4TEMA 4 PARAMETROS ELECTRICOS INDUCTANCIA.pdf

Diseo de LT alta tensin

1

19Diseo de LT alta Tensin

2 Inductancia

Inductancia sin duda el parmetro ms importante de una LT

Efecto de los campos elctrico y magntico alrededor del conductor Relacionado con la geometra de la lnea: Tamao del cable


INDUCTANCIA DE LAS LINEAS DE TRANSMISION

Para calcular la inductancia es necesario seguir estos pasos

1 Obtener el campo magntico de la L/T considerando la ley de Ampere

2 La densidad de flujo Magntico B = H3 Obtener el flujo concatenado4 Obtener Inductancia desde el flujo concatenado por

Ampere (L =/I)


2

Inductancia y Reactancia Inductiva

La inductancia en serie de una lnea de transmisin consiste en dos componentes: inductancias internas y externas, que son por el flujo magntico dentro y fuera del conductor, respectivamente. La inductancia de una lnea de transmisin se define como el nmero de lneas de de flujo concatenado [WB-vueltas] producido por amperio de corriente que fluye a travs de la lnea

LI

= (9.12.1)

1. Inductancia InternaConsidere un conductor de radio r que lleva una corriente I. A una distancia x desde el centro de este conductor, la intensidad de campo magntico Hx se pueden encontrar a partir de la ley de Ampere:

x xH dl I = (9.12.2)

LI

=

Donde Hx es la intensidad del campo magntico en cada punto a lo largo de una trayectoria cerrada, dl es un vector unitario a lo largo de ese camino y Ix es la corriente neta encerrada en el camino. Para los materiales homogneos y una trayectoria circular de radio de x, la magnitud de Hx es constante, y dl es siempre paralela al Hx. Por lo tanto::

22

xx x x

IxH I H

xpi

pi= = (9.13.1)

Asumiendo que la corriente es uniforememente distribuida a lo largo del conductor::

2

2xxI Ir

pi

pi= (9.13.2)

Por tanto la intensidad de campo magntico de radio x es:

[ ]22x H mxH Irpi

= (9.13.3)



3

(9.14.1)

La denisdad de flujo magntico a una distancia x del centro del conductor es:

2 [ ]2x xT

xIB Hr

pi

= =

El diferencial de flujo magntico contenido en un tubo circular de espesor dx y a una distancia x del centro del conductor es

2 [ ]2xId dx Wb mr

pi

=

La densidad de flujo por metro de longitud debido al flujo en el tubo es el producto del diferencial de flujo y la fraccin de corriente vinculada::

2 3

2 4 [ ]2Wb turns mx x Id d dx

r r

pi pi pi

= =

(9.14.2)

(9.14.3)


El total de enlaces de flujo interno puede encontrarse integrando:

3

int 40

[ ]2 8

r

Wb turns mx I Id dxr

pi pi

= = = (9.15.1)

Por tanto la inductancia interna es:

[ ]intint 8 H ml I

pi = =

[ ]7

70int

4 108 8

H ml pipi pi

= = = 0.510

(9.15.2)

Si la permeabilidad relativa es 1 (para materiales no ferromagnticos como cobre y aluminio), La reactancia por m se reduce a:

(9.15.3)



4

Inductancia externa para 2 puntos externos del conductor

Para encontrar la inductancia externa a un conductor, es necesario calcular las relaciones de flujo del conductor debido nicamente la parte de flujo entre dos puntos P1 y P2 que se encuentran en distancias D1 y D2 desde el centro del conductor.

En el exterior de la regin del conductor, la intensidad magntica a una distancia x desde el centro del conductor es

2 2x

x

I IHx xpi pi

= = (9.16.1)

Como toda la corriente est en el tubo o cilindro:

La densidad de flujo a una distancia x del conductor es:

2x xIB Hx

pi

= = (9.16.2)

Inductancia externa para 2 puntos externos del conductor

El diferencial de flujo magntico contenido en un cilindro de espesor dx y a una distancia x del centro del conductor es :

[ ]2

Id dx Wb mx

pi

=

EL flujo vincula TODA la corriente llevada por el conductor por tanto:

[ ]2

Wb turns mId d dxx

pi

= =

(9.17.1)

(9.17.2)

El flujo total externo vinculado puede encontrarse integrando2 2

1 1

1

2

[ ]ln2 2

D D

ext

D D

Wb turns mDI Id dx

x D pi pi

= = = (9.17.3)

La inductancia externa por metro es:

[ ]t 2t1

ln2

exex

H mDl

I D

pi = = (9.17.4)


5

Inductancia en una LT monofsica 2 conductores

Ahora determinamos la inductancia en serie de una lnea monofsica formado por dos conductores de radios r , espaciados por una distancia D, y ambas corrientes de magnitud I que fluye hacia dentro de la pgina en el conductor de la izquierda y hacia fuera de la pgina en el conductor de la derecha.

Considerando 2 rutas de integracin, se nota que la integral a lo largo de x1 produce una intensidad de campo magntico desde una corriente neta encerrada por x1 Por tanto:

x xH dl I = (9.18.1)

Puesto que la trayectoria de radio x2 encierra ambos conductores y las corrientes son iguales y opuestas, la corriente neta cerrado es 0 y, por lo tanto, no existen contribuciones a la inductancia total de los campos magnticos en distancias superiores a D

La inductancia total de un cable por unidad de longitud en esta lnea de transmisin es una suma de la inductancia de la inductancia interna y externa entre la superficie del conductor (r) y la distancia de separacin (D):

[ ]int 1 ln2 4ext H mDl l lr

pi

= + = +

Por simetra , la inductancia total del otro conductor es la mismsa, por tanto la inductancia total de una lnea monofsica de 2 conductores es :

[ ]1 ln4

H mDlr

pi

= +

Donde r es el radio de cada conductor y D es la distancia entre conductores

(9.19.1)

(9.19.2)

Inductancia en una LT monofsica 2 conductores


6

Ecuaciones similares a las anteriores se puede derivar de las lneas de corriente trifsica ... En la mayora de las situaciones prcticas, la inductancia de la lnea de transmisin se puede encontrar en las tablas suministradas por los desarrolladores de lnea

Podemos concluir:1Cuanto mayor sea la separacin entre las fases de una lnea de transmisin, mayor es la inductancia de la lnea. Dado que las fases de una lnea area de alta tensin de transmisin debe ser ms espaciadas para asegurar el aislamiento adecuado, una lnea de alta tensin tendr una inductancia ms alta que una lnea de baja tensin. Debido a que el espaciamiento entre las lneas de cables enterrados es muy pequea, la inductancia serie de cables es mucho menor que la inductancia de lneas areas.

2 Cuanto mayor es el radio de los conductores en una lnea de transmisin, menor es la inductancia de la lnea. En las lneas de transmisin prcticos, en lugar de utilizar conductores pesados e inflexibles de grandes radios, dos y ms conductores se agrupan para aproximar un conductor de gran dimetro. Los conductores en haz se utilizan a menudo en las lneas de transmisin de alta tensin.


Una LT 8000 V, 60 Hz, monofsico, est formado por dos conductores de aluminio con un radio de 2 cm espaciados 1,2 m. Si la lnea de transmisin es de 30 km de longitud y la temperatura de los conductores es 20C,Cul es la resistencia en serie por kilmetro de esta lnea?Cul es la inductancia en serie por kilmetro de esta lnea?Cul es la reactancia inductiva en serie de esta lnea?

EJERCICIO

8

22.83 10 1000 0.0225

0.02l

r kmA

pi

= = =

31 1 1.2ln 1000 ln 1000 1.738 104 4 0.02

Dl H kmr

pi pi

= + = + =


7


32 0.0225 2 60 1.738 10 0.0225 0.655sez r jx r j fl j j kmpi pi = + = + = + = +

( )0.0225 0.655 30 0.675 19.7seZ j j= + = +

Haz de 2 conductores

Haz de 4 conductores


8


EJERCICO 2.1

Calcule la inductancia por km de una lnea de transmisin area monofsica con conductores de cobre a una distancia de 1m si el dimetro del conductor es de 1cm. Luego encuentre la inductancia si el dimetro es de 1.5, 2.0, 2.5 cm. Haga el grfico de la variacin de la inductancia respecto al dimetro.Suponga que se transmite 20 MW a una frecuencia de 60 Hz con una tensin de 69 kV. Calcule las prdidas para cada conductor


INDUCTANCIA :Lneas trifsicas

Espaciamiento simtrico Considere 1 m de longitud de una lnea trifsica de

un conductor de radio r, simtricamente espaciado por una distancia D


9


INDUCTANCIA :Lnea trifsica


Asuma corriente trifsica balanceada Ia+ Ib+ Ic = 0

El flujo total concatenado es:

Si se substituye por Ib + Ic=-Ia

++=

DI

DI

erIx cb

a

aa

1ln1ln1ln102 25.07

25.07

25.07 ln1021ln1ln102

=

=

er

DIxD

Ier

Ixa

aa

a

aa



10


Debido a la simetra, a=b=c La inductancia por fase por km de longitud

kmmHre

Dx

IL /ln102 25.0

7

==



Espaciamiento asimtrico: En la prctica las lneas de transmisin no guardan

espaciamientos simtricos debido a situaciones de construccin. Considere un metro de longitud de una lnea trifsica con

conductores de radio r. los conductores estn asimtricamente espaciados por las longitudes:



11


Los flujos concatenados son:-

++=

++=

++=

231325.0

7

231225.0

7

131225.0

7

1ln1ln1ln102

1ln1ln1ln102

1ln1ln1ln102

DI

DI

reI

DI

DI

reI

DI

DI

reI

bacc

cabb

cbaa



Para corrientes trifsicas balanceadas con Ia como referencia tenemos:-

a

o

ac

a

o

ab

aIII

IaII

====

120240 2



12


++==

23

225.0

12

7 1ln1ln1ln102D

areD

aI

Lb

bb

++==

1312

225.0

7 1ln1ln1ln102D

aD

areI

La

aa

++==

25.02313

27 1ln1ln1ln102reD

aD

aI

Lc

cc



Consiste en intercambiar las fases a un tercio de la distancia de la longitud del conductor de tal forma que cada conductor ocupa la parte fsica secuencialmente

Un arreglo de transposicin se ve en la figura

INDUCTANCIA :Lneas trifsicas: Lnea transpuesta


13


Como en una lnea transpuesta cada conductor ocupa las tres posiciones, la inductancia por fase puede obtenerse considerando el valor promedio



0.2512 13

7

0.2523 12

0.2513 23

7

0.2512

31 1 1ln 1 240 ln 1 120 ln

2 10 1 1 1ln 1 240 ln 1 120 ln3

1 1 1ln 1 240 ln 1 120 ln

2 10 1 1 13ln ln ln3

a b cL L LL

re D D

re D D

re D D

re D D

+ +=

+ +

= + + +

+ + +

=

23 13

312 23 137

0.25

1ln

2 10 ln

D

D D Dre

=


14


Como en una lnea transpuesta cada conductor ocupa las tres posiciones, la inductancia por fase puede obtenerse considerando el valor promedio.

3cba

a

LLLL ++=


( )( )

25.0

31

1323127

31

132312

25.07

13231225.0

7

ln102

1ln1ln102

1ln1ln1ln1ln33102

=

=

=

re

DDD

DDDre

DDDreL

( ) kmmHre

DDDL /ln2.0 25.031

132312

=


15


EJERCICIOCalcule la reactancia para un sistema 3, 60HzLT con un conductor en geometra de tringuloequiltero con D = 5m, r = 1.24cm (conductor Rook) y una longitud de 5 millas.

0 1 1 1ln( ) ln( ) ln( )2 'a a b c

i i ir D D

pi

= + +


0a

0

70

3

6

Substituting , obtain:1 1ln ln

2 '

ln .2 '

4 10 5ln ln2 ' 2 9.67 101.25 10 H/m.

Again note logarithm of ratio of distance betweenp

a b c

a a

a

a

i i i

i ir D

Dir

DLr

pi

pi

pipi pi

=

=

=

= =

=

hases to the size of the conductor.

Substituyendo Se obtiene:

Una vez ms se nota el logaritmo de la relacin entre la distancia entre fases y el tamao del conductor


16


Una lnea area trifsica tiene un conductores de radio 1.8 cm cada uno, y estn separados como indica la figura, las distancias son AB = 4 m AC = 6 m y BC = 9 m, la carga es balanceada y la lnea transpuesta, encuentre la inductancia por fase y por km de la lnea.

4 m 6 m

9 m

A

B C

EJERCICIO

SOLUCION

GMR = 0.779 r = 0.779 (1.8/2) = 0.7011

GMD = (4 x 6 x 9) 1/3 GMD = 6 m

L = 2 x 10 -7 ln (GMD/GMR) = 1.35 mH/km

dimetro


Ejercicio

Una lnea trifsica, 50 Hz tiene una reactancia 0.5 por kilmetro. EL GMR del conductor es 2 cm. determine la distancia D en metros.

Inductancia de lneas trifsicas


17


Ejercicio

Una lnea trifsica, 50 Hz tiene una reactancia 0.25 por kilmetro. EL GMR del conductor is 5 cm. determine la distancia D en metros.



Ejercicio

Una lnea trifsica, 50 Hz tiene una reactancia 0.5 por kilmetro. EL GMR del conductor is 2 cm. determine la distancia D en metros.



18


Una lnea trifsica que opera a 60 Hz est dispuesta como se indica en la figura . Los conductores son ACSR Drake.

a) Encuentre la inductancia por milla

Para Drake RMG = 0.00373 ftb) Calcule la reactancia de la lnea en ohms/milla

20ft 20 ft

38 ft

Ejercicio 2


c1

a1

a2

b1 b2

c2S11

S22

S33

GMD entre cada fase del grupo

422122111

422122111

422122111

cacacacaAC

cbcbcbcbBC

babababaAB

DDDDD

DDDDD

DDDDD

=

=

=

Inductancia de lneas trifsicas doble circuito


19


El equivalente GMR por fase es por tanto

3SCSBSAL DDDGMR =

La inductancia por fase es:

mHGMRGMDL

Lx /ln102

7=

Inductancia de lneas trifsicas doble circuito


Una lnea trifsica doble circuito est dispuesta como indica la figura, los conductores estn separados una distancia de 1 m y las nominaciones a , a b, b y c, c corresponden

a las mismas fases a, b y c respectivamente . Los conductores tienen un radio de 2 cm cada uno. Encuentre la inductancia por fase por km en mH y la reactancia inductiva si la frecuencia es 50 Hz

1 m 1 m 1 m 1 m 1 m

a b c a b c

EJERCICIO 2.7

dimetro


20


Para la inductancia mutua, debemos calcular los efectos inductivos de una

fase respecto de las otras:

12

m )2x1x1x2()1x4x2x1()5x4x2x1(D =

m815.1128012 == Para la inductancia propia de cada fase:

cm2/2x779.0x100x3Ds =

cm3.5.1=

faseporlnealadekm/155.0X

km/10x495.0x50x2

HenrysenestLdondeLx50x2X

km/mH495.0L

3

=

pi=

pi=

=

Solucin


EJERCICIO 2.8Los dos circuitos de la figura corren paralelamenteuno de los circuitos consta de 3 conductores de 0.25 cm de radio y el otro circuito de 2 conductores de 0.5 cm de radio. encuentre la inductancia total; encuentre el DMG, el RMG y la inductancia por cada circuito.

9 m

a a

6 m 6 m

b b

6 m circuit B

c

circuit A


21


( )( )( )GMD D D D B D Daa ab ba bb ca cb= ' ' ' ' ' '6D D m

D D D m

D m

aa bb

ab ba cb

ca

' '

' ' '

'

= =

= = = + =

= + =

9

6 9 117

12 9 15

2 2

2 2

m481.0126e1025.0DDDDDDDDDGMR 9 243

4123

cccbcabcbbbaacabaaA2

=

==

m153.06e105.0DDDDGMR 4 22

4122

'a'b'b'b'b'a'a'aB2

=

==

Solucin

m = 3, n = 2, mn = 6

Donde

GMD = 10.743 mGMR Circuito A:

GMR Circuito B:


L GMDGMR

H mAA

= = = 2 10 2 10 10 7430 481

6 212 107 7 7ln ln ..

. /

L GMDGMR

H mBB

= = = 2 10 2 10 10 7430153

8 503 107 7 7ln ln ..

. /

L L L H mT A B= + = 14 715 10 7. /

Inductancia de circuito A

Inductancia de circuito B

La inductancia total es por tanto


22


millaGMDfGMR

fX

millaGMRGMDfX

millaGMRGMDfX

mGMRGMDfX

mGMRGMDffLX

L

L

L

L

L

/ln10022.21ln10022.2

/ln10022.2

/ln1609104

/ln104

/ln10222

33

3

7

7

7

+=

=

=

=

==

pi

pi

pipi

La reactancia inductiva viene dado usualmente en /milla.

Xa Xd


INDUCTANCIA MUTUA Y PROPIA Las inductancias serie por fase pueden

expresarse en trminos de inductancia mutua y propia.

Considere un circuito monofsico de un metro de longitud en la figura:

Donde L11 y L22 son las inductancias propias y la inductancia mutua L12


23


( )( )

( )

Dx

DxL

DxL

erxL

ILLIDxer

xIL

ILLILL

mHDxer

xL

mHDxer

xL

1ln1021

ln102

1ln102

1ln102

1ln1021ln102

/1

ln1021ln102

/1

ln1021ln102

7712

712

25.01

711

1121117

25.01

7111

222212

112111

725.0

2

72

725.0

1

71

=

=

=

=

=

+==

+=

=

+=

+=

INDUCTANCIA MUTUA Y PROPIA


L11, L22 y L12 pueden ser expresadas:-7

11 0.251

722 0.25

2

712 21

12 10 ln

12 10 ln

12 10 ln

Lre

Lr e

L LD

=

=

= =

INDUCTANCIA MUTUA Y PROPIA

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