4001 - microeconomia - castelao

8/20/2019 4001 - microeconomia - castelao

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Autoras:

Lic. Analía V. Calero

Lic. María Eugenia Castelao Caruana

Ejercicios de Microeconomíaintermedia

Guía práctica en revisión

Facultad de Ciencias Económicas


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GUIA PRACTICA EN REVISION

Índice

EQUILIBRIO GENERAL Y ÓPTIMO DE PARETO .............................................. 1

ECONOMIA DE DISTRIBUCIÓN ............................................................. 2ECONOMIA DE INTERCAMBIO ............................................................. 3

EQUILIBRIO Y OPTIMO ..................................................................... 4

FUNCION DE BIENESTAR SOCIAL .......................................................... 12

EXTERNALIDADES ........................................................................... 16

BIENES PÚBLICOS ........................................................................... 19

MONOPOLIO Y REGULACION TARIFARIA ................................................. 20

CONSUMO BAJO CONDICIONES DE INCERTIDUMBRE .................................... 23

SELECCIÓN DE CARTERA ................................................................... 29

ECONOMIA DE LA INFORMACIÓN .......................................................... 36

TEORIA DE LOS JUEGOS .................................................................... 43

CONSUMO INTERTEMPORAL ............................................................... 52

BIBLIOGRAFIA CITADA Y SUGERIDA ....................................................... 60


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MODELOS DE EQUILIBRIO GENERALWALRASIANO

Malinvaud (1974) desarrolla tres modelos de Equilibrio General Walrasiano

denominados por el autor como Economía de Distribución, Economía deIntercambio Puro y Economía con Producción y Propiedad Privada. Los modelosde Economía de Intercambio Puro y de Economía con Producción son los modelostípicos de Equilibrio General Walrasiano. El modelo de Economía de Distribución,en cambio, se aleja de los modelos tradicionales neoclásicos de equilibriogeneral al postular la ausencia inicial de propiedad privada y la existencia de un“distribuidor central” encargado de asignar a cada individuo una renta monetariay de administrar la oferta de bienes. Este modelo puede interpretarse como unpunto de partida para un análisis de equilibrio general dentro del marco de la

teoría económica del socialismo.Cada uno de estos modelos plantea un orden ascendente de generalidad, a saber:

- Economía de Distribución- Economía de Intercambio Puro- Economía con Producción y Propiedad Privada

El modelo de Economía de Intercambio Puro relaja el supuesto de rentasindividuales exógenas que asume el modelo de Economía de Distribución, siendoestas determinadas por las dotaciones iniciales que posee cada uno de los

individuos. A su vez, el modelo de Economía con Producción relaja el supuesto deofertas rígidas (exógenamente determinadas por las dotaciones iniciales),permitiendo la existencia de empresas que produzcan cantidades positivas de losbienes en cuestión.


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EQUILIBRIO GENERAL CONOMIA DE DISTRIBUCIÓN

1. Curvas de contrato. Considere una economía de caja de Edgeworth con lassiguientes preferencias:

Todos los parámetros de preferencias son estrictamente positivos. En cada caso,dibuje el conjunto de óptimos de Pareto dentro de la caja de Edgeworth.

ECONOMIA DE DISTRIBUCIÓN

2. Suponer una economía pura de distribución compuesta por dos individuos, dosbienes y un distribuidor central administrador de las dotaciones iniciales de esosbienes. Este distribuidor asigna de manera totalmente arbitraria una rentamonetaria a cada uno de los individuos con el objeto que ellos puedan comprarlos bienes disponibles en la economía.

Se supone además que los individuos son idénticos en cuanto a sus preferencias,

las cuales vienen representadas por la siguiente función de utilidad:U(xi1, xi2) = xi1

0.5* xi2

0.5 con i = 1,2

Las dotaciones iniciales de los bienes (en manos del distribuidor central) son lassiguientes: W1 = 20 y W2 = 40.

Por último, las rentas monetarias asignadas por el distribuidor a cada uno de losindividuos son: R1 = 100 y R 2 = 60

a. Solucionar el problema de equilibrio general y verificar que, en unaeconomía de distribución, los precios monetarios quedan determinados.b. Suponer que el distribuidor central incrementa en una misma proporción la

renta monetaria de ambos individuos simultáneamente ¿Qué efectosproducirá esto sobre los precios de equilibrio?

c. Luego de la suba decretada por el Distribuidor, un economista afirmó que“el problema de la economía era que las rentas de los individuos eran muy


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bajas, ahora los individuos tendrán un mayor nivel de utilidad”. Comentaresta afirmación, sus supuestos, y formalizar su fundamentación.

3.

En una Economía de Distribución compuesta por dos individuos con funciones de

utilidad de tipo Cobb- Douglas:a. Determinar el efecto que produciría sobre el equilibrio general de la

economía un incremento de la renta monetaria asignada al individuo 1.b. A partir de la situación anterior, se puede afirmar que el administrador ha

realizado una mejora paretiana?

ECONOMIA DE INTERCAMBIO

4. Suponer una economía de intercambio puro compuesta por dos individuos y dosbienes. Las preferencias de cada individuo i, con i = 1,2, vienen representadaspor la misma función de utilidad de Cobb-Douglas:

Las dotaciones de cada individuo son las siguientes:

w11 = 1 w12 = 2 y w21 = 2 w22 = 1

donde wij es la dotación inicial del bien j en manos del individuo i.

a. Sin resolver el ejercicio, podría decir a priori si el precio relativo del bien 2respecto al bien 1 será mayor, igual o menor a uno?

b. Se puede determinar a priori cual es el individuo más rico?c. Podría decir a priori si habrá intercambio en esta economía? Y si las

dotaciones del individuo 2 fueran iguales a las del individuo 1?d. Solucionar el problema de equilibrio general.e. Verificar que en el equilibrio el mercado se vacía.

5. Sea una economía con dos consumidores (1 y 2) y dos bienes (X1 y X2), dondecada consumidor comienza con dotación inicial de cada uno de los bienes. Elconsumidor 1 tiene al inicio 60 unidades de X2, mientras que el consumidor 2posee 20 unidades de X1 y 10 unidades de X2. Suponga que las funciones deutilidad son las siguientes:


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a. Determine el Equilibrio General de esta economíab. ¿Quedan determinados los precios monetarios? ¿Por qué?

c. Ante una variación positiva de W12 de 1 unidad, resolver mediante estáticacomparativa (diferenciar) para X11 y X21.

ECONOMIA CON PRODUCCION Y PROPIEDAD PRIVADA

6. (Difícil) Suponga que una economía dispone de tres bienes: ocio, dorado y boga.Existen i consumidores y 2j firmas. Cada consumidor tiene preferencias sobre los

tres bienes y una dotación inicial dada por wi =(T; 0; 0) : Cada firma usa eltrabajo como único insumo. Todas las firmas impares producen dorados deacuerdo a una tecnología con rendimientos constantes a escala. Todas las firmaspares producen boga de acuerdo a una tecnología con rendimientos constantes aescala.

a. Provea la notación necesaria para de.nir un equilibrio walrasiano en estaeconomía.

b. Qué puede decir de los precios de equilibrio y los beneficios de equilibrio?

7.

Suponga que la frontera de posibilidades de producción de la economía estádefinida por: X2 + 4Y2=B

La Economía está formada por dos agentes (A y B) cuyas preferencias están dadaspor:

El agente A es el dueño de toda la producción del bien X que obtiene la economía

y el agente B es el dueño de toda la producción del bien Y.

Suponga que B=128, =0,5 y =0,5. Si el precio del bien X es la mitad del preciodel bien Y ¿Alcanzará la economía una situación de equilibrio general?

Suponga B=128, =1/4 y =3/4 resuelva las misma pregunta del apartadoanterior.


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a. ¿Cómo cambiaría la respuesta si inicialmente los bienes se distribuyeran amedias entre los dos individuos?

b. Con los mismos datos del ejercicio anterior. ¿Cómo cambiaría la respuesta

al segundo apartado si inicialmente fuese B el dueño de toda la produccióndel bien X y A el de toda la producción del bien Y.

8.

Una hipotética economía cuenta con 90 unidades de trabajo y otras tantas decapital para producir dos tipos de bienes X e Y. Las funciones de producción delos dos están definidas por:

a. Explique las condiciones que deben cumplirse para alcanzar la eficiencia en

la asignación del capital y el trabajo en esta economía.b. Suponga que el precio del trabajo es la mitad de la remuneración del

capital y que existe competencia perfecta en los mercados de factores.¿Cómo se distribuirá el capital y el trabajo entre los dos sectores de laeconomía? Obtenga los niveles de producción de los dos bienes.

c. Una serie de reformas recientes han aumentado el precio relativo del

trabajo, hasta igualarlo a la remuneración unitaria del capital. Obtenga lanueva asignación de recursos de la economía y comente las consecuenciasde dichas reformas sobre la producción final de los distintos bienes.

d. Utilice la información obtenida en los apartados anteriores para representarla Caja de Edgeworth de la producción y para representar en ella lassoluciones de los apartados (b) y (c)

e. Explique qué relación hay entre el equilibrio en el mercado de factores y lafrontera de posibilidades de producción de la economía y represente estaúltima.

9.

Actualmente la economía distribuye las 100 unidades de capital disponibles demodo que el sector X utiliza 10 unidades y el sector Y el resto. Por otra parte, delas 100 unidades de trabajo disponibles, el sector X utiliza 25 y el sector Y 75.


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a. ¿Se encontrarán en equilibrio los mercados de capital y trabajo de estaeconomía? Explique su respuesta y represente gráficamente la situaciónactual.

b. Calcule la relación de precios de los factores (w/r ,o el tipo de salariopartido por el precio del capital) de la situación actual de la economía.

c. Como cambiará la situación de equilibrio si la relación de precios de losfactores fuera w/r=0,8.

10.

Una economía dispone de 180 unidades de trabajo y 120 de capital que puedeutilizar para la producción de dos bienes cuyas funciones de producción estándadas por:

El individuo A es propietario de tres cuartas partes del trabajo y de la cuartaparte del capital disponible en la economía. Las preferencias de los dosindividuos que conforman esta economía están dadas por:

Si el precio del trabajo es dos terceras partes del precio del capital:

a. ¿Cuál será la situación de los mercados de bienes y de factores?b. Obtenga y represente gráficamente el equilibrio general de la economía.


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EQUILIBRIO Y ÓPTIMO DE PARETO

1. Sea una economía con dos consumidores (1 y 2) y dos bienes ( y ), dondecada consumidor comienza con una dotación inicial de los bienes y se comportatomando como dados los precios de mercado.

El consumidor 1 tiene al inicio 40 unidades de X1 y 160 X2, mientras que elconsumidor 2 posee 240 unidades de X1 y 120 de X2. Suponga que las funciones deutilidad son las siguientes:

para i=1, 2

a. Hallar el Óptimo de Pareto si todo el poder de negociación lo tiene el

individuo 1.b. Hallar la solución competitiva y verificar que es Óptimo de Paretoc. ¿Qué precios son los que quedan determinados? ¿Por qué? Graficar.d. Encuentre la curva de contrato

Solución

a. Si todo el poder de negociación se encuentra en manos del individuo 1,

debemos maximizar su función de utilidad, sujeta a las restricciones delproblema, a saber: la utilidad del otro individuo y el vaciamiento de losmercados

sujeto a: ;

Planteamos el lagrangiano incorporando las restricciones de vaciamiento de losmercados a la restricción de la utilidad del individuo 2:

(1)


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(2) (3)

Del despeje de λ de (1) y de (2) y de su posterior igualación tenemos que . Al reemplazar estos valores en (3) obtenemos ;

b. Para hallara la solución competitiva:

Para el individuo 1: sujeto a su Restricción de Presupuesto: (1) (2) (3)

Del despeje de λ de (1) y de (2) y de su posterior igualación tenemos que

Al reemplazar estos valores en (3) obtenemos las funciones de demanda delindividuo 1:

y

Para el individuo 2:

(1) (2) (3)


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Del despeje de λ de (1) y de (2) y de su posterior igualación tenemos que

Al reemplazar estos valores en (3) obtenemos las funciones de demanda delindividuo 2:

y

Si buscamos el vaciamiento de los mercados, entonces:

Al reemplazar las funciones de demanda en la condición de equilibrio obtenemos

los precios relativos,

. Con lo cual tenemos que :

y en equilibrio se verifica que se vacían los mercados:

por otra parte, en equilibrio, se verifica que las tasas marginales de sustituciónde los dos bienes para los dos individuos se igualan, y a su vez se igualan a larelación de precios:



Luego: RMS1=RMS2 =


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2.

Suponga 2 bienes y 2 individuos cuyas preferencias vienen representadas por unafunción de utilidad tal que: U1 = U1 (X11; X12) y U2 = U2 (X21; X22) donde Xij=cantidad demandada por el individuo i del bien j.

Asimismo, los consumidores poseen dotaciones iniciales, wij, donde w representa

la disponibilidad inicial del bien i para parte del individuo j.Luego: w1 = (w11; w12) y Individuo 2 : w2 = (w21; w22)

a. Determine a partir de la información brindada a qué tipo de modelo deequilibrio general hacemos referencia y enumere los supuestos del mismo.

b. Explique el concepto de Óptimo y de Equilibrio y demuestre que elequilibrio competitivo es Óptimo de Pareto. Grafique mediante undiagrama de caja.

c. Explique qué condición se tiene que cumplir en el equilibrio general y quéfunciones se determinan.d. Explicite los dos teoremas fundamentales de la Economía del Bienestar y

su significado conceptual.

3. En la siguiente economía de dos individuos, se sabe que las funciones de utilidadtienen la siguiente forma:

y que el individuo 1 posee una dotación w1= (2,1) mientras que el individuo 2tiene una dotación w2= (1,2).

a. Hallar el equilibrio competitivo o walrasiano.b. Compruebe que se cumple la Ley de Walras. ¿Qué vector de precios utiliza

para verificarlo?c. Compruebe que el equilibrio encontrado es un óptimo de Paretod. Suponga que el planificador desea llegar a la siguiente asignación: x11= 2;

x21 = 2; x12 = 1; x22 = 1 (observe que es un óptimo de Pareto). ¿Quéesquema de transferencias de suma fija debe implementar?

4. Suponga una economía con dos bienes X1 y X2, dos consumidores A y B, y unafirma que produce ambos bienes. La tecnología viene dada por las siguientesfunciones de producción:


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X 1 = √L1 X 2 = √L2

donde Li representa la cantidad de trabajo contratada por la firma para producirel bien i.

Suponga además que cada consumidor tiene una dotación inicial Li fija para

repartir entre ocio y trabajo, igual a 0,5, y que cada uno es dueño del 50% de lafirma.

Las preferencias son las mismas para ambos consumidores:

a. Resuelva el equilibrio competitivo. Resuelva el problema de la firma y de

los consumidores. Encuentre los precios y cantidades de equilibrio.b. ¿Qué condición se cumple en el óptimo? Grafique.

5. Robinson Crusoe ha decidido utilizar 10 horas de su día para procurarse alimento.Puede emplear este tiempo recolectando cocos o pescando. Es capaz de pescarun pez y medio por hora y puede recolectar 4 cocos por hora.

a. Desarrolla una ecuación que exprese su frontera de las posibilidades deproducción. Grafíquela.

b. La función de utilidad de Robinson es U(P,C) = PC/2, donde P representasu consumo diario de peces y C representa su consumo diario de cocos.Representar gráficamente la curva de indiferencia de Robinson que secorresponde con su nivel de utilidad.

c. ¿Qué cantidad optima de peces y cocos elegirá Robinson producir al día?

d. Supongamos que Robinson no vive solo en la isla, sino que vive próximo a uncomercio donde puede comprar peces y cocos. Si los peces cuestan $1,5cada uno, ¿cuánto deberían costar los cocos para que eligiera consumir eldoble de cocos que de peces?

e. Supongamos que un planificador social deseara que Robinson consumiera 4peces y 8 cocos al día. Si estableciera el precio de los peces igual a $2,¿cuánto debería ser el precio de los cocos, y que sueldo debería pagarle aRobinson?


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FUNCION DE BIENESTAR SOCIALLos estados de óptimo en el sentido de Pareto son en general múltiples, por loque resulta necesario introducir un orden entre situaciones o estados óptimoscompatible con el orden o equilibrio parcial (capítulo X). Partiendo de esteprincipio se ha propuesto que los estados sean ordenados de acuerdo a unaFUNCIÓN DE BIENESTAR SOCIAL (FBS), una función numérica que tiene comoargumentos a los n valores que toman las utilidades individuales de los nconsumidores, o sea: W(U1; U2; U3;…; Un)

La compatibilidad entre el orden completo y el orden parcial exige que W seadiferenciable y que las Wi´ sean todas positivas.

Admitir la existencia de una FBS implica:

- Atribuir a cada consumidor una función de utilidad completamenteespecificada, una utilidad cardinal;- La existencia a nivel colectivo de una relación marginal de sustitución entrelas utilidades individuales de los diversos consumidores. Esto supone que lasutilidades de individuos diferentes son comparables.

Las elecciones representadas por una FBS de esta naturaleza no se inspiransolamente en consideraciones relativas a la eficacia de la producción y ladistribución, sino también en una ética de la justicia que debe presidir a ladistribución de los bienes entre los individuos.

El debate en torno a cómo se define la justicia social ha generado numerososdebates entre filósofos y economistas por su implicancia en la formulación de laspolíticas públicas. En su libro A Theory of Justice (1971), John Rawls propuso unmodelo de justicia según el cual las diferencias sólo podían ser aceptadas si lasdesigualdades sociales y económicas fueran tales que maximizaran los beneficiosde los menos favorecidos. Este criterio demanda imparcialidad en los resultadosy en la igualdad de oportunidades: las personas que tienen habilidades similaresdeberían tener oportunidades similares en la vida.

El libro de Nozick, titulado Anarchy, State and Utopia (1974),·presenta una

fuerte crítica a la teoría y la práctica de la formulación de políticas públicas alestilo Rawls. En contraposición a la noción de justicia de Rawls, relacionada conla distribución de los resultados de manera "imparcial", Nozick argumenta que lajusticia distributiva se basa en la idea del "derecho a" y de los derechos delindividuo. Para este autor, la justicia tiene que ver con aquello a lo que laspersonas tienen derecho y no con la imparcialidad: la distribución puede ser


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justa, pues cada uno tiene derecho a aquello que posee, pero puede no serimparcial en un sentido distributivo. Según el autor, los individuos y los mercadosson el único medio, en un mundo libre, que permite la organización de lasociedad con una aspiración de justicia. Quienes deseaban ver menos políticaspúblicas y más libertad de elección individual no desaprovecharon esta tesis(Parsons 1998).

En la práctica, el criterio aplicado se refleja en la forma funcional de la FBS:

Criterio de Rawls

Una mejora de la situación social se da si y solo si el que mejora es el que estabapeor. La función es simétrica, concava y paretiana, pero no estrictamente.Maximiza la utilidad del miembro con menor bienestar. Muestra una aversiónextrema a la desigualdad en la distribución de utilidad porque W(U1; U2)=W(100,0)= W(0;0).

Nótese que la FBS rawlsiana implica una solución estrictamente igualitaria en elóptimo social. A medida que sube a lo largo del eje de 45º, el óptimo social esuno de igualdad absoluta (UA*(R)=UB*(R)), mientras que en el caso utilitarista losóptimos sociales pueden ser compatibles con la desigualdad de utilidades.

Criterio utilitarista

La ponderación de las utilidades individuales en la FBS es similar para las

distintas personas. La FBS es simétrica, cóncava y estrictamente paretiana. Elóptimo social de cualquier conjunto de la FBS es aquel donde la cantidad total dela utilidad es la mayor posible. No hay aversión a la desigualdad porque un vectorW(U1; U2)= W(100,0)= W(50;50).

En términos más generales, el criterio utilitarista se encuentra definido por laexpresión:

Donde G es una función creciente y cóncava. Cuanto mayor la concavidad de lafunción G, mayor la aversión de la sociedad a la desigualdad. Cada unidadsucesiva de utilidad que recibe una persona incrementa el bienestar social, perode forma decreciente.


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1.

Dada una función de bienestar social Con ofertatotal de bienes:

a. Demostrar que el máximo de la función de bienestar es óptimo de Paretob. Mencionar el significado de las condiciones de primer orden

c. Graficar

2. Considere una economía de intercambio puro con dos agentes y dos bienesrepartidos inicialmente de la siguiente manera: y La función de bienestar social está dada por la sumatoria de las funciones deutilidad de ambos individuos, siendo:

a. Hallar el punto máximo de la función de bienestar social. Graficarb. Hallar el equilibrio general de esta economía y comparar con los

resultados obtenidos en el punto anterior. Será igual el consumo de losindividuos? Y sus niveles de utilidad?

c. Cuál será la relación de precios necesaria para llegar, a través delmercado, a las demandas que determinan el máximo de la función debienestar social. Qué será necesario modificar para que obtener estarelación de precios?

3. Considere una economía de intercambio puro con dos agentes y dos bienes.Demuestre que un reparto igualitario de las dotaciones iniciales de los agentes, y no es eficiente en el sentido de Pareto si laspreferencias son:

y con ¿Por qué? ¿Ocurriría lo mismo si 1?


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EXTERNALIDADES

La característica crucial de las externalidades es que los bienes que les dan

origen interesan a los agentes (por sus efectos negativos o positivos), pero no sevenden en mercados organizados. En presencia de externalidades el mecanismode mercado no logra asignaciones eficientes en el sentido de Pareto de losrecursos, lo que significa que sería posible mejorar el bienestar la sociedad en suconjunto modificándolas. Sin embargo, hay otras instituciones sociales como elsistema jurídico o el Estado que pueden, hasta cierto punto, actuar de maneraanáloga.

Los problemas de externalidad surgen si los derechos de propiedad no seencuentran definidos de forma tal que quien genera la externalidad deba pagar o

pueda cobrar por el efecto negativo o positivo que genera. Si los derechos depropiedad están bien definidos no hay externalidades en la producción, pero sino lo están, el resultado de las interdependencias económicas generaineficiencias. Esta afirmación fue planteada en 1968 por G. Hardin en lo que sellamo “The Tragedy of the Commons” (Varian, 1999).

Cuando la producción genera externalidades, la forma de producción óptima esindependiente de quien tenga los derechos de propiedad, pero la distribución desus beneficios o pérdidas depende de la asignación de los derechos de propiedad.

Existe un caso especial en que el resultado de la externalidad es independientede quien tenga los derechos de propiedad. Si las preferencias de los agentes soncuasilineales (primera clase práctica funciones de utilidad), esto es, las curvas deindiferencia son meras versiones desplazadas unas de otras, lo que significa quela RMS no cambia cuando alteramos la cantidad del bien), todas las solucioneseficientes deben generar la misma cantidad de la externalidad.

El supuesto de preferencias cuasilineales implica que las demandas del bien quegenera la externalidad son independientes de la distribución de la renta. Por loque una reasignación de las dotaciones no afecta la cantidad eficiente de la

externalidad. Esto se expresa diciendo que el teorema de Coase es válido si nohay “efectos renta”.

Eleonor Ostrom (1990), premio nobel de economía en 2009, demostró que unatercera vía para la gestión de los bienes colectivos diferente al mercado y alEstado es la creación de una institución colectiva.


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1.

Supuestos del Modelo: Equilibrio Parcial y un único factor productivo. Dada lassiguientes funciones de producción de dos empresas monoproductoras:

Q A = 15 LA0,5 + 1,5Q B

Q B = 19 ln (LB)

Con PA = 2, PB = 3 y W = 3

Donde LA y LB representan la cantidad de trabajo demandada por cada industria,W el salario real vigente, PA y PB el precio del producto de cada empresa y Q A, Q B las cantidades producidas.

Resolver suponiendo que las empresas actúan bajo competencia perfecta.

a. ¿Es óptima la asignación de recursos? ¿Por qué?

b. Si ambas empresas se fusionan, hallar QA y QB. ¿Son óptimas estascantidades?

c. El Estado analiza la posibilidad de brindar un subsidio a la empresa B de$ 1,5 por unidad producida (en el contexto del punto a) para tratar de quese alcance el óptimo en este mercado. El Estado recurre a usted paraconocer su opinión respecto al monto de este subsidio. ¿Es correcto elmonto elegido? ¿Por qué? Demostrar.

2.

Dos empresas interdependientes por la generación de externalidades negativaspor parte de la empresa M poseen las siguientes funciones de costos:

y los precios de los bienes son:

Planteando los supuestos y condiciones necesarias, resolver:

a. Hallando la solución competitiva (cantidad y beneficios)

b. Creando un mercado para la externalidadc. Aplicando un impuesto

3.

Dos empresas monoproductoras presentan las siguientes funciones de producción:

Q A= 5 ln (LA) – 0,2 Q B


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Q B= 3 LB0,5

Con PA = 2, PB = 3 y W = 1

a. Determinar la asignación de recursos suponiendo que las empresas actúan

bajo competencia perfecta. ¿Es óptima la asignación? ¿Qué falla demercado está presente?

b. Proponer un mecanismo para solucionar dicha falla. Resolver. ¿Qué sepuede decir acerca de la demanda de trabajo de la empresa B respecto dela situación anterior?

c. Si se le impone un impuesto de $1 por unidad producida a la empresa B,¿Es óptima dicha situación? Explicar.

4. Considere una economía de intercambio con dos consumidores, cuyaspreferencias sobre los bienes existentes (x;y) pueden ser representadas por lassiguientes funciones de utilidad:

Dadas las siguientes dotaciones iniciales , hallelos equilibrios competitivos. Es un resultado óptimo en el sentido de Pareto?


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BIENES PÚBLICOS

1.

En un modelo de dos consumidores y dos bienes, las funciones de utilidad de losdos individuos son:

donde es el consumo del bien j por el individuo iLas funciones de producción de los dos bienes dan lugar a la función detransformación implícita entre :

Determinar las condiciones de primer orden para un óptimo si es un bienprivado y

es un bien público

2. Encuentre la solución descentralizada de asignación de un bien público para dos

individuos cuyas preferencias son:

con =30 con =40Donde G=20; X1= 50; X2 = 40

Nota: será necesario el uso de un programa matemático para obtener losresultados finales del ejercicio


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MONOPOLIO Y REGULACION TARIFARIA

1.

Determinar el nivel óptimo de producción y precio de las siguientes empresas

monopólicas e indicar si son un monopolio natural. Las funciones de demanda desus mercados y sus funciones de coste son:

2.

Un monopolio enfrenta un costo medio igual a su costo marginal, el que es iguala 5. La demanda de mercado de su producto está dada por D(p)= 53- p.

Determine el excedente del consumidor si la empresa actúa bajo las reglas decompetencia perfecta y si actúa sin restricciones. Indique la pérdida deeficiencia de la economía de una situación a otra.

3.

Un monopolista con una función de costos totales igual a abastece aun mercado cuya función inversa de demanda es p=300-4x.

a. Obtenga el equilibrio del monopolista y el excedente social de estaeconomía

b. Calcule la pérdida de eficiencia que sufre esta economía respecto a unasituación de competencia perfecta

c. Compare ambas situaciones con la que obtendría si una regulaciónobligara al monopolista a comportarse como un monopolio social

Si el gobierno otorga una licencia al monopolista, su función de costes asciende a , ¿Cuánto será lo máximo que la firma monopolista estará dispuesta apagar por esta licencia?

4. Un monopolista con una función de producción igual a abasteceun mercado cuya función inversa de demanda es p(x)=80-x. Este monopolista secomporta como precio aceptante en el mercado de factores, siendo el precio deltrabajo y del capital, respectivamente, w=4 y r=1. Si en el corto plazo, el factorcapital está fijo en K=4:


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a. Determine la demanda de trabajo que maximiza el beneficio delmonopolista

b. Calcule la función de costos a corto plazo de la empresa y la demandacondicionada del factor trabajo en el equilibrio ¿Coincide dicha demandacon la obtenida en el apartado anterior?

5.

Sea una empresa cuya función de Cme es 5x y que enfrenta un mercado cuyafunción de demanda es p=50 -2x. El producto está sujeto a un impuesto a lasventas equivalente a t%. ¿Cuál será el efecto de un incremento en la tasa deimpuesto si la empresa se comporta como maximizadora de beneficios?

6.

Se autoriza a una empresa a ser la única abastecedora de electricidad en unazona determinada. Dicha empresa no puede acumular electricidad, por lo quedebe organizar su producción de modo de satisfacer instantáneamente lademanda. La demanda depende del momento del día, durante la mañana (4horas) la demanda en megawatts es

, durante el resto del día la demanda en megawatts es.La empresa tiene dos clases de costos: costos de equipos que equivalen a $300

por día por megawatt de capacidad instalada (incluyendo interés sobre el capitalinvertido) y costos de funcionamiento de $20 por megawatt/hora.

Indicar que capacidad instalará la empresa y qué precios fijará si:

a. El gobierno impone a la empresa la regla de actuar como si rigiesencondiciones de competencia perfecta

b. La empresa maximiza sus beneficios sin restricciones legales

7.

Un monopolio maximizador de beneficio opera con costos totales lineales dadospor: CT(x)= 50+20x.

La función de demanda de mercado es p=100-4x.

La cantidad máxima que puede producir con las instalaciones actuales es de 30unidades. Indicar:


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a. El precio, la cantidad y el beneficio resultantes de la maximización libredel beneficio

b. El precio que cobrará si el monopolio es regulado debiendo vender lamayor cantidad posible de producto que le permita cubrir los costos

c. El efecto del establecimiento de un precio máximo de $25 sobre lacantidad y el beneficio resultantes de la maximización del beneficio

8.

Un monopolista natural tiene costos totales descriptos por la siguiente ecuación:C(Q)= 400+ 25Q y enfrenta una demanda de mercado Q= 200- 2P. Obtenga lasganancias del monopolista, la producción de equilibrio y el excedente delconsumidor cuando:

a. El precio es igual al costo marginal.

b. El precio es igual al costo medio.c. El monopolista fija una tarifa de dos tramos, una parte igual al costomarginal y otra parte es un cargo fijo por consumidor. Suponga que lademanda proviene de 10 consumidores idénticos. ¿Qué cargo fijo deberáaplicar un monopolista regulado para no tener pérdidas? Y un monopolistamaximizador de beneficios?

9. Un monopolista natural está sujeto a un esquema de regulación por tasa de

ganancia. Sea Q=f(K;L) la cantidad de producto producida con K unidades decapital y L unidades de trabajo. Suponga que la producción requiere cantidadespositivas de los dos factores, de manera que Q= 0 si K= 0 o si L=0. Sea p(Q) lafunción de demanda inversa y R(Q) = p(Q)*Q el ingreso obtenido de la venta de Qunidades de producto. Sea r el costo de oportunidad del capital. Suponga que elregulador decide que la tasa de retorno sobre el capital no puede ser mayor queS.

a. Formule el problema del monopolista y derive las condiciones de primerorden.

b. Muestre que S debe ser mayor que r para que la firma obtenga beneficiospositivos (Ayuda: trabaje directamente con la función de beneficios).c. Usando las condiciones de primer orden, muestre que en este contexto

tiene lugar el efecto Averch-Johnson (Ayuda: considere que si λ es elmultiplicador asociado a la restricción sobre la tasa de ganancia en elproblema planteado en a), resulta 0


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CONSUMO BAJO CONDICIONES DEINCERTIDUMBRE

1.

Don Pedro es propietario de un departamento cuyo valor es de $250.000 y estáevaluando la posibilidad de contratar un seguro contra destrucción parcial delinmueble (por incendio, etc.).

El costo de la prima del seguro es de $9.900 y en caso de ocurrencia del siniestrole paga un monto de $122.625.

Si la probabilidad de ocurrencia del incidente es de 0,08 y la pérdida que generaes de $127.500:

a. ¿Decidirá Don Pedro asegurar el dpto si su función de utilidad es: U = W½ ? ¿Por qué?

b. Calcular la ganancia esperada de la compañía de seguros y compararla conel valor esperado. Explicar la relación.

c. Hallar la probabilidad de ocurrencia del siniestro que deja indiferente aDon Pedro entre asegurar o no la casa.

Solucióna. Para evaluar la decisión de asegurar el dpto. Don Pedro debe comparar lautilidad que obtiene con la opción cierta con la lograda con la opción incierta.

En este caso, contratar el seguro del dpto representa la opción cierta yarriesgarse a que el siniestro no ocurra, la incierta.

U sin seguro (incierta) = W½ = (250.000 – 9.900)½ = 490

UE con seguro (cierta) = W½ = 0,08 (122.500)½ + 0.92 (250.000)½ = 0.08 * 350 +500 * 0.92 = 488

Luego, la utilidad esperada de contratar el seguro (cierta) es mayor que laproporcionada por la no contratación (incierta), por lo que elegirá contratarlo.

b. Asumimos que la compañía aseguradora posee una función de beneficio comola siguiente:


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П = prima – x* c = 9.900 – 0,08 * 122.625 = 90

Siendo el beneficio П, que está compuesto por la prima (ingreso), menos laprobabilidad (x) de que ocurra el siniestro multiplicado por el monto asegurado(c = costo). Lo cual determinaría una ganancia esperada de $90.

c. Para hallar la probabilidad del siniestro (x) que deja indiferente al Don Pedroentre asegurar o no el dpto se debe plantear una ecuación que iguale la Utilidadcon seguro a la Utilidad sin seguro y que tenga como variable la nuevaprobabilidad de ocurrencia del siniestro:

U con Seguro = 490 = x * 350 + (1 – x) 500 = UE sin seguro

350x + 500 – 500x = 490

-150x = -10

x = 0,066…

Si el siniestro tuviera una probabilidad de ocurrencia del 0,066 Don Pedro estaríaindiferente entre contratar o no el seguro.

2. Un chacarero puede plantar soja o maíz. A su vez, las ganancias que obtendríadependerían de un “evento de la naturaleza”, en este caso el clima. Por lo tanto

sus ganancias son:

LluviasNormales

Sequía

Soja 46.000 15.000

Trigo 31.000 24.000

La probabilidad de lluvia es del 50% y la probabilidad de sequía de un 50%. La

función de utilidad del chacarero es: U= ln(W) + 100 donde W = ingreso neto.

a. Si debe elegir entre soja o trigo, ¿Cuál elegirá sembrar?b. Si puede optar entre distintas proporciones de ambos cultivos (ingreso

proporcional al área sembrada), ¿Cuánto sembrará de cada uno?


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c. Si existe un seguro para los que sólo cultivan soja que paga $4500 si lluevey cuesta $2.000, ¿Cambiará su decisión?

Solucióna. Calculamos la utilidad esperada de cada alternativa. Donde UEs es la utilidadesperada de cultivar soja y UEm es la utilidad esperada de cultivar trigo.

UEs = 0,5 [ U(46.000) + U(15.000)]

UEs = 0,5 [ln 46.000 + 100 + ln 15.000 + 100]

UEs = 110,1761

UEt = 0,5 [ U(31.000) + U(24.000)]UEt = 0,5 [ln 31.000 + 100 + ln 24.000 + 100]

UEt = 110,2138

Siendo la utilidad esperada de cultivar trigo más alta que la de cultivar soja,elegirá cultivar la primer semilla.

b. En este caso el individuo debe elegir la proporción X de soja y (1-X) de trigoque maximiza su utilidad esperada considerando los posibles estados de lanaturaleza.

Si llueve normalmente las ganancias serán: 46.000* X + 31.000* (1-X) = 15.000 X +31.000

Si hay sequía las ganancias serán: 15.000* X + 24.000* (1-X) = -9.000 X + 24.000

Considerando estas posibles ganancias y la probabilidad de ocurrencia de cadacaso, maximiza la Utilidad esperada a partir de la proporción de siembre X, quees la incógnita.

Max UEsm = 0,5 [U (15.000 X + 31.000) + U(-9.000 X + 24.000)]

= 0,5 [ln(15.000 X + 31.000)+ 100 + ln(-9.000 X + 24.000) + 100]


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∂UEsm/∂X = 0,5 [15.000 / (15.000 X + 31.000) – 9.000 / (-9.000 X + 24.000)] = 0

Despejando la igualdad anterior para hallar X:

15.000 / (15.000 X + 31.000) = 9.000 / (-9.000 X + 24.000)

9.000 = 30.000 X X= 3/10 y, por lo tanto, (1-X) = 7/10

De forma tal que el chacarero destinará 30% de su tierra a la soja y el 70% almaíz. Reemplazando en la función de utilidad esperada:

UEst = 0.5[ln(15.000 * 0.3+ 31.000)+ 100 + ln(-9.000 * 0.3 + 24.000) + 100]

UEst = 0.5[ln(35.500)+ 100 + ln(21.300) + 100]

UEst = 110,2219

c. Si suponemos que el chacarero cultiva sólo soja y contrata el seguro:

Si llueve sus ganancias serán: 46.000 – 2000 = 44.000

En caso de sequía sus ganancias serán: 15.000 + 4.500 – 2000 = 17.500

La utilidad esperada de esta decisión es:

UE = 0,5 [U(44.000) + U(17.500)]

UE = 0,5 [ln(44.000)+ 100 + ln(17.500) + 100]

UE = 110,2310

Dado que es mayor a la utilidad esperada de diversificar la producción calculadaen el inciso anterior, la decisión óptima para el individuo será cultivar solamentesoja contratando el seguro, y no diversificar.

3. A continuación, y antes de seguir leyendo hasta el final este ejercicio, juegue elsiguiente juego normalmente, sin pensar que haya ninguna trampa, de estaforma podrá comprobar que tal vez Ud. sea una persona normal que comocualquier otra cae en la Paradoja de Allais:


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a. Suponga que a usted le permiten elegir entre las siguientes situaciones,conocidas como loterías A y B. Hágalo y anótelo en un papelito:

Loteria A) $1,000,000 con probabilidad 1

Lotería B) $5,000,000 con probabilidad 10%; $1,000,000 con probabilidad

89%; $0 con probabilidad 1%

b. Ahora suponga que viene otra persona y le dice elija entre las siguientesloterías C y D. Hágalo y anótelo en un papelito:

Lotería C) $5,000,000 con probabilidad 10%; $0 con probabilidad 90%

Lotería D) $1,000,000 con probabilidad 11%; $0 con probabilidad 89%

c. ¿Cuáles son sus rdos? Comúnmente se observa que la gente prefiere “A” a“B”, y que prefieren “C” a “D”. Es su caso?

d. Muestre que la elecciones del punto c son inconsistentes con lamaximización de la utilidad esperada.

4. Federico es averso al riesgo y su función de utilidad es U= 100W 0,9, donde W essu sueldo en miles de pesos.

La empresa que acaba de emplearlo le paga $2.000 mensuales, pero le descuenta$100 por errores cometidos en el trabajo.

Federico tiene un 10% de probabilidad mensual de cometer un error.Afortunadamente puede acceder a una aseguradora de empleados distraídos:

a. Calcule cuanto estaría dispuesto a pagar por una póliza de seguro que ledaría $100 en caso de que cometa un error.

b. La utilidad de Federico se ve aumentada por el amor a la empresa en la

que trabaja. (Puede extraer indefinidamente café y golosinas de unamaquina) Si hoy lo despidieran y tuviera que trabajar independientementesu utilidad se reduciría a: U= W^0,9

c. Federico fue reasignado a una posición en donde puede cometer erroresque le costarían mayores deducciones del sueldo. Calcule la perdida deriqueza que debería sufrir trabajando en la empresa para que estuviese


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indiferente a que lo despidan. (aclaración: si lo despiden le pagan elsueldo como indemnización igual)

d. Ahora suponga que hay una probabilidad del 1% de que Federico seadespedido. Federico puede conseguir una póliza de seguro que cubra casosde despidos. ¿Cuál sería el "precio justo" de una póliza de seguro que lepague el monto de riqueza equivalente (calculado en C) en el caso de quelo despidan? ¿Pagará Federico esta póliza? Provea de una exhaustivaexplicación de su respuesta. (Ayuda: compare la situación en la quecompra y en la que no compra la póliza)

5.

La función de utilidad para un individuo X está definida de la siguiente manera:

U= (y/10.000) 1/2 para 0≤y≤50.000

U= 1/4*(y2/100.000)3 *(y/10.000) para y>50.000

a. Analizar si el individuo es averso o no al riesgob. Si el individuo dispone de $50.000 ¿contrataría un seguro pagando $600 de

prima si existe una probabilidad de 0,03 de que ocurra un siniestro, encuyo caso pasaría a tener $8.000?

c. Si dispone de $40.000 y puede comprar un billete de lotería conprobabilidad 0,01 de tener $70.000, y el precio del billete es de $2.500

¿Qué hace?d. Si dispone de $80.000 y puede comprar un billete de lotería con

probabilidad 0,01 de tener $70.000, y el precio del billete es de $2.500¿Qué hace?


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SELECCIÓN DE CARTERA

1.

Sean dos activos A y B cuyos rendimientos se muestran en la siguiente Tabla:

Estado Probabilidad Retorno A Retorno B

I 0,25 10 11

II 0,25 12 6

III 0,25 18 10

IV 0,25 20 17

a. ¿Cuál es el rendimiento medio de cada uno de los activos?b. ¿Cuál es su Varianza? ¿Y su covarianza?c. ¿Cuál es su coeficiente de correlación?

Solución

a. El rendimiento medio de cada activo se calcula multiplicando la rentabilidad

del activo en el estado i por la probabilidad de ocurrencia de dicho estado.

µA = RI*pI+ RII*pII + RIII*pIII+ RIV*pIV

Ri = retorno del activo A en el estado i

pi = probabilidad de ocurrencia de ri

Reemplazando los datos para el activo A y el activo B respectivamente:

µa = 10*0,25 + 12*0,25 + 18*0,25 + 20*0,25 = 15

µb = 11*0,25 + 6*0,25 + 10*0,25 + 17*0,25 = 11

b. La varianza de cada activo representa el riesgo de cada inversión. Su fórmulade cálculo para el activo A es:

σ2A= (RI - µa)2*pI + (RII - µa)

2*pII + (RIII - µa)2*pIII + (RIV - µa)

2*pIV


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σ2A =(10-15)2*0,25 + (12-15)2*0,25 + (18-15)2* 0,25 + (20-15)2*0,25 = 17

σ2B= (11-11)2* 0,25 + (6-11)2*0,25 + (10-11)2*0,25 + (17-11)2*0,25 = 15,5

La Covarianza mide la relación entre dos variables y su fórmula es:

σAB= E[(Ri - µa) (Rs - µb)] = ∑∑(Ri - µa) (Rs - µb)* pis

siendo:

Ri el retorno del activo A en el estado i

Rs el retorno del activo B en el estado s

Debido a que en este ejercicio los estados de la naturaleza son excluyentes y susprobabilidades de ocurrencia son iguales, la fórmula se limita a:

σAB = 0,25*[(10-15)*(11-11) + (12-15)*(6-11) + (18-15)*(10-11) + (20-15)*(17-11)] =10,5

c. El factor de correlación (ρ) indica la relación que existe entre ambas opcionesde inversión. Si ρ = 1, las opciones están directamente relacionadas y si ρ = -1,

están inversamente relacionadas. Su fórmula es ρ=σAB/( σA* σB), reemplazandoobtenemos:

ρ = 10,5 /(√17*√15,5)= 0,64

Lo ideal es que el factor de correlación sea negativo, ya que esto implica que elmovimiento de una opción de inversión es compensado por el movimiento en elsentido opuesto de la otra.

2.

En un mercado existen dos opciones de inversión: una es en “La Grande”, unacompañía cuyas acciones poseen una rentabilidad esperada de $15 con un riesgo(desvío estándar) de 18,6. La otra opción de inversión es en la compañía “LaPequeña” cuyas acciones poseen una rentabilidad esperada de $21 y un riesgo de

28. El coeficiente de correlación entre ambas rentabilidad es de 0,2.


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a. Si un inversor averso al riesgo decide invertir 40% en “La Pequeña” y 60%en “La Grande”, ¿Cuál será el retorno esperado de dicho portfolio? ¿Y su

desvío estándar?b. ¿Cuánto deberá invertir en cada activo para alcanzar el menor riesgo

posible? ¿A cuánto ascenderá dicho riesgo? ¿Y cuál será la rentabilidadesperada de dicho portfolio?

c. Graficar la Frontera de Carteras Eficientes.

Solución

Ordenamos los datos del enunciado:

La Grande (A) La Pequeña (B)

µ 15 21

σ 18.6 28

Siendo ρ=0,2= CovAB /σAσB, despejamos la CovAB=104,16

a. La cartera del inversor está formada por un 60% (xA) de activos de La Grande y40% (xB) de activos de La Pequeña. La rentabilidad esperada de su portfolio

estará dada por:µC =E(R)= xA*µA – xB*µB= 0,6*15 + 0,4*21= 17,4

El desvío estándar, por otro lado, está dado por:

σC= √(xA2*σA

2 + xB2*σB

2 + 2*xA*xB*CovAB) =√(0,62*18,62+0,42*282+0,6*0,4*2*104,16)=

17,32

b. Para minimizar riesgo dada una rentabilidad esperada, necesitamos que larentabilidad y la varianza dependan de una misma y única variable. Sabiendo que

xA+ xB=1 tenemos que:

La rentabilidad de la cartera es µc= xA*µA – xB*µB =15xA + 21(1-xA) = 21-6 xA

La varianza de la cartera es σC2 = xA

2σA2 + xB

2σB2+ 2xAxB* CovAB

σC2 =345,96xA

2+ (1-xA) 2784+2xA(1-xA)104,16

σc2=921,64xA2-1359,68xA+784


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Planteando el Lagrangeano que minimiza σc2 sujeto a µc:

L(xA,λ)=921,64 xA2 -1359,68 xA+784 + λ(21- 6xA- µc)

Las condiciones de primer orden para la minimización son:

∂L/∂xA =1843,28 xA -1359,68- 6 λ =0

∂L/ ∂λ =21- 6 xA - µc =0 (2)

De la ecuación (2) obtenemos la proporción que debe invertir el individuo en elactivo A para cada nivel de rentabilidad esperada xA= (21- µc)/6 con el fin deminimizar el riesgo.

La Frontera de Carteras Eficientes es aquel subconjunto de portfolios factibles

que otorgan el máximo retorno para un riesgo dado o, lo que es lo mismo, elmínimo riesgo para una rentabilidad dada. Esta Frontera no indica la cartera queseleccionará el inversor, sólo las opciones factibles que este posee. La selecciónde una cartera dependerá de la Frontera pero también de las preferencias quecada inversor tenga respecto al riesgo y la rentabilidad.

Significado Económico de λ

Según el teorema de la envolvente: δL/δµc =δσC2/δµc

O sea, que cada posible incremento de µc estará asociado a un riesgo mayor enel mercado. Es la pendiente de la frontera, la tasa a la cual se acepta un mayorriesgo a cambio de cierta rentabilidad esperada (luego de saber el signo delambda).

c. El siguiente gráfico, en el cual el eje vertical representa la rentabilidadesperada y el eje horizontal el riesgo, muestra la Frontera de Carteras Factibles,las combinaciones de riesgo- retorno esperado que es posible alcanzar mediante

diversas elecciones para el portfolio. La línea roja (parte superior) es elsubconjunto de Carteras Eficientes1, donde un mayor retorno está asociado a unmayor riesgo.

1 En realidad la frontera de carteras eficientes comienza en el punto de inflexión de la Frontera de Carteras

Factibles.


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Para seleccionar la cartera óptima del conjunto de carteras eficientes, se debeconocer la forma funcional de la utilidad del inversor, de donde surge también suactitud frente al riesgo, y hallar el punto de tangencia entre la FCE y la curva deindiferencia de mayor nivel de utilidad.

3. Un pequeño inversor tiene una suma de dinero que dedicará a dos alternativas de

inversión totalmente independientes uno del otro en el mercado:

ACTIVO 1: µ1 = 10 σ21 = 3

ACTIVO 2: µ2 = 15 σ22 = 5

a. Obtener 3 puntos de la frontera de carteras eficientes suponiendo valoresde riesgo de 3,5; 2 y 0,5.

b. ¿Cuál es el menor riesgo posible de obtener? ¿Y el mayor rendimientoesperado?

c. Graficar e indicar las preferencias del inversor averso al riesgo.d. Explicar el motivo por el cual se buscan carteras diversificadas y qué es el

riesgo de mercado.e. ¿Qué tipo de correlación conviene? ¿Por qué?

14

15

16

17

18

19

20

21

22

0 200 400 600 800 1000

Frontera de Carteras Factibles


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Solución

Siendo X la participación del activo 1 en la cartera del inversor, la rentabilidad yel riesgo están determinados por:

µc=10x + (1-x).15 = 15 - 5x σ2c=3x

2 + 5(1-x)2 = 8x2-10x + 5

Dado que las inversiones son independientes el coeficiente de correlación y, porlo tanto, también la covarianza son iguales a cero.

a. Para hallar los puntos sugeridos de la Frontera de Carteras Eficientes (FCE)maximizamos la rentabilidad sujeta a los niveles de riesgo establecidos. Loharemos de forma genérica para obtener una relación que luego nos permitaencontrar todos los puntos que buscamos:

L(x, λ)= 15 - 5x + λ (8x2- 10x + 5 - σ2c)

∂L/∂x = -5 + λ(16x -10) = 0 (1)

∂L/∂λ = 8x2 - 10x +5 -σ2c = 0 (2)

A partir de la ecuación (2) obtenemos que:

[10 + (100-32(5- σ2c)1/2]/16 [10 – (100-32(5-σ2c )

1/2]/16

Cuando σ2c = 3,5: x1 = 1,075 y µc= 9,625

O puede ser x2= 0,1743 y µc= 14,1285Entonces, la rentabilidad esperada de un portolio con riesgo de 3,5 se maximizacuando se invierte 17,43% del dinero disponible en el activo 1 y el resto, 82,57%,en el activo 2, obteniendo una rentabilidad esperada de la cartera de $14,1285

Cuando σ2c = 2: x1 = 0,75 y µc= 11,25

O puede ser x2= 0,5 y µc= 12,5

Entonces, la rentabilidad esperada de un portolio con varianzao 2 se maximizacuando se invierte el 50% del dinero disponible en el activo 1 y el resto en elactivo 2, obteniendo una rentabilidad esperada de la cartera de $12,5.

No es factible componer una cartera con un riesgo igual a 0,5.


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b. Para obtener el mínimo riesgo posible minimizamos la función de riesgo:

Min σ2c= 8x2 – 10x + 15

∂σ2c/∂x = 16x – 10 = 0

Despejando la ecuación anterior obtenemos que x = 5/8 y, por lo tanto, el riesgomínimo es igual a σ2c min= 1,875

La máxima rentabilidad esperada, por otro lado, sería la maximización de µc= 15– 5x ∂ µc/∂x = 15 esto significa que x=0

c) El inversor averso al riesgo prefiere obtener el valor esperado de la lotería, esdecir, la utilidad de la lotería U(px+(1-p)y) debe ser menor que la utilidad del

valor esperado de la lotería px+(1-p)y. Este tipo de conducta es la denominadade aversión al riesgo.

Intuitivamente cuanto más cóncava sea la función de utilidad esperada, máscontrario a correr riesgos será el consumidor. Analíticamente, puede la aversiónde un individuo puede medirse mediante los índices de Arrow-Pratt de aversiónabsoluta al riesgo, medida global del riesgo y aversión relativa al riesgo. Para

conocer la manera de calcular estos indicadores y su aplicabilidad consultar

Varian (1999).

d. Una cartera diversificada permite disminuir los riesgos del mercado,especialmente cuando se logra una combinación de activos con variabilidad desus rendimientos indirectamente correlacionadas, esto quiere decir que mientrasla rentabilidad de algunos activos están subiendo la rentabilidad de los otrospodrían estar bajando. El riesgo de mercado podrá mitigarse o equilibrarse conuna diversificación conveniente, pero nunca podrá eliminarse, porque existe unacuota de incertidumbre involucrada en el riesgo. El riesgo inherente a lascaracterísticas propias de los activos si podrá reducirse considerablemente, e

incluso eliminarse, con una diversificación adecuada.

e. Las ventajas de la diversificación son mayores cuanto menor es la correlaciónentre la rentabilidad de los activos incluidos en la cartera, por lo que seráconveniente que los activos estén negativamente correlacionados.


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ECONOMIA DE LA INFORMACIÓN

1.

Dados los siguientes datos:

Existen 2 acciones posibles para el agente y ellas son: a (alto esfuerzo) y b (bajoesfuerzo)

Existen 2 resultados posibles para cada acción, uno malo (1) y uno bueno: x1=10 ; x2=10.000

Lo anterior implica que aunque se haga un gran esfuerzo, igual se puede obtenerun resultado malo y viceversa. Sin embargo la probabilidad de obtener unresultado bueno es más alta si se realiza un alto esfuerzo. Luego, siendo que p ij es la probabilidad del resultado j cuando se realiza la acción i

Pa1=0,8; Pa2=0,2; Pb1=0,2; Pb2=0,8;

Los costos del esfuerzo son: Ca=10 ; Cb=20

La utilidad del agente en función del ingreso: U(w) = [w(xj)]0,5

La utilidad de reserva del agente es = 10

a. Determinar el sistema óptimo de incentivos que maximiza el beneficio

esperado del principal acerca de la acción del agente en el caso deINFORMACIÓN PERFECTA.

b. Determinar el sistema óptimo de incentivos que maximiza el beneficioesperado del principal acerca de la acción del agente en el caso deINFORMACIÓN IMPERFECTA.

2. Rosa está desempleada y cobra $ 24 de seguro de desempleo por día.

Le ofrecieron un trabajo, en el cual podría cobrar$ 16 por hora si trabajasepreparando almuerzos gourmet para delivery y $10 de viáticos por día pagaderopor su empleador.

Está evaluando si le conviene, pues esta actividad le significaría un costo igual alcuadrado de las horas trabajadas más 12 pesos de transporte y comida.


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a. ¿Cuántas horas trabajaría por día si su empleador le exige armar tresviandas por hora (que luego coloca en el mercado a $50 cada una)?

b. ¿Cuánto debería cobrar Rosa por hora para trabajar 8 horas por día?

3.

El Dr. McDuck, un multimillonario que no sabe ya qué hacer con su dinero, decideinvertir $100.000 en el Fondo Común de Inversión del banco “Banck”.

El gerente del banco le dice que puede ganar el 10% de su inversión inicial conuna probabilidad del 80% si el Fondo realiza una exhaustiva investigación delmercado (lo cual representa para el banco un costo de $60).

De lo contrario, si el Fondo destina únicamente $5 a la investigación, el Dr.McDuck, tiene un 80% de probabilidades de obtener un retorno igual al 0,5% de

su inversión inicial.El Fondo no está dispuesto a trabajar por menos de $15 y su función de utilidades U(w) = [w(xj)]1/2.

a. ¿Cuál sería el sistema óptimo de incentivos que maximizaría el beneficioesperado de McDuck,? (Aclaración: McDuck, no puede monitorear lasacciones del Fondo).

b. ¿Cuál es su beneficio esperado?

c. Explicar el concepto de Moral Hazard en base a este ejercicio.

Solución

a. Maximizamos 0,8[10.000 - W(X1)] + 0,2[ - W(X2)] sujeto a

Restricción de participación: 0,8[W(X1)]1/2 + 0,2[W(X2)]1/2 – 60 / 15

Restricción de compatibilidad de incentivos:

0,8[W(X1)]1/2 + 0,2[W(X2)]1/2 – 60 / 0,2[W(X1)]1/2 + 0,8[W(X2)]1/2 – 5

L(W(X1),W(X2),a,b)= 8000 – 0,8W(X1) – 0,2W(X2) + a [0,8[ W(X1)]1/2 + 0,2[ W(X2)]

1/2 – 75] + b [0,6[W(X1)]

1/2 – 0,6[W(X2)]1/2 – 55 ]

L´w1= -0,8 + 0,4a[ W(X1)]-1/2 + 0,3b[W(X1)]

-1/2 =0


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L`w2= -0,2 + 0,1a[W(X1)]-1/2 – 0,3b[W(X2)]

-1/2 =0

L`a= 0,8[W(X1)]1/2 + 0,2[W(X2)]

1/2 – 75 =0

L`b= 0,6[W(X1)]1/2 – 0,6[W(X2)]

1/2 – 55 =0

de esto se obtiene: W(X1)= 8711.22 y W(X2)= 2.77

b. BEie= 10.000* 0,8 + 0,2*0 –60= 7940

BEnie= 500* 0.8 + 0,2*0 – 5 = 395

c. Se observa que el pago para el agente aumenta, cuando el principal loincentiva a realizar una acción más costosa.

Debido a que el principal no posee información perfecta sobre las acciones delagente (hay información oculta), el primero trata de que el segundo se esmereen realizar la acción que le otorgue mayor remuneración y a la vez mayorbeneficio para el principal. O sea que a través de un incentivo, encamina alagente a realizar una acción determinada.

Existe el problema de Moral Hazard, que es el riesgo moral que tiene el agentede responsabilizarse por hacer la acción más costosa pero que si no la hace, elprincipal no obtendrá los beneficios esperados para tal paga. En esta situación,el principal se vería altamente perjudicado ya que el agente se compromete a

realizar cierto esfuerzo por el que el principal le pagará cierta remuneración y alfin y al cabo el agente no realiza tal esfuerzo. Esto se debe a que el principal nopuede influir de manera directa en el proceder del agente sino sólo de formaindirecta a través de la paga. El riesgo moral que corre el agente será obtener lapaga mayor sin haber realizado el esfuerzo mayor y por consiguiente conseguir elbeneficio máximo.

4. Tomás Moro solicita al Banco Amazonas un préstamo por un año para un proyecto

en la selva, cuya probabilidad de resultar exitoso es del 70% y, en ese caso, paga$300.

Si el proyecto no es exitoso su pago es de $0.

El préstamo que necesita es de $100 y la tasa de interés libre de riesgo es del10% anual. (Supuesto: si el proyecto fracasa, Tomás Moro no le paga nada alBanco).


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a. ¿Cuál es el beneficio esperado del proyecto en la selva?

b. ¿Qué tasa de interés le cobrará el Banco Amazonas?

c. ¿Cuál es el Beneficio Esperado para Tomás Moro?

d. ¿Qué pasaría si Tomás Moro, sabiendo que la probabilidad de éxito delproyecto es del 70%, le dijera al Banco que es del 90%? ¿Qué tasa deinterés le cobraría el Banco en este caso? ¿Y cuál sería esta vez subeneficio esperado?

Solución

a. En primer lugar, calculamos el beneficio esperado durante el primer año delproyecto en la selva, que se compone del ingreso esperado menos el valor de loinvertido (suponemos que invierte todo lo que pide prestado) multiplicado por latasa libre de riesgo.

El retorno libre de riesgo se define como lo que podría haber ganado de habercolocado el capital en un activo sin riesgo.

BE = Pe *G + Pf *P – D*(1+r)

BE= 0,7 *(300– 100 *(1+0,1)) + 0,3 *0 = 133

BE: Beneficio esperado del proyecto en la selva

Pe: Probabilidad de éxito del proyecto

G: Ganancia o pago del proyecto por éxito

Pf: Probabilidad de fracaso del proyecto

P: Pérdida o pago del proyecto por fracaso

D: Inversión necesaria para llevar a cabo el proyecto

r: Tasa de retorno libre de riesgo

b) El Banco Amazonas es quien corre todo el riesgo por que se lleve a cabo elproyecto, dado que en caso de que fracase, el banco no podrá recuperar eldinero prestado.


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Por tal motivo cobrará una tasa de interés más alta que la tasa libre de riesgo,de modo que se lo compense por correr el riesgo. Con dicha tasa de interés sedebe igualar el valor esperado de cobro al valor de lo prestado.

VE = Pe x W (1 + i) + Pf x K (1 + i) = 100

0,7 * 100 (1 + i) + 0,3* 0 (1 + i) = 100

70 (1 + i) = 100 1 + i = 100 / 70 i = 0,42

VE: Valor esperado de cobro

Pe: Probabilidad de éxito

W: Pago en caso de éxito

i: tasa de interés cobrada por el banco

Pf: Probabilidad de fracaso

K: Pago en caso de fracaso

El banco le cobrará una tasa de interés del 42% por prestarle el dinero, dado elriesgo de fracasar que tiene el proyecto.

c) El beneficio esperado para Tomás Moro se obtiene restándole al beneficio

esperado del proyecto el dinero que le prestó el banco pero en vez demultiplicarlo por la tasa de interés libre de riesgo hay que hacerlo por la tasa deinterés que le cobrará el banco.

BT = Pe x G + Pf x P – D (1 + i)

BT = 0,7 x 300 + 0,3 x 0 – 100 (1 + 0,42)

BT = 210 – 142 = 68

BT: Beneficio esperado por Tomás MoroPe: Probabilidad de éxito

G: Pago del proyecto en caso de éxito

Pf: Probabilidad de fracaso

P: Pago del proyecto en caso de fracaso


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D: Dinero que se pide prestado al banco

i: Tasa de interés cobrada por el banco

d) Si Tomás Moro le dijese al Banco Amazonas que la probabilidad de éxito delproyecto es mayor que la que realmente es, estaríamos en caso de informaciónoculta.

El Banco Amazonas le prestaría dinero a una tasa más baja de la que realmentele convendría a Tomás Moro.

Para solucionar este inconveniente el Banco Amazonas debería diseñar unsistema de incentivos para forzar a que Tomás Moro no mienta en la informaciónsuministrada o investigar muy bien la veracidad de la información paracorroborar que sea cierta.

Suponemos que el Banco Amazonas no toma ninguna de las dos alternativasanteriores con lo cual cree en la palabra de Tomás Moro.

La tasa de interés cobrada por el banco será entonces menor que la tasa deinterés que hubiese cobrado si tuviese la verdadera probabilidad.

VE = Pe x W (1 + i) + Pf x K (1 + i) = 100

0,9 x 100 (1 + i) + 0,3 x 0 (1 + i) = 100

90 (1 + i) = 100

1 + i = 100 / 90

i = 0,11

- VE: Valor esperado de cobro- Pe: Probabilidad de éxito informada por Tomás (difiere de la probabilidad real)- W: Pago en caso de éxito- i: tasa de interés cobrada por el banco- Pf: Probabilidad de fracaso informada por Tomás (difiere de la probabilidad

real)- K: Pago en caso de fracaso

El Banco Amazonas le cobrará un interés del 11% por prestarle el dinero, dado elriesgo de fracasar que tiene el proyecto según lo informado por Tomás Moro.


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El beneficio esperado por Tomás será entonces mayor que el que tendría si sehubiese informado la verdadera probabilidad de fracaso del proyecto (dado quehabiendo mentido obtiene una tasa de interés menor).

BT = Pe x G + Pf x P – D (1 + i)

BT = 0,7 x 300 + 0,3 x 0 – 100 (1 + 0,11)

BT = 210 – 111 = 99

- BT: Beneficio esperado por Tomás Moro- Pe: Probabilidad de éxito- G: Pago del proyecto en caso de éxito- Pf: Probabilidad de fracaso- P: Pago del proyecto en caso de fracaso

- D: Dinero que se pide prestado al banco- i: Tasa de interés cobrada por el banco

El beneficio esperado por Tomás habiendo indicado una probabilidad de éxito delproyecto del 90% cuando es realidad del 70% es de $99.


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TEORIA DE LOS JUEGOS

1.

Considere el siguiente juego con dos jugadores y dos estrategias:

a. ¿Tiene el jugador B una estrategia dominante?

b. ¿Tiene el jugador A una estrategia dominante?c. ¿Cuál es la estrategia segura (maximin) para el jugador B?d. ¿Cuáles son las estrategias de equilibrio de Nash para los jugadores A y B?

2.

Dada la siguiente matriz responda:

a. ¿Tiene el jugador 1 estrategia dominante?b. ¿Tiene el jugador 1 alguna estrategia dominada?

c. ¿Tiene el jugador 2 una estrategia dominante?d. ¿Tiene el jugador 2 alguna estrategia dominada?e. ¿Existe algún equilibrio de Nash?f. ¿Cuál es el equilibrio cooperativo? ¿Es estable?

Izquierda Derecha

Arriba ( 10; 20 ) ( 15; 8 )

Abajo ( -10; 7 ) ( 10; 10 )Jugador A

Jugador B

D E F

A 100; 125 300; 255 200; 100

B 250; 0 600; 600 750; 400

C 0; 100 400; 300 0; 350

Jugador 1

Jugador 2


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3.

Dada la siguiente matriz responda:

a. ¿Tiene el jugador 1 estrategia dominante?b. ¿Tiene el jugador 1 alguna estrategia dominada?c. ¿Tiene el jugador 2 una estrategia dominante?d. ¿Tiene el jugador 2 alguna estrategia dominada?e. ¿Existe algún equilibrio de Nash?

4.

Dos negocios de comidas rápidas, McDon y BurK compiten por la clientela de uncentro comercial. Los dueños del primer local están evaluando dos posiblesestrategias: ofrecer todos los días un menú económico (ME) o incorporar dosplatos light (PL).

En el primer caso, creen que si BurK incursiona en el rubro Macrobiótico (M),ganarán un 5% del mercado, mientras que si BurK incluye el delivery, perderánun 8%.

En el segundo caso, estiman que sus porcentajes de participación en el mercadovariarán en -3% y un 6%, respectivamente.

a. Con estrategias conservadoras, indique las frecuencias óptimas de cadadecisión para McDon.

b. Con estrategias conservadoras, indique las frecuencias óptimas de cadadecisión para BurK.

5. Las empresas TeleCombo y TeleAfonica evalúan la posibilidad de incrementar susparticipaciones en el mercado de telefonía móvil, mediante agresivas políticascomerciales y propaganda.La gerencia de TC supone que si promocionara el servicio enviando propagandapor correspondencia a todos los profesionales matriculados en GCBA, ganaría un

jugador 1

rojo negro

jugador 2 rojo (1; -1) (-1; 1)negro (-1; 1) (1; -1)


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2% del mercado en el caso que TA mantuviera su política comercial, peroperdería un 2% si TA financiara la venta del aparato.Si alternativamente TC promociona su servicio ofreciendo llamadas sin cargo poruna semana a las 500 empresas con sede en GCBA que más factura ganaría un 1%independientemente de la decisión del competidor.Considera que TC y TA son conservadoras en sus decisiones.

a. Indique si hay dominación de estrategias para algún participante.b. En el caso de contestar afirmativamente en a), elimine las estrategias

dominadas y determine el valor del juego.c. Evalúe la aplicabilidad del concepto de estrategias mixtas al presente

problema.d. Verifique que aplicando estrategias mixtas en la matriz original, la

frecuencia óptima de estrategias dominadas es 0.

6. Dadas 2 empresas del rubro alimenticio, con 2 estrategias para incrementar susparticipaciones en el mercado:

A “Lleve 3,

pague 2” B Auspiciaun chef

A Degustaciones -0.05 -0.02

B Recetarios gratis 0.03 -0.04

a. Determine si existe equilibrio por estrategias purasb. Determine el equilibrio por estrategias mixtas.

7. Existe un duopolio en la industria de combustibles líquidos. Cada empresa evalúasu estrategia para incrementar sus ganancias.

La empresa 1 puede aumentar su capacidad de refinamiento (R) o aumentar sucapacidad de almacenaje (A).

La empresa 2 puede ampliar la red local (L) o puede explorar zonas nuevas (Z).

El beneficios que obtengan dependerá de lo que ocurra en el mercadointernacional con el precio que puede subir con p=0,40 o bajar con p=0,60.


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Peso ↑: 0,40 Peso se aprecia ↓:0.60

E1/E2 L Z E1/E2 L Z

R (100, 100) (200, -100) R (-60,-100) (-100,100)

A (-100, 160) (300, 0) A (100, 0) (-200, 60)

Calcule el valor esperado del juego.

8. Dos firmas dedicadas a la tecnología, "Dello" y "HPo" están evaluando suestrategia para expandirse en el mercado latinoamericano”. Dello puede optar

por ofrecer tecnología de punta (T) o personalizar el diseño a gusto del usuario(D). HPo puede colocar locales exclusivos en algunos países (L) oalternativamente ofrecer financiamiento en cuotas (C).

El beneficio que obtenga cada firma estará influido no sólo por lo que realice suadversario, sino también por lo que suceda en el mercado internacional con elprecio del peso con respecto al dólar (US$). La probabilidad de que el peso seaprecie es de 0.60 (sube con respecto al dólar).

Se presentan los datos en millones de dólares anuales:

Peso se deprecia↓: ---------- Peso se aprecia ↑:0.60

DellO/HPo L C DellO/HPo L C

T (400, -200) (300, 150) T (-400,100) (600,900)

D (-300, 100) (400,-300) D (500, -500) (200,100)

a. Obtener e interpretar económicamente el valor esperado del juego con elanálisis de la matriz de beneficios.

b. Obtener e interpretar económicamente el resultado del juego.

c. ¿Qué tipo de juego es? ¿Ante qué tipo de estrategias nos encontramos?


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9.

Dos casas de alta costura, "Armando" y "Versero" quienes siempre apuntaron anichos diferentes del mercado, están evaluando ahora su estrategia paraconquistar al sector juvenil americano de entre 18 y 23 años.

Armando puede optar por adquirir telas de texturas originales (T) o realizar un

desfile inaugural a beneficio mostrando la nueva colección (D).Versero está entre instalar un par de locales exclusivos (L) o también dedicarrecursos para una campaña publicitaria al tono (C)

El beneficio que obtengan cada una de las casas estará influido no sólo por lo querealice su adversario, sino también por lo que suceda en el mercadointernacional con el precio del Euro con respecto al dólar (US$). La probabilidadde que el Euro se deprecie es de 0.05. (cae con respecto al dólar).

Se presentan los datos en millones de euros anuales:

Euro se deprecia↓: 0.05 Euro se aprecia ↑:----------

A/V L C A/V L C

T (200, -20) (150, 30) T (-50,100) (80,90)

D (-50, 10) (40,-20) D (70, -5) (30,10)

a. Plantear como árbol de decisión si A toma la iniciativa

b. Obtener e interpretar económicamente el valor esperado del juego con elanálisis de la matriz de beneficios.

c. Obtener e interpretar económicamente el resultado del juego.

d. ¿Ante qué tipo de estrategias nos encontramos?¿Qué tipo de juego es?

10.

En la ciudad de Rosario existen sólo dos proveedoras de TV por cable:CABLE TV y SUPER TV. Suponemos que lo que una proveedora gana de mercado,la otra lo pierde. La empresa CABLE TV evalúa tres estrategias para mejorar suposición de mercado: promoción gráfica, promoción por TV abierta e instalaciónsin cargo. Si la empresa SUPER TV no modifica su estrategia actual, CABLE TVespera ganar un 3% del mercado si hace promoción gráfica, 6% si es por TV y 5% siofrece instalación sin cargo. Si SUPER TV decide sortear viajes entre sus


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suscriptores, esta espera ganar un 4% del mercado si CABLE TV ofrece instalaciónsin cargo, perder un 7% si CABLE TV hace promoción gráfica, perder un 5% siCABLE TV hace promoción por TV.

a. Halle solución con estrategias puras. ¿Existe equilibrio? Explicar. (Supuesto:Conducta conservadora).

b. El Gerente de Marketing de CABLE TV le solicita determine la frecuenciaóptima de las estrategias: Instalación sin cargo y promoción por TV.Establezca la ganancia esperada en la participación de mercado si sigue suconsejo. Explique el resultado. ¿En qué contexto tiene sentido? Graficar.

Solucióna. Para hallar la solución por estrategias puras primeramente armamos lamatriz de ganancia de la empresa CABLE TV

EstrategiaActual

SortearViajes

Promoción Gráfica 0,03 0,07

Promoción TV 0,06 0,05

Instalación s/cargo

0,05 - 0,04

El presente es un juego de suma cero, en el que uno pierde lo que el otro gana yla matriz está armada desde los resultados del jugador fila, por lo que losnúmeros positivos son ganancia para CABLE y pérdida para SUPER, mientras que

los números negativos de la matriz son pérdidas para CABLE y ganancias paraSUPER.

Por este motivo, y porque suponemos que los participantes tienen conductasconservadoras, la empresa CABLE TV es Maximinimizante y SUPER TV esMinimaximizante.

Estrategia

dominada

CABLE

SUPER


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Como primer paso observamos si alguna estrategia está dominada. En este casola estrategia ISC está dominada por la estrategia PTV.

Ahora aplicamos Maximin a las dos estrategias que le quedan a CABLE TV. Si eligePromoción Gráfica lo peor que le puede pasar es obtener sólo el 3% del mercado

y si elige Promoción TV el peor resultado sería ganar el 5% del mercado. De estosdos el resultado más favorable es Promoción TV y esta será la estrategia a aplicar.

La empresa SUPER, por su parte, aplicará Minimax y encontrará que si se quedaen el estado actual podría perder un 6% del mercado y si sortea viajes podríaincluso llegar a perder un 7%. La estrategia conservadora entonces es mantenerel estado actual.

SUPER

EA SV Maximin

PG 0,03 0,07 0,03

PTV 0,06 0,05 0,05

ISC 0,05 -0,04

Minimax 0,06 0,07

El resultado del juego al aplicar CABLE TV la estrategia PTV y mantener el estadoactual SUPER TV es una ganancia del 6% del mercado para CABLE TV.

Sin embargo, este resultado no es un equilibrio estable, ya que al menos uno delos jugadores tiene incentivos a cambiar de estrategia si el juego se repite bajoiguales condiciones.

b. Para determinar las frecuencias óptimas de las estrategias “Instalación sincargo” y “promoción por TV” para la empresa CABLE TV, se analiza la siguiente

matriz de pagos:

CABLE


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EA SV

PTV 0,06 0,05

ISC 0,05 -0,04

De la matriz se observa que la estrategia ISC está dominada por la estrategia PTV,ya que siempre le va a convenir realizar esta última ya que reditúa mayoresganancias. Por lo tanto, en este caso, no es necesario continuar con la resolucióndel juego, ya que la estrategia queda determinada directamente a través de la

dominación: CABLE TV debe adoptar en el 100% de las veces la estrategia PTV y,de esta forma, el valor del juego será 0,05.

b*) Determine la frecuencia óptima de las estrategias: Instalación sin cargo ypromoción por TV para CABLE TV (suponiendo que debemos realizar lacomparación con las tres estrategias y no sólo con las dos estrategias quemencionamos anteriormente.)

Si lo resolvemos de esta manera, la frecuencia óptima de la estrategia de

Instalación Sin Cargo (al ser eliminada por estar dominada por las otrasestrategias), continúa siendo cero por ciento, y por lo tanto se plantea elsiguiente sistema con las otras dos estrategias (PG y PTV).

0,03 * p1 + 0,06 * (1 - p1) » V y 0,07 * p1 + 0,05 * (1 - p1) » V

(0,03 – 0,06) * p1 + 0,06 » V y (0,07 – 0,05) * p1 + 0,05 » V

- 0,03 * p1 + 0,06 » V y 0,02 * p1 + 0,05 » V

Para resolver estas inecuaciones las pensamos como igualdades:- 0,03 * p1 + 0,06 = V y 0,02 * p1 + 0,05 = V

- 0,03 * p1 + 0,06 = 0,02 * p1 + 0,05

0,05 * p1 = 0,01

p1 = 0,2 p2 = (1 - p1) = 0,8

Estrategia

dominada

CABLE

SUPER


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Y por lo tanto, el valor esperado del juego es: V = 0,054.

En conclusión, la frecuencia óptima para la empresa CABLE sería realizar un 20%de las veces Promoción Gráfica y un 80% Promoción por TV. El realizar de estamanera las estrategias redundará en un aumento del 5,4% de la participación de

CABLE TV en el mercado.

Gráficamente:

La aplicabilidad del concepto de estrategias mixtas está condicionado a larepetitividad de las acciones que involucran. En la medida en que la política dela empresa CABLE y la política de SUPER TV se revean frecuentemente, elconcepto de estrategias mixtas puede considerarse aplicable.

Si tal revisión no fuera frecuente, entre una “jugada” y otra podría haber

cambiado el contexto, quitando actualidad a los coeficientes expresados en la

matriz de pagos.

0 05

0 06

0 03

0,07

V*

V

0 1

P1=0.2


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CONSUMO INTERTEMPORAL

1. Una persona puede recibir una herencia constituida por los activos, A y B. El

activo A produce una renta de $1.000 en t = 1 y $900 en t = 2. El activo Bproduce una renta de $800 en t = 1 y $1.200 en t = 2.

Su función de utilidad es U = ln(C1) + 1/1,2* ln(C2), siendo C1 el consumo en elprimer período y C2 en el segundo. Suponiendo que éste es el único ingreso deesta persona, calcular su utilidad esperada en las siguientes situaciones:

a. Si debe optar entre A y B y no tiene acceso al crédito.

b. Si puede recibir parte en A y parte en B y no puede prestar ni tomar

prestado.c. Si debe optar entre A y B y tiene acceso al mercado de crédito a una tasa

del 14%.

2.

Un individuo tiene la siguiente función de utilidad: U= ln(C1) + βln(C2) con β =

1/1,2.

En el período 1, la persona recibe $100. Para el segundo período, lo único que

puede hacer es invertir en un activo que en el estado bueno, que ocurre la mitadde las veces, otorga una rentabilidad del 40%. Si el estado es malo, larentabilidad del activo es nula.

a. Determinar el sendero óptimo de consumo.

b. ¿Cuál es la esperanza del consumo en el período 2?

c. Si el individuo tiene la opción de acceder al mercado de crédito a una tasadel 10%, ¿Preferirá esta nueva opción o invertir en el activo antes

descripto?

Solución

a. El individuo deberá maximizar su utilidad esperada sujeta a su restricción depresupuesto intertemporal. Por un lado su utilidad esperada estará dada por:


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Max UE = ln(C1) + β E(lnC2) donde lnC2 = p(C2b)* lnC2b+ p(C2m)* lnC2m

C2b: consumo del periodo 2 si el estado del activo es bueno

C2m: consumo del periodo 2 si el estado del activo es malo

p(C2i): probabilidad de que el estado sea i, siendo i= malo; bueno

Con respecto a la restricción de presupuesto intertemporal, sabemos que siendoS1 el ahorro, o la inversión en el activo riesgoso, realizado durante el primerperíodo, entonces C1= 100 – S1 y C2b= 1,4 S1 y C2m=S1

Reemplazando para incorporar las restricciones a la función objetivo:

Max UE= ln (100 – S1) + 1/1,2 [0,50 ln (1,4 S1) + 0,50 ln (S1) ]

Derivando buscamos la condición de primer orden:

∂E(U)/ ∂S1= -1/ (100 – S1) + 5/12 [1,4/ (1,4 S1) + 1/ S1 ] = 0

-1/(100-S1) + 5/12*S1 + 5/12*S1= 0

1/(100-S1) = 5/6*S1

100-S1= S1*6/5

S1= 45,4545

Entonces el sendero óptimo de consumo será:

En el periodo 1: C1*= 54,55

En el periodo 2, dependerá del estado de la naturaleza, por lo que podrá ser:

C2b*= 1,4 * 45,4545 = 63,63 C2m*= 45,45

Y la utilidad esperada en el óptimo será de: UE = 7,3198

b. El valor esperado del consumo en el período 2 es:

VE (C2) = 0,50 * 63,63 + 0,50 * 45,45= 54.54


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c. Ahora el individuo tiene la posibilidad de acceder al mercado de crédito a unatasa de captación del 10%. Calculamos cual sería su utilidad si invirtiera en estaopción cumpliendo con su restricción presupuestaria intertemporal.

Max U = ln (100-S1) + 1/1,2 ln (1,1*S1)

∂U/ ∂S1= -1/(100- S1) + 10/12* S1=0

Despejando: (100- S1) = S1*6/5 S1** = 45,45 y C1** = 54,55 y C2**=49,995

El nivel de utilidad alcanzada es U** = ln (54,55) + 1/1,2 ln (49,995) = 7,259

El nivel de utilidad alcanzado en este caso es inferior al nivel de utilidadesperado en el caso de invertir en un activo inseguro, por lo que el individuopreferirá la primera opción.

Esto se debe a que aún siendo un individuo adverso al riesgo, por lascaracterísticas de su función de utilidad, en niveles bajos de riqueza puede llegara preferir tomar ciertos riesgos.

3.

Analizando un modelo de optimización intertemporal referido a dos periodos,suponemos que el consumidor tiene la siguiente función de utilidad para unperiodo dado: ln (Ct) en donde Ct indica el nivel de consumo en el periodo t.

Suponiendo que la tasa de preferencia intertemporal es ρ = 0,25 y que la tasa de

interés es r = 0,05, si el nivel de consumo optimo para el periodo 1 es C1 =2.

a. Averiguar el nivel óptimo de consumo para el periodo 2.

b. Siendo el ingreso de cada periodo igual a 10, cual es el consumo optimo enlos dos periodos.

4.

Juan tiene una función de utilidad intertemporal de consumo en dos periodos dela siguiente forma:


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donde c0 y c1 son los montos totales de consumo en los periodos 0 y 1respectivamente, ∂ es la tasa de descuento de la utilidad. Tiene una riqueza

inicial de W y no va ganar nada mas en el resto del tiempo. En el periodo 0 puedeelegir gastar su riqueza en consumo (C0) o puede elegir ahorrar a una tasa deinterés r , de manera que estos ahorros pagaran un total de (1 + r) a pagarse enel periodo 1.

a. ¿Cuál es la restricción que enfrenta Juan?

b. Encuentre las demandas marshallianas correspondientes para c0 y c1.

c. ¿Bajo qué condiciones c0 va a ser mayor, menor, o igual a c1? De unarepresentación matemática y una interpretación económica para estascondiciones.

Solución

Cuál es la restricción presupuestaria? Vista desde el periodo 0,

4001 - microeconomia - castelao

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