Hidrología

55

5. Precipitación 5.1. Introducción Se considera precipitación a cualquier producto de condensación del agua atmosférica que cae sobre la superficie terrestre. Pueden distinguirse varios tipos: llovizna (0.1-0.5 mm D), lluvia (D> 0.5 mm), escarcha, nieve, bolitas de nieve, granizo y bolas de hielo. Atendiendo al mecanismo causante del enfriamiento de las masas de aire y por tanto de la condensación, se pueden distinguir varios tipos de precipitación: Ciclónica; cuando se produce un levantamiento del aire que converge a una zona de bajas presiones. Puede ser a su vez frontal o no frontal. Se habla de p. frontal cuando las masas de aire cálido y húmedo son levantadas por encima de una masa de aire frío (p. de frente cálido y p. de frente frío) . Se habla de p. no frontal cuando en el ascenso del aire cálido hay implicadas zonas de bajas presiones pero no un sistema de frentes. No ciclónica; cuando el levantamiento del aire no se produce como consecuencia de una zona de bajas presiones. Dentro de este tipo podemos distinguir la precipitación convectiva, cuando el ascenso se produce por la menor densidad de una masa de aire en un proceso de calentamiento, y p. Orográfica cuando este ascenso se produce forzado por la presencia de la elevación de la topografía. 5.2. Registro de la precipitación Se han desarrollado gran cantidad de instrumentos para la medición de la precipitación, la mayoría se refieren a la cantidad de ésta pero también pueden encontrarse aparatos para la medida del diámetro de gotas y de identificación del inicio y fin de la misma. Todas las formas de precipitación se miden sobre la base de una columna vertical de agua que se acumularía sobre el terreno si permaneciese en ese lugar (L). Se denomina Pluviómetro a cualquier recipiente abierto, de lados verticales, utilizado para medir la precipitación. Para que las medidas sean comparables dichos pluviómetros deberán ser iguales y estar expuestos de forma similar. Pluviógrafo es un aparato que permite registrar, sobre una escala gráfica la cantidad de precipitación registrada en función de una escala temporal. Los Pluviógrafos más extendidos son los de cubeta basculante, balanza y flotador. Estos aparatos pueden ser totalmente automáticos par lo cual precisan una serie de precauciones, sobre todo para evitar el problema que conlleva la eventual congelación del agua recogida en el pluviógrafo. Intensidad de lluvia i, es la cantidad la misma caída en la unidad de tiempo (LT-1). Se denomina Hietograma a la representación de la precipitación en función del tiempo.

Hidrología

56

Puede ser de valores acumulados o de intensidades de lluvia. Si la función de precipitación acumulada en el tiempo se denomina Pp(t), entonces

i(t)=dPp/dt. (5-1) Los datos de precipitación deben examinarse antes de su utilización para comprobar la presencia o no de errores de medida sistemáticos o puntuales para lo cual se suele utilizar el análisis de doble masa con respecto a las series de otras estaciones cercanas. Ejemplo 5-1 En la tabla adjunta se muestra la precipitación anual (mm) de la estación X junto con el promedio de las 15 estaciones más próximas. Determínese: la coherencia de la serie, año en que se produce algún cambio, precipitación promedio en los 34 años sin corregir los datos y precipitación promedio con los datos corregidos.

año px pp año px pp año px pp 38 335.0 347.5 50 272.5 230.0 62 345.0 295.0 39 267.5 247.5 51 347.5 272.5 63 250.0 230.0 40 272.5 252.5 52 352.5 330.0 64 262.5 255.0 41 300.0 342.5 53 260.0 250.0 65 417.5 350.0 42 332.5 327.5 54 197.5 220.0 66 232.5 210.0 43 365.0 330.0 55 332.5 240.0 67 460.0 287.5 44 225.0 272.5 56 407.5 255.0 68 352.5 227.5 45 295.0 285.0 57 567.5 397.5 69 495.0 325.0 46 242.5 255.0 58 347.5 272.5 70 427.5 327.5 47 385.0 347.5 59 367.5 255.0 71 400.0 267.5 48 312.5 325.0 60 350.5 257.5 49 287.5 327.5 61 285.0 255.0

En primer lugar se determinan los valores acumulados de las precipitaciones y de los promedios, para representarlos

a Ppacx Ppacm a Ppacx Ppacm a Ppacx Ppacm 38 335.0 347.5 50 3892.5 3890.0 62 8053.0 7190.0 39 602.5 595.0 51 4240.0 4162.5 63 8303.0 7420.0 40 875.0 847.5 52 4592.5 4492.5 64 8565.5 7675.0 41 1175.0 1190.0 53 4852.5 4742.5 65 8983.0 8025.0 42 1507.5 1517.5 54 5050.0 4962.5 66 9215.5 8235.0 43 1872.5 1847.5 55 5382.5 5202.5 67 9675.5 8522.5 44 2097.5 2120.0 56 5790.0 5457.5 68 10028.0 8750.0 45 2392.5 2405.0 57 6357.5 5855.0 69 10523.0 9075.0 46 2635.0 2660.0 58 6705.0 6127.5 70 10950.5 9402.5 47 3020.0 3007.5 59 7072.5 6382.5 71 11350.5 9670.0 48 3332.5 3332.5 60 7423.0 6640.0 49 3620.0 3660.0 61 7708.0 6895.0

Para comprobar la consistencia de las series se representa el valor acumulado en la estación problema frente al valor acumulado promedio y se traza también la

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57

tendencia de los primeros datos, para comprobar si la serie problema se separa en algún momento de los promedios.

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

pp ac (mm)

pp

ac

(mm

)

Según la figura las series no son consistentes y la discrepancia entre ambas puede apreciarse a partir del valor correspondiente al año 1956. El valor promedio sin ajuste resulta ser ppacx=11350.5 / 34 = 333.83 Para corregir el valor en función de los promedios disponibles se lleva la serie de datos de la estación X hasta la correspondiente a la serie promedio y se lee el valor resultante en ordenadas, resultando ppacx=10286 mm y ppx=302.55 mm También es frecuente que falten algunos datos en una estación y no en otras o bien estemos interesados en obtener la precipitación para un punto en el que no hay registro. En cualquiera de estos casos se utilizan, para completar la serie o para obtener la aproximación deseada, métodos de cálculo de promedios ponderados, generalmente en función de la distancia e historia de las estaciones implicadas entre sí. Ejemplo 5-2 La estación pluviométrica X estuvo fuera de servicio durante una parte del mes, en la cual se produjo una tormenta. Los totales registrados en tres estaciones circundantes, A, B, C, se recogieron 107, 89 y 122 mm respectivamente. Sabiendo que las precipitaciones medias anuales fueron 978, 1120, 935 y 1200 mm para las estaciones X, A, B y C, estimar la precipitación para la estación X en esas condiciones. Si las distancias respectivas entre las estaciones A, B, y C con la estación X son 7, 12 y 20 km. rehacer la estimación. El problema admite varios grados de precisión en su resolución, en función de los datos que se conozcan sobre las diferentes estaciones. En el caso de que sean desconocidas las distancias se puede plantear que la precipitación faltante será proporcional a la precipitación registrada en las demás estaciones y a la precipitación anual en todas, de modo que estableciendo que se conserva la relación entre los totales anuales y los episodios puntuales se puede escribir:

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58

P PP

PP

P

PP

P

Px a

a

bx

b

cx

c

x= + +

1

3=95.31 mm

En el caso de que sean conocidas únicamente las distancias entre las estaciones podemos admitir que la precipitación faltante será proporcional al inverso de las distancias al cuadrado, es decir que se dará más importancia a los datos más cercanos.

En la práctica esto será : ∑=

=n

ipiipx PcP

1

con ci = α/ ri2

teniendo en cuenta que para una media ponderada, de este tipo, la suma de los ci debe ser la unidad, podemos establecer la igualdad:

cd di

i ii ii

= = == = =∑ ∑ ∑

1

3

21

3

21

3

11α

α

por lo tanto α= 33.498, y entonces c1 =0.6836, c2 =0.2326, c3= 0.0837 y la precipitación buscada será Ppx = c1 Pp1 + c2 Pp2 + c3 Pp3 =103.29 mm Si disponemos de datos de precipitación anual y distancias entre las estaciones podemos utilizar los dos criterios determinando coeficientes que sean proporcionales a la relación entre las precipitaciones anuales e inversamente proporcionales a las

distancias al cuadrado, de modo que: cP

d Pi

x

i a

=α

2 ,y además los ci deben sumar la

unidad, como en el caso anterior, y por tanto 12

= ∑αP

d Px

i i

; que en este caso resulta

α=36.87, y entonces c1 = 0.6570, c2 = 0.2678, c3 = 0.0751; que operando, permite obtener Px = 103.29 mm 5.3. Precipitación promedio En muchos tipos de problemas se precisa conocer la precipitación promedio sobre un área. El procedimiento más sencillo para obtener el dato sería efectuar una media aritmética de los valores puntuales disponibles. Un segundo método, algo más refinado, conocido como método de Thiessen, propone determinar unas áreas alrededor de cada estación considerada, en las que se supone de aplicación la precipitación puntual medida en la misma. El promedio en este caso sería ponderado mediante las superficies parciales de cada polígono formado. Este método presupone una variación lineal de la precipitación entre cada dos estaciones. Un tercer método, más preciso, consiste en determinar las líneas de igual precipitación (isoyetas) en el área considerada, utilizando para ello los datos puntuales, más tarde se evalúa la superficie de cada isoyeta y este valor sirve para ponderar la precipitación asignada a cada franja de terreno.

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59

Algunos otros problemas de diseño hidrológico exigen conocer la evolución de los eventos relacionándolos con la superficie que ocupan y su duración, se ha generalizado así el denominado análisis de Area-Duración-Profundidad. Consiste en determinar para cada intervalo de tiempo definido, el mapa de isoyetas, seleccionando después la precipitación máxima caída en áreas de diferentes tamaños, crecientes hasta acabar con el área completa. Se puede representar, para cada duración, la relación entre precipitación media y área a la que afecta. Con esta información se puede seleccionar la precipitación máxima promedio que descarga en un área determinada para eventos de duración concreta. Ejemplo 5-3 La forma de una cuenca puede aproximarse por un polígono cuyos vértices se pueden definir mediante las coordenadas (5,5), (-5,5), (-5,-5), (0,-10), (5,-5), con las distancias en Km. Se han medido cantidades de precipitación de una tormenta en 9 pluviómetros. Determinar: la precipitación media según los métodos que conozca y las curvas ADP si se supone que la precipitación ha sido de duración 24 horas y se distribuye según el hietograma normalizado de la tabla adjunta. Determinar la precipitación media de un suceso de duración 15 horas que cubre un área de 100 km2.

nº (x,y) Pp(mm). nº (x,y) Pp(mm). nº (x,y) Pp(mm). 1 (7,4) 62 4 (-10,1) 39 7 (2,-3) 60 2 (3,4) 59 5 (-3,-3) 105 8 (2,-10) 41 3 (-2,5) 41 6 (-7,-7) 98 9 (0,0) 81

t* 0 0.25 0.50 0.75 1.00 pp

* 0 0.40 0.70 0.90 1.00 La precipitación media puede estimarse mediante una media aritmética, Pp= 65.11 mm. Un procedimiento mejor es el de los polígonos de Thiessen, que consiste en determinar el área de influencia alrededor de cada pluviómetro mediante polígonos que llegan hasta el punto medio de las líneas que unen los diferentes pluviómetros entre sí. Conviene comenzar por el pluviómetro situado en el centro. Midiendo las superficies correspondientes a cada polígono se puede ponderar la precipitación registrada por cada pluviómetro.

p. nº 1 2 3 4 5 ωi(u

2) 0.000 17.375 16.100 0.000 28.990 p. nº 6 7 8 9 ωi(u

2) 0.000 30.265 10.565 22.000 El total medido es de ωT = 125.298 unidades2, y entonces la precipitación media se

podrá estimar como ps

Si

Ti

i

==

=

∑1

9

=69.758 mm

Hidrología

60

-4.00 -2.00 0.00 2.00 4.00-10.00

-8.00

-6.00

-4.00

-2.00

0.00

2.00

4.00

p1p2

p3

p4

p5

p6

p7

p8

p9

Otro método, más exacto, es el de las Isoyetas, consistente en obtener la distribución de la precipitación mediante isoyetas y determinar la superficie que queda entre cada dos de ellas, asignándole a cada superficie, así obtenida, la precipitación media entre las isoyetas en juego. Obtenidas las superficies mencionadas se aplica la misma expresión que para el método anterior.

-10.00 -8.00 -6.00 -4.00 -2.00 0.00 2.00 4.00 6.00-10.00

-8.00

-6.00

-4.00

-2.00

0.00

2.00

4.00

-4.00 -2.00 0.00 2.00 4.00-10.00

-8.00

-6.00

-4.00

-2.00

0.00

2.00

4.00

Que permite estimar las superficies entre cada dos isoyetas

isoyetas p media n.ud. ω(km2) Ppωi/ωT 40-45 42,5 111 2,626 0,892 45-50 47,5 149 3,525 1,339 50-55 52,5 539 12,753 5,356 55-60 57,5 856 20,253 9,316 60-65 62,5 1071 25,340 12,670 65-70 67,5 556 13,155 7,103 70-75 72,5 412 9,748 5,653 75-80 77,5 358 8,470 5,251 80-85 82,5 343 8,115 5,356 85-90 87,5 280 6,625 4,637 90-95 92,5 240 5,678 4,202 95-100 97,5 287 6,790 5,296 100-105 102,5 81 1,916 1,571 totales 5283 125 68,649

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61

Como se ve en la tabla la precipitación media resulta ser Pm= 68.64 mm Para la determinación de las curvas ADP será preciso calcular las superficies en las que cae más de cierta precipitación, con la ayuda de las isoyetas recién trazadas. Al mismo tiempo se calcula la situación para diferentes momentos intermedios, para lo cual se utiliza el hietograma adimensional proporcionado, considerando que la distribución de precipitación se va a conservar y que por lo tanto también lo harán los valores medios. También se representará la precipitación para diferentes duraciones del episodio en función de la superficie que cubre

ω(pp>ppi) pp media pp*0.9 pp

*0.7 pp*0.4

125,000 68,649 61,784 48,054 27,459 122,373 69,211 62,290 48,447 27,684 118,848 69,855 62,869 48,898 27,942 106,095 71,941 64,747 50,358 28,776 85,841 75,348 67,813 52,744 30,139 60,500 80,730 72,657 56,511 32,292 47,345 84,406 75,965 59,084 33,762 37,597 87,493 78,744 61,245 34,997 29,126 90,400 81,360 63,280 36,160 21,010 93,451 84,106 65,416 37,380 14,385 96,192 86,573 67,334 38,476 8,707 98,600 88,740 69,020 39,440 1,916 102,500 92,250 71,750 41,000

Curvas ADP

0

20

40

60

80

100

120

1 10 100 1000Area (km2)

Pr

med

ia (

mm

)

24

18

12

6

Para determinar la precipitación media sobre un área dada bastaría leer en las curvas de forma apropiada el valor de precipitación en función de la superficie cubierta. En este caso sería preciso realizar una interpolación entre las curvas de 18 horas y de 12 horas, para encontrar p=57 mm, como valor medio para una superficie de 100 km2.

Hidrología

62

5.4. Análisis de frecuencia Los sistemas hidrológicos se ven afectados por eventos extremos que interesan sobremanera al ingeniero proyectista y al gestor de la cuenca. Se sabe de forma intuitiva que los sucesos extremos están relacionados con su frecuencia de forma inversa; una gran tormenta se produce con menos frecuencia que una pequeña. El objetivo del análisis de frecuencia consiste en relacionar la magnitud de dichos sucesos extremos con su probabilidad de ocurrencia. Como primer supuesto se encuentra que la información hidrológico recogida es estocástica e independiente del espacio y del tiempo. Esta condición se satisface normalmente escogiendo solamente los valores extremos de un período dado, generalmente anual. Sea un evento extremo que ocurre si una variable aleatoria x≥X, donde X es un nivel determinado del suceso. Se denomina intervalo de recurrencia τ, al tiempo entre cada dos ocurrencias sucesivas del evento extremo. Se conoce como período de retorno T, al valor promedio de los sucesivos intervalos de recurrencia. La probabilidad de ocurrencia del evento extremo, P(x≥ X), puede relacionarse con el período de retorno considerando que el intervalo de recurrencia τ, es el resultado de τ-1 períodos en que no ocurre seguido por un período en que se produce el evento, que se puede cuantificar como:

P(τ)= P(1-P)τ-1 y por lo tanto el promedio buscado se puede calcular como

T= ( )P

PPE1

1)(1

1 =−= ∑∞

=

−

τ

τττ (5-2)

Para el estudio de la información hidrológica no se toman todos los datos de una serie sino que se escoge el valor máximo anual; serie anual. Otra posibilidad es seleccionar los valores mayores que uno dado, con lo cual puede que consigamos algún dato más; serie de excedencia anual. La condición de independencia se satisface menos con las series de excedencia anual que con las series anuales pero a medida que el suceso a analizar es más extremo ambas series tienden a coincidir. Acabamos de hablar del uso de series de máximos anuales para el estudio de sucesos extremos pero habitualmente se registran muchos más datos. Parece lógico que los sucesos extremos se estudien con distribuciones diferentes de las habituales en estadística (Normal, Gamma, Beta, etc.). Las distribuciones de sucesos extremos que se utilizan habitualmente se conocen como EVI, EVII y EVIII y sus distribuciones de probabilidad están relacionadas entre sí. En este tema estudiaremos sólo la función de extremos EVI (función de Gumbel), cuya distribución de probabilidad es:

( ) ( )( )( )βα −−−=≤ XXxP expexp (5-3)

Hidrología

63

con S6

πα = ,

αβ

5772,0−= x

Con estos valores, en general, ya se puede trabajar, pero para la obtención de parámetros fiables es necesario corregir los valores para tener en cuenta que, normalmente no se dispone de datos suficientes (unos 60) para realizar los ajustes pertinentes. De una parte se define la variable reducida como ( )βα −= Xy , por otra se sabe que la probabilidad asociada a la variable reducida sólo depende del número de datos y puede calcularse como

12,0

44.0

+−

=n

mP (5-4)

donde m es el número de datos que se está considerando y n es el total de datos disponibles. De acuerdo con la definición de variable reducida

+−

−−=12,0

44.0lnln

n

my (5-5)

Entonces es posible hallar los valores de los parámetros corregidos como:

Syσ

α = (5-6)

α

µβ yx −= (5-7)

Los valores correspondientes pueden calcularse en cada caso o bien obtenerse de las tablas que se proporcionan en el anexo IV. Se puede constatar que la determinación de la probabilidad de un suceso que sobrepase un nivel dado se puede calcular como

p=P(x≥ X)=1- F(X)=1/T de donde se puede deducir que

F(X)=(T-1)/T. Por otro lado, para la determinación de probabilidades relacionadas con sucesos no extremos puede utilizarse, con las debidas reservas, la función Normal.

Hidrología

64

Ejemplo 5-4 Dados los valores máximos anuales de precipitación en 24 horas, registrados en la estación del aeropuerto de Almería, determinar los parámetros de ajuste de los mismos a una distribución de Gumbel. Como aplicación calcular la precipitación umbral relacionada con un periodo de retorno de 50 años. Año 80 81 82 83 84 85 86 Pp(mm) 15.0 15.6 35.5 17.0 14.5 27.8 39.8 Año 87 88 89 90 91 92 93 Pp(mm) 52.3 56.8 94.0 28.4 20.1 50.5 58.5 Año 94 95 96 97 Pp(mm) 98.8 22.5 22.5 53.1 La función de Gumbel puede definirse como (3-2) en donde α y β son coeficientes de ajuste según las expresiones

S6

πα =

αβ

5772,0−= x

Es preciso conocer la media y la desviación típica de la población, que según los datos valen:

∑=

=

=ni

iin xx

1

1 =39.98

( )∑=

=− −=

ni

iin xx

1

2

112s

de donde s=24.92 Con estos datos los parámetros buscados son α=0.0514691 y β=28.76792. Los valores de la variable reducida se calculan mediante la expresión (5-5) y resultan

Datos m P y Datos m P y 15,0 1 0,0309 -1,2461 94,0 10 0,5276 0,4472 15,6 2 0,0861 -0,8970 28,4 11 0,5828 0,6163 32,5 3 0,1413 -0,6714 20,1 12 0,6380 0,7997 17,0 4 0,1965 -0,4869 50,5 13 0,6932 1,0038 14,5 5 0,2517 -0,3219 58,5 14 0,7483 1,2382 27,8 6 0,3068 -0,1667 98,8 15 0,8035 1,5199 39,8 7 0,3620 -0,0159 22,5 16 0,8587 1,8818 52,3 8 0,4172 0,1345 22,5 17 0,9139 2,4077 56,8 9 0,4724 0,2878 53,1 18 0,9691 3,4612

Los valores corregidos de los parámetros de la función se calculan ahora como

s

yσα = =0.047402

α

µβ yx −= = 28.2727

Hidrología

65

con lo que para el período de retorno indicado P(x<X)=1-1/T=0.98 y entonces de la

ecuación inicial se deduce que ( )( )PLnLnX −−=α

β1

=110.58 mm

5.5. Relaciones de Intensidad-duración-frecuencia Se conoce desde hace tiempo que las precipitaciones intensas son poco frecuentes y se suelen preparar expresiones que relacionan dicha intensidad con la frecuencia de ocurrencia o con su duración, mediante técnicas estadísticas. Para muchos lugares de interés existen ya relaciones de intensidad-duración-frecuencia, de las precipitaciones puntuales, expresadas matemáticamente o bien en gráficos. La intensidad puede ser instantánea o promedio del episodio considerado (mm/h), la duración usualmente vendrá expresada en horas o minutos y la frecuencia estará especificada mediante el período de retorno (años). Ejemplo 5-5Determinar la intensidad media esperada para una lluvia de duración 4 horas y 25 años de período de retorno. Realizar la misma operación para una duración de 2 horas y 100 años de período de retorno. Tomar como dato las curvas IDF adjuntas

1

10

100

1000

10 100 1000 10000t(min)

i(mm

/h)

2

5

10

25

50

100

Leyendo en la gráfica se puede concluir que i4,25 =15 mm/h, y que i2,100=35 mm/h Cuando no se dispone de estas curvas, pero se dispone de información detallada de la precipitación local, es posible desarrollarlas mediante análisis de frecuencia. En concreto se precisan las series anuales de profundidad descargada en función del tiempo (10’, 15’, 20’, 30’, 1 hora, 2 horas, 3 horas, 6 horas, 12 horas y 24 horas, para que la gráfica quede bien distribuida), aunque para estaciones con menos de 25 años de registro se puede usar la serie de excedencia anual, de la que se seleccionan los N mayores valores. En este último caso hay que corregir las precipitaciones por ciertos factores ( 0.88, 0.96, 0.99, para T=2, 5 y 10 años). El método empleado será

Hidrología

66

determinar los parámetros de una función EVI con los datos disponibles para cada duración, de modo que se pueda determinar X valor de la profundidad, para diferentes períodos de retorno (F(X)=1-1/T). Los diferentes valores obtenidos pueden representarse en gráficas intensidad vs duración desde las que se pueden obtener valores intermedios. Otra posibilidad es la de obtener una expresión general de la intensidad en función de la duración td (minutos), del período de retorno T(años) y de los coeficientes de ajuste a, b, c, f, mediante los oportunos métodos de optimación.

ft

aTi

cd

b

+= (5-8)

Como ejemplo se ofrecen los coeficientes determinados para las estaciones meteorológicas de Almería, Lanjarón, Málaga, Córdoba y Sevilla.

Observatorio a b c f Córdoba 218.36 0.1641 0.5735 0.4316 Sevilla 1999.08 0.1637 0.9896 23.7475 Málaga 699.93 0.2385 0.7330 3.3052 Almería 812.47 0.2460 0.8495 12.3976 Lanjarón 154.28 0.2356 0.5946 -0.4561

Tabla 1 Coeficientes de las curvas IDF para varias localidades de Andalucía

Ejemplo 5-6 Dados los coeficientes de las curvas IDF, para una estación de Sierra Nevada, determinar la intensidad esperada para una precipitación de : a) td=4h, T=50 años, b) td=4h, T=100 años, c) td=30´ , T= 25 años. Datos: a= 95.958, b=0.27054, c=0.50401, f=1.2405, para la intensidad en mm/h, la duración td en minutos y T en años.

La expresión general de las curvas IDF es: iaT

t f

b

dc=

+, que permite obtener:

i4h,50= 16.19 mm/h i4h,100=19.53 mm/h i30, 25=33.74 mm/h

Otra posibilidad es acudir a relaciones entre la intensidad, duración y frecuencia basadas en estudios de parametrización a escala regional. El más conocido de tales métodos es el propuesto por Témez (1987), en el que se determina la intensidad, para una duración determinada (horas), en función de la intensidad diaria i24(mm/h) para un período de retorno concreto (años) y de un índice característico de la zona, que

Hidrología

67

consiste en la relación entre la precipitación horaria i1 y diaria i24, en las condiciones definidas.

4.0

28

24

124

1.01.0dt

T

TTT

t i

iii

−

= (5-9)

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2 2

2

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

Fig. 7 Relación entre intensidad horaria y diaria en España

Ejemplo 5-7 Dados los parámetros de ajuste de una distribución de Gumbel αα = 0.047402 y ββ=28.27272 y el factor de precipitación de Témez i1/i24= 10.5, determinar las precipitaciones medias esperadas para duraciones de 10 y 30 minutos, así como 1, 2, 6 y 12 horas, con un periodo de retorno de 100 años. La expresión de Témez relaciona las precipitaciones para diferentes duraciones con la precipitación en 24 horas según la expresión (5-9), entonces basta conocer la precipitación en 24 horas para el período de retorno especificado, que de acuerdo con la expresión de Gumbel (3-2); ( ) ( )( )( )βα −−−=≤ XXxP expexp , lo que permite obtener X=125.31 mm La intensidad para esa precipitación vale i24=5.2215 mm/h, entonces aplicando la expresión (5-9) se obtiene la tabla adjunta.

t i(mm/h) 10 min 140.01 30 min 79.13 1 h 53.38 2 h 35.00 6 h 16.84 12 h 10.16

Hidrología

68

5.6. Hietogramas de diseño En numerosos métodos de diseño hidráulico de obras se precisa conocer las características de la lámina de agua que va a pasar por la obra bajo condiciones probables de manejo. Por otro lado raramente se dispone de datos relativos al comportamiento del agua en la región de interés. En estas condiciones es preciso recurrir a la simulación de los principales procesos hidrológicos. Como fase más básica de este proceso de simulación se encuentra la obtención de un hietograma que responda a los requerimientos especificados para la obra, en cuanto a período de retorno, frecuencia, etc. El método más conocido para la determinación de hietogramas de diseño mediante las curvas IDF es el del hietograma triangular. Conocida la duración y profundidad descargada se puede suponer que la distribución de la intensidad (LT-1) es triangular, de modo que, conocido el tiempo en que se produce el máximo de la misma (coeficiente de avance), se puede determinar el valor máximo (intensidad punta) y por interpolación el del resto de los valores desde el inicio hasta el final. Ejemplo 5-8 Determinar el hietograma triangular para la cuenca del ejemplo 5-6, para un período de retorno de T=50 años y duración del episodio td=2 h, si el coeficiente de avance es ra=0.3 De la expresión de las curvas IDF se obtiene que i2h,50=22.28 mm/h, luego la precipitación total descargada es de Pp=2h . 25 mm/h=44.57 mm. El hietograma tendrá forma triangular con su máximo en tp= ra . td =0.3 . 2h=0.6 h, por otro lado la precipitación total será Pp= td . imax /2 , con lo que imax=44.57 mm/h. y de este modo quedará definido cualquier punto del mismo.

0

10

20

30

40

50

0 0,5 1 1,5 2t(h)

i(m

m/h

)

Un segundo método, algo más complicado pero más preciso es el del bloque alterno. Con este método se supone que un conjunto de intensidades (LT-1) obtenidas para episodios de duración conocida, se distribuyen colocando el mayor valor en el centro de la representación y a derecha e izquierda alternativamente el resto de los valores ordenados de forma decreciente.

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La obtención de una serie de profundidades (L) o intensidades (LT-1) para diferentes duraciones de un evento se puede realizar con cualquiera de los métodos estudiados, como las curvas IDF. En la práctica se tomarán múltiplos enteros de un valor básico ∆t. Obtenidas las cantidades previstas en cada duración se pasa a suponer que todas las medidas corresponden a un solo evento y por lo tanto se puede razonar que si en los n primeros intervalos la profundidad (L) recogida fue Pn y en los n+1 intervalos primeros fue Pn+1, entonces en el intervalo n+1 ha caído Pn+1-Pn. Este razonamiento se extiende desde el primer intervalo hasta el último, obteniendo una serie de profundidades (L) o intensidades (LT-1)que conformarán el futuro hietograma de diseño. Ejemplo 5-9 Determinar el hietograma de intensidades de una precipitación de diseño, en la estación del ejemplo 5-6, de td=60 minutos y T=50 años, con ∆∆t=10´ Conocida la expresión de las curvas IDF, se determinan las intensidades medias para duraciones ∆t, 2∆t, … n∆t, hasta completar la duración del episodio completo solicitado. Se procede después a determinar la cantidad caída en cada caso, considerando que al cantidad descargada en un cierto intervalo es la diferencia entre la que se estima para el tiempo n∆t y la que se estimó para el instante (n-1) ∆t, de modo que se pueden calcular las cantidades residuales. El método de los bloques alternos propone que el intervalo con mayor cantidad descargada se coloque en el centro y los demás se distribuirán alternativamente a derecha e izquierda del mismo, hasta agotar los valores disponibles

td (min)

im (mm/h)

Pp

(mm) Res

(mm) Pp(t) (mm)

i(t) (mm/h)

10 62,389 10,398 10,398 3,288 19.728 20 47,950 15,983 5,585 4,369 26.214 30 40,706 20,353 4,369 10,398 62.389 40 36,101 24,067 3,714 5,585 33.510 50 32,827 27,356 3,288 3,714 22.288 60 30,337 30,337 2,981 2,981 17.887

010203040506070

10 20 30 40 50 60t(min)

i(mm/h)

Hidrología

70

Un paso más en la utilización de las curvas IDF para obtener un hietograma sintético lo constituye el método del hietograma de intensidad instantánea. Conocida la expresión de las curvas IDF y escogido el valor de tiempo en el que se produce el máximo, caracterizado por la relación de avance; ra, entonces

td= ta/ra=tb/(1-ra) donde ta y tb son los tiempos a partir del tiempo para la punta respectivamente a izquierda y derecha. Son pues tiempos relativos dentro del hietograma. Si la

precipitación medida P=td i , entonces derivando respecto a td se obtiene que

dP

dti t

di

dtf t f t

dd

da b= + = =( ) ( ) (5-10)

Conocidas las curvas IDF, se pueden derivar para obtener dP/dtd y entonces se obtienen las funciones buscadas

( ) ( )[ ]( )

iaT c t f

t f

bdc

dc

=− +

+

12 (5-11)

Donde se obtiene la intensidad instantánea para los extremos de un evento de duración td obtenido a partir de los valores ta y tb, relativos desde el punto de intensidad máxima Ejemplo 5-10 Dados los coeficientes de las curvas IDF ; a=95.958, b=0.27054, c=0.50401, f=1.2405, determinar el hietograma de intensidad instantánea para una lluvia de td=6 horas y T= 50 años, si la relación de avance es ra= 0.4 Si la relación de avance es ra=0.4, entonces tomaremos dos escalas de tiempo según el sentido de progresión del mismo. Como las funciones que describen el hietograma de intensidad instantánea son idénticas en su forma, bastará que determine una sola de las series y después se coloquen los valores convenientemente. La expresión de la intensidad instantánea (5-11) permite calcula la intensidad en función de los coeficientes. Para dibujar la solución se tomarán 10 intervalos de tiempo ∆t= tp/10 y en la tabla adjunta se puede seguir el cálculo realizado. Para obtener el hietograma de intensidad instantánea bastará con tomar esos valores desde el punto que marca el coeficiente de avance hacia el origen y hacia el final. Así por ejemplo para el tiempo t=1728”, como se encuentra antes del valor de punta tp=8640”, el tiempo ta que le corresponde es tp-1728=6912”, lo que quiere decir un evento de duración td=ta/ra=17280”. Este valor sustituido en la ecuación (5-11) proporciona el resultado buscado i=7.87 mm/h. Para puntos situados después del

Hidrología

71

valor de punta el razonamiento es el mismo pero en este caso se busca un valor tb=t-tp, que luego permite obtener la duración de ese evento como td=tb/(1-ra).

t(s) f(a)=f(b) t(s) f(a)=f(b) t(s) f(a)=f(b) t(s) f(a)=f(b) 0 222,91 7776 11,72 15552 8,30 23328 6,77 864 33,73 8640 11,12 16416 8,08 24192 6,65 1728 24,41 9504 10,61 17280 7,87 25056 6,54 2592 20,09 10368 10,16 18144 7,68 25920 6,43 3456 17,47 11232 9,76 19008 7,51 26784 6,32 4320 15,67 12096 9,41 19872 7,34 27648 6,22 5184 14,32 12960 9,09 20736 7,19 28512 6,13 6048 13,27 13824 8,80 21600 7,04 29376 6,03 6912 12,43 14688 8,54 22464 6,90 30240 5,95

El resto de los cálculo se pueden comprobar en la tabla siguiente

t(s) i(mm/h) t(s) i(mm/h) t(s) i(mm/h) 0 0.00 7776 21.94 15552 9.64 864 7.42 8640 65.50 16416 9.09 1728 7.87 9504 24.33 17280 8.62 2592 8.42 10368 19.09 18144 8.22 3456 9.09 11232 15.67 19008 7.87 4320 9.96 12096 13.60 19872 7.56 5184 11.12 12960 12.18 20736 7.29 6048 12.83 13824 11.12 21600 0.00 6912 15.67 14688 10.30 22464 0.00

Si representamos el hietograma quedará

0

10

20

30

40

50

60

70

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000

t(s)

i(mm/h)

En determinadas regiones pueden obtenerse hietogramas adimensionales, para precipitaciones que descarguen en su mayor parte en un determinado cuartil de su duración. Estas curvas denominadas curvas tipo Huff, se construyen con criterios probabilísticos, de modo que muestran un abanico de valores pi, que indican la probabilidad de que un evento de esa forma sea excedido por una fracción (1-pi) de los eventos posibles. En España los eventos más frecuentes son los que descargan la

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mayor parte de su precipitación en el 2º y 3º cuartil. El método para determina un hietograma de diseño con las curvas tipo Huff se reduce a seleccionar las características del mismo y multiplicar los valores de la curva adimensional por la duración prevista y por la cantidad de diseño, obtenidas con curvas IDF. Ejemplo 5-11 Dadas las curvas tipo Huff para la estación de Lanjarón para precipitaciones en el primer cuartil determinar la precipitación de diseño para T=50 años, td=2 horas y probabilidad del 50% de ocurrencia.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

t

pp

hiet 10%

hiet 50%

hiet 90%

Para las condiciones marcadas las curvas IDF indican que la intensidad media del episodio será de i2h, 50 años=25 mm/h, como la duración del episodio es de td=2 horas, la cantidad caída es de Pp=50 mm en 2 horas. De la gráfica se selecciona la curva central, correspondiente al 50% de probabilidad, que permite leer los valores de un hietograma adimensional del 50%, cuyos valores se indican en la tabla, en la que podemos leer el hietograma buscado, obtenido al multiplicar los valores adimensionales por los valores totales del episodio; td= 2 h y Pp=50 mm. Los valores obtenidos son acumulados, por lo que para obtener intensidades se deben hallar las diferencias entre los valores hallados y los correspondientes al intervalo anterior, dividiendo los resultados por ∆t=0.2 h.

t* Pp

*10% Pp

*50% Pp

*90% t(h) Pp(mm) i(mm/h)

0.0 0.000 0.000 0.000 0.0 0.000 0.000 0,1 0,244 0,141 0,077 0,2 7,085 35,425 0,2 0,411 0,347 0,215 0,4 17,358 51,366 0,3 0,583 0,487 0,324 0,6 24,379 35,106 0,4 0,749 0,573 0,415 0,8 28,692 21,563 0,5 0,872 0,652 0,508 1.0 32,631 19,697 0,6 0,937 0,744 0,605 1,2 37,240 23,045 0,7 0,961 0,835 0,702 1,4 41,791 22,750 0,8 0,976 0,907 0,797 1,6 45,372 17,906 0,9 0,989 0,968 0,896 1,8 48,433 15,307 1.0 1.000 1.000 1.000 2.0 50.000 7,830

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50%

0

10

20

30

40

50

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2

t i e m p o ( h )

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5.7. Problemas propuestos 1) La estación pluviométrica X estuvo fuera de servicio durante una parte del mes, en la cual se produjo una tormenta. Los totales registrados en tres estaciones circundantes, A, B, C, se recogieron 65, 89 y 122 mm respectivamente. Sabiendo que las precipitaciones medias anuales fueron 978, 650, 540 y 740 mm para las estaciones X, A, B y C , estimar la precipitación para la estación X en esas condiciones. Si las distancias respectivas entre las estaciones A, B, y C con la estación X son 6.4, 7.1 y 2.3 km. rehacer la estimación. Sol: a) 92 b) 90.61 c) 113.22 d) 111.83 2) En la tabla adjunta se muestra la precipitación anual (en mm) de la estación X junto con el promedio de las 15 estaciones más próximas. Determinar la coherencia de la serie. Año en que se produce algún cambio. Precipitación promedio en los 34 años sin corregir los datos. Precipitación promedio con los datos corregidos. año X prom. año X prom. año X prom. 38 335.0 347.5 50 272.5 230.0 62 306.0 295.0 39 267.5 247.5 51 347.5 272.5 63 239.5 230.0 40 272.5 252.5 52 352.5 330.0 64 262.5 255.0 41 300.0 342.5 53 260.0 250.0 65 365.0 350.0 42 332.5 327.5 54 197.5 220.0 66 220.0 210.0 43 365.0 330.0 55 332.5 240.0 67 300.0 287.5 44 225.0 272.5 56 460.0 255.0 68 240.0 227.5 45 295.0 285.0 57 413.0 397.5 69 315.0 325.0 46 242.5 255.0 58 283.0 272.5 70 325.0 327.5 47 385.0 347.5 59 265.0 255.0 71 275.0 267.5 48 312.5 325.0 60 267.0 257.5 49 287.5 327.5 61 265.5 255.0 Sol:a) en el año 56 hay un error puntual. Media sin corregir=299.51 mm, Media corregida=293.71 mm 3) La forma de una cuenca puede aproximarse por un polígono cuyos vértices se pueden definir mediante las coordenadas (5,5), (-5,5), (-5,-5), (0,-10), (5,-5), con las distancias en Km. Se han medido cantidades de precipitación de una tormenta en 9 pluviómetros. Determinar la precipitación media según los métodos que conozca. determinar las curvas ADP si se supone que la precipitación se ha distribuido según el hietograma adimensional adjunto y de duración 24 horas. Determinar la precipitación media de un suceso de duración 15 horas que cubre un área de 100 km2. nº coord. precip. nº coord. precip. nº coord. precip. 1 (7,4) 62 4 (-10,1) 105 7 (2,-3) 60 2 (3,4) 59 5 (-3,-3) 39 8 (2,-10) 41 3 (-2,5) 41 6 (-7,-7) 98 9 (0,0) 81

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t* 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 Pp

* 0.00 0.15 0.25 0.45 1.00 Sol: PP= 27 mm 4) Determinar el hietograma de diseño, de intensidades, para una precipitación de T= 100 años y duración t= 120 minutos, mediante el método del bloque alterno y conocidos los coeficientes delas curvas IDF. Datos: a= 95.958, b= 0.27054, c= 0.50401, f=1.2405 Sol: t(min) 0 20 40 60 80 100 120 i(mm/h) 0.00 16.95 22.68 57.84 29.25 19.20 15.35 5) Determinar el hietograma triangular, de intensidades, para una precipitación de T=100 años y duración t= 180 minutos conocidos los coeficientes de las curvas IDF. Datos: a= 95.958, b= 0.27054, c= 0.50401, f=1.2405, ra=0.6 Sol: t(h) 0 1.8 3 i(mm/h) 0 44.65 0 6) Determinar el hietograma de diseño, de intensidades, para una precipitación del primer cuartil, período de retorno T= 50 años y duración t= 120 minutos, mediante el método de Huff, para una probabilidad de excedencia del 10 % y conocidos los coeficientes de las curvas IDF. Datos: a= 95.958, b= 0.27054, c= 0.50401, f=1.2405 hietograma adimensional para el primer cuartil y P=10% t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 p 0 0.24 0.41 0.58 0.74 0.87 0.93 0.96 0.97 0.98 1.0 Sol: t(h) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 i(mm)/h) 0 54.54 37.23 38.34 36.93 27.41 t(h) 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 i(mm)/h) 14.37 5.40 3.37 2.97 2.24 7) Determinar el hietograma de intensidades instantáneas de diseño para una precipitación con r= 0.2, período de retorno T= 100 años y duración t= 24 horas, conocidos los coeficientes de las curvas IDF. Datos: a= 95.958, b= 0.27054, c= 0.50401, f=1.2405 Sol:

t(s) 0 6480 10800 17280 23760 30240 36720 43200 i(mm/h) 0 5.36 6.93 268.8 13.86 9.81 8.01 6.93 t(s) 49680 56160 62640 69120 75600 86400 i(mm/h) 6.20 5.65 5.23 4.89 4.55 0. 0