5. TEOREMA FUNDAMENTAL: Formulación y...
Transcript of 5. TEOREMA FUNDAMENTAL: Formulación y...
![Page 1: 5. TEOREMA FUNDAMENTAL: Formulación y …disi.unal.edu.co/profesores/jeortizt/Sim/Archivos/05B... · a partir de la otra. X fx 4 X Fx 4 1 X x F u GeneradorDeX 4 94. Interpretación](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022020205/5ba9dd5909d3f28b6f8d02a4/html5/thumbnails/1.jpg)
5. TEOREMA FUNDAMENTAL:
Formulación y Demostración
Jorge Eduardo Ortiz Triviño
http:/www.docentes.unal.edu.co/jeortizt/
1
![Page 2: 5. TEOREMA FUNDAMENTAL: Formulación y …disi.unal.edu.co/profesores/jeortizt/Sim/Archivos/05B... · a partir de la otra. X fx 4 X Fx 4 1 X x F u GeneradorDeX 4 94. Interpretación](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022020205/5ba9dd5909d3f28b6f8d02a4/html5/thumbnails/2.jpg)
CONTENIDO
1. INTRODUCCIÓN
2. VARIABLES ALEATORIAS
3. TEOREMA FUNDAMENTAL.
4. GENERADORES DE V.A.
5. GENERALIZACIÓN DELTEOREMA
FUNDAMENTAL.
6. GENERADORES DE VECTORES
ALEATORIOS.2
![Page 3: 5. TEOREMA FUNDAMENTAL: Formulación y …disi.unal.edu.co/profesores/jeortizt/Sim/Archivos/05B... · a partir de la otra. X fx 4 X Fx 4 1 X x F u GeneradorDeX 4 94. Interpretación](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022020205/5ba9dd5909d3f28b6f8d02a4/html5/thumbnails/3.jpg)
GENERADORES DE
VARIABLES ALEATORIAS
x a b a u 3
![Page 4: 5. TEOREMA FUNDAMENTAL: Formulación y …disi.unal.edu.co/profesores/jeortizt/Sim/Archivos/05B... · a partir de la otra. X fx 4 X Fx 4 1 X x F u GeneradorDeX 4 94. Interpretación](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022020205/5ba9dd5909d3f28b6f8d02a4/html5/thumbnails/4.jpg)
3. TEOREMA FUNDAMENTAL
Si Entonces
A. y 1. y
B. 2. XX F x
0,1U U 0,1XF X U
1
X XX F U F x
4
![Page 5: 5. TEOREMA FUNDAMENTAL: Formulación y …disi.unal.edu.co/profesores/jeortizt/Sim/Archivos/05B... · a partir de la otra. X fx 4 X Fx 4 1 X x F u GeneradorDeX 4 94. Interpretación](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022020205/5ba9dd5909d3f28b6f8d02a4/html5/thumbnails/5.jpg)
3. TEOREMA FUNDAMENTAL
Si Entonces
A. y 1. y
B. 2. XX F x
0,1U U 0,1XF X U
1
X XX F U F x
Verdadera aleatoriedad
Mundo ArtificialMundo Real
Aleatoriedad ficticia
5
![Page 6: 5. TEOREMA FUNDAMENTAL: Formulación y …disi.unal.edu.co/profesores/jeortizt/Sim/Archivos/05B... · a partir de la otra. X fx 4 X Fx 4 1 X x F u GeneradorDeX 4 94. Interpretación](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022020205/5ba9dd5909d3f28b6f8d02a4/html5/thumbnails/6.jpg)
Demostración :
1. Sea F una distribucíon contínua en R con
inversa F-1 definida por
2. Se debe mostrar que la estructura
probabilística de es la misma que la de
10,)(:inf)(1
uuxFxuF
X X
1
X XF x P X x P F u x
X U X XP U F x F F x F x 6
![Page 7: 5. TEOREMA FUNDAMENTAL: Formulación y …disi.unal.edu.co/profesores/jeortizt/Sim/Archivos/05B... · a partir de la otra. X fx 4 X Fx 4 1 X x F u GeneradorDeX 4 94. Interpretación](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022020205/5ba9dd5909d3f28b6f8d02a4/html5/thumbnails/7.jpg)
Observaciones al teorema :
1. La aleatoriedad ficticia se puede producir
mediante generadores de números
pseudoaleatorios.
2. La expresión se denomina
Función percentil.
3. La variable de estado sintética será la
misma variable de estado real cuando la
aleatoriedad ficticia sea verdadera.
1
XX F U
X
X
7
![Page 8: 5. TEOREMA FUNDAMENTAL: Formulación y …disi.unal.edu.co/profesores/jeortizt/Sim/Archivos/05B... · a partir de la otra. X fx 4 X Fx 4 1 X x F u GeneradorDeX 4 94. Interpretación](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022020205/5ba9dd5909d3f28b6f8d02a4/html5/thumbnails/8.jpg)
Observaciones al teorema :
1. En la práctica se emplea :
2. Se dice que la realización de “imita”
o “simula” una realización de .
3. El teorema es general puesto que al
trabajar con la Distribución no restringe a
ninguna variable ni a su naturaleza.
1
Xx F u
x
x
X
X
8
![Page 9: 5. TEOREMA FUNDAMENTAL: Formulación y …disi.unal.edu.co/profesores/jeortizt/Sim/Archivos/05B... · a partir de la otra. X fx 4 X Fx 4 1 X x F u GeneradorDeX 4 94. Interpretación](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022020205/5ba9dd5909d3f28b6f8d02a4/html5/thumbnails/9.jpg)
Relaciones entre funciones
• Las funciones de densidad, distribución y
percentil tienen la misma información.
Siempre es posible, en teoría, encontrar una
a partir de la otra.
X
f x X
F x
1
Xx F u
GeneradorDeX 9
![Page 10: 5. TEOREMA FUNDAMENTAL: Formulación y …disi.unal.edu.co/profesores/jeortizt/Sim/Archivos/05B... · a partir de la otra. X fx 4 X Fx 4 1 X x F u GeneradorDeX 4 94. Interpretación](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022020205/5ba9dd5909d3f28b6f8d02a4/html5/thumbnails/10.jpg)
Interpretación gráfica:
Caso continuo
x
x
f(x)
Dis
trib
ució
n u
niform
e X
F x
1
Xx F u
u
u
1
Xx F u 10
![Page 11: 5. TEOREMA FUNDAMENTAL: Formulación y …disi.unal.edu.co/profesores/jeortizt/Sim/Archivos/05B... · a partir de la otra. X fx 4 X Fx 4 1 X x F u GeneradorDeX 4 94. Interpretación](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022020205/5ba9dd5909d3f28b6f8d02a4/html5/thumbnails/11.jpg)
4. GENERADOR VARIABLE
ARTIFICIAL CONTINUA
La fisonomía del algoritmos generador para X
es:
1
_
;
;
;
m
X
Funcion Generador X
INICIO
u Aleatorio
x F u
RETORNAR x
FIN
11
![Page 12: 5. TEOREMA FUNDAMENTAL: Formulación y …disi.unal.edu.co/profesores/jeortizt/Sim/Archivos/05B... · a partir de la otra. X fx 4 X Fx 4 1 X x F u GeneradorDeX 4 94. Interpretación](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022020205/5ba9dd5909d3f28b6f8d02a4/html5/thumbnails/12.jpg)
12
Ejemplo 1.- Variable exponencial
La densidad exponencial viene dada por
y por tanto su distribución es
0 exp1
)(
x
xxf
0 exp1)()(
xx
dttfxFx
![Page 13: 5. TEOREMA FUNDAMENTAL: Formulación y …disi.unal.edu.co/profesores/jeortizt/Sim/Archivos/05B... · a partir de la otra. X fx 4 X Fx 4 1 X x F u GeneradorDeX 4 94. Interpretación](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022020205/5ba9dd5909d3f28b6f8d02a4/html5/thumbnails/13.jpg)
13
Ejemplo 1.- Variable exponencial
Así pues si U~U(0,1) entonces
Esto permite generar números que siguen una
distribución exponencial, si se dispone de
un número que siguen una distribución
uniforme en (0,1), es decir un número
aletorio.
1( ) ln(1 )XX F U U
![Page 14: 5. TEOREMA FUNDAMENTAL: Formulación y …disi.unal.edu.co/profesores/jeortizt/Sim/Archivos/05B... · a partir de la otra. X fx 4 X Fx 4 1 X x F u GeneradorDeX 4 94. Interpretación](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022020205/5ba9dd5909d3f28b6f8d02a4/html5/thumbnails/14.jpg)
Ejemplo 1.- Variable exponencial
*
*
;
ln 1 ;
;
Funcion GeneradorExponencial
INICIO
u Aleatorio
x u
RETORNAR x
FIN
14
![Page 15: 5. TEOREMA FUNDAMENTAL: Formulación y …disi.unal.edu.co/profesores/jeortizt/Sim/Archivos/05B... · a partir de la otra. X fx 4 X Fx 4 1 X x F u GeneradorDeX 4 94. Interpretación](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022020205/5ba9dd5909d3f28b6f8d02a4/html5/thumbnails/15.jpg)
Ejercicio: Distribución triangular
a b c x
f(x)
• Considere la variable aleatoria
que se presenta en la gráfica:
• Determine:
1. Su densidad.
2. Su Distribución.
3. Su media.
4. Su función percentil
5. Diseñe el generador de esa variable.
, ,X Tri a b c
15
![Page 16: 5. TEOREMA FUNDAMENTAL: Formulación y …disi.unal.edu.co/profesores/jeortizt/Sim/Archivos/05B... · a partir de la otra. X fx 4 X Fx 4 1 X x F u GeneradorDeX 4 94. Interpretación](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022020205/5ba9dd5909d3f28b6f8d02a4/html5/thumbnails/16.jpg)
Ejercicio: Distribución triangular
• Densidad :
• Distribución :
• Media :
2( )
( )( )
2( )( )
( )( )
0,
X
x aa x b
b a c a
c xf x b x c
c b c a
otro
3)(
cbaXE
2
2
0,
( )
( )( )( )
( )1
( )( )
1
X
x a
x aa x b
b a c aF x
c xb x c
c b c a
x c
16
![Page 17: 5. TEOREMA FUNDAMENTAL: Formulación y …disi.unal.edu.co/profesores/jeortizt/Sim/Archivos/05B... · a partir de la otra. X fx 4 X Fx 4 1 X x F u GeneradorDeX 4 94. Interpretación](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022020205/5ba9dd5909d3f28b6f8d02a4/html5/thumbnails/17.jpg)
Ejercicio: Distribución triangular
Función percentil, Aplicando el teorema fundamental
se obtiene :
0
( )
1 1
b aa b a c a u u
c aX u
b ac c b c a u u
c a
17
![Page 18: 5. TEOREMA FUNDAMENTAL: Formulación y …disi.unal.edu.co/profesores/jeortizt/Sim/Archivos/05B... · a partir de la otra. X fx 4 X Fx 4 1 X x F u GeneradorDeX 4 94. Interpretación](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022020205/5ba9dd5909d3f28b6f8d02a4/html5/thumbnails/18.jpg)
Ejercicio: Distribución triangular
Generador de
una variable
aleatoria :
,
;
;
1 ;
;
a b GeneradorTriangular a b c
INICIO
u Aleatorio
b aSI u ENTONCES
c a
INICIO
x a b a c a u
FIN
SINO
INICIO
x c c b c a u
FIN
RETORNAR x
FIN
, ,X Tri a b c
18
![Page 19: 5. TEOREMA FUNDAMENTAL: Formulación y …disi.unal.edu.co/profesores/jeortizt/Sim/Archivos/05B... · a partir de la otra. X fx 4 X Fx 4 1 X x F u GeneradorDeX 4 94. Interpretación](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022020205/5ba9dd5909d3f28b6f8d02a4/html5/thumbnails/19.jpg)
Interpretación gráfica:
Caso discreto
1
0
u
X
F x
X
F x
X
1
i Xx F u 19
![Page 20: 5. TEOREMA FUNDAMENTAL: Formulación y …disi.unal.edu.co/profesores/jeortizt/Sim/Archivos/05B... · a partir de la otra. X fx 4 X Fx 4 1 X x F u GeneradorDeX 4 94. Interpretación](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022020205/5ba9dd5909d3f28b6f8d02a4/html5/thumbnails/20.jpg)
20
Ejemplo 2.- Variable Uniforme
discreta
Distribución uniforme discreta en [1,k]. Se
desea generar números enteros entre 1 y k
de tal modo que todos tengan la misma
probabilidad. Para ello:
– Genere U ~ U(0,1).
– Haga X = kU + 1.
Entonces X tiene la distribución deseada. Este
método es más rápido que inversión.
![Page 21: 5. TEOREMA FUNDAMENTAL: Formulación y …disi.unal.edu.co/profesores/jeortizt/Sim/Archivos/05B... · a partir de la otra. X fx 4 X Fx 4 1 X x F u GeneradorDeX 4 94. Interpretación](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022020205/5ba9dd5909d3f28b6f8d02a4/html5/thumbnails/21.jpg)
4. GENERADOR
VARIABLE
ARTIFICIAL
DISCRETA
*
1
*
*
_
;
1;
;
1;
;
;
m
X
X i
i
Funcion Generador X
INICIO
u Aleatorio
i
F f x
MIENTRAS F u HACER
INICIO
i i
F F f x
FIN
RETORNAR x
FIN
21
![Page 22: 5. TEOREMA FUNDAMENTAL: Formulación y …disi.unal.edu.co/profesores/jeortizt/Sim/Archivos/05B... · a partir de la otra. X fx 4 X Fx 4 1 X x F u GeneradorDeX 4 94. Interpretación](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022020205/5ba9dd5909d3f28b6f8d02a4/html5/thumbnails/22.jpg)
Ejemplo: Distribución Binomial
,X Bin n p• Considere la variable aleatoria
diseñe su generador.
• Solución: La densidad binomial está dada por:
( , ) 1n xx
X
nf x n p p p
x
22
![Page 23: 5. TEOREMA FUNDAMENTAL: Formulación y …disi.unal.edu.co/profesores/jeortizt/Sim/Archivos/05B... · a partir de la otra. X fx 4 X Fx 4 1 X x F u GeneradorDeX 4 94. Interpretación](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022020205/5ba9dd5909d3f28b6f8d02a4/html5/thumbnails/23.jpg)
GENERADOR VARIABLE ARTIFICIAL
BINOMIAL
0,1,2, , , 0,1
;
0;
1 ;
1;
1 ;
;
n
n xx
n Funcion GeneradorBinomial n p
INICIO
u Aleatorio
x
F p
MIENTRAS F u HACER
INICIO
x x
nF F p p
x
FIN
RETORNAR x
FIN
23
![Page 24: 5. TEOREMA FUNDAMENTAL: Formulación y …disi.unal.edu.co/profesores/jeortizt/Sim/Archivos/05B... · a partir de la otra. X fx 4 X Fx 4 1 X x F u GeneradorDeX 4 94. Interpretación](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022020205/5ba9dd5909d3f28b6f8d02a4/html5/thumbnails/24.jpg)
Ejercicio: Distribución Geométrica
X Geom p• Considere la variable aleatoria
diseñe su generador.
• Solución:
24
![Page 25: 5. TEOREMA FUNDAMENTAL: Formulación y …disi.unal.edu.co/profesores/jeortizt/Sim/Archivos/05B... · a partir de la otra. X fx 4 X Fx 4 1 X x F u GeneradorDeX 4 94. Interpretación](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022020205/5ba9dd5909d3f28b6f8d02a4/html5/thumbnails/25.jpg)
VARIABLES SINTÉTICAS
TRUNCADAS
• Sea a partir de la cual se desea
simular la variable truncada:
• Claramente,
XX f x
,X a b
Y
X X
f y I xY g y
F b F a
X X
Y
X X
F y F aG y
F b F a
25
![Page 26: 5. TEOREMA FUNDAMENTAL: Formulación y …disi.unal.edu.co/profesores/jeortizt/Sim/Archivos/05B... · a partir de la otra. X fx 4 X Fx 4 1 X x F u GeneradorDeX 4 94. Interpretación](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022020205/5ba9dd5909d3f28b6f8d02a4/html5/thumbnails/26.jpg)
FUNCIÓN PERCENTIL
TRUNCADA
• Aplicando el teorema fundamental de la
simulación es fácil ver que:
• ¿Cómo queda el simulador para una
variable aleatoria truncada?
* * *
1
X X X Xy F F a F b F a u
26
![Page 27: 5. TEOREMA FUNDAMENTAL: Formulación y …disi.unal.edu.co/profesores/jeortizt/Sim/Archivos/05B... · a partir de la otra. X fx 4 X Fx 4 1 X x F u GeneradorDeX 4 94. Interpretación](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022020205/5ba9dd5909d3f28b6f8d02a4/html5/thumbnails/27.jpg)
GENERADOR VARIABLE
SINTÉTICA TRUNCADA
* * *
1
, _ ,
;
;
;
;
m
X X X
X
a b Funcion GeneradorTruncada Y a b
INICIO
u Aleatorio
F a F b F a u
y F
RETORNAR y
FIN
27
![Page 28: 5. TEOREMA FUNDAMENTAL: Formulación y …disi.unal.edu.co/profesores/jeortizt/Sim/Archivos/05B... · a partir de la otra. X fx 4 X Fx 4 1 X x F u GeneradorDeX 4 94. Interpretación](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022020205/5ba9dd5909d3f28b6f8d02a4/html5/thumbnails/28.jpg)
EJEMPLO: GENERADOR
EXPONENCIAL TRUNCADA
, _ ,
;
1 ;
ln 1 ;
;
a a b
a b Funcion ExponencialTruncada Y a b
INICIO
u Aleatorio
e e e u
y
RETORNAR y
FIN
28
![Page 29: 5. TEOREMA FUNDAMENTAL: Formulación y …disi.unal.edu.co/profesores/jeortizt/Sim/Archivos/05B... · a partir de la otra. X fx 4 X Fx 4 1 X x F u GeneradorDeX 4 94. Interpretación](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022020205/5ba9dd5909d3f28b6f8d02a4/html5/thumbnails/29.jpg)
Dificultades:
1. En ocasiones es difícil (sino imposible)
encontrar analíticamente
2. En ocasiones es difícil (sino imposible)
“despejar” la variable
3. Una solución frecuente, aunque no es la
única posible, esta en emplear técnicas de
métodos numéricos para encontrar esa
información.
4. O (mejor) aplicar otros métodos que
produzcan los resultados esperados.
X
F x
x
29