5 - AFD

1Teora de la Computacin

Autmatas finitos deterministas

1

Dra. Norka Bedregal Alpaca


2

IntroduccinIntroduccin

Autmatas con salidas (Mquinas Secuenciales): Mquina de Moore. Salida asociada al estado. Mquina de Mealy. Salida asociada a la

transicin.

Autmatas reconocedores de lenguajes regulares (Mquinas de Estado Finito):

Autmata Finito Determinista (AFD) Autmata Finito No Determinista (AFND)E

AUT

MAT

AS

2Introduccin: Una mquina es un sistema que puede aceptar una

entrada, que puede producir una salida y que tiene una memoria para llevar el registro de cierta informacin acerca de las entradas anteriores.

La condicin interna de la mquina y de su memoria, en un instante en particular, constituye el estado de la mquina en ese instante.

Una Mquina de Estado Finito es capaz de recordar y situarse en un estado que depende de la entrada y del estado anterior


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RepasoRepasoAU

TM

ATAS


4

Mquina Estado FinitoMquina Estado Finito

Definicin:

Una mquina M, es un sextuplo M = (I, O, S, f, g, ), donde: I, alfabeto de entrada, es un conjunto finito de

smbolos. O, alfabeto de salida, es un conjunto finito de

smbolos. S, conjunto de estados, es un conjunto finito f: S x I SFuncin de estado siguiente G: S x I O Funcin de salidas , estado inicial, pertenece a S

AUT

MAT

AS

3Dra. Norka Bedregal Alpaca

5

Mquina Estado FinitoMquina Estado Finito

Ejemplo: Sea M = (I, O, S, f, g, ), una mquina tal que: I = {a, b} O ={x, y, z} S={0,1,2} f: S x I S: definida por:

f(0,a)= 2 f(1,a)= 1 f(2,a)= 0f(0,b)= 1 f(1,b)= 2 f(2,b)= 0

g: S x I O definida por:g(0,a)= x g(1,a)= z g(2,a)= xg(0,b)= y g(1,b)= y g(2,b)= x

= 0

AUT

MAT

AS


6

Mquina Estado FinitoMquina Estado FinitoEjemplo (continuacin): Tabla de transicin o tabla de estados

Sf g

a b a b0 2 1 x y1 1 2 z y2 0 0 x x

Diagrama de transicin o diagrama de estados

0 1

2

(b,y)

(a,x)

(a,z)

(b,y)(b,x)

(a,x)

AUT

MAT

AS

4 Un autmata finito es un conjunto de estados y un control que se mueve de un estado a otro en respuesta a entradas externas.

Los autmatas finitos se pueden clasificar en funcin del tipo de control como:

Deterministas, el autmata nicamente puede estar en un estado en un momento determinado.

No Deterministas, el autmata puede estar en varios estados simultneamente.

Ambos definen los mismos lenguajes (regulares), sin embargo los No deterministas permiten describir ms eficientemente determinados problemas.


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Autmatas FinitosAutmatas FinitosAU

TM

ATAS


8


(AFD)


(AFD)AUT

MAT

AS

5Un autmata de estado finito determinista (AFD), es una mquina de estado finito:

A = (I, O, S, f, g, )en la que el conjunto de smbolos de salida es O = {0, 1}, y donde el estado actual determina la ltima salida.Aquellos estados para los cuales la ltima salida es 1, reciben el nombre de estados de aceptacin.

Esta definicin intuitiva se puede formalizar a travs de la utilizacin de una quntupla


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Autmatas finitos deterministasAutmatas finitos deterministasAU

TM

ATAS

Definicin (AFD):Un autmata finito es una quntupla

M = (Q, , , q0, F) donde: Q es un conjunto finito llamado conjunto de estados. es un conjunto finito de smbolos, llamado alfabeto

de entrada. es una aplicacin llamada funcin de transicin

: Q Q q0 es un elemento de Q, llamado estado inicial. F es un subconjunto de Q, llamado conjunto de

estados finales.


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Autmatas finitos deterministasAutmatas finitos deterministas

AUT

MAT

AS


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Autmatas finitos deterministasAutmatas finitos deterministasAU

TM

ATAS

Tabla de transicin: Es una representacin clsica de una funcin con

dos argumentos. En las filas se colocarn los estados y en las

columnas los smbolos del alfabeto de entrada. Cada interseccin fila (estado q) -columna (carcter

a) corresponde al estado (q,a). El estado inicial se representa con Los estados finales con un *


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Representacin de un AFDRepresentacin de un AFD

Ejemplo:

AUT

MAT

AS


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Representacin de un AFDRepresentacin de un AFDDiagramas de transicin: Es un grafo en el que los vrtices representan los

distintos estados y los arcos las transiciones entre los estados.

Cada arco va etiquetado con el smbolo que corresponde a dicha transicin.

El estado inicial se representa con Los estados finales con un con doble crculo.Ejemplo:Para el autmata definido por la tabla anterior:

AUT

MAT

AS

Determinismo: No existen transiciones q Q , a , una nica (q,a):

Una sla arista etiquetada con a para cada smbolo;

Para cada entrada en la tabla un solo estado La indeterminacin en el caso que falten transiciones

para algunas entradas se resuelve incluyendo un nuevo estado, llamado de absorcin o muerto.

Al estado de absorcin llegan todas las transiciones no definidas.


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AUT

MAT

AS

8Ejemplo:Dado el autmata definido por la tabla de transicin:


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Introduciendo un estado de absorcin M:

AUT

MAT

AS

Se trata de definir una funcin que describa qu estado se alcanza desde un estado q si en lugar de ingresar un slo smbolo (en cuyo caso se alcanzara el estado descrito por (q,a)), se ingresara una palabra *.

Definicin (Extensin a palabras):Si M = ( Q, , , q0, F ) es un AFD se define ( por recurrencia) la funcin de transicin asociada a palabras como la funcin:

: Q * Qdada por:1. Si || = 0 entonces = y se define q Q,

( q, ) = qes decir, si no hay entrada no hay cambio de estado


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AFD: Extensin de f a palabras.AFD: Extensin de f a palabras.

AUT

MAT

AS

92. Se supone definida ( q, a ) para cada a *, tal que |a| n:

( q, a ) = ( q, a )

3. Sea * tal que || = n + 1, entonces se puede escribir = ax con |x| = n , x * a .Se define q Q:

(q, ) = (q, ax) = ( (q, a) , x )


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AFD: Extensin de f a palabras.AFD: Extensin de f a palabras.AU

TM

ATAS

Ejemplo:Sea M1 = (Q, , , q0,F) donde Q = {p,q,r}, = {a,b}Sea p el estado inicial, F = {r} y definida como sigue:

(p,a) = q (p,b) = r(q,a) = p (q,b) = q(r,a) = r (r,b) = r

Segn la definicin M1 es un AFD.Se puede construir la tabla de transicin y el diagrama de transicin de estados


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AUT

MAT

AS

10

Ejemplo (continuacin):Siendo:


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AFD: Extensin de f a palabras.AFD: Extensin de f a palabras.AU

TM

ATAS

Ejemplo (continuacin):En la mquina M1 sera


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En el diagrama se pueden seguir los arcos desde q, con los smbolos bab consecutivamente y observar que se termina en el estado r.

AUT

MAT

AS

11

Cmo procesa entradas un AFD? La entrada a un AF es un conjunto de smbolos

tomados del alfabeto de entrada , no hay lmite en tamao de la cadena.

Existe un puntero que en cada momento apunta a una posicin de la cadena de entrada.

El autmata est siempre en un estado de Q, inicialmente se encuentra en el estado q0.


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Cmo procesa entradas un AFD?Cmo procesa entradas un AFD?AU

TM

ATAS

En cada paso el autmata lee un smbolo de la entrada y segn el estado en el que se encuentre, cambia de estado y pasa a leer otro smbolo.

As sucesivamente hasta que se terminen de leer todos los smbolos de la cadena de entrada.

Si en ese momento el AF est en un estado qi de F, se dice que acepta la cadena, en caso contrario la rechaza.


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Cmo procesa entradas un AFD?Cmo procesa entradas un AFD?

AUT

MAT

AS

12

Una cadena x * es aceptada por un autmata M = ( Q, , , q0, F ) si y solo si (q0, x) F.

Es decir que, x * es una palabra (cadena) aceptada por el autmata finito determinista M si partiendo desde el estado inicial e ingresando consecutivamente de izquierda a derecha los smbolos de la palabra, se alcanza un estado final.

En otro caso la cadena es rechazada por el autmata. El lenguaje aceptado o reconocido por un autmata es

el conjunto de las palabras de * que acepta:L(M) = { x * / (q0, x ) F}


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Lenguaje aceptado por un AFDLenguaje aceptado por un AFDAU

TM

ATAS

Ejemplo:Las cadenas abb, baa, b, abbaaa son palabras aceptadas por M1.


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Lenguaje aceptado por un AFDLenguaje aceptado por un AFD

Ejemplo:Considere el diagrama de la figura:

Se observa que la transicin (p,1) no est representada, lo que contradice la definicin de un AFD

AUT

MAT

AS

13

Es necesario crear un estado de absorcin y reconstruir el diagrama, con lo que se obtiene el autmata M2:


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Las cadenas 01, 0001, 001001 son palabras aceptadas por M2.

El lenguaje de M2 son todas las cadenas de ceros y unos que empiezan por cero y tienen al menos un uno

L(M) = {x1y : x, y * }

AUT

MAT

AS


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Diagrama de transicin

Lenguaje aceptado: L(A) = {x *: (q0 , x) F }?

Tabla de transicin

Lenguaje aceptado por un AFDLenguaje aceptado por un AFDEjercicio:Considere el autmata definido por:

A = ( {q0, q1 , q2 ), {a, b}, , q0 , {q1} )con:

(q0 , a) = q1 (q0, b) = q2 (q1 ,a) = q2(q1, b) = q0 (q2,a) = q2 (q2,b) = q2

AUT

MAT

AS

14


27


Observacin:Otra forma de encontrar el lenguaje aceptado por un autmata es a travs de la nocin de configuracin

Definicin:Una configuracin de un AFD M = ( Q, , , q0, F ) es un elemento de CM = Q *

Observaciones: La idea es que la configuracin (q, x) indica que M

est en el estado q y le falta leer la cadena x de la entrada.

Esta es informacin suficiente para predecir lo que ocurrir en el futuro.

Hay que describir cmo un AFD lleva de una configuracin a la siguiente.

AUT

MAT

AS


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Lenguaje aceptado por un AFDLenguaje aceptado por un AFDDefinicin:La relacin lleva en un paso, denotada por |-, subconjunto de CMCM se define de la siguiente manera:

(q, ax) |- (q, x), donde a , sii (q, a) = qDefinicin:La relacin lleva en cero o ms pasos denotada por |-* es la clausura reflexiva y transitiva de |-Definicin:El lenguaje aceptado por un AFD M = ( Q, , , q0, F ) se define comoL(M) = {x *, tal que existe f F, (s, x) |-* (f, )}

AUT

MAT

AS

15


29

Lenguaje aceptado por un AFDLenguaje aceptado por un AFDEjemplo:Considere el AFD que se describe formalmente comoM = ( Q, , , q0, F ) donde Q = {0, 1, 2, 3}, = {a, b}, q0 = 0, F = {0, 1, 2}, y la funcin como sigue:

AUT

MAT

AS

Dibuje el diagrama de transicin


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AUT

MAT

AS

El estado 3 se llama sumidero, porque una vez que se cae l, el AFD no puede salir y no puede aceptar la cadena.Considere la cadena de entrada x = abbababb y encuentre las configuraciones por las que pasa M al recibir x como entrada

16


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Lenguaje aceptado por un AFDLenguaje aceptado por un AFDAU

TM

ATAS

x = abbababb

Por lo tanto (0, x) |-* (2, ), y como 2 F, se tiene que x L(M)

Sean M y M dos AFD, se dice que son equivalentes si L(M)=L(M).

Los AFD se caracterizan por las palabras que aceptan, siendo menos importante la estructura interna de la mquina, el nmero de estados, cuntos estados finales tenga, etc


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Equivalencia de AFDEquivalencia de AFD

AUT

MAT

AS

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Un AFD es principalmente una especie de filtro de todas las cadenas posibles sobre el alfabeto de entrada.

Los AFD tienen muchas utilidades, en particular, como analizadores lxicos.

Por ejemplo, para comprobar que en un programa, una expresin algebraica del tipo (a+b)*c/(d+e) est correctamente escrita, se utiliza un analizador construido a partir de un autmata.

Lo usual es contar con un lenguaje de inters L sobre un alfabeto y construir un AFD cuyo lenguaje sea precisamente L.


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Importancia de los AFDImportancia de los AFDAU

TM

ATAS

Ejemplo:Construir un AFD sobre el alfabeto ={0,1} cuyo lenguaje sea:

L = {cadenas que terminan en 00}


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Importancia de los AFDImportancia de los AFD

AUT

MAT

AS

Un AFD para este lenguaje puede ser:

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Sea M = ( Q, , , q0, F ) un AFD. Un estado q Q es un estado inaccesible, si no existe ninguna palabra sobre el alfabeto de entrada que partiendo desde q0 llegue a q. Simblicamente se tendr:

q es inaccesible si * , (q0 , ) q

Observaciones: Los estados que no son inaccesibles se denominan

accesibles. Si se eliminan los estados inaccesibles y todas sus

transiciones, el AFD obtenido es equivalente al dado.


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Estados inaccesiblesEstados inaccesiblesAU

TM

ATAS

Ejemplo:En el AFD de la figura, el estado r es inaccesible por que no se puede alcanzar a partir del estado inicial


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Estados inaccesiblesEstados inaccesibles

AUT

MAT

AS

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Un AFD es conexo si no tiene estados inaccesibles. Si un AFD no es conexo basta eliminar los estados

inaccesibles y todas sus transiciones (las de entrada y las de salida) para obtener un nuevo AFD conexo equivalente al de partida.

Ejemplo:El AFD obtenido quitando al AFD del ejemplo anterior el estado r y sus transiciones, es conexo


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Autmata ConexoAutmata ConexoAU

TM

ATAS

Laboratorio:Construccin de analizadores lxicos


38

TrabajoTrabajo

AUT

MAT

AS

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Dado un AFD se trata de construir otro equivalente pero que sea mnimo en cuanto al nmero de estados.

Equivalencia de estados:Sea M = ( Q, , , q0, F ) un AFD. Se define una relacin de equivalencia en Q.Se dice que dos estados p, q Q son equivalentes: p q, si *, se tiene ((p, )) F (q, ) F)

Observacin:El conjunto de estados del AFD mnimo es el conjunto cociente Q/ de esta relacin de equivalencia de estados


39

AUT

MAT

AS

Minimizacin de un AFDMinimizacin de un AFD

Para el clculo de este conjunto cociente se define: Dos estados p,q Q son equivalentes de orden r (r0),

p r q, si * tal que | | r se tiene ((p, ) ) F (q, ) F

Para cada r la relacin r es de equivalencia. De las definiciones anteriores se tiene:

p q p r q r 0 Para obtener Q/ se calcula Q/ 0, Q/ 1 ,... hasta que

Q/ r = Q/ r+1 = Q/


40

Clculo del Conjunto CocienteClculo del Conjunto Cociente

AUT

MAT

AS

21

Se trabaja por recurrencia sobre r. Para r = 0, como ( p, ) = p, dos estados p y q

pueden ser equivalentes de orden 0 en los siguientes casos:

si ambos son estados finales ( p, q F) si ambos son estados no finales ( p, q F) as el

conjunto cociente de la relacin de equivalencia 0 ser Q/ 0 = { F, Fc }.

Paso 1:

Q/ 0 = { c1 = qi F, c2 = qj Q-F}Paso 2:

Sea Q/ r = {C1, C2, , Ci, , Ck}


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Algoritmo para construir Q/ nAlgoritmo para construir Q/ nAU

TM

ATAS

Se quiere construir Q/ r+1 , considerando que p y q estn en la misma clase si se verifican dos condiciones:

1. p, q Ck2. a se verifica que ( p, a) y ( q, a) estn en

la misma clase Cm de Q/ iPaso 3:Si Q/ i = Q/ i+1 entonces Q/ i = Q/ en caso contrario aplicar el paso 2, partiendo de Q/ i+1


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AUT

MAT

AS

Algoritmo para construir Q/ nAlgoritmo para construir Q/ n

22

Dado el AFD , M = ( Q, , , q0, F ) existe un nico AFD equivalente mnimo (Autmata del conjunto cociente):

Mm=(Qm, , m, q0m, Fm)

definido por: Qm = Q / a , m (ci, a) = cj si p cj, q Ci tal que

( q, a) = p q0m = c0 si q0 c0 c0 Qm Fm ={Ci , tal que p Ci p F }


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Minimizacin de un AFD: conjunto cocienteMinimizacin de un AFD: conjunto cocienteAU

TM

ATAS

Ejemplo: Dado el autmata M=( {q0,q1,q2,q3,q4}, {0,1}, f, q0, {q4})Encontrar su equivalente mnimo


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AUT

MAT

AS

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Conjunto cociente1. Conjunto inicial Q/E1 = ({q0,q1,q2,q3,} , {q4 })2. Q/Ei

2.1. Q/E2 = ({q0,q1,q2} , {q3}, {q4 })3. Q/E2 Q/E1 ir al paso 2

2.2. Q/E3 = ({q0,q2}, {q1},{q3},{q4})4. Q/E3 Q/E2 ir al paso 2

2.3. Q/E4 = ({q0,q2}, {q1},{q3},{q4})5. Q/E4 = Q/E3 = Q/E


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Minimizacin de un AFDMinimizacin de un AFDAU

TM

ATAS

Autmata mnimo equivalente: Mm=(Qm, = {0,1}, m, q0m, Fm)

con

Qm= ( C0 = {q0,q2}, C1 = {q1}, C2 = {q3}, C3 ={q4} ) qom = C0 Fm = C3


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AUT

MAT

AS

24

Ejercicio:Compruebe que la minimizacin del autmata M4 es el autmata AFD-min


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Minimizacin de un AFDMinimizacin de un AFDAU

TM

ATAS


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FINFINAUT

MAT

AS

5 - AFD

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