5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak...

90
5. GAIA Solido zurruna 5.1 IRUDIA Giroskopioaren prezesioa. 161

Transcript of 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak...

Page 1: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

5. GAIA

Solido zurruna

5.1 IRUDIA Giroskopioaren prezesioa.

161

Page 2: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

162 5 Solido zurruna

Solido zurruna partikula-sistema errazenetakoa dugu. Definizioak (hau da, puntuen artekodistantziak konstanteak izateak) ondorio baliagarria du:solidoaren higidura orokorra translaziobaten eta biraketa baten konposizioa da. Hasteko, ardatz finko baten inguruko higidura erraza be-rrikusiko dugu. Zinematika aztertzean inertzia-tentsorearen kontzeptua sartu eta aztertu beharkodugu: fisikan tentsoreek duten erabilgarritasunaren adibiderik errazena da hau. Dinamika egitekoEuler-en ekuazioak oso baliagarriak izango dira, solidoaren sisteman inertzia-tentsorea konstan-tea baita.

5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak

Partikula-sistema bat solido zurruna dela esaten da bere partikulen arteko distantziak aldatzenez badira:|r2 − r1| = ktea. Azter ditzagun definizio-baldintza honek dituen zenbait ondorio.

5.1.1 Askatasun-graduak

Solido zurrunaren askatasun-graduak (hau da, solidoaren puntu guztien posizioa zehaztekoezagutu behar diren magnitudeen kopurua) gehienez6 direla ikusteko, kontsidera dezagun soli-doarekin batera higitzen eta biratzen den erreferentzia-sistema bat. Sistema horretan, solidoarendefinizioaren ondorioz, partikula bakoitzaren posizio-bektorea eta bere osagaiak konstanteak dirahigiduran zehar. Beraz, sistemaren konfigurazioa beste erreferentzia-sistema batean ezagutzekonahikoa da horretan solidoaren sistemaren posizio eta orientazio erlatiboak ezagutzea eta,2.3ata-lean frogatu genuenez, horretarako aski dira6 koordenatu: adibidez, jatorriaren posizioa zehaztenduten3 koordenatu cartesiarrak eta orientazio erlatiboa ematen duten Euler-en3 angeluak.

5.2 IRUDIA Solido zurrunaren konfigurazioa ezagutzeko metodoa.

Era zuzenean era ikus dezakegu nola eman daitezkeen (aldiune batean) solidoaren puntu guz-tien posizioak.

1. P puntu baten posizioa ezagutzeko, erreferentzia-sistema batean neurtutakor =−→

OP posi-zio-bektorearen hiru osagai independenteak behar dira.

2. Bigarren puntu baten posizioa ezagutzeko nahikoa da bi koordenatu gehiagorekin, aurrekopuntutik neurtutako distantzia konstantea baita. Izan ere, bigarren puntuaP ′ bada,|PP ′|distantzia ezagututa,PP ′ zuzenaren norabidea eta noranzkoa zehaztu behar dugu bakarrik,

eta horretarakoe =−→PP ′ / |PP ′| bektore unitarioaren bi osagai behar dira: hirugarrena

|e|2 = e2x + e2y + e2z = 1 baldintzak emandakoa izango da.

Page 3: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163

3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiekdefinituriko zuzenaren inguruko biraketei dagokiena da, eta biraketa horren balioa angelubakarraren bidez deskribatzen da.

5.3 IRUDIA Solido zurruna eta bi erreferentzia-sistemak.

5.1.2 Abiadura-eremua

Kontsidera ditzagun solidoaren bi partikula edo solidorekin batera higitzen diren bi puntugeometriko1. Solidoarekin batera higitzen eta biratzen denS ′ sisteman puntu horienr′1 etar′2bektoreak konstanteak dira:r′1 = r′2 = 0. BesteS erreferentzia-sistema batean hauxe dugu,(2.74) eta (2.75) emaitzen arabera:

r1 = r′1 + R, (5.1)

r2 = r′2 + R, (5.2)

r1 = r′1 + R + ω × r′1 = R + ω × r′1, (5.3)

r2 = r′2 + R + ω × r′2 = R + ω × r′2, (5.4)

nonR etaω bektoreekS ′ sistemarenS sistemarekiko posizioa eta abiadura angeluarra ematendituzten. Ekuazio horien ondorio zuzenak honako hauek dira:

r2 − r1 = r′2 − r′1, (5.5)

r2 − r1 = ω × (r′2 − r′1) = ω × (r2 − r1) . (5.6)

Azken emaitzak hiru gauza frogatzen ditu:

1. Solidoaren edozein bi punturen arteko higidura erlatiboa biraketa hutsa da. Izan ere, hauez da harrigarria: posizio erlatiboaren modulua,|r2 − r1| distantzia, konstantea denez, aldadaitekeen gauza bakarra posizio erlatiboaren orientazioada.

2. Solidoaren edozein bi punturen arteko abiadura angeluarerlatiboa berbera da:solidoarenabiadura angeluarra. Hau ez da hain nabaria, pentsa genezake (5.6) emaitzan agertzenden abiadura angeluarra aukeraturiko puntu bikotearen menpekoa dela, baina frogatu duguez dela horrelakoa. Gainera′ guztiak desagertu dira:S-rekiko abiadura angeluarra ez daerabili dugun tarteko solidoarenS ′ sistemaren menpekoa.

1Adibidez, masa-zentroa solidoarekin batera higitzen da, jakina, baina ez du zertan solidoaren partikula batenposizioan egon. Pentsa ezazu non dagoen masa-zentroa esfera huts baten kasuan.

Page 4: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

164 5 Solido zurruna

3. Honela kalkulatzen da solidoaren puntu baten abiadura bigarren puntu batena ezagutzenbada:

r2 = r1 + ω × (r2 − r1) . (5.7)

Ondorioz,solidoaren higidura orokorra translazio baten eta biraketa baten konposizioada.

5.1 ARIKETA Nolakoak dira1 puntuaren abiadura angeluarra2-rekiko eta azken honen abiaduraangeluarra1-ekiko?

5.1.3 Higidura-ekuazioak

Ohi bezala, Newton-en hirugarren legea betetzen dela suposatzen badugu, partikula-sistemahonen eboluzio-ekuazio kolektiboetan ez dira barne-indarrak agertzen eta, beraz, hauexek diramomentu lineal eta angeluar osoen deribatuak:

P = F ≡N∑

i=1

F(k)i , (5.8)

L = N ≡N∑

i=1

ri × F(k)i , (5.9)

non F etaN kanpo-indar osoa eta kanpo-indarren momentu osoa diren. Notazio hau erabili-ko dugu gai osoan, ez da barne-indarrik inondik agertuko eta, hortaz, ez da beharrezkoa behineta berriroF(k) etaN(k) idaztea. Solidoaren askatasun-graduak6 direnez, (5.8)–(5.9) ekuazioaknahikoak dira, printzipioz, solido zurrunaren higidura osoa kalkulatzeko, hastapen-baldintzakezagutzen badira. (Hori ez da egia izango askatasun-gradu gehiagoko partikula-sistemetan.)

Hemen inplizituki suposatu dugu solidoa erreferentzia-sistema inertzial batean aztertzen ge-nuela; baina, dakigunez, partikula-sistemen kasuan masa-zentroarena oso erabilgarria da. Izanere, (5.8) ekuazioak masa-zentroaren translazio-higidura ematen du. Masa-zentroaren sistemanmomentu lineal osoa nulua da,P∗ = 0, eta, translazio-higidura kenduta, masa-zentroaren inguru-ko biraketa geratzen da bakarrik. Higidura horrek3 askatasun-gradu ditu (gehienez) eta dagokioneboluzio-ekuazioa (2.11) da:

L∗ = N∗. (5.10)

(Gogoratu bestelako erreferentzia-sistema ez inertzialetan inertzia-indarren momentua ere kon-tuan hartu behar dela.)

5.2 Ardatz finko baten inguruko higidura

Eman dezagun solido zurruna ardatz finko bat duela eta, hortaz, egin dezakeen higidura ba-karra ardatzaren inguruko biraketa dela. Analisia errazteko, biraketa-ardatzean aukeratuko duguerreferentzia-sistemakoOZ ardatza. Solidoaren partikula baten posizioa, koordenatuzilindrikoe-tan,

r = ρ ρ + z k (5.11)

izango da eta abiadura (B.2 taulan esandakoaren arabera)

r = ρ ρ + ρϕ ϕ + z k. (5.12)

Page 5: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

5.2 Ardatz finko baten inguruko higidura 165

5.4 IRUDIA Ardatz finko baten inguruko biraketa.

Baina zurruna denez, partikula eta ardatzaren artekoρ distantzia konstantea da, eta gauza beragertatzen daz koordenatuarekin. Bestalde,ϕ angelua partikularen menpekoa izan arren, berederibatuaω = ϕ ez da aldatzen puntu batetik bestera (baina bai, oro har, denborarekin) partikulaguztiak batera biratzen ari direlako. Puntu baten abiadura, beraz, hauxe da:

r = ρω ϕ = ω × r, (5.13)

nonω ≡ ω k (5.14)

bektorea solidoaren abiadura angeluarra den. Ageri denez,(5.13) emaitza (5.6) adierazpen oro-korraren kasu partikularra da.

5.2.1 Momentu angeluarra eta inertzia-momentua

r posizioan dagoen «partikula», puntu horren inguruko elementu infinitesimal bat izango da,dV bolumena etadm masa dituena. (Puntu horretan masa-dentsitateaµ bada,dm = µ dV dugu,noski.) Elementu honen momentu angeluarra hauxe da:

dL = r × dm r = ωρ2 dmk − ωρz dm ρ (5.15)

da etaρ bektorea,k ez bezala, puntuaren menpekoa denez, solidoarena

L =∫

VdL = ω

[∫

Vρ2 dm

]

k − ω[∫

Vzρ ρ dm

]

. (5.16)

Lehen batugaian mako artean agertzen den

I ≡∫

Vρ2 dm (5.17)

magnitudeaardatzarekiko inertzia-momentua dela esaten da: ez daO puntuaren menpekoa(puntua ardatzean badago behintzat), definizioan bakarrikagertzen baita ardatzetik neurtutakodistantzia. Bestalde,ρ ρ = x i + y j denez,

L = Iω − ω[∫

Vxz dm

]

i − ω[∫

Vyz dm

]

j (5.18)

Page 6: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

166 5 Solido zurruna

dugu eta, ondorioz,momentu angeluarra ez da, oro har, abiadura angeluarraren paraleloa:

L 6= Iω, Lz = Iω = Iϕ. (5.19)

Jakina, kasu berezi batzuetan (simetriagatik edo) gerta daiteke (5.18) adierazpeneko azken bigaietako integralak zero izatea eta, ondorioz, momentu etaabiadura angeluarrak elkarren para-leloak. Horixe gertatuko da ardatzaren inguruko biraketa-simetria badu gorputzak, zeren orduan(x, y, z) posizioko elementu bakoitzeko(−x,−y, z) puntuan simetriko berdin bat baitago. Baina,oro har, ez da hori gertatuko. Ikus dezagun adibide bat.

5.5 IRUDIA Hagatxo birakorra.

5.5irudiko hagatxoa masa gabekoa da eta ardatz bertikalaren inguruan biratzen ari daω abia-dura angeluarraz. Problema honek duen simetria ez da lehen aipatu duguna, zentroaren ingurukoalderanzketa baizik:(x, y, z) ↔ (−x,−y,−z). Zentro horretan kokaturiko erreferentzia-siste-man bi partikulen posizio-bektoreak elkarren kontrakoak izango dira eta goikoaren koordenatuzilindrikoak (l/2 sin θ, ϕ, l/2 cos θ) badira, bestearenak(l/2 sin θ, ϕ+ π,−l/2 cos θ) ditugu.

5.2 ARIKETA Egiaztatu problema honetan hurrengo balioak ditugula:

I =1

2ml2 sin2 θ, (5.20)

L = Iω − 1

2ml2ω sin θ cos θ ρ+, (5.21)

non ρ+ = (x i + y j) /√

x2 + y2 goiko partikulari dagokiona den. Biraketa-ardatzaren inguruko si-metrikoak direnθ = 0, π/2 kasuetan izan ezik, beraz, momentu angeluarra ez da abiadura angelua-rraren paraleloa.

5.2.2 Indar-momentua

Momentu angeluarraren eboluzio-ekuazioa (5.9)-tik lortzen dugu:

N = L 6= Iω, Nz = Lz = Iω = Iϕ. (5.22)

Abiadura angeluarra konstantea bada,Nz = 0 izango da; baina,L = Iω kasu berezian izan ezik,N 6= 0 izango da eta sistemak kanpo-momentu bat pairatzen du.

Goiko hagatxoaren adibidean,ω konstantea denean ere, biraketa-ardatzak eta hagatxoak de-finituriko planoan dago momentu angeluarra eta, ondorioz, hagatxoarekin batera biratzen ari da:ez da konstantea. Adibidez,ω etaθ konstanteak badira,L modulua ez da aldatzen, baina bai berenorabidea:

N = L = ω × L ⊥ ω. (5.23)

Page 7: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

5.2 Ardatz finko baten inguruko higidura 167

Beraz, sistemaren gainean ardatzak (edo, nahiago bada, honen gainean bere euskarriek) indar--momentu bat egiten du, hagatxoak horizontalera joateko duen joeraren kontrakoa:

N = L = −1

2ml2ω2 sin θ cos θ ϕ+,

(

ϕ+ =−y i + x j√x2 + y2

)

. (5.24)

5.3 ARIKETA Egiaztatu azken emaitza.

5.2.3 Biraketa-erradioa

Solidoaren biraketa-erradioaren definizioaK ≡√

I/m da,

I =∫

Vρ2 dm = mK2 (5.25)

betetzeko moduan. Hau da, problema baliokide batean inertzia-momentua solidoarenarena izate-ko,m masa puntual bat non kokatu behar den neurtzen du biraketa-erradioak.

5.4 ARIKETA Zein da5.5irudiko hagatxo birakorraren biraketa-erradioa?

5.2.4 Energia zinetikoa

dm elementuaren energia zinetikoa

dT =1

2dm r2 =

1

2dmρ2ω2 (5.26)

denez, solidoarena hauxe da:

T =∫

VdT =

1

2

[∫

Vρ2 dm

]

ω2 (5.27)

=1

2Iω2 (5.28)

=1

2mK2ϕ2 (5.29)

=1

2L · ω. (5.30)

5.5 ARIKETA Zein da5.5irudiko hagatxo birakorraren energia zinetikoa?

5.2.5 Pendulu fisikoa

Adibidez, kanpo-indarra pisua bada eta ardatz finkoa horizontala,5.6 irudiko pendulu fisi-koa da gure solido zurruna. Momentu angeluarrak eta indar-momentuak ardatzaren norabideandituzten proiekzioak erraz kalkulatzen dira,OX ardatza bertikalean eta beherantz aukeratuz:

Lz = Iϕ = mK2ϕ, (5.31)

Nz = −mga sinϕ, (5.32)

Page 8: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

168 5 Solido zurruna

5.6 IRUDIA Pendulu fisikoa.

nona delakoa ardatzaren eta masa-zentroaren artekoesekidura-distantziaden. Hortaz,Nz = Lz

higidura-ekuazioa honela idazten da:

ϕ+ga

K2sinϕ = 0. (5.33)

Pendulu matematiko baliokidearen luzera, beraz,l = K2/a da. Jakina adierazpen hauetan ager-tzen denK biraketa erradioa esekidura-ardatzarekiko definitua da.5.6.2probleman biraketa-ar-datzaren eta masa-zentroaren inguruko biraketa-erradioen arteko erlazioa hurrengoa dela froga-tuko dugu:

K2 = K∗2 + a2. (5.34)

5.7 IRUDIA Solidoaren higidura bere puntu baten inguruan.

5.3 Inertzia-tentsorea

Lehenago ikusi dugunez, simetria handiko kasu berezietan izan ezik, momentu eta abiaduraangeluarrak ez dira elkarren proportzionalak. Atal honetan, aipaturiko magnitudeen arteko erla-zioa argitzeko, solidoarekin batera higitzen denO puntu bat aukeratuko dugu. Adibidez, solidoa-ren puntu finko bat izan daiteke, edo puntu geometriko bat, hala nola masa-zentroa.5.1.2ataleanikusi genuenez, beste edozein puntu, solidoarenω abiadura angeluarraz ari da biratzen aukeratudugunaren inguruan eta azken honetatik neurtutako haren posizio-bektorear bada, bere abiaduraerlatiboar = ω × r izango da. Solidoaren elementu infinitesimal baten momentuangeluarraaipaturiko puntuarekiko

dL = r × dm r = [r × (ω × r)] dm =[

r2ω − (r · ω) r]

dm (5.35)

Page 9: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

5.3 Inertzia-tentsorea 169

denez, solidoarena hauxe dugu:

L =∫

VdL =

V

[

r2ω − (r · ω) r]

dm. (5.36)

L etaω ez dira, oro har, elkarren paraleloak baina haien arteko erlazioa lineala da, tentsore batenbidez emandakoa. Hau ikusteko, aukera dezagun puntu bereantriedro bat (kalkulua aldiune ba-tean egingo dugunez, berdin da aipaturiko triedro erreferentzia-sistema inertzial batekoa den edoez).2.2ataleko notazioa erabiliz, posizio-bektorear =

∑3j=1 xj ej da eta momentu angeluarraren

osagaiak hurrengoak:

Li =∫

VdLi =

V

r2ωi − xi

3∑

j=1

xjωj

dm =3∑

j=1

[∫

V

(

r2δij − xixj

)

dm]

ωj, (5.37)

non Kronecker-en delta erabili dugun. Emaitza hau modu honetan ere idazten da:

Li =3∑

j=1

Iijωj, (5.38)

Iij ≡∫

V

(

r2δij − xixj

)

dm. (5.39)

Iij elementuekin3 × 3 inertzia-matrizea defini daiteke, aurreko emaitza

L = I · ω (5.40)

modu laburrean edo

Lx

Ly

Lz

=

V (y2 + z2) dm − ∫V xy dm − ∫V xz dm− ∫V xy dm

V (x2 + z2) dm − ∫V yz dm− ∫V xz dm − ∫V yz dm

V (x2 + y2) dm

·

ωx

ωy

ωz

(5.41)

modu esplizituan idazteko. Inertzia-matrizearen diagonaleko elementuak ardatz cartesiarrekikoinertzia-momentuak dira, jakina, eta diagonalaren kanpokoakinertzia-biderkadurak deitzen di-ra.

Elementu infinitesimalaren energia zinetikoa

dT =1

2dm r2 =

1

2dm (ω × r)2 =

1

2

[

r2ω2 − (r · ω)2]

dm =1

2dL · ω, (5.42)

denez, solidoarena honela idazten da:

T =1

2L · ω =

1

2

3∑

i,j=1

Iijωiωj =1

2ω⊤ · I · ω, (5.43)

non, ohi bezala,ω⊤ errenkada-matrizeaω zutabe-matrizearen iraulia den.

5.3.1 Tentsoreak

I inertzia-«matrizea» dela esan dugu, baina triedro guztietan betetzen da goiko adierazpenoro. Bektore baten kasuan, triedro bakoitzean osagai batzuk lortuko dira, eta hauen bidez zutabe--matrize bat eraiki daiteke, baina bektorea bera triedroaren independentea da. Orobat, (5.40) adie-razpenean,L etaω bektoreez gain, beste objektu matematiko bat dugu, triedroaren independentea

Page 10: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

170 5 Solido zurruna

denI tentsorea. Triedro bakoitzean inertzia-tentsore horrek9 osagai ditu; baina, gehienez,6 izan-go dira desberdinak, inertzia-tentsorea simetrikoa baita:Iij = Iji. Triedroa aldatzean bektoreeneta tentsoreen osagaiak aldatu egiten dira, baina ez edonola, orain ikusiko dugun modu zehatzeanbaizik.

Eman dezagunS∗ etaS triedroen oinarrietako bektore unitarioake∗

i eta ei direla, hurrenezhurren.2.2atalean ikusi genuenez, lehen sistematik bigarrenera joatekoRij ≡ ei · e∗

j elementuakdituenR biraketa-matrizea erabili behar da etau bektore bati dagozkion matrizeakU∗ etaU

badira, euren arteko erlazioaU∗ = R⊤ · U edotaU = R · U∗ da.

5.6 ARIKETA Ondorioztatu inertzia-tentsorearen matrizeen arteko erlazioa hurrengo antzekota-sun-transformazioa dela:

(

I∗ij)

= R⊤ · (Iij) · R. (5.44)

Zein da alderantzizko transformazioa?

5.3.2 Inertzia-ardatz nagusiak

Askotan esan dugunez, oro har, momentu eta abiadura angeluarrak ez dira paraleloak; bainaparaleloak diren kasu berezietan bektore horiek kasu horretan definitzen duten norabideainer-tzia-ardatz nagusia(edoinertzia-norabide nagusia) deitzen da. Baina bete behar denL ∝ ω

baldintzaI · ω ∝ ω denez, ardatz nagusirik existitzen den jakiteko ebatzi behar den problemainertzia-matrizearen balio eta bektore propioen problemada:

I · ω = λω. (5.45)

5.3.3 Balio propioen problema

Gogora dezagun nola ebazten denI tentsore simetriko batenλ balioen etau bektore propioenproblema:

I · u = λu ⇐⇒3∑

j=1

Iij uj = λui, (Iij = Iji). (5.46)

Hasteko, hurrengoekuazio karakteristikoaren λ = λ1, λ2 etaλ3 soluzioak,balio propioakalegia, aurkitu behar dira:

|I − λ1| =

I11 − λ I12 I13I21 I22 − λ I23I31 I32 I33 − λ

= 0. (5.47)

Balio propioak errealak dira eta

I · u = λiu ⇐⇒

(I11 − λi)u1 + I12u2 + I13u3 = 0,I21u1 + (I22 − λi)u2 + I23u3 = 0,I31u1 + I32u2 + (I33 − λi)u3 = 0

(5.48)

sistema linealean ordezkatzen badira, hiru bektore propioortonormal (u = u1,u2 etau3) aurkidaitezke:

U1 =

R11

R21

R31

, U2 =

R12

R22

R32

, U3 =

R13

R23

R33

, (5.49)

Page 11: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

5.3 Inertzia-tentsorea 171

ui · uj = δij ⇐⇒ U⊤

i · Uj = δij , (5.50)

nonUi zutabe-matrizeaui =∑3

j=1Rij ej bektoreari dagokiona den.Bektore propioen osagaiekin honakoR matrize ortogonal hau osatzen da:

R = (u1,u2,u3) =

R11 R12 R13

R21 R22 R23

R31 R32 R33

, (5.51)

R⊤ · R = R · R⊤ = 1 ⇔3∑

k=1

RkiRkj =3∑

k=1

RikRjk = δij . (5.52)

Ondoko biraketa hau eginez,

U∗ = R⊤ · U ⇐⇒ u∗i =3∑

j=1

Rjiuj, (5.53)

e∗

i = ui bektore propio unitarioek definituriko erreferentzia-sistema lortzen dugu eta bertanItentsorea diagonala da,

(

I∗ij)

= R⊤ · (Iij) · R =

λ1 0 00 λ2 00 0 λ3

. (5.54)

I tentsorea erdidefinitu positiboa bada, (u · I ·u = U⊤ · (Iij) ·U = U∗⊤ ·(

I∗ij)

·U∗ ≥ 0, ∀u),balio propio guztiak positiboak edo nuluak dira.

5.3.4 Inertzia-momentu nagusiak

Inertzia-matrizea simetrikoa denez, hiru bektore propio elkarren perpendikular ditu. Jakina,bektore propioaren proportzionalak diren beste guztiak ere propioak izango dira eta denak daudenorabide nagusi batean. Norabide hori adierazteko, dagokion e∗

i bektore unitarioa aukeratzenbadugu, beraz,

I · e∗

i = Ii e∗

i (5.55)

dugu, etaIi balio propioainertzia-momentu nagusiadeitzen da. Beraz,momentu eta abiadu-ra angeluarrak elkarren paraleloak izango dira baldin eta soilik baldin ω solidoaren norabidenagusi batean badaude: I · ω = Ii ω.

5.3.3atalean gogoratu dugunez, triedroa aldatzen badugu orain ardatzak nagusiak izateko,hau da,triedro nagusia deitzen denS∗ triedro berria eraikitzeko ardatz cartesiarrake∗

i bektorepropioen norabideetan aukeratzen baditugu, han inertzia-matrizea diagonala da,

(

I∗ij)

=

I1 0 00 I2 00 0 I3

, (5.56)

eta momentu angeluarraren eta energia zinetikoaren adierazpenak erraztu egiten dira:

L∗

i = Iiω∗

i , (5.57)

T ∗ =1

2

3∑

i=1

Iiω∗

i2. (5.58)

Page 12: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

172 5 Solido zurruna

Hasierako triedrotik nagusira joateko erabili behar den matrizeaR⊤ da. Bestalde, (5.56) adieraz-penean ikusten dugu zer diren inertzia-momentu nagusiak: ardatz nagusiekiko inertzia-momen-tuak alegia.

Hiru inertzia-momentu nagusiak desberdinak badira, hiru norabide nagusiak modu bakarreandaude definiturik, bektore propio ortonormalak aukeratzeko modu bakarra baitago. Baina bi iner-tzia-momentu berdinak direnean,I1 = I2, bi bektore nagusien konbinazio lineal guztiak ere pro-pioak dira eta definitzen duteninertzia-plano nagusiandauden norabide oro nagusia da. Kasuhorretan solidoaziba simetrikoa dela esaten da, eta aipaturiko jostailua da adibiderik ezagunena.

Hiru inertzia-momentu nagusiak berdinak badira,I1 = I2 = I3 ≡ I, bektore guztiak propioakdira eta norabide guztiak nagusiak. Solidoaziba esferikoadela esaten da etaL = Iω etaT =12Iω2 adierazpen errazak betetzen dira beti.

5.8 IRUDIA Hagatxo arin batez loturiko bi masa.

Adibide moduan,5.8irudiko sistema aztertuko duguOXY Z triedroan. Masa osoa

x = ± l

2cosϕ, y = ± l

2sinϕ, z = 0 (5.59)

puntuetan dagoenez, inertzia-matrizea zuzenean kalkulatzen da:

I =1

2ml2

sin2 ϕ − sinϕ cosϕ 0− sinϕ cosϕ cos2 ϕ 0

0 0 1

. (5.60)

Ekuazioa karakteristikoa,a ≡ 12ml2 definizioarekin,

a sin2 ϕ− λ −a sinϕ cosϕ 0−a sinϕ cosϕ a cos2 ϕ− λ 0

0 0 a− λ

= −λ(λ− a)2 = 0 (5.61)

da eta inertzia-momentu nagusiakI1 = 0, I2 = I3 = 12ml2. Ziba simetrikoa da, beraz, solido hau.

5.7 ARIKETA Egiaztatu bektore propio unitarioak, norabide nagusiak ematen dituztenak, hurren-go moduan aukera daitezkeela:

e∗1 =

cosϕsin ϕ

0

, e∗2 =

− sinϕcosϕ

0

, e∗3 =

001

. (5.62)

Ondorioz, ardatz nagusitzat irudikoOX∗,OY ∗ etaOZ aukera daitezke. Izan ere, ziba simetrikoadenez,OY ∗Z planoa nagusia da eta bertako edozein norabide, nagusia da zentrotik pasatzenbada.

Page 13: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

5.3 Inertzia-tentsorea 173

5.8 ARIKETA Kalkulatu triedro nagusira pasatzeko biraketa-matrizea eta egiaztatu han inertzia--tentsorea diagonala dela.

Ardatz nagusiak aurkitzeko inertzia-tentsorearen balio eta bektore propioen problema ebatzibehar da (ikus5.3.3 atala), baina goiko adibidea bezalako kasu erraz askotan informazio in-teresgarria lor daiteke problemaren simetriaz baliatuz, solidoa homogeneoa (hau da, dentsitatekonstantekoa) denean:

5.9 IRUDIA OY Z simetria-planoa da etaOZ simetria-ardatza.

1. Kontsideratzen dugun puntutik pasatzen densimetria-plano oro ardatz nagusi baten per-pendikularra da. Beraz, badakigu plano baten inguruko alderanzketekiko aldaezina badasolidoa, planoaren perpendikularra norabide nagusia dela.

Izan ere, simetria-planoaOY Z izateko moduan aukeratzen badugu erreferentzia-sistema(5.9 irudian bezala), aipaturiko simetria honela idazten daµ masa-dentsitateaz2 baliatuz:

µ(−x, y, z) = µ(x, y, z) (5.63)

eta, ondorioz,

Ixy = Iyx = −∫

Vxy dm = −

Vxyµ dV = 0 (5.64)

integrakizuna bakoitia baita. Arrazoi beragatikIxz = Izx = 0 dugu eta, beraz,

(Iij) =

Ixx 0 00 Iyy Iyz

0 Iyz Izz

. (5.65)

Argi dagoi bektorea etaOX ardatza (simetria-planoaren perpendikularrak direnak) nagu-siak direla.

2. Kontsideratzen dugun puntutik pasatzen densimetria-ardatz oro nagusia da. Gainera, si-metria-ardatzarenordena3 edo handiagoa bada, plano perpendikularreko norabide guz-tiak ere nagusiak dira: ziba simetrikoa da. Beraz, solidoa ardatz baten inguruan biratzeanbi posizio baliokide baditu aipaturiko ardatza nagusia da.Posizio baliokideak hiru edogehiago (edo infinitu) badira, ardatza eta bere plano perpendikularra nagusiak dira.

2ρ koordenatu zilindrikoarekin ez nahasteko, hemenµ letra erabiliko dugu dentsitatea adierazteko.

Page 14: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

174 5 Solido zurruna

Hau frogatzeko har dezagunOZ ardatza simetria-ardatzean (ikus5.9 irudia). Simetria--ardatzaren ordenan bada, hauxe dugu koordenatu polar zilindrikoetan:

µ(ρ, ϕ, z) = µ(ρ, ϕ+ α, z), α =2π

n. (5.66)

Hortaz,

Ixz = Izx = −∫

Vxz dm = −

Vxzµ dV = −

Vµ(ρ, ϕ, z) ρz cosϕdρ dϕ dz (5.67)

dugu etaϕ-rekiko integrala egitean

∫ 2π

0µ(ρ, ϕ, z) cosϕdϕ =

[

∫ α

0+∫ 2α

α+ · · ·+

∫ 2π

(n−1)α

]

µ(ρ, ϕ, z) cosϕdϕ

=∫ α

0µ(ρ, ϕ, z) [cosϕ+ cos(ϕ+ α) + cos(ϕ+ 2α) + · · ·

+ cos(ϕ+ (n− 1)α)] dϕ = 0 (5.68)

dugu, (B.106) emaitzaren ondorioz. Arrazoi beragatikIyz = Izy = 0 dugu eta, beraz,OZardatza nagusia da:

(Iij) =

Ixx Iyz 0Ixy Iyy 00 0 Izz

. (5.69)

Adibidez,5.9 irudiko kasuanOY Z planoa simetriazkoa denez,OX ardatza nagusia da.OZardatza nagusia da2 ordenako simetria-ardatza delako.OY ardatza ere nagusia da beste bienortogonala delako (edo, nahiago bada,OXZ simetria-planoaren perpendikularra delako).

Kontsidera dezagun orain paralelepipedo angeluzuzen baten (edo5.13irudiko tenis-errake-taren) ardatzeko puntu batekiko inertzia-tentsorea. Bi simetria-plano pasatzen dira handik etaberaz, bakoitzaren perpendikularra den (eta bestean dagoen) norabide nagusi bat dago. Hiruga-rren ardatz nagusia aurrekoen perpendikularra da: bi simetria-planoen ebakiduran dago. Azkenemaitza hau goiko bigarren araua erabiliz ere lortzen da, simetria-planoen arteko ebakidura si-metria-ardatza baita.

Bestalde, nahikoa da paralelepipedoaren oinarria triangelu aldekidea (edo karratua, . . . ) iza-tea, ardatzaren perpendikularra den plano bat nagusia izateko: ez da beharrezkoa oinarria zirkula-rra izatea. Era berean esfera homogeneoak eta simetria esferikoa duten bestelako gorputzak (halanola esfera hutsak) ez dira ziba esferiko bakarrak: horrelakoak dira, adibidez, kubo homogeneoguztiak, euren zentrotik pasatzen diren ardatz guztiekikoinertzia-momentuak berdinak baitira.(Azken baieztapena frogatzeko, nahikoa da kontuan hartzeahiru simetria-ardatzak baliokideakdirela.)

482. orriko A.6 taulan erakusten dira solido homogeneo batzuen masa-zentroarekiko ardatzeta inertzia-momentu nagusiak. Beste puntuen inguruko inertzia-momentu nagusiak aurkitzeko,5.6.1ariketako ardatz paraleloen teorema erabil daiteke.

5.4 Ziba simetrikoaren prezesioa

Kontsidera dezagun puntu finko bat duen ziba simetriko bat higitzen ari dela grabitatearen era-ginpean,5.10irudian erakusten den moduan. Azterketa errazteko, simetria-ardatzaren inguruan

Page 15: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

5.5 Euler-en ekuazioak 175

oso arin biratzen ari dela suposatuko dugu. Hortaz, abiadura angeluar osoaOZ ardatz nagusiarenparaleloa da hurbilketa onean:

L = Izω k = Izω ‖ R, (5.70)

nonR masa-zentroaren posizio-bektorea den.

5.10 IRUDIA Ziba simetriko arina grabitate-eremuan.

KanpokoS ′ sistema inertzialean, (5.75) higidura-ekuazioa

N = R×mg = −mg ×R = −mRg

L× L = L (5.71)

edotaN = Ω × L = L (5.72)

moduan idatz daiteke. Momentu angeluarra, beraz,

Ω = −mRg

L=mgR

Iωk′ (5.73)

abiadura angeluar konstantez ari da biratzen, bere moduluaaldatu gabe:prezesioaderitzo horre-lako higidura bati. Jakina, modu bertsuan higituko da momentu angeluarraren proportzionala denabiadura angeluarra:

ω = Ω × ω. (5.74)

Gogoratu behar da hemenΩ ≪ ω hipotesia egin dela: izan ere, (5.73) adierazpenean ikustendugunez,ω oso handia deneanΩ txikia da. Hemengo hipotesia ez da egiten (baina bai beste bat)5.6.5probleman. Kasu orokorrean higidura aztertzeko,5.5 ataleko Euler-en ekuazioez baliatubehar da (ikus, esaterako, [10]). Adibidez, benetako ziba batean erraz ikusten danutazioa: θangelua, konstantea izan beharrean, oszilatu egiten da.

5.5 Euler-en ekuazioak

Atal honetan, berriro ere, puntu baten inguruko solidoarenhigidura aztertuko dugu, bainaorain aukeratutako puntuapuntu finko batedomasa-zentroaizango da. Lehen kasuan puntua-ren higidura ezaguna da (geldi dago) eta bestean (1.153) higidura-ekuazioa ebatziz lor daiteke,

Page 16: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

176 5 Solido zurruna

5.11 IRUDIA Laborategiko, espazioaren eta solidoaren sistemak.

printzipioz. Hasteko, puntuaren inguruko dinamika aztertzeko, bertan kokaturikoS∗ erreferen-tzia-sistema bat aukeratuko dugu eta bere ardatzak ez direla sistema inertzialetan biratzen supo-satzen da:espazioaren sistemadeitzen da. Puntua finkoa bada,S∗ inertziala izango da, baina eznahitaez masa-zentroa denean. Hala ere bi kasuetan espazioarenS∗ sisteman higidura-ekuazioa

N = L (5.75)

da, nonL eta N bektoreak puntuarekiko momentu angeluarra eta kanpo-indarren momentuadiren. Hemen, (5.40) ordezkatzen badugu,

N = I · ω + I · ω (5.76)

geratzen da.S∗ sisteman solidoa biratzen ari denez,I inertzia-tentsorea aldakorra izango da.Hau ez da oso erosoa kalkuluak egiteko eta, arazo hau saihesteko, solidoarekin batera biratzen

denS sistema bat aukeratuko dugu:solidoaren sistema. Han inertzia-tentsorea konstantea izangoda, baina Coriolis-en (2.56) teorema erabiliz,

(

dL

dt

)

S∗

=

(

dL

dt

)

S

+ ω × L (5.77)

lortzen da eta, beraz, (5.75) ekuazioa

N = L + ω × L (5.78)

moduan idatzi behar da solidoarenS sisteman. Gainera, azken sistema honen ardatzaknagusiakizateko moduan aukeratuko ditugu(beti egin daiteke hori puntu batekiko inertzia-tentsoreak hirunorabide nagusi perpendikular onartzen baititu). Azpimarratu behar da (5.78) ekuazioko momen-tu angeluarra espazioaren sisteman neurtzen dena dela (solidoaren sisteman dena dago geldi etaez dago momentu angeluarrik). (5.75) eta (5.78) ekuazioak baliokideak dira, bietan agertzen diramagnitude berdinak, baina puntuaren esangura desberdina da: lehenengoan espazioaren sistemankalkulatutako deribatua adierazten du eta bigarrenean solidoaren sisteman kalkulatutakoa. Soli-doaren sistema ez da erabiltzen magnitudeak definitzeko, euren osagaiak (inertzia-matrizearenelementuak eta momentu eta abiadura angeluarraren proiekzioak) kalkulatzeko baizik.

Aukeratu dugun solidoarenS sistema nagusian inertzia-tentsorea diagonala eta konstanteaizango da, eta beraz, (5.57)-ren ondorioz,

L = Ixωx i + Iyωy j + Izωz k (5.79)

Page 17: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

5.5 Euler-en ekuazioak 177

momentua angeluarraren deribatua

L = Ixωx i + Iyωy j + Izωz k (5.80)

izango da. Azken bi adierazpen hauek (5.78) ekuazioaren osagaietan ordezkatuz, Euler-en soli-doaren higidura-ekuazioak lortzen dira:

Nx = Ixωx + (Iz − Iy)ωyωz, (5.81)

Ny = Iyωy + (Ix − Iz)ωxωz, (5.82)

Nz = Izωz + (Iy − Ix)ωxωy. (5.83)

5.9 ARIKETA Egiaztatu azken ekuazioak (5.78)-ren baliokideak direla.

Adibidez,5.4ataleko kasuan, kalkuluakO′X ′Y ′Z ′ sistema inertzialean egin dira. Ikus deza-gun zer gertatzen den solidoarekin batera biratzen ari denOXY Z sistema ez-inertzialean. (Sime-tria kontuan hartuz, berdin da nola aukeratzen direnOX etaOY ardatzakOXY plano nagusian.)Sistema hau inertziala ez denez, inertzia-indarren momentua hartu behar da kontuan eta higidu-ra-ekuazioa ez daN = L. Izan ere solidoaren sistema honetan abiadura angeluar osoaω + Ω daeta bertanL etaω (eta ez bakarrik euren moduluak) konstanteak dira (lehen hurbilketan) eta

N = L + (ω + Ω) × L (5.84)

higidura-ekuazioanL ≈ 0 etaω × L ≈ 0 erabiltzen badira, (5.72) berreskuratzen da.

5.5.1 Higidura askea

Kontsidera dezagun orain kanpo-indarren momentu nulua pairatzen duen solidoaren higidura.Hori gerta daiteke kanpo-indarrik ez dagoenean edo, adibidez, eremu grabitatorio homogeneobatean jaisten ari den solidoaren higidura bere masa-zentroan kokaturiko solidoaren sistemanaztertzen dugulako. Euler-en ekuazioak kasu horretan hauexek ditugu:

Ixωx + (Iz − Iy)ωyωz = 0, (5.85)

Iyωy + (Ix − Iz)ωxωz = 0, (5.86)

Izωz + (Iy − Ix)ωxωy = 0. (5.87)

Dakigunez, solidoaren sisteman ekuazio hauek,

L + ω × L = 0 ⇐⇒ L = −ω × L (5.88)

adierazpenaren osagaiak dira. Hortaz,solidoaren sisteman momentu angeluarra−ω abiaduraangeluarraz ari da biratzen, bere modulua aldatu gabe. Bestalde, espazioaren sisteman momentuangeluarra konstantea da eta abiadura angeluarra ari da biratzen bere inguruan.

Ezezagunakωiωj gai koadratikoetan ere agertzen direnez, (5.85)–(5.87) ekuazioak ez diralinealak. Hemen, hortaz, bakarrik aztertuko dira bi kasu berezi erraz. Lehengoan solidoa simetriahandiagokoa izango da eta bigarrenean soluzio errazenak (konstanteak) eta euren egonkortasunaaztertuko dira.

Page 18: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

178 5 Solido zurruna

5.5.2 Ziba simetriko askea

Ziba simetrikoa dela eta berdinak diren inertzia-momentu nagusiakIx = Iy direla suposatzenbadugu, higidura-ekuazioak hauexek dira:

Ixωx + (Iz − Ix)ωyωz = 0, (5.89)

Ixωy + (Ix − Iz)ωxωz = 0, (5.90)

Izωz = 0. (5.91)

Azken ekuazioanωz osagaia higidura-konstantea dela ikusten dugu eta

Ω ≡ Iz − IxIx

ωz (5.92)

magnitude eskalarra eta

Ω ≡ Ωk =Iz − IxIx

ωz k (5.93)

bektorea ere higidura-konstanteak izango dira. Baina azken hau erabiliz, (5.89)–(5.91) ekuazioak

ω = Ω × ω (5.94)

moduan idazten dira:solidoaren sistemanω abiadura angeluarraΩ abiadura angeluarraz arida biratzen inertzia-plano nagusiaren perpendikularra den ardatz nagusiaren inguruan. Birake-ta-higidura honen ondorioz,ω bektoreak kono bat sortuko duOZ ardatz nagusiaren inguruan:solidoaren konoaedopolodia. Abiadura angeluarrarenω modulua eta biraketa-ardatzean eta no-rabide perpendikularrean dituenωz eta

ω2x + ω2

y proiekzioak ez dira aldatuko higiduran. Emai-tza hauek esplizituki egiazta daiteke, kasu honetan Euler-en ekuazioak erraz ebazten baitira. Izanere,Ω-ren definizioarekin,

ωx + Ωωy = 0, (5.95)

ωy − Ωωx = 0, (5.96)

ωz = 0, (5.97)

moduan idazten dira, eta bigarrenaren deribatuan lehenengoa ordezkatuz, osziladore harmoni-koaren ekuazioa lortzen dugu:

ωy − Ωωx = ωy + Ω2ωy = 0. (5.98)

Ekuazio honenωy = A sin (Ωt+ ϕ0) soluzio ezaguna —gogoratu (1.112) emaitza— (5.96) ekua-zioan ordezkatuz,ωx kalkulatzen da. Hauexek dira, hortaz, Euler-en ekuazioen soluzioak:

ωx = A cos (Ωt+ ϕ0) , (5.99)

ωy = A sin (Ωt+ ϕ0) , (5.100)

ωz = C, (5.101)

nonA, ϕ0 etaC integrazio-konstanteak diren.ω2x + ω2

y = A2 dugu, beraz.Bestalde, solido aske orokorraren kasuan bezala,L momentu angeluarra−ω abiadura ange-

luarraz ari da biratzen. Gainera,Ω, ω etaL bektoreak plano batean daude beti:

Ω · (ω × L) =

0 0 Ωωx ωy ωz

Lx Ly Lz

=

0 0 Ωωx ωy ωz

Ixωx Ixωy Izωz

= 0. (5.102)

Beraz, hiru bektoreak elkarrekin higitzen dira.

Page 19: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

5.5 Euler-en ekuazioak 179

5.10 ARIKETA Egiazatatu solidoaren sisteman modu honetan higitzen delamomentu angeluarra:

L = −ω × L = Ω× L. (5.103)

5.12 IRUDIA Solidoaren eta espazioaren konoakIx > Iz etaIx < Iz kasuetan.

Espazioaren sisteman, berriz,L konstantea da etaω bere inguruan biratzen da. Gainera, abia-dura angeluarrarenω modulua eta momentu angeluarraren norabidean duen

L · ω = Ixω2x + Ixω

2y + Izω

2z = IxA

2 + Izω2z (5.104)

proiekzioa konstanteak direnez, biraketa horretanω bektoreak kono bat sortuko duL-ren ingu-ruan:espazioaren konoaedoherpolodia. Espazioaren sisteman solidoaren konoa espazioarenkonoaren gainazalean zehar biratzen da labaindu gabe,5.12irudian erakusten den bezala.

5.5.3 Higidura askea ardatz nagusi baten inguruan

Atal honetan ez dugu emango solidoa ziba simetrikoa denik, baina suposatuko dugu ardatznagusi baten inguruan higitzen dela. Hirugarren ardatzaren inguruan biratzen bada,ωx = ωy = 0izango dugu eta, (5.87) ekuazioaren ondorioz,ωz = konstantea da. Horrelako higiduraren egon-kortasuna aztertzeko, eman dezagun perturbazio txiki baten ondorioz, orainωx etaωy ez direlanuluak, baina bai oso txikiak,|ωx|, |ωy| ≪ |ωz|. (5.87) ekuazioanωxωy arbuiatzen bada,ωz (ia)konstantea dela ikusten dugu. Gainera, bigarrenaren deribatuan lehenengoa ordezkatu ondoren

α ≡ (Ix − Iz) (Iy − Iz)

IxIyω2

z (5.105)

konstantea definitzen bada, (5.85)–(5.87) ekuazioak honela idazten dira:

ωy + αωy = 0, (5.106)

ωx =Iyωy

(Iz − Ix)ωz, (5.107)

ωz = 0. (5.108)

Bi kasu ditugu, beraz.

Page 20: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

180 5 Solido zurruna

1. Biraketa ardatzarekikoIz inertzia-momentua handiena (Iz > Ix, Iy) edo txikiena (Iz <Ix, Iy) bada,α > 0 denez, (5.106) ekuazioaΩ ≡ √

α pultsazioa duen osziladore harmoni-koaren ekuazioa da:

ωy + Ω2ωy = 0 (5.109)

Honen soluzioa eta (5.107) erabiliz, hauxe dugu:

ωy = A sin (Ωt+ ϕ0) , (5.110)

ωx =IyAΩ

(Iz − Ix)ωz

cos (Ωt+ ϕ0) . (5.111)

Ondorioz, hasieranωx etaωy txikiak baziren, horrelakoak izango dira betiko: ardatz nagu-siaren inguruko biraketa egonkorra izango da.

2. Iz inertzia-momentua tartekoa bada (Ix < Iz < Iy edoIx > Iz > Iy), ordea,λ ≡√−α

definizioarekin, (5.106) ekuazioa

ωy − λ2ωy = 0 (5.112)

da, eta honen soluzioa erraz aurkitzen da1.4.4ataleko metodoa erabilizA etaB integrazio--konstanteen bidez:

ωy = Aeλt +Be−λt, (5.113)

ωx =Iyλ

(Iz − Ix)ωz

(

Aeλt − Be−λt)

. (5.114)

Beraz, hasieran oso txikiak izan arren,ωx etaωy handituz joango dira: ardatz horren ingu-ruko biraketa ezegonkorra da.

5.11 ARIKETA Egiaztatu (5.112) ekuazioaren soluzioa dela (5.113).

5.13 IRUDIA Tenis-erraketaren ardatz nagusiak.

Emaitza hautenis-erraketaren teoremadeitzen da eta horrelako tresna (edo paralelepipedobatekin) oso erraz egiaztatzen da esperimentalki: inertzia-momentu handiena eta txikiena dituz-ten ardatz nagusien inguruan biraraztea oso erraza den arren, hirugarrenaren inguruko biraketaezegonkorra da.

Page 21: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

5.6 Problema ebatziak 181

5.12 ARIKETA Tenis-erraketaren kasuan, zein ardatz nagusirekiko inertzia-momentua da han-diena? Zeini dagokio txikiena? Zergatik?

5.6 Problema ebatziak

5.6.1 Ardatz paraleloen teorema

S erreferentzia-sistemaren eta masa-zentroarenS∗ sistemaren ardatzak elkarren paralelo dira.

Masa-zentroaren posizio-bektorea−→OO∗= R =

∑3k=1Xk ek bada, froga ezazu bi sistemetan

neurturiko inertzia-matrizeen arteko erlazioa honako haudela:

Iij = I∗ij +m(

R2 δij −XiXj

)

.

Galileo-ren transformazioen arabera,

r = r∗ + R,

r2 = r∗2 +R2 + 2r∗ · R,xi = x∗i +Xi,

xixj = x∗ix∗

j +XiXj + x∗iXj + x∗jXi,

dugu eta, hortaz, inertzia-matrizearen osagaiak honako hauek dira:

Iij =∫

V

(

r2δij − xixj

)

dm

=∫

V

(

r∗2δij − x∗ix∗

j

)

dm+∫

V

(

R2δij −XiXj

)

dm

+∫

V

(

2r∗ · R δij − x∗iXj −Xix∗

j

)

dm

dugu. Azken adierazpeneko lehen integralaI∗ij da; bigarrenean integrakizuna konstantea da eta,∫

V dm = m erabiliz, emaitzaren bigarren gaia berreskuratzen da; etaazken integrala nulua da,masa-zentroaren definizioaren ondorioz, masa-zentroarensisteman masa-momentua zero baita:

mR∗ =∫

Vr∗ dm = 0 ⇐⇒ mX∗

i =∫

Vx∗i dm = 0.

5.6.2 Steiner-en teorema

A etaA∗ ardatz paraleloen arteko distantziaa da etaA∗ delakoa masa-zentrotik pasatzen da.Froga ezazu ardatz hauekiko inertzia-momentuekI = I∗ + ma2 erlazioa betetzen dutela. Zeinda biraketa-erradioen arteko erlazioa?

Page 22: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

182 5 Solido zurruna

OZ ardatz cartesiarraA etaA∗-ren paraleloa izateko moduan aukeraturik, bien perpendikularradenaOX bada, aurreko problemaren notazioanR = a i etaX1 = a, X2 = X3 = 0 dugu.Gainera, aukera horrekinA etaA∗ ardatzekiko inertzia-momentuakI33 eta I∗33 dira, hurrenezhurren. Beraz, ardatz paraleloen ondorioz, honako hau geratzen zaigu:

I = I33 = I∗33 +m(

R2 δ33 −X3X3

)

= I∗ +ma2.

Emaitza haum-rekin zatituz, hauxe lortzen da:

K2 = K∗2 + a2.

5.6.3 Eraztuna

Eraztun baten masam da eta erradioaa. Haren zentroaR≫ a erradioko zirkunferentzia batean zeharv abiaduraeskalar konstantez higitzen ari da. Ez dago labainketariketaα angelua konstantea da. Froga ezazuΩ ≪ ω dela.Aurki ezazu zoruak eragindako indarra. Eraztunaren ma-sa-zentroarekiko momentu angeluarraω abiadura ange-luarrari dagokiona dela (eta, beraz,Ω prezesioari dago-kiona arbuiagarria) jorik, froga ezazu hurrengo erlazioabetetzen dela:

R =2v2

gcotα.

Labaindu gabe higitzen denez, masa-zentroaren abiadura hauxe da:

v = ΩR = ωa.

Beraz,R ≫ a baldintzatikΩ ≪ ω dela lortzen dugu. Zoruak eragindako indarraF bada, ma-sa-zentroaren higidura-ekuazioa hurrengoa izango da ardatz bertikalaren inguruko koordenatuzilindrikoetan:

F −mg k = −mv2

Rρ,

eta, beraz,

F = mg k −mv2

Rρ.

Prezesioari dagokion ekarpena arbuiatuz, honela adierazten da masa-zentroarekiko momentu an-geluarra:

L = ma2ω = mav (cosα ρ + sinαk) .

˙ρ = ϕ ϕ = −Ω ϕ dela kontuan hartuz, zera lortzen dugu:

L = −Ωmav cosα ϕ = −mav2

Rcosα ϕ.

Bestaldetik, masa-zentroaren sistemanF indarraren aplikazio-puntua

r = a (sinα ρ − cosαk)

Page 23: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

5.6 Problema ebatziak 183

dela kontuan hartuz, indar-momentu osoa hauxe da:

N = r × F = ma

(

v2

Rcosα− g sinα

)

ϕ.

Momentu angeluarraren higidura-ekuazioaN = L denez, zuzenean ikusten daR = 2v2/g tanαerlazioa bete behar dela aztertutako higiduran.

5.6.4 Esferaerdi hutsa

Kalkula itzazu esferaerdi huts batek hurrengo hiru pun-tuen inguruan dituen inertzia-tentsorea eta momentu na-gusiak:(a)O zentroa.(b) Masa-zentroa.(c) MugakoP puntua.

(a) Irudiko koordenatu esferikoetanθ etaθ + dθ bitarte-ko segmentu zirkularraren erradioar = a sin θ da, es-feraren erradioaa bada. Beraz,ϕ eta ϕ + dϕ bitarte-ko elementu infinitesimalaren oinarria, altuera eta azale-ra r dϕ = a sin θ dϕ, a dθ etadS = a2 sin θ dθ dϕ dira,hurrenez hurren. Masa, beraz, hauxe dugu:

dm =m

2πa2dS =

m

2πsin θ dθ dϕ.

Inertzia-matrizea

IO =∫

y2 + z2 −xy −xz−xy x2 + z2 −yz−xz −yz x2 + y2

dm

=ma2

∫ π/2

0sin θ dθ

∫ 2π

0dϕ×

sin2 θ sin2 ϕ+ cos2 θ − sin2 θ cosϕ sinϕ − sin θ cos θ cosϕ− sin2 θ cosϕ sinϕ sin2 θ cos2 ϕ+ cos2 θ − sin θ cos θ sinϕ− sin θ cos θ cosϕ − sin θ cos θ sinϕ sin2 θ

da etaϕ-rekiko integrala egiteko

∫ 2π

0sinϕdϕ =

∫ 2π

0cosϕdϕ =

∫ 2π

0sinϕ cosϕdϕ = 0,

∫ 2π

0cos2 ϕdϕ =

∫ 2π

0sin2 ϕdϕ =

∫ 1 ± 2 cosϕ

2dϕ = π

emaitza erabilgarriaz baliatzen bagara,

IO =1

2ma2

∫ π/2

0

sin2 θ + 2 cos2 θ 0 00 sin2 θ + 2 cos2 θ 00 0 2 sin2 θ

sin θ dθ.

Page 24: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

184 5 Solido zurruna

Orain,

∫ π/2

0cos2 θ sin θ dθ =

1

3,

∫ π/2

0sin3 θ dθ =

∫ π/2

0

3 sin θ − sin 3θ

4dθ =

2

3

integralak erabiliz, hauxe dugu:

IO =2

3ma2

1 0 00 1 00 0 1

.

Ziba esferikoa da, beraz,O zentroaren inguruan.Integrala egin gabe ere erraz kalkula zitekeen hau,2m masako esfera hutsaren inertzia-ma-

trizean bi erdien ekarpenak guztiz berdinak baitira. Bestalde, eraztunaren inertzia-momentuak,ardatz paraleloen teorema eta simetria erabiliz ere egin daiteke kalkulua.(b) Masa-zentroaren posizioa zuzenean kalkulatzen da:

R =

X1

X2

X3

=1

m

xyz

dm =a

∫ π/2

0sin θ dθ

∫ 2π

0dϕ

sin θ cosϕsin θ sinϕ

cos θ

= a∫ π/2

0

00

cos θ

sin θ dθ =

00a/2

.

Orain ardatz paraleloen teoremaz baliatuz:

I∗ = IO −m(

R2 δij −XiXj

)

=2

3ma2

1 0 00 1 00 0 1

−ma2

4

1 0 00 1 00 0 0

=1

12ma2

5 0 00 5 00 0 8

.

(c) P puntuko triedroarenY ardatza norabide erradial horizontalean eta kanporantz aukeratzenbada,X = 0, Y = −a etaZ = −a/2 erabili behar dira ardatz paraleloen teoreman:

IP = I∗ +m(

R2 δij −XiXj

)

=1

12ma2

5 0 00 5 00 0 8

+ma2

54

0 00 1

4−1

2

0 −12

1

=1

6ma2

10 0 00 4 −30 −3 10

.

Erraz frogatzen da inertzia-momentu nagusiak

I1 =5

3ma2, I2,3 =

7 ± 3√

2

6ma2

direla eta norabide nagusiaki, eta(

1 ∓√

2)

j + k bektoreek definiturikoak.

Page 25: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

5.6 Problema ebatziak 185

5.6.5 Esfera birakorra

Irudiko esfera homogeneoaren erradioaa da etaω abia-dura angeluar konstantez ari da biratzen simetria-ardatzbaten inguruan, azken hauΩ abiadura konstantez ardatzbertikalaren inguruan biratzen delarik.O puntua finkoada. Marruskadura guztiak arbuiagarriak badira, zein daθ angelukonstantea? π/2 baino handiagoa izan daiteke?Oharra: Ebatzi problema Euler-en ekuazioen aldaera ego-kia erabiliz.Kanpo-indarren momentua konstantea izateko, solidoarensistema baino egokiagoa izango da irudikoa:Ω abiadurazari da biratzen,OXZ planoa bi abiadura angeluarrek de-finiturikoa izateko moduan, baina ez da biratzen simetriaardatzaren inguruan. Triedro hau nagusia da eta bertanω,Ω, I etaL higidura-konstanteak dira eta Coriolis-en teore-ma erabiliz hauxe dugu:

N = L + Ω × L = Ω × L[

6= (Ω + ω) × L]

.

Beraz,O puntuaren eta esferaren zentroaren arteko distantziaR bada, solidoaren abiaduraangeluar osoaΩ + ω dela kontuan hartuz, hauxe dugu:

Ny = −mgR sin θ

= ΩzLx − ΩxLz = ΩzIxΩx − ΩxIz (Ωz + ω)

= ΩxΩz (Ix − Iz) − ΩωxIz

= (Ix − Iz) Ω2 sin θ cos θ − IzΩω sin θ.

OrainIz = I∗ etaIx = I∗ +mR2 direnez,

−mgR sin θ = mR2Ω2 sin θ cos θ − I∗Ωω sin θ

baldintza lortzen dugu etaθ-ren balioak hurrengoak izango dira:

θ = 0, π, θ0 ≡ arccosI∗Ωω −mgR

mR2Ω2.

Jakina, azken balioa bakarrik existitzen da honako hau betetzen denean:∣

I∗Ωω −mgR

mR2Ω2

≤ 1.

Argi dago, bestaldetik,θ0 > π/2 izango delamgR > I∗Ωω denean.

Page 26: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

186 5 Solido zurruna

5.7 Problemak

5.1 Solido lau mehea. Eman dezagun solidoaOXY planoan egoteko moduan aukeratzen dugulaerreferentzia-sistema. Froga ezazu solidoaren perpendikularra denOZ norabidea nagusia dela etadagokion inertzia-momentua beste bien batura:I3 = Izz = Ixx + Iyy. Beste bi inertzia-momentunagusiakI1 etaI2 badira, egia al daI3 = I1 + I2 dela?

5.2 Kalkulatu482. orriko taulan agertzen diren inertzia-momentuak.

5.3 Kater-en pendulua. Eman dezagun masa-zentrotika etab distantzia desberdinetara daudenbi puntutatik pendulu fisiko bat esekitzean oszilazio-periodo berdinak neurtzen ditugula. Frogaezazu pendulu matematiko baliokidearen luzeraa+ b dela.

5.4 Disko horizontal bat bere zentrotik pasatzen den ardatz bertikal leun baten inguruan ari dabiratzen. Hasieran ertzean pausagunean zegoen euli bat zentrorantz abiatzen bada astiro-astiro,nolakoa izango da sistemaren energia zinetikoa: hasieran zuena baino handiagoa, txikiagoa alaberdina?

5.5 Jotze-zentroa. Irudiko hagatxo uniformeaO puntua-ren inguruan bira daiteke. Zein da pendulu matematiko ba-liokidearen luzera? Posizio bertikalean pausagunean da-goeneanJ bulkada horizontala aplikatzen bada, zein izan-go da hasierako abiadura angeluarra? Non aplikatu behardaJ bulkadaO puntuan erreakziorik ez izateko?

5.6 Kalkula ezazu kubo uniforme baten hurrengo puntuekiko inertzia-momentu eta norabide na-gusiak:(a) Ertz baten erdiko puntua.(b) Erpin bat.

5.7 Irudiko xafla meheakm masa du etaω abiadura an-geluar konstantez ari da biratzenAB ardatzaren inguruan.Aurki ezazuA etaB euskarriek eragiten dioten indar-mo-mentua.

5.8 Kono homogeneo bete baten altuerah da eta bere oinarriaren erradioar. Kalkula itzazuerpinarekiko inertzia-momentu nagusiak. Nolakoa izan behar duh/r zatidurak erpinetik pasatzendiren ardatz guztiak nagusiak izateko?

5.9 Froga ezazu antzekotasun-transformazioek ez dutela matrizeen aztarna aldatzen.Oharra: GogoratuA = (aij) matrizearen aztarna honela definitzen dela:

trA =3∑

k=1

akk.

Page 27: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

5.7 Problemak 187

5.10 Irudiko sokak puntu finko bat eta hagatxoaren mu-tur bat lotzen ditu. Froga ezazu soka eta hagatxoa ezinegon daitezkeela higidura osoan lerro zuzen berean (ha-gatxo bakar baten antzera) grabitatearen eragin hutsarenmenpean.Iradokizuna: Suposa ezazu higidura hori gerta daitekeelaeta azter ezazu nolakoa den sokak eragindako indarra.

5.11 Irudiko hagatxoaren muturrak zirkunferentzia berti-kal finko batean zehar higi daitezke marruskadurarik gabegrabitatearen eraginpean. Hagatxoaren masam bada, zeinizango da oszilazio txikien maiztasuna?

5.12 S erreferentzia-sisteman solido baten inertzia-tentsorearen osagaiak honako hauek dira:

A −C 0−C B 00 0 A +B

.

Zeintzuk dira inertzia-momentu eta ardatz nagusiak? Zein da inertzia-tentsorea diagonaltzen duenantzekotasun-transformazioa?

5.13 Inertzia-tentsorea. Froga ezazu bi inertzia-momentu nagusiren batura ez dela inoiz erehirugarren momentu nagusia baino txikiagoa. Noiz gertatuko da berdintasuna?

5.14 Bertikalean geldirik dagoen hagatxo bat jausten has-ten da marruskadurarik gabe. Zein izango da masa-zen-troaren abiadura hagatxoa horizontalean dagoenean? Nolaaldatzen da erantzuna orain hagatxoaren mutur bat ardatzleun baten bidez zoruan loturik badago? Zein kasutan hel-duko da lehenago posizio horizontalera?

5.15 Non jo behar du makila horizontalak billar-bola labaindu gabe abia dadin?

5.16 Irudiko kamioa geldirik dago eta atzeko atea irudianerakusten den posizioan.a azelerazio konstantez abiatzenbada, zenbateko denbora beharko du ateak ixteko? Zeinizango da bere abiadura une horretan?Oharra: Erabili hurrengo integral eliptikoa (ikusB.4 ata-la):

∫ π/2

−π/2

dϕ√cosϕ

=∫ π

0

dθ√sin θ

= 4F(

π

4

∣ 2)

≈ 5.24.

Page 28: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

188 5 Solido zurruna

5.17 a erradioko bolav abiaduraz higitzen da, labaindugabe,h < a altuerako mailarekin topo egin arte.O jotze--puntuan labainketarik ez badago, zein izan behar duv-renbalio minimoak maila igotzeko?

5.18 Irudiko sistema lauan hagatxoen masak arbuiaga-rriak dira. Abiadura angeluar konstantez biratzen bada,zein daA etaB euskarri leunek eragindako indar-momen-tua? Euskarriak kentzen badira, zein norabideren inguruanbira daiteke abiadura angeluar konstantez inolako indar--momenturik pairatu gabe?

5.19 Irudiko xafla mehearen masa3m da eta ardatz berti-kalaren inguruan bira daiteke marruskadurarik gabe. Ha-sieran geldirik dago, baina norabide perpendikularrean da-torrenm masako partikulak jotzen du irudian erakustenden puntuan. Talka ondoren partikula norabide berean hi-gitzen da. Kalkulatu partikularen abiadura talka ondoren,azken hau elastikoa izan dela jorik. Norantz higitzen daorain partikula? Grabitatea arbuiagarria bada, zer gertatu-ko litzateke ardatzik ez balego?

5.20 Kalkulatu 5.19problemako xaflaren higidura talka ondoren, orain partikula itsatsita gera-tzen bada jotze-puntuan. Zer gertatuko litzateke grabitaterik gabe ardatzik ez balego?

5.21 Irudiko eraztunak eta disko homogeneoak masa etaerradio berdinak dituzte eta une berean altuera beretik as-katzen dira pausagunetik. Plano aldapatsuan behera la-baindu gabe badoaz, zein helduko da lehenago zorura?

5.22 Irudiko diskoaren masa, erradioa eta lodieram, Retad dira, hurrenez hurren. Diskoaω abiadura angeluarkonstantez biratzen ari da, perpendikularrarekinα ange-lua osatzen duen ardatz finko baten inguruan. Kalkulatudiskoaren momentu angeluarra eta ardatzak eragindako in-dar-momentua.

5.23 Irudiko partikula eta hagatxo artikulatuarenA mu-turrah altuera beretik askatzen dira. Kalkulatu partikula-ren etaA-ren abiadura bertikalak zorutik neurtutakoz al-tuera guztietarako. Aurkitu zein denh-ren balio maximoaz guztietarakoA muturraren abiadura bertikala partikula-rena baino handiagoa izateko.

Page 29: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

5.7 Problemak 189

5.14 IRUDIA Xafla eta bolatxoa (ikus5.24problema)3.

5.24 Xafla mehe bateko zuloan bolatxo bat jartzen da eta handik hurbil ontzi txiki bat,5.14iru-dian erakusten den moduan. Mutur bat ertz batean jarri ondoren, bestea altxatzen da apur bat.Irudian erakutsitako posiziotik sistema askatzen bada, bolatxoa ontzian sartzen da. Erabili5.23problema esperimentu hau azaltzeko.

5.25 Plano aldapatsu batean behera, garaiera berdinetatik, laugorputz askatzen dira: esfera hutsbat, zilindro huts bat, esfera bete bat eta zilindro bete bat. Lau solidoak biraketa-simetriaren ardatzhorizontalaren inguruan biratzen dira labaindu gabe. Zeinizango da arinena? Eta bigarrena? Etaazkena? Gorputzen masen eta dimentsioen menpekoa da erantzuna?

5.26m masako hagatxo horizontalaA ardatz bertikalareninguruan bira daiteke marruskadurarik gabe etammasakobolatxo bat du mutur batean, irudian erakusten den mo-duan. Norabide horizontal perpendikularrean datorrenmmasako partikularen eta hagatxoaren artean talka elastikobat gertatzen da. Talka ondoren, partikula norabide bereanhigitzen da. Nola aukeratu behar dad distantzia hagatxoa-ren abiadura angeluarra maximoa izateko? Eta minimoaizateko? Zeintzuk izango dira aipaturiko balio maximoaeta minimoa? Noiz etorriko da atzera partikula? Gerta dai-teke talkan ardatzaren erreakzioa nulua izatea? Zer alda-tzen da zure erantzunetan bolatxoa beste muturrean bada-go? Eta partikula hagatxoan itsatsita geratzen bada?

3Ikushttp://tp.lc.ehu.es/jma/mekanika/solidoa/bolatxoa.avi animazioa.

Page 30: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

190 5 Solido zurruna

5.27 Irudiko kuboa eta zilindroa masa berekoak dira etasoka eta txirrikaren masak arbuiagarriak. Kuboaren etaplano horizontalaren arteko marruskadura dinamikoarenkoefizienteaµB bada, zein da zilindroaren eta plano alda-patsuaren arteko marruskadura estatikoaren koefizientea-ren balio minimoa hura labaindu gabe joan dadin planoanbehera?

5.28 Irudiko disko meheaω1 abiadura angeluar konstan-tez biratzen ari da simetria-ardatz horizontalaren inguruan.Ardatza beraω2 abiadura angeluar konstantez biratzen dabertikalaren inguruan. Aukeratu triedro egokia eta kalku-latu diskoaren momentu angeluarra eta euskarriek eragin-dako indar-momentua.

5.29 Simetria-ardatz horizontalaren inguruanω0 abiaduraangeluarraz biratzen ari dena erradioko zilindro bat zo-ruan jartzen da. Argi dago hasieran labaindu egingo dela,baina marruskaduraren eraginez higitzen hasiko da. Ida-tzi zilindroaren higidura-ekuazioak eta kalkulatu abiaduralinealaren eta angeluarraren arteko erlazioa. Frogatu unebatean marruskadura desagertzen dela eta hortik aurreraabiadura konstantez higitzen dela. Zein da abiadura hori?

Kalkulatu berriro amaierako abiadura konstantea kontserbazio-printzipio egoki bat erabiliz. Zi-lindro huts bat eta zilindro bete bat masa eta erradio berekoak badira, zein higituko da arinago?Zer gertatzen da masak desberdinak badira? Zein da marruskadura-indarrak egindako lan osoa?Zer daµ marruskadura dinamikoaren koefizientearen menpekoa zure erantzunetan?

5.30 L aldeko kubo homogeneo batv abiaduraz labain-tzen ari da mahai leun horizontal batean. Azken honetakoertzean dagoen koska txiki batekin topo egitean, bere in-guruan biratzen hasten da. Zein izan behar duv abiadura-ren balio minimoak, kuboa mahaitik eror dadin?

5.31 Irudiko disko homogeneoaren eta mahai horizonta-laren arteko marruskadura estatikoaren koefizienteaµ da.Nolakoa izan behar duM masak diskoa labaindu gabe higidadin?

Page 31: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

6. GAIA

Mekanika analitikoa

6.1 IRUDIA Roberval-enenigma estatikoa: balantza honetan, beso berdinekoaren eta erroma-tarraren kasuetan ez bezala, besoetako edozein puntutan koka daitezke pisuak.

191

Page 32: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

192 6 Mekanika analitikoa

1788an agertu zen Lagrange-renMécanique Analytiqueliburua: lehenago egindakoa biltzeazgain, mekanika egiteko formalismo berria sortu zen han, geroago Laplace, Hamilton, Jacobi etabeste batzuen lanei esker, XIX. mendeko mekanika analitikoa izango zena. Mekanika analitikoaoso dotorea da matematikaren aldetik (matematikari batzuek uste omen dute matematikaren ar-loa dela!) baina fisikarion ikuspuntutik bestelako abantailak ditu. Kalkuluak egiteko oso egokiada, hasteko: problemari ondoen egokitzen zaizkion koordenatuak era naturalean erabil daitezke;nahi izanez gero, lotura-indarrak ia ezer egin gabe desagertzen dira (aitortu behar da, baina, ma-rruskadura lehor dinamikoa, elkar ukitzen duten gainazalen artean higidura erlatiboa dagoeneansortzen dena, ez dela hain erraz sartzen formalismoan); inertzia-indarrak automatikoki agertzendira, eta abar. Gainera, mekanika analitikoan erabilitakohainbat kontzeptu (lagrangearra, hamil-tondarra, aldakuntza-printzipioak, simetrien eta kontserbazio-legeen arteko erlazioa, eta abar),behar bezala hedatu eta egokitu ondoren, eguneko fisikaren oinarrizko ideiak dira.

Koordenatu orokortuak eta loturak aztertu ondoren, estatika eta mekanika lagrangearra iku-siko ditugu. Aldakuntzen kalkuluak mekanika egiteko bestemodu bat —Hamilton-en printzipiodotorea— ahalbidetzen du. Legendre-ren transformazioaren bidez hirugarren formalismo bat az-tertuko dugu: Hamilton-en ekuazio kanonikoak. Zoritxarrez, testu honen maila kontuan harturik,ez dugu ikusiko mekanika kuantikoaren sorreran hain eraginhandia izan zuen Hamilton eta Ja-cobi-ren teoria.

6.1 Koordenatu orokortuak eta loturak

Atal honetan kontzeptu eta izen berriak apurka-apurka sartuko ditugu adibideen bidez, erra-zenetik zailenera joatean ideiak hobeki uler ditzagun.

6.1.1 Problema mekaniko batzuk

Partikula puntuala

Kontsidera dezagun espazioan zehar higi daitekeen partikula puntual batez osaturiko sistemamekanikoa. Aldiune bakoitzean sistemarenkonfigurazioa, hau da, partikula bakarraren posizioa,ezagutzeko, partikularenr posizio-bektorea erabil dezakegu1, jakina; baina ikusiko dugunez, me-kanika analitikoan azkenean bektoreak desagertu egingo dira eta funtzio eskalarrak erabiliko di-tugu. Badakigu nola egin hori kasu honetan: posizio-bektorearen ordez, bere hiru osagaiak direnpartikularen(x, y, z) koordenatu cartesiarrak erabil ditzakegu:

r = x i + y j + z k. (6.1)

Bestalde, koordenatu cartesiarrak errazak izan arren, ez dira beti egokienak problemaren sime-triak kontuan hartzeko eta, ondorioz, ebazpen matematikoaerrazteko. Nahiz eta koordenatu-sis-temak infinituak izan, testu honetanB.1 atalean aztertzen direnak erabiliko ditugu gehienetan:cartesiarrak, zilindrikoak eta esferikoak.

Hemengo sistema mekanikoaren konfigurazioa zehazteko partikularen (ρ, ϕ, z) koordenatuzilindrikoak erabiltzen baditugu, horiek dira aukeratu ditugunkoordenatu orokortuak . «Oro-kortu» hitzarekin adierazi nahi da koordenatua ez dela nahitaez cartesiarra izango (baina horrela-koa izango da kasu batzuetan, hala nolaz koordenatua aipaturiko aukeran). Izan ere, dimentsioen

1Sistema mekaniko bakoitza aztertzeko erreferentzia-sistema inertzial egoki bat aukeratu dugula suposatuko dugubeti gai honetan, esplizituki hala esaten ez bada ere.

Page 33: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

6.1 Koordenatu orokortuak eta loturak 193

aldetik edozein gauza izan daitezke:[ρ] = [z] = L, bainaϕ angelua dimentsio gabekoa da. Koor-denatu orokortuen eta cartesiarren arteko erlazioatransformazio-ekuazioekemandakoa da:

x = ρ cosϕ, (6.2)

y = ρ sinϕ, (6.3)

z = z. (6.4)

Ekuazio bektorial bakarraren bidez idatz daitezke hauek, noski:

r = ρ cosϕ i + ρ sinϕ j + z k. (6.5)

Koordenatu orokortutzat(r, θ, ϕ) polarrak aukeratzen baditugu, transformazio-ekuazioak

x = r sin θ cosϕ, (6.6)

y = r sin θ sinϕ, (6.7)

z = r cos θ (6.8)

edor = r sin θ cosϕ i + r sin θ sinϕ j + r cos θ k. (6.9)

dira.Aukera guztiekin gauza bat ez da aldatu, konfigurazioa adierazteko behar diren koordenatu

orokortuen kopurua,askatasun-graduen kopuruadeitzen dena:n = 3 kasu honetan, zerenpartikula espazioan inolako oztoporik gabe higi daitekeela eta, beraz, hiru koordenatu orokortuakindependenteak direla suposatu baitugu inplizituki. Honekin esan nahi da hiru koordenatuetakobakoitza, besteen balioak kontuan hartu gabe, nahi den moduan aukera dezakegula (hastapen--baldintzak ematean, adibidez) sistemaren definizioa aldatu gabe (gero, noski, mekanikaren legedinamikoen arabera aldatuko dira denboran zehar; baina hori partikulak pairatzen dituen indarrakjakin ondoren higidura-ekuazioetan aztertu beharko da, eta ez konfigurazioaren definizioan).

Partikula-sistema

Gure sistema mekanikoa orainN partikula puntualez osaturikoa bada, konfigurazioa ezagu-tzekoN partikulen posizioak zehaztekon = 3N koordenatu orokortuak aukeratu behar dira;hortaz, askatasun-graduakn = 3N dira.

Adibidez,N = 3 partikula badira eta lehen partikularen posizioa adierazteko bere koorde-natu esferikoak aukeratzen baditugu, bigarrenaren kasuancartesiarrak eta hirugarrenerako zilin-drikoak, koordenatu orokortuak(q1, q2, q3, q4, q5, q6, q7, q8, q9) = (r1, θ1, ϕ1, x2, y2, z2, ρ3, ϕ3, z3)dira eta transformazio-ekuazioak

r1 = r1 sin θ1 cosϕ1 i + r1 sin θ1 sinϕ1 j + r1 cos θ1 k, (6.10)

r2 = x2 i + y2 j + z2 k, (6.11)

r3 = ρ3 cosϕ3 i + ρ3 sinϕ3 j + z3 k (6.12)

edota hurrengoak:

x1 = r1 sin θ1 cosϕ1, (6.13)

y1 = r1 sin θ1 sinϕ1, (6.14)

Page 34: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

194 6 Mekanika analitikoa

z1 = r1 cos θ1, (6.15)

x2 = x2, (6.16)

y2 = y2, (6.17)

z2 = z2, (6.18)

x3 = ρ3 cosϕ3, (6.19)

y3 = ρ3 sinϕ3, (6.20)

z3 = z3. (6.21)

Pendulu esferikoa

Kontsidera dezagun masa gabeko soka baten bidezO puntu finkotik esekitakom masa pun-tuala. Azken honen eta esekidura-puntuaren artekol distantzia konstantea izatea da mekanikanpendulu esferikoaren definizioa. Sistemaren definizioan, beraz, partikularen konfigurazioari bal-dintza bat,lotura bat, ezartzen diogu. Baldintza hori betetzen ez bada —soka luzatzen, apurtzenedo tolesten delako—, sistema mekanikoa bestelakoa da, ez pendulu esferikoa.

6.2 IRUDIA Pendulu esferikoa.

Kasu honetan bete behar den baldintza adierazten duenlotura-ekuazioa honela idazten dakoordenatu cartesiarretan erreferentzia-sistemaren jatorrianO esekidura-puntuan aukeratzen ba-da:

x2 + y2 + z2 = l2. (6.22)

Ekuazio honetan ikusten dugu hiru koordenatu cartesiarrakez direla elkarren independenteak:haietariko bi (x eta y, adibidez) nahi bezala aukera daitezke eta, beraz, koordenatu orokortu-tzat har ditzakegu; baina hori egin ondoren, hirugarrena (z) ezin da edozein modutan aukeratu,(6.22) lotura-ekuazioak emandakoetako bat baita. Egia esan, koordenatu cartesiarrak ez dira ego-kienak pendulu esferikoa aztertzeko. Honen simetria esferikoa hobeto errespetatzen dute koorde-natu polar esferikoek. Izan ere, koordenatu esferikoetan lotura-ekuazioa oso erraza da:

r = l. (6.23)

Beraz,θ etaϕ angeluek ez dute inolako baldintzarik bete behar, nahi bezala aukera daitezke eta,ondorioz, bi koordenatu orokortu egoki dira: sistemaren konfigurazioa definitzeko nahikoa dasokaren norabidea eta noranzkoa ezagutzea, eta hori egiteko modu egokia aipaturiko bi angeluakerabiltzea da. Transformazio-ekuazioak

x = l sin θ cosϕ, (6.24)

y = l sin θ sinϕ, (6.25)

z = l cos θ (6.26)

Page 35: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

6.1 Koordenatu orokortuak eta loturak 195

edotar = l (sin θ cosϕ i + sin θ sinϕ j + cos θ k) . (6.27)

dira.

6.1 ARIKETA Idatzi lotura- eta transformazio-ekuazioak koordenatu zilindrikoetan.

Bi koordenatu nahikoak dira sistemaren konfigurazio osoa deskribatzeko; beraz, sistemakn = 3N − L = 2 askatasun-gradu ditu, partikulen kopuruaN = 1 baita eta lotura-ekuazioenaL = 1.

Bestalde, badakigu zein den sokaren eragin dinamikoa: ukipen-indar bat eragiten dum par-tikularen gainean. Lotura gordetzeko sortzen diren indarrak lotura-indarrak dira. Kasu honetanlotura-indarra ibilbidearen perpendikularra denez ez du lanik egiten.

6.2 ARIKETA Pendulu matematikoa. Orain pendulua plano batean higitzen dela (soka batezlotu beharrean, planoaren perpendikularra den ardatz batetik hagatxo baten bidez esekitzen dugulakoedo, hasierako abiadura esekidura-puntutik pasatzen den plano bertikal batean aukeratzen delako)pendulu matematikoa dugu.(a) Nola adierazten da bigarren lotura hau, oszilazio-planoaOY Z izateko moduan aukeratzen baduguerreferentzia-sistema?(b) Zenbat askatasun-gradu ditu sistemak?(c) Aukeratu koordenatu orokortu egokia(k) eta idatzi transformazio-ekuazioak.

Pendulu matematikoa ardatz batetik esekita badago, marruskadura arbuiagarria dela —eta,ondorioz, lotura-indarrak ez duela lanik egiten— suposatuko dugu beti gai honetan, elkar uki-tzen duten gainazalen arteko marruskadura lehor dinamikoa(baina ez estatikoa) beti arbuiatukobaitugu.

Hari erdizirkular birakorra

6.3 irudiko burdin hari leun erdizirkularraω abiadura angeluar konstantez ari da biratzenardatz bertikalaren inguruan. Pendulu esferikoaren kasuko erreferentzia-sistema bera aukeratuz,r = R lotura-ekuazioaz gain,

ϕ = ω (6.28)

dugu forma diferentzialean eta hau integratuz bigarren lotura lortzen dugu, hautazkoϕ0 integra-zio-konstantearen bidez:

ϕ = ωt+ ϕ0. (6.29)

6.3 IRUDIA Abiadura angeluar konstantez biratzen ari den hari erdizirkularra.

Page 36: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

196 6 Mekanika analitikoa

Transformazio-ekuazioak

x = R sin θ cos (ωt+ ϕ0) , (6.30)

y = R sin θ sin (ωt+ ϕ0) , (6.31)

z = R cos θ (6.32)

edotar = R [sin θ cos (ωt+ ϕ0) i + sin θ sin (ωt+ ϕ0) j + cos θ k] . (6.33)

dira. Kasu honetanN = 1, L = 2 etan = 3N − L = 1 dugu.

Solido zurruna

Dakigunez, puntuen arteko distantziak konstanteak izateada solido zurrunaren definizioa me-kanikan. SolidoanN ≫ 1 partikula daudela suposatuz, bikoteen kopuruaN(N − 1)/2 da, etabakoitzeko|r2 − r1| = konstantea moduko lotura bat dugu, baina ez da pentsatu behar denakindependenteak direnik,n = 3N −N(N − 1)/2 negatiboa baitaN handia denean. Lotura-ekua-zio independenteak zenbatu beharrean,5.1.1atalean zuzenean frogatu genuen askatasun-graduakn = 6 direla, oro har. Jakina, goian adibide batzuetan egin denez, bestelako loturak ezartzen ba-zaizkio solidoari (hala nola ardatz finko baten inguruan biratzea, soka baten bidez esekita egotea,gainazal baten gainean edo plano batean higitzea, eta abar), askatasun-gradu gutxiago geratukodira.

Atwood-en makina

Erreferentzia-sistema6.4 irudian erakusten den moduan aukeratuz, blokeen higidurakberti-kalak direlako hipotesia hurrengo lau lotura-ekuazioen bidez adierazten da,C1 etaC2 konstanteenbidez:

x1 = C1, (6.34)

z1 = 0, (6.35)

x2 = C2, (6.36)

z2 = 0. (6.37)

6.4 IRUDIA Atwood-en makina.

Page 37: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

6.1 Koordenatu orokortuak eta loturak 197

Gainera, soka luzatu ezinezkoa izatea honako lotura hau da:

|y1| + |y2| + πR = l, (6.38)

non l etaR sokaren luzera eta txirrikaren erradioa diren.N = 2 partikula dira etaL = 5 lotura;beraz,n = 3N −L = 1 da eta askatasun-gradu bakarra geratzen zaigu. Koordenatuorokortutzatirudiko q aukeratuz, honela idazten dira transformazio-ekuazioak:

x1 = C1, (6.39)

y1 = −q, (6.40)

z1 = 0, (6.41)

x2 = C2, (6.42)

y2 = q + πR − l, (6.43)

z2 = 0. (6.44)

Ikusiko dugunez,C1, C2 etaπR − l konstanteak garrantzi gabekoak dira.

Plano aldapatsua

6.5 irudiko kasuan aurreneko lotura blokea beti plano bertikalbatean egotea da. Gure errefe-rentzia-sistema higidura-planoaOXY izateko moduan aukeratzen badugu, lotura-ekuazioaz = 0(edo beste konstanteren bat) izango da. Bigarren lotura partikula beti 6.3 irudiko plano aldapa-tsuan egotea da, ardatz koordenatuak modu egokian aukeraturik y = 0 moduan idatz daitekeena.

6.5 IRUDIA Plano aldapatsua.

6.3 ARIKETA Nola idatziko litzateke bigarren lotura-ekuazioaOY ardatza norabide bertikaleanaukeratuko bagenu?

Egia izan, planoan zehar higitzen dena ez da inoiz puntuala izango, partikula-sistema batbaizik; baina hemen interesatzen zaiguna askatasun-gradubakarreko sistema dela da: nahikoada koordenatu orokortu bakarrarekin (masa-zentroarenx koordenatua edo, nahiago bada, berealtuera, adibidez) konfigurazioa (sistemako puntu guztienposizioa) ezagutzeko. Lotura-indarraukipen-indarra da eta, kasu orokorrean bi osagai ditu. Osagai perpendikularrak, normalak, ez dulanik egingo eta osagai tangentea, marruskadura, arbuiagarria dela suposatuko dugu.

Gorputza orain higidura-planoan dagoen disko edo eraztun bat bada, hiru posibilitate ditugu.Kasu orokorrean eraztuna biratu eta labaindu egingo da. Bere puntu guztietako posizioa eta, be-raz, sistemaren konfigurazioa zehazteko bi koordenatu orokortu behar ditugu:x erabil dezakegu

Page 38: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

198 6 Mekanika analitikoa

6.6 IRUDIA Eraztun bat plano aldapatsuan.

masa-zentroaren posizioa ezagutzeko etaϕ angelua zentroaren inguruko orientazioa emateko.Labainketa badago, lotura-indarra normala dela suposatuko dugu berriro.

Eraztuna biratu gabe jaisten bada, beste lotura bat dugu,ϕ = konstantea, eta askatasun-gradubakarra geratzen zaigu. Gauza bera gertatzen da eraztuna labaintzen ez bada. Izan ere, labain-ketarik ez egotea ukipen-puntua (unetik unera aldatzen dena) geldirik egotea da. Eraztunarenmasa-zentroarenv = x abiadura, beraz, aldiune bakoitzean ukipen-puntuan jarritako sistemanϕabiadura angeluarra bider eraztunarenR erradioa izango da:v = Rϕ (gogoratu (5.6) abiadura--eremua). Ondorioz, lotura-ekuazioa

x = Rϕ (6.45)

forma diferentzialean edo, hau integratuz,

x = R (ϕ− ϕ0) (6.46)

forma finituan idatz daiteke,x etaϕ koordenatuen jatorrien arteko erlazioa ematen duen−Rϕ0

integrazio-konstantea erabiliz. Beraz, koordenatu orokortu (independente) bakarra dugu (ϕ, adi-bidez) eta hauexek dira transformazio-ekuazioak:

x = R (ϕ− ϕ0) , (6.47)

y = konstantea, (6.48)

z = konstantea. (6.49)

Dakigunez, labainketarik ez egoteko, marruskadura-indarra behar-beharrezkoa da, baina uki-pen-puntua pausagunean dagoenez, lotura-indarrak ez du lanik egingo.

Plano aldapatsu higikorra

Azter dezagun6.11irudiko sistema, horizontalean marruskadurarik gabe higidaitekeela pris-ma suposatuz. Koordenatu orokortutzat6.7 irudiko r etas aukeratzen baditugu, honela idaztendira transformazio-ekuazioak,1 eta2 azpindizeekin prisma eta blokea hurrenez hurren izendatzenbaditugu:

x1 = r + C1, (6.50)

y1 = C2, (6.51)

z1 = 0, (6.52)

x2 = r + s cosα + C3, (6.53)

y2 = C4 − s sinα, (6.54)

z2 = 0, (6.55)

Page 39: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

6.1 Koordenatu orokortuak eta loturak 199

6.7 IRUDIA Plano aldapatsu higikorra.

edota

r1 = (r + C1) i + C2 j, (6.56)

r2 = (r + s cosα + C3) i + (C4 − s sinα) j. (6.57)

Hemen,Ci konstanteak solidoen masa-zentroen kokapen zehatza adierazteko erabili ditugu, bai-na horrelako konstanteak ez dira higidura-ekuazioetan agertuko eta hasieratik arbuiatuko dituguhurrengo adibide guztietan.

6.4 ARIKETA Aukeratu koordenatu orokortu egokiak6.8 irudiko pendulu bikoitzaren kasuan,higidura plano bertikal batean gertatzen dela suposatuz. Idatzi transformazio-ekuazioak.

6.8 IRUDIA Pendulu bikoitza.

6.1.2 Lotura holonomoak

Aurreko adibideetan aztertu ditugun lotura guztietan, eskuineko gaia ezkerraldera eramanez,lotura-ekuazioa beti idatz zitekeen

f (t, r1, r2, . . . , rN) = 0 (6.58)

moduanf funtzio egokiarekin. Lotura-ekuazioa aipaturiko eran edo, bektoreen osagaiak erabiliz,

g (t, x1, y1, z1, . . . , xN , yN , zN) = 0 (6.59)

Page 40: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

200 6 Mekanika analitikoa

modu baliokidean, idatz daitekeenean, lotura holonomoa dela esaten da. Lotura-ekuazioa beste-lakoa bada —f (t, r1, r1, . . .) = 0 edof (t, r1, r1, . . .) ≥ 0, adibidez—, lotura ez da holonomoa;bainagai honetan lotura guztiak holonomoak direla suposatuko dugu beti.

Lotura-ekuazioan denbora ez bada esplizituki agertzen,

f (r1, r2, . . . , rN) = 0 (6.60)

edog (x1, y1, z1, . . . , xN , yN , zN) = 0 (6.61)

moduan idazten da eta lotura holonomoaeskleronomoaedoegonkorra dela esango dugu. Bes-tela, loturaerreonomoaedohigikorra da. Aurreko adibide guztietan loturak holonomoak etaegonkorrak izan dira, salbuespen batean izan ezik:195. orriko hari leun birakorrean (6.29) loturahigikorra zen.

6.1.3 Desplazamendu birtualak

Aurreko adibide batzuetan gainazalen arteko indar normalaaztertzean ez zuela lanik egi-ten esan dugu. Egia esan, gainazal bat geldirik badago eta bestea higitzen bada, lehenengoakbigarrenaren gainean eragindako indar normala gainazalaren eta bigarrenaren ibilbidearen per-pendikularra izango da eta ez du lanik egingo. Horrela gertatzen da, adibidez,6.5 irudiko blo-keak pairatzen duen indar normalarekin, plano aldapatsua pausagunean baita. Baina, dakigunez,pausagunean egotea ez da propietate aldaezina, erreferentzia-sistemaren menpekoa baizik: bes-te erreferentzia-sistema inertzialetan planoa higitu egingo da (gogoratu2.15problema). Gainerahasierako erreferentzia-sisteman ere higi daiteke, zoru leun horizontalean dagoelako edo kanpo--indar egokiren bat pairatzen duelako, adibidez. Baina azter dezagun zer gertatzen den planoahigitzen bada.6.9 irudian ikusten denez, higiduran zehar normala eta desplazamendua ez diraelkarzutak eta normalak lan egingo du.

6.9 IRUDIA Plano aldapatsu higikorra.

Hala ere, oraingoz ez zaigu higidura interesatzen, eta bakarrik kontsideratu dugu nola deskri-batu konfigurazioa. Bestalde, geroago erabili beharko dugun normalaren propietatea gainazalenperpendikularra izatea da, eta ez lan egin dezakeenetz. Hasteko, eman dezagun planoaren higidu-ra ezaguna dela, problema dinamikoaren definizioaren zatia; konfigurazioa deskribatzeko, beraz,blokearen posizioa ematen duen koordenatu orokortu bakarra behar dugu. Aldiune batean kon-figurazioa apur bat aldatzen badugu loturak errespetatuz,6.10 irudian erakusten den blokearendesplazamendu geometrikoa normalaren perpendikularra da: N·δr = 0. Horrelako desplazamen-duak geometrikoak dira, loturek ahalbidetzen dituzten konfigurazioak aztertzeko geure buruanegiten ditugunak. Denboraren at gertatzen dira eta ez dute zertan higidura-ekuazioak bete, hemen

Page 41: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

6.1 Koordenatu orokortuak eta loturak 201

6.10 IRUDIA Desplazamendu birtuala planoaren higidura ezaguna denean.

konfigurazioak eta ez higidura aztertzen ari baikara. Definizioz, denbora aldatu gabe loturak man-tentzen dituen sistemako partikulen posizioen edozein aldaketa infinitesimala dadesplazamendubirtual infinitesimala.6.9eta6.10irudietako sisteman partikula bakarra blokea da (planorenhi-gidura ezaguntzat hartzen dugu) eta desplazamendu birtualak planoaren posizioa aldatu gabe beregainazalaren tangenteak diren desplazamendu geometriko guztiak dira, baina ez beste norabide-koak, blokea planoan egoteko lotura apurtzen baitute. Jakina, definizioz, desplazamendu birtualguztietanδt = 0 dugu.

Lotura-indarraren benetako lan infinitesimala higiduran zehar gertatzen direndr desplaza-menduetan egiten da:N · dr. Egitura matematiko berekoN · δr biderkaduralan birtual infi-nitesimala deitzen da mekanika analitikoan. Lotura batek eragindakoN lotura-indarrak ez badulan birtualik egiten,N · δr = 0, loturaideala dela esaten dugu. Hemen aztertu dugun adibidean,beraz, loturak idealak dira,marruskadura arbuiagarria bada.

Plano aldapatsu higikorra

6.7 irudiko kasuan plano aldapatsuaren higidura ez da ezaguna eta gainazal horizontaleanzehar marruskadurarik gabe labaindu daiteke. Hortaz, bigarren koordenatu orokortu bat beharizan dugu planoaren posizioa deskribatzeko. Kasu horretanbigarren desplazamendu birtual inde-pendente bat dago: planoa eta blokea norabide horizontalean batera higitzeari dagokiona, adibi-dez. Desplazamendu horretan planoak eragindako normalak lan egingo du, baina blokeak eragin-dako normala kontrakoa denez, denetara ez da lan birtualik egongo aipaturiko desplazamenduan(ikus 6.1.1atala). Horrelako kasuetan ere, loturak idealak direla esango dugu, ikusiko dugunez,lan birtualosoazero izatea baita erabili beharko den propietatea.

6.11 IRUDIA Bigarren desplazamendu birtuala planoaren higidura ezezaguna denean.

6.5 ARIKETA Plano eta blokearen arteko ukipen-indarren osagai horizontalak ere elkarren kon-trakoak dira. Zergatik suposatzen dugu, bada, marruskadura arbuiagarria dela?

Page 42: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

202 6 Mekanika analitikoa

Izan ere, (6.56)–(6.57) transformazio-ekuazioetatik zuzenean lortzen dira desplazamendu bir-tualak:

δr1 = δr i, (6.62)

δr2 = (δr + δs cosα) i − δs sinα j. (6.63)

δs = 0 denean,6.11irudiko desplazamendua lortzen da etaδr = 0 denean6.10delakoan aztertugenuena.

6.12 IRUDIA Indarrak plano aldapatsu higikorraren kasuan.

Lotura-indarrak kalkulatzeko6.12irudiko diagramak erabil daitezke. Lotura-indarren lan bir-tual osoa hauxe da:

δWL = V · δr1 − N · δr1 + N · δr2. (6.64)

Argi dagoV · δr1 = 0 dela. Bestalde,

N = N (sinα i + cosα j) (6.65)

denez,

δWL = N · (δr2 − δr1) = N (sinα i + cosα j) · (cosα i − sinα j) δs = 0. (6.66)

Ondorioz, lotura-indarren lan birtualosoanulua da, lotura-indar bakoitzarena horrelakoa ez badaere.

6.6 ARIKETA 6.1.1ataleko beste adibide batean gertatzen zen lotura-indarrak lan egin arren lo-tura ideala zela. Zeinetan?

Gai honetan lotura guztiak holonomoak eta idealak direla suposatuko dugu beti.

6.1.4 Konfigurazio-espazioa

Orain badauzkagu gai honetan aztertuko ditugun sistema mekanikoen definizio zehatza ema-teko hiztegia eta kontzeptuak. Gure hipotesiak honako hauek izango dira beti:

1. SistemanN partikula puntual daude. Erreferentzia-sistema inertzial batean euren posizioakrk bektoreek emandakoak dira,k = 1, 2, . . . , N izanik.

2. L lotura holonomo independente bete behar dira:

fl (t, r1, r2, . . . , rN) = 0, (l = 1, 2, . . . , L). (6.67)

(Kasu berezietanL = 0 izan daiteke.)

Page 43: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

6.2 D’Alembert-en printzipioa 203

3. Loturak idealak dira. Hortaz,Ni lotura-indarren lan birtual osoa zero da:

N∑

k=1

Nk · δrk = 0. (6.68)

Praktikan horrelakoak izaten dira lotura-indarrak, loturak holonomoak badira eta elkar uki-tzen duten gainazalen arteko higidura erlatiboan marruskadura lehor dinamikoa arbuiaga-rria bada.

4. Askatasun-graduakn = 3N − L dira etaqi : i = 1, 2, . . . , n koordenatu orokortuak au-keratu ondoren, transformazio-ekuazioen bidez lortzen dira cartesiarrak:

rk = rk (t, q1, q2, . . . , qn) , (k = 1, 2, . . . , N). (6.69)

Jakina, lotura guztiak egonkorrak badira, denbora ez da esplizituki agertuko (6.69) trans-formazio-ekuazioetan,

∂rk

∂t= 0, (k = 1, 2, . . . , N), (6.70)

baina, kasu orokorragoetan, loturak higikorrak izan daitezke. Koordenatu orokortuen balioen(q1, . . . , qn) multzo bakoitzak sistemaren konfigurazio bat definitzen du eta konfigurazio guztienmultzoak espazio abstraktu bat:qi koordenatuak onartzen dituen konfigurazio-espazioa. Adibi-dez, pendulu esferikoaren kasuan(θ, ϕ) bikote bakoitzak konfigurazio bat definitzen du. Kon-figurazio-espazioa penduluaren orientazio posible guztien multzoa da eta(θ, ϕ) bikote guztienespazio matematikoaren bidez aztertuko dugu.

Higiduran zehar konfigurazioa nola aldatzen den aztertuko da hurrengo orrietan. Mekanikaanalitikoan sistema adierazten duen puntua konfigurazio-espazio abstraktuan higitzen da, bainagero transformazio-ekuazioak erabil daitezke ohiko espazioan higidura nolakoa den ezagutzeko.Pendulu esferikoaren kasuan,(θ(t), ϕ(t)) eboluzioa ezagutu ondoren, (6.24)–(6.26) transforma-zio-ekuazioen bidez kalkula daiteke partikularen posizioa une orotan.

6.2 D’Alembert-en printzipioa

Dinamika egiteko, partikula bakoitzak betetzen duen Newton-en bigarren legea erabili behardugu. Horretarako partikula bakoitzak pairatzen duen indar osoa bitan bananduko dugu:

pk = Nk + Fk, (k = 1, 2, . . . , N), (6.71)

non Nk indarrak partikulak pairatzen duen lotura ideal guztien indarren batura den eta besteindar guztiak (lotura ez-idealek sorturikoak barne)indar eragilea deiturikoFk indarrean biltzenditugun. Ekuazioak

Nk + Fk − pk = 0, (k = 1, 2, . . . , N), (6.72)

moduan idatziz, hautazkoδrk desplazamendu birtualekin biderkatu ondoren,k partikula-indizea-rekiko batzen baditugu,

N∑

k=1

(Nk + Fk − pk) · δrk = 0 (6.73)

Page 44: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

204 6 Mekanika analitikoa

lortzen da eta loturak idealak direla eta (6.68) betetzen dela (edo, nahiago bada, lan birtuala egitenduten indar guztiakFk gaietan batu direla suposatuz)mekanikaren ekuazio orokorra lortzenda:

N∑

k=1

(Fk − pk) · δrk = 0. (6.74)

Desplazamendu birtualek loturak mantendu behar dituztenez, oro har,δrk bektoreak ez diraelkarren independenteak eta kasu orokorrean ezin ondoriozta daiteke (6.74) ekuaziotik batugaibakoitza nulua denik. Izan ere,Fk − pk = 0 ekuazioa loturik gabeko kasuari dagokiona da etaez aztertzen den problemaren (6.72) ekuazio dinamikoa. Ez da egia desplazamendu infinitesimalbakoitzaren koefizientea nulua dela:δri aldaketa infinitesimalak loturak bermatzeko moduan au-keratu behar dira.

Erabil ditzagun (6.69) transformazio-ekuazioak desplazamendu birtualak koordenatu orokor-tuetan kalkulatzeko:

δrk =n∑

i=1

∂rk

∂qiδqi, (k = 1, 2, . . . , N). (6.75)

(Gogoratuδt = 0 dela.)Mekanikaren ekuazio orokorrean hauxe ordezkatuz, batura-ordena aldatzen bada, honako hau

dugu:N∑

k=1

n∑

i=1

(Fk − pk) ·∂rk

∂qiδqi =

n∑

i=1

[

N∑

k=1

(Fk − pk) ·∂rk

∂qi

]

δqi = 0. (6.76)

Baina orain koordenatu orokortuak elkarren independenteak direnez,δqi balioak nahi den mo-duan aukera daitezke eta azken emaitza betetzeko mako arteko batugai bakoitzak zero izan behardu nahitaez:

N∑

k=1

(Fk − pk) ·∂rk

∂qi= 0, (i = 1, 2, . . . , n). (6.77)

(Nahikoa da, adibidez,δqj = 0 hartzeaj 6= i balio guztietarako,i indizeari dagokion batugaiaberreskuratzeko.) Beraz, honela idazten diran higidura-ekuazio independenteak:

N∑

k=1

Fk ·∂rk

∂qi=

N∑

k=1

pk ·∂rk

∂qi, (i = 1, 2, . . . , n). (6.78)

Plano aldapatsu higikorra

6.7irudiko kasuan, higidura-ekuazioak idazteko6.12irudiko diagramak erabil daitezke:

(V − N) +Mg −M r1 = 0, (6.79)

N +mg −mr2 = 0. (6.80)

Desplazamendu birtualekin biderkatu ondoren batzen badira, (6.73) ekuazioa lortzen da:

(V · δr1 −N · δr1 + N · δr2)+(Mg · δr1 +mg · δr2)−(M r1 · δr1 +mr2 · δr2) = 0. (6.81)

Lehen gaian agertzen den lotura-indarren lan birtuala nulua da —gogoratu (6.64) eta (6.66)—eta kasu erraz honetan prismaren pisua indar eragilea izan arren, bere lan birtuala nulua da:Mg ·δr1 = 0. Hortaz, mekanikaren (6.74) ekuazio orokorra honela idazten da:

mg · δr2 − (M r1 · δr1 +mr2 · δr2) = 0. (6.82)

Page 45: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

6.3 Indar orokortuak 205

Koordenatu orokortuak erabiltzen badira, (6.56)–(6.57) transformazio-ekuazioak deribatuz kal-kulatzen dira azelerazioak,

r1 = r i, (6.83)

r2 = (r + s cosα) i − s sinα j, (6.84)

eta, (6.62)–(6.63) kontuan hartuz, (6.76) ekuazioa lortzen da:

mg sinα δs− [(Mr +mr +ms cosα) δr + (mr cosα+ms) δs] = 0. (6.85)

δr etaδs independenteak direnez, (6.77) ekuazioak lortzen ditugu:

− (Mr +mr +ms cosα) = 0, (6.86)

mg sinα− (mr cosα +ms) = 0. (6.87)

(6.78) adierazpenak nahiago baditugu, honela idazten dira higidura-ekuazioak:

0 = (M +m) r +ms cosα, (6.88)

mg sinα = m (r cosα + s) . (6.89)

Mekanika analitikoaren formalismo osoa erabiliz, higidura-ekuazioak lortzeko egin behar direnkalkuluak askoz errazagoak direla ikusiko dugu geroago.

6.7 ARIKETA Pendulu matematikoa. Froga ezazu6.2 ariketako pendulu matematikoaren ka-suan, (6.74) higidura-ekuazioa honela idazten dela:

(F− p) · δr = −mx δx − my δy + (mg − mz) δz = 0. (6.90)

Argi dago hemen batugai bakoitza ez dela nulua:δx, δy etaδz desplazamenduak (D.12)–(D.14) lo-tura-ekuazioak betetzeko moduan aukeratu behar dira, eta ez nolanahi. Erabili koordenatu orokortuak(6.90) higidura-ekuazioa era honetan idazteko:

−(

mgl sin θ + ml2θ)

δθ = 0. (6.91)

Ikusten dugunez, penduluaren ekuazio ezaguna berreskuratzen dugu, sokak eragindako lotura-indarraerabili gabe!

6.3 Indar orokortuak

Hasteko, (6.78) higidura-ekuazioen ezkerreko gaiaren esanahia aztertuko dugu. Definizioz,gure sistemanqi koordenatu orokortuari dagokion indar orokortua hauxe da:

Qi ≡N∑

k=1

Fk ·∂rk

∂qi. (6.92)

Jakina, horrelako bat dugu askatasun-gradu bakoitzeko: denetaran. Gainera, dimentsioen aldetikqi edonolakoa izan daitekeenez, gauza bera gertatzen daQi indar orokortuarekin; baina beti betebehar da[qiQi] = [Fk · rk] = ML2T−2.

Page 46: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

206 6 Mekanika analitikoa

Adibidez,193. orriko partikula-sistemaren kasuan (6.10)–(6.12) transformazio-ekuazioak di-tugunez, hauexek dira indar orokortu batzuk:

Q1 =3∑

k=1

Fk ·∂rk

∂r1= F1 · (sin θ1 cosϕ1 i + sin θ1 sinϕ1 j + cos θ1 k) = F1 ·

r1

r1, (6.93)

Q4 =3∑

k=1

Fk ·∂rk

∂x2

= F2 · i = F2x, (6.94)

Q8 =3∑

k=1

Fk ·∂rk

∂ϕ3

= F3 · (−ρ3 sinϕ3 i + ρ3 cosϕ3 j) = x3F3y − y3F3x. (6.95)

Beraz, lehen partikularen gainean eragiten duen indar osoak partikularen posizio-bektorearennorabidean duen osagaia daQ1 etaQ4 bigarren partikulak pairatzen duen indar osoarenx osagaia;bainaQ8 ez da indar bat, indar-momentu bat baizik: hirugarren partikulan aplikaturik dagoenindar-momentuarenz osagaia alegia:Q8 = (r3 × F3)z.

Plano aldapatsu higikorra

6.1.1ataleko plano aldapatsu higikorraren kasuan, indar orokortuak, (6.88)–(6.89) higidura--ekuazioen ezker gaietan agertzen direnak, hauexek dira:

Q1 = Mg · ∂r1

∂r+mg · ∂r2

∂r= (Mg +mg) · i = 0, (6.96)

Q2 = Mg · ∂r1

∂s+mg · ∂r2

∂s= (Mg +mg) · (cosα i − sinα j) = mg sinα. (6.97)

6.8 ARIKETA Pendulu matematikoa. Froga ezazu6.2. ariketako pendulu matematikoaren ka-suan indar orokortua hurrengo indar-momentua dela:

Q = −mgl sin θ. (6.98)

6.3.1 Indar kontserbatzaileak

Eman dezagunFk indar eragile guztiak kontserbatzaileak direla eta sistemaren energia po-tentzialaV (t, r1, . . . , rN) dela:

Fk = −(

∂V

∂xk

i +∂V

∂yk

j +∂V

∂zk

k

)

. (6.99)

Orduan, hauxe dugu:

Qi =N∑

k=1

Fk ·∂rk

∂qi

= −N∑

k=1

(

∂V

∂xki +

∂V

∂ykj +

∂V

∂zkk

)

·(

∂xk

∂qii +

∂yk

∂qij +

∂zk

∂qik

)

= −N∑

k=1

(

∂V

∂xk

∂xk

∂qi+∂V

∂yk

∂yk

∂qi+∂V

∂zk

∂zk

∂qi

)

. (6.100)

Page 47: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

6.3 Indar orokortuak 207

Beraz, indar orokortu kontserbatzaileen eta energia potentzialaren arteko erlazioa ezin errazagoada:

Qi = −∂V∂qi

. (6.101)

(6.69) transformazio-ekuazioak erabiliz, energia potentzialaV (t, q1, . . . , qn) moduan idazten daeta qi abiadura orokortuen menpekoa ez denez,∂V/∂qi = 0, modu honetan ere idatz daitezkeindar orokortuak:

Qi = −∂V∂qi

=d

dt

∂V

∂qi− ∂V

∂qi. (6.102)

Plano aldapatsu higikorra

6.1.1ataleko plano aldapatsu higikorraren kasuan, energia potentziala

V = Mgy1 +mgy2 = −mgs sinα+ (MgC2 +mgC4) (6.103)

denez, (6.96)–(6.97) indar orokortuak hurrengoak dira:

Q1 = −∂V∂r

= 0, (6.104)

Q2 = −∂V∂s

= mg sinα. (6.105)

6.9 ARIKETA Pendulu matematikoa. Erabili energia potentzial grabitatorioa6.2. ariketako pen-dulu matematikoaren kasuan (6.98) indar orokortua kalkulatzeko.

6.3.2 Potentzial orokortuak

Kasu batzuetan, indar orokortua ez da kontserbatzailea etaezin da (6.101) ekuazioaren bidezlortuV (t, q1, . . . , q2) potentzial arrunt batetik, baina badagoU (t, q1, . . . , qn, q1, . . . , qn) modukopotentzial orokortu bat honako erlazio hau betetzeko modukoa:

Qi =d

dt

∂U

∂qi− ∂U

∂qi, (6.106)

non f (t, q1, . . . , qn, q1, . . . , qn) funtzio baten denborarekiko deribatu osoa ohi bezala kalkulatubehar den:

df

dt=∂f

∂t+

n∑

i=1

(

∂f

∂qiqi +

∂f

∂qiqi

)

. (6.107)

Fisikan kasurik interesgarriena elektrodinamikan aurkitzen dugu. Eman dezagunq karga batE eremu elektrikoan etaB eremu magnetikoan higitzen dela. Pairatzen duen indar elektromag-netikoa, Lorentz-en indarra da:

F = q (E + r ×B) . (6.108)

Bestalde, eremu elektromagnetikoaren potentzial eskalarraV (t, r) bada eta potentzial bektorialaA(t, r), honela idazten dira eremuak.

E = −∇V − ∂A

∂t, (6.109)

B = ∇× A. (6.110)

Page 48: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

208 6 Mekanika analitikoa

Kontsidera dezagun

U = q (V − r · A) = q (V − xAx − yAy − zAz) (6.111)

energia potentzial orokortua eta dagokion indar orokortua:

Qx =d

dt

∂U

∂x− ∂U

∂x

= q

(

−dAx

dt− ∂V

∂x+ x

∂Ax

∂x+ y

∂Ay

∂x+ z

∂Az

∂x

)

= q

(

−∂Ax

∂t− x

∂Ax

∂x− y

∂Ax

∂y− z

∂Ax

∂z− ∂V

∂x+ x

∂Ax

∂x+ y

∂Ay

∂x+ z

∂Az

∂x

)

= −q(

∂V

∂x+∂Ax

∂t

)

+ q

[

y

(

∂Ay

∂x− ∂Ax

∂y

)

− z

(

∂Ax

∂z− ∂Az

∂x

)]

= −q(

∇V +∂A

∂t

)

x

+ q[

y (∇×A)z − z (∇× A)y

]

= −q(

∇V +∂A

∂t

)

x

+ q [r × (∇× A)]x

= q (E + r ×B)x . (6.112)

y etaz koordenatuekin kalkulu bertsua eginez, Lorentz-en indarra (6.111) potentzial orokortutiklortzen dela frogatzen da.

6.4 Estatika analitikoa

Aztertzen ari garen partikula-sistema orekan egoteko betebehar den baldintza, partikula guz-tiak pausagunean egotea edo abiadura konstantez higitzea da. Beraz, oreka-baldintzak lortzeko,nahikoa dapk = 0 egitea d’Alembert-en (6.73) printzipioan,

N∑

k=1

Fk · δrk = 0, (6.113)

edota (6.78) higidura-ekuazioetan:

N∑

k=1

Fk ·∂rk

∂qi= 0, (i = 1, 2, . . . , n). (6.114)

Lehen emaitzalan birtualen printzipioa deitzen da eta indar eragileen lan birtuala nulua izatekoeskatzea da. Honen baliokideak diren (6.114) baldintza independenteak are errazagoak dira etamekanika analitikoan oreka-baldintza indar orokortu guztiak nuluak izatea delaadierazten dute:

Qi = 0, (i = 1, 2, . . . , n). (6.115)

Indar eragileak kontserbatzaileak badira, (6.101) erlazioen ondorioz, oreka-baldintzak

∂V

∂qi= 0, (i = 1, 2, . . . , n) (6.116)

Page 49: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

6.4 Estatika analitikoa 209

dira: energia potentzialaren minimo, maximo edo bestelako mutur-puntuetan gertatzen da pre-seski oreka. Oreka egonkorra energia potentzialaren minimoetan gertatuko da2. Baina, gogoratukalkuluak koordenatu orokortuetan egiten direla: lotura-ekuazioak betetzen dituzten konfigura-zioak kontsideratzen dira soilik aipaturiko minimoa definitzean.

Kasu berezi interesgarri bat aipatu behar dugu. Indar eragileak pisuak badira, energia po-tentziala grabitatorioa izango da.OZ ardatza norabide bertikalean eta gorantz aukeratzen bada,energia potentziala masa-zentroarenZ altueraren proportzionala da,

V =N∑

k=1

mkgzk = gN∑

k=1

mkzk =

(

N∑

k=1

mk

)

gZ, (6.117)

eta oreka masa-zentroaren altueraren mutur-puntuetan gertatzen da:

∂Z

∂qi= 0, (i = 1, 2, . . . , n). (6.118)

Ondorioz,masa-zentroak loturak apurtu gabe izan dezakeen posiziorik baxuenean lortzen daoreka egonkorra. Torricelli-ren printzipioa deritzo emaitza honi.

6.13 IRUDIA Hagatxoaren oreka.

Adibide moduan kontsidera dezagun6.13irudiko hagatxo homogeneoaren oreka. Mahai etahormaren artean dago plano bertikalean. Marruskadura arbuiagarria bada, Torricelli-ren printzi-pioa aplika dezakegu. Argi dago askatasun-gradu bakarra dagoela eta koordenatu orokortutzatα angelua aukeratuko dugu. Masa-zentroarenZ = h − d altuera kalkulatzeko, oinarrizko trigo-nometriaz baliatuko gara koordenatu orokortuen bidezh = l/2 sinα etad = a tanα lortzeko.Beraz,

Z = h− d =l

2sinα− a tanα (6.119)

dugu eta oreka-baldintzadZ

dα=l

2cosα− a

cos2 α= 0 (6.120)

da. Oreka-posizioa, beraz,

α = arccos3

2a

l(6.121)

da. Jakina, kosinuak1 edo txikiagoa izan behar duenez,l ≥ 2a baldintza bete behar da oreka ger-tatu ahal izateko. Irudian argi dago zein den baldintza horren esangura: masa-zentroa mahaiarenertza baino altuago kokatu behar da orekan.

2Lagrange-ren teoremadeitzen den emaitza honen frogapena Dirichlet-ena omen da (ikus [29]).

Page 50: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

210 6 Mekanika analitikoa

6.10 ARIKETA Egonkorra al da oreka-posizioa?

Ikusi dugunez, mahaiak eta hormak eragindako ukipen-indarnormalak, ez zaizkigu agertu:lotura-indarrak dira. Mekanika bektorialean, ordea, azken hauek kontuan hartu behar dira eta hiruezezagun egongo dira: normalen moduluak eta oreka-angelua. Horretarako hiru oreka-baldintzadaude problema lau honetan: indar osoa nulua izateari dagozkion biak eta indar-momentu osoarenbakarra. Estatika analitikoan, interesatzen ez zaizkigunnormalak ez dira agertzen eta ezezagunbakarra lortzeko oreka-ekuazio bakarra ebatzi behar da. (Lotura-indarren balioak nahi izanezgero, geroago ikusiko dugun Lagrange-ren biderkatzaileenmetodora jo beharko da.)

6.11 ARIKETA Erabili mekanika bektoriala oreka-posizioa lortzeko.

6.5 Bigarren motako Lagrange-ren ekuazioak

(6.78) higidura-ekuazioen ezkerreko gaia indar orokortua dela jakinik, azter dezagun zer deneskuineko gai zinematikoa. Hasteko, posizio-bektoreak (eta koordenatu cartesiarrak) koordenatuorokortuen bidez ematen dituzten (6.69) transformazio-ekuazioak deribatuz,rk abiadurakqi abia-dura orokortuen bidez nola adierazten diren ikusiko dugu:

rk =drk

dt=∂rk

∂t+

n∑

j=1

∂rk

∂qjqj . (6.122)

Hemen abiadura orokortuak esplizituki agertzen dira soilik, eta ez deribatu partzialetan. Beraz,

∂rk

∂qi=∂rk

∂qi. (6.123)

Koordenatu orokortuak, ordea, inplizituki bakarrik agertzen dira etat-rekiko deribatu osoa etaqi-rekiko partziala elkarrekin truka daitezke:

∂rk

∂qi=

∂qi

∂rk

∂t+

n∑

j=1

∂qi

(

∂rk

∂qj

)

qj =∂

∂t

∂rk

∂qi+

n∑

j=1

∂qj

(

∂rk

∂qi

)

qj =d

dt

∂rk

∂qi. (6.124)

Orain, (6.78) higidura-ekuazioen eskuineko gaian zatikako integrazioa eginez,

N∑

k=1

pk ·∂rk

∂qi=

N∑

k=1

mkrk ·∂rk

∂qi=

d

dt

N∑

k=1

mkrk ·∂rk

∂qi−

N∑

k=1

mkrk ·d

dt

∂rk

∂qi(6.125)

dugu eta (6.123)–(6.124) erabiliz,

N∑

k=1

pk ·∂rk

∂qi=

d

dt

N∑

k=1

mkrk ·∂rk

∂qi−

N∑

k=1

mkrk ·∂rk

∂qi

=d

dt

∂qi

[

1

2

N∑

k=1

mkrk · rk

]

− ∂

∂qi

[

1

2

N∑

k=1

mkrk · rk

]

. (6.126)

Mako artean bi aldiz agertzen den

T =1

2

N∑

k=1

mk rk · rk (6.127)

Page 51: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

6.5 Bigarren motako Lagrange-ren ekuazioak 211

magnitudea sistemaren energia zinetiko osoa dela kontuan hartuz,

N∑

k=1

pk ·∂rk

∂qi=

d

dt

∂T

∂qi− ∂T

∂qi(6.128)

dugu eta (6.78) higidura-ekuazioak modu honetan idazten dira:

d

dt

∂T

∂qi− ∂T

∂qi= Qi, (i = 1, 2, . . . , n). (6.129)

Jarraian ikusiko dugu nola erabiltzen diren bigarren motako Lagrange-ren ekuazio hauek zen-bait kasu interesgarritan.

Loturarik gabeko partikula-sistema

Koordenatu orokortutzat cartesiarrak erabiltzen baditugu, energia zinetikoa

T =1

2

N∑

k=1

mk r2k =

1

2

N∑

k=1

mk

(

x2k + y2

k + z2k

)

(6.130)

da etaqi = xj denean,i etaj indize egokietarako, (6.129) ekuazioen ezkerreko gaia

d

dt

∂T

∂xj− ∂T

∂xj= mj xj (6.131)

da, dagokion indar orokortua

Qi ≡N∑

k=1

Fk ·∂rk

∂xj= Fj · i = Fjx (6.132)

j partikularen gainean eragiten duenFj indarrarenx osagaia, eta Lagrange-ren ekuazioa

mj xj = Fjx. (6.133)

yj etazj koordenatuekin antzeko gauza bat dugu eta, beraz, sistemako partikulen higidura-ekua-zioak, Newton-en bigarren legeak emandakoak, berreskuratzen dira:

mj rj = Fj . (6.134)

(Gogoratu loturarik ez dagoela adibide honetan: indar eragilea, hortaz, partikularen gainean era-giten duenFj indar osoa da.)

Partikula bakarra koordenatu esferikoetan

Partikularen higidura aztertzeko koordenatu esferikoak aukeratzen badira,B.1.3ataleko emai-tzak erabiliz,

T =1

2m r2 =

1

2m[

r2 + r2(

θ2 + sin2 θ ϕ2)]

(6.135)

Page 52: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

212 6 Mekanika analitikoa

energia zinetikotik hauxe dugu:

d

dt

∂T

∂r− ∂T

∂r= m

(

r − rθ2 − rϕ2 sin2 θ)

= Qr = F · ∂r∂r

= F · r = Fr, (6.136)

d

dt

∂T

∂θ− ∂T

∂θ= m

(

r2θ + 2rrθ − r2ϕ2 sin θ cos θ)

= Qθ = F · ∂r∂θ

= rF · θ = rFθ, (6.137)

d

dt

∂T

∂ϕ− ∂T

∂ϕ= m

(

r2ϕ sin2 θ + 2rrϕ sin2 θ + 2r2θϕ sin θ cos θ)

= Qϕ = F · ∂r∂ϕ

= r sin θF · ϕ = r sin θFϕ. (6.138)

Beraz, koordenatu esferikoetan azelerazioaren osagaiak,kalkulu zuzenaren bidezB.4 ariketankalkulatu genituenak, hauexek dira:

ar =Fr

m= r − rθ2 − rϕ2 sin2 θ, (6.139)

aθ =Fθ

m= rθ + 2rθ − rϕ2 sin θ cos θ, (6.140)

aϕ =Fϕ

m= rϕ sin θ + 2rϕ sin θ + 2rθϕ cos θ. (6.141)

Koordenatu zilindrikoen kasua6.4probleman aztertzen da.

Erreferentzia-sistema birakorra

Eman dezagun loturarik gabeko partikula baten higidura deskribatzekoS0 erreferentzia-sis-tema inertzialeanω abiadura angeluarraz biratzen ari denS sistemaez-inertzialarenkoordenatucartesiarrak aukeratzen ditugula. Inertzia-indarren eragina esplizituki ez sartzeko, energia zineti-koaS0 sistema inertzialean kalkulatuko dugu, nahiz etaS sistemako koordenatuez baliatu. Corio-lis-en teoremaren arabera,S sisteman partikularen abiadurar denez,S0 delakoanr0 = r+ω× r

da eta, beraz, energia zinetikoa

T =1

2mr2

0 =1

2m (r + ω × r)2 . (6.142)

Koordenatu orokortuak cartesiarrak direnez, badakigu loturarik gabe indar orokortuak indar osoa-ren osagai cartesiarrak izango direla:Qx = Fx, Qy = Fy etaQz = Fz. Koordenatu bakoitzaridagokion Lagrange-ren ekuazioa ez idazteko, bektore-notazio erabilgarri batez baliatuko garan = 3 ekuazioak honela idazteko:

d

dt

∂T

∂r− ∂T

∂r= F, (6.143)

non bi gradiente desberdin erabili ditugun:

∂u≡ ∇u ≡ ∂

∂uxi +

∂uyj +

∂uzk. (6.144)

Jakina,∂/∂r gradientea (1.73) adierazpenak emandako nabla eragilea da.

Page 53: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

6.6 Lehen motako Lagrange-ren ekuazioak 213

6.12 ARIKETA Frogatu hurrengo bi emaitzak:

∂T

∂r= m (r + ω × r) , (6.145)

∂T

∂r= −mω × (r + ω × r) . (6.146)

Ondorioztatu bigarren motako Lagrange-ren (6.143) ekuazioak honako hauek direla:

m [r + ω × r + 2ω × r + ω × (ω × r)] = F. (6.147)

Hortaz, azelerazioari dagokion gaia askatuz, sistema birakorraren koordenatuak erabiliz biraketaksorturiko inertzia-indarrak agertzen direla egiaztatzendugu:

mr = F −mω × r − 2mω × r −mω × (ω × r) . (6.148)

Translazioak sorturiko inertzia-indarren agerpena6.5probleman aztertuko da.

Plano aldapatsu higikorra

Azter dezagun berriro6.7 irudiko sistema. Indar orokortuak (6.96)–(6.97) dira eta (6.56)–(6.57) transformazio-ekuazioak deribatuz kalkulatzen diren

r1 = r i, (6.149)

r2 = (r + s cosα) i − s sinα j (6.150)

abiadurekin lortzen da energia zinetikoa:

T =1

2M r2

1 +1

2mr2

2 =1

2Mr2 +

1

2m(

r2 + 2rs cosα+ s2)

. (6.151)

Lagrange-ren ekuazioak, jakina, (6.88)–(6.89) dira:

d

dt

∂T

∂r− ∂T

∂r= (M +m)r +ms cosα = Q1 = 0, (6.152)

d

dt

∂T

∂s− ∂T

∂s= m (r cosα + s) = Q2 = mg sinα. (6.153)

6.13 ARIKETA Pendulu matematikoa. Idatzi bigarren motako Lagrange-ren ekuazioa pendulumatematikoaren kasuan.

6.6 Lehen motako Lagrange-ren ekuazioak

Orain arte egin dugun hipotesi bakarra lotura guztiak holonomo idealak direla izan da. He-mendik aurrera, gainera, hurrengo bi hipotesietako bat egingo dugu beti.

Page 54: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

214 6 Mekanika analitikoa

1. Indar eragileak kontserbatzaileak dira eta, ondorioz, (6.102) adierazpenaren bidez lor dai-tezkeV (t, q1, . . . , qn) energia potentzial arrunt batetik. Lagrange-ren ekuazioak, beraz, ho-nela idazten dira:

d

dt

∂T

∂qi− ∂T

∂qi= −∂V

∂qi=

d

dt

∂V

∂qi− ∂V

∂qi, (6.154)

edo, eragile diferentzialak linealak direla erabiliz,

d

dt

∂(T − V )

∂qi− ∂(T − V )

∂qi= 0. (6.155)

SistemarenlagrangearraL ≡ T − V (6.156)

moduan definitzen badugu, honela idazten dira (lehen motako) Lagrange-ren ekuazioak:

d

dt

∂L

∂qi− ∂L

∂qi= 0, (i = 1, 2, . . . , n). (6.157)

2. Indar orokortuakU (t, q1, . . . , qn, q1, . . . , qn) energia potentzial orokortu batetik lor daitez-ke (6.106) adierazpenaren bidez. Lagrange-ren ekuazioak, beraz, honela idazten dira:

d

dt

∂T

∂qi− ∂T

∂qi=

d

dt

∂U

∂qi− ∂U

∂qi, (6.158)

edo, eragile diferentzialen linealtasuna erabiliz,

d

dt

∂(T − U)

∂qi− ∂(T − U)

∂qi= 0. (6.159)

Sistemaren lagrangearra orainL ≡ T − U (6.160)

moduan definitzen badugu, Lagrange-ren (6.157) ekuazioak lortzen dira, berriro ere.

6.6.1 Problemen ebazpena mekanika analitikoan

Orain arte ikusitakoa laburbilduz, mekanika analitikoan problema mekaniko bat ebaztekohurrengo metodoa erabili behar dela azpimarratu nahi dugu.

1. Kalkulatu zenbat diren loturak edo konfigurazioa zehazteko behar diren aldagai indepen-denteak, askatasun-graduen kopurua jakiteko.

2. Aukeratu koordenatu orokortu egokiak (problemaren simetriak gordetzeko moduan, adibi-dez).

3. Idatzi (6.69) transformazio-ekuazioak eta deribatu (6.122) abiadura lortzeko. (Urrats hauez da guztiz beharrezkoa problema errazetan hurrengo biak egiteko.)

4. Idatzi sistemaren energia zinetiko osoa koordenatu orokortuetan.

5. Idatzi sistemaren energia potentzial osoa koordenatu orokortuetan.

Page 55: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

6.6 Lehen motako Lagrange-ren ekuazioak 215

6. Kalkulatu lagrangearra eta Lagrange-ren (6.157) ekuazioak. Lagrangearreanqi abiadu-ra orokortuak agertzen direnez, denborarekiko deribatua egiteanqi azelerazio orokortuakagertuko dira. Lagrange-ren ekuazioak, beraz, bigarren ordenakon ekuazio diferentzialarrunt izango dira.

7. Ahal delarik, ebatzi higidura-ekuazioak (agian, geroago ikusiko ditugun kontserbazio-prin-tzipioez baliatuz).

Ikus dezagun nola ebazten diren adibide erraz batzuk.

Loturarik gabeko partikula koordenatu cartesiarretan

Partikularen masam bada eta koordenatu orokortuak(x, y, z) cartesiarrak badira, honelaidazten da energia zinetikoa:

T =1

2m(

x2 + y2 + z2)

. (6.161)

Energia potentzialaV (x, y, z) bada, lagrangearra

L = T − V =1

2m(

x2 + y2 + z2)

− V (x, y, z) (6.162)

izango da eta Lagrange-ren ekuazioak hurrengoak:

d

dt

∂L

∂x− ∂L

∂x= mx+

∂V

∂x= 0, (6.163)

d

dt

∂L

∂y− ∂L

∂y= my +

∂V

∂y= 0, (6.164)

d

dt

∂L

∂z− ∂L

∂z= mz +

∂V

∂z= 0. (6.165)

Argi dagomr = −∇V higidura-ekuazioaren osagai cartesiarrak direla aurrekoak.

6.14 ARIKETA Aztertu berriro sistema mekaniko hau koordenatu polar esferikoetan.

Atwood-en makina

Askatasun-gradu bakarra dugu eta6.4 irudiko q koordenatu orokortua erabiliz, partikulenenergia zinetikoak eta osoa erraz kalkulatzen dira:

T1 =1

2m1r

21 =

1

2m1q

2, T2 =1

2m2r

22 =

1

2m2q

2, T = T1 + T2 =1

2(m1 +m2) q

2. (6.166)

Era berean,

V1 = m1gy1 = −m1gq, V2 = m2gy2 = m2gq +K, V = V1 + V2 = (m2 −m1) gq +K(6.167)

energia potentziala eta

L = T − V =1

2(m1 +m2) q

2 − (m2 −m1) gq −K (6.168)

lagrangearra erraz lortzen dira. Goiko adierazpenetanK = m2g(πR − l) idatzi dugu. Badakiguhorrelako konstante gehigarriek (energia potentzialarenjatorriaren aukera bakarra ez izatearen

Page 56: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

216 6 Mekanika analitikoa

ondorioak direnek) ez dutela indarra aldatzen, gradienteakalkulatzean desagertzen baitira. An-tzeko gauza bat gertatzen da Lagrange-ren ekuazioetan deribatuak kalkulatzean:

d

dt

∂L

∂q− ∂L

∂q= (m1 +m2) q + (m2 −m1) g = 0. (6.169)

Azelerazio orokortua erraz askatzen da hemendik,

q =m1 −m2

m1 +m2

g, (6.170)

eta partikulen azelerazioak hurrengo konstanteak dira:

y1 = −q =m2 −m1

m1 +m2g, y2 = q =

m1 −m2

m1 +m2g. (6.171)

6.15 ARIKETA Pendulu matematikoa. Idatzi Lagrange-ren ekuazioak pendulu matematikoarenkasuan.

Pendulu esferikoa

Kasu honetann = 2 askatasun-gradu daude eta,194. orrian egin genuenez,6.2 irudian de-finituriko q1 = θ etaq2 = ϕ angeluak koordenatu orokortutzat aukeratuz, energia mekanikoahonako hau dela ikus daiteke (6.24)–(6.26) transformazio-ekuazioetatik edo, errazago,B.1.3ata-leko emaitzetanr = l lotura-ekuazioa ordezkatuz:

T =1

2mr2 =

1

2ml2

(

θ2 + ϕ2 sin2 θ)

. (6.172)

OZ ardatza beherantz aukeratu dugunez, energia potentziala

V = −mgz = −mgl cos θ (6.173)

da eta lagrangearra:

L = T − V =1

2ml2

(

θ2 + ϕ2 sin2 θ)

+mgl cos θ. (6.174)

Lagrange-ren ekuazioak, beraz, hurrengoak dira:

d

dt

∂L

∂θ− ∂L

∂θ= ml

(

lθ − lϕ2 sin θ cos θ + g sin θ)

= 0, (6.175)

d

dt

∂L

∂ϕ− ∂L

∂ϕ=

d

dt

(

ml2ϕ sin2 θ)

= 0. (6.176)

Ez dugu azken ekuazioan deribatu osoa kalkulatu dagoen moduan errazago ikusten delako higi-dura-konstante bat dagoela: momentu angeluarrarenz osagaia.

Page 57: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

6.7 Hamilton-en printzipioa 217

Plano aldapatsu higikorra

6.7 irudiko sistemaren kasuan, energia mekanikoa (6.151) da eta potentziala (6.103). Hortaz,lagrangearra

L =1

2Mr2 +

1

2m(

r2 + 2rs cosα + s2)

+mgs sinα (6.177)

da (garrantzi gabeko konstanteak arbuiaturik) eta Lagrange-ren ekuazioak hurrengoak:

d

dt

∂L

∂r− ∂L

∂r= (M +m)r +ms cosα = 0, (6.178)

d

dt

∂L

∂s− ∂L

∂s= m (r cosα+ s) −mg sinα = 0. (6.179)

Jakina, (6.88)–(6.89) higidura-ekuazioak berreskuratzen ditugu.

6.16 ARIKETA Froga ezazu6.3irudiko sistemaren lagrangearra

L =1

2mR2

(

θ2 + ω2 sin2 θ)

+ mgR cos θ (6.180)

dela eta aurkitu higidura-ekuazioa.

6.17 ARIKETA Indar zentralak . Aurkitu indar zentralen menpeko higidura-ekuazioak atalho-netako formalismoaren bidez. (Ikus4.1ariketa.)

6.7 Hamilton-en printzipioa

Ikus dezagun orain nola egin daitekeen mekanika analitikoaguztiz desberdina den beste abia-puntu batetik. Ikuspuntu hau, behar bezala egokitu ondoren, oso emankorra izaten da fisika mo-dernoan eremuen teoriak eraikitzean.

6.14 IRUDIA Ekintza kalkulatzeko bi bide.

6.7.1 Ekintza

Eman dezagunt1 etat2 aldiuneak hautatu ondoren dagozkien bi konfigurazio aukeratzen di-tugula:q1 ≡ q1 (t1) , . . . qn (t1) etaq2 ≡ q1 (t2) , . . . qn (t2) . Aipaturiko aldiuneak eta kon-figurazioak ez dira aldatuko, baina bestet bakoitzekoq(t) ≡ q1(t), . . . qn(t) konfigurazio bat

Page 58: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

218 6 Mekanika analitikoa

aukeratzen dugu,qi(t) funtzioak erregularrak3 izateko baldintza bakarra betetzeko moduan. Az-pimarratu behar da, konfigurazioak aukeratu ditugunez,t aldiune bakoitzean loturak bete behardirela; baina, oro har higidura-ekuazioak ez dira beteko aipaturiko aukeretan.t aldatzeant1 etat2aldiunetan aukeraturiko konfigurazioak lotzen dituen kurba erregular bat lortzen daqi koordena-tuetako konfigurazio-espazio abstraktuan. Konfigurazio-bide horri dagokion sistema mekanikoa-ren ekintza, definizioz, hurrengo integralaren balioa da:

I [q1, . . . , qn] ≡∫ t2

t1L [t, q1(t), . . . , qn(t), q1(t), . . . , qn(t)] dt, (6.181)

nonL (t, q1, . . . , qn, q1, . . . , qn) funtzioa sistemaren lagrangearra den.

6.18 ARIKETA Froga ezazu ekintza eta Planck-enh konstantea dimentsio berekoak direla. Bes-telako zer magnitude fisiko ezagunen dimentsioak dira ekintzarenak?

6.7.2 Ekintza minimoaren printzipioa

Ekintza kalkulatzeko integrazio-bidea, konfigurazio-espazioko bi puntu lotzen dituen edozeinkurba izan daiteke; loturak beteko dira, beraz, baina ez beti higidura-ekuazioak. Integrazio-bideaaldatzean ekintza bera ere aldatuko da eta minimoa izateko bete behar den baldintza beharrez-koa egonkorra izatea da,B.6 atalean azaltzen denez. Baina azken baldintza lehen motakoLa-grange-ren ekuazioen baliokidea dela frogatzen daB.6.4atalean. Beraz, mekanikaren oinarrizkoprintzipiotzat har dezakegun Hamilton-en printzipioa frogatu dugu:

Eman dezagun sistema mekaniko batean lotura guztiak holonomoak eta idealak direla etaindar eragileak kontserbatzaileak (edo potentzial orokortu batetik lortzen direnak). Bi konfigura-zio ezagun lotzen dituzten ibilbide guztien artean, higidurari dagokiona muturrekoa da, hau da,ekintza egonkorra izateko aukeratu behar dena:

δ∫ t2

t1L [t, q1(t), . . . , qn(t), q1(t), . . . , qn(t)] dt = 0. (6.182)

Printzipio honen garrantzia teorikoa da, gaur eguneko fisikan ere fenomeno desberdinen des-kribapenaren funtsezko abiapuntutzat hartzen baita. Baina praktikan, higidura-ekuazioak idaz-teko, ikuspuntu matematikotik baliokideak diren Euler etaLagrange-ren (B.180) ekuazioak edolehen motako Lagrange-ren (6.157) ekuazioak erabiltzen dira.

Kasu interesgarri gehienetan higidurari dagokion konfigurazio-espazioko ibilbidean ekintzaminimoa bada ere, maximoa izatea ere gerta daiteke. Baina hemen ez gara horrelako ñabardurezarduratuko.

Osziladore harmonikoa

Adibide moduan kontsidera dezagun1.12irudiko osziladore harmonikoa. Bere lagrangearra

L =1

2mx2 − 1

2kx2 =

1

2m(

x2 − ω2x2)

(6.183)

3Funtzio baterregularra izateko, berak eta bere deribatuek «erregular» adjektiboaagertzen den enuntziatuabermatzeko jarraitutasun-baldintzak bete behar dituzte.Aipaturiko baldintza beharrezkoak, puntu (edo leku geome-triko) berezi batzuetan izan ezik, bete egiten direla suposatzen dugu beti testu honetan. Puntusingular horiek, halaere, garrantzi handikoak izaten dira fisikan (bertan dago, adibidez, grabitazio-eremurik errazena sortzen duen masapuntuala).

Page 59: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

6.7 Hamilton-en printzipioa 219

da eta (1.90) higidura-ekuazioaren soluzioa (1.112). Aukera ditzagunt1 = 0 eta t2 = π/2ωuneetan hurrengo bi konfigurazioak:

x(0) = 0, x(

π

)

= 1. (6.184)

6.15 IRUDIA Osziladore harmonikoaren bi konfigurazio lotzen dituzten bide batzuk.

6.19 ARIKETA Froga ezazu (6.184) baldintzak betetzen dituen soluzio bakarra honako hau dela:

x = sin ωt. (6.185)

Aipaturiko bi konfigurazioak lotzen dituzten kurben multzoa handiegia da esplizituki aztertzeko.Horren ordez, oso familia txikia (baina infinitua) kontsideratuko dugu hemen:

x = sinωt+ a sin 2ωt. (6.186)

Argi dagoa parametroaren balio bakoitzeko lortzen den kurba aipaturiko konfigurazioetatik pa-satzen dela, (6.184) baldintzak betetzen baitira. (Familia honetan kalkulaturiko B.6.4 atalekoaldaketa infinitesimalaδx = sin 2ωt δa modukoa izango da.) Honela idazten da lagrangearraaipaturiko familiaren kurba batean:

L =1

2mω2

[

cos 2ωt+ a (cosωt+ 3 cos 3ωt) +1

2a2 (3 + 5 cos 4ωt)

]

. (6.187)

Ekintza erraz kalkulatzen da:

I =∫ π/2ω

0Ldt

=1

4mω

[

sin 2ωt+ 4a sinωt cos2 ωt+1

4a2 (12ωt+ 5 sin 4ωt)

]π/2ω

0

=3

8a2mπω. (6.188)

Ekintzaren aldakuntza, beraz,

δI =3

4amπω δa (6.189)

eta nulua da higidura deskribatzen duen kurban:

δI = 0 ⇐⇒ a = 0. (6.190)

Izan ere, kasu horretan ekintzaren minimoa dugula zuzeneanikusten da (6.188) emaitzan.Hemen aukeratu dugun familia oso murriztua izan da, baina familia orokorrenean ere gauza

bera gertatuko dela bermatzen du aldakuntzen kalkuluak.

Page 60: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

220 6 Mekanika analitikoa

6.8 Lotura-indarrak eta Lagrange-ren biderkatzaileak

Mekanika analitikoaren abantailen artean lotura-indarrak desagertzea dago; baina, noizeanbehin, horiek kalkulatu nahi ditugu. Horretarako, koordenatu orokortu independenteak aurkitze-ko oraindik ez ditugula transformazio-ekuazioak erabili suposatu behar da. Beraz, gure sistema-ren konfigurazioak adierazteko aukeratu ditugunqi koordenatu orokortuak independenteak izanbeharrean era honetakom lotura-ekuazio independente betetzen direla suposatuko dugu:

gl (t, q1, . . . , qn) = 0, (l = 1, 2, . . . , m). (6.191)

Hamilton-en printzipioaren arabera higidura-ekuazioak hurrengoaren baliokideak dira:

δ∫ t2

t1Ldt = 0. (6.192)

Baina, orain,δqi guztiak independenteak ez direnez,B.6.5 atalean azaltzen den Lagrange-renbiderkatzaileen metodoa erabili behar da. Beraz,

L = L+m∑

l=1

λl gl (t, q1, . . . , qn) (6.193)

lagrangear aldatua erabiliz, ekintza egonkorra izateko bete behar diren baldintzak,

d

dt

∂L

∂qi− ∂L

∂qi= 0, (i = 1, 2, . . . , n), (6.194)

gl (t, q1, . . . , qn) = 0, (l = 1, 2, . . . , m) (6.195)

edota

d

dt

∂L

∂qi− ∂L

∂qi=

m∑

l=1

λl∂gl

∂qi, (i = 1, 2, . . . , n), (6.196)

gl (t, q1, . . . , qn) = 0, (l = 1, 2, . . . , m) (6.197)

moduan idatzi behar dira.Ikus dezagun nola aplika daitekeen metodo hau pendulu matematikoaren kasuan. Koorde-

natu esferikoetan,ϕ = 0 lotura erabiliz, koordenatu orokortutzatr etaθ aukeratzen baditugu,lagrangearra

L =1

2m(

r2 + r2θ2)

+mgr cos θ (6.198)

da etar = l lotura-ekuazioa (hau da,g = r− l = 0) betetzen denez, ebatzi behar diren ekuazioakhonako hauek dira:

d

dt

∂L

∂r− ∂L

∂r= m

(

r − rθ2 − g cos θ)

= λ∂g

∂r= λ, (6.199)

d

dt

∂L

∂θ− ∂L

∂θ= m

(

r2θ + 2rrθ + gr sin θ)

= λ∂g

∂θ= 0, (6.200)

r = l. (6.201)

Azken ekuazioa aurreko bietan ordezkatuz,

−mlθ2 −mg cos θ = λ, (6.202)

ml2θ +mgl sin θ = 0. (6.203)

Bigarren adierazpena (D.33) higidura-ekuazioa da eta lehenengoakλ biderkatzailearen balioa.

Page 61: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

6.8 Lotura-indarrak eta Lagrange-ren biderkatzaileak 221

6.8.1 Lotura-indar orokortuak

Lagrange-ren biderkatzaileen esangura aztertzeko, idatzdezagun lagrangearraL = T − V(edoL = T − U) moduan eta6.6ataleko kalkulua deseginez, (6.196)–(6.197) ekuazioak

d

dt

∂T

∂qi− ∂T

∂qi= Qi +

m∑

l=1

λl∂gl

∂qi, (i = 1, 2, . . . , n), (6.204)

gl (t, q1, . . . , qn) = 0, (l = 1, 2, . . . , m) (6.205)

moduan idazten dira indar eragileei dagozkien indar orokortuen bidez:

Qi =N∑

k=1

Fk ·∂rk

∂qi=

−∂V∂qi

,

d

dt

∂U

∂qi− ∂U

∂qi.

(6.206)

Ageri denez, (6.204) ekuazioak bigarren motako Lagrange-ren (6.204) ekuazioen egitura duteeta, ondorioz,

∑ml=1 λl ∂gl/∂qi gaia indar orokortu moduan ulertu behar da, problema baliokidea-

ren kontzeptu emankorraz baliatuz ikusiko dugun bezala. Eman dezagun, (6.205) loturak kentzenditugula, baina jatorrizko kasuko lotura-indarren berdinak direnNk indar eragileak gehitzen di-tugula. Argi dago bi problemak guztiz baliokideak izango direla. Adibidez, pendulu matemati-koaren kasuan soka (etar = l lotura) kendu ondoren, jatorrizko probleman sokak eragindakoN

indarraren berdina den indar eragile bat, konputagailuz kontrolaturiko suziri txiki batek eragin-dakoa edo, sartzen dugu problema baliokidean. Bi kasuetanm masa modu berean higituko da:berdin da zein den1.8 irudiko gorputz askearen diagramanN-ren jatorria, sokak edo suziriak.Problema berriaren higidura-ekuazioak bigarren motako Lagrange-ren (6.204) ekuazioen antze-koak izango dira, baina orain indar orokortuetan bi ekarpenegongo dira: jatorrizko problemarenindar eragileen (6.206) adierazpenetakoQi eta hango lotura-indarren berdinak direnNk indareragile berriei dagozkien indar orokortuak:

Q(L)i =

N∑

k=1

Nk ·∂rk

∂qi. (6.207)

Higidura-ekuazioak, beraz, hauexek dira:

d

dt

∂T

∂qi− ∂T

∂qi= Qi +Q

(L)i , (i = 1, 2, . . . , n). (6.208)

(6.204) eta (6.208) baliokideak direnez, argi dago jatorrizko problemarenNk lotura indarrei da-gozkien indar orokortuak (6.196) ekuazioetako eskuineko gaiak direla:

Q(L)i =

N∑

k=1

Nk ·∂rk

∂qi=

m∑

l=1

λl∂gl

∂qi. (6.209)

Ondorioz, Lagrange-ren biderkatzaileak kalkulatu ondoren, lotura-indar orokortuak zuzeneanezagutzen ditugu.

Adibidez, pendulu matematikoaren kasuan lotura-indar orokortuak (6.202)–(6.203) ekuazioe-tako eskuineko gaiak dira:

Q(L)r = N · ∂r

∂r= N · r = λ, (6.210)

Q(L)θ = N · ∂r

∂θ= rN · θ = 0. (6.211)

Page 62: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

222 6 Mekanika analitikoa

Beraz, lotura indarra erradiala da (Nθ = 0), esekidura-punturanzkoa (Nr = λ < 0) eta beremoduluaN = −Nr = −λ = mlθ2 +mg cos θ, 1.7ariketan frogatu genuen bezala.

6.8.2 Estatika analitikoa

Estatika analitikoan ere erabil daiteke Lagrange-ren biderkatzaileen metodoa lotura-indarrakkalkulatzeko. (6.191) loturak kentzen badira, oreka-baldintzak (6.204)–(6.205) higidura-ekua-zioetanT = 0 eginez lortzen dira:

Qi +m∑

l=1

λl∂gl

∂qi= 0, (i = 1, 2, . . . , n), (6.212)

gl (t, q1, . . . , qn) = 0, (l = 1, 2, . . . , m). (6.213)

Hemendik oreka-konfigurazioa(k) etaλl biderkatzaileak kalkulatu ondoren, lotura-indar orokor-tuak (6.209) dira. Jakina, indarrak kontserbatzaileak badira, (6.101) erlazioen ondorioz oreka--ekuazioak honako hauek dira:

∂V

∂qi=

m∑

l=1

λl∂gl

∂qi, (i = 1, 2, . . . , n), (6.214)

gl (t, q1, . . . , qn) = 0, (l = 1, 2, . . . , m). (6.215)

Adibidez, 6.13 irudiko kasuan, koordenatu orokortutzatα angelua eta mahaiaren ertzetikneurturiko masa-zentroarenX etaZ koordenatuak aukeratzen baditugu,V = mgZ dugu etabi lotura-ekuazio geratzen zaizkigu:

g1 = X +l

2cosα− a = 0, (6.216)

g2 = Z − l

2sinα + a tanα = 0. (6.217)

(6.214) ekuazioak, beraz, hauexek dira:

∂V

∂X= 0 = λ1

∂g1

∂X+ λ2

∂g2

∂X= λ1, (6.218)

∂V

∂Z= mg = λ1

∂g1

∂Z+ λ2

∂g2

∂Z= λ2, (6.219)

∂V

∂α= 0 = λ1

∂g1

∂α+ λ2

∂g2

∂α= λ1

(

− l

2sinα

)

+ λ2

(

− l

2cosα +

a

cos2 α

)

. (6.220)

Beraz,λ1 = 0, λ2 = mg eta (6.120) oreka-baldintza lortzen dira. Lotura-indar orokortuak,ekuazio hauetako azken gaiak dira:

Q(L)X =

N∑

k=1

Nk ·∂rk

∂X= (N1 + N2) · i = 0, (6.221)

Q(L)Z =

N∑

k=1

Nk ·∂rk

∂Z= (N1 + N2) · k = mg, (6.222)

Q(L)α =

N∑

k=1

Nk ·∂rk

∂α= (r1 × N1 + r2 × N2) · j

= mg

(

− l

2cosα+

a

cos2 α

)

= 0. (6.223)

Page 63: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

6.9 Momentu kanoniko konjugatuak 223

Hasierako bi adierazpenek hagatxoaren gainean eragiten duen indar osoa nulua dela baieztatzendute:

N1 + N2 −mgk = 0. (6.224)

Hirugarrenak masa-zentroarekiko lotura-indarren momentuareny osagaia nulua dela dio.

6.20 ARIKETA Erabili loturak idealak direla —eta, beraz,N1 hagatxoaren perpendikularra etaN2 horizontala—N1 etaN2 kalkulatzeko. Egiaztatu (6.223) baldintzak masa-zentroarekiko lotura--indarren momentua nulua dela adierazten duela.

Lotura ez-holonomoak dituzten zenbait sistema mekaniko aztertzeko ere erabil daiteke ikusiberri dugun Lagrange-ren biderkatzaileen metodoa (ikus, adibidez, [5]).

6.9 Momentu kanoniko konjugatuak

Definizioz, qi koordenatu orokortuari dagokion momentu kanoniko konjugatua honako hauda:

pi ≡∂L

∂qi. (6.225)

6.21 ARIKETA Froga ezazupiqi biderkaduraren dimentsioak ekintzarenak direla:[piqi] = [h].

Plano aldapatsu higikorra

6.7irudiko sistemaren kasuan hauexek ditugu (6.177) lagrangearretik lortzen diren momentukanonikoak:

pr =∂L

∂r= (M +m)r +ms cosα, (6.226)

ps =∂L

∂s= m (r cosα + s) . (6.227)

Momentu linealaren dimentsioak dituzte hauek; baina, (D.32) gogoratuz, pendulu matematikoa-ren momentu kanonikoa momentu angeluarra dela ikusten dugu:

p =∂L

∂θ= ml2θ. (6.228)

Horrexegatik momentu hauek, koordenatuak bezala, «orokortuak» dira: edonolakoak izan daitez-ke dimentsioen aldetik.

6.9.1 Koordenatu ziklikoak eta kontserbazio-printzipioak

Momentu kanonikoen definizioarekin, Lagrange-ren ekuazioak

pi =∂L

∂qi, (i = 1, 2, . . . , n) (6.229)

eran idazten dira. Bestalde,qj koordenatu orokortuaziklikoa edoahanzgarria dela esaten dugulagrangearrean esplizituki agertzen ez bada:

∂L

∂qj= 0. (6.230)

Page 64: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

224 6 Mekanika analitikoa

Definizio hau eta (6.228) erabiliz, kontserbazio-printzipio bat frogatu dugu:

∂L

∂qj= 0 ⇐⇒ pj = 0, (6.231)

hau da,koordenatu zikliko bati dagokion momentu kanoniko konjugatua higidura-konstantea da.Emaitza honek simetrien eta kontserbazio-legeen arteko erlazio estua dagoela frogatzen du. Izanere, koordenatu bat ziklikoa izateak bera aldatzean lagrangearra ez dela aldatzen adierazten du.Halako simetria bat dugu kasu horretan eta, ondorioz, dagokion kontserbazio-lege bat (ikus, adi-bidez, [5]).

Ikus dezagun adibide batzuetan momentu kanonikoen eta kontserbazio-printzipio honen esan-gura.

Loturarik gabeko partikula koordenatu cartesiarretan

Eman dezagun partikula batV (t, x, y, z) potentzialean higitzen dela:

L =1

2m(

x2 + y2 + z2)

− V (t, x, y, z). (6.232)

Definizioa aplikatuz, momentu kanonikoak momentu linealaren osagaiak direla ikusten dugu:

px =∂L

∂x= mx, py =

∂L

∂y= my, pz =

∂L

∂z= mz. (6.233)

Eman dezagun orain gure problemakx ardatzaren norabidean egindako translazioekiko sime-tria duela, hau da,x abzisaren balio guztietarako gauza bera dugula eta, beraz,L ez dela aldatzenx aldatzean:

∂L

∂x= 0 ⇐⇒ ∂V

∂x= 0. (6.234)

Kasu horretan,px higidura-konstantea da. Mekanika newtondarrean emaitza bera lortzen da no-rabide horretan indarrak duen proiekzioa nulua baita:

Fx = −∂V∂x

= 0. (6.235)

Translazio-simetria bati, momentu linealaren osagai baten kontserbazioa dagokiola ikusten dugu.(Translazio orokorragoak [5] testuan aztertzen dira.)

Loturarik gabeko partikula koordenatu zilindrikoetan

Aurreko partikula koordenatu zilindrikoetan aztertzen badugu, lagrangearra hauxe izango da:

L =1

2m(

ρ2 + ρ2ϕ2 + z2)

− V (t, ρ, ϕ, z). (6.236)

Definizioa aplikatuz, bi momentu kanoniko momentu linealaren osagaiak izan arren, hirugarrenamomentu angeluarraren osagaia dela ikusten dugu:

pρ =∂L

∂ρ= mρ, pϕ =

∂L

∂ϕ= mρ2ϕ, pz =

∂L

∂z= mz. (6.237)

Page 65: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

6.10 Hamiltondarra 225

Gure problemakOZ ardatzaren inguruko biraketekiko simetria badu, hau da,ϕ angeluarenbalio guztiak baliokideak badira,

∂L

∂ϕ= 0 ⇐⇒ ∂V

∂ϕ= 0, (6.238)

pϕ kontserbatu egiten da. Mekanika newtondarrean emaitza bera lortzen da aipaturiko norabideanindar-momentuak duen proiekzioa nulua baita:

Qϕ = −∂V∂ϕ

= (r × F)z = 0. (6.239)

Biraketa-simetria bati, momentu angeluarraren osagai baten kontserbazioa dagokio. (Biraketaorokorragoak [5] testuan aztertzen dira.)

6.22 ARIKETA Aztertu adibide hau koordenatu esferikoetan.

Plano aldapatsu higikorra

6.7 irudiko sistemaren kasuan (6.177) lagrangearreanr ez da agertzen; beraz, (6.226) mo-mentu kanoniko konjugatua, higidura-konstantea da. Abiaduren (6.149)–(6.150) adierazpenakgogoratuz, erraz ikusten da momentu kanoniko hau momentu lineal osoaren osagai horizontaladela:

pr = (M r1 +mr2)x . (6.240)

Ez da aldatzen higiduran zehar norabide horretan kanpo-indar osoa nulua delako.

6.23 ARIKETA Indar zentralak . Aztertu koordenatu ziklikoei dagozkien kontserbazio-legeakindar zentralen menpeko higiduran. (Ikus6.17ariketa.)

6.24 ARIKETA Aurkitu koordenatu ziklikoak eta dagozkien kontserbazio-legeak pendulu esferi-koaren kasuan.

Momentu linealaren eta angeluarraren kontserbazio-printzipioen orokorpenak aztertu ditu-gu atal honetan. Energia mekanikoari dagokiona ikusteko, magnitude berri bat definitu beharkodugu.

6.10 Hamiltondarra

Sistema mekanikoaren hamiltondarra energiaren dimentsioak dituen hurrengo magnitudeada:

H ≡n∑

i=1

qi pi − L =n∑

i=1

qi∂L

∂qi− L. (6.241)

Page 66: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

226 6 Mekanika analitikoa

Loturarik gabeko partikula koordenatu cartesiarretan

Adibidez, (6.232) lagrangearraren kasuan hauxe dugu (6.233) emaitzen ondorioz:

H = x px + y py + z pz − L

= m(

x2 + y2 + z2)

−[

1

2m(

x2 + y2 + z2)

− V (t, x, y, z)]

=1

2m(

x2 + y2 + z2)

+ V (t, x, y, z)

= T + V = E. (6.242)

Hamiltondarra energia mekanikoaren berdina dakasu honetan.

6.25 ARIKETA Froga ezazu gauza bera gertatzen dela koordenatu zilindrikoetan eta esferikoetan.

Bainahamiltondarra ez da beti energia mekanikoa.

6.26 ARIKETA Frogatu6.3irudiko sistemaren hamiltondarra

H =1

2mR2

(

θ2 − ω2 sin2 θ)

− mgR cos θ (6.243)

dela eta, beraz,

E =1

2mR2

(

θ2 + ω2 sin2 θ)

− mgR cos θ (6.244)

energia mekanikoaren desberdina.

6.10.1 Hamiltondarra eta energia mekanikoa

Hamiltondarra energia mekanikoaren berdina izateko baldintza nahikoak emango ditugu ja-rraian. Horretarako, sistema mekaniko batnaturala dela esango dugu (loturak holonomoak etaidealak izateaz gain)

1. indar eragileak kontserbatzaileak badira,

L = T − V (t, q1, . . . , qn) , (6.245)

2. eta denbora ez bada esplizituki agertzen (6.69) transformazio-ekuazioetan (lotura guztiakegonkorrak direlako edo):

∂rk

∂t= 0, (k = 1, 2, . . . , N). (6.246)

Definizio honekin, hauxe dugu hamiltondarraren esangura:sistema mekaniko naturalen hamil-tondarra energia mekanikoaren berdina da:

H = T + V. (6.247)

Izan ere, (6.69) transformazio-ekuazioetan denbora esplizituki agertzen ez bada, (6.122) abiadu-rak modu honetan adierazten dira koordenatu orokortuetan:

rk =n∑

j=1

∂rk

∂qjqj . (6.248)

Page 67: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

6.10 Hamiltondarra 227

Energia mekanikoa honelakoa da kasu honetan:

T =1

2

N∑

k=1

mkrk · rk =1

2

N∑

k=1

n∑

j,l=1

mk∂rk

∂qj· ∂rk

∂qlqj ql =

1

2

n∑

j,l=1

ajl qj ql, (6.249)

non forma koadratiko honen koefiziente simetrikoak honela definitzen diren:

ajl ≡N∑

k=1

mk∂rk

∂qj· ∂rk

∂ql= alj . (6.250)

Koefiziente hauekqi koordenatu orokortuen menpekoak izan arren,qi abiadura orokortuen inde-pendenteak dira eta, batura-indize mutuen izenak aldatuz,

∂T

∂qi=

1

2

n∑

l=1

ail ql +1

2

n∑

j=1

aji qj =n∑

j=1

aij qj (6.251)

lortzen dugu, eta hortikn∑

i=1

qi∂T

∂qi=

n∑

i,j=1

aij qiqj = 2T. (6.252)

Funtzio homogeneoen Euler-en teorema ezagunaren kasu berezia den emaitza hau, hamiltonda-rraren (6.241) definizioa eta (6.245) erabiliz, teoremaren frogapena amaitzen dugu:

H =n∑

i=1

qi∂L

∂qi− L =

n∑

i=1

qi∂T

∂qi− L = 2T − (T − V ) = T + V = E. (6.253)

Plano aldapatsu higikorra

6.7 irudiko sistema naturala denez, (6.151) energia mekanikoa da eta (6.103) energia poten-tziala erabiliz, zuzenean idatz dezakegu hamiltondarra:

H =1

2Mr2 +

1

2m(

r2 + 2rs cosα+ s2)

−mgs sinα. (6.254)

6.27 ARIKETA Frogatu pendulu matematikoaren hamiltondarra honako hau dela:

H = T + V =1

2ml2θ2 − mgl cos θ. (6.255)

6.10.2 Hamiltondarraren kontserbazio-printzipioa: Jacobi-ren integrala

Hamiltondarraren (6.241) definizioa denborarekiko deribatuz,

H =d

dt

(

n∑

i=1

qi∂L

∂qi− L

)

=n∑

i=1

qi∂L

∂qi+

n∑

i=1

qid

dt

∂L

∂qi−(

∂L

∂t+

n∑

i=1

∂L

∂qiqi +

n∑

i=1

∂L

∂qiqi

)

=n∑

i=1

qi

(

d

dt

∂L

∂qi− ∂L

∂qi

)

− ∂L

∂t. (6.256)

Page 68: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

228 6 Mekanika analitikoa

Denborarekiko deribatu osoa higiduran zehar kalkulatzen denez, azken baturako parentesiak nu-luak dira, Lagrange-ren ekuazioen ondorioz. Hortaz, higiduran zehar

dH

dt= −∂L

∂t(6.257)

betetzen dela frogatu dugu. (Deribatu osoen eta partzialenarteko desberdintasuna azpimarratzekoez dugu hemen erabiliH = −∂L/∂t notazio baliokide laburra.)

Badakigu orain noiz kontserbatzen den hamiltondarra:hamiltondarra higidura-konstantea dabaldin eta soilik baldin denbora ez bada esplizituki agertzen lagrangearrean.

Argi geratu beharko litzateke emaitza hau eta6.10.1atalekoa guztiz independenteak direla.

• Batzuetan sistema mekanikoa naturala da eta lagrangearra denboraren independentea: biemaitzak beteko dira eta hamiltondarra energia mekanikoaren berdina eta higidura-kons-tantea izango da. Horrela gertatzen da, adibidez, plano aldapatsu higikorraren (6.254) ha-miltondarrarekin eta pendulu matematikoaren (6.255) delakoarekin.

• Sistema naturala ez bada, gerta daiteke hamiltondarra energia mekanikoa izan ez arrenhigidura-konstantea izatea, denbora lagrangearrean esplizituki agertzen ez delako. Adibi-dez,6.3 irudiko sisteman lotura higikorra da —(6.30)–(6.31) lotura ekuazioetan denboraesplizituki agertzen da— eta,6.26 ariketan ikusi genuenez, hamiltondarra ez da energiamekanikoa. Hala ere, kontserbatu egiten da. Energia mekanikoa, ordea, ez da higidura--konstantea,ω abiadura angeluarra konstantea izateko lan egiten duen kanpo-eraginen bat(motor batek egindakoa, agian) behar da eta.

• Alderantziz ere gerta daiteke eta, sistema naturala izan arren, energia mekanikoaren berdinaden hamiltondarra ez kontserbatzea. Esaterako, horixe gertatuko litzateke (6.232) sisteman∂V/∂t 6= 0 balitz.

• Jakina, badago laugarren kasua: gerta daiteke hamiltondarra energia mekanikoaren desber-dina eta aldakorra izatea. Nahikoa da, adibidez,6.26ariketako sistemanω abiadura aldezaurretik ezaguna denω = ω0e

−λt legearen arabera aldatzea.

6.11 Legendre-ren transformazioa

Lagrange-ren (6.157) ekuazioetan oinarrizko aldagai independenteakt denbora,qi koordena-tu orokortuak etaqi abiadura orokortuak dira. Bestalde, (6.225) definizioan, momentu kanonikoakaipaturiko aldagaien menpean adierazten dira:

pi ≡∂L

∂qi(t, q1, . . . , qn, q1, . . . , qn) , (i = 1, 2, . . . , n). (6.258)

Alderantzizkoak kalkulatuz,n definizio hauetatikn abiadura orokortuak aska daitezket denbora,qi koordenatu orokortu etapi momentu orokortuen funtzioan:

qi = qi (t, q1, . . . , qn, p1, . . . , pn) . (6.259)

Hauxe da Legendre-ren transformazioa eta hemendik aurrerahonetaz baliatuko gara magnitudefisiko guztiak oinarrizko aldagai independente berriak diren t denboraren,qi koordenatu oro-kortuen etapi momentu orokortuen menpean idazteko. Adierazpenak arintzeko,n dimentsioko

Page 69: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

6.11 Legendre-ren transformazioa 229

espazio abstraktuetakoq ≡ (q1, . . . , qn) etap ≡ (p1, . . . , pn) bektore-notazio laburtua erabilikodugu askotan. Honela idazten da aipaturiko transformazioa, beraz:

q = q (t,q,p) . (6.260)

Loturarik gabeko partikula koordenatu cartesiarretan

Kasu honetako (6.233) momentuak erabiliz, hauexek ditugu Legendre-ren transformazioak:

x =px

m, y =

py

m, z =

pz

m. (6.261)

Plano aldapatsu higikorra

6.7 irudiko sistemaren (6.226)–(6.227) momentuetatik honela askatzen dira abiadura orokor-tuak:

r =pr − ps cosα

M +m sin2 α, (6.262)

s =(M +m)ps −mpr cosα

m(

M +m sin2 α) . (6.263)

6.28 ARIKETA Zein da Legendre-ren transformazioa pendulu matematikoaren kasuan?

6.11.1 Hamiltondarra

Hemendik aurrera hamiltondarra, (6.241) barik,

H(t,q,p) =n∑

i=1

pi qi(t,q,p) − L [t,q, q(t,q,p)] (6.264)

izango da, nonqi abiadura orokortuak Legendre-ren (6.259) transformazioa erabiliz ezabatu di-tugun.

Loturarik gabeko partikula koordenatu cartesiarretan

(6.242) hamiltondarrean (6.261) transformazioa egiten bada, hauxe dugu:

H =1

2m

(

p2x + p2

y + p2z

)

+ V (t, x, y, z). (6.265)

Plano aldapatsu higikorra

6.7irudiko sistemaren (6.254) hamiltondarrean (6.262)–(6.263) transformazioa eginez hauxelortzen da:

H =mp2

r + (M +m)p2s − 2mprps cosα

2m(

M +m sin2 α) −mgs sinα. (6.266)

6.29 ARIKETA Erabili Legendre-ren transformazioa pendulu matematikoaren kasuan.

Page 70: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

230 6 Mekanika analitikoa

Kalkula ditzagun (6.264) hamiltondarraren deribatuak oinarrizko aldagai berri hauetan, mo-mentuen (6.225) definizioa erabiliz:

∂H

∂t=

n∑

i=1

pi∂qi∂t

−[

∂L

∂t+

n∑

i=1

∂L

∂qi

∂qi∂t

]

= −∂L∂t, (6.267)

∂H

∂qj=

n∑

i=1

pi∂qi∂qj

−[

∂L

∂qj+

n∑

i=1

∂L

∂qi

∂qi∂qj

]

= − ∂L

∂qj, (6.268)

∂H

∂pj= qj +

n∑

i=1

pi∂qi∂pj

−n∑

i=1

∂L

∂qi

∂qi∂pj

= qj(t,q,p). (6.269)

6.12 Hamilton-en ekuazio kanonikoak

Lagrange-ren (6.229) ekuazioak honela idazten dira (6.268) deribatuaren bidez:

pi = −∂H∂qi

. (6.270)

Bainan ekuazio hauek momentuen eboluzioa ematen digute, baina ez koordenatuena, honetarako(6.269) ekuazioak behar baitira. Hamilton-en formalismoan higidura-ekuazioak, Lagrange-ren(6.157) ekuazioen baliokideak diren ekuazio kanonikoak, honela idazten dira:

qi =∂H

∂pi, (i = 1, 2, . . . , n), (6.271)

pi = −∂H∂qi

, (i = 1, 2, . . . , n). (6.272)

Loturarik gabeko partikula koordenatu cartesiarretan

(6.265) hamiltondarrari dagozkion ekuazio kanonikoakr = p/m etap = −∇V dira:

x =∂H

∂px=px

m, y =

∂H

∂py=py

m, z =

∂H

∂pz=pz

m, (6.273)

px = −∂H∂x

= −∂V∂x

, py = −∂H∂y

= −∂V∂x

, pz = −∂H∂z

= −∂V∂x

. (6.274)

Plano aldapatsu higikorra

6.7irudiko sistemaren (6.266) hamiltondarraren ekuazio kanonikoak honako hauek dira:

r =∂H

∂pr

=pr − ps cosα

M +m sin2 α, s =

∂H

∂ps

=(M +m)ps −mpr cosα

m(

M +m sin2 α) , (6.275)

pr = −∂H∂r

= 0, ps = −∂H∂s

= mg sinα. (6.276)

6.30 ARIKETA Aurkitu Hamilton-en ekuazioak pendulu matematikoaren kasuan.

Page 71: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

6.12 Hamilton-en ekuazio kanonikoak 231

6.12.1 Fase-espazioa

Lagrange-ren formalismoan (6.157) higidura-ekuazioak bigarren ordenakon ekuazio dife-rentzial arrunt dira. Aldagai independenteat denbora da eta menpekoakqi koordenatu orokor-tuak. Ekuazio diferentzialak ebatziz gero,qi koordenatu orokortuen etaqi abiadura orokortuenhastapen-baldintzen multzo bakoitzeko soluzio bat dugu,qi koordenatu orokortuek konfigura-zio-espazioan duten eboluzioa ematen duena. Adibidez, pendulu matematikoarenθ(t) eboluzioakonfigurazio-espazioan kalkulatzeko, (6.91) ekuazioa —edota (D.33)— ebatzi behar da hasiera-ko θ posizioa etaθ abiadura erabiliz.

Hamilton-en formalismoan (6.271)–(6.272) higidura-ekuazioak lehen ordenakoak dira, baina2n denetara. Aldagai independenteat denbora da eta menpekoakqi koordenatuak etapi momentuorokortuak. Eboluzioa, beraz, fase-espazioa deritzon(q1, . . . , qn, p1, . . . , pn) koordenatuen espa-zio abstraktuan gertatzen da. Hastapen-baldintzak, berriro ere,2n dira: hasierako koordenatuaketa momentuak.

6.16 IRUDIA Pendulu matematikoaren fase-espazioa4.

Adibidez, pendulu matematikoaren kasuan,(θ, p) fase-espazioan sistema adierazten duenpuntuaren eboluzioa ematen dute ekuazio kanonikoek. Fase-ibilbide batzuk6.16irudian erakus-ten dira.

(6.271) ekuazioak Legendre-ren transformazioak dira,q(t,q,p) funtzioak ematen baitizki-gute. Hortik, alderantzizkop(t,q, q) funtzioak askatu ondoren (6.272) ekuazioetan ordezkatzenbadira, Lagrange-ren bigarren ordenakon ekuazio diferentzialak berreskuratzen dira, jakina.

Plano aldapatsu higikorra

6.7 irudiko sistemaren (6.275) ekuazioetatik momentuak askatzen badira, (6.226)–(6.227)berreskuratzen dira eta azken hauek (6.276) ekuazioetan ordezkatuz (6.178)–(6.179) higidura--ekuazioak.

6.31 ARIKETA Froga ezazu (6.273)–(6.274) ekuazioetatik momentuak ezabatzeanmr = −∇Vlortzen dela.

6.32 ARIKETA Froga ezazu pendulu matematikoaren ekuazio kanonikoetatik momentua ezaba-tzen bada ohiko higidura-ekuazioa berreskuratzen dela.

4Ikushttp://tp.lc.ehu.es/jma/mekanika/analitikoa/pendulua.ds simulazioa.

Page 72: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

232 6 Mekanika analitikoa

6.13 Aldagai dinamikoak fase-espazioan

Hamilton-en formalismoan oinarrizko aldagaienF (t,q,p) = F (t, q1, . . . , qn, p1, . . . , pn)funtzio bati aldagai dinamikoa deritzo. Aldagai dinamikoen arteko kasu bereziak diraqi koor-denatuak,pi momentuak etaH hamiltondarra, besteak beste.

6.13.1 Koordenatu ziklikoak eta kontserbazio-printzipioak

Formalismo lagrangearrean koordenatu bat ziklikoa dela esaten da lagrangearrean esplizitukiagertzen ez bada, baina (6.268) erabiliz argi dago koordenatua ziklikoa izateko baldintza beha-rrezkoa eta nahikoa hamiltondarrean ez agertzea dela:

∂L

∂qi= −∂H

∂qi= 0. (6.277)

Horrelako kasuetan lagrangearrak eta hamiltondarrak duten simetria honi dagokion kontserba-zio-printzipioa (6.228) ekuaziotik lortzen zen han eta hemen horren ordezkoa den (6.272) ekua-zioaren ondorio zuzena da:

∂H

∂qj= 0 ⇐⇒ ∂L

∂qj= 0 ⇐⇒ pj = 0. (6.278)

Plano aldapatsu higikorra

6.7 irudiko sistemanr koordenatua ziklikoa da eta,225. orrian ere esan bezala, dagokion(6.226) momentu kanoniko konjugatua higidura-konstantea da.

6.13.2 Hamiltondarraren kontserbazio-printzipioa

Hamiltondarraren kontserbazio-legea ikusi baino lehenago, azter dezagun aldagai dinamikobaten eboluzio-ekuazioa:

F =∂F

∂t+

n∑

i=1

(

∂F

∂qiqi +

∂F

∂pi

pi

)

=∂F

∂t+

n∑

i=1

(

∂F

∂qi

∂H

∂pi

− ∂F

∂pi

∂H

∂qi

)

. (6.279)

Adierazpen honetanF = H egiten badugu,

H =∂H

∂t(6.280)

lortzen dugu eta, (6.267) gogoratuz:

dH

dt=∂H

∂t= −∂L

∂t. (6.281)

Ondorioz,hamiltondarra higidura-konstantea da baldin eta soilik baldin denboraren funtzio es-plizitua ez bada edo, gauza bera dena, denbora ez bada esplizituki agertzen lagrangearrean:

∂H

∂t= 0 ⇐⇒ ∂L

∂t= 0 ⇐⇒ H = 0. (6.282)

Page 73: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

6.13 Aldagai dinamikoak fase-espazioan 233

Penduluaren kasuan hamiltondarra higidura-konstantea eta energia mekanikoaren berdina da:

H(θ, p) =p2

2ml2−mgl cos θ = E. (6.283)

Kontserbazio-printzipio honek fase-espaziokoθ etap aldagaien arteko erlazio bat ematen duenez,6.16irudiko fase-orbiten ekuazioa da. Oszilazio txikien kasuan

sin θ ≈ θ, cos θ ≈ 1 − θ2

2(6.284)

dugu eta hurbilketa honetan berreskuratzen den osziladoreharmonikoaren fase-orbitak, fase-ibil-bideak ere deitzen direnak, elipseak direla ikusten dugu:

1

2ml2p2 +

mgl

2θ2 = E +mgl. (6.285)

Horixe bera ikusten da6.16irudiko jatorriaren inguruan.

6.33 ARIKETA Kontserbatzen al da6.7 irudiko sistemaren hamiltondarra?

6.13.3 Poisson-en makoak

(6.279) ekuazioaren batukarian oinarritzen garaF (t,q,p) etaG(t,q,p) aldagai dinamikoenPoisson-en makoa (edo parentesia) definitzeko:

[F,G] ≡n∑

i=1

(

∂F

∂qi

∂G

∂pi− ∂F

∂pi

∂G

∂qi

)

. (6.286)

6.34 ARIKETA Froga itzazu Poisson-en makoen hurrengo propietateak:

[F, F ] = 0, (6.287)

[G, F ] = − [F, G] , (antisimetria), (6.288)

[F, [G, K]] + [G, [K, F ]] + [K, [F, G]] = 0, (Jacobi-ren identitatea), (6.289)

[qi, qj ] = 0, (6.290)

[pi, pj] = 0, (6.291)

[qi, pj] = δij . (6.292)

(Baliokide kuantikoak diren trukatzaileek ere propietatehauek betetzen dituzte, azken emaitzanihbat sartzen bada Kronecker-en deltaren aurrean.)

Aldagai dinamiko baten (6.279) eboluzio-ekuazioa, honela idazten da, beraz,

F =∂F

∂t+ [F,H ]. (6.293)

HemenF = H egiten badugu, (6.287)-ren ondorioz (6.280) berreskuratzen dugu. Bestalde,F =qi, pi eginez, Hamilton-en ekuazio kanonikoak era baliokide honetan idazten dira:

qi = [qi, H ] , (i = 1, 2, . . . , n), (6.294)

pi = [pi, H ] , (i = 1, 2, . . . , n). (6.295)

Page 74: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

234 6 Mekanika analitikoa

Azken ekuazioan,pi momentu kanonikoa higidura-konstantea izateko bete beharden baldintzahamiltondarrarekin duen makoa nulua izatea dela ikusten dugu:

[pj , H ] = 0 ⇐⇒ ∂H

∂qj= 0 ⇐⇒ ∂L

∂qj= 0 ⇐⇒ pj = 0. (6.296)

Orokorki, denboraren menpekotasun espliziturik gabekoF (q,p) aldagai dinamikoaren eboluzio--ekuazioa

F = [F,H ] (6.297)

denez,F (q,p) higidura-konstantea izango da baldin eta soilik baldin hamiltondarrarekin duenmakoa nulua bada.

6.35 ARIKETA Aztertu hurrengo aldagai dinamikoa higidura-konstantea den:

F = Mp2s + m

[

p2s − 2prps cosα − 2mgs

(

M + m sin2 α)

sinα]

. (6.298)

6.13.4 Liouville-ren teorema

Kalkuluak errazteko, eman dezagun sistema mekanikoak askatasun-gradu bakarra duela; fa-se-espazioaren dimentsioa 2 izango da, beraz. Kasu berezi honetako fase-planoaren azalera-ren (eta kasu orokorrean, fase-espazioaren hiperbolumenaren) eboluzioa aztertzeko, ikus deza-gun nola aldatzen den higiduran zehar6.17 irudiko E(t) eremu bat.(q, p) puntuat′ aldiunean(q′, p′) ≡ (φ(t′), ψ(t′)) puntuan egongo da, baldin etaφ(t′) etaψ(t′) funtzioek sistemaren solu-zio bat osatzen badute:

φ(t′) =∂H

∂p[φ(t′), ψ(t′)] , ψ(t′) = −∂H

∂q[φ(t′), ψ(t′)] , (6.299)

φ(t) = q, ψ(t) = p. (6.300)

6.17 IRUDIA Fase-espazioko eremu baten eboluzioa.

Page 75: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

6.14 Problema ebatziak 235

t′ aldiuneanE(t) eremuko puntuakE(t′) delakoan egongo dira, eta azken honen azalerahurrengoa izango da:

S(t′) =∫

E(t′)dq′ dp′ =

E(t)

∂ (φ(t′), ψ(t′))

∂(q, p)dq dp. (6.301)

Integrala(q, p) koordenatu konstanteen bidez adierazteko, aldagai-aldaketa egokia egin dugu bi-garren integralean; horrela,t′ aldagaiarekiko menpekotasuna integrazio-eremutik integrakizuneraigarotzen da eta bertan errazago deribatzen da, azalerarenaldaketa kalkulatzeko:

dS

dt=dS(t′)

dt′

t′=t

=∫

E(t)D(q, p) dq dp, (6.302)

non integrakizuna jacobiarraren deribatua den,

D(q, p) =d

dt′∂ (φ(t′), ψ(t′))

∂(q, p)

t′=t

. (6.303)

Hau erraz kalkulatzen da (6.299) eta (6.300) erabiliz:

D(q, p) =d

dt′

∂φ

∂q

∂φ

∂p

∂ψ

∂q

∂ψ

∂p

t′=t

=

∂φ

∂q

∂φ

∂p

∂ψ

∂q

∂ψ

∂p

t′=t

+

∂φ

∂q

∂φ

∂p

∂ψ

∂q

∂ψ

∂p

t′=t

=

∂2H

∂q∂p

∂2H

∂p2

0 1

+

1 0

−∂2H

∂q2− ∂2H

∂p∂q

=∂2H

∂q∂p− ∂2H

∂p∂q= 0. (6.304)

Askatasun-gradu guztietarako betetzen den emaitza honen orokorpena, mekanika estatisti-koan garrantzi handia duen Liouville-ren teorema da:fase-espazioaren hiperbolumena higidura--konstantea da. Hastapen-baldintza desberdinei dagozkien fase-espazioko puntuak,10.7.1atale-ko fluido konprimiezinen antzera higitzen dira: jario hamiltondarra deitzen da higidura (abstrak-tu) hau batzuetan.

6.14 Problema ebatziak

6.14.1 Lotura-indarrak

Irudiko esfera gainazal erdiesferiko batean ari da higi-tzen labainketarik gabe. Kalkulatu higidura lauaren ekua-zioa(k), lotura-indarrak eta oszilazio txikien maiztasuna.

Irudiko θ etaϕ angeluen arteko erlazioa ikusteko labain-ketarik ez dagoela erabili behar da bolatxoaren zentroarenabiadura esferaren erditik eta ukipen-puntu gelditik kalku-latzeko:

v = aθ = (R− a)ϕ.

Page 76: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

236 6 Mekanika analitikoa

Hau etaI = 25ma2 inertzia-momentua erabiliz, honela planteatzen da problema, koordenatu

orokortutzatϕ aukeratuz:

T =1

2mv2 +

1

2Iθ2 =

1

2m(R − a)2ϕ2 +

1

5ma2θ2 =

7

10m(R − a)2ϕ2,

L =7

10m(R − a)2ϕ2 +mg(R− a) cosϕ,

ϕ +5g

7(R− a)sinϕ = 0.

Higidura-ekuazioa, hortaz,l ≡ 75(R − a) luzerako pendulu matematikoarena da, eta problema

baliokide honetaz dakiguna erabil dezakegu. Adibidez, oszilazioak txikiak badira, osziladore har-moniko bat berreskuratzen dugu eta maiztasuna honako hau da:

ν =1

g

l=

1

5g

7(R− a).

Lotura-indarrak kalkulatzeko,(r, θ, ϕ) koordenatu orokortuak erabiliko ditugu,r erradioa bola-txoaren eta esferaerdiaren zentroen arteko distantzia delarik. Loturak, beraz,

r = R − a,

θa = (R − a)ϕ

dira. Lagrangear aldatua, honela idazten da, Lagrange-renλ1 etaλ2 biderkatzaileak erabiliz:

L =1

2m(

r2 + r2ϕ2)

+1

5ma2θ2 +mgr cosϕ+ λ1 (r − R + a) + λ2 [aθ − (R− a)ϕ] .

Hemendik Lagrange-ren ekuazioak lortzen dira:

mr −mrϕ2 −mg cosϕ = λ1,2

5ma2θ = aλ2,

(

mr2ϕ)

˙+mgr sinϕ = −(R − a)λ2.

Loturak erabiliz higidura-ekuazioa berreskuratzen da, eta

∂r

∂r= r,

∂r

∂ϕ= (R− a)ϕ,

∂r

∂θ= −aϕ

kontuan hartuz, lotura-indar orokortuak hauexek ditugu:

λ1 = Qr = F · ∂r∂r

= F · r ≡ −N,

aλ2 = Qθ = F · ∂r∂θ

= −aF · ϕ ≡ −aFR,

−(R − a)λ2 = Qϕ = F · ∂r∂ϕ

= (R− a)F · ϕ = (R− a)FR.

Page 77: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

6.14 Problema ebatziak 237

Ukipen-indarraren osagaiak, beraz,

N = −λ1 = mg cosϕ+m(R− a)ϕ2

normala eta

FR = −λ2 =2

7mg sinϕ

marruskadura-indarra dira.

6.14.2 Gauge aldaezintasuna

Dakigunez, energia potentzialari konstante bat batzen bazaio, indar-eremua ez da aldatzen. La-grange-ren ekuazioek, honez gain, askoz ere zabalagoa eta garrantzitsuagoa den aldaezintasunbat erakusten dute:lagrangearrariG(t, qi) egiturako edozein funtzioren deribatu osoa batzen ba-zaio, Lagrange-ren ekuazioak ez dira aldatzen. Froga ezazu zuzeneanL eta

L+dG

dt≡ L+

∂G

∂t+

n∑

i=1

∂G

∂qiqi

lagrangearretatik Lagrange-ren higidura-ekuazio berberak lortzen direla. Frogatu berriro emai-tza Hamilton-en printzipioaren bidez.

Zuzenean

G =∂G

∂t+

n∑

j=1

∂G

∂qjqj

erabiliz, hauxe dugu:

∂G

∂qi=

∂G

∂qi,

d

dt

∂G

∂qi=

∂2G

∂t∂qi+

n∑

j=1

∂2G

∂qj∂qiqj ,

∂G

∂qi=

∂2G

∂qi∂t+

n∑

j=1

∂2G

∂qi∂qjqj ,

d

dt

∂G

∂qi− ∂G

∂qi= 0.

Hortaz, Lagrange-ren ekuazioetanL etaL + G erabiliz gauza bera lortuko da: bi lagrangearrakbaliokideak dira.

Bestalde, Hamilton-en printzipioaz baliatuz, frogapena errazagoa da. Newton eta Barrow-enerregela eta muturrak aldatzen ez direla erabiliz,

δ∫ t2

t1

(

L+ G)

dt = δ[

G|t2 −G|t1 +∫ t2

t1Ldt

]

= δ∫ t2

t1Ldt

dugu,δG|t1 = δG|t2 = 0 baitira. Ondorioz,L etaL + G lagrangearretatik higidura-ekuazioberberak lortuko dira.

Page 78: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

238 6 Mekanika analitikoa

6.14.3 Higidura-konstanteak

Irudiko sisteman marruskadura arbuiagarria da eta bimasak berdinak dira. Hasierako aldiunean hagatxoa ber-tikalean zegoen eta sistema pausagunean. Aurki itzazu hi-gidura-ekuazioak eta, kontserbazio-printzipioak erabiliz,adieraz ezazuθ abiadura θ angeluaren menpean. Nola-koak izango dira abiadurakθ = π/2 denean?Blokearen zentroaren abszisax bada, hagatxoaren masa-zentroaren koordenatuak honako hauekdira:

X = x+l

2sin θ, Y =

l

2cos θ.

Hagatxoaren energia zinetikoan bi gai agertzen zaizkigu: masa-zentroaren translazioari dagokion1/2 m(X2 + Y 2) gaia eta1/24 ml2θ2 biraketa-energia. Ondorioz, honela adierazten da lagran-gearra:

L = mx2 +1

6ml2θ2 +

1

2mlxθ cos θ − 1

2mgl cos θ.

Lagrange-ren ekuazioak hurrengoak dira:

d

dt

(

2mx+1

2mlθ cos θ

)

= 0,

ml(

1

3lθ +

1

2x cos θ − 1

2xθ sin θ

)

− 1

2mgl sin θ = 0.

x koordenatua ziklikoa denez, dagokion momentu kanonikoa,px = ∂L/∂x, higidura-konstan-tea izango da: masa-zentroarenX koordenatua ez da aldatuko. Sistema naturala izateaz gain,langrangearrean denbora esplizituki agertzen ez denez, energia mekanikoa hamiltondarraren ber-dina eta higidura-konstantea da. Bi higidura-konstante hauen balioak hastapen-baldintzen bidezkalkulatzen badira, honela idazten dira bi kontserbazio-legeak:

2mx+1

2mlθ cos θ = 0,

mx2 +1

6ml2θ2 +

1

2mlxθ cos θ +

1

2mgl cos θ =

1

2mgl,

eta hemendik erraz askatzen dira abiadurak:

x = − l

4θ cos θ

θ=π/2= 0, θ =

24g

l

1 − cos θ

8 − 3 cos2 θ

θ=π/2=

3g

l.

6.14.4 Oreka erlatiboa

Irudiko zirkunferentziaω abiadura angeluar konstantezari da biratzen bere diametro bertikalaren inguruan. De-magun partikula puntual bat zirkunferentzian zehar higidaitekeela marruskadurarik gabe. Aurki bedi dagokion hi-gidura-ekuazioa. Konstantea al da partikularen energia?Zein puntutan egon daiteke oreka erlatiboan? Egonkorraal da aipaturiko oreka? Zein da oreka erlatibo egonkorre-ko puntuen inguruko oszilazio txikien maiztasuna? Kalku-la itzazu lotura-indarrak.

Page 79: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

6.14 Problema ebatziak 239

Koordenatu orokortutzat beheko puntutik neurturiko angelua aukeratzen badugu, honela idaztendira lagrangearra eta higidura-ekuazioa:

L =1

2m(

R2θ2 +R2ω2 sin2 θ)

+mgR cos θ,

mθ = −V ′(θ) ≡ m sin θ(

ω2 cos θ − g

R

)

,

eta1.6.3problema berreskuratzen da. Maiztasunak hurrengoak dira:

ω(0) =

V ′′(0)

m= ω0

1 − ω2

ω20

,(

ω < ω0 ≡√

g

R

)

,

ω (θ±) =

V ′′ (θ±)

m= ω

1 − ω40

ω4, (ω > ω0) .

ϕ = ω ⇐⇒ ϕ = ωt+ϕ0 lotura higikorra denez, sistema ez da naturala eta hamiltondarra ez daenergia mekanikoa:

H =1

2m(

R2θ2 −R2ω2 sin2 θ)

−mgR cos θ = E −mR2ω2 sin2 θ.

Hamiltondarra kontserbatzen da (∂L/∂t = 0), baina energia mekanikoa ez, oro har

E = 2mR2ω2θ sin θ cos θ

ez baita zero. Energia aldatu egingo da, kanpoko motor bat behar delakoω konstante irauteko.Lotura-indarrak kalkulatzeko, koordenatu esferikoak etar = R etaϕ = ωt + ϕ0 loturak

erabiltzen badira, honela idazten da lagrangearra, Lagrange-renλ1 etaλ2 biderkatzaileak erabiliz(gogoratuOZ ardatzabeherantzaukeratu dela):

L =1

2m(

r2 + r2θ2 + r2 sin2 θ ϕ2)

+mgr cos θ + λ1(r − R) + λ2 (ϕ− ωt− ϕ0) .

Ondorioz,B.1.3ataleko emaitzak erabiliz, hauexek dira higidura-ekuazioak:

mr −mrθ2 −mr sin2 θ ϕ2 −mg cos θ = λ1 = Qr = N · ∂r∂r

= N · r,(

mr2θ)

˙−mr2 sin θ cos θ ϕ2 +mgr sin θ = 0 = Qθ = N · ∂r∂θ

= rN · θ,(

mr2 sin2 θ ϕ)

˙ = λ2 = Qϕ = N · ∂r∂ϕ

= r sin θN · ϕ.

Loturak erabiliz, hemendik berreskuratzen da higidura-ekuazioa eta ukipen-indarraren osagaiakhurrengoak direla lortzen da:

Nr = −mg cos θ −mRω2 sin2 θ −mRθ2,

Nθ = 0,

Nϕ = 2mRωθ cos θ.

Page 80: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

240 6 Mekanika analitikoa

6.14.5 Problema baliokideak

Partikula puntual bat irudiko kono bertikalaren barrukogainazal leunean higitzen da grabitatearen eraginpean.Aurkitu higidura-konstanteak. Planteatu dimentsio baka-rreko problema baliokidea eta horren bidez deskribatukualitatiboki partikularen higidura.

Koordenatu esferikoetan loturaθ = α denez, honela idazten da lagrangearra:

L =1

2m(

r2 + r2 sin2 α ϕ2)

−mgr cosα,

ϕ ziklikoa da eta dagokion momentu kanonikoa (ardatz bertikalaren inguruko momentu angelua-rra) higidura-konstantea:

pϕ = mr2 sin2 α ϕ =⇒ ϕ =pϕ

mr2 sin2 α.

Bestalde sistema naturala da eta lagrangearreant ez da esplizituki agertzen; beraz, energia me-kanikoa hamiltondarraren berdina eta higidura-konstantea da:

E =1

2m(

r2 + r2 sin2 α ϕ2)

+mgr cosα.

Momentu angeluarraren bidezϕ ezabatzen badugu, dimentsio bakarreko problema lortzen da:

E =1

2mr2 + Ve(r), Ve(r) ≡ mgr cosα +

p2ϕ

2mr2 sin2 α.

k ≡ mg cosα etaL ≡ pϕ/ sinα definizioekin,4.3.4atalean aztertu genuen problema elastikoaberreskuratzen dugu eta, ondorioz, oraingo azterketa berdina da. Dimentsio bakarreko proble-man higidura bi atzerapen-puntuen arteko oszilazioa izango da eta jatorrizko probleman parti-kular± sinα erradioko zirkunferentzia horizontalen artean higituko da konoan. Gainera, energiapotentzial eraginkorraren minimoan dugun dimentsio bakarreko problemaren oreka-puntu egon-korra, orbita zirkular horizontal egonkorrari dagokio jatorrizko probleman.

6.18 IRUDIA Energia potentzial eraginkorra eta orbita bat5.

5Ikushttp://tp.lc.ehu.es/jma/mekanika/analitikoa/konoa.ds simulazioa.

Page 81: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

6.15 Problemak 241

6.15 Problemak

6.1 Marruskadura arbuiagarria bada, zeintzuk dira irudikohagatxoaren oreka-posizio egonkorrak eta ezegonkorrak?Eztabaidatul/R zatidura aldatzean gertatzen dena.

6.2 Aurkitu 6.1problemako lotura-indarrak.

6.3 Irudiko katilu erdiesferikoan hagatxo bat jartzen du-gu. Katiluak eta hagatxoak masa berdinak badituzte etamarruskadura arbuiagarria bada, zein da sistemaren ore-ka-posizioa?

6.4 Aurki bitez puntu materialaren azelerazioaren osagai zilindrikoak, Lagrange-ren ekuazioenbidez.

6.5 S sistema ez-inertziala azeleraturik dago inertzia-sistema batean, baina sistema bien artekoorientazioa konstantea da. Aurki bitez puntu materialarenhigidura-ekuazioak koordenatu orokor-tutzatS sistemako cartesiarrak erabiliz. Iruzkina egin emaitzari.

6.6 Atwood-en makina. Zein da irudiko sistemaren higi-dura-ekuazioa, txirrikaren masa arbuiatzen ez badugu?

6.7 Zuzen leun batean higitzen da irudiko partikula. Zu-zena plano bertikalean etaO puntuaren inguruan ari da bi-ratzen, abiadura angeluar konstantez. Lortu eta ebatzi hi-gidura-ekuazioak.

6.8 Txirrikak eta sokak masa gabekoak badira, zeintzukdira irudian agertzen den sistemaren higidura-ekuazioak?

6.9 Irudian agertzen diren plano aldapatsuak leunak dira.Bi gurpilez osaturiko txirrikak eta sokek ez dute masarik.Gurpil baten erradioa bestearenaren erdia bada, lor ezazum2 masaren higidura-ekuazioa.

Page 82: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

242 6 Mekanika analitikoa

6.10 Pendulu bikoitza. Aurki bitez irudiko pendulu bi-koitzaren higidura lauaren ekuazioak6.

6.11 Weber-en elektrodinamikan honako potentzial orokortu hauagertzen zen koordenatu polaresferikoetan:

U =r2

c2r+

1

r.

Aurki itzazu indar horri dagokion indar-eremua eta higidura lauaren ekuazioak.

6.12 Azter dezagun hurrengo lagrangearra:

L = −mc2√

1 − r2/c2 − V (r).

(a) Aurki itzazu dagozkien Lagrange-ren ekuazioak, hamiltondarra eta ekuazio kanonikoak.(b) Zer deskribatzen du?(c) Iruzkina egin emaitzari.

6.13 Dakigunez, irudiko tiro parabolikoaren ibilbide dina-mikoa hurrengo ekuazioek emandakoa da:

x = v0t cosϕ,

y = v0t sinϕ− 1

2gt2.

Kalkula ezazu hurrengo ibilbide aldatu bakoitzari dagokion ekintza:

x = v0t cosϕ+ ǫ sinπt

T,

y = v0t sinϕ− 1

2gt2.

Zein kasutan lortzen da balio minimoa? Zer daT?

6.14 Irudiko prisma isoszelea gainazal leun horizontal ba-tean zehar higi daiteke. Hasieran prisma eta partikula pun-tuala pausagunean daude eta partikulaA puntuan. Marrus-kadura arbuiagarria bada, noiz iritsiko da partikula gaina-zal horizontalera? Kalkula itzazu lotura-indarrak.

6.15 Aurki ezazu hurrengo lagrangearrari dagokion hamiltondarra:

L =1

2m(

x2 + y2)

− (αx+ βy) .

Zeintzuk dira Hamilton-en ekuazioak? Energia, higidura-konstantea al da? Ba al dago higiduranzehar konstante dirauen momentu linealaren osagairik?

6http://tp.lc.ehu.es/jma/mekanika/oszilazioak/bikoitza.ds simulazioan ikusdaitezke higidura-ekuazioen soluzioak.

Page 83: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

6.15 Problemak 243

6.16 Demagun eremu kontserbatzaile batean higitzen den partikula bat. Zein da hamiltondarrakoordenatu zilindrikoetan?

6.17 Erantzun6.16ariketako galdera berari, baina koordenatu esferikoak erabiliz.

6.18 Lor ezazu fase-ibilbideen ekuazioa osziladore harmonikoaren kasuan.

6.19 Eman dezagun partikula baten higidura, abiadura angeluar konstantez biratzen ari den sis-tema batetik aztertzen dugula. Zeintzuk dira dagozkion lagrangearra eta hamiltondarra?

6.20 Bi askatasun-gradu dituen sistema mekaniko baten hamiltondarra honako hau da:

H = q1p1 − q2p2 − aq21 + bq2

2 ,

nona etab konstanteak diren. Froga ezazu hurrengo hiru aldagai dinamikoak higidura-konstan-teak direla:

p2 − bq2q1

, q1q2, q1e−t.

Ba al dago bestelako higidura-konstanterik?

6.21 Partikula bat irudiko helize leun bertikalean zehar hi-gitzen da, grabitatearen eraginpean. Helizearen ekuazioar = R cosϕ i + R sinϕ j + kϕ/2π k bada, zein da par-tikularen lagrangearra? Aurki ezazu higidura-ekuazioarensoluzioa.

6.22 Irudiko malgukiaren berezko luzeral da. Hasierakoaldiunean masak pausagunean daude eta malgukiaren lu-zeral da. Aurkitu sistemaren Hamiltondarra eta frogatuxkoordenatua ziklikoa dela. Zein simetriari dagokio propie-tate hau? Nola higituko dira hiru masak?

6.23m masako partikula marruskadurarik gabe higi dai-teke irudiko penduluaren hagatxoan zehar.(a) Aurki itzazu sistema honen lagrangearra, higidura--ekuazioak, hamiltondarra eta energia mekanikoa. Kons-tante iraungo al du azken honek?(b) Motor baten eraginez hagatxoa abiadura angeluarkonstantez higituko balitz, nola aldatuko lirateke zureerantzunak?

6.24 Ebatzi2.8problema mekanika analitikoa erabiliz.

Page 84: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

244 6 Mekanika analitikoa

6.25 Irudiko eraztunakM masa du eta bere diametro ber-tikalaren inguruan bira daiteke.m masako partikula eraz-tunean zehar higi daiteke marruskadurarik gabe, eta eraz-tunaren abiadura angeluarraω0 denean goikoA puntuanpausagunean dagoela, labaintzen hasten da.(a) Zein da sistemaren lagrangearra?(b) Idatz itzazu higidura-ekuazioak.(c) Aurki itzazu bi higidura-konstante.(d) Zein da eraztunaren abiadura angeluarra partikulaBpuntuan dagoenean?(e) Zein da partikularen abiadura erlatiboa aldiune berean?

6.26 Irudiko bi gorputzak pausagunetik hasten dira la-baintzen:m masa plano aldapatsuan zehar jaisten da etaazken hau gainazal horizontalean higitzen da. Marruska-dura guztiak arbuiagarriak badira, zeintzuk izango diramasen abiadurakm partikula zorura heltzen denean?

6.27 Irudiko hodi zirkular bertikala etaM masa loturikdaude eta marruskadurarik gabe higi daitezke elkarrekinmahai horizontal batean. Era berean,m masako partikulapuntuala hodi leunean zehar higi daiteke.(a) Idatzi lagrangearra.(b) Kalkulatu higidura-ekuazioak.(c) Angelu txikien limitean, ebatzi higidura-ekuazioakθ angelua denboraren funtzioan aurkitzeko.

6.28 Irudiko malgukia norabide bertikalean higitzen daeta hagatxoa plano bertikal batean. Idatz ezazu sistemarenlagrangearra, malgukiarenx deformazioa etaθ angeluaerabiliz. Kalkula itzazu higidura-ekuazioak eta saia zaitezondorio fisikoak lortzen. Zer gertatzen da oreka egonko-rraren posiziotik neurturiko desplazamenduak oso txikiakdirenean?

6.29 Irudiko tresna abiadura angeluar konstantez higitzenda ardatz bertikalaren inguruan eta marruskadura arbuia-garria da. Aurki ezazummasaren oreka erlatiboaren posi-zioa eta eztabaidatu bere egonkortasuna. Idatz itzazu Ha-milton-en ekuazioak. Higidura-konstantea al da hamilton-darra? Eta energia mekanikoa? Zergatik?

Page 85: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

6.15 Problemak 245

6.30 Irudiko sistemanm masako sokarenl luzera txirri-karen erradioa baino askoz handiagoa da eta marruskadu-ra arbuiagarria. Kalkulatu sistemaren lagrangearra eta ha-miltondarra. Zein(tzuk) d(ir)a higidura-ekuazioa(k)? Ha-sieran eskuineko masa txirrikaren parean pausagunean ba-zegoen, zein izango da bere abiadura beste masa txirrikarairisten denean?

6.31 Irudian erakusten den posizioan geldirik dagoen ha-gatxoa erortzen hasten da plano bertikalean, marruskadu-rarik gabe. Idatzi sistemaren lagrangearra eta hamiltonda-rra. Kalkulatu Lagrange-ren higidura-ekuazioa(k) eta higi-dura-konstantea(k). Idatzi masa-zentroaren abzisaren higi-dura-ekuazioa eta aurkitu noiz amaitzen den hagatxoareneta horma bertikalaren arteko ukipena.

Oharra: Ikus http://tp.lc.ehu.es/jma/mekanika/bektoriala/hagatxoa.ds simu-lazioa.

6.32 Irudiko karratuaω abiadura angeluar konstantez bi-ratzen ari daAB ardatz bertikalaren inguruan. Bestalde-tik, karratuaren diagonalean zehar higi daitekem masakopartikula, marruskadurarik gabe. (a) Idatzi sistemaren la-grangearra. (b) Lagrangearra aztertuz erabaki zer kontser-batzen den higiduran zehar. (c) Aurkitu partikularen orbitazirkularrak eta aztertu euren egonkortasuna. (d) Idatzi sis-temaren hamiltondarra eta ekuazio kanonikoak. (e) Berdi-nak al dira energia mekanikoa eta hamiltondarra? Azalduzure erantzuna. (f) Ebatzi higidura-ekuazioak eta deskri-batu higidura.

6.33 Eraztun bertikal leun batean higitzen den partikulabeheko puntuarekin loturik dago malguki baten bidez, iru-dian erakusten den bezala. Goiko puntutik abiadura ar-buiagarriarekin askatzen bada, zein izango da partikula-ren abiadura behean? Erabili Lagrange-ren biderkatzai-leak eraztunak partikularen gainean eragiten duen loturaindarra posizioaren menpean kalkulatzeko.Oharra: Kalkuluak errazteko malgukiaren luzera propioaarbuiagarria dela suposa dezakezu.

6.34 Pendulu lau baten luzeraα abiadura konstantez aldatzen da:l = −α. Aurki itzazu sistema-ren lagrangearra, hamiltondarra eta higidura-ekuazioa. Hamiltondarra higidura-konstantea al da?Eta energia? Zergatik?

Page 86: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

246 6 Mekanika analitikoa

6.35 Partikula bat lerro zuzen batean zehar higi daiteke eta berelagrangearra honako hau da:

L =1

2m(

x2 − ω2x2)

e2γt.

(m, ω etaγ konstanteak positiboak dira.)(a) Idatzi Hamilton-en ekuazioak.(b) Nolako sistema mekanikoari dagokio aipaturiko lagrangearra? Iruzkina egin erantzunari.(c) Higidura-konstantea al da hamiltondarra? Zergatik?(d) Konstantea al da energia mekanikoa? Zergatik?

6.36 Irudiko erreguladoreaω abiadura angeluar konstan-tez biratzen da ardatz bertikalaren inguruan. Hagatxoakberdinak eta masa gabekoak dira.M masa ardatzean zeharhigi daiteke marruskadurarik gabe eta honen ondoriozmmasen posizio erlatiboak ere aldatzen dira. Idatzi sistema-ren Lagrange-ren eta Hamilton-en ekuazioak. Aztertu hi-gidura-konstanteak eta oreka erlatiboaren posizioak. Ener-gia mekanikoa konstantea al da?Oharra: Arbuiatu masen erradioak.

6.37 Irudiko hari zirkular homogeneoaren masa2m da etaardatz bertikalaren inguruan bira daiteke oztoporik gabe.mmasako partikula harian zehar higi daiteke marruskadu-rarik gabe. Irudikoϕ etaθ angeluak formalismo hamilton-darrean erabiliz,(a) kalkulatu sistemarenH hamiltondarra, eta(b) aurkitu ekuazio kanonikoak.(c) Higidura-konstantea al daH? Sistemaren energia me-kaniko osoaren berdina al da? Azaldu erantzunak.(d) Froga ezazuω eta α konstanteak aurki daitezkeelaϕ = ω etaθ = α ekuazioek emandakoa soluzioa izate-ko moduan.

6.38M masako eraztuna mahai baten gainean bira daite-ke plano bertikalean labaindu gabe, irudian erakusten denbezala.m masako partikula puntuala eraztunean zehar hi-gi daiteke marruskadurarik gabe. Hasieran eraztuna geldi-rik dago eta partikula goiko puntutik abiatzen dav0 abia-duraz. Aurkitu eta kalkulatu bi higidura-konstante. Kons-tanteak al dira momentu linealaren osagai horizontala etaenergia mekanikoa. Zergatik? Zein da partikularen abiadu-ra (mahaiaren sisteman) beheko puntuan dagoenean. Sin-plifikatu emaitzam/M → 0 etaM/m→ 0 limiteetan.

Page 87: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

6.15 Problemak 247

6.39 Irudiko bi hagatxoak masa gabekoak dira,l luzera-koak, eta zentroan dagoen artikulazio leun baten bidez lo-turik daude. Mutur bakoitzeanmmasako partikula bat da-go, beheko biak mahai horizontalean marruskadurarik ga-be higi daitezkeela. Higidura plano bertikalean gertatzendela suposatuz, aurkituθ angeluak betetzen duen ekuaziodiferentziala. Perturbazio txiki baten eraginez,θ = 0 pau-saguneko posizio bertikaletik abiatzen da sistema. Zein dapartikula bakoitzaren abiadura goiko biak mahaira heltzendirenean?

6.40 Hodi huts luze baten masa arbuiagarria da eta erdianduen gontz baten inguruan bira daiteke plano horizonta-lean, inolako oztoporik gabe. Hodiaren barruan marruska-durarik gabe higi daitekeen hagatxo baten masa eta luzeram etal dira, hurrenez hurren.

(a) Aurkitu hagatxoaren higidura-ekuazioak, grabitatearen eragina arbuiatuz.(b) Hasieran hagatxoa hodiaren erdian zegoen pausagunean eta hodiaren abiadura angeluarraω0

zen. Froga ezazu konfigurazio honetan sistema oreka erlatibo ezegonkorrean dagoela.(c) Perturbazio txiki baten eraginez, hagatxoa apur bat mugitzen bada zentrotik, zein izango dabere abiadura jatorritikr distantziara dagoenean? Zer gertatuko dat → ∞ limitean hodiarenluzera infinitua dela jotzen badugu?

6.41 Irudiko pendulu matematikoarenE esekidura-pun-tua norabide bertikalean higitzen daO puntu finkoareki-ko, OE = γ(t) legearen arabera. Kalkulatu sistemarenlagrangearra eta hamiltondarra. Higidura-konstantea al daazken hau? Eta energia mekanikoa? Froga ezazuE pun-tuarenγ(t) azelerazioak higidura-ekuazioan duen eraginagrabitate-eremu aldakor baten baliokidea dela. Zer gerta-tzen daγ = 0 denean?

6.42 Irudiko m masako eraztuna labaindu gabe higi dai-teke zoruaren gainean plano bertikal batean, masa bere-ko partikula bat atxikirik duela. (a) Aurkitu sistemaren la-grangearra. (b) Kalkulatu higidura-ekuazioa. (c) Sistemageldi dagoenean irudiko posizioan askatzen bada, zein-tzuk izango dira eraztunaren eta partikularen abiadurak az-ken hau zorura iristen denean? (d) Orain sistemak oszila-zio txikiak egiten baditu partikula beheko puntuan dagoenkonfigurazioaren inguruan, zein izango da higidura honenperiodoa?

Page 88: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

248 6 Mekanika analitikoa

6.43 Nolako sistema mekanikoa deskribatzen du

L =1

2m(

x2 − ω2x2)

+ F (t) x

lagrangearrak? Hamiltondarra kontserbatzen al da? Eta energia mekanikoa? Berdinak al dira bimagnitude horiek?

6.44 Ebatzi5.6.5problema mekanika analitikoaren bidez.Oharra: KontsideratuΩ etaω konstanteak izan arrenθ aldakorra dela eta kalkulatu azken honenbalio konstanteak.

6.45 Irudiko hagatxo homogeneoaren mutur bat lerro zu-zen bertikal batean higi daiteke eta beste muturra planohorizontal batean. Marruskadura arbuiagarria dela jorik,aurki itzazu sistemaren Lagrange-ren ekuazioak eta da-gozkien higidura-konstanteak.

6.46m masako partikula marruskadurarik gabe higi dai-tekeR erradioko eraztun batean barrena plano horizonta-lean. EraztunaΩ abiadura angeluar konstantez biratzen dazentrotikL distantziara dagoenO puntu finkoaren ingu-ruan. Aurkitu sistemaren lagrangearra, higidura-ekuazioaeta oreka puntu egonkorrak eta ezegonkorrak. Nolako sis-tema ezagunen baliokidea da hau?

6.47 Kontsidera dezagun

L =1

12m2x4 +mx2 V (x) − V 2(x)

lagrangearra, nonV (x) delakoax koordenatu orokortuaren funtzioa den. Aurkitu higidura-ekua-zioa eta hamiltondarra. Nolako sistema mekanikoa deskribatzen du lagrangear honek? Iruzkinaegin emaitzari.

6.48 Brakistokronoa7. Partikula puntual bat burdinazko hari leun batean barrenahigitzen dagrabitatearen eraginpean bi puntu finkoren artean (ikus azaleko irudian antzeko sistema bat). No-lakoa izan behar du hariaren formak, bidea egiteko behar dendenbora minimoa izateko?Iradokizuna: Suposatu hariaren formay = f(x) ekuazioak emandakoa dela. Erabili energiamekanikoaren kontserbazio-printzipioa abiadura kalkulatzeko. Adierazi bidea egiteko behar dendenbora integral baten moduan eta balia zaitez aldakuntzaren kalkuluaz denboraren minimoaaurkitzeko.

7Johann Bernoulli-k 1696an proposatutako problema hau Jacob Bernoulli-k, Leibniz-ek, Newton-ek etal’Hôpital-ek ebatzi zuten.

Page 89: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

6.15 Problemak 249

6.49 v0 abiadura konstantez higitzen den gurdian oszila-dore harmoniko bat ipini da, irudian erakusten den mo-duan. Aukera ezazu malgukiarenx deformazioa koorde-natu orokortutzat.

(a) IdatziL1 lagrangearra etaH1 hamiltondarra laborategiko (zoruko) sisteman.(b) IdatziL2 lagrangearra etaH2 hamiltondarra gurdiaren sisteman.(c) Froga ezazu sistema bietan aurkitzen diren Lagrange-ren ekuazioak baliokideak direla.(d) Energia mekanikoaren berdina al daH1? EtaH2? Zergatik?(e) Higidura-konstantea al daH1? EtaH2? Zergatik?(f) Kontserbatzen al da energia mekanikoa laborategiko sisteman? Eta gurdiaren sisteman? Zer-gatik?

6.50 Gerta daiteke hamiltondarra eta energia mekanikoa higidura-konstanteak izatea, nahiz etadesberdinak izan?

6.51 Irudiko bi masak hagatxo arin batez loturik daude.Sistema esferaerdi hust batean kokatzen bada, zein izangoda oreka-posizioa? Egonkorra al da?

6.52 Eman dezagun orain6.32problemako karratua oztoporik gabe bira daitekeelaAB ardatzbertikalaren inguruan. (a) Zer kontserbatzen da higiduran? (c) Erabili higidura-konstante bat di-mentsio bakarreko problema baliokidea idazteko. (d) Aurkitu partikularen orbita zirkularrak etaaztertu euren egonkortasuna. (f) Berdinak al dira energia mekanikoa eta hamiltondarra? (e) Des-kribatu kualitatiboki higidura.

6.53 q karga puntual bat dipolo elektriko finko baten eremu elektrostatikoan higitzen da. Beraz,dipoloa jatorrian egoteko eta momentu dipolarrap = pk izateko moduan aukeratzen badirakoordenatu polar esferikoak, energia potentziala honako hau da:

V =qp

4πǫ0

cos θ

r2.

Aurkitu partikularen higidura-ekuazioak eta kontserbazio-legeak. Eman dezagun oraint = 0uneanr = ϕ = T + V = 0 izateko moduan aukeratzen direla hastapen-baldintzak. Egiaztatukarga aurrera eta atzera higitzen dela zirkunferentzia-arku batean. Non dago kokaturik arku hori?Zein da bere luzera?

Page 90: 5. GAIA Solido zurruna · 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak 163 3. Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren

250 6 Mekanika analitikoa