5) Herramientas Matemáticas Para La Localización Espacial2

7/26/2019 5) Herramientas Matemticas Para La Localizacin Espacial2

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Herramientas Matemticas para la Localizacin

Espacial

Sistema cartesiano de referencia

Normalmente los sistemas de referencia se denen mediante ejesperpendiculares entre s como un origen denido. Estos se denominan

sistemas cartesianos, en el caso de tra!ajar en el plano "# dimensiones$, el

sistema de referencia %&' correspondiente (ueda denido por dos )ectores

coordenados %& %' perpendiculares entre s con un punto de interseccin

com*n %. "+igura .-a$.

Si se tra!aja en el espacio "tres dimensiones$, el sistema cartesiano %&'/ est

compuesto por una terna ortonormal de )ectores coordenados %&, %', %/, tal

como se )e en la gura .-!. Se trata de una terna ortonormal a derec0as.

Figura 3.1

Si se tra!aja en un plano, con un sistema coordenado %&' de referencia

asociado, un punto a )endr e1presado por las componentes "x, y$

correspondientes a los ejes coordenados del sistema %&'. Este punto tiene

asociado un )ector p"x, y$, (ue )a desde el origen % del sistema %&' 0asta el

punto a ")er +igura .-a$. 2or tanto, la posicin del e1tremo del )ector pest

caracterizado por las dos componentes "x, y$, denominadas coordenadas

cartesianasdel )ector (ue son las proecciones del )ector pso!re los ejes

%& %'.

En el caso de (ue se tra!aje en tres dimensiones, un )ector )iene denido con

respecto al sistema de referencia %&'/ mediante las coordenadas a cada uno

de los ejes coordenados. En el caso de la +igura .-.!, el )ector p estar

denido por las componentes cartesianas "x, y, z$.


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3oordenas polares cilndricas

2ara un plano, es posi!le tam!i4n caracterizar la localizacin de un punto o

)ector prespecto a un sistema d ejes cartesianos de referencia %&' utilizando

las denominadas coordenadas polares p"r,5$ "+igura .#a$. En esta

representacin, rrepresenta la distancia desde el origen % del sistema 0asta ele1tremo del )ector p, mientras (ue 5 es el ngulo (ue forma el )ector pcon el

eje %&.

En el caso de tra!ajar en tres dimensiones, un )ector p podr e1presarse con

respecto a un sistema de referencia %&'/, mediante las coordenadas

cilindricas p"r,,z$ "+igura .#!$. Las comoponentes r tiene el mismo

signigcado (ue en el caso de coordenadas polares, aplicando el razonamiento

so!re el plano %&', mientras (ue la componente ze1presa la proeccin so!re

el eje %/ del )ector p

Figura 3.2

3oordenadas esf4ricas

6am!i4n es posi!le utilizar coordenadas esf4ricas para realizar la localizacin

de un )ector en un espacio de tres dimensiones. 7tilizando el sistema de

referencia %&'/, el )ector ptendr como coordenadas esfricas"r, 5, 8$,

donde la componente res la distancia desde el origen % 0asta el e1tremo del

)ector p9 la componente 5 es el ngulo formado por la proeccin del )ector p

so!re el plano %&' con el eje %&9 la componente 8 es el ngulo formado porel )ector pcon el eje %/ "+igura .$.


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Figura 3.3.:epresentacin de un )ector en coordenadas

esf4ricas

:epresentacin de la orientacin

7n punto (ueda totalmente denido en el espacio a tra)4s de los datos de su

posicin. Sin em!argo, para el caso de un slido, es necesario adems denir

cul es su orientacin con respecto a un sistema de referencia. En el caso de

un ro!ot, no es suciente con especicar cul de!e ser la posicin de su

e1tremo, sino (ue en general, es tam!i4n necesario indicar su orientacin. 2or

ejemplo, en el caso de un ro!ot (ue tenga (ue realizar so!re una pieza cur)a

una operacin de pulido, no !astara con especicar los puntos de la supercie

para situar adecuadamente la 0erramienta, sino (ue ser necesario tam!i4n

conocer la orientacin con (ue la 0erramienta 0a de realizar la operacin.

7na orientacin en el espacio tridimensional )iene denida por tres grados deli!ertad o tres componentes linealmente independientes. 2ara poder descri!ir

de forma sencilla la orientacin de un o!jeto respecto a un sistema de

referencia, es 0a!itual asignar solidariamente al o!jeto un nue)o sistema,

despu4s estudiar la relacin espacial e1istente entre los dos sistemas. ;e

forma general, esta relacin )endr dada por la posicin orientacin del

sistema asociado al o!jeto respecto al de referencia. 2ara el anlisis de los

distintos m4todos de representar orientaciones se supondr (ue am!os

sistemas coinciden en el origen, (ue por tanto no e1iste cam!io alguno de

posicin entre ellos.


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Matrices de rotacin

Las matrices de rotacin son el m4todo ms e1tendido para la descripcin de

orientaciones, de!ido principalmente a la comodidad (ue proporciona el uso

del lge!ra matricial.

Supngase (ue se tiene en el plano dos sistemas de referencia %&' %7< con

un mismo origen %, siendo el sistema %&' el de referencia jo el sistema %7Seg*n la gura .-- el sistema %7


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Ejemplo #3alcular el )ector r(1zresultante de trasladar al )ector r1z "=,=,--$ seg*n la

transformacin $"p$ con p",,F$ ")er gura .-#$.

plicando la ecuacin ".#$ se o!tiene>


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:otacin

Supngase a0ora (ue el sistema %7

' a su )ez un )ector r1,,zrotado seg*n $ )endr e1presado porr(1,,zseg*n>


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Ejemplo >Seg*n la +igura .-, el sistema %7


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6raslacin junto con rotacin

La principal )entaja de las matrices 0omog4neas reside en su capacidad de

representacin conjunta de la posicin orientacin. Esta representacin se

realiza utilizando al mismo tiempo la matriz de rotacin R1 el )ector de

traslacin p1- en una misma matriz de transformacin 0omog4nea. Es portanto la aplicacin conjunta de lo )isto en los dos apartados anteriores.

La traslacin la rotacin son transformaciones (ue se realizan en

relacin a un sistema de referencia. 2or lo tanto, si se (uiere e1presar la

posicin orientacin de un sistema %7


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6raslacin seguida de rotacin

2ara el caso de realizar primero una traslacin seguida de una rotacin so!re

los ejes coordenados del sistema %&'/, las matrices 0omog4neas resultantes

son las siguientes>


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EPEM2L%>

7n sistema %7


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EPEM2L%>7n sistema %7


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3.3.4.)omposicin de matrices #omogneas

nteriormente se 0a mencionado (ue una matriz de transformacin

0omog4nea sir)e, entre otras cosas, para representar el giro la traslacin

realizados so!re un sistema de referencia. Esta utilidad de las matrices

0omog4neas co!ra a*n ms importancia cuando se componen de las

matrices 0omog4neas para descri!ir di)ersos giros traslaciones

consecuti)os so!re un sistema de referencia determinado.

;e esta forma, una transformacin compleja podr descomponerse en la

aplicacin consecuti)a de transformaciones simples "giros !sicos

traslaciones$.

2or ejemplo, una matriz (ue representa un giro de un ngulo @so!re el eje

%&, seguido de un giro de ngulo 8 so!re el eje %' de un giro de un

ngulo 5 so!re el eje %/, puede o!tenerse por la composicin de las

matrices !sicas de rotacin>

;e!ido a (ue el producto de matrices no es conmutati)o, tampoco lo es la

composicin de transformaciones. Si se in)ierte el orden de aplicacin de las

transformaciones, el resultado es, lgicamente, distinto>


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*+*'-/

Se (uiere o!tener la matriz de transformacin (ue representa al sistema

%O7

se muestra una matriz (ue representa un giro de ngulo @ so!re el eje %& del

sistema fijo %&'/, seguido de un giro de )alor 8 so!re el eje %< un giro de

ngulo 5 so!re el eje %B del sistema en mo)imiento %7


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EPEM2L%>%!tener la matriz de transformacin (ue representa las siguientes

transformaciones so!re un sistema %&'/ jo de referencia> traslacin de un

)ector p1z",-A,-A$9 giro de GA so!re el eje %O7 del sistema trasladado giro

de GA so!re el eje %O< del sistema girado.

Se escogen las matrices !sicas correspondientes se componen en orden

in)erso al ejemplo anterior.

;e forma general, a la 0ora de componer di)ersas transformaciones mediante

matrices 0omog4neas, se 0an de tener en cuenta los siguientes criterios>

-. Si el sistema jo %&'/ el sistema transformado %O7


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%B de una rotacin 8 so!re el eje %< del sistema (ue est siendo

transformado.

3.3.5.r"cos de transformacin

Es frecuente encontrar situaciones en las (ue la localizacin espacial de un

o!jeto o de un sistema de referencia asociado, pueda realizarse a tra)4s de la

composicin de di)ersas transformaciones distintas. En la gura .-F se tiene

un manipulador cua !ase est referida al sistema del mundo %&'/ mediante

la transformacin M$:. su )ez, para pasar de la !ase del manipulador a su

e1tremo se utiliza la transformacin :$E.

Figura 3.1Ejemplo de aplicacin de di)ersas transformaciones para

localizar un o!jeto

El e1tremo de la 0erramienta est referido con respecto al e1tremo del

manipulador por la transformacin E$H. su )ez, un o!jeto est referido con

respecto al sistema %&'/ mediante la transformacin M$%, por *ltimo, el

e1tremo de la 0erramienta est referido con respecto al o!jeto a tra)4s d la

transformacin %$H. Se o!ser)a (ue el nal de la 0erramienta puede ser


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referido con respecto al sistema %&'/ de dos maneras distintas> a tra)4s del

manipulador a tra)4s del o!jeto. ;e tal manera (ue se puede escri!ir>

Figura 3.1. Qrco de

transformacin

Esta relacin se puede representar mediante un grco de transformacin

como el de la +igura .-G "27LF-$. ;e tal manera (ue si se (uiere o!tener la

relacin entre el o!jeto la 0erramienta !astar multiplicar am!os miem!ros

de la ecuacin anterior por M$%-o!teni4ndose>

3ual(uier otra relacin puede ser o!tenida fcilmente a partir del grco. 2ara

ello se ir desde el o!jeto inicial al nal multiplicando las matrices detransformacin correspondiente a los arcos del grco, considerando (ue de

recorrerse 4stos en el sentido in)erso a las Rec0as de!er utilizarse una matriz

in)ersa. s la relacin entre la !ase del ro!ot el o!jeto )endr dada por>


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o !ien por>

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