Vigas curvas.

La teoría de la flexión de vigas curvas. Se considera solo vigas que tengan un eje de simetría de su sección recta situada en el plano longitudinal de las vigas se trata únicamente el caso elástico con las suposición usual del modulo de elástico es el mismo de la tensión a la compresión.

Las vigas curvadas que permite el estrés que se determinen por las formas como ganchos de la grúa y los anillos. Cuando las dimensiones de la sección transversal son pequeñas en comparación con el radio de curvatura del eje longitudinal la teoría de la flexión puede ser relativamente precisa. Cuando esto no es el caso, incluso mediante la modificación de Bernoulli-Euler sólo proporciona soluciones aproximadas

ε = cepa e = excentricidad (r c - n r) (m) c c = distancia desde el eje centro de gravedad a la superficie interna. (m) c i = Distancia del eje neutro a la superficie interna. (m) o c = Distancia del eje neutro a la superficie exterior. (m) d φ = Superficie de rotación resultante de la flexión σ = tensión (N / m 2)

E = Módulo de Young = σ / e (N / m 2) y = distancia de la superficie de la superficie neutra (m). n r = radio del eje neutro (m). r c = radio del centro de gravedad (m). r = radio del eje considerado (m). I = momento de inercia (4 m - de manera más normal de 4 cm) Módulo de la sección Z = E / y max (m 3 - de manera más normal de 3 cm.

Análisis para vigas curvas.

La sección transversal de la viga tiene un plano de simetría. Asumimos que las cargas aplicadas todas en un mismo plano, el cual coincide con el plano de simetría. Las cargas aplicadas producen un momento positivo, mostrado, en cada sección de la viga curva. Además, por causa del momento, el radio de curvatura, en cada sección de la viga, se incrementa en una magnitud. Deseamos determinar una formula aproximada para la distribución de la tensión circunferencial sqq sobre la sección BC. Un diagrama de cuerpo libre de esfuerzos de la viga es mostrado en la (elemento FBCH).

La tracción normal N, en el centroide la sección transversal, el cortante V, y el momento Mx, actuando sobre la cara FH son mostrados en sus dirección positivas. Estas fuerzas deben ser balanceadas por las resultantes durante la tensión normal sqq y la tensión de corte srq que actúa sobre la cara BC. Generalmente, el efecto del esfuerzo s rq en el calculo de sqq es pequeño, excepto para vigas curvas con tramas muy delgadas. Sin embargo, ordinariamente, en la practica estas vigas de trama delgada no se diseñan por la posibilidad de fallas debido a una tensión radial excesiva, en la practica, negar el efecto de srq sobre sqq es razonable.Dejemos al eje z ser normal a la cara BC (figura 8-2.1b). Por equilibrio de fuerzas en la dirección de z y de momentos al eje centroidal x, encontramos 

Ó

 Donde R es la distancia del centro de curvatura de la viga curva al centroide de la sección transversal y r coloca el elemento dA del centro de curvatura. La integra de la ecuación (8-2.1) y (8-2.2) no puede ser evaluada hasta que sqq sea evaluada en términos de r. La relación fundamental entre sqq y r es obtenida de la geometría supuesta de deformación y las relaciones de esfuerzo-deformación del material. La figura 8-2.1b representa el elemento FBCH en estado no deformado, F*B*C*H* nos representa en la misma figura después de deformación por las cargas. Simplemente, hemos colocado al elemento deformado de tal manera que la cara B*C*, coincida con la cara BC. Como en el caso de vigas rectas, suponemos que B*C* permanece plano bajo la deformación. La cara F*H* de la viga deformada forma un ángulo D(dq) con respecto a FH. La intersección de sus líneas ocurre en el eje neutral de la sección transversal (para el cual sqq=0) a la distancia Rn del centro de curvatura. El movimiento del centro de curvatura 0 a 0* es exagerado en la figura 8-2.1b para visualizar los cambios en la geometría. Para desplazamientos infinitesimales, el movimiento del centro de curvatura es infinitesimal. La elongación deqq de un típico elemento en la dirección q es igual  a la distancia entre caras FH y F*H* y varia linealmente con la distancia (Rn-r). La deformación correspondiente eqq, sin embargo, es una función no lineal de r, desde que el elemento de longitud rdq  varía con r. Este hecho distingue a una viga curva de una viga recta. Además por medio de la figura 8-2.1b, obtenemos para la deformación:

Donde

 

Suponemos que sxx es muy pequeña y por lo tanto puede ser descartada. Y aunque s rq puede en ciertos casos ser importante, negamos su efecto sobre eqq. De aquí, por ley de Hooke, encontramos 

 Sustituyendo la ecuación (8-2.5) en las ecuaciones (8-2.1) y (8-2.2), obtenemos 

 Donde A es el área de la sección transversal de la viga curva y Am tiene las dimensiones de longitud y es definida por la relación 

 La ecuación (8-2.7) puede ser reescrita de la siguiente forma 

 Sustituyendo dentro de la ecuación (8-2.6) da 

 La distribución de tensiones circunferenciales para la viga curva es obtenida sustituyendo las ecuación (8-2.9) y (8-2.10) en la ecuación (8-2.5), para obtener la formula de la viga curva: 

 La distribución normal de esfuerzos dados por la ecuación (8-2.11) es en forma hiperbólica, o sea, que varia 1/r. Para el caso de sección transversales rectangulares (R/h=0.75) se muestra la distribución. Resultados predichos para la formula de viga curva pueden ser comparados con los obtenidos de la solución para vigas curvas con sección rectangular y los obtenidos de los experimentos en vigas curvas con otras clases de secciones transversales. El valor máximo de la tensión circunferencial sqq (CB) es dado por la formula de viga curvas pueden ser calculadas con la ecuación 8-2-11 para vigas curvas de sección transversal rectangular sujetos a esfuerzo puro y cortante Los radios de sqq (CB)  de la solución elástica sqq (elast)  listados en la tabla 8-2-1 para esfuerzo puro y cargas cortantes

 Para varios valores de R/h donde h denota la longitud de la viga

El más cercano de estos radios es uno, el menor error en la ecuación 8-2-11. La formula de viga curva es mas exacta para esfuerzos puros que para esfuerzos cortantes. La mayoría de las vigas curva son sujetas a la combinación de esfuerzo puro y cortante. El valor de R/h es mas grande que 1 para vigas curvas por eso el error en la formula de vigas curvas no es particularmente significante. De cualquier manera posibles errores ocurren en la formula para vigas curvas para una sección en I o sección en T. También en la tabla 8-2-1 están los radios de tensión circunferencial máxima sqq (ST)  dados para la flexión en   vigas  rectas formula 6-1-1 así como el valor de sqq (elast)  .En las soluciones para  vigas curvas  es apreciable en error para valores pequeños de R/h y el  error es 7%;  para valores de R/h= 5.0 El error no es conservable. Generalmente para vigas curvas con R/h  mas grandes que 5.0 se usa la formula de flexión.Como R empieza mas larga en comparación con h, el término a la derecha en la ecuación 8-2-11 se reduce a –Mxy/Ix. El signo negativo es porque para vigas curvas  es lo opuesto que para vigas rectas. Para probar dicha reducción se nota que r= R + y. Entonces el termino RAm en la ecuación 8-2-11 puede ser reescrito como  

 Por eso el denominador del término de la derecha en la ecuación 8-2-11 se convierte para R/h ®¥ 

  

Como R/h  ®¥    y/R  ® 0, 1+ y / R ®1,

Y  El término de la derecha en ecuación 8-2-11 entonces se simplifica  

 La solución viga curva requiere que Am definida por la ecuación 8-2-8 es calculada para secciones transversales de varias figuras. El número de dígitos significantes retenido en calcular Am debe ser mas grande que el requerido para sqq  ;   el valor de RAm se aproxima  al valor de A cuando R/h se incrementa, ver ecuación (a)Formulas explicitas para A, Am y R para varias secciones transversales de vigas curvas  se muestran en la tabla 8-2-2 Frecuentemente secciones transversales de una viga curva son compuestas por dos o mas áreas fundamentales como se observa en la tabla 8-2-2 . Los valores de A, Am, y R para áreas compuestas están dados por sumatorias. De esta manera para secciones transversales compuestas 

 Donde n es el número de áreas fundamentales que forman el área compuesta.

Radio de Curvatura de la línea neutra.

Antes de abordar el estudio de esfuerzos sobre vigas, se revisara como antecedente conceptos importantes como curvatura y radio de curvatura de una curva plana.

Considérese una curva plana ACDB en el plano xy, como se muestra en la figura 5.2; esta curva se puede considerar como especificada por y = y(x). La pendiente o ángulo de la tangente a la curva en el punto C medido respecto de una línea paralela al eje x es q; la pendiente en un punto contiguo D es q + Dq. Se desea estudiar la velocidad del cambio en el valor de la pendiente a lo largo de la curva al desplazarse del punto C al punto D. Una línea normal a la curva en el punto C y una línea normal a la curva en el punto D se cortan O', y el Angulo CO'D es Dq. La longitud del arco entre los puntos C y D se escribe como Ds; El símbolo indica que C y D son puntos contiguos en la curva. Cuando Dq es pequeño, la longitud del arco Ds a lo largo de la curva entre C y D es aproximadamente la distancia O'D por Dq. La curvatura de una curva plana en un punto de esta se define como la velocidad del cambio en dicho punto de la pendiente respecto de la distancia a lo largo de la curva. La curvatura, que generalmente se designa con la letra griega k (kappa), en el punto C se deduce de la definición como.

La curvatura tiene unidades 1/longitud, y por lo tanto el radio de curvatura en

el punto C se define como el reciproco de la curvatura y es .En la figura 5.2 se observa que las normales a la curva en los puntos C y D se cortan en O'. En el limite, cuando D se aproxima a C, el punto O' se aproxima a O, y la distancia OC es igual al radio de curvatura. Se puede trazar un círculo con centro en O, como se muestra en la figura 5.2, con radio OC. Este llamado círculo de curvatura es tangente a la curva en C y su radio es

igual al radio de la curva en C. Si la curva plana es un circulo de radio R, entonces el radio de

curvatura es constante en todos los puntos del circulo, r = R, y la curvatura .En general, en el caso de una curva plana la curvatura será una función de la posición a lo largo de la curva. El eje neutral de esfuerzo de sección transversal se define por las condiciones en que sqq = 0 el eje neutral es localizado a la distancia de Rn de el centro de la curvatura. La magnitud de Rn se obtiene de la ecuación con la condición que sqq  = 0 en la superficie neutra  r= Rn De esta manera la ecuación.

Para esfuerzo puro N=0 a entonces la ecuación Anterior queda  

Esfuerzos de vigas curvas.

Deflexiones de vigas curvas con sección transversal en forma de I, T. Las secciones transversales de vigas curvas sufren distorsiones cuando se aplica una carga, uno de los resultados de esa distorsión es el decremento de la rigidez de la viga curva. Los términos UN y UM pueden ser calculados usando las sección transversales modificadas. Recomendamos calcular US (energía de deformación) con k=1.0, y con el área transversal A reemplazada por el área de la trama Aw=th, donde t es la anchura de la trama y h es la profundidad de la viga curva. Además como sugerencia, descarte UMN si es negativa y duplicarla si es positiva. 

Ejemplo.Deflexión en una prensaLa prensa (figura E8-5.2a) tiene una sección transversal mostrada en la figura E8-5.2b. La prensa está hecha de acero con E=200 GPa y =0.30. Determine la separación de las quijadas de la prensa debido a la carga.

Figura E8-5.2 (b) SOLUCIÓNLa prensa esta hecha de 2 miembros rectos y uno curvo. Calculamos las energías de deformación debidas al doblez y cortante en vigas rectas, sin modificación de la sección transversal. El momento de inercia de la sección es Ix= 181.7x103 mm4. Escogemos el origen de los ejes a la carga P, con z medido de P hacia la viga curva. Entonces la carga aplicada cortante V y el momento Mx a la sección de viga recta es

V=PMx=z

En la porción de la viga curva, empleamos el factor de corrección de Bleich para obtener una sección transversal modificada. Con dimensiones de la figura E8-5.2b, encontramos

Interpolando en la tabla 8-4.1 obtenemos =0.822. La sección modificada es mostrada en la figura E8-5.2b, las ecuaciones (8-2.12), (8-2.13) y (8-2.14) nos dan

Con definido como se indica en la figura E8-5.2a, la carga cortante V, la carga normal N, y el momento Mx para la viga curva es: 

 Tomando los términos de la energía de deformación para las 2 vigas rectas y la viga curva y la derivada con respecto a P (ecuación 8-5.1) calculamos el incremento en la distancia P entre los puntos de carga como 

El modulo, entonces,