5 PROBLEMAS SOBRE INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS

1) Una compañía fabrica un producto que tiene un precio unitario de venta de $ 20 y un

costo unitario de $ 15. Si los costos fijos son de $ 600000, determine el número de

unidades que deben ser vendidas para que la compañía tenga utilidades.

SOLUCIÓN:

Precio de venta unitario : $ 20

Costo unitario : $ 15

Costo fijo : $ 600000

Sea x el número de unidades vendidas.

Ingreso : R = 20x

Costo total : C = 15 x + 600000

Utilidad : U = R – C

= 20x – (15x + 600000)

U = 5x – 600000

Como U > O 5x – 600000 > 0

5x > 600000

X >120000

Luego de la compañía obtiene utilidades si vende como mínimo 120001 unidades.

2) A los pintores con frecuencia se les paga por hora o por obra terminada. El salario que

reciben pueden afectar su velocidad de trabajo. Por ejemplo, suponga que pueden

trabajar por $ 8,50 la hora, o por $ 300 más $ 3,00 por cada hora por debajo de 40, si

completan el trabajo en menos de 40 horas. Suponga que el trabajo les toma t horas. Si

t ≥ 40, claramente el sueldo por hora es mejor. Si t < 40, para que valores de t el salario

por hora es mejor?

SOLUCIÓN:

Primera modalidad: $ 8,50 por hora

Salario = 8,50 t

Segunda modalidad: salario = 300 + 3 (40 - t); t < 40

= 420 – 3 t

Como 8,50 t > 420 – 3t

11,50 t > 420

t > 36,5

Luego el salario por hora es mejor para 36,5 < t 40 horas

3) En 1998, una compañía de telefonía de cierto país cobraba $ 0,15 por el primer minuto más $ 0,14 por cada minuto adicional (o parte de un minuto) en su servicio de larga distancia nacional. ¿Cuántos minutos podía una persona hablar por no más de $ 2,000?

SOLUCIÓN:

Sea x el tiempo en minutos.

1er minuto: $ 0,15Tiempo adicional:Costo adicional: $ 0,14

Como 0,15 + 0,14 (x-1) ≤ 2,00 0,15 + 0,14 – 0,14 ≤ 2,00 0,14x ≤ 1,99 x ≤ 14,21

Luego la persona podía hablar hasta 14 minutos.

4) Se desea sembrar un terreno en forma de una corona circular. El área del terreno no

debe ser menor a 200m2 ni mayor a 300m2. ¿cuál es la distancia al centro del círculo a

la que se encuentra cualquier punto del terreno?

SOLUCIÓN:

El área de un círculo de radio R esta dado por A = ∏R2.

Como 200 ≤ A ≤ 300

200 ≤ ∏R2 ≤ 300

63,7 ≤ R2 ≤ 95,5

7,98 ≤ R ≤ 9,77

Luego el punto se encuentra a una distancia: 7,98m ≤ d ≤ 9,77m

5) Un tablero debe cortarse de tal manera que sea un triángulo equilátero. Sabiendo que

el lado del triángulo debe estar comprendido entre 60cm y 80 cm, ¿Cuál es el área del

triángulo que se puede obtener?

SOLUCIÓN:

Para un triángulo equilátero:

A=√34L2

Además 60 cm ≤ L ≤ 80 cm

3600 ≤ L2 ≤ 6400

3600√34

≤ √34

L2 ≤ √34

x 6400

1559 ≤ A ≤ 2771

Luego el área del tablero está comprendido entre 1559cm2 y 2771cm2.

3 EJERCICIOS SOBRE INECUACIONES POLINOMIALES

1) Resolver: x5 - 5x4 + 2x3+ 14x2 – 3x – 9 ≤ 0

SOLUCION:

Usando Ruffini:

1 -5 2 14 -3 -91

1 -4 -2 12 91 -4 -2 12 9 0

-1-1 5 -3 -9

1 -5 3 9 03

3 -6 -91 -2 -3 0

33 3

1 1 0-1

-11 0

Luego:

(x-1) (x + 1)2 (x-3)2 ≤ 0

Pc: 1; -1; 3

- - + +-1 1 3

cs = <-∞, -1> u <-1,1] u {-1}

= <- ∞; 1]

2) Resolver:

(x2 + x – 6) (4x – 4 – x2) ≤ 0

SOLUCIÓN:

(x2 + x – 6) (4x – 4 – x2) ≤ 0

(x + 3) (x – 2) (x2 – 4x + 4) ≥ 0

(x + 3) (x – 2) (x – 2)2 ≥ 0

(x + 3) (x – 2)3 ≥ 0 --> (x + 3) (x-2) ≥ 0

Pc: -3; 2

+ - +

-2 3

Cs = <- ; -2] U [3; + >α α

3) -3x3 – x2 + x – 1 < 0

-3x3 – x2 + x – 1 > 0

3 1 -1 1-1

-3 2 -1

3 -2 1 0

(x + 1) (3x2 – 2x + 1) > 0

(-2)2 – 4(3)(1) = -8 < 0 ⇒ 3x2 – 2x + 1 > 0

⇒(x + 1) > 0

x > -1

cs = <-1, + >α

INECUACIONES RACIONALES

1) Resolver: 3x+52x+1

≤3

SOLUCIÓN:

3x+52x+1

−3≤+→ 3 x∓5−6 x−32 x+1

≤0

−3x+22x+1

≤0⇒ 3 x−22 x+1

≥0

Pc: 2/3; - ½

+ - +

-1/2 2/3

Cs = <- , -1/2> U [ 2/3; + >α α

2) Resolver:5x− x2

x+7≤0

SOLUCIÓN:

x2−5xx+7

≥0⇒x (x−5)x+7

≥0

Pc: 0; 5; 7 - + - +

-7 0 5

Cs = <-7,0] U [5; + >α

3) Resolver:

1x+5

< 1x−4

1x+5

− 1x−4

<0

x−4−(x+5)(x+5 )(x−4)

<0⇒ −9( x+5 )(x−4 )

<0

9( x+5 )(x−4 )

>0

Pc: -5; 4

+ - +-5 4

Cs = <- , -5> U <4, + >α α

ECUACIONES EXPONENCIALES

1) Formular una ecuación cuadrática de tal modo que sus raíces son las solución de la ecuación.

5(5x + 5-x) = 26

SOLUCIÓN:

5(5x+ 1

5x)= 26

5( (5x )2+15x )=26

Si m = 5x ⇒ 5 (m2+1 )m

=26

5m2 + 5 = 26 m

5m2 – 26m + 5 = 0

(5m-1)(m-5) = 0

m = 1/5; m = 5

Si m = 5x ⇒ 5x = 15

= 5-1 ⇒ x = -1

5x = 5 ⇒ x = 1

Luego: x = {-1; 1}

Formulando la ecuación cuadrática:

(x - -1) (x - 1) = 0

(x + 1) ( x - 1) = 0

x2 - 1 = 0

2) Si 4x – 10x + 25x = 10x, x ∈ R

Calcular el valor de:

E= 2x+25x+8x

5x+25x+125x

SOLUCIÓN:

(22)x – (2 x5)x + (52)x = (2x5)x

22x – 2x . 5x + 52x – 2x . 5x = 0

2x (2x-5x) +5x (5x-2x) = 0

2x (2x-5x) -5x (2x-5x) = 0

(2x – 5x) (2x – 5x) = 0

(2x -5x)2 = 0

2x – 5x = 0

2x = 5x

x = 0

Luego: E= 20+250+80

50+250+1250

= 1+1+11+1+1

E = 1

3) Evaluar: W = k2 + k + 7, si se verifica que:

4k+4+12k .22

=8

SOLUCIÓN:

4k+4 + 1 = 8 . 2k . 22

(22)k+4+1 = 32 .2k

22k+8 +1 = 32.2k

22k . 28 + 1 – 32.2k = 0

256 . 22k - 32.2k + 1 = 0

Si m = 2k 256m2 – 32m + 1 = 0

(16m-1)2 = 0 16m – 1 = 0

m = 1/16

Como m = 2k 2k = 116

= 1

24

2k = 2-4

K = -4

W = k2 + k + 7

= (-4)2 – 4 + 7

= 16 – 3

W = 19

4) Una esfera tiene un radio igual a la solución de la ecuación: 9x + 3x+1 = 810.

Encontrar el volumen de la esfera, suponiendo que el radio se expresa en metros.

SOLUCIÓN:

(32)x + 3x . 3 = 810

(3x)2 + 3. 3x – 810 = 0

Si m = 3x

⇒m2 + 3 m – 810 = 0

(m-27)(m+30)= 0

m = 27; m = -30

Como m = 3x ⇒ 3x = 27 = 33 ⇒ x=3

3x = -30 ⇒ x=∅

Luego: x = 3

Para una esfera, el volumen esta dado por:

V= 43π R3 ;R=3metros

⇒V=43π (3 )3

V = 113,1m3

5) Las dimensiones de un terreno rectangular son las soluciones de la ecuación:

4x+1 + 512 = 9 . 2x+4

Hallar el perímetro del terreno

SOLUCIÓN:

(22)x+1 + 512 = 9 . 2x . 24

22x . 22 + 512 = 144 . 2x

4 . 22x + 512 – 144.2x = 0

(2x)2 – 36.2x + 128 = 0

Si m = 2x ⇒ m2 – 36m + 128 = 0

(m - 4)(m-32)= 0

m = 4 ; m = 32

⇒ m=2x = 4 = 22 ⇒ x = 2

m=¿ 2x = 32 =25⇒ x = 5

Luego se tiene:

2

5

Perímetro = 2(5 + 2)

= 20