5 Sistemas de ecuaciones 5 SISTEMAS DE … · Resolver sistemas de ecuaciones lineales por los...

5 Sistemas de ecuaciones

142Unidades didácticas Matemáticas 2.º ESO

La unidad recoge el concepto de ecuación dado anteriormente y lo amplía, primero a una ecuación lineal con dos incógnitas para poste-riormente trabajar los sistemas de ecuaciones lineales.

En primer lugar se analizan los sistemas de ecuaciones desde el punto de vista gráfico, estudiando las posibles soluciones.

Posteriormente, la unidad se centra en dos métodos para resolver este sistema, el método de sustitución y el método de reducción.

La metodología debe permitir a los alumnos el desarrollo y la adquisición de la competencia matemática, y también del resto de competencias clave. Por esta razón, se presentan en la unidad secciones en las que cobra importancia el trabajo de dichas competencias.

Comunicación lingüística (CL)Es la protagonista de la sección Lee y comprende las matemáticas en la que se trabaja la comprensión lectora partiendo de artículos y activi-dades relacionados con los sistemas de ecuaciones.

Competencia digital (CD)Se integra a lo largo de la unidad haciendo partícipes a los alumnos de las ventajas que tiene recurrir a los medios informáticos para compren-der determinados contenidos relacionados con los sistemas de ecuaciones.

Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT)Se desarrolla a lo largo de toda la unidad y especialmente en la sección Matemáticas vivas donde, partiendo de una situación cotidiana como es el estudio del tipo, la cantidad y el precio del café, los alumnos profundizarán en las aplicaciones de los sistemas de ecuaciones.

Competencias sociales y cívicas (CSC)La consideración de distintas implicaciones en el tema de estudio contribuye a su preparación como ciudadanos informados.

Competencia aprender a aprender (CAA)En toda la unidad se considera la necesidad de potenciar en los alumnos su espíritu crítico potenciando el pensamiento creativo. La puesta en común de los distintos trabajos constituye una ocasión para la integración de conocimientos adquiridos por distintas vías así como para el análisis y la comparación de distintas formas de abordar un mismo objetivo.

Competencia sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (CSIEE)La unidad contiene un gran número de problemas y la resolución de los mismos contribuye a fomentar la autonomía e iniciativa personal, por-que se utilizan para planificar estrategias, asumir retos y contribuyen a convivir con la incertidumbre, controlando al mismo tiempo los procesos de toma de decisiones. Se desarrolla especialmente en varias de las últimas actividades de cada sección (Investiga o Desafío).

El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de tres semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos, ya que hay que tener en cuenta el tiempo necesario para la exposición de los trabajos.

ObjetivosLos objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son:

❚❚ Reconocer ecuaciones lineales con dos incógnitas e identificar sus soluciones.

❚❚ Reconocer sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas e identificar sus soluciones.

❚❚ Representar las soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas.

❚❚ Resolver gráficamente un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas.

❚❚ Resolver sistemas de ecuaciones lineales por los métodos de sustitución y de reducción.

❚❚ Comprender y resolver problemas en los que es necesario el uso de sistemas de ecuaciones.

❚❚ Realizar una tarea de trabajo cooperativo utilizando sistemas de ecuaciones.

SISTEMAS DE ECUACIONES5

143

5Sistemas de ecuaciones

Unidades didácticas Matemáticas 2.º ESO

Atención a la diversidadCon el fin de atender los distintos ritmos de aprendizaje de los alumnos, se proponen algunas actividades de refuerzo y de ampliación que podrán utilizarse como alternativa o complemento a las que figuran en el libro del alumno. Se establecen actividades diferenciadas a modo de fichas de trabajo que pueden servir como adaptación curricular para los casos en que fuera necesario.

Material complementarioEn el material complementario Comprende y resuelve problemas se proponen actividades para trabajar la comprensión y la resolución de problemas relacionadas con el estudio de los sistemas de ecuaciones.

Por otra parte, el material complementario Practica+ cuenta con un repaso de los contenidos y procedimientos estudiados sobre sistemas de ecuaciones, y se proponen nuevas actividades para repasar y afianzar dichos contenidos.

Además, para ayudar a los alumnos a comprender y practicar conceptos relacionados con los sistemas de ecuaciones pueden acceder a las lecciones 1174, 1175 y 1176 de la web www.mismates.es.

P R O G R A M A C I Ó N D E L A U N I D A D

Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluablesRelación de

actividades del libro del alumno

Competencias clave

Sistemas de ecuaciones lineales

1. Conocer los conceptos de ecuación y sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

2. Utilizar los sistemas de ecuaciones lineales como herramienta para resolver problemas.

1.1. Reconoce ecuaciones lineales con dos incógnitas.1.2. Identifica si un par de números (x, y) es solución de una ecuación lineal con dosincógnitas.1.3. Expresa situaciones reales mediante ecuaciones lineales con dos incógnitas.1.4. Reconoce y escribe sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.1.5. Identifica si un par de números (x, y) es solución de un sistema de ecuaciones lineales dado.

2.1. Plantea sistemas de ecuaciones lineales para resolver problemas.

1, 2453, 446

5, 47

6507, 82548, 49

32-4467-77Matemáticas vivas 3, 5

CMCTCLCSCCAACSIEE

Resolución de sistemas: método gráfico

3. Utilizar el lenguaje algebraico para resolver sistemas de ecuaciones lineales, aplicando para su resolución métodos gráficos y contrastando los resultados obtenidos.

3.1. Asocia las soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas con los puntos de una recta.3.2. Relaciona el número de soluciones de sistema de ecuaciones lineales con la posición relativa de las rectas cuyas ecuaciones forman el sistema.3.3. Emplea el método gráfico para resolver sistemas de ecuaciones.

10-12511552, 53

13, 14, 1654

CMCTCDCLCSCCAACSIEE

Resolución de sistemas: sustitución

4. Utilizar el lenguaje algebraico para resolver sistemas de ecuaciones lineales, aplicando para su resolución métodos algebraicos y contrastando los resultados obtenidos.

4.1. Emplea el método de sustitución para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

17-1921-2355-60, 65, 66

CMCTCDCLCSCCAACSIEE

Resolución de sistemas: reducción

5. Utilizar el lenguaje algebraico para resolver sistemas de ecuaciones lineales, aplicando para su resolución métodos algebraicos y contrastando los resultados obtenidos.

5.1. Emplea el método de reducción para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

27-3161-66

CMCTCLCSCCAACSIEE


MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDAD

2. Resolución de sistemas: método gráfico

3. Resolución de sistemas: sustitución

4. Resolución de sistemas: reducción

AvanzaNúmero de soluciones de un sistema

Cálculo mentalEstrategia para resolver ecuaciones sencillas

PARA EL PROFESOR

MATERIAL COMPLEMENTARIO

PARA EL ALUMNO

Actividades de RefuerzoActividades de Ampliación

Propuesta de Evaluación APropuesta de Evaluación B

Matemáticas en el día a díaContenido WEB. Matemagia

1. Sistemas de ecuaciones lineales

Vídeo. Ecuaciones de segundo grado

Vídeo. Método de sustitución

GeoGebra. Resolución gráficaVídeo. Resolución con GeoGebra

MisMates.esLecciones 1174, 1175 y 1176 de la web mismates.es

Practica+

Adaptación curricular

Comprende y resuelve problemas

Lee y comprende las matemáticasEl cajero automático cumple 45 años • Estudio de tipología de billetes de

euro en función de la cantidad de dinero y de billetes suministrados

Presentación de la unidad Ideas previasRepasa lo que sabes

144


¿Qué tienes que saber? • Sistemas de ecuaciones lineales • Resolución de sistemas: método

gráfico • Resolución de sistemas: sustitución • Resolución de sistemas: reducción

Actividades interactivasActividades finales

Matemáticas vivasLas mezclas • Estudio de tipo, cantidad y precio de

café

Trabajo cooperativoTarea cuya estrategia cooperativa es Lápices al centro, de Nadia Aguiar y María Jesús Talión

145



Sugerencias didácticas

La entrada de la unidad presenta las ecuaciones lineales con dos incógnitas. Para introducir este concepto, se utiliza el juego de la escoba, que es posible que tenga que ser ex-plicado ya que algunos alumnos no lo conozcan. Mediante este ejemplo los alumnos estudiarán las diferentes solucio-nes de una ecuación de este tipo.

Puede ser útil prescindir del ejemplo de la escoba, cuyas so-luciones son números naturales menores que 15, e indagar cuáles son las posibles soluciones de la ecuación x + y = 15.

Contenido WEB. MATEMAGIA

En la sección Matemáticas en el día a día se introduce un recurso TIC para complementar la página de inicio con información rela-tiva a la unidad. En este caso se hace una breve introducción al uso de las matemáticas explicando un sencillo truco con las cartas de la baraja francesa. Puede utilizarse para motivar a los alumnos antes de comenzar a trabajar la unidad, proponiendo a alguno de ellos que lo presente a sus compañeros, o como ampliación para aquellos alumnos que muestren un interés especial.

REPASA LO QUE SABES1. Expresa las siguientes expresiones en lenguaje algebraico.

a) El doble de un número más otro número.

b) La mitad de un número más es triple de otro.

c) Un número más 2 menos otro número más 5.

2. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado.

a) 3x − 5 = 2 b) −x + 9 = 1 c) 2x + 7 = 9

3. Despeja el valor de x en estas expresiones.

a) 3x + y = 6 b) x − 4y = 8

4. Dibuja en un sistema de coordenadas los siguientes puntos.

A(−2, 3) B(4, 3) C(0, −5) D(−3, −1)

5. Dibuja la recta que pasa por (0, 2) y (−3, 1).

95

5La escoba es un juego de cartas que consiste en ir sumando 15 puntos con las cartas que tienes más una que robas.

Si llamamos x a la puntuación de las cartas que tienes e y a la de la carta que coges, ganarás si x + y = 15.

Este tipo de expresiones con dos incógnitas se llaman ecuaciones lineales con dos incógnitas y se caracterizan porque no tienen una única solución.

Además, si jugásemos con una baraja que tuviese infinitas cartas de diferentes puntuaciones positivas y negativas, esta ecuación tendría un número infinito de soluciones.

SISTEMAS DE ECUACIONES

La escoba es un juego de cartas que consiste en ir sumando 15 puntos con las cartas que tienes más una que robas.

Si llamamos la de la carta que coges, ganarás si

Este tipo de expresiones con dos incógnitas se llaman ecuaciones lineales con dos incógnitas y se caracterizan porque no tienen una única solución.

Además, si jugásemos con una baraja que tuviese infinitas cartas de diferentes puntuaciones positivas y negativas, esta ecuación tendría un número infinito de soluciones.

IDEAS PREVIAS

❚ Traducción al lenguaje

algebraico.

❚ Resolución de

ecuaciones de primer

grado.

❚ Representación de

puntos en el plano.

Algunos trucos de magia, de los que se realizan con las cartas de una baraja, se basan en algún concepto matemático que permite lograr el efecto deseado siguiendo un cierto orden o realizando operaciones sencillas.

Matemáticas en el día a día ][ma2e16

Repasa lo que sabesSoluciones de las actividades

1. Expresa las siguientes expresiones en lenguaje algebraico.

a) El doble de un número más otro número.

b) La mitad de un número más es triple de otro.

c) Un número más 2 menos otro número más 5.

a) 2x + y b) x

2+ 3 y c) (x + 2) − (y + 5)

2. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado.

a) 3x − 5 = 2 b) −x + 9 = 1 c) 2x + 7 = 9

a) 3x − 5 = 2 → 3x = 7 → x =7

3

b) −x + 9 = 1 → −x = 1 − 9 → −x = − 8 → x = 8

c) 2x + 7 = 9 → 2x = 9 − 7 → 2x = 2 → x = 1

3. Despeja el valor de x en estas expresiones.

a) 3x + y = 6 b) x − 4y = 8

b) 3x + y = 6 → 3x = 6 − y → x =6− y

3 b) x − 4y = 8 → x = 8 + 4y

4. Dibuja en un sistema de coordenadas los siguientes puntos.

A(−2, 3) B(4, 3) C(0, −5) D(−3, −1)

Comprobar que los alumnos dibujan los puntos A, B, C y D correctamente.

5. Dibuja la recta que pasa por (0, 2) y (−3, 1).

Comprobar que los alumnos dibujan los puntos (0, 2) y (−3, 1) y trazan la recta que pasan por ellos.



1. Sistemas de ecuaciones lineales

97

5Actividades5 Sistemas de ecuaciones

96

1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Observa estas afirmaciones y transfórmalas en expresiones algebraicas.

❚ La suma de nuestras edades es 25.

x + y = 25

Estos pares de valores verifican la ecuación:

x 1 5 13 30 …

y 24 20 12 −5 …

x + y 25 25 25 25 …

❚ La diferencia entre tu edad y la mía es de 1 año.

x − y = 1

Esta ecuación tiene muchas soluciones:

x −1 6 13 30 …

y −2 5 12 29 …

x − y 1 1 1 1 …

Aprenderás a… ● Reconocer ecuaciones lineales con dos incógnitas.

● Identificar las soluciones de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

● Reconocer sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas.

● Identificar las soluciones de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Presta atención

Toda ecuación lineal con dos incógnitas tiene infinitas soluciones, aunque no todas sean validas para el contexto de la situación que resolvemos.

A la expresión ax + by = c se la llama forma general de una ecuación lineal con dos incógnitas.

Lenguaje matemáticoTanto los valores x = 30 e y = −5, en el primer caso, como x = −1 e y = −2, en el segundo, carecen de sentido, pues no existen edades negativas.

Una ecuación lineal con dos incógnitas es una igualdad que puede expresarse de la forma ax + by = c, donde:

❚ a y b son números conocidos, llamados coeficientes de la ecuación.

❚ c es otro número conocido, que recibe el nombre de término independiente.

Cada par de valores de las incógnitas que hace cierta la igualdad se denomina solución de la ecuación lineal con dos incógnitas.

Si ahora tomamos conjuntamente las dos afirmaciones, podemos encontrar un par de valores que verifique las dos ecuaciones y conocer, así, sus edades.

x + y = 25 x − y = 1

x 1 5 13 30 … x −1 6 13 30 …

y 24 20 12 −5 … y −2 5 12 29 …

El par de valores x = 13 e y = 12 verifica las dos ecuaciones y constituye una solución del sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

x + y = 25

x − y = 1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

Luego, la edad de los dos jóvenes es de 13 años y 12 años, respectivamente.

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas está formado por dos ecuaciones lineales con dos incógnitas de las que se buscan sus soluciones comunes.

ax + by = c

a' x + b' y = c '

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

Una solución del sistema es un par de números que verifica las dos ecuaciones.

Indica si las siguientes ecuaciones son lineales. Explica por qué.a) 2xy − 3y = 5 c) x2 + y = 3

b) 3y + 2x = −1 d) 2

x+

3

y= 1

Escribe estas ecuaciones como ecuaciones lineales con dos incógnitas. a) 2x + 4 = 3y − 5 c) 4x − 1 = 3y + 2b) 2x + y − 1 = 4x + 3y − 2 d) 3x + 2y + 2 = 2

Comprueba si x = −1 e y = 2 son solución de alguna de estas ecuaciones.a) 3x + 2y = 7 c) −3x + 2y = 7b) 3x − 2y = −7 d) −3x − 2y = −7

Indica si alguno de los siguientes pares de valores es solución de la ecuación −x + 3y = 7.a) x = −1, y = −4 c) x = 2, y = 1b) x = 2, y = 3 d) x = 1, y = −4

Expresa estas oraciones mediante una ecuación lineal con dos incógnitas.a) El precio de dos bolígrafos y tres lapiceros es de 2 €.b) La diferencia de nuestras edades es de 5 años.c) La estatura de una persona es 5 cm menor que la de otra.d) El perímetro de un rectángulo es 10 cm.

Indica cuáles de los siguientes sistemas de ecuaciones es lineal.

a) 3x2 − y = 1

2x + 3 y = 4

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

c)

x − 2 y = 12

2xy + 3 y = 4

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) −3x − 2 y = 1

x + 3 y = −5

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d)

2 y = 1+ x

−x + y = −2

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

Comprueba si x = −2 e y = 3 son solución de alguno de estos sistemas.

a) x − y = 1

x + 2 y = 4

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c)

x + 2 y = 4

2x + y = −1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) 5 x + y = 7

x − 3 y = 9

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d)

2 y = 1+ x

−x + y = −2

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

Averigua cuál de estos pares de valores es solución de: 2x − y = −4

−x + 3 y = 17

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

a) x = −1, y = 6 c) x = 1, y = −6b) x = −1, y = −6 d) x = 1, y = 6

1

2

3

4

5

6

7

8

DESAFÍOLa siguiente pirámide se ha construido de forma que cada nivel es la suma de las dos piezas del nivel inferior.

Copia y completa los números que faltan en la pirámide.

912

3 5

O O

O

O O O O

Soluciones de las actividades1 Indica si las siguientes ecuaciones son lineales. Explica por qué.

a) 2xy − 3y = 5 b) 3y + 2x = −1 c) x2 + y = 3 d) 2

x+

3

y= 1

Solo es lineal la ecuación del apartado b).

En la ecuación del apartado a) se multiplican variables, en la del c) hay una variable elevada al cuadrado, y en la del d), las variables están en el denominador.

2 Escribe estas ecuaciones como ecuaciones lineales con dos incógnitas.

a) 2x + 4 = 3y − 5 c) 4x − 1 = 3y + 2

b) 2x + y − 1 = 4x + 3y − 2 d) 3x + 2y + 2 = 2

a) 2x − 3y = −9 b) −2x − 2y = −1 c) 4x − 3y = 3 d) 3x + 2y = 03 Comprueba si x = −1 e y = 2 son solución de alguna de estas ecuaciones.

a) 3x + 2y = 7 b) 3x − 2y = −7 c) −3x + 2y = 7 d) −3x − 2y = −7


Los alumnos suelen identificar cada ecuación con una única solucion. Es aconsejable que comprueben que una ecua-ción lineal con dos incógnitas tiene más de una solución, es más, que tiene infinitas soluciones.

A veces los alumnos malinterpretan que tener infinitas so-luciones significa que es válida cualquier solución. Tenemos que intentar aclarar este concepto.

Una vez que tengan claro la idea de las infinitas soluciones, es el momento de proponerles que piensen qué ocurriría si alguna de esas infinitas soluciones verifica también otra ecuación. Es útil que los propios alumnos descubran cuán-tas soluciones van a verificar las dos ecuaciones a la vez.

147



a) 3 ⋅ (−1) + 2 ⋅ 2 = −3 + 4 = 1 ≠ 7. No es solución. c) −3 ⋅ (−1) + 2· 2 = 3 + 4 = 7. Es solución.

b) 3 ⋅ (−1) − 2 ⋅ 2 = −3 − 4 = −7. Es solución. d) −3 ⋅ (−1) − 2· 2 = 3 − 4 = −1 ≠ −7. No es solución.4 Indica si alguno de los siguientes pares de valores es solución de la ecuación −x + 3y = 7.

a) x = −1, y = −4 b) x = 2, y = 3 c) x = 2, y = 1 d) x = 1, y = −4

a) −(−1) + 3 ⋅ (−4) = 1 − 12 = −11 ≠ 7. No es solución.

b) −2 + 3 ⋅ 3 = −2 + 9 = 7. Es solución

c) −2 + 3 ⋅ 1 = −2 + 3 = 1 ≠ 7. No es solución.

d) −1 + 3 ⋅ (−4) = −1 −12 = −13 ≠ 7. No es solución.5 Expresa estas oraciones mediante una ecuación lineal con dos incógnitas.

a) El precio de dos bolígrafos y tres lapiceros es de 2 €.

b) La diferencia de nuestras edades es de 5 años.

c) La estatura de una persona es 5 cm menor que la de otra.

d) El perímetro de un rectángulo es 10 cm.

a) 2x + 3y = 2 b) x − y = 5 c) x = y − 5 d) 2x + 2y = 106 Indica cuáles de los siguientes sistemas de ecuaciones es lineal.

a) 3x2 − y = 1

2x + 3 y = 4

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

b) −3x − 2 y = 1

x + 3 y = −5

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c) x − 2 y = 12

2xy + 3 y = 4

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d) 2 y = 1+ x

−x + y = −2

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

Son lineales los sistemas de ecuaciones de los apartados b) y d).7 Comprueba si x = −2 e y = 3 son solución de alguno de estos sistemas.

a) x − y = 1

x + 2 y = 4

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b) 5 x + y = 7

x − 3 y = 9

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c) x + 2 y = 4

2x + y = −1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d) 2 y = 1+ x

−x + y = −2

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

a) −2− 3 = −5 ≠ 1

−2 + 2 ⋅3 = −2+ 6 = 4

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

→ No es solución. c) −2 + 2 ⋅3 = −2 + 6 = 4

2 ⋅ (−2) + 3 = −4 + 3 = −1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

→ Es solución.

b) 5(−2) + 3 = −10 + 3 = −7 ≠ 7

−2− 3 ⋅3 = −2− 9 = −11 ≠ 9

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

→ No es solución. d) 2 ⋅3 = 6 ≠ −1 = 1+ (−2)

−(−2) + 3 = 2 + 3 = 5 ≠ −2

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

→ No es solución.

8 Averigua cuál de estos pares de valores es solución de: 2x − y = −4

−x + 3 y = 17

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

a) x = −1, y = 6 b) x = −1, y = −6 c) x = 1, y = −6 d) x = 1, y = 6

a) 2 ⋅ (−1)− 6 = −2− 6 = −8 ≠ −4

−(−1) + 3 ⋅6 = 1+ 18 = 19 ≠ 17

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪


b) 2 ⋅ (−1)− (−6) = −2 + 6 = 4 ≠ −4

−(−1) + 3 ⋅ (−6) = 1−18 = −17 ≠ 17

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪


c) 2 ⋅1− (−6) = 2 + 6 = 8 ≠ −4

−1+ 3 ⋅ (−6) = −1−18 = −19 ≠ 17

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪


d) 2 ⋅1− 6 = 2− 6 = −4

−1+ 3 ⋅6 = −1+ 18 = 17

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

→ Es solución.

Desafío9 La siguiente pirámide se ha construido de forma que cada nivel es la suma de las dos piezas del nivel

inferior. Copia y completa los números que faltan en la pirámide.12

3 5

5

2

2 1 1

7

4



2. Resolución de sistemas: método gráfico


Es conveniente comenzar el epígrafe recordando varios conceptos necesarios para su desarrollo:

❚❚ Representación de funciones lineales: la representa-ción gráfica de estas funciones es una recta.

❚❚ Puntos que determinan una recta: muchas veces los alumnos representan varios puntos para dibujar una rec-ta y al no hacerlo con precisión, cuando los unen, no queda una recta. Solo es necesario dibujar dos puntos para trazar una recta.

❚❚ Utilización de instrumentos de dibujo: los alumnos no suelen acordase de cómo se usa la escuadra y el carta-bón para dibujar rectas paralelas y perpendiculares. Tam-bién puede ser muy útil recordar el uso del compás para representar puntos con la misma distancia.

Comentar a los alumnos que con el método gráfico es posi-ble que no encuentren la solución del sistema, pero pueden conocer si el sistema tiene solución o no.

También es conveniente que los alumnos realicen las re-presentaciones en diferentes tipos de papel (cuadriculado, milimetrado o blanco) para que sepan enfrentarse a las dis-tintas dificultades que existen en cada caso.

GeoGebra. RESOLUCIÓN GRÁFICA

En el recurso se muestra la resolución gráfica del sistema de ecua-ciones lineales del ejercicio resuelto. Para representar las rectas se utiliza el programa GeoGebra, pero se indican todos los pasos a realizar por el alumno en el libro. Se puede reproducir en clase como apoyo a la explicación de esta página o como recurso para que los alumnos repasen este procedimiento.

El recurso puede utilizarse pulsando sobre la barra de navegación para ver paso a paso la resolución o activando el botón Reprodu-ce de modo que la construcción se realizará automáticamente sin necesidad de interacción.

Vídeo. RESOLUCIÓN CON GEOGEBRA

En el vídeo se resuelve el mismo sistema del recurso anterior pero aprovechando las herramientas de GeoGebra. Al introducir las ecuaciones de las rectas en la línea de entrada no es necesario calcular puntos (como en el cuaderno para dibujarlas) y usando el botón de Intersección el programa indica la solución del sistema gráficamente.

Puede reproducirse en clase como apoyo a la explicación de esta página o como recurso para que los alumnos investiguen el uso del programa. Si aprenden a utilizarlo pueden realizar o corregir las actividades de la página siguiente usando el programa.

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Aprenderás a… ● Representar las soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas.

● Resolver gráficamente un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Para dibujar una recta, solo necesitamos conocer dos de los puntos por los que pasa.

Lenguaje matemático

} Resuelve gráficamente el sistema de ecuaciones lineales: x + 4 y = −2x + y = 1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

SoluciónPara cada ecuación damos valores a una de las variables y calculamos el valor que corresponde a la otra.

❚ Si y = 0, x = −2 → (−2, 0) ❚ Si x = −1, y = −2 → (−1, 2) ❚ Las dos rectas se cortan en el punto

Si x = 2, y = −1 → (2, −1) Si x = 1, y = 0 → (1, 0) (2, −1), que es la solución del sistema.

EJERCICIO RESUELTO

2. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS: MÉTODO GRÁFICO

Xènia y Rebeca compran un regalo que les cuesta 8 €. Si llamamos x al dinero que pone Xènia e y al que pone Rebeca, se cumple la ecuación lineal x + y = 8. Una posible solución de esta ecuación es que cada una aporte 4 €, es decir, x = 4 e y = 4, ya que se verifi ca que 4 + 4 = 8.

Podemos obtener más soluciones dando a una incógnita, x, un valor y calculando, a continuación, el valor correspondiente de la otra incógnita, y.

x = 1 x = 2 x = 5 x = 8

1 + y = 8y = 7

2 + y = 8y = 6

5 + y = 8y = 3

8 + y = 8y = 0

Si asociamos a cada solución de la ecuación un punto en un sistema de coordenadas, observamos que todos los puntos están alineados.

x y (x, y)

1 7 (1, 7)

2 6 (2, 6)

5 3 (5, 3)

8 0 (8, 0)

Además, si tomamos todas las soluciones de la ecuación x + y = 8, tengan o no sentido para el contexto en el que estamos trabajando, forman una recta.

Si un sistema de ecuaciones está formado por dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, las soluciones de cada una forman una recta. Si estas rectas se cortan, el punto de corte cumple las dos ecuaciones y es la solución del sistema.

❚ Las soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas representadas en un sistema de coordenadas forman una recta.

❚ La solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es el punto donde se cortan las dos rectas, si se cortan.

••

•

•O 1

1

X

Y

ma2e17

La tabla muestra algunas soluciones de la ecuación lineal 2x + y = 1.

x −2 −1 0 1 2 3

y 5 3 1 −1 −3 −5

Representa en un sistema de coordenadas las soluciones de esta ecuación.

En la siguiente tabla aparecen varias soluciones de una ecuación con dos incógnitas.

x −3 −1 0 1 2 4

y 5 4 2 0 3 5

Represéntalas en un sistema de coordenadas y justifica si pueden corresponder a una ecuación lineal.

Dibuja las soluciones de estas ecuaciones lineales.a) x + y = 2 c) −x + y = 1b) x − y = 4 d) −x − y = 3

En las siguientes gráficas aparece la solución gráfica de diferentes sistemas, indica la solución de cada uno.a)

•

O 1

1

X

Y b)

•

O 1

1

X

Y c)

•

O 1

1

X

Y

Resuelve gráficamente los siguientes sistemas.

a) 2x − 4 y = −8

x + y = 5

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c) x + 4 y = −2

2x + y = 3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) −2x + y = −1

x − y = −2

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d) 2x + y = 7

−x + 3 y = 7

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

Identifica gráficamente el número de soluciones de cada sistema.

a) x − 3 y = 1

−2x + 6 y = −2

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c) 3x + y = 5

x + y = 3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) x + y = 1

x + y = 2

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d) 2x + y = 1

−4 x + 2 y = 6

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

10

11

12

13

14

15

Presta atención

Dos rectas en el plano pueden ser secantes, coincidentes o paralelas.

❚ Sistemas con una solución

•

O 1

1

X

Y

3x + 4y = 14

– x + y = 0

Rectas secantes

❚ Sistemas sin solución

•

O 1

1

X

Y

Rectas paralelas

❚ Sistemas con infinitas soluciones

O 1

1

X

Y

6x + 8y = 20

3x + 4y = 10

Rectas coincidentes.

Investiga

El programa GeoGebra permite dibujar rectas en un sistema de coordenadas sin más que introducir su ecuación en la línea de entrada.Investiga qué herramientas tenemos que utilizar para poder hallar la solución del sistema de ecuaciones:

6 x + 6 y = 5

2x + 3 y = 1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

16

ma2e18

149



Soluciones de las actividades10 La tabla muestra algunas soluciones de la ecuación lineal 2x + y = 1.

x −2 −1 0 1 2 3

y 5 3 1 −1 −3 −5

Representa en un sistema de coordenadas las soluciones de esta ecuación.

•

O 2

1

Y

X

•

•

•

•

•

11 En la siguiente tabla aparecen varias soluciones de una ecuación con dos incógnitas.

x −3 −1 0 1 2 4

y 5 4 2 0 3 5

Represéntalas en un sistema de coordenadas y justifica si pueden corresponder a una ecuación lineal.

•

O 1

1

Y

X

•

•

•

•

•

No puede ser porque no están alineados.12 Dibuja las soluciones de estas ecuaciones lineales.

a) x + y = 2 b) x − y = 4 c) −x + y = 1 d) −x − y = 3

a)

O 1

1

X

Y b)

O 1

1

X

Y c)

O 1

1

X

Y d)

O 1

1

X

Y

13 En las siguientes gráficas aparece la solución gráfica de diferentes sistemas. Indica la solución de cada uno.

a)

•

O 1

1

X

Y b)

•

O 1

1

X

Y c)

•

O 1

1

X

Y

a) x = 3, y = 2 b) x = −1, y = 1 c) x = −2, y = −2



14 Resuelve gráficamente los siguientes sistemas.

a) 2x − 4 y = −8

x + y = 5

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) −2x + y = −1

x − y = −2

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c) x + 4 y = −2

2x + y = 3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d) 2x + y = 7

−x + 3 y = 7

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

a) •

O 1

1

X

Y b)

•

O 1

1

X

Y c)

•O 1

1

X

Y d) •

O 1

1

X

Y

15 Identifica gráficamente el número de soluciones de cada sistema.

a) x − 3 y = 1

−2x + 6 y = −2

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) x + y = 1

x + y = 2

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c) 3x + y = 5

x + y = 3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d) 2x + y = 1

−4 x + 2 y = 6

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

a)

O 1

1

X

Y b)

O 1

1

X

Y c)

•

O 1

1

X

Y d)

•

O 1

1

X

Y

Tiene infinitas soluciones. No tiene solución. Tiene una solución. Tiene una solución.

Investiga16 El programa GeoGebra permite dibujar rectas en un sistema de coordenadas

sin más que introducir su ecuación en la línea de entrada.

Investiga qué herramientas tenemos que utilizar para poder hallar la solución del sistema de ecuaciones:

6 x + 6 y = 5

2x + 3 y = 1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

Hay que introducir las ecuaciones de las rectas en la línea de entrada y utilizar el botón de Intersección el programa indica la solución del sistema gráficamente.

151



3. Resolución de sistemas: sustitución

Soluciones de las actividades17 Resuelve estos sistemas sustituyendo en la segunda ecuación la incógnita despejada en la primera.

a) x = 3 y + 3

2x + y = −1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) y = 2− x

−x + 3 y = −6

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c) x = y −1

−3x + 5 y = 7

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d) y = 2x + 3

5 x + 7 y = 2

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

a) x = 0, y = −1 b) x = 3, y = −1 c) x = 1, y = 2 d) x = −1, y = 118 Despeja la incógnita marcada en cada caso y utilízala para resolver el sistema.

a) x + 7 y = 10

2x + 3 y = 9

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) 5 x + 4 y = 2

3x + y = 4

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c) 2x + y = 7

3x − y = −13

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d) x − 2 y = 9

8 x + 3 y = −4

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

a) x = 3, y = 1 b) x = 2, y = −2 c) x =−6

5, y =

47

5 d) x = 1, y = −4


Es conveniente analizar con los alumnos qué condiciones debe tener un sistema de dos ecuaciones lineales para que la resolución por este método sea óptima.

Si todas las incógnitas tienen coeficientes, a la hora de despejar una de ellas obtendremos denominadores, y esto nos puede complicar la resolución de la ecuación que nos queda.

Vídeo. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

En el vídeo se resuelve un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, indicando paso a paso cómo despejar una de las ellas y sustituirla en la otra ecuación.

Puede reproducirse en clase como apoyo a la explicación de esta página o como recurso para que los alumnos repasen este tipo de ejercicios.

101


100

3. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS: SUSTITUCIÓN

En una clase que cuenta con 27 alumnos, el número de chicos es igual al de chicas menos tres. Si llamamos x al número de chicos e y al de chicas, la información se traduce en un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

En una clase hay 27 alumnos → x + y = 27

El número de chicas es el de chicos menos tres → y = x − 3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

La segunda ecuación del sistema nos informa del valor de y. Utilizamos esta información en la primera ecuación.

y = x − 3

x + y = 27 → x + (x − 3) = 27

Ahora tenemos una ecuación con una sola incógnita que podemos resolver.

x + (x − 3) = 27 → x + x − 3 = 27 → x + x = 27 + 3 → 2x = 30 → x = 30

2 = 15

Hemos averiguado que hay 15 chicos. Para hallar el número de la chicas, utilizamos la ecuación en la que tenemos despejada la y.

y = x − 3 → y = 15 − 3 = 12

Luego, en la clase hay 15 chicos y 12 chicas.

En general, para resolver un sistema por sustitución:

2x − 3 y = −4

3x + y = 5

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

1 Despejamos una de las incógnitas en una de las ecuaciones.

2x − 3 y = −4

3x + y = 5

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪ → y = 5 − 3x

2 Sustituimos la expresión obtenida en la otra ecuación.

y = 5 − 3x

2x − 3y = −4 → 2x − 3(5 − 3x) = −4

3 Resolvemos le ecuación con una sola incógnita.

2x − 3(5 − 3x) = −4 → 2x − 15 + 9x = −4 → 11x = 11 → x = 1

4 Sustituimos el valor obtenido en la ecuación que hemos despejado.

y = 5 − 3x x = 1⎯ →⎯⎯ y = 5 − 3 · 1 = 5 − 3 = 2

La solución del sistema es: x = 1, y = 2

Aprenderás a… ● Resolver sistemas de ecuaciones lineales por el método de sustitución.

Presta atención

Si alguna de las ecuaciones del sistema tiene una incógnita con coeficiente 1, es aconsejable despejar esta ecuación y esta incógnita.

} Resuelve este sistema: 2x − 3y = 13

3x + 5y = −9

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

SoluciónResolvemos el sistema por el método de sustitución.

EJERCICIO RESUELTO

Resuelve estos sistemas sustituyendo en la segunda ecuación la incógnita despejada en la primera.

a) x = 3 y + 3

2x + y = −1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c)

x = y −1

−3x + 5 y = 7

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) y = 2− x

−x + 3 y = −6

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d)

y = 2x + 3

5 x + 7 y = 2

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

Despeja la incógnita marcada en cada caso y utilízala para resolver el sistema.

a) x + 7 y = 10

2x + 3 y = 9

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c)

2x + y = 7

3x − y = −13

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) 5 x + 4 y = 2

3x + y = 4

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d)

x − 2 y = 9

8 x + 3 y = −4

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

Resuelve los siguientes sistemas por el método de sustitución.

a) 3x + 2 y = −11

x + 3 y = −6

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c)

7 x + 3 y = 5

x + 2 y = 7

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) 4 x − 2 y = 6

3x + y = −3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d)

3x + y = −11

−2x + 3 y = 11

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

Despeja la incógnita señalada en estas ecuaciones lineales.a) 3x + 2y = 5 d) 7x − 3y = 5b) 2x − y = 7 e) −4x + 5y = 2c) −5x+ 7y = 4 f) −x + 3y = 6

Halla la solución de los sistemas propuestos por el método de sustitución.

a) 3x − 2 y = 5

−2x + 3 y = 0

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d)

2x + 5 y = 9

3x + 4 y = 3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) 3x + 5 y = −8

−4 x + 3 y = 1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

e)

−2x + 7 y = 6

3x + 2 y = −9

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c) 7 x + 2 y = 4

−3x + 5 y = 10

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

f)

2x + 5 y = 7

4 x + 5 y = −1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

Resuelve por sustitución.

a)

3x = 2 y + 4

2x + y = 3x − 2

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) 4 x − y = y + 2

2x = y + x + 2

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

17

18

19

20

21

22

Resuelve los siguientes sistemas.

a) 2( x − 3) + 3 y = −11

−x − 3( y + 2) = 1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) −( x + 1)− 2( y −1) = −2

3x − 2 y = 1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c) 3( x + 1)− 2(1− 3 y ) = −11

3( x − 3) + 3 y = −6

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d) x − 3

2−

2 y + 1

4=

1

43x − 2( y −1) = 9

⎫

⎬⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

23

} Resuelve aplicando el método de sustitución.

2( x + 1)− 3( y −5) = 3

x − 3

2−

y + 2

3= −4

⎫

⎬⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

Solución1 Transformamos cada ecuación del sistema en una

del tipo: ax + by = c2(x + 1) − 3(y − 5) = 3 → 2x + 2 − 3y + 15 = 3→ 2x − 3y = 3 − 15 − 2 → 2x − 3y = −14 x − 3

2−

y + 2

3= −4 → 3(x − 3) − 2(y + 2) = −24

→ 3x − 9 − 2y − 4 = −24 → 3x − 2y = −24 + 4 + 9 → 3x − 2y = −11

2 Despejamos la incógnita x de la primera ecuación.

2x − 3 y = −14

3x − 2 y = −11

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ x =

−14 + 3 y

2

3 Sustituimos en la segunda ecuación.

3−14 + 3 y

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟− 2 y = −11

→ 3(−14 + 3y) − 4y = −22→ −42 + 9y − 4y = −22 → 5y = 20 → y = 4

4 Hallamos el valor de la otra incógnita.

x =−14 + 3 y

2y = 4⎯ →⎯⎯ y =

−14 + 3 ⋅ 4

2=−2

2= −1

La solución del sistema es: x = −1 e y = 4

EJERCICIO RESUELTO

Investiga

Otro método para resolver sistemas consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualarlas.

Investiga cómo se llama dicho método y utilízalo para resolver este sistema: 3x − y = 4

2x + 5 y = 7

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

24

ma2e19



19 Resuelve los siguientes sistemas por el método de sustitución.

a) 3x + 2 y = −11

x + 3 y = −6

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) 4 x − 2 y = 6

3x + y = −3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c) 7 x + 3 y = 5

x + 2 y = 7

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d) 3x + y = −11

−2x + 3 y = 11

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

a) x = −3, y = −1 b) x = 0, y = −3 c) x = −1, y = 4 d) x = −4, y = 120 Despeja la incógnita señalada en estas ecuaciones lineales.

a) 3x + 2y = 5 c) −5x + 7y = 4 e) −4x + 5y = 2

b) 2x − y = 7 d) 7x − 3y = 5 f) −x + 3y = 6

a) y =5− 3x

2 c) y =

4 + 5 x

7 e) x =

−2 + 5 y

4

b) y = −7 + 2x d) x =5 + 3 y

7 f) x = −6 + 3y

21 Halla la solución de los sistemas propuestos por el método de sustitución.

a) 3x − 2 y = 5

−2x + 3 y = 0

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c) 7 x + 2 y = 4

−3x + 5 y = 10

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

e) −2x + 7 y = 6

3x + 2 y = −9

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) 3x + 5 y = −8

−4 x + 3 y = 1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d) 2x + 5 y = 9

3x + 4 y = 3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

f) 2x + 5 y = 7

4 x + 5 y = −1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

a) x = 3, y = 2 c) x = 0, y = 2 e) x = −3, y = 0

b) x = −1, y = −1 d) x = 3, y = −3 f) x = −4, y = 322 Resuelve por sustitución.

a) 3x = 2 y + 4

2x + y = 3x − 2

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) 4 x − y = y + 2

2x = y + x + 2

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

a) x = 0, y = −2 b) x = −1, y = −323 Resuelve los siguientes sistemas.

a) 2( x − 3) + 3 y = −11

−x − 3( y + 2) = 1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c) 3( x + 1)− 2(1− 3 y ) = −11

3( x − 3) + 3 y = −6

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) −( x + 1)− 2( y −1) = −2

3x − 2 y = 1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d)

x − 3

2−

2 y + 1

4=

1

43x − 2( y −1) = 9

⎫

⎬⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

a) x = 2, y = −3 b) x = 1, y = 1 c) x = 6, y = −5 d) x = −1, y = −5

Investiga24 Otro método para resolver sistemas consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualarlas.

Investiga cómo se llama dicho método y utilízalo para resolver este sistema: 3x − y = 4

2x + 5 y = 7

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

Es el método de igualación.

3x − y = 4

2x + 5 y = 7

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→

x =4 + y

3

x =7−5 y

2

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

→4 + y

3=

7−5 y

2→ 8 + 2 y = 21−15 y → 17 y = 13 → y =

13

17

3x − y = 4y =

13

17⎯ →⎯⎯⎯ 3x − −13

17

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟= 4 → 51x −13 = 68 → 51x = 81→ x =

81

51

153



4. Resolución de sistemas: reducción

Soluciones de las actividades25 La solución de estos sistemas es: x = 3 e y = −1

a) x + 2 y = 1

3x + y = 8

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) 4 x + 2 y = 10

x + y = 2

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c) x + 3 y = 0

x − 2 y = 5

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d) −x + y = −4

−2x − 3 y = −3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

Comprueba, en cada caso, que también es solución de la ecuación que resulta de sumar las dos ecuaciones del sistema.

Sumamos las dos ecuaciones de cada sistema.

a) 4 x + 3 y = 9 x=3 , y=−1⎯ →⎯⎯⎯⎯ 4 ⋅3 + 3 ⋅ (−1) = 12− 3 = 9

b) 5 x + 3 y = 12 x=3 , y=−1⎯ →⎯⎯⎯⎯ 5 ⋅3 + 3 ⋅ (−1) = 15− 3 = 12

c) 2x + y = 5 x=3 , y=−1⎯ →⎯⎯⎯⎯ 2 ⋅3 + (−1) = 6−1 = 5

d) −3x − 2 y = −7 x=3 , y=−1⎯ →⎯⎯⎯⎯ −3 ⋅3− 2 ⋅ (−1) = −9 + 2 = −7

26 Suma las siguientes ecuaciones y resuelve la ecuación que resulta.

a) x + y = 12

−x + y = 2

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) 2x + 3 y = 5

x − 3 y = −2

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c) 7 x − 2 y = 7

−x + 2 y = 5

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d) −3x + y = 0

3x + 2 y = 9

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

a) 2y = 14 → y = 7 b) 3x = 3 → x = 1 c) 6x = 12 → x = 2 d) 3y = 9 → y = 3


Los alumnos deben observar que un requisito de este méto-do es tener dos ecuaciones equivalentes en las que los co-eficientes de alguna de las dos incógnitas sean los mismos en valor absoluto.

Es preferible que los coeficientes sean opuestos, ya que de esta forma, sumando las dos ecuaciones, obtenemos una ecuación con una sola incógnita. Si tienen el mismo signo, se tendrían que restar las ecuaciones y la resta suele generar algún error a la hora de operar.

103


102

4. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS: REDUCCIÓN

Tobías y Emma comprueban que la solución de este sistema es: x = −3 e y = 1

−2x + 3 y = 9

x − 2 y = −5

⎫⎬⎭

x =−3 y =1⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯−2 ⋅ (−3) + 3 ⋅1= 6 + 3 = 9

−3− 2 ⋅1= −3− 2 = −5

⎫⎬⎭

Tobías decide sumar las dos ecuaciones y, sin embargo, Emma prefiere restarlas. Ambos obtienen una nueva ecuación lineal con dos incógnitas y comprueban que las soluciones del sistema también se verifican en estas nuevas ecuaciones.

Tobías −2x + 3y = 9 Emma −2x + 3y = 9

+ x − 2y = −5 − x − 2y = −5

−x + y = 4 −3x + 5y = 14

−(−3) + 1 = 4 −3 ⋅ (−3) + 5⋅ 1 = 14

Si a una ecuación de un sistema se le suma o resta otra ecuación del mismo sistema, se obtiene una tercera ecuación que verifica la solución del sistema.

Ahora aplican este resultado a un sistema de ecuaciones en el que los coeficientes de la incógnita y son iguales, pero de diferente signo.

4x − 3y = 6

−2x + 3y = −18

2x = −12

Como ya conocen el valor de x, pueden tomar cualquier ecuación del sistema, sustituir el valor hallado de la incógnita x y despejar la incógnita y.

4x − 3y = 6 x =−6⎯ →⎯⎯⎯ 4 · (−6) − 3y = 6 → −24 − 3y = 6 → −3y = 30 → y = −10

La solución del sistema es: x = −6 e y = −10

En general, para resolver un sistema por reducción:

5 x + 2 y = −1

−2x + 7y = 16

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

1 Multiplicamos las ecuaciones por números apropiados para que, en una de las incógnitas, los coeficientes queden iguales, pero de signo contrario.

5x + 2y = −1 (⋅2) → 10x + 4y = −2

−2x + 7y = 16 (⋅5) → −10x + 35y = 80

2 Sumamos las dos ecuaciones.

10x + 4y = −2

−10x + 35y = 80

39y = 78

3 Resolvemos la ecuación con una sola incógnita.

39y = 78 → y =78

39= 2

4 Se sustituye la incógnita ya hallada en una de las ecuaciones del sistema y se despeja la otra.

5x + 2y = −1 y = 2⎯ →⎯⎯ 5x + 2 · 2 = −1 → 5x + 4 = −1 → 5x = −5 → x = −1

La solución del sistema es: x = −1, y = 2

x =−3 y =1⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯ x =−3 y =1⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯

4 x − 3 y = 6

−2x + 3 y = −18

⎫⎬⎭

x =−12

2= −6

Sumamos

las ecuaciones.

Resolvemos

la ecuación.

Aprenderás a… ● Resolver sistemas de ecuaciones lineales por el método de reducción.

Presta atención

Cuando tengas despejada una incógnita, puedes volver a aplicar el paso 1 y despejar la otra incógnita.

La solución de estos sistemas es: x = 3 e y = −1

a) x + 2 y = 1

3x + y = 8

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) 4 x + 2 y = 10

x + y = 2

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c)

x + 3 y = 0

x − 2 y = 5

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d) −x + y = −4

−2x − 3 y = −3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

Comprueba, en cada caso, que también es solu-ción de la ecuación que resulta de sumar las dos ecuaciones del sistema.

Suma las siguientes ecuaciones y resuelve la ecuación que resulta.

a) x + y = 12

−x + y = 2

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c)

7 x − 2 y = 7

−x + 2 y = 5

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) 2x + 3 y = 5

x − 3 y = −2

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d)

−3x + y = 0

3x + 2 y = 9

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

Resuelve estos sistemas por el método de reducción.

a) 2x + 3 y = −6

x − y = 2

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d)

x − y = 2

2x −5 y = −8

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) 3x + y = 1

5 x + 2 y = 1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

e)

4 x + y = −6

3x −7 y = 8

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c) 2x − 3 y = −10

−3x + 4 y = 3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

f)

3x + y = −5

x + 2 y = −10

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

Utiliza el método de reducción para hallar el valor de las dos incógnitas de estos sistemas.

a) 3x − y = 5

x + 7 y = 1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c)

−3x + 5 y = 2

2x + 5 y = 0

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) −x + 5 y = 8

3x + y = 9

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d)

−2x + 5 y = 10

3x −10 y = −3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

Resuelve estos sistemas por reducción.

a) 3x − y = 5

x + 7 y = 1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c)

−3x + 5 y = 2

2x + 5 y = 0

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) −x + 5 y = 8

3x + y = 9

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d)

−2x + 5 y = 10

3x −10 y = −3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

25

26

27

28

29

Halla el valor de las incógnitas.

a) 2x + 3

3− 3(2 y −1) = 11

3(1− 2 y ) = 4−5( x − 2)

⎫

⎬⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

b) 3x − 4

2−

3( y + 2)

6= −4

x

7= 3( y − 2)

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

c) 2x −x + 1

2= 2−

2(5 y −1)

2x

2+

5 y

6=

4

3

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

30

} Transforma las ecuaciones de este sistema y resuelve por reducción.

3( x −5) = x − 2(1− y ) + 3

3x − 2

2= 6− 2(1− y )

⎫

⎬⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

Solución1 Transformamos cada ecuación del sistema en una

del tipo ax + by = c.3(5 − x) = x − 2(y − 1) + 3 → 15 − 3x = x − 2y + 2 + 3 → −3x − x + 2y = 2 + 3 − 15→ −4x + 2y = −10 → −2x + y = −5 3x − 2

2= 6− 2(1− y ) → 3x − 2 = 12 − 4(1 − y)

→ 3x − 2 = 12 − 4 + 4y → 3x − 4y = 12 − 4 + 2 → 3x − 4y = 10

2 En el sistema obtenido multiplicamos la primera ecuación por 4 y, después, sumamos.

(⋅ 4) −8x + 4y = −20

3x − 4y = 10

−5x = −10 → x = 2

3 Sustituimos x = 2 en la primera ecuación.

−2x + y = −5 x = 2⎯ →⎯⎯ −2 · 2 + y = −5→ −4 + y = −5 → y = −1

La solución del sistema es: x = 2 e y = −1

−2x + y = −5

3x − 4 y = 10

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

EJERCICIO RESUELTO

DESAFÍO

Utiliza el método de reducción para hallar el valor de y en este sistema: −x + 3 y + 2z = 4

2x + y − 4 z = −7

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

31



27 Resuelve estos sistemas por el método de reducción.

a) 2x + 3 y = −6

x − y = 2

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c) 2x − 3 y = −10

−3x + 4 y = 3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

e) 4 x + y = −6

3x −7 y = 8

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) 3x + y = 1

5 x + 2 y = 1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d) x − y = 2

2x −5 y = −8

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

f) 3x + y = −5

x + 2 y = −10

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

a) 2x + 3 y = −6

x − y = 2

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 2x + 3 y = −6

3x − 3 y = 6

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 5 x = 0 → x = 0 → y = −2

b) 3x + y = 1

5 x + 2 y = 1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ −6 x − 2 y = −2

5 x + 2 y = 1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ −x = −1→ x = 1→ y = −2

c) 2x − 3 y = −10

−3x + 4 y = 3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 8 x −12 y = −40

−9 x + 12 y = 9

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ −x = −31→ x = 31→ y = 24

d) x − y = 2

2x −5 y = −8

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ −2x + 2 y = −4

2x −5 y = −8

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ −3 y = −12 → y = 4 → x = 6

e) 4 x + y = −6

3x −7 y = 8

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 28 x + 7 y = −42

3x −7 y = 8

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 31x = −34 → x = −

34

31→ y = −

50

31

f) 3x + y = −5

x + 2 y = −10

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 3x + y = −5

−3x − 6 y = 30

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ −5 y = 25 → y = −5 → x = 0

28 Utiliza el método de reducción para hallar el valor de las dos incógnitas de estos sistemas.

a) 3x − y = 5

x + 7 y = 1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) −x + 5 y = 8

3x + y = 9

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c) −3x + 5 y = 2

2x + 5 y = 0

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d) −2x + 5 y = 10

3x −10 y = −3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

a) 3x − y = 5

x + 7 y = 1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 3x − y = 5

−3x − 21y = −3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ −22 y = 2 → y = −

1

11

21x −7 y = 35

x + 7 y = 1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 22x = 36 → x =

36

22=

18

11

b) −x + 5 y = 8

3x + y = 9

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ −3x + 15 y = 24

3x + y = 9

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 16 y = 33 → y =

33

16

−x + 5 y = 8

−15 x −5 y = −45

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ −16 x = −37 → x =

37

16

c) −3x + 5 y = 2

2x + 5 y = 0

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 3x −5 y = −2

2x + 5 y = 0

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 5 x = −2 → x = −

2

5

−6 x + 10 y = 4

6 x + 15 y = 0

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 25 y = 4 → y =

4

25

d) −2x + 5 y = 10

3x −10 y = −3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ −4 x + 10 y = 20

3x −10 y = −3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ −x = 17 → x = −17

−6 x + 15 y = 30

6 x − 20 y = −6

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ −5 y = 24 → y = −

24

5

155



29 Resuelve estos sistemas por reducción.

a) 3x − y = 5

x + 7 y = 1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) −x + 5 y = 8

3x + y = 9

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c) −3x + 5 y = 2

2x + 5 y = 0

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d) −2x + 5 y = 10

3x −10 y = −3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

a) 3x − y = 5

x + 7 y = 1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 3x − y = 5

−3x − 21y = −3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ −22 y = 2 → y = −

2

22= −

1

11

3x − y = 5y=−

1

11⎯ →⎯⎯⎯ 3x − −1

11

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟= 5 → 33x + 1 = 55 → 33x = 54 → x =

54

33=

18

11

b) −x + 5 y = 8

3x + y = 9

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ −3x + 15 y = 24

3x + y = 9

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 16 y = 33 → y =

33

16

3x + y = 9y=

33

16⎯ →⎯⎯ 3x +33

16= 9 → 48 x + 33 = 144 → 48 x = 111→ x =

111

48=

37

16

c) −3x + 5 y = 2

2x + 5 y = 0

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 3x −5 y = −2

2x + 5 y = 0

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 5 x = −2 → x =

−2

5

2x + 5 y = 0x=−2

5⎯ →⎯⎯⎯ 2 ⋅−2

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟+ 5 y = 0 → 5 y =

4

5→ y =

4

25

d) −2x + 5 y = 10

3x −10 y = −3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ −4 x + 10 y = 20

3x −10 y = −3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ −x = 17 → x = −17

−2x + 5 y = 10 x=−17⎯ →⎯⎯⎯ −2 ⋅ (−17) + 5 y = 10 → 5 y = −24 → y =−24

5

30 Halla el valor de las incógnitas.

a) 2x + 3

3− 3(2 y −1) = 11

3(1− 2 y ) = 4−5( x − 2)

⎫

⎬⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

b)

3x − 4

2−

3( y + 2)

6= −4

x

7= 3( y − 2)

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

c) 2x −

x + 1

2= 2−

2(5 y −1)

2x

2+

5 y

6=

4

3

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

a) 2x + 3−18 y + 9 = 33

3− 6 y = 4−5 x + 10

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 2x −18 y = 21

5 x − 6 y = 11

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 2x −18 y = 21

−15 x + 18 y = −33

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ −13x = −12 → x =

12

13→ y =

83

78

b) 9 x −12− 3 y − 6 = −24

x = 21y − 42

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 9 x − 3 y = −6

x − 21y = −42

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ −63x + 21y = 42

x − 21y = −42

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ −62x = 0 → x = 0 → y = 2

c) 4 x − x −1 = 4−10 y + 2

3x + 5 y = 8

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 3x + 10 y = 7

3x + 5 y = 8

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 3x + 10 y = 7

−3x −5 y = −8

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 5 y = −1→ y =

−1

5→ x = 3

Desafío

31 Utiliza el método de reducción para hallar el valor de y en este sistema: −x + 3 y + 2z = 4

2x + y − 4 z = −7

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

−x + 3 y + 2z = 4

2x + y − 4 z = −7

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ −2x + 6 y + 4 z = 8

2x + y − 4 z = −7

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 7 y = 1→ y =

1

7



Lee y comprende las matemáticas

5 LEE Y COMPRENDE LAS MATEMÁTICAS

104 105

5Actividades

El cajero automático cumple 45 años

A grandes males, grandes remedios… Eso debió pensar John Shepherd-Barron cuando, hace 45 años, no pudo retirar dinero de su banco de Londres por llegar un minuto tarde a su oficina y encontrarla cerrada. Es entonces cuando decidió que tenía que haber alguna manera de poder extraer dinero de tu cuenta bancaria, a pesar de que la sucursal esté cerrada.

Y entonces fue cuando este ingeniero británico tuvo una revelación en la bañera, como Arquímedes cuando formuló su famoso principio: idear una máquina expendedora que, en vez de expender golosinas, diera dinero. El cajero automático actual.

[…]

Pero el invento que inauguró Shepherd-Barron el 27 de junio de 1967 en Londres tuvo mejor suerte. Y la sucursal londinense de Barclays Bank de la calle Enfield, al norte de Londres, fue la primera en albergar el que se considera el primer cajero automático del mundo.

A España, el invento tardó unos años en llegar y el primer cajero no empezó a funcionar hasta 1974. Y ese mismo año aparecieron los cajeros automáticos conectados a una red.

Hoy en día existen más de un millón de cajeros automáticos repartidos por todo el mundo. Y España es uno de los principales ejemplos de cómo los cajeros automáticos se han generalizado entre los ciudadanos, convirtiéndose en el país con mayor número de cajeros automáticos por habitante de Europa, y el segundo del mundo, solo por detrás de Japón.

Fuente: www.elperiodico.com

Alina necesita dinero y la sucursal de su banco está cerrada. Decide acercarse a un cajero y retirar 290 € de su cuenta.

Si el cajero le da 10 billetes, ¿cuántos billetes de cada tipo le ha suministrado?

Analiza la pregunta

¿Cuántos billetes de cada tipo le ha suministrado?

Para contestar a la pregunta, tenemos que buscar qué diferentes tipos de billetes le puede dar el cajero e identificar cada incógnita con un tipo de billete.

Busca los datos

❚ Alina teclea el importe que necesita en el teclado del cajero.

La pantalla le indica que solo hay billetes de 20 € y de 50 €.

x = número de billetes de 50 €

y = número de billetes de 20 €

❚ Como hay dos incógnitas, necesitamos dos informaciones para plantear dos ecuaciones.

Retirar 290 € en billetes de 20 € y 50 €:

50x + 20y = 290

El cajero le da 10 billetes:

x + y = 10

Utiliza las matemáticas

Planteamos un sistema con las dos ecuaciones:

50 x + 20 y = 290

x + y = 10

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ x = 10− y

Lo resolvemos, por ejemplo por sustitución.

1 Despejamos la incógnita x de la segunda ecuación.

50 x + 20 y = 290

x + y = 10

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ x = 10− y

2 La sustituimos en la primera ecuación.

50x + 20y = 290 x =10−y⎯ →⎯⎯⎯ 50(10 − y) + 20y = 290

→ 500 − 50y + 20y = 290

→ −50y + 20y = 290 − 500 → −30y = −210

3 Hallamos el valor de la incógnita x.

x = 10 − y y =7⎯ →⎯⎯ x = 10 − 7 = 3

Luego, se han sacado 3 billetes de 50 € y 7 de 20 €.

En una granja se producen 200 L de leche al día y se embotellan en 148 botellas como las del dibujo. ¿Cuántas botellas de cada clase utilizan?

La primera fase de una oposición consta de un test de conocimientos generales con 50 preguntas. Por cada pregunta acertada se suman 5 puntos y por cada fallo se restan 2 puntos. Si la puntuación final de un opositor ha sido de 103 puntos, ¿cuántos aciertos y fallos ha tenido?

Mi abuelo es 50 años mayor que mi hermana. Si la suma de las edades de mi abuelo y de mi hermana es de 74 años, ¿qué edad tiene cada uno de ellos?

Un informático ha realizado un trabajo a una empresa consistente en diversas reparaciones informáticas. ¿Cuántas horas de cada tipo de trabajo ha facturado?

El perímetro de un rectángulo es de 16 cm. Además, el rectángulo mide 4 cm más de largo que de ancho. ¿Cuáles son sus dimensiones?

Dos kilos de plátanos y tres kilos de manzanas cuestan 6,70 €. Por otro lado, un kilo de manzanas y tres kilos de plátanos tienen un importe de 5,15 €. ¿Cuánto cuesta el kilo de manzanas? ¿Y el de plátanos?

32

33

34

35

36

37

Un crucero dispone de 145 camarotes entre dobles y triples. Si en el crucero viajan 315 personas y todas las camas están ocupadas, ¿cuántos camarotes hay de cada tipo?

Una fábrica tiene una máquina que produce 1 200 tornillos a la hora. Por cada tornillo que pasa los controles de producción, la empresa ingresa 2 CENT, mientras que, por cada tornillo defectuoso, pierde 1 CENT. Si durante la última hora la empresa ha ganado 22,71 €, ¿cuántos tornillos de cada tipo ha elaborado la máquina en ese tiempo?

Halla dos números tales que la mitad del primero más el doble del segundo sea 16 y que la tercera parte del primero más la mitad del segundo se igual a 4.

¿Cuántos cromos tiene cada amigo?

Saori lleva en su bolsillo monedas de 20 CENT y de 10 CENT. Si tiene 7 monedas en total y suman 1,10 €, ¿cuántas monedas de cada tipo lleva Saori?

Leo tiene un montón de canicas y varias cajas para guardarlas. Mete 6 canicas en cada caja, pero le sobran 2. Por tanto, decide sacarlas todas y volver a guardarlas en las cajas, esta vez de 7 en 7. Ahora, sin embargo, le faltan 3 canicas en una caja para completarla como el resto. ¿Cuántas cajas y cuántas canicas tiene Leo?

38

39

40

41

42

43

¿Es posible sacar estos billetes de un cajero? Explica por qué.

a) Tres billetes que sumen 110 €.

b) Cinco billetes que sumen 130 €.

c) Cinco billetes que sumen 210 €.

44

Soluciones de las actividades32 En una granja se producen 200 L de leche al día y se embotellan

en 148 botellas como las del dibujo. ¿Cuántas botellas de cada clase utilizan?

Llamamos x al número de botellas de 1 L e y al número de bote-llas de 2 L.

x + 2 y = 200

x + y = 148

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ x + 2 y = 200

−x − y = −148

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ y = 52

x + y = 148 → x + 52 = 148 → x = 148 − 52 = 96

Hay 96 botellas de 1 L y 52 botellas de 2 L.


En esta sección se trabaja la comprensión lectora desde las matemáticas. Se presenta un artículo y, tras su lectura, se plantea a los alumnos alguna situación que pueden encon-trarse en su vida cotidiana y que deben resolver extrayendo información de dicha noticia.

Para llegar a la solución del problema propuesto deben se-guir estos pasos:

1.º Analizar la pregunta que se les plantea.

2.º Buscar los datos necesarios en la noticia.

3.º Utilizar las matemáticas para poder resolver la pregunta planteada.

En este caso, se pretende que los alumnos reflexionen sobre cómo plantear sistemas de ecuaciones para resolver proble-mas. Una vez analizado este ejemplo resuelto los alumnos se enfrentan a otras situaciones similares.

157



33 La primera fase de una oposición consta de un test de conocimientos generales con 50 preguntas. Por cada pregunta acertada se suman 5 puntos y por cada fallo se restan 2 puntos. Si la puntuación final de un opositor ha sido de 103 puntos, ¿cuántos aciertos y fallos ha tenido?

Llamamos x al número de aciertos e y al número de fallos.

x + y = 50

5 x − 2 y = 103

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 2x + 2 y = 100

5 x − 2 y = 103

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 7 x = 203 → x = 29

x + y = 50 → 29 + y = 50 → y = 50 − 29 = 21 Ha tenido 29 aciertos y 21 fallos.34 Mi abuelo es 50 años mayor que mi hermana. Si la suma de las edades de mi abuelo y de mi hermana es de 74 años, ¿qué

edad tiene cada uno de ellos?

Llamamos x a la edad del abuelo e y a la edad de la hermana.

x = y + 50

x + y = 74

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ y + 50 + y = 74 → 2 y = 24 → y = 12

x = y + 50 → x = 12 + 50 = 62 Mi abuelo tiene 62 años, y mi hermana, 12 años.35 Un informático ha realizado un trabajo a una empresa consistente

en diversas reparaciones informáticas. ¿Cuántas horas de cada tipo de trabajo ha facturado?

Llamamos x a las horas de reparación e y a las horas de sustitución.

x + y = 30

35 x + 25 y = 960

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ x = 30− y

35 x + 25 y = 960

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 35(30− y ) + 25 y = 960

→ 1050− 35 y + 25 y = 960 → −10 y = −90 → y =90

10= 9

x = 30 − y → x = 30 − 9 = 21

Ha facturado 21 horas de reparación y 9 de sustitución.36 El perímetro de un rectángulo es de 16 cm. Además, el rectángulo mide 4 cm más de largo que de ancho. ¿Cuáles son

sus dimensiones?

Llamamos x a la longitud del largo e y a la longitud del ancho.

2x + 2 y = 16

x = y + 4

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 2( y + 4) + 2 y = 16 → 2 y + 8 + 2 y = 16 → 4 y = 8 → y = 2

x = y + 4 → x = 2 + 4 = 6

Las dimensiones del rectángulo son de 6 cm de largo y 2 cm de ancho.37 Dos kilos de plátanos y tres kilos de manzanas cuestan 6,70 €. Por otro lado, un kilo de manzanas y tres kilos de plátanos

tienen un importe de 5,15 €. ¿Cuánto cuesta el kilo de manzanas? ¿Y el e plátanos?

Llamamos x al precio del kilo de plátanos e y al precio del kilo de manzanas.

2x + 3 y = 6,70

x + 3 y = 5,15

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 2x + 3 y = 6,70

−x − 3 y = −5,15

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ x = 1,55

x + 3y = 5,15 → 1,55 + 3y = 5,15 → 3y = 3,6 → y = 1,2

El kilo de plátanos cuesta 1,55 € y el de manzanas 1,20 €.38 Un crucero dispone de 145 camarotes entre dobles y triples. Si en el crucero viajan 315 personas y todas las camas están

ocupadas, ¿cuántos camarotes hay de cada tipo?

Llamamos x al número de camarotes dobles e y el de camarotes triples.

x + y = 145

2x + 3 y = 315

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ x = 145− y

2x + 3 y = 315

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 2(145− y ) + 3 y = 315 → 290− 2 y + 3 y = 315 → y = 25

x = 145 − y → x = 145 − 25 = 120

Hay 120 camarotes dobles y 25 camarotes triples.



39 Una fábrica tiene una máquina que produce 1 200 tornillos a la hora. Por cada tornillo que pasa los controles de pro-ducción, la empresa ingresa 2 cent, mientras que, por cada tornillo defectuoso, pierde 1 cent. Si durante la última hora la empresa ha ganado 22,71 €, ¿cuántos tornillos de cada tipo ha elaborado la máquina en ese tiempo?

Llamamos x al número de tornillos correctos e y al número de tornillos defectuosos.

x + y = 1200

2x − y = 2271

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ x = 1200− y

2x − y = 2271

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 2(1200− y )− y = 2271→ 2400− 2 y − y = 2271→ −3 y = −129 → y = 43

x = 1 200 − y → x = 1 200 − 43 = 1 157 Ha elaborado 1 157 tornillos correctos y 43 defectuosos.40 Halla dos números tales que la mitad del primero más el doble del segundo sea 16 y que la tercera parte del primero más

la mitad del segundo sea igual a 4.

x

2+ 2 y = 16

x

3+

y

2= 4

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

→ x + 4 y = 32

2x + 3 y = 24

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ x = 32− 4 y

2x + 3 y = 24

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 2(32− 4 y ) + 3 y = 24 → 64− 8 y + 3 y = 24 → −5 y = −40 → y = 8

x = 32 − 4y → x = 32 − 4 ⋅ 8 = 0 El primer número es 0 y el segundo es 8.41 ¿Cuántos cromos tiene cada amigo?

Llamamos x al número de cromos del chico e y al de la chica.

x − 25 = y + 25

x + 30 = 2 y

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ x − y = 50

x − 2 y = −30

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ x − y = 50

−x + 2 y = 30

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ x = 130

y = 80

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

El chico tiene 130 cromos y la chica 80 cromos.42 Saori lleva en su bolsillo monedas de 20 cent y de 10 cent. Si tiene 7 monedas en total y suman 1,10 €, ¿cuántas monedas

de cada tipo lleva Saori?

Llamamos x al número de monedas de 20 céntimos e y al de monedas de 10 céntimos.

x + y = 7

0,2x + 0,1y = 1,10

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ x = 7− y

2x + y = 11

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 2(7− y ) + y = 11→ 14− 2 y + y = 11→ −y = −3 → y = 3

x = 7 − y → x = 7 − 3 = 4 Tiene 4 monedas de 20 cent y 3 monedas de 10 cent.43 Leo tiene un montón de canicas y varias cajas para guardarlas. Mete 6 canicas en cada caja, pero le sobran 2. Por tanto,

decide sacarlas todas y volver a guardarlas en las cajas, esta vez de 7 en 7. Ahora, sin embargo, le faltan 3 canicas en una caja para completarla como el resto. ¿Cuántas cajas y cuántas canicas tiene Leo?

Llamamos x al número de cajas e y al número de canicas.

6 x + 2 = y

7 x − 3 = y

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 6 x − y = −2

7 x − y = 3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ −6 x + y = 2

7 x − y = 3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ x = 5

6x − y = −2 → 6 ⋅ 5 − y = −2 → y = 32 Tiene 5 cajas y 32 canicas.

Analiza44 ¿Es posible sacar estos billetes de un cajero? Explica por qué.

a) Tres billetes que sumen 110 €. b) Cinco billetes que sumen 130 €. c) Cinco billetes que sumen 210 €.

Trabajamos en las hipótesis del ejercicio resuelto anterior.

a) 20 x + 50 y = 110

x + y = 3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ y =

4

3, y =

5

3 Esta opción no es posible.

b) 20 x + 50 y = 130

x + y = 5

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ x = 4, y = 1 Es posible sacando 4 billetes de 20 € y 1 de 50 €.

c) 20 x + 50 y = 210

x + y = 5

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ x =

4

3, y =

11

3 Esta opción no es posible.

159




En esta sección se destacan los procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido tras estudiar esta unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de:

❚❚ Identificar las soluciones de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

❚❚ Resolver gráficamente un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas.

❚❚ Resolver sistemas de ecuaciones lineales por el método de sustitución.

❚❚ Resolver sistemas de ecuaciones lineales por el método de reducción.

Actividades finalesSoluciones de las actividades45 Reduce estas ecuaciones a la forma general.

a) 3x = 2y + x − 8 c) 2x = 6y e) x

2+ 1 =

3x

4+ y

b) 7x − 8(x − y) = 1 d) −x + 4y = x + 9 f) 3

5x = 2 + 3x −

4

3y

c) 2x − 2y = −8 → x − 3y = 0 d) −2x + 4y = 9

d) 7x − 8x + 8y = 1 → −x + 8y = 1 e) 2x + 4 = 3x + 4y → x + 4y = 4

e) 2x − 6y = 0 → x − y = −4 f) 9x = 30 + 45x − 20y → −8x + 10y = 15

¿Qué tienes que saber?

106 107

¿QUÉ5 tienes que saber? Actividades Finales 5

Sistemas de ecuaciones linealesTen en cuenta

Las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales son un par de números que cumplen las dos ecuaciones lineales.

Indica qué pares de valores son solución de este sistema: 3x + 2y = 7

x − 3y = −16

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

a) x = −4, y = 4 b) x = −1, y = 5 c) x = 3, y = −1

3 ⋅ (−4) + 2 ⋅ 4 = −4 ≠ 7

−4− 3 ⋅ 4 = −16

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

3 ⋅ (−1) + 2 ⋅5 = 7

−1− 3 ⋅5 = −16

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

3 ⋅3 + 2 ⋅ (−1) = 7

3− 3 ⋅ (−1) = 6 ≠ −16

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

No son solución. Son solución. No son solución.

Resolución de sistemas: método gráficoTen en cuenta

La representación de las soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas es una recta.

La representación de la solución de un sistema es el punto donde se cortan las dos rectas que forman las soluciones de cada ecuación del sistema.

Resuelve gráficamente el sistema: x + 2y = 8

2x − y = 1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x + 2y = 8 2x − y = 1

x y x y

0 4 1 1

8 0 −1 −3

Resolución de sistemas: sustituciónTen en cuenta

Método de sustitución:1 Se despeja una de la

incógnitas en una de las ecuaciones.

2 Se sustituye en la otra ecuación.

3 Se resuelve la ecuación así formada.

4 El valor obtenido se sustituye en la ecuación despejada.

Resuelve por sustitución el sistema: 3x + 2y = 13

−4 x + y = −1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

3x + 2 y = −13

−4 x + y = −1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪ → y = −1 + 4x

3x + 2y = −13 y = −1+ 4 x⎯ →⎯⎯⎯⎯ 3x + 2(−1 + 4x) = −13 → 3x − 2 + 8x = −13

→ 3x + 8x = −13 + 2 → 11x = −11 → x = −1

y = −1 + 4x x = −1⎯ →⎯⎯⎯ y = −1 + 4 · (−1) = −1 − 4 = −5

La solución del sistema es: x = −1, y = −5

Despejamos esta incógnita porque tiene coeficiente 1.

Resolución de sistemas: reducciónTen en cuenta

Método de reducción:1 Se multiplican las ecuaciones

por números para que en una de las incógnitas los coeficientes queden iguales, pero de signo contrario.

2 Se suman las dos ecuaciones.3 Se resuelve le ecuación.4 Se despeja la otra incógnita.

Resuelve por sustitución el sistema: 2x + 3y = −53x − 4 y = 18

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2x + 3y = −53x − 4 y = 18

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

⋅ 3⎯ →⎯⎯ 6x + 9 y = −15⋅ (−2 )⎯ →⎯⎯⎯ −6x + 8 y = −36

⎫⎬⎪

⎭⎪17y = −51 → y =

−51

17 = −3

2x + 3y = −5 y =−3⎯ →⎯⎯⎯ 2x + 3·(−3) = −5 → 2x − 9 = −5 → 2x = 4 → x = 2

La solución del sistema es: x = 2, y = −3

Desaparece la incógnita x.

La solución del sistema es:x = 2 e y = 3

Ecuaciones lineales. Sistemas

Reduce estas ecuaciones a la forma general.a) 3x = 2y + x − 8 d) −x + 4y = x + 9

b) 7x − 8(x − y) = 1 e) x

2+ 1 =

3x

4+ y

c) 2x = 6y f) 3

5x = 2 + 3x −

4

3y

Copia y completa con soluciones de cada ecuación.a) 2x + 3y = 6

x 0 1 O O

y O O 0 6

b) 4x − y = 1

x O 2 O −1

y 7 O −13 O

c) −x + 2y = 5

x −7 O O −11

y O 2 3 O

Escribe las ecuaciones lineales que corresponden a las siguientes expresiones e indica una posible solución en cada caso.a) El doble de un número menos otro número es

igual a 2.b) La mitad de un número más el doble de otro es

igual a 5.

Averigua si x = −3 e y = 2 son soluciones de alguno de estos sistemas.

a) x − 2 y = −7

−x + y = −1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c) 3x + y = 1

x − 2 y = −1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) x + 2 y = −1

−3x − y = 7

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d) −x − y = 1

3x − 2 y = −13

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

Copia y completa estas tablas de valores para las soluciones de cada ecuación del sistema. Después, halla la solución.

2x + y = −4x 0 −3 O O

y O O −2 2

−x + 2y = 7x O 1 3 O

y 0 O O 2

Escribe un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas cuyas soluciones sean las siguientes:a) x = 3, y = 0 c) x = −1, y = 2b) x = −2, y = −3 d) x = 3, y = 1

45

46

47

48

49

50

Resolución gráfica de sistemas

Copia y completa la tabla para cada una de las ecuaciones. Después, representa en un sistema de coordenadas las soluciones de cada ecuación.

x 0 O

y O 0

a) 3x + y = 6 c) x + 3y = 6b) 2x − y = 8 d) −x + 2y = 4

Indica el número de soluciones de los siguientes sistemas.a)

•

O 1

1

X

Y c)

O 1

1

X

Y

b)

O 1

1

X

Y d)

O 1

1

X

Y

Observa este sistema de coordenadas en el que aparecen dibujadas las soluciones de algunas ecuaciones.

O 1

1

X

Y

x – 10y = – 41

x + 2y = 7

x – 3y = – 3

x + 2y = 3

a) Escribe un sistema cuya solución sea x = −1 e y = 4.

b) Escribe un sistema que no tenga solución.c) Escribe un sistema que tenga por solución x = 3

e y = 2.

Resuelve gráficamente estos sistemas de ecuaciones.a) x − 3 y = −2

x + 2 y = 3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c) 2x + y = −3

−3x − y = 4

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) −x + y = 2

3x − y = −4

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d) 2x + y = 1

−x + 2 y = −3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

51

52

53

54

x + 2y = 8

2x – y = 1

(2, 3)•

O 1

1

X

Y



46 Copia y completa con soluciones de cada ecuación.

a) 2x + 3y = 6 a) 2x + 3y = 6

x 0 1 O O x 0 1 3 −6

y O O 0 6 y 24

30 6

b) 4x − y = 1 b) 4x − y = 1

x O 2 O −1 x 2 2 −3 −1

y 7 O −13 O y 7 7 −13 −5

c) −x + 2y = 5 c) −x + 2y = 5

x −7 O O −11 x −7 −1 1 −11

y O 2 3 O y −1 2 3 −3

47 Escribe las ecuaciones lineales que corresponden a las siguientes expresiones e indica una posible solución en cada caso.

a) El doble de un número menos otro número es igual a 2.

b) La mitad de un número más el doble de otro es igual a 5.

a) 2x − y = 2. Una posible solución es: x = 2, y = 2

b) x

2+ 2 y = 5 . Una posible solución es: x = 2, y = 2

48 Averigua si x = −3 e y = 2 son soluciones de alguno de estos sistemas.

a) x − 2 y = −7

−x + y = −1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c) 3x + y = 1

x − 2 y = −1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) x + 2 y = −1

−3x − y = 7

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d) −x − y = 1

3x − 2 y = −13

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

a) (−3)− 2 ⋅2 = −3− 4 = −7

−(−3) + 2 = 3 + 2 = 5 ≠ −1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ No es solución.

c) 3 ⋅ (−3) + 2 = −9 + 2 = −7 ≠ 1

(−3)− 2 ⋅2 = −3− 4 = −7 ≠ −1


b) (−3) + 2 ⋅2 = −3 + 4 = 1 ≠ −1

−3 ⋅ (−3)− 2 = 9− 2 = 7


d) −(−3)− 2 = 3− 2 = 1

3 ⋅ (−3)− 2 ⋅2 = −9− 4 = −13

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ Es solución.

49 Copia y completa estas tablas de valores para las soluciones de cada ecuación del sistema. Después, halla la solución.

2x + y = −4x 0 −3 O O

2x + y = −4x 0 −3 −1 −3

y O O −2 2 y −4 2 −2 2

−x + 2y = 7x O 1 3 O

−x + 2y = 7x −7 1 3 −3

y 0 O O 2 y 0 4 5 2

La solución es: x = −3, y = 250 Escribe un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas cuyas soluciones sean las siguientes:

a) x = 3, y = 0 b) x = −2, y = −3 c) x = −1, y = 2 d) x = 3, y = 1

Respuesta abierta. Por ejemplo:

a) 2x − 3 y = 6

x + y = 3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) 2x − 3 y = 5

x + y = −5

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c) 2x − 3 y = −8

x + y = 1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d) 2x − 3 y = 3

x + y = 4

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

161



51 Copia y completa la tabla para cada una de las ecuaciones. Después, representa en un sistema de coordenadas las solu-ciones de cada ecuación.

x 0 O

y O 0

a) 3x + y = 6 b) 2x − y = 8 c) x + 3y = 6 d) −x + 2y = 4a) x 0 2 b) x 0 4 c) x 0 6 d) x 0 −4

y 6 0 y −8 0 y 2 0 y 2 0

•

•O 2

2

X

Y

•

•O 2

2

X

Y

••O 2

2

X

Y

•• O 2

2

X

Y

52 Indica el número de soluciones de los siguientes sistemas.

a)

•

O 1

1

X

Y b)

O 1

1

X

Y c)

O 1

1

X

Y d)

O 1

1

X

Y

a) Una solución b) Ninguna solución c) Una solución d) Una solución53 Observa este sistema de coordenadas en el que aparecen dibujadas las soluciones de algunas ecuaciones.

O 1

1

X

Y

x – 10y = – 41

x + 2y = 7

x – 3y = – 3

x + 2y = 3

a) Escribe un sistema cuya solución sea x = −1 e y = 4.

b) Escribe un sistema que no tenga solución.

c) Escribe un sistema que tenga por solución x = 3 e y = 2.

a) x −10 y = −41

x + 2 y = 7

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) x + 2 y = 7

x + 2 y = 3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c) x + 2 y = 7

x − 3 y = −3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

54 Resuelve gráficamente estos sistemas de ecuaciones.

a) x − 3 y = −2

x + 2 y = 3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) −x + y = 2

3x − y = −4

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c) 2x + y = −3

−3x − y = 4

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d) 2x + y = 1

−x + 2 y = −3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

a)

•

O 1

1

X

Y b)

•

O 1

1

X

Y c)

•O 1

1

X

Y d)

•O 3

1

X

Y



55 Resuelve estos sistemas por el método de sustitución.

a) y = x + 1

x − 2 y = 1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) x = 3− 2 y

−x + 2 y = 1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c) x = 2 y −1

−2x + 3 y = 0

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d) y = 3− x

3x + 2 y = 8

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

a) x − 2(x + 1) = 1 → x − 2x − 2 = 1 → −x = 3 → x = −3

y = −3 + 1 = −2

b) −(3 − 2y) + 2y = 1 → −3 + 2y + 2y = 1 → 4y = 4 → y = 1

x = 3 − 2 ⋅ 1 = 3 − 2 = 1

c) −2(2y − 1) + 3y = 0 → −4y + 2 + 3y = 0 → −y = −2 → y = 2

x = 2 ⋅ 2 − 1 = 4 − 1 = 3

d) 3x + 2(3 − x) = 8 → 3x + 6 − 2x = 8 → x = 2

y = 3 − 2 = 156 Despeja la incógnita más adecuada en cada caso y resuelve por el método de sustitución.

a) −3x + 2 y = −17

x + 2 y = 3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) 3x + y = 14

−2x + 4 y = 0

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c) −x + 3 y = 10

x − 4 y = −13

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d) 3x + 2 y = −1

−2x + y = 10

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

a) −3x + 2 y = −17

x = 3− 2 y

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ −3(3− 2 y ) + 2 y = −17 → −9 + 6 y + 2 y = −17 → 8 y = −8 → y = −1

x = 3 − 2 ⋅ (−1) = 5

b) y = 14− 3x

−2x + 4 y = 0

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ −2x + 4(14− 3x ) = 0 → −2x + 56−12x = 0 → −14 x = −56 → x = 4

y = 14 − 3 ⋅ 4 = 2

109

Actividades Finales 5

108


Resolución de sistemas: sustitución

Resuelve estos sistemas por el método de sustitución.

a) y = x + 1

x − 2 y = 1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c) x = 2 y −1

−2x + 3 y = 0

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) x = 3− 2 y

−x + 2 y = 1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d) y = 3− x

3x + 2 y = 8

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

Despeja la incógnita más adecuada en cada caso y resuelve por el método de sustitución.

a) −3x + 2 y = −17

x + 2 y = 3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c) −x + 3 y = 10

x − 4 y = −13

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) 3x + y = 14

−2x + 4 y = 0

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d) 3x + 2 y = −1

−2x + y = 10

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

Utiliza la primera ecuación ya despejada para resolver cada uno de los sistemas.

a) y =3x − 2

23x − y = 4

⎫

⎬⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

c) x =

1− y

3x + 3 y = 3

⎫

⎬⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

b) x =3 y −1

4−x + 2 y = 4

⎫

⎬⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

d) y =

3− x

22x + y = 9

⎫

⎬⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

¿Cuáles son las soluciones en cada caso? Calcula.

a) 4 x − 3 y = 10

2x + 4 y = −6

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c) −5 x + 3 y = −4

3x − 4 y = −2

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) 3x + 2 y = 1

−2x + 5 y = −26

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d) 3x + 2 y = 3

−2x + 5 y = −21

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

Copia y resuelve el sistema por el método de sustitución.

Resuelve por sustitución.

a) 3x + 6 y = 21

7 x − 4 y = 3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c) 3x − 2 y = 8

2x + 5 y = 10

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) 6 x −7 y = 3

8 x + 3 y = 9

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d) 4(2− x ) = 3 y

2(2− x ) = 2 y − 2

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

55

56

57

58

59

60

Halla la solución de estos sistemas de ecuaciones.

a) 3x + 2 y = 5 x + y −11

2x = 3 y −1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) 3( x −1) = 5(2− y )− 26

3x + 1 = y

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c) 3x −5 y = 2x + 10

4 x + 3 y = 17

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d) 4 x − 3 y = −2

5 x = 3− 2( y − 3)

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

Juan ha resuelto un sistema que tenía solución, pero no recuerda qué dos ecuaciones de las siguientes formaban ese sistema. Escribe el sistema y su solución.

3x − 2y = −16−6x + 4y = 104x + y = −3

Observa las siguientes balanzas equilibradas y calcula el peso de cada caja.

a)

b)

Averigua el precio de un lapicero y el de un borrador.

66

67

68

69

Resolución de sistemas: reducción

Resuelve estos sistemas sumando o restando las dos ecuaciones en cada caso.

a) 3x + y = 7

2x − y = 3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c) 2x − 3 y = 6

−2x + 5 y = 4

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) −2x + 3 y = 10

5 x + 3 y = 3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d) x + 4 y = 12

x + y = −3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

Halla las soluciones de estos sistemas por reducción.

a) 3x − 2 y = −11

4 x + y = 0

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c) 3x + 5 y = 16

6 x + 3 y = −3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) −2x + 7 y = −3

6 x − 4 y = −8

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d) 3x − 4 y = −22

7 x + 8 y = 18

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

Resuelve estos sistemas por reducción y halla el valor de las dos incógnitas.

a) 3x −7 y = 1

6 x + y = 5

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c) −4 x − 3 y = 6

2x + 9 y = 2

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) −6 x + 5 y = 12

12x −15 y = 10

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d) 4 x − 3 y = 1

6 x − 6 y = 1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

Simón copia en su libreta tres sistemas de ecuaciones que no sabe resolver para estudiarlos en casa. Ayúdalo a resolverlos por el método de reducción.

a) 3(2x + y )+1=16

x4−

y3=2

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

b) 3(x−3)−5(2−3 y ) =14

2(x−1)+9 =−3(1−2y )⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c)

x−13

+4 x− y

2=10

3x−6 = 8−y +125

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Resuelve cada caso por el método más adecuado.

a) 2x − 3 y = −4

5 x + y = 7

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d) 2x − y = 8

−4 x + 3 y = −22

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) 3x + 2 y = 4

7 x − 2 y = −24

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

e) −x + 3 y = −2

x − 2 y = 2

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c) x + 2 y = 5

−3x + 5 y = 29

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

f) 4 x − 3 y = −9

x + 6 y = −9

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

61

62

63

64

65

¿Cuántos años tiene Zulema más que Omar?

Yolanda tiene 510 € en treinta y tres billetes de 10 € y de 20 €. ¿Cuánto billetes tiene Yolanda de cada valor?

Una almazara almacena aceite en dos depósitos distintos, de forma que en uno hay el doble que en el otro. Pasados unos días, retiran 150 L de cada depósito y entonces uno tiene el triple de litros que el otro. ¿Cuántos litros de aceite hay en cada depósito?

En una tienda de camisetas y sudaderas serigrafiadas han recaudado 930 € por la venta de 58 artículos. Si cada camiseta cuesta 12 € y cada sudadera 25 €, ¿cuántas prendas de cada tipo han vendido?

Calcula dos números tales que la mitad de su suma es 36 y el doble de su diferencia es 20.

Halla dos números naturales cuya suma sea 61 y que, al dividir el mayor entre el menor, den 3 de cociente y 9 de resto.

Se ha mezclado pintura blanca con pintura negra para obtener 50 L de color gris. ¿Qué cantidad de cada tipo de pintura se ha mezclado?

Halla un número de dos cifras que suman 5 unidades y que, cambiadas de orden, dan como resultado otro número 9 unidades mayor que el inicial.

70

71

72

73

74

75

76

77

163



e) −x + 3 y = 10

x = −13 + 4 y

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ −(−13 + 4 y ) + 3 y = 10 → 13− 4 y + 3 y = 10 → −y = −3 → y = 3

x = −13 + 4 ⋅ 3 = −1

f) 3x + 2 y = −1

y = 10 + 2x

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 3x + 2(10 + 2x ) = −1→ 3x + 20 + 4 x = −1→ 7 x = −21→ x = −3

y = 10 + 2 ⋅ (−3) = 457 Utiliza la primera ecuación ya despejada para resolver cada uno de los sistemas.

a) y =3x − 2

23x − y = 4

⎫

⎬⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

b) x =

3 y −1

4−x + 2 y = 4

⎫

⎬⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

c) x =

1− y

3x + 3 y = 3

⎫

⎬⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

d) y =

3− x

22x + y = 9

⎫

⎬⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

a) x = 2, y = 2 b) x = 2, y = 3 c) x = 0, y = 1 d) x = 5, y = −158 ¿Cuáles son las soluciones en cada caso? Calcula.

a) 4 x − 3 y = 10

2x + 4 y = −6

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) 3x + 2 y = 1

−2x + 5 y = −26

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c) −5 x + 3 y = −4

3x − 4 y = −2

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d) 3x + 2 y = 3

−2x + 5 y = −21

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

a) x = 1, y = −2 b) x = 3, y = −4 c) x = 2, y = 2 d) x = 3, y = −359 Copia y resuelve el sistema por el método de sustitución.

3( x −5) + 2( y − 3) = −5

x

4+

y − 2

3= 1

⎫

⎬⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

→ 3x −15 + 2 y − 6 = −5

3x + 4 y − 8 = 12

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 3x + 2 y = 16

3x + 4 y = 20

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→

→ x = 4, y = 260 Resuelve por sustitución.

a) 3x + 6 y = 21

7 x − 4 y = 3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) 6 x −7 y = 3

8 x + 3 y = 9

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c) 3x − 2 y = 8

2x + 5 y = 10

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d) 4(2− x ) = 3 y

2(2− x ) = 2 y − 2

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

a) x =17

9, y =

23

9 b) x =

36

37, y =

15

37 c) x =

60

19, y =

14

19 d) x = −1, y = 4

61 Resuelve estos sistemas sumando o restando las dos ecuaciones en cada caso.

a) 3x + y = 7

2x − y = 3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) −2x + 3 y = 10

5 x + 3 y = 3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c) 2x − 3 y = 6

−2x + 5 y = 4

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d) x + 4 y = 12

x + y = −3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

a) Sumamos las ecuaciones. c) Sumamos las ecuaciones.

5x = 10 → x = 2 → y = 1 2y = 10 → y = 5 → x =21

2

b) Restamos las ecuaciones. d) Restamos las ecuaciones.

−7x = 7 → x = −1 → y =8

3 3y = 15 → y = 5 → x = −8



62 Halla las soluciones de estos sistemas por reducción.

a) 3x − 2 y = −11

4 x + y = 0

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) −2x + 7 y = −3

6 x − 4 y = −8

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c) 3x + 5 y = 16

6 x + 3 y = −3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d) 3x − 4 y = −22

7 x + 8 y = 18

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

a) 3x − 2 y = −11

4 x + y = 0

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 3x − 2 y = −11

8 x + 2 y = 0

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 11x = −11→ x = −1→ y = 4

b) −2x + 7 y = −3

6 x − 4 y = −8

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ −6 x + 21y = −9

6 x − 4 y = −8

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 17 y = −17 → y = −1→ x = −2

c) 3x + 5 y = 16

6 x + 3 y = −3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ −6 x −10 y = −32

6 x + 3 y = −3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ −7 y = −35 → y = 5 → x = −3

d) 3x − 4 y = −22

7 x + 8 y = 18

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 6 x − 8 y = −44

7 x + 8 y = 18

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 13x = −26 → x = −2 → y = 4

63 Resuelve estos sistemas por reducción y halla el valor de las dos incógnitas.

a) 3x −7 y = 1

6 x + y = 5

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) −6 x + 5 y = 12

12x −15 y = 10

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c) −4 x − 3 y = 6

2x + 9 y = 2

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d) 4 x − 3 y = 1

6 x − 6 y = 1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

a) x =4

5, y =

1

5 b) x = −

23

3, y = −

34

5 c) x = −2, y =

2

3 d) x =

1

2, y =

1

3

64 Simón copia en su libreta tres sistemas de ecuaciones que no sabe resolver para estudiarlos en casa. Ayúdalo a resolverlos por el método de reducción.

a) 3(2x + y )+1=16

x4−

y3=2

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

b) 3(x−3)−5(2−3 y ) =14

2(x−1)+9 =−3(1−2y )⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c)

x−13

+4 x− y

2=10

3x−6 = 8−y +125

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

a) x = 4

y = −3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) x = 1

y = 2

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c) x = 4

y = −2

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

65 Resuelve cada caso por el método más adecuado.

a) 2x − 3 y = −4

5 x + y = 7

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c) x + 2 y = 5

−3x + 5 y = 29

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

e) −x + 3 y = −2

x − 2 y = 2

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) 3x + 2 y = 4

7 x − 2 y = −24

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d) 2x − y = 8

−4 x + 3 y = −22

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

f) 4 x − 3 y = −9

x + 6 y = −9

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

a) 2x − 3 y = −4

5 x + y = 7

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 2x − 3 y = −4

y = 7−5 x

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 2x − 3(7−5 x ) = −4 → 2x − 21+ 15 x = −4 → 17 x = 17 → x = 1

y = 7 − 5 ⋅ 1 = 7 − 5 = 2

b) 3x + 2 y = 4

7 x − 2 y = −24

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 10 x = −20 → x = −2

3x + 2y = 4 → 3 ⋅ (−2) + 2y = 4 → 2y = 10 → y = 5

165



e) x + 2 y = 5

−3x + 5 y = 29

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ x = 5− 2 y

−3x + 5 y = 29

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ −3(5− 2 y ) + 5 y = 29 → −15 + 6 y + 5 y = 29 → 11y = 44 → y = 4

x = 5 − 2 ⋅ 4 = −3

f) 2x − y = 8

−4 x + 3 y = −22

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 4 x − 2 y = 16

−4 x + 3 y = −22

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ y = −6

2x − y = 8 → 2x − (−6) = 8 → 2x = 2 → x = 1

g) −x + 3 y = −2

x − 2 y = 2

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ y = 0

x − 2y = 2 → x − 2 ⋅ 0 = 2 → x = 2

h) 4 x − 3 y = −9

x + 6 y = −9

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 4 x − 3 y = −9

x = −9− 6 y

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 4(−9− 6 y )− 3 y = −9 → −36− 24 y − 3 y = −9 → −27 y = 27 → y = −1

x = −9 − 6 ⋅ (−1) = −366 Halla la solución de estos sistemas de ecuaciones.

a) 3x + 2 y = 5 x + y −11

2x = 3 y −1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c) 3x −5 y = 2x + 10

4 x + 3 y = 17

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) 3( x −1) = 5(2− y )− 26

3x + 1 = y

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d) 4 x − 3 y = −2

5 x = 3− 2( y − 3)

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

a) 3x + 2 y = 5 x + y −11

2x = 3 y −1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ −2x + y = −11

2x − 3 y = −1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ −2 y = −12 → y = 6

−2x + y = −11 → −2 ⋅ x + 6 = −11 → x =17

2

b) 3( x −1) = 5(2− y )− 26

3x + 1 = y

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 3x − 3 = 10−5 y − 26

y = 3x + 1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 3x + 5 y = −13

y = 3x + 1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 3x + 5(3x + 1) = −13 →

→ 3x + 15 x + 5 = −13 → 18 x = −18 → x = −1

y = 3 ⋅ (−1) + 1 = −2

c) 3x −5 y = 2x + 10

4 x + 3 y = 17

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ x = 10 + 5 y

4 x + 3 y = 17

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 4(10 + 5 y ) + 3 y = 17 → 40 + 20 y + 3 y = 17 → 23 y = −23 → y = −1

x = 10 + 5 ⋅ (−1) = 5

d) 4 x − 3 y = −2

5 x = 3− 2( y − 3)

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 4 x − 3 y = −2

5 x = 3− 2 y + 6

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 4 x − 3 y = −2

5 x + 2 y = 9

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 8 x − 6 y = −4

15 x + 6 y = 27

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 23x = 23 → x = 1

4x − 3y = −2 → 4 ⋅ 1 − 3y = −2 → −3y = −6 → y = 2 67 Juan ha resuelto un sistema que tenía solución, pero no recuerda

qué dos ecuaciones de las siguientes formaban ese sistema. Escribe el sistema y su solución.

Representamos las ecuaciones lineales.

•

•

O 2

4

X

Y 4 x + y = −3

3x − 2 y = −16

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ x = −2, y = 5

4 x + y = −3

−6 x + 4 y = 10

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ x = −1, y = 1

Comprobamos así que se pueden formar dos sistemas con las ecuaciones propuestas.

3x − 2y = −16−6x + 4y = 104x + y = −3



68 Observa las siguientes balanzas equilibradas y calcula el peso de cada objeto.

a) b)

a) Llamamos x al peso de la caja amarilla e y al peso de la caja verde.

3x = 2 y

2x = y + 200

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 3x − 2 y = 0

y = 2x − 200

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 3x − 2(2x − 200) = 0 → 3x − 4 x + 400 = 0 → x = 400

y = 2 ⋅ 400 − 200 = 600

La caja amarilla pesa 400 g, y la verde, 600 g.

b) Llamamos x al peso de la caja roja e y al peso de la caja azul.

3x + 2 y = 600

2x + 2 y = 500

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 3x + 2 y = 600

−2x − 2 y = −500

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ x = 100

3x + 2y = 600 → 3 ⋅ 100 + 2y = 600 → 2y = 300 → y = 150

La caja roja pesa 100 g, y la azul, 150 g. 69 Averigua el precio de un lapicero y el de un borrador.

Llamamos x al precio de un lapicero e y al de un borrador.

4 x + 3 y = 2,95

2x + 5 y = 2,35

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 4 x + 3 y = 2,95

−4 x −10 y = −4,70

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ −7 x = −1,75 → x = 0,25

4x + 3y = 2,95 → 4 ⋅ 0,25 + 3y = 2,95 → 3y = 1,95 → y = 0,65

Un lapicero cuesta 0,25 €, y un borrador, 0,65 €.70 ¿Cuántos años tiene Zulema más que Omar?

Llamamos x a la edad de Zulema e y a la edad de Omar.

x = 3 y

x + 15 = 2( y + 15)

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ x − 3 y = 0

x + 15 = 2 y + 30

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ x − 3 y = 0

x − 2 y = 15

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→

→ −x + 3 y = 0

x − 2 y = 15

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ y = 15

x − 3y = 0 → x − 3 ⋅ 15 = 0 → x = 45

Zulema tiene 45 años, y Omar, 15 años.71 Yolanda tiene 510 € en treinta y tres billetes de 10 € y de 20 €. ¿Cuántos billetes tiene Yolanda de cada valor?

Llamamos x al número de billetes de 10 € e y al número de billetes de 20 €.

x + y = 33

10 x + 20 y = 510

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ x = 33− y

x + 2 y = 51

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ (33− y ) + 2 y = 51→ 33− y + 2 y = 51→ y = 18

x = 33 − 18 = 15

Tiene 15 billetes de 10 € y 18 de 20 €.

167



72 Una almazara almacena aceite en dos depósitos distintos, de forma que en uno hay el doble que en el otro. Pasados unos días, retiran 150 L de cada depósito y entonces uno tiene el triple de litros que el otro. ¿Cuántos litros de aceite hay en cada depósito?

x = 2 y

x −150 = 3( y −150)

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ x = 2 y

x − 3 y = −300

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 2 y − 3 y = −300 → −y = −300 → y = 300

x = 2 ⋅ 300 = 600

Un depósito tiene 300 L y el otro 600 L.73 En una tienda de camisetas y sudaderas serigrafiadas han recaudado 930 € por la venta de 58 artículos. Si cada camiseta

cuesta 12 € y cada sudadera 25 €, ¿cuántas prendas de cada tipo han vendido?

Llamamos x al número de camisetas e y al número de sudaderas.

x + y = 58

12x + 25 y = 930

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ x = 58− y

12x + 25 y = 930

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 12(58− y ) + 25 y = 930 → 696−12 y + 25 y = 930 → 13 y = 234 → y = 18

x = 58 − 18 = 40

Han vendido 40 camisetas y 18 sudaderas.74 Calcula dos números tales que la mitad de su suma es 36 y el doble de su diferencia es 20.

x + y

2= 36

2( x − y ) = 20

⎫

⎬⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

→ x + y = 72

2x − 2 y = 20

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 2x + 2 y = 144

2x − 2 y = 20

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 4 x = 164 → x = 41

x + y = 72 → 41 + y = 72 → y = 31

Los números son 41 y 31. 75 Halla dos números naturales cuya suma sea 61 y que, al dividir el mayor entre el menor, den 3 de cociente y 9 de resto.

x + y = 61

x = 3 y + 9

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 3 y + 9 + y = 61→ 4 y = 52 → y = 13

x + y = 61 → x + 13 = 61 → x = 48

Los números son 48 y 13.76 Se ha mezclado pintura blanca con pintura negra para obtener 50 L de color gris. ¿Qué cantidad de cada tipo de pintura

se ha mezclado?

Llamamos x al número de litros de pintura blanca e y número de litros de pin-tura negra.

x + y = 50

15,25 x + 12,50 y = 50 ⋅13,16

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ x = 50− y

15,25 x + 12,50 y = 658

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→

→ 15,25(50− y ) + 12,50 y = 658 → 762,5−15,25 y + 12,50 y = 658 →→ −2,75 y = −104,5 → y = 38

x = 50 − 38 = 12

Se mezclan 12 L de pintura blanca y 38 L de pintura negra.77 Halla un número de dos cifras que suman 5 unidades y que, cambiadas de orden, dan como resultado otro número 9

unidades mayor que el inicial.

x + y = 5

10 x + y + 9 = 10 y + x

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ x = 5− y

x − y = −1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ (5− y )− y = −1→ 5− y − y = −1→ −2 y = −6 → y = 3

x = 5 − 3 = 2

El número es 23.



Matemáticas vivas. Las mezclas


En esta sección trabajamos de un modo más concreto las competencias, en particular la competencia matemática. Se presenta una situación cotidiana, calcular el precio total de una mezcla de café, en la que intervienen los sistemas de ecuaciones.

En la resolución de diferentes actividades de comprensión, relación y reflexión, los alumnos desarrollarán algunas de las com-petencias matemáticas evaluadas por el estudio PISA: Resuelve, Utiliza el lenguaje matemático, Argumenta, Piensa y Razona, Comunica o Representa.

Para finalizar la sección se incluye el apartado Trabajo cooperativo donde se propone una tarea cuya estrategia cooperativa es Lápices al centro, de Nadia Aguiar y María Jesús Talión.

Los alumnos resolverán el problema planteado investigando cuánta plata se necesita de ciertos lingotes de plata de Ley para conseguir otro con unas condiciones concretas.

¿Cómo se realizará la tarea? Los alumnos formarán pequeños grupos y nombrarán un moderador. Colocarán sus bolígrafos en el centro de la mesa para poder hablar o escuchar las ideas de los compañeros, pero no pueden escribir. El moderador leerá en voz alta el problema cerciorándose de que todos los alumnos de su grupo expresan su opinión. Acordarán una respuesta y cada alumno la copiará en su cuaderno.

Soluciones de las actividades

En el mundo del café podemos encontrar cientos de variedades: distinto tipo de grano, de cosecha… Y cada una de estas variedades tiene diferente aroma, gusto o color. Cuando se mezclan variedades diversas de café, a veces es difícil calcular el precio total de la mezcla resultante.

Tostadura expreso22 €/kg

Doble tostadura20 €/kg

Tostadura completa18 €/kg

Isabel, una amante del buen café, ha decidido crear una empresa que provea a los bares y cafeterías de su ciudad de las mez-clas de café que elabore.

Para iniciar el negocio, ha comprado 250 kg de los cafés que se muestran en la imagen.

5 MATEMÁTICAS VIVAS 5Las mezclas

110 111

En el mundo del café podemos encontrar cientos de variedades: distinto tipo de grano, de cosecha… Y cada una de estas variedades tiene diferente aroma, gusto o color.

Cuando se mezclan variedades diversas de café, a veces es difícil calcular el precio total de la mezcla resultante.

Tostadura expreso22 €/kg

Doble tostadura20 €/kg

Tostadura completa18 €/kg

Isabel, una amante del buen café, ha decidido crear una empresa que provea a los bares y cafeterías de su ciudad de las mezclas de café que elabore.

Para iniciar el negocio, ha comprado 250 kg de los cafés que se muestran en la imagen.

RELACIONA

Isabel quiere ofertar una mezcla de café a un nuevo cliente. Prepara 10 kg de una mezcla especial con cafés de doble tostadura y tostadura completa y pone el kilo de la mezcla a un precio de 19,50 €.

a. ¿Cuántos kilos de cada tipo de café debe incluir en la mezcla?

b. Y si añade 2 kg de café de tostadura expreso, ¿cuánto se incrementará el precio de la mezcla?

¿Cuántos kilos de tostadura completa tiene que mezclar con 8 kg de tostadura expreso para que el kilo de la mezcla cueste 21,20 €?

Otra empresa suministra a Isabel dos mezclas preparadas con cafés de diferentes precios.

❚ Mezcla Premium:

5 kg de café A + 2 kg de café B =

= 147 €

❚ Mezcla Deluxe:

3 kg de café A + 4 kg de café B =

= 143,50 €

a. ¿Cuánto cuesta un kilo del café A?

b. ¿Y un kilo del café B?

3

4

5

COMPRENDE

Observa los precios de los cafés.

a. ¿Cuánto cuesta la mezcla formada por un kilo de cada tipo de café?

b. ¿Cuánto costará cada kilo de esa mezcla?

c. Si Isabel pretende ganar 1,20 € con la venta de esa mezcla, ¿a qué precio debe vender cada kilo?

RESUELVE

Una cafetería quiere una mezcla con el doble de café de tostadura expreso que de tostadura completa.

a. Si para la mezcla utiliza 5 kg de café de tostadura expreso, ¿cuántos kilos de café de tostadura completa habrá que añadir?

b. Si utiliza 7 kg de café de tostadura completa, ¿cuántos kilos de café de tostadura expreso contendrá la mezcla?

c. Si llamamos x al número de kilos de café de tostadura expreso, escribe la expresión algebraica que calcula el número de kilos de café de la mezcla y el precio total de la mezcla.

UTILIZA EL LENGUAJE MATEMÁTICO

1

2

Isabel está experimentando con nuevas variedades. Así, ha mezclado café de doble tostadura con 15 kg de un tipo de café nuevo. El resultado han sido 25 kg de una mezcla de intenso aroma, que piensa vender a 19,60 € el kilo.

a. ¿Cuántos kilos de café de doble tostadura tiene la mezcla?

PIENSA Y RAZONA

b. ¿Cuánto cuesta el kilo de la nueva variedad de café que ha utilizado para obtener la mezcla?

COMUNICA

Isabel ha olvidado la cantidad y el número de kilos de las dos variedades de café que empleó para preparar cierta mezcla. En su cuaderno de notas solo apuntó que en la mezcla había invertido 108 € y que no había utilizado más de 4 kg de cada variedad de café.

La mezcla ha resultado excelente, tanto en calidad como en precio. Por eso, quiere recordar cuántos kilos incluyó y de qué clases, a fin de seguir ofertándola.

Copia y completa estas tablas y averigua cuántos kilos utilizó para la mezcla.

Tostadura expreso

N.º de kilos 1 2 3 4

Precio invertido O O O O

Tostadura completa



6

7

Doble tostadura



REFLEXIONA

TRABAJO

COOPERATIVOTAREA

En una joyería hay dos lingotes de plata: uno de la Ley 0,75 y otro de Ley 0,95.

Investigad cuánta plata se necesita de cada lingote para conseguir otro de 2 kg de Ley 0,90.

ARGUMENTA

REPRESENTA

169



Comprende1 Observa los precios de los cafés.

a) ¿Cuánto cuesta la mezcla formada por un kilo de cada tipo de café?

b) ¿Cuánto costará cada kilo de esa mezcla?

c) Si Isabel pretende ganar 1,20 € con la venta de esa mezcla, ¿a qué precio debe vender cada kilo?

a) 22 + 20 + 18 = 60. La mezcla costará 60 €.

b) 60 : 3 = 20. Cada kilo de la mezcla costará 20 €.

c) (60 + 1,20) : 3 = 20,4. Debe vender cada kilo a 20,40 €.2 Una cafetería quiere una mezcla con el doble de café de tostadura expreso que de tostadura completa.

a) Si para la mezcla utiliza 5 kg de café de tostadura expreso, ¿cuántos kilos de café de tostadura completa habrá que añadir?

b) Si utiliza 7 kg de café de tostadura completa, ¿cuántos kilos de café de tostadura expreso contendrá la mezcla?

c) Si llamamos x al número de kilos de café de tostadura expreso, escribe la expresión algebraica que calcula el número de kilos de café de la mezcla y el precio total de la mezcla.

a) 5 : 2 = 2,5. Habrá que añadir 2,5 kg de café de tostadura completa.

b) 2 ⋅ 7 = 14. La mezcla contendrá 14 kg de café tostadura expreso.

c) N.º de kilos de café de la mezcla: x +x

2Precio: 22x + 18 ⋅

x

2= 22x + 9 x = 31x

Relaciona3 Isabel quiere ofertar una mezcla de café a un nuevo cliente. Prepara 10 kg de una mezcla especial con cafés de doble

tostadura y tostadura completa y pone el kilo de la mezcla a un precio de 19,50 €.

a) ¿Cuántos kilos de cada tipo de café debe incluir en la mezcla?

b) Y si añade 2 kg de café de tostadura expreso, ¿cuánto se incrementará el precio de la mezcla?

a) Llamamos x al número de kilos de doble tostadura e y al número de kilos de tostadura completa.

x + y = 10

20 x + 18 x = 19,50 ⋅10

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ x = 10− y

20 x + 18 y = 195

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 20(10− y ) + 18 y = 195 → 200− 20 y + 18 y = 195 → −2 y = −5 → y = 2,5

x = 10 − y → x = 10 − 2,5 = 7,5

Se necesitan 7,5 kg de doble tostadura y 2,5 kg de tostadura completa.

b) (7,5 ⋅ 20 + 2,5 ⋅ 18 + 2 ⋅ 22) : 12 = (150 + 45 + 44) : 12 = 239 : 12 = 19,92 €

19,92 − 19,50 = 0,42 € Se incrementará 42 cent.4 ¿Cuántos kilos de tostadura completa tiene que mezclar con 8 kg de tostadura expreso para que el kilo de la mezcla

cueste 21,20 €?

18x + 8 ⋅ 22 = 21,20 ⋅ (x + 8) → 18x + 176 = 21,20x + 169,6 → 3,2x = 6,4 → x = 2

Se necesitan 2 kg.5 Otra empresa suministra a Isabel dos mezclas preparadas con cafés de

diferentes precios.

a) ¿Cuánto cuesta un kilo del café A?

b) ¿Y un kilo del café B?

Llamamos x al número de kilos de café A e y al número de kilos de café B.

5 x + 2 y = 147

3x + 4 y = 143,50

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ −10 x − 4 y = −294

3x + 4 y = 143,50

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ x = 21,5

5x + 2y = 147 → 5 ⋅ 21,5 + 2y = 147 → 2y = 39,5 → y = 19,75

a) Un kilo del café A cuesta 21,50 €. b) Un kilo del café B cuesta 19,75 €.

❚❚ Mezcla Premium:

❚ 5 kg de café A + 2 kg de café B =

= 147 €

❚❚ Mezcla Deluxe:

❚ 3 kg de café A + 4 kg de café B =

= 143,50 €



Reflexiona6 Isabel está experimentando con nuevas variedades. Así, ha mezclado café de doble tostadura con 15 kg de un tipo de

café nuevo. El resultado han sido 25 kg de una mezcla de intenso aroma, que piensa vender a 19,60 € el kilo.

a) ¿Cuántos kilos de café de doble tostadura tiene la mezcla?

b) ¿Cuánto cuesta el kilo de la nueva variedad de café que ha utilizado para obtener la mezcla?

a) Llamamos x al número de kilos de doble tostadura.

x + 15 = 25 → x = 10

La mezcla tiene 10 kg de doble tostadura.

b) Llamamos y al precio del kilo del nuevo café.

10 ⋅ 20 + 15y = 25 ⋅ 19,60 → 200 + 15y = 490 → 15y = 290 → y = 19,33

El kilo de la nueva variedad cuesta 19,33 €.7 Isabel ha olvidado la cantidad y el número de kilos de las dos variedades de café que empleó para preparar cierta mezcla.

En su cuaderno de notas solo apuntó que en la mezcla había invertido 108 € y que no había utilizado más de 4 kg de cada variedad de café.

La mezcla ha resultado excelente, tanto en calidad como en precio. Por eso, quiere recordar cuántos kilos incluyó y de qué clases, a fin de seguir ofertándola.

Copia y completa estas tablas y averigua cuántos kilos utilizó para la mezcla.

Tostadura expreso Doble tostadura

N.º de kilos 1 2 3 4 N.º de kilos 1 2 3 4

Precio invertido 22 44 66 88 Precio invertido 20 40 60 80

Tostadura completa


Precio invertido 18 36 54 72

La solución es un kilo de doble tostadura y 4 kg de tostadura expreso.

Trabajo cooperativo

TAREAEn una joyería hay dos lingotes de plata: uno de la Ley 0,75 y otro de Ley 0,95.

Investigad cuánta plata se necesita de cada lingote para conseguir otro de 2 kg de Ley 0,90.

Llamamos x a los kilogramos de lingotes de Ley 0,75 e y a los de Ley 0,95.

x + y = 2

0,75 x + 0,95 y = 0,9 ⋅2

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ x = 2− y

75 x + 95 y = 180

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 75(2− y ) + 95 y = 180 → 150−75 y + 95 y = 180 → 20 y = 30 → y = 1,5

→ y = 1,5 → x = 2 − y → x = 2 − 1,5 = 0,5 Se necesitan 0,5 kg de Ley 0,75 y 1,5 kg de Ley 0,95.

171



112


AVANZA

A1. Indica el número de soluciones de estos sistemas.

a) x − 3 y = −1

−2x + 9 y = 3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c) −8 x − 6 y = 10

4 x + 2 y = −5

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) 5 x − y = −1

−15 x + 3 y = 5

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d) −7 x − 4 y = 10

14 x + 2 y = −5

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

A2. Justifi ca cuáles de los siguientes sistemas es compatible determinado.

a) 2x − 4 y = −6

−x + 2 y = 3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c) −2x + 3 y = 1

−10 x + y = 5

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) x − y = −1

−3x + 3 y = 5

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d) −x − 4 y = 10

x + 4 y = −10

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

A3. Indica sistemas son incompatibles.

a) x − 3 y = −6

−x + 2 y = 1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c) −2x + 3 y = 1

−8 x + 12 y = 4

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) 3x − 2 y = −1

−6 x + 4 y = 5

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d) −x − 3 y = 10

x + 3 y = −1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

A4. Halla el valor de p para que cada sistema sea como se indica en cada caso.

a) 3x − 6 y = −9

−x + py = 3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪ Compatible indeterminado

b) 5 x − y = −1

−10 x + py = 5

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

Incompatible

Número de soluciones de un sistema

En un sistema de ecuaciones lineales, el número de soluciones depende de los coefi cientes de las incógnitas y del término independiente de cada una de las ecuaciones.

2x − 3 y = −1

−4 x + 6 y = 2

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→

2

−4=−3

6=−1

2 2x − 3 y = −1

−4 x + 6 y = 5

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→

2

−4=−3

6≠−1

5 2x − 3 y = −1

−4 x + 5 y = 2

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→

2

−4≠−3

5

Los coeficientes y los términos independientes son

proporcionales.

El sistema tiene infinitas soluciones.

SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO

Los coeficientes son proporcionales, pero no los términos independientes.

El sistema no tiene solución.

SISTEMA INCOMPATIBLE

Los coeficientes no son proporcionales.

El sistema tiene una solución única.

SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO

CÁLCULO MENTAL Estrategia para RESOLVER ECUACIONES SENCILLAS

A la edad de 14 años, el genio matemático indio Srinivasa Ramanujan fue desafiado por un amigo a resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

x + y = 7

x + y = 11

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

Cuenta la historia que Ramanujan no solo resolvió este sistema de ecuaciones, sino que lo hizo mentalmente en medio minuto. Es muy probable que Ramanujan al ver las ecuaciones dedujera que las raíces podrían ser números cuadrados y probase mentalmente con dos de los más sencillos: 4 y 9.

CM1. Busca, en cada caso, dos números que sean solución del sistema y compruébalo mentalmente.

a) x + y = 10

x − y = 6

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) x = 2 y

x + y = 9

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c) x + y = 6

2x + y = 8

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d) x + 2 y = 5

2x + y = 4

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪


En esta sección se trabaja la compatibilidad de un sistema de dos ecuaciones lineales, analizando los coeficientes de la incógnitas y el término independiente.


A1. Indica el número de soluciones de estos sistemas.

a) x − 3 y = −1

−2x + 9 y = 3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c) −8 x − 6 y = 10

4 x + 2 y = −5

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) 5 x − y = −1

−15 x + 3 y = 5

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d) −7 x − 4 y = 10

14 x + 2 y = −5

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

a) Una c) Una

b) Ninguna d) Una

A2. Justifica cuáles de los siguientes sistemas es compatible determinado.

a) 2x − 4 y = −6

−x + 2 y = 3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c) −2x + 3 y = 1

−10 x + y = 5

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) x − y = −1

−3x + 3 y = 5

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d) −x − 4 y = 10

x + 4 y = −10

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

Solamente el c).

A3. Indica qué sistemas son incompatibles.

a) x − 3 y = −6

−x + 2 y = 1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) 3x − 2 y = −1

−6 x + 4 y = 5

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c) −2x + 3 y = 1

−8 x + 12 y = 4

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d) −x − 3 y = 10

x + 3 y = −1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

Son incompatibles los apartados b) y d).

A4. Halla el valor de p para que cada sistema sea como se indica en cada caso.

a) 3x − 6 y = −9

−x + py = 3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

Compatible indeterminado b) 5 x − y = −1

−10 x + py = 5

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

Incompatible

a) 3

−1=−6

p→ 3p = 6 → p = 2 b)

5

−10=−1

p≠−1

5→ p = 2

Cálculo mental. Estrategia para resolver ecuaciones sencillasSugerencias didácticas

Para finalizar la unidad se trabaja una estrategia de cálculo mental para resolver sistemas de ecuaciones sencillos tanteando las soluciones de las dos ecuaciones.


CM1. Busca, en cada caso, dos números que sean solución del sistema y compruébalo mentalmente.

a) x + y = 10

x − y = 6

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) x = 2 y

x + y = 9

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

c) x + y = 6

2x + y = 8

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

d) x + 2 y = 5

2x + y = 4

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

a) x = 8, y = 2 b) x = 6, y = 3 c) x = 2, y = 4 d) x = 1, y = 2

Avanza. Número de soluciones de un sistema



1. Averigua cuál de estos pares de valores es solución de la ecuación lineal 3x − 2y = 0.

a) x = −1, y = 2 b) x = −2, y = −3

a) 3 ⋅ (−1) − 2 ⋅ 2 = −3 − 4 = − 7 → No es solución.

b) 3 ⋅ (−2) − 2 ⋅ (−3) = −6 + 6 = 0 → Es solución.

2. En las siguientes gráficas aparece la solución de diferentes sistemas lineales. Indica la solución de cada uno.

a)

•

O 1

1

X

Y b)

•

O 1

1

X

Y

a) Las dos rectas se cortan en el punto (3, 1). Entonces, la solución del sistema es x = 3, y = 1.

b) Las dos rectas se cortan en el punto (−3, −2). Entonces, la solución del sistema es x = −3, y = −2.

3. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales por el método de sustitución:

5 x + y = 7

3x + 5 y = −9

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

5 x + y = 7

3x + 5 y = −9

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ y = 7−5 x

3x + 5 y = −9

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 3x + 5(7−5 x ) = −9 → 3x + 35− 25 x = −9 → −22x = −44 → x = 2

y = 7−5 x → y = 7−5 ⋅2 = 7−10 = −3

4. Halla la solución de este sistema por el método de reducción:

x − 3 y = 1

2x + y = 9

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x − 3 y = 1

2x + y = 9

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ −2x + 6 y = −2

2x + y = 9

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 7 y = 7 → y = 1

x − 3 y = 1→ x − 3 ⋅1 = 1→ x = 4

5. Javier ha comprado 2 refrescos y un bocadillo por 3 €, y su amiga Eva, 3 refrescos y 2 bocadillos por 5,25 €. ¿Cuánto cuesta un refresco? ¿Y un bocadillo?

Llamamos x al precio de un refresco e y al precio de un bocadillo.

Planteamos y resolvemos el sistema.

2x + y = 3

3x + 2 y = 5,25

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ y = 3− 2x

3x + 2 y = 5,25

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 3x + 2(3− 2x ) = 5,25 → 3x + 6− 4 x = 5,25 → x = 0,75

y = 3− 2x → y = 3− 2 ⋅0,75 = 3−1,50 = 1,50

Un refresco cuesta 0,75 € y un bocadillo 1,50 €.

PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA A

173



1. Averigua cuál de estos pares de valores es solución de este sistema: 3x + 2 y = 3

−x + y = 4

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

a) x = −2, y = 2 b) x = −1, y = 3

a) 3 ⋅ (−2) + 2 ⋅2 = −6 + 4 = −2 ≠ 3

−(−2) + 2 = 2 + 2 = 4

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

b) 3 ⋅ (−1) + 2 ⋅3 = −3 + 6 = 3

−(−1) + 3 = 1+ 3 = 4

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

No es solución. Es solución.

2. Resuelve gráficamente el siguiente sistema de ecuaciones lineales: x − 2 y = 7

4 x + y = 1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

Representamos las rectas.

•

O 1

1

X

Y

La solución del sistema es x = 1, y = −3.

3. Halla la solución del siguiente sistema: 3x − 2 y = 2( x − 2)

4 x −1 = 3( y − 3) + 12

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

Primero simplificamos el sistema y después lo resolvemos por sustitución.

3x − 2 y = 2( x − 2)

4 x −1 = 3( y − 3) + 12

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 3x − 2 y = 2x − 4

4 x −1 = 3 y − 9 + 12

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ x − 2 y = −4

4 x − 3 y = 4

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ x = −4 + 2 y

4 x − 3 y = 4

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→

→ 4(−4 + 2 y )− 3 y = 4 → −16 + 8 y − 3 y = 4 → 5 y = 20 → y = 4

x = −4 + 2 y → x = −4 + 2 ⋅ 4 = −4 + 8 = 4

4. Resuelve este sistema utilizando el método de reducción: 3x −1

2=

x + y

2−1

3( x + 1)−5( y − 2) = 8

⎫

⎬⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

Primero simplificamos el sistema y lo resolvemos por reducción.

3x −1

2=

x + y

2−1

3( x + 1)−5( y − 2) = 8

⎫

⎬⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

→ 3x −1 = x + y − 2

3x + 3−5 y + 10 = 8

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 2x − y = −1

3x −5 y = −5

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ −10 x + 5 y = 5

3x −5 y = −5

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ −7 x = 0 → x = 0

2x − y = −1→ 2 ⋅0− y = −1→ y = 1

5. Maite ha comprado un regalo por 8,50 € con monedas de 1 € y 50 cent. Si en total ha entregado 11 monedas, ¿cuántas de cada tipo ha utilizado?

Llamamos x al número de monedas de 1 € e y a las de 50 cent.

x + y = 11

x + 0,5 y = 8,5

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ x + y = 11

−x − 0,5 y = −8,5

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→ 0,5 y = 2,5 → y = 5

x + y = 11 → x + 5 = 11 → x = 6

Ha utilizado 6 monedas de 1 € y 5 de 50 cent.

PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA B

5 Sistemas de ecuaciones 5 SISTEMAS DE … · Resolver sistemas de ecuaciones lineales por los...

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