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UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL MECÁNICA DE FLUIDOS

ESTÁTICA DE FLUIDOS Catedrático:

Ing. Juan Carlos Hernández Canales

Es el estudio del comportamiento de los fluidos y de la distribución de esfuerzos sobre las masas de fluidos (líquidos). De las propiedades de los fluidos, se sabe que estos no resisten los esfuerzos cortantes (tangenciales), en los fluidos en reposo sólo se presentan esfuerzos de compresión (presión) y se transmiten a los límites sólidos a través de secciones perpendiculares.

Figura 1. Esfuerzos de compresión en fluidos en reposo.

ESCALAS DE MEDICIÓN DE LA PRESIÓN Las medidas de presión se pueden dar en términos absolutos y términos manométricos o relativos y estas difieren exclusivamente de la referencia que se tome en consideración. Las medidas de presión en escala absoluta están referidas al cero absoluto (vacío total) o mínima presión posible; en esta escala no puede presentarse valores negativos, puesto que implicaría valores por debajo del vacío total, físicamente imposible. La escala de medición manométrica o relativa registra los valores referidos a la presión atmosférica local (presión debida a la atmósfera, es decir en el sitio de interés. La presión atmosférica o normal es la registrada al nivel del mar y a una latitud de 40o, tiene un valor de 101.3 kPa, 760 mmHg, 1 atm.

Figura 2. Escalas de medición de la presión

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PRESIÓN EN UN PUNTO Considerando un elemento diferencial de fluido en reposo, las fuerzas actuantes serán:

Figura 3. Fuerzas de presión en un elemento diferencial de fluido.

Al estar el elemento en reposo no existe aceleración y por lo tanto la aplicación de la segunda Ley de Newton indica que la sumatoria de fuerzas será igual a cero.

Al considerar la geometría del triángulo se tiene que:

Combinando el conjunto de ecuaciones (1) y (2) se tiene:

Esto significa que la presión en un punto es la misma por todas partes, es decir que la presión no tiene sentido vectorial, por lo tanto es una cantidad escalar y es una propiedad del punto fluido, que depende exclusivamente de sus coordenadas.

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PRINCIPIO DE PASCAL La presión aplicada en un punto de un líquido contenido en un recipiente se transmite con el mismo valor a cada una de las partes del mismo. Este enunciado, obtenido a partir de observaciones y experimentos por el físico y matemático francés Blas Pascal (1623-1662), se conoce como principio de Pascal. La prensa hidráulica constituye la aplicación fundamental del principio de Pascal y también un dispositivo que permite entender mejor su significado. Consiste, en esencia, en dos cilindros de diferente sección comunicados entre sí, y cuyo interior está completamente lleno de un líquido que puede ser agua o aceite. Dos émbolos de secciones diferentes se ajustan, respectivamente, en cada uno de los dos cilindros, de modo que estén en contacto con el líquido. Cuando sobre el émbolo de menor sección se ejerce una fuerza F la presión que se origina en el líquido en contacto con él se transmite íntegramente y de forma instantánea a todo el resto del líquido; por lo tanto, será igual a la presión que ejerce el líquido sobre el émbolo de mayor sección, es decir:

Figura 4. Prensa hidráulica. Aplicación del principio de Pascal.

Si la sección A2 es veinte veces que la sección A1, la fuerza F1 aplicada sobre el émbolo pequeño se ve multiplicada por veinte en el émbolo grande F2. La prensa hidráulica es una máquina simple semejante a la palanca de Arquímedes, que permite amplificar la intensidad de las fuerzas y constituye el fundamento de elevadores, prensas, frenos y muchos otros dispositivos hidráulicos de maquinaria industrial.

VARIACIÓN DE LA PRESIÓN DE UN FLUIDO EN REPOSO Considerando un elemento diferencial de fluido de dimensiones dx, dy y dz, y peso específico γ. Suponiendo conocida la presión P en el centro del fluido, la presión en los límites del elemento de fluido se puede expresar en términos de la presión P y de la variación de la presión en la dirección indicada. El sistema de fuerzas al que está sometido el elemento diferencial se obtendrá multiplicando la presión en los límites de elemento de fluido por el área de interacción, como se indica en la Figura 5.

Figura 5. Fuerzas en un elemento diferencial de fluido en reposo.

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Aplicando la segunda ley de Newton ΣF = ma y considerando que un cuerpo en reposo no tiene aceleración se tiene que: Equilibrio de fuerzas en dirección y (horizontal)

Un análisis similar en dirección x produce El resultado anterior significa que no hay variación de la presión en un plano horizontal. Es decir la presión es la misma en dirección horizontal. Equilibrio de fuerzas en dirección z (vertical)

Anteriormente se demostró que la presión no varía en dirección horizontal, por tal razón la derivada parcial en la vertical se convierte en una derivada total:

La expresión anterior es la ecuación general de la hidrostática e indica que la variación de la presión (gradiente de presión) es proporcional a la altura y es válida para fluidos incompresibles (líquidos) y compresibles (gases). Un desarrollo adicional se realiza en los fluidos incompresibles cuando el peso específico es constante se puede integrar la ecuación general de la hidrostática entre dos puntos de cota conocida, así el cambio de presión estará relacionado con el cambio de altura así:

Si el fluido es compresible, es decir cuando el peso específico es variable se debe conocer alguna expresión que relacione el peso específico con la presión, para así integrar la ecuación general de la hidrostática.

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LA PARADOJA DE PASCAL

Figura 6. Paradoja de Pascal

Como se demostró con anterioridad si γ es constante la variación de presión solo depende de la altura o columna de fluido disponible, así en la Figura 6 se tiene la presión transmitida por la misma columna de fluido pero en recipientes de forma diferente es la misma (paradoja de Pascal).

PRINCIPIO DE VASOS COMUNIANTES

Si se tienen dos recipientes y se vierte un líquido en uno de ellos, éste se distribuirá entre ambos de tal modo que, independientemente de sus capacidades, el nivel de líquido en uno y otro recipiente será el mismo. Éste es el llamado principio de los vasos comunicantes, que es una consecuencia de la ecuación fundamental e la hidrostática.

Figura 7. Principio de vasos comunicantes.

MANÓMETROS

Los manómetros son dispositivos que utilizan fluidos incompresibles (γ=cte) para determinar la presión que actúa sobre un fluido y se basan en:

a) Para un mismo fluido la presión no varía en una horizontal. b) La distribución hidrostática de presión. c) La propiedad de un fluido para transmitir presiones punto a punto sin alterarla.

Para determinar la presión en A se utilizan los principios descritos en el apartado anterior, así:

a) Igualdad de presiones en una dirección horizontal Pb = Pc b) Distribución hidrostática de presiones Pb = γ1H + Pa por lo tanto Pc = γ2h + Patm

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Los manómetros registran la presión manométrica, es decir solamente la relativa al fenómeno de interés. Si los manómetros están en contacto con la atmósfera, la presión atmosférica se hace cero. Al igualar las expresiones anteriores, considerando que Patm = 0 y despejando para Pa se tiene:

Pa = γ2h – γ1H

Así la presión se puede medir a partir de alturas de fluidos conocido su peso específico. Se registran

diferentes tipos de fluidos para registrar la variación de presión según sea la magnitud de la presión de interés. - Mercurio ---- presiones altas. - Agua---------- presiones medias – bajas.

Figura 8. Manómetro en U.

Para registrar diferencias de presión bajas se utiliza el manómetro en U invertido con un líquido de densidad pequeña. Es importante tener en cuenta algunas consideraciones adicionales:

• Los líquidos manométricos están influenciados por cambios en la temperatura (cambios de densidad) y por tanto pueden inducir errores.

• Se disminuye los efectos de capilaridad al utilizar tubos de igual diámetro (se cancelan los efectos).

MANÓMETRO DE TUBO INCLINADO Consiste básicamente en un manómetro con el tubo inclinado (Figura 9) con ángulo conocido; la escala de medición se localiza sobre el tubo inclinado, permitiendo una lectura mayor (L) que la altura vertical (H), con la que realmente se obtiene el cambio de presión. L y H están relacionados por trigonometría.

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MEDIDORES DE PRESIÓN MECÁNICA TIPO BOURDON El manómetro de Bourdon depende, precisamente, de la elasticidad de los materiales utilizado en su construcción. Este fenómeno, el más común en plantas de procesos que requieran medición de presiones, consiste de un tubo metálico achatado y curvo en forma de C, abierto solo en un extremo. (Figura 10)

Figura 9. Manómetro inclinado.

Al aplicar una presión al interior del tubo (se infla, por ejemplo) la fuerza generada en la superficie

(área) exterior de la C es mayor que la fuerza generada en la superficie interior, de modo que se genera una fuerza neta que deforma la C hasta una C más abierta. Esta deformación es una medición de la presión aplicada y puede trasladarse a una escala indicadora previamente calibrada tanto como a un sistema de variación de resistencia o campos eléctricos o magnéticos.

Figura 10. Manómetro de Bourdon.

Los manómetros de Bourdon registran la presión manométrica o relativa y la escala está calibrada para

registrar una presión nula cuando está en contacto con la atmósfera. Sin embargo un mecanismo similar también pueden ser utilizados para registrar la presión atmosférica, al estar conectado el diafragma elástico, si al interior del diafragma se ha generado un vacío cercano al cero absoluto; las presiones impuestas sobre el exterior del diafragma harán que se deforme y sea transmitido a la escala medidora.

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BARÓMETRO DE MERCURIO (TORRICELLI, 1643)

Se construye llenando un tubo con mercurio libre de aire e invirtiéndolo sobre un recipiente lleno de mercurio. Despreciando la pequeña presión de vapor que se genera por el vacío del mercurio la presión atmosférica será Patm = γH.

Figura 11. Barómetro de mercurio de Torricelli

TRANSDUCTORES DE PRESIÓN

Son instrumentos que miden una señal física (presión) y transmite una señal eléctrica. Esta señal se puede registrar y almacenar por medo de un computador.

FUERZAS SOBRE SUPERFICIES PLANAS SUMERGIDAS

Como parte del diseño de algunas superficies que se encuentran sumergidas es necesario conocer la resistencia a las fuerzas actuantes (hidrostática). Se requiere entonces determinar la magnitud, dirección y localización de las fuerzas sobre el área. La fuerza debida a la presión hidrostática en realidad se distribuye sobre toda el área pero se determina una fuerza resultante y su localización. La dirección de la fuerza siempre será perpendicular al área.

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Veamos el caso más simple de una superficie plana vertical en sección transversal rectangular de ancho B completamente en contacto con el líquido de peso específico constante. El sistema de referencia y inicia en la superficie libre del agua y está dirigido hacia el fondo.

Figura 12. Fuerza sobre una superficie plana vertical de sección rectangular.

La presión ejercida a una profundidad cualquiera se obtendrá con la ecuación general de la hidrostática

y el diferencial de fuerza ejercido sobre un elemento de área diferencial dyB que está localizado a una profundidad y dependerá de dicha presión. La fuerza total o resultante Fr sobre la superficie será la sumatoria de todos los diferenciales.

El punto de aplicación de la fuerza es el centroide del triángulo de presión, localizado a una distancia

de h/3 desde la base o 2/3h desde la superficie libre. De forma más general si se tiene una superficie plana inclinada y profunda soportando un fluido con peso específico constante; considerando un eje y coincidiendo con la inclinación de la superficie plana y con origen en la superficie del líquido.

Figura 13. Fuerza sobre una superficie plana inclinada sumergida.

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Realizando un análisis similar al de la superficie plana vertical y considerando que h = ysenθ

Donde siendo yc la localización del centroide de la sección transversal de la superficie plana, medido en el eje inclinado y

Esto significa que la fuerza total se puede obtener como el producto de la presión ejercida en el centroide y el área transversal en contacto con el fluido. Siendo ésta la expresión general par calcular la fuerza sobre la superficie plana. En el caso particular de la superficie plana vertical, hc=h/2 y el área A=Bh.

Idéntica a la expresión presentada anteriormente.

Para la localización yp de la fuerza total Fr se iguala el momento, respecto al origen (superficie libre), de la fuerza resultante con la resultante del momento de la fuerza distribuida sobre la superfiie.

Donde , siendo este el segundo momento de área o momento de inercia de la placa respecto al eje x. Para referirlos a un eje centroidal ξξ se utiliza el Teorema de Steiner que afirma los momentos de inercia con respecto a los ejes paralelos se pueden obtener al sumar la distancia al cuadrado entre los ejes multiplicada por el área, así:

Reemplazando se obtiene

La localización de la fuerza resultante se conoce como centro de presiones yp y siempre está localizado

por debajo del centro de gravedad o centroide.

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FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS SUMERGIDAS Suponiendo un líquido al interior del tanque Figura 14, para determinar la fuerza total resultante sobre

la superficie curva se debe obtener las componentes horizontal y vertical. Separando el líquido contenido entre la superficie curva y en los planos horizontales y verticales se tiene el diagrama de cuerpo libre ABC de la Figura 14, las fuerzas actuantes serían:

• F1 fuerza de presión debido al fluido sobre la superficie AB.

• F2 fuerza hidrostática debido al fluido sobre la superficie AC.

• FH reacción horizontal de la superficie curva sobre el fluido.

• FV reacción vertical de la superficie curva sobre el fluido.

• W peso del fluido considerado. Por acción reacción la fuerza que el fluido ejerce sobre la superficie curva sería la misma pero en

magnitud contraria que la fuerza ejercida por la superficie curva sobre el fluido. La fuerza total del fluido sobre la superficie curva, será la resultante de las componentes horizontales y verticales obtenidas en el diagrama de cuerpo libre.

Figura 14. Fuerza sobre una superficie curva sumergida.

1. Puesto que el fluido está en reposo se tiene que ΣF = ma 2. Equilibrio de fuerzas en dirección x (horizontal) ΣFx = max = 0 F2 – FH = 0, entonces FH = F2 3. Equilibrio de fuerzas en dirección y (vertical) ΣFy = may = 0 Fv – F1 – W = 0, entonces Fv = F1 + W 4. La fuerza total será Fr = √ (FH

2 + Fv2)

Como el fluido no resiste esfuerzos cortantes la localización de FH debe ser colineal con F2 y Fv debe

ser colineal con la resultante de F1 + W. Esto se obtiene cuando la sumatoria de momentos respecto a cualquier punto del sistema es nula. Otra forma más simple de calcular la componente vertical de la fuerza sobre al superficie curva es considerando el significado físico del resultado obtenido con anterioridad. F1 es la fuerza debida a la presión hidrostática por la columna de fluido hasta la superficie AB. F1 = PABAAB = γhABAAB = γVEncimaAB = WEncimaAB, es decir el peso del fluido hasta la superficie AB; así la fuerza vertical será el total del peso del fluido que está por encima de la superficie curva. La resultante vertical estará localizada en el centroide de la figura que se forma encima de la superficie curva.

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Figura 15. Fuerza vertical sobre una superficie curva sumergida. Caso 1.

Si el fluido se encuentra debajo de la superficie curva AB el análisis de cuerpo libre es similar al caso

anterior y la fuerza vertical resultante será el peso equivalente de fluido que estaría por encima de la superficie CB.

Figura 16. Fuerza vertical sobre una superficie curva sumergida. Caso 2

FLOTABILIDAD Y ESTABILIDAD La flotabilidad es la tendencia de un fluido para ejercer una fuerza de apoyo sobre un cuerpo colocado sobre él.

PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES También conocida como Ley de Boyantez o Empuje, indica que un cuerpo sumergido en un líquido recibe un empuje hacia arriba con una fuerza igual al peso del líquido desplazado.

LEY DE FLOTACIÓN

Un cuerpo flotante desplaza su propio peso del líquido en el cual flota. Para determinar la reacción que el fluido ejerce sobre un cuerpo totalmente sumergido (volumen contenido entre BCDE) se seleccionará un volumen de fluido que circunscriba el cuerpo BCDE con altura h y área transversal A. El análisis del diagrama de cuerpo libre indica las siguientes fuerzas:

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Figura 19. Análisis de fuerzas sobre un elemento completamente sumergido.

• Presión hidrostática en las fronteras del volumen seleccionado, P1A y P2A.

• Peso del fluido exterior al cuerpo BCDE, W1 y W2.

• Reacción del cuerpo sobre el fluido, que por acción reacción es la misma que la fuerza del fluido sobre el cuerpo BCDE, usualmente denominada fuerza de empuje, Fe. La reacción del cuerpo sobre el fluido es hacia abajo, pero la fuerza de empuje ejercida por el fluido sobre el cuerpo es en dirección contraria, es decir vertical hacia arriba. En condiciones de equilibrio estático

ΣFy = 0, entonces – P1A + P2A – W1 – W2 – Fr = 0

Fr = (P2 – P1)*A – (W1 + W2) Aplicando la distribución hidrostática de presiones, la diferencia de presión entre los extremos del cuerpo libre es P2 – P1 = γh. Entonces la fuerza resultante Fr se puede expresar como:

Fr = γhA – (W1 + W2)

Donde γhA es el peso del volumen contenido entre las fronteras 1 y 2

Fr = Wv 1-2 – (W1 + W2), entonces Fr = Wcuerpo = γVcuerpo

Con un análisis similar cuando el cuerpo está parcialmente sumergido, es decir flotando, se tiene:

Fr = γVdesplazado

En condiciones de equilibrio estático la fuerza de empuje será igual al peso del cuerpo. La fuerza de

empuje Fe actúa vertical hacia arriba a través del centroide del volumen del cuerpo o del volumen desplazado, según sea total o parcialmente sumergido. El sitio de aplicación de la fuerza de empuje se denomina centro de empuje o centro de boyantez (centro boyante).

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ESTABILIDAD

Se considera un cuerpo en un fluido estable si regresa a su posición original después de presentar una rotación alrededor de un eje horizontal. La estabilidad depende de la posición relativa entre la localización de la fuerza de empuje y el centro de gravedad. Es diferente dependiente si el cuerpo está TOTALMENTE sumergido o PARCIALMENTE sumergido.

ESTABILIDAD DE CUERPOS TOTALMENTE SUMERGIDOS Un cuerpo TOTALMENTE sumergido es estable si el centro de gravedad (punto de aplicación del peso) está por debajo del centro de empuje (punto de aplicación de la fuerza de empuje), véase Figura 20.

Figura 20. Estabilidad de cuerpos completamente sumergidos.

La situación a) de la Figura 20 donde el centro de gravedad está por debajo del centro de flotación

indica que ante una rotación del cuerpo, se generará un momento recuperador de la posición inicial. En este caso el cuerpo se puede considerar estable.

Por el contrario en la situación b) de la Figura 20, el centro de gravedad se encuentra por encima del

centro de flotación y cualquier rotación impuesta sobre el cuerpo generará un par o momento inestable continuando con la rotación inicial. En este caso el cuerpo se considera inestable.

Cuando el centro de gravead y el centro de flotación coinciden, el peso y la fuerza de empuje actúan a

través del mismo punto sin que se produzca un par. En este caso el cuerpo tendría una estabilidad neutra y permanecería en cualquier orientación en la que se coloque respecto al eje horizontal.

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ESTABILIDAD DE CUERPOS PARCIALMENTE SUMERGIDOS

Para la estabilidad de cuerpos parcialmente sumergidos o flotantes se debe analizar la posición relativa del metacentro M, como se indica a continuación

Figura 22. Estabilidad de cuerpos completamente sumergidos.

Donde: M = Metacentro, intersección de la línea de acción de FE con el eje central del corte transversal. CG = Localización del centro de gravedad, punto de aplicación del peso. W = Peo CE = Posición del centro de empuje inicial, es decir antes de la rotación. FE = Fuerza de empuje inicial, antes de la rotación. CE’ = Posición del centro de empuje final, es decir después de la rotación. FE’ = Fuerza de empuje final, después de la rotación. Cuando se presenta una rotación en un cuerpo parcialmente sumergido, Figura 21, se presenta un desplazamiento adicional de fluido presentándose una fuerza de empuje FE’ que está localizada en el CE’ a una distancia δ del centro de empuje inicial. El desplazamiento de fluido hacia el lado izquierdo ocasiona una fuerza empuje dFE; al lado derecho ocurre la situación contraria, es decir se deja de presentar una fuerza por el volumen que anteriormente se desplazaba, esto se puede representar por una fuerza de empuje negativa -dFE; estas dos fuerzas forman un momento o par. Para evaluar el par se tiene:

La magnitud de la fuerza de empuje es la misma antes y después de la rotación, sin embargo ante la rotación se presenta un desplazamiento del centro de empuje. La configuración inclinada del sistema será la debida a la fuerza de empuje final FE’ ubicada en CE’, este efecto será considerado con el par. El efecto de FE’ aplicada en CE’ es estáticamente equivalente a la fuerza de empuje inicial FE aplicada en CE más el par. La inquietud será cual es la distancia δ entre CE’ y CE, es decir el desplazamiento de la línea de acción de la fuerza de empuje. Al igualar momentos respecto a un eje paralelo a y y que pase por CE’.

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Por trigonometría del triángulo formado entre M-CE’-CE y reemplazando la expresión anterior se tiene:

De donde se puede obtener la localización del metacentro como la distancia desde el centro de empuje. Conocida la posición del metacentro se puede calcular la altura metacéntrica MG, que es la distancia entre el metacentro (M) y el centro de gravedad (CG), así

MG = MCE – l

Donde MCE es la distancia entre el metacentro y el centro de empuje, y l es la distancia entre el centro de

empuje CE y el centro de gravedad CG. La estabilidad de un cuerpo parcialmente sumergido depende de la posición relativa del metacentro y el centro de gravedad.

• Un cuerpo se considera estable si el metacentro está localizado por encima del centro de gravedad. Entre mayor sea la distancia entre el metacentro y el centro de gravedad, es decir la altura metacéntrica, mayor será la estabilidad del cuerpo. Si la altura metacéntrica (MG) es positiva el cuerpo es estable.

• Un cuerpo es inestable si el metacentro está localizado por debajo del centro de gravedad. Si la altura metacéntrica es negativa el cuerpo es inestable.