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HERRAMIENTA PARA ELPROYECTO Y ANLISIS DE

ESTRUCTURAS HIPERESTTICASDE HORMIGN PRETENSADO

706-TRE-OP-5140

Autor: Carlos Lpez Jimnez

Tutor: Jess Miguel Bairn Garca


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Agradecimientos

No habra sido posible la realizacin de este TFC sin la ayuda y el apoyo de

varias personas que, de forma directa o indirecta, han intervenido para hacerlo posible.

En primer lugar, y muy especialmente, dar las gracias a mi tutor Jess Miguel

Bairn por su orientacin, tiempo dedicado y ayuda en la realizacin del trabajo, y por

darme la oportunidad de aprender y ampliar mis conocimientos gracias a su experiencia.

A mi familia, por darme la oportunidad de estudiar y abrir las puertas de un futuro

prometedor, por soportar mis malos das de nervios y agobios, y sobre todo por estar ah

siempre y darme fuerzas para seguir adelante.

A mi compaera y amiga, por hacerme de apoyo y refugio, por sus nimos y

esperanzas, por compartir nuestros sueos.

A mis compaeros de Obras Pblicas, los que han estado cerca cuando haca

falta, por su apoyo moral en los buenos y malos momentos.

A todos ellos y al resto de personas que han recorrido este camino a mi lado,

Gracias.


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HERRAMIENTA PARA EL PROYECTO Y ANLISIS DE ESTRUCTURASHIPERESTTICAS DE HORMIGN PRETENSADO

706-TRE-OP-5140

Autor: Carlos Lpez Jimnez Tutor: Jess Miguel Bairn Garca

Resumen

El hormign es una material cuya resistencia a traccin es limitada, por lo quenormalmente requiere de armaduras. Si las armaduras son pasivas, este fisura y pierderigidez y limita el rango de luces en el que es aplicable. Por otro lado, si el hormign espretensado mediante armaduras activas puede reducirse o eliminarse la fisuracin. Sinembargo, si la estructura es continua, pueden aparecer esfuerzos de compatibilidadnuevos que dependen del trazado y valor del pretensado los cuales son parte de las

variables a definir por el propio diseo. Por lo tanto, el diseo es iterativo y entrae ciertacomplejidad. Sin embargo, tambin es susceptible de ser optimizado para encontrar lamejor combinacin de trazado y fuerza de pretensado. En esta tesina se desarrolla unaherramienta de clculo para asistir al proyecto de estructuras continuas de hormignpretensado, ya sean de tipo viga continua o prticos. La misma es aplicable a entornosdocentes para la enseanza del hormign pretensado en estructuras continuas,contribuyendo as a mejorar la comprensin del proceso de diseo mediante el manejo deconceptos de diagramas de tensiones admisibles, ncleo lmite, etc. de forma que es unacontinuacin natural del procedimiento de diseo de elementos isostticos tratado en los

cursos de grado.

En primer lugar, se ha realizado un estudio previo acerca de los conocimientos existentessobre el hormign pretensado, estructuras hiperestticas y diferentes mtodos deoptimizacin de estructuras. Se han estudiado diferentes mtodos de optimizacin, enespecial mtodos de programacin lineal, como el mtodo Simplex.

La metodologa de trabajo se ha basado en la simulacin numrica y la programacin devarias rutinas y subrutinas, a travs del programa MATLAB, con la finalidad dedesarrollar una herramienta de anlisis til para calcular y proyectar de forma correcta

estructuras hiperestticas de hormign pretensado y obtener de forma sencilla y rpidalos resultados de esfuerzos y tensiones que intervienen en dicha estructura y comprobara su vez, que el trazado y la fuerza de pretensado cumplen las condiciones establecidaspara dar por vlida la hiptesis.

El objetivo de este estudio ha sido el de llevar a cabo el anlisis de diversos problemas ocasos de estudio de estructuras de hormign pretensado dnde intervienen los esfuerzoshiperestticos y disear o proyectar un trazado y una fuerza de pretensado vlidos parastos.

Se ha programado una herramienta capaz de trabajar con diversas funciones o rutinassujetas a las diferentes variables que definen las estructuras de hormign pretensado y


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una vez contrastado que el programa era efectivo y funcionaba correctamente, se haprocedido a usar el programa para la optimizacin manual, mediante diferentesiteraciones de la herramienta de anlisis, de la fuerza de pretensado y el trazado en trescasos de estudio, teniendo en cuenta casos frecuentes de estructuras de hormignpretensado dnde intervienen esfuerzos hiperestticos.

La creacin y programacin de la herramienta para el proyecto y anlisis de estructurashiperestticas de hormign pretensado tiene tambin la finalidad de sentar unas basespara futuros estudios de la optimizacin, de forma automtica, de la fuerza y el trazadode pretensado y de las diferentes variables que intervienen en este proceso.

PALABRAS CLAVES: Hormign Pretensado, estructura hiperesttica, mtodo de

Magnel, fuerza y trazado del pretensado, diseo asistido por ordenador, optimizacin.


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TOOL FOR THE DESIGN AND ANALYSIS OF CONCRETE STRUCTURESHYPERSTATIC PRESTRESSING

706-TRE-OP-5140

Autor: Carlos Lpez Jimnez Tutor: Jess Miguel Bairn Garca

Abstract

Concrete is a material with limited tensile strength; therefore, it is usually used incombination with reinforcement. On the other hand, if the concrete is prestressed byactive reinforcement, cracking can be reduced or eliminated. However, is the thestructure is continuous, secondary moments appears, modifying the internal forcesdiagrams to which the structure is designed. These secondary internal forces depend onthe main design variables; hence, the process is iterative and may present certain

complexity. At the same time, the design is susceptible of being optimized in order tofind the best combination of prestressed layout and prestressed force. In this Minor-Thesis a tool for the design of continuous prestressed-concrete structures is developed,applicable to both continuous beams and frames. The tool is useful for academicapplications, aiming at improving understanding the design process with concepts anddiagrams of allowable stresses, central kern, etc. Therefore, it is a natural continuationof design of isostatic pre-stressed concrete structures in undergraduate courses.

In the first part of this thesis a state of the art review of statically indeterminate prestressed

structures and different methods of optimizing structures is carried out. Differentoptimization methods have been studied, in particular linear programming methods, suchas the Simplex method.

The working methodology is based on the numerical simulation and programming ofvarious routines and subroutines. MATLAB program was used in order to develop auseful analysis tool to calculate and design hyperstatic prestressed concrete structures andto get quickly present the results of stress and strain involved in the structure and in turnform check that the track and the prestressing force qualify for the hypothesis consideredvalid.

The aim of this study was to carry out the analysis of various problems or case studies ofprestressed concrete structures where the indeterminate efforts and design or designinvolved a path and force them valid for prestressing.

After validating the results of the developed program, we have proceeded to use theprogram for manual optimization through different iterations of the analysis tool, theprestressing force and the path in the case studies, taking into account frequent cases ofprestressed concrete structures where secondary internal forces took place.


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Creating and scheduling tool for the design and analysis of statically indeterminateprestressed concrete structures also aims to provide a basis for optimization,automatically, strength and route of prestressing and the different variables involved inthis process.

KEYWORDS: Prestressed Concrete, continuous structure, method Magnel, computed

assisted design, routines or functions, optimization.


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NDICE

CAPTULO 1: INTRODUCCIN Y OBJETIVOS

1.1. MOTIVAZIN ............................................................................................. 81.2. OBJETIVOS .................................................................................................. 91.3. METODOLOGA ....................................................................................... 10

CAPTULO 2: ESTADO DEL CONOCIMIENTO

2.1. EL HORMIGON PRETENSADO .............................................................. 122.1.1. Introduccin al hormign pretensado ................................................ 12

2.1.2. Historia del hormign pretensado ..................................................... 132.1.3. Principios del hormign pretensado .................................................. 142.1.4. Hormign pretesado y postesado ....................................................... 162.1.5. Ventajas hormign pretensado .......................................................... 172.1.6. Materiales empleados en pretensado ................................................. 17

2.2. CRITERIOS DE DIMENSIONAMIENTO DEL PRETENSADO ............ 192.2.1. Principios bsicos de dimensionamiento: Magnel............................. 192.2.2. Clculos y factores que influyen en el dimensionamiento ................ 22

2.3. ESFUERZOS HIPERESTTICOS DE PRETENSADO ........................... 252.3.1. Conceptos bsicos de los esfuerzos hiperestticos ............................ 25

2.3.2. Pretensado de estructuras hiperestticas ............................................ 262.3.3. Definicin del momento hiperesttico ............................................... 28

2.4. MTODOS DE DISEO DE PRETENSADO .......................................... 302.4.1. Mtodo de diseo mediante el ncleo lmite ..................................... 312.4.2. Mtodo de diseo mediante compensacin de cargas ....................... 322.4.3. Mtodos de optimizacin de estructuras ........................................... 34

2.4.3.1. Mtodos de programacin lineal: El mtodo Simplex............... 352.4.3.2.Mtodos de programacin no lineal........................................... 442.4.3.3.Mtodos de programacin lineal entera o entera mixta............ 46

CAPITULO 3: HERRAMIENTA DE ANLISIS Y BASE TERICA

3.1. INTRODUCCIN A LA HERRAMIENTA DE ANLISIS ..................... 483.2. ENTRADA DE DATOS Y HIPOTESIS .................................................... 50

3.2.1. La rutina de entrada de datos y valores iniciales ............................. 503.2.2. Entrada de las hiptesis de cargas ................................................... 573.2.3. Entrada de las hiptesis de trazado y fuerza de pretensado ........... 61

3.3. HERRAMIENTA DE ANLISIS: RUTINAS Y SUBRUTINAS ............ 66

3.4. SALIDA DE RESULTADOS .................................................................... 74


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CAPTULO 4: EJEMPLOS DE APLICACIN.................................................. 80

4.1. VIGA EMPOTRADA ................................................................................. 804.1.1. Entrada de datos e hiptesis de cargas ............................................... 824.1.2 Diseo del pretensado y salida de resultados..................................... 90

4.2. VIGA CONTINUA DE 2 VANOS ........................................................... 1024.2.1. Entrada de datos e hiptesis de cargas ............................................. 1024.2.2 Diseo del pretensado y salida de resultados................................... 109

4.3. PRTICO .................................................................................................. 1214.3.1. Entrada de datos e hiptesis de cargas ............................................. 1224.3.2 Diseo del pretensado y salida de resultados................................... 130

CAPTULO 5: CONCLUSIONES....................................................................... 146

REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS................................................................ 148

ANEJOS................................................................................................................. 150

1. EL ENTORNO MATLAB........................................................................ 1502. HERRAMIENTA DE ANLISIS: RUTINAS Y SUBRUTINAS......... 158


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Captulo 1

INTRODUCCIN

1.1. Motivacin

El diseo de herramientas de clculo de estructuras surge del reto que supone, para unIngeniero, conseguir resolver y obtener de la forma ms sencilla y rpida las solucionespara cada problema o caso de estudio. Para el diseo y anlisis de dichos problemas,siempre se ha tratado de crear, perfeccionar e innovar con diferentes herramientas deproyecto y anlisis que ayuden y faciliten a la hora de realizar unos determinados clculos,con la principal finalidad de llegar a la solucin ms correcta en el mnimo tiempo posible.

Se debe tener en cuenta que las estructuras en general son sistemas resistentes destinadosa soportar unas determinadas cargas y que a su vez deben satisfacer unos determinadosniveles de servicio establecidos a priori.

A la hora de analizar el diseo de una estructura, sta depender de un gran abanico devariables distintas que se debern tener en cuenta individualmente para as conseguir unanlisis global de la estructura. Algunas de estas variables son del tipo: material a utilizar,geometra de la estructura, formas de unin entre sus elementos, forma y dimensiones dela seccin transversal todas estas variables pueden optimizarse hasta obtener lasolucin que sea ms correcta.

Hay que tener en cuenta que el proceso de diseo tiene un carcter subjetivo, es decir,depende de los criterios y la eficiencia de la persona que los realiza. Por lo tanto, se trata

de hallar una solucin que, cumpliendo todos los requisitos existentes, sea losuficientemente correcta para que valide unas condiciones mnimas que se le exigen a laestructura.

La idea fundamental del hormign pretensado es introducir un estado de tensin, previoa la carga de la estructura, de tal manera que se anulen, o disminuyan, las tensiones detraccin en el hormign. Para disminuir dichas tensiones de traccin es necesario aplicaruna fuerza compresiva a travs de un cable o cordn en el interior de la viga. Este cordnes estirado hasta alcanzar un determinado estado de tensin, y luego anclado sobre losextremos de la viga. De este modo el cable produce un estado de compresin sobre la

viga y sta un estado de traccin sobre el cable. De este modo se consigue queglobalmente estas fuerzas estn equilibradas.


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Para el dimensionamiento de la fuerza de pretensado (P), se utilizan habitualmente lasinecuaciones de Magnel. Este mtodo consiste en suponer dos fases en eldimensionamiento del pretensado: la situacin de vaco, dnde la estructura se encuentrabajo solicitaciones mnimas, y la situacin de servicio, bajo solicitaciones mximas. Deestas dos situaciones se obtienen cuatro inecuaciones.

En el caso de estructuras hiperestticas de hormign pretensado aparecen los esfuerzoshiperestticos. En estas estructuras no existe libertad de deformaciones por este motivoaparecen unos esfuerzos hiperestticos debidos al pretensado, que llevan consigo laaparicin de reacciones en los apoyos.

La principal motivacin para la creacin de esta herramienta para el proyecto y anlisisde estructuras hiperestticas de hormign pretensado es la de ayudar a calcular de formarpida y sencilla este tipo de estructuras y, adems, que sta sirva para poder validar untrazado y una fuerza de pretensado y que se cumpla los requisitos establecidos de diseo.

1.2. Objetivos

Uno de los principales objetivos de esta tesina ha sido desarrollar una herramienta para elproyecto y anlisis de estructuras hiperestticas de hormign pretensado, que sirva paravalidar, de forma rpida y sencilla, una hiptesis inicial de trazado y fuerza de pretensadopara una estructura concreta que se desee disear o estudiar.

De esta forma, se toma como objetivo poner a punto esta herramienta de anlisis, a travsde un trabajo exhaustivo de estudio de antecedentes y de programacin, que d sus frutosen una herramienta til para la validacin del trazado y la fuerza de pretensado, as comoel clculo de los esfuerzos a los que est sometido una estructura.

Otro objetivo ha sido que esta herramienta tambin incluya los esfuerzos hiperestticos,comunes en las estructuras pretensadas en las cules no existe libertad de deformacionesy, como consecuencia, llevan consigo la aparicin de reacciones en los apoyos.

En definitiva, se pretende desarrollar y estudiar diferentes ejemplos de aplicacin de la

herramienta de anlisis para conseguir proyectar y validar un trazado y una fuerza depretensado vlidos en tres estructuras hiperestticas diferentes (viga empotrada, viga dedos vanos y prtico), y as, comprobar que la herramienta funciona de forma correcta condiferentes estructuras.

El objetivo final de esta tesina, una vez desarrollada y validada la herramienta de proyectoy anlisis, es plantar las bases para que en futuros trabajos o estudios sirva para podertrabajar en la optimizacin de la fuerza de pretensado y su trazado.


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1.3. Metodologa

En primer lugar, se ha realizado un estudio previo acerca de los conocimientos existentessobre clculo de estructuras de hormign pretensado, en especial las estructurashiperestticas.

Se han estudiado diferentes mtodos de optimizacin lineales y no lineales para el clculode estructuras, con el nico objetivo de conseguir dar una orientacin inicial para que enfuturos estudios, o tesinas, se enfoque la herramienta de anlisis de tal forma que seconsigan optimizar de forma automtica las variables que influyen en el diseo deestructuras hiperestticas de hormign pretensado, mediante el uso de alguno de estosmtodos de optimizacin.

La metodologa de trabajo se inicia con unos trabajos previos y diversas pruebas sencillasrealizadas en el entorno MATLAB y el entorno VISUAL BASIC para Excel, para

alcanzar una fluidez en el uso de los programas y decidir que entorno es el ms idneopara iniciar la programacin de las funciones o rutinas que componen la herramienta deanlisis. En este proceso se da cmo vlido, para comenzar los trabajos de programacinde las diferentes rutinas y subrutinas el entorno MATLAB por su mayor sencillez yfluidez en el clculo de matrices.

Una vez decidido que el programa en el que se trabajar ser el MATLAB, se procede ala programacin de diversos algoritmos o funciones para analizar las diferentes variablesque intervienen en el diseo de este tipo de estructuras, basados fundamentalmente en elmtodo de Magnel, y se estudia el correcto funcionamiento de la herramienta de anlisismediante un caso de estudio ms sencillo, como es una viga continua pretensada.

Una vez comprobado el correcto funcionamiento para el clculo de vigas continuaspretensadas, se procede a adaptar la herramienta de anlisis para su uso ms general ypara desarrollar un clculo y estudio paramtrico ms completo de tres casos de estudiobasados en estructuras hiperestticas de hormign pretensado, ms complejas.

La idea es, dada una estructura hiperesttica de hormign pretensado definida por sugeometra y por las cargas a las que est sometida, modificar el valor de la fuerza depretensado y la geometra del trazado del cordn de acero, para que gracias a las grficasque crea la herramienta de anlisis se pueda ver de forma rpida si la fuerza y el trazadoes correcto y cumple con las condiciones establecidas para su validacin o, por elcontrario, no se puede dar por vlido y se tienen que variar estos parmetro hasta que seconsiga validar el trazado.

Finalmente, se concluye con el anlisis de los resultados, las recomendaciones parafuturos trabajos de optimizacin de la fuerza de pretensado y las conclusiones extradas.


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Captulo 2

ESTADO DEL CONOCIMIENTO

2.1. El hormign pretensado

2.1.1. Introduccin al hormign pretensado

Se denomina hormign pretensado a la tipologa de construccin de elementosestructurales de hormign sometidos intencionadamente a esfuerzos de compresinprevios a su puesta en servicio. Dichos esfuerzos se consiguen mediante cables de aceroque son tensados y anclados al hormign.

El objetivo es el aumento de la resistencia a traccin del hormign, introduciendo unesfuerzo de compresin interno que contrarreste, en parte, el esfuerzo de traccin queproducen las cargas de servicio en el elemento estructural.

El esfuerzo de pretensado se puede transmitir al hormign de dos formas:

Mediante armaduras pretesas, mtodo utilizado mayoritariamente en elementosprefabricados.

Mediante armaduras postensadas o postesas, utilizadas mayoritariamente enpiezas hormigonadas in situ.

En general, para estructuras pretensadas, se emplean hormigones y aceros de altaresistencia, dada la magnitud de los esfuerzos inducidos.

En el esquema de esfuerzos que se ve a continuacin, se puede observar de formaesquemtica el funcionamiento del hormign pretensado y la influencia que tiene en laestructura y sobre sus esfuerzos.


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Figura 2.1. Influencia del pretensado en los esfuerzos de la estructura

2.1.2. Historia del Hormign Pretensado

A finales del siglo XIX, se comenz a estudiar la solucin de pretensar el hormign paraevitar la fisuracin, se empez a experimentar, pero no se obtuvieron resultados positivos,ya que, se usaban los mismos materiales utilizados en el hormign armado y estosmateriales no tenan las caractersticas idneas para su uso en pretensado.

Fue Eugne Freyssinet, nacido en Francia el 1875, la primera persona en llevar a cabo,desde los inicios del siglo XX, experimentos con resultados satisfactorios. Estudiando yteniendo en cuenta las propiedades de los materiales utilizados, consigui llevar a laprctica la idea de hormign pretensado. Sobre los aos 1930 patent esta tcnica y, desdeentonces, se le considera el padre del hormign pretensado.

A partir de los aos 30 se empieza a utilizar esta tcnica, principalmente en Francia,Blgica y Alemania, pero no es hasta despus de la Segunda Guerra Mundial, cuandoempez a desarrollarse realmente esta tcnica, extendindose por todo el mundo en obrasde cierta envergadura, como puentes.

En el ao 1952 se produce una reunin en Cambridge, dnde se crea la sociedadinternacional llamada Fdration Internationale de la Prcontrainte (FIP). El objetivoprincipal de esta sociedad de ingenieros era dar a conocer al mundo el concepto de laconstruccin con hormign pretensado y alentar a diferentes grupos internacionales para

crear foros en los que facilitar un intercambio de informacin y conocimientos sobre eltema.


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Figura 2.2. Ejemplo de puente con vanos de grandes luces donde se aplica el pretensado.

2.1.3. Principios del Hormign Pretensado

El hormign pretensado como tcnica estructural tiene su origen en el deseo de resolver

un problema concreto planteado en el hormign armado: la existencia de fisuracin. Laaparicin de hormigones y aceros de alta resistencia favoreci su desarrollo.

Para evitar la fisuracin, que aparece en el hormign armado, se pens en el pretensado,que somete a cargas de compresin el hormign, mediante el tesado de armaduras deacero ancladas sobre el propio hormign. As, se consigue contrarrestar las tracciones queprovocan las cargas permanentes (peso propio y cargas fijas) y las cargas de uso (cargaspor el uso de la estructura), y por tanto, se evita la aparicin de la fisuracin del hormign.

En estructuras con luces elevadas, el hormign armado se hace inviable, ya que alaumentar la distancia entre apoyos, tambin aumenta el canto, por tanto, las cargaspermanentes son mayores, aumenta el momento y la traccin en el hormign y esnecesario un cantidad de armadura demasiado elevada.


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Figura 2.3. Frmula del momento que acta en una estructura

Cuando los esfuerzos de traccin o el momento flector en la estructura son tan elevadoscomo para necesitar una cantidad de armado que haga inviable la estructura, es elmomento de recurrir al hormign pretensado. El hormign pretensado acta en laestructura contrarrestando el momento flector y reduciendo las tracciones en el hormign

Figura 2.4. Esfuerzos que aparecen al introducir una fuerza de pretensado

Como se puede observar en la siguiente figura, se aumentan los esfuerzos en los apoyos

pero se reducen en la zona ms crtica, que es el centro de vano de la estructura. Elmomento flector producido por el pretensado, contrarresta el momento flector de laestructura, disminuyndolo. Lo mismo ocurre con las tracciones, el pretensado comprimela estructura y disminuye las tracciones de la misma.


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Figura 2.5. Momentos flectores que actan en la estructura y resultante

La forma ms comn de pretensar estructuras de hormign consiste en tesado dearmaduras de acero, estas armaduras se denominan armaduras activas. Estas armadurasse anclan sobre el propio hormign.

2.1.4. Hormign pretesado o postesado

En el hormign pretesado, el hormign se vierte alrededor de tendones tensados. Estemtodo produce un buen vnculo entre el tendn y el hormign, el cual protege al tendn

de la oxidacin, y permite la transferencia directa de tensin. El hormign se adhiere alas barras, y cuando la tensin se libera, es transferida hacia el hormign en forma decompresin por medio de la friccin. Sin embargo, se requieren fuertes puntos de anclajeexteriores entre los que el tendn se estira y los tendones estn generalmente en una lnearecta. Por lo tanto, la mayora de elementos pretensados de esta forma son prefabricadosen taller y deben ser transportados al lugar de construccin, lo que limita su tamao.Elementos pretensados pueden ser elementos de balcn, dinteles, losas de forjado, vigaso pilotes.

El hormign postesado es el trmino descriptivo para la aplicacin de compresin tras elvertido y posterior proceso de secado in situdel hormign. En el interior del molde oencofrado de hormign se coloca una vaina, generalmente de plstico, acero o aluminio,que sigue el trazado ms conveniente en el interior de la pieza, es decir, siguiendo la franjadonde se registraran mayores tracciones en el elemento estructural. Una vez que elhormign se ha endurecido, los tendones se pasan a travs de los conductos o vainas.Despus dichos tendones son tensados mediante gatos hidrulicos que se apoyan contrala propia pieza de hormign.

Cuando los tendones se han estirado lo suficiente, de acuerdo con las especificaciones de

diseo, estos quedan atrapados en su posicin mediante cuas u otros sistemas de anclajey mantienen la tensin despus de que los gatos hidrulicos se retiren, transfiriendo as la


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presin hacia el hormign. La vaina es rellenada con grasa o lechada de cemento paraproteger los tendones de la corrosin. El postesado se utiliza mayoritariamente en laconstruccin de puentes con vigas de vanos largos, siendo prcticamente imprescindibleen los sistemas de construccin por voladizos y dovelas.

Tambin se puede encontrar, en algunos casos prcticos, el pretensado exterior. Elpretensado exterior se caracteriza porque el cable de pretensar discurre por fuera de laseccin de hormign, ya sea por el interior de un aligeramiento o por el exterior del cantodel elemento.

Figura 2.6. Ejemplo de trazado en pretensado exterior

2.1.5. Ventajas hormign pretensado

La resistencia a la traccin del hormign convencional es muy inferior a su resistencia ala compresin, del orden de 10 veces menor. Teniendo esto presente, es fcil notar que sideseamos emplear el hormign en elementos, que bajo cargas de servicio, deban resistirtracciones, es necesario encontrar una forma de suplir esta falta de resistencia a latraccin.

Normalmente la escasa resistencia a la traccin se suple colocando acero de refuerzo enlas zonas de los elementos estructurales donde pueden aparecer tracciones. Esto es lo quese conoce como hormign armado convencional. Esta forma de proporcionar resistenciaa la traccin puede garantizar una resistencia adecuada al elemento, pero presenta elinconveniente de no impedir el agrietamiento del hormign para ciertos niveles de carga.

2.1.6. Materiales empleados en pretensado

Anteriormente, se comenta que la aparicin del hormign pretensado se debi a latambin aparicin de materiales mejorados, como hormigones y aceros de alta resistencia.

En el hormign pretensado se usan materiales como el hormign, el acero, anclajes,acopladores, etc.

- Hormign de alta resistencia:

El hormign a utilizar en pretensado ha de ser de alta resistencia, por lo que se recomienda

utilizar hormigones de 35 MPa de resistencia a los 28 das. Adems, la relacin


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agua/cemento ha de ser de valores reducidos, y con un contenido en cemento superior alos 350 Kg/m3.

- Acero de armadura pasiva:

El acero a utilizar es el mismo que en hormign armado: barras corrugadas de 400 o 500MPa de resistencia, y mallas electro-soldadas.

- Acero de armadura activa:

El acero de la armadura activa est constituido por cordones de acero de alto lmiteelstico, de 0,5 (12,7 mm) o 0,6 (15 mm) de dimetro, engrasados y embutidos en unavaina de polietileno de alta densidad.

- Anclajes:

Los anclajes son elementos a travs de los cuales se transmite al hormign la fuerza depretensado concentrada en el extremo del tendn. Los tendones se anclarn medianteanclajes mecnicos individuales, donde la mxima penetracin de cua permitida ser de5 mm.

Figura 2.7. Ejemplo de anclaje utilizado en pretensado

- Acopladores:

Los acopladores unen cordones de pretensado en juntas de hormigonado o enprolongaciones de los tendones. Los tendones no adherentes debern acoplarse en lospuntos indicados en proyecto, y nunca en puntos de fuerte curvatura. Deben ser capaces

de desarrollar el 95 % de la carga de rotura de los tendones sin que se produzcadeslizamiento de la cua.


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2.2. Criterios de dimensionamiento de la fuerza de pretensado

2.2.1. Principios bsicos de dimensionamiento: inecuaciones de Magnel

Para el dimensionamiento de la fuerza de pretensado (P) se utilizan, generalmente, lasinecuaciones de Magnel. Este mtodo consiste en suponer dos fases en eldimensionamiento del pretensado: la situacin de vaco, dnde la estructura se encuentrabajo solicitaciones mnimas, y la situacin de servicio, bajo solicitaciones mximas. Deestas dos situaciones se obtienen cuatro inecuaciones.

- Situacin de vaco:

En este caso, el modelo a estudiar es el que se muestra a continuacin:

Figura 2.8. Representacin de la situacin de vaco

Del cual se obtienen dos inecuaciones:

1 inecuacin:Se limita que las tensiones sean mayores a la mxima tensin admisiblede compresin en la zona inferior de la pieza en situacin de vaco. En este caso seconsidera una tensin mxima a compresin para el da en el que se realice el tesado, elmomento que acta en vaco (por peso propio) y un coeficiente de mayoracin de P al serel tesado desfavorable en situacin de vaco.

Zona inferior comprimida = + , (2.1)2 inecuacin:Se limita que las tensiones sean mayores a la mxima tensin admisible

de traccin en la zona superior de la pieza en situacin de vaco. En este caso se debeconsiderar una tensin mxima de traccin para el da en el que se realice el tesado, el


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momento que acta en vaco (por peso propio) y un coeficiente de mayoracin de P al serel tesado desfavorable en situacin de vaco.

Zona superior traccionada =

, (2.2)

Para las dos inecuaciones se usar p = 1,1 por ser desfavorable.

- Situacin de servicio:

Para la situacin de servicio, las condiciones cambian y el modelo es el siguiente

Figura 2.9. Representacin de la situacin de servicio

Del cual se obtienen otras dos inecuaciones:

3 Inecuacin: Se limita que las tensiones sean mayores a la mxima tensin admisible

de traccin en la zona inferior de la pieza en situacin de servicio. En este caso seconsidera una tensin mxima a traccin a los 28 das el momento que acta encombinacin frecuente, un coeficiente de minoracin de P al ser el tesado favorable ensituacin de servicio:

Z. inferior traccionada = + ,, (2.3)


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4 Inecuacin:Se limita que las tensiones sean mayores a la mxima tensin admisiblede compresin en la zona superior de la pieza en situacin de servicio. En este caso seconsiderar una tensin mxima a compresin a los 28das, el momento que acta encombinacin poco probable y un coeficiente de minoracin de P al ser el tesado favorableen situacin de servicio.

Z. sup. Comprimida != """# ,,(2.4)Para las dos inecuaciones se usar p = 0,9 por ser favorable

Con las cuatro inecuaciones obtenidas, nuestras incgnitas son e y P, por lo que se imponeque la excentricidad e = emx y se resuelven las inecuaciones encontrando el valor de P.Este valor de P estar dentro de un intervalo, que queda definido en las cuatro rectas que

representan el diagrama de Magnel. Cada una de estas rectas es una de las inecuacionescalculadas anteriormente.

En la siguiente figura podemos ver la representacin del diagrama de Magnel definidopor cuatro rectas, donde las soluciones factibles son las que quedan dentro del polgonoformado por estas rectas.

A partir de la excentricidad mxima se define otra recta que es la que marcar la Pmx yla Pmn. Entre estos valores, se encontrar el valor de P que buscamos.

Figura 2.10. Representacin grfica de las inecuaciones de Magnel y el intervalo de soluciones


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Obtenido el intervalo en que se encuentra P, se define como:

1. Fuerza de pretensado a largo plazo: P = Pmn

2. Fuerza de pretensado descontando las prdidas: asumiendo que las prdidas de

pretensado se sitan entre el 20-30%, tomamos un valor medio del 25%.

3. Si mx P > P0, se debera de reducir la excentricidad y volver a realizar los clculos.Una vez obtenido el valor de P0, ya se puede obtener el rea de pretensadonecesaria,

2.2.2. Clculos y factores que influyen en el dimensionamiento del pretensado

En general, la fuerza de tesado P0 ha de proporcionar sobre las armaduras activas una

tensin Po no mayor, en cualquier punto, que el menor de los dos valores siguientes:

0,75fp mx,k ; 0,90fpk (2.5)

Donde:

fp mx,k : Carga unitaria mxima caracterstica

fpk: Lmite elstico caracterstico

Una vez obtenido el valor de la fuerza de pretensado P0, se puede calcular el rea depretensado necesaria y as conocer los tendones necesarios y proceder a la distribucin delos mismos.

$= %&% (2.6)

Donde:P0: Fuerza de pretensado descontando las prdidas

Po: Tensin mxima de tesado

Para conocer el nmero de tendones necesarios y proceder a su distribucin, basta conconocer el rea de pretensado y dividirla entre el rea de un tendn, que depende de sudimetro, como se indica a continuacin:

'( )* -)'*. = /0120 (2.7)


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La fuerza de pretensado, introducida en los anclajes a travs de los gatos se va perdiendocon el paso del tiempo. Esto hace que existan prdidas de pretensado, tanto instantneascomo diferidas.

Figura 2.11. Grfico de la evolucin en el tiempo de las prdidas de pretensado.

En la norma espaola EHE-08 [3] se definen los clculos de estas prdidas de la siguienteforma:

- Prdidas instantneas: Las prdidas instantneas de fuerza son aquellas quepueden producirse durante la operacin de tesado y en el momento del anclaje delas armaduras activas. stas se dividen en tres: prdidas por rozamiento, prdidaspor penetracin de cua y prdidas por acortamiento elstico.

- Prdidas diferidas: son las que se producen a lo largo del tiempo, una vez ancladaslas armaduras activas. Estas prdidas se deben esencialmente al acortamiento delhormign por retraccin y fluencia y a la relajacin del acero de tales armaduras.La fluencia del hormign y la relajacin del acero estn influenciadas por laspropias prdidas y, por lo tanto, resulta imprescindible considerar este efectointeractivo.

Para el dimensionamiento del hormign pretensado tambin se debe de tener en cuenta elestado tensional en el que se encuentra la armadura.


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En hormign pretensado y en estado de servicio las tensiones que aparecen sobre laestructura deben encontrarse dentro de ciertos lmites para asegurar un adecuado controlde la fisuracin. As que tanto la compresin como la traccin mxima se encuentranlimitadas a un cierto valor.

Adems, la estructura debe ser comprobada en vaco, o estado inicial, que aparece tras eltesado de los tendones cuando la estructura todava no se encuentra bajo el efecto de lascargas de uso; y en servicio, cuando la estructura ya se encuentra bajo la accin de estascargas.

Segn la Normativa Espaola EHE-08 las tensiones de compresin y de traccin quedanlimitadas de la siguiente manera:

A) Tensiones de Compresin:

Se debe comprobar, en servicio y en vaco, que ,3)4, dnde:,= 5,6 78, 9 (2.8)B) Tensiones de traccin:

Para las tensiones de traccin, hay que comprobar en servicio y en vaco, que la fisuracumple con el ancho adecuado o que no hay tracciones, segn el tipo de ambiente:

Tabla 2.1.Requisitos de fisuracin en estructuras segn el tipo de ambiente.


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2.3. Esfuerzos hiperestticos

2.3.1. Conceptos bsicos de los esfuerzos hiperestticos

Los esfuerzos hiperestticos aparecen en estructuras hiperestticas. En estas estructuras

no existe libertad de deformaciones por este motivo aparecen unos esfuerzoshiperestticos debidos al pretensado, que llevan consigo la aparicin de reacciones en losapoyos.

En general, dado un sistema de cargas sobre una estructura hiperesttica, el desglose delos esfuerzos resultantes entre isostticos e hiperestticos no es nico, sino que dependede la estructura isosttica base que se toma para el clculo.

En el pretensado, existe un criterio para distinguir los esfuerzos hiperestticos de losesfuerzos isostticos. Si tomamos como estructura isosttica base un tal que el pretensado

siga siendo normal, los esfuerzos hiperestticos son siempre nicos debido a que losisostticos lo son tambin y estn perfectamente definidos.

Si se definen los esfuerzos isostticos de pretensado con las siguientes expresiones:

: = ; < * < . (2.9)> = ; < . (2.10)? = ; < .*' (2.11)

Se obtienen unos esfuerzos isostticos de pretensado, definidos segn las expresionesanteriores. Estos esfuerzos producen unas deformaciones asociadas que, en una estructurahiperesttica, no son generalmente compatibles. A causa de esto, aparecen unos esfuerzoscompatibilizadores que son los esfuerzos hiperestticos de pretensado.

Estos esfuerzos hiperestticos, por tanto, son el resultado de un anlisis estructural de lasdeformaciones de la seccin derivadas directamente de los esfuerzos isostticos depretensado.

En el anlisis lineal, la relacin entre los esfuerzos y las deformaciones que tienen

asociadas es lineal, a travs de factores de rigidez como EI, EA,Existe una linealidadentre las acciones o deformaciones y los esfuerzos hiperestticos de pretensado.

Por tanto, se puede decir que existe una relacin lineal entre los esfuerzos isostticos ylos hiperestticos de pretensado.

La propiedad enunciada anteriormente es la base para poder calcular a travs de losesfuerzos isostticos e hiperestticos las estructuras pretensadas.


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2.3.2. Pretensado de estructuras hiperestticas

La introduccin del tesado produce deformaciones en el elemento sobre el cual se aplican.En el caso de elementos isostticos, estos desplazamientos no estn restringidos y elelemento se deforma libremente, segn el esfuerzo aplicado.

En cambio, en las estructuras hiperestticas existen vnculos internos que restringen lalibre deformacin del elemento. Por este motivo, estos desplazamientos impedidosprovocan unos esfuerzos de coaccin, que deben ser tenidos en cuenta especialmente enel caso del pretensado.

En las estructuras hiperestticas las deformaciones pueden no ser compatibles con losvnculos, en este caso, se originan reacciones que producen momentos secundarios en laestructura. Como el pretensado es un sistema equilibrado que se introduce en la estructura,

la suma de las reacciones de vnculo debe dar una resultante nula.

@ A = 5 sistema equilibrado (2.12)Las estructuras hiperestticas no admiten en general las deformaciones del pretensado en

sus apoyos y provocan unas reacciones adicionales y unos esfuerzos internos. Estoimplica que a las acciones isostticas del pretensado se les tendr que sumar unosesfuerzos internos, que pueden descomponerse en el caso de estructuras lineales planasen:

- Axil hiperesttico de pretensado- Flector hiperesttico de pretensado- Cortante hiperesttico de pretensado

Un determinado pretensado en una estructura hiperesttica tiene dos efectos:

1. Esfuerzo isosttico:

; < *

2. Esfuerzo hiperesttico por compatibilidad que depende del trazado y laconfiguracin de apoyos de la estructura: :B

Para un trazado fijo, el esfuerzo hiperesttico en una seccin es proporcional a la fuerzade pretensado. Por lo tanto ste puede escribirse como:

:B = ; < :BC (2.13)Donde :Bes el esfuerzo hiperesttico de pretensado para un valor unitario de la fuerzade pretensado.


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Por lo tanto, a la hora de dimensionar la fuerza de pretensado en una seccin es necesarioconsiderar ambos efectos en la distribucin de tensiones.

De forma general, se puede decir que los esfuerzos hiperestticos de pretensado dependendel trazado del pretensado, de las condiciones de rigidez y de las condiciones de apoyo

de la estructura.

A continuacin, se observa un ejemplo de los esfuerzos que actan en una viga continuade dos vanos hiperesttica. Suponiendo un trazado con una geometra aproximada a la dela figura que se puede ver a continuacin.

Figura 2.12. Estructura continua de dos tramos

Figura 2.13. Fuerzas actuantes sobre el hormign

La distribucin de momentos flectores y esfuerzos de corte debidos a las fuerzas depretensado serian, de forma aproximada, los que se pueden observar en la siguiente figura.Se pueden observar los tres diagramas: Isosttico, Hiperesttico y Total.

Figura 2.14. Esfuerzos producidos por las fuerzas de pretensado


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La suma de los esfuerzos isostticos e hiperestticos de pretensado dan lugar a losesfuerzos totales producidos por el pretensado.

2.3.3.

Definicin del Momento Hiperesttico

Como hemos visto, en estructuras hiperestticas donde existe la presencia de pretensadoque induce movimientos en la estructura, estos movimientos producen una distribucinde esfuerzos internos para garantizar la compatibilidad de deformaciones. A estosesfuerzos se les denomina como momentos hiperestticos de pretensado.

Para entender este proceso, debemos fijarnos en el trazado del cable de pretensado en unaestructura hiperesttica, tal como muestra la siguiente figura:

Figura 2.15. Trazado del pretensado en estructura de dos vanos.

En el trazado real del cable (trazado rojo), existir una curvatura en la zona de transicin,ya que no puede acabar en pico porque no habra continuidad en el cordn de acero.

Para analizar la deformada que se produce, se debe separar la estructura en dos vanos:ahora tendremos una estructura isosttica, donde el trazado es el que muestra la figurasiguiente:

Figura 2.16. Trazado del pretensado en estructura isosttica

Si la estructura es isosttica, la deformada tendr la siguiente forma:


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Figura 2.17. Deformada del pretensado en estructura de dos vanos

Esta deformada no puede ocurrir en la estructura hiperesttica, ya que no hay continuidad.Para que haya continuidad se debe cumplir que D D= 5, por lo que se debe volvera analizar la estructura en vanos separados:

Figura 2.18. Deformada del pretensado en estructuras isostticas

Para que se cumpla D D= 5tiene que aparecer un esfuerzo interno que equilibre yhaga que se cumpla esta condicin:

Figura 2.19. Deformada causada por el momento hiperesttico

Este esfuerzo interno es el que se denomina momento hiperesttico, que satisface lacontinuidad en la estructura hiperesttica.

Si sumamos las deformadas obtenidas en las dos figuras anteriores, podemos obtener ladeformada de una estructura hiperesttica, donde hay continuidad ya que gracias almomento hiperesttico.

Figura 2.20. Deformada hiperesttica del pretensado


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2.4. Mtodos de diseo de estructuras pretensadas

Para realizar el clculo y diseo de estructuras de hormign pretensado se utilizacomnmente, como se ha visto en el apartado 2.2, el mtodo de Magnel o inecuacionesde Magnel. Sin embargo, ste no es el nico mtodo para el diseo de estructuras

pretensadas, tambin existen otros mtodos como el mtodo de las cargas equivalentes,que se explicar en el apartado 2.4.2, para calcular y verificar el trazado y la fuerza depretensado.

Como se podr ver, todos los mtodos de diseo utilizan diferentes variables que influyena la hora de disear y proyectar les estructura pretensada. Todas estas variables, talescomo geometra de la estructura, la seccin transversal y la longitud del elemento, gradosde libertad en los apoyos o condiciones de contorno, cargas internas y externas a las queest cometida la estructura, la geometra del trazado de los tendones de pretensado, la

fuerza de tesado, son variables que pueden tomar diferentes valores con una granvariedad de soluciones correctas y aceptables a la hora de disear y proyectar un trazadoy una fuerza de tesado que cumpla con las condiciones establecidas.

El hecho de que existan diferentes soluciones vlidas para un mismo problema, llevaconsigo e implica intentar buscar la solucin ms ptima para cada caso. Para conseguireste reto, se cree necesario introducir en este apartado los conocimientos bsicos dediferentes mtodos existentes de optimizacin de estructuras, para poder obtener una ideageneral de la posibilidad de implementar estos sistemas o mtodos de optimizacin, conel objetivo de llegar a la solucin ms ptima para cada estructura.

El diseo de estructuras es un proceso iterativo en el que se busca, ensayando distintassoluciones, la estructura que cumpla con unos requerimientos de seguridad con el menorcosto posible. La experiencia y la intuicin del ingeniero son fundamentales para laobtencin de un buen diseo. Al final, el problema de diseo de estructuras se convierteen encontrar el mejor diseo que cumpla unos objetivos marcados.

Este proceso, de conseguir la mejor solucin para el diseo de una estructura de hormignpretensado, tiene un carcter iterativo. Esta iteracin se puede realizar de forma manual,paso a paso, cmo se har en esta tesina o, tambin existe la posibilidad de automatizar

este proceso.Para disear el trazado y la fuerza de pretensado se pueden imponer unas determinadasrestricciones que la estructura debe cumplir tales como:

- Resistencia a esfuerzos (flexin simple, flexocompresin y cortantes.- Cuantas geomtricas mnimas- Restricciones de desplazamiento


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2.4.1. Mtodo de diseo mediante el ncleo lmite

El mtodo de Magnel se basa, para el dimensionamiento del cable, en los ncleos centraly lmite de la seccin de la estructura. Estos ncleos son los que determinan el rea pordonde el trazado del cable puede disponerse sin causar tensiones que no sean admisibles.

El ncleo central delimita la zona en la que se puede aplicar el axil sin que aparezcantracciones y se calcula de la siguiente forma:

= E ; = (2.14)La zona comprendida entre el centro de gravedad de la seccin y la fibra superior se definecon el smbolo . Por el contrario, la zona entre el centro de gravedad de la seccin y lafibra inferior queda definida con el smbolo

.

Figura 2.21. Representacin del ncleo central de una seccin

Por otro lado, el ncleo central quedar delimitado por el ncleo lmite, puesto que elncleo lmite se extrae aadiendo al caso anterior la carga provocada por un momento.Dicho esto, se puede definir el ncleo lmite como la zona en la que se puede aplicar unaxil sin que aparezcan tracciones aun que se est trabajando con momentos flectores.

El clculo del ncleo lmite se realiza de la siguiente forma

F = GH/IJKLL"M + N O P0/ (2.15)

F= GH/IKQR"M + N O KQR" (2.16)


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Figura 2.22. Representacin del ncleo lmite de una seccin

El trazado del cordn de acero tendr que quedar definido dentro de esta rea para cumplircon los estados lmites de tensiones.

A continuacin se puede ver el rea definida por el ncleo lmite para una estructurasimple isosttica.

Figura 2.23. Representacin del ncleo lmite en una estructura isosttica

Se debe tener en cuenta que el ncleo lmite es ms amplio en las secciones menoscrticas. Por el contrario, ser ms reducido en las zonas ms crticas de la estructura y,en consecuencia, sern stas las zonas a tener ms en cuenta.

2.4.2. Mtodo de diseo mediante compensacin de cargas

El mtodo de diseo mediante compensacin de cargas es un mtodo alternativo para eldimensionamiento del pretensado. Este mtodo se basa fundamentalmente en calcular unaaproximacin de la fuerza repartida que introduce el pretensado en la estructura, quecompense en menor o mayor medida las cargas externas que actan en la estructura.

ste es un mtodo vlido para estructuras hiperestticas si se tiene en cuenta que sobre

los apoyos la carga vertical repartida del pretensado acta con sentido descendiente.


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Se puede explicar brevemente el fundamento principal de este mtodo, si se tiene unaestructura como la que se observa a continuacin:

Figura 2.24. Representacin de la fuerza introducida por la accin del pretensado.

Para el clculo aproximado de la fuerza que introduce el pretensado en la estructura seutiliza la siguiente formulacin:

S = !TUV W S= TUV (2.17)' = XY ;S= TUV (2.18)

Dnde

ZY ' = TUV (2.19)Se obtiene que en la estructura quedar sometida a las cargas que se ven a continuacin:

Figura 2.25. Representacin de la accin simultnea de la carga externa y el pretensado.

Una vez realizados los clculos anteriores se debe hacer un predimensionamiento de la

carga Zprovocada por el pretensado, teniendo en cuenta los siguientes criterios:


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- Pretensado dbil: compensar el 100% de la carga permanente.- Pretensado medio: compensar el 100% de la carga permanente y el 50% de la

sobrecarga.- Pretensado fuerte: compensar el 100% de las cargas.

A partir Z y los condicionantes geomtricos que se le quieran dar a la estructura, seacaba definiendo la fuerza de pretensado P.

Para el caso de vigas hiperestticas, el mtodo de compensacin de cargas trata de quelos momentos flectores generados por las fuerzas de desviacin del pretensadocompensen a los momentos flectores actuantes en la combinacin de acciones elegidapara la estructura que se quiere calcular, dnde aparecern y se debern tener en cuentalos esfuerzos hiperestticos explicados en el apartado 2.3.

Figura 2.26. Carga equivalente de pretensado para una estructura hiperesttica.

2.4.3. Mtodos de optimizacin de estructuras

La optimizacin, tambin denominada programacin matemtica, sirve para encontrar larespuesta que proporciona el mejor resultado, la que logra mayores ganancias, mayorproduccin o la que logra el menor coste. Con frecuencia, estos problemas implican

utilizar de la manera ms eficiente los recursos, tales como dinero, tiempo, maquinaria,personal, existencias, etc. Los problemas de optimizacin generalmente se clasifican enlineales y no lineales, segn las relaciones del problema sean lineales con respecto a lasvariables.

La programacin matemtica, en general, aborda el problema de determinar asignacionesptimas de recursos limitados para cumplir un objetivo dado. El objetivo debe representarla meta del decisor. Los recursos pueden corresponder, por ejemplo, a personas,materiales, geometra, costes...


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2.4.2.1. Mtodos de programacin lineal: el mtodo Simplex

La Programacin Lineal (PL) es una de las principales ramas de la investigacin. En estacategora se consideran todos aquellos modelos de optimizacin donde las funciones quelo componen, es decir, funcin objetivo y restricciones, son funciones lineales en lasvariables de decisin.

Los modelos de Programacin Lineal por su sencillez son frecuentemente usados paraabordar una gran variedad de problemas de naturaleza real en ingeniera y cienciassociales, lo que ha permitido a empresas y organizaciones importantes beneficios yahorros asociados a su utilizacin.

El modelo de Programacin Lineal (PL) considera que las variables de decisin tienen uncomportamiento lineal, tanto en la funcin objetivo como restricciones del problema. Su

naturaleza facilita los clculos y en general permite una buena aproximacin de larealidad.

Un problema de programacin lineal en dos variables, tiene la siguiente formulacinestndar:

[

_`a _bc dIW, SM= 3W + eS + .f9*g 3h

3W + eS 3W + eS i3jW + ejS j

(2.20)

Se puede cambiar maximizar por minimizar, y el sentido de las desigualdades.

En un problema de programacin lineal intervienen:

- La funcin f(x,y) = ax + by + c llamada funcin objetivo y que es necesariooptimizar. En esa expresinx eyson las variables de decisin, mientras que a, by c son constantes.

- Las restricciones que deben ser inecuaciones lineales. Su nmero depende delproblema en cuestin. El carcter de desigualdad viene impuesto por laslimitaciones, disponibilidades o necesidades, que son: inferiores a (menores: < o

); como mnimo de (mayores: > o ) . Tanto si se trata de maximizar como deminimizar, las desigualdades pueden darse en cualquiera de los dos sentidos.

- Al conjunto de valores dexeyque verifican todas y cada una de las restriccionesse lo denomina conjunto (o regin) factible. Todo punto de ese conjunto puedeser solucin del problema; todo punto no perteneciente a ese conjunto no puede

ser solucin. En el apartado siguiente veremos cmo se determina la reginfactible.


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- La solucin ptima del problema ser un par de valores (x0,y0) del conjuntofactible que haga que f(x,y) tome el valor mximo o mnimo.

La programacin lineal constituye un importante campo de la optimizacin por variasrazones, muchos problemas prcticos de la investigacin de operaciones puedenplantearse como problemas de programacin lineal. Algunos casos especiales deprogramacin lineal, tales como los problemas de flujo de redes y problemas de flujo demercancas se consideraron en el desarrollo de las matemticas lo suficientementeimportantes como para generar por si mismos mucha investigacin sobre algoritmosespecializados en su solucin. Una serie de algoritmos diseados para resolver otros tiposde problemas de optimizacin constituyen casos particulares de la ms amplia tcnica dela programacin lineal.

Histricamente, las ideas de programacin lineal han inspirado muchos de los conceptoscentrales de la teora de optimizacin tales como la dualidad, la descomposicin y laimportancia de la convexidad y sus generalizaciones. Del mismo modo, la programacinlineal es muy usada en la microeconoma y la administracin de empresas, ya sea paraaumentar al mximo los ingresos o reducir al mnimo los costos de un sistema deproduccin. Algunos ejemplos son la mezcla de alimentos, la gestin de inventarios, lacartera y la gestin de las finanzas, la asignacin de recursos humanos y recursos demquinas, la planificacin de campaas de publicidad, etc.

Una de las aplicaciones que ms nos interesa de la programacin lineal es la de suutilizacin para el clculo ingenieril. La programacin lineal es til para la resolucin deproblemas de optimizacin estructural. Se pueden citar algunos ejemplos de problemasestructurales que se pueden resolver con programacin lineal como:

- Diseo de estructuras de nudos articulados en rgimen plstico.- Diseo de prticos planos con barras de inercia constante en rgimen plstico.- Clculo de geometra de tendn de pretensado en vigas continuas.

El Mtodo Simplex publicado por George Dantzig en 1947 consiste en un algoritmoiterativo que secuencialmente a travs de iteraciones se va aproximando al ptimo delproblema de Programacin Lineal en caso de existir esta ltima. Es un procedimientoiterativo que permite ir mejorando la solucin a cada paso. El proceso concluye cuandono es posible seguir mejorando ms dicha solucin.

El Mtodo Simplex hace uso de la propiedad de que la solucin ptima de un problemade Programacin Lineal se encuentra en un vrtice o frontera del dominio de puntosfactibles, por tanto, la bsqueda secuencial del algoritmo se basa en la evaluacinprogresiva de estos vrtices hasta encontrar el ptimo.


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Partiendo del valor de la funcin objetivo en un vrtice cualquiera, el mtodo consiste enbuscar sucesivamente otro vrtice que mejore al anterior. La bsqueda se hace siempre atravs de los lados del polgono (o de las aristas del poliedro, si el nmero de variables esmayor). Cmo el nmero de vrtices (y de aristas) es finito, siempre se podr encontrarla solucin.

Deber tenerse en cuenta que este mtodo slo trabaja para restricciones que tengan untipo de desigualdad "" y coeficientes independientes mayores o iguales a 0, y habr queestandarizar las mismas para el algoritmo. En caso de que despus de ste proceso,aparezcan restricciones del tipo "" o "=" habr que emplear otros mtodos, siendo el mscomn el mtodo de las Dos Fases.

- Formulacin general del mtodo Simplex

La formulacin general del problema de optimizacin que se pretende resolver ser lasiguiente:

_bcdIkM =@ lWljlm (2.21)@ 3nlWljlm = en o = N, p , 4 (2.22)Wlq 5 9 = N, p , ' (2.23)en q 5 o = N, p , ' (2.24)

El primer paso de cada problema ser, por lo tanto, realizar las modificaciones necesariaspara conseguir una formulacin como la anterior.

Al considerar un problema de programacin lineal, con la formulacin que hemosobservado anteriormente, se ha de tener en cuenta que esta formulacin se puede escribirde forma matricial de la siguiente forma

4o'o4or3- dIkM= stk (2.25)

$k = u (2.26)

k q 5 (2.27)Si se cumple que 4 = ' , siendo m el rango de la matriz A se obtiene un sistema lineal deecuaciones con solucin nica y no se podra hablar de optimizacin. Por tanto, tendremosque en general se cumplir que 4 v ' y en este caso existen infinitas soluciones alproblema. Una de estas soluciones ser la que corresponde al mnimo de la funcin F(X).

El algoritmo simplex requiere que el problema de programacin lineal est en la formaaumentada de la programacin lineal. El problema puede ser escrito de la siguiente

manera, en forma de matriz:


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(2.28)

(2.29)

Tenemos quexson las variables desde la forma estndar,xsson las variabl es de holgura

introducidas en el proceso, C contiene los coeficientes de optimizacin, describe el

sistema de ecuaciones contradas, yZes la variable que se desea minimizar.

El sistema es tpicamente no determinado, desde que el nmero de variables excede elnmero de ecuaciones. La diferencia entre el nmero de variables y el nmero deecuaciones nos da los grados de libertad asociados con el problema. Cualquier solucin,ptima o no, incluir un nmero de variables de valor arbitrario. El algoritmo simplex usacero como valor arbitrario, y el nmero de variables con valor cero es igual a los gradosde libertad.

Valores diferentes de cero son llamados variables bsicas, y valores de cero son llamadasvariables no bsicas en el algoritmo simplex.

Esta forma simplifica encontrar la solucin factible bsica inicial, dado que todas lasvariables de la forma estndar pueden ser elegidas para ser no bsicas (cero), mientrasque todas las nuevas variables introducidas en la forma aumentada, son bsicas (diferentes

de cero), dado que su valor puede ser calculado trivialmente (Wwn = elpara ellas, dadoque la matriz problema aumentada en diagonal es su lado derecho)En cada una de las desigualdades que se plantean en el modelo matemtico deprogramacin lineal, se plantean desigualdades de , =, o =, estas desigualdadesse convierten en igualdades completando:

- con variables de holgura si se trata de menor o igual que, o menor que.- en el caso de que sea mayor o igual que o mayor que, se completa con variables

ficticias o de excedente, stas con signo negativo ya que como su nombre lo

indica, es una cantidad que esta de excedente.

- Preparacin del modelo para adaptarlo a mtodo simplex

Esta es la forma estndar del modelo:

Funcin objetivo:

d = W+ W+ x + jWj (2.30)

Sujeto a: 3W+ 3W+ x + 3jWj= e (2.31)


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3W+ 3W+ x + 3jWj= e (2.32)i3W+ 3W+ x + 3jWj= e (2.33)

Se deben cumplir las siguientes condiciones:

- La funcin objetivo es de la forma de maximizacin o de minimizacin.- Todas las restricciones son de igualdad.- Todas las variables son no negativas.- Las constantes a la derecha de las restricciones son no negativas.

- Cambio del tipo de optimizacin.

Si en nuestro modelo, deseamos maximizar en lugar de minimizar, se puede convertir elobjetivo de maximizar una funcin F por el de minimizar F(-1).

No deberemos preocuparnos por los criterios de parada, o condicin de salida de filas, yaque se mantienen.

En el caso de que la funcin tenga todas sus variables bsicas positivas, y adems las

restricciones sean de desigualdad "", al hacer el cambio se quedan negativas y en la filadel valor de la funcin objetivo se quedan positivos, por lo que se cumple la condicin deparada, y por defecto el valor ptimo que se obtendra es 0.

En la realidad no existen este tipo de problemas, ya que para que la solucin quedar porencima de 0, alguna restriccin debera tener la condicin "", y entonces entraramos enun modelo para el mtodo de las Dos Fases que se explica ms adelante.

- Conversin de signo de los trminos independientes

Deberemos preparar nuestro modelo de forma que los trminos independientes de lasrestricciones sean mayores o iguales a 0, sino no se puede emplear el mtodo Simplex.Lo nico que habra que hacer es multiplicar por "-1" las restricciones donde los trminosindependientes sean menores que 0.

Con sta simple modificacin de los signos en la restriccin podemos aplicar el mtodoSimplex a nuestro modelo. Aunque puede resultar que en las restricciones dondetengamos que modificar los signos de las constantes, los signos de las desigualdadesfueran ("=", ""), quedando ("=","") por lo que en cualquier caso deberemos desarrollar

el mtodo de las Dos Fases. Este inconveniente no es controlable, aunque nos podra


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beneficiar si slo existen trminos de desigualdad ("",""), y los "" coincidieran conrestricciones donde el trmino independiente es negativo.

- Uso de las variables ficticias o de excedente y variables de holgura

Si en nuestro modelo aparece una inecuacin con una desigualdad del tipo "", deberemosaadir una nueva variable, llamada variable de excedentexs,con la restriccin si 0. Lanueva variable aparece con coeficiente cero en la funcin objetivo, y restando en lasinecuaciones.

Surge ahora un problema, veamos cmo queda una de nuestras inecuaciones que contengauna desigualdad "":

3W+ 3W= e 3W+ 3W N Ww= e (2.34)Como todo nuestro modelo, est basado en que todas sus variables sean mayores o igualesque cero, cuando hagamos la primera iteracin con el mtodo Simplex, las variablesbsicas no estarn en la base y tomarn valor cero, y el resto el valor que tengan. En estecaso nuestra variable xs, tras hacer cero a x1 y x2, tomar el valor -b1. No cumplira lacondicin de no negatividad, por lo que habr que aadir una nueva variable, xr, queaparecer con coeficiente cero en la funcin objetivo, y sumando en la inecuacin de larestriccin correspondiente. Quedara entonces de la siguiente manera:

3W+ 3W= e 3W+ 3W N Ww+ N WB = e(2.35)

Este tipo de variables se les llama variables holgura y aparecern cuando hayainecuaciones con desigualdad ("=",""). Esto nos llevar obligadamente a realizar elmtodo de las Dos Fases, que se explicar ms adelante.

Del mismo modo, si la inecuacin tiene una desigualdad del tipo "", deberemos aadirvariables de holgura. La nueva variable aparece con coeficiente cero en la funcinobjetivo, y sumando en las inecuaciones.

A modo resumen podemos dejar esta tabla, segn la desigualdad que aparezca, y con elvalor que deben estar las nuevas variables.

Tipo de desigualdad Tipo de variable que aparece

- excedente + holgura

= + holgura

+ holgura

Tabla 2.2. Variables que aparecen en funcin del tipo de desigualdad.


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- Ejemplo n 1

Se considera un problema lineal, dnde se debe minimizar una funcin F, tal que

4o'o4or3- dIWM= W+ yW zW (2.36)

Esta funcin se encuentra sujeta a las siguientes condiciones

zW+ yW W= { (2.37)yW+ |W= Ny (2.38)

|W+ }W+ zW= N5 (2.39)Aadimos las variables de holgura

W!, W~, W a las condiciones anteriores

zW+ yW W+ = { (2.40)yW+ |W+ = Ny (2.41)

|W+ }W+ zW+ = N5 (2.42)El resultado ser la siguiente tabla Simplex

3 2 -1 1 0 0 7-2 0 4 0 1 0 12-4 8 3 0 0 1 10

1 2 -3 0 0 0 Tabla 2.3. Formato de la matriz inicial de variables del problema.

El coeficiente de la variable Wes negativo, por tanto, es la variable que usaremos comovariable de entrada y pivotaremos sobre el 4. Sale la variable W~y entra en la solucinW.

2,5 2 0 1 0,25 0 10-0,5 0 1 0 0,25 0 3-2,5 8 0 0 -0,75 1 1

-0,5 2 0 0 0,75 0 + Tabla 2.4. Primera iteracin de la matriz de variables del problema.


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El coeficiente de la variable Wes negativo, por tanto, es la variable que usaremos comovariable de entrada y pivotaremos sobre el 2,5. Sale la variable W!y entra en la solucinW.

1 0,8 0 0,4 0,1 0 40 0,4 1 0,2 0,3 0 50 10 0 1 -0,5 1 11

0 2,4 0 0,2 0,8 0 + Tabla 2.5. Iteracin final de la matriz de variables del problema.

Como ya no hay ningn coeficiente negativo, se ha llegado a la solucin ptima del

problema. Se obtienen los siguientes valores para las variables y la funcin:W= | W= W= NN d = NN (2.43)- Ejemplo n 2:

Se considera un problema lineal, dnde se debe maximizar una funcin F, tal que

43Wo4or3- dIWM= yW+ zW (2.44)Esta funcin se encuentra sujeta a las siguientes condicionesW+ yW N6 (2.45)

zW+ W | (2.46)W+ W N5 (2.47)

Aadimos las variables de holgura W, W!, W~ a las condiciones anteriores

W+ yW + = N6 (2.48)zW+ W+ = | (2.49)W+ W+ = N5 (2.50)

Para maximizar una funcin, realmente se debe minimizar la misma funcin pero consigno cambiado, tal que

d= dIWM (2.51)

4o'o4or3- d= yW zW (2.52)


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El resultado ser la siguiente tabla Simplex

1 2 1 0 0 16

3/5 1 0 1 0 91 1 0 0 1 10

-2 -3 0 0 0 Tabla 2.6. Formato de la matriz inicial de variables del problema.

El coeficiente de la variable W es el mayor negativo, por tanto, es la variable queusaremos como variable de entrada y pivotaremos sobre el 5. Sale la variable W!y entraen la solucin W.

1/2 1 1/2 0 0 81/10 0 -1/2 -1 0 11/2 0 -1/2 0 1 2

-1/2 0 3/2 0 0 + Tabla 2.7. Primera iteracin de la matriz de variables del problema.

El coeficiente de la variable W es el mayor negativo, por tanto, es la variable queusaremos como variable de entrada y pivotaremos sobre el 1/2. Sale la variable W~y entraen la solucin W. 0 1 1 0 -1 60 0 -2 -5 -1 31 0 -1 0 2 40 0 1 0 1 +

Tabla 2.8. Iteracin final de la matriz de variables del problema.

Como ya no hay ningn coeficiente negativo, se ha llegado a la solucin ptima delproblema. Se obtienen los siguientes valores para las variables y la funcin:

W= | W= 6 d= y6 d = d= y6 (2.53)


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2.4.2.2. Mtodos de programacin no lineal

En matemticas, Programacin no lineal (PNL) es el proceso de resolucin de un sistemade igualdades y desigualdades sujetas a un conjunto de restricciones sobre un conjunto devariables reales desconocidas, con un funcin objetivo a maximizar (o minimizar),cuando alguna de las restricciones o la funcin objetivo no son lineales.

El problema de programacin no lineal puede enunciarse de una forma muy simple:

- maximizar una funcin objetivo (2.54)

- minimizar una funcin objetivo (2.55)

Donde (2.56)

(2.57)

Si la funcin objetivofes lineal, el problema es de Programacin lineal y puede resolverseutilizando alguno de los algoritmos de programacin lineal.

Si la funcin objetivo es cncava (problema de maximizacin), o convexa (problema deminimizacin) y el conjunto de restricciones es convexo, entonces se puede utilizar elmtodo general de Optimizacin convexa.

Existe una variedad de mtodos para resolver problemas no convexos. Uno de ellosconsiste en utilizar formulaciones especiales de problemas de programacin lineal. Otromtodo implica el uso de tcnicas de Ramificacin y poda, cuando el problema se divideen subdivisiones a resolver mediante aproximaciones que forman un lmite inferior delcoste total en cada subdivisin. Mediante subdivisiones sucesivas, se obtendr unasolucin cuyo coste es igual o inferior que el mejor lmite inferior obtenido por alguna delas soluciones aproximadas. Esta solucin es ptima, aunque posiblemente no sea nica.El algoritmo puede ser parado antes, con la garanta de que la mejor solucin ser mejorque la solucin encontrada en un porcentaje acotado. Ello se utiliza en concreto en

problemas importantes y especialmente difciles y cuando el problema cuenta con costesinciertos o valores donde la incertidumbre puede ser estimada en un grado de fiabilidadapropiado.

- Tcnicas de Ramificacin y poda:

La tcnica de Ramificacin y poda se suele interpretar como un rbol de soluciones,dnde cada rama nos lleva a una posible solucin posterior a la actual. La caractersticade esta tcnica con respecto a otras anteriores (y a la que debe su nombre) es que el

algoritmo se encarga de detectar en qu ramificacin las soluciones dadas ya no estn


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siendo ptimas, para podar esa rama del rbol y no continuar malgastando recursos yprocesos en casos que se alejan de la solucin ptima.

La meta ser encontrar el valor mnimo de una funcin f(x) (un ejemplo puede ser el costede manufacturacin de un determinado producto) donde fijamos x rangos sobre undeterminado conjunto S de posibles soluciones. Un procedimiento de ramificacin y podarequiere dos herramientas.

La primera es la de un procedimiento de expansin, que dado un conjunto fijo S decandidatos, devuelve dos o ms conjuntos ms pequeos S1, S2, , Sncuya unin cubreS. El mnimo de f(x) sobre S es min {V1, V2,} donde cada vies el mnimo de f(x) sin Si.Este paso es llamado ramificacin; como su aplicacin es recursiva, esta definir unaestructura de rbol cuyos nodos sern subconjuntos de S.

La idea clave del algoritmo de ramificacin y poda es: si la menor rama para algn rbolnodo (conjunto de candidatos) A es mayor que la rama padre para otro nodo B, entoncesA debe ser descartada con seguridad de la bsqueda. Este paso es llamado poda, yusualmente es implementado manteniendo una variable global mque graba el mnimonodo padre visto entre todas las subregiones examinadas hasta entonces. Cualquier nodocuyo nodo hijo es mayor que m puede ser descartado. La recursin para cuando elconjunto candidato S es reducido a un solo elemento, o tambin cuando el nodo padrepara el conjunto S coincide con el nodo hijo. De cualquier forma, cualquier elemento deS va a ser el mnimo de una funcin sin S. Un ejemplo de este mtodo sera:

Figura 2.27. Ejemplo del mtodo de Ramificacin y Poda.


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2.4.2.3. Mtodos de programacin lineal entera o entera mixta

En algunas situaciones que pueden representarse con modelos lineales, nos encontramoscon que slo tienen sentido aquellas soluciones de la regin factible en las que todas oalgunas de las variables de decisin sean nmeros enteros. Estas situaciones pueden

representarse mediante modelos matemticos ligeramente diferentes de la programacinlineal.Si todas las variables de decisin deben ser enteras, tenemos un problema deprogramacin lineal entera. Si slo algunas variables de decisin deben ser enteras,pudiendo ser reales las dems, se trata de un problema de programacin lineal mixta.

En algunos casos, todas o algunas de las variables enteras slo pueden tomar los valoresde 0 o 1. A estas variables se les llama variables binarias. De este modo tenemos tres tiposde variables:

a) Variables no enteras o realesb) Variables enterasc) Variables binarias

La posibilidad de utilizar variables enteras o binarias ampla notablemente lasposibilidades de modelizacin matemtica. Pero, el precio por una mayor versatilidad dela herramienta es el de una mayor complejidad en la resolucin del modelo.

Para las variables enteras del modelo, el razonamiento que se emple para mostrar que lasolucin ptima era un vrtice (o una combinacin convexa de vrtices) de la reginfactible no es vlido: en un caso general, los vrtices de la regin factible no tienen porqu ser nmeros enteros. En consecuencia, la solucin ptima se encontrar en el interiorde la regin factible, por lo que el mtodo Simplex, empleado de forma directa, noproporcionar la solucin ptima.

A diferencia del problema con variables reales, el nmero de soluciones de un modelo deprogramacin lineal entera es finito, por lo que podra plantearse la posibilidad deencontrar la solucin mediante la exploracin de todas las soluciones posibles. Sin

embargo, el nmero de soluciones a explorar para un problema mediano puede ser muyelevado: en principio, para un problema con n variables enteras debemos explorar 2nsoluciones (excluyendo quizs algunas descartadas por las restricciones).Para n = 30, tenemos 230 = 1.073.741.924 soluciones posibles.

Se han desarrollado metodologas que permiten explorar de manera ms eficiente que lamera enumeracin el conjunto de soluciones posibles. Gran nmero de estasmetodologas emplean la lgica del branch and bound, y estn incorporadas a la mayorade programas informticos que resuelven modelos lineales. Seguidamente se muestra este

procedimiento y cmo resolver modelos de programacin entera mediante programasinformticos.


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- Algoritmo branch and bound:

Un primer paso para la resolucin de un modelo de programacin lineal entera es resolver,mediante el mtodo simplex, el problema lineal asociado. Se trata de un problema linealcon la misma funcin objetivo y restricciones que el modelo original, pero al que se hanrelajado la condicin de que todas o algunas de las variables de decisin sean enteras. Sila solucin as obtenida es entera, habremos encontrado la solucin del modelo deprogramacin lineal entera. En caso contrario (el ms frecuente), la solucin as obtenidaes una primera aproximacin a la solucin del modelo.

Resulta tentador redondear los valores no enteros a enteros en la solucin obtenida parael problema lineal asociado. Esto slo se puede hacer si los valores de las variables sontan grandes que el redondeo no afecta excesivamente al resultado final, pero se debe tenercuidado al hacerlo pues se corren dos riesgos:

- Es posible que la solucin redondeada no sea factible.- Aun siendo factible, no existe ninguna de garanta que la solucin sea ptima.


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Captulo 3

HERRAMIENTA DE ANLISIS Y BASE TERICA

3.1. Introduccin a la herramienta de proyecto y anlisis

La herramienta de proyecto y anlisis de estructuras hiperestticas de hormignpretensado est basada en varas rutinas y subrutinas o funciones que han sidoprogramadas en MATLAB (MATrix LABoratory). Cada rutina o subrutina es latransformacin o adaptacin de una base terica a su correspondiente escritura o lenguajede programacin MATLAB.

Se ha escogido MATLAB para programar la herramienta de anlisis por sus prestacionesbsicas, entre las que se hallan: la manipulacin de matrices, la representacin de datos yfunciones, la implementacin de algoritmos, la creacin de interfaces de usuario y lacomunicacin con programas en otros lenguajes y con otros dispositivos hardware.

Con la ayuda de MATLAB y el trabajo de programacin realizado, se consigue que laherramienta de proyecto y anlisis realice de forma automtica los clculos precisos ynecesarios para llegar a la solucin que se desea en cada momento.

La programacin de las rutinas y subrutinas facilita los clculos extensos de pretensado yse consigue, de forma rpida y precisa, validar un trazado o geometra de pretensado, conslo introducir unos datos iniciales de la estructura que deseamos calcular.

Para la explicacin de la herramienta de anlisis, se parte de la base de unosconocimientos mnimos del programa, el entorno y el lenguaje de MATLAB. Para

usuarios de la herramienta de anlisis que no hayan trabajado o no estn familiarizadoscon este programa se aade un anejo a la tesina, Anejo 1, con una introduccin yconocimientos bsicos para poder iniciarse en el uso del lenguaje MATLAB y poderentender mejor cmo trabaja la herramienta de proyecto y anlisis de estructuras dehormign pretensado.

Como se ver ms adelante, la herramienta de anlisis, permite, mediante unos datosiniciales de la estructura (tipo de estructura, nmero de nodos y sus grados de libertad,caractersticas geomtricas como la seccin, el rea y la inercia, mdulo de elasticidad,hiptesis de cargas en la estructura, etc.), realizar los clculos de pretensado y obtener de

forma rpida diagramas de: esfuerzos de pretensado, ncleo lmite del trazado del tendnde pretensado, etc.


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Para poder hacerse una idea inicial del funcionamiento bsico tenemos que, la estructurafundamental de rutinas y subrutinas de la herramienta de proyecto y anlisis de hormignpretensado es la siguiente:

Figura 3.1. Diagrama de flujo del funcionamiento de la herramienta de proyecto y anlisis.

ENTRADA DATOS Y

VALORES INICIALES

Datos bsicos

Hiptesis de cargas

Hiptesis pretensado

A!ESTR"CT"RE

constr#$e% ensa&b'a $ ana'i(a

'a estr#ct#ra de)inida por e'

#s#ario% inc'#$endo cargas de

pretensado*

CAR+AS,RETca'c#'a 'as cargas introd#cidas

por e' pretensado

O,TI,RETca'c#'a 'as inec#aciones de

agne' $ b#sca e' &ni&o

ENVELO,Ecrea en.o'.entes para 'as

di)erentes /iptesis de carga

ANALYSEALLAna'i(a todos 'os casos $

de.#e'.e 'os res#'tados

SALIDA RES"LTADOSSe dib#0an1Le$es de es)#er(os

La estr#ct#ra

En.o'.entes de es)#er(os $ tensiones

Tra(ado $ n2c'eo '&ite

ITERACI3Nsi 'a /iptesis de tra(ado

$ )#er(a de pretensado

inicia' no es .'ida

IN4L"ENCIA 5

crea 'a &atri( de in)'#encia

de 'a carga 5 de pretensado

en 'a estr#ct#ra

4RAE6Dca'c#'a1 &atrices para todos

'os es)#er(os 7a8i'% cortante $

&o&ento9 $ desp'a(a&ientos

prod#cidos% grados de

'ibertad% &atri( de rigide(%:

DRA;RES

E8tae res#'tados de' an'isis%

sir.e para representar1 'a

estr#ct#ra% 'e$es de es)#er(os%

tensiones% en.o'.entes%

n2c'eo '&ite

FINALIZAR

si la hiptesis de

trazado y fuerza de

retensado inicial es

,osib'es 'inias

)#t#ras de traba0o


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3.2. La entrada datos y valores iniciales

La entrada de datos y valores iniciales es fundamental para definir el tipo de estructuraque queremos proyectar y analizar, as como, sus caractersticas principales.

En este momento se deben definir varios parmetros o variables iniciales de la estructura.Con estos parmetros la herramienta de anlisis crear la estructura y calcular, gracias alas rutinas y subrutinas que se explican en el apartado siguiente, los esfuerzos a los queestar sometida.

La entrada de datos consiste, fundamentalmente, en la introduccin, por parte del usuario,de las caractersticas geomtricas y de las hiptesis iniciales que se crean ms oportunasen cada caso de estudio.

Al hacer funcionar la herramienta de anlisis, sta, despus de hacer los clculos y dibujarlos diagramas que el usuario crea adecuados en cada caso, permitir ver si las hiptesisiniciales dadas eran correctas y si se cumplen las condiciones para poder dar por vlidoel trazado y la fuerza de pretensado.

En caso de que estas hiptesis iniciales no sean correctas o vlidas, se deber volver aformular unas nuevas hiptesis de clculo, o modificar las anteriores, hasta quefinalmente se consiga llegar a una solucin vlida y que sea, en definitiva, la ms ptima.

3.2.1. Entrada de datos bsicos de la estructura

La entrada de datos bsicos de la estructura est asociada a una rutina programada en elentorno de MATLAB que traduce una base terica al lenguaje de programacin. En estarutina se debern definir los parmetros iniciales bsicos de la estructura para que elprograma la cree y le de forma.

En la rutina de entrada de datos el usuario se encuentra, inicialmente, con la entrada delos datos bsicos que definen la estructura. Estos datos bsicos iniciales sern lossiguientes:

- Nmero de nodos de la estructura: Se define en la rutina con la variable nnod.Aqu se debe introducir el nmero de nodos que tiene la estructura que queremosdibujar mediante la herramienta de anlisis.

Los nodos son las uniones o articulaciones de una estructura. En los nodos seproduce la transferencia de los esfuerzos de la estructura y stos deben resistirlos.En estructuras se pueden encontrar nodos articulados o nodos rgidos. En losnodos articulados, tras la deformacin de las estructura, las barras no mantienenlos ngulos iniciales. En los nudos rgidos, despus de la deformacin de la

estructura, se mantiene el ngulo inicial.


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- Nmero de barras de la estructura: Se define en la rutina con la variable nbar.Aqu se deben introducir el nmero de barras o elementos de los que estcompuesta la estructura que queremos dibujar mediante la herramienta de anlisis.

El nmero de barras se puede definir como los tramos de estructura comprendidosentre dos nodos. As, por ejemplo, si nuestra estructura tiene dos nodos tendremosuna barra, si tenemos 3 nodos las estructura tendr dos barras, y assucesivamente.

- Nmero de secciones de la estructura: Se define en la rutina con la variablensec. Aqu se deben introducir el nmero de secciones diferentes que tiene laestructura que queremos dibujar mediante la herramienta de anlisis. Si nuestraestructura slo tiene una barra o elemento con una seccin determinada, el nmerode nsec ser 1; si hay barras o elementos con diferentes secciones, se tendr que

indicar la cantidad concreta de secciones que se encuentren en la estructura.

Cuando se habla de seccin, en general, se refiere a la seccin transversal de unabiga o losa de hormign. La seccin transversal es el corte perpendicular al ejedel slido de una estructura e indica las caractersticas geomtricas de sta.

Si se coge como ejemplo una estructura formada por una viga simple con dos apoyos. Eneste caso, la estructura a proyectar tendr dos nodos y una nica barra o elemento con unadeterminada seccin.

Figura 3.2. Viga simple con dos apoyos y una nica seccin.

A continuacin, se ve un ejemplo del formato de entrada de datos bsicos para laestructura anterior:

%Datos bsicosnnod=2;nbar=1;nsec=1;

Figura 3.3. Modelo MATLAB: entrada de los datos bsicos


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En segundo lugar, se debe definir la seccin transversal, o diferentes seccionestransversales si se diera el caso, de la estructura. En este momento se debern definir lascaractersticas geomtricas de cada seccin.

Tendremos que introducir el rea y el momento de inercia de la seccin de la viga o losade la estructura a calcular. El rea de la seccin quedar definida en la rutina con lavariable A y la inercia quedar definida con la variable I.

El momento de inercia es una propiedad geomtrica de la seccin transversal deelementos estructurales. Est directamente relacionado con las tensiones y deformacionesmximas que aparecen por flexin en un elemento estructural y junto las propiedades delmaterial determina la resistencia mxima de un elemento. La magnitud del momento deinercia es la longitud a la cuarta potencia (4!)Otra propiedad que se debe introducir de la seccin es el mdulo de elasticidad (Ec). Elmdulo de elasticidad relaciona la tensin segn una direccin con las deformacionesunitarias que se producen en la misma direccin.

Figura 3.4. Relacin de la resistencia a compresin con la deformacin unitaria.

El mdulo de elasticidad es un parmetro muy importante en el anlisis de las estructu-ras de hormign ya que se emplea en el clculo de la rigidez de los elementosestructurales. El mdulo de elasticidad quedar definido en la herramienta de anlisis conla variable E.

En este paso, el ltimo dato que se tendr que dar para definir la seccin, o diferentessecciones, es la distancia del centro de gravedad de la seccin respecto a la fibra inferior

y respecto a fibra superior. Definida por los parmetros que podemos ver en la siguientefigura:


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Figura 3.5. Distancias del centro de gravedad respecto a la fibra inferior y superior.

En la herramienta de anlisis estos parmetros quedaran definidos como:

=n1 =n2 (3.1)

Las caractersticas de cada seccin quedarn definidas como variable sec en laherramienta de proyecto y anlisis. Como se ha explicado, se debe introducir el mdulode elasticidad, el rea, el momento de inercia y la distancia del centro de grave

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