5EjProba_11-12_.pdf

Centro de Educación Secundaria San José Área de Matemáticas 2º Bachto. CC.HH.y SS. Ejercicios de probabilidad.

Soluciones Página 1

2º Bachillerato de CC. HH. y SS. Ejercicios de probabilidad

CLASE 1: Sucesos. Tipos de sucesos. Probabilidad. Propiedades de la probabilidad. 1) De las siguientes afirmaciones, indica cuáles son ciertas y cuáles son falsas, justificando

las respuestas: a) si p(A) = 0,3 , entonces p(A C ) = 0,7 b) si p(A) = 1, entonces p(A C ) = - 1 c) si p(A) = 2/3, entonces p(A C ) = 3/2 d) existe un suceso cuya proba-bilidad es 1,0001 e) la probabilidad de cualquier suceso es positiva f) para cualquier suceso A se cumple 0 p(A) 1 .

2) Sea E = {a,b,c,d} un espacio muestral con cuatro elementos. Indica cuáles de las si-guientes funciones es una probabilidad

51)d(p;

41)c(p;

41)b(p;

21)a(p)b

51)d(p;

41)c(p;

31)b(p;

21)a(p)a

3) Indica razonadamente si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones: a) Si dos sucesos son incompatibles, son contrarios b) Si dos sucesos son contrarios, son incom-patibles.

4) ¿Puede existir una probabilidad p definida en el conjunto definido por E = {A,B,C} que verifique p(A) = p(B) – p(C) y que p(C) = 3p(B)?

5) Sea p una probabilidad definida en E = {a,b,c,d} . Encuentra p(a) en los siguientes casos :

)a(p4)d(py)a(p2)c(p,ap)b(p)b)b(p)d(py)c(p2)b(p,)b(p3)a(p)a

------------------------------------------------------------------------------------------------- CLASE 2: Cálculo de probabilidades. 6) Halla la probabilidad de cada uno de los siguientes sucesos: a) que salgan dos caras y

una cruz en el lanzamiento de tres monedas b) que salga un rey o un as al extraer una carta de una baraja española c) que salga suma 9 en el lanzamiento de dos dados

7) Una urna contiene ocho bolas rojas, cinco amarillas y siete verdes. Se extrae una al azar. Determina la probabilidad de que: a) sea roja b) sea verde c) sea amarilla d) no sea roja e) no sea amarilla .

8) Se lanza un dado y una moneda. Calcula la probabilidad de obtener: a) cuatro y cara b) Cruz e impar c) Cara y un número mayor que 1 .



9) Encuentra la probabilidad de que al lanzar dos dados se obtenga: a) dos 6 b) dos números iguales c) 8 de suma

10) Halla la probabilidad de que al lanzar tres monedas se obtenga al menos dos cruces. 11) Un dado está trucado de modo que la probabilidad de obtener las distintas caras es di-

rectamente proporcional a los números de éstas. Se pide: a) la probabilidad de que al lanzarlo salga un número par b) la probabilidad de sacar un número mayor de 3 .

12) Determina la probabilidad de un suceso A, sabiendo que la suma de ésta probabilidad y la del cuadrado de su contrario es 21/25

13) Considera el espacio muestral E = {a,b,c,d} en el que los cuatro sucesos tienen la misma probabilidad. Sea S 1 = {a,b} y S 2 = {a,c} . a) ¿Son S 1 y S 2 sucesos incompati-bles? b) Calcula la probabilidad del suceso S 1 S 2 y la probabilidad del suceso contrario de S 2 .

---------------------------------------------------------------------------------------------------- CLASE 3: Cálculo de probabilidades. Probabilidad de la intersección, unión y resta de sucesos. Reglas de Morgan 14) De los sucesos A y B se sabe que p(A) = 2/5 ; p(B) = 1/3 y p(A C B C ) = 1/3. Halla

p(AB) y p(AB) 15) Dados los sucesos A y B con probabilidades p(A) = 1/3 , p(B) = 1/4 y p(A B) = 1/12

, calcula : CBAp)bBAp)a 16) Sean A y B dos sucesos tales que p(A) = 0,5 , p(B) = 0,4 y p(A B) = 0,2. Halla:

BAp)eBAp)dABp)cBAp)bBAp)a 17) En una baraja hemos suprimido varias cartas. Entre las que quedan se dan las siguientes

probabilidades de ser extraídas: p(rey) = 0,15 ; p(bastos) = 0,3 ; p(ni rey ni bastos) = 0,6. a) Razona si entre las cartas que quedan está el rey de bastos b) ¿Cuántas cartas quedan?

18) En un banco hay dos sistemas de alarma, A y B. El sistema A funciona 90 de cada 100 veces, el B funciona 80 de cada 100 veces y los dos funcionan a la vez 75 de cada 100 ve-ces. ¿Cuál es la probabilidad de que no funcione ninguno de los dos sistemas?

19) La probabilidad de que un alumno apruebe Matemáticas es 0,6 , la de que apruebe Lengua es de 0,5 y la de que apruebe las dos es de 0,2. a) ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe al menos una asignatura? b) ¿Y de que no apruebe ninguna? c) ¿Y la de que apruebe Matemáticas y no Lengua?

20) En una determinada fábrica de automóviles, el 6 % de los coches tiene defectos en el motor, el 8 % tiene defectos en la carrocería y el 2 % tiene defectos en ambos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que algún coche tenga al menos un defecto? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un coche no sea defectuoso?

21) En el experimento de lanzar tres monedas, halla la probabilidad de los siguientes sucesos: a) A = {sacar más caras que cruces} b) B = {sacar al menos una cruz} c) C = {sacar como máximo dos cruces}

22) En un banco hay dos alarmas, A y B. En caso de atraco, la probabilidad de que se active A, B o ambas, es: p(A) = 0,75 , p(B) = 0,85 , p(A B) = 0,65. Calcula la probabilidad de que: a) Se active alguna de las dos b) Se active sólo una de ellas c) No se active ninguna

23) Un dado numerado del 1 al 6 se ha trucado de modo que la probabilidad de obtener un número es proporcional a dicho número. Si se lanza una vez, halla la probabilidad de que salga una puntuación impar.

---------------------------------------------------------------------------------------------------



CLASE 4: Probabilidad condicionada. Problemas por diagrama de árbol. 24) Se extraen dos cartas de una baraja española. Halla la probabilidad de obtener dos re-

yes. 25) Extraemos tres cartas de una baraja. española. ¿Cuál es la probabilidad de que sean fi-

guras? 26) En un examen de sociología, un alumno sólo ha estudiado 15 temas de los 25 que componen

el cuestionario. El examen consiste en responder correctamente a dos temas elegidos al azar. Halla la probabilidad de que los dos temas sean de los que el alumno estudió.

27) En la edición de un libro que consta de 1000 ejemplares, 50 han salido defectuosos y al autor le regalan tres libros. Calcula la probabilidad de que los 3 libros: a) estén en buen estado b) sean defectuosos .

28) De una urna que contiene nueve bolas rojas y cinco negras se extraen sucesivamente dos bolas. Halla la probabilidad de que: a) la primera sea roja y la segunda sea negra b) una sea roja y la otra negra .

29) En una urna hay seis bolas blancas y tres bolas negras. Si se extraen simultáneamente tres bolas, calcula la probabilidad de que alguna bola sea negra .

30) En una caja hay x bolas blancas y una bola roja. Al extraer de la caja dos bolas al azar sin reemplazamiento, la probabilidad de que sean blancas es 1/2. Calcula el número de bo-las blancas que tiene la caja.

--------------------------------------------------------------------------------------------------- CLASE 5: Probabilidad condicionada. Problemas por diagrama de árbol. 31) Las probabilidades de que un hombre y una mujer de 40 años vivan hasta los 75 años son

0,49 y 0,53, respectivamente. Halla la probabilidad de que: a) los dos cumplan 75 años b) alguno de los dos llegue a los 75 años c) ninguno llegue d) sólo la mu-jer llegue a cumplir los 75 años .

32) La probabilidad de que un niño, cuando sea mayor, estudie una carrera universitaria es 1/6, y en el caso de una niña es 1/10. Si se toman al azar un niño y una niña, calcula las probabilidades siguientes: a) que los dos estudien una carrera universitaria b) que ninguno de ellos estudie una carrera universitaria c) que al menos uno de ellos estudie una carrera universitaria .

33) La probabilidad de que un globo sonda sea recuperado es 1/9 . Si 3 globos sondas son lanzados al espacio, ¿cuál es la probabilidad de recuperar: a) sólo uno b) los tres c) al menos uno .

34) Para el lanzamiento de un dado numerado del 1 al 6, se pide: a) la probabilidad de que salga 3, si se sabe que ha salido impar b) la probabilidad de que salga par si se sabe que salió mayor que tres.

35) En una partida de cartas, uno de los jugadores ha marcado por el reverso diez de ellas: los cuatro ases y el resto de las figuras de oros y de copas. El jugador tramposo va a to-mar la carta que está encima del mazo y ve que está marcada. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un as?

-------------------------------------------------------------------------------------------------------- CLASE 6: Probabilidad condicionada. Independencia de sucesos. Fórmulas 36) Sean A y B dos sucesos con p(A) = 0,5 , p(B) = 0,3 y p(A B) = 0,1 . Calcula las si-

guientes probabilidades: BA/Ap;BA/BAp;BA/Ap;)B/A(p .



37) De los sucesos A y B , se sabe que p(A) = 0,4 , p(B) = 0,3 y p(A B) = 0,5. a) Calcula p(A B) y p(B A C ) b) Calcula p(A C B C ) y p(A/B C ) .

38) En una muestra de 1000 personas, hay 300 que saben inglés, 100 que saben ruso y 50 ambos idiomas. Averigua si son independientes los sucesos “saber inglés” y “saber ruso”

39) Una urna contiene 25 bolas blancas sin marcar, 75 bolas blancas marcadas, 125 bolas negras sin marcar y 175 bolas negras marcadas. a) Calcula la probabilidad de que al ex-traer una bola, ésta sea blanca b) Si al extraer una bola vemos que está marcada, ¿cuál es la probabilidad de que sea blanca? c) ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una bola ésta sea negra o esté marcada? d) ¿Son independientes los sucesos “sacar bola marcada” y “sacar bola blanca”?

40) Se consideran dos sucesos A y B asociados a un experimento aleatorio, que cumple con p(A) = 0,7 , p(B) = 0,6 y p(A C B C ) = 0,58 . ¿Son independientes A y B?

41) Determina si los sucesos A y B son compatibles o incompatibles, dependientes o inde-pendientes, sabiendo que p(A) = 1/2 , p(B) = 1/2 y p(A B) = 3/4 .

42) Si los sucesos A y B son independientes y compatibles, indica razonadamente cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas : ApB/Ap)c)B(p)A(pABp)bBpBAp)a

43) Sabiendo que: p(A) = 0,6 , p(B) = 0,9 y p[(A B) C ] = 0,46, ¿qué se puede decir so-bre la independencia de A y B? ¿Y de A C y B?

44) La probabilidad de que una persona adquiera en una librería un diario es de 0,6 ; la proba-bilidad de que no adquiera una revista es de 0,5 ; la probabilidad de que adquiera una re-vista dado que ya ha adquirido un diario es de 0,3 . Calcula la probabilidad de los siguien-tes sucesos: a) Que no adquiera un diario cuando ha adquirido una revista b) Que adquiera una revista cuando no ha adquirido un diario.

--------------------------------------------------------------------------------------------------- CLASE 7: Probabilidad condicionada. Independencia de sucesos. Fórmulas 45) En una clase, un 40 % de alumnos aprobaron Filosofía y un 50 % Matemáticas. Se sabe

que la probabilidad de aprobar Filosofía si se ha aprobado Matemáticas es de 0,6 . a) Calcula el porcentaje de alumnos que aprobaron ambas asignaturas b) De los alum-nos que aprobaron Filosofía, ¿qué porcentaje aprobó Matemáticas?

46) Una encuesta revela que el 35 % de los habitantes de una ciudad oye la emisora A , el 28 % oye la B y el 10 % oye ambas emisoras. Se elige al azar uno de esos ciudadanos. Cal-cula las siguientes probabilidades: a) Que escuche alguna de esas emisoras b) Que no escuche ninguna de ellas c) Que escuche A sabiendo que no escucha B d) Que escuche A sabiendo que escucha B e) Que escuche sólo una de las dos.

47) Se estima que la probabilidad de que un hombre de 40 años cumpla 65 es de 0,76. Si tres amigos se reúnen para celebrar su cuadragésimo cumpleaños, halla la probabilidad de que, en su 65 aniversario,: a) Vivan los tres amigos b) Los tres hayan fallecido c) Viva alguno de ellos

48) Un banco sortea un viaje entre los 100 clientes que han abierto una cuenta bancaria en el último mes. De ellos, 56 son mujeres, 82 están casados/as y 43 son mujeres casadas. Se pide: a) Probabilidad de que le toque el viaje a un hombre soltero b) Si el afortu-nado/a es casado/a, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?

49) Sean los sucesos A = {llueva hoy} , B = {llueva mañana}, con las probabilidades p(A) = 0,6 , p(B) = 0,3 y p(B/A) = 0,5. Se pide la probabilidad de que: a) Llueva los dos días b) Llueva sólo hoy c) Llueva sólo uno de esos dos días



50) Una entidad bancaria tiene tres sistemas de alarma independientes, cada una con una probabilidad de 0,9 de dispararse en caso de robo. Si se produce un robo, calcula la pro-babilidad de que: a) Ninguna alarma suene b) Suene una sola alarma c) Alguna alarma suene

51) Se tira un dado dos veces y se consideran los sucesos A = {sacar suma 7} y B = {al menos una puntuación es múltiplo de 3}. ¿Son A y B sucesos independientes?

52) Sean A y B dos sucesos con p(A) = 0,5 , p(B) = 0,3 y p(A B) = 0,1. Calcula las proba-bilidades: a) p(A/B) b) p(A/AB) c) p(AB/AB) d) p(A/AB)

53) En una clase de Ciencias Empresariales, el 65% de los alumnos/as aprueban Economía y el 50% aprueba Estadística. Se sabe, además, que la probabilidad de aprobar Economía habiendo aprobado Estadística es 0,8. Calcula el porcentaje de alumnos/as que: a) Aprueba las dos asignaturas b) Suspende Estadística y aprueba Economía

54) Se tienen dos bolsas, A y B. La bolsa A contiene 12 bolas blancas y 8 negras y la bolsa B, 8 blancas y 12 negras. Se toma una bolsa al azar y de ella se sacan dos bolas. Calcula la probabilidad de que: a) las dos bolas sean blancas b) una sea blanca y la otra sea negra.

------------------------------------------------------------------------------------------------------ CLASE 8: Probabilidad total. Fórmula. Tabla de contingencia 55) Los alumnos de cierto centro de ESO están repartidos de la siguiente manera: 40 % en

1º , 25 % en 2º, 15 % en 3º y el resto en 4º. El porcentaje de aprobados de cada uno está en el 30 % para 1º, 40 % para 2º, 60 % para tercero y 70 % para cuarto. Elegido al azar un alumno de éste centro, se pide: a) ¿Cuál es la probabilidad de haya aprobado? b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea de 3º y haya suspendido? .

56) Una clase de 2º de Bachillerato está formada por 10 chicos y 10 chicas. La mitad de los chicos y la mitad de las chicas han elegido Griego como asignatura optativa. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea chico y estudie Griego? b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea chica y no estudie Griego?

57) El volumen de fabricación diario de tres plantas diferentes de una fábrica es de 500 unidades en la primera, 1000 unidades en la segunda y 2000 en la tercera. Sabiendo que el porcentaje de unidades defectuosas producidas en cada planta es del 1 % , 0,8 % y 2 % , respectivamente, calcula la probabilidad de que al seleccionar una unidad al azar sea defectuosa.

58) Se tienen tres recipientes: A , B y C. El recipiente A contiene 3 galletas de vainilla y 2 de chocolate, el B contiene 3 de chocolate y 2 de vainilla, y el C 2 de chocolate y una de vainilla. Se elige un recipiente al azar y se coge de él una galleta también al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de chocolate?

59) Extraemos una carta de una baraja española. Si sale figura, extraemos una bola de la urna I ; en caso contrario, la extraemos de la urna II . Las urnas tienen la siguiente com-posición: urna I : 4 bolas blancas y 8 bolas verdes ; urna II : 6 bolas verdes y 5 bolas blancas. Calcula las probabilidades de los siguientes sucesos: a) la bola es verde y de la urna II b) la bola es blanca.

60) Tenemos una urna A con 4 bolas rojas y 6 bolas blancas, y otra B con 7 bolas rojas y 3 blancas. Se selecciona una urna al azar, se extrae una bola y se coloca en la otra urna. A continuación se extrae una bola de la segunda urna. Calcula la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color .



61) La población estudiantil de un IES se reparte entre 3º y 4º de Secundaria y 1º y 2º de Bachillerato, según el 32% , 30% , 21% y 17%, respectivamente. Los porcentajes de alum-nas en esos cursos son: 52% , 55% , 59% y 64%. Elegido un alumno/a al azar, ¿qué proba-bilidad hay de que sea varón?

62) Un determinado día, cierto individuo tiene una probabilidad 0,1 de ir al cine de su barrio y un 0,85 de que se proyecte una película bélica en él. Si no va al cine, la probabilidad de que emitan una película de ese género en la televisión es 0,05. a) ¿Cuál es la probabili-dad de que no vaya al cine y vea una película bélica? b) ¿Y de que no vea una película bélica ese día?

63) En cierta comunidad, un 20% de sus integrantes están en paro y, de los mismos, un 10% tienen estudios superiores. De los empleados, el 25% alcanza ese nivel de estudios. Ele-gido un individuo al azar, halla la probabilidad de : a) Que esté en paro y no tenga es-tudios superiores b) Que tenga estudios superiores

64) Una caja contiene tres monedas. Una moneda es corriente, otra tiene dos caras y la ter-cera está trucada de modo que la probabilidad de obtener cara es 1/3. Se selecciona una moneda al azar y se lanza al aire. Halla la probabilidad de que salga cara.

------------------------------------------------------------------------------------------------------ CLASE 9: Teorema de Bayes. 65) Tenemos tres urnas: U1, con tres bolas rojas y 5 negras, U2 con 2 bolas rojas y 1 ne-

gra y U3 con 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bo-la. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna U1?

66) Un tribunal examina a 123 alumnos del instituto A y a 77 alumnos del instituto B. Del A aprueba el 75 % y del B el 67 % . Escogido un alumno al azar resulta que no ha aproba-do. Calcula que probabilidad hay de que pertenezca a cada uno de los institutos examina-dos por el tribunal .

67) En cierto edificio se usan dos ascensores. El primero lo usan el 45 % de los inquilinos y el resto usan el segundo. El porcentaje de fallos del primero es del 5 %, mientras que el se-gundo falla el 8 % de las veces. Si un cierto día un inquilino queda “atrapado” en un ascen-sor, halla la probabilidad de que haya sido en el primero .

68) El 20 % de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20 % son economistas. El 75 % de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50 % de los economistas también, mientras que de los no ingenieros y no economistas, solamente el 20 % ocupan un puesto directivo. Elegido un empleado al azar resulta ser directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que sea ingeniero?

69) Un joyero compra los relojes a dos casas proveedoras. La primera le sirve el 60 % de los relojes, de los cuales el 0,4 % es defectuoso. La segunda le proporciona el resto, siendo defectuoso el 1,5 %. Un día, el joyero, al vender un reloj, observa que éste no funciona. Halla la probabilidad de que el reloj proceda de la primera casa proveedora.

70) A un congreso asiste el mismo número de hombres que de mujeres. El 60 % de los hom-bres tiene 40 años o más y el 30 % de las mujeres tiene menos de 40 años. Se pide: a) Si se elige al azar una persona que asiste al congreso, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer? b) Si se elige al azar una persona que asiste al congreso, ¿cuál es la pro-babilidad de que tenga menos de 40 años? c) Si se elige un asistente al azar y se ob-serva que tiene más de 40 años, ¿cuál es la probabilidad de que dicha persona sea mujer?

71) En una ciudad en la que hay doble número de hombres que de mujeres, hay una epidemia. El 6 % de los hombres y el 11 % de las mujeres están enfermos. Si se elige una persona al azar, calcula la probabilidad de que: a) Sea hombre b) Esté enfermo c) Sea hombre, sabiendo que está enfermo.



72) Un artículo es producido en tres fábricas diferentes, A , B y C, a razón de 100, 140 y 160 unidades diarias, respectivamente. Además, se sabe que el 30%, el 45% y el 20%, respectivamente, de las cantidades producidas, son para exportar. Si se elige un artículo al azar, ¿qué probabilidad hay de que sea para exportar? Sabiendo que es para la ex-portación, ¿qué probabilidad hay de que haya sido fabricado en A?

73) Los hombres y mujeres que se presentan a cierta oposición están en la relación 3/4. Si un 25% de los hombres y un 20% de las mujeres han aprobado, ¿qué probabilidad hay de que, elegida al azar, una persona suspensa sea hombre?

74) Una caja contiene 4 bolas blancas y 6 negras. Se extrae una bola y se reemplaza por tres del mismo color. A continuación se saca otra bola y resulta ser blanca. Halla la probabili-dad de que la bola extraída en la primera ocasión fuera blanca también.

--------------------------------------------------------------------------------------------------- CLASE 10: Binomial y Normal N(0,1) 75) En un test hay 20 preguntas que hay que contestarlas con SI o con NO. Una persona

desconoce absolutamente la materia. ¿Que probabilidad tiene de acertar 12 preguntas? 76) Supongamos que el porcentaje de estudiantes que ha repetido curso alguna vez es del 35

%. Si se toman 8 estudiantes al azar, calcular la probabilidad de que al menos dos de ellos hayan repetido curso.

77) Un examen consta de diez preguntas de tipo test. Para cada pregunta se ofrecen cuatro posibles respuestas, de las que sólo una es correcta. Si un estudiante responde todas las preguntas al azar: a) ¿cuál es la probabilidad de que conteste correctamente a dos o más preguntas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que falle todas las preguntas? c) ¿cual es la probabilidad de acertar siete u ocho respuestas?

78) La probabilidad de que un alumno de primero de Humanidades apruebe Matemáticas es 0,6. Calcula para un grupo de cuatro compañeros: a) la probabilidad de que los cua-tro aprueben b) la probabilidad de que apruebe al menos uno

79) Calcula, con tablas, las siguientes probabilidades: a) p( z 1,23 ) b) p( z 0,75 ) c) p( 0,5 z 1,2 ) d) p( -2,56 z -0,5 ) e) p( -0,8 z 2 )

80) Si Z es una variable aleatoria continua con distribución normal N(0 , 1), calcular las si-guientes probabilidades: a) p(Z = 1,8) b) p(Z 1,13) c) p(Z 3,8) d) p(Z -0,02) e) p(Z -2,5) f) p(1 Z 2) g) p(-0,79 Z 3,02)

-------------------------------------------------------------------------------------------------- CLASE 11: Normal N( , ) 81) Una variable tiene una distribución normal N(6,2). Calcula las siguientes probabilida-

des : a) p(x 7) b) p(x 5,5) c) p(x 8,3) d) p(4 x 7) 82) Una variable aleatoria X tiene una distribución normal N(140,25). Calcula las siguientes

probabilidades: a) p(X 150) b) p(100 X 130) c) p(X 155) d) p(138 X 144)

83) En una distribución normal N(6,3), calcular el valor de k para que se cumplan las si-guientes igualdades: a) p(x k) = 0,8925 b) p(x k) = 0,5239

84) Se ha aplicado a 300 alumnos de 3º de E.S.O. un test de razonamiento y se ha observado que se distribuyen normalmente con media de 30 y desviación típica 12. Se pide: a) ¿ Qué proporción de alumnos tendrá una puntuación en dicho test entre 20 y 35 ? b) ¿ Cuántos alumnos tendrán una puntuación superior a 42 ?

85) El peso de los individuos de una población se distribuye normalmente con media de 75 kg. y una desviación típica de 6 kg. ¿ Qué porcentaje de individuos de la población tendrá un peso superior a 78 kg. ?



86) En un estudio sobre la vida útil de un automóvil se obtiene una media de 16 años con una desviación típica de dos años y medio. Se pide: a) la probabilidad de que tenga una vida útil superior a los 19 años b) el porcentaje de automóviles con vida útil entre 14 y 17 años.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------- CLASE 12: Distribución de medias muestrales. Calculo de probabilidades 87) En una urna hay 3 bolas con los números 1 , 2 y 3. a) Calcula la media y la desviación

típica de ésta población. b) Forma todas las muestras posibles de tamaño 2 que po-demos extraer con devolución c) Halla la media y la desviación típica de ésta distri-bución de las medias de las muestras.

88) Una población de plantas tiene media 12 cm. y desviación típica 2 cm. ¿Cuál será la dis-tribución de las medias muestrales para muestras de tamaño 35, 60 y 100?

89) Tenemos una población de media 250 y desviación típica 50, y tomamos de ella una mues-tra de tamaño 49. Calcula la probabilidad de que la media de ésta muestra se encuentre entre 249 y 251.

90) Las notas de Matemáticas en las pruebas de acceso a la universidad siguen una distribu-ción N( 5 , 2 ) y elegimos al azar una muestra de 100 estudiantes: a) ¿Qué proba-bilidad hay de que la nota media de éstos 100 alumnos esté entre 4,5 y 5? b) Si la muestra hubiese sido de 1000 estudiantes, ¿qué probabilidad tendríamos de que la nota media estuviera entre 4,5 y 5?

91) Suponiendo que las puntuaciones de un test de inteligencia se distribuyen según N(100 , 15), calcula la probabilidad de que una muestra de tamaño 49, extraída de esa población, tenga una media inferior a 98. Calcula la probabilidad de que una muestra de tamaño 81, extraída de esa población, tenga una media superior a 105.

92) Las notas de un grupo de alumnos es aproximadamente normal con media = 5,5 y des-viación típica = 0,8. a) Halla la media y la desviación típica de las medias muestrales para muestras de tamaño 4 b) Calcula la probabilidad de que la media muestral de 4 alumnos elegidos al azar sea mayor que 5,2.

93) En una universidad se sabe que las tallas de los alumnos se distribuyen normalmente con media de 172 cm. y desviación típica de 17,5 cm. Se toman muchas muestras de 35 estu-diantes. a) ¿Cuál es la media y la distribución de las medias muestrales? b) Halla la probabilidad de que la media muestral sea inferior a 171 cm. c) Si se eligen 150 muestras de 35 alumnos, ¿en cuántas de ellas cabe esperar que la media muestral sea mayor que 170 cm. y menor que 171,5 cm.?

94) Se sabe que el cociente intelectual de los alumnos de una universidad se distribuye según una normal de media 100 y varianza 729. a) Halla la probabilidad de que una muestra de 81 alumnos tenga un cociente intelectual medio inferior a 109 b) Halla la probabili-dad de que una muestra de 36 alumnos tenga un cociente intelectual medio superior a 109.

95) Las calificaciones de los exámenes de Matemáticas que se han realizado en los últimos 25 años en cierta escuela superior siguen una distribución normal con media 53 y desviación típica 12. a) Calcula la media y la desviación típica de la distribución muestral de las medias de las muestras de tamaño 9 que se pueden obtener b) Halla la probabilidad de que una muestra de tamaño 9 tenga una media comprendida entre 53 y 57.

96) En una oposición en la que participaban miles de candidatos se hizo un examen tipo test. Las calificaciones se distribuyeron normalmente con media de 72 puntos y desviación típi-ca de 10. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un opositor elegido al azar tenga más de 76 puntos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra de 64 opositores obtenga un promedio superior a 76 puntos?



97) A lo largo de las diferentes pruebas de selectividad se ha observado que la distribución de las calificaciones sigue una ley normal de media 5,3 puntos y desviación típica de 0,8. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la nota de un estudiante elegido al azar sea superior a 5,7? b) ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra de 49 estudiantes tenga una media superior a 5,7?

98) El peso de los adultos de una población numerosa se distribuye normalmente con media de 65 kg y desviación típica de 12 kg. Se elige una muestra de 30 individuos al azar. Calcula la probabilidad de que la media de esa muestra sea: a) mayor de 60 kg b) mayor de 68 kg c) esté en el intervalo (60 , 68).

99) El perímetro torácico en los individuos adultos (hombres) en una población, se distribuye según una ley normal N(90 , 6) cm. a) ¿Cómo se distribuyen las medias de las mues-tras de tamaño 81 extraídas de esa población? b) ¿Cuál es la probabilidad de que una de esas medias sea menor de 87 cm? ¿Y de que sea mayor de 91 cm?

100) La altura de los mozos de cierto pueblo sigue una distribución normal de media 174 cm y desviación típica de 10 cm. Si se halla la media de una muestra de tamaño 144, calcu-la la probabilidad de que esté dentro del intervalo (173 , 175)

101) El tamaño de las parcelas de una determinada provincia no se distribuye normalmente. Su media es de 3 ha y su desviación típica es de 0,6 ha. ¿Cuál es la probabilidad de que, elegida al azar una muestra de 100 propietarios, dicha muestra tenga una media mayor de 3,1 ha?

102) La cantidad de dinero que llevan en sus bolsillos las personas de cierta ciudad no se distribuye normalmente, y tiene una media de 18 € y una varianza de 3,6 €. ¿Cuál es la probabilidad de que un grupo de 36 individuos elegidos al azar lleve una media inferior a 17 €?

-------------------------------------------------------------------------------------------------------- CLASE 13: Distribución de proporciones. Calculo de probabilidades 103) Se sabe que la eficacia de una determinada vacuna es del 88 %. Si cogemos una

muestra de 100 individuos expuestos a ésta enfermedad, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 85 de ellos no la contraigan?

104) El 3 % de las piezas producidas por una máquina son defectuosas. Se toma una mues-tra aleatoria de 100 piezas. a) ¿Cuál es la distribución que sigue la distribución de piezas defectuosas en la muestra? b) Halla la probabilidad de que en la muestra exis-tan menos de 28 piezas defectuosas.

105) Después de una elecciones, se sabe que el candidato que ha sido elegido presidente obtuvo el 42 % de los votos. Halla la probabilidad de que de 1000 individuos elegidos al azar entre los votantes hubiese obtenido el candidato más de 450 votos.

106) Si el 60 % de licenciados de cierta facultad encuentra trabajo el primer año después de acabar la carrera y seleccionamos al azar 50 de éstos estudiantes, ¿qué probabilidad hay de que al menos 20 de ellos encuentre trabajo el primer año?

107) En las elecciones a decano de cierta facultad se presentaron dos candidatos: A y B. El resultado de la votación fue del 60% para A y del 40% para B. Si antes de la elección se hizo una encuesta a 36 votantes, ¿cuál habría sido la probabilidad de acertar al gana-dor?

108) Por estudios anteriores, se sabe que, en cierta ciudad, la probabilidad de que un re-cién nacido sea niño es 0,515. Encuentra la probabilidad de que en los próximos 200 na-cimientos en dicha ciudad: a) menos del 40% sean niños b) entre el 48% y el 52% sean niños.

109) Al acto de presentación de ciertas oposiciones asistió el 65% de los candidatos. Si se hubiesen tomados, elegidos al azar, 81 opositores, ¿cuál es la probabilidad de que se presenten menos de 55?



110) El 40% de los ciudadanos de cierta región se opone a la construcción de una presa. Si se pregunta a 60 personas de esa región, ¿qué probabilidad hay de que ganen los que se oponen?

-------------------------------------------------------------------------------------------------------- CLASE 14: Intervalos de probabilidad para medias muestrales y proporciones 111) Sabemos que las bolsas de azúcar producidas por una máquina tienen una media de

500 gr. y una desviación típica de 35 gr. Dichas bolsas se empaquetan en cajas de 100 unidades. a) ¿Cómo se distribuyen las medias de los pesos de las bolsas de cada ca-ja? b) Halla los intervalos de probabilidad al 90 %, 95 % y 99 % correspondientes a los pesos medios de las bolsas en cada caja.

112) Las estaturas, en cm., de los soldados de un reemplazo es una población normal N(173 , 6). Las guardias en un regimiento están formadas por 12 soldados. Suponiendo que se escogen al azar, halla el intervalo en el que estén comprendidos el 95 % de las es-taturas medias de los que forman las guardias.

113) Una máquina produce tornillos. Se sabe que el 5 % de ellos son defectuosos. Se em-paquetan en cajas de 400. a) ¿Cómo se distribuye la proporción de tornillos defectuo-sos en las cajas? b) Encuentra un intervalo en el cual se encuentre el 90 % de las proporciones de tornillos defectuosos. c) Encuentra un intervalo en el que se encuen-tre el 99 % de las proporciones de tornillos defectuosos en las cajas.

114) Supongamos que el 15 % de los jóvenes entre 18 y 25 años son miopes. a) ¿Cómo se distribuye la proporción de jóvenes miopes en muestras de 40 individuos? b) Halla el intervalo de probabilidad de las proporciones muestrales correspondientes al 80 %.

115) Si se sabe que la distribución muestral de medias para muestras de tamaño 36 tiene de varianza 8, ¿cuál será la desviación típica de la población original?

116) Para una población de distribución normal de media 5,5 y de 2,04 de desviación típica, halla los intervalos característicos de muestras de tamaño 36 para un nivel de confianza del: a) 75,4% b) 86,64%

117) En una población de distribución normal de media 5,3 y desviación típica de 0,8, for-mamos muestras de tamaño 49. Encuentra los intervalos característicos con una confian-za del: a) 51,6% b) 76,2% c) 90,9%

118) Una máquina fabrica piezas de precisión con un peso medio de 150 gramos y una des-viación típica de 20 gramos. Calcula la probabilidad de que una muestra de 80 piezas ele-gidas entre las fabricadas tenga un peso medio de más de 153 gr.

119) La estatura de los jóvenes varones de una ciudad sigue una distribución normal . Sa-bemos que el 90 % de las medias de las muestras de 81 jóvenes están en el intervalo de probabilidad (173,4 , 175,8). Halla los valores de y de .

120) En cierta población, la proporción de personas con video es de 0,7. Forma los interva-los característicos: a) para muestras de tamaño 30, con una confianza del 75% b) para muestras de tamaño 49, con una confianza del 90%

121) Supongamos que el 25% de los jóvenes carece de sensibilidad ecológica. Calcula el intervalo de probabilidad al 99% de insensibles en muestras de tamaño 100.

------------------------------------------------------------------------------------------------ CLASE 15: Intervalos de confianza para medias y proporciones 122) Para estimar la media de una variable aleatoria X , que se distribuye según una nor-

mal cuya desviación típica es 2,5 , se toma una muestra de tamaño 100, siendo su media 4,5. Obtén un intervalo de confianza con un nivel de confianza del 95 %.



123) El consumo de cierto producto sigue una distribución normal con varianza 300. A partir de una muestra de tamaño 25 se ha obtenido una media muestral igual a 180. Halla un intervalo de confianza al 95 % para la media de consumo.

124) Se quiere conocer la permanencia media de pacientes en un hospital. Se tienen datos

referentes a la estancia, en días, de una muestra de 800 pacientes, de donde se ha sacado que su media es de 8,1 días y su desviación típica es de 9 días. Se pide obtener un inter-valo de confianza del 95 % para la estancia media.

125) Se quiere estimar la nota media de un test para aplicar a los alumnos de Biología a partir de una muestra de 30 alumnos. Se sabe que, en la muestra, la media es de 22,5 y la desviación típica es de 5,8. Para un 5 % de riesgo, ¿cuál es el intervalo de confianza?

126) Las estaturas de una muestra aleatoria de 50 estudiantes tienen una media de 174,5 cm. Se conoce que la desviación típica de la variable estatura en la población es de 6,9 cm. Calcula un intervalo de confianza al 95 % para la estatura media de todos los estu-diantes.

127) Las medidas de los diámetros de una muestra aleatoria de 200 bolas de rodamientos, producidas por una maquina en una semana, tienen una media de 0,824 cm. y una desviación típica de 0,042 cm. Halla el intervalo de confianza al 95 % para el diámetro medio de to-das las bolas.

128) Se sospecha que el número de unidades que contiene cada dosis de un medicamento no llegan a las 10.000 que se indican en el envase. El laboratorio que lo fabrica afirma que el contenido medio de la dosis es de 10.000 unidades. Para comprobarlo, tomamos al azar 100 dosis y determinamos el número de unidades de cada una, obteniendo una media de 9940 unidades y una desviación típica de 120 unidades. Si suponemos que la distribución del número de unidades en la población es normal, ¿qué podemos decir acerca de la afir-mación del laboratorio para un nivel de confianza del 99 %?.

129) En una encuesta realizada a 50 personas, se ha encontrado que la proporción de una determinada característica es de 0,25. Determina el intervalo de confianza, con un nivel de confianza del 95 %, para la proporción de la misma característica de la población, su-puesta muy grande.

130) En una encuesta realizada sobre la prueba de selectividad, de 600 alumnos de 2º de bachillerato, 480 se han declarado en contra de la misma. Partiendo de ésta encuesta, ¿entre que porcentajes de alumnos se encuentran los contrarios a la prueba de selectivi-dad con un nivel de confianza del 95 %?.

131) Se realizó una encuesta a 350 familias preguntando si poseían ordenador en casa, encontrándose que el 75 % de ellas lo poseían. Estima la proporción real de familias que disponen de ordenador con un nivel de confianza del 95 %.

132) El peso medio de una muestra de 100 recién nacidos es 3200 gramos. Sabiendo que la desviación típica de los pesos de la población de recién nacidos es de 150 gr , halla el in-tervalo de confianza para la media poblacional para una confianza del 95%

133) Para una muestra de tamaño 81 de alumnas de 2º de bachillerato se obtuvo una esta-tura media de 167 cm. Si por trabajos anteriores se sabe que la desviación típica de la al-tura de la población de chicas de 2º de bachillerato es de 8 cm, construye los intervalos de confianza para la estatura media de la población: a) al 90% b) al 95%

134) El nivel de colesterol para una muestra de 144 personas mayores de 60 años sigue una media de 235, con desviación típica de 45. ¿Se puede admitir que la media de colesterol de esa población es de 225, con una confianza del 95%?



135) Una investigación examina los gastos de consumo de una muestra de 64 familias espa-ñolas elegidas al azar. La media muestral es de 7200 € y la desviación típica es de 1200 €. Construye un intervalo de confianza, al 95%, para todas las familias españolas.

136) Los murciélagos, al volar, perciben los objetos emitiendo agudos chillidos y escuchan-do el eco. Para determinar la distancia a la que localizan los objetos, se toman 32 murcié-lagos y se les suelta en una zona con un solo obstáculo. Se observó que la distancia media de viraje fue de 6,5 m con una desviación típica de 0,5 m. Forma el intervalo de confianza para la distancia de viraje de la población de murciélagos, con una significación del 95%.

137) En una factoría se quiere conocer el número de horas perdidas por los empleados debidas al retraso o a salidas adelantadas al horario laboral. Para ello se realiza un mues-treo entre 60 de los empleados, encontrando que el número medio de horas al mes perdi-das es de 8,3 con una desviación típica de 1,2 h. Averigua el intervalo de horas medias perdidas al mes en toda la empresa, con una confianza del 95%

138) En una empresa láctea, el peso X de las botellas de leche vacías es una variable alea-toria que sigue una distribución normal de media gramos y desviación típica de 5 gramos. Se extrae una muestra aleatoria de tamaño 20, cuya media resulta ser de 18 gramos. ¿Con qué confianza se puede afirmar que la media poblacional se encuentra entre 16 y 20 gramos?.

139) Para estimar el peso medio de las chicas de 16 años de una ciudad, se toma una mues-tra aleatoria de 100 de ellas. Se obtienen los siguientes parámetros en la muestra: media = 52,5 kg.; desviación típica = 5,3 kg. Se realiza la afirmación siguiente: “El peso medio de las chicas de 16 años de ésta ciudad está entre 51 y 54 kg. ¿Con qué nivel de confian-za se hace ésta afirmación?

140) Con una muestra de 500 individuos hemos estimado, con un nivel de confianza del 90 %, que la estatura media de los soldados de cierto ejército está entre 174,3 cm. y 175,1 cm. a) Si la desviación típica de la población era desconocida, averigua la media y la desviación típica de la muestra b) ¿Cuál sería el intervalo si la muestra fuera de ta-maño 125 y mantuviéramos el mismo nivel de confianza?

141) Determina el intervalo de confianza al 95% para la proporción poblacional de fumado-res entre los jóvenes menores de 21 años, a partir de una muestra de tamaño 900, siendo la proporción de fumadores en la encuesta de 0,3

142) En 1995, un informe de una entidad bancaria afirmaba, a partir de una muestra de tamaño 1200, que el 65% de las familias españolas tenía dificultades económicas para lle-gar a fin de mes. Construye el intervalo de confianza al 95% para la totalidad de las fami-lias españolas.

143) En un instituto, de los 250 alumnos/as de bachillerato, 180 de ellos/as eligen la reli-gión católica como asignatura optativa. En el supuesto de que esos alumnos/as sean re-presentativos de su ciudad, determina el intervalo de confianza al 99% para la proporción de alumnos/as que eligen esa opción en toda la ciudad.

144) En una muestra tomada al azar, de 400 personas se encontraron 85 que no tenían sensibilidad ecológica. Calcula el intervalo de confianza al 99% para la proporción de in-sensibles en toda la población.

145) En las elecciones a decano de una facultad se presentaron dos candidatos, A y B. El resultado de la votación fue del 55% para A y del 45% para B. Si antes de la elección se hizo una encuesta a 60 votantes, resultando 27 a favor de A y 33 a favor de B, ¿podría haberse aventurado, con una confianza del 99% , que B ganaría las elecciones?



146) Una asociación ecologista se opone a la construcción de una presa aduciendo que la mayor parte de los habitantes de la zona se oponen también a su construcción. Para com-probar tal opinión, se realiza un estudio preguntando a 400 ciudadanos. De ellos, 220 es-tán en contra de la presa. Para un nivel de confianza del 95%, ¿podría asegurarse que la mayoría de los habitantes de la zona se oponen a esa construcción?

-------------------------------------------------------------------------------------------------------- CLASE 16:. Error y tamaño de la muestra 147) En una fábrica de 8.700 empleados, el 56 % está a favor de hacer horas extraordina-rias. Si se toma una muestra de 100 trabajadores, ¿cuál es el error máximo admisible con un nivel de confianza del 95 %? 148) ¿Cuál será el tamaño de la muestra que extraeremos de una población en la que se desea estimar la nota media de una asignatura con una precisión de un punto, con un riesgo del 5 %, sabiendo por estudios anteriores que la varianza poblacional es de 8,54?. 149) Se sabe que la desviación típica del peso de los individuos de una población es 6 kg. Calcula el tamaño de la muestra que se ha de considerar para, con un nivel de confianza del 95 %, estimar el peso medio de los individuos de la población con un error inferior a 1 kg. 150) La duración de las bombillas fabricadas por una empresa sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica de 50 horas. Para estimar la duración se experi-menta con una muestra de tamaño n . Calcula el valor de n para que, con un nivel de con-fianza del 95 %, se consiga un error en la estimación inferior a 5 horas. 151) La edad media de esperanza de vida de una población es de 50 años, con una desvia-ción típica de 10 años. Una compañía de seguros quiere determinar el número de individuos de una muestra para que la estimación difiera del valor 50 en menos del 2 % de éste valor, tomando como nivel de confianza el 95 %. Calcula el tamaño de dicha muestra. 152) La edad, en años, de las personas de una población se distribuye normalmente con me-dia desconocida y varianza 4. ¿Cuál es el tamaño muestral a partir del cual la edad media de la población difiere de la media muestral en menos de un año con una confianza del: a) 90 % b) 99 %? 153) ¿De qué tamaño conviene tomar la muestra de una línea de producción para tener una confianza del 95 % de que la proporción estimada no difiere de la verdadera en más de un 4 %?. Se sabe por estudios anteriores, que la proporción de objetos defectuosos es del or-den de 0,05. 154) Una empresa dedicada a la venta de palomitas compra el maíz directamente a los agri-cultores. Antes de efectuar la compra, un agente de la compañía quiere estimar la probabili-dad p de que el grano de maíz se abra al freírlo. ¿Cuántos granos deberá examinar para estar seguro al nivel del 90 % de que el error máximo que comete es de 0,001? Antes ha realizado un estudio sobre una pequeña muestra de 60 granos y obtuvo que 48 se abrían. 155) Un sociólogo está estudiando la duración del noviazgo en una extensa área rural. Se tomó una muestra aleatoria formada por 56 familias y se obtuvo que la duración media del noviazgo fue de 3,4 años, con una desviación típica de 1,2 años. a) Halla un intervalo de confianza para la duración media del noviazgo para la población de familias en dicha área ru-ral con un nivel de confianza al 85 %. b) Repite el apartado anterior para niveles del 95 % y del 99 % 156) Mediante una muestra de 100 individuos estimamos la estatura de un colectivo de personas con un nivel de confianza del 95 %. El error máximo admisible obtenido es de 1,274. ¿Cuál es la desviación típica de la muestra obtenida?



157) Supongamos una población que sigue una distribución N( , 8 ) y de ella se extrae una muestra aleatoria. Si se sabe que la probabilidad de cometer un error de 3,92 o más al estimar la media de la población mediante la media muestral es de 0,05, ¿qué tamaño debe tener la muestra? 158) Para 96 familias españolas elegidas al azar, se ha determinado que la televisión per-manece encendida en la casa una media de 217 minutos diarios, con una desviación típica de 40 minutos. a) Para una fiabilidad del 95% , ¿qué error se asume cuando se da por bueno ese dato para el total de las familias españolas? b) ¿Qué tamaño muestral sería necesa-rio para reducir ese error a la mitad? 159) En una muestra de tamaño 81 de alumnos de 2º de bachillerato se obtuvo una media de 167 cm y una desviación típica de 8 cm. a) ¿Qué error se admite en los intervalos de confianza al 90% y al 95%? b) ¿Qué tamaño muestral sería necesario en cada caso ante-rior si se admite un error de 1 cm.? 160) Un granjero quiere conocer el peso ganado por sus pollos tras un período de 15 días con una nueva alimentación. Estima el número de pollos que habrá de pesar para conocer el peso medio ganado por cada pollo, con un error máximo de 50 gramos y una confianza del 90%, si por estudios anteriores sobre nutrición se sabe que la desviación típica del aumento de pesos es de 150 gramos. 161) En cierta población, el coeficiente de inteligencia tiene una desviación típica de 22 puntos. ¿Qué tamaño debe tener una muestra para que el intervalo de confianza de la media, al 95%, tenga un error máximo de 3 puntos? 162) En una encuesta telefónica realizada a 70 familias, 15 dicen que ven cierto programa televisivo. ¿Cuál es la proporción en el conjunto de familias con una confianza del 95%? -------------------------------------------------------------------------------------------------- CLASE 17:. Contraste de hipótesis para la media 163) Se cree que el cociente intelectual de los estudiantes de una universidad es 113, con una desviación típica de 7. Para contrastar la hipótesis, se extrae una muestra de 180 estu-diantes y se obtiene en ellos un cociente intelectual medio de 115. ¿Podemos aceptar la hipó-tesis con un nivel de significación del 5%? 164) En una población en la que la desviación típica es 29, contrasta la hipótesis de que la media es 347, con un nivel de significación del 1 % mediante una muestra de 200 individuos en la que se obtiene que la media muestral es 352 165) El peso de los pollos de una granja es normal N(2.6 , 0.5) en kg. Se experimenta un nuevo tipo de alimentación con 50 crías. Cuando se hacen adultos, se les pesa y se obtiene una media de 2,78 kg. Vamos a contrastar con un nivel de significación del 1% la hipótesis de que el peso medio de la población no aumenta. 166) En una población para la cual = 29, contrasta la hipótesis de que ≤ 347 con un nivel de significación del 1 % mediante una muestra de 200 individuos en la que se obtiene x = 352 167) Pablo y Virginia quieren contrastar si el consumo medio en teléfono móvil entre los estudiantes es, como máximo, de 10 € frente a si es mayor. Pablo, en una muestra de 36 estudiantes, obtuvo una media de 10,41 € con una desviación típica de 2 €. Virginia obtuvo, en una muestra de 49 estudiantes, una media de 10,39 € con una desviación típica de 2 €. Con una significación del 10 %, ¿Qué decisiones toman Pablo y Virginia?



168) Un fabricante de lámparas eléctricas está ensayando un nuevo método de producción que se considerará aceptable si las lámparas obtenidas por este método dan lugar a una po-blación normal de duración media 2400 horas con una desviación típica de 300 horas. Se toma una muestra de 100 lámparas producidas por éste método, y esta muestra da una dura-ción media de 2300 horas. ¿Se puede aceptar la hipótesis de validez del nuevo proceso de fabricación con riesgo del 5 %? 169) Se ha comprobado que el tiempo de espera, en minutos, hasta ser atendido en cierto servicio de urgencias, sigue un modelo normal de probabilidad. A partir de una muestra de 100 personas, se ha calculado un tiempo medio de espera de 14,25 minutos y una desviación típica de 2,5 minutos. a) ¿Podríamos afirmar con un nivel de significación del 5 % que el tiempo de espera no es de 15 minutos? b) ¿Qué podríamos deducir si el nivel de signi-ficación hubiese sido del 0,1 %? c) ¿Existe contradicción entre ambas situaciones? 170) La duración de las bombillas de 100 vatios que fabrica una empresa sigue una distri-bución normal con = 120 horas. Su vida media está garantizada durante un mínimo de 800 horas, Se escoge al azar una muestra de 50 bombillas y, después de comprobarlas, se obtie-ne una vida media de 750 horas. Con un nivel de significación de 0,01, ¿habría que rechazar el lote por no cumplir la garantía? 171) Una encuesta realizada a 64 empleados de una fábrica concluyó que el tiempo medio de duración de un empleo en la misma era de 6,5 años con una = 4. ¿Sirve esta afirmación para aceptar , con una significación del 5 %, que el tiempo medio de empleo en esa fábrica es menor o igual que 6 años? 172) Se sabe que la longitud de las piezas producidas por una máquina sigue una distribu-ción normal N(µ , 0.2) Si una muestra de 25 piezas dio una longitud media de 12,1 cm, ¿se puede aceptar que la longitud media de la población es de 12 cm, con una confianza del 94 %? 173) Una muestra de 100 varones adultos de una población dio una estatura media de 171 cm. ¿Se puede aceptar, con significación 0,01, que la estatura media de todos los varones adultos de esa población no sobrepasa los 170 cm, sabiendo que la desviación típica poblacio-nal es de 10 cm? 174) Los resultados obtenidos por 500 niños en cierto test psicológico reflejan una pun-tuación media de 59 puntos y una desviación típica de 20 puntos. ¿Se puede aceptar, con significación de 0,1, que la puntuación media obtenida por niños cualesquiera será de, al me-nos, 60 puntos? 175) En una muestra de 1000 bombillas de cierta marca, se ha observado una duración me-dia de 798 horas. ¿Se puede aceptar, con nivel de significación 0,1, que la duración media de todas las bombillas de esa marca es de 800 horas?. Se conoce que la desviación típica pobla-cional es de 50 horas 176) Encuestados 75 alumnos de cierto centro escolar acerca de su paga semanal, se dedu-jo que la cantidad media recibida era de 7,75 €, con una desviación típica de 0,25 €. ¿Se puede aceptar, con nivel de significación de 0,05, que la paga semanal de los alumnos de ese centro no sobrepasa los 7,72 €? 177) Se sabe que el cociente intelectual de los alumnos de cierta universidad sigue una dis-tribución N(µ , 15). Si en una muestra de 50 alumnos se observó un cociente intelectual de 116 puntos, ¿se puede aceptar, con nivel de significación de 0,01, que µ ≥ 125? 178) El tiempo en minutos invertido por los trabajadores de una localidad en desplazarse desde su domicilio hasta su centro de trabajo sigue una distribución N( µ , 20). Si en una muestra de 100 trabajadores de esa localidad se observó un tiempo medio de 39 minutos, ¿se puede aceptar, con nivel de significación del 10 %, que µ = 35? ¿Y con nivel de significa-ción del 1 %?



179) Se sabe que el contenido de ciertos botes de conserva sigue una distribución con des-viación típica de 25 gramos. Si, examinados 500 de esos botes, se observó un contenido me-dio de 998 gramos, ¿se puede aceptar que el contenido medio de los botes es de 1 kg con significación de 0,05? 180) Para estudiar el contenido de azúcar de ciertos dulces, se tomó una muestra de 100 de ellos. Si se observó un contenido medio de azúcar de 10 gr y una desviación típica mues-tral de 1 gr, ¿se puede aceptar, con nivel de significación del 3 %, que el contenido medio de azúcar de esos dulces no supera los 9,5 gr? -------------------------------------------------------------------------------------------------------- CLASE 18:. Contraste de hipótesis para proporciones 181) A unas elecciones se presentan tres partidos, A, B y C. Un comentarista político afirma que los electores se reparten del siguiente modo: a favor de A, el 40 %, a favor de B, el 40 % o más y a favor de C, el 40 % o menos. Se pretende contrastar estas hipótesis mediante una muestra de 250 electores, en la que 132 están a favor de A, 88 a favor de B y 30 a favor de C. Contrastar las hipótesis con una significación del 5 % 182) Respecto al lanzamiento de cierto dado, A opina que P(6) = 0,15, B opina que P(6) ≤ 0,15 y C opina que P(6) ≥ 0,15. Contrasta las tres hipótesis con un nivel de significación de 0,10, sabiendo que se arrojó el dado 1000 veces y se obtuvo 183 veces el “6”. 183) Reflexionemos sobre cada una de las siguientes experiencias: a) Lanzamos una mone-da 10 veces y obtenemos seis caras b) Lanzamos una moneda 100 veces y obtenemos 60 caras c) Lanzamos una moneda 1000 veces y obtenemos 600 caras.. Con una signifi-cación del 1 %, ¿podemos decir que alguna de las monedas es incorrecta? 184) En las últimas votaciones, hace un año, el 53 % de los votantes de un pueblo estaban a favor del alcalde. Se acaba de realizar una encuesta a 360 personas elegidas al azar y 176 de ellas estaban a favor del alcalde. ¿Se puede afirmar, con un nivel de significación del 10 %, que el alcalde no pierde popularidad? 185) Un dentista afirma que el 40 % de los niños de 10 años presentan indicios de caries dental. Tomada una muestra de 100 niños, se observó que 30 de ellos presentaban indicios de caries. Comprueba, con una significación del 5 %, si el resultado permite rechazar la afirma-ción del dentista. 186) Una empresa de productos farmacéuticos afirma en su publicidad que uno de sus me-dicamentos reduce considerablemente los síntomas de la alergia primaveral en el 90 % de la población. Una asociación de consumidores ha experimentado dicho fármaco en una muestra de 200 socios de la misma, obteniendo el resultado indicado en la publicidad en 170 personas. Determina si la asociación de consumidores puede considerar que la afirmación de la empresa es estadísticamente correcta a nivel del 5 % de significación. 187) El 42 % de los escolares suele perder menos de un día de clase a causa de catarros y gripes. Sin embargo, un estudio sobre 1000 escolares revela que en el último curso hubo 450 en tales circunstancias. Las autoridades sanitarias defienden que el porcentaje del 42 % para toda la población se ha mantenido. Contrasta, con una significación del 5 % la hipótesis defendida por las autoridades sanitarias, frente a que el porcentaje ha aumentado como pa-recen indicar los datos. 188) Se afirma que, en una determinada ciudad, al menos el 30 % de las familias poseen ordenador. Se toma una muestra aleatoria de 200 familias de la ciudad y resulta que 50 po-seen ordenador. A un nivel de significación del 5 % , ¿hay suficiente evidencia para refutar la afirmación?



189) En el año 2005, un estudio indicaba que un 15 % de los conductores utilizaban el móvil con el vehículo en marcha. Con el fin de investigar la efectividad de las campañas que se han realizado para reducir esos hábitos, se ha hecho una encuesta a 120 conductores, de los cua-les 12 hacían uso del móvil. Plantea un test para contrastar que las campañas si han cumplido sus objetivos frente a que no lo han hecho. ¿A que conclusión se llega con un nivel de signi-ficación del 4 %? 190) En una muestra aleatoria de 225 habitantes de una población hay 18 que hablan ale-mán. A un nivel de significación de 0,05, ¿hay suficiente evidencia para refutar la afirma-ción de que al menos el 10 % de los habitantes de la población hablan alemán? 191) Se trabaja con la hipótesis de que uno de cada diez varones manifiesta algún tipo de daltonismo. Elegidos 400 varones, se detectan 50 daltónicos. Con un nivel de significación del 10 %, ¿se puede aceptar la hipótesis de partida? 192) Hace 10 años, la proporción de personas que leían cierto periódico era del 35 %. Para comprobar si dicha proporción se mantiene, tomamos una muestra de 225 personas de las cuales 65 leen dicho periódico. Con un 5 % de significación, ¿podemos aceptar que la pro-porción de personas que leen dicho periódico es mayor o igual al 35 %? 193) Hace 10 años, el 25 % de los partos fueron de madres de más de 33 años. Actualmen-te, se ha tomado una muestra de 120 partos de los cuales 33 fueron de madre de más de 33 años. Con una significación del 10 %, ¿se puede aceptar que la proporción de partos de ma-dres de más de 33 años sigue siendo como mucho del 25 %? 194) En las últimas elecciones celebradas hace un año, el 52 % de los votantes de una ciu-dad estaban a favor del alcalde. Una encuesta realizad recientemente indica que de 350 ciudadanos elegidos al azar, 198 están a favor del alcalde. ¿Se puede afirmar con un nivel de confianza del 90 % que el alcalde gana popularidad? 195) La empresa de transportes urgentes El Rápido afirma en su publicidad que al menos el 70 % de sus envíos llega al día siguiente a su destino. Para contrastar la calidad de éste ser-vicio, la asociación de consumidores selecciona aleatoriamente 100 envíos y observa que 39 no llegaron al día siguiente a su destino. Con una significación del 1 %, ¿se puede aceptar la afirmación de la empresa? 196) El Ayuntamiento de una ciudad hace un estudio en fin de semana y afirma que el 60 % de los jóvenes asiste a discotecas. Una plataforma juvenil afirma que el porcentaje de jóve-nes es menor. Para verlo, se hace una encuesta a 600 jóvenes y se obtiene que 330 van a discotecas. ¿Se puede aceptar la afirmación del Ayuntamiento si se toma un nivel de con-fianza del 95 %? 197) Una marca de nueces afirma que, como máximo, el 6 % de las nueces están vacías. Se eligieron 300 nueces al azar y se detectaron 21 vacías. Con un nivel de significación del 1 %, ¿se puede aceptar la afirmación de la marca? 198) En los últimos meses, una cadena comercial ha intentado potenciar con precios más atractivos y publicidad la venta de productos con la marca genérica de la cadena, frente a los de otras marcas más conocidas por los consumidores. Antes, un 15 % de los productos que vendía eran de la marca de la cadena. Recientemente, en una muestra de 200 productos ven-didos, 36 eran de la cadena. Plantea un test para contrastar que las medidas no han surtido efecto frente a que si lo han hecho, como parecen indicar los datos. ¿A que conclusión se llega con una significación del 10 %? 199) Un periódico publica que en las próximas elecciones cierto partido político obtendrá el 58 % de los votos. Si se mantiene la intención de voto, y sabiendo que encuestadas 2000 personas, 1120 manifestaron que votarían a dicho partido, ¿se puede aceptar esa afirmación con una significación de 0,1?



200) Un fabricante asegura que sus productos son defectuosos, como máximo, en un 1 % de los casos. Si revisamos 500 de esos productos, vemos que 8 de ellos eran defectuosos. ¿Se puede aceptar, con una significación de 0,05, que la afirmación del fabricante es cierta? 201) Un laboratorio farmacéutico promociona un nuevo medicamento contra los síntomas del resfriado afirmando que es eficaz, al menos, en el 98 % de los casos. Si en una muestra de 60 enfermos se ha manifestado ineficaz en cinco casos, ¿se puede aceptar, con nivel de significación 0,01, la publicidad del laboratorio farmacéutico? 202) En 1000 lanzamientos de una moneda, obtenemos 465 caras. ¿Podemos aceptar, con una significación de 0,05, que la moneda no está trucada? ¿Y con nivel de significación de 0,01? 203) Un profesor afirma que el fracaso escolar entre sus alumnos no sobrepasa el 20 %. Si en una muestra de 50 de sus alumnos se detectó fracaso escolar en el 25 % de los casos, ¿es aceptable la afirmación del profesor, con un nivel de significación de 0,03? 204) Un político afirma que, al menos, un 75 % de los ciudadanos está a favor de cierta ley. Si en una encuesta realizada a 200 personas, 125 de ellas se manifiestan favorables a la ley, ¿es aceptable la afirmación del político, con nivel de significación de 0,02? 205) El director de un centro escolar afirma que al 60 % de sus alumnos les gusta el fút-bol. Para estudiar la veracidad de la afirmación se toma una muestra de 75 alumnos de ese centro y se obtiene que les gusta el fútbol a 40 de ellos. ¿Se puede aceptar, con una signifi-cación de 0,05, la afirmación del director? 206) El alcalde de una población desea conocer hasta que punto sus conciudadanos están satisfechos con cierto servicio público. Al encuestar a 500 ciudadanos, 415 de ellos se ma-nifiestan satisfechos. ¿Se pude aceptar, con nivel de significación del 1 %, que la proporción de ciudadanos satisfechos es de, al menos, un 85 %?

5EjProba_11-12_.pdf

Documents

Transcript of 5EjProba_11-12_.pdf