EJERCICIO 1 . Halla la pendiente, la ordenada en el origen y los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la recta 5x 6y 2 0. Represéntala gráficamente. Solución: Para calcular la pendiente, despejamos la y:

5 2 5 15 6 2 0 6 5 26 6 6 3

x y y x y x y x 5La pendiente es .6

m

1 La ordenada en el origen es .3

n

Puntos de corte con los ejes: 1 Eje 0,3

Y

X yx y x x

Eje 02 5 6 2 0 5 2 05 Luego

0,

52

EJERCICIO 2 : Representa gráficamente las siguientes funciones:

a) 2x52y b)

23y c) x

35y

Solución: a Hacemos una tabla de valores:

x 0 5

y 2 0

3 3b) Es una recta paralela al eje que pasa por 0, .2 2

y X

5c) Pasa por el 0, 0 .3

y x

Basta dar otro punto para representarla: Si x 3 y 5

EJERCICIO 3 : Dadas las siguientes rectas, identifica cuáles son paralelas y represéntalas:

a) 2

5xy b)

21y c) 2x + 5y = 3 d) 2y – x + 3 = 0

Solución: Calculamos la pendiente de cada una de ellas:

5 1 5 12 2 2 2a

xy y x m

1 02 by m

3 2 22 5 3 5 3 25 5 5cx y y x y x m

1 3 12 3 0 2 32 2 2dy x y x y x m

Son paralelas la a y la d por tener la misma pendiente. Representamos ambas haciendo una tabla de valores:

5a 2

xy

y x 1 3d 2 2

EJERCICIO 4 : Representa la siguiente recta tomando la escala adecuada en cada eje: 325xy

Solución: 1Observando que la pendiente de la recta es , lo más adecuado es tomar la escala en

25m el eje X de

25 en 25. Hagamos una tabla de valores para ver cuál es la escala más adecuada en el eje Y:

En el eje Y, tomamos la escala de 1 en 1.

EJERCICIO 5 : Representa las rectas siguientes:

a) y = -3,5x + 1 b) 45y c) y = - x

27

¿Qué relación hay entre las rectas a y c? Solución: a Hacemos una tabla de valores:

X

5b Es una recta paralela al eje que pasa por 0, .4

7c 2

y x

a y c son rectas paralelas, puesto que tienen la misma pendiente, m 3,5. EJERCICIO 6 : Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 3) y B(5, 1). ¿Cuál es la ordenada en el origen? Solución:

1 3 4Empezamos hallando su pendiente: 15 1 4

m

Ecuación de la recta que pasa por A(1, 3) y cuya pendiente es m 1 y + 3 1.( x 1) y x 4 La ordenada en el origen es n 4. EJERCICIO 7 : Observando las gráficas, indica cuál es la ordenada en el origen de las siguientes rectas y halla la ecuación de cada una de ellas:

Solución: Para calcular la ordenada en el origen, basta con observar el punto de corte de cada una de las rectas

con el eje Y: r1 n1 1 r2 n2 2 r3 n3 1 Calculamos la pendiente de cada una de ellas:

r1 m1 0

2 2

3 3

0 2 2 pasa por 0, 2 y 2, 0 12 0 2

3 0 1 1 2 pasa por 0, 1 y , 03 32 302 2

r m

r m

La ecuación de cada recta será:

r1 y 1 r2 y x – 2 32 13

r y x

EJERCICIO 8 : Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto medio del segmento de extremos A(1, 3) y B(5, 2) y es paralela a la recta 7x 2y 1 0. Solución: Empezamos calculando el punto medio del segmento de extremos A(1, 3) y B(5, 2):

1 5 3 2 5 52 Punto medio: 2,2 2 2 2

x y P

La recta tiene la misma pendiente que 7x – 2y + 1 0 por ser paralelas: 7 1 72 7 12 2 2

y x y x m

Ecuación de la recta pedida:

5 7 2 Ecuación en la forma punto-pendiente2 2

y x 7 14 5 7 92 2 2 2 2

y x y x

EJERCICIO 9 : Indica cuál es la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(0,-1) y B

0,

23

Escribe su ecuación y la de la paralela a ella que pasa por el origen de coordenadas. Solución:

1 2 Pendiente: 3 32

m

Observamos que los puntos que nos dan son los puntos de corte con los ejes; concretamente, de A(0, 1) se obtiene que n 1.

2Así, la ecuación de la recta es: 13

y x

2 La recta paralela a la anterior que pasa por (0, 0) será: 3

y x

EJERCICIO 10 : La gráfica de una función lineal determina con los ejes coordenados el triángulo rectángulo que se vé en la figura. Halla la expresión analítica de dicha función.

Solución: Como corta al eje Y en (0, 3), entonces, n 3.

3Pendiente: 4

m

La ecuación de la recta es: 3 34

y x

Parábolas EJERCICIO 11 : Representa gráficamente las siguientes parábolas

a) 23xx

21y 2 b) 4x2x

41y 2 c) y 2x2 x 3 d) y 25x2 75x e) y x2 2x 1

Solución: a)

Vértice:

1 1 3 21 1 1 22 1 2 2 2

bx ya

El vértice es V1, 2.

Puntos de corte con los ejes:

3 3Con el eje 0 0,2 2

Y x y

2 21 3Con el eje 0 0 2 3 02 2

X y x x x x

32 4 12 2 4

2 21

x

Puntos de corte con el eje X: 3, 0 y 1, 0

Puntos próximos al vértice:

X -2 0 1 2 3 Y 5/2 -3/2 -2 -3/2 5/2

Representación

b)

Hallamos su vértice:

2 14 16 8 4 0 4, 01 424

x y V

Puntos de corte con los ejes:

2 21Con el eje 0 2 4 0 8 16 04

X y x x x x

8 64 64 8 4 4, 0 , que coincide, lógicamente, con el vértice.2 2

x

Con eje Y x 0 y 4 0, 4 Puntos próximos al vértice:

X 2 3 4 5 6 Y 1 1/4 0 1/4 1

Representación

c)

Calculamos su vértice:

1 2 1 25 1 253 ,4 16 4 8 4 8

x y V

Puntos de corte con los ejes:

Con eje Y x 0 y 3 0, 3

Con eje X y 0 2x2 x 3 0

321 1 24 1 25 1 5

4 4 41

x

3Los puntos de corte con el eje son: , 0 1, 02

X y

Puntos próximos al vértice:

X -1 0 1/4 1 2 Y 0 -3 --25/8 -2 3

Representación:

d)

Hallamos el vértice:

75 3 225 225 225 3 225,50 2 4 2 4 2 4

x y V

Puntos de corte con los ejes: Con eje Y x 0 y 0 0, 0

Con eje X y 0

2

0 0, 025 75 0 25 3 0

3 3, 0

xx x x x

x

Tabla de valores para obtener puntos próximos al vértice:

X 0 1 3/2 2 4 Y 0 50 225/4 50 -100

Representación:

e)

Hallamos su vértice: 2 1 1 2 1 0 1, 02

x y V

Puntos de corte con los ejes: Con eje Y x 0 y 1 0, 1 Con eje X el único punto de corte será el vértice: 1, 0 Puntos próximos al vértice:

X -1 0 1 2 3 Y -4 -1 0 -1 -4

Representación:

EJERCICIO 12 : Halla las expresiones analíticas de estas parábolas: a) b) c)

Solución: a) La expresión analítica de ambas parábolas será de la forma y ax2 bx c, donde a, b, c son números reales que tenemos que calcular a partir de las gráficas. Ecuación de la parábola I:

Punto de corte con el eje Y: 0, 6 c 6 Vértice: V3, 3, que además es un punto de la parábola.

Así:

2

3 62 3 9 18 6 9 9 1 63 3 3 6

b b aa a a a a b

a b

La ecuación de la parábola I es: y x2 6x 6 Ecuación de la parábola II:

Corta al eje Y en 0, 1 c 1

V

1Vértice , 0 :2

2

1 a2 2 1 1 1 2 4

4 21 1 1 10 1 12 2 4 2

4 4

b ba

a a a aa b a b

a b

La expresión analítica de la parábola II es: y 4x2 4x 1 b) Sus ecuaciones serán de la forma y ax2 bx c, a, b, c, números reales. Ecuación de la parábola I:

Corta al eje Y en el punto 0, 5, luego: c 5

V

1El vértice es 3, , que así mismo es un punto de la parábola. Luego de aquí2

obtendremos dos

ecuaciones cuyas incógnitas son a y b:

2

3 6 12 9 18 521 13 3 5 9 3 5

2 2

b b aa a a

a b a b

1 19 5 1 18 10 9 18 32 2

a a a a b

21La ecuación de la parábola I es: 3 52

y x x

Ecuación de la parábola II: Corta al eje Y en 0, 2 c 2

bV b a a a aa

a ba b a b

3 1 11, 1 2 22 2 2 2

13 1 12 22 2

La ecuación de la parábola II es: 21 22

y x x

c) Observamos que ambas son parábolas, luego sus ecuaciones serán de la forma y ax2 bx c, donde a, b, c son números reales. Ecuación de la parábola I: c 4 porque pasa por 0, 4. Vértice V4, 0, de donde sacamos dos ecuaciones:

4 8 116 32 4 16 4 2240 16 4 4

b b aa a a a ba

a b

21La ecuación de la parábola I es: 2 44

y x x

Ecuación de la parábola II:

c

3 3porque pasa por 0, .2 2

bV b aa a a b

a b a b

1 1, 12 2 2 2 2 21 1 31 4 2 64 2 2

2 3La ecuación de la parábola II es: 2 22

y x x

EJERCICIO 13 : Completa las expresiones de estas dos gráficas:

2a 12y x x

2b y x

Solución: Parábola a

Punto de corte con el eje Y: 0, 10 c 10

2, 22 12 4 3

212V b a a

ab

Ecuación de a: y 3x2 12x 10 Parábola b c 4 la ecuación será de la forma y ax2 4. Un punto de la parábola es el 1, 1, así:

1 a 4 a 3 La ecuación buscada es: y 3x2 4

EJERCICIO 14 : Asocia a cada una de las gráficas una de las siguientes expresiones:

a y x 52 b y 2x2 8x 1 c y 4x2 4 d y x2 8x 7

Solución: a IV b I c II d III EJERCICIO 15 : Relaciona cada una de las siguientes expresiones con su gráfica correspondiente: a y 2x2 8 b y x2 3x 10 c y x 22 d y 2x2 3x 1

Solución: a I b III c IV d II EJERCICIO 16 : Relaciona cada gráfica con una de las siguientes expresiones: a y x2 2x 3 b y x 12 c y 3x2 1 d y 2 x2

Solución: a III b I c II d IV

EJERCICIO 17 : Asocia a cada una de las gráficas una de las siguientes expresiones: a y x2 2x 4

b) 2

21xy

c) 2x41y 2

d) y = 2

27x

Solución: a III b II c IV d I EJERCICIO 18 : Relaciona cada una de las siguientes expresiones con su gráfica correspondiente: a y x2 3x b y x 32 c y 2 3x2

d) y = 1xx31 2

Solución: a I b IV c II d III Rectas y parábolas EJERCICIO 19 : Resuelve gráfica y analíticamente los sistemas siguientes:

a)

x1y3x2xy 2

b)

03yx5x4xy 2

c)

03y11x8x2y 2

Solución: a) Resolución analítica: Despejamos y de cada ecuación e igualamos:

x2 2x 3 1 x x2 3x 4 0

43 9 16 3 5

2 21

x

Si x 4 y 1 4 5 Si x 1 y 0 Las soluciones son: x 4, y 5 ; x 1, y 0

Resolución gráfica Representamos la parábola y x2 2x 3:

Vértice:

2 1 1 2 3 42 2bx ya

1, 4V

Cortes con los ejes: Eje Y x 0 y 3 0, 3

2

12 4 12 2 4Eje 0 2 3 0

2 23

X y x x x

1, 0 y 3, 0

Valores en torno al vértice:

X -4 -2 -1 0 2 Y 5 -3 -4 -3 5

Representamos la recta y 1 x:

x 1 0

y 0 1

Observamos en la gráfica que la parábola y la recta se cortan en 4, 5 y 1, 0.

b) Resolución analítica : Despejamos y de cada ecuación e igualamos:

22

2 2

34 5 4 533

3 12 15 3 3 13 18 03

xy x x x xxy x x x x x

13 169 216 13 47

6 6x El sistema no tiene solución.

Resolución gráfica Representamos la parábola y x2 4x 5:

Vértice:

4 2 4 8 5 12 2

bx ya

V2, 1

Puntos de corte con los ejes: Con el eje Y x 0 y 5 0, 5 Con el eje X y 0 x2 4x 5 0

x X

4 16 20 4 4 La parábola no corta al eje .2 2

Puntos próximos al vértice: X 0 1 2 3 4 Y 5 2 2 2 5

xy y x

3 1Representamos la recta 1.

3 3

x 0 3

y 1 0

Se observa en la gráfica que la parábola y la recta no se cortan. c) Resolución analítica : Se despeja y de cada ecuación y se igualan:

22

2 2

2 8 11 2 8 11 33 2 8 8 0 4 4 0

y x x x xy x x x x

x

4 16 16 4 2

2 2 La solución del sistema es: x 2, y 3

Resolución gráfica Se representa la parábola y 2x2 8x 11:

Vértice: bx

Vay

8 22, 32 4

8 16 11 3

Puntos de corte con los ejes: Con el eje Y x 0 y 11 0, 11 Con el eje X y 0 2x2 8x 11 0

8 64 88 8 24 No corta al eje .

4 4x X

Puntos próximos al vértice:

X 0 1 2 3 4 Y -11 -5 -3 -5 -11

Por otro lado, se representa la recta y 3, constante.

Hay un único punto de corte entre la recta y la parábola, que corresponde al punto 2, 3.

Funciones a trozos EJERCICIO 20 : Representa las funciones cuyas expresiones analíticas son:

a)

2x si 02x1- si 1x

-1x si 2y b)

4x si 6-x4x 0 si 3

0x si 3xy c)

6 x 2 si 72x-

2x1- si 1-

3x si 2

1x

y

d)

2x si 12x

2x 1 si 1-5x

1x si 23

y e)

1x si 61x 1- si 42x

-1x si 2y

f)

2x si 3

2x1- si 1x

-1x si 5x2

y 2 g)

1x si 4x

1x 2- si )4x4(31

-2x si 4

y

2

Solución: a) Calculamos la tabla de valores en los tres trozos:

X - -2 -1 -1 2 2 3 + Y -2 -2 -2 0 3 0 0 0

Representamos los tres trozos en los mismos ejes:

b) Calculamos la tabla de valores en los tres trozos:

X - -1 0 0 4 4 5 + Y - 2 3 3 3 -2 -1 +

Representamos los tres trozos en los mismos ejes:

c) Calculamos la tabla de valores en los tres trozos:

X - -5 -3 0 2 2 6 Y - -3 -2 -1 -1 3 -5

Representamos los tres trozos en los mismos ejes:

d) Calculamos la tabla de valores en los tres trozos:

X - 0 1 1 2 2 3 + Y 1 1 1 4 9 5 7 +

Representamos los tres trozos en los mismos ejes:

e) Calculamos la tabla de valores en los tres trozos:

X - -2 -1 -1 1 1 2 + Y 2 2 2 2 6 6 6 +

Representamos los tres trozos en los mismos ejes:

f) Calculamos la tabla de valores en los tres trozos:

X - -2 -1 -1 -1/2 0 1 2 2 3 + Y - 1 3 0 -3/4 0 3 3 3 3

Representamos los tres trozos en los mismos ejes:

g) Calculamos la tabla de valores en los tres trozos:

X - -3 -2 -2 1 1 2 + Y -4 -4 -4 -4 0 -3 0 +

Representamos los tres trozos en los mismos ejes:

EJERCICIO 21 : Halla las expresiones analíticas de las funciones cuyas gráficas son las siguientes: a) b) c) d)

Solución: a) Buscamos la ecuación de cada uno de los tramos de rectas que forman la función:

Para x < 3, la recta es y = 2. Para 3 x 5, la recta pasa por (3, 2) y (5, 1):

3 3 3 15 3 131 5 12 2 2 2 2 2

m y x y x y x

Para x > 5, la recta es y 1.

Así pues, la expresión analítica de esa función es:

2 si 33 13 si 3 52 21 si 5

x

y x x

x

b) De cada tramo de la recta, buscamos la ecuación:

Para x < 0, la recta pasa por (1, 0) y (3, 2): 2 1 12

m y x

Si 0 x 2, la recta pasa por (0, 1) y (2, 2): 3 3 31 12 2 2

m y x y x

Para x > 2, la recta es y 2.

La expresión analítica de la función es:

1 si 03 1 si 0 222 si 2

x x

y x x

x

c) Buscamos la ecuación de cada uno de los tramos de recta que forman la función:

Para x < 1, la recta pasa por los puntos (2, 2) y (3, 3): m 1 y x Para 1 x < 1, la recta es y 1.

Para x 1, la recta pasa por (1, 1) y (2, 0): 1 1 1 2 21

m y x y x

La expresión analítica pedida es: si 1

1 si 1 12 si 1

x xy x

x x

d) Buscamos la ecuación de cada uno de los tramos de rectas observando que hay dos que son constantes:

Si x < 2, la recta es y 3. Si x 2, la recta es y 1. Si 2 x 2, la recta pasa por los puntos (1, 2) y (0, 1):

1 1 1 11

m y x y x

La expresión analítica de la función es: 3 si 2

1 si 2 21 si 2

xy x x

x

EJERCICIO 22 : Observa la gráfica de la función f, completa la siguiente tabla de valores y halla su expresión analítica:

Solución: Completamos la tabla observando la gráfica:

x 3 52

1 0 1 3

y 2 0 1 0 1 3

Para hallar la expresión analítica de la función f, buscamos la ecuación de cada tramo de recta:

5 Si < 2, la recta pasa por ( 3, 2) y , 0 :2

x

2 54 4 4 101 22

m y x y x

Si x 2, la recta pasa por (0, 0) y (1, 1): m 1 y x

La expresión analítica de la función f es: 4 10 si 2

si 2x x

yx x

Funciones de proporcionalidad inversa EJERCICIO 23 : Representa gráficamente las siguientes funciones:

a) 4x

3y

b) 23x

1y

c) 5x7xy

Solución: a) Dominio de definición: R – {-4} Tabla de valores

X - -7 -5 -4- -4+ -3 -1 + Y 0 1 3 + - -3 -1 0

Las asíntotas son la recta y 0 y la recta x 4.

b) Dominio de definición: R – {3}

X - 1 2 3- 3+ 4 5 + Y -2 -1,5 -1 + - -3 -2,5 -2

Las asíntotas son las rectas x 3 e y 2.

c) 5x7xy

5x

21y

Dominio de definición: R – {5}

X - 3 4 5- 5+ 6 7 + Y -1 -2 -3 - + 1 0 -1

. Las asíntotas son las rectas x 5, y 1.

Funciones radicales EJERCICIO 24 : Representa gráficamente las siguientes funciones: a) y = x31 b) y = 1x3 c) y = 13x2 Solución:

a) Dominio de definición: (-,0]

Hacemos una tabla de valores:

X - -3 -2 -1 0 Y - -2 -1,45 -0,73 -11

1b) Dominio de definición: ,3

Hacemos una tabla de valores:

X 1/3 1 2 3 + Y 0 1,41 2,24 2,83 +

c) Dominio de definición:

,

23

Tabla de valores:

X -3/2 -1 1/2 3 + Y -1 0 1 2 +

Funciones radicales y de proporcionalidad inversa

EJERCICIO 25 : Resuelve gráficamente el siguiente sistema:

4x2y

2x2y

Solución: Representamos gráficamente cada una de las funciones: 2 2 Es una función radical.y x

Dominio de definición: 2, Tabla de valores:

X 2 3 6 11 + Y -1 2 4 6 +

yx

2 Es una función de proporcionalidad inversa.4

Dominio de definición: 4 Tabla de valores:

X - 2 3 4- 4+ 5 6 + Y 0 1 2 + - -2 -1 0

Las asíntotas son las rectas x 4, y 0.

En la gráfica se observa que el sistema tiene una solución: x 3 y 2 EJERCICIO 26

a) De la siguiente hipérbola, di cuál es su dominio, cuáles son sus asíntotas y represéntala: y = x13

b) Halla el valor de k para que el dominio de la función y = 1kx sea [4,+). Haz la representación gráfica.

Solución:

a Dominio de definición: 0

Tabla de valores en puntos próximos a x 0:

X - -2 -1 0- 0+ 1 2 + Y -3 -3,5 -4 - + -2 -2,5 -3 Luego las asíntotas son las rectas x 0, y 3.

b Para que el dominio de definición sean los valores de x 4, se necesita tomar k 4

así, x 4 0. Hacemos una tabla de valores

X 4 5 8 13 + Y 1 2 3 4 +

Exponenciales y logarítmicas EJERCICIO 27 : Representa las siguientes funciones haciendo en cada caso una tabla de valores: a y 20,5x b y log6 x Solución:

0,5 2a) 2 equivale a 2x

xy y

X - -4 -2 0 2 4 + Y 0 1/4 1/2 1 2 4 +

Se observa en la gráfica que es una función creciente, cosa que ya sabíamos puesto que

122 2 1.a

b

X 6- 6-2 6-1 60 61 62 6+

x 0+ 1/36 1/6 1 6 36 + y + +2 1 0 -1 -2 -

EJERCICIO 28 a Pon en forma exponencial 40,5x y representa la función y 40,5x.

b Comprueba si pertenecen a la gráfica de y log5 x los puntos 1, 2, 5, 1,

1,

51

, (3,-2) y

(25,2) Solución:

1

0,5 0,5 2a) 4 4 4 4 2x

xxx x

Representar la función y 40,5x equivale a representar la función y 2x. Hacemos una tabla de valores:

X - -2 -1 0 1 2 + Y 0 1/4 1/2 1 2 4 +

b El dominio de definición de y log5 x es 0, , luego el punto 1, 2 no pertenece al dominio por ser x 1 0. El resto de puntos tienen abscisa positiva, luego pueden pertenecer a la gráfica de la función:

15

15

5,1 1 5 5 5Pertenecen a la gráfica.

1 1 1, 1 1 55 5 5

log

log

25 2

1 13, 2 2 3 5 3 No pertenece a la gráfica.255

log

log 2525, 2 2 25 5 25 Pertenece a la gráfica.

Los puntos que pertenecen a la gráfica son: 15,1 , , 1 y 25, 25

EJERCICIO 29

a Halla el valor de k y a para que la gráfica de y kax pase por los puntos 1, 6 y

43,2 .

Indica razonadamente si la función obtenida será creciente o decreciente, sin representarla. b Representa la función y 2 log7 x. Solución:

3a) pasa por los puntos 1, 6 y 2, :4

xy ka

12

3 312

36 3 1 143 6 24 8 24

ka ka a a akaka

1 16 6 6 3

2k k a k k

a

1 1La función es 3 , función decreciente por ser 1.2 2

x

y a

b

X 7- 7-2 7-1 70 71 72 7+

x 0 1/49 1/7 1 7 49 + y - 0 1 2 3 4 +

EJERCICIO 30 : Escribe el dominio de la función y 4x y represéntala gráficamente. Escribe la expresión analítica y representa la función inversa de y 4x. Solución: y 4x es una función exponencial su dominio son todos los números reales.

Hagamos una tabla de valores para representarla:

X - -2 -1 0 1 2 + Y 0 1/16 ¼ 1 4 16 +

La expresión analítica de la función inversa de y 4x es y log4 x, cuya tabla de valores será:

X 0 1/16 ¼ 1 4 16 + Y - -2 -1 0 1 2 +

EJERCICIO 31 a Construye la gráfica de y 0,7x y, apartir de ella, representa la función y 0,7x 2. b Indica cuál es el dominio de la función y log x y escribe tres puntos que pertenezcan a la

gráfica. Solución: a y 0,7x: función exponencial de base a 0,7 1, luego decrece en su dominio, que es . Hagamos una tabla de valores:

X - -2 -1 0 1 2 + Y + 2,0 1,43 1 0,7 0,49 0

La función y 0,7x 2 se obtiene desplazando dos unidades hacia arriba la gráfica anterior, o lo que es igual, sumando 2 unidades a los valores obtenidos anteriormente para y.

b y log10 x dominio de definición: 0,

102

10

110

10,1 1 10100, 2 2 100 10 1001 1 1, 1 1 10

10 10 10

loglog

log

EJERCICIO 32 : Calcula, usando la definición de logaritmo, y sin calculadora:

a) 53 81log b) log 0,001 c)

641log4 d)

251log5 e) 4

5 5log f) 25log5

g) 37 49log h) 512log 2 i) 008,0log5 j) 4

2 4log k) 5,0log 2 l) 256log 2

m) log 01,0 n) 305log6 ñ) 243log 3

Solución:

4

5 45 53 3 3 3

1

4 4a 81 3 3 35 5

log log log log log log log 3

1

b 0,001 10 3 10 3

log log log log log 34 4 4 4 4

0 1

1c 1 64 4 3 4 364

d)

log log log log log 55 5 5 5 5

0 1

1a 1 25 5 2 5 225

e) 1

4 45 5 5

1

1 1b 5 5 54 4

log log log f log5 125 log5 53 3 log5 5 3

g)

log log log log 2

3 23 37 7 7 7

1

2 2a 49 7 7 73 3

h)log log log 9

2 2 21

b 512 2 9 2 9

i)

35 5 5 5 5

1

8 1c 0,008 5 3 5 31000 125

log log log log log

j) 2 1

4 24 4 22 2 2 2 2

1

1 1a 4 2 2 2 22 2

log log log log log

k) log log log log 12 2 2 2

1b 0,5 2 1 2 12

l)c log2 256 log2 28 8 log2 2 8

m) log log log log

12 2

1

1 1 2a 0,01 10 10 1100 2 2

n)

16 6 6 6

1

5 1b 6 1 6 130 6

log log log log ñ) 5

3 3 3

1

c 243 3 5 3 5log log log

EJERCICIO 33 : Resuelve estas ecuaciones:

a) 1255 1x2 2

b) 3)3x5(log 3 c) 1x6x2 25,02 d) 0)xx2(log 25

e) 256x5

2

749

f) 2)1x(log 2 g) 33x-1 = 9x+6 h) log2 (x2-5x+8) = 2

i) 14 x8x2

j) log (11x – 1) = -1 Solución: a Expresamos como potencia de 5 el segundo miembro e igualamos los exponentes:

2 22 1 2 1 3 2 2 25 125 5 5 2 1 3 2 2 1 1x x x x x x

b Aplicamos la definición de logaritmo: log3 5x 3 3 5x 3 33 5x 3 27 5x 30 x 6 Comprobación de la solución log3 5 6 3 log3 27 log3 33 3 log3 3 3 Solución válida

c Expresamos el segundo miembro como potencia de 2. A continuación, igualamos exponentes:

12 6 12

4

xx

x x

xx x x x x

x x x x

12 2 22 22 6 2 6 2 6 1 2 6 2 21 12 2 2 2 2 2

2 2

2 6 2 2 4 8 2

d log5 2x2 x 0, aplicando la definición de logaritmo, equivale a 2x2 x 50

2x2 x 1 2x2 x 1 0

11 1 8 1 3

4 42 14 2

x

Comprobación de las soluciones Si x 1 log5 2 1 log5 1 0 x 1 es solución.

x log log log x

5 5 51 1 1 1 1 1Si 2 1 0 también es solución.

2 4 2 2 2 2

e) Expresamos el primer miembro como potencia de 7 e igualamos exponentes:

2 2 26 6 2 6

5 2 2 25 25 25 5 25 2 6 2 649 7 7 7 7 75 25 5 25

x x xx x

2 4 225 5

x x

f Aplicando la definición de logaritmo, se obtiene:

log x x x x x 22

1 1 51 2 1 2 1 14 4 4

Comprobación de la solución:

22 2 2 2

5 11 2 2 2 2 válida4 4

log log log log

x 5La solución es: 4

g Expresamos como potencia de 3 el segundo miembro e igualamos exponentes:

53 1 5 3 1 2 3 1 2 103 9 3 3 3 3 3 1 2 10 11

xx x x x x x x x

h log2 x2 5x 8 2 x2 5x 8 22 hemos aplicado la definición de logaritmo

x2 5x 8 = 4 x2 5x 4 = 0

45 25 16 5 9 5 3

2 2 21

x

Comprobación de las soluciones Si x 4 log2 16 20 8 log2 4 log2 22 2 log2 2 2 x 4 es solución. Si x 1 log2 1 5 8 log2 4 log2 22 2 log2 2 2 x 1 es solución.

i) 2 23 3 0a 4 1 equivale a 4 4x x x x

Igualando exponentes: x2 3x 0 x x 3 0 Luego x 0 y x 3 son las soluciones.

j log 11x 1 1 equivale a 11x 1 101 hemos aplicado la definición de logaritmo

1 1 11 111 1 11 1 11

10 10 10 10x x x x

Comprobación de la solución

111 11 10 1 10 110 10

1La solución es válida.10

log log log log

x

Problemas EJERCICIO 34 : Colocamos en el banco 25 000 € al 5 de interés anual. a Escribe la función que expresa el capital acumulado en función del tiempo, t, que permanezca el

dinero en el banco. b ¿Cuánto tardará el dinero en duplicarse? Solución: a C capital acumulado

5 de interés anual significa que el capital que hay a principios de año se multiplica por 1,05 al final. La expresión que da el capital acumulado al cabo de t años es: 25000 1,05 0tC t

b Nos piden calcular t para que el capital se duplique: 25 000 1,05t 50 000 1,05t 2 t 15 años Tardará en duplicarse, aproximadamente, 15 años.

EJERCICIO 35 : Se cerca una finca rectangular de área A con 42 m de alambrada, sin que sobre ni falte nada. a Expresa el área de la finca en función de uno de sus lados b Representa gráficamente la expresión anterior. c ¿Cuál es el dominio de definición? d ¿Para qué valor de los lados obtenemos la finca de área máxima? Solución: Las dimensiones de la finca son x, 21 x. a A área de la finca

La expresión analítica buscada es Ax x 21 x Ax x2 21x, que es una función cuadrática.

b Será una parábola abierta hacia abajo:

21 441 441 441Vértice: 110,252 4 2 4

x y V 10,5; 110,25

Puntos de corte con los ejes:

2

0Eje 0 21 0 21 0

21

xX y x x x x

x

0, 0 y 21, 0

Eje Y x 0 y 0 0, 0

Tabla de valores: X 5 10 10,5 15 20 Y 80 110 110,25 90 20

c Por ser x una longitud y Ax un área, la gráfica corresponde solo al primer cuadrante. Dominio de definición: 0, 21

d El área es máxima en el vértice, y mide 110,25 m2. Se obtiene tomando como lados x 10,5 m y 2110,5 = 10,5 m es decir, el área es máxima si la finca es cuadrada.

EJERCICIO 36 : Expresa el lado de un cuadrado en función de su área. ¿Qué tipo de función obtienes? ¿Cuál es su dominio? Represéntala gráficamente. Solución:

2área del cuadradolado del cuadrado

AA l l A

l

La función obtenida es una función radical. Dominio de definición 0, Para representarla gráficamente, hacemos una tabla de valores:

X 0 1 4 9 + Y 0 1 2 3 +

EJERCICIO 37 : Una central nuclear tiene 1 kg de una sustancia radiactiva que se desintegra reduciéndose a la mitad cada 5 años. a ¿Qué cantidad de esa sustancia tendremos al cabo de 10 años? b ¿Cuál es la función que da la cantidad de sustancia radiactiva según los años transcurridos,

suponiendo que el ritmo de desintegración se mantiene? Solución: a Al cabo de 5 años habrá 0,5 kg de sustancia radiactiva, luego al cabo de 10 años habrá 0,25 kg 250 g

de sustancia radiactiva. b Llamamos C cantidad de sustancia radiactiva kg

t tiempo años

La función que describe el problema es: 5

511 0,52

tt

C t C t

EJERCICIO 38 : María se quiere comprar una parcela rectangular que tenga como área 1 200 m2. a Escribe la función que da el ancho de la finca en función del largo. b Haz la gráfica correspondiente. Solución: a Llamamos x largo de la finca

y ancho de la finca

1200El área de la finca será = 1200 x y y

x

b Puesto que x e y son longitudes, ambas han de ser positivas, luego el dominio de definición será 0,

Hacemos una tabla de valores para

representarla:

X 0+ 200 400 600 + Y - 6 3 2 0

Recopilación EJERCICIO 39 : a Representa esta función: 2x 5y 2 0 b Asocia a cada una de las gráficas, una de las siguientes expresiones

1. y x2 2. y x 12 3. y 4x2 2 4. y 2x2 x Solución: a 2x 5y 2 0 Hacemos una tabla de valores:

b 1 II 2 IV 3 III 4 I

EJERCICIO 40 : a Calcula la ecuación de la recta que pasa por los puntos A1, 3 y B5, 4, y haz su gráfica. b Halla la ecuación de la siguiente parábola:

Solución:

a Calculamos el valor de la pendiente: 3 4 7 71 5 6 6

m

La ecuación será de la forma:

7 7 113 16 6 6

y x y x

7 11La representación gráfica de la recta es:6 6

y x

b Por ser una parábola, su ecuación será de la forma: y ax2 bx c Por ser el punto de corte con el eje Y el 0, 10 c 10 Para calcular a y b, observamos que la parábola pasa por los puntos 2, 0 y 5, 0: 0 4 2 10 2 50 25 5 10 5 2

7 7 1

a b a ba b a b

a a

Luego b 5 2 3 b 3 Por tanto, la ecuación de la parábola es: y x2 3x 10

EJERCICIO 41 : a Halla la ecuación de la recta representada:

b Representa esta parábola: y x2 8x 9 Solución: a Por ser una recta, su ecuación será de la forma: y mx n

Como pasa por 0, 1 n 1 2Además, (3, 3) es un punto de la gráfica 3 3 13

m m

La ecuación buscada es: 2 13

y x

b Calculamos el vértice que tiene la parábola y x2 8x 9 :

8 4 16 32 9 25 4, 252 2

bx y Va

Puntos de corte con los ejes: Eje Y x 0 y 9 0, 9

2

98 64 36 8 10Eje 0 8 9 0

2 21

X y x x x

La parábola corta al eje X en 9, 0 y 1, 0.

Tabla de valores en torno al vértice:

X 1 2 4 5 6 Y -16 -21 -25 -24 -7

EJERCICIO 42 : a Calcula la ecuación de la recta que pasa por (1,2) y cuya pendiente es m = 2/3. Represéntala gráficamente. b Asocia a cada gráfica una de las siguientes expresiones:

1. y 2x2 1 2. 2xy

2 3. y 5x2 2x 1 4. y x 32

Solución:

a Ecuación punto-pendiente: 2 2 2 2 42 1 23 3 3 3 3

y x y x y x

b 1 II 2 III 3 IV 4 I

EJERCICIO 43 : a Halla la ecuación de la recta dada por la siguiente gráfica:

b Representa la parábola siguiente: y x2 8x 12 Solución: a La ecuación de la recta será de la forma: y mx n

1 1Por ser el punto de corte con el eje 0,2 2

Y n

Además, la recta pasa por 1, 0, luego:

1 102 2

m m

Por tanto, la ecuación es:

1 12 2

y x

b y x2 8x 12

8Vértice 4 16 32 12 4 4, 42 2bx y Va

Puntos de corte con los ejes: Eje Y x 0 y 12 0, 12

2 8 64 48 8 16Eje 0 8 +12 02 26

8 42

2

X y x x x

Los puntos de corte con el eje X son 6, 0 y 2, 0.

Tabla de valores en torno al vértice:

X 1 3 4 5 7 Y 5 -3 -4 -3 5

EJERCICIO 44 : Asocia cada gráfico con una de estas expresiones:

a) y = 21x

4

b) y log2 (x 1) c) y =

x

31

d) y = 21x2

Solución: a) II b) IV c) III d) I EJERCICIO 45 : Asigna a cada gráfica, la expresión que le corresponde:

a) y 3,2x b) y 3 logx c) y = 5x2

2

d) y = -1 + 2x4

Solución: a) III b) IV c) II d) I EJERCICIO 46 : Relaciona cada gráfica con su expresión correspondiente:

a) y = 3x5 b) y = - x

94

c) y log3 (x 1) d) y = 1x4

1

Solución: a) I b) III c) IV d) II

EJERCICIO 47 : Asocia cada gráfica con una de estas expresiones:

a) y 1 log5 2x b) y 1,7x c) y = 2 7x d) y = 31x

2

Solución: a) IV b) III c) I d) II EJERCICIO 48 : Asocia cada gráfica con la expresión que le corresponda:

a) y 0,8x b) y = 1 - 5x c) y = 2x

1

d) y 3 log6 (x 2)

Solución: a) III b) I c) II d) IV EJERCICIO 49 : Asocia a cada gráfica la expresión que le corresponde: a) y = 3 + 1x

b) y = -2 + 3x

1

c) y = x

31

d y log3 x

Solución: a I b IV c III d II EJERCICIO 50 : Asocia a cada gráfica una de estas expresiones: a) y = - 3x

b) y = 2x4

c 1,7x

d y log5 x

Solución: a III b IV c I d II

EJERCICIO 51 : Asocia a cada gráfica una de las siguientes expresiones: a y log7 x

b) y = 1x

c) x1

2y

d) y = x

32

Solución: a III b I c IV d II EJERCICIO 52 : Asocia a cada gráfica una de estas expresiones: a) y = 1 + x

b y 5x

c y log3 x 1

d) y = x3

Solución: a II b III c I d IV EJERCICIO 53 : Relaciona cada gráfica con la expresión analítica correspondiente: a y 2,5x

b) y = 11x

2

c y 1 log2x

d) y = x2,0

Solución: a II b I c III d IV

1

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN EJERCICIO 1 : Indica cuáles de las siguientes representaciones corresponden a la gráfica de una función. Razona tu respuesta: a) b) c)

Solución: a) y c) son funciones, porque para cada valor de “x” hay un único valor de “y”. b) no es una función, porque para cada valor de “x” hay dos valores de “y”. DOMINIO EJERCICIO 2 : Calcular el dominio de las siguientes funciones

a) f(x) = x2 - 4x + 3 b) 3x4x

3x2)x(f2

c) f(x) = 3 2 3x4x

d) f(x) = 3x4x 2 e) 1x

3x4x)x(f2

f )

3x4x

1x)x(f2

g ) 3x4x

1x)x(f 2

Solución:

a) D(f) = R

b) D(f) = R – {x / x2 – 4x + 3 = 0} x2 -4x + 3 = 0 x = 13

212164

D(f) = R – {1,3}

c) D(f) = R d) D(f) = {x / x2 – 4x + 3 0} x2 – 4x + 3 0

D(f) = (-,1] U [3,+)

e)

01x03x4x 2

1x),3[]1,(x

x (-,-1) (-1,1] [3,+)

f)

03x4x

03x4x2

2

3,1x),3[]1,(x

x (-,1) (3,+)

1

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN Ejercicio 1: Indica cuáles de las siguientes representaciones corresponden a la gráfica de una función. Razona tu respuesta: a) b) c) d)

DOMINIO Ejercicio 2: Calcular el dominio de definición de las siguientes funciones:

a) y = 6x

12

b) y = x21 c) y = 4x

x2

d) y = x2

e) y = 4x

12

f) y = 2x

1

g) y = x2x

12

h) y = x36

i) y = 2)5x(3

j) y = 3 4x2 k) y = x1x l) y = 1x 2

m) y = 3x2x

n) y = log2 (x2 – 4) ñ) y = tag x

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DADAS GRÁFICAMENTE Ejercicio 3 : Observando la gráfica de estas funciones, estudia sus propiedades a) b) c) d)

Ejercicio 4 : La siguiente gráfica muestra la altura que alcanza una pelota en función del tiempo, desde que se lanza verticalmente hasta que cae por primera vez al suelo.

a ¿Cuál es el dominio? b Indica la altura máxima que alcanza y en qué momento. c ¿Durante cuánto tiempo la altura es superior a 300 m? d Describe el crecimiento y el decrecimiento de la función y

explica su significado dentro del contexto del problema.

2 Ejercicio 5 : La siguiente gráfica muestra el recorrido que hizo Cristina durante un día de excursión desde

que salío del albergue hasta que regresó.

a Indica cuál es el dominio. b ¿Qué distancia máxima se aleja del albergue? c ¿Cuánto tiempo dedica a descansar? d Describe el crecimiento y el decrecimiento de la

gráfica y explica su significado dentro del contexto del problema.

Ejercicio 6 : La siguiente gráfica muestra el volumen de reservas de una cadena hotelera a lo largo de un año:

a ¿Cuál es el dominio? b ¿En qué mes se produce mayor número de reservas? ¿Cuántas hay? c ¿En qué periodo del año las reservas están por encima de las 15.000? d ¿En qué mes el número de reservas es de 5.000? e Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la función.

Construcción de una gráfica a través de sus propiedades Ejercicio 7 : La gráfica de una función tiene las siguientes características: a Dominio de definición: 0, ). b Crece en 0, 3 y 5, ; decrece en 3, 5. c El único punto de corte con los ejes es el 0, 0. d Tiene un máximo relativo en 3, 5 y un mínimo relativo en 5, 1. e No hay ninguna discontinuidad. Representa dicha función. Construcción de gráficas de funciones partiendo de un enunciado Ejercicio 8 : Marta sale de su lugar de trabajo a las 8 de la tarde en bicicleta y se dirige a un supermercado situado a 600 m de su trabajo, tardando en llegar 10 minutos. Después de permanecer allí un cuarto de hora, se va a un restaurante que hay a 1 km del supermercado, tardando 20 minutos en el recorrido. Tras estar 2 horas cenando con unos amigos, se va a su casa situada a 2 400 m del restaurante. Llega a su casa a las 11 y media de la noche. Representa la gráfica tiempodistancia. Ejercicio 9 : Pablo y Victor deciden hacer una marcha de 24 km en un día. Salen a las 7 de la mañana del campamento base y durante 3 h y cuarto andan un trayecto de 12 km a un ritmo constante; deciden descansar durante media hora para reponer fuerzas. Hasta la una de la tarde continúan andando recorriendo, hasta ese momento, tres cuartas partes del trayecto total. Dos horas más tarde inician el último tramo del recorrido que realizan en hora y media, momento en el que descansan 15 minutos. Regresan al campamento base haciendo una parada de un cuarto de hora a 10 km del final; llegan al campamento a las 8 y media de la tarde. Representa la gráfica tiempodistancia. Ejercicio 10 : Un coche tiene que realizar un trayecto de 900 km. Sale del lugar de origen con el depósito lleno, 44 l. Cuando lleva recorridas dos terceras partes, observa que le queda por consumir la cuarta parte del depósito y decide repostar, echando 19 l. Nuevamente, a 100 km del final, con la mitad del depósito sin consumir, vuelve a repostar para tener el depósito lleno. Continúa su trayecto hasta el final, quedándole 3/4 partes de gasolina sin consumir. Representa la gráfica distanciagasolina consumida.

g) 3x4x

1x2

0

31

x

1x

03x4x

01x2

x (-,-1] (3,+)

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES EJERCICIO 3 : Dada las gráficas de las siguientes funciones, estudia sus propiedades: a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

Solución: a Dom f 7, 5

Rec f = [-3,4] Puntos de corte con los ejes: OX: (-5,5;0); (-2,8,0), (0,0) OY: (0,0) Simetría: No es simétrica Continuidad: Continua en [-7,5] Tendencia y periodicidad: No tiene Monotonía: Creciente [-7,-4) (-2,5] ; Decreciente (-4,-2) Extremos relativos: Máximo relativo (-4,4) y Mínimo relativo (-2,-2) Extremos absolutos: Máximo absoluto (-4,4) y Mínimo absoluto (-7,-3) Curvatura: Cóncava (-6,-3) (0,5] y Convexa [-7,-6) (-3,0) Puntos de Inflexión: (-6,-1), (-3,2), (0,0)

b Dom f 4, )

Rec f = [-2,) Puntos de corte con los ejes: OX: (-2,7;0); (1,0), (5,5;0), (8,0), (13,0) y OY: (0;-1,2) Simetría: No es simétrica Continuidad: Continua en [-4,) Tendencia y periodicidad: Cuando x tiende a +, la función tiende a + Monotonía: Creciente (-1,3) (7,10) (13,+) ; Decreciente [-4,-1) (3,7) (10,13) Extremos relativos: Máximos relativos (3,2), (10,1) y Mínimo relativo (-1,-2), (7,-1), (13,0) Extremos absolutos: Máximo absoluto: No tiene y Mínimo absoluto (-1,-2) Curvatura: Cóncava [-4,-3) (0;5,2) (8,12) y Convexa (-3,0) (5,2;8) (12,+) Puntos de Inflexión: (-3;1,8), (5,2;0), (8,0), (12;0,8)

c Dom f (-, 10

Rec f = (-,12] Puntos de corte con los ejes: OX: (-10,0) OY: (0,6) Simetría: No es simétrica Continuidad: Continua en (-,10] Tendencia y periodicidad: Cuando x tiene a -, la función tiene a - Monotonía: Creciente (-,-6) (4,10] ; Constante (-6,4) Extremos relativos: No tiene Extremos absolutos: Máximo absoluto (10,12) y Mínimo absoluto no tiene Curvatura: No tiene Puntos de Inflexión: No tiene

d Dom f (-,-1) (-1,+) = R – {-1}

Rec f = R Puntos de corte con los ejes: OX: (-3,5;0), (-1,3;0), (2,0) OY: (0,3) Simetría: No es simétrica Continuidad: Continua en R – {-1}. En x = -1 es discontinua inevitable de salto finito (Salto 2) Tendencia y periodicidad: Cuando la x tiende a - la función tiende a +. Cuando la x tiende a +, la función tiende a -. Monotonía: Creciente (-2,5;-1) ; Decreciente (-;-2,5) (1,+) ; Constante (-1,1) Extremos relativos: Máximo relativo: No tiene y Mínimo relativo (-2,5;-3) Extremos absolutos: Máximo absoluto: No tiene y Mínimo absoluto: No tiene Curvatura: No tiene Puntos de Inflexión: No tiene

e Dom f R Rec f = R

Puntos de corte con los ejes: OX: (-10,0), (-5,0), (-1,0), (1,0), (5,0) y OY: (0,1) Simetría: No es simétrica Continuidad: Continua en R Tendencia y periodicidad: Cuando la x tiende a -, la función tiende a -. Cuando x tiende a +, la función tiende a + Monotonía: Creciente (-,-7) (-3,0) (3,+) ; Decreciente (-7,-3) (0,3) Extremos relativos: Máximos relativos (-7,4), (0,1) y Mínimos relativos (-3,-3), (3,-2) Extremos absolutos: Máximo absoluto: No tiene y Mínimo absoluto: No tiene Curvatura: Cóncava (-,-5) (-1,1) y Convexa (-5,-1) (1,+) Puntos de Inflexión: (-5,0), (-1,0), (1,0)

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f Dom f (-;1,5] Rec f = (-,3] Puntos de corte con los ejes: OX: (-1,5;0), (-0,5;0), (0,5;0), (1,5;0) y OY: (0,-3) Simetría: No es simétrica Continuidad: Continua en (-;1,5] Tendencia y periodicidad: Cuando x tiende a -, la función tiende a - Monotonía: Creciente (-,-1) (0,1) ; Decreciente (-1,0) (1;1,5] Extremos relativos: Máximos relativos (-1,3), (1,3) y Mínimo relativo (0,-3) Extremos absolutos: Máximo absoluto: (-1,3) y Mínimo absoluto: No tiene Curvatura: Cóncava (-,-0,5) (0,5;1,5] y Convexa (-0,5;0,5) Puntos de Inflexión: (-0,5;0), (0,5;0)

g Dom f R

Rec f = R Puntos de corte con los ejes: OX: (-3,0), (2,0), (4,0) y OY: (0,3) Simetría: No es simétrica Continuidad: Continua en R Tendencia y periodicidad: Cuando x tiende a -, la función tiende a -. Cuando x tiende a +, la función tiende a + Monotonía: Creciente (-,-2) (3,+) ; Constante (-2,0) ; Decreciente (0,3) Extremos relativos: Máximos relativos: No tiene y Mínimo relativo (3,-2) Extremos absolutos: No tiene Curvatura: Cóncava (0,3) y Convexa (3,+) Puntos de Inflexión: (3,-2)

h Dom f R – {-3}

Rec f = {-4} [-2,+) Puntos de corte con los ejes: OX: (-2,5;0); (-1,0), (1;0) y OY: (0,4) Simetría: No es simétrica Continuidad: Continua en R – {-3,1}. En x = -3 es discontinua inevitable de salto finito. En x = 1 es discontinua inevitable de salto finito (salto 4) Tendencia y periodicidad: Cuando x tiende a -, la función tiende a 0. Cuando x tiende a +, la función tiende a -4. Asíntotas: Asíntota vertical x = -3 (Se va al infinito). Asíntota horizontal y = 0 Monotonía: Creciente (-,-3) (-1,5,0) ; Constante (1,+) ; Decreciente (-3;-1,5) (0,1] Extremos relativos: Máximos relativos (0,4) y Mínimo relativo (-1,5;-2) Extremos absolutos: Máximo absoluto: No tiene y Mínimo absoluto {(x,-4) / x (1,+)} Curvatura: Cóncava (-1,1) y Convexa (-,-3) (-3,-1) Puntos de Inflexión: (-1,0)

i Dom f 5, )

Rec f = [0,) Puntos de corte con los ejes: OX: (-5,0), (0,0) OY: (0,0) Simetría: No es simétrica Continuidad: Continua en [-5,) Tendencia y periodicidad: Cuando x tiende a +, la función tiende a + Monotonía: Creciente [-5,-3) (0,+) ; Decreciente (-3,0) Extremos relativos: Máximos relativos (-3,3) y Mínimo relativo (0,0) Extremos absolutos: Máximo absoluto: No tiene y Mínimo absoluto (-5,0), (0,0) Curvatura: Convexa (-3,0) Puntos de Inflexión: No tiene

EJERCICIO 4 : Observa la gráfica de la función y completa la siguiente tabla de valores:

Estudia sus propiedades. Solución: Completamos la tabla:

x 4 3 1 1 3 5

y 8 5 2 2 0 0

Propiedades: Dom f (-,5]

Rec f = [-4,+) Puntos de corte con los ejes: OX: (1.5;0), (3,0), (5,0) y OY: (0,2) Simetría: No es simétrica Continuidad: Continua en (-,5] Tendencia y periodicidad: Cuando x tiende a -, la función tiende a + Monotonía: Creciente (2,4) ; Constante (-2,1) ; Decreciente (-,-2) (1,2) (4,5] Extremos relativos: Máximos relativos (4,4) y Mínimo relativo (2,-1) Extremos absolutos: Máximo absoluto: No tiene y Mínimo absoluto (2,-4) Curvatura: No tiene Puntos de Inflexión: No tiene

EJERCICIO 5 : Representa gráficamente una función, f, que cumpla las siguientes condiciones: a Dom f 5, 6 b Crece en los intervalos (5, 3) y 0, 6]; decrece en el intervalo 3, 0.

c Es continua en su dominio. d Corta al eje X en los puntos 5, 0, 1, 0 y 4, 0. e Tiene un mínimo en 0, 2 y máximo en 3, 3 Solución:

EJERCICIO 6 : Una función, f, cumple las siguientes condiciones: a El dominio de definición son todos los valores de x 3. b Es continua en su dominio. c Crece en el intervalo 2, 3. d Pasa por los puntos 0, 0, 2, 3 y 3, 4. e Es constante para todos los valores de x 2.

EJERCICIO 7 : Representa gráficamente una función, f, que cumpla las siguientes condiciones: a) Está definida en todo R b) Es continua. c) Corta al eje Y en 0, 6, pero no corta al eje X. d) Crece en 3, 0 y 3, . Decrece en , 3 y 0, 3.

e Su mínimo es 3, 1, y pasa por el punto 3, 2. Solución:

EJERCICIO 8 : Haz la gráfica de una función que cumpla:

a) Dominio de definición: R – {-1} b) Corta al eje X en x 2, x 0 y x 4. c) Crece en , 1 y 0, 2; y decrece en 1, 0 y 2, d) Tiene un máximo relativo en 2, 3. Solución:

EJERCICIO 9 : Desde su casa hasta la parada del autobús, María tarda 5 minutos la parada está a 200 m de su casa; espera durante 10 minutos, y al ver que el autobús tarda más de lo normal, decide ir andando a su lugar de trabajo, situado a 1 km de su casa. Al cuarto de hora de estar andando y a 300 m de su trabajo, se da cuenta de que el teléfono móvil se le ha olvidado en casa y regresa a buscarlo, tardando 10 minutos en llegar. Representa la gráfica tiempo-distancia a su casa. Solución:

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EJERCICIO 10 : Eduardo se va de vacaciones a una localidad situada a 400 km de su casa; para ello decide hacer el recorrido en coche. La primera parada, de 30 minutos, la hace al cabo de hora y media para desayunar, habiendo realizado la mitad del recorrido. Continúa su viaje sin problemas durante 1 hora, pero a 100 km del final sufre una parada de 15 minutos. En total tarda 4 horas en llegar a su destino. Representa la gráfica tiempo-distancia recorrida. Solución:

EJERCICIO 11 : Construye una gráfica que corresponda a los ingresos anuales que obtienen unos grandes almacenes, sabiendo que: Durante los dos primeros meses del año, aumentan paulatinamente debido a las ofertas; desde marzo hasta junio los ingresos van disminuyendo alcanzando, en ese momento, el mínimo anual. En julio y agosto vuelven a crecer los ingresos, alcanzando el máximo del año en agosto. A partir de entonces se produce un decrecimiento que llega a coincidir, en diciembre, con los ingresos realizados al comienzo del año. Solución: Esta es una posible gráfica que describe la situación anterior:

EJERCICIO 12 : Construye una gráfica que se ajuste al siguiente enunciado: A las 0 horas, la temperatura de una casa es de 15 C y, por la acción de un aparato que controla la temperatura, permanece así hasta las 8 de la mañana. En ese momento se enciende la calefacción y la temperatura de la casa va creciendo hasta que, a las 14:00 h, alcanza la temperatura máxima de 25 C. Paulatinamente, la temperatura disminuye hasta el momento en que se apaga la calefacción a las 10 de la noche volviendo a coincidir con la que había hasta las 8:00 horas. Solución:

EJERCICIO 13 : Construye una gráfica que describa la siguiente situación: Rosa tardó, esta mañana, 20 minutos en llegar desde su casa al supermercado situado a 2 km de su casa; después de 40 minutos comprando, regresó en taxi a su casa tardando 10 minutos en llegar. Tras permanecer 50 minutos en su casa, cogíó el coche para ir a una cafetería situada a 6 km, para lo cual tardó un cuarto de hora. Al cabo de hora y cuarto, volvió a coger el coche y regresó a su casa, tardando en esta ocasión media hora debido al tráfico. Solución: