caso 220 J por cada Coulomb que va de A hacia B y en la batería 12 J por cada Coulomb.

157


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Física

Observaciones 1. Una carga positiva que se suelta en un campo eléctrico, tiende a desplazarse de los puntos de mayor potencial eléctrico a los de menor potencial. 2. El trabajo desarrollado por la fuerza eléctrica producida por el campo eléctrico es independiente de la trayectoria seguida, por lo tanto la fuerza eléctrica del campo eléctrico es conservativa. 3. Si de la fórmula 4 despejamos el trabajo tendremos.

0( )Campo

A B A BW q V V ............. 5

Así podemos ver que el trabajo no depende de la trayectoria sino de la diferencia de potencial que hay entre los puntos y del valor de la carga que se desplaza.

+

+

+

+

+

q0

A

B

q0

I

II

Fig. 5 El trabajo desarrollado por el campo es el mismo en las trayectorias I y II.

SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES

Consideremos una carga puntual positiva Q y un punto P situado a una distancia "r" de esta carga, su potencial eléctrico estará dado por V = KQ/r. Pero cualquier otro punto situado a la misma distancia "r" tendrá el mismo potencial. Como podemos darnos cuenta hay infinitos puntos que cumplen esta condición y formarán en este caso una superficie esférica de radio "r" y en su centro la carga que crea el campo (Q). Tendremos varias superficies esféricas con centro en Q que también serán superficies equipotenciales. Representamos las superficies equipotenciales mediante trazos discontinuos. Podemos comprobar rápidamente que si trazamos las líneas de fuerza del campo eléctrico, formarán 90° al intersectarse con las superficies equipotenciales.

+

MN

Q

P

V1

V2

V3

Superficie equipotencial

T Fig. 6 Las líneas discontinuas representan las superficies equipotenciales de potenciales V1, V2 y

V3. Los puntos M y N tienen el mismo potencial, V1, en forma similar los puntos P y T.

+

Superficieequipotencial

Línea de

fuerza

Q

--

-

-

--

-

-Superficie equipotencial

línea de fuerza

Fig. 7 Las superficies equipotenciales son perpendiculares a las líneas de fuerza del campo eléctrico.

158


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RELACIÓN ENTRE LA DIFERENCIA DE POTENCIAL Y LA INTENSIDAD DE CAMPO

ELÉCTRICO: Tenemos dos placas paralelas separadas una distancia "d" y electrizadas con cargas iguales y de signo contrario. Como sabemos, entre ellas existirá un campo uniforme E dirigido de la placa positiva A hacia la placa negativa B. Para determinar la diferencia de potencial entre estas dos placas, soltamos una carga de prueba positiva q0, junto a la placa A y determinaremos el trabajo que el

campo eléctrico realiza.

-

-

--

-

-

--

+

q0

E

F

A Bd

WAB = F.d, donde F es la fuerza producida por el campo eléctrico que es igual a Eq0.

WAB = Eq0.d ............ ()

Además:

VA-VB =

0

AW B

q

De() VA-VB = 0

Eq.d

q

VA - VB = Ed .................. 6

Importante:

* La diferencia de potencial o voltaje es directamente proporcional a la intensidad de campo eléctrico E y la distancia de separación "d". * Si despejamos E = VAB/d las unidades de la intensidad de campo eléctrico será V/m. Es

fácil demostrar que estas unidades son equivalentes a N/C.

EJEMPLO: La figura muestra las líneas de fuerza de un campo eléctrico uniforme, cuya intensidad es E = 1200 N/C. Determinar: a) La diferencia de potencial entre los puntos A y B (VAB)

b) VBC

c) VAC

A B

C

40cm

20cm

E

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Resolución

a) La diferencia de potencial entre los puntos "A" y "B" es VAB = E.d

VAB = 120N

C (0,2m) = 240v

b) Como los puntos "B" y "C" pertenecen a una superficie equipotencial, sus valores son los mismos por lo tanto su diferencia será cero.

VBC = VB - VC , pero VB = VC entonces

VBC = 0

c) Para hallar la diferencia de potencial entre A y C (VAC) debemos multiplicar la

intensidad de campo eléctrico "E" por la distancia que separa a los puntos "A" y "C" pero paralela a las líneas de fuerza, es decir 20 cm.

E

A B

C

d=20cm VAC = E.d

VAC = 1200N

C (0,2m)

VAC = 240 V

Podemos observar que es el mismo resultado que VAB, esto se debe a que los puntos B y C

están al mismo potencial.

TRABAJO REALIZADO POR UN AGENTE EXTERNO Si soltamos una carga en un campo eléctrico este la moverá en la dirección de las líneas de fuerza, si queremos que la carga avance en dirección contraria a las líneas de fuerza debemos aplicar una fuerza externa y si la movemos lentamente en equilibrio la fuerza externa será igual pero contraria a la fuerza eléctrica, por lo tanto el trabajo de agente externo, que es el que produce la fuerza externa, será igual de trabajo del campo eléctrico pero de signo contrario, es decir:

Agente externo CampoA B A BW signo contrario : W ......... 7

De la fórmula (5) tenemos ( )0

CampoW q V VA B A B

( )0

AgenteexternoW q V VA B B A

.............. 8

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1. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. El potencial eléctrico es una cantidad escalar. II. La unidad de potencial eléctrico es el Coulomb. III. Si una carga es neutra no crea potencial eléctrico. a) VFF b) VFV c) VVV d) VVF e) FFV 2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

I. El potencial eléctrico creado por una carga negativa es también negativo. II. En el infinito el potencial eléctrico es nulo. III. 1 Joule /1 Coulomb es un voltio. a) VVF b) FVV c) FVF d) VVV e) VFV

3. Indicar si es Verdadero (V) o Falso (F) respecto al potencial eléctrico I. Es una cantidad física escalar II. Su unidad en el S.I. es el voltio (V)

III. Es el trabajo realizado por unidad de carga para traer esta carga desde el infinito hasta un punto del campo eléctrico.

a) VVF b) FVV c) FVF d) VVV e) .A

4. Indicar verdadero (V) o Falso (F) según corresponda: I. Una carga negativa crea un potencial negativo. II. Una carga neutra puede crear un potencial eléctrico

III. En el infinito el potencial eléctrico es cero. a) VVF b) FVV c) FVF d) VVV e) N.A

5. Hallar el potencial eléctrico a 2 m de una carga puntual de 8 x 10-9 C. a) 18 V b) 36 c) 12 d) 8 e) 4

6. ¿A qué distancia de una carga puntual de 6x10-8 C el potencial creado por ésta es 135 V? a) 2 m b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

7. ¿Cuál es el potencial creado por una carga puntual de -8x10-8 C a 20 cm de la carga? a) 360V b) 180 c) 1800 d) 7200 e) 3600

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8. Hallar el potencial eléctrico total en el punto "M".

(q1 = 6 C y q2 = -2 C ).

M

q1

q2

3m 4m

a) 10 kV b) 12 c) 13,5 d) 9 e) Cero 9. Hallar el potencial eléctrico total en el punto "A", si

q1 = 200 C y q2 = 300 C .

A

q1

q2

5 m

37°

a) 3,5.104 V b) 4,5.104 c) 9,5.105

d) 3,5.105 e) 5,5.105

10. ¿Qué trabajo se debe realizar para traer una carga de 3mC desde el infinito y colocarlo en un punto de un campo eléctrico donde el potencial es de 50 V? a) 0,10 J b) 0,25 c) 0,15 d) 0,0 e) 0,45

11. ¿Qué trabajo se debe realizar para mover una carga de -4 C desde un punto A que se

encuentra a 40 V hasta otro punto B que se encuentra a 190 V?

a) -3.10-4 V b) -6.10-4 V c) -8.10-4 V

d) 3.10-4 V e) 6.10-4 V

12. Determine el trabajo para trasladar una carga q=+2.10-10C desde el punto A hasta el infinito.

a) -3 J b) -6 J c) -12 J

d) -18 J e) 0

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I. El potencial eléctrico es una cantidad física vectorial

II. El potencial eléctrico se mide en Joules. III. En un punto el potencial eléctrico total

producido por varias cargas cercanas es la suma algebraica de todos los potenciales.

a) VVF b) FVV c) FVF d) VVV e) N.A 2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

I. La diferencia de potencial entre dos puntos es el trabajo que se realiza por unidad de carga al trasladar una carga de uno de los puntos al otro.

II. El potencial eléctrico creado por una carga puntual positiva disminuye a medida que nos alejamos de la carga.

III. Una superficie equipotencial tiene todos sus puntos a un mismo potencial eléctrico.

a) VVF b) FVV c) FVF d) VVV e) N.A 3. Si el potencial eléctrico en un punto es 40 V, esto significa que:

I. El trabajo para traer una carga de 1 C desde el infinito hasta el punto es 40 J.

II. El trabajo para traer una carga de 40 C desde el infinito hasta el punto es de 40 J.

III. El trabajo para traer una carga de 40 C desde el infinito hasta el punto es 1 J.

Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

a) VVF b) FVV c) FVF d) VVV e) N.A 4. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

I. El potencial eléctrico creado por una carga negativa es también negativo.

II. Para cargas puntuales sus superficies equipotenciales son esferas concéntricas con la carga.

III. El potencial eléctrico de la tierra es infinito. a) VVF b) FVV c) FVF d) VVV e) N.A 5. Calcular el valor del potencial eléctrico de un

punto P situado a 6 cm. de una carga de +2.10-8c. a) 1000V. b) 2000 c) 3000 d) 4000 e) 5000 6. Si el potencial eléctrico generado por una carga Q a una distancia de 3m. es 60v. Entonces la magnitud de la carga Q es de:

a) 2.10-6 b) 4.10-8 c) 2.10-8

d) 4.10-6 e) 8.10-6 7. Si una carga genera un potencial determinado de 500v a una distancia determinada. ¿Cuál será el potencial que genera a una distancia 5 veces mayor? a) 200v b) 100v c) 50v d) 30v e) 10v 8. Si el potencial eléctrico en cierto punto es de 200v debido a la carga Q. Si esta carga por algún medio se triplicara. ¿Cuál sería el nuevo potencial eléctrico en el mismo punto? a) 500v b) 400v c) 200v d) 600v e) 800v 9. Calcular el potencial eléctrico total en el punto P.

P+2 C

-4 C4 m

3 m

a) -9.109 V b) 9.109 V c) -9 V

d) 9 e) -7,5.109 V 10. Determine el trabajo que se debe de realizar para hacer que una carga de +2 c sea movida

desde el punto A hasta el infinito.

a) 0,48 b) 0,54 c) -0,36 d) 0,72 e) 0,64

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TEXTO - 1 José Donoso murió de cáncer en Santiago de Chile, su ciudad natal, a los setenta y dos años de edad. Figura notable del Boom latinoamericano, como también lo son Fuentes (mejicano), Vargas Llosa (peruano) y García Márquez (colombiano), quienes han sido traducidos a muchos idiomas. Donoso dejó una narrativa prolífica y compleja. Entre sus novelas más importantes se encuentran El lugar sin límites, El obsceno pájaro de la noche y, también, Casa de campo. En su obra, Donoso explora a profundidad el carácter problemático de la identidad, que conjuga cuestiones de clase, género y nacionalidad. Si bien nunca se consideró a sí mismo un exiliado, vivió largos años en España y Estados Unidos, y la experiencia de vivir fuera de su propio país se tematiza en libros como El jardín de al lado. A pesar de su enfermedad, Donoso se mantuvo activo en el medio literario. Sus dos últimas novelas, Donde van a morir los elefantes y Conjeturas sobre la memoria de mi tribu, parecen cerrar de alguna manera un relato personal. La primera narra las experiencias de un escritor chileno en el medio académico norteamericano; la segunda es una especie de relato autobiográfico que busca reconstruir una historia familiar rastreando recuerdos y acudiendo a menudo a la especulación de manera explícita, sugiriendo que algunos hechos pudieron ocurrir de una manera u otra, o incluso que tal vez jamás pudieron haber ocurrido. Así, Donoso vuelve, en su última obra, a una de las preocupaciones que animaron su escritura desde el inicio: el cuestionamiento de la capacidad del lenguaje y de la literatura para referir y reconstruir una realidad cuya misma existencia se hace problemática. 01. El texto trata, principalmente, sobre: a) Una crítica a la trayectoria de Donoso. b) La biografía de los escritores del Boom. c) Memorias de un narrador latinoamericano. d) Las primeras novelas del escritor José Donoso. e) La producción narrativa de José Donoso. 02. En la obra de José Donoso, el tópico de la identidad es: a) Recurrente. b) Circunstancial. c) Periférico. d) Difuso. e) Episódico. 03. Por los escritores citados que conforman el Boom latinoamericano, se infiere que éste: a) Realizó una producción esencialmente poética. b) Se circunscribió, básicamente, a Sudamérica. c) Tuvo como figura más representativa a Donoso. d) Ha sido un movimiento literario trascendente. e) Dominó una gran técnica pero con temas uniformes. 04. Un enunciado incompatible con el texto es: a) Las novelas de Donoso enriquecen el acervo cultural de América. b) El tema de la identidad cultural es tratado intensamente por Donoso. c) En Donoso, hay obras de un marcado carácter autobiográfico. d) Donoso es un escritor sobresaliente del Boom latinoamericano. e) La enfermedad que sufrió Donoso afectó su fecundidad literaria. 05. En el texto, la palabra ACTIVO adquiere el significado de: a) Productivo. b) Encendido. c) Impulsivo. d) Inquieto. e) Alerta.

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TEXTO - 2 Un estudio realizado por Andrew Camilli, de la Escuela de Medicina de la Universidad Tufts (EE. UU.), podría explicar por qué el cólera se extiende tan rápido, y por qué las vacunas contra la bacteria producidas en laboratorio no son efectivas. El cólera, una enfermedad diarréica corriente en comunidades superpobladas, puede causar muertes hasta en una proporción del 50 por ciento. Para conocer al enemigo, Camilli y su equipo recolectaron muestras de heces de pacientes en Bangladesh; aislaron la bacteria del cólera y la compararon con cólera de laboratorio. Camilli descubrió que, después de atravesar con gran dificultad la vía de ácidos y enzimas del tracto digestivo, la bacteria emergió 700 veces más infecciosa que antes. La bacteria activada también desarrolló genes diferentes, destacando los que promueven la evolución y la supervivencia. El trayecto a través del estómago parece aumentar la capacidad de la bacteria de infectar a la próxima víctima, dice Camilli. Pero si el microbio no encuentra un hospedero que infectar en las siguientes 18 horas, vuelve a su forma menos agresiva. James Kaper, microbiólogo en la Universidad de Maryland (EE. UU.), cree que estos descubrimientos podrían ayudar a encontrar una defensa más efectiva con el fin de desarrollar vacunas mucho mejores. 06. El texto se centra en un estudio que da cuenta, principalmente, de: a) Cómo el cólera pierde virulencia en los laboratorios. b) Males diarréicos que afectan a comunidades superpobladas. c) Una comparación entre organismos naturales y de laboratorio. d) La búsqueda de una definición más efectiva del cólera. e) La virulencia que puede alcanzar la bacteria del cólera. 07. La palabra ACTIVADA adquiere, en este texto, el sentido de: a) Acelerada. b) Dinámica. c) Infecciosa. d) Concentrada. e) Estimulada. 08. Se infiere que la bacteria del cólera que afecta a una persona se vuelve muy infecciosa debido a: a) La notable efectividad de las vacunas creadas en los laboratorios. b) Que su reproducción es sumamente lenta a través del tiempo. c) Los ácidos y enzimas en los ambientes superpoblados. d) Que las condiciones de vida en el laboratorio le resultan muy adversas. e) Las condiciones adversas que ha debido superar para sobrevivir. 09. Es incompatible con el texto sostener que la bacteria del cólera: a) Se torna más agresiva si no infecta a alguien en 18 horas. b) Puede alcanzar una mortalidad de hasta un 50%. c) Muestra una importante capacidad de mutación. d) Accede al organismo a través de los alimentos. e) Puede ser estudiada en el laboratorio. 10. Si la bacteria del cólera actuara en ambientes naturales con menor capacidad infecciosa que en laboratorios, entonces probablemente: a) Perdería toda agresividad después de 18 horas. b) Provocaría una enfermedad fácil de controlar. c) Las vacunas contra ella serían de poca utilidad. d) Sería imprescindible desarrollarla en laboratorios. e) Dejaría de ser un mal que ataque al género humano

TEXTO - 3 Cuentan los hombres dignos de fe que, en los primeros días, hubo un rey de islas de Babilonia que congregó a sus arquitectos y magos y les mandó construir un laberinto, tan complejo y sutil, que los varones más prudentes no se aventuraban a entrar en él, y los que entraban, se perdían. Esa obra era un escándalo porque la confusión y la maravilla son operaciones propias de Dios y no de los hombres. Con el andar del tiempo, vino a su corte un rey de los árabes, y el rey de Babilonia (para hacer burla de la simplicidad de su huésped) lo hizo penetrar en el laberinto, donde vagó afrentado y confundido hasta la declinación de la tarde. Entonces imploró socorro divino y dio con la puerta. Sus labios no profirieron

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queja alguna, pero le dijo al rey de Babilonia que él, en Arabia, tenía otro laberinto mejor y que, si era servido por Dios, se lo daría a conocer algún día. Posteriormente, regresó a Arabia, juntó a sus capitanes y alcaldes y atacó los reinos de Babilonia con tan venturosa fortuna que derribó sus castillos, e hizo cautivo al mismo rey. Entonces, lo amarró encima de un camello veloz y lo llevó al desierto. Después de cabalgar tres días, le dijo : "Oh, rey, el Poderoso ha tenido a bien que así como conocí tu laberinto de bronce, ahora conozcas el mío, donde no hay escaleras que subir, puertas que forzar, galerías que recorrer, ni muros que te impidan el paso". Luego le desató las ligaduras y lo abandonó solo en mitad del desierto, donde murió de hambre y de sed. 11. El texto, básicamente, pone de relieve: a) La construcción de un laberinto. b) Un combate entre dos reyes. c) La venganza de un rey. d) Una moraleja oriental. e) La lucha de un rey por la vida. 12. El término DIO, en el texto, asume el significado de: a) Encontró. b) Otorgó. c) Golpeó. d) Vio. e) Obvió. 13. Es un enunciado incompatible con el texto: a) El rey árabe, al regresar a su reino, maquinó y organizó su venganza ante la afrenta recibida. b) El hombre, cualquiera sea su condición, está prohibido de provocar desconcierto y fascinación. c) El laberinto mandado a construir por el rey de Babilonia tenía como finalidad la defensa de su reino. d) Indudablemente, el laberinto al que se refería el rey árabe era el desierto. e) La cautela, entendida como prudencia, aconsejaba no ingresar al laberinto babilonio. 14. Es una conclusión que se desprende del texto: a) El papel de la divinidad es fundamental para el rey árabe. b) Los laberintos de bronce no son auténticamente seguros. c) Ante una ofensa, es mejor quedarse callado y olvidarla. d) Todos debemos conocer formas de subsistencia en el desierto. e) El que practica la venganza lleva la peor parte. 15. Si el rey árabe no hubiese contado con el favor divino, entonces, muy probablemente, habría: a) Logrado su venganza. b) Derrotado a los babilonios. c) Buscado al rey de Babilonia. d) Muerto en el laberinto. e) Derruido los castillos babilónicos.

TEXTO - 4 Desde que en el Siglo XIX se produjeron los primeros hallazgos de figurillas femeninas del Paleolítico, su estudio e interpretación han suscitado acalorados debates entre los arqueólogos y han atraído la atención del público no especializado. La mayoría de estas figuras tienen en común el representar cuerpos desnudos o semidesnudos de mujeres con algunas partes realzadas (senos, abdomen, caderas y muslos). Sin embargo, existen algunas piezas que difieren de este esquema general, respecto a los cuerpos, y son más realistas. Por otro lado, se han hallado algunas que representan rostros humanos elaborados con gran detalle. Según Marcia Ann Dobres, antropóloga de la Universidad de Carolina del Sur, las características formales de estas figurillas han dado pie a múltiples interpretaciones: desde asépticas muñecas utilizadas como elementos de intercambio, hasta símbolos del ideal de mujer paleolítica que operarían a modo de "trofeos", realizados por y para los hombres. Por el contrario, una de las explicaciones más recientes, propuesta por LeRoy McDermott, arqueólogo de la Universidad de Misuri, plantea la posibilidad de que se trate de autorretratos. La interpretación de mayor popularidad es la de María Gimbutas, de la Universidad de California. Según esta investigadora, las figurillas de mujer encarnan a una diosa de la fertilidad, la Gran Madre, en una sociedad donde las mujeres asumían el poder. Esta teoría tuvo una buena acogida entre los defensores de la existencia de un matriarcado ancestral, situado por Gimbutas en el Neolítico, periodo en el cual las figurillas femeninas son muy abundantes. Sin embargo, sus raíces podrían remontarse al Paleolítico, y durante la Edad del Bronce habría sido sustituida por una sociedad patriarcal.

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16. El texto se centra principalmente en: a) La manera cómo los arqueólogos interpretan el arte paleolítico. b) Una descripción de las características formales del arte paleolítico. c) El análisis de las características formales de las figurillas femeninas. d) El arte del Paleolítico, su significado y perduración en el tiempo. e) Lo que podrían significar las figurillas femeninas del Paleolítico. 17. En el texto, la palabra ENCARNAN tiene el sentido de: a) Simbolizan. b) Presentan. c) Sustituyen. d) Refieren. e) Copian. 18. Cabe inferir que la hipótesis de la Gran Madre como diosa de la fertilidad se inspira, en lo que a las figurillas femeninas se refiere, en : a) Los materiales de que están hechas. b) Los detalles del rostro humano. c) La exageración de algunos rasgos. d) La antigüedad que se les atribuye. e) Las regiones donde han sido halladas. 19. Resulta incompatible con lo desarrollado en el texto afirmar que: a) La propuesta de McDermott sugiere que las figurillas fueron realizadas por mujeres. b) Para algunos, tales figurillas pudieron ser una suerte de moneda primitiva. c) Si las figurillas eran especie de "trofeo", sus creadores no fueron mujeres. d) Las figurillas femeninas pudieron ser frecuentes en una sociedad matriarcal. e) Todas las figurillas paleolíticas encontradas destacan el cuerpo femenino. 20. Si no hubiesen muchos científicos que postulan la idea de una sociedad paleolítico matriarcal, entonces es probable que: a) Dicha idea perdería toda seriedad en los círculos científicos. b) Ni siquiera se habría formulado la teoría de la Gran Madre. c) La idea de una sociedad paleolítica patriarcal se vería confirmada. d) La teoría de la Gran Madre habría resultado impopular. e) Se habría rechazado la hipótesis de LeRoy McDermott.

TEXTO - 5 Producida la independencia en el Perú, las constituciones estipulaban la participación política en una sociedad civil teóricamente basada en la igualdad. En la práctica, sin embargo, la sociedad tradicional, estaba conformada por instituciones virreinales levantadas sobre ideas jerárquicas. Es decir, en el terreno de los hechos, el proceso independentista peruano fue sólo una ilusión puesto que las estructuras del poder colonial se mantuvieron, aunque los rostros hayan sido otros. La sociedad siguió conduciéndose dentro de paradigmas jerárquicos que se oponían al concepto moderno de igualdad; era un tipo de sociedad en la cual cada persona dependía de otra en forma jerárquica. La sociedad le imponía sus propias reglas al ámbito público y, por ello, la política tenía que ser manejada en forma paternalista y violenta, señales paradójicas de la modernidad peruana. Además, la participación política tenía que hacer frente a la necesidad de las guerras civiles e internacionales lideradas por caudillos, así como a la redefinición de la sociedad mediante continuas guerras entre ellos, que sacaban a buen número de indígenas de sus comunidades tradicionales para luchar por una sociedad que cada día comprendían menos. 21. La idea que sintetiza el texto es: a) La independencia cambió significativamente la visión de la realidad peruana. b) Las desigualdades socieconómicas se consagraron en las nuevas constituciones. c) La sociedad jerárquica virreinal siguió pervivivendo en los inicios de la República. d) La sociedad civil mantuvo conscientemente las jerarquías del poder absoluto. e) Las guerras civiles fueron gravitantes luego de la independencia en el Perú. 22. Si las constituciones políticas hubiesen reflejado la realidad nacional del periodo post-independentista, entonces: a) Habrían estipulado el derecho a la libertad plena. b) Habrían establecido la diferencia entre peruanos. c) Postularían la democracia para todos los peruanos.

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d) Serían textos coherentes con los principios republicanos. e) No habría espacio para los caudillos militares. 23. En el texto, la palabra ESTIPULABAN quiere decir: a) Apuntalaban. b) Imponía. c) Pregonaban. d) Argumentaban. e) Normaban. 24. Del texto se puede inferir que los combatientes en las guerras civiles : a) Eran obligados a pelear por los caudillos militares. b) Se sentían plenamente identificados con su caudillo. c) Podían decidir sus niveles de participación en ellas. d) Participaban igualitariamente en la vida política. e) Pertenecían a las capas sociales más altas del país. 25. Un enunciado incompatible con lo sostenido en el texto es el siguiente : a) Las guerras civiles eran frecuentes después de la Independencia. b) Los gobiernos militares eran paternalistas y autoritarios. c) Los indígenas no entendían el sentido de las guerras civiles. d) La constitución respetó teóricamente los principios básicos de los derechos humanos. e) Hubo correspondencia entre la dinámica social y las constituciones.

TEXTO - 6 El ensayo moderno data de 1580, fecha en que apareció la primera edición de los Ensayos de Montaigne. Dentro del mismo Siglo XVI, en 1597, comenzarían a publicarse los primeros ensayos de Francis Bacon. Con ambos escritores quedan fundamentados los pilares del nuevo género literario y se concede a éste su característica más peculiar: el ensayo es inseparable del ensayista. Por ello, desde entonces, excepto en raras aunque notables ocasiones, se hablará de ensayista y no de tal o cual ensayo. Si comparamos un ensayo de Montaigne con cualquier otro de Bacon, se observa que mientras Montaigne lo basa en "vivencias", Bacon lo hace en "abstracciones". El ensayo de Montaigne gana en "intensidad", el de Bacon en "orden". El primero es más "natural"; el segundo, más "artístico". El primero intensifica lo "individual"; el segundo, lo "prototípico". En Montaigne, en fin, domina la intuición "poética"; en Bacon, la "retórica". Así, desde sus comienzos Montaigne y Bacon, representan dos opuestas posibilidades de ensayo que profetizan el futuro individualista del género: el ser de Montaigne está en sus ensayos, tanto como el de Bacon en los suyos. Unos y otros son exponentes de sus personalidades y preocupaciones. 26. El texto propone, sobre todo, que los ensayos de Montaigne y de Bacon son: a) Los momentos culminantes del desarrollo del género ensayo. b) De gran "intensidad", "naturales", "poéticos" y "vivenciales". c) Los modelos fundacionales y característicos del género. d) Expresiones de la personalidad y las técnicas de cada uno de ellos. e) Probabilidades que profetizan futuros opuestos para el género. 27. Lo poético en Montaigne está relacionado con : a) La intensidad y las vivencias. b) La naturalidad y lo artístico. c) El orden y el prototipo. d) Las vivencias y la retórica. e) Lo individual y lo abstracto. 28. El rasgo que asemeja los ensayos de Montaigne con los de Bacon es: a) La naturalidad con que asumen los nuevos géneros. b) El respeto por las normas del ensayo clásico. c) La intensidad impresa en algunos de sus textos. d) La estrecha relación entre el ser del autor y su texto. e) El equilibrio entre lo individual y el prototipo. 29. NATURAL puede ser reemplazado por : a) Sencillo. b) Originario. c) Corriente. d) Espontáneo. e) Característico.

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30. Una idea incompatible con el contenido del texto es que: a) El ensayista se distancia siempre del contenido de su obra. b) El ensayo moderno surge en 1580 con la aparición de los Ensayos. c) El ser de Montaigne y sus preocupaciones está en sus ensayos. d) Bacon construye una de las posibilidades del ensayo. e) Montaigne construye sus textos a partir de sus vivencias.

TEXTO - 7 El filósofo griego Heráclito (540-480 a.C., aproximadamente), nacido en la ciudad de Éfeso, en el Asia Menor, pensaba que los cambios constantes eran los rasgos básicos de la Naturaleza. "Todo fluye", dijo Heráclito en una oportunidad, dando a entender que todo está en movimiento y nada dura eternamente. Por eso no puedo "descender dos veces al mismo río", pues cuando desciendo al río por segunda vez, ni yo ni el río somos los mismos. Heráclito también señaló el hecho de que el mundo está caracterizado por constantes contradicciones. Si no estuviéramos nunca enfermos, no entenderíamos lo que es estar sano. Si no tuviéramos nunca hambre, no sabríamos apreciar estar saciados. Si no hubiera nunca guerra, no sabríamos valorar la paz, y si no hubiera nunca invierno, no nos daríamos cuenta de la primavera. Tanto el bien como el mal tienen un lugar necesario en el Todo, decía Heráclito. Y si no hubiera un constante juego entre los contrastes, el mundo dejaría de existir. "Dios es día y noche, invierno y verano, guerra y paz, hambre y saciedad", decía. Emplea la palabra Dios, pues es evidente que se refiere a algo muy distinto a los dioses de los que hablaban los mitos y las religiones. Para Heráclito, Dios no es "alguien" sino "algo" que abarca a todo el mundo. Dios se manifiesta precisamente en esa Naturaleza llena de contradicciones y en constante cambio. 31. El tema del texto es: a) La idea de Dios dentro del pensamiento griego antiguo. b) El pensamiento filosófico de Heráclito de Éfeso. c) El cambio como rasgo básico de la naturaleza de una cosa. d) Las contradicciones como fuerza motivadora del universo. e) El juego filosófico entre los contrastes, según Heráclito. 32. Una idea incongruente con lo manifestado en el texto es: a) Para Heráclito, si no existieran juntos el bien y el mal, no se completaría el Todo. b) Heráclito era más religioso que filósofo, pues creía en un Dios personal. c) "Todo fluye" es una frase de Heráclito que sintetiza parte de su pensamiento. d) Para Heráclito, Dios se muestra en las contradicciones y en los cambios del mundo. e) Los cambios permanentes constituyen el rasgo fundamental de la Naturaleza. 33. Para la filosofía de Heráclito, el intercambio perenne entre los contrarios: a) Origina conflictos que nadie ha sabido resolver. b) No es percibido por nadie en la Naturaleza. c) Es el que da origen a la existencia de Dios. d) Es vital para que el mundo siga existiendo. e) Se desdice con la sentencia "todo fluye". 34. Cabe suponer que si Heráclito hubiera sido cristiano habría evitado: a) La idea de un Dios personal. b) La justificación del mal. c) El principio de no contradicción. d) La doctrina de la creación e) El dogma de la eternidad. 35. En el texto, la palabra JUEGO tiene el sentido de: a) Movimiento. b) Diversión. c) Entretenimiento. d) Artificio. e) Tráfico.

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TEXTO 8 La buena alimentación, los hábitos saludables y el ejercicio constante pueden retrasar significativamente el temido impacto de los años en la piel femenina, pero, lamentablemente, no hay nada en el mundo que pueda detener este proceso. No obstante, la tecnología quirúrgica ofrece algunos medios para revertir en cierta medida las huellas que deja el tiempo en los que alguna vez fueron rostros juveniles. La permanente aparición de técnicas nuevas y cada vez más sofisticadas en esta especialidad han permitido una significativa reducción de riesgos y de efectos secundarios en las intervenciones con fines estéticos. Entre las nuevas tendencias que marcan la pauta en este campo, destaca la corrección de músculos faciales, los responsables de la mímica. Los gestos y las expresiones naturales propician la caída de estos músculos de una manera muy particular en cada paciente, de manera que cualquier cirugía deberá ser precedida por un examen detallado de los músculos faciales más afectados por la flacidez, con el objetivo de corregir en forma muy específica los cambios ocurridos que causan el aspecto de un rostro "cansado". Así, las operaciones en serie habrían quedado atrás para ceder el paso a tratamientos personalizados. 36. El texto trata, fundamentalmente, sobre: a) La tecnología quirúrgica y el tratamiento de los músculos faciales. b) Los hábitos saludables y la conservación de la belleza y la expresión. c) Las nuevas y discutibles tendencias en el tratamiento estético. d) El predominio de las operaciones estéticas generalizadas. e) Los cirujanos estéticos y el tratamiento de la vejez y el cansancio. 37. CANSADO equivalen en el texto a: a) Fatigado. b) Envejecido. c) Triste. d) Gesticulable. e) Descuidado. 38. El paso de los años y las gesticulaciones traen como consecuencia: a) El desarrollo de las técnicas quirúrgicas. b) La corrección de las expresiones faciales. c) El surgimiento del tratamiento estético. d) El decaimiento de los músculos de la cara. e) La flacidez de cualquier parte del cuerpo. 39. La necesidad de realizar tratamientos estéticos personalizados se debe a que: a) Los músculos faciales de cada paciente decaen en diferente grado y forma. b) La tecnología quirúrgica estética se ha desarrollado enormemente. c) Los cirujanos estéticos son conscientes de la individualidad de los pacientes. d) Las operaciones faciales exigen un estudio detallado de cada paciente. e) La mayoría de personas envejecen en circunstancias totalmente distintas. 40. Es incompatible con el texto sostener que: a) El envejecimiento es un proceso irreversible. b) El tratamiento estético puede adoptar nuevas formas. c) La buena alimentación no detiene el envejecimiento. d) La cirugía estética siempre fue personalizada. e) La cirugía estética permite corregir alteraciones faciales.

TEXTO - 9

Pablo Ruíz Picasso nació en Málaga el 25 de Octubre de 1881. Su padre, José Ruíz Blasco, era pintor y profesor de dibujo en la Escuela de Artes y Oficios. El apellido Picasso, con que él comenzó a firmar sus obras alrededor de 1900, es el de su madre : María Picasso López. Sus primeras pruebas en pintura fueron muy precoces: en el museo de Málaga puede verse una tela, la Pareja de viejos, pintada ya en 1891, esto es, a los diez años. Claro es que, encontrando en su casa pinceles y colores, su natural inclinación se halló favorecida. No obstante, contemplando todas estas primeras pruebas suyas, cuadros como El Hombre de la Gorra, La Niña de los Pies Descalzos, El Interior de la Hostería, todos realizados anteriormente a 1898, se convence uno enseguida del vigoroso temperamento creador de que estaba dotado el joven Pablo. En efecto, no se trata de cuadros que únicamente expresan una viva "inclinación",

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Raz. Verbal

como los que puede pintar a veces cualquier "niño prodigio", sino obras donde la pericia del oficio es ya "profesional", donde el dibujo tiene ya una seguridad sorprendente mientras que la imagen, bajo el gusto figurativo de la época, revela ya una indiscutible presencia poética. 41. El texto trata sobre: a) Los primeros años de un pintor genial. b) La precocidad pictórica de Picasso. c) La calidad de los cuadros de Picasso. d) Las inclinaciones de Picasso hacia la Pintura. e) La biografía artística de un pintor español. 42. El vocablo NATURAL significa en el texto: a) Original. b) Común. c) Normal. d) Sencilla. e) Real. 43. Se desprende del texto que, desde inicios del Siglo XX, Picasso: a) Firmaba sólo con el apellido paterno. b) Omitía en su firma el apellido paterno. c) Estudió en la Escuela de Artes y Oficios. d) Se pudo observar su genio pictórico. e) Dibujó cuadros como el Hombre de la Gorra. 44. El autor del texto sostiene que en las primeras obras de Picasso se aprecia: a) Una indiscutible presencia poética. b) Un trazo inclinado y temperamental. c) Una moderada pericia en el Arte. d) Su abstruso temperamento creador. e) Una evidente inclinación por la imagen. 45. Los cuadros que pintó Picasso en su niñez revelan: a) Un arte maduro. b) Sólo una viva inclinación. c) Un sentido realista. d) Inseguridad en el trazo. e) Temas decadentes.

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Raz. Verbal

Encuentro de dos o más vocales en una palabra.

Sauce , averiguarías , tía

1. HOMOSILÁBICOS

Cuando las vocales que se encuentran forman una sílaba.

A. Diptongo: En la sílaba se unen dos vocales.

B. Triptongo: En una sílaba se unen tres vocales.

• A – ve – ri – guáis

• Pa – ra – guay

2. HETEROSILÁBICOS

Las vocales que se encuentran formando sílabas diferentes.

A. Hiato : Separación de vocales.

ACTIVIDAD

01. ¿Qué palabra es diferente por el número de sílabas?

A) Ciencia B) Leía

C) Poeta D) Huérfano

E) Antiguo

02. Señale la alternativa que presenta un incorrecto silabeo

A) A – lhe – lí

B) Con – clui – o

C) Bi – sa – bue – lo

D) Con – vex – o

E) E – xhaus – ti – vo

03. El nombre Santiago contiene:

A) Un grupo vocálico homosilábico

B) Un grupo vocálico heterosilábico

Con vocales idénticas

Con vocales abiertas Vocal cerrada (tónica) + vocal abierta o viceversa

• Ti – i – to • du – un – vi – ro • Sa – a – ve – dra

• pe – ón • a – é – re – o • ma – re – a

• bú – ho • Frí – o • ba – úl • ma – íz

V. CERRADA + V. ABIERTA + V. CERRADA (Tónica)

Vocales Cerradas Diferentes

Vocal Cerrada con abierta o viceversa

• Piu – ra • rui – do • ciu – dad

• Cua – dro • cau – te – la (Vocal abierta tiene mayor fuerza de voz)

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Raz. Verbal

C) Un grupo consonántico homosilábico

D) Un hiato no tildado

E) Una sílaba con semivocal

04. (San Marcos, 1999) Indique la palabra que contiene diptongo:

A) Ahuyentar B) Tía

C) Ahínco D) Aguerrido

E) Aquí

05. Una de las siguientes palabras presenta dos grupos vocálicos homosilábicos:

A) Imbuido B) Averigüéis

C) Reacción D) Virrey

E) Persuasión

06. Marca la palabra que contiene un diptongo creciente:

A) Liviano B) Aurora

C) Reumatismo D) Canoa

E) Caimán

07. Señala la alternativa que sólo presenta palabras con diptongo:

A) Pasear – oleaje – baúl – actúa – aéreo

B) Ajíes – Efraín – campeones – púa – aúlla

C) Miedo – vidrio – cuarzo – Paula – cuota

D) Biombo – reír – día – diario – cien

E) Huaura – Yauyos – solfeo – odiáis – premiáis

08. ¿Cuántos diptongos hay en el siguiente fragmento poético?

“No, no dejéis cerradas

las puertas de la noche,

del viento, del relámpago,

la de lo nunca visto.

Que estén abiertas siempre

ellas, las conocidas.

A) Dos B) Tres

C) Cuatro D) Cinco E) Seis

09. Cuál de las siguientes alternativas es correcta con respecto al término aéreo:

A) Presenta dos diptongos

B) Hay hiatos acentuales

C) Tenemos una sílaba trabada

D) Hay cuatro sílabas libres o directas

E) Apreciamos secuencias vocálicas homosilábicas

10. ¿Qué alternativa es ajena a la secuencia vocálica?

A) Hay dos grupos: homosilábicos y heterosilábicos

B) Es un fenómeno netamente fonológico

C) En el triptongo ubicamos una semiconsonante y una semivocal

D) Cuando pronunciamos dos vocales contiguas en una emisión de voz, estamos ante un diptongo

E) Dos vocales iguales contiguas en una palabra, siempre se separan en dos sílabas

11. ¿Qué palabra presenta dos diptongos?

A) Auquénido B) Caíais

C) Quiromancia D) Ingeniería

E) Rehusáis

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Raz. Verbal

12. ¿En qué palabra encontramos una secuencia vocálica homosilábica?

A) Aéreo B) Ahora

C) Geología D) Diálogo

E) Traído

13. (San Marcos, 2000) Marque la serie que contiene todas las palabras con hiato:

A) Sueldo, ataúd, puerco

B) Cervecería, aguacate, raíz

C) Eutanasia, ahorcar, potasio

D) Caótico, soez, rehacer

E) Huayno, peaje, cohete

14. ¿Cuál de las siguientes oraciones contiene más hiatos?

A) El campeón Miguel Laos compró una canoa y reunió a cuatro amigos canoeros

B) Veo que con unas púas algunos hindúes crean lechos para descansar

C) Yo he leído que el estío en tu país no es tan prolongado

D) Después quiso construir un navío idóneo para los océanos

E) Paola, tus tíos Efraín y Enrique han venido a buscarte

15. Qué alternativa sólo presenta diptongos crecientes:

A) Coima, bou, feudo

B) Raúl, día, raíz

C) Aéreo, beodo, reo

D) Diablo, pueblo, Dios

E) Pierna, cuento, aire

16. En la palabra reoíais encontramos:

A) 2 hiatos y 1 diptongo

B) 1 diptongo y 2 hiatos

C) 1 triptongo y 2 hiatos

D) 3 hiatos y 1 diptongo

E) 2 diptongos, 1 triptongo y 1 hiato

17. Qué alternativa está separada en sílabas correctamente:

A) Tax – i

B) Con – clu – í – a

C) Geo – gra – fí – a

D) A – lhe – lí

E) Le – íais

18. ¿Qué alternativa presenta solo una semiconso-nante y una semivocal?

A) Eugenio – diálogo

B) Guitarra – quererte

C) Piélago – cuota

D) Despreciáis – poeta

E) Bou – peine

19. ¿Cuántos diptongos y cuántos hiatos hay en la siguiente oración?

“La filosofía, hoy en día, no es una ciencia neutral; necesariamente evidencia y defiende una posición de clase”

A) Siete – dos B) Seis – uno

C) Cinco – tres D) Ocho – dos

E) Siete – uno

20. ¿Qué palabra presenta un diptongo decreciente?

A) Filosofía B) Lingüística

C) Aéreo D) Piano

E) Zoilito

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INDICAR SI LAS PALABRAS CONTIENEN DIPTONGO, HIATO O TRIPTONGO.

1. Bohemio ( )

2. Renueva ( )

3. Continua ( )

4. Coincidencia ( )

5. Ausencia ( )

6. Redacción ( )

7. Salieron ( )

8. Cohesión ( )

9. Demasiado ( )

10. Fuerte ( )

11. Preocupación ( )

12. Vaho ( )

13. Regionales ( )

14. También ( )

15. Planeador ( )

16. Enmohecimiento ( )

17. Búho ( )

18. Empleado ( )

19. Molestia ( )

20. Huida ( )

21. Ciático ( )

22. Confíe ( )

23. Agradeciéndole ( )

24. Fuerzas ( )

25. Ferroviario ( )

26. Período ( )

27. Vehículos ( )

28. Criterio ( )

29. Tubería ( )

30. Ocioso ( )

31. Bahía ( )

32. Exhibición ( )

33. Exoneración ( )

34. Horario ( )

35. Ecuánime ( )

36. Audacia ( )

37. Inhibición ( )

38. Iniciativa ( )

39. Inherente ( )

40. Incoherencia ( )

41. Inmediato ( )

42. Puntería ( )

43. Volvíais ( )

44. Ampliación ( )

45. Distribuimos ( )

46. Distribuido ( )

47. Distribuí ( )

48. Dúo ( )

49. Heterogéneo ( )

50. Deletrea ( )

51. Atribuimos ( )

52. Idóneo ( )

53. Atribuí ( )

54. Oriundo ( )

55. Diario ( )

56. Náusea ( )

57. Tejíais ( )

58. Manía ( )

59. Venía ( )

60. Poético ( )

61. Sabéis ( )

62. Poesía ( )

63. Habéis ( )

64. Habría ( )

65. Habríais ( )

66. Contraer ( )

67. Beneficiario ( )

68. Familiar ( )

69. Oír ( )

70. Concluí ( )

71. Buitre ( )

72. Cuídese ( )

73. Destruir ( )

74. Concluido ( )

75. Siguiente ( )

76. Construido ( )

77. Sustituí ( )

78. Guión ( )

79. Piar ( )

80. Cliente ( )

81. Guerrero ( )

82. Continúa ( )

83. Estío ( )

84. País ( )

85. Indicio ( )

86. Buitre ( )

87. Baúl ( )

88. Oído ( )

89. Raíces ( )

90. Desvío ( )

91. Puntapié ( )

92. Óigale ( )

93. Deuda ( )

94. Cantaría ( )

95. Apreciéis ( )

96. Deambular ( )

97. Sonreír ( )

98. Desahucio ( )

99. Océano ( )

100. Dúo ( )

101. Ataúd ( )

102. Suave ( )

103. Tío ( )

104. Poseído ( )

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Raz. Verbal

105. Recaída ( )

106. Microbio ( )

107. Vahído ( )

108. Autenticidad ( )

109. Cuadrado ( )

110. Guante ( )

111. Cuerpo ( )

112. Piano ( )

113. Agüero ( )

114. Rosario ( )

115. Huir ( )

116. Cautela ( )

117. Menguáis ( )

118. Diócesis ( )

119. Dioses ( )

120. Jesuita ( )

121. Jesuítico ( )

122. Anuncio ( )

123. Tenue ( )

124. Ganzúa ( )

125. Sequía ( )

126. Parabién ( )

127. Destruir ( )

128. Concluido ( )

129. Cáustico ( )

130. Acción ( )

131. Murciélago ( )

132. Cuídese ( )

133. Juicio ( )

134. Leía ( )

135. Averiguáis ( )

136. Paraguay ( )

137. Hoy ( )

138. Estudiaréis ( )

139. Archipiélago ( )

140. Arreglaría ( )

141. Preámbulo ( )

142. Sabríais ( )

143. Heroísmo ( )

144. Aéreo ( )

145. Aeronáutico ( )

146. Construido ( )

147. Egoísmo ( )

148. Puerta ( )

149. Geología ( )

150. Hectárea ( )

151. Humillación ( )

152. Violencia ( )

153. Sustituí ( )

154. Navío ( )

155. Triángulo ( )

156. Cuatro ( )

157. Traspié ( )

158. Genio ( )

159. Hindúes ( )

160. Fié ( )

161. Piar ( )

162. Cliente ( )

163. Criollo ( )

164. Ciencias ( )

165. Apreciable ( )

166. Biólogos ( )

167. Biología ( )

168. Evolución ( )

169. Opción ( )

170. Actualidad ( )

171. Siguiente ( )

172. Tangencial ( )

173. Teórico ( )

174. Teoría ( )

175. Pruebas ( )

176. Esencial ( )

177. Minoría ( )

178. Minucioso ( )

179. Precisión ( )

180. Cuantitativa ( )

181. Experiencia ( )

182. Aumentar ( )

183. Intervención ( )

184. Superficial ( )

185. Astronomía ( )

186. Vergüenza ( )

187. Después ( )

188. Ocuparían ( )

189. Confusión ( )

190. Colonial ( )

191. Entendimiento ( )

192. Mediodía ( )

193. Aireado ( )

194. Reacción ( )

195. Ahogado ( )

196. Aliviando ( )

197. Quieto ( )

198. Suerte ( )

199. Despierto ( )

200. Espontáneo ( )

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Raz. Verbal

Los textos expositivos pueden ser: DIVULGATIVOS, es decir, textos que informan sobre un tema de interés. Van dirigidos a un amplio sector de público, pues no exigen un conocimientos previos sobre el tema de la exposición (apuntes, libros de texto, enciclopedias, exámenes, conferencias, coleccionables…) ESPECIALIZADOS, es decir , textos que tienen un grado de dificultad alto, pues exigen conocimientos previos amplios sobre el tema en cuestión (informes, leyes, artículos de investigación científica…) PROCEDIMIENTOS LINGÜÍSTICOS Tendencia al ENFOQUE OBJETIVO (evita los adjetivos innecesarios, predominan los especificativos) Tendencia a la CLARIDAD (construcciones sintácticas tanto coordinadas como subordinadas puestas al servicio de la transmisión de información). PREDOMINIO DEL PRESENTE con valor intemporal. Empleo de un léxico claro, preciso, fundamentalmente denotativo. Se evita la ambigüedad y la polisemia en aras de la MONOSEMIA ( una palabra= un signo) Utilización de un vocabulario específico (tecnicismos, cultismos). PROCEDIMIENTOS DISCURSIVOS Se trata de procedimientos que en ningún caso son exclusivos de la exposición, pero que sirven para desarrollar contenidos. La DEFINICIÓN es el punto de partida de muchos textos expositivos. Las CLASIFICACIONES no son más que una serie de definiciones relacionadas entre sí. La COMPARACIÓN tiene como objetivo facilitar la comprensión. La EJEMPLIFICACIÓN. Los ejemplos sirven para apoyar lo que se explica; ayudan a la comprensión. La DESCRIPCIÓN es un apoyo fundamental de la exposición, sobre todo en aquellos casos en los que es necesario explicar las partes o funciones de un objeto o fenómeno. PROCEDIMIENTOS ORGANITZATIVOS La estructura de un texto expositivo no está determinada de antemano, depende de la finalidad perseguida en cada caso. La selección de información que hace el emisor debe partir del conocimiento global del tema, fijar la perspectiva y tener en cuenta los conocimientos que se presupone que tiene el receptor. La necesidad de que la exposición sea clara y ordenada hace que el desarrollo de la información sea progresivo y equilibrado. La estructura básica de los textos expositivos es la lineal: introducción, desarrollo, conclusión. Además de esta forma de organización existe también la CLASIFICATORIA o condensada, que consiste en ofrecer la información de forma resumida (listas, inventarios, tablas, esquemas, diagramas…) EN LA EXPOSICIÓN DESTACA EL CONOCIMIENTO INTELECTUAL SOBRE UN TEMA, EL RIGOR, LA EXACTITUD, LA CLARIDAD Y EL ORDEN.

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Raz. Verbal

LA PARADOJA

En pocas palabras, una paradoja es un razonamiento contradictorio, real o aparente, en un discurso. Se dan dos argumentos y ambos parecen válidos; sin embargo, si uno es verdadero, el otro no podrá serlo.

Ejemplo: “Me esforcé por bajar de peso. Casi no comí,

comí pura fibra vegetal, me ejercité responsablemente y jamás consumí nada contraproducente; sin embargo, veo que he subido de peso. Casi doce kilos”

La contradicción es evidente: Disciplina en la Dieta vs. Resultados. Las preguntas de este tipo buscan resolver La

Paradoja, es decir, indagan sobre la Información Omitida a la hora de redactar el discurso.

PREGUNTAS TIPO TTEEXXTTOO 11

“Una mujer está sentada sola en su casa. Sabe que no hay nadie más en el mundo: Todos los otros seres han muerto. Llaman a la puerta.”

1. ¿Qué podría resolver mejor la paradoja? A. Los fantasmas existen. B. La mujer también esta muerta. C. La mujer confunde el llamado a la puerta con el sonido del viento. D. Alguien ha arrojado una piedra a la puerta. E. Todas.

TTEEXXTTOO 22

“Todo lo que es, o es en sí, o en otra casa.”

2. Señala la información que resolvería la paradoja: A. Ser o no ser implica una existencia equivalente. B. Lo que existe o existe en primera persona o en tercera persona. C. Tú y yo existimos. D. Todo lo que existe, existe en su naturaleza o en una naturaleza extrínseca asociada a la

propia. E. Todas.

¡Yo no me desdigo!

Yo digo que nada

digo con palabras

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Raz. Verbal

TTEEXXTTOO 33

“Se afirma que el señor Gonzáles prefiere tomar Inca Kola en lugar de Pepsi. Esto no es posible, pues, como es sabido, el señor Gonzáles es el presidente de directorio de la Pepsi C.O. filial del Perú.”

3. Señala la información que resolvería la paradoja:

A. El señor Gonzáles murió hace dos semanas. B. El señor Gonzáles es diabético, por lo tanto no

puede tomar bebidas gaseosas. C. El señor Gonzáles negocia en secreto su paso a

la fabricante de Inka Kola. D. El señor Gonzáles prefiere Inca Kola pero toma

Pepsi a escondidas. E. El gusto y preferencia de una persona está

totalmente disociada de su compromiso laboral.

TTEEXXTTOO 44

- Ahora está soñando ¿Sabes con quién sueña?

- Nadie lo sabe.

- Sueña contigo. ¿Qué sería de ti si dejará de soñar?

- No lo sé.

- Desaparecerías, eres una figura de su sueño, si despertara ese rey te apagarías como una vela.

4. ¿Qué podría resolver la paradoja? A. Alguien sueña con su propio sueño. B. El acto de soñar esta condicionado a la existencia del que sueña. C. La existencia de lo soñado está condicionado al que sueña. D. Los sueños determinan el destino de todas las cosas. E. Nadie existe si es que no sueña con alguien.

FALACIAS

Se trata de un argumento cuyo razonamiento está equivocado, existen muchos tipos de falacias, de acuerdo con la regla específica que violan.

Ejemplo: Si el salón esta vacío, terminó la clase. Por lo tanto: Terminó la clase. El salón esta vacío. Incluso si ambos premisas fueran verdaderas la conclusión podría seguir siendo falsa. El salón

podría estar vacío y esto no necesariamente a causa del término de la clase, el argumento obvia las explicaciones alternativas.

ALGUNOS TIPOS DE FALACIA Falacia Ad Hominem ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________

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Raz. Verbal

Falacia Ad Ignoriantiam ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ Falacia Ad Populum ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ Falacia Ad Baculum ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ Falacia de Causa Falsa ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________

TTEEXXTTOO 55 “Anita es culpable del asesinato puesto que cuando llegamos a la escena del crimen, ella tenía el arma homicida en las manos y estaba parada junto al cuerpo inerte aún tibio.”

1. Señale lo correcto:

1) El autor cae en una falacia Ad Hominem, pues intenta descalificar a Anita para imputarse el homicidio.

2) El autor constituye una argumentación válida, pues la relación causa – efecto entre el arma y el cuerpo inerte permite una deducción que relaciona ambos elementos necesariamente.

3) El autor del texto comete una falacia de causa falsa puesto que no necesariamente el tener el arma en el momento en que se llegó a la escena del homicidio implica que Anita a la señorita Ana necesariamente, se obvia otras alternativas de causalidad.

a) 1 y 3 b) Solo 1 c) Solo 2 d) Solo 3 e) 3 y 2

TTEEXXTTOO 66 “Debemos comprender a Gustavo; todos sabemos que todos los negros no piensan después de la doce.”

2. Señale lo correcto:

1) El autor es profundamente racista y su noción equivocada de valor invalida su argumentación.

2) El autor cae en la falacia Ad Populum puesto que apela a una verdad que, según él, “Todos saben” y que, por lo tanto, debe ser cierta.

3) El racismo del autor le hace caer en la falacia de generalización a partir de una información incompleta, puesto que la “verdad” que él recoge, la aplica todos los integrantes de un grupo étnico específico, sin elementos probatorios.

a) 1 y 2 b) 2 c) 1 y 3 d) 2 y 3 e) 1, 2 y 3

¡¿Qué

cosa?!

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Raz. Verbal

Enunciado 1

1. Dado el árbol genealógico anterior, relacione correctamente: I. madre del cuñado de la madre de Rodrigo Dux. II. madre de la madre de un nieto de Anastasia V. III. hija de la abuela de un sobrino de Carlos IV. a. Margarita de Bretaña b. Catalina de Baviera. c. Anastasia V. A) Ia, IIb, IIIc D) Ib, IIa, IIIc B) Ia, IIc, IIIb E) Ic, IIa, IIIb C) Ic, IIb, IIIa

2. De acuerdo con el árbol genealógico anterior, establezca la relación correcta: I. cuñado de la hija de la abuela de Francisco III. II. padre del tío de Rodrigo Dux que no es hermano de Carlos IV. III. suegro del padre de un nieto de Margarita de Bretaña.

a. Alejandro II b. Nicolás c. Carlos III A) Ia, IIb, IIIc D) Ia, IIc, IIIb B) Ic, IIb, IIIa E) Ib, IIc, IIIa C) Ib, IIa, IIIc

3. Si se considera que el árbol genealógico del enunciado 1 es exhaustivo, es decir, no hay más descendientes que

los que allí aparecen, ¿cuál de los siguientes personajes es inexistente? A) nieto del padre del yerno de Carlos III. B) tío materno de un sobrino de un hijo de Alejandro II. C) madre del cuñado de un hijo de Carlos III. D) hijo del cuñado de la hija de Margarita de Bretaña. E) nieto del padre del tío paterno de Rodrigo Dux.

Enunciado 2 Si se sabe que:

1° las BRENAS se dividen en CLOVAS, LINTAS y FANOIAS; 2° existen procedimientos para FLUSAR a las CLOVAS y a

las LINTAS; y 3° es imposible FLUSAR a las FANOIAS.

4. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

A) Se llama LINTAS a las BRENAS que no son CLOVAS. B) Una FANOIA es una BRENA INFLUSABLE. C) Las BRENAS son FLUSADAS mediante ciertos mecanismos. D) Las FANOIAS que no son BRENAS sí pueden FLUSARSE. E) La FLUSABILIDAD no es una característica de las LINTAS.

Carlos III Margarita

de Bretaña Alejandro II Anastasia V

Carlos IV Federico II Catalina de

Baviera Pedro IV Nicolás

Francisco III Rodrigo Dux

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Raz. Verbal

5. Además, se cumple que el hábitat de las BRENAS es VOX GËNERIS PARK. Asimismo, los procedimientos para FLUSAR se llevan a cabo sólo en SMP, una provincia de VOX GÉNERIS PARK, los cuales se realizan en las primeras horas de la mañana.

- Señala la afirmación que es correcta:

A) Una LINTA puede FLUSARSE en la tarde. B) Una FANOIA puede FLUSARSE en las primeras horas de la mañana. C) En SMP no son bienvenidas las FANOIAS. D) Una CLOVA no puede ir acompañada de una FANOIA a PUC si aquella desea FLUSARSE. E) En SMP, no todas las BRENAS pueden ir a FLUSARSE.

Texto Nº 3 LUIS: ¡No le pago nada! Usted frenó de improviso, usted tiene la culpa, usted paga. a la

velocidad que íbamos, yo jamás habría podido frenar a tiempo para no golpear su carro.

ENRIQUE: Ya le dije que un perro se atravesó. Además, a esa velocidad, usted no debió pegarse

tanto. Me tiene que pagar los faros y el parachoques posterior, caballero. 6. ¿Cuál es la tesis de Luis?

7. ¿Cuál es la tesis de Enrique?

8. ¿Cuál es el punto de discrepancia entre ambos?

9. Inventa premisas que, de ser verdaderas, reforzarían la posición de Luis y ordénalas de acuerdo con

el grado de reforzamiento de la tesis de mayor a menor.

1.

2.

3.

4.

5

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5to.

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Raz. Verbal

Se puede presentar de dos maneras, la primera se refiere a un par de términos presentados a manera de analogía, luego se presenta una serie de proposiciones que son el desarrollo de esta analogía. Se debe demostrar la verdad o falsedad de estos enunciados. La segunda forma, presenta una serie de proposiciones que vincula pares de términos por sus significados, en este caso se debe demostrar su verdad o falsedad. Ejemplo 1: * Señale lo correcto con respecto a los conceptos JUICIO y CRÍTICA: I. El concepto JUICIO está incluido en el de CRÍTICA. II. El concepto CRÍTICA y el concepto JUICIO pueden ser sinónimos en algún contexto. III. Ambos conceptos se oponen al de INTERPRETACIÓN. a) I, II y III b) II y III c) I y II d) Sólo III e) Sólo I Este caso corresponde al de una analogía desarrollada. Se da los conceptos JUICIO y CRÍTICA, entre ellos se establece una relación y una serie de proposiciones, resultando verdaderas las proposiciones I y II Ejemplo 2: I. El concepto BARÓMETRO incluye el concepto PRESIÓN ATMOSFÉRICA. II. El concepto ÁRBOL incluye el concepto VEGETAL. III. El concepto PERVERSIÓN incluye el concepto SEXO. Son correctas: a) I y II b) II y III c) I y III d) Sólo I e) Sólo II En este caso se da una serie de proposiciones, que son independientes entre sí resultando verdaderas la I y II.

EJERCICIO I 1. I. El concepto RUIDO incluye necesariamente el concepto SONIDO. II. El concepto OLOR está incluido siempre en el concepto FÉTIDO. III. El concepto ARMA y el concepto REVÓLVER son complementarios. Son ciertas: a) I y II b) II y III c) I y III d) Sólo I e) I, II y III 2. I. El concepto SUSTANCIA está incluido en el de METABOLISMO. II. El concepto ALIMENTO está necesariamente incluido en el de SER HUMANO. III. El concepto METABOLISMO supone el de PROCESO. Son ciertas: a) Todas b) Sólo I c) I y III d) Sólo II e) II y III

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Raz. Verbal

3. I. Los conceptos IZQUIERDA y DERECHA pueden considerarse opuestos. II. Los conceptos PINO y ROBLE pueden considerarse incluidos en el concepto ÁRBOL. III. Los conceptos DEMASIADO y EXCESIVO pueden considerarse sinónimos. ¿Cuáles de las anteriores afirmaciones son correctas? a) I, II y III b) I y II c) II y III d) I y III e) II 4. I. El concepto SERVICIAL incluye el concepto ACTITUD. II. El concepto MOTORIZADO no es anterior históricamente al concepto TRANSPORTE. III. El concepto INSECTO supone necesariamente el concepto NOCIVO. Son correctas: a) I y II b) II y III c) I y III d) Sólo I e) Sólo II 5. Dados los conceptos CADENA-ESLABÓN, es correcto afirmar que: I. El concepto CADENA incluye el concepto ESLABÓN. II. El concepto ESLABÓN incluye el concepto CADENA. III. Son conceptos equivalentes. IV. CADENA implica pluralidad de ESLABONES. a) I y III b) I, II y III c) I y IV d) III y IV e) I, II y IV 6. Dados los conceptos: ASESINO - MUERTE ¿ Qué se puede afirmar correctamente sobre ellos? I. Ambos conceptos establecen necesariamente una relación de complementariedad. II. El concepto ASESINO incluye en su concepto al de MUERTE. III. El concepto MUERTE presupone necesariamente el de ASESINO. a) I, II y III b) II y III c) I y II d) Sólo II e) Sólo III 7. ¿Qué se puede afirmar de los conceptos?

LIBERTAD - LIBERTINAJE I. Ambos conceptos forman una relación de intensidad. II. El concepto LIBERTAD, al ser más amplio, incluye el concepto LIBERTINAJE. III. El concepto LIBERTINAJE no supone al concepto LIBERTAD. a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y III e) Ninguna 8. Dados los conceptos: DESEO Y OBSESIÓN Podemos afirmar que: I. La OBSESIÓN no incluye el DESEO. II. Son términos que se excluyen. III. Entre ellos hay una relación de intensidad. a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo I y II e) II y III

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Raz. Verbal

9. Dados los conceptos: AERONAVE - VEHÍCULO Se puede afirmar: I. El concepto de VEHÍCULO incluye al de AERONAVE por su generalidad. II. Son dos conceptos que se excluyen mutuamente. III. AERONAVE es un concepto genérico, a pesar de ello es incluido por VEHÍCULO. a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo I y II e) Sólo I y III 10. Dados los conceptos: METEORO - LLUVIA Podemos afirmar: I. El concepto LLUVIA no se relaciona con el de METEORO. II. El término LLUVIA puede ser incluido por el de METEORO. III. Entre ellos hay relación de especie género. a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) II y III e) I y III

EJERCICIO II 1. Dados los conceptos ÁLGEBRA - CIENCIA, se puede afirmar: I. El concepto ÁLGEBRA incluye la palabra CIENCIA. II. Se trata de dos conceptos excluyentes. III. La palabra CIENCIA es más amplia que ÁLGEBRA. a) Sólo I b) Sólo II c) I y II d) I y III e) II y III 2. Dados los conceptos TIJERA - PAPEL, se puede afirmar: I. El segundo concepto está vinculado a la función del primero. II. La palabra TIJERA incluye necesariamente al concepto PAPEL. III. La palabra TIJERA y PAPEL son conceptos que no se relacionan. a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y II e) II y III 3. I. El concepto DERMATOLÓGICO incluye al concepto SENSACIÓN. II. El concepto TITÁNICO está incluido en el de LEYENDA. III. El concepto PELUSA incluye al concepto PELO. a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y II e) Ninguna 4. I. El concepto DÍA está incluido en el concepto AMANECER. II. El concepto ESCRITURA incluye el de LENGUAJE. III. El concepto VELOCIDAD incluye el de CARRERA. Son correctas: a) I y III b) I y II c) Sólo I d) Sólo II e) Todas

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Raz. Verbal

5. I. El concepto VINO está incluido en el concepto BEBIDA. II. El concepto MAR está incluido en el concepto SUMERGIR. III. El concepto LEYENDA incluye al concepto RELATO. Son correctas: a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y II e) II y III 6. I. El concepto PLUVIÓMETRO incluye al de MEDICIÓN. II. El concepto PARIENTE incluye el de AMISTAD. III. El concepto SOLICITUD está incluido en el de DOCUMENTO. Son correctas: a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y II e) II y III 7. Acerca de los conceptos de ANTEOJOS y VISIÓN, es correcto afirmar: I. El primero incluye al segundo. II. El segundo incluye al primero. III. Ambos están incluidos en CEGUERA. a) Sólo I b) I y III c) Sólo II d) II y III e) Todas 8. I. El concepto FÉTIDO incluye al de OLOR. II. El concepto INFANTICIDIO está incluido en el de ASESINATO. III. El concepto SEBO está incluido en el de SEBOSO. Son correctas: a) I y II b) Sólo I c) II y III d) Sólo III e) I y III 9. Acerca de los conceptos IMPOSIBLE y POSIBLE, es correcto afirmar: I. El primero incluye al segundo. II. Son antónimos. III. Son complementarios. a) Sólo I b) I y II c) Sólo II d) I y III e) I, II y III 10. ¿Qué afirmación es correcta? I. El concepto ACAMPAR incluye el de CARPA. II. El concepto LIBERTAD está incluido en el de LIBERTINAJE. III. El concepto PIRÁMIDE incluye el de ARQUITECTURA. a) Sólo I b) Sólo II c) I y II d) II y III e) I y III 11. ¿Qué afirmaciones son correctas? I. El concepto SÍNDROME incluye el de SÍNTOMA. II. El concepto RESTABLECER está incluido en el de TERAPIA. III. El concepto TERMÓMETRO incluye el de CURAR. a) I y II b) II y III c) I y III d) Sólo I e) Sólo III

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Raz. Verbal

12. ¿Qué afirmaciones son correctas? I. El concepto ABDICAR incluye al concepto RENUNCIAR. II. El concepto VENDA está incluido en el de TERAPIA. III. El concepto BARRO está incluido en el de ADOBE. a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) II y III e) I y III 13. ¿Qué se puede afirmar de los conceptos EXAGERACIÓN - DISTORSIÓN? I. El concepto DISTORSIÓN supone necesariamente el concepto EXAGERACIÓN. II. El concepto EXAGERACIÓN incluye el concepto DISTORSIÓN. III. Ambos conceptos pueden permutarse en ciertos contextos. Son ciertas: a) Sólo II b) II y III c) Sólo III d) I y II e) Todas 14. Dados los conceptos CADENA - ESLABÓN es correcto afirmar: I. El concepto ESLABÓN incluye el concepto CADENA. II. Son conceptos equivalentes. III. CADENA implica pluralidad de ESLABONES. a) I y III b) I, II y III c) II y III d) Sólo III e) Sólo I 15. ¿Qué proposiciones son correctas? I. El concepto OXIDACIÓN incluye únicamente al concepto METAL. II. Los conceptos PADRE y PADRINO, se complementan. III. El concepto ATLÉTICO se incluye necesariamente en el concepto JABALINA. a) I y III b) I y II c) Sólo I d) Sólo III e) Ninguna 16. ¿Qué se puede afirmar correctamente acerca de los conceptos COTIZACIÓN y DIVISA? I. Que el primero contiene necesariamente al segundo. II. Que ambos son complementarios. III. Que guardan entre ellos una relación análoga a la existente entre las nociones TASACIÓN e

INMUEBLE. a) I, II y III b) I y II c) I y III d) Sólo II e) Sólo III 17. ¿Qué se puede afirmar correctamente sobre los conceptos BORRADOR y LÁPIZ? I. El concepto BORRADOR incluye la función que realiza el objeto designado con ese nombre. II. El concepto LÁPIZ está en relación de oposición con el de BORRADOR. III. El concepto LÁPIZ está incluido en el de BORRADOR. a) I y III b) II y III c) I, II y III d) I y II e) Sólo I

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Raz. Verbal

ANTONIMIA CONTEXTUAL 01. Su comportamiento fue laudalbe _______________________________________________________________________ 02. En ella nació una terrible animadversión por él. _______________________________________________________________________ 03. Él es un abogado morigerado a la hora de actuar. _______________________________________________________________________ 04. Actúo con ladinez, motivado por sus experiencias oscuras. _______________________________________________________________________ 05. Él se embeleso con ella en la primera cita. _______________________________________________________________________ 06. Él imprecó su conducta en más de una ocasión. _______________________________________________________________________ 07. Habló con facundia, desestimando al opositor. _______________________________________________________________________ 08. Se exacerbaron los ánimos en aquella contienda electroral. _______________________________________________________________________ 09. Es necesario apilar estos libros. _______________________________________________________________________ 10. No entiendo como te has aferrado a él. _______________________________________________________________________ 11. Con el advenimiento de la procesión, estoy seguro que los ánimos se calmarán. _______________________________________________________________________ 12. Es hora de yuxtaponer nuestros pareceres para llegar a conclusiones. _______________________________________________________________________

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Raz. Verbal

13. Me duele que tengas una conducta suspicaz frente a mis aseveraciones. _______________________________________________________________________ 14. Todo el público se puso medroso frente al atentado. _______________________________________________________________________ 15. No se lo pidas a él, aún es novel. _______________________________________________________________________ 16. Los feligreses sintieron un gran exultación frente al sermón del Obispo. _______________________________________________________________________ 17. A veces es necesario ciar para volver empezar. _______________________________________________________________________ 18. Me he atiborrado de gramos para el invierno. _______________________________________________________________________ 19. Se escuchaba una gran algarabía en aquella feria. _______________________________________________________________________ 20. Es necesario establecer las citas con antelación. _______________________________________________________________________ 21. La vida no tiene para ti un camino adunco, así que sostén mi mano y déjame guiarte. _______________________________________________________________________ 22. No pude probar pez globo por sus sustancias tósigosas. _______________________________________________________________________ 23. No podemos despegar el día de hoy, el cielo esta caliginoso. _______________________________________________________________________ 24. Aquel sujeto fue lacónico al hablar. _______________________________________________________________________ 25. Es fútil resistirse. _______________________________________________________________________ 26. Demostró una conducta encomiable. _______________________________________________________________________ 27. Es un sujeto conspicuo a la hora de hacer su trabajo. _______________________________________________________________________

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28. He repudiado tus anhelos con mis actos. _______________________________________________________________________ 29. Fue una situación adversa, lo juro. _______________________________________________________________________ 30. He dilapidado todos mis ahorros. _______________________________________________________________________ 31. Aquella afrenta es imposible de olvidar. _______________________________________________________________________ 32. Eres un sujeto fementido, y yo que había puesto mis afectos en juego. _______________________________________________________________________ 33. Te juro que fue una situación fortuita la que me llevó a cometer el asesinato. _______________________________________________________________________ 34. Lo trate con inflexibilidad ya que un sujeto como él no mereces indulgencia. _______________________________________________________________________ Llene los paréntesis con un sinónimo de la palabra contigua: El dueño de una posada (................) se hallaba asando una carne a la puerta de su establecimiento. El olorcillo se expandía (.................) por doquier, como invitando a probar el sabroso (.................) trozo de carne. Un hombre pobremente (.............) vestido, que acertó a pasar por allí, se detuvo a contemplar (...............) el quehacer (...............) del posadero (.............) y quedó aspirando (...........) el fragante (..................) olorcillo. De pronto se le ocurrió sacar de sus alforjas (............) un trozo de pan y con suma (..............) tranquilidad comenzó a pasarlo por entre la columna de humo que se desprendía de la carne asada. El posadero le dejó hacerlo sin decirle nada; pero cuando el hombre hubo comido (.............) el pan, le dijo: Debes pagarme lo que has comido. - ¿Cómo? -se sorprendió (....................) el hombre- ¡si nada me has dado! - Sí; el olorcillo que despide (....................) mi carne con el que has untado (....................) tu pan. Si no pagas te denunciaré al juez. Este escuchó al forastero (....................): - Sólo pasé el pan por encima del humo que desprendía (..................) la carne; y ahora el pretende (.................) que pague por ello. El juez miró al posadero y le preguntó (............):

- ¿Cuánto crees que te debe pagar por haber disfrutado (...............) de la fragancia de la carne? - Un dinar - respondió prontamente (.............) el posadero. Entonces el juez le dijo al otro: - Si tienes un dinar, dámelo por favor. Cuando el juez tuvo la moneda en su mano, la hizo rebotar en la mesa y preguntó al posadero: - ¿Has oído el sonido que hizo la moneda? - Ciertamente (....................), señor. - Pues bien, ya estás pagado: acabas de cobrarte del sonido, así como este hombre del olor ha comido. Un verano (................) sofocante (.................), en el que el Sol quemaba duro y parejo, cierto león y un jabalí fueron a potar (.................) a la misma fuente lejos de beber amicalmente (...............) se pusieron a discutir (.............) sobre quién bebería primero. Y, no llegando a un pacto (...................) se trabaron (....................) en terrible pelea.

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De pronto, al separase para tomar aliento (..............), otearon (...............) que una nube de aves rapaces (................) aguardaba (................) impaciente (..............) para devorar al malhadado (.................) derrotado. Ante tan grave amenaza (.................) se dijeron : - ¡Vaya, que necios (......................) somos! Es preferible hacernos amigos a servir de comida a los buitres y a los cuervos. Más sensato (................) es acabar con nuestra rencilla (...............) que esperar un resultado fatal (...............) para cualquiera de nosotros. Llene los paréntesis con un antónimo de la palabra vecina Demóstenes, gran orador, nació en Atenas antes de la era cristiana. Cuentan de él que fue un niño muy inteligente (..........), pero poco desarrollado débil (..........), de baja estatura, contextura delgada (............) y con una tartamudez acentuada (........), lo que motivaba frecuentes (........) burlas de los niños de su edad. Triste (.........) y humillado llegaba a su hogar, donde sus padres lo consolaban y sin mucha seguridad le anunciaban que sería el orador más grande de ese tiempo. Como niño y joven obediente (...........) que fue, iba tomando conciencia de su inteligencia y de los grandes valores que poseía de amor a la verdad (..........), la honradez (..........), la justicia (.............) y la paz (...............). Se propuso firmemente (...............) superar la tartamudez. Es así como comenzó a ejercitarse colocándose piedritas en la boca diariamente. A medida que iba observando que poco a poco mejoraba, su empeño era mucho mayor. Además, a orillas del mar, gritaba (...............) con toda sus fuerzas tratando de que su voz se impusiera al rugir de las olas y así fortalecer (................) sus pulmones. De esa manera, llegó a ser el más hábil (.........) y poderoso (.........) orador de su tiempo. Inició su carrera política cuando la corrupción (........), el malestar (.........) y la irresponsabilidad (.......) reinaron en el pueblo ateniense. Sus discursos fueron escuchados por el parlamento y todo el pueblo, logrando implantar (............) la justicia, la democracia (...........) e independencia (........) en todas las ciudades griegas. LA PALABRA Y SU CONTEXTO De acuerdo con el contexto oracional deduce el sinónimo de cada una de las palabras subrayadas. 01. Lamentablemente muchos niños en el Perú viven en total abandono. A) ausencia B) desamparo C) pereza D) desanimo E) alejamiento

02. La triste noticia lo dejo totalmente abatido. A) confundido B) hundido C) pensativo D) fortalecido E) apenado

03. Es un hombre muy abnegado a el se le debe el desarrollo de su pueblo. A) estudioso B) responsable C) filósofo D) sacrificado E) virtuoso

04. Los hechos narrados por el testigo acontecieron durante la mañana. A) ocurrieron B) fueron C) vieron D) antecedieron E) aumentaron

05. Acusadas de arpías miles de curanderas fueron quemadas en la hoguera. A) ladronas B) ocas C) vetustas D) infieles E) brujas

06. “Un momento, terminaré de ataviarme e iremos juntos a la fiesta”. A) asegurarme B) acicalame C) aplicame D) prepararme E) aderezarme

07. El paciente debe ser operado en el lugar aséptico. A) cómodo B) seguro C) clínico D) esterilizado E) purificado

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TEXTO I La Genética humana es un tema enormemente complicado, que no es probable que se estudie en toda su extensión en el futuro previsible. El ser humano no da lugar a descendientes no con tanta frecuencia no en número tan grande como lo hace la mosca de la fruta; sus descendientes no pueden ser sometidos a un control de laboratorio con fines experimentales; tiene muchos más cromosomas y características humanas en las que estamos más interesados, tales como el genio creador, la inteligencia, la fuerza moral, son extraordinariamente complejas e implican la interrelación de numerosos genes e influencias ambientales. Por todas estas razones, los profesionales no pueden estudiar la Genética humana con la misma confianza con que aborda la genética de la mosca de la fruta. Por lo tanto, la Eugenesia sigue siendo un sueño, confuso e insustancial, debido a la falta de conocimientos. Aquellos que en la actualidad abogan decididamente en favor de los programas elaborados de Eugenesia, tienden a ser racistas o excéntricos. 01. Un factor no genético e influyente sobre el desarrollo humano que limita la investigación genética es: a) El laboratorio b) Sus cromosomas c) El ambiente d) La fuerza moral e) Su complejidad 02. La idea central del texto versa sobre: a) Imposibilidad de desarrollo de la Eugenesia. b) Limitaciones en el estudio de la Genética humana c) Estudio experimental dé. la Genética, d) Diferencias genéticas entre distintas especies e) Variaciones cromosómicas ínter especie. 03. El ser humano no puede ser sometido a todos los controles experimentales de laboratorio debido a: a) Limitaciones científicas b) Cromosomas numerosos c) Fines experimentales d) Descendencia escasa e) Razones éticas 04. Los propugnadores de la Eugenesia tienden a ser racistas debido a: a) La cientificidad b) La excentricidad c) La investigación d) La ideologización e) Su vida 05. El posible autor del texto es de profesión: a) Un arquitecto b) Un pomólogo c) Un genio d) Un biólogo e) Un técnico ofimático TEXTO II ¿Qué es la amistad? pregunté hace poco. Las respuestas fueron diversas: muchas de ellas en espera de que se reciba algo en los momentos difíciles del llamado "amigo", otras conocerse y comprenderse, otras no separarse nunca, otras ser salvavidas en los momentos en que se "ahoga de problemas". Muchos no sabían ni qué responder, otros no respondieron por no quedar en ridículo, en fin muchas respuestas dirigidas y centradas en sus problemas internos y de por sí, serán los futuros "problemas" entre los llamados "amigos". Le pregunte a Atsuru (japonés), y su respuesta llena de filosofía oriental fue: "la amistad, si es improductiva es inútil". La amistad sea cual fuese los condimentos que tenga (comprensión, tolerancia, inmadurez, ansiedad, engreimiento, etc.) debe estar dirigida a producir cambios, desarrollo, bio-psico-social,

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aunque sea, mínimo, pero producirlo. Es decir los llamados "amigos" en relación al inicio de su amistad deben presentar cambios y desarrollo, responsabilidad, autonomía, honestidad, que les permitan tener una clara conciencia de su realidad personal y social. ¿De qué sirve tanta comprensión, u otro condimento? si están peor que antes, si en vez de madurar y pisar tierra, están naufragando en un mundo lleno de fantasía e ilusiones que al entrar en contacto con la realidad, la consecuencia lógica será: sufrimiento y quizás ese "amigo" haga responsable de su desgracia al otro "amigo". 06. El personaje principal del texto es: a) La amistad b) E! tipo de amigo c) Las consecuencias de la amistad d) Las respuestas sobre amistad e) Los condimentos de la amistad 07. Los futuros amigos tendrán problemas, es porque: a) No saben que responder b) Tienen muchas necesidades c) Conocen las consecuencias de la amistad d) Sus respuestas son producto de sus problemas internos e) Se ahoga en problemas 08. El texto menciona condimentos, para dar a entendí que: a) Son primordiales en la amistad b) Son necesarios en la amistad c) Deben producir cambios y desarrollo d) Son parte de la real amistad e) Producen verdaderos amigos 09. El cambio y desarrollo trae como consecuencia: a) Una amistad real b) Una amistad verdadera c) Una amistad autónoma y real d) Conciencia de su realidad personal y social e) Análisis de su realidad interior 10. Marque la alternativa que solo presenta diptongo creciente.

A) viaje, ciénega, fraile B) hielo, suave, viuda C) piojo, duele, peine D) Souza, huida, piano E) cuota, sueño, amplio

11. Marque la alternativa que únicamente presenta diptongos. A) oiga, superfluo, agüita B) búho, Abraham, pingüe C) buitre, quito, preámbulo D) navío, diálogo, tiito E) hioides, vahído, deseo

12. En la palabra sabríais encontramos: A) diptongo creciente – diptongo decreciente B) diptongo decreciente – diptongo creciente C) diptongo creciente – diptongo homogéneo D) adiptongo – diptongo homogéneo E) adiptongo – diptongo decreciente

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13. ¿Cuántos diptongos hay en el siguiente texto?

“Hombres necios que acusáis a la mujer sin razón sin ver que sois la ocasión de lo mismo que culpáis” A) 5 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

14. ¿Cuántas tildes se han omitido en el siguiente texto? “¡Que zurdo es y que débil ese viajero alado! El, antes tan hermoso; ¡que comico en el suelo!” A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

Enunciado 1

Los canales de televisión deberían darse cuenta de una vez por todas que no todos los “dibujos animados” han sido hechos para un público infantil. Existen series de animación japonesas que contienen temas violentos o abiertamente sexuales, que han sido concebidos para un público adulto; obviamente, estas series deberían ser programadas en un horario nocturno, y no dentro de un programa como “María Pía y Timoteo” que es visto por niños pequeños, a quienes las series para adultos podrían confundir, e incluso, dañar.

1. ¿Cuál es la tesis defendida en el texto?

A) Los programas de animación japoneses no deben ser vistos por niños pequeños. B) “María Pía y Timoteo” es un programa que no debería transmitir programas para adultos. C) Los programas infantiles no deben contener temas violentos o abiertamente sexuales. D) Los niños que ven programas creados para un público adulto podrían salir lastimados anímicamente. E) Los programas creados para un público adulto no deberían transmitirse en horarios infantiles.

2. ¿Cuál es el argumento central que sustenta la tesis?

A) Los “dibujos animados” contienen temas de sexo y violencia que podrían afectar a los niños. B) En un horario infantil, deberían ser programadas series culturales o didácticas para niños. C) Las series creadas para un público adulto tienen su propio espacio en un horario nocturno. D) Si se transmiten programas violentos o sexuales en un horario infantil, los niños podrían confundirse. E) El público infantil reclama programas que estén hechos a su medida y que no dañen su formación.

Enunciado 2

Las personas que discriminan a quien es “diferente” de ellas deberían ser conscientes de que no solo cometen un acto que revela su bajeza moral, sino que además están poniendo en evidencia que no se quieren tanto como parece. En efecto, quien discrimina necesita confirmar continuamente que es “mejor” que el otro: ¿quién sino una persona insegura de sí misma, de lo que es y de sus cualidades, haría algo así? El discriminador no se quiere y por eso es que necesita odiar a los otros.

3. La postura asumida centralmente en el texto es que:

A) discriminar es un acto inmoral. B) la discriminación es un problema social que debería erradicarse. C) las personas que discriminan son inseguras de sí mismas y de sus cualidades. D) el odio es la base de las peores formas de discriminación racial. E) la discriminación puede presentarse de diversas formas en nuestra sociedad.

4. El argumento que sustenta la tesis plantea que:

A) quien discrimina no es consciente de su bajeza moral. B) si necesitamos confirmar nuestras cualidades, entonces no estamos seguros de ellas. C) todas las personas que no se quieren a sí mismas se convierten en discriminadoras. D) si nos encontramos con alguien que es mejor que nosotros, lo discriminaremos. E) si no hacemos caso de nuestros defectos, nunca seremos discriminadores.

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INCLUSIÓN 1. I. El concepto RECIPIENTE incluye necesariamente el concepto LÍQUIDO.

II. El concepto OLLA está incluido en el concepto RECIPIENTE. III. El concepto ESTREPITOSO incluye el concepto RUIDO. Son correctas: A) Sólo I C) Sólo III E)Sólo II y III B) Sólo II D) Sólo I y III

2. Dados los conceptos CORAZA–ARMADURA ¿qué se puede decir correctamente sobre ellos?

I. El concepto CORAZA está incluido en el de ARMADURA. II. El concepto ARMADURA está incluido en el de CORAZA. III. Uno de los conceptos alude a una parte de un todo. A) Sólo I y II C) Sólo II E) I, II y III B) Sólo II y III D) Sólo III

3. ¿Qué afirmaciones son verdaderas?

I. El concepto CONVENTO incluye al de VIVIENDA. II. El concepto CONVENTO está presupuesto en el de MONJE. III. El concepto CONVENTO está implicado en el de CONVENTUAL. A) Sólo I y II C) Sólo I E) Sólo III B) Sólo I y III D) Sólo II

4. ¿Qué concepto incluye al resto en su definición?

A) ordenar C) secuencia E) compaginar B) criterio D) actividad

5. ¿Qué concepto está incluido en el resto?

A) remoto C) alejado E) teléfono B) televisión D) lejanía

Escribe el sinónimo de la palabra destacada 01. Lamentablemente muchos niños en el Perú viven en total abandono. A) ausencia B) desamparo C) pereza D) desanimo E) alejamiento

02. La triste noticia lo dejo totalmente abatido. A) confundido B) hundido C) pensativo D) fortalecido E) apenado

03. Es un hombre muy abnegado a el se le debe el desarrollo de su pueblo. A) estudioso B) responsable C) filósofo D) sacrificado E) virtuoso

04. Los hechos narrados por el testigo acontecieron durante la mañana. A) ocurrieron B) fueron C) vieron D) antecedieron E) aumentaron

05. Acusadas de arpías miles de curanderas fueron quemadas en la hoguera. A) ladronas B) ocas C) vetustas D) infieles E) brujas

06. “Un momento, terminaré de ataviarme e iremos juntos a la fiesta”. A) asegurarme B) acicalame C) aplicame D) prepararme E) aderezarme

07. El paciente debe ser operado en el lugar aséptico. A) cómodo B) seguro C) clínico D) esterilizado E) purificado

08. Se tuvo que amputar la pierna afectada del soldado. A) tajar B) destrozar C) cercenar D) desunir E) separar

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09. Su lenguaje atildado lo distingue como un escritor culto. A) elegante B) enredado C) claro D) sencillo E) enigmático

10. Imposible dedicarnos a actividades agrícola en un terreno tan árido. A) marchito B) áspero C) estéril D) descuidado E) lejano

11. Un poco de agua atenuará mi sed. A) suavizará B) debilitará C) alejará D) disminuirá E) amortiguará

12. Conseguí todos estos comestibles en la abacería. A) comercio B) alacena C) bodega D) fortaleza E) entrada

13. Aquel andrajoso hombre lleva puesta una vestimenta demasiado rota. A) desnudo B) responsable C) anciano D) sacrificado E) harapiento

14. Este libro es una antología de su obra poética. A) conciliación B) resumen C) adicción D) conmemorable E) introducción 15. Quedé totalmente arrobado al ver tan hermosos paisajes. A) distruido B) alocado C) afectado D) cautivado E) animado

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LUDIVERBAL Horizontal

1. resolver de común acuerdo 3. pifiar, mostrar desagrado 5. fanático 6. caer enfermo o padecer enfermedad 7. hendidura, grieta 8. falsificar una cosa Vertical

2. afligir, poner en apuro 4. servir de refugio 5. perspicacia, viveza del ingenio 7. agradable o dulce en el trato

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Guía Didáctica

5to.

Sec - IV Bim

Raz. Verbal

Horizontal

5. imitar o copiar 6. gallardía donaire 8. ignorante 9. fetidez, hediondez 10. relativo a los lagos Vertical

1. recato, pureza 2. famoso, ilustre 3. que está en la frontera 4. necio, tonto 7. rémora, impedimento

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5to.

Sec - IV Bim

Raz. Verbal

Horizontal

2. parte de donde viene el viento 3. digno de fe y crédito 5. suceder a alguien en la posesión de bienes 6. falto de honradez 7. defecto o imperfección 10. exceso en la comida o bebida Vertical

1. este u oriente 4. persona ala que otra tiene absoluta confianza 8. acechanza, maquinación 9. hacianda o caudal Horizontal

2. parte de donde viene el viento 3. digno de fe y crédito 5. suceder a alguien en la posesión de bienes 6. falto de honradez 7. defecto o imperfección 10. exceso en la comida o bebida Vertical

1. este u oriente 4. persona ala que otra tiene absoluta confianza 8. acechanza, maquinación 9. hacianda o caudal

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5TO AÑO - IV BIM - COMPENDIO 2013 - FIN

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