4.1 Analisis de Fourier

7/25/2019 4.1 Analisis de Fourier

1/82

Ciclo II-2015UES-FIA-EIE-AEL215

Series de Fourier:

Varios matemticos del siglo XVIII,

incluyendo a los suizos Leonhard

Euler y Daniel Bernoulli saban quepoda llegarse a una representacin

aproximada de una seal o funcin

f(t) mediante una suma finitaponderada de senoides relacionadas

armonicamente.


2/82


La idea de describir las ondas como

una serie de funciones senoidales estil para el ingeniero moderno.

Por ejemplo, en la experiencia

cotidiana nos encontramos consintetizadores de voz o musicales que

producen sonidos vocales y musicales

como resultado de la generacin deuna serie apropiada de seales

senoidales.


3/82


En 1807, el varn francs JeanBaptiste Joseph Fourier publica laTeora del calor un tratado en elcual introduce unas seriestrigonomtricas, de lo cual una onda o

seal peridica poda descomponerseen una serie infinita de senoides queal sumarse, reproduciran la forma

exacta de la onda original.En honor a l se debe el nombre deSeries de Fourier.


4/82


Funciones o seales peridicas:

)()( nTtftf

Donde: n: mltiplo entero: 1,2,3,4,5,T: perodo fundamental (tiempo mnimo

para que la funcin vuelve a repetirse).

Son aquellas sealescuyos valores se

repiten a intervalos

iguales de tiempo y en

el mismo orden, o sea:


5/82


Requisitos para que exista la Serie de Fourier


6/82


La serie trigonomtrica de Fourier:

2 2

1

0

0 0 0

1 1

0 0 0

1

0 01

espectro de magnitud

espectro de fase

frecuen

( ) :

tan :

:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

=2

n n

n

n

n

n n

n n

n

n

o

n n

n n

n

a b

b

a

w

A

f t a a cos nw t b sen nw t

a cos nw t sen nw t

f t a cos nw t

a b

A

f

cia fundamental o primer armnico

1o

of T


7/82


Los Coeficientes de la Seriede Fourier:

0

00

1( )

t T

t

a f t dt T

a0 representa el Valor Promedio de f(t) en unperodo fundamental de la seal.Es el rea bajo la curva dividido entre elperodo fundamental (T)


8/82


0

0

0cos2

( ) ( )

t T

n

t

a f t nw t dt T

Tambin denominada Integral en Coseno



9/82


0

0

0

2( ) ( )

t T

n

t

b f t nse w tn t dT

Tambin denominada Integral en Seno



10/82


W.H. Hayt, Jr., J.E. Kemmerly, S.M. Durbin, Engineering Circuit Analysis, Sixth Edition.

Copyright 2002 McGraw-Hill. All rights reserved.

(a) A waveformshowing even

symmetry.

f(t)=f(-t)

(b) A waveform

showing odd

symmetry.f(-t)=-f(t)

Simetra de seales peridicas:


11/82


Uso de la simetra: funciones pares:

0 0

0

00

0

2

0

2

1 1( ) 2 ( )

22 ( ) cos( )

0

t t

n o

t

n

TT

T

tt

t

a f t dt f t dt T T

a f t nw t dt T

b

http://www.slideshare.net/mfatela/3-funcin-par-e-impar
http://www.slideshare.net/mfatela/3-funcin-par-e-imparhttp://www.slideshare.net/mfatela/3-funcin-par-e-imparhttp://www.slideshare.net/mfatela/3-funcin-par-e-imparhttp://www.slideshare.net/mfatela/3-funcin-par-e-imparhttp://www.slideshare.net/mfatela/3-funcin-par-e-imparhttp://www.slideshare.net/mfatela/3-funcin-par-e-imparhttp://www.slideshare.net/mfatela/3-funcin-par-e-imparhttp://www.slideshare.net/mfatela/3-funcin-par-e-imparhttp://www.slideshare.net/mfatela/3-funcin-par-e-imparhttp://www.slideshare.net/mfatela/3-funcin-par-e-imparhttp://www.slideshare.net/mfatela/3-funcin-par-e-imparhttp://www.slideshare.net/mfatela/3-funcin-par-e-impar


12/82


13/82




Two waveforms,each of which

exhibits

half-wavesymmetry.

f(t)=-f(t T/2)

Simetra de media onda:


14/82


0

0

0

0

2

2

0 ; n par

4( )cos( ) ; n impar

0 ; n par

4( )sin( ) ; n impar

n

n o

t

n

n o

t

T

t T

ta

a f t nw t dt T

b

b f t nw t dt T

Simetrade media onda: f(t)=-f(t T/2)


15/82


0

048

( )cos( ) ; n impar

0 ; todo n

n ot

n

Tt

a f t nw t dt T

b

Simetra de cuarto de onda par:

simetra de media onda + funcin par:


16/82


0

04

0 ; todo n

8( ) ( ) ; n impar

n

n o

t

t T

a

b f t sen nw t dt

T

Simetria de cuarto de onda impar:

Simetra de media onda + funcin impar:


17/82



18/82


Una Serie de Fourier es unarepresentacin precisa de una sealperidica y consiste en la suma desenoides mltiplos de la frecuencia

fundamental, denominados frecuenciasarmnicas.

El Espectro discreto de armnicos es

una representacin grfica de lamagnitud(amplitud) y la fase de loscoeficientes de Fourier en trminos de lafrecuencia fundamental y las frecuencias

armnicas.

Discrete frequency spectrum(magnitud y fase)


19/82


Discrete frequency spectrum

0 0 0

1 1

0

1

0

( ) ( ) ( )

( )

n n

n n

n n

n

f t a cos nw t sa b en nw t

a cosA wtn


20/82


Figure

6.10

Espectro discreto de frecuencias armnicas(magnitud y fase)


21/82


La serie exponencial compleja de Fourier:


22/82



0

0

*

coeficiente exponencial complejo:

Equivalencias:

( )

1( )

1 ; ;

2

12

; ( )

o

o

n

t T

n

t

n n n n n o o

n n

n n n n n n

jnw

n

j

t

nw t

f t c e

c f t e dt T

c a jb c c c a

c A

a c c b j c c

L i i l l j d F i


23/82




24/82


Figure

6.14

Aplicaciones de las Series de Fourier:

1) Response of a linear system to a phasor input


25/82


2) Fourier y Superposicin al Anlisis de Circuitos:


26/82


3) Potencia promedio de una Serie de Fourier:

0

0

0 0

0 0

0

0

( )

( )

( ) ( )

1

1

1

1

Potencia promedio:

cos( )

cos( )

1

1cos( )

cos( )

t DC n o n

t DC m o m

t T

t t

t

t T t T

m DCDC DC o m

mt t

t T

n DCo n

n t

DC DC

n

m

v V V nw t

i I I mw t

P v i dtT

I VP V I dt mw t dt

T T

V Inw t dt

T

P V I

max max

1

1

1cos( )

2

cos( )

n n

rms rms n n

n n V I

n

DC DC n n V I

n

V I

P V I V I

4) l fi d S i d i


27/82


4) Valor eficaz de una Serie de Fourier:

2 2 1

0 0

0 0

m ma axx max

2

2 2

0 01

2 2 2 2

0 0

1 1

2 2

0

2

( ) ; tan

1 1

( ) ( )

1 ; ; c

2

1 1( )

2 2

(

n n

n

n

n

rms r

t T t T

rms rmsnt t

n n

n n

n o o

rms n n

n

n

n n

rms n n

ba bA

a

F f t dt F a cos nA

A

w t dt T T

c a jb a

F a a b a

F a a b

max

2 2

01 1

2 22 2

0 0

1 1

2)

1

2

m rmss

rms

n n

rm

n

s n n

n n

a

F c C c

A

C


28/82


5) Total harmonic distortion (THD):

En los sistemas de potencia, la distorsin armnica de las seales de

tensin o corriente, se debe principalmente a cargas no lineales odispositivos de conmutacin, tales como:

a) Fuentes de alimentacin de funcionamiento conmutado (SMPS).

b) Estabilizadores electrnicos de dispositivos de iluminacin

fluorescente y leds.

c) Pequeas unidades de SAI (sistemas de alimentacin

ininterrumpida) o UPS

d) Variadores de frecuencia para motores(1 3) de velocidad

variable y grandes unidades de UPS.e) Dispositivos de electrnica de potencia.

f) Dispositivos ferromagnticos.

g) Dispositivos de arco elctrico.

5) Di i i l (THD)


29/82


5) Distorsin armnica total (THD):

Problemas que producen los armnicos en la red:

a) Sobrecarga de los conductores neutros.

b) Sobrecalentamiento de los transformadores.

c) Disparos intempestivos de los interruptores automticos.

d) Sobrecarga de los condensadores de correccin del factor de

potencia.

Algunos mtodos para reducir los armnicos:

a) Filtros pasivosb) Transformadores de aislamiento

c) Soluciones activas


30/82


5) Clculo de la distorsin armnica total (THD):

22

22

2

1 1

10010022

222

1 1

*100% *100%

nn

nn

nn

nn

AA

THDA A

AA

THDA A


31/82


Ejemplo: Consideremos una seal cuadrada, a lacual le calculamos la serie y su respectivo espectro

de frecuencias de Fourier:


32/82


Calculando los coeficientes trigonomtricos de Fourier:

a) el valor promedio:

Tambin por la simetria impar de la seal, se deduceque su valor promedio en T es cero!!!

0

0

0

2

0

0

1( )

1 ( ) ( )

2

0

t T

t

a f t dt T

V d wt V d wt

a


33/82


Tambin por la simetria impar de la seal, sededuce que la integral en coseno (an) es cero!!!

0

0

0

0

2

2( )cos( )

2cos( ) ( )

2

( ) cos( ) ( )

= 0

t T

n

t

n

n

a f t nw t dt

T

a V nwt d wt

V nwt d wt

a

b) la integral en coseno:

) l i l


34/82


0

0

0

0

2

(para todo )

2( ) ( )

2( ) ( )

2

+ ( ) ( ) ( )

4 ; : impar

4 ;

2 1

t T

n

t

n

n

n n

b f t sen nw t dt

T

b Vsen n wt d wt

V sen n wt d wt

Vb nn

Vb n

( n - )

c) la integral en seno:

C l i d i


35/82


Como a0 y an son ceros, la serie de Fourier sesimplifica a:

2 2

0 0

1

0

1

1

( ) ;

0

: impar

( ) ( )

=0

( ) ( )

4( ) ( ) ;

n n n n n

n n

n

n

n

n

n

n

A a b a A

n

f t a A cos nw t

b

v t b sen nw t

Vv t sen nwt

n


36/82


La Serie trigonmetrica de Fourierde este

ejemplo, se puede expresar de formageneral y resumida como:

n

wtnsenn

Vtv

n

])12([)12(

4)(1


37/82


Expandiendo la Serie de Fourier para los primeros 17armnicos (9 trminos impares):

4 4 4( ) ( ) ( ) ( )

4 4 4 ( ) ( ) ( )

4 4 4

1 3 5

7 9 11

13 ( ) ( ) ( )

...4

1 3 5

7

9 11

13 15

.

17

(2 1.

)

15 17

.

V V Vv t sen wt sen wt sen wt

V V Vsen wt sen wt sen wt

V V Vsen w

n

t sen wt sen wt

Vsen

(2 1( ))n wt

Sintetizando la seal original como una suma de c/u


38/82


Sintetizando la seal original como una suma de c/ude sus componentes armnicos: (por facilidad V=1)

4( ) ( )

Vv t sen wt

: Componente fundamental o primerarmnico. (serie con 1 trmino)


39/82


)3(3

4)(

4)( wtsen

Vwtsen

Vtv

fundamental + tercerarmnico:

(serie con 2 trminos)

1.200422

1.200422

f t( )

2 0 t

0 1.57 3.14 4.71 6.28

1.2

0.6

0.6

1.2


40/82


)3(3

4)(

4)( wtsen

Vwtsen

Vtv

)5(

5

4wtsen

V

fundamental + tercer +quinto armnico:


1.18834

1.18834

f t( )

2 0 t

0 1.57 3.14 4.71 6.28

1.19

0.59

0.59

1.19


41/82


)3(3

4)(

4)( wtsen

Vwtsen

Vtv

)7(7

4

)5(5

4wtsen

Vwtsen

V

fundamental + tercer + quinto +sptimo armnico:


1.18416

1.18416

f t( )

2 0 t

0 1.57 3.14 4.71 6.28

1.18

0.59

0.59

1.18


42/82

Ciclo II-2015UES-FIA-EIE-AEL215 http://33.media.tumblr.com/f691ee751790c36ba5238bef93adb046/tumblr_nhr191UoYM1tlppcdo1_400.gif

Animacin(gif): Suma de la componente fundamental + tercer + quinto +sptimo armnico: (serie con 4 trminos)

fundamental + tercer + quinto +


43/82


)3(3

4)(

4)( wtsen

Vwtsen

Vtv

)9(9

4)7(

7

4)5(

5

4wtsen

Vwtsen

Vwtsen

V

fundamental + tercer + quinto +sptimo + noveno armnico (seriecon 5 trminos)

1.182328

1.182328

f t( )

2 0 t

0 1.57 3.14 4.71 6.28

1.18

0.59

0.59

1.18


44/82


Sumando hasta el armnico 199

(serie con 100 trminos)])12([)12(

4)(

100

1

wtnsenn

Vtv

n

1.14475

1.14475

f t( )

2 0 t

0 1.57 3.14 4.71 6.28

1.14

0.57

0.57

1.14

Sumando hasta el armnico 19 999


45/82


Sumando hasta el armnico 19,999

(serie con 10,000 trminos).

Como puede observarse en elgrfico, casi se reproduce la

seal cuadrada original.

0.999968

0.999968

f t( )

2 0 t

0 1.57 3.14 4.71 6.28

1

0.5

0.5

1

10,000

1

4 [(2 1) ]( )

(2 1)n

Vsen n wt v t

n

Sntesis con una sumatoria de 3 000 trminos 3 000 4 [(2 1) ]V


46/82


Sntesis con una sumatoria de 3,000 trminoso hasta el armnico 5,999 (por facilidad V=1)grficas individuales hasta el armnico 17

1.27324

1.27324

f t( )

f1 t( )

f3 t( )

f5 t( )

f7 t( )

f9 t( )

f11 t( )

f13 t( )

f15 t( )

f17 t( )

2 0 t

0 1.57 3.14 4.71 6.28

1.27

0.64

0.64

1.27

3,000

1

4 [(2 1) ]( )

(2 1)n

Vsen n wt v t

n

Tabulando magnitudes armnicas del Espectro de frecuencias: 4V


47/82

Ciclo II-2015

Tabulando magnitudes armnicas del Espectro de frecuencias: 4

(2 1)

1

n

VA

n

V

n An An2

51 0,0250 0,00062

53 0,0240 0,00058

55 0,0231 0,00054

57 0,0223 0,00050

59 0,0216 0,00047

61 0,0209 0,00044

63 0,0202 0,00041

65 0,0196 0,00038

67 0,0190 0,00036

69 0,0185 0,00034

71 0,0179 0,0003273 0,0174 0,00030

75 0,0170 0,00029

77 0,0165 0,00027

79 0,0161 0,00026

81 0,0157 0,00025

83 0,0153 0,00024

85 0,0150 0,0002287 0,0146 0,00021

89 0,0143 0,00020

91 0,0140 0,00020

93 0,0137 0,00019

95 0,0134 0,00018 An2

97 0,0131 0,00017

99 0,0129 0,00017 0,37076

n An An2

1 1,2732 1,62114

3 0,4244 0,18013

5 0,2546 0,06485

7 0,1819 0,03308

9 0,1415 0,02001

11 0,1157 0,01340

13 0,0979 0,00959

15 0,0849 0,00721

17 0,0749 0,00561

19 0,0670 0,00449

21 0,0606 0,0036823 0,0554 0,00306

25 0,0509 0,00259

27 0,0472 0,00222

29 0,0439 0,00193

31 0,0411 0,00169

33 0,0386 0,00149

35 0,0364 0,0013237 0,0344 0,00118

39 0,0326 0,00107

41 0,0311 0,00096

43 0,0296 0,00088

45 0,0283 0,00080

47 0,0271 0,00073

49 0,0260 0,00068

22

22

2

1 1

100

2

2

2

1

*100%

0.37076 *100%

1.

47.82

6211

%

4

nn

nn

n

n

AA

THDA A

A

A

THD

Example: Several of the infinite number of different waveforms which may


48/82

Ciclo II-2015UES-FIA-EIE-AEL215 W.H. Hayt, Jr., J.E. Kemmerly, S.M. Durbin, Engineering Circuit Analysis, Sixth Edition.Copyright 2002 McGraw-Hill. All rights reserved.

Example: Several of the infinite number of different waveforms which maybe obtained by combining a fundamental and a third harmonic.

The fundamental is v1= 2 cos(w0t), and the third harmonic is:

(a)v3a= cos(3w0t);

(b) v3b= 1.5cos(3w0t);

(c) v3c= sin(3w0t).

Example:


49/82




(a) The output of a half-wave rectifier to which asinusoidal input is applied.

(b) The discrete line spectrum of the waveform in part a.

p

Example:


50/82


Figure

6.11

Square wave and its representation by a Fourier series.

(a) Square wave (even function); (b) first three terms;

(c) sum of first three terms


51/82


Example:

(a) Pulse train

(b) signal spectrum;(c) approximation obtained

using 11 Fourier coefficients


52/82


Example:

(a) periodic (sawtooth) function

(b) spectrum of sawtoothwaveform;

(c) approximation of sawtooth

waveform for n = 5


53/82


https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Fourier#/media/File:Periodic_identity_function.gif

Example:

https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Fourier

E l


54/82


Examples:

E l


55/82


Examples:

Cargas lineales y no lineales que generan armnicos de corriente:


56/82

Ciclo II-2015

g y q g

UES-FIA-EIE-AEL215


57/82




Ex.: Write the Fourier series for the

waveform below.

Fourier Transform:


58/82


Fourier Transform:

Una transformada es un cambio en la descripcinmatemtica de una variable fsica para facilitar elclculo(Dorf 3a ed. AlfaOmega)

La transformada de Fourier refleja el espectro de frecuenciasde una funcin.

Un buen ejemplo de eso es lo que hace el odo humano, yaque recibe una onda auditiva y la transforma en unadescomposicin en distintas frecuencias (que es lo quefinalmente se escucha).

El odo humano va percibiendo distintas frecuencias a medidaque pasa el tiempo, sin embargo, la transformada de Fouriercontiene todas las frecuencias contenidas en todos lostiempos en que existi la seal; es decir, en la transformadade Fourier se obtiene un slo espectro de frecuencias paratoda la funcin.(http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier)

Fourier Transform:
http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourierhttp://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourierhttp://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourierhttp://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourierhttp://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourierhttp://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourierhttp://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourierhttp://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier


59/82


Fourier Transform:

Generalmente la Transformada de Fourier se aplica a funcionesno peridicas y definidas en un intervalo infinito, pero que se

puede considerar como funciones peridicas con un peridoinfinito.

Para que exista la Transformada de Fourier es necesario dosrequisitos o condiciones:

1) ( )

2) el nmero de discontinuidades en f(t) sea finito

f t dt

Fourier Transform:


60/82


Fourier Transform:


61/82


Fourier Transform:


62/82


Fourier Transform:


63/82


Fourier Transform:


64/82


Las ecuaciones (6) y (7) reciben el nombre de par detransformacin de Four ier.

(pg. 563 texto Anlisisde Circuitos en Ingeniera,Hayt & Kemmerly, 5a edicin)

( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

(6)

(7)

1

2jw

jw

jwt

jw t t

jwt

t jw jw

V F v e v dt

v F V e V dw

Esta relacin delpar de transformacin es importante!Debe memorizarse, marcarse con flechas y mantenerse mentalmenteen el nivel consciente de aqu a la eternidad. [1]

[1]Los futuros vendedores de autos y polticos pueden olvidarla...

Properties of the Fourier transform:


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Ciclo II-2015


UES-FIA-EIE-AEL215 http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier

http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourierhttp://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier


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Ciclo II-2015UES-FIA-EIE-AEL215 http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier

Fourier transforms pairs


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Fourier transforms pairs


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Aplicaciones de la Transformada de Fourier:1) Teorema de Parseval


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1) Teorema de Parseval

Uniform continuity and the RiemannLebesgue lemma


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Ciclo II-2015UES-FIA-EIE-AEL215 http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform

2) Circuito transformado: Resistoren dominio de la
http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transformhttp://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform


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(

( ) ( )

)

R

aplicando transformada

en funcin de S

(

de Ohm: ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

Z ( )( )

( ) R [ ]

( ) R [

) ( )

]

S S S

jw

S

jw S jw S

S

S

S

R

R

jw

F F

F

v t i t R Ri t

V jw R I jwV jw

jw RI jw

Z jw

Z s

v t Ri t

Transformada de Fourier: F(jw)

2.1) Circuito transformado: Inductoren dominio de


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( )

( ) ( )

aplicando transformada

En funcin S

:

de

(

( )del inductor "L": ( )

( ) ( ) ( )

( )Z ( ) ( )

( )

( ) [ ]

( )(

( ) S [ ] ; )

)

0

jw

SS

S S

SL

S

L

Sw

L

S jw

L

j

j

F F

w

F

di tv t L

dt

V jw L jw I jw

V jwjw jw L

I jw

Z jw jwL

di tv t L

dt

Z L is

0

la Transformada de Fourier: F(jw)

2.2) Circuito transformado: Capacitoren dominio de


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( )

( ) ( )

aplican

En fu

do transforma

ncin de S

da :

( )del capacitor "C": ( )

( ) ( ) ( )

( ) 1Z ( )

( ) ( )

1

( ) [ ]

1Z ( ) [ ]

( )(

; 0

)

(

jw

CC

C C

CC

C

C

Cjw C j

C

w

C

jw

F F

F

dv ti t C

dt

I jw C jw V jw

V jwj

dv ti t C

dt

wI jw jw C

Z jw j

v

wC

s

SC

) 0

la Transformada de Fourier: F(jw)

3) Respuesta al impulso (t):


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) p p ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) )

)

(

) ((

para una excitacin

aplicando transformada de Fourier a la entrada:

aplicando transformada inversa de Fourier a la

( )

11jw jw

t

jw t t

jw jw jw jw jw j

jw

w

x t

X F x F

Y

X

H X X H H

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1 1

salida:

jw jwt jw jw t y F Y F H h

4) A conceptual development of the convolution integral.


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) p p g

a) A una excitacin x(t)la salida corresponder una respuesta y(t):

b) Para una excitacin x(t)=(t)la salida corresponder a la respuesta

al impulso: y(t)=h(t):



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g

c) A una excitacin x(t)=(t-)la salida corresponder a una

respuesta y(t)=h(t-). El nico cambio en la salida es el mismo

retraso en el tiempo de la seal de entrada. Principio de

Invarianza en el tiempo.

d) Supongamos que la entrada tiene un impulso diferente de la

unidad(1), especficamente el valor de x(t)en t=.

Si la entrada cambia a x()(t-), la respuesta correspondera x()h(t-). Principio de Linealidad.



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e) Ahora smese esta ltima entrada sobre todos los valores

posibles de y utilcese el resultado como entrada, la

linealidad establece que la salida es igual a la suma de las

respuestas que resulten del uso de todos los posibles valores

de . La integral de entrada producir la integral de la salida.

f) Los considerandos en e) corresponden al muestreo de la seal

de entrada x(t), por lo tanto la salida tambin corresponder a

y(t), conocida como la Integral de Convulucin.



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4) Teorema de Convolucin


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( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

La respuesta como la :

La respuesta como el producto de las transformadas de Fourier o Laplac

Integral de Convol i

e:

uc n

( ) ( )

( ) ( )

t t t

t t t

S S S S

y x h x h t d

y h x h x t d

Y X H H X

( )

( ) ( ) ( ) ( )

El Teorema de Convolucin:

La convolucin corresponde al producto de las transformadas:

; s

( )

S

t t S S

jw

h x HF X

Algunas propiedades de la Convolucin:


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4.1 Analisis de Fourier

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