4º de ESO MATEMÁTICAS ORIENTADAS A...
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4º de ESO MATEMÁTICAS ORIENTADAS A ENSEÑANZAS APLICADAS Cuadernillo de ejercicios Nombre y apellidos:................................................ Grupo: ............
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4º de ESO
MATEMÁTICAS ORIENTADAS A
ENSEÑANZAS APLICADAS
Cuadernillo de ejercicios
Nombre y apellidos:................................................ Grupo: ............
ÍNDICE ÍNDICE
……………………………………………………………………………………………………………….. 3
UNIDAD 1: NÚMEROS ENTEROS, RACIONALES Y DECIMALES
…………………………………………….. 4
UNIDAD 2: NÚMEROS REALES
……………………………………………………………………………...……24
UNIDAD 3: PROBLEMAS ARITMÉTICOS
………………………………………………………………………...34
UNIDAD 4: POLINOMIOS
…………………………………………………………………………………………..46
UNIDAD 5: ECUACIONES E INECUACIONES
…………………………………………………………………...60
UNIDAD 6: SISTEMAS DE ECUACIONES
……………………………………………………………………….. 74
UNIDAD 7: SEMEJANZA Y TRIGONOMETRÍA
………………………………………………………………….87
UNIDAD 8: PROBLEMAS GEOMÉTRICOS
……………………………………………………………………….98
UNIDAD 9: FUNCIONES Y GRÁFICAS
………………………………………………………………………….104
UNIDAD 10: ESTADÍSTICA
……………………………………………………………………………………… 120
UNIDAD 11: PROBABILIDAD
…………………………………………………………………………………… 129
UNIDAD 1
NÚMEROS ENTEROS, RACIONALES Y DECIMALES
1. NÚMEROS ENTEROS
Representación y orden
Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera a los números naturales un
subconjunto de los enteros.
ℕ ⊂ ℤ
Para representar números enteros dibujaremos una recta horizontal, en la cual:
1. Tomamos un punto cualquiera que señalaremos como cero.
2. A su derecha y a distancias iguales, colocaremos los números positivos.
3. A su izquierda y a distancias iguales, colocaremos los números negativos.
Los números enteros están ordenados, de tal forma que es mayor el que esté situado en la recta más
a la derecha, y menor el que esté situado más a la izquierda.
Los criterios para ordenarlos son los siguientes:
1. Todo número negativo es menor que cero.
−7 < 0 2. Todo número positivo es mayor que cero.
7 > 0
3. De dos enteros negativos es mayor el que tenga menor valor absoluto.
−7 > −10 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 |−7| < |−10| 4. De dos enteros positivos es mayor el que tenga mayor valor absoluto.
10 > 7 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 |10| > |7|
Operaciones con números enteros
Recordamos las propiedades del producto respecto de la suma:
1. Distributiva: El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de
dicho número por cada uno de los sumandos.
a · (b + c) = a · b + a · c
(−2)· (3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · 5
(−2)· 8 =- 6 - 10
-16 = -16
2. Sacar factor común: Es el proceso inverso a la propiedad distributiva. Si varios sumandos tienen
un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.
a · b + a · c = a · (b + c)
(−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5)
Operaciones combinadas. Jerarquía de operaciones.
1. Corchetes y paréntesis.
2. Potencias y raíces.
3. Multiplicaciones y divisiones (en el orden en qué aparezcan).
4. Sumas y restas.
[15 − (23 − 10 : 2 )] · [5 + (3 ·2 − 4 )] − 3 + (8 − 2 · 3 ) =
Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los paréntesis.
= [15 − (8 − 5 )] · [5 + (6 − 4 )] − 3 + (8 − 6 ) =
Realizamos las sumas y restas de los paréntesis.
= [15 − 3] · [5 + 2 ] − 3 + 2 =
En vez de poner corchetes pondremos paréntesis directamente:
= (15 − 3) · (5 + 2) − 3 + 2 =
Operamos en los corchetes.
= 12 · 7 − 3 + 2
Multiplicamos.
= 84 − 3 + 2 =
Restamos y sumamos.
= 83
EJERCICIOS DE NÚMEROS ENTEROS.
1. Pitágoras nació en el año 570 a.C. en la isla de Samos (Grecia). ¿Cuántos años han
transcurrido desde su nacimiento? 2. Realiza las siguientes operaciones con números enteros:
a. 4 − 7 =
b. 3 − 5 + 1 − 6 − 1 =
c. 1 − 5 − 2 − 2 − 12 =
d. 6 − 11 − 45 + 17 =
e. 12 − 41 − 123 + 4 =
f. 123 − 37 − 12 − 57 =
g. −3 ∙ (−7) =
h. −3 − 7 =
i. −7 − (−3) =
j. 5 − 11 =
k. −8 ∙ 3 =
l. (−8) ∶ (−4) =
m. 3 ∙ (40 − 15) =
n. 3 ∙ 40 − 15 =
o. (3 + 2) ∙ 7 =
p. 3 + 2 ∙ 7 =
q. 5 ∙ 4 + 2 ∙ 3 =
r. −7 ∙ 5 − 4 =
s. (−5) − 10 ∶ (−5) + (−2) ∙ 7 − 7 =
t. 3 ∙ 5 − 4 ∙ (1 + 4) =
u. (4 − 1) ∙ (1 − 4) ∙ (−1) + 2 =
v. (5 + 1) ∙ 3 + 3 ∙ (7 − 15) =
w. 2 − 15 ∶ 3 + 12 − 2 + 9 = x. 11 − 10 ∙ (2 − 5) ∙ 5 + 1 =
3. Indica si 2, 3, 5 ó 11 dividen a los siguientes números:
a) 325
b) 4710
c) 31801
d) 24574
4. Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada minuto. A
las 7:15 de la tarde los tres coinciden. ¿Cuántas veces volverán a coincidir en los próximos cinco
minutos y a qué horas?
5. María quiere dividir una cartulina de 40 cm. de largo y 30 cm. de ancho en cuadrados
iguales, tan grandes como sea posible, de forma que no le sobre ningún trozo de cartulina.
¿Cuánto medirá el lado de cada cuadrado?
2. FRACCIONES Y DECIMALES
Concepto de fracción
Una fracción es el cociente de dos números enteros a y b, que representamos de la siguiente
forma: 𝑎
𝑏
b: denominador, indica el número de partes en que se ha dividido la unidad.
a: numerador, indica el número de unidades fraccionarias elegidas.
La fracción como partes de la unidad
Un todo se toma como unidad. La fracción expresa un valor con relación a ese todo. Un depósito
contiene 2/3 de gasolina.
El todo: el depósito. La unidad equivale a 3/3, en este caso; pero en general sería una fracción con
el mismo número en el numerador y el denominador.
2/3 de gasolina expresa la relación existente entre la gasolina y la capacidad del depósito. De sus
tres partes dos están ocupadas por gasolina.
La fracción como cociente
Repartir 4 € entre 5 amigos.
𝟒
𝟓= 𝟎, 𝟖 𝒄é𝒏𝒕𝒊𝒎𝒐𝒔
La fracción como operador
Para calcular la fracción de un número, multiplicamos el numerador por el número y el resultado
lo dividimos por el denominador.
Calcular los 2/3 de 60 €.
2 · 60= 120
120 : 3 = 40 €
La fracción como razón y proporción
Cuando comparamos dos cantidades de una magnitud, estamos usando las fracciones como
razones.
Así, cuando decimos que la proporción entre chicos y chicas en el Instituto es de 3 a 2, estamos
diciendo que por cada 3 chicos hay 2 chicas, es decir, que de cada cinco estudiantes, 3 son chicos y
2 son chicas.
Un caso particular de aplicación de las fracciones como razón son los porcentajes, ya que éstos
no son más que la relación de proporcionalidad que se establece entre un número y 100 (tanto por
ciento), un número y mil (tanto por mil) o un número y uno (tanto por uno).
Luís compra una camisa por 35 €, le hacen un descuento del 10%. ¿Cuánto pagará por la camisa?
35 · 10 = 350
350 : 100 = 3.5
35 − 3.5 = 31.5 €
Clasificación de fracciones
- Fracciones propias: Las fracciones propias son aquellas cuyo numerador es menor que el
denominador. Su valor comprendido entre cero y uno. 4
5
14
17
5
7
- Fracciones impropias: Las fracciones impropias son aquellas cuyo numerador es mayor que
el denominador. Su valor es mayor que 1. 7
3
15
8
22
5
Número mixto: El número mixto o fracción mixta está compuesto de una parte entera y otra
fraccionaria. Para pasar de número mixto a fracción impropia, se deja el mismo denominador y el
numerador es la suma del producto del entero por el denominador más el numerador, del número
mixto.
32
5=
3 ∙ 5 + 2
5=
17
5
Para pasar una fracción impropia a número mixto, se divide el numerador por el denominador. El
cociente es el entero del número mixto y el resto el numerador de la fracción, siendo el denominador
el mismo.
Cómo obtener fracciones equivalentes a una dada
- Amplificación: Multiplicamos numerador y denominador por un mismo número distinto de
cero.
2 ∙ 5
3 ⋅ 5=
10
15
2
3=
10
15 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 2 ∙ 15 = 3 ∙ 10 30 = 30
- Simplificación: Dividimos numerador y denominador por un mismo número distinto de
cero. Obtendremos una fracción equivalente más simple que la inicial.
Empezaremos a simplificar probando por los primeros números primos: 2, 3, 5, 7, ... Es decir,
probamos a dividir numerador y denominador entre 2 mientras se pueda, después pasamos al 3 y
así sucesivamente. Se repite el proceso hasta que no haya más divisores comunes. Si los términos
de la fracción terminan en ceros, empezaremos quitando los ceros comunes finales del numerador
y denominador.
Si el número por el que dividimos es el máximo común denominador del numerador y denominador
llegamos a una fracción irreducible.
8 ∶ 4
36 ∶ 4=
2
9
8
36=
2
9 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 8 ∙ 9 = 36 ∙ 2 72 = 72
Reducción de fracciones a común denominador
Reducir varias fracciones a común denominador consiste en convertirlas en otras equivalentes que
tengan el mismo denominador. Para ello:
1º Se determina el denominador común, que será el mínimo común múltiplo de los denominadores.
2º Este denominador común, se divide por cada uno de los denominadores, multiplicándose el
cociente obtenido por el numerador correspondiente.
2
3
5
12
1
9
12 = 22 ∙ 3
9 = 32 𝑚. 𝑐. 𝑚. (3, 12, 9) = 22 ∙ 32 = 36
24
36
15
36
4
36
Ordenar fracciones
1. Fracciones con igual denominador: De dos fracciones con igual denominador es menor la
que menor numerador tenga. 4
6<
5
6
2. Fracciones con igual numerador: De dos fracciones con igual numerador es menor la que
mayor denominador tenga. 4
12<
4
7
3. Fracciones con distinto numerador y denominador: Tenemos que reducirlas a común
denominador. 2
3
5
12
1
9
24
36
15
36
4
36
Es menor la que tiene menor numerador.
1
9<
5
12<
2
3
Conjunto de números racionales
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ
EJERCICIOS
6. Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones:
a) 6
5, 2,
7
3, −
3
5, −
2
3, −4
b) 5
6,
12
5,,
8
3, −
3
5, −
2
3, 3
c) 2
15, −
1
5,
5
3,
3
5, −
1
3, −3
d) 5
2,
3
4, −
2
5, −
3
2,
2
5, −2
e) 3
4, −
1
2,
4
5,
2
3, −
1
3, −1
7. a) Expresa en forma de fracción irreducible: 1, 23̂ 𝑦 2,08̂. Indica la parte entera, el
periodo y el anteperiodo.
b) Escribe en forma decimal las fracciones, justificando, primeramente, si los decimales van a ser
exactos o periódicos: 31
30 𝑦
7
3
8. a) Expresa en forma de fracción irreducible: 0, 96̂ 𝑦 0,96. Indica la parte entera, el
periodo y el anteperiodo.
b) Escribe en forma decimal las fracciones, justificando, primeramente, si los decimales van a ser
exactos o periódicos: 1
45 𝑦
17
20
9. a) Expresa en forma de fracción irreducible: −2,3 𝑦 0,02̂. Indica la parte entera, el
periodo y el anteperiodo.
b) Escribe en forma decimal las fracciones, justificando, primeramente, si los decimales van a ser
exactos o periódicos: 31
9 𝑦
24
25
10. a) Expresa en forma de fracción irreducible: 2, 3̂ 𝑦 3,02̂. Indica la parte entera, el periodo
y el anteperiodo.
b) Escribe en forma decimal las fracciones, justificando, primeramente, si los decimales van a ser
exactos o periódicos: 3
7 𝑦
9
11
11. a) Expresa en forma de fracción: 5,23̂ 𝑦 13,42. Indica la parte entera, el periodo y el
anteperiodo.
b) Escribe en forma decimal las fracciones, justificando, primeramente, si los decimales van a ser
exactos o periódicos: 13
4 𝑦
45
12
12. María recorre en bicicleta los 4
7 del trayecto de una carrera. Si aún le faltan 24 kilómetros,
¿Cuántos kilómetros tiene la carrera?
13. En un congreso con 120 participantes, 7
15 del total son mujeres. ¿Cuántos hombres y mujeres
hay en el congreso?
14. Una urbanización recicla 66000 metros cúbicos de agua para el riego de sus calles y jardines.
Si esta cantidad representa los 6
10 del total, ¿cuántos metros cúbicos quedan sin reciclar?
15. Amplifica la fracción 6
5 a una que tenga por numerador 66 y a otra que tenga por
denominador 130.
16. Comprueba si las siguientes fracciones son equivalentes:
a) 3
5 𝑦
12
20
b) 4
5 𝑦
8
10
c) 7
20 𝑦
40
100
d) 6
14 𝑦
21
49
17. Halla la fracción irreducible de las siguientes fracciones:
a) 270
990
b) 150
225
c) 80
240
d) 72
360
e) 111
393
f) 39
195
18. Indica si son correctas las siguientes desigualdades:
a) 14
12<
16
12<
20
12
b) 8
10<
8
13<
8
5
19. Escribe tres fracciones, si existen, comprendidas entre 3
5 𝑦
4
5
¿Existen tantas fracciones como queramos? ¿Por qué?
20. Calcula el calor de x para que sean q sean equivalentes estas fracciones:
a) 𝑥
26 𝑦
8
13
b) 42
54 𝑦
7
𝑥
c) 𝑥
50 𝑦
2
𝑥
21. Expresa los números decimales en forma de fracción y luego compara las fracciones.
a) 1,318 𝑦 28
25
b) 17
9 𝑦 2, 5̂
c) 7
18 𝑦 0, 16̂
d) 5,36 𝑦 111
20
22. Pasa las siguientes fracciones impropias a número mixto:
a) 29
8
b) −13
4
c) 37
5
d) −11
3
23. Tres amigos se reparten una cantidad de dinero. El primero recibe las 2
5 partes del total, el
segundo 3
4 de lo que quedaba y el tercero el resto. Si el tercero ha recibido 30 €, ¿cuánto dinero se
han repartido los tres amigos?.
24. Indica cuáles de las siguientes fracciones son propias y cuáles impropias:
a) 24
18
b) 2
5
c) 5
3
d) 257
256
3. NÚMEROS RACIONALES
Representación
Para representar con precisión los números racionales:
1. Tomamos un segmento de longitud la unidad, por ejemplo. 2. Trazamos un segmento auxiliar desde el origen y lo dividimos en las partes que deseemos
(en el número que aparece en el denominador de la fracción a representar). En nuestro ejemplo, lo
dividimos en 4 partes. 3. Unimos el último punto del segmento auxiliar con el extremo del otro segmento y trazamos
segmentos paralelos en cada uno de los puntos, obtenidos en la partición del segmento auxiliar.
Las fracciones propias estarán representadas entre 0 y 1, en el caso que sea positiva y entre -1 y 0,
en el caso que sea negativa.
Las fracciones impropias las expresaremos como números mixtos y estarán representadas entre el
entero del número mixto y una unidad más.
Operaciones con fracciones
Operaciones combinadas. Jerarquía de operaciones.
1. Corchetes y paréntesis.
2. Potencias y raíces.
3. Multiplicaciones y divisiones (en el orden en qué aparezcan).
4. Sumas y restas.
¡ Ojo ! Los resultados de las operaciones con fracciones siempre se dan simplificados a la fracción
irreducible.
EJERCICIOS
25. Representa en la recta numérica estos conjuntos de números racionales:
a) 3
4,
3
3 𝑦
3
6
b) 1
3,
1
2 𝑦
1
4
c) 13
12,
11
12 𝑦
20
12
d) −3
5,
5
3 𝑦
10
3
26. Efectúa las siguientes operaciones:
a) 1
2−
1
4+
1
8=
b) 7
5+
4
2+
2
3=
c) 8 −3
4−
5
2=
d) −5
6+ 2 −
3
5+
11
3=
27. Resuelve estas operaciones:
a) 3
4∙
5
2=
b) 4
3∙
1
5∙
5
4∙
7
2=
c) 9
4∙
1
2∙ 7 ∙
6
5=
28. Efectúa las operaciones:
a) 14
12∶
9
8=
b) 4
12∶
18
4
c) −4
15∶
20
12=
d) 12
5∶
14
15=
e) 8
9∶
12
14=
f) −4
15∶
20
12=
g) 1
2∶
1
8=
29. Calcula:
a) 3
4∶ (
3
3∙
3
6) =
b) (1
3+
1
2) ∶
1
4=
c) (13
12∶
11
12) ∶
20
12=
d) (16
13∙
1
2) ∶
3
4=
30. Efectúa las siguientes operaciones:
a) (7
5)
2∙ (
7
5)
3=
b) (7
4)
3∙
33
52∙ (
8
3)
2=
31. Representa en la recta numérica las siguientes fracciones:
a) 2
4,
2
3 𝑦
2
6
b) 7
5,
4
5 𝑦
3
5
c) −4
7,
−1
7 𝑦
−10
7
d) −1
3,
2
5 𝑦
4
6
32. Copia y completa:
a) Entre dos números enteros cualesquiera hay un número __________ de números enteros.
b) Entre dos números racionales cualesquiera hay _____________ números racionales.
c) Los números racionales son los que se pueden escribir como una ___________ de dos
números enteros.
d) Dos o más fracciones numéricas son _____________ si, pese a que tienen numeradores y
denominadores diferentes, tienen el mismo valor.
33. Calcula y simplifica:
a) 1
2∙ (
3
5−
2
3) −
2
5∙ (4 +
1
2) =
b) [(1
4−
1
2) + (
1
2+ 1)] ∶ [(
1
3+ 1) ∶
3
2] =
c) (10
4+
1
3) ∶ [(
2
3−
5
2) + (3 +
5
2)] =
d) [(1
3−
2
5) + 2 (
3
5− 1)
2
] ∶ [(3
2− 1) ∶ (3 ∙
1
5)] =
34. Carlos está leyendo una novela. Si lleva leídas 160 páginas y dice que ha leído los 4
5 de la
obra, calcula cuántas página le quedan por leer.
35. Resuelve estas operaciones:
a) 9
16− 4,5 =
b) 2
5+ 1,555 … =
c) 8
3−
1
2+ 5,333 … =
d) 7,333 … + 2,888 … =
e) 2
7+
3
5+ 0,9999 … =
f) 0, 1̂ + 3,21̂ =
36. Calcula y simplifica el resultado:
a) 3
5∶
2
3−
4
5∙
4
3+
1
3−
3
4∶
3
7=
b) (2
3−
7
2−
5
6+
1
4) ∶ (
−4
3+
2
3−
1
6) =
c) 3
8∙ (
5
3−
1
2) −
4
11∙ (
3
4−
1
5) =
d) 5
9− (−
3
4+
1
2) −
10
3∙ (
1
2−
1
5)2 =
37. Realiza las siguientes operaciones:
a) 2 − 5(3 − 4) − 3 + [2(5 − 7)] =
b) −[3 − (−8 + 5) − 3(−3 + 5)] =
c) −5(3 − 5) ∶ (−3 − 2) + 3(−2 + 3)3 =
d) −3(−1)7 + 2 ∙ 32 − 5(−2)3 =
38. Calcula y simplifica el resultado, si es posible:
a)
3
4−
1
62
3−
1
2(1−
1
3)
=
b)
2
3
1−1
1−1
1−1
1−34
=
39. Opera y simplifica:
a) 13
15−
2
3(
1
4+
5
3∙
6
5−
1
30) =
b)
1
8+
1
2∙3
4
(−3)(2
3+
1
2)
=
c) 5 − 3 [1
8−
2
3∙
3
4+
1
2] =
d) 2 −2
3∶
5
2+ (−2) − (
3
4+
1
2) =
e) (2
3− 2) (
1
2+ 5) . (4 +
1
3) (2 −
1
3) =
40. La base de un triángulo mide 35 cm, y su altura mide 7
20 de la base. ¿Cuál es su área?
41. Victoria se gasta 2
5 del dinero que tiene en comprarse un disco y
1
4 del total en la merienda.
Si tenía 30 €
a) ¿Qué fracción del total le queda?
b) ¿Cuánto dinero le queda?
42. Tres amigos se reparten un premio que les ha tocado en un sorteo, de forma que el primero
se lleva 3
5 del total, el segundo se lleva
5
8 de lo que queda, y el tercero se lleva 37,5 €. ¿A cuánto
ascendía el premio?
43. Para llegar a nuestro destino de vacaciones, hemos recorrido por la mañana 2/3 del camino;
por la tarde, 2/3 de lo que faltaba, y aún nos quedan 30 km para llegar. ¿Cuál es la distancia total a
la que está dicho destino?
44. Adrián, Eloy y Mari Carmen quieren comprar un regalo de cumpleaños que cuesta 27 €.
Adrián aporta 2/5 del precio total; Eloy, 1/3, y Mari Carmen, el resto. ¿Cuánto dinero pone cada
uno?
45. Simplifica las siguientes expresiones utilizando las propiedades de las potencias:
a) [(2
3) −1 ∙ (
3
2)
4
]2
=
b) [(3
4)
2∙ (
3
4)
5
]2
=
c) 4−3∙22∙9∙12
63∙2−4∙3=
d) (−3)2∙35∙3−2
−32=
e) [(1
3)
4∶ (
1
3)
3
]−1
=
f) (23)−1∙53∙72∙8
73∙52∙20=
46. Opera y simplifica:
a) 3 − (5
2)
−1∙
5
4− [
7
3− (
1
2)
3
] + (−1) =
b) (5.
−1 +1
4) ∶ (
−2
3)
0−
9
5∙ (
−9
2)
−2=
c) 7
4∙ (
5
2)
−2+
9
10∙ (3 +
1
3) −
1
5∙ 5−1 =
d) (3
2)
−1∶ (
1
3−
4
9) +
5
4∙ (2−3 +
1
4) =
e) −3
4+
1
5∙ (2−2 −
3
2) + (
5
2)
3=
NOTACIÓN CIENTÍFICA
Definición
1. ¿Cómo pasar un número muy grande a notación científica?
- Se pone como parte entera el primer dígito de la izquierda. Seguidamente se pone una coma y
varias cifras decimales (dos o tres) con los siguientes dígitos.
- Como exponente de la potencia de 10 se pone el número de cifras no decimales que tiene el
número menos una (la primera). Es decir, cuántos lugares hemos movido la coma decimal hacia la
izquierda. Es un exponente positivo.
Ejemplo: Poner en notación científica el número 3897000000000000
- Parte entera: 3,89
- Exponente de la potencia de diez: +15 (hay 16 dígitos no decimales, menos uno da quince)
El número en notación científica sería: 3,897·1015
2. ¿Cómo pasar un número muy pequeño a notación científica?
- Se pone como parte entera el primer dígito distinto de cero de la izquierda. Seguidamente se pone
una coma y varias cifras decimales (dos o tres) con los siguientes dígitos.
- Como exponente de la potencia de 10 se pone el número de cifras decimales que tiene el número
hasta la primera que sea distinta de cero (incluida). Es decir, cuántos lugares hemos movido la coma
decimal hacia la derecha. Es un exponente negativo.
Ejemplo: Poner en notación científica el número 0,000000000003897
- Parte entera: 3,897
- Exponente de la potencia de diez: -12 (hay 12 dígitos decimales, hasta la cifra 3, incluyendo
dicha cifra)
El número en notación científica sería: 3,897·10−12
3. ¿Como pasar un número en notación científica con exponente positivo a número normal?
Se pone la parte entera y se mueve la coma hacia la derecha tantos lugares como indica el exponente
positivo de la potencia de diez. Cuando las cifras se acaban se añaden ceros.
Ejemplo: Poner el número que representa 4,567·1012
- Ponemos 4,567
- Movemos la coma hacia la derecha 12 lugares (después de la cifra 7 se añaden los ceros necesarios)
El número que queda es: 4567000000000
4. ¿Cómo pasar un número en notación científica con exponente negativo a número normal?
Se pone la parte entera y se mueve la coma hacia la izquierda tantos lugares como indica el
exponente negativo de la potencia de diez. Cuando las cifras se acaban se añaden ceros. Al final se
pone delante de la coma un cero.
Ejemplo: Poner el número que representa 4,567·10−12
- Ponemos 4,567
- Movemos la coma hacia la izquierda 12 lugares (después de la cifra 4 se añaden los ceros
necesarios)
El número que queda es: 0,000000000004567 Si todas las medidas de una misma magnitud están
expresadas en notación científica, para compararlas sólo deberemos ver el exponente de la potencia
de diez. Ese exponente representa lo que denominamos grado de magnitud.
EJERCICIOS 47. Escribe en notación científica las siguientes cantidades:
a) 3 450 000 000 000
b) 24 millones
c) 32 diezmilésimas
d) 54 milésimas
e) 0,000000456
f) 23 billones
48. Los siguientes números están mal expresados en notación científica. Corrígelos:
a) 34,76 ∙ 107
b) 4563 ∙ 105
c) −0,00987 ∙ 10−3
d) 4553 ∙ 10−9
49. Opera:
a) 9 ∙ 108 ∙ 3,7 ∙ 1012 =
b) 7,3 ∙ 10−31 ∙ 8,9 ∙ 1038 =
c) 2,34 ∙ 107 − 3,2 ∙ 108 =
d) 1,98 ∙ 10−5 + 1,32 ∙ 10−6 =
e) −1,44 ∙ 10−8 ∶ 3,6 ∙ 103 =
f) −1,3∙102+3∙10−5∙2∙109
2∙1015 =
g) 1,3∙1010−2,7∙109
3∙10−5−2,36∙10−4 =
h) 3,8∙109
2,5∙10−8 + 4,2 ∙ 1016 =
i) 3∙10−5+7∙10−4
106−5∙105 =
j) 1,35∙10−23
1,5∙10−18 − 2,14 ∙ 10−6 =
k) 5,28∙104+2,01∙105
3,2∙10−7 =
UNIDAD 2
NÚMEROS REALES
1. LOS NÚMEROS REALES
Números reales
EJERCICIOS.
1. Clasifica los siguientes números en naturales, enteros, racionales o reales:
a) 4,323232 …
b) 7,122133144155 …
c) √𝜋
d) √81 − √121
e) 1 + √9
f) 5,566666 …. g) 2,52444 …
h) √4 + √9
i) −12
j) 2,2020020002 …
k) √9 − √5
2. Di si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones, justificando la respuesta:
a) Todos los números naturales son enteros
b) Todos los números racionales son enteros
c) Todos los números racionales son reales
d) La raíz cuadrada de un número negativo no existe
e) Todo número decimal es racional
f) Todos los números irracionales son reales
g) El número √27
3 pertenece a ℕ, ℤ, ℚ 𝑦 ℝ
3. En la siguiente cadena de contenidos ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Encuentra un número que
pertenezca a cada conjunto, pero no a los anteriores.
4. Copia y completa la tabla escribiendo estos números en todos los conjuntos numéricos a los
que pertenecen
3
5; −√2; 1,2525 … ; 2,010010001 … ; −4; 0,16̂
Naturales (ℕ)
Enteros (ℤ)
Racionales (ℚ)
Reales (ℝ)
5. Resuelve, cuando se pueda, las siguientes ecuaciones en el conjunto de números que se
indica:
a) 2𝑥 + 1 = 0 𝑒𝑛 ℤ 𝑦 𝑒𝑛 ℚ
b) 𝑥2 − 2 = 0 𝑒𝑛 ℚ 𝑦 𝑒𝑛 ℝ
c) 3𝑥 + 9 = 0 𝑒𝑛 ℕ 𝑦 𝑒𝑛 ℤ
6. Aproxima a las centenas, unidades y milésimas el número 2374,3376.
7. Dado el número 47894 efectúa su redondeo a centenas, a decenas y a unidades de millar.
8. Redondea a décimas, centésimas y milésimas el número 127,2008…
9. Realiza las siguientes operaciones y redondea a las unidades:
a) 2,24 + 5,7
b) 3,48 : 2,39
c) (1,39 ∙ 38) − 40
d) (6,348 + 9,38) ∶ (2,328 + 3,2)
e) 7,39 − (3,39 + 3,19) ∙ 2
f) (3,29 − 8,298)2
10. Hemos ido a comprar una cámara de video que costaba 290,82 €, pero nos han cobrado 290
€. ¿Qué tipo de aproximación se ha realizado?
11. Escoge, en cada caso, la respuesta correcta:
a) La aproximación a las milésimas por redondeo de la raíz cuadrada de 101 es:
A. 10,049 B. 10,050 C. 10,048
b) El número √5se aproxima a las centésimas por redondeo con el valor:
A. 2,24 B. 2,23 C. 2,20
12. Aproxima por truncamiento, primero a las centésimas y después a las milésimas, los
siguientes números. Indica, en cada caso, si la aproximación realizada es por defecto o por exceso:
a) √10
b) 11
3
c) 𝜋
d) 10
27
e) 15,9818283…
f) 8
21
13. Redondea los siguientes números al orden de unidad indicado y determina si cada
aproximación es por defecto o por exceso:
a) √5 𝑎 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑒𝑛𝑡é𝑠𝑖𝑚𝑎𝑠
b) 5
21 𝑎 𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑒𝑧𝑚𝑖𝑙é𝑠𝑖𝑚𝑎𝑠
c) 0,33244355 … 𝑎 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑖𝑙é𝑠𝑖𝑚𝑎𝑠
d) 1, 9̂ 𝑎 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑖𝑒𝑛𝑚𝑖𝑙é𝑠𝑖𝑚𝑎𝑠
14. Calcula la longitud y el área de una circunferencia d 5 cm de radio. Redondea a las
centésimas
15. Si un número redondeado a las centésimas es 12,56, ¿se puede tratar de un número mayor
que 12,56? ¿Y menor que 12,56?
16. Decide si los siguientes redondeos son correctos:
a) 1,489 ≈ 1,490
b) 5
16≈ 0,312
c) 2,523̂ ≈ 2,523
d) 1,599 ≈ 1,6
e) 52
17≈ 4
f) 11, 57̂ ≈ 11,57
17. Utiliza la calculadora para dar aproximaciones, por defecto y por exceso, del número √45 a
los órdenes de unidad indicados. Estudia en cada caso cuál corresponde al redondeo:
a) Unidades
b) Décimas
c) Centésimas
d) Milésimas
18. Representa en la recta los siguientes números irracionales:
a) √10
b) √11 → 11 = (√10)2
+ 12
c) √12 → 12 = (√11)2
+ 12
d) √13
e) √14 → 14 = (√13)2
+ 12
19. Representa en la recta estos números:
a) √6 d) √19
b) √7 e) √20
c) √18 f) √29
20. Calcula:
a) |−10|
b) −|−10|
c) |1
2−
5
6|
d) |3 − 6|
e) −|−3 − 6|
f) |−2
5−
2
3|
g) |(−2) ∙ 5|
h) |−4 + 1|
i) |−3
7+
5
11|
21. Indica, utilizando desigualdades, el conjunto numérico que representa cada intervalo.
Represéntalo gráficamente:
a) [−5, −2] b) (−2, 6)
c) [ −8, 3 )
d) (4, ∞)
e) (−4, −1)
f) [−3, 3] g) [1,5, 7] h) [0, ∞)
i) (3, 5,5) j) (1,25, 6 ]
k) ( −∞, −2 ]
l) (−∞, 7)
22. Copia y completa la siguiente tabla:
Intervalo Tipo Conjunto Representación
(2, 5) abierto 2 < 𝑥 < 5
[−1, 2]
3 ≤ 𝑥 < 10
−9 < 𝑥 < ∞
𝑥 ≥ 6
(−∞, −2]
23. Ordena de menor a mayor los siguientes números y determina cuáles pertenecen al intervalo
(1, 2)
1,1; 1,11; 1,111; 1,12; 1,13̂; 1,102̂; 2,1; 0,9; 1
24. Escribe dos números de cada intervalo:
a) (2, 3)
b) (−1, 0)
c) (1,1, 1,11)
25. Escribe en forma de intervalo y representa en la recta los números que cumplen la condición:
a) Mayores que -6
b) Menores o iguales que 2
3
c) Mayores o iguales que -0,4 y menores que 9
d) Mayores que -5 y menores o iguales que √2
e) Mayores o iguales que .-5 y menores o iguales que -3
26. Di por qué son incorrectas estas expresiones:
a) −5 ≤ 𝑥 ≤ −9
b) 3 < 𝑥 ≤ 2
c) (2, −5)
d) (8, 3)
27. Razona si estas expresiones son correctas o no:
a) 2,5 ∈ (5
2, 4)
b) 13 ∈ (−13, ∞)
c) 8
3 ∈ (2,6, 2,7)
d) 9
7 ∈ (
8
7,
19
14)
e) 0,5 ∈ [0,556, 0,557]
f) 4,16̂ ∈ (25
6, 4,2)
28. ¿Qué números enteros están a la vez en las semirrectas (−∞, 2] 𝑦 (−6, +∞)?
29. Representa en la recta real el intervalo A = [−2, 5] y la semirrecta B = (3, +∞). ¿Existe
algún intervalo de puntos común a ambos conjuntos?. En caso afirmativo, hállalo
30. Escribe como intervalo cada uno de los siguientes conjuntos:
a) {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 > 5}
b) {𝑥 ∈ ℝ: 𝜋 < 𝑥 ≤ 12}
c) {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ≥ −1}
d) {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ≥ 2}
31. Expresa en forma de potencia:
a) √745
b) √(2
13)
63
c) √(−2)53
d) √(25
81)
24
e) √396
f) √(−2
5)
155
32. Expresa en forma de radical:
a) 121
5
b) (−√3)4
3
c) (5
𝑥)
1
2
d) (−9
2𝑥)
2
3
33. Halla dos radicales equivalentes a cada uno de los siguientes:
a) √5 b) √
12
25
3
c) √3
d) √6
27
e) √1334
f) √−1
16
3
g) √6−93
h) √(2
17)
54
34. Simplifica los índices de cada uno de los siguientes radicales:
a) √724
b) √663
c) √1069
d) √644
e) √2510
f) √818
g) √𝑥36
h) √𝑥510
i) √𝑥3024
35. Expresa el radicando de los siguientes radicales en forma de potencia, después expresa el
radical en forma de potencia y simplifica el exponente. Y por último, calcula su valor.
a) √625
b) √729
c) √643
d) √13313
e) √5123
f) √40963
36. Extrae todos los factores posibles de los siguientes radicales:
a) √252
b) √576
c) √2433
d) √4483
37. Introduce los factores en el radical:
a) 7√2
b) 2√53
c) −4√−33
d) 3𝑥 √2𝑥24
38. Realiza los productos siguientes, simplificando el resultado cuando sea posible:
a) √72 ∙ √2
b) √15 ∙ √16
c) √4323
∙ √43
d) √6 ∙ √216
e) √32 ∙ √8
f) √154
∙ √33754
39. Calcula y simplifica el resultado:
a) √288 ∶ √8
b) √243
∶ √273
c) √6 ∶ √96
d) √804
∶ √20004
40. Simplifica las expresiones siguientes:
a) (√√5)4
b) √√2124
c) √√6183
d) √√31235
e) √√7293
f) √√51233
41. Expresa en forma de potencia:
a) √√√3 b) √√√65614
c) √√365
d) √√569
e) √√√64
f) √√4096
42. Efectúa las siguientes operaciones y, si es posible, simplifica el resultado:
a) 2√11 + 4√11 − 8√11
b) 4√8 + 3√98 − √128
c) √14853
+ 3√6463
d) 5√6 − 2√6 + 4√6
e) √147 − 2√243 + 7√75
f) 2√21873
− 5√1923
43. Calcula:
a) 8√6 − 4√6 −2
3√6
b) 1
9√5 + 5√5 −
5
3√5
c) 3√7 − 5√7 + 2√11 − 7√11
d) 2√2 + 5√3 − 6√2 + 4√3
e) √24 + √216 − √96
f) 5√40 − 3√250 + √90
g) −3√126 + 2√350 − √14
h) 6√563
− 4√1893
− 10√2433
44. Calcula y, si es posible, extrae factores:
a) √27 ∙ √15
b) √123
∙ √103
c) √40 ∙ √125
d) √135 ∶ √5
e) √143
∶ √73
f) √2283
∙ √63
45. Introduce los factores en el radical y opera
a) 2 ∙ 5 ∙ √503
b) 32 ∙ 2 ∙ √124
c) 3 ∙ 53 ∙ √155
d) 5 ∙ √10
UNIDAD 3
PROBLEMAS ARITMÉTICOS
EJERCICIOS.
1. El volumen de líquido que contiene un recipiente cilíndrico es directamente proporcional a
la altura del líquido. Copia y completa la tabla.
Altura (cm) 5 3
Volumen (𝑑𝑚3) 0,8 1,12
2. Explica cuáles de las siguientes parejas de magnitudes son directamente proporcionales.
a) El número de lados de un polígono regular de 15 cm de lado y su perímetro
b) El número de prendas de ropa compradas en una tienda y el precio total de la compra
c) La longitud de una palabra y el número de vocales que tiene
d) El radio de una circunferencia y su longitud
e) La edad de una persona y su peso
f) El número de horas trabajadas durante un mes y el sueldo cobrado al final del mismo
3. Copia y completa las tablas siguientes sabiendo que son magnitudes directamente
proporcionales y calcula su razón de proporcionalidad
a)
A 1 3 4
B 16 96
b)
C 27 54 216
D 2 3
c)
E 10 704
F 88 418 32
4. Indica si entre las magnitudes dadas hay o no relación de proporcionalidad y, en caso
afirmativo, decide si es directa o inversa:
a) La velocidad a la que circula un coche y el tiempo que tarda en hacer un recorrido
b) El número de páginas de un libro y su peso
c) La edad de una persona y su estatura
d) El radio y la longitud de una circunferencia
e) El precio de un kilo de patatas y la cantidad que se puede comprar con cierta cantidad de
dinero
5. Raúl y María quieren preparar unas natillas para toda su familia. La receta que tienen dice
que los ingredientes para 4 personas son: 6 yemas de huevo, 100 g de azúcar y medio litro de leche.
Si en la familia son 6 personas, calcula las cantidades de cada ingrediente que Raúl y María
necesitan.
6. Un examen de Inglés se puede evaluar con una nota máxima de 8 puntos. ¿Qué nota sobre
10 le corresponde a un alumno que ha obtenido un 6 en ese examen?
7. Las magnitudes M y M´ son directamente proporcionales. Calcula la constante de
proporcionalidad y copia y completa las tablas:
a)
M M´
7 17,5
10
45
20
b)
M M´
4
5,2 4,16
10,5
16
c)
M M´
3
5 2
8
8. Una máquina produce 66 piezas, funcionando durante una hora y media:
a) ¿Cuánto tiempo tardará en producir 154 piezas?
b) ¿Cuántas piezas producirá en 2 horas?
9. Un kilo y medio de carne cuesta 9,75 €. ¿Cuánto costarán 700 g?
10. En una tienda reciben 150 camisetas. Por la venta de 50 obtienen un beneficio de 225 €.
¿Cuál es el beneficio obtenido por la venta de todas ellas, si el precio de las 25 últimas se rebaja 2
€?
11. Pintar las paredes de un estudio de 45 𝑚2 cuesta 1980 €. ¿Cuánto costará pintar las paredes
de un piso de 110 𝑚2?
12. Carmen ha ganado 26 € por cuidar durante 4 h a los niños de una familia. ¿Cuánto ganará
un día en que los cuide durante 7 h?
13. Una caja con 12 envases de leche de 1,5 litros cuesta 14,76 €. ¿Cuánto cuesta 1 litro? ¿Y 5
litros?
14. De una fuente manan 30 litros de agua en dos minutos. ¿Cuántos habrán manado en una
hora y tres cuartos?
15. Una vaca come 72 kg de heno en 6 días. ¿Cuánto heno consumirá en 30 días? ¿Y en un año?
16. Una persona consume cada día al respirar el oxígeno de 7 𝑚3 de aire. ¿Cuánto consumirá
en 5 horas?
17. Para hacer seis tortillas de patatas se necesitan dos docenas de huevos. ¿Cuántos huevos
serán necesarios para cocinar 11 tortillas de patatas?
18. Si 12 € equivalen a 15,40 dólares, ¿Cuántos dólares te darán al cambiar 600 € a dólares?
¿Cuántos euros te darán por 100 dólares?
19. Para pintar una valla de 16 m de largo por 2,5 m de alto se necesitan 12 kg de pintura.
¿Cuántos kilogramos de pintura serán necesarios para pintar otra valla de 20 m de largo y 3 m de
alto?
20. Una mezcla para pintar se prepara con 3 l de pintura blanca y 6 l de pintura verde. ¿Cuántos
litros de pintura verde se deben mezclar con 12 l de pintura blanca para obtener una mezcla del
mismo tono?
21. Con el dinero que han reservado, un grupo de cinco amigos pueden estar de vacaciones
durante 30 días. Uno de ellos no puede ir, pero dona a los demás el dinero que había puesto.
¿Cuántos días podrán estar de vacaciones?
22. Una vaca atada con una cuerda de 6 m a un poste situado en una pradera, puede alimentarse
durante 4 días con la hierba que está a su alcance. ¿Cuántos días podría alimentarse si la cuerda
fuera de 12 m de longitud?
23. Para ir de un pueblo a otro en coche se emplean 2,5 h a una velocidad media de 90 km/h.
¿Qué tiempo se tardará en hacer el mismo recorrido a una velocidad media de 100 km/h?
24. Una cuadrilla de 8 personas tarda 30 h en realizar un trabajo. ¿Cuántas personas serían
necesarias para hacer el mismo trabajo en 20 horas?
25. Las magnitudes M y M’ son inversamente proporcionales. Calcula la constante de
proporcionalidad inversa y copia y completa las tablas:
a)
M M’
2 12
3
4
3
b)
M M’
4
8 2
16
c)
M M’
1
4 4
5
0,5
d)
M M’
9
2 4,5
3
26. Un granjero calcula que tiene alimento para dar de comer a sus 20 vacas durante 15 días:
a) Si tuviera 5 vacas más en la granja, ¿cuántos días podría alimentarlas?
b) Si quisiera que el alimento le durara 25 días, ¿cuántas vacas tendría que vender?
27. Carlos compra 6 lápices a 80 céntimos de euro cada uno. Si hubiese comprado otros a 60
céntimos, ¿cuántos hubiera podido adquirir por el mismo dinero?
28. Cierta cantidad de leche se puede envasar en 200 botellas de tres cuartos de litro. ¿Cuántas
botellas más se hubieran necesitado en el caso de emplear botellas de medio litro?
29. Tres operarios hacen una mudanza en 4 h. ¿Cuánto hubieran tardado cinco operarios?
30. Dos grifos, abiertos simultáneamente, llenan un depósito en 9 h. ¿En cuánto tiempo lo
llenarían tres grifos manando a la vez?
31. Un grifo que vierte 15 litros por minuto llena un depósito en tres horas. ¿Cuánto tardará en
llenar el mismo depósito un grifo que vierte 20 litros por minuto?
32. Caminando a 4 km/h se recorre un sendero en 2,5 h. ¿Cuánto se tardará caminando a 5 km/h?
33. La velocidad de giro de un piñón de bicicleta es inversamente proporcional al número de
dientes. Si un piñón con 15 dientes gira 2100 vueltas por minuto, ¿cuántas vueltas por minuto dará
un piñón de 21 dientes?
34. Una pileta se llena con 120 kg de agua de mar, que tiene un 2,5 % de sal. Al evaporarse
agua, el peso disminuye hasta 96 kg. ¿Qué tanto por ciento de sal se tendrá?
35. Un esquiador recorre 32 km a una velocidad de 8 km por hora. ¿Cuánto tardará en hacer el
mismo recorrido otro esquiador que desarrolla una velocidad de 9,5 km por hora?
36. Un ganadero tiene 252 vacas y forraje para alimentarlas durante 90 días. Vende algunas
vacas, que el forraje le dura 45 días más. ¿Cuántas vacas ha vendido?
37. Una pantalla de cine tiene 12 m de longitud y 4 m de altura. Se la quiere sustituir por una
pantalla nueva de 16 m de longitud, pero que tenga la misma superficie que la anterior. ¿Cuál deberá
ser su altura?
38. Escribe dos ejemplos de dos magnitudes inversamente proporcionales y explica
razonadamente por qué lo son
39. Estudia si las magnitudes de las siguientes tablas son o no inversamente proporcionales
a)
A 1 2 3 4
B 450 225 150 100
b)
C 120 60 30 15
D 2 4 8 16
40. Tres amigas alquilan un coche por 455 € durante 7 días. Si cada uno lo utiliza 2 días, 4
días y 1 día, respectivamente, ¿cuánto debe pagar cada uno?
41. Los alumnos de una clase han formado 4 equipos para hacer un mural en una pared del
patio. Los equipos tienen 8,7, 10 y 5 componentes. Si la pared mide 12 m de largo, ¿cuántos metros
de pared le corresponde a cada equipo para que sea proporcional al número de componentes?
42. Un grupo de teatro pide a dos amigos que les vendan entradas de su próxima obra. Como
agradecimiento, les regalan 15 invitaciones para que se las repartan de forma proporcional al
número de entradas que vendan. Si uno vende 36 entradas y recibe 6 invitaciones, ¿cuántas entradas
ha vendido el otro?
43. Susana y Manuel, los dos ganadores de un concurso de cálculo mental, reciben 820 € para
que se los repartan de manera inversamente proporcional al tiempo que han invertido en hacer los
cálculos. Si Manuel ha invertido 3 horas y Susana 2 horas, ¿cómo deben repartirse el premio?
44. Entre dos primos compran un abono de 20 entradas para la piscina que les cuesta 70 €. Si
uno de ellos lo utiliza 12 veces y el otro 8, ¿cuánto deben pagar cada uno?
45. Entre tres amigos, Rafa, Amelia y Rubén, compran un boleto de lotería primitiva. El primero
aporta 2,5 €; la segunda, 4 €; y el tercero, 3,5 €. Si el boleto resulta premiado con 200000 €, ¿cómo
deben repartirse el premio?
46. Un abuelo da a sus tres nietos, de 16, 18 y 20 años, una propina para que se la repartan
proporcionalmente a sus edades. Si el pequeño recibe 40 €, ¿a cuánto asciende la propina?
47. Reparte 8991 de forma directamente proporcional a 23, 27 y 31.
48. Reparte 5500 de manera directamente proporcional a 12, 15 y 17.
49. Marcos, Luis y Candela han formado una empresa, de manera que Marcos ha invertido el
doble que Luis y Luis ha invertido 3
5 de lo que aportó Candela. Al cabo de un año han obtenido
84000 € de beneficio. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?
50. Se reparten 72000 € entre tres hermanos de forma directamente proporcional a sus edades.
Los dos pequeños tienen 3 y 7 años. Al menor le corresponden 8000 €. Averigua la edad del
hermano mayor y lo que corresponde a cada uno
51. El coste de un centro cultural es de 315000 €. La Comunidad Autónoma pagará el 40% de
esta cantidad. El resto se repartirá entre los tres pueblos que utilizarán las instalaciones,
proporcionalmente al número de habitantes, que son 1720, 1230 y 1050. ¿Cuánto debe aportar cada
ayuntamiento?
52. Los abuelos maternos de Paula quieren repartir 180 € entre ella y su hermano de forma
proporcional a sus edades, 8 y 12 años.
Por otra parte, sus abuelos paternos distribuirán 216 € entre sus tres nietos también de forma
proporcional a sus edades, 4, 8 y 12 años. Si Paula es la nieta de 12 años, ¿con qué reparto obtendrá
más dinero? ¿Y su hermano, que es el nieto de 8 años?
53. Juan reparte 180 € de forma directamente proporcional al número de tardes que le ayudaron
sus tres hijos. Carlos se llevó 45 € por 3 tardes. ¿Cuánto se llevó Carmen, que ayudó 5 tardes?
¿Cuántas tardes ayudó Jesús?
54. Rafael reparte 120 € entre sus dos hijos de forma inversamente proporcional al número de
errores gramaticales de un trabajo. Si Patricia, que tuvo 5 errores, obtuvo 70 €, ¿cuántos errores
tuvo José?
55. Queremos repartir una cantidad inversamente proporcional a los números 1, 3 y 4. Pon
varios ejemplos de esa cantidad con la condición de que las respuestas sean números enteros
56. En un concurso de taquigrafía se va a repartir la cantidad de 6000 € entre los tres primeros
clasificados de manera inversamente proporcional a su lugar en la clasificación.
Calcula la cantidad que recibirá cada uno.
57. Reparte:
a) 83049 en tres cantidades inversamente proporcionales a 2, 4 y 5.
b) 15015 de forma inversamente proporcional a 4, 8 y 16.
c) 675 en partes inversamente proporcionales a 6, 8 y 12.
58. Los tres primeros clasificados de una carrera se reparten un premio de 6420 € de manera
inversamente proporcional al tiempo empleado, que ha sido de 5 min, 6 min y 7 min. Determina
cuánto le corresponderá a cada uno.
59. Un padre regala a sus hijos 1180 € para que se los repartan de forma inversamente
proporcional a sus edades, que son 10, 12 y 16 años. Calcula cuánto le corresponderá a cada uno.
60. Se reparten 20 chucherías en partes inversamente proporcionales a las edades de tres
hermanos, que tienen 2, 4 y 12 años. Calcula cuántas chucherías recibe cada uno.
61. Sabemos que una cuadrilla de 4 obreros cobra 1920 € por 6 días de trabajo. ¿Cuánto cobrará
una de 3 obreros por 12 días de trabajo?
62. En un comedor escolar con 140 niños se consumen 525 l de agua en 5 comidas. Si el número
de niños aumenta en 40, ¿cuántos litros de agua se consumirán en 8 comidas?
63. Un grupo de 4 obreros emplea 3 días en enyesar 10 pisos de un edificio en construcción.
¿Cuántos días necesitarán 6 obreros para enyesar 15 pisos?
64. Para recoger una cosecha se necesitan 6 jornaleros trabajando 10 días, 8 h al día. ¿cuántos
jornaleros de necesitarán para recogerla en 8 días trabajando 6 h al día?
65. Poner baldosas en el suelo de una habitación rectangular de 6 m de largo por 4 m de ancho
cuesta 1200 €.
a) ¿Cuánto costará ponerlo en una habitación de 8 m de largo por 3,5 m de ancho?
b) Si en otra de 7 m de largo cuesta 1750 €, ¿cuánto mide de ancho?
66. Una persona recorre 480 km en 20 días andando diariamente 6 horas.
a) ¿cuántos kilómetros podrá recorrer en 12 días andando 8 horas diarias?
b) ¿Cuántas horas al día tiene que andar para recorrer 256 km en 8 días?
67. En un taller 3 máquinas producen 480 piezas en 4 días, funcionando 8 horas diarias.
¿Cuántas horas al día tendrán que funcionar 5 máquinas para cubrir un pedido de 500 piezas en 2
días?
68. En un zoo tienen 45 kg de pescado para alimentar a 12 pingüinos durante 5 días.
a) ¿Cuántos días podrán dar de comer a 18 pingüinos con 81 kg de pescado?
b) ¿Cuántos kilos de pescado necesitarán para dar de comer a 12 pingüinos durante 4 días?
69. En una empresa discográfica, tres trabajadores graban 1800 copias de un disco trabajando
cinco horas diarias cada uno. ¿Cuántas copias grabarán cinco trabajadores si cada uno trabaja seis
horas diarias?
70. Tres grifos, abiertos durante 4 horas diarias, llenan una piscina en 2 días. ¿Cuántos días
tardarán en llenar la piscina 2 grifos abiertos 3 horas diarias?
71. Cuatro trabajadores construyen 160 m de un muro en 8 días. Trabajando al mismo ritmo,
¿cuántos días necesitarán 5 trabajadores para construir 125 m de muro?
72. Un pintor mezcla 10 l de pintura roja, cuyo precio es de 12 €/l, con 15 l de pintura amarilla
a 16 €/l, ¿a qué precio sale el litro de la mezcla?
73. En una fábrica de refrescos, 3 operarios envasan 33000 botellas en 5 días. ¿Cuántas
envasarán 12 operarios en 15 días?
74. Una novela ocupa 180 páginas de 30 líneas de 15 cm de longitud cada una. Si se compusiera
con 40 líneas de 20 cm de largo por cada página, ¿cuántas páginas ocuparía la novela?
75. Los gastos de una actividad extraescolar ascienden a 30000 € para el mantenimiento de 125
jóvenes durante 15 días. ¿A cuánto ascenderán los gastos de una actividad del mismo tipo para 150
jóvenes durante 20 días?
76. Dos personas se asocian para un negocio. El primero aporta 16000 € y a los 6 meses recibe
1800 € de beneficio. ¿Cuánto dinero aportó el segundo, si a los doce meses ha recibido 2250 € de
beneficio?
77. Si 25 operarios, trabajando durante 8 horas, pintan 4 km de carretera, ¿cuántos operarios,
trabajando 10 horas, se necesitarían para pintar 15 km?
78. Tres amigos se van de viaje y gastan 240 € en 3 días. Entonces se les juntan 2 amigos más
para continuar con ellos el viaje. Al final del viaje han gastado 2640 €, siendo igual el gasto diario
de cada uno. ¿Cuántos días ha durado el viaje?
79. Un escritor escribe 180 páginas en 20 días, trabajando 9 horas diarias. ¿Cuántos días habría
necesitado para escribir un libro de 232 páginas trabajando 8 horas diarias?
80. Si 5 águilas cazan 5 ratones en 5 minutos, ¿cuántos gatos harán falta para cazar 100 ratones
en 100 minutos?
81. Con 34 kg de lana tejemos una pieza de 0,60 m de ancho y 25 de largo. Si queremos tejer
una pieza de 0,80 m de ancho y disponemos de 100,8 kg de lana, ¿qué longitud tendrá la pieza?
82. El transporte de 1700 kg de mercancía a 165 km ha costado 1200 €. ¿Cuánto costaría
transportar 3400 kg de mercancía a 55 km?
83. Una fuente que proporciona 150 l de agua por minuto tarda 6 horas y 40 minutos en llenar
un depósito. Para llenar otro depósito de igual base, otra fuente que proporciona 120 l de agua por
minuto tarda la mitad de tiempo que la anterior. ¿Cuál es la altura de este otro depósito en
comparación con la del primero?
84. María alimentaba a sus 5 perritos con 3 cajas de 2 l de leche durante 4 días. Ahora tiene 6
perritos y quiere comprar cajas de 3 l para poder alimentarlos durante 5 días. ¿Cuántas cajas debe
comprar?
85. Calcula:
a) 2% de 135
b) 200 % de 130
c) 1,5 % de 18000000
d) 0,3% de 800
86. ¿Qué cantidad hay que aumentar un 12,5 % para obtener 450?
87. En unas rebajas de 20 %, unos pantalones cuestan 40 €. ¿Cuál era el precio original?
88. Una cantidad se aumenta en un 3 % y el resultado se reduce en un 4 %. Si la cantidad final
es 4947 ¿Cuál era la cantidad inicial?
89. Expresa en tantos por ciento los siguientes casos:
a) Dos de cada cinco personas dejaron de fumar en los seis primeros meses de 2013
b) Siete de cada nueve encuestados duermen menos de ocho horas diarias
c) Dos de cada doce residentes españoles colabora con una ONG
90. Realiza los siguientes cálculos
a) El tanto por ciento que hay que aplicar a 84 para que se incremente en 17 unidades
b) La cantidad cuyo 95 % es 216
91. Halla en cada caso, el valor de la variable x
a) El 24 % de x es 348
b) El x % de 250 es 40
c) El 95 % de 3200 es x
92. En un comercio hacen el 30 % de descuento sobre el precio marcado en la etiqueta de los
artículos:
a) Si el precio marcado es de 120 €, ¿cuál es el precio final con el descuento?
b) Si en un artículo se descuentan 24 €, ¿ cuál es el precio que marcaba en la etiqueta?
93. El 12% de una cosecha de 5350 kg de remolacha se desecha y el resto se vende. ¿Cuántos
kilos de remolacha se venden?
94. El 60 % de los 15000 libros de una biblioteca son novelas, y el 85 % de estas son de autores
españoles.
a) ¿Cuántas novelas de autores españoles tiene dicha biblioteca?
b) ¿Qué porcentaje del total de libros de la biblioteca representan las novelas de autores
españoles?
95. Por pagar fuera de plazo una factura se aplica un recargo del 20%:
a) Si el importe de una factura es de 185 € sin recargo, ¿cuál será su importe con el recargo?
b) Si por una factura se paga 60 € con recargo incluido, ¿cuál era su importe sin recargo?
96. Un ordenador cuesta 870 € incluido un 16% de IVA. ¿Qué cantidad corresponde al IVA?
97. Unos grandes almacenes rebajan todos sus precios un 20 %:
a) ¿Cuál será el precio rebajado de un artículo que antes de las rebajas costaba 80 €?
b) ¿Cuál era el precio de una artículo antes de las rebajas si rebajado cuesta 20 €?
98. El número de personas paradas de una población ha pasado de 12540 a 13457 en el mes de
marzo. ¿En qué tanto por ciento se ha incrementado en ese mes?
99. Aumenta 540 en el porcentaje indicado:
a) 17 %
b) 1 %
c) 78,9 %
d) 230 %
100. Averigua en qué tanto por ciento hay que aumentar o disminuir la primera cantidad para
obtener la segunda:
a) 250 → 475
b) 6,5 → 1,2
c) 15800 → 19760
d) 1800 → 1467
101. Un hotel aumenta sus precios en temporada alta un 20 % sobre los precios de temporada
baja:
a) Si una habitación cuesta 60 € en temporada baja, ¿cuánto cuesta en temporada alta?
b) Si en temporada alta una habitación cuesta 100 €, ¿cuál es su precio en temporada baja?
102. El precio de la vivienda subió un 15 % hace dos años, un 9 % el año pasado y un 5 %
este año, ¿Qué porcentaje de subida ha sufrido el precio de la vivienda en estos tres últimos años?
103. Un bolso vale 85,7 €. ¿Cuánto le ha costado al vendedor si el 16 % del precio
corresponde al IVA y obtiene un 40 % de ganancia sobre el precio inicial?
104. ¿Qué interés simple producirán 700 € prestados al 4 % durante 3 años?
105. ¿Qué capital hay que invertir al 3 % para obtener en 7 años 500 € de interés simple?
106. ¿Qué interés simple producirán 5000 € invertidos al 2,75 % durante 5 años?
107. ¿Cuánto tiempo debe estar invertido al 4 % un capital de 12000 € para producir un interés
simple de 4200 €?
108. ¿ A qué tanto por ciento de interés simple hay que invertir 3500 € durante 5 años para
que el capital final sea de 4000 €?
109. Marta puede optar por invertir 8000 € durante 4 años entre:
A. Un fondo de inversión que le produce el 3 % el primer año, el 5 % el segundo año y el 7
% el tercer año.
B. Una cuenta de ahorro al 6 % de interés simple.
¿ Qué opción le resulta más rentable?
110. ¿ Qué interés simple producirá un capital de 550 € invertido al 3 % durante 6 años?
111. Un capital de 30000 € produce, a interés simple, 2000 € en cierto tiempo. ¿Qué interés
producirá en ese mismo tiempo un capital de 40000 €?
112. Calcular el capital que hay que colocar en el banco para obtener 1000 € de interés al 4 %
en 18 meses
113. ¿A qué rédito hay que colocar un capital para que en 120 días produzca un interés igual
a 1
40 de este?
114. ¿Qué tiempo deberá mantenerse un capital para que, a interés simple, produzca al 6 % un
interés igual al capital?
115. Cuando nació Andrés, sus padres depositaron 13000 € a su nombre al 9 % de interés
compuesto. ¿Cuánto dinero tendrá Andrés a los 17 años?
116. Halla en cuánto se convertirán 11000 € a un interés compuesto del 3 % durante 4 años si:
a) Los intereses se pagan anualmente.
b) Los intereses se pagan trimestralmente.
c) Los intereses se pagan mensualmente.
d) Los intereses se pagan diariamente.
117. Después de 45 días a un interés compuesto del 6,2 % anual, la cantidad que figura en una
cartilla de ahorros es de 2698,57 €.
a) ¿Cuál ha sido el capital inicial?
b) ¿Qué interés habría producido durante el mismo tiempo un capital final de 3000 €?
c) Si se quisiera duplicar los 2698,57 € en la mitad de tiempo a partir de ahora, ¿qué interés
debería ofrecer el banco?
118. Calcula cuánto producen 2900 € a un interés compuesto del 1,6 % durante 7 años.
119. ¿A qué rédito se invirtieron 2000 € a interés compuesto, si al cabo de cinco años se han
convertido en 2600 €?
120. ¿Qué capital invertido al 2,5 % produce en 4 años 400 € de interés compuesto?
UNIDAD 4
POLINOMIOS
1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Transformar enunciados en expresiones
En los monomios podemos distinguir:
- El coeficiente, que es el número que multiplica a las letras
- La parte literal, formada por las letras, que reciben el nombre de variables, y sus exponentes
- El grado del monomio, que es la suma de los exponentes de las variables.
Por ejemplo, en el monomio −8𝑥2𝑦3𝑧, el coeficiente es -8, la parte literal es 𝑥2𝑦3𝑧, y el grado es
6.
Diremos que dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.
Por ejemplo 4𝑥5𝑦 es semejante a −8
3𝑥5𝑦, no así con 4𝑥3𝑦
Para sumar o restar monomios es necesario que sean semejantes. Así el resultado de una suma o
resta de monomios tendrá por coeficiente la suma o resta de coeficientes y por parte literal la misma.
4𝑥2𝑦3 + 5𝑥2𝑦3 = 9𝑥2𝑦3
4𝑥2𝑦3 − 5𝑥2𝑦3 = −𝑥2𝑦3
4𝑥2𝑦3 + 6𝑥3𝑦2 = 4𝑥2𝑦3 + 6𝑥3𝑦2
Para multiplicar monomios se multiplican los coeficientes por un lado (teniendo en cuenta la regla
de los signos) y las partes literales por otro (teniendo en cuenta que el producto de potencias con la
misma base es otra potencia de igual base y suma de sus exponentes). No es necesario que sean
semejantes
−5𝑥4𝑦3 ∙ 6𝑥𝑦2 = −30𝑥5𝑦5
Para dividir monomios se dividen los coeficientes por un lado (teniendo en cuenta la regla de los
signos) y las partes literales por otro (teniendo en cuenta que el cociente de potencias con la misma
base es otra potencia de igual base y resta de sus exponentes). No es necesario que sean semejantes
12𝑥7𝑧3 ∶ (−3𝑥2𝑧) = −4𝑥5𝑧2
Para elevar un monomio a una potencia se eleva el coeficiente por un lado y la parte literal por otro
(teniendo en cuenta la propiedad de potencia de potencia donde se multiplican los exponentes)
(−3𝑥4𝑦2)3 = (−3)3(𝑥4𝑦2)3 = −27𝑥12𝑦6
Polinomios
Para sumar o restar polinomios se suman o restan los coeficientes de los términos del mismo
grado.
(−4𝑥3 + 7𝑥2 − 8𝑥 + 1) + (2𝑥4 − 5𝑥3 − 5𝑥2 + 12𝑥 + 4) == 2𝑥4 − 9𝑥3 + 2𝑥2 + 4𝑥 + 5
Para multiplicar polinomios multiplicamos cada término de cada uno de ellos por cada término del
otro (producto de monomios) y, a continuación, reducimos los términos semejantes.
EJERCICIOS.
1. ¿Cuáles de las siguientes expresiones son monomios?
g) −3𝑥4
h) 7𝑦
i) 3𝑥−3
j) 𝑥9
k) 12
l) 𝑦 − 3
m) √4𝑧
n) 4
2𝑥3
2. ¿Cuándo se dice que dos monomios son semejantes?. Pon un ejemplo
3. ¿Cuáles de estos monomios son semejantes?
a) 4𝑥5
b) −3𝑥
c) 23
d) −5𝑥
e) 45
f) −𝑥5
g) 8𝑥4
h) 2
3𝑥5
4. ¿Qué grado tienen los monomios del ejercicio anterior?
5. Indica en los siguientes monomios el coeficiente, la parte literal y el grado, y di cuáles son
semejantes entre sí:
a) 5𝑥4
b) −6𝑧2
c) 𝑦8
d) −𝑥3
e) 2𝑥𝑦4
f) 𝑥3𝑦5
g) −5𝑥4𝑦
h) 10
6. Expresa en lenguaje algebraico:
a) El área de un rectángulo de base b y altura h.
b) El área de un cuadrado de lado l.
c) El volumen de un cubo de arista a.
d) El volumen de un cilindro de radio de la base r y altura h.
e) El perímetro de un triángulo isósceles de lados iguales x y lado desigual y.
7. Completa la columna correspondiente al valor numérico de los monomios para los valores
de las variables que se indican y calcula su grado.
Polinomio x, y Valor numérico Grado
5𝑥2𝑦 𝑥 = 2
𝑦 = 1
4
3𝑥𝑦3
𝑥 = 3
𝑦 = 1
𝑥𝑦
2 𝑥 = 1
𝑦 = 4
3𝑥2𝑦4 𝑥 = −2
𝑦 = −1
8. Realiza las siguientes operaciones con monomios:
a) 4𝑥5 − 3𝑥2 + 2𝑥5 + 7𝑥2
b) −2𝑥3 + 5𝑥4 − 3𝑥3 + 𝑥2
c) 𝑥5 ∙ 𝑥2
d) −2𝑥3 ∙ 3𝑥4
e) (5𝑥2)3 f) (−2𝑥3)5
9. Realiza cada una de las siguientes operaciones con monomios:
a) 4𝑥3 + 7𝑥3
b) 4𝑥3 ∙ 7𝑥3
c) 3𝑥2 − 7𝑥2
d) −2𝑥 ∙ 5𝑥2 ∙ (−3𝑥) ∙ (−4𝑥2)
10. Realiza estas potencias de monomios:
a) (𝑥3)2
b) (−3𝑥2)5 c) (−3𝑥2)4 d) (2𝑥4)3 e) (−4𝑥5)2 f) (−5𝑥6)9 g) (5𝑥2𝑦3)4 h) (−2𝑥5𝑦6)2 i) (−3𝑥7𝑦2)3
11. Divide los siguientes monomios:
a) 10𝑥6 ∶ 5𝑥5
b) 18𝑥7 ∶ (−6𝑥)
c) −35𝑥7 ∶ (7𝑥2)
d) −5𝑥3 ∶ (−3𝑥)
e) 2𝑥6 ∶ 7𝑥5
f) 8𝑥10 ∶ (−3𝑥3)
12. Reduce a un monomio:
a) 4𝑥2𝑦 ∶ (2𝑥𝑦)
b) 28𝑥3𝑦2 ∶ (4𝑥2𝑦2)
13. Dados los monomios 𝐴(𝑥) = 6𝑥2, 𝐵(𝑥) = 3𝑥4, 𝐶(𝑥) =1
2𝑥4𝑦 𝑦 𝐷(𝑥) = −2𝑥, realiza las
siguientes operaciones:
a) 𝐴(𝑥) + 𝐷(𝑥)
b) 𝐵(𝑥) − 𝐶(𝑥)
c) 𝐴(𝑥) − 𝐵(𝑥) + 𝐶(𝑥)
d) 𝐴(𝑥) ∙ 𝐷(𝑥)
e) 𝐵(𝑥) ∶ 𝐶(𝑥)
f) 𝐷(𝑥) ∙ 𝐵(𝑥)
g) 𝐴(𝑥) ∙ 𝐵(𝑥) ∙ 𝐶(𝑥)
h) 𝐴(𝑥) ∶ 𝐷(𝑥) ∙ 𝐵(𝑥)
14. Averigua en qué monomios se convierten las siguientes expresiones al sumar términos
semejantes:
a) −3𝑥2 + 5𝑥2 − 4𝑥2
b) 6𝑎𝑏𝑐−12𝑎𝑏𝑐+4𝑎𝑏𝑐
2
c) 5𝑥2𝑦 − 6𝑥2𝑦 + 3𝑥2𝑦
d) −4𝑧3𝑝4 + 7𝑝4𝑧3
15. ¿Cuáles de los siguientes monomios son de grado 7?
a) 3𝑥7
b) 9𝑏𝑐4𝑒
c) 5𝑥𝑦5
d) 13𝑧6𝑗
e) −6𝑧𝑎3𝑏𝑚2
f) 5𝑥2𝑦2𝑧3
16. Simplifica las siguientes expresiones:
a) (−2𝑥3)
2+𝑥6
5𝑥
b) (√3𝑥)4
∶ [(−2𝑥2)2 + 5𝑥4]
17. Ordena en forma decreciente estos polinomios:
a) 4𝑥3 − 2𝑥 + 𝑥4 + 8 − 7𝑥5 − 2𝑥3
b) 𝑥3 − 5𝑥6 − 8𝑥 + 2𝑥2 + 3𝑥4 − 5 + 𝑥5 c) 8𝑥5 − 2𝑥2 + 4𝑥3 + 15
d) 7𝑥 − 8𝑥4 + 𝑥2 − 4 + 2𝑥3
18. Dados 𝑃(𝑥) = 𝑥2 + 4𝑥 − 3 y 𝑄(𝑥) = 2𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥 − 3, calcula el valor numérico de:
a) P(x), para x = 0
b) P(x), para x = 1
c) P(x), para x = -2
d) Q(x), para x = 3
e) Q(x), para x = -2
f) Q(x), para x = 0
19. Indica cuáles de las siguientes expresiones algebraicas son polinomios:
a) 5𝑥3 + 2𝑥2 + 4𝑥 − 5
b) 4𝑥3 + 𝑥2 −4
𝑥− 3
c) −𝑥3 + 2𝑥2 + √5𝑥 + 1
d) 6𝑥3 − 𝑥 + 1 + 7𝑥2 + 5𝑥4
e) 5𝑥 − 5𝑥2 − 6𝑥3 + 4𝑥4 − 5
20. Escribe dos polinomios de cuarto grado completos y dos incompletos.
21. En los siguientes polinomios, indica cuáles son sus términos, sus coeficientes, el término
independiente, el grado y la indeterminada. Determina también si alguno de ellos es un binomio o
un trinomio:
a) 𝑃(𝑥) = 8𝑥5 − 3𝑥4 + 𝑥2 − 𝑥 + 5
b) 𝑄(𝑥) = 3𝑥4 − 5𝑥6 + 𝑥 − 1
c) 𝑅(𝑦) = −𝑦7 + 2𝑦3
d) 𝑆(𝑧) = 𝑧2 + 5𝑧 + 8
22. Escribe un polinomio que cumpla lo siguiente que se indica en cada uno de los apartados.
Señala además si, en cada caso, sólo hay un polinomio que cumpla esas condiciones:
a) Es completo, tiene cuatro términos, los coeficientes de los términos de grado impar son
opuestos, el del término de segundo grado es 1, el coeficiente del término de primer grado es 3 y el
término independiente es -4
b) Es de grado 4, los coeficientes de los términos de grado 3 y de grado 2 son iguales a 0.
23. Determina si los siguientes polinomios son completos o no y, en caso de no serlo, indica los
términos que faltan:
a) 𝑃(𝑥) = −2𝑥4 + 5𝑥2 + 4𝑥3 − 2𝑥 + 1
b) 𝑄(𝑥) = 4𝑥3 − 5𝑥 + 2
c) 𝑅(𝑥) = 3𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥
d) 𝑆(𝑥) = 𝑥4 − 3𝑥2 + 1
24. Calcula, para cada valor indicado de x, el valor numérico del polinomio 𝑃(𝑥) = 5𝑥3 −3𝑥2 + 2𝑥 − 1: a) x = 0
b) x = - 2
c) x = - 1
d) x = 2
e) x = 1
2
f) x = - 1
2
25. ¿Cuántos términos tiene un polinomio completo de grado cuatro? ¿y de grado siete?
26. ¿Qué grado tiene un polinomio completo con siete términos? ¿Y con diez?
27. Dado 𝑃(𝑥) = 𝑥4 − 3𝑥2, indica cuál de estos valores numéricos se ha calculado
correctamente, señalando en los demás los errores cometidos:
a) 𝑃(−1) = −14 − 3 − 12 = −1 − 3 − 1 = −5
b) 𝑃(−1) = −14 − 3 ∙ (−1)2 = −1 − 3 ∙ 1 = −5
c) 𝑃(−1) = (−1)4 − 3 ∙ (−1)2 = 1 − 3 ∙ 1 = −2
28. Indica si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones:
a) El polinomio 4𝑥3 + 5𝑥2 − 3𝑥 es completo
b) El coeficiente del término de grado 2 del polinomio 5𝑥4 + 3𝑥3 − 7𝑥2 + 4 es 7
c) El grado del polinomio −𝑥3 + 5𝑥2 − 𝑥5 + 2𝑥 − 6 es 5
d) Un polinomio de grado 4 completo tiene 5 términos
e) Dos polinomios pueden tener el mismo grado y diferente número de términos
f) Los coeficientes del polinomio 𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 + 1 son todos iguales
29. Comprueba con los valores numéricos que se indican que se cumple la siguiente igualdad:
(𝑥 + 2)4 = 𝑥4 + 8𝑥3 + 24𝑥2 + 32𝑥 + 16 a) x = 0
b) x = 1
c) x = -1
d) x = -2
30. Teniendo en cuenta que el polinomio 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 toma el valor numérico -2 para x = 0;
el valor 3 para x = -1 y el valor -4 para x = 2, calcula los coeficientes a, b y c.
31. La medida del radio menor de una corona circular es r, y la del mayor es R. Escribe la
expresión algebraica de su área.
32. Dados los polinomios 𝑃(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 + 1, 𝑄(𝑥) = 2𝑥4 − 𝑥2 + 3𝑥 y 𝑅(𝑥) = −𝑥3 + 3𝑥,
realiza las siguientes operaciones:
a) 𝑃(𝑥) − 𝑄(𝑥) + 𝑅(𝑥)
b) 𝑃(𝑥) ∙ 𝑄(𝑥) + 𝑅(𝑥)
c) [𝑃(𝑥) − 𝑄(𝑥)] ∙ 𝑅(𝑥)
d) 𝑃(𝑥) ∙ [𝑄(𝑥) + 𝑅(𝑥)]
33. Dados los polinomios 𝑃(𝑥) = 2𝑥4 − 𝑥3 +1
2𝑥2 − 3𝑥 + 1, 𝑄(𝑥) = 3𝑥3 + 𝑥2 −
2
3𝑥 + 2 y
𝑅(𝑥) = −4𝑥4 + 𝑥2 − 4, realiza las siguientes operaciones:
a) 𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥)
b) 𝑄(𝑥) − 𝑅(𝑥)
c) 𝑅(𝑥) − 𝑄(𝑥) + 𝑃(𝑥)
d) 𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥) + 𝑅(𝑥)
34. Rellena cada espacio con el coeficiente adecuado:
a) (2𝑥2 + ___𝑥 − 1) − (−3𝑥2 − 5𝑥 + ___) = 𝑥2 + 2𝑥 + 4
b) (3𝑥4 − 𝑥 + 2) − (___𝑥4 + ___𝑥 + ___) = 4𝑥4 + 3𝑥 + 3
c) (5𝑥3 + ___𝑥2 + ___) + (___𝑥3 + 𝑥2 − 2) = 2𝑥3 − 3𝑥2 − 3
35. Dados los polinomios:
𝑃(𝑥) =1
2𝑥4 + 2𝑥3 + 1
𝑄(𝑥) = 3𝑥3 − 4𝑥 − 2
𝑅(𝑥) = 4𝑥2 − 5𝑥 + 3
Realiza las siguientes operaciones:
a) 𝑃(𝑥) ∙ [𝑄(𝑥) + 𝑅(𝑥)] b) [𝑅(𝑥)]2 − 𝑃(𝑥)
c) 𝑥 ∙ [𝑄(𝑥) + 𝑥2 ∙ 𝑃(𝑥)] d) 2𝑥 ∙ 𝑄(𝑥) + 3𝑃(𝑥) + 𝑥2 ∙ 𝑅(𝑥)
36. Escribe el opuesto de estos polinomios:
a) 4𝑥3 − 5𝑥
b) −𝑥4 + 3𝑥3 − 5𝑥2 − 1
37. Efectúa las siguientes operaciones combinadas:
a) 3(𝑥2 + 𝑥 − 1)(𝑥2 + 5) − 5𝑥4 + 2𝑥 − 2(𝑥 + 3)(𝑥3 − 𝑥)
b) (2𝑥3 − 3𝑥2 + 𝑥 − 1)(𝑥 + 2) − (𝑥 − 3)(𝑥3 − 5)
38. Dados los polinomios:
𝑃(𝑥) = −𝑥2 − 5𝑥 + 1
𝑄(𝑥) = 2𝑥3 + 𝑥2 − 2
a) Súmalos y calcula el valor numérico de la suma para x = -2
b) Calcula el valor numérico de cada uno de ellos para x = -2 y suma los resultados
c) ¿Qué relación observas con los resultados de los apartados anteriores? ¿Se verificará
siempre para cualquier valor de x?
39. Efectúa las divisiones siguientes:
a) (4𝑥4 + 4𝑥3 − 25𝑥2 − 𝑥 + 6) ∶ (𝑥2 − 2𝑥 − 8)
b) (60𝑥4 − 12𝑥3 + 135𝑥2 − 27𝑥 − 8) ∶ (2𝑥2 − 𝑥)
40. Halla el dividendo de una división de polinomios sabiendo que el divisor es 𝑄(𝑥) = 2𝑥2 −2𝑥; el cociente, 𝐶(𝑥) = 2𝑥2 + 8𝑥 + 12, y el resto, 𝑅(𝑥) = 30𝑥 − 10
41. En una división de polinomios, el dividendo es 𝑥5 − 𝑥4 + 𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 − 1, el cociente es
𝑥3 − 𝑥2 + 2𝑥 − 2 y el resto es 3𝑥 − 3. Halla el divisor.
42. Realiza las siguientes divisiones:
a) (4𝑥4 + 5𝑥3 − 3𝑥2 − 5𝑥 − 1) ∶ (𝑥2 − 2𝑥 + 1)
b) (4𝑥4 − 8𝑥3 + 23𝑥2 − 28𝑥 + 12) ∶ (𝑥2 + 𝑥 − 2)
c) (𝑥4 + 7𝑥3 + 4𝑥2 − 12𝑥 + 2) ∶ (𝑥2 − 3𝑥 + 1)
d) (𝑥4 − 5𝑥3 − 2𝑥2 + 24𝑥 − 5) ∶ (𝑥2 + 4𝑥 − 2)
43. La división de 𝑥4 − 1 entre 𝑥2 − 1, ¿es exacta?. Halla el cociente y el resto
44. ¿Puede ser 3𝑥2 − 1 el resto de dividir un polinomio de quinto grado entre 2𝑥2 + 1?. Razona
tu respuesta
45. Realiza las siguientes divisiones:
a) (4𝑥 + 8) ∶ 4
b) (3𝑥4 + 8𝑥7) ∶ 𝑥3
c) (8𝑥5 + 6𝑥4 − 4𝑥2 − 10𝑥) ∶ (2𝑥)
d) (5𝑥3 − 10𝑥4 + 15𝑥2) ∶ (−5𝑥2)
e) (−6𝑥5 + 8𝑥4 − 3𝑥3) ∶ (−3𝑥2)
f) (𝑥4 − 3𝑥6 + 2𝑥3) ∶ (3𝑥3)
46. Realiza estos cálculos teniendo en cuenta la prioridad de las operaciones:
a) 15𝑥3 ∶ (3𝑥2 ∙ 5𝑥)
b) 15𝑥3 ∶ 3𝑥2 ∙ 5𝑥
c) 15𝑥3 ∶ 3𝑥2 ∶ 5𝑥
d) 15𝑥3 ∶ (3𝑥2 ∶ 5𝑥)
47. ¿Cómo es el resto de una división en la que el divisor es un polinomio de grado uno?
48. Si un polinomio de grado 4 se divide entre un polinomio de grado 2, ¿qué grado tiene el
cociente? ¿qué grado puede tener el resto?
49. Si el producto de 3 polinomios es 𝑥3 − 6𝑥2 − 𝑥 + 30 y dos de ellos son 𝑥 + 2 y 𝑥 − 5,
¿cuál es el tercero?
50. Halla el valor de k para que la división (3𝑥3 − 4𝑥2 + 3𝑥 − 𝑘) ∶ (𝑥2 − 1) sea exacta
51. Efectúa estas divisiones y comprueba que se cumple la regla de la división:
a) 3𝑥2−3𝑥+1
𝑥2+2𝑥−1
b) 4𝑥2−1
𝑥2+3
52. Ejecuta las siguientes divisiones aplicando la regla de Ruffini, e indica el cociente y el resto:
a) (3𝑥4 − 2𝑥2 + 𝑥 − 3) ∶ (𝑥 + 1)
b) (𝑥5 − 2𝑥3 − 𝑥 + 1) ∶ (𝑥 − 1)
c) (2𝑥3 − 𝑥2 + 3𝑥 − 1) ∶ (𝑥 + 2)
53. Calcula el resto de las siguientes divisiones sin necesidad de realizarlas. ¿Qué teorema has
utilizado?
a) (𝑥7 − 3𝑥2 + 1) ∶ (𝑥 − 1)
b) (𝑥101 − 2) ∶ (𝑥 + 1)
c) (𝑥5 − 2𝑥3 + 3) ∶ (𝑥 − 3)
54. Halla el valor de k en los siguientes polinomios teniendo en cuenta los datos indicados:
a) 𝑥3 + (𝑘 + 2)𝑥 + 1 es divisible entre (𝑥 + 1)
b) (𝑥4 + 𝑘𝑥2 + 2𝑥 + 1) ∶ (𝑥 − 1) tiene -4 de resto
c) 𝑥4 + 3𝑥3 + 𝑘𝑥2 + 𝑥 − 6 tiene por factor (𝑥 + 3)
55. Realiza las siguientes divisiones aplicando la regla de Ruffini, y escribe el cociente y el
resto:
a) (3𝑥3 + 2𝑥 + 1) ∶ (𝑥 + 1)
b) (𝑥5 − 2𝑥4 + 6) ∶ (𝑥 − 1)
c) (3𝑥3 + 3𝑥2 − 12𝑥 − 12) ∶ (𝑥 + 2)
d) (𝑥3 − 2𝑥2 − 𝑥 + 2) ∶ (𝑥 − 2)
56. Comprueba con la regla de Ruffini si los números 2 y -3 son soluciones de la ecuación 𝑥4 +3𝑥3 − 𝑥 − 3 = 0
57. Utiliza la regla de Ruffini para hallar el número k de forma que, al dividir el polinomio 𝑥3 +2𝑥2 + 𝑘 + 1 entre 𝑥 + 4, el resto sea 0.
58. Determina en cada caso el cociente y resto de la división de 𝑥5 + 2𝑥4 + 2𝑥3 − 6𝑥2 − 3𝑥 +4 entre:
a) 𝑥 − 1
b) 𝑥 + 1
c) 𝑥 − 2
d) 𝑥 + 2
59. Halla el cociente y el resto de las siguientes divisiones:
a) (𝑥5 − 32) ∶ (𝑥 − 2)
b) (𝑥3 − 27) ∶ (𝑥 − 3)
c) (𝑥3 + 1) ∶ (𝑥 + 1)
d) (𝑥2 + 16) ∶ (𝑥 + 2)
60. Halla el valor de k para que el resto de la división de 2𝑥3 + 𝑘𝑥2 − 13𝑥 + 6 entre 𝑥 − 2 sea
el valor dado en cada apartado:
a) 0
b) 6
c) 20
d) 25
61. Halla, utilizando la regla de Ruffini, el cociente y el resto de las siguientes divisiones:
a) (𝑥3 +1
2𝑥2 −
3
2𝑥 + 2) ∶ (𝑥 −
1
2)
b) (3
2𝑥3 +
5
4𝑥2 −
2
3𝑥 +
4
9) ∶ (𝑥 +
2
3)
62. Indica si se puede realizar la regla de Ruffini si el divisor de la división es:
a) 𝑥2 − 1
b) 3𝑥 − 2
c) 𝑥 −1
3
d) 𝑥2 − 𝑥
e) 𝑥 + 5
f) 𝑥2 + 4
63. Calcula, sin efectuar la división, el resto R de dividir el polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥5 − 2𝑥3 − 𝑥2 +𝑥 − 183 entre el binomio 𝑥 − 3
64. Halla, sin hacer la división, el resto de dividir el polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥4 − 3𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 + 4
entre 𝑥 − 2
65. Calcula, sin sustituir, el valor numérico del polinomio 𝑃(𝑥) = 2𝑥3 − 5𝑥2 − 4 para 𝑥 = −5
66. Determina, sin efectuar la división, si la división del polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 − 8𝑥 + 12
entre el binomio 𝑥 + 3 es exacta.
67. Halla el valor numérico de 𝑃(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥2 + 3𝑥 − 1, para estos valores de la variable x:
a) 𝑥 = 2
b) 𝑥 = −2
c) 𝑥 = −1
d) 𝑥 = −3
e) 𝑥 = 0
f) 𝑥 = 1
68. Halla, mediante dos métodos diferentes, el valor numérico de los polinomios siguientes para
los valores de la variable que se indican:
a) 𝑃(𝑥) = 3𝑥4 − 5𝑥2 − 2𝑥 + 11, para 𝑥 = 4
b) 𝑃(𝑥) = 4𝑥4 − 6𝑥3 + 2𝑥 − 8, para 𝑥 = −2
c) 𝑃(𝑥) = 9𝑥5 − 4𝑥3 + 3𝑥 − 7, para 𝑥 = 2
69. Calcula, sin hacer la división, el valor de k para que el polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥4 + 3𝑥 + 𝑘 sea
divisible entre 𝑥 + 2
70. Sin hacer la división, halla k para que el polinomio 𝑥3 − 𝑘𝑥2 + 𝑥 + 6 sea divisible entre
𝑥 + 2
71. ¿Son ciertas las siguientes afirmaciones?
a) Un factor de 𝑥2 − 1 es 𝑥 + 1
b) Un factor de 𝑥2 + 1 es 𝑥 − 1
72. Sin hacer la división, di si estas divisiones son exactas o no. En caso de que no sean exactas,
indica cuál es el resto
a) (𝑥5 + 𝑥3 + 4𝑥2 + 6𝑥 + 2) ∶ (𝑥 − 1)
b) (3𝑥4 + 𝑥3 − 3𝑥2 + 𝑥 + 1) ∶ (𝑥 − 2)
73. Calcula el resto de la división 𝑀(𝑥) ∶ (𝑥 − 6) sabiendo que 𝑀(6) = 3
74. ¿Es divisible entre (𝑥 + 3) el polinomio 𝑥9 + 39?
75. Extrae factor común:
a) 4𝑥2 + 6𝑥 + 8
b) 12𝑥 + 15𝑥2 + 21𝑥3
c) 5𝑥4 − 10𝑥6 + 25𝑥2 + 15
d) 12𝑥3 − 30𝑥 + 6𝑥4
76. Factoriza los siguientes polinomios sin utilizar la regla de Ruffini:
a) 4𝑥2 − 10𝑥
b) 81 − 36𝑥4
c) 36𝑥2 − 12𝑥 + 1
d) 25 − 𝑥2
77. Extrae factor común en las siguientes expresiones:
a) 5𝑥7 − 3𝑥3 + 2𝑥4
b) 6𝑥3 + 4𝑥2 − 8𝑥4
c) 4𝑥 − 𝑥3 − 2𝑥2
d) 10𝑥4 − 5𝑥2
e) 9𝑥6 − 3𝑥3 + 6𝑥2
f) 10𝑥 − 4𝑥2 + 2𝑥6
g) 3𝑥6 + 9𝑥3 − 12𝑥9
h) 12𝑥3 − 18𝑥
78. Calcula las siguientes potencias:
a) (𝑚 + 2𝑛)2
b) (−5 + 9𝑏)2
c) (−3𝑥 + 𝑦)2
d) (2 − 3𝑏)2
79. Utiliza la factorización 𝑎2 − 𝑏2 para calcular mentalmente las siguientes operaciones:
a) 252 − 52
b) 652 − 352
c) 1252 − 252
d) 6002 − 4002
80. Si es posible, expresa los siguientes polinomios en forma de potencia
a) 4𝑥2 + 4𝑥 + 1
b) 100𝑦2 + 4 − 40𝑦
81. Efectúa estas operaciones:
a) (2𝑥2 − 3𝑦)2
b) (3𝑥 − 2𝑦)2
c) (3𝑥3 − √𝑥)2
d) (2𝑥4 + 𝑥2)2
e) (5𝑎 + 3𝑏) ∙ (5𝑎 − 3𝑏)
f) (2𝑥𝑦 + 4𝑧𝑡) ∙ (2𝑥𝑦 − 4𝑧𝑡)
82. Expresa los siguientes polinomios con una identidad notable:
a) 𝑥2 + 2𝑥 + 1
b) 𝑥2 − 4𝑥 + 4
c) 𝑥2 −1
25
d) 4𝑥2 + 16𝑥 + 16
83. Encuentra los errores que hay en cada una de las siguientes identidades y, después, escríbelas
correctamente:
a) (2𝑥 + 3)2 = 2𝑥2 + 12𝑥 + 9
b) (3𝑥 − 5𝑦)2 = 9𝑥2 − 15𝑥𝑦 − 25𝑦2
c) (2𝑥3 + 2)(2𝑥3 − 2) = 4𝑥3 − 4
84. Halla las raíces enteras de estos polinomios:
a) 2𝑥3 + 5𝑥2 − 23𝑥 + 10
b) 3𝑥3 + 4𝑥2 − 13𝑥 + 6
c) 𝑥4 − 5𝑥2 + 4
d) 4𝑥4 + 𝑥3 − 11𝑥2 + 6𝑥
85. Escribe un polinomio que sólo tenga como raíces los números 1, 2 y 3. ¿Existen más
polinomios que verifiquen esas condiciones? ¿Por qué?
86. Escribe un polinomio que tenga como raíces 0,5; 2 y 4
87. Escribe un polinomio cuyas raíces sean -3, 0 y 3
88. Escribe un polinomio que tenga dos raíces iguales a 1 y dos raíces iguales a -1
89. Calcula las raíces de los siguientes polinomios y factorízalos
a) 𝑃(𝑥) = 𝑥2 − 144
b) 𝑄(𝑥) = 𝑥2 + 12𝑥 + 32
c) 𝑅(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 − 2
d) 𝑆(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 + 6
90. Dado el siguiente polinomio:
𝑃(𝑥) = 27𝑥3 − 108𝑥2 − 3𝑥 + 12 a) ¿Cuántas raíces reales puede tener como máximo?
b) ¿Puede ser 𝑥 = 5 raíz del polinomio?
c) ¿Es 𝑥 = 1 raíz del polinomio? ¿Y 𝑥 = 4?
91. Halla las raíces enteras de los siguientes polinomios:
a) 𝑃(𝑥) = 3(𝑥 − 1) ∙ (𝑥 + 2) ∙ (𝑥 − 4)
b) 𝑄(𝑥) = 2(𝑥 − 5)3
c) 𝑅(𝑥) = (𝑥 + 6)2 ∙ (𝑥 − 1)2
92. Factoriza los siguientes polinomios:
a) 𝑃(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 − 6𝑥
b) 𝑄(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥2 − 4𝑥 − 12
c) 𝑅(𝑥) = 𝑥3 − 6𝑥2 + 12𝑥 − 8
d) 𝑆(𝑥) = 𝑥3 − 9𝑥
93. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
a) Si (𝑥 + 6) divide a 𝐿(𝑥), entonces 6 es una raíz de 𝐿(𝑥)
b) Si 𝐺(−5) = 0, (𝑥 + 5) es un factor de 𝐺(𝑥)
c) Un polinomio de grado 5 no puede tener 6 raíces
d) Un polinomio con término independiente igual a 0 posee al menos una raíz
e) 5𝑥7 − 4𝑥7 − 2𝑥7 es un trinomio
94. Si el polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥2 − 𝑘𝑥 + 𝑡 tiene una raíz doble en 𝑥 = 2, ¿Cuánto valen k y t?
95. Descompón los siguientes polinomios en factores sacando factor común, aplicando las
identidades notables o con ayuda de la regla de Ruffini, según convenga:
a) 𝑥3 − 4𝑥2 − 5𝑥
b) 𝑥3 − 4𝑥2 + 4𝑥
c) 𝑥4 − 5𝑥3 + 3𝑥2 + 9𝑥
d) 𝑥4 − 16
e) 3𝑥4 − 3𝑥2
f) 𝑥4 − 2𝑥3 − 8𝑥2
UNIDAD 5
ECUACIONES E INECUACIONES
4. OTROS TIPOS DE ECUACIONES
Ecuaciones irracionales
Se llaman ecuaciones irracionales a aquellas que tienen la incógnita bajo el signo radical.
Para resolver una ecuación irracional, seguimos los siguientes pasos:
- Aislamos el radical en un miembro de la ecuación, pasando los restantes términos al otro
miembro
- Elevamos ambos miembros al cuadrado, con lo que el radical que hemos separado
desaparece
- Resolvemos la ecuación resultante
- Comprobamos en la ecuación inicial las soluciones obtenidas, ya que al elevar al cuadrado
la ecuación resultante puede tener otras soluciones que no lo sean de la ecuación inicial.
2𝑥 + √1 + 𝑥 = 3𝑥 − 5
√1 + 𝑥 = 3𝑥 − 5 − 2𝑥
√1 + 𝑥 = 𝑥 − 5
(√1 + 𝑥)2
= (𝑥 − 5)2
1 + 𝑥 = 𝑥2 − 10𝑥 + 25
𝑥2 − 11𝑥 + 24 = 0
𝑥 =11 ± √(−11)2 − 4 ∙ 1 ∙ 24
2 ∙ 1=
11 ± √25
2=
11 ± 5
2→ {
𝑥 = 8𝑥 = 3
}
Comprobamos las soluciones
𝑥 = 8 → 16 + √1 + 8 = 24 − 5 → 16 + 3 = 19 → 19 = 19 es cierto, luego esta
solución es válida
𝑥 = 3 → 6 + √1 + 3 = 9 − 5 → 6 + 2 = 4 → 8 = 4 no es cierto, luego esta solución no
es válida
EJERCICIOS.
1. Resuelve las ecuaciones siguientes:
o) 2(𝑥−1)
7−
𝑥−5
2= −1
p) 𝑥−2
5+
𝑥−3
3−
𝑥−4
2= 1
q) 3𝑥 −𝑥−4
3= 2(𝑥 + 6)
r) 6𝑥 +2𝑥
3=
4𝑥+3
5+ 1
2. Resuelve estas ecuaciones:
a) 4[𝑥 − 3(𝑥 − 4) + 6𝑥] = 18 − 𝑥
b) 2𝑥−4
6−
𝑥−2
3=
𝑥+4
4− 4
c) 𝑥−2
7+ 𝑥 =
𝑥−6
3+ 9
d) 𝑥+3
2−
𝑥−3
4+
𝑥
3= 11
e) 10−3𝑥
4−
𝑥−1
3= 17
3. Expresa estos enunciados en forma de ecuación
a) La suma de dos números consecutivos es 19
b) Un número más su tercera parte es 16
c) Tres números pares consecutivos suman 42
4. Explica razonadamente cuáles de estas ecuaciones son equivalentes:
a) 2𝑥 − 6 = 0
b) (𝑥 − 3) ∙ (𝑥 + 3) = 0
c) 2𝑥2 = 18
d) 3𝑥 = 9
5. ¿Cuánto ha costado el abrigo nuevo de Patricia si la cuarta parte del dinero que ha pagado
por él más la sexta parte de su precio son 20 euros?
6. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 2𝑥+3
3+
7𝑥−5
4= 7
b) 2
3(
𝑥
4− 1) −
𝑥−1
2= 2𝑥
c) 1 −2(𝑥−1)
5=
3(2−𝑥)
2
7. Resuelve estas ecuaciones:
a) 5𝑥 + 2 − 3𝑥 + 6 − 𝑥 + 2𝑥 = 3𝑥 − 2𝑥 − 3 + 1
b) −2𝑥 + 3 − 5 + 𝑥 = 7𝑥 − 2𝑥 + 6𝑥 − 4
c) 8 + 2𝑥 + 6𝑥 − 10𝑥 − 6 − 4 = 11𝑥 − 4𝑥 − 6 + 13 + 2
d) −5(𝑥 − 2) + 3(𝑥 + 1) + 7 − 4𝑥 = −9𝑥 + 1 + 2(𝑥 − 6)
e) 2(𝑥 − 6) − 3(𝑥 − 1) + 10 = −4𝑥 − 5(3 − 𝑥)
f) 3(5 − 𝑥) + 2𝑥 + 2 + 2(𝑥 + 3) = −5(𝑥 − 3)
g) 6𝑥 − 4(𝑥 − 7) + 2 = 10 + 5(𝑥 + 3) − 2
h) 3(2𝑥 + 1) − 4(5 − 3𝑥) + 2 = −(𝑥 − 1) + 3𝑥 + 6
i) −7 + 3(1 + 2𝑥) − 10𝑥 = −2(4 + 𝑥) − 6
8. Indica los errores que se han cometido en cada caso, corrígelos y resuelve las ecuaciones:
a) 4(𝑥 − 2) − 3(𝑥 − 2) = 2𝑥 → 4𝑥 − 8 − 3𝑥 − 6 = 2𝑥
b) −5𝑥 + 2 = −8 → −5𝑥 = −10 → 𝑥 = −2
c) 𝑥+5
2−
𝑥−6
3= 𝑥 → 3𝑥 + 15 − 2𝑥 − 12 = 𝑥
9. Resuelve esta ecuación:
3(𝑥 + 5) − 3 = 2(𝑥 + 1) + 𝑥 + 10
a) ¿Qué ocurre cuando intentas despejar la incógnita?
b) ¿Quiere decir esto que x = 0?
c) Comprueba si x = -1, x = 2 y x = 5 son soluciones de la ecuación
d) Prueba si otros valores cualesquiera de la incógnita verifican la ecuación
e) Explica por qué podemos afirmar que la ecuación anterior tiene infinitas soluciones, es decir,
que cualquier valor de la incógnita es solución de la ecuación
10. Cuando una ecuación cumple lo indicado en el ejercicio anterior se dice que es una
identidad. Determina cuáles de las siguientes ecuaciones son identidades:
a) 7𝑥 − 3𝑥 + 5 − 𝑥 = 3(𝑥 + 1) + 2
b) 5(2 − 𝑥) + 6(𝑥 − 3) = −4(𝑥 + 1) + 5𝑥 − 4
c) 4𝑥 − 3(2𝑥 + 3) + 1 = −𝑥 − 8
d) – (𝑥 + 6) + 2(8 + 𝑥) − 𝑥 = 5(5 − 𝑥)
11. Resuelve la siguiente ecuación:
8𝑥 − 2(𝑥 + 3) − 4 = 4(𝑥 − 1) + 2𝑥 − 2
a) ¿Qué ocurre cuando intentas despejar la incógnita?
b) Observa la última ecuación equivalente que has obtenido. ¿Hay algún valor de la incógnita
que la verifique?
c) ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación?
12. Determina cuáles de las siguientes ecuaciones no tienen solución:
a) 4𝑥 − 5 + 2𝑥 − 3 = 6(𝑥 − 2) + 3
b) −(7 + 2𝑥) − 5𝑥 = 3(𝑥 − 1) + 6(𝑥 + 2)
c) 2(4𝑥 − 1) − 3(𝑥 − 2) = 5(2 + 𝑥) + 3
d) −2(1 − 3𝑥) + 4𝑥 − 3 = 4(3 + 𝑥) + 5(𝑥 − 3) + 𝑥
13. Decide si las siguientes expresiones son identidades o ecuaciones:
a) 3(2𝑥 − 5) = 2(3𝑥 − 5)
b) (2𝑥 − 3)(2𝑥 + 3) = 2𝑥2 − 9
c) (𝑥2 − 2)2 = 𝑥4 − 4
d) √𝑥5 ∙ √𝑥 = 𝑥3
14. Decide en cada caso si el valor dado es solución de la ecuación:
a) 5(𝑥 + 3) + 2𝑥3 = (𝑥 − 3)2 − 8; 𝑥 = −1
b) √12 − 𝑥 + 𝑥 = 0; 𝑥 = 3
c) 𝑥(𝑥 + 1)(𝑥 + 2)(𝑥 + 3) = 0; 𝑥 = −2
15. Si en el bolsillo tengo igual número de monedas de 20 y 50 céntimos. Si en total suman 6,30
€, ¿cuántas monedas de cada tipo tengo?
16. Si al doble de un número le resto su mitad, obtengo el mismo resultado que si a 40 le resto
dicho número. Halla el número
17. Halla tres números consecutivos tales que su suma es igual al doble del menor más 10.
18. Expresa en forma de ecuación:
a) Un número, su doble y su mitad suman 14
b) Tres múltiplos de 5 consecutivos suman 165
c) Un padre dobla la edad a su hijo y entre los dos suman 75 años
d) La mitad del área de una parcela menos 200 𝑚2 es igual a la tercera parte de la parcela
original
19. Decide si los valores dados son soluciones de las ecuaciones
a) 𝑥2 + 3𝑥 − 4 = 0; 𝑥 = 0 𝑦 𝑥 = 3
b) (𝑥 − 1)4 − 2(𝑥 + 6) = 6; 𝑥 =1
2 𝑦 𝑥 = −1
c) 𝑥 = √8 + 𝑥 − 2; 𝑥 = −4 𝑦 𝑥 = 1
d) 4(3𝑥2 + 2) = 2(5 − 𝑥)
20. José ha ganado un premio. Si lo reparte entre sus nietos, cada uno recibirá 3000 €, pero si lo
distribuye entre sus hijos, que son dos menos, cada uno tocará a 1000 € más. ¿Cuántos nietos tiene
José? ¿Cuánto dinero ha ganado en el premio?
21. Un padre tiene 50 años, y su hijo, 20.¿Cuántos años hace que la edad del hijo fue la tercera
parte de la del padre?
22. ¿Cuál es el número natural cuya cuarta parte es igual a la mitad del número anterior?
23. Expresa estas ecuaciones en su forma general e indica cuáles son completas y cuáles
incompletas:
a) 3𝑥2 − 5𝑥 − 𝑥2 + 5 = −𝑥 + 3
b) 6𝑥2 − 4 = 4𝑥2 + 5
c) 7𝑥 − 8𝑥2 − 6𝑥 = 4 − 𝑥
d) 4𝑥2 − 𝑥 + 3𝑥 = 3
e) – 𝑥2 − 3𝑥 + 6 = 3(2 − 𝑥)
f) (𝑥 + 4)2 = 16
24. Indica los valores de a, b y c de las ecuaciones del ejercicio anterior.
25. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) −3𝑥2 = 0
b) 𝑥2 − 1 = 0
c) 𝑥2 − 𝑥 = 0
d) 𝑥2 − 4 = 0
e) 2𝑥2 − 6𝑥 = 0
f) 2𝑥2 + 2 = 0
g) 4𝑥2 + 8𝑥 = 0
h) 3𝑥2 − 27 = 0
i) 5𝑥2 − 𝑥 = 0
j) 9𝑥2 − 4 = 0
k) 7𝑥2 + 7 = 0
l) −16𝑥2 + 1 = 0
26. Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones de segundo grado:
a) 3𝑥2 = 3
b) 6𝑥2 = 4𝑥
c) 0 = 7𝑥2 − 14
d) 0 = 5𝑥2 − 25𝑥
e) 9𝑥2 = 16
f) −7𝑥2 = 𝑥
g) 2(𝑥2 + 1) = 5𝑥 + 2
h) 3𝑥2 − 5𝑥 + 𝑥 = 9 − 4𝑥
i) (𝑥 + 2)2 − 3 = 4(𝑥 − 2)
j) (𝑥 − 1)(𝑥 + 3) + 3𝑥2 = 3(𝑥 − 1)
27. Indica si las siguientes afirmaciones sobre las ecuaciones de segundo grado incompletas son
verdaderas o falsas:
a) Siempre tienen solución.
b) Si tienen solución, siempre han de ser dos valores opuestos.
c) Si no tienen término de grado cero, entonces x = 0 es una solución.
28. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 𝑥2 + 4𝑥 − 5 = 0
b) 𝑥2 + 2𝑥 − 8 = 0
c) 𝑥2 + 6𝑥 + 9 = 0
d) 𝑥2 − 9𝑥 + 18 = 0
e) 𝑥2 + 2𝑥 + 6 = 0
f) 𝑥2 + 9𝑥 + 14 = 0
g) – 𝑥2 − 4𝑥 − 3 = 0
h) – 𝑥2 + 2𝑥 − 5 = 0
i) 5𝑥2 − 21𝑥 + 4 = 0
j) 2𝑥2 + 7𝑥 + 3 = 0
k) 2𝑥2 + 4𝑥 + 3 = 0
l) 16𝑥2 − 8𝑥 + 1 = 0
m) −2𝑥2 − 9𝑥 + 5 = 0
n) 3𝑥2 + 𝑥 − 4 = 0
29. Resuelve estas ecuaciones y expresa la solución extrayendo factores del signo radical y
simplificando:
a) 𝑥2 + 2𝑥 − 9 = 0
b) 𝑥2 − 6𝑥 + 4 = 0
c) 𝑥2 + 6𝑥 + 3 = 0
d) 𝑥2 − 2𝑥 − 2 = 0
30. Resuelve estas ecuaciones:
a) 3(𝑥 − 2)(𝑥 + 2) = 𝑥 − 10
b) (𝑥 + 1)2 − (𝑥 + 2)(𝑥 + 4) + 2 = 2(−1 − 𝑥) − 𝑥2
31. Determina, sin resolverlas, el número de soluciones que tienen las siguientes ecuaciones:
a) 8𝑥2 − 10𝑥 − 3 = 0
b) 9𝑥2 + 12𝑥 + 4 = 0
c) – 𝑥2 + 5𝑥 + 8 = 0
d) −5𝑥2 + 3𝑥 − 3 = 0
e) −2𝑥2 + 5𝑥 − 1 = 0
f) 𝑥2 + 4𝑥 − 3 = 0
g) 𝑥2 + 12𝑥 + 36 = 0
h) 𝑥2 − 4𝑥 + 89 = 0
32. Descompón en factores, si es posible, los siguientes polinomios:
a) – 𝑥2 + 7𝑥 − 10
b) −9𝑥2 + 28𝑥 − 3
c) 𝑥2 + 16𝑥 + 64
d) 𝑥2 − 9𝑥 + 18
e) 24𝑥2 + 2𝑥 − 1
f) 3𝑥2 − 4𝑥 + 5
g) 4𝑥2 + 4𝑥 + 1
h) −𝑥2 + 6𝑥 + 10
i) 𝑥2 + 7𝑥 − 10
j) 9𝑥2 + 36𝑥 + 36
33. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
a) Si los tres coeficientes de una ecuación de segundo grado son iguales, esta no tiene solución.
b) Si el término independiente de una ecuación de segundo grado es positivo, entonces la
ecuación no tiene solución.
c) Es imposible que una ecuación de segundo grado completa tenga por solución x = 0.
d) Si los coeficientes de una ecuación de segundo grado son negativos, esta no tiene solución.
34. Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean las que se indican en cada
apartado:
a) 𝑥 = −1 𝑦 𝑥 = 3
b) 𝑥 = 0 𝑦 𝑥 = −4
c) 𝑥 =1
5 𝑦 𝑥 = −5
d) 𝑥 = 5 𝑦 𝑥 = −5
e) 𝑥 = 3 𝑦 𝑥 = 0
f) 𝑥 =2
3 𝑦 𝑥 =
1
4
35. Indica qué error se ha cometido en cada caso, corrígelo y halla las soluciones correctas:
a) 2𝑥2 + 11𝑥 − 6 = 0
𝑥 =11 ± √112 − 4 ∙ 2 ∙ (−6)
2 ∙ 2=
11 ± √169
4
b) 3𝑥2 − 14𝑥 + 8 = 0
𝑥 =14 ± √(−14)2 − 4 ∙ 3 ∙ 8
2=
14 ± √100
2
c) 𝑥2 + 𝑥 − 6 = 0
𝑥 =−1 ± √12 − 4 ∙ 1 ∙ (−6)
2=
−1 ± √18
2
d) 𝑥2 − 3𝑥 − 18 = 0
𝑥 =3 ± √(−3)2 − 4 ∙ 1 ∙ 18
2=
3 ± √−63
2
36. Resuelve las siguientes operaciones:
a) (3 − 𝑥)2 − 4(𝑥 − 1) + 5 = 2(6 − 𝑥) + 6
b) (2𝑥 + 1)2 − 3(𝑥 − 2) + 4𝑥 = (𝑥 + 2)(𝑥 − 1) + 8
c) (𝑥 − 5)(3 − 𝑥) + 4𝑥2 + 5 = −(𝑥 − 3)2 − 1
d) (𝑥 − 4)(𝑥 + 4) + (𝑥 − 2)2 = 4(1 − 𝑥) + 2
e) 𝑥(𝑥 − 3) + 2 = 𝑥2 + 5
f) (𝑥 + 1)2 + 4𝑥 = 𝑥 + 1
g) 2𝑥(𝑥 − 4) + 3(𝑥 − 1) = −5(𝑥 + 1) + 2
37. Determina el valor de k para que la ecuación 𝑥2 + (𝑘 + 1)𝑥 + 9 = 0 tenga dos soluciones
iguales.
38. Halla k sabiendo que una de las soluciones de la ecuación 𝑥2 + (𝑘 + 5)𝑥 + 12 = 0 es -4.
Razona cuál es la otra solución.
39. Halla k para que la ecuación 𝑥2 + 9𝑥 + 11 + 𝑘 = 0 tenga una solución que sea el doble de
la otra.
40. Un número natural y su cuadrado suman 30. Escribe la ecuación correspondiente y averigua
de qué número se trata.
41. Clasifica y resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 𝑥4 − 5𝑥2 + 4 = 0
b) 2𝑥4 − 16𝑥 = 0
c) 𝑥4 − 26𝑥2 = −25
d) 𝑥6 − 64𝑥3 = 0
e) 𝑥4 − 4𝑥2 = 0
f) 3𝑥3 − 12𝑥2 + 12𝑥 = 0
42. Halla las soluciones de estas ecuaciones de tercer grado:
a) 𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0
b) 𝑥3 − 6𝑥2 + 3𝑥 + 10 = 0
c) 𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0
43. Encuentra las soluciones de la siguientes ecuaciones con radicales:
a) 𝑥 + √𝑥 = 2
b) √𝑥2 + 5𝑥 + 1 = 𝑥 + 2
c) √40 − 𝑥2 + 4 = 𝑥
d) √6 + 𝑥 + 2𝑥 = −2
e) 2√42 − 𝑥 + 𝑥 = 39
f) √𝑥 − 2 + 2𝑥 = 25
g) 3√𝑥 + 1 − 𝑥 − 1 = 0
44. Halla la solución de estas ecuaciones bicuadradas:
a) 𝑥4 − 10𝑥2 + 9 = 0
b) 3𝑥4 − 15𝑥2 + 12 = 0
c) 𝑥4 − 20𝑥 + 64 = 0
d) 𝑥4 − 26𝑥 + 25 = 0
45. Encuentra la solución de estas ecuaciones:
a) −2𝑥3 + 4𝑥2 + 18𝑥 − 36 = 0
b) 4𝑥3 − 24𝑥2 + 48𝑥 − 32 = 0
c) 𝑥3 + 2𝑥2 − 13𝑥 + 10 = 0
d) 𝑥3 + 3𝑥2 − 4𝑥 − 12 = 0
e) 8𝑥3 + 12𝑥2 + 6𝑥 + 1 = 0
f) 25𝑥4 − 9 = 0
g) 𝑥5 − 16𝑥3 = 0
h) 5(𝑥 + 3)(𝑥 − 6)(𝑥 + 1) = 0
46. Halla la solución de estas ecuaciones con radicales:
a) 𝑥 − √𝑥 − 6 = 0
b) √8 − 𝑥 = 2 − 𝑥
c) 𝑥 + √𝑥 − 1 − 3 = 0
47. Sabemos que la ecuación P(x) = 0 tiene 3 soluciones. Indica a qué intervalo pertenecen dos
de ellas y cuál es el valor de la otra si se cumple que:
a) P(-5) > 0
b) P(-4) > 0
c) P(3) > 0
d) P(-1) < 0
e) P(0) = 0
f) P(5) < 0
g) P(-2) < 0
h) P(1) > 0
i) P(6) < 0
48. La suma del inverso de un número más la mitad del inverso de su cuadrado es 12. Halla
dicho número.
49. En una fiesta de fin de curso hay doble número de mujeres que de hombres y el cuádruple
de niños que de hombres y mujeres juntos. Sabiendo que en total hay 585 personas, ¿cuántos
hombres, mujeres y niños hay?
50. Carmen y Luisa tienen 48 discos de música entre las dos. Si Carmen le da a Luisa 4 discos,
entonces Luisa tendrá el triple de discos que Carmen. ¿Cuántos discos tiene Carmen?
51. Halla, redondeando a las centésimas, el área de un cuadrado cuya diagonal mide 2 m más
que el lado.
52. El perímetro de un rectángulo mide 20 m y su área es de 21 𝑚2. Halla lo que miden los lados
del rectángulo.
53. Averigua dos números naturales consecutivos tales que la diferencia de sus cubos es 469.
54. Añadiendo dos unidades a un número se obtiene la raíz cuadrada del triple de dicho número
aumentado en 10 unidades. Halla ese número.
55. La mitad de la raíz cuadrada de un número es igual a la novena parte de ese número
disminuida en una unidad. Calcula dicho número.
56. La suma de las dos cifras de un número es 16. Cuando se invierten las dos cifras, se obtiene
un número 18 unidades mayor. Halla ese número.
57. La edad actual de un padre es el triple que la de su hija. Hace 7 años, la suma de las edades
era igual a la edad actual del padre. ¿Cuántos años tienen?
58. Si a uno de los lados de un cuadrado se le aumenta su longitud en 5 centímetros y a su lado
contiguo en 3 centímetros, el área de la figura aumenta en 71 centímetros cuadrados. Calcula el lado
del cuadrado.
59. Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medida, en centímetros, tres números enteros
consecutivos. Halla dichos lados.
60. En una tienda de comercio justo hay dos tipos de café: uno procedente de Ecuador, en el que
cada paquete cuesta 1,30 euros, y otro de Colombia, a 1,65 € el paquete.
Averigua cuántos paquetes de cada tipo se pueden adquirir con 25 euros si se quiere comprar el
doble de paquetes de Colombia que de Ecuador.
61. Estudia cuáles de los siguientes valores son solución de la inecuación 3𝑥 + 5 < 2𝑥 − 1:
0, 1, −1, 5, −5, 6, −6, 7, −7, 10, −10
62. Resuelve las siguientes inecuaciones y representa las soluciones en una recta:
a) 𝑥 + 3 > 9
b) 2𝑥 − 8 ≤ 4 + 3𝑥
c) 7 − 𝑥 ≥ 0
d) −5𝑥 + 2 < 3𝑥 − 1
e) 2(𝑥 − 3) < 𝑥 + 2
f) 5 − 2𝑥 + 4(𝑥 + 1) ≤ 5(𝑥 − 2)
g) −3(𝑥 + 2) ≥ −𝑥 − 2
h) 4 + 𝑥 − 2(𝑥 + 1) > 3(𝑥 + 4) − 7
63. Resuelve:
a) {3𝑥 < 92𝑥 ≥ 6
b) {6𝑥 − 1 > 8
−3𝑥 > 3
c) {5𝑥 − 1 > 2(𝑥 − 1)
−2𝑥 + 2 ≤ 0
d) {3𝑥 − 2 > 4𝑥 − 1
2𝑥 < −6
64. Averigua si los siguientes pares de inecuaciones tienen las mismas soluciones:
a) −2𝑥 ≥ 3 𝑦 𝑥 ≥ −3
2
b) 𝑥 ≥ −8 𝑦 − 4𝑥 < 8
c) −3𝑥 > 6 𝑦 𝑥 < −2
d) 𝑥 ≤ 2 𝑦 − 8𝑥 ≥ 4
e) 5𝑥 + 3 < 8 𝑦 5𝑥 < 5
f) 4𝑥 − 2 ≥ 6 𝑦 4𝑥 ≤ 8 65. Comprueba si los valores de x que se indican son solución de cada inecuación:
a) 8𝑥 − 2 < 0, 𝑥 = 4, 𝑥 = 0
b) 3𝑥 + 5 ≥ 2(𝑥 − 1), 𝑥 = 1, 𝑥 = 4
c) 5(−2𝑥 − 1) > 2𝑥 + 4, 𝑥 = −4, 𝑥 = −2
d) (2𝑥 − 3) − (3𝑥 + 1) ≤ 4 − 𝑥, 𝑥 =3
4, 𝑥 = 6
66. Resuelve:
a) 3(𝑥−1)
2+ 𝑥 − 5 ≥
1
2
b) 𝑥
5− 2(𝑥 − 1) <
5𝑥+2
3
c) −2(𝑥+1)
5≥
4−𝑥
2
d) 5𝑥+3
2−
2(𝑥−5)
3+ 5 ≤
3−𝑥
4
67. Escribe las siguientes informaciones utilizando desigualdades:
a) He sacado, por lo menos, un 7 en el examen.
b) Estoy en la oficina de ocho de la mañana a seis de la tarde.
c) Carlos necesita correr por debajo de 16 segundos para clasificarse en una prueba.
d) En algunas atracciones del parque temático exigen una altura superior a 1,20 metros.
e) He pasado el kilómetro 125 de la A-42, pero aún no he llegado al 145.
68. Resuelve:
a) 7𝑥 − 2(1 − 3𝑥) ≤ 2𝑥 + 3
b) 2(5𝑥+1)
3≤ −4(𝑥 − 3) +
5
2
c) 5𝑥 −2
3< 4(3𝑥 − 6) − 2𝑥
d) 𝑥
3≥
5
6− 𝑥
e) 5 >3𝑥+1
2
f) 4𝑥−3
2≥ 𝑥 + 1
69. Resuelve las inecuaciones siguientes teniendo en cuenta el conjunto al que deben pertenecer
las soluciones:
a) 9𝑛 − 4(5 − 𝑛) ≥ 2(𝑛 − 7) − 11𝑛 − 6, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑛 𝜖 ℕ
b) 7𝑧 + 3 − 2(𝑧 − 1) < 8𝑧 − 5(𝑧 − 1) + 4, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑧 𝜖 ℤ
70. Resuelve las inecuaciones siguientes:
a) 2𝑥2 − 3𝑥 − 2 < 0
b) 2𝑥2 − 3𝑥 + 1 < 0
c) 𝑥2 − 6𝑥 < −9
d) 𝑥 − (𝑥 − 2)2 > −4
e) 4𝑥2 − 𝑥 − 3 ≥ 0
f) 4𝑥2 − 7𝑥 + 3 > 0
g) 2𝑥2 − 50 > 0
h) 4𝑥2 − (𝑥 + 2)2 − 3 > 0
71. Resuelve las inecuaciones siguientes teniendo en cuenta el conjunto al que deben pertenecer
las soluciones:
a) (𝑛 + 3)(𝑛 − 6) ≤ 0, 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑛 𝜖 ℕ
b) 𝑧2 − 3𝑧 − 28 ≤ 0, 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑧 𝜖 ℤ
72. Comprueba si los valores que se indican son solución de cada inecuación:
a) 𝑥2 − 2𝑥 < 0, 𝑥 = 5, 𝑥 = 1
b) 𝑥2 − 𝑥 − 7 > 0, 𝑥 = −3, 𝑥 = 0
c) 4 − 𝑥2 ≤ 0, 𝑥 = 2, 𝑥 = 1
d) 𝑥2 − 5𝑥 + 5 ≥ 0, 𝑥 = −1, 𝑥 = 1
73. Determina los valores de x para los que cada uno de estos productos es positivo, negativo o
cero:
a) (𝑥 − 5)(𝑥 + 1)
b) (𝑥 − 3)(𝑥 − 2)
c) 𝑥(−𝑥 − 7)
d) – 𝑥(𝑥 + 3)
e) 𝑥(3𝑥 + 1)
f) (−5𝑥 + 3)(−𝑥 − 1)
g) (𝑥 + 2)(−𝑥 + 3)
h) 𝑥(𝑥 + 5)(3𝑥 − 1)
74. Reduce a una inecuación de segundo grado y resuelve:
a) (𝑥 − 1)(𝑥 + 5) − (𝑥 + 1) ≤ −2(𝑥 − 6) + 2𝑥
b) 𝑥2−2𝑥
2+
4
5≥
4𝑥2+𝑥
10−
11
5
c) 2(𝑥−2)
5− 1 ≥ 3𝑥2 − 2𝑥
75. Estudia si cada par de valores indicado es solución de la inecuación propuesta:
a) 3𝑥 + 2𝑦 > −2, (𝑥, 𝑦) = (0,0)
b) −2𝑥 + 3𝑦 < 6, (𝑥, 𝑦) = (1,2)
c) – 𝑥 − 𝑦 + 3 ≤ 0, (𝑥, 𝑦) = (0,3)
d) −5𝑥 + 5𝑦 − 1 ≥ 0, (𝑥, 𝑦) = (−2,2) 76. Resuelve estas inecuaciones:
a) 𝑥 > 1 − 𝑦 − 𝑥
b) 2𝑦 ≥ 3 − 𝑥 − 𝑦
c) 2𝑦 < 4𝑥 − 7 + 𝑦
d) 3𝑥 − 2𝑦 ≤ 4𝑥 + 2 + 𝑦
e) 2(𝑥 − 1) − 3 > 3𝑦 + 1
f) 2(−𝑥 + 𝑦) < 3 + 𝑥 + 𝑦
77. Resuelve gráficamente los siguientes sistemas:
a) {𝑥 − 2𝑦 > 12𝑥 + 𝑦 ≤ 0
b) {5𝑥 − 3𝑦 ≥ 3
−3𝑥 + 2𝑦 > −1
c) {– 𝑥 + 5𝑦 < −3
𝑥 + 3𝑦 ≥ 3
d) {−2𝑥 + 𝑦 ≥ 1
−3𝑥 − 2𝑦 ≤ 3
78. La tirada de una revista mensual tiene unos costes de edición de 30000 euros, a los que hay
que sumar 1,50 euros de gastos de distribución por cada revista publicada.
Si cada ejemplar se vende a 3,50 euros y se obtienen unos ingresos de 12000 euros por publicidad,
¿cuántas revistas se deben vender para empezar a conseguir beneficios?
79. Dos compañías telefónicas proponen estas ofertas:
COMPAÑÍA A COMPAÑÍA B
Banda ancha + llamadas a fijos gratis :
40 €/mes
Llamadas a móviles:
0,30 €/min
Banda ancha + llamadas a fijos gratis:
60 €/mes
Llamadas a móviles:
0,20 €/min
a) ¿Cuántos minutos debe el cliente llamar a móviles en un mes para que le resulte más
económica la compañía B?
b) ¿Cuál es el importe de la factura en este caso?
80. Si un coche circula a una velocidad comprendida entre 90 km/h y 120 km/h, ¿entre qué
valores se encuentra la distancia recorrida al cabo de tres horas y media?
81. María tiene 73 € para comprar todos los discos de un cantante. Si cada disco costara 15 €,
no tendría suficiente dinero, pero si fueran 13 €, entonces le sobraría. ¿Cuántos discos tiene el
cantante?
82. El suelo de 4º A es un cuadrado y el de 4º B, un rectángulo, uno de cuyos lados mide lo
mismo que el lado del cuadrado y el otro mide 4 m. ¿Para qué medidas del lado del cuadrado el
perímetro de 4º A es mayor que el de 4º B?
83. Sonia quiere comprar globos y serpentinas para adornar su fiesta de cumpleaños. Si el
paquete de serpentinas vale 2 € y la bolsa de globos 3 € y además, no quiere gastarse más de 20 €:
a) ¿Cuántos paquetes de cada clase puede comprar?
b) ¿Podría comprar 3 paquetes de serpentinas y 5 bolsas de globos? ¿y 10 paquetes de
serpentinas y ninguna de globos?
c) Si Sonia quiere, además, que el número de paquetes de serpentinas sea menor que el doble
del número de bolsas de globos, ¿qué posibilidades le quedan?
84. Un examen consta de 10 preguntas. Para aprobar, es necesario tener, al menos 4 respuestas
correctas y que el número de respuestas correctas sea mayor que el triple del número de incorrectas.
Sabiendo que no es necesario contestar a todas las preguntas, estudia cuántas respuestas se pueden
fallar para aprobar el examen.
85. Una persona quiere hacer un trabajo entre el lunes y el martes en un máximo de 8 horas.
Además, el doble del número de horas que trabaje el martes debe ser superior al número de horas
trabajadas el lunes más 5 h. ¿Qué posibilidades tienen de repartir el trabajo entre los dos días si cada
día trabaja un número entero de horas?
UNIDAD 6
SISTEMAS DE ECUACIONES
EJERCICIOS.
1. Elvira ha pagado 32,50 € por cuatro bombillas de bajo consumo y tres tubos fluorescentes.
a) ¿Qué relación hay entre los precios de ambos productos?. Razona si los datos del enunciado
son suficientes para saber el precio exacto de cada producto.
b) ¿Puede valer cada bombilla 10 €?
c) Si cada tubo cuesta 1,50 €, ¿cuánto cuestan las bombillas?
2. Dada la ecuación 3𝑥 + 2𝑦 = 9, completa la siguiente tabla de forma que los pares (𝑥, 𝑦)
sean soluciones:
X 1 2 3 -1
Y 1 2 -3 6
Representa los puntos obtenidos en unos ejesde coordenadas. ¿Qué observas?
3. Plantea una ecuación con dos incógnitas y encuentra tres posibles soluciones para el
siguiente problema:
La familia García fue el domingo al circo y sacaron dos entradas de adulto y cuatro de niño. Si en
total pagaron 110 €, ¿cuánto pudo costar cada entrada?
4. Escribe cada uno de estos enunciados en forma de una ecuación con dos incógnitas y señala
a qué hace referencia cada una de las incógnitas.
a) La suma de dos números es 15.
b) La diferencia de dos números es 24.
c) El producto de dos números es 45.
d) El perímetro de un rectángulo mide 54 cm.
e) El número de camas de un hospital cuyas habitaciones son dobles y triples es 256.
f) El número de ruedas que hay entre las bicicletas y los triciclos de una tienda es 84.
g) En un centro de Secundaria hay 657 personas entre estudiantes y profesores.
5. La diferencia de dos números naturales es 5 y ambos son menores que 12. ¿Qué números
pueden ser? Escribe las posibles soluciones en una tabla
6. Une cada ecuación con una de las soluciones:
Ecuación Solución
4𝑥 − 5𝑦 = −13 (1,6)
2𝑥 − 𝑦 = 2 (−2,1)
𝑥 − 7𝑦 = 22 (3,4)
8𝑥 − 𝑦 = 2 (1, −3)
7. Comprueba si 𝑥 = −3, 𝑦 = 2 es solución de alguna de las siguientes ecuaciones:
a) 5𝑥 + 2𝑦 = −11
b) 3𝑥 + 𝑦 = −7
c) 6𝑥 − 4𝑦 = 2
d) −2𝑥 + 7𝑦 = 20
8. Señala cuáles de los siguientes valores son soluciones de la ecuación 2𝑥 − 3𝑦 = 8.
a) (2, 3)
b) (−1, −2)
c) (−2, 6)
d) (−4, −7)
e) (3, 7)
f) (5, −3)
9. Obtén cinco soluciones de cada ecuación y dibuja la recta que representa las soluciones de
cada una:
a) 𝑦 = 2𝑥 − 1
b) 𝑦 = 4𝑥
c) 𝑥 − 𝑦 = 1
d) 3𝑥 − 2𝑦 = 4
10. Representa gráficamente las soluciones de cada ecuación y comprueba en la gráfica si 𝑥 =4, 𝑦 = −1 es solución de alguna de ellas:
a) 2𝑥 − 𝑦 = 0
b) 𝑦 −𝑥
2= −3
c) 2(𝑥 − 1) = −6𝑦
d) 3𝑥 + 3𝑦 = 9
11. Comprueba si 𝑥 = 2, 𝑦 = −3 es solución de:
{7𝑥 + 4𝑦 = 22𝑥 + 3𝑦 = 7
12. Comprueba si 𝑥 = −1, 𝑦 = 2 es solución de estos sistemas:
a) {2𝑥 + 3𝑦 = 4−𝑥 + 2𝑦 = 5
b) {5𝑥 + 𝑦 = 3
2𝑥 − 2𝑦 = −4
c) {3(𝑥 − 2) + 1 = −4𝑦
2𝑥 = 𝑦 − 4
d) {𝑥 − 3 = −2𝑦
𝑦 = 1 − 𝑥
13. Copia y completa este sistema para que su única solución sea 𝑥 = 2, 𝑦 = −3:
{𝑥 − 3𝑦 =
2𝑥 + = 1
14. Copia y completa el siguiente sistema para que sea compatible indeterminado:
{2𝑥 + 2𝑦 = 12
𝑥 + 𝑦 =
15. Representa las rectas de soluciones y clasifica los siguientes sistemas según el número de
soluciones:
a) {𝑥 + 2𝑦 = 3
2𝑥 + 6𝑦 = 8
b) {𝑥 + 3𝑦 = 10
𝑥 − 𝑦 = 2
c) {3𝑥 − 6𝑦 = −3−𝑥 + 2𝑦 = 1
d) {– 𝑥 + 2𝑦 = 02𝑥 − 4𝑦 = 3
16. ¿Puede haber dos números que sumen 5 y cuyos dobles sumen 12?. Plantea un sistema y
estudia sus soluciones.
17. La suma de las edades de dos hermanos es 12 y el doble de la edad de uno menos la del otro
es 3. Plantea el sistema de ecuaciones y comprueba si alguna de estas parejas es solución del sistema
a) 𝑥 = 6, 𝑦 = 6
b) 𝑥 = 5, 𝑦 = 9
c) 𝑥 = 5, 𝑦 = 7
18. Forma la tabla de valores asociada a cada ecuación y encuentra alguna solución común a
ambas
a) 4𝑥 − 5𝑦 = −13
b) −3𝑥 + 2𝑦 = 8
19. Indica de qué tipo son estos sistemas según el número de soluciones que tienen
a) {𝑥 − 2𝑦 + 3 = 0
3𝑥 + 9 = 6𝑦
b) {𝑥 + 2𝑦 = 43𝑥 − 𝑦 = 5
20. Indica, sin resolverlos, el número de soluciones de los siguientes sistemas y clasifícalos:
a) {5𝑥 − 4𝑦 = 2
−3𝑥 + 7𝑦 = 1
b) {𝑥 − 5𝑦 = −4
−3𝑥 + 15𝑦 = 12
c) {−6𝑥 + 2𝑦 = 5
3𝑥 − 𝑦 = 4
d) {
5
6𝑥 − 𝑦 = 7
−5
3𝑥 + 2𝑦 = −2
21. Representa gráficamente y clasifica estos sistemas según el número de soluciones:
a) {5𝑥 − 4𝑦 = 2
−3𝑥 + 7𝑦 = 1
b) {𝑥 − 5𝑦 = −4
−3𝑥 + 15𝑦 = 12
c) {−6𝑥 + 2𝑦 = 5
3𝑥 − 𝑦 = 4
d) {
5
6𝑥 − 𝑦 = 7
−5
3𝑥 + 2𝑦 = −2
22. a) Representa los valores de cada tabla en los mismos ejes de coordenadas para obtener las
rectas correspondientes a un sistema
x -3 -4
y -3 -2
b) Averigua la solución del sistema
23. Resuelve gráficamente los siguientes sistemas:
a) {4𝑥 − 𝑦 = 05𝑥 + 𝑦 = 9
b) {−3𝑥 + 2𝑦 = −10
5𝑥 − 6𝑦 = 22
24. Indica, sin resolverlos, si estos sistemas son compatibles o incompatibles, y compruébalo
después representando gráficamente cada uno.
a) {3𝑥 − 𝑦 = 2
−6𝑥 + 2𝑦 = −1
b) {𝑥 + 𝑦 = 6𝑥 − 𝑦 = 4
c) {4𝑥 − 5𝑦 = 12𝑥 + 𝑦 = 3
x 1 2
y 1 4
d) {𝑥 + 𝑦 = 6
2𝑥 + 2𝑦 = 6
25. Comprueba que los siguientes sistemas lineales siguientes son compatibles determinados:
a) {2𝑥 + 𝑦 = 63𝑥 − 𝑦 = 4
b) {7𝑥 − 𝑦 = 35𝑥 + 𝑦 = 5
26. Comprueba que los sistemas de ecuaciones lineales siguientes son compatibles
indeterminados:
a) {𝑥 + 3𝑦 = 7
2𝑥 + 6𝑦 = 14
b) {10𝑥 − 2𝑦 = 1
5𝑥 − 𝑦 =1
2
27. Comprueba que los sistemas de ecuaciones lineales siguientes son incompatibles:
a) {𝑥 + 2𝑦 = −12𝑥 + 4𝑦 = 6
b) {2𝑥 + 3𝑦 = 0
4𝑥 + 6𝑦 = 10
28. Representa gráficamente los siguientes sistemas y decide si son equivalentes
a) {4𝑥 − 2𝑦 = 6𝑦 = 2𝑥 − 5
b) {3𝑥 − 2𝑦 = 04𝑦 − 6𝑥 = 2
29. Comprueba si estos sistemas son o no equivalentes a partir de su resolución gráfica
a) {
𝑥
2− 𝑦 = 1
𝑥 + 4𝑦 = 5
b) {3𝑥 − 4𝑦 = 7
𝑥
3− 2𝑦 = 0
30. De estas ecuaciones, ¿cuáles son equivalentes?
a) 4𝑥 − 2𝑦 = 6
b) 𝑦 =4𝑥−6
2
c) 2𝑥 = 𝑦 + 3
d) 14𝑦 − 28𝑥 + 42 = 0
31. Di si las siguientes frases son ciertas o falsas:
a) −3𝑥 + 𝑦 = 5 es equivalente a 4𝑥 − 2𝑦 = −10
b) El sistema {2𝑥 + 5𝑦 = 12𝑥 + 5𝑦 = 2
tiene infinitas soluciones
c) Tan solo aparece una recta en la representación gráfica del sistema {−𝑥 + 5𝑦 = −43𝑥 − 15𝑦 = 12
32. Resuelve los siguientes sistemas y señala cuáles son equivalentes:
a) {3𝑥 − 𝑦 = 5
4𝑥 + 2𝑦 = 0
b) {7𝑥 + 𝑦 = 5
−𝑥 + 5𝑦 = −11
c) {5𝑥 + 2𝑦 = 1
−𝑥 + 3𝑦 = −7
d) {𝑥 + 4𝑦 = 9
−3𝑥 + 𝑦 = −1
33. Resuelve estos sistemas utilizando el método de sustitución:
a) {𝑥 + 3𝑦 = −74𝑥 − 3𝑦 = 2
b) {3𝑥 − 2𝑦 = 3𝑥 + 7𝑦 = 24
c) {𝑥 − 𝑦 = 2
3𝑥 + 4𝑦 = −7
d) {5𝑥 − 3𝑦 = 173𝑥 + 𝑦 = 13
e) {
𝑥
2− 𝑦 = −4
−𝑥 + 2𝑦 = 8
34. Resuelve estos sistemas de ecuaciones lineales utilizando el método de igualación
a) {2𝑥 − 7 = 𝑦
3𝑥 + 2𝑦 = 14
b) {
𝑥
2+ 𝑦 = 2
𝑥 − 3𝑦 = −1
c) {3𝑥 + 2𝑦 = −3
𝑥 − 𝑦 = −2
d) {𝑥 + 3𝑦 = −53𝑥 − 𝑦 = 15
e) {𝑥 − 𝑦 = −1
𝑥 −𝑦
2= 10
35. Halla las soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales siguientes por el método de
reducción:
a) {𝑥 + 2𝑦 = 42𝑥 − 𝑦 = 1
b) {𝑥 − 9𝑦 = 2
𝑥 + 15𝑦 = 50
c) {3𝑥 − 2𝑦 = 132𝑥 + 5𝑦 = 34
d) {5𝑥 + 3𝑦 = 16
10𝑥 + 6𝑦 = 32
36. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método que prefieras:
a) {𝑥 + 2𝑦 = 272𝑥 + 𝑦 = 21
b) {2𝑥 + 𝑦 = 18𝑥 + 3𝑦 = 29
c) {4𝑥 + 3𝑦 = 267𝑥 + 8𝑦 = 40
d) {3𝑥
4+ 2𝑦 = 19
𝑥 + 𝑦 = 11
37. Resuelve por el método de sustitución:
a) {𝑥 − 3𝑦 = −12𝑥 + 𝑦 = 5
b) {3𝑥 + 𝑦 = −72𝑥 + 3𝑦 = 0
c) {4𝑦 = 𝑥 − 1𝑥 = 2𝑦 + 4
d) {
𝑥
2+ 3 = 𝑦
𝑥 + 𝑦 = 12
e) {2𝑥 + 3𝑦 = −13𝑥 − 2𝑦 = 5
f) {5𝑥 − 15𝑦 = 14−2𝑥 + 6𝑦 = 0
g) {3𝑥 + 2𝑦 =
17
6
2𝑥 − 3𝑦 = −1
h) {
𝑥
2+
𝑦
3=
5
33𝑥
2= 2𝑦 + 8
38. Resuelve por el método de igualación:
a) {𝑥 = 3 − 𝑦
𝑥 = 8 − 2𝑦
b) {5𝑥 + 3 = 𝑦 + 20
𝑦 + 1 = 𝑥
c) {5𝑥 − 𝑦 = 6
10𝑥 − 2𝑦 = 12 + 𝑦
d) {2𝑦 + 𝑥 = −1
3𝑦 + 5 = 𝑥 + 1
e) {2(3𝑥 + 1) − 2𝑦 = 0
3𝑥 − 2𝑦 = −5
f) {3𝑥 + 3 = 2𝑦 + 13𝑦 + 1 = 2𝑥 − 1
39. ¿Es cierto que si se resuelve un sistema por sustitución la solución que se obtiene si se
despeja inicialmente una incógnita no es la misma que si se despeja la otra?
40. ¿Es cierto que en el método de sustitución siempre hay que despejar una de las dos
incógnitas de la primera ecuación?
41. ¿Qué incógnita despejarías y de qué ecuación lo harías para resolver el siguiente sistema por
sustitución?
{2(3𝑦 − 𝑥) = 8
3𝑦 = 𝑥 − 1
42. Determina la solución de los siguientes sistemas:
a) {3(2𝑥 − 1) = 𝑦 − 1𝑥+2
2− 2𝑦 = 𝑦 + 7
b) {
3𝑥+5
2+ 4𝑦 = 𝑥
𝑥
3−
𝑦
4=
5
4
43. Resuelve los siguientes sistemas por reducción:
a) {𝑥 + 3𝑦 = 9
−𝑥 − 2𝑦 = 6
b) {2𝑥 + 𝑦 = 2
𝑥 − 𝑦 =1
2
c) {2𝑥 + 3𝑦 = −1
−2𝑥 + 3𝑦 = −5
d) {𝑥 − 3𝑦 = −52𝑥 + 3𝑦 = 8
e) {𝑥 + 3𝑦 = −23𝑥 − 2𝑦 = 10
f) {5𝑥 + 4𝑦 = −1
−2𝑥 + 3𝑦 = −18
g) {2𝑥 + 4𝑦 = 13𝑥 − 5𝑦 = 7
h) {2(𝑥 − 1) = 3𝑦 − 5
3𝑥 = 𝑦 − 1
i) {
2𝑥+5
5+
𝑦+3
2= 3
𝑥+3
4=
2𝑦+8
2+ 1
44. Razona cuántas soluciones tiene un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
si al aplicar el método de reducción y sumar las ecuaciones:
a) Se anulan los coeficientes de las dos incógnitas y la suma de los términos independientes es
también cero.
b) Se anulan los coeficientes de las dos incógnitas y la suma de los términos independientes es
distinta de cero.
c) Se anula solo uno de los coeficientes y la suma de los términos independientes es cero.
45. Teniendo en cuenta las respuestas dadas en la actividad anterior, resuelve por reducción:
a) {2𝑥 − 4𝑦 = 8
−3𝑥 + 6𝑦 = 7
b) {−3𝑥 + 6𝑦 = 92𝑥 − 4𝑦 = −6
46. Resuelve los siguientes sistemas:
a) {2(𝑥 − 3) = 𝑦 + 3
3𝑦 − (𝑥 + 1) = −3
b) {
𝑥
4+
𝑦
2= 4
4𝑥 = 2(2 + 𝑦)
c) {3𝑥 − 4𝑦 =
1
2
𝑥 + 3𝑦 =5
4
d) {2𝑥 − 3(𝑦 + 1) = 5𝑥
3(𝑥 + 𝑦) = 𝑦 − 5
47. Un litro de leche desnatada de una determinada marca contiene 3 gramos de grasa, y uno de
leche entera, 34 gramos. Calcula cuántos litros hay que mezclar de cada clase para conseguir 1000
litros de leche semidesnatada con 16 gramos de grasa por litro.
48. Rocío y Nerea leyeron el año pasado 20 libros entre las dos. Si Rocío leyó el triple de obras
que Nerea, ¿cuántos libros leyó cada una?
49. Un hotel tiene habitaciones sencillas y dobles. En total tiene 100 habitaciones y 174 camas.
¿Cuántas habitaciones tiene de cada tipo?
50. Los grupos de 4ºA y 4ºB van a ir de excursión en dos autobuses diferentes. Si en el del A
suben 3 alumnos del B, los dos autocares llevarán el mismo número de estudiantes. En cambio, si
seis alumnos de 4ºA suben al autocar de 4ºB, este tendrá el doble de estudiantes que el otro.
¿Cuántos alumnos hay en cada grupo?
51. Marcos ha ido al quiosco y, para pagar, solo lleva monedas de uno y cinco céntimos.
a) El periódico cuesta 1 euro, y ella ha reunido el importe exacto con 32 monedas. ¿Cuántas
ha entregado de cada tipo?
b) ¿Podría pagar también una revista que cuesta 1,20 euros con 32 monedas?
52. Jesús y Enma van todos los jueves de compras al mercadillo. Los dos han comprado en el
mismo puesto. Enma ha adquirido 2 camisetas y un pantalón por un total de 22 euros, y Jesús ha
pagado 39 euros por 3 camisetas y 2 pantalones. ¿Cuál es el precio de cada camiseta y de cada
pantalón?
53. Un examen final consta de 20 preguntas de elección múltiple. Cada respuesta correcta es
puntuada con 3 puntos, y se resta un punto por cada respuesta incorrecta.
Un alumno ha respondido a todas las preguntas y ha obtenido 36 puntos. ¿Cuántas preguntas
respondió de manera correcta y cuántas de forma errónea?
54. Ramón se ha fijado en las señales de tráfico que hay en el camino que va desde su casa al
instituto. Ha comprobado que todas tienen forma de triángulo o cuadrilátero. Si en total hay 9
señales y entre todas reúnen 32 ángulos, ¿cuántas hay de cada tipo?
55. Una empresa de reciclado de papel mezcla pasta de papel de baja calidad, que compra por
0,25 euros el kilogramo, con pasta de mayor calidad, de 0,40 euros el kilogramo, para conseguir 50
kilogramos de pasta de 0,31 euros el kilogramo. ¿Cuántos kilogramos utiliza de cada tipo de pasta?
56. Halla dos números tales que el doble del primero menos el triple del segundo sea igual a 30,
sabiendo, además, que cuatro veces el segundo menos el primero da como resultado 10.
57. Las dos cifras de un número suman 6 y si se intercambian sus posiciones, resulta un número
18 unidades mayor. ¿Qué número es?
58. Dos cafés y tres ensaimadas cuestan, en total, 6 € y 10 céntimos, y tres cafés con dos
ensaimadas, 30 céntimos más. ¿Cuál es el precio de un café? ¿y el de una ensaimada?
59. Una carpintería tiene que fabricar 20 asientos de dos tipos: taburetes de 4 patas y banquetas
de 3 patas. Si los encargados han calculado que necesitan fabricar 75 patas, ¿cuántos taburetes y
cuántas banquetas tienen que hacer?
AMPLIACIÓN
Sistemas de segundo grado
Se llaman así los sistemas de ecuaciones que, una vez simplificados, tienen al menos una ecuación
de grado dos.
{𝑥 + 𝑦 = 7
𝑥2 + 𝑦2 = 25
{𝑦 = 7 − 𝑥
𝑥2 + 𝑦2 = 25
𝑥2 + (7 − 𝑥)2 = 25 → 2𝑥2 − 14𝑥 + 24 = 0
Al resolver la ecuación, se obtiene 𝑥 = 3, 𝑥 = 4
Para 𝑥 = 3, el valor de y es 4. Para 𝑥 = 4, el valor de y es 3.
Las soluciones del sistema son 𝑥 = 3, 𝑦 = 4 𝑜 𝑥 = 4, 𝑦 = 3
EJERCICIOS.
60. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones de segundo grado:
a) {𝑥2 − 𝑥𝑦 = 6𝑥 + 2𝑦 = 0
b) {(𝑥 − 𝑦)2 − 𝑥𝑦 = 6
2𝑥 − 𝑦 = 1
c) {8𝑥 = 𝑦2
2𝑥 − 𝑦 = 8
d) {𝑥2 − 𝑥𝑦 = 53𝑥 + 𝑦 = 1
e) {3𝑥2 + 4𝑥𝑦 = 11
5𝑥 + 𝑦 = 7
f) {𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑦2 = 7
𝑥 + 𝑦 = 5
g) {𝑥2 + 𝑦2 = 100𝑥 − 7𝑦 = 500
h) {𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥𝑦 = 52
𝑥 + 𝑦 = 8
61. Escribe el sistema de ecuaciones asociado a cada una de las siguientes situaciones:
a) La suma de dos números es 14 y la suma de los cuadrados de esos números es 100.
b) Dos números cuyo producto es 12 y la suma de sus cuadrados es 25.
c) Dos números cuya suma es 18, y la de sus inversos, 9
40.
62. Resuelve los sistemas de ecuaciones planteados en la actividad anterior y comprueba que
las soluciones cumplen las condiciones del enunciado.
63. ¿Qué dos números cumplen que la suma de sus cuadrados es 13 y la diferencia de dichos
cuadrados es 5?
64. El perímetro de un rectángulo es 28 cm y su diagonal mide 10 cm. ¿Cuánto miden sus lados?
65. Un triángulo isósceles tiene un área de 12 cm2. Si cada uno de los lados iguales mide 5
cm, ¿cuál es la longitud del lado desigual?
66. El perímetro de un rectángulo es 16 cm. Si la medida de la base aumenta 2 cm y la de la
altura disminuye 1 cm, el área disminuye 1 cm2. Halla las dimensiones del rectángulo.
67. Calcula las dimensiones de un rectángulo que tiene 28 cm de perímetro y 48 cm2 de área.
68. Un número de dos cifras es igual al número que se obtiene al invertir el orden de sus cifras
disminuido en 18 unidades. Si el producto de las dos cifras es 24, ¿cuál es el número?
69. Halla dos números que cumplan que su producto sea 8 y que el cociente del mayor entre el
menor sea igual a doble del mayor menos el triple del menor.
UNIDAD 7
SEMEJANZA Y TRIGONOMETRÍA EJERCICIOS.
1. Comprueba si los polígonos dibujados son semejantes y, en tal caso, determina la razón de
semejanza que transforma el menor en el mayor.
2. La base de un rectángulo mide 6 cm y la altura, 3 cm. Dibuja rectángulos semejantes con
las siguientes razones de semejanza. Indica, antes de dibujarlos, cuándo el rectángulo será mayor y
cuándo menor.
a) 5
b) 2
3
c) 4
5
d) 5
2
3. Las medidas de los lados de un cuadrilátero C son: a = 5,2 cm, b = 3 cm, c = 4,8 cm y d =
2,5 cm. Si C es semejante a C’ y el lado homólogo de a mide 13 cm:
a) Calcula la medida de los otros lados de C’ y la razón de semejanza que transforma C en C’.
b) Halla la razón de semejanza que transforma C’ en C.
4. El logotipo de una empresa tiene forma de hexágono y sus lados miden 3, 4, 5, 7,8 y 9 cm.
En los carteles publicitarios se quiere dibujar un hexágono semejante de 117 cm de perímetro.
¿Cuánto miden los lados homólogos?
5. Interpreta las siguientes escalas:
a) 1 : 1000
b) 1 : 4000000
6. Indica en cada caso cuál es la escala:
a) 1 m real por 1 cm en el plano.
b) 5 km reales por 1 mm en el plano.
c) 1 hm real por 2 dm en el plano.
7. Un mapa está a escala 1 : 100000. Calcula la distancia real entre dos pueblos que el mapa
distan:
a) 3 cm
b) 17 cm
c) 12 mm
d) 3 dm
8. ¿A qué distancia estarán en un mapa 1 : 3000000 dos pueblos que en realidad distan 120
km?
9. Indica si es verdadero o falso:
a) Un cuadrado y un rectángulo son semejantes por tener los ángulos homólogos iguales.
b) Un cuadrado y un rombo son semejantes por tener los lados homólogos proporcionales.
c) Todos los cuadrados son semejantes.
10. Dados los polígonos F y F’:
a) Averigua si son semejantes y, en caso de serlo, indica la razón de semejanza.
b) Dibuja F y otro semejante a él, con razón de semejanza 3, en una hoja de papel cuadriculado.
Toma como unidad el lado del cuadrado de la cuadrícula.
11. Dibuja el siguiente polígono, P, y traza otro semejante con razón de semejanza:
a) r = 0,8
b) r = 2
12. Dibuja un rectángulo de 3 cm de largo y 5 cm de ancho y otro que mida 1 cm más de largo
y 1 cm más de ancho. ¿Son semejantes?
13. Unos excursionistas han planteado hacer una marcha por la montaña desde el albergue en el
que se alojan hasta el pico del Gigante. Si en un mapa a escala 1 : 40000, el camino que va del
albergue al pico tienen una longitud de 14 cm, ¿cuántos kilómetros tienen que recorrer para llegar
al pico?
14. La distancia entre dos ciudades es de 435 km. ¿Qué distancia hay entre sus representaciones
en un mapa a escala 1 : 1500000?
15. Dos pueblos que distan 50,4 km están representadas en un mapa a una distancia de 2,8 cm.
¿Con qué escala está hecho el mapa?
16. La siguiente representación muestra el plano de un apartamento
a) Calcula las dimensiones del apartamento y de cada una de las distancias que lo componen.
b) En la pared de la cocina se quiere poner un mueble de 90 cm de ancho y muebles de 60 cm de
ancho. ¿Cuántos muebles de 60 cm se pueden colocar? ¿Cuánto espacio sobra?
17. Calcula la longitud del segmento x en cada caso:
a)
b)
18. Calcula la longitud del segmento x en cada caso. (Las medidas vienen dadas en centímetros).
a)
b)
c)
d)
19. ¿Son paralelos los segmentos BC y DE?
20. En la figura siguiente, calcula x e y:
21. En una recta r hay tres puntos, A, B y C, que distan sucesivamente 3 y 4 centímetros. Por
esos puntos se trazan rectas paralelas que cortan a la recta s en M, N y P.
Si MN mide 9 centímetros, ¿cuánto mide NP?
22. Calcula la altura de la torre de la iglesia
23. Si AB y MN son paralelos, halla la medida del lado BC.
24. Calcula la altura de un edificio sabiendo que una estaca de 2 m de altura, en un día soleado,
proyecta una sobra de 3 m a la misma hora en que la sombra del edificio es 22 m.
25. En cada uno de los siguientes apartados se dan las medidas de los tres lados o de los ángulos
de dos triángulos, T y T’. Comprueba si son semejantes
a) T: 3 cm, 4 cm y 5 cm y T’: 9 cm, 12 cm y 15 cm
b) T: 3 cm, 5 cm y 6 cm y T’: 1,5 cm, 2,5 cm y 4 cm
c) T: 30º, 80º y T’: 70º, 30º
d) T: 90º, 20º y T’: 70º, 50º
26. Los triángulos ABC y A’B’C’ siguientes son semejantes. Calcula:
a) y, z, si x = 21 cm
b) x, z, si y = 15 cm
27. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 12 cm y uno de sus catetos, 9,6 cm. La
hipotenusa de otro triángulo rectángulo mide 4 cm. Si se hacen coincidir los dos ángulos rectos de
los triángulos, las hipotenusas son paralelas. Calcula la medida de los tres lados de cada triángulo.
28. Explica si dos triángulos equiláteros cualesquiera son semejantes
29. La sombra de una palmera mide 3,5 m y, en ese mismo momento, la sombra de Isabel es de
2 m. Si Isabel mide 1,60 m de altura, calcula la altura de la palmera.
30. De dos triángulos semejantes se sabe que en el primero, uno de sus ángulos mide 35º, y en
el segundo, otro mide 55º. ¿Qué clase de triángulos son?.
31. Calcula el valor de a y b para que los siguientes pares de triángulos sean semejantes
a) 3, a, 5 1,5; 2; b
b) 3, a, 8 6
5,
14
5, 𝑏
c) 45º, 75º, 60º 75º, 𝐴,̂ �̂�
32. Los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes. Calcula el valor que se pide en cada caso.
a) b y c’, si a = 9 cm, c = 12 cm, a’ = 4,5 cm y b’ = 3,5 cm
b) �̂�, �̂�, 𝐵′̂𝑦 𝐶′̂ 𝑠𝑖 �̂� = 38° 𝑦 𝐴′̂ = 92°
c) a y 𝐵′̂, si c = 18 cm, a’ =30 cm, c’ = 6 cm y 𝐵′̂ = 105°
33. En un triángulo rectángulo, los catetos miden 3 y 4 dm, y en otro, un cateto mide 6 dm, y la
hipotenusa, 10. ¿Son semejantes?
34. Determina si los siguientes pares de triángulos son semejantes indicando, en caso afirmativo,
el criterio de semejanza utilizado.
35. Explica por qué los siguientes pares de triángulos son semejantes y determina el valor de las
incógnitas, teniendo en cuenta que las medidas están dadas en centímetros.
36. Calcula la medida de la diagonal de un rectángulo de lados 8 cm y 12 cm.
37. Halla los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que son tres números naturales
consecutivos.
38. Una escalera de 20 m de altura estaba apoyada verticalmente sobre una torre de 20 m de
altura. La escalera se ha deslizado, alejándose 12 m de la torre por su base. ¿Cuánto ha descendido
la parte más alta de la escalera?
39. En un estanque hay una flor. Mientras el tallo de la planta está en vertical, una parte del
mismo hasta la flor sobresale 7 cm por encima del agua. Cuando la flor se inclina como se indica
en la figura, roza el agua en un punto situado a 15 cm del tallo inicial. ¿Cuál es la profundidad del
estanque?
40. Calcula:
a) La diagonal de un cuadrado de 10 m de lado.
b) El lado de un rombo sabiendo que sus diagonales miden 130 cm y 144 cm.
c) La apotema de un hexágono regular de 15 m de lado.
d) La longitud de las diagonales de un trapecio rectángulo de bases 16 cm y 5 cm y de 12 cm
de altura.
e) La longitud de los lados iguales de un triángulo isósceles cuyo lado desigual mide 24 cm y
cuya altura es de 16 cm.
41. Un ciprés y un pino tienen 16 m y 8 m de altura, respectivamente, y están situados a 40 m
de distancia. Se desea situar un comedero para los pájaros en el suelo entre ellos, de manera que
esté situado a la misma distancia de la copa de ambos árboles.
Halla a qué distancia del pino hay que situarlo y cuál es la distancia del comedero a la copa de los
árboles.
42. Halla las longitudes CD y EF de los mástiles del barco y la longitud total de la cubierta.
43. Halla las razones trigonométricas del menor ángulo agudo de un triángulo rectángulo cuya
hipotenusa mide el doble que uno de los catetos
44. La sombra de una torre, cuando los rayos del sol tienen una inclinación de 42º, mide 12,5
m. Calcula la altura de la torre.
45. Unas cigüeñas han construido su nido sobre el tejado de un edificio a 25 m del suelo. Una
chica lo observa desde un punto situado a 50 m del edificio. Calcula el ángulo de observación.
46. Una persona que mide 1,70 m, situada a 12 m de un edificio, coloca frente a sus ojos una
regla vertical de 25 cm con la que oculta exactamente la altura del mismo. Si la distancia del ojo a
la regla es de 40 cm, calcula la altura del edificio.
47. Con la calculadora, halla las siguientes razones trigonométricas con una aproximación de
tres cifras decimales
a) sen 44º
b) cos 35º
c) tg 78º
d) sen 36º 15’
e) cos 56º 23’ 56’’
f) tg 39º 39’
48. Con la calculadora, halla la medida de los ángulos �̂�, �̂�, �̂� 𝑦 �̂� aproximando a los minutos
a) sen �̂� = 0,667
b) tg �̂� = 0,99
c) cos �̂� = 0,512
d) tg �̂� = 1,33
49. Calcula los ángulos de un rombo cuyas diagonales miden 16 y 30 cm, respectivamente
50. Desde un punto situado a 10 m de una torre, una persona que mide 180 cm ve el extremo
más alto bajo un ángulo de 43º. Calcula la altura de la torre.
51. Calcula el coseno y la tangente de un ángulo agudo 𝛼 si 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 0,6
52. Halla el seno y la tangente de un ángulo agudo 𝛼 cuyo coseno es 4
5
53. Si el coseno de un ángulo agudo 𝛼 es √2
3, calcula:
a) sen 𝛼
b) tg 𝛼
54. Calcula las razones trigonométricas del ángulo 𝛼
55. Calcula el seno y el coseno de un ángulo agudo 𝛼 si su tangente es igual √5
56. Comprueba si existe un ángulo 𝛼 tal que sen 𝛼 =1
4 y cos 𝛼 =
3
4
57. Explica por qué las siguientes expresiones son falsas y corrígelas:
a) cos 𝛼 = √1 + 𝑠𝑒𝑛2𝛼
b) 𝑠𝑒𝑛 𝛼 =𝑡𝑔 𝛼
cos 𝛼
c) sec 𝛼 = 𝑡𝑔 𝛼 + 1
d) 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = cos 𝛼 + 1
58. Demuestra las siguientes igualdades trigonométricas a partir de las fórmulas fundamentales
a) cos2 𝛼 − 𝑠𝑒𝑛2𝛼 = 1 − 2𝑠𝑒𝑛2𝛼
b) 𝑡𝑔2𝛼+2𝑠𝑒𝑛2𝛼
𝑡𝑔2𝛼= 1 + 2𝑐𝑜𝑠2𝛼
59. Resuelve los triángulos rectángulos:
a) �̂� = 90°, 𝑎 = 12 𝑐𝑚 𝑦 𝑏 = 8 𝑐𝑚
b) �̂� = 90°, �̂� = 35° 𝑦 𝑐 = 9 𝑐𝑚
c) �̂� = 90°, 𝑐 = 5√2 𝑐𝑚 𝑦 𝑎 = 5 𝑐𝑚
60. Un triángulo rectángulo verifica que sus catetos miden el doble uno del otro, y la hipotenusa,
8 cm. Calcula el área y los ángulos del triángulo.
61. Halla la longitud de la altura de un triángulo equilátero de 12 cm de lado.
62. Calcula el área de un triángulo isósceles de ángulos 65°, 65° 𝑦 50°, y cuyos lados miden 8
cm cada uno.
63. Un compás tiene dos patas de 10 cm de largo. ¿Qué ángulo forman sus patas si al abrirlo
traza una circunferencia de diámetro 10 cm?
64. La hipotenusa y los catetos de un triángulo rectángulo miden 10, 8 y 6 dm. ¿Cuáles son las
razones trigonométricas del ángulo agudo de menor amplitud del triángulo?
65. Resuelve estos triángulos sabiendo que �̂� = 90°
a) �̂� = 55°, 𝑎 = 18 𝑐𝑚
b) 𝑐 = 10 𝑐𝑚, 𝑏 = 6 𝑐𝑚
c) 𝑎 = 18 𝑐𝑚, 𝑏 = 15 𝑐𝑚
66. Los lados de un triángulo miden 45, 27 y 36 cm. Demuestra que es rectángulo y que el seno
de uno de sus ángulos es 3
5. ¿Cuáles son las otras dos razones trigonométricas de ese ángulo?
67. Resuelve el triángulo de la figura
68. De un triángulo rectángulo ABC se conoce la hipotenusa, que mide 15 centímetro, y uno de
sus ángulos, 𝛽, que mide 20º. Resuelve el triángulo.
69. Halla los lados y ángulos que son incógnitas de este triángulo isósceles.
70. Escribe, en función de m, n y p, el seno, el coseno y la tangente de 𝛼 en estos triángulos.
71. Calcula la medida de los lados y los ángulos que faltan en los siguientes triángulos
rectángulos.
72. Calcula el valor del lado a.
73. La diagonal mayor de un rombo mide 8 cm y forma con cada lado contiguo un ángulo de
26º. ¿Cuánto mide el lado del rombo?
74. En una circunferencia de radio 8 cm se considera una de sus cuerdas que mide 4 cm. ¿Cuáles
son las amplitudes de los ángulos centrales de los arcos que determina dicha cuerda?
75. Los lados de un paralelogramo son de 8 y 5 cm, y uno de sus ángulos es de 36º. Halla la
medida de los otros tres ángulos y el área del cuadrilátero.
76. Un observador de 1,60 m de altura ve el punto más alto de un poste, que está a 6 m de
distancia, con un ángulo de elevación de 33º. ¿Cuál es la altura del poste?
77. Desde la orilla de un río se ve un árbol en la otra orilla bajo un ángulo de 40º, y si se retrocede
4 m, se ve bajo un ángulo de 28º. Calcula la altura del árbol y la anchura del río
78. Calcula la longitud de la circunferencia que se traza con un compás cuyos brazos miden 7
cm y forman un ángulo de 70º.
79. Calcula:
a) La apotema y el radio de un octógono cuyo lado mide 5 cm.
b) El perímetro y área de un decágono inscrito en una circunferencia de 8 cm de radio.
80. El lado de un rombo mide 5 cm y el menor de sus ángulos interiores mide 36º. Calcula el
área del rombo.
81. La altura de un trapecio isósceles mide 6 cm y su base menor, 4 cm. Si el ángulo que forman
cada uno de los lados iguales con la base mayor mide 60º, calcula el perímetro y el área del trapecio.
82. Un rampa salva un desnivel de 1,5 m en un desplazamiento horizontal de 8 m. Calcula la
longitud de la rampa y el ángulo de elevación.
83. Una rampa de 1,90 m salva un desnivel de 50 cm. Calcula el ángulo de inclinación de la
rampa.
84. Una persona situada a 40 m de la base de un palomar observa, a ras del suelo, el punto más
alto con un ángulo de elevación de 26º. Calcula la altura del palomar.
85. Desde un barco se ve la luz de un faro con un ángulo de elevación de 24º. ¿A qué distancia
está el barco de la orilla si la luz está a una altura de 80 m sobre el nivel del mar?
UNIDAD 8
PROBLEMAS GEOMÉTRICOS 1. Calcula el perímetro y el área de un trapecio isósceles de lados 35, 42, 35 y 84 cm.
2. Halla la altura y el área de un triángulo equilátero de lado x cm. Aplica los resultados si x =
20 cm.
3. Calcula el área de un triángulo isósceles de lados 4, 5 y 5 cm.
4. Halla el perímetro y el área de un trapecio rectángulo de bases 10 y 5 cm y altura 4 cm.
5. Calcula el área limitada por un hexágono regular de 5 cm de lado y la circunferencia inscrita
en él.
6. Calcula el área de la corona circular determinada por las circunferencias inscrita y
circunscrita a un cuadrado de 25 cm de lado.
7. Calcula el perímetro de un cuadrado de 576 cm2 de superficie.
8. Calcula el perímetro y el área de estas figuras:
a) Un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 38 cm, y uno de sus catetos, 16.
b) Un cuadrado cuya diagonal mide 50 cm.
c) Un rombo de diagonales 16 y 12 cm.
9. Halla el área del triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 13 cm, y uno de sus catetos, 5
cm.
10. Calcula el perímetro y el área de estas figuras:
11. La diagonal de un rectángulo mide 39,36 dm, y su base, 18. Halla su perímetro y su área.
12. El lado de un hexágono regular mide 20 cm. Calcula la medida de la apotema y el área.
13. Calcula el área de las siguientes figuras
a) Un sector circular de 8 cm de radio y un ángulo de 36º.
b) La corona circular comprendida entre dos circunferencias de 17 y 26 cm de diámetro cada
una de ellas.
14. Averigua una forma de construir estas figuras y calcula su perímetro y su área:
15. Calcula la longitud de las circunferencias inscrita y circunscrita a un cuadrado de 8 cm de
lado.
16. El área de un sector circular dibujado en un círculo de 9 dm de diámetro es de 8,84 dm2.
Calcula el número de grados que abarca.
17. Con centro en el de una circunferencia de 106, 81 cm de longitud, se ha trazado otra cuyo
radio es 4 cm menor que el de aquella. Calcula el área de la corona circular que determinan.
18. Un rombo tiene 40 cm de perímetro y una de las diagonales mide 8 cm. Calcula su área.
19. Un rectángulo tiene 12 𝑐𝑚2 de área y uno de sus lados mide 1 cm más que el otro. Calcula
su perímetro.
20. Determina la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles de 8 𝑐𝑚2de área.
21. El perímetro de un triángulo isósceles es 28 cm. La altura mide 3 cm y las bases se
diferencian en 8 cm. Calcula la longitud de las bases.
22. Halla el perímetro de un rombo de 54 𝑐𝑚2 de área en el que una de las diagonales mide 12
cm.
23. ¿Cuántas vueltas debe dar una rueda de 40 cm de radio para recorrer 1 km?
24. Averigua el perímetro de un sector circular con un ángulo de 60º y un arco de 2𝜋 cm.
25. Calcula la superficie de un prisma de altura 5 cm y cuya base es un triángulo rectángulo
isósceles de catetos 2 cm. Dibuja un esquema de su desarrollo.
26. Si la superficie de una esfera aumenta en 16 m2 al aumentar su radio 1 m, ¿Cuánto mide el
radio?.
27. Calcula el área de un tetraedro de 10 cm de lado.
28. Calcula el área y el volumen de los siguientes prismas y pirámides regulares:
29. La pirámide egipcia de Guiza es regular de base cuadrada. El lado de la base mide 230 m, y
la altura, 146 m. Calcula su área.
30. Halla el área y el volumen de estos cuerpos:
31. Calcula el área total de un ortoedro en el que la base mide 12 cm2, y una de sus dimensiones
es el triple de la otra. Además, su altura es el doble de la medida menor de la base.
32. La base de un prisma recto es un rombo cuyas diagonales miden 12 cm y 35 cm. Halla el
área y el volumen del prisma, sabiendo que la altura mide 20 cm.
33. En un rectángulo, la base es el doble de la altura y su perímetro es de 12 cm. Al unir las
alturas del rectángulo construimos un cilindro. ¿Qué superficie tiene?.
34. Calcula:
a) El volumen de una pirámide hexagonal regular de 4,5 cm de altura y 7,5 cm de arista lateral.
b) El área de una pirámide regular pentagonal cuyas medidas son: 12 cm de altura, 5,8 cm de
lado de la base y 4 cm de apotema de la base.
35. El volumen de un ortoedro es 88 𝑐𝑚3 y una de sus caras es un cuadrado de 4 cm de lado.
Calcula el área del ortoedro.
36. Un triángulo rectángulo de hipotenusa 5 cm y un cateto de 3 cm gira alrededor del otro
cateto generando un cono. Calcula el área de este cono.
37. Paula tiene una piscina rectangular de 10 m de ancho y 20 m de largo; si la profundidad va
aumentando en rampa desde 80 cm a 210 cm, ¿cuántos litros de agua son necesarios para llenarla?
38. Calcula el área total y el volumen de las figuras indicadas a continuación.
a) Un prisma pentagonal regular de 30 cm de perímetro en su base, 11 de altura y 4,13 de
apotema.
b) Un cono de 17 dm de diámetro en su base y 25 de altura.
39. Halla el área total y el volumen de las siguientes figuras:
a) Un cilindro de 19 cm de diámetro y 10 de altura.
b) Un ortoedro de 20 dm de largo, 8 de ancho y 9 de alto.
c) Una esfera de 32 cm de diámetro.
40. ¿Qué cantidad de chapa se necesita para hacer una esfera hueca de 5 m de diámetro? ¿Cuánta
agua cabe en su interior?.
41. El área de un cubo es de 864 cm2. Calcula su volumen.
42. Calcula el área y el volumen de los siguientes cilindros y conos rectos:
43. Halla la altura y el área total de un cilindro de 461,81 cm3 de volumen si el radio de la base
mide 35 mm.
44. Considera un prisma y una pirámide que tienen la misma base y altura. ¿Cuántas pirámides
se necesitan para obtener el mismo volumen del prisma?.
45. Calcula el área y el volumen de estos cuerpos:
46. Calcula el volumen comprendido entre una esfera de 8 cm de radio y un cilindro situado
dentro de ella y con 3 cm de diámetro y 10 de altura. Haz un dibujo de la composición.
47. El volumen de un cilindro es de 24033,18 dm3 y su altura mide 340 cm. ¿Cuál es su radio?.
48. La diagonal de un cubo es de 7√3 cm. Calcula su área y su volumen. ¿Cuál es el radio de
una esfera circunscrita al cubo?.
49. En el interior de una esfera de 13 dm de diámetro hay una pirámide de base un triángulo
equilátero de 8 dm de lado y 6 de altura. ¿Qué volumen queda entre los dos cuerpos geométricos?.
50. Estudia como varía el volumen de un cilindro de radio r y altura h en cada uno de los
siguientes casos.
a) Su altura aumenta el doble.
b) Su radio disminuye a la mitad.
c) Su altura aumenta el doble, y su radio, también.
51. Unos módulos para guardar ropa debajo de la cama tienen la base con forma de sector
circular de 60 cm de radio y ángulo de 80º. La altura de los mismos es de 20 cm. ¿Qué capacidad
tienen?.
52. ¿Qué relación tienen el área de un tetraedro y la de un cubo con la misma arista? Ayúdate
de un ejemplo para responder a la pregunta.
53. Determina el área y el volumen de estos cuerpos:
a) Un cilindro recto de 24𝜋 𝑐𝑚2 de área lateral y 4 cm de altura.
b) Un cono recto con un área lateral de 136𝜋 𝑐𝑚2 cuya base tiene 8 cm de radio.
c) Una esfera que se inscribe en un cilindro de 8 cm de radio.
54. Calcula el volumen de un tetraedro regular de 20 cm de lado.
55. Calcula el volumen de un cono de altura 4,5 dm y de generatriz 5,3 cm.
56. A la longitud de una circunferencia de 4 m de radio se le añade un metro para formar otra
circunferencia concéntrica con la primera. ¿Qué distancia separa las dos circunferencias?.
57. Dos de los lados de un paralelogramo miden 45 y 65 cm y forman un ángulo de 75º. Calcula
su perímetro y su área.
58. Calcula el área de un sector circular de 4 cm de radio y cuyo arco mide 8 cm.
59. Calcula el volumen de un ortoedro si su dimensiones están en la proporción 2:3:5, siendo su
superficie total de 248 cm2.
60. Calcula el radio de una esfera sabiendo que si crece en 1 m, su área cree en 44𝜋 𝑚2.
UNIDAD 9
FUNCIONES Y GRÁFICAS 1. Estudia el dominio de las siguientes funciones:
a) 𝑓(𝑥) = 3𝑥3 + 2𝑥2 − 3
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1
c) 𝑓(𝑥) =−𝑥
2𝑥−3
d) 𝑓(𝑥) =5𝑥
𝑥2−1
2. Estudia el dominio de estas funciones:
a) 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 5
b) 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 6
3. Consideramos la función que relaciona la distancia recorrida por un coche que circula a 80
km/h con el tiempo que el coche está en movimiento.
a) Escribe la expresión algebraica de la función.
b) ¿Cuál es el dominio de la función modelo 𝑓(𝑥) = 80𝑥? ¿Y cuál es el dominio de la función
que representa esta situación real?
4. Determina en cuál de los ejes hay que estudiar gráficamente el dominio de una función. Y
en cuál de ellos se estudia el recorrido.
5. Estudia el dominio y recorrido de cada una de las siguientes funciones:
6. Estudia el dominio y recorrido de las siguientes funciones:
7. Dibuja la gráfica de una función, f, que cumpla lo que se indica en cada apartado:
a) 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ, 𝑅𝑒𝑐 𝑓 = [−3, ∞)
b) 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = [0, ∞), 𝑅𝑒𝑐 𝑓 = ℝ
8. Halla el dominio de cada función:
a) 𝑓(𝑥) =3
𝑥−4
b) 𝑓(𝑥) =5𝑥−3
2𝑥+3
c) 𝑓(𝑥) =3𝑥2+5𝑥−1
4
d) 𝑓(𝑥) = √𝑥2 + 5
9. Estudia el dominio de las siguientes funciones:
𝑓(𝑥) =2𝑥 + 5
𝑥2 − 9
𝑓(𝑥) =𝑥
2𝑥2 − 2
10. Estudia el dominio y recorrido de las siguientes funciones:
11. El gasto semanal medio en alimentación de las familias de una ciudad es de 45 € por persona,
más 12 € para gastos extras. Copia y completa en tu cuaderno la tabla correspondiente:
Personas 2 3 4 5
Gasto (€)
12. Un caminante recorre una distancia de 60 km con una velocidad constante de 5 km/h. Copia
y completa en tu cuaderno esta tabla:
Tiempo (h) 0 1 2 3 4 5
Distancia
recorrida
(km)
0 5
Distancia
restante
(km)
60
13. La velocidad v, en metros por segundo, que recorre un móvil está dada por v = 15 + 3t,
siendo t el tiempo en segundos.
a) Dibuja un gráfico que muestre la velocidad desde que se pone en marcha hasta que alcanza
30 m/s.
b) ¿Qué velocidad lleva en el momento del arranque? ¿y 4 s después de arrancar?.
c) ¿Cuánto tiempo pasa hasta que alcanza 22,5 m/s?.
14. La fórmula para pasar la velocidad de metros por segundo, M, a kilómetros por hora, K, es
K = 3,6 M. Dibuja la gráfica correspondiente y utilízala para responder a estas preguntas:
a) Si un automóvil circula a 30 m/s, ¿Cuál es su velocidad en kilómetros por hora?.
b) ¿Cuál es la velocidad en metros por segundo de un automóvil que circula a 90 km/h?.
15. La longitud L de un muelle con una masa M colgada de su extremo viene dada por L =
0,5 M + 12, donde L se expresa en centímetros y M en kilogramos.
a) ¿Cuál es la longitud del muelle sin la masa?.
b) Si el muelle mide 20 cm, ¿Qué masa soporta?.
c) ¿Cuánto mide el muelle cuando soporta 3 kg?.
d) Representa gráficamente la función.
16. Un ciclista sale de su casa para ir hasta un pueblo y regresa. La gráfica de su viaje es:
a) ¿Qué distancia recorre en su excursión?
b) ¿A qué distancia de su casa se detiene por primera vez? ¿Y por última vez?
c) ¿Qué distancia recorre las dos primeras horas?
d) ¿Qué velocidad media lleva en la excursión (incluyendo el tiempo que está parado)
e) ¿En qué parte de la excursión circula más rápido?
17. El gráfico siguiente muestra los ingresos semanales de dos vendedores de automóviles A y
B. El sueldo de A está formado por una cantidad fija más una comisión por cada coche vendido. El
vendedor B gana solo una comisión por cada coche vendido.
a) ¿A cuánto asciende la parte fija del sueldo del vendedor A? ¿Qué comisión recibe por cada
coche que vende?.
b) ¿Cuál es la comisión que recibe el vendedor B por cada coche vendido?.
c) ¿Cuántos coches debe vender como mínimo el vendedor B para ganar más que el A?
d) ¿Cuántos coches deben vender A y B para que sus ganancias sean iguales?
18. El gráfico muestra dos trenes A y B, que parten a la misma hora de dos ciudades separadas
600 km, en sentidos opuestos.
a) ¿Cuánto tarda cada tren en llegar a su destino?
b) ¿En qué punto se cruzan?
c) ¿Qué velocidad llevan A y B en cada tramo?
d) ¿Cuánto tiempo están parados?
19. Observa la siguiente tabla de valores de una función
x -2 -1 1 2
y 7 5 5 7
¿Cuál de las siguientes es su expresión algebraica?
a) 𝑦 = 𝑥2 + 4
b) 𝑦 = |2𝑥| +3
c) 𝑦 = |1 +4𝑥|
20. Por liquidación, todos los artículos de una tienda de regalos se venden con un 30 % de
descuento.
a) ¿Es una función? ¿Cuáles son las variables?
b) Calcula el precio al que se venderá un producto de 42,50 euros con el descuento
c) ¿Cuál es el precio original de un artículo que se vende por 19,32 euros?
d) Escribe la fórmula que permite calcular el nuevo precio de venta después del descuento a
partir del anterior.
e) Halla la expresión para calcular el precio de los regalos antes del descuento sabiendo el
precio de venta final.
21. Representa las siguientes funciones, dadas por su expresión algebraica, y estudia si son
continuas o discontinuas.
a) 𝑓(𝑥) = {𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1−𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 1
b) 𝑦 = 𝑥 − 2
c) 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥
22. Representa las siguientes funciones y di si son continuas. En caso contrario, indica sus
puntos de discontinuidad.
a) 𝑦 = {2𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 < 5𝑥 + 4 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 5
b) 𝑦 = {𝑥 + 3 𝑠𝑖 𝑥 < −14𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ −1
23. Estudia la continuidad de:
𝑓(𝑥) = {6𝑥 − 4 𝑠𝑖 𝑥 < 03 𝑠𝑖 𝑥 = 01 − 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 0
24. Haz la representación gráfica de las siguientes funciones e indica si son continuas:
a) 𝑓(𝑥) = { 4 − 𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 < 26𝑥 − 15 𝑠𝑖 2 < 𝑥 ≤ 4
b) 𝑓(𝑥) = {𝑥2 − 2𝑥 𝑠𝑖 − 1 < 𝑥 < 1
3 − 𝑥 𝑠𝑖 1 ≤ 𝑥 < 21 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2
25. Explica por qué esta función no es continua en x = 3
26. Define y estudia la continuidad de la función: 𝑓(𝑥) = |4𝑥 + 8|
27. Indica el dominio y estudia la continuidad de esta función:
28. Estudia la continuidad de estas funciones:
29. Estudia si tienen simetría las funciones:
a) 𝑦 = 3𝑥 + 2
b) 𝑦 = 5𝑥2 + 3
c) 𝑦 = |𝑥|
30. Si una función es periódica de periodo 4, ¿es suficiente conocer su gráfica en el intervalo
[−2, 2] para poder representarla en toda la recta real?
31. Sabemos que la función f(x) pasa por el punto (3, 5).
a) Si fuese par, ¿por qué otro punto pasaría?
b) ¿Y si fuese impar?
32. Contesta a las siguientes cuestiones:
a) Una función par tiene un máximo en el punto (−2, 1). ¿Qué podemos decir del punto (2, 1)?
b) Una función impar tiene un máximo en el punto (4, −2). ¿Qué tipo de punto es (−4, 2)?
33. Estudia si son simétricas y, en su caso, de qué tipo las siguientes funciones
a) 𝑓(𝑥) = 5𝑥3 + 4𝑥
b) 𝑔(𝑥) =𝑥4
1−𝑥2
34. Copia en tu cuaderno y completa la gráfica de manera que la función sea periódica de
periodo T = 5
35. Si la expresión algebraica de una función es un polinomio y todos los términos tienen grado
par, ¿qué tipo de simetría tiene la función? ¿Y si todos los términos son de grado impar?
36. Estudia el periodo de esta función:
37. Estudia la simetría y la periodicidad de cada una de las siguientes funciones:
38. Halla los puntos de corte con los ejes y el signo de las funciones dadas por:
a) 𝑦 = 3𝑥 − 6
b) 𝑦 = −𝑥2 − 6𝑥 − 8
39. Encuentra los puntos de corte con los ejes de:
a) 𝑦 =2𝑥
𝑥+3
b) 𝑦 =𝑥2+1
𝑥
40. Calcula los puntos de corte con los ejes de las siguientes funciones:
a) 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + 4
b) 𝑦 = 𝑥2 + 𝑥 + 1
c) 𝑦 = 𝑥3 + 2𝑥
d) 𝑦 =𝑥+2
𝑥
41. Dada la función 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 1, calcula su tasa de variación en los intervalos [1; 1,3] y [2; 2,4].
42. Calcula la tasa de variación media de las funciones 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 8 y 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 3 en los
intervalos [0, 3] y [1,8; 2].
43. Calcula la tasa de variación media de la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 2 en los intervalos [0,5; 1] y [2; 3,5].
44. Calcula la tasa de variación media de la función 𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥. ¿En cuál de los dos intervalos [3; 3,5] y [6,5; 7], varía más rápidamente?
45. Estudia el crecimiento o decrecimiento de la función 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 2𝑥 en el intervalo [−1, 4].
46. La siguiente gráfica representa el espacio recorrido por un coche a lo largo del tiempo:
a) Halla la tasa de variación media de la función en los intervalos [0, 2] y [2, 6]. ¿En qué
unidades se mide?
b) ¿En cuál de los dos intervalos de tiempo anteriores ha sido mayor la velocidad del coche?
c) Halla el espacio recorrido para que 𝑇𝑉𝑀[4,7] = 110.
47. Estudia a qué tienden las siguientes funciones cuando 𝑥 → ∞ y cuando 𝑥 → −∞:
48. Estudia el crecimiento o decrecimiento de las siguientes funciones en el intervalo [0,1
2].
a) 𝑓(𝑥) = −2
b) 𝑔(𝑥) = −3𝑥 + 4 49. Estudia los puntos de corte con los ejes, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los
extremos relativos de la siguiente función:
50. Dibuja una función continua que tenga las siguientes características:
a) Presenta un mínimo relativo en x = 1,5.
b) Presenta un máximo relativo en x = 3.
c) Presenta un máximo absoluto en x = 0.
d) No presenta ningún mínimo absoluto.
e) Corta el eje X en cuatro puntos.
51. Razona si son ciertas las siguientes afirmaciones. En caso contrario, pon un ejemplo que lo
demuestre.
a) Si el dominio de una función es ℝ, su recorrido también es ℝ.
b) Todas las funciones definidas a trozos son discontinuas.
c) Los puntos de corte con el eje de abscisas se obtienen sustituyendo x por 0.
d) El crecimiento o decrecimiento de una función depende del signo de la tasa de variación.
52. Una función continua está definida en ℝ, es creciente en (−∞, −3) y en (4, +∞), y
decreciente en (−3, 4). ¿Tiene máximos o mínimos relativos?.
53. Estudia si las siguientes funciones son crecientes o decrecientes en el intervalo [−4, −3]. a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 9
b) 𝑔(𝑥) = 3𝑥2 + 6𝑥
c) ℎ(𝑥) = 1 − 𝑥2
d) 𝑖(𝑥) = 4 − 5𝑥
54. Asocia cada uno de los siguientes apartados con una gráfica según las indicaciones dadas:
a) Corta al eje de abscisas en el punto (−3, 0), y es decreciente en (−∞, −3) y creciente en
(−3, ∞)
b) Es creciente en (−∞, −1) ∪ (−1, 0) y decreciente en (0, 1) ∪ (1, ∞), y tiene un máximo
relativo en (0, 0)
c) Es creciente en (−∞, 3), decreciente en (3, ∞), y tiene un máximo relativo en el punto
(3, 1)
d) Los puntos de corte con el eje X son (−1, 0) y (2, 0)
55. Estudia el crecimiento y decrecimiento de la función 𝑓(𝑥) = 4𝑥3 − 𝑥 en [−2, −1], [−1
4,
1
4]
y [3
2, 2].
56. Dibuja una función con las características siguientes: tiene un mínimo relativo en (−5, 0),
un máximo relativo en (0, 4) y es par.
57. Teniendo en cuenta su gráfica, estudia la función 𝑦 = 𝑥2 en los intervalos [−0,5; 0] y [0; 0,5]. ¿Es creciente o decreciente?. ¿Qué se puede afirmar del punto (0, 0).
58. Si una función es creciente en (−∞, 0) y decreciente en (0, +∞), ¿se puede afirmar que
tiene un máximo en x = 0?
59. Dadas las siguientes funciones, estudia su dominio, recorrido, continuidad, periodicidad,
puntos de corte con los ejes, máximos y mínimos relativos, y crecimiento y decrecimiento:
60. Dada la función 𝑦 =2𝑥2+𝑥−2
𝑥−4, halla su dominio, calcula sus puntos de corte con los ejes y
estudia si es creciente o decreciente en los intervalos [0; 0,5] y [3; 3,2].
61. Define 𝑦 = |𝑥
2− 1| como una función definida a trozos y represéntala gráficamente.
a) ¿Es continua?
b) Halla los puntos de corte con los ejes.
c) Estudia su crecimiento en los intervalos [0, 1] y [3, 4] d) ¿Tiene máximos y mínimos relativos y absolutos?
62. Estudia, en cada una de las representaciones gráficas, el dominio, el recorrido y la tendencia
cuando x tiende a lo que se indica. Escribe la expresión algebraica de las asíntotas de cada función
63. Representa las siguientes funciones lineales:
a) 𝑦 = −3
b) 𝑦 = 5𝑥 − 1
c) 𝑦 = −2𝑥 + 1
64. Indica la pendiente y la ordenada en el origen de las siguientes funciones lineales, y di si
son crecientes o decreciente
a) 𝑓(𝑥) = 1 − 3𝑥
b) 𝑔(𝑥) = −2𝑥 − 3
c) ℎ(𝑥) = 2
d) 𝑖(𝑥) = 1 + 3(𝑥 − 2)
65. Analiza si las siguientes rectas son paralelas o secantes, y en su caso, encuentra el punto de
corte.
a) 𝑓(𝑥) = 2 + 2𝑥 𝑦 𝑔(𝑥) = 2 − 2𝑥
b) ℎ(𝑥) = −𝑥 − 1 𝑒 𝑖(𝑥) = 1 − 𝑥
66. Escribe la ecuación de la recta paralela a 𝑦 = 𝑥 − 1 que pasa por el punto (0, 3).
67. Escribe la ecuación de la recta paralela a la gráfica de 𝑓(𝑥) = −1
2𝑥 + 1 que pasa por el
punto (2, −1).
68. Escribe en cada caso la ecuación de la recta que cumple las condiciones indicadas:
a) La pendiente es −1
3, y la ordenada en el origen, -5.
b) Su pendiente es 5, y corta al eje Y en (0, 4).
c) Cuando la variable independiente aumenta una unidad, la dependiente se incrementa cuatro
unidades y 𝑓(0) = −1.
69. Un técnico de electrodomésticos cobra 15 € por desplazamiento, y 20 € por cada hora de
trabajo.
a) Escribe la expresión algebraica de la función que relaciona el tiempo empleado y el coste.
b) Dibuja la gráfica de la función.
c) ¿Cómo cambiaría la gráfica si cobrara menos por desplazamiento? ¿Y si cobrara más por
cada hora?
70. Indica cuáles de las siguientes gráficas representan funciones polinómicas de primer grado:
71. Dada una función afín, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏:
a) ¿Cuáles son su dominio y su recorrido si a es distinta de cero? ¿Y si a es cero?
b) ¿Cuáles son las coordenadas de sus puntos de corte con los ejes?
c) ¿Es posible que una función afín sea par? ¿Qué forma tiene la expresión algebraica de una
función afín impar?
d) ¿A qué es igual la TVM en un intervalo cualquiera?
72. Una empresa de paquetería cobra 10 € fijos más 1,5 € por kilo de peso del paquete. Se
considera la función que relaciona el precio de un envío con el peso del paquete enviado.
a) ¿Cuánto cobrarán por enviar un paquete que pesa 8 kgs? ¿Cuánto pesa un paquete cuyo
envío cuesta 31 €?
b) ¿Son las variables directamente proporcionales?
c) Elabora una tabla de valores, dibuja la gráfica de la función y escribe la expresión algebraica.
d) ¿Cuál es el dominio de la función modelo? ¿Y de la función real?
e) ¿Qué es lo que determinará el recorrido real de la función?
73. Indica en cuáles de estas parábolas el vértice es un máximo de la función y en cuáles es un
mínimo:
a) 𝑦 = 2𝑥2 − 𝑥 + 1
b) 𝑦 = −𝑥2 − 𝑥 − 4
c) 𝑦 = −3𝑥2 − 2𝑥 + 1
d) 𝑦 = 0,5𝑥2 − 4
74. Ordena las parábolas siguientes de menor a mayor “anchura”:
a) 𝑦 = −4𝑥2 − 𝑥 + 3
b) 𝑦 = 5𝑥2 + 3𝑥 − 5
c) 𝑦 =7
4𝑥2 − 𝑥 + 3
d) 𝑦 = −2𝑥2 + 𝑥 − 4
75. Halla los puntos de corte con los ejes de coordenadas de las parábolas siguientes:
a) 𝑦 = 𝑥2 + 4𝑥 − 4
b) 𝑦 = 2𝑥2 − 𝑥 − 3
c) 𝑦 = −𝑥2 − 0,5𝑥 + 3
d) 𝑦 = 𝑥2 − 𝑥 + 1
76. Halla las coordenadas del vértice de las parábolas del ejercicio anterior.
77. Representa las siguientes parábolas:
a) 𝑦 = 𝑥2 + 𝑥 − 2
b) 𝑦 = −𝑥2 − 3𝑥 + 4
c) 𝑦 = −0,5𝑥2 − 𝑥 + 4
d) 𝑦 = 𝑥2 − 5𝑥 + 3
78. Escribe una parábola que no corte el eje de abscisas. ¿Cómo será el signo de las ordenadas
en sus puntos?
79. Halla la ecuación de una parábola que corte el eje de abscisas en los puntos (1, 0) y (5, 0).
80. Halla la ecuación de una parábola que corte el eje de abscisas en el punto (−1, 0) y el de
ordenadas en el punto (0, −1).
81. Halla a y b sabiendo que la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 7 pasa por los puntos (2, 3) y (4, 7).
82. La gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑘𝑥 − 5 es simétrica respecto de la recta x = -2. ¿Cuál es el
mínimo valor que toma 𝑦 = 𝑓(𝑥)?
83. Halla los puntos donde se cortan la parábola y la recta:
a) Parábola 𝑦 = 𝑥2 − 7𝑥 + 5, recta 𝑦 = −𝑥 + 5.
b) Parábola 𝑦 = −𝑥2 − 1, recta 𝑦 = −𝑥 + 5
c) Parábola 𝑦 = 𝑥2 − 1, recta 𝑦 = 2𝑥 − 2
84. De las siguientes parábolas, ¿cuáles tienen su vértice sobre el eje de ordenadas? ¿Cuál es,
en ese caso, su eje de simetría?
a) 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥
b) 𝑦 = −7𝑥2
c) 𝑦 =1
4𝑥2 − 6𝑥
d) 𝑦 = 3𝑥2 + 5
85. Obtén el vértice y el eje de simetría de estas funciones. Copia en tu cuaderno cada gráfica,
dibuja el eje de simetría y determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento:
86. Si una función cuadrática es creciente en el intervalo (−∞, 2) y decreciente en (2, +∞), ¿de
qué tipo es su extremo relativo? ¿cuál será la primera coordenada de este? ¿y si es decreciente en
(−∞, −3) y creciente en (−3, +∞)?
87. Representa gráficamente estas funciones:
a) 𝑓(𝑥) =5
𝑥
b) 𝑓(𝑥) =−4
𝑥
c) 𝑓(𝑥) =−0,5
𝑥
88. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad de las funciones de la actividad anterior?
89. Dibuja la gráfica de las funciones siguientes:
a) 𝑓(𝑥) =4
𝑥+ 2
b) 𝑓(𝑥) = −2
𝑥+ 1
c) 𝑓(𝑥) =3
𝑥− 3
90. El producto de dos números es 24.
a) Exprésalo mediante una ecuación.
b) Construye una tabla con pares de números que cumplan la condición dada y haz la gráfica
que representa la función.
91. Asocia cada gráfica con una de las siguientes expresiones algebraicas. Estudia en cada una
de ellas el crecimiento, el decrecimiento y las asíntotas.
𝑓(𝑥) =5
𝑥, 𝑔(𝑥) = −
7
𝑥, ℎ(𝑥) =
7
𝑥, 𝑗(𝑥) = −
5
𝑥
92. Indica si es verdadero o falso:
a) El dominio de una función inversa, 𝑓(𝑥) =𝑎
𝑥, depende del signo de a.
b) El recorrido de una función inversa es siempre ℝ ∖ {0}.
c) Las funciones inversas son simétricas respecto al eje de ordenadas.
d) La recta x = 0 es una asíntota horizontal de cualquier función inversa.
93. Un autobús tiene que recorrer una distancia de 100 km. Haz una tabla de valores que muestre
la relación entre la velocidad del autobús y el tiempo que tarda en recorrer los 100 km. ¿A qué es
igual el producto de las dos variables? ¿Cuál es la expresión algebraica de la función?
94. Construye una tabla de valores y representa las funciones siguientes:
a) 𝑦 = −2𝑥
b) 𝑦 = − (1
2)
𝑥
+ 1
c) 𝑦 = (1
4)
𝑥
95. Clasifica las siguientes funciones en crecientes o decrecientes:
a) 𝑦 = 0,7𝑥
b) 𝑦 = −0,5𝑥
c) 𝑦 = 2,3𝑥
d) 𝑦 = 21
2𝑥
96. Representa la siguiente función lineal definida a trozos:
𝑓(𝑥) = {𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 < 23 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2
97. Dibuja la siguiente función definida a trozos:
𝑓(𝑥) = {𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −1
2𝑥 + 1 𝑠𝑖 − 1 < 𝑥 ≤ 3−𝑥 + 10 𝑠𝑖 𝑥 > 3
98. Considera la función 𝑓(𝑥) = {2
3+
𝑥
3 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −1
3𝑥 + 9 𝑠𝑖 𝑥 > −1 y calcula
𝑓(3), 𝑓(10), 𝑓(0), 𝑓(−1)𝑦 𝑓(3
4).
99. Dibuja las siguientes funciones definidas a trozos.
a) 𝑓(𝑥) = {3 − 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < −4
2𝑥 + 1 𝑠𝑖 − 4 ≤ 𝑥 < 25 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2
b) 𝑔(𝑥) = {𝑥 − 6 𝑠𝑖 𝑥 < 13𝑥
4 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1
c) ℎ(𝑥) = {8−𝑥
2 𝑠𝑖 𝑥 < 0
4 + 7𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 0
100. Calcula la imagen de x = 2 en cada una de las funciones siguientes:
a) 𝑓(𝑥) = {𝑥3 + 2 𝑠𝑖 𝑥 < 24 − 3𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2
b) 𝑔(𝑥) = {6𝑥 + 3 𝑠𝑖 𝑥 < 20 𝑠𝑖 𝑥 = 22𝑥2 − 1 𝑠𝑖 𝑥 > 2
c) ℎ(𝑥) = {8𝑥3 + 1 𝑠𝑖 𝑥 < 22 + 7𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 2
101. Dibuja 𝑓(𝑥) = |2𝑥 + 9| y 𝑔(𝑥) = |6 − 3𝑥|. Para ambas:
a) ¿Qué valores de x tienen por imagen 1?
b) ¿Cuáles tienen por imagen 0?
c) ¿Y cuáles son los que tienen por imagen -2?
102. Una empresa quiere primar las juventud a la hora de cubrir un puesto de trabajo. Para ello,
otorga a los aspirantes la siguiente puntuación:
El doble de su edad menos 35
puntos, si tiene entre 18 y 30 años.
40 puntos menos la mitad de su
edad, si tiene 30 años o más.
a) Escribe la expresión algebraica de la función
b) Representa gráficamente la función.
103. En un comercio han aplicado una rebaja a todos su artículos del siguiente modo:
El 10%, si cuestan entre 5 € y 20 € (ambos incluidos
El 20%, si cuestan más de 20 € y menos de 40 €
El 15%, si su precio es de 40 € o más
a) Escribe la expresión algebraica de la función que relaciona el precio inicial del artículo
con el que tiene después del descuento que se le aplica.
b) Represéntala gráficamente.
UNIDAD 10
ESTADÍSTICA EJERCICIOS.
1. Una empresa fabrica al año 60000 televisores del modelo A y 25000 del modelo B. En una
muestra de 300 televisores, ¿cuántos debe haber de cada modelo si queremos que el muestreo sea
estratificado proporcional?
2. En un centro escolar hay 675 alumnos de ESO y 475 de Bachillerato. Se quiere escoger una
muestra de 46 alumnos. ¿Cuántos hay que elegir de cada nivel para que el muestreo sea estratificado
proporcional?
3. Clasifica las siguientes variables estadísticas en cualitativas, cuantitativas discretas o
cuantitativas continúas:
a) Color de pelo.
b) Duración de un balón en buenas condiciones.
c) Número de turistas que llegan a Cádiz.
d) Peso de los deportistas de un club.
e) Marcas de los coches en circulación.
f) Tiempos cronometrados en una contrarreloj.
4. Si sabemos que una muestra de 2500 personas es representativa de una población de 300000, y
que de esas 2500 personas, 500 son menores de edad, ¿cuántos menores hay en la población?
5. La siguiente tabla informa del uso de la sala de musculación de un polideportivo municipal:
Se quiere realizar una encuesta a 40 personas sobre las instalaciones. ¿Cuántos usuarios de cada
modalidad tendría que haber en la muestra?
6. Elabora la tabla de frecuencias relativas, frecuencias acumuladas y frecuencias porcentuales de
los siguientes datos:
0, 1, 3, 5, 6, 2, 3, 1, 4, 2, 1, 0, 7, 8, 3, 2, 5, 4, 3, 2, 8, 4, 5, 6, 2, 1, 0, 4, 3, 6, 1, 7, 8, 4, 7, 2, 8, 4,
4, 2
7. En una comunidad autónoma se realiza una encuesta a 4500 alumnos que acaban los estudios de
ESO. Se obtiene que el 34 % de los encuestados seguirá estudiando Bachillerato, el 20 % comenzará
estudios de Formación Profesional, el 24 % realizará otro tipo de estudios y el resto se reincorporará
al mundo laboral. Construye una tabla de distribución de frecuencias con los datos obtenidos.
8. Copia en tu cuaderno y completa la siguiente tabla de frecuencias:
𝑥𝑖 𝑛𝑖 𝑓𝑖 𝑝𝑖 𝑁𝑖
20 15
21 0,18
22 9 %
23 70
24 100
9. Un grupo de voluntarios ha colaborado en la limpieza de un monte; el número de personas que
ha participado cada uno de los primeros 60 días ha sido:
31, 25, 19, 21, 33, 35, 16, 43, 43, 25, 42, 29, 22, 22, 20, 18, 38, 21, 24, 36, 38, 39, 18, 44, 35,
18, 22, 28, 34, 40, 21, 27, 31, 36, 42, 20, 25, 38, 46, 21, 24, 39, 43, 16, 25, 36, 20, 36, 21, 35, 20,
27, 32, 21, 40, 18, 24, 23, 16, 20
Agrupa los datos en cinco intervalos y construye una tabla de distribución de frecuencias
completa.
10. Los siguientes datos corresponden a la edad de las personas que han acudido a una función de
teatro. Ordena los datos en una tabla de frecuencias:
10, 13, 20, 18, 15, 13, 14, 14, 12, 11, 19, 15, 16, 12, 13, 11, 10, 19, 13, 17, 19, 11, 13, 16,
16, 17, 10, 19, 11, 19, 10, 10, 20, 12
11. Se tiene la duración, en minutos, de 40 llamadas telefónicas realizadas por una empresa.
Distribuye los datos en 6 intervalos y elabora una tabla de frecuencias:
3,2; 1,5; 4,2; 5,3; 5; 6,4; 13; 2,6; 3,4; 4,2; 7,8; 6,1; 7; 8,2; 5,3; 6,4; 9,1; 10; 1; 3,5; 4,9; 3; 3,4;
2,1; 12; 9,7; 9; 8,5; 2,6; 5,8; 3,6; 4,2; 4; 5,9; 8,7; 7,5; 4,6; 5,3; 2,1; 3
12. En el estudio de una variable X se obtuvo la siguiente distribución de frecuencias:
𝑥𝑖 2 3 4 5 6
𝑓𝑖 1 7 3 4 5
13. Las puntuaciones conseguidas en un test de cultura general realizado a 45 estudiantes fueron:
8 1 9 9 1 6 6 8 3 2 5 2 9 5 4 2 3 4 1 9 3 1
2 8 4 7 4 3 7 8 3 5 1 8 9 5 3 7 7 8 5 5 8 8 1
Construye la tabla completa de frecuencias.
14. El número de llamadas perdidas al día que realizan 30 alumnos de 4º ESO de un centro es:
30, 10, 17, 62, 57, 48, 74, 32, 47, 34, 12, 16, 15, 65, 22, 44, 38, 13, 36, 28, 40, 61, 53, 52, 31,
27, 25, 20, 19, 38
Agrupa los datos en clases y elabora una tabla de frecuencias.
15. La serie de datos siguiente informa del precio de 1 l de leche (en céntimos de euro) en varios
supermercados:
90 110 120 85 90 88 85 115 125 90 94 86 85 96 100 110 114 122 95 98 105
110 100 95 90 100 112 114 99 104 119 110
a) Haz una tabla de frecuencias absolutas, relativas y acumuladas con datos
agrupados en clases.
b) Representa los datos en un gráfico de sectores.
c) Construye un histograma de los datos y traza el polígono de frecuencias.
d) ¿Cuál es el intervalo de precios más frecuente?
e) ¿Qué porcentaje de supermercados tienen el precio de la leche por debajo de 100
céntimos por litro?
16. El número de personas (en miles) que usan ordenador habitualmente en España ha evolucionado
de la forma siguiente:
Año Nº de personas
2005 7292
2006 8317
2007 9944
2008 11443
2009 13525
2010 15127
a) Representa los datos en un diagrama de barras.
b) Representa los datos en un diagrama de sectores.
c) Representa los datos en un pictograma.
17. El número de matriculados en las distintas enseñanzas universitarias en el curso 2009-2010
se recoge en la tabla siguiente:
Clase de enseñanza Nº de matriculados
Arquitectura e Ingenierías Técnicas 169204
Diplomaturas 315231
Licenciaturas 570745
Arquitectura e Ingenierías 139277
Grados 197726
Posgrados 83700
Doctorados 63466
a) Halla la frecuencia relativa en porcentaje.
b) ¿Puedes calcular las frecuencias acumuladas?
c) Representa los datos en un gráfico de sectores.
18. Un biólogo, que realiza un estudio sobre la longitud de las musarañas que viven en un bosque,
ha encontrado los siguientes datos:
5,42 6,22 8,42 7,54 6,44 6,76 5,90 6,18 7,16 6,80 7,32 8,12 6,79 7,12 8,21 8,13
7,25 7,34 5,56 8,32 7,45 7,43 6,87 7,10
a) Construye una tabla de datos agrupados en cinco intervalos de amplitud 0,6 cm. Halla las marcas
de clase y las frecuencias absolutas, relativas y acumuladas.
b) Representa los datos en un histograma.
19. Las víctimas mortales en accidentes de circulación en España en los últimos años han sido:
Año Número de personas
2005 4522
2006 4144
2007 3811
2008 3030
2009 2588
a) Representa los datos en un gráfico adecuado.
b) Halla la media anual de víctimas mortales.
c) Observa que el número de víctimas decrece con el paso del tiempo. Investiga cuáles pueden
ser las causas de este hecho.
20. La tabla adjunta muestra el número de faltas de asistencia en una clase a lo largo de un mes.
Nº de faltas 0 1 2 3 4 5
Nº de
alumnos
10 7 6 2 1 4
Halla la media aritmética, la moda y los cuartiles de la distribución.
21. La tabla adjunta muestra los resultados de unos alumnos en la prueba de salto con pértiga.
Medida del salto
(m) [2; 2,5) [2,5; 3) [3; 3,5) [3,5; 4)
Nº de alumnos 6 12 15 4
Calcula la media aritmética, la moda y los cuartiles de la distribución.
22. Calcula la media aritmética, la varianza y la desviación típica de la distribución dada por la
siguiente tabla:
𝑥𝑖 3 4 5 6 7 8 9
𝑓𝑖 2 5 11 15 10 6 2
23. Dados los datos de la siguiente tabla:
Clases [10, 20) [20, 30) [30, 40) [40, 50) [50,60)
𝑓𝑖 5 12 20 11 6
Calcula la media aritmética, la varianza y la desviación típica de la distribución asociada.
24. Una distribución viene dada por la siguiente tabla:
𝑥𝑖 3 4 5 6 7 8 9
𝑓𝑖 2 5 11 15 10 6 2
Calcula la media, la desviación típica y halla el porcentaje de datos incluidos en los
intervalos (�̅� − 𝜎, �̅� + 𝜎); (�̅� − 2𝜎, �̅� + 2𝜎); (�̅� − 3𝜎, �̅� + 3𝜎)
25. En una tabla se recogen los datos correspondientes a una distribución estadística.
Clases [1, 2) [2, 3) [3, 4) [4, 5) [5, 6) [6, 7) [7, 8)
𝑓𝑖 6 12 15 20 16 11 6
Calcula la media, la desviación típica y halla el porcentaje de datos incluidos en los
intervalos (�̅� − 𝜎, �̅� + 𝜎); (�̅� − 2𝜎, �̅� + 2𝜎); (�̅� − 3𝜎, �̅� + 3𝜎)
26. Calcula el coeficiente de variación de la siguiente distribución:
𝑥𝑖 1 2 3 4 5 6 7
𝑓𝑖 5 12 18 11 7 4 1
27. La siguiente tabla presenta el número de horas semanales que dedican al estudio
los 30 alumnos de una clase de 4º ESO.
Nº de horas Nº de alumnos
[0, 4) 8
[4, 8) 10
[8, 12) 8
[12, 16) 4
a) Halla la media, la moda, la mediana y los otros dos cuartiles.
b) Calcula el rango, la varianza y la desviación típica.
c) Representa el histograma y el polígono de frecuencias.
28. ¿Puede ser que la media no coincida con ningún valor de la variable? ¿Y
la moda?. Razona tus respuestas.
29. Averigua el dato que falta en la siguiente distribución para que la media sea .
7 12 15 22 23 28 32
30. Calcula �̅� y 𝜎 en las siguientes distribuciones:
a)
Calificación Nº de alumnos
0 2
1 1
2 3
3 7
4 7
5 2
b)
Nº de CD Nº de alumnos
[30, 40) 2
[40, 50) 1
[50, 60) 5
[60, 70) 8
[70, 80) 3
[80, 90) 1
31. La siguiente gráfica representa el número de litro de agua bebidos
semanalmente por cada uno de los componentes de un grupo de 100 personas. Calcula la media y
la desviación típica.
32. Un saltador de longitud debe hacer, como mínimo, una media de 8,17, en los
cinco saltos de una fase de clasificación. Si sus cuatro primeros saltos han sido de 8,41 m, 7,89 m,
8,16 m y 7,95 m, ¿qué longitud mínima debe alcanzar en el quinto salto
33. Los siguientes diagramas representan una misma variable estudiada en dos
poblaciones distintas:
a) ¿En cuál de ellas será la media más representativa?
b) Calcula la media y la desviación típica, y compáralas con tu respuesta al apartado anterior.
34. La edad media de los profesores de un instituto es de 48 años. Si estos profesores continúan en
el centro un año más tarde, ¿cuál será su edad media?.
35. A continuación, se recoge el número de mensajes de móvil que cada uno de los 25 jóvenes de
un grupo ha recibido en un día. Calcula el número medio de mensajes, el número de mensajes más
frecuente, la mediana y los cuartiles
0, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 4, 5, 2, 1, 4, 3, 5, 5
36. Los siguientes datos correponden a los precios, en euros, de 25 libros que están en oferta:
10, 8, 12, 9, 11, 11, 11, 12, 9, 10, 11, 12, 11, 10, 8, 11, 10, 10, 9, 10, 11, 11, 12, 9, 15
a) Calcula el precio medio, el precio más frecuente y el que ocupa la posición media entre todos
los precios de la oferta.
b) Calcula los cuartiles.
37. Se ha hecho un estudio sobre la estatura y la edad de los integrantes de una liguilla de baloncesto.
Calcula la moda, la mediana y los cuartiles de cuartiles de cada carácter.
a)
Estatura (m) 𝑝𝑖
[1,65; 1,70) 15 %
[1,70; 1,75) 31,25 %
[1,75; 1,80) 12,5 %
[1,80; 1,85) 2,5 %
[1,85; 1,90) 26,25 %
[1,90; 1,95) 12,5 %
b)
Edad (años) 𝑝𝑖
16 15 %
17 26,25 %
18 16,25 %
19 17,5 %
20 15 %
21 10 %
38. ¿Qué parámetro es tal que el 25 % de los datos de la distribución son inferiores o iguales a él y
el 75 % superiores o iguales a él?
39. ¿Qué tanto por ciento de los datos de una distribución son menores o iguales que el tercer
cuartil? ¿Y mayores o iguales?
40. Calcula el recorrido, el recorrido intercuartílico y el coeficiente de variación de los siguientes
datos:
a) 15, 20, 16, 15, 19, 16, 17, 19, 23, 21
b)
𝑥𝑖 10 15 20 25 30 35
𝑛𝑖 4 12 5 4 4 3
41. Las distancias, en kilómetros, que Pepe ha corrido cada uno de los 30 días de un mes son:
12, 10, 14, 11, 13, 13, 11, 14, 11, 12, 13, 14, 13, 12, 10, 13, 12, 12, 11, 12, 13, 13, 14, 11, 15, 8,
14, 15, 10, 13
Calcula el recorrido y el recorrido intercuartílico.
42. En una oficina de atención al consumidor se ha hecho un estudio sobre la duración, en días, de
dos marcas diferentes de bombillas. Los resultados son:
Duración(días) Marca A Marca B
[15, 19) 2 9
[19, 23) 8 5
[23, 27) 11 2
[27, 31) 6 6
[31, 35) 3 8
a) Haz un histograma con los datos de cada marca.
b) ¿En cuál te parece que la media es más representativa? Halla el coeficiente de variación de
cada una y comprueba tu respuesta.
c) ¿Qué marca de bombillas comprarías? ¿Por qué?
43. Las calificaciones finales de los alumnos de dos clases distintas del mismo curso son estas:
Clase A: 6, 5, 5, 1, 2, 3, 5, 6, 3, 4, 8, 4, 4, 5, 6, 6, 9, 5, 5, 6, 7, 6, 6, 5, 6
Clase B: 8, 9, 1, 1, 2, 7, 3, 6, 7, 10, 1, 4, 2, 3, 10, 8, 3, 4, 4, 5, 8, 9, 4, 9, 10
a) Realiza un diagrama de barras de cada clase.
b) Calcula, para cada una, la media, la mediana, la desviación típica, lor rangos y el coeficiente de
variación.
44. En una residencia de ancianos, se ha tomado la muestra siguiente de las edades
( en años) de los residentes: 76, 82, 85, 81, 79, 82, 84, 90, 87, 91, 86, 84, 83, 92, 85, 81, 83, 75, 77
y 79. Halla la media, la moda y la mediana.
45. Los salarios mensuales de cinco empleados de una empresa son 900 €, 1000 €, 1500€, 2000
€ y 2100 €. Se incorpora a la empresa un nuevo empleado con 3000 € de salario mensual:
a) Halla la media de los cinco empleados iniciales.
b) Halla la media de los salarios después de la incorporación del nuevo empleado.
46. Los treinta y tres alumnos de un grupo que se examinaron de Estadística tuvieron las
siguientes calificaciones:
9 5 6 7 3 6 8 5 7 6 9 7 4 3 6 8 7 6 9 2 5 4 8 6 5 7 6 4 6 5 8
6 10
a) Resume las calificaciones en una tabla.
b) ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvo 5? ¿Cuál fue el porcentaje de
suspensos?
c) ¿Cuál es la nota media del examen? ¿Y la nota más frecuente?
d) ¿Qué porcentaje de alumnos aprobaría si se aprobara con 4 o más puntos?
e) Halla la nota media, los cuartiles y los percentiles 80 y 90.
47. Se realiza una encuesta sobre el número de zapato que calzan un grupo de personas y se
obtienen los siguientes resultados:
37 41 39 42 38 36 43 42 41 37 40 39 42 38 36 44 42 20 37 41
Calcula la media aritmética, el recorrido, la varianza y la desviación típica.
UNIDAD 11
PROBABILIDAD EJERCICIOS.
1. Describe el espacio muestral de los siguientes experimentos:
a) Lanzamos un dado de 12 caras y anotamos si el valor de su cara es par o impar.
b)Lanzamos dos dados de 6 caras y anotamos los respectivos valores de la cara superior.
c) Lanzamos dos monedas idénticas y vemos si sale cara o cruz en cada una.
2. Se lanzan dos dados de 4 caras y se observa el resultado de la cara inferior en cada uno de
ellos.
a) Halla el espacio muestral de este este experimento.
b) Escribe tres sucesos compuestos.
3. Se lanza un dado de 8 caras y se anota el resultado de la cara superior. Forma los siguientes
sucesos:
a) Obtener un número impar.
b) Obtener un número que sea múltiplo de 3.
c) Obtener 9.
d) Obtener un número menor o igual que 7.
e) ¿Hay algún par de estos sucesos que no compartan ningún elemento?. En caso afirmativo,
¿cuáles?.
4. Se lanza un dado de 6 caras al aire y se anota el resultado de la cara superior. Forma estos
sucesos:
a) �̅�, 𝐵 ̅ 𝑦 𝐶̅ b) 𝐴 ∪ 𝐵
c) 𝐴 ∩ 𝐵
d) 𝐶̅ ∪ 𝐵
e) �̅� ∩ �̅�
f) 𝐴 ∪ 𝐵̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
Siendo A: obtener número par, B: obtener múltiplo de 3 y C: obtener número mayor o igual que 3.
5. Se lanzan dos monedas al aire y se anota el resultado obtenido en la cara superior. Describe
el espacio muestral y forma los siguientes sucesos:
a) Obtener dos caras.
b) Obtener una cara exactamente.
c) No obtener ninguna cara.
d) Obtener al menos una cara.
e) Obtener como máximo una cara.
6. Se lanzan dos dados cúbicos (6 caras) y se anotan los resultados obtenidos en la cara
superior. Describe el espacio muestral y forma los siguientes sucesos:
a) Obtener al menos un 6.
b) Obtener exactamente un 6.
c) Obtener dos seises.
d) No obtener ningún seis.
e) Obtener seis como suma de los otros dos valores.
f) Obtener dos unidades como diferencia entre el valor más alto y el más bajo.
7. Se lanzan simultáneamente un dado cúbico y una moneda y anotamos los resultados
obtenidos en la cara superior. Describe el espacio muestral y forma los siguientes sucesos:
a) Obtener un seis.
b) Obtener una cruz.
c) Obtener un número par.
d) Obtener una cruz y un número par.
e) Obtener una cara y un número impar.
f) Obtener una cara y un número mayor que 4.
8. Halla el espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios y calcula cuántos sucesos
lo forman:
d) Lanzar dos dados al aire y anotar la puntuación más alta entre los dos dados.
e) Lanzar dos dados al aire y anotar la puntuación más baja entre los dos dados.
f) Lanzar dos dados al aire y anotar la suma de puntos de las caras obtenidas.
g) Lanzar dos dados al aire y anotar la diferencia de puntos de las caras obtenidas.
9. Se lanza un dado cúbico y se consideran los sucesos A = {1, 3, 5}, B = {2, 3, 4} y C = {1,
6}. Forma los sucesos siguientes:
a) 𝐴 ∩ 𝐵̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
b) 𝐴 ∩ 𝐵
c) �̅� ∪ �̅�
d) 𝐴 ∪ 𝐶̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
e) (𝐴 ∪ 𝐶) ∩ (𝐴 ∪ �̅�)
f) (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶̅)
10. Se realiza el experimento aleatorio de extraer una carta de una baraja española y anotar el
resultado. Sean los sucesos siguientes:
A: obtener una carta de bastos
B: obtener una figura
C: obtener un caballo
D: obtener el caballo de bastos
Describe los sucesos siguientes:
a) 𝐴 ∪ 𝐶
b) 𝐴 ∩ 𝐵
c) �̅�
d) 𝐵 ∩ 𝐷
11. En una bolsa hay 9 bolas numeradas del 1 al 9. Se saca una bola al azar y se anota su número.
a) Explica si el experimento es aleatorio.
b) Determina el espacio muestral.
c) Forma dos sucesos compuestos y sus contrarios.
12. Se hace girar una ruleta que tiene 6 compartimentos numerados del 0 al 5 y se apunta el
número donde se detiene la bola.
a) ¿Es aleatorio este experimento?.
b) Determina el espacio muestral.
c) Forma los sucesos contrarios de A ={2, 4}, B = {1, 3, 5} y C = {3}.
13. Indica si los siguientes experimentos son aleatorios y, en caso afirmativo, describe el espacio
muestral correspondiente.
c) Hacer girar la fecha de una ruleta dividida en 6 sectores numerados del 1 al 6 y anotar el
número en el que se detiene.
d) Apuntar el tiempo que emplea un vehículo en recorrer 80 kilómetros, si circula a 80
kilómetros por hora.
e) Sacar al azar una carta de una baraja española y anotar a qué palo pertenece.
14. En el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado con 10 caras numeradas del 1 al
10 consideramos los siguientes sucesos:
A = salir un número par
B = salir un número múltiplo de 4
a) Forma los sucesos A, B y sus contrarios.
b) Halla 𝐴 ∪ 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐵, �̅� ∪ 𝐵, �̅� ∩ 𝐵.
c) ¿Son compatibles los sucesos A y B? ¿Y los sucesos �̅� y B? Razona tus respuestas.
15. En una fábrica de vasos se han elegido al azar series de 500 vasos y se ha comprobado si
eran defectuosos o no. Los resultados son los siguientes:
Nº de vasos 500 1000 1500 2000 2500 3000
Nº de defectuosos 4 6 8 9 13 16
¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuoso un vaso elegido, al azar, entre todos los fabricados?.
16. Se realiza el experimento que consiste en extraer una carta de una baraja española de 40.
Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:
a) A = “ as “
b) B = “ oro “
c) C = “ figura “
d) D = “ no es una espada “
17. Los alumnos de 4º ESO deciden elegir al azar a dos compañeros para que el primero se
encargue del tablón de anuncios, y el segundo de cerrar con llave la puerta del aula. Si Javier,
Carmen, Ángeles, Gerardo y Esther se presentan voluntarios, calcula estas probabilidades:
a) El primero es un chico y la segunda es una chica.
b) Los dos son chicos.
c) Las dos son chicas.
d) Al menos uno de los elegidos es chico.
18. Una urna contiene 3 papeletas con la palabra “ coche “, 4 con “ moto “, 7 con “ equipo de
música “, 10 con “ flauta “ y 20 papeletas en blanco. Si sacas una papeleta al azar, halla la
probabilidad de que:
a) Sea un coche.
b) Sea una papeleta en blanco.
c) No sea una moto.
d) No sea una papeleta en blanco.
e) Si quitamos todas las papeletas en blanco, ¿Cuál es la probabilidad de que te toque algún regalo?.
19. Elegimos un número al azar del 1 al 50. Halla la probabilidad de estos sucesos:
a) A = “ mayor que 18 “
b) B = “ acaba en 7 “
c) C = “ empieza por 2 “
d) D = “ tiene al menos un 1 “
20. Un centro cultural organiza una Lotería Primitiva entre sus socios. El juego consiste en
elegir 3 números del 1 al 6 y acertar la combinación ganadora.
a) Construye el espacio muestral que represente todas las posibles combinaciones que pueden salir.
Ten en cuenta que, por ejemplo, la combinación 2, 5, 6 es igual que la combinación 5, 2, 6.
b) Calcula la probabilidad de obtener el premio si se apuesta a una sola combinación.
21. Se extrae al azar una ficha de un dominó. Calcula la probabilidad de que la suma de los
puntos de la ficha sacada sea superior a 5.
22. La baraja francesa está compuesta de 54 cartas, de las cuales, 2 son comodines y las 52
cartas restantes están repartidas por igual en 4 palos: picas, corazones, tréboles y diamantes.
Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos del experimento que consiste en extraer al azar
una carta de la baraja francesa.
a) Sacar una pica o una figura.
b) Sacar una carta de palo rojo.
c) Sacar una carta de palo negro o figura.
d) Sacar una carta de palo rojo y menor que 5.
e) No sacar un comodín.
23. En una urna hay tres bolas rojas, dos bolas negras y cuatro bolas blancas. Extraemos una
bola al azar y observamos el color. ¿Cuál es la probabilidad de cada color?.
24. Lanzamos dos veces un dado de seis caras. Calcula la probabilidad de que la suma de las
puntuaciones sea siete.
25. En una fábrica de lapiceros, por cada quinientas unidades producidas se estima que cuatro
salen defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de que un lápiz salga defectuoso?.
26. Se lanzan dos dados equilibrados, el primero de seis caras y el segundo de cuatro caras.
Halla la probabilidad de que:
a) La suma sea menor que 11.
b) La suma sea mayor que 6.
c) El primero sea par y el segundo impar.
d) La diferencia entre los dos valores sea 2.
27. ¿Cuál es la probabilidad de obtener el as de copas al extraer una carta al azar de una baraja
española si sabemos que la carta extraída no es una figura? ¿Y si sólo sabemos que no es un rey?.
28. ¿Cuál es la probabilidad de que un número natural de una o dos cifras elegido al azar sea
par si sabemos que es menor que 45?.
29. De una urna que contiene cinco bolas negras, quince bolas rojas y seis bolas blancas se
extrae una bola. Calcula la probabilidad de que la bola sea negra. ¿Y si nos dicen que la bola no es
blanca?.
30. ¿Es posible que en un experimento aleatorio se cumpla que P(A) = 0,3, P(B) =0,9 y P(𝐴 ∩𝐵) = 0,1?.
31. ¿Es posible que en un experimento aleatorio se cumpla que P(A) = 0,5, P(B) = 0,7, P(𝐴 ∩𝐵) = 0,2 y P(𝐴 ∪ 𝐵) = 0,9?.
32. Si en una caja de treinta bombones hay diez con nueces, veinticinco son de chocolate y cinco
son de nueces con chocolate, ¿hay algún bombón que no tenga nueces ni chocolate? ¿Y si hubiese
seis bombones de nueces con chocolate?.
33. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número primo al lanzar un dado equilibrado de veinte
caras si sabemos que el valor de la cara superior es mayor que cinco? ¿Y si sabemos que es menor
o igual que quince?.
34. En una determinada ciudad se sabe que, para personas de más de 60 años, la probabilidad
de padecer una enfermedad de corazón es 0,15 y la de padecer artrosis es 0,25. También se sabe
que la probabilidad de sufrir ambas enfermedades es 0,08. Elegida al azar una persona de más de
60 años, ¿cuál es la probabilidad de que enferme de corazón o de artrosis?.
35. En un experimento aleatorio se ha obtenido que la probabilidad de un suceso A es 0,31, y la
de un suceso B, es 0,69. ¿Podemos asegurar que A y B son sucesos contrarios?.
36. Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:
a) El suceso contrario al suceso seguro es el suceso imposible.
b) P(A) puede ser igual a 1,3.
c) A y B son incompatibles si 𝐴 ∪ 𝐵 = ∅.
d) Si P(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵), entonces A y B son compatibles.
e) Si 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =1
5, 𝑃(𝐴) =
2
7 𝑦 𝑃(𝐵) =
3
7, entonces 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) =
5
7.
37. Consideramos el experimento que consiste en extraer una carta española y estos sucesos: A
= “ oros “, B = “ figura “, C = “ as “ y D = “ caballo “. Describe cada suceso y calcula su probabilidad:
d) A/B
e) A/C
f) B/C
g) A/D
h) B/D
i) C/D
38. Un grupo de amigos está formado por 5 chicas y 3 chicos. De ellos, 2 chicas y 2 chicos
juegan al baloncesto. Si se elige uno al azar, calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:
a) Chica.
b) No juega al baloncesto.
c) Chico y juega al baloncesto.
d) Juega al baloncesto, si la elegida es chica.
e) Juega al baloncesto, si el elegido es chico.
39. En la extracción de una carta de una baraja se consideran; A = “ espadas “ y B = “ figura “.
Calcula:
a) 𝑃(𝐴), 𝑃(𝐵), 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵), 𝑃(𝐵/𝐴)𝑦 𝑃(𝐴/𝐵).
b) ¿Son los sucesos A y B independientes?.
40. Marta tiene en una estantería 48 libros y 26 DVD, de los cuales 15 libros y 10 DVD son de
aventuras. Organiza los datos en una tabla de contingencia y calcula la probabilidad de que coja al
azar:
a) Un DVD.
b) Un libro.
c) Un libro que no sea de aventuras.
d) Un DVD de aventuras.
e) Algo de aventuras, si se sabe que es un libro.
f) Un DVD, si se sabe que no es de aventuras.
41. Una empresa ha recibido, en un día, 368 escritos entre correos electrónicos y cartas. El
número de correos electrónicos ha sido 238, de los que 130 eran publicidad. Del total de escritos
recibidos, 180 eran publicidad. Organiza los datos en una tabla de contingencia y calcula la
probabilidad de que un escrito elegido al azar:
a) Sea un correo electrónico.
b) Sea una carta.
c) No sea publicidad.
d) Sea una carta no publicitaria.
e) Sea un correo electrónico, si se sabe que ha sido publicidad.
f) Sea publicidad, si se sabe que ha sido una carta.
42. De los 120 alumnos de 4º ESO de un centro, 95 han aprobado las matemáticas y, de estos,
2 suelen faltar a las clases. Hay 22 alumnos que no han aprobado y que han faltado a las clases.
Ordena los datos en una tabla de contingencia y calcula la probabilidad de que, elegido un alumno
al azar:
a) Apruebe matemáticas.
b) Falte a clase.
c) No falte y no apruebe.
d) Apruebe, si se sabe que el elegido falta a clase.
43. En una urna con 15 bolas, hay cinco negras, cuatro rojas y el resto blancas. Extraemos sin
reposición dos bolas. Halla la probabilidad de:
a) Obtener dos blancas.
b) Obtener dos rojas.
c) Obtener una y sólo una bola negra.
44. De una bolsa con cincuenta frutos secos que contiene veinte nueces, doce pistachos y el
resto son avellanas, nos comemos dos frutos secos. Halla la probabilidad de que:
a) Sean pistachos.
b) Sean un pistacho y una avellana.
c) Sean del mismo tipo.
d) Sean de distinto tipo.
45. De una baraja española extraemos dos cartas simultáneamente. Halla la probabilidad de que:
a) Sean del mismo palo.
b) Los palos sean distintos.
c) Formen una pareja.
d) Sean dos figuras.
46. Se extraen simultáneamente dos bolas de una bolsa que contiene 3 bolas blancas y 5 bolas
negras. Calcula la probabilidad de obtener dos bolas blancas y la de no obtener ninguna bola blanca.
47. Una urna, U1, contiene 2 bolas rojas, 3 blancas y 5 verdes, y otra, U2, contiene 4 bolas rojas,
2 blancas y 4 verdes. Se lanza una moneda y, si sale cara, se extrae una bola de U1 y, si sale cruz,
se extrae de U2. Calcula las probabilidades:
a) La bola se elige de U1.
b) En la moneda sale cara y la bola extraída es verde.
c) La bola es verde, si se sabe que ha salido cara.
d) En la moneda sale cruz y la bola extraída es blanca.
e) La bola es blanca, si se sabe que ha salido cruz.
f) La bola extraída es roja, si se sabe que ha salido cruz.
g) La bola es verde y ha salido cara.
h) La bola es roja.
i) La bola es verde.
j) La bola es blanca.
48. Felipe es un chico muy desordenado y guarda sus calcetines sueltos y revueltos en un cajón.
Tiene cinco pares de calcetines blancos, tres pares de negros y dos de rojos. Por la mañana al vestirse
elige, al azar, dos de los calcetines del cajón. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:
a) El primer calcetín elegido es blanco.
b) El segundo calcetín es rojo si el primero ha sido negro.
c) El primer calcetín es blanco y el segundo negro.
d) Uno es rojo y el otro negro.
e) Los dos son negros.
f) Los dos son blancos.
g) Los dos son del mismo color.
49. Se extraen dos cartas de una baraja, con reemplazamiento, y se observa si son o no figuras.
Calcula las siguientes probabilidades:
a) Las dos caras son figuras.
b) La primera no es una figura y la segunda sí lo es.
c) La segunda carta no es una figura, si se sabe que la primera sí lo ha sido.
d) La segunda carta es una figura.
Calcula las mismas probabilidades anteriores, considerando que la extracción de las cartas se hace
sin reemplazamiento.
50. Sean tres bolsas con bolas. La primera contiene 3 bolas negras y 5 blancas; la segunda, 7
bolas negras y 3 blancas, y la tercera, 5 bolas blancas y 7 negras. Se extrae una bola de una de las
bolsas elegida al azar. ¿Cuál el la probabilidad de que la bola sea blanca? ¿Y de que sea negra?.
51. La empresa A produce el triple de lavadoras que la B. La probabilidad de que una lavadora
fabricada en A sea defectuosa es de 0,05 y de 0,3 si es fabricada en B. Calcula la probabilidad de
que una lavadora que ha resultado defectuosa proceda de A.
52. El 60 % de las personas mayores de 60 años de una población están jubiladas. Además, se
sabe que sigue conduciendo el 30 % de las personas jubiladas y el 55 % de las personas mayores
de 60 años que no están jubiladas. Se elige, al azar, una persona de más de 60 años. Calcula la
probabilidad de los siguientes sucesos:
a) No conduce y se sabe que está jubilada.
b) No está jubilada y conduce.
c) Conduce y se sabe que no está jubilada.
d) Está jubilada y no conduce.
e) Conduce.
53. El 50 % de los trabajadores de una ciudad cogen el metro para acudir a su centro de trabajo,
el 30 % coge el autobús y el 20 % su coche particular. Las probabilidades de que estos medios de
transporte se averíen son, respectivamente, del 2 %, 10 % y 15 %. Si se elige a un trabajador al azar,
calcula las siguientes probabilidades:
a) No utiliza el metro.
b) Utiliza el autobús y tiene una avería.
c) Su medio de transporte tiene una avería, si se sabe que ha cogido el autobús.
d) Su medio de transporte tiene una avería.
e) Utiliza el coche y no tiene avería.
