5. TEOREMAS DE MOHR

Los Teoremas de Mohr representan una valiosa herramienta para el cálculo de deformaciones.

1er. Teorema:

" El ángulo comprendido entre las tangentes en dos puntos cualesquiera de la línea elástica, es igual al área total del trozo correspondiente del diagrama de momentos flectores, dividido por el módulo de rigidez " .

2º. Teorema:

" La ordenada de un punto (2) de la elástica, respecto a la tangente en otro punto (1) , es igual al momento estático de la superficie de momentos flectores, comprendida entre las ordenadas de ambos puntos, respecto al punto primero, dividido por el módulo de rigidez E.I ".

En la figura indicamos en la sección 2, mediante una línea vertical (y) el valor calculado

mediante el 2º T. de Mohr, tomando como referencia la sección 1, en donde hemos dibujado la

tangente, así como el ángulo ( ) , girado entre las secciones 1 y 2, calculado utilizando el 1er. T.

de Mohr.

6. TEOREMA DE BARRÉ

Este teorema es utilizado para la determinación de los flectores máximos que se producen en

vigas sometidas a cargas móviles:

" El momento flector máximo que se origina en una viga sometida a un tren de cargas móviles, se encuentra bajo una rueda cuando esta rueda y la resultante total del tren de cargas equidista del centro de la viga "

7. TEOREMA DE CLAPEYRON

Este teorema es utilizado para establecer una relación entre el trabajo exterior de las cargas y la

energía interna de deformación de los sólidos elásticos y puede enunciarse como sigue:

" La energía de deformación almacenada en un cuerpo elástico es igual a la mitad de la suma de los productos de las fuerzas exteriores por los correspondientes desplazamientos ".El teorema de Clapeyron es muy importante por la posibidad que aporta de calcular las energías de deformación internas de los sólidos elásticos en función de las solicitaciones exteriores (axiles, cortantes, flectores y torsores) y además está en la base del teorema de Maxwell.

4. MÉTODOS

Vamos a referir de forma muy resumida un conjunto de métodos que nos van a permitir calcular las estructuras.

1. MÉTODO DE LAS ÁREAS DE MOMENTO

El método de las " áreas de momento " se debe a Charles E. Greene - profesor de la Universidad de Michigan - quien lo expuso en 1873.

2. MÉTODO DE LA VIGA CONJUGADA

El método de la " viga conjugada " se debe a Otto Mohr quien lo presentó en 1868. Es de gran importancia para la determinación de deformaciones, por la operatividad que introduce este método.

3. MÉTODO DE LA ESTRUCTURA CONJUGADA

Fundamentado en el método de la " viga conjugada " se aplica a las estructuras planas.

4. MÉTODO DE MULLER-BRESLAU

El método de Muller-Breslau presenta utilidad para el análisis de estructuras porticadas de grado de hiperestaticidad máxima 3. Utiliza el concepto de "centro elástico" que expuso Carl Culman en 1866 en sus trabajos sobre estática gráfica.

5. MÉTODO DE RIEGER

El método de Rieger consiste en dividir la estructura en pórticos biarticulados y plantear para cada uno de ellos una " ecuación peculiar " expresando la continuidad del entramado mediante las ecuaciones de la estática y otras de deformación que expresen la continuidad de las elásticas.

6. MÉTODOS DE RITTER

W. Ritter introduce el concepto de " masa elástica " para el análisis de estructuras de nudos rígidos hiperestáticas. Se establece así un método de cálculo de estructuras hiperestáticas basado en el momento que hay que aplicar en el extremo de una barra para girar un ángulo unidad, estando el otro extremo de la barra en las condiciones que corresponde a la estructura.

7. MÉTODO DE LOS PUNTOS FIJOS

Es un método gráfico desarrollado por Suter y Strassner en 1916 y está basado en la determinación de los "puntos fijos" en cada tramo de una viga continua.

8. MÉTODO DE CROSS

Es un método desarrollado por Cross y Morgan, profesores de la Universidad de Illinois, que permite el cálculo de estructuras complejas mediante un método muy operativo.Establece un método de aproximaciones sucesivas que permite definir los diagramas de flectores de las estructuras de pórticos múltiples de nudos rígidos y sobre la base de ellos determinar la validez de los dimensionamientos, establecidos en la estructura. La importancia del método de Cross de deriva de que es relativamente sencillo y, además, aporta un cierto sentido físico e intuitivo, lo que permite evaluar incluso el propio proceso de cálculo.Hasta la aparición de este método, publicado en 1932, el estudio de algunas estructuras que se pueden realizar por Cross sólo eran calculables mediante procedimientos empíricos y aproximados.

9. MÉTODO DE ANALOGÍA DE LA COLUMNA

Es un método que se denomina también de la Columna Equivalente y que fue desarrollado por Hardy Cross en 1930 y se basa en plantear la analogía que se produce entre el sistema de

momentos hiperestáticos en una estructura continua y las tensiones en una columna corta y sin peso propio cargada excéntricamente.Se utiliza especialmente para el cálculo de arcos y pórticos sencillos.

10. MÉTODO DE BUTTY

Es un método que se emplea para el análisis de estructuras complicadas. El método consiste en reducir la estructura compleja en otras parciales de resolución más sencilla.

11. MÉTODO DEL DIAGRAMA DE DESPLAZAMIENTOS VIRTUALES

Es un método gráfico para determinar los desplazamientos virtuales en cualquier sistema coplanario con un grado de libertad.Su trazado se basa en el concepto de centro instantáneo de rotación y en la semejanza geométrica entre el reticulado real y la figura formada por los desplazamientos y las fuerzas, de forma que la ecuación de los trabajos virtuales puede considerarse como una ecuación de equilibrio de momentos.

12. MÉTODO DE LOS TRES MOMENTOS

Desarrollado por Clapeyron para el cálculo de las vigas continuas es un método muy operativo e interesante por la forma de aplicación del principio de superposición así como por la introducción de las condiciones de continuidad en la tangente de la elástica.

13. MÉTODO DE LOS NUDOS

Es un método analítico para el cálculo de los axiles en barras en las estructuras isostáticas de nudos articulados con cargas en los nudos que es muy utilizado por su claridad conceptual y la facilidad operatoria del mismo.

14. MÉTODO DE CREMONA

Es un método gráfico que permite el cálculo de los axiles en barras en las estructuras isostáticas de nudos articulados con cargas en los nudos que es muy popular por su facilidad de desarrollo, así como por lo característico que resulta.Actualmente la introducción del cálculo por ordenador ha potenciado los métodos analíticos y arrinconado los métodos gráficos.

15. MÉTODO DE LAS SECCIONES

Para el estudio de estructuras de nudos articulados W. Ritter elaboró otro método que denominamos como Método de las Secciones.El método de las secciones consiste en seccionar una estructura plana isostática de barras articuladas, con cargas puntuales en los nudos, de forma que resulten exclusivamente tres incógnitas (axiles) y plantear las ecuaciones de equilibrio a una parte de la estructura.

16. MÉTODO DE ZIMMERMANN

Es un método gráfico para el análisis de reticulados planos. Su aplicación es menos frecuente que los métodos gráficos anteriormente referidos.

17. MÉTODO DE HENNEBERG

Es un método para el análisis de estructuras planos de nudos articulados de una cierta complejidad y que no pueden resolverse mediante el método de los Nudos, el método de las Secciones ó el método de Cremona, por la existencia de una hiperestaticidad como puede ser una barra superabundante.Consiste fundamentalmente en sustituir las barras hiperabundantes por sistemas de dos fuerzas unitarias iguales pero de sentido contrario.

18. MÉTODO DE OSTENFELD

Es un método que se puede utilizar para el análisis de estructuras aporticadas con vínculos laterales que fue inicialmente expuesto por Alex Bendixen en 1914 y desarrollado posteriormente por Ostenfeld en 1926.

19. MÉTODO DE CONDICIONES DE CONTORNO

Es un método interesante por cuanto relaciona la existencia de vínculos hiperestáticos exteriores con las condiciones de deformación que implican, siendo por tanto un método que ayuda a comprender el comportamiento físico de las estructuras.

20. MÉTODO MATRICIAL

La metodología matricial supone el aprovechamiento de la capacidad operativa del ordenador, de forma que el trabajo matemático de resolución de un sistema de ecuaciones, utilizando los planteamientos de finales del siglo XIX, se traslada al ordenador.Así, un procedimiento matemático que inicialmente era prácticamente inabordable se convierte, por el avance de los ordenadores, en metodología útil y de precisión.La metodología matricial es aplicable a la totalidad de las estructuras planas, superficiales y espaciales de nudos articulados, rígidos o mixtos, razón por la cual es prácticamente imprescidible actualmente.

21. MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

Existe un conjunto de estructuras que matemáticamente no son resolubles mediante una ecuación diferencial integrable ni se puede resolver su integración por métodos numéricos.Es decir que no se puede obtener una ecuación diferencial, bien por que presentan en todas las dimensiones el mismo orden o por la aparición de problemas locales donde se produce un régimen de tensiones totalmente diferente al de una viga apoyada.Para la resolución de estas tipologías estructurales es para lo que es útil el método de los elementos finitos.

El método de los elementos finitos (F.E.M.) aparece recientemente y tiene un basamento en la metodología matricial, en el principio de trabajos virtuales y en el método de condiciones de contorno, presentando un método para el análisis del comportamiento de elementos superficiales y volumétricos.

Su aplicación intenta plantear procedimientos de cálculo para elementos continuos, de forma

que puedan tenerse criterios de análisis en el dimensionamiento de tales elementos

estructurales.

El Método de los Elementos Finitos tiene su origen en las necesidades de la industria aeronáutica, donde los fuselajes y otros elementos resistentes precisan de una optimización de las relaciones resistencia-peso y ello conlleva a formas especiales para cuyo análisis estructural el M.E.F. es fundamental.Así la formulación del M.E.F. puede ser atribuida a los ingenieros de la Boeing : Turner, Clough, Martín y Top en su artículo : " Stiffness and deflection análisis of complex structures " juntamente con Argyris en su publicación: " Energy theorems and structural análisis "Otros autores que destacan en el desarrollo del Método de los Elementos Finitos fueron Melosh, Gallager, Strome y Hurty, aunque será el planteamiento que realiza Zienkiewick-Cheung el que puede considerarse como definitivo por cuanto establece la operatoria del M.E.F. y los fundamentos matemáticos del método.

Las ventajas del método Hardy Cross

Las matemáticas simples

El método Hardy Cross es útil porque se basa sólo en las matemáticas simples, evitando la

necesidad de resolver un sistema de ecuaciones. Sin los métodos de Hardy Cross, los ingenieros

tendrían que resolver los complejos sistemas de ecuaciones con exponentes variables que no

pueden ser resueltos fácilmente con la mano.

Auto corrección

El método Hardy Cross corrige iterativamente por los errores en la estimación inicial utilizado para

resolver el problema. Errores posteriores en el cálculo también se iterativa corregidos. Si el método

se sigue correctamente, el flujo apropiado en cada tubo todavía se puede encontrar si los

pequeños errores matemáticos se hace de forma coherente en el proceso. Mientras los últimos

iteraciones se realizan con atención al detalle, la solución todavía será correcta. De hecho, es

posible dejar intencionadamente fuera de decimales en las primeras iteraciones del método para

ejecutar los cálculos más rápido.

Ejemplo

El método de Hardy Cross se puede utilizar para calcular la distribución del flujo en una red de

tuberías. Consideremos el ejemplo de una simple red de flujo de la tubería se muestra a la

derecha. Para este ejemplo, los flujos de entrada y salida será de 10 litros por segundo.

Consideraremos n ser 2 y la pérdida de carga por unidad de flujo r, y el flujo inicial de adivinar para

cada tubo de la siguiente manera:

Resolvemos la red por el método de los jefes de equilibrio, siguiendo los pasos indicados en el

proceso de método anterior.

1 - Las aproximaciones iniciales están configurados de modo que la continuidad del flujo se

mantiene en cada unión en la red.

2 - Los bucles del sistema se identifican como bucle de 1-2-3 y 2-3-4 bucle.

3 - Las pérdidas de carga en cada tubería se determinan.

Para bucle 1-2-3, la suma de las pérdidas de carga en sentido horario es 25 y la suma de las

pérdidas de carga en sentido antihorario es 125.

Para bucle 2-3-4, la suma de las pérdidas de carga en sentido horario es 125 y la suma de las

pérdidas de carga en sentido antihorario es 25.

4 - La pérdida de carga total en el circuito de las agujas del reloj es 1-2-3. La pérdida de carga total

en el circuito de las agujas del reloj es 2-3-4.

5 - El valor de se determina para cada bucle. Se encontró que 60 en ambos bucles, como se

muestra en la figura.

6 - El cambio en el flujo se encuentra para cada bucle utilizando la ecuación. Para bucle 1-2-3, el

cambio en el flujo es igual a y para el bucle 2-3-4 el cambio en el flujo es igual a.

7 - El cambio en el flujo se aplica a través de los bucles. Para bucle 1-2-3, el cambio en el flujo es

negativo por lo que su valor absoluto se aplica en la dirección de las agujas del reloj. Para bucle 2-

3-4, el cambio en el flujo es positivo por lo que su valor absoluto se aplica en el sentido contrario a

las agujas del reloj. Para tubos de 2-4, que está en ambos bucles, los cambios en el flujo son

acumulativos.

El proceso entonces se repite desde el paso 3 hasta que el cambio en el flujo llega a ser

suficientemente pequeña o va a cero.

3 - La pérdida total de plomo en Loop 1-2-3 es

Tenga en cuenta que la pérdida de carga hacia la derecha es igual a la pérdida de carga en sentido

antihorario. Esto significa que el flujo en este bucle está equilibrado y las tasas de flujo son

correctas. La pérdida de carga total en el circuito de 2-3-4 también estará equilibrado.

En este caso, el método se ha encontrado la solución correcta en una iteración. Para otras redes,

puede tomar múltiples iteraciones hasta que los flujos en las tuberías son correctos o

aproximadamente correcta

Historia

En 1930, Hardy Cross publicó un artículo titulado "Análisis de cuadros continuos mediante la

distribución de momentos fijo-End" en el que se describe el método de distribución de momentos,

lo que cambiaría la forma ingenieros en el campo realizó el análisis estructural. El método de

distribución de momentos se utilizó para determinar las distribuciones momento en estructuras de

hormigón indeterminadas y se dejó para que los ingenieros diseñar de forma segura las estructuras

de hormigón a partir de la década de 1930 a 1960. En noviembre de 1936, la Cruz aplica el mismo

método geométrico para resolver los problemas de distribución de flujo en redes de tuberías, y

publicó un documento titulado "Análisis del flujo en redes de conductos o conductores."

Derivación

El método de Hardy Cross es una aplicación de la continuidad del flujo y la continuidad de potencial

para resolver iterativamente de los flujos en una red de tuberías. En el caso de flujo de la tubería, la

conservación del flujo significa que el flujo es igual a en el flujo de salida en cada unión en la

tubería. Conservación de potencial significa que el total de pérdida de carga direccional a lo largo

de cualquier bucle en el sistema es cero.

Hardy Cross desarrolló dos métodos para la solución de redes de flujo. Cada método se inicia ya

sea mediante el mantenimiento de la continuidad del flujo o potencial, y luego resuelve

iterativamente para el otro.

Supuestos

El método de Hardy Cross asume que el flujo que entra y sale del sistema es conocido y que la

longitud de la tubería, diámetro, rugosidad y otras características clave también son conocidos o

pueden ser asumidas. El método también se supone que se conoce la relación entre el caudal y la

pérdida de carga, pero el método no requiere ninguna relación particular para ser utilizado.

En el caso del flujo de agua a través de tuberías, un número de métodos se han desarrollado para

determinar la relación entre la pérdida de carga y el flujo. El método Hardy Cross permite

cualquiera de estas relaciones que se utilizarán.

La relación general entre la pérdida de carga y el flujo es:

donde r es la pérdida de carga por unidad de flujo y n es el exponente de flujo. En la mayoría de

situaciones de diseño se toman los valores que componen r, tales como longitud de la tubería,

diámetro, y la aspereza, para ser conocida o supuesta y el valor de r se pueden determinar para

cada tubo en la red. Los valores que forman r y el valor de n cambio en función de la relación para

determinar la pérdida de carga. Sin embargo, todas las relaciones son compatibles con el método

de Hardy Cross.

También vale la pena señalar que el método Hardy Cross se puede utilizar para resolver circuitos

simples y otra de flujo como las situaciones. En el caso de circuitos simples,

es equivalente a

.

Al establecer el coeficiente R a R, la tasa de flujo Q a I y el exponente n a 1, el método de Hardy

Cross se puede utilizar para resolver un circuito simple. Sin embargo, debido a que la relación

entre la caída de tensión y la corriente es lineal, el método de Hardy Cross no es necesario y el

circuito se puede resolver utilizando métodos no iterativos.

Método de los jefes de equilibrio

El método de cabezas de equilibrado utiliza una estimación inicial que satisface la continuidad del

flujo en cada unión y luego equilibra los flujos hasta que también se consigue la continuidad de

potencial sobre cada bucle en el sistema.

 Prueba

La siguiente prueba se toma del papel de Hardy Cross, "Análisis del flujo en redes de conductos o

conductores.", Y puede ser verificada por el Programa Nacional de Tecnologías para la Educación

del Agua y la página de Ingeniería de Aguas Residuales, y Fundamentos de Ingeniería de

Sistemas Hidráulicos de Robert J. Houghtalen.

Si la estimación inicial de las tasas de flujo en cada tubería es correcta, el cambio en la cabeza

sobre un bucle en el sistema, sería igual a cero. Sin embargo, si la estimación inicial no es

correcta, entonces el cambio en la cabeza será distinto de cero y un cambio en el flujo, se debe

aplicar. La nueva velocidad de flujo, es la suma de la tasa de flujo de edad y algún cambio en la

tasa de flujo de tal manera que el cambio en la cabeza a través del bucle es cero. La suma del

cambio en la cabeza sobre el nuevo bucle será entonces.

El valor de puede aproximar mediante el desarrollo de Taylor.

Para una pequeña comparada con los términos adicionales desaparecer, dejando a:

Y la solución para

El cambio en el flujo que va a equilibrar la cabeza sobre el bucle se aproxima por. Sin embargo,

esto es sólo una aproximación debido a los términos que fueron ignoradas de la expansión de

Taylor. El cambio en la cabeza a través del bucle puede no ser cero, pero será más pequeño que

el valor inicial. Múltiples iteraciones de la búsqueda de una nueva voluntad aproximada a la

solución correcta.

 Proceso

El método es como sigue:

Adivina los flujos en cada tubo, asegurándose de que el total en el flujo es igual al flujo total a cabo en cada unión. Determinar cada bucle cerrado en el sistema Para cada ciclo, determinar las pérdidas de carga en sentido horario y pérdidas de carga en sentido antihorario. La pérdida de carga en cada tubería se calculan utilizando. Hacia la derecha son las pérdidas de carga de los flujos en la dirección de las agujas del reloj y del mismo modo para el contador de las agujas del reloj. Determinar la pérdida de carga total en el circuito,, restando la pérdida de carga a la izquierda de la pérdida de carga de las agujas del reloj. Para cada ciclo, sin encontrar referencia a la dirección. El cambio en el flujo es igual a. Si el cambio en el flujo es positivo, que se aplican a todos los tubos del bucle en el sentido contrario a las agujas del reloj. Si el cambio en el flujo es negativo, que se aplican a todos los tubos del bucle en la dirección de las agujas del reloj. Continúe desde el paso 3 hasta que el cambio en el flujo está dentro de un intervalo satisfactorio.

Método de equilibrio de los flujos

El método de los flujos de equilibrado utiliza una estimación inicial que satisface la continuidad de

potencial sobre cada bucle y, a continuación equilibra los flujos hasta que también se consigue la

continuidad del flujo en cada unión.

 Proceso