/52

Sistemas dinamicos

Realimentacion de estado

1

/52

Contenido

1. La definicion del problema

2. Resultados fundamentales

3. Calculo de la ganancia de realimentación

4. Regulacion y seguimiento

2

/52

LA DEFINICION DEL PROBLEMA

3

/52

El proposito del control en terminos de la salida

La mayoria de los sistemas de control pueden ser formulados como se muestra en la figura

El problema es diseñar un sistema tal que la salida de la planta y(t) siga tan cerca como sea posible la señal de referencia r(t)

4

Plant)(tr )(tu )(ty

y(t): señal controlada (salida)r(t): señal de

referencia

u(t): señal de control

y(t)

tr(t)

/52

El proposito del control en termino de los estados

En ocasiones los sistemas de control se formulan en terminos de los estados

5

Estabilidad (regulacion): estabilizar el sistema alrrededor de un punto de equilibrio Dado el punto de equilibrio xe n, hallar

la ley de control u=(x) tal quelim ( ) for all (0) n

et

x t x x

Control: llevar el sistema entre dos puntos Dados x0, xf n, hallar una entrada u(t) tal

que0 0( ) ( ) fx t x x T x

x0

xf

/52

Dos tipos de control

Control en lazo abierto: » la “ley” de control u(t) depende solamente de la señal de

referencia r(t) y es independiente de la salida de la planta y(t)

6

No hay informacion de si el control se esta realizando correctamente

Plant)(tr )(tu )(ty

/52

Dos tipos de control

Control en lazo cerrado (realimentado): » la “ley” de control u(t) depende de la señal de referencia

r(t) y de la salida de la planta y(t)

7

Reduce el efecto de la variación de los parámetros y suprime el ruido y los disturbios

Plant)(tr )(tu )(ty

/52

La realimentacion del estado

La idea: realimentacion negativa del estado con ganancia constante

8

:Bu

y C

x Ax

x

( ):f

BK Br

y C

x A x

x

u r K x

Ganancia de realimentacion

)(tr)(tu

)(ty

bs

1

A

k

c

)(tz

x x

/52

La realimentacion del estado

La idea: realimentacion negativa del estado con ganancia constante, con precompensacion

9

Ganancia de realimentacion

Ganancia de precompensacion

:Bu

y C

x Ax

x

( ):f

BK BNr

y C

x A x

x

u Nr K x

Para lograr seguimiento

/52

Funciones de transferencia

Funcion de transferencia de la planta en lazo abierto

Funcion de transferencia de malla abierta (sistema de realimentacion)

10

1x s sI A Bu s

tu tcu tx 1s

I A B K

1cu s K sI A Bu s

/52

Funciones de transferencia

Funciones de transferencia de lazo cerrado

11

1y s C sI A BK Br s

1x s sI A BK Br s

/52

Ejemplo

12

Sea el sistema Newtoniano con posicion p(t), La entrada es la fuerza u(t), La salida y(t) es la suma de la posicion y la velocidad

2

2d

m p t u tdt

dy t p t p t

dt

2

2d

m p t u tdt

dy t p t p t

dt

21s

g sms

La funcion de transferencia

/52

Ejemplo

13

Construimos una realizacion del sistema definiendo,

1

2

posicion

velocidad

x t

x t

1

2

x tx t

x t

Con m = 1 el sistema en variables de estado es

0 1 0

0 0 1

BA

x t x t u t

1 1

C

y t x t

/52

Ejemplo

14

Aplicando realimentacion de estado

El sistema en lazo cerrado queda

1 1 2 2u t k x t k x t r t

1

1 22

x tk k r t

x t

K

Kx t r t

1 2

0 1 0

1

A BK

x t x t r tk k

B

1 1y t x tC

/52

Ejemplo

15

Finalmente, la funcion de transferencia en lazo cerrado es

Observaciones:Se puede afectar la ubicación de los polos arbitrariamente

No puede afectar la ubicación de los ceros

Se puede cancelar un cero con un polo:

implica que el modelo en variables de estado en lazo cerrado puede no ser mínimo

22 1

1cl

sg s

s k s k

2

1sg s

ms

La planta original

/52

Preguntas

Preguntas

» ¿Cómo afecta la realimentación de estado a la controlabilidad y la observabilidad?

» ¿Cómo afecta la realimentación de estado a la estabilidad?

» ¿Qué podemos hacer con la realimentación de estado?–Ubicación de los polos

» Qué pasa si los estados no estan disponibles?–Observadores

16

/52

RESULTADOS FUNDAMENTALES

17

/52

Invariancia de la controlabilidad

Teorema: (Invariancia de la controlabilidad respecto a la realimentacion de los estados para sistemas SISO). El par (ABK, B), para cualquier vector real constante K, es controlable si y solo si (A, B) is controllable.

18

1 1, ( ) ( )n nfC B AB A B C B A BK B A BK B

21 ( ) ( )

0 1 ( )( ) ( )

0 0 1

0 0 0 1

f f

KB K A BK B K A BK B

KB K A BK BC C C C

KB

Prueba

/52

Invariancia de la controlabilidad

Sea x0 y x1 dos estados arbitrarios

Si es controlable, existe una entrada u1 que transfiere x0 a x1 en un tiempo finito

Si escogemos r1= u1+Kx, entonces la entrada r1 del sistema realimentado transferira x0 a x1.

19

Aunque la propiedad de la controlabilidad es invariante bajo cualquier realimentacion del estado, la propiedad de la observabilidad puede no preservarse

/52

Ejemplo 1

20

La ecuación de estado es controlable y observable.

x

xx

21

1

0

13

21

:

y

u

x

xx

21

1

0

00

21

:

y

uf

x13ru

0 2 1 2( ) 2, ( ) 1.

1 0 1 2f fC O

Por lo tanto, la ecuación de estado de f es controlable pero no observable

/52

Ejemplo 2

21

La observabilidad no se preserva. Por ejemplo:

Seleccionando 1 2 1 1 1k k k k k

1

1cls

g ss k s

1

s k

22 1

1cl

sg s

s k s k

/52

Ejemplo 2

22

De la prueba de observabilidad

1 2

0 1A BK

k k

1 1C

1 2

1 1

1rank rank

k k

C

CA

1 1

1 1rank

k k

1 11rank

k k

/52

La forma canonica controlable

Otra forma canonica de los sistemas controlables es la forma canonica controlable

23

1 2 3 4 1

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

A Bu u

x x x

Cuya funcion de transferencia es:

1 2 3 4y C x x

432

23

14

432

23

1)(ˆ

ssss

ssssg

/52

Teorema

Teorema: Considere la ecuacion de estado de con n = 4 y el polinomio caracteristico

24

.)det()( 41

32

23

14 ssssss AI

Si es controlable, entonces puede ser transformado a la forma canonica controlable por la transformacion x Px

1 2 3

1 21 2 3

1

1

0 1:

0 0 1

0 0 0 1

Q P B AB A B A B

/52

Prueba del teorema

25

Sean C y las matrices de controlabilidad de y . Si es controlable o C es no singular, entonces tambien lo es .

Por lo tanto tenemos o , de donde la matriz de la derecha de Q es

C

C

C PC 11: CCPQ

1000

100

10

1

1

21

321

1

C

/52

Prueba del teorema

26

la ecuacion de estado es una realizacion de .

Por lo tanto, la funcion de transferencia de y son iguales a

ˆ ( )g s

ˆ ( )g s

432

23

14

432

23

1)(ˆ

ssss

ssssg

/52

Teorema: Asignacion de los autovalores

Teorema: Si la ecuacion de estado SISO es controlable, entonces por la realimentación de estado u = r Kx, los autovalores de ABK pueden ser asignados arbitrariamente, siempre que los autovalores complejos conjugados se asignen en pares

27

Prueba preliminar

Asumamos inicialmente que esta en la forma canonica controlable .

1 2 3 4 1

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0BA

x x u

/52

Prueba preliminar del teorema

28

El sistema en lazo cerrado (sin la referencia)

1 1 2 2 3 3 4 4

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0A BK

k k k k

x x

Br

Sistema en lazo cerrado deseado (sin la referencia)

1 2 3 4

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

x x

Br

1 1 2 2 3 3 4 4k k k k

/52

Prueba preliminar del teorema

29

Comparando, la ganancia de realimentacion es

La ganancia de realimentacion ubica los polos del sistema SISO controlable, en la forma controlable estandar, en las localizaciones deseadas

det det dessI A BK sI A

1 1 2 2 3 3 4 4K

/52

Teorema: Asignacion de los autovalores

Teorema: Si la ecuacion de estado SISO es controlable, entonces por la realimentación de estado u = r Kx, los autovalores de ABK pueden ser asignados arbitrariamente, siempre que los autovalores complejos conjugados se asignen en pares

30

Prueba

Si es controlable, puede ser transformado a la forma canonica controlable . Substituyendoen la realimentacion de estado conduce a

Y ya que , entonces y tienen los mismos autovalores

Pxx

1 :u r Kx r KP x r Kx 1( : )K KP1( )A BK P A BK P A BK

A BK

/52

Prueba del teorema

31

Ahora, de cualquier conjunto de n autovalores deseados podemos formar el polinomio caracteristico deseado

Si elegimos

entonces la ecuacion de estado del sistema realimentado es

41

32

23

14)( sssssf

1 2 3 4y Cx x

1 2 3 4 1

1 0 0 0 0( )

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

x A BK x Br x u

1 1 2 2 3 3 4 4K

/52

Prueba del teorema

32

El polinomio caracteristico de ( ) y, consecuentemente, de ( ) es igual a . Por lo tanto, la ecuacion de estado del sistema realimentado tiene los autovalores deseados

Finalmente, la ganancia de realimentacion en las coordenadas originales es,

A BKA BK )(sf

1K KP KCC

LQQD

/52

Invarianza de los ceros

Considere la planta descrita por (A, B, C). Si (A, B) es controlable, (A, B, C) puede ser transformado a la forma controlable y su función de transferencia es

Despues de la realimentacion de estado, la ecuacion de estado es (ABK, B, C) permaneciendo en la forma canonica controlable. La funcion de transferencia de r a y es

33

3 21 1 2 3 4

4 3 21 2 3 4

ˆ ( ) ( )s s s

g s C sI A Bs s s s

3 21 1 2 3 4

4 3 21 2 3 4

ˆ ( ) ( )f

s s sg s C sI A BK B

s s s s

La realimentacion de estados puede mover los polos de una planta pero no tiene ningun efecto sobre los ceros

/52

Estabilizacion

Toda ecuacion de estado no controlable puede llevarse a la forma

» Como la matriz de estado es triangular a bloques, los autovalores de la matriz en las coordenadas originales son la union de los autovalores de y

La realimentacion de estados

34

12: CC C CC

CC C

xx A A Bu

xx A

0 0

C

Crrrux

xkkxkkx 21

CACA

lleva al sistema a lazo cerrado a

/52

Estabilizacion

Toda ecuacion de estado no controlable puede llevarse a la forma

La realimentacion de estados

lleva al sistema a lazo cerrado

35

12: CC C CC

CC C

xx A A Bu

xx A

0 0

C

Crrrux

xkkxkkx 21

1 12 2 CC C C C C

CC C

xx A B K A B K Br

xx A

0 0

/52

Estabilizacion

Ecuacion de estado del sistema realimentado

y sus autovalores no son afectados por la realimentacion de estado y por lo tanto no pueden modificarse

La condicion de controlabilidad de (A, B) no es solo suficiente sino tambien necesaria para asignar todos los autovalores de (A BK) a cualquier posicion deseada

36

1 12 2 CC C C C C

CC C

xx A B K A B K Br

xx A

0 0

CA

/52

Estabilizabilidad

Definicion: Si es stable, y si es controlable, entonces se dice que es estabilizable.

37

CA ( , )C CA B

C

La propiedad de estabilizabilidad es una condicion mas debil que la de controlabilidad para alcanzar estabilidad a lazo cerrado.

Es equivalente a pedir que los autovalores no controlables sean estables.

1 12 2 CC C C C C

CC C

xx A B K A B K Br

xx A

0 0

/52

CALCULO DE LA GANANCIA DE REALIMENTACIÓN

38

/52

Como encontrar la ganancia de realimentación

1. Hallar el polinomio característico de A:

2. Calcular el polinomio característico, , de los autovalores deseados.

39

.)( 41

32

23

14 sssss

)(sf

41

32

23

14)( sssssf

Objetivo: aplicar el teorema de la asignacion de los autovalores

Los autovalores deseados se escogen según el comportamiento deseado en lazo cerrado

/52

Como encontrar la ganancia de realimentación

40

3. Determinar la ganancia de realimentacion para la forma canonica controlable

4. Hallar la transformacion de coordenadas

hallar C y, y entonces calcular

5. Calcular la ganancia de realimentación en las coordenadas originales

44332211 k

1C 11 CCP

1 CCkPkk

/52

Ejemplo 2

41

Considere la planta descrita por

Esta planta es controlable, el polinomio característico es y, por consiguiente, los autovalores son 4 y 2. Es inestable.

1 3 1

3 1 0u

x x

Diseñe una ganancia de realimentación K tal que los autovalores del sistema realimentado se localizen en 1 j2.

( ) ( 4)( 2)s s s

/52

Calculo de la ganancia de realimentación

1. Hallar el polinomio característico de A:

2. Calcular el polinomio característico de los autovalores deseados.

42

2( ) ( 4)( 2) 2 8s s s s s

2( ) ( 1 2)( 1 2) 2 5f s s j s j s s

1 22, 8

1 22, 5

/52

Calculo de la ganancia de realimentación

43

3. Determinar la ganancia de realimentacion para la forma canonica controlable

4. Hallar la transformacion de coordenadas

1 1 2 2 4 13K

1 22, 8

1 22, 5

11 1 1 1 2,

0 3 0 1 0 1C B AB C

10

13

3

1

30

1111 PP CC

/52

Calculo de la ganancia de realimentación

44

5. Calcular la ganancia de realimentación en las coordenadas originales

13

3 14 13 4 17 3

0 1K K

P

EJERCICIO: Construir y observar el comportamiento del sistema en lazo abierto y lazo cerrado en Simulink

/52

Ejemplo 3

45

Considere el péndulo invertido dado por

Es controlable, por lo tanto, sus autovalores pueden ser asignados arbitrariamente. El polinomio característico correspondiente es

u

2

0

1

0

0500

1000

0100

0010

xx x0001y

.0050)5()( 23422 sssssss

/52

Ejemplo 3

46

Sean los autovalores deseados 1.50.5j y 1j . Entonces tenemos

00

00

000

000

0002

0020

0301

3010

1000

0100

5010

0501

01002

10020

0201

2010

61

31

61

31

21

21

1

11

CC

CC

P

P

5115.105)( 234 sssssf

5 0 10.5 5 11 0 5 0

5 15.5 11 5

k 313

12102

311

35 Pkk

/52

Ejemplo 4

47

Considere el péndulo invertido del ejemplo 3

Sean los autovalores deseados 1.50.5j y 1j .

MATLAB tiene la funcion K = place(A,B,P) que calcula K para ubicar los autovalores en los valores dados en el

vector P.

EJERCICIO: Diseñar el controlador y construir y observar el comportamiento del sistema en lazo abierto y lazo cerrado en Simulink

/52

REGULACION Y SEGUIMIENTO

48

/52

Regulacion y seguimiento

El problema de la regulacion se da cuando la referencia es nula, es decir r = 0; » se pretende basicamente que el sistema sea asintoticamente

estable y que la respuesta a condiciones iniciales producidas por perturbaciones tienda a cero.

El problema del seguimiento se da cuando se pretende que la salida tienda a la referencia r(t), variable en el tiempo.» Es comun que las derivadas de la señal de referencia sean

continuas. El problema del servomecanismo es un caso particular del de seguimiento.

49

/52

El problema de la regulacion

Si el sistema es controlable, sabemos que podemos asignar los autovalores del lazo cerrado calculando K para obtener la matriz de estado A BK

La respuesta del sistema realimentado entonces, con la matriz directa D = 0

Asi, el problema de la regulacion (r(t) = 0) queda resuelto si K se calcula para que A BK sea Hurwitz

50

( )( ) (0)BK ty t Ce x A

La regulacion puede lograrse facilmente introduciendo realimentacion de estado

/52

El problema del seguimiento

Para el problema de seguimiento de referencia constante r(t) = a 0, ademas de que A BK sea Hurwitz, requerimos una condicion en la ganancia de precompensacion N, para que,

La funcion de transferencia en lazo cerrado del sistema precompensado es

51

t

y t a

3 21 2 3 4

4 3 21 2 3 4

ˆ ( )f

s s sg s N

s s s s

precompensacion

/52

El problema del seguimiento

A fin de que y(t) siga asintoticamente cualquier paso en la referencia, necesitamos

52

4

4

ˆ1 (0)fg N

0

ˆ ˆ0 1limf fs

g g s

44

4

0N

Si tiene uno o mas ceros en s = 0, no es posible el . seguimiento

)(ˆ sg f

/52

El problema del seguimiento

La condicion de controlabilidad del par (A, B) puede relajarse a la de estabilizabilidad.

» La restriccion estara en que entonces no habra control total de la velocidad de convergencia del error.

» Si hubiera modos no controlables muy cercanos al eje jw, la respuesta podria ser demasiado lenta u oscilatoria para considerar la regulacion y seguimiento de referencia constante satisfactorios.

53

/52

En un ejemplo anterior calculamos la ganancia de realimentacion K = [4, 17/3] que asigna los autovalores en lazo cerrado del sistema en 1 j2.

Supongamos que el sistema tiene la salida y(t) = [1, 0]x(t), que se pretende que siga asintoticamente referencias constantes.

Ejemplo: Seguimiento de referencia constante

54

La funcion de transferencia del sistema en lazo cerrado es

2

1ˆ ( )

2 5f

sg s N

s s

1ˆ (0)

5fg N

5N

/52

En un ejemplo anterior calculamos la ganancia de realimentacion K = [4, 17/3] que asigna los autovalores en lazo cerrado del sistema en 1 j2.

Supongamos que el sistema tiene la salida y(t) = [1, 0]x(t), que se pretende que siga asintoticamente referencias constantes.

Ejemplo: Seguimiento de referencia constante

55

EJERCICIO: Diseñar el controlador y construir y observar el comportamiento del sistema en lazo cerrado en Simulink

/52

Bibliografia

A. D. Lewis, A Mathematical Approach to Classical Control, 2003, on line acces http://www.mast.queensu.ca/~andrew/teaching/math332/notes.shtml

Robert L., Williams, Douglas A. Lawrence “Linear State-Space Control Systems”, Wiley, 2007

56

/52

FIN

57