5. Momentos de Inercia - PUBLICAR 2-2014

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Momentos de Inercia Estática - UIS

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Momentos de Inercia

Estática - UIS

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Estática - UIS

Momentos de Inercia

Momento de inercia por integración.

Momento de inercia de superficies (áreas)

Momentos de inercia de superficies compuestas.

Teorema de ejes paralelos.

Momento polar de inercia.

Ejes principales y momentos principales de inercia.

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Momento de Inercia

de superficies

Estática - UIS

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Estática - UIS

Inercia en Superficies

También llamado Segundo Momento de Inercia o Inercia de un área, es el valor

que se obtiene al calcular el momento de la carga distribuida perpendicular que

actúa sobre un cuerpo respecto a un eje. Es una propiedad geométrica de la

sección transversal de los elementos estructurales. Por definición esta

corresponde a la siguiente expresión:

𝐼𝑥 = 𝑦𝑄𝑥 = 𝑦 2𝑑𝐴

𝐼𝑦 = 𝑥𝑄𝑦 = 𝑥 2𝑑𝐴

Unidades:

Longitud ^ 4

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Momentos de Inercia

por Integración

Estática - UIS

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Estática - UIS

Método de Integración

El método de la integración usa la definición, y evalúa el área desplazando una tira

delgada paralela al eje a evaluar, aunque también puede usarse solo un elemento

de área y determinar la inercia respecto a ambos ejes.

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Estática - UIS

Determine el momento de inercia Ix & Iy de esta figura plana regular:

𝑏

𝑏

EJERCICIO 5.1 – INERCIA EN AREAS

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Inercia de Áreas

RECTÁNGULO TRIÁNGULO

CÍRCULO ELIPSE:

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Inercias en Superficies Compuestas

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Superficies Compuestas

Estática - UIS

Cuando tenemos una figura compuesta por varias áreas, el momento de inercia

se obtiene como la sumatoria de las inercias de cada una, pero todas calculadas

respecto al mismo eje.

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Elementos Estructurales

Perfiles metálicos

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Sección de Cajón para construcción de puentes

Momento de Inercia

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Superficies Compuestas

Estática - UIS

Cuando tenemos una figura compuesta por varias áreas, el momento de inercia

se obtiene como la sumatoria de las inercias de cada una, pero todas calculadas

respecto al mismo eje.

1. Hallar las Inercias Individuales

Inercias Centroidales o Inercias con respecto a un Eje 2. Hallar Inercias con respecto a unos ejes

paralelos comunes 3. Sumar las Inercias de todas las figuras

con respecto a los mismos ejes.

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Superficies Compuestas

Estática - UIS

Cuando tenemos una figura compuesta por varias áreas, el momento de inercia

se obtiene como la sumatoria de las inercias de cada una, pero todas calculadas

respecto al mismo eje.

1. Hallar las Inercias Individuales

Inercias Centroidales o Inercias con respecto a un Eje 2. Hallar Inercias con respecto a unos ejes

paralelos comunes 3. Sumar las Inercias de todas las figuras

con respecto a los mismos ejes. Porque vamos a medir la

resistencia a rotar con

respecto a un mismo eje. Desarrollemos un método para

medir los momentos de inercia.

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Teorema de Ejes Paralelos

O Teorema de Steiner

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Teorema de Ejes Paralelos

Estática - UIS

El teorema de ejes paralelos o teorema de Steiner se usa para trasladar las

inercias dadas a un eje general de referencia.

Considere la Inercia de la siguiente

superficie respecto a un eje B-B’:

B-B’ es un eje centroidal

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Teorema de Ejes Paralelos

Estática - UIS

El teorema de ejes paralelos o teorema de Steiner se usa para trasladar las

inercias dadas a un eje general de referencia.

Considere la Inercia de la siguiente

superficie respecto a un eje B-B’:

Ahora bien, considere un nuevo eje de

referencia A-A’ el cual está ubicado a una

distancia «d».

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Teorema de Ejes Paralelos

Estática - UIS

Ahora la inercia respecto al eje A-A’, en

función de la distancia y’ que se mide

desde el eje B-B’ hasta el elemento dA, es:

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Teorema de Ejes Paralelos

Estática - UIS

Ahora la inercia respecto al eje A-A’, en

función de la distancia y’ que se mide

desde el eje B-B’ hasta el elemento dA, es:

Resolvemos:

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Teorema de Ejes Paralelos

Estática - UIS

Ahora la inercia respecto al eje A-A’, en

función de la distancia y’ que se mide

desde el eje B-B’ hasta el elemento dA, es:

Resolvemos:

Momento de Área (Qx)

Distancia al cuadrado

por el área irregular

Momento de Inercia (Ix)

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Teorema de Ejes Paralelos

Estática - UIS

Ahora la inercia respecto al eje A-A’, en

función de la distancia y’ que se mide

desde el eje B-B’ hasta el elemento dA, es:

Resolvemos:

Qx con respecto al centroide es CERO

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Teorema de Ejes Paralelos

Estática - UIS

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Ejes Paralelos

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Hallar la Inercia con respecto al eje T.

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Ejes Paralelos

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Hallar la Inercia con respecto al eje AA’ de la figura triangular

que se conoce su inercia con respecto al eje BB’.

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Procedimiento de

Inercias en Superficies Compuestas

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Superficies Compuestas

Estática - UIS

Procedimiento Simplificado:

1. Hallar las Inercias Individuales

Inercias Centroidales 2. Hallar Inercias con respecto a los ejes

paralelos comunes

Dist. Horizontales (dx) -> Iy

Dist. Verticales (dy) -> Ix

3. Sumar los efectos Inerciales para obtener la

total

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Determine los momentos de inercia respecto a los ejes «x» y «y» mostrados en

rojo para la siguiente figura:

EJERCICIO 5.2 – INERCIA COMPUESTAS

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Determine los momentos de inercia respecto a los ejes CENTROIDALES «x» y «y»

de la siguiente figura.

EJERCICIO 5.3 – INERCIA COMPUESTAS

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Estática - UIS

Determine los momentos de inercia respecto a los ejes CENTROIDALES «x» y «y»

de la siguiente figura.

x

y

ORIFICIO

EJERCICIO 5.4 – INERCIA COMPUESTAS

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Momento Polar de Inercia

Y Radio de Giro

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Momento Polar de Inercia

Existe también el Momento Polar de Inercia, el cuál

evalúa la Inercia usando coordenadas polares, es

decir, se calcula respecto a un punto de referencia o

polo.

Este es muy importante para determinar los efectos

torsionales de las fuerzas sobre un cuerpo.

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Estática - UIS

Momento Polar de Inercia

Existe también el Momento Polar de Inercia, el cuál

evalúa la Inercia usando coordenadas polares, es

decir, se calcula respecto a un punto de referencia o

polo.

Este es muy importante para determinar los efectos

torsionales de las fuerzas sobre un cuerpo.

Polar Centroidal

Polar en punto O

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Momento Polar de Inercia

El elemento bidimensional Torsional por excelencia

es el área circular:

CÍRCULO

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Radio de Giro

Distancia de giro para un eje determinado.

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Estática - UIS

Determine el momento polar de inercia CENTROIDAL (Jo) y el radio de giro (ro)

de la siguiente figura:

EJERCICIO 5.5 – INERCIAS

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Producto de Inercia

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Producto de Inercia

Cuando se quiere analizar cuál es el momento de inercia máximo y mínimo para

un área determinada, es necesario definir el producto de inercias Ixy, el cual se

define como:

Para algún eje paralelo:

¿Cual es el Steiner que se le aplica?

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Estática - UIS

Producto de Inercia

Cuando se quiere analizar cuál es el momento de inercia máximo y mínimo para

un área determinada, es necesario definir el producto de inercias Ixy, el cual se

define como:

Para algún eje paralelo:

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Estática - UIS

Producto de Inercia

Cuando se quiere analizar cuál es el momento de inercia máximo y mínimo para

un área determinada, es necesario definir el producto de inercias Ixy, el cual se

define como:

El producto de inercia centroidal cooresponde al

equilibrio de un área, por lo cual siempre es CERO

para secciones simetricas.

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Producto de Inercia

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Determine el producto de inercia centroidal de la siguiente figura.

EJERCICIO 5.6 – INERCIAS

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Momentos Principales de Inercia

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Momentos Principales de Inercia

Considere un área, cuyos momentos de inercia respecto a x y y son conocidos, al

igual que el momento polar y el producto de inercias.

Para este segundo caso las coordenadas

de dA son:

Entonces como se determina los

momentos de inercia en estos casos.

𝐼𝑥? 𝐼𝑦? 𝐼𝑥𝑦?

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Momentos Principales de Inercia

Determinamos los momentos de inercia y los dejamos en función de los valores

iniciales de inercia respecto a los ejes x y y:

Se pueden emplear las siguientes relaciones trigonométricas:

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Momentos Principales de Inercia

Las expresiones resultantes son:

Al sumar las expresiones obtendremos la relación final:

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Estática - UIS

Momentos Principales de Inercia

Las expresiones resultantes son:

Al sumar las expresiones obtendremos la relación final:

Radio de un círculo

Centro de un círculo

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Momentos Principales de Inercia

La expresión corresponde a la ecuación de un círculo las siguientes

características:

Donde I ave será el centro de dicha circunferencia

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Momentos Principales de Inercia

Con la gráfica se pueden analizar los valores

máximos y mínimos para cualquier posición

de los ejes x’ y y’, teniendo en cuenta:

Y el Angulo que forman las coordenadas

descritas:

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Resistencia de Materiales - UIS

Pasos para graficar el circulo de Mohr y obtener los esfuerzos principales:

1. Ubicar los puntos «X» y «Y»

2. Trazar una línea ente los puntos anteriores.

3. Formar un circulo aproximado.

4. El centro de ese circulo es Inercia promedio (Iave).

5. Los cortes con el eje horizontal son las Inercias principales (Imax, Imin).

6. El Radio del circulo en el sentido vertical corresponde al producto de Inercia máximo

(Ixy).

7. El ángulo principal es 2 veces el ángulo formado por la línea entre los puntos «X» con el

eje horizontal.

PROCEDIMIENTO del Circulo de Mohr

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Circulo de Mohr

Dados los puntos X y Y que representan los valores de Ixy y –Ixy respectivamente,

tenemos la siguiente gráfica:

X

Y

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Estática - UIS

Usando el Círculo de Mohr, determine la localización de los ejes principales de la

sección mostrada, y el valor de los momentos de inercia que se producen.

Recordar:

EJERCICIO 5.7 – INERCIAS

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Estática - UIS

MECÁNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS. Estática. Ferdinand P.Beer, E. Russell Johnston, Jr. Séptima Edición. Editorial McGraw Hill. 2002

MECÁNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS. J.L Meriam, L.G Kraige. 1998

ESTÁTICA. R.C.Hibbeler. Editorial Prentice Hall Hispanoamaericana.

BENJUMEA R. José M. Material Didactico Clases Estatica . Universidad Industrial de Santander.

Bibliografía

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«Análisis de Estructuras»