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5.2 Línea de influencia como diagrama de desplazamiento virtual

La línea de influencia se puede determinar aplicando el Principio delDesplazamiento Virtual. Para ello basta con:

a. Remover el vínculo asociado con el “efecto” cuya línea de influencia se busca.

b. Aplicar el “efecto”(fuerza o momento) al sistema resultante en el paso anterior. ⇒ Sistema de Fuerza

c. Imponer al sistema resultante un desplazamiento o giro virtual en el sentido del “efecto” cuya línea de influencia se busca. ⇒

Sistema de desplazamiento

Aplicando el P.T.V. se demuestra que la forma del sistema de desplazamiento virtual resultante en “c” es proporcional a la línea de influencia del efecto.

NOTA: Si el desplazamiento virtual impuesto es unitario, las ordenadas del sistema de desplazamiento virtual, medidas paralelamente a la carga unitaria, corresponden a los valores de la línea de influencia (η(x)) del “efecto considerado”

Departamento de Ingeniería Civil- Universidad de Chile

Otoño 2012

Principio de Müller-Breslau:

“Las ordenadas de la línea de influencia de un esfuerzo interno en una sección o de una carga reactiva, son proporcionales a los desplazamientos que se obtienen al eliminar el vínculo que causa dicha acción interna o reacción e imponer en su lugar la deformación virtual correspondiente.”


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P.T.V.: RA·1 - 1·x/L = 0 ⇒ RA = δ (x) = x/L ⇒ ordenada de la deformada


Otoño 2012

Ejemplo: Viga simplemente apoyada.

• Línea de influencia de la reacción en el apoyo A.RA

A B

Sistema con vínculo removido


Otoño 2012

•Línea de influencia de la fuerza de corte en la sección C ubicada a la distancia “a”del extremo A.

δb=b/L

δa=a/L

( ) ( ) 0)(1:... =×−×+× xaQaQVTP ba δδδ

( ) ( ) ( ) )(11 xaQaQ ba δδδ ×=×=+×

( ) )(xaQ δ=

( ) ( )

Lb

La

Lba

ba

ba

ba

ba

==

=+

=⇒=+

∗=∗=

δδ

αδδ

αδαδ

,

111

=)(xδ ( ) ( ) LxbparaL

xLxL

bxparaLxx

≤<−

−=−∗−

<≤=∗

α

α 0

α

A B



Otoño 2012

•Línea de influencia del momento de flexión en la sección C ubicada a la distancia “a”del extremo A.

( ) 01:.. =×−×+× xMcMcVTP ba δδφδφ

δx

1

1

( )xMcMcxMc ba

δδφδδφδφ×=×=××=+×

111

)(xMc δ=

( ) Lba

babaCC

baabCC

bCC

aCC

bCC

aCC

ba

ba

∗=

+∗

=⇒=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∗+

∗=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

=+

==

´1´´´1

´;´

δφδφ

δφδφ

LxbparaL

xLbxL

bxparalaxx

a

b

≤<−

∗=∗−

<≤∗=∗

)()(

0

δφ

δφ

=)(xδ


Mc


Otoño 2012

Ejercicio: Aplicando el Principio del Desplazamiento Virtual, determinar la líneas de influencia de: Ra, Rb, Rc, Qf, QG, MF y MG.


Otoño 2012

Líneas de influencia de Ra

x

Ra > 0

)(xδ

( )1

1

1 0)( hxparah

xhx <≤−

=δ

10)( hxparax >=δ


Otoño 2012

Líneas de influencia de Rb

Rb>0

-L3/L2

x

x)(xδ

( )1

12

22 0)( hxparaxhLhLx <≤⋅

×+

=δ

)()(1)( 3211212

LLLxhparaxLLL

x ++<<−+⋅=δ


Otoño 2012

Líneas de influencia de Rc

Rc>0

)(xδ

112

2 0)( hxparaxhL

hx <≤⋅×

−=δ

( ) )()( 32112

1 LLLxhparaL

Lxx ++≤<−

=δ

QF

QG

MF

MG

L.I..Qf

L.I. Qg

L.I. Mf

L.I. Mg

δ =1

δφ =1

Líneas de influencia de Qf

Líneas de influencia de Qg

Líneas de influencia de Mf

Líneas de influencia de Mg

s


Otoño 2012

• La ventaja de aplicar este método es que se visualiza rápidamente la forma de la línea de influencia de un “efecto”, lo que permite identificar las zonas de la estructura donde deben ubicarse las cargas vivas para tener el máximo valor del “efecto”.


Otoño 2012

Líneas de influencia de Qg


Otoño 2012

6. Aplicaciones de la línea de influencia (δ(x)). Máximo efecto de cargas vivas.

• Una vez que se ha determinado la línea de influencia de un “efecto”, δ(x),

se puede conocer la posición de la carga unitaria para la cual el “efecto”alcanza su valor máximo y cual es este valor.

• Para el diseño de una estructura (por ejemplo: una viga), interesa

conocer el valor máximo de dicho “efecto” y para que posición de las cargas vivas se produce.

• Para contestar esta última pregunta se verán algunos casos.

6.1 Valor de un “efecto” debido a una carga viva aislada (P).


Otoño 2012

• El valor del “efecto” debido a una carga aislada (P), es igual al producto de la magnitud de la carga por la ordenada de la línea de influencia del “efecto”, medida en el punto en que se aplica la carga (xo).

δ(xo)

δ(xo)

δ(xo)

δ(xo)

( )xoPEfecto δ×=

P

xo

δ(x)

• Para obtener el valor máximo del “efecto” debido a una carga aislada (P), se aplica la carga aislada en el punto en que la ordenada de la línea de influencia del “efecto” es máxima.


Otoño 2012

( )oxPEfecto maxδ×=

P

P

P

P

xo

xo

xo

• El valor del “efecto” debido a un grupo de cargas aisladas (P1, P2, …,Pn) aplicado en una posición definida se puede obtener superponiendo los valores de cada carga (Principio de Superposición).

Los valores δ(xi) están relacionados entre sí a través de la línea de influencia del “efecto”.

Tren de cargas puntuales


Otoño 2012

Reacción en apoyo A.

δ(xi) = yi

“L”

d1 d2

=1.0

6.2 Valor de un “efecto” debido a varias cargas aisladas.

( )332211PyPyPyRA ∗+∗+∗=

( )ii

ni

i

xPEfecto δ×= ∑=

=1

A B

• Para obtener el “efecto” producido por una carga uniformemente repartida (wo) aplicada en una posición definida (xM-xN), se aplica la ecuación anterior considerando que la carga actúa en forma distribuida, resultando:

Posición de la carga distribuida


Otoño 2012

6.3 Valor de un “efecto” debido a cargas repartidas.

( )xδ

( ) ( ) ( ) dxxwdxxxwEfectoN

M

N

M

x

x

x

x∫∫ ⋅=×= δδ 0

( ) dxxachuradaAreaN

M

x

x∫= δ

XM

XN

Ejemplo: Momento de flexión en la sección 1-1 debido a una carga uniformemente repartida actuando en la posición indicada.

wo

c


Otoño 2012

x

( )( ) ( )dxxwdxxwMc

o

c

o ∫∫ ∗=∗=−00

11 ηη

Area achurada bajo línea de influencia

lcawM o

2

2

11∗∗

=−

( )l

xax ∗=η

lca ∗

lca ∗

A B

• Para obtener el valor máximo del “efecto”, se debe ubicar la carga repartida en todas las zonas de la estructura para las cuales las ordenadas de la línea de influencia tiene el mismo signo del “efecto”.

Máximo momento positivo en la sección 1-1 debido a sobrecarga (carga viva)

Máximo momento negativo en la sección 1-1 debido a sobrecarga (carga viva)


Otoño 2012

Ejemplo: Momento en sección 1-1


Otoño 2012

Línea de influencia del momento en B

Línea de influencia del momento al centro del tramo 2

B

VALOR DE UN “EFECTO” PARA A UN TREN DE CARGA MOVIL


Otoño 2012


Otoño 2012

• El valor del “efecto” se determina considerando como variable la posición del tren (por ejemplo la posición del punto E del tren de carga repartido de la figura).

Líneas de influencia de RA

Reacción en apoyo A

Entrando

Saliendo( ) ( )xAqxR DEA ∗=

A B

AB

Laq

2

2×

( )L

axLy +−=

Valor de un efecto para un tren de carga repartida móvil.


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( ) ( ) axparaxLxqxRA ≤≤−

= 022** ( ) ( )

22** aLaqaRA

−=

( ) LxaparaL

xaLaqxRA ≤≤−+

=2

22**)( ( )LaqLRA 2

* 2

=

( ) ( ) ( )aLxLparaL

xaLxRA +≤≤−+

=2

2

Laq

2* 2

• Cuando hay varias cargas aisladas móviles de magnitud y separación

invariable, como es el caso de vehículos, grúas, etc, el valor máximo del

“efecto” se producirá cuando una de las cargas aisladas está en la posición de

la línea de influencia donde el valor del “efecto” es máximo. Así el problema se

reduce a hallar cuál de las cargas aisladas debe estar en esa posición.


Otoño 2012

Valor de un efecto para un tren de carga aisladas móvil.

• En general no es posible determinar por simple inspección cual de las cargas

aisladas debe colocarse en la posición destacada.

• El valor del “efecto” que resulta al ubicar el tren de cargas en una posición

determinada, se calcula con la ecuación siguiente:

donde:

η(x) = ordenada de la línea de influencia en la posición de la carga Pi del tren

de cargas.


Otoño 2012

( )∑=

=

∗=ni

iiii xPEfecto

1η


Otoño 2012

La posición del tren de carga queda representada por la posición de la carga P1, “x”, así el valor de la reacción en el apoyo A es función de esta variable x, RA(x).

Líneas de influencia de RA

Ejemplo:Reacción en apoyo A

RA(x)A B

Entrando Saliendo


Otoño 2012

( ) ( )L

xLPxRA

−×= 1

( ) ( ) ( )L

axLPL

xLPxRA

+−×+

−×= 21

( ) ( ) ( ) ( )L

baxLPL

axLPL

xLPxRA

++−×+

+−×+

−×= 321

( ) ( ) ( )L

baxLPL

axLPxRA

)32 ++−×+

+−×=

( ) ( )L

baxLPxRA

++−×= 3

( ) ( )3

21max) P

LbLP

LbaLP

RA +−×

+−−×

=

P3 ubicado donde la L.I. RA es máxima, es decir sobre apoyo A.

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