4º RELACIONES BINARIAS

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    07-Jul-2015
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4 RELACIONES BINARIASUna operacin aplicada a los elementos de un conjunto recibe tambin el nombre de ley de composicin interna en el conjunto. Puede ocurrir que un conjunto tenga ms de una ley de composicin interna, y entonces cada operacin se indicara con un signo distinto.

Son relaciones elemento a elemento entre los elementos de un mismo conjunto. Dados dos elementos a y b pertenecientes ambos al conjunto A, para expresar que a est relacionado con b escribiremos a R b, que se lee a est relacionado con b. As, pues, una relacin binaria es una correspondencia entre los elementos de un mismo conjunto. La diferencia entre aplicaciones y relaciones binarias est en que las aplicaciones son correspondencias de elementos entre distintos conjuntos y las relaciones binarias, correspondencias entre los elementos de un mismo conjunto. Una relacin binaria se puede representar mediante: a) Diagrama de Venn Dado el conjunto A = {a, b, c, d} la relacin que aparece en el diagrama de Venn indica que: el elemento a est relacionado consigo mismo; el elemento b est relacionado con el c y el c lo est con el d.

b) Conjunto de pares Segn esta forma de expresin, la relacin binaria del diagrama de Venn anterior sera: R = {(a, a), (b, c), (c, d)} c) Diagramas cartesianos

La expresin matemtica de una relacin binaria es:

x, y C,

x R y (x, y) R C C

En efecto, si se forma el producto cartesiano de un conjunto consigo mismo (C C) una relacin binaria ser un subconjunto K formado por varios pares, pertenecientes todos ellos al producto cartesiano C C. K es un subconjunto de C C.

Los productos cartesianos aparecen muy frecuentemente en matemticas. Por ejemplo, el plano de los nmeros complejos es R x R, donde R es la recta real, o conjunto de todos los nmeros reales. La superficie terrestre es producto cartesiano de la circunferencia del ecuador por la del meridiano origen, pues cada punto aparece determinado por el par ordenado (longitud-latitud). La superficie lateral de un cilindro puede considerarse como el producto cartesiano de la circunferencia de un crculo (base) por un segmento rectilneo (generatriz), tomados estos tres elementos superficie lateral, circunferencia y generatriz como conjuntos de puntos.

PROPIEDADES DE UNA RELACIN BINARIAREFLEXIVA O IDNTICA Se dice que una relacin binaria tiene la propiedad reflexiva cuando todos los elementos del conjunto en el que esta definida la relacin se relacionan consigo mismos. Es decir, que: x, x C x R x (x, x) K C C que se lee: Para todo x, siendo x perteneciente al conjunto C, x esta relacionado con x, si y slo si el par (x, x) pertenece al subconjunto K que est contenido en el producto cartesiano C C. Obsrvese que si una relacin es reflexiva, cada elemento lleva un conjunto: C = {1, 2, 3, 4}

Ejemplo: Sea el

Un conjunto participa de la propiedad reflexiva si y slo si todos sus elementos estn relacionados consigo mismos. Por ejemplo, si en un conjunto de nmeros enteros establecemos la relacin binaria "ser de la misma paridad que", esta relacin tiene la propiedad reflexiva. En cambio la relacin a R b si y slo si a + b = ab, slo es reflexiva para el 2 y el 0.

Se considera la relacin ser igual a. Dicha relacin tiene la propiedad reflexiva, porque todos los elementos del conjunto estn relacionados consigo mismos, ya que: 1 = 1 1R1 2 = 2 2R2 3 = 3 3R3 4 = 4 4R4

Si expresamos esta relacin mediante un diagrama de Venn se tendra:Un conjunto con relaciones entre sus elementos se llama un relativo. Un conjunto con operaciones entre sus elementos recibe, segn algunos, la denominacin de un lgebra. Tanto las lgebras como los relativos son estructuras. Una estructura es, en suma, un conjunto sobre el que se han definido ciertas relaciones y ciertas leyes de composicin, interna o no. Ejemplos particulares de estructuras son las de grupo, anillo, cuerpo y otros conceptos matemticos.

ANTIRREFLEXIVA Se dice que una relacin binaria tiene la propiedad antirreflexiva cuando ningn elemento est relacionado consigo mismo.

Ejemplo: En el conjunto D = {1, 2, 3} la relacin representada por el grfico de flechasEn el conjunto C = {a, b, c, d} representado a la derecha, la relacin R = {(a, a), (b, c)} no cumple con la propiedad antirreflexiva, ya que el elemento a est relacionado consigo mismo.

cumple con esta propiedad, puesto que ningn elemento est relacionado consigo mismo.

Esta relacin (al igual que las restantes), por estar contenida en un producto cartesiano de dos conjuntos, puede tambin representarse as:

En una relacin binaria (conjunto de pares ordenados de elementos) entre dos conjuntos, o en el producto cartesiano de un conjunto consigo mismo, se denomina dominio de la relacin al conjunto de todos los primeros miembros de los pares ordenados que constituyen la relacin; se llama imagen de la relacin al conjunto de todos los segundos miembros de los pares ordenados que constituyen la relacin.

BINARIA1. Qu son las relaciones binarias? 2. Cundo existe la propiedad antirreflexiva en una relacin binaria?

PROPIEDAD SIMTRICA Se dice que una relacin binaria tiene la propiedad simtrica, dados dos elementos x e y cualesquiera, pertenecientes al conjunto en el que se ha definido la relacin, cuando cumple que si el elemento x est relacionado con el y, entonces el y est relacionado con el x. Es decir, que: x, y, si xRy yRx (x, y) K (y, x) K, KC C

En resumen, si x se relaciona con y e y se relaciona con x, siendo x e y elementos cualesquiera de un conjunto C en el que se ha definido la relacin se cumple esta propiedad. Obsrvese que si hay una flecha hay tambin otra .

Ejemplo 1: La relacin R definida en: C = {a, b, c, d} R = {(a, a),(b, b),(c, c),(d, d),(c, a),(c, d),(d, c)} no cumple la propiedad simtrica pues el elemento c est relacionado con el a y el a no lo est con el c Por el contrario, esta relacin s cumple la propiedad reflexiva:

Si imaginamos una pista de baile en la que mltiples parejas Un ejemplo de relacin no numrica que tiene la propiedad simtrica es la de pertenenca: siempre se danzan al comps de cumple que si x es del mismo conjunto que y entonces y es del mismo conjunto que x. un vals, y consideramos la relacin "ser pareja de", observaremos que la relacin participa de la propiedad simtrica. Si Antonio es pareja de Isabel, sta lo es tambin de Antonio.

Ejemplo 2: La relacin R representada en el diagrama s cumple con la propiedad simtrica:

En el conjunto de 5 hermanos (todos chicos) se considera la relacin "ser hermano de". Esta relacin tiene la propiedad simtrica, ya que si un hermano lo es de otro, el segundo es tambin hermano del primero.

PROPIEDAD ANTISIMTRICA Si consideramos el conjunto de todas las personas, observamos que la relacin ser hermano de tiene la propiedad antisimtrica, y no la simtrica, puesto que, si Pablo es hermano de Mara, Mara no es hermano de Pablo, sino hermana. De otro modo: x R y &&& y R x,o bien (x, y) = (y, x) Se dice que una relacin binaria tiene la propiedad antisimtrica si dados dos elementos x e y cualesquiera, pertenecientes al conjunto en el que se ha definido la relacin, y distintos entre s, se cumple que si x est relacionado con y, entonces y no est relacionado con x. Es decir,

Aqu aparecen las flechas en un sentido pero no en el inverso. R- significa no esta relacionada con. Ejemplo: En el conjunto de los nmeros naturales (enteros y positivos) se considera la relacin ser mltiplo de. Segn esta relacin, el 4 estara relacionado con el 2, puesto que 4 es mltiplo de 2, el 6 estara relacionado con el 3, etc... Pero el hecho de que el 6 est relacionado con el 3 no quiere decir que el 3 est relacionado con el 6. En efecto, el 3 no est relacionado con el 6, ya que 3 no es mltiplo de 6. Luego se cumple que: si 4 R 2 => 2R4

que se lee si el 4 est relacionado con el 2, el 2 no est relacionado con el 4. 6 R 3 => 3 R 6, etc.

En consecuencia, esta relacin R ser mltiplo de cumple la propiedad antisimtrica. Debe tenerse en cuenta que la propiedad antisimtrica no es la contraria de la simtrica. Como se ha visto, ambas propiedades responden a ideas distintas. Lo nico que se puede afirmar, en relacin a ambas, es que si una relacin tiene la propiedad antisimtrica, seguro que no cumple la simtrica y viceversa; es decir, que una relacin no puede a la vez satisfacer ambas propiedades.Consideremos un partido de ftbol entre dos equipos. Cada jugador recibe el marcaje de otro jugador del equipo contrario y a la inversa. Si establecemos la relacin "marcar a", sta no tiene porqu ser

necesariamente simtrica. En el caso de que Pedro marcara a Juan y Juan marcara a Felipe (y as sucesivamente) nos encontraramos ante una relacin antisimtrica.

PROPIEDAD TRANSITIVA Se dice que una relacin binaria tiene la propiedad transitiva, cuando dados tres elementos x, y, z cualesquiera, pertenecientes al conjunto en el que se ha definido la relacin, se cumple que si el elemento x est relacionado con el y, y el elemento y est relacionado con el z,Una relacin R en un conjunto S es transitiva si para todo x, y y z de S, siempre que x R y y y R z, se tiene x R z.

entonces el elemento x est relacionado con el z. Es decir, se cumple que:

que se lee del modo siguiente: para todo x, y, z pertenecientes al conjunto C, si x est relacionado con y e y est relacionado con z, implica que x est relacionado con z, es decir, que si los pares ordenados (x, y) e (y, z) pertenecen al subconjunto K del producto cartesiano C C, que constituye la relacin, entonces el par ordenado (x, z) tambin pertenece a dicho subconjunto K. Obsrvese que si se representa mediante un diagrama de Venn una relacin binaria que cumpla esta propiedad transitiva, aparece una flecha (sealada en el grfico con doble trazo) a modo de camino directo entre dos elementos.