5. PL Análisis de sensibilidad e interpretación de la solución(1)
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5. Programación lineal: análisis de sensibilidad e interpretación de la solución
Mtra. Maribel Beltrán Castelo Métodos Cuantitativos
Métodos Cuantitativos
5. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD.
5.1 CAMBIOS EN LOS TÉRMINOS INDEPENDIENTES DE LAS
RESTRICCIONES.
5.2 CAMBIOS EN LOS COEFICIENTES DE LA FUNCIÓN OBJETIVO.
5.3 LOS COEFICIENTES DE LAS TASAS FÍSICAS DE SUSTITUCIÓN.
5.4 ADICIÓN DE UNA NUEVA VARIABLE.
PROGRAMACIÓN LINEAL
INTRODUCCION
En el tema anterior se analizó el planteamiento de un modelo
lineal (es decir, identificación de las variables de decisión, la forma de
desarrollar una función objetivo, las restricciones y las condiciones de no
negatividad), y se describió el empleó de un método gráfico para resolver
problemas de PL. También se señaló que el método gráfico se limita a la
solución de problemas con dos variables y se hizo notar que los
problemas de programación lineal con numerosas variables y/o
restricciones pueden resolvedrse utilizando un procedimiento matemático
(algoritmo) conocido como método símplex. El objetivo de este tema es
presentar paso a paso el método símplex y de algunas de las condiciones
especiales que pueden encontrarse cuando se utiliza el método simplex.
Mtra. Maribel Beltrán Castelo Investigación de Operaciones I
• Repaso Caso Agro Tech Inc.
Planteamiento del problema
1) Variables de decisión:
X1 = Toneladas del fertilizante de 5-5-10 que se fabrican
X2 = Toneladas del fertilizante de 5-10-5, que se fabrican
2) Función objetivo:
• MAXIMIZAR: Z = 18.5 X1 + 20X2
3) Restricciones:
SUJETO A: 0.05X1 + 0.05X2 1100 Nitrato
0.05X1 + 0.10X2 1800 Fosfato
0.10X1 + 0.05X2 2000 Potasio
4) Restricción de no negatividad:
X1, X2 0
Mtra. Maribel Beltrán Castelo Investigación de Operaciones I
• Repaso Caso Agro Tech Inc.
Método gráfico:
1) Encontrar cruces con los ejes de las restricciones (dando
valor cero a cada variable de cada restricción)
2) Graficar cada restricción con su respectiva dirección de
barrido ( hacia donde barre)
3) Delimitar la región factible ( de acuerdo a los barridos de las
restricciones )
4) Encontrar los puntos (coordenadas) de los vértices
5) Sustituir cada par de puntos en la función objetivo
6) Encontrar los cruces con los ejes de función objetivo(dando
valores arbitrarios a la igualación de la función objetivo para
encontrar los cruces en los ejes)
7) Graficar las rectas de isoutilidad con su respectiva dirección
de barrido ( hacia donde barre)
8) Identificar el punto óptimo y proporcionar cuanto vale la
función objetivo de este punto.
Mtra. Maribel Beltrán Castelo Investigación de Operaciones I
• Repaso: Glosario
• Base: conjunto de variables básicas que constituyen una solución
básica factible. cj: coeficiente de la j-ésima variable en la función
objetivo. Con frecuencia se le denomina contribución por unidad.
• cj - zj : contribución neta por unidad asociada con la j-ésima variable.
En la tabla refleja el cambio neto en la función objetivo de un cambio
unitario de Xj .
• Columna que entra: columna asociada con la variable que debe
introducirse en la base para mejorar la solución.
• Críterios de optimidad: condición que existe en el proceso tubular,
asociada con un problema de maximización, y en la que todos los
coeficientes del renglón (cj - zj ) son cero o negativos.
• Degeneración: condición que ocurre en (1) una tabla símplex durante
el proceso de pivoteo si se obtiene un empate al determinar la
variable que debe eliminarse de la base y (2) en la tabla final cuando
las variables básicas no son estrictamente positivas.
Mtra. Maribel Beltrán Castelo Investigación de Operaciones I
• Repaso: Glosario
• Elemento pivote: elemento que se encuentra en la intersección de la
columna que entra y el renglón que sale. Se utiliza para actualizar la
tabla en el método símplex.
• Enfoque algebraico: procedimiento iterativo que permite la sustitución
y la solución de ecuaciones simultaneas para obtener la solución
óptima de un problema de PL.
• Método símplex: procedimiento iterativo que da una solución óptima a
un problema de PL. El método emplea la lógica del enfoque
algebraico, pero utiliza una estructura tabular para ayudar en el
proceso de solución.
• Optimo alternativos: solución alternativa a un problema de PL;
puédese identificar en la tabla por la presencia de un cero en el
renglón (cj - zj ) bajo una variable no básica.
Mtra. Maribel Beltrán Castelo Investigación de Operaciones I
• Repaso: Glosario
• Renglón que sale: se refiere al renglón asociado con la variable que
debe eliminarse de la base para dar lugar a la variable que entra.
• Restricciones incosistentes: condición que ocurre en la tabla simplex
si se llega al óptimo, pero una variable artificial permanece en la base
a un nivel positivo.
• Segundo término negativo: condición que existe cuando se dan
valores negativos en el segundo término (o lado derecho) de las
restricciones asociadas con un problema de PL. Éstas deben
convertirse en valores positivos antes de aplicar el método simplex.
• Solución básica: solución en la que todas las variables no básicas se
igualan a cero cuando se despejan m variables en términos de las n-
m variables restantes. No se restringen los signos de las variables en
la solución; son aceptables valores tanto positivos como negativos.
• Solución factible básica: solución básica en la cual todos los valores
de las variables de la solución son mayores o iguales que cero.
Mtra. Maribel Beltrán Castelo Investigación de Operaciones I
• Repaso: Glosario
• Solución no acotada: condición que ocurre en la tabla simplex cuando
se detiene el método porque no existen coeficientes positivos en la
columna que entra.
• Variable artificial: variable que se utiliza en el método simplex para
ayudar a identificar una solución factible básica inicial.
• Variable básica: una de las m variables que se utilizan para resolver
un problema de PL.
• Variable no básica: una de la n-m variables que se igualan a cero al
resolver un problema de PL. zj: contribución que se pierde por unidad
para la j-ésima variable en el problema . En la tabla ésta representa la
porción del valor objetivo de la solución básica que se tiene y a la cual
se debe renunciar para fabricar una unidad de xj.
Mtra. Maribel Beltrán Castelo Investigación de Operaciones I
PROGRAMACIÓN LINEAL
• MÉTODO SÍMPLEX
– Conversión de desigualdades a igualdades:
• Variables de holgura (añadir una variable S1 cuando tengamos )
Sobrante.
6X1 + 5X2 30
6X1 + 5X2 + S1 = 30
• Variable de excedente (restar una variable S2 cuando tengamos )
Faltante
10X1 + 2X2 50
10X1 + 2X2 - S2 = 50
Mtra. Maribel Beltrán Castelo Investigación de Operaciones I
PROGRAMACIÓN LINEAL
• MÉTODO SÍMPLEX
Caso Agro Tech Inc.
S1 es la cantidad (en toneladas) de nitrato que no se usa
S2 es la cantidad (en toneladas) de fosfato que no se emplea
S3 es la cantidad (en toneladas) de Potasio que no se utiliza
– Problema de los fertilizantes.
MAX 18.5X1 + 20.0X2+ 0S1 + 0S2+ 0S3
S.T. 0.05X1 + 0.05X2 + 1S1 + 0S2 + 0S3 = 1,100
0.05X1 + 0.10X2 + 0S1+ 1S2 + 0S3 = 1,800
0.10X1 + 0.05X2 + 0S1 + 0S2+ 1S3 = 2,000
– Queremos la solución del sistema de tres ecuaciones que
maximiza la función objetivo.
Mtra. Maribel Beltrán Castelo Investigación de Operaciones I
PROGRAMACIÓN LINEAL
MÉTODO SÍMPLEX
Todas las soluciones básicas para el Caso Agro Tech Inc.
n! .
m! (n – m )!
m = # ecuaciones
n = # variables
5! / 3! ( 5-3)! = 5! / 3! ( 2!) = 10 soluciones básicas
SOLUCIÓN X1 X2 S1 S2 S3 Z
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
0
0
0
36,000
20,000
22,000
8,000
18,000
14,667
0
22,000
18,000
40,000
0
0
0
14,000
4,000
10,667
1,100
0
200
-900
-700
100
0
0
0
-167
1,800
-400
0
-2,200
0
800
900
0
500
0
2,000
900
1,100
0
-1,600
0
-200
500
0
0
$0
No-factible
$360,000
No-factible
No-factible
$370,000
No-factible
$428,000
$413,000
No-factible
Mtra. Maribel Beltrán Castelo Investigación de Operaciones I
PROGRAMACIÓN LINEAL • MÉTODO SÍMPLEX
Mtra. Maribel Beltrán Castelo Investigación de Operaciones I
X1
X2
3
2
4
5
1
10 20
10
20
30
40
30 40
8
6
7
9
10
PROGRAMACIÓN LINEAL
• MÉTODO SÍMPLEX
– Obtención de soluciones básicas
“En un sistema de “m” ecuaciones y “n” variables, con n>m, si
existe solución, ésta puede encontrarse igualando (n-m) de las
variables a cero y resolviendo el conjunto restante de “m”
ecuaciones y “m” variables”.
Mtra. Maribel Beltrán Castelo Investigación de Operaciones I
PROGRAMACIÓN LINEAL
• MÉTODO SÍMPLEX
– Obtención de soluciones básicas
• Variables no-básicas: las que se igualan a cero.
• Variables básicas: las que se determinan resolviendo el
sistema.
Ejemplo: si X1=0, X2=0, la solución básica es:
X1=0; X2=0; S1=1,100; S2=1,800; S3=2,000;
Z=0.
– ¿Cuántas soluciones básicas hay?
Mtra. Maribel Beltrán Castelo Investigación de Operaciones I
PROGRAMACIÓN LINEAL
MÉTODO SÍMPLEX
◦ Procedimiento matemático
MAX 18.5X1 + 20.0X2+ 0S1 + 0S2+ 0S3
a) Solución básica factible inicial:
X1=0; X2=0; S1=1,100; S2=1,800; S3=2,000; Z=0.
b) ¿Qué variable no básica debe convertirse en básica? “X2” contribuye más a las utilidades, ósea tiene mayor coeficiente
c) ¿Qué tan grande puede ser “X2”?
X2 1,100/0.05 = 22,000
X2 1,800/0.10 = 18,000
X2 2,000/0.05 = 40,000
¡ X2 = 18,000!
Mtra. Maribel Beltrán Castelo Investigación de Operaciones I
PROGRAMACIÓN LINEAL
• MÉTODO SÍMPLEX
– Procedimiento matemático
d) Se hace X2=18,000. La segunda solución básica
factible será:
X1=0; X2=18,000; S1=200; S2=0; S3=1,100;
Z=$360,000.
e) Etc..
– Procedimiento tabular: se elabora la tabla inicial para el
origen y se cambia de una solución básica factible a otra
hasta encontrar la óptima.
Mtra. Maribel Beltrán Castelo Investigación de Operaciones I
PROGRAMACIÓN LINEAL
• MÉTODO SÍMPLEX
– Tabla Símplex inicial (1) Caso Agro Tech Inc.
Cj
18.5
20.0
0
0
0
CONTRIBUCIÓN
POR UNIDAD
Cb
BASE
SEGUNDO
TÉRMINO
(solución)
X1
X2
S1
S2
S3
ENCABEZADOS
Y VARIABLES
0
0
0
S1
S2
S3
1100
1800
2000
0.05
0.05
0.10
0.05
0.10
0.05
1
0
0
0
1
0
0
0
1
COEFICIENTES
Zj
0
0
0
0
0
0
CONTRIBUCIÓN
QUE SE PIERDE
Cj - Zj
18.5
20.0
0
0
0
CONTRIBUCIÓN
NETA
Mtra. Maribel Beltrán Castelo Investigación de Operaciones I
Coeficientes en la función objetivo
Suma (Base x Cb) utilidad
Suma ( Cb x X1)
Suma ( Cb x X2)
Suma ( Cb x S1)
Suma ( Cb x S2)
Suma ( Cb x S3)
Intersección
• MÉTODO SÍMPLEX
– Procedimiento tabular
• Verificar el renglón Cj-Zj. Si tiene algún valor positivo la
solución no es óptima. Se escoge el mayor valor positivo y la
variable correspondiente pasa a ser básica.
X1 X2 * S1 S2 S3
cj-zj 18.5 20 0 0 0
• ¿Qué variable de la base debe retirarse? Se dividen los valores
del “segundo término” por los coeficientes positivos de la
variable “Xi” seleccionada en el paso anterior. El menor
resultado indica qué variable deja de ser básica.
S1 = 1,100/ 0.05 = 22,00
S2 = 1,800/ 0.10 = 18,000 * menor valor
S3 = 2,000/ 0.05 = 40,000
• Realizar el pivoteo: “pivote es el elemento que se encuentra
en la intersección de la columna de la variable que entra y el
renglón de la variable que sale”. = .10
Se divide entonces el renglón que sale entre el pivote. El
renglón resultante se denomina reemplazante.
1,800/ 0.10 = 18,000 0.05/0.10 = .5 0.10/0.10 = 1
Mtra. Maribel Beltrán Castelo Investigación de Operaciones I
PROGRAMACIÓN LINEAL
• MÉTODO SÍMPLEX
– Procedimiento tabular
• Multiplicar el elemento intersección en el renglón antiguo por los
elementos correspondientes en el renglón reemplazante y restar el
resultado del renglón antiguo. “Elemento intersección es aquél que
se encuentra en la intersección de la columna de la variable que
entra y el renglón que se está considerando”.
(ANTIGUO)-(INTERSECCIÓN)(REEMPLAZANTE)=NUEVO
Renglón 1 Renglón 3
A =1,100 – (0.05) (18,000) = 200 A =2,000 – (0.05) (18,000) = 1100
B= 0.05 – (0.05) (0.5) =0.025 B= 0.10 – (0.05) (0.5)
=0.075
C= 0.05 – (0.05) (1) = 0 C= 0.05 – (0.05) (1) = 0
D= 1 – (0.05) (0) = 1 D= 0 – (0.05) (0) = 0
E= 0 – (0.05) (10) =-0.5 E= 0 – (0.05) (10) =-.5
F= 0 – (0.05) (0) =0 F= 1 – (0.05) (0) =1
• Actualizar los coeficientes de CB.
• Actualizar el renglón Zj.
• Actualizar el renglón Cj-Zj.
• Repetir el procedimiento a partir del paso #2. Mtra. Maribel Beltrán Castelo Investigación de Operaciones I
PROGRAMACIÓN LINEAL
• MÉTODO SÍMPLEX
– Tabla Símplex (2) Caso Agro Tech Inc.
Cj
18.5
20.0
0
0
0
CONTRIBUCIÓN
POR UNIDAD
Cb
BASE
SEGUNDO
TÉRMINO
(solución)
X1
X2
S1
S2
S3
ENCABEZADOS
Y VARIABLES
0
20.0
0
S1
X2
S3
200
18,000
1,100
0.025
0.5
0.075
0
1
0
1
0
0
-0.5
10
-0.5
0
0
1
COEFICIENTES
Zj
360,000
10
20
0
200
0
CONTRIBUCIÓN
QUE SE PIERDE
Cj - Zj
8.5
0
0
-200
0
CONTRIBUCIÓN
NETA
Mtra. Maribel Beltrán Castelo Investigación de Operaciones I
PROGRAMACIÓN LINEAL
• MÉTODO SÍMPLEX
– Tabla Símplex óptima Caso Agro Tech Inc.
Es la solución óptima: Todos los valores del renglón cj- zj son
cero o negativos.
Cj
18.5
20.0
0
0
0
CONTRIBUCIÓN
POR UNIDAD
Cb
BASE
SEGUNDO
TÉRMINO
(solución)
X1
X2
S1
S2
S3
ENCABEZADOS
Y VARIABLES
18.5
20.0
0
X1
X2
S3
8000
14000
500
1
0
0
0
1
0
40
-20
-3
-20
20
1
0
0
1
COEFICIENTES
Zj
428000
18.5
20.0
340
30
0
CONTRIBUCIÓN
QUE SE PIERDE
Cj - Zj
0
0
-340
-30
0
CONTRIBUCIÓN
NETA
Mtra. Maribel Beltrán Castelo Investigación de Operaciones I
PROGRAMACIÓN LINEAL
• MÉTODO SÍMPLEX
Para el caso de minimización solo existen dos
consideraciones:
1. Que entre variables a la base con números más
negativos.
2. La Solución óptima serán cuando existan en cj-zj
números ceros o positivos.
Mtra. Maribel Beltrán Castelo Investigación de Operaciones I
PROGRAMACIÓN LINEAL
• MÉTODO SÍMPLEX
Variaciones en el método simplex:
*Otra manera de proceder para solucionar un problema
de minimización por el método símplex es cambiar solo
la función objetivo por Maximización multiplicando esta
por (-1).
*Cuando los segundos términos son negativos: (Se
tienen que cambiar los signos de la restricción y los
signos de la desigualdad.
2x1 -4x2 = -8 -2x1 + 4x2 = 8
3x1 -5x2 ≤ -2 -3x1 + 5x2 ≥ 2
2x1 -9x2 ≥ -7 -2x1 + 9x2 ≤ 7
–
Mtra. Maribel Beltrán Castelo Investigación de Operaciones I
PROGRAMACIÓN LINEAL
• MÉTODO SÍMPLEX
Variaciones en el método simplex:
* Variable artificiales: Estas variables se utilizan en el método simplex sólo
como auxiliares para identificar una solución factible básica inicial para el
problema. Estas variables son necesarias cuando un problema contiene
restricciones de mayor que o igual a (≥) y de igualdad (=). Las variables
artificiales se utilizan para completar la matriz identidad, y de esta manera
permitir una solución inicial.
Max Z= -30x1 – 10x2 + 0s1 +s2
sujeto a: 2x1 + 4x2 + s1+ 0s2 = 80 ( X1 =0, X2 =0, S1 =80)
x1 + x2 + 0s1 + 0s2 = 25 (0 = 25, NO ARRANCA)
8X1 + 6X2 + 0S1- 1S2 =120 ( NO TIEN QUE SE NEGATIVO)
x1,x2,s1,s2 ≥ 0
–
Mtra. Maribel Beltrán Castelo Investigación de Operaciones I
PROGRAMACIÓN LINEAL
• MÉTODO SÍMPLEX
Variaciones en el método simplex:
* Variable artificiales: Para asegurar que estas variables no tengas valores
al final de tabla, sus coeficientes en la función objetivo son negativos y son
10 veces mayor coeficiente que aparece en la función objetivo.
Para nuestro caso el máximo es 30, multiplicado por 10 son -300
Max Z= -30x1 – 10x2 + 0s1 +s2 -300A1 – 300A2
sujeto a: 2x1 + 4x2 + s1+ 0s2 + 0A1 + 0A2 = 80
x1 + x2 + 0s1 + 0s2 + 1A1 + 0A2 = 25
8X1 + 6X2 + 0S1- 1S2 + 0A1 + 1A2 =120
x1,x2,s1,s2,A1,A2 ≥ 0
Mtra. Maribel Beltrán Castelo Investigación de Operaciones I
PROGRAMACIÓN LINEAL
• VARIACIONES DEL SÍMPLEX – VARIABLES ARTIFICIALES
TABLA SIMPLEX INICIAL
Cj
-30
-10
0
0
-300
-300
Cb
BASE
SEGUNDO
TÉRMINO
(solución)
X1
X2
S1
S2
A1
A2
0
-300
-300
S1
A1
A2
80
25
120
2
1
8
4
1
6
1
0
0
0
0
-1
0
1
0
0
0
1
Zj
-43,500
-2,700
-2,100
0
300
-300
-300
Cj - Zj
2,670
2,090
0
-300
0
0
Mtra. Maribel Beltrán Castelo Investigación de Operaciones I
PROGRAMACIÓN LINEAL
Ejemplo de la Agrotech:
MAXIMIZAR: Z = 18.5 X1 + 20X2
SUJETO A: 0.05X1 + 0.05X2 1100 Nitrato
0.05X1 + 0.10X2 1800 Fosfato
0.10X1 + 0.05X2 2000 Potasio
END
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 428000.0
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 8000.000000 .000000
X2 14000.000000 .000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) .000000 340.000000
3) .000000 30.000000
4) 500.000000 .000000
NO. ITERATIONS= 2
Mtra. Maribel Beltrán Castelo Investigación de Operaciones I
PROGRAMACIÓN LINEAL
Continuación…3. MÉTODO SÍMPLEX
Interpretación de LINDO
Problema de la Agrotech:
* Se divide en dos partes:
1) Solución
2) Análisis de sensibilidad
Mtra. Maribel Beltrán Castelo Investigación de Operaciones I
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 428000.0
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 8000.000000 .000000
X2 14000.000000 .000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) .000000 340.000000
3) .000000 30.000000
4) 500.000000 .000000
NO. ITERATIONS= 2
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 18.500000 1.500000 8.500000 X2 20.000000 17.000000 1.500000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 1100.000000 166.666700 200.000000 3 1800.000000 400.000000 500.000000 4 2000.000000 INFINITY 500.000000
MÉTODO SÍMPLEX
Interpretación de LINDO
Problema de la Agrotech:
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 428000.0
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 8000.000000 .000000
X2 14000.000000 .000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) .000000 340.000000
3) .000000 30.000000
4) 500.000000 .000000
NO. ITERATIONS= 2
Mtra. Maribel Beltrán Castelo Investigación de Operaciones I
PROGRAMACIÓN LINEAL
1. Por cada unidad que se le de a una variable que
tenga valor 0, se producirá un daño. Por algo Lindo no
le da valores a algunas variables porque no conviene
producirlo.
2. Cuando las variables tienen valor 0: en la
columna de ¨reduced cost¨ tienen un valor.
Puede ser daño o beneficio. Si se está
maximizando y es positivo el beneficio aumenta y si es
negativo el daño disminuye. Si se está
minimizando y es positivo el beneficio disminuye si es
negativo el daño aumenta. Todo repercute en la
función objetivo
3.Sobrante, porque se agregó una variable de holgura
• MÉTODO SÍMPLEX
Interpretación de LINDO
*Existen problemas standard: Cuando tienen en Zj y en Cj – Zj los
mismos valores ej. MAX 2X1 + 4X2
SUBJECT TO
2) 4X1 + 3X2 ≤ 400
3) 5X1 + 10X3 ≤ 100
* Existen problemas no standard:
MAX 3X1 + 2X2 - 7X3
SUBJECT TO
2) X1 - X2 >= 0
3) X1 + 4X3 <= 5
4) 12X2 - 8X3 >= 20
END
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 25.00000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 5.000000 .000000
X2 5.000000 .000000
X3 .000000 27.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) .000000 -2.000000
3) .000000 5.000000
4) 40.000000 .000000
NO. ITERATIONS= 3 Mtra. Maribel Beltrán Castelo Investigación de Operaciones I
PROGRAMACIÓN LINEAL
• MÉTODO SÍMPLEX
Interpretación de LINDO
Corrida ejemplo #1:
MAX 3X1 + 2X2 - 7X3
SUBJECT TO
2) X1 - X2 >= 0
3) X1 + 4X3 <= 5
4) 12X2 - 8X3 >= 20
END
Si el lado derecho de la restricción aumenta una unidad:
El valor de la función objetivo disminuirá lo que tenga esa restricción en el
¨dual prices¨ en este caso 2.
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 25.00000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 5.000000 .000000
X2 5.000000 .000000
X3 .000000 27.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) .000000 -2.000000
3) .000000 5.000000
4) 40.000000 .000000
NO. ITERATIONS= 3
Mtra. Maribel Beltrán Castelo Investigación de Operaciones I
PROGRAMACIÓN LINEAL
MÉTODO SÍMPLEX
Interpretación de LINDO
Corrida ejemplo #2:
MAX 3X1 + 2X2 - 7X3
SUBJECT TO
2) X1 - X2 >= 1
3) X1 + 4X3 <= 5
4) 12X2 - 8X3 >= 20
END
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 23.00000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 5.000000 .000000
X2 4.000000 .000000
X3 .000000 27.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) .000000 -2.000000
3) .000000 5.000000
4) 28.000000 .000000
NO. ITERATIONS= 3
Mtra. Maribel Beltrán Castelo Investigación de Operaciones I
PROGRAMACIÓN LINEAL
MÉTODO SÍMPLEX
Interpretación de LINDO
Corrida ejemplo #3:
MIN 3X1 + 2X2 - 7X3
SUBJECT TO
2) X1 - X2 >= 0
3) X1 + 4X3 <= 5
4) 12X2 - 8X3 >= 20
END
Si el lado derecho de la restricción aumenta una unidad,
como es minimización:
El valor de la función objetivo aumentará lo que tenga esa restricción en
el ¨dual prices¨ en este caso 3.785714
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 5.714286
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 2.142857 .000000
X2 2.142857 .000000
X3 .714286 .000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) .000000 -3.785714
3) .000000 .785714
4) .000000 -.482143
NO. ITERATIONS= 3
Mtra. Maribel Beltrán Castelo Investigación de Operaciones I
PROGRAMACIÓN LINEAL
MÉTODO SÍMPLEX
Interpretación de LINDO
Corrida ejemplo #4:
MIN 3X1 + 2X2 - 7X3
SUBJECT TO
2) X1 - X2 >= 1
3) X1 + 4X3 <= 5
4) 12X2 - 8X3 >= 20
END
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 9.500000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 3.000000 .000000
X2 2.000000 .000000
X3 .500000 .000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) .000000 -3.785714
3) .000000 .785714
4) .000000 -.482143
NO. ITERATIONS= 3
Mtra. Maribel Beltrán Castelo Investigación de Operaciones I
PROGRAMACIÓN LINEAL
• PROBLEMAS ESPECIALES
– PROBLEMA NO ACOTADO
MAX X1 + X2
SUBJECT TO
2) - X1 + X2 <= 2
3) X1 - X2 <= 2
END
UNBOUNDED SOLUTION AT STEP 1 REDUCED COST= -2.00000
UNBOUNDED VARIABLES ARE:
X2
X1
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) .9999990E+08
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 99999900.000000 .000000
X2 99999900.000000 3.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 4.000000 .000000
3) .000000 1.000000
Para estos problemas falta una restricción o se olvidaron de recursos importantes a considerar.
El valor de la función objetivo es infinita. Lindo manda una señal de UNBOUNDED SOLUTION .
Mtra. Maribel Beltrán Castelo Investigación de Operaciones I
PROGRAMACIÓN LINEAL
• PROBLEMAS ESPECIALES – PROBLEMA INCONSISTENTE
MAX X1 + X2
SUBJECT TO
2) X1 + X2 >= 2
3) X1 + X2 <= 1
END
NO FEASIBLE SOLUTION AT STEP 1
SUM OF INFEASIBILITIES= 1.00000
VIOLATED ROWS HAVE NEGATIVE SLACK,
OR (EQUALITY ROWS) NONZERO SLACKS.
ROWS CONTRIBUTING TO INFEASIBILITY
HAVE NONZERO DUAL PRICE.
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 1.000000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 1.000000 .000000
X2 .000000 .000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) -1.000000 -1.000000
3) .000000 1.000000
El problema no tiene región factible . Las restricciones son incompatibles. Lindo manda un el siguiente mensage: NO
FEASIBLE SOLUTION
Mtra. Maribel Beltrán Castelo Investigación de Operaciones I
PROGRAMACIÓN LINEAL
• PROBLEMAS ESPECIALES – DEGENERACIÓN
MIN X1 + 3X2
SUBJECT TO
2) X1 + X2 >= 1
3) 2X1 + 3X2 >= 2
END
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 1.000000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 1.000000 .000000
X2 .000000 2.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) .000000 -1.000000
3) .000000 .000000
Cuando una variable de la base tenga cero, es un problema degenerado.
Mtra. Maribel Beltrán Castelo Investigación de Operaciones I
PROGRAMACIÓN LINEAL
• PROBLEMAS ESPECIALES
– DEGENERACIÓN
Cj
-1
-3
0
0
-100
-100
CONTRIBUCIÓN
POR UNIDAD
Cb
BASE
SEGUNDO
TÉRMINO
(solución)
X1
X2
S1
S2
A1
A2
ENCABEZADOS
Y VARIABLES
-1
0
X1
S2
1
0
1
0
1
-1
-1
-2
0
1
1
2
0
-1
COEFICIENTES
Zj
-1
-1
-1
1
0
-1
0
CONTRIBUCIÓN
QUE SE PIERDE
Cj - Zj
0
-2
-1
0
-99
-100
CONTRIBUCIÓN
NETA
Mtra. Maribel Beltrán Castelo Investigación de Operaciones I
PROGRAMACIÓN LINEAL
• PROBLEMAS ESPECIALES – PROBLEMAS CON SOLUCIONES MÚLTIPLES
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 2650.000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 1400.000000 .000000
X2 500.000000 .000000
X3 .000000 .000000
X4 200.000000 .000000
X5 550.000000 .000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) .000000 -1.000000
3) .000000 -.500000
4) .000000 -.500000
5) .000000 -.500000
Se puede obtener muchas soluciones con la misma función objetivo, ya que toma
diferentes valores las variables óptimas y aun así la función objetivo mantiene su valor y
tiene ojo de serpiente.
Mtra. Maribel Beltrán Castelo Investigación de Operaciones I
PROGRAMACIÓN LINEAL
• ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD
– Preguntas típicas:
1. Cambio en la función objetivo del coeficiente de una variable no
básica.
2. Cambio en la función objetivo del coeficiente de una variable
básica.
3. Cambio en el nivel de un recurso (lado derecho).
4. Cambio obligado en el valor de una variable no básica.
5. Restricción adicional.
Mtra. Maribel Beltrán Castelo Investigación de Operaciones I
PROGRAMACIÓN LINEAL
• ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD
– Agrotech modificado: planteamiento
MAX 18.5X1 + 20.0X2 + 14.5X3
ST 0.05X1 + 0.05X2 + 0.05X3 <= 1,100
0.05X1 + 0.10X2 + 0.05X3 <= 1,800
0.10X1 + 0.05X2 + 0.05X3 <= 2,000
END
Mtra. Maribel Beltrán Castelo Investigación de Operaciones I
PROGRAMACIÓN LINEAL
• ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD
– Agrotech modificado: tabla inicial
Cj
18.5
20.0
14.5
0
0
0
CONTRIBUCIÓN
POR UNIDAD
Cb
BASE
SEGUNDO
TÉRMINO
(solución)
X1
X2
X3
S1
S2
S3
ENCABEZADOS
Y VARIABLES
0
0
0
S1
S2
S3
1100
1800
2000
0.05
0.05
0.10
0.05
0.10
0.05
0.05
0.05
0.05
1
0
0
0
1
0
0
0
1
COEFICIENTES
Zj
0
0
0
0
0
0
0
CONTRIBUCIÓN
QUE SE PIERDE
Cj - Zj
18.5
20
14.5
0
0
0
CONTRIBUCIÓN
NETA
Mtra. Maribel Beltrán Castelo Investigación de Operaciones I
PROGRAMACIÓN LINEAL
• ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD
– Agrotech modificado: tabla óptima
Cj
18.5
20.0
14.5
0
0
0
CONTRIBUCIÓN
POR UNIDAD
Cb
BASE
SEGUNDO
TÉRMINO
(solución)
X1
X2
X3
S1
S2
S3
ENCABEZADOS
Y VARIABLES
18.5
20.0
0
X1
X2
S3
8000
14000
500
1
0
0
0
1
0
1
0
-0.05
40
-20
-3
-20
20
1
0
0
1
COEFICIENTES
Zj
428000
18.5
20.0
18.5
340
30
0
CONTRIBUCIÓN
QUE SE PIERDE
Cj - Zj
0
0
-4.0
-340
-30
0
CONTRIBUCIÓN
NETA
Mtra. Maribel Beltrán Castelo Investigación de Operaciones I
PROGRAMACIÓN LINEAL
• ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD
– Corrida de LINDO Agrotech modificado
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 428000.0
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 8000.000000 .000000
X2 14000.000000 .000000
X3 .000000 4.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) .000000 340.000000
3) .000000 30.000000
4) 500.000000 .000000
NO. ITERATIONS= 2
Mtra. Maribel Beltrán Castelo Investigación de Operaciones I
PROGRAMACIÓN LINEAL
• ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD
– Corrida de LINDO de Agrotech modificado
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
COEF INCREASE DECREASE
X1 18.500000 1.500000 4.000000
X2 20.000000 17.000000 1.500000
X3 14.500000 4.000000 INFINITY
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE
2 1100.000000 166.666700 200.000000
3 1800.000000 400.000000 500.000000
4 2000.000000 INFINITY 500.000000
Mtra. Maribel Beltrán Castelo Investigación de Operaciones I
PROGRAMACIÓN LINEAL
• ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD
1. Cambio en el coeficiente de una variable no-básica
Cj
18.5
20.0
14.5+3
0
0
0
CONTRIBUCIÓN
POR UNIDAD
Cb
BASE
SEGUNDO
TÉRMINO
(solución)
X1
X2
X3
S1
S2
S3
ENCABEZADOS
Y VARIABLES
18.5
20.0
0
X1
X2
S3
8000
14000
500
1
0
0
0
1
0
1
0
-0.05
40
-20
-3
-20
20
1
0
0
1
COEFICIENTES
Zj
428000
18.5
20.0
18.5
340
30
0
CONTRIBUCIÓN
QUE SE PIERDE
Cj - Zj
0
0
3-4.0
-340
-30
0
CONTRIBUCIÓN
NETA
3 <= 4, no cambia la base; 3 > 4, hay que volver a iterar
Mtra. Maribel Beltrán Castelo Investigación de Operaciones I
PROGRAMACIÓN LINEAL
• ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD
1. Cambio en el coeficiente de una variable no-básica
¿Qué pasa si el coeficiente de X3 es 16? (cumple el rango)
X3 = 16 -14.5 = 1.5 1.5 ≤ 4 INFINIT≤ x3 ≤ 4.0
Base: No cambia
Solución: No cambia
Función objetivo: No cambia, Porque la tabla sigue siendo óptima.
¿Qué pasa si el coeficiente de X3 es 22? (no cumple el rango)
X3 = 22 -14.5 = 7.5 7.5 ≤ 4
Base: Cambia
Solución: Cambia
Función objetivo: Cambia, Porque tenemos que volver a iterar.
Mtra. Maribel Beltrán Castelo Investigación de Operaciones I
PROGRAMACIÓN LINEAL
• ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD
2. Cambio en el coeficiente de una variable básica
Cj
18.5+1
20.0
14.5
0
0
0
Cb
BASE
SEGUNDO
TÉRMINO
(solución)
X1
X2
X3
S1
S2
S3
18.5+1
20.0
0
X1
X2
S3
8000
14000
500
1
0
0
0
1
0
1
0
-0.05
40
-20
-3
-20
20
1
0
0
1
Zj
428000+
80001
18.5+1
20.0
18.5+1
340+401
30-201
0
Cj - Zj
0
0
-4.0-1
-340-401
-30+201
0
-4<=1<=1.5, no cambia la base; 1< -4 ó 1>1.5, hay que volver a iterar
Mtra. Maribel Beltrán Castelo Investigación de Operaciones I
PROGRAMACIÓN LINEAL
• ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD
2. Cambio en el coeficiente de una variable básica
¿Qué pasa si el coeficiente de X1 es 15.5? (cumple el rango)
1 = 15.5 -18.5 = -3 -3 esta dentro del rango -4<=1<=1.5
Base: No cambia
Solución: No cambia
Función objetivo: Cambia, 428,000 + 8000 (-3) = 404,000
¿Qué pasa si el coeficiente de X2 es 40? (no cumple el rango)
2 = 40 -20 = 20 20 esta fuera de rango 17<=1<=-1.5
Base: Cambia
Solución: Cambia
Función objetivo: Cambia, Porque hay que volver a iterar.
Nota: si estás en los límites se puede hacer cero y puede haber ojos
de serpiente ya que se convierte en un problema de opción múltiple.
Mtra. Maribel Beltrán Castelo Investigación de Operaciones I
PROGRAMACIÓN LINEAL
• ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD
3. Cambio en el lado derecho de una restricción
Cj
18.5
20.0
14.5
0
0
0
CONTRIBUCIÓN
POR UNIDAD
Cb
BASE
SEGUNDO
TÉRMINO
(solución)
X1
X2
X3
S1
S2
S3
ENCABEZADOS
Y VARIABLES
18.5
20.0
0
X1
X2
S3
8000+40N
14000-20N
500-3N
1
0
0
0
1
0
1
0
-0.05
40
-20
-3
-20
20
1
0
0
1
COEFICIENTES
Zj
428000+
340N
18.5
20.0
18.5
340
30
0
CONTRIBUCIÓN
QUE SE PIERDE
Cj - Zj
0
0
-4.0
-340
-30
0
CONTRIBUCIÓN
NETA
-200<=N<=167, no cambia la base; N<-200 ó N>167 , hay que
volver a resolver
Mtra. Maribel Beltrán Castelo Investigación de Operaciones I
PROGRAMACIÓN LINEAL
• ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD
3. Cambio en el lado derecho de una restricción:
¿Qué pasa si cantidad de nitrato cambia a 1200? (cumple el rango)
N = 1200-1100 = 100 100 esta dentro del rango -200<=N<=167
Base: No cambia
Solución: Cambia a: X1 = 8000 + (40*100) = 12,000
X2 = 14000- (20*100) = 12,000
S3 = 500 - (3*100) = 200
Función objetivo: Cambia, Cambia, 428,000 + (340* 100) = 462,000
Nota: Si N 200 está fuera de rango, algún # de la solución se hizo (-),
la tabla deja de ser una tabla simplex, no puede iterar, como esta fuera
de rango permitido, tengo que volver a RESOLVER el problema.
Mtra. Maribel Beltrán Castelo Investigación de Operaciones I
Mtra. Maribel Beltrán Castelo Investigación de Operaciones I
PROGRAMACIÓN LINEAL
Sistuaciones dentro del Análisis de Sensibilidad
ANALISIS
PREGUNTAS SENSIBLIDAD BASE SOLUCION FUNCION OPTIMA
Cambia a
Dentro de No cambia No cambia (Valor F. O. óptima + [valor óptimo de variable
Cambio rango básica * ∆ de esa variable básica en la F. O.])
variable
Fuera de Cambia Cambia Cambia
básica rango Porque hay que volver a iterar.
Dentro de No cambia No cambia No cambia
Cambio rango Sigue siendo óptima
variable
Fuera de Cambia Cambia Cambia
no básica rango Porque hay que volver a iterar.
Cambia a Cambia a
Dentro de No cambia Todos los valores de variables básicas se cambiaran a: (Valor de la F.O óptima + [(+ - valor en Zj *
Cambio rango (Valor óptimo de var. Básica + [(+ - tasa física de sust.) *( ∆ del recurso en la restricción)]
*( ∆ del recurso en la restricción)]
recurso Algún # de la solución se hizo negativo, la tabla
Fuera de deja de ser una tabla Simplex, no puedo iterar,
restricción rango como está fuera de rango permitido,
TENGO QUE VOLVER A RESOLVER el problema.
No cambia Cambia a Cambia a
Cambio Nos obligan Siguen siendo Todos los valores de variables básicas se cambiaran a: (Valor de la F.O óptima - [valor del daño *
obligado en a fabricar var. las mismas (Valor de la variable básica -[Tasa fisica de sustitución* # unidades producidas de variable no básica])
las variables no básicas variables # producidas])
Cambia Cambia No cambia
Añadir Si está Porque al agregar Porque hay un nuevo valor para la variable que entra al se mantiene el mismo valor de la función objetivo
restricción permitible una restricción agregar una nueva restricción
hay una variable nueva Corro en lindo y veo que valor tiene y lo pongo
en la base y la pongo