4 Unidad Kal

7/22/2019 4 Unidad Kal

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INSTITUTO TECNOLGICO DEL ISTMO 1

4. UNIDAD FUNCIONES REALES DE CARIAS VARIABLES. ING.JORGE ALBERTO VILLALOBOS RUIZ.

4.1 Definicin de una funcin de varias variables.


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4.2 GRAFICA DE UNA FUNCION DE VARIAS VARIABLES.


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4.3 CURVAS Y SUPERFICIE DE NIVEL.


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4.4 DERIVADAS PARCIALES DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Y SUINTERPRETACION GEOMETRICA.


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4.5 DERIVADA DIRECCIONAL.

Definimos la derivada direccional de un campo escalar en un punto segnuna direccin marcada por el vector unitario , de la siguiente manera:

Consideramos el desplazamiento pequeo desde en la direccin marcadapor

Calculamos el incremento en la funcin entre el punto inicial y el final

La derivada direccional se define como el lmite del cociente entre elincremento de y la distancia recorrida, cuando la distancia recorrida tiende acero.

La idea es que el cociente entre los incrementos nos da la pendiente media enuna direccin, y su lmite nos da la pendiente de la tangente a la funcin en dichadireccin. En un campo bidimensional, que se puede representar mediante unaelevacin, como la altura de una montaa, esta interpretacin posee significadogeomtrico. En tres dimensiones la interpretacin geomtrica no es aplicable, perola idea algebraica es la misma.

Definicin (derivada direccional)

Sea una funcin escalar y sean y

un vector unitario, entonces la derivada direccional de en

en la direccin del vector , est dada por :


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Observacin: al comparar la definicin de derivada parcial con la de derivada

direccional (1), podemos notar que si entonces y si

, es decir, las derivadas parciales son derivadasdireccionales en la direccin de los vectores cannicos.

Ejemplo 1

Calcule la derivada direccional de en el punto en

la direccin del vector

Solucin

Usando la definicin (1), tenemos que :


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y usando la regla de L'Hpital

Esto nos dice que la razn de cambio de en en la direccin del vector

es , es decir, que en esta direccin esta decreciendo. En la figura 1 seilustra esta situacin.

Figura 2: derivada direccional en P en la direccin de u[Ver en 3D - Jview]
http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/SUPERIOR/derivada-direccional/software/ddireccionalEj1.htmlhttp://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/SUPERIOR/derivada-direccional/software/ddireccionalEj1.htmlhttp://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/SUPERIOR/derivada-direccional/software/ddireccionalEj1.htmlhttp://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/SUPERIOR/derivada-direccional/software/ddireccionalEj1.html


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Observacin: la definicin de derivada direccional es vlida en general para

funciones de variables .

Con propsitos de clculo, la definicin no es muy til, por lo que en general seusa la siguiente frmula.

Teorema

Sea una funcin escalar diferenciable en ,

entonces tiene derivada direccional en la direccin de cualquier

vector unitario y

(2)

Observacin: recuerde que la componente de en la direccin de

es , la cual es la longitud de la proyeccin vectorial de sobre el

vector unitario . Con lo cual la frmula

nos dice que la derivada direccional es la componente del vector gradienteen la direccin del vector .

Ejemplo 2

Calcule la derivada direccional si


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y es el vector unitario dado por . Cunto es ?Solucin

Usando la frmula (2)

De donde

4.6 DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR.

Un caso particular importante de derivada direccional lo dan las derivadasparciales. Supongamos que queremos calcular la derivada direccional en la

direccin marcada por . La aplicacin del lmite nos da

pero, si consideramos como funcin de las tres coordenadas , y , moverseen la direccin de equivale a variar la coordenada , manteniendo las otrasdos constantes, esto es

esto es, resulta la derivada ordinaria de la funcin con respecto a , tratandoa y como constantes. Esta es la interpretacin habitual de derivada parcial.

Vemos, no obstante, que las derivadas parciales pueden entenderse como lasderivadas direccionales segn las direcciones paralelas a los ejes coordenados.


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EJEMPLO.

Como ejemplo sencillo consideremos el campo escalar

La derivada direccional de este campo en un punto segn la direccin marcadapor es

Desarrollando el producto queda

ya que es un vector dividido por su mdulo, lo que da el unitario en sudireccin.

Si y= f(x) es una funcin de una variable. Su primera derivada

(1)

se interpreta como la razn de cambio instantanea de y con respecto dex.

Para una funcinz= f(x, y) de dos variables, se comprende que de maneraanaloga la razn con la que cambia al variarxy y(ya sea de manera individual osimultaneamente).

La razn de cambio de zcon respecto dex,se obtiene dejando fija a y ycalculando la derivada ordinaria de la funcin z= f(x, y)

(2)

Del mismo modo, la derivada parcial de fcon respecto de yen el punto (a, b), seobtiene dejando fija ax y calculando la derivada ordinaria de la funcin z =f(x, y)dondex= a es constante se denota como


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(3)

Algunas otras notaciones comunes para las derivadas parciales son:

(4)

Observemos que si eliminamos la variable y de la ecuacin (2), tendriamos ellmite de la ecuacin (1). Esto significa que podemos calcular (2) como unaderivada ordinaria con respecto dex, considerando a ycomo constante durante elproceso de derivacin . De manera similar, podemos calcular (3) como unaderivada ordinaria, tomando a y como la nica variable y tratando axcomo unaconstante durante el clculo.

Ejemp lo 1.Si

Solucin Conservando yconstante y derivando con respecto ax, obtenemos

Conservando axconstante y derivando con respecto a y, obtenemos


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Ejemp lo 2.Si

Solucin tenemosque la derivada de la funcin es de la forma d( f )=d( U V )

Ejemp lo 3.Si evalue la pendiente en direccin dexen el punto(0,2)

Solucin tenemosque la derivada de la funcin es de la forma d( f )=d( U / V )


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4.7 INCREMENTOS, DIFERENCIALES Y REGLA DE LA CADENA.


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Derivacin de la funcin compuesta. Regla de la cadena

Si se tienen dos funciones ufy y xgu Entonces xgfy es una funcin compuesta o funcin de funcin,y su derivada con respecto a x est dada por

dx

du

du

dy

dx

dy

A esta expresin se le conoce como Regla de la Cadena

La regla de la cadena se puede emplear para facilitar la derivacin de ciertasfunciones.

Ejemplos:

1) Sean wwy 42 y 12 2 xw

Obtenerdx

dy

Solucin:

42 wdw

dy ,

122

4

2

x

x

dx

dw

12

242

2

x

xw

dx

du

du

dy

dx

dy

12

24122

2

2

x

xx

12

84

12

8124

22

2

x

xx

x

xxx


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2) Utilizar la regla de la cadena para derivar:1

11

2

xy

Si uy 1 , vu1

, 12

xv

La derivada ser

dx

dv

dv

du

du

dy

dx

dy

udu

dy

12

1,

2

1

vdv

du , x

dx

dv2

22

2

22

2

2

2

2

11

111

1

11

112

22

1

12

1

xx

x

x

xx

x

vv

xx

vudx

dy

23

22

2

2

22

2

2

2

11

1

11

xx

x

xx

x

x

xx

x

x

4.8 DERIVACION PARCIAL IMPLICITA.

En los cursos de clculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos estnexpresadas en forma explcita, como en la ecuacin

dnde la variable y est escrita explcitamente como funcin de x. Sin embargo,muchas funciones, por el contrario, estn implcitas en una ecuacin. La funcin y= 1 / x, viene definida implcitamentepor la ecuacin: x y = 1.


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Si queremos hallar la derivada para esta ltima ecuacin, lo hacemosdespejando y, as, y = 1 / x = x -1, obteniendo su derivada

fcilmente: .

El mtodo sirve siempre y cuando seamos capaces de despejar y en la ecuacin.El problema es que sino se logra despejar y, es intil este mtodo. Por ejemplo,cmo hallar dy/dx para la ecuacin x2 - 2y3 + 4y = 2, donde resulta muy difcildespejar y como funcin explcita de x?

4.9 GRADIENTE.

Enclculo vectorial, el gradiente de uncampo escalar es uncampo vectorial. El

vector gradiente de evaluado en un punto genrico del dominio de , ( ), indica

la direccin en la cual el campo vara ms rpidamente y su mdulo representa el ritmo

de variacin de en la direccin de dicho vector gradiente. El gradiente se representa con

el operador diferencialnabla seguido de la funcin (cuidado de no confundir el

gradiente con ladivergencia,sta ltima se denota con un punto de producto escalar entre

el operador nabla y el campo). Tambin puede representarse mediante , o usando la

notacin . La generalizacin del concepto de gradiente a campos vectoriales es

el concepto dematriz Jacobiana.
http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarhttp://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Nablahttp://es.wikipedia.org/wiki/Divergencia_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Jacobianohttp://es.wikipedia.org/wiki/Jacobianohttp://es.wikipedia.org/wiki/Divergencia_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Nablahttp://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarhttp://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_vectorial


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4.10 CAMPO VECTORIAL.

Enmatemticas,un campo vectorial representa la distribucin espacial de unamagnitud

vectorial. Es una expresin declculo vectorial que asocia unvector a cada punto enelespacio eucldeo,de la forma .

Los campos vectoriales se utilizan enfsica,por ejemplo, para representar la velocidad y la

direccin de un fluido en el espacio, o la intensidad y la direccin defuerzas como

lagravitatoria o lafuerza electromagntica.

Como expresin matemtica rigurosa, los campos vectoriales se definen

envariedades diferenciables comosecciones delfibrado tangente de la variedad. Este es el

tipo de tratamiento necesario para modelizar elespacio-tiempo curvo de lateora general

de la relatividad por ejemplo.

Un campo vectorial sobre un subconjunto delespacio eucldeo es

unafuncin con valores vectoriales:
http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttp://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Vector_(f%C3%ADsica)http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_eucl%C3%ADdeohttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Fuerzahttp://es.wikipedia.org/wiki/Gravedadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza_de_Lorentzhttp://es.wikipedia.org/wiki/Variedad_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Secci%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Fibrado_tangentehttp://es.wikipedia.org/wiki/Curvatura_del_espacio-tiempohttp://es.wikipedia.org/wiki/Relatividad_generalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Relatividad_generalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_eucl%C3%ADdeohttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_eucl%C3%ADdeohttp://es.wikipedia.org/wiki/Relatividad_generalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Relatividad_generalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Curvatura_del_espacio-tiempohttp://es.wikipedia.org/wiki/Fibrado_tangentehttp://es.wikipedia.org/wiki/Secci%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Variedad_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza_de_Lorentzhttp://es.wikipedia.org/wiki/Gravedadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Fuerzahttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_eucl%C3%ADdeohttp://es.wikipedia.org/wiki/Vector_(f%C3%ADsica)http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas


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Se dice que es un campo vectorial Cksi como funcin es k vecesdiferenciable con

continuidad en X. Un campo vectorial se puede visualizar como un espacio Xcon un

vector n- dimensional unido a cada punto en X.

Las funciones, ampliamente empleadas en la ingeniera, para modelarmatemticamente y caracterizar magnitudes fsicas, y cuyo dominio podra sermultidimensional, pueden tener un rango unidimensional o multidimensional. Elprimer tipo de funciones (rango unidimensional) se define como campo escalar, yesta se corresponde a una magnitud fsica que requiere slo de un nmero parasu caracterizacin. Un campo escalar, por tanto, es una funcin, escalar, cuyovalordepende del punto que se estudie. Un ejemplo de este tipo de funciones puede serla distribucin de temperaturas dentro de un cuerpo, la presin ejercida sobre uncuerpo por un fluido, o un potencial elctrico. Por otro lado, un campo vectorial secorresponde con el segundo tipo de funciones (rango multidimensional) en dondeuna magnitud fsica requiere de un vector para su descripcin, como puede ser,por ejemplo, el flujo de un fluido o un campo de fuerzas gravitacionales oelctricas.
http://es.wikipedia.org/wiki/Continuamente_diferenciablehttp://es.wikipedia.org/wiki/Continuamente_diferenciablehttp://es.wikipedia.org/wiki/Continuamente_diferenciablehttp://es.wikipedia.org/wiki/Continuamente_diferenciable


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4.11 DIVERGENCIA, ROTACIONAL, INTERORETACION GEOMETRICA Y FISICA.

Rotacional y divergenciaPara dar una interpretacin intuitiva del significado fsico del rotacional y de la

divergencia de un campo vectorial es conveniente considerar en primer lugarcampos bidimensionales.

Sea F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j un campo vectorial de clase C1, sea un caminocerrado simple positivamente orientado y D la regin del plano limitada por . Elteorema de Green afirma que

Como ya sabes, la integral r F se llama circulacin del campo F a lo largo de .Para dar una interpretacin de dicha integral consideremos que el campoF(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j es el campo de velocidades de un fluido plano, esto es,F(x,y) es el vector velocidad del fluido en el punto(x,y). Se supone que la velocidad no depende del tiempo sino solamente de lascoordenadas espaciales del punto, es decir, que se trata de un fluido estacionario.En cada punto (t) del camino la velocidad del fluido es F((t)); la proyeccin ortogonal de dicho vector sobre elvector unitario tangente a en el punto (t) es el vector , donde

este vector tiene el mismo sentido que el vector tangente si elnmero es positivo y distinto sentido cuando dicho nmero es negativo;en el primer caso la velocidad del fluido en el punto (t) va en el mismo sentido que

el del recorrido de la curva y en el segundo caso la velocidad del fluido en el punto(t) va en sentido opuesto al del recorrido de la curva.La siguiente grfica muestra un campo vectorial.

La siguiente grfica muestra una curva cerrada simple positivamente orientada(una elipse); en dos puntos de la misma se representan los vectores del campoanterior en rojo, los vectores tangentes en azul y las proyecciones ortogonales delos primeros sobre los segundos en negro.En uno de los puntos la proyeccin ortogonal tiene el mismo sentido que el vectortangente y en el otro tiene sentido opuesto.


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Puesto que , si el valor de esta integral es positivo esto nos diceque el fluido circula a lo largo de la curva en el mismo sentido que el definido porla orientacin de y si el valor de esta integral es negativo entonces el fluidocircula a lo largo de la curva en sentido opuesto al de la orientacin de . Si elvalor de la integral es nulo es porque no hay circulacin neta del fluido a lo largode .Supongamos que . En tal caso, por la continuidad del campo, se verificartambin que para todo camino cerrado simple positivamente orientado queest suficientemente prximo al camino . Deducimos que en este caso seformar en las proximidades de un pequeo tubo que el fluido recorrer ensentido anti horario.Consideremos ahora la igualdad y supongamos que en un punto (a,b) se verifica

que . Entonces, por la continuidad de las derivadas parciales, setendr que para todo punto (x,y) en un disco centrado en (a,b) deradio suficientemente pequeo. Si es cualquier camino de Jordn contenido endicho disco, se deduce de dicha igualdad que la circulacin del campo a lo largode dicho camino ser en sentido anti horario y concluimos que en el punto (a,b) seformar un pequeo remolino.Una propiedad, fcil de justificar, de las integrales dobles afirma que si h es una

funcin continua en una regin del plano D cerrada y acotada entonces hay algnpunto (a,b)D para el que se verifica la igualdad h(x,y)d(x,y) = h(a,b)rea(D).

Usando esta propiedad y teniendo en cuenta la igualdad es fcil probar que

El nmero se llamarotacin del campo F en el punto (x,y). Se dice que el campo es irrotacionalcuando para todo punto (x,y) de su dominio de definicin.Como consecuencia tambin del teorema de Green, sin ms que cambiar Q por P

y P porQ, se verifica la igualdad

Pongamos . Tenemos que:


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Donde hemos representado por n(t) el vector unitario normal a la curva en elpunto (t) que apuntan hacia el exterior de la misma. Supuesto que la curva est

orientada positivamente, n(t) viene dado por:La siguiente grfica muestra una curva cerrada simple positivamente orientada(una elipse); en dos puntos de la misma se representan los vectores del campoantes considerado en rojo, los vectores normales unitarios exteriores en azul y lasproyecciones ortogonales de los primeros sobre los segundos en negro. En uno de

los puntos la proyeccin ortogonal tiene el mismo sentido que el vector normalexterior y en el otro tiene sentido opuesto.

Al igual que la proyeccin ortogonal del vector campo sobre el vector unitario

tangente a la curva mide la circulacin del fluido a lo largo de la curva, laproyeccin ortogonal del vector campo sobre el vector unitario normal exterior a lacurva mide el flujo de fluido a travs dela curva, por ello, se define el flujo del

campo a travs del camino como la integral f.n. Si dicha integral es positivaeso significa que sale ms fluido del que entra (por lo que dentro de la curva debehaber manantiales) y si es negativa significa que sale menos fluido del que entra(por lo que dentro de la curva debe haber sumideros). Hemos justificado laigualdad

A partir de aqu podemos razonar como lo hicimos anteriormente para obtener que

El nmerose llama divergencia del campo F en el punto (x,y). Donde ladivergencia es positiva hay manantiales y el fluido diverge hacia otros lados ydonde la divergencia es negativa hay sumideros y el fluido converge hacia ellos.


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Se dice que el campo es incompresible cuando su divergencia es idnticamentenula.En el siguiente ejemplo se pone de manifiesto lo que acabamos de afirmar.

Observa que hay puntos hacia los que los vectores de este campo parecendirigirse (por ejemplo, los puntos (3.1,1.6), (3.1,-4.7) y sus simtricos respecto aleje de ordenadas) y hay otros puntos de los que los vectores de este campoparecen estar alejndose (por ejemplo, los puntos(0,1.5), (0,-1.5), (0.5,-4.5)). Si este campo lo interpretamos como el campo develocidades de un fluido estacionario, las zonas hacia donde se dirigen losvectores son sumideros y las zonas de donde los vectores se alejan (divergen)son manantiales. Es decir, el fluido fluye de los manantiales a los sumideros. Ladivergencia es una medida de la magnitud de un manantial o de un sumidero.La siguiente grfica es una representacin por curvas de nivel de la divergencia

del campo anterior. En las zonas ms claras la divergencia es positiva (fuentes omanantiales) y en las ms oscuras es negativa (sumideros).

A continuacin nos proponemos generalizar los conceptos anteriores. No haydificultad ninguna en extender el concepto de divergencia para campos vectorialesde n variables.


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INTERPRETACIN GEOMTRICAS Y FSICAS

La interpretacin fsica de la divergencia se hace a veces por analoga con elcampo de velocidades en un fluido incompresible: las lneas de dicho campo quetienden a salir o divergir de un punto ponen de manifiesto la presencia de una

fuente, y en tal caso el resultado del clculo de la divergencia en dicho punto es nonulo. Por ello se la suele llamar densidad volumtrica de fuentes.

Los operadores vectoriales que veremos son el gradiente, divergencia y rotacional.GRADIENTEInterpretacin geomtrica:De forma geomtrica el gradiente es un vector que se encuentra normal a unasuperficie o curva en el espacio.

Aplicaciones fsicas.El Gradiente posee innumerables aplicaciones en fsica, especialmente enelectromagnetismo y mecnica de fluidos. En particular, existen muchos camposvectoriales que puede escribirse como el gradiente de un potencial escalar.Uno de ellos es el campo electrosttico, que deriva del potencial elctrico

Todo campo que pueda escribirse como el gradiente de un campo escalar, sedenomina potencial, conservativo o irrotacional. As, una fuerza conservativaderiva de la energa potencial como

Los gradientes tambin aparecen en los procesos de difusin que verifican la leyde Fick o la ley de Fourier para la temperatura. As, por ejemplo, el flujo de caloren un material es proporcional al gradiente de temperaturas

Siendo k la conductividad trmica.DIVERGENCIALa aplicacin central de la divergencia, es que esta proporciona el flujo por unidadde volumen.


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ROTACIONAL

El rotacional da la circulacin por unidad de superficie.

4.12 VALORES EXTREMOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.

Introduccin

Las funciones de una variable, que se han presentado en los tres ltimos mdulos,son una idealizacin conveniente de un gran nmero de situaciones, pero siqueremos pensar en ejemplos de funciones que estn relacionadas con laingeniera, nos veremos tentados a ampliar este concepto de tal manera queincluya magnitudes que dependan de ms de un factor.

Nuestro objetivo en los siguientes apartados es llegar a una definicin formal delas funciones con varias variables y estudiar la extensin, en este contexto msgeneral, de conceptos como la continuidad y la diferenciacin, que, como ya


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hemos visto, resultan una herramienta esencial para el anlisis de funciones deuna variable. En el transcurso de la primera parte encontraremos algunosejemplos sencillos de funciones de varias variables, que un poco ms adelante

utilizaremos en la presentacin del material.

Definiciones

Existen magnitudes que dependen de dos o ms magnitudesindependientes. Por ejemplo, el rea de un rectngulo depende de lalongitud de cada uno de sus lados, el volumen de un paraleleppedorectangular depende de la longitud de cada una de sus aristas, etc. Espor ello necesario considerar un nuevo tipo de funciones cuyas entradasestn constituidaspor dos o ms valores.QU ES UN PUNTO DE EXTREMO ABSOLUTO O GLOBAL SOBRE UNCONJUNTO A PARA UNA FUNCIN REAL DE N VARIABLES REALES?Es un punto de A en el cual la funcin alcanza el mayor o el menor valorrespecto al resto de los valores que toma dicha funcin en los puntos de A.En smbolos:

Y CUNDO HABLAMOS DE PUNTOS DE EXTREMO LOCAL O RELATIVO?Pues cuando el mximo o el mnimo lo es respecto al resto de los valores quetoma la funcin en cierto entorno del punto (este entorno se asume subconjuntode A) pero no necesariamente respecto al resto de los valores de la funcin enlos dems puntos de A.

En smbolos:


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Ejemplos:El punto es un punto de mnimo absoluto y local para la funcin definida por:

El punto es un punto de mximo absoluto y local para la funcin definida por:

Al igual que en el caso de funciones de una variable una funcin de variasvariables puede alcanzar un extremo local en puntos donde puede o no serdiferenciable. Pero en cualquier punto en el cual sea diferenciable ella puedealcanzar un mximo o mnimo? La respuesta se recoge en el teorema siguienteel cual es una extensin del llamado Teorema de Fermat al caso de funciones devarias variables aunque solo ser enunciado para el caso de tres variables.

Como se ve este teorema solo expresa condiciones necesarias de existencia deextremo local bajo el supuesto de que la funcin tiene derivadas parcialesrespecto a cada variable definidas en dicho punto (para ello es suficiente pero nonecesario que la funcin sea diferenciable).A los puntos que anulan todas lasparciales de primer orden se les denomina puntos estacionarios.

Anlogamente al caso de una o dos variables existen en el caso de tres variablespuntos estacionarios que no son puntos de extremo local.

Cmo saber si un punto estacionario es realmente un punto de extremolocal?Se hace necesario enunciar condiciones suficientes de existencia de puntos deextremo local. Estas condiciones pueden expresarse en trminos dedeterminantes de matrices reales simtricas o en trminos de valores propios detales matrices.

Recordemos que si A es una matriz cuadrada e I es la matriz identidad delmismo orden que A pues al polinomio definido por el determinante se ledenomina polinomio caracterstico de A y a sus ceros o races se les denominavalores propios, auto valores o valores caractersticos de A.


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Teorema (Condiciones suficientes de segundo orden para la existencia depuntos de extremo local)

Sea una funcin con segundas derivadas parciales continuas en

el punto estacionarioSea la matriz llamada Hessiana de:

IIc Hessiana de en. Entonces:

a) Si todos los valores propios de M son positivos es un punto demnimo local.

b) Si todos los valores propios de M son negativos es un punto demximo local.

c) Si todos los valores propios de M son no negativos es un punto demnimo local o no es un punto de extremo local.

d) Si todos los valores propios de M son no positivos es un punto demnimo local o no es un punto de extremo local.e) Si los valores propios de M son al menos uno positivo y otro

negativo pero ninguno nulo entonces no es un punto de extremo local

Nota: Este teorema puede ser enunciado en trminos del determinante de lamatriz Hessiana y sus menores principales

A continuacin muestro algunos ejemplos en cada uno de los cuales se deseadeterminar los puntos de extremo local de una funcin polinomial en por lo queya tenemos garantizado que:- El dominio de la funcin es todo- La funcin es diferenciable por lo que los nicos candidatos a puntos deextremo son los puntos estacionarios debido a lo cual de no haber puntos

estacionarios pues no habra extremos locales.

a)


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En este caso

Hallemos los puntos estacionarios para lo cual tenemos que resolver el sistemade ecuaciones:

Este sistema es compatible determinado y su solucin es (1; 1; -1).Investiguemos el cumplimiento de las condiciones suficientes conformando lamatriz Hessiana.

Esta matriz es diagonal por lo que sus valores propios son sus entradas oelementos diagonales. Como los valores propios son no nulos y de diferentesigno pues el punto estacionario encontrado no es un punto de extremo local.

Nota: Los puntos estacionarios que no son puntos de extremo local sedenominan puntos de ensilladura.

b)


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En este caso

Resolviendo el sistema compatible determinado obtenemos el punto

estacionario.

La matriz Hessiana es cuyos valores propios son todos iguales a 2 porlo que el punto es un punto de mnimo local.

c)

En este caso

Tenemos que resolver el sistema el cual tiene exactamente dos soluciones lascuales sonLas matrices Hessianas.

. .

Los valores caractersticos de son 6,4 y 16 mientras que los de son -6,4 y 16 porlo que el primero de los puntos estacionarios es un punto de mnimo local ysegundo no es ni de mnimo ni de mximo.


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Te proponemos investigues en los incisos siguientes la existencia de extremoslocales.

d)

e)

f)

g)h)

i)j)Considero conveniente resaltar que en muchos casos la investigacin delcumplimiento de estas condiciones suficientes no son muy recomendablesdebido a la complicacin algebraica de la expresin analtica de la funcin.

Ejemplo:

En los casos en los que al menos uno de los valores propios sea nulo pues parapoder decidir habra que recurrir a otros recursos entre los cuales se encuentrancriterios de suficiencia los que a su vez involucran derivadas parciales de ordensuperior al segundo.Definicin. Una funcin tiene un mximo(mnimo) en un punto siel valor de la funcin en este punto es mayor (menor) que su valor en cualquierotro puntoX(x, y)de algn entono de P.Condiciones necesarias de extremo. Si una funcin diferenciable alcanza

un extremo en el punto entonces sus derivadas parciales de primer ordenen este punto son iguales a cero, o sea:

;

Los puntos en los que las derivadas parciales son iguales a cero se llaman puntoscrticos o estacionarios. No todo punto crtico es un punto extremo.

Condiciones suficientes para la existencia de extremos.

(a) Caso de dos variables. Sea un punto crtico de una funcin

con las derivadas parciales de segundo orden continuas en P, y sea eldeterminante de su matriz hessiana, entonces:


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Es decir, si el hessiano es positivo hay extremo (el tipo nos lo da , si esnegativa mximo y si es positiva mnimo). Si el hessiano es negativo no hayextremo. Y si el hessiano es cero hay duda (que habr que resolver por otromtodo)

(b) Caso de tres o ms variables. Calculamos los siguientes determinantes:

; ; ;...;

Si todos los determinantes tienen signo positivo, entonces la funcin tiene un

mnimo en

Si los determinantes tienen signo alterno (comenzando con un valor negativo

), entonces la funcin tiene un mximo en

En cualquier otro caso hay duda.

Ejemplo1:

Halla los extremos de la funcin

Solucin:

(a) Calculamos las derivadas parciales de primer orden.

;

Los puntos crticos se obtienen igualando a cero las derivadas parciales.

y resolviendo el sistema obtenemos x=0, y=3. Luego P (0,3) es el nico puntocrtico de la funcin.


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Hallamos la matriz hessiana de f en P (0,3).

Con lo cual tenemos H (0,3)=+3 luego hay extremo y como se tratade un mnimo.

El valor de la funcin en el mnimo es f (0,3)=-8.

Ejemplo2:


Solucin:


;


y resolviendo el sistema obtenemos x=0, y=0. Luego P (0,0) es el nico puntocrtico de la funcin.

Hallamos la matriz hessiana de f en P (0,0).

Con lo cual tenemos H (0,0)=0luego hay duda.

Para determinar la naturaleza del punto crtico hay que acudir a otros criterios, eneste caso basta observar la funcin para que se trata de un mnimo ya que


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El valor de la funcin en el mnimo es f(0,3)=-8.

Ejemplo3:


Solucin:


; ;


Y resolviendo el sistema obtenemos x=0, y=0, z=0. Luego P (0, 0, 0) es el nicopunto crtico de la funcin.

Hallamos la matriz hessiana de f en P (0, 0,0).

Con lo cual tenemos los siguientes determinantes:

; ;

Con lo cual ni son todos positivos ni de signos alternos, luego hay duda.

Para determinar la naturaleza del punto crtico hay que acudir a otros criterios, eneste caso basta observar la funcin para que se trata de un punto silla

para los puntos del tipo (0, 0, z) y

para los puntos del tipo (x, y, 0).


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Observacin: Un punto silla no significa que la grfica tenga necesariamente laforma de una silla de montar, sino simplemente que cerca del punto crtico lafuncin toma valores superiores y otros inferiores al valor que toma en dicho

punto.

Contenidos bsicos de las funciones de varias variables

A continuacin vamos a introducir, mediante el uso de ejemplos, el concepto defunciones de varias variables y apuntaremos la relevancia que tiene para elestudiante de ingeniera.

EJEMPLOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.

Tras haber entendido el concepto de funcin de una variable, el hecho degeneralizarlo en el caso de varias variables no presenta problemas desde el puntode vista conceptual, pero en cambio, si introduce un grado ms de

Complejidad. Por este motivo, en el presente mdulo desarrollaremos lasherramientas que nos permitirn utilizar al mximo nuestros conocimientos sobrefunciones de una variable y as, comprender mejor las funciones con ms de unavariable.

Ejemplo 1.

Dados dos nmeros cualesquiera x e y, su media aritmtica es el nmerointermedio entre ambos, es decir:

(x + y)/2

En general, dados n nmerosx1,x2,. . ., xn, su media aritmtica es el nmero:

M(x1, x2,. . ., xn) =(x1 +x2 ++xn) / n

La media aritmtica es, pues, una funcin M(x1, x2,. . ., xn) de n variables.

Ejemplo 2.

El centro de tres masas m oviles conocidas (m1, m2, m3) situadas sobre el ejeOX positivo es funcin de las posiciones de cada una de las masas en el origen

x1, x2, x3.

C(x1, x2, x3) = (m1x1 + m2x2 + m3x3) / (m1 + m2 + m3)


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Ejemplo 3.

Un sistema de fiabilidad (o bien en circuitos elctricos) funciona (la corriente pasa)si hay algn camino activado para ir desde el principio (A) hasta el final (B) delsistema

(Circuito). As pues, en una estructura en serie como esta:

La funcin de varias variables que describe el sistema es:

F(x1,x2,x3,x4)=x1x2x3x4,

Donde el componente i funciona si xi = 1, y no lo hace si xi = 0. De

este modo, el sistema funciona si los cuatro componentes lo hacen, esdecir, x1 = x2 = x3 = x4 = 1. En caso de que alguno de los

componentes no funcione (xi = 0), la corriente no pasa deA a B.

Un sistema paralelo como por ejemplo:

Ejemplo 4.

La media de tiempo que un cliente espera en una cola para ser atendido vienedada por: g(x,y)=1/(x-y), y x.


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Ejemplo 5.

Supongamos que tenemos una placa metlica de grandes dimensiones. Latemperatura (en grados centgrados) de la placa es funcin de las coordenadasde cada uno de sus puntos y viene dada por:

T (x, y) = 500 0,6x2 1.5 y2.

Representacin grafica de la funcin T (x, y)

Ejemplo 1.9.

5.1 INTRODUCCIN A LA INTEGRACIN.

INTRODUCCIN A LA INTEGRACIN.

La integracin es un mtodo para la obtencin de una funcin o un valor cuyodiferencial sea equivalente a la misma funcin.Esto significa que si la funcin dada es f(x), mediante integrarla obtendramosg(x).

Ahora bien, si g (x) es el diferencial de la funcin g(x) entonces g (x) y f (x) son lamisma funcin en s.El proceso de integracin es el inverso de la diferenciacin.El smbolo se utiliza para denotar la funcin de integracin.

Sea f(x) el coeficiente diferencial de una funcin F(x) con respecto a x entonces,

O,

Tomando la sumatoria de todas las diferenciales obtenemos,dy = f(x) dx = d [F(x)] O, y = f(x) dx = F(x)

Cuando dx tiende hacia cero, la sumatoria es sustituida con la integral. Entonces,y = f(x) dx = F(x)

Aqu f(x) dx es leda como la integral de f(x) dx. En la ecuacin anterior, f(x) esllamada integrando y F(x) es llamada la integral o funcin primitiva de f(x).

Adems la integracin de f(x) con respecto a x es F(x).Es importante tener en cuenta que el signo se utiliza para la sumatoria de valoresdiscretos, mientras que se utiliza para la sumatoria de funciones continuas.Esto significa que el mtodo de integracin se utiliza para sumar el efecto de unafuncin que vara continuamente, por ejemplo, el trabajo hecho en contra de unafuerza variable.Es de notar que el lgebra ordinaria no proporciona algn mtodo para sumar elefecto de una funcin que vare.


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La integracin es de dos tipos, integracin indefinida e la integracin definida.Cuando una funcin es integrada dentro de los lmites definidos, la integral sedenomina integral definida.

Por ejemplo:

f(x) dx es la integral definida de f(x) entre los lmites a y b y es escrita como,f(x) dx = F(x) = F(b)F(a)Aqu a se llama lmite inferior y b se llama lmite superior de integracin. Si unafuncin est dada por y = + C, donde C es una constante de integracin entonces,dy/ dx = d(55 + C)/ dx = 254 + 0 = 254Como la integracin es el proceso inverso de la diferenciacin, por tanto 254 dx= 55.Esto significa que durante la integracin la constante no aparece.Esto es debido al hecho de que el coeficiente diferencial de una constante escero.

Por tanto, no podemos decir con certeza si es 254 dx = 55 o 55 + C.Dicha integracin se conoce como integracin indefinida. Por consiguiente entodas las integrales indefinidas, se supone que est presente una constante deintegracin C, si la condicin de integracin, esto es, el lmite de integracin no esmencionado.Es por esto que debemos aadir una constante C en el resultado de todas lasintegrales indefinidas.Vamos ahora a resolver un ejemplo con los dos mtodos para entender ladiferencia entre ambos.27 p2 (p3 + 2)8 dxEl ejemplo anterior no contiene lmites de integracin y por tanto es una integralindefinida.27 p2 (p3 + 2)8 dx (p3 + 2)9 + C Ahora bien, si ponemos los lmites de laintegracin como,27 p2 (p3 + 2)8 dx (p3 + 2)9 (33 + 2)9 - (23 + 2)9 = 381957187929

Formulas integrales


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5.2 INTEGRAL DE LINEA.


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Se dan funciones vectoriales en aplicaciones fsicas tales comocampo elctrico ycampo magntico. Aparecen con regularidad los productos escalares de estasfunciones vectoriales, con otro vector tal como la distancia o longitud de untrayecto. Cuando tal producto se suma sobre una longitud de trayecto, dondecambian tanto las magnitudes como las direcciones, esa suma viene a ser una

integral llamada integral de lnea.

Tambin se usa una integral de lnea en la definicin general de trabajo enmecnica.

La integracin de lnea es la tcnica de integracin para una funcin a lo largo deuna curva dada.Tambin es conocida por los nombres de integral de contorno, integral detrayectoria, curva integral etc.

Aqu uno podra confundir la integral de lnea y el clculo de la longitud de un arcocon la ayuda de la integracin.Ambos, los campos escalares as como los vectoriales pueden ser integradosutilizando este mtodo.Una integracin de lnea de tales campos producira una sumatoria de valores decampo para cada punto de la curva dada que se encuentra en el campo.Por ejemplo, asuma que la fuerza F acta sobre una partcula y haga que semueva sobre la trayectoria AB como se muestra a continuacin.

Esto implica que el trabajo total realizado por la fuerza F en el movimiento de lapartcula a lo largo de una distancia pequea s ser,W = F. sDe manera similar, para determinar el trabajo completo realizado por la fuerza Fpara mover la partcula a lo largo de toda la trayectoria se calcular la suma detodas las piezas pequeas de trabajo realizado. Esto se hace mediante laintegracin, por supuesto como,

Aqu es importante notar que en lugar de escribir los lmites de integracin, slo elnombre de la trayectoria est escrito en el subndice.Esto significa que la integracin se est efectuando a lo largo de una trayectoria

AB.
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/electric/elefie.html#c1http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/magnetic/magfie.html#c1http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/vsca.html#vsc1http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/intcon.html#intconhttp://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/wint.html#wghttp://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/wint.html#wghttp://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/intcon.html#intconhttp://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/vsca.html#vsc1http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/magnetic/magfie.html#c1http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/electric/elefie.html#c1


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Este es un enfoque de integracin totalmente diferente, dado que aqu la variableest siendo integrada con respecto a la funcin, y no se est incrementando a lolargo de una trayectoria recta, sino que es curva.

Por esta razn en particular, esta integral es reescrita en la forma de suscoordenadas Cartesianas x y. Y la funcin es integrada como,

Como se puede observar en la figura anterior, la fuerza F se bifurca en doscomponentes en las direcciones x e y como P x y Q y, respectivamente.Por tanto, la integral anterior se transforma en una de la manera siguiente,

El clculo de la integral de lnea de un campo escalar es algo diferente.En este, dividimos lo dado en piezas ms pequeas de igual longitud. Elija unpunto arbitrario en la curva y nmbrelo como punto de muestra.Permita que el punto de muestra sea elegido por cada pieza de arco sobre lacurva completa.Trace una lnea recta entre cada par de estos puntos de muestra.Sea la distancia entre estos puntos de muestra denotada como s.

INTEGRAL DE LINEA. INTEGRAL DE SUPERFICIE.

La derivada de r se define de la manera usual


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Sea r(t) la descripcin de una curva C en el plano o en el espacio. El parmetro tpodra ser tiempo, ngulo, longitud de arco, coordenada x; etc. Decimos que lacurva C es regular en [a; b] si r(t) es continua en [a; b] y r (t) 6=!0 para todo t 2 [a; b] (es decir las componentes de r no se anulan

simultneamente). Tambin decimos que una curva C es regular a trozos en [a; b]si es regular en cada subntralo de alguna particin finita de [a; b]:

En R2 escribimos r (t) = (x (t); y (t)) o tambin r(t) =x(t) i v+ y(t) j v,con t [a; b]En R3escribimos r(t) = (x(t);y(t); z(t)) o tambin r(t) =x(t) i v+ y(t) j v + z(t) kv,Una funcin vectorial es de clase C1 si las derivadas de sus componentes soncontinuas.

Ejemplos:Calcular las siguientes integrales:

Solucin(a) El triangulo dado se descompone en tres segmentos de recta queparametrizamos de laSiguiente forma:

Calculamos en cada tramo el modulo del vector de velocidad:

Con estos datos, la integral de lnea se calcula como sigue:


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(b) Si escribimos la circunferencia x2 + y2 = ax de la forma (x a/2)2 + y2 = a2/4,suparametrizacin viene dada por

De este modo,

Por tanto,

Calcular:

(x3y + y3x/3) dx + ax2dy Siendo C el contorno de la regin definida por

X2+ y2 2ay < 0, y > a (a > 0).SolucinEl contorno del semicrculo indicado se descompone en dos curvas (el dimetroinferior y laSemicircunferencia superior), cuyas parametrizaciones son las siguientes:

Calculamos por separado la integral a lo largo de cada curva. En el caso de C1,comodx = 1, dy = 0, resulta:

En C2, dx = a sen t dt, dy = a cos t dt, de modo que:


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En definitiva,

SolucinLa curva dada es la interseccin del paraboloide x2+y2= 2z con el plano x+yz+1= 0.

Si sustituimos el valor de z en la primera ecuacin, la curva se puede expresarcomo:

La cual puede parametrizarse como:

Sustituyendo estos valores y sus derivadas en la integral, resulta:


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Hallar las longitudes de los arcos de las siguientes curvas:

Solucin:Si la curva se parametriza por el vector de posicin r (t), con t0 , la longitudviene dada por la frmula

5.3 INTEGRACIONES ITERADAS DOBLES Y TRIPLES.

Definicin de integral doble.

Se debe enfatizar que las condiciones de esta definicin son suficientes pero nonecesarias para la existencia de la integral doble.El clculo del valor de una integral doble directamente de la definicin es muytedioso, por lo que existe un teorema para integrales dobles.Teorema fundamental para integrales dobles. Si la integral doble

De f en R existe, y si la regin R es de alguno de estos dos tipos: acotada cuyafrontera es una curva cerrada simple y rectificable, y cada lnea que pasa por unpunto interior de R y perpendicular al eje x interseca a la frontera de R en solo dospuntos (regin R tipo T1) o si cada lnea que pasa por un punto interior de R yperpendicular al eje y interseca a la frontera de R solo en dos puntos (regin R


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tipo T2). O si R es la unin de un nmero finito de regiones del tipo T1 o T2, lasintegrales iteradas se pueden usar para calcular la integral doble.

Hasta ahora se han calculado el rea de figuras geomtricas planas elementales:el rectngulo, el crculo, el trapecio, etc. Pero, cmo calcular el rea de figuras

no regulares? Una buena aproximacin puede ser la de dividir la zona enpequeos rectngulos y sumar las reas de cada uno de ellos:

Esta idea era la que subyaca en la construccin de la integral que vimos en eltema anterior y que nos permiti calcular longitudes de curvas, reas limitadas porcurvas y volmenes de cuerpos de revolucin. En este tema, se generaliza elconcepto de integral definida a funciones de dos o tres variables, obteniendo lasllamadas integrales de rea o de volumen, respectivamente.Esto nos permitir calcular el volumen de cuerpos limitados por superficies, nonecesariamente de revolucin. Tambin permitir calcular reas medianteintegrales dobles sencillas que en el tema anterior resultaban algo mscomplicadas. Se empezar definiendo la integral sobre un rectngulo.

Integrales dobles sobre rectngulosSea f(x, y) una funcin acotada sobre un rectngulo R = [a, b] [c, d]. Unaparticin del rectngulo R son dos conjuntos de puntos {x j} j n = 0 e {y j} j m =0,Satisfaciendo

Es decir, P = P1 P2, donde P1 y P2 son particiones de [a, b] y [c, d],Respectivamente.Se llama rea de R a v(R) = (dc) (ba). Toda particin divide al rectngulo R en nm sub rectngulos Rjk = [xj1, xj ] [yk1, yk], j = 1, . . . , n, k =1,. . ., m

Se llama norma de la particin P a ll P ll = mx{v(Rjk) : j = 1, . . . , n; k = 1, . . . ,m}


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Una particin del rectngulo R = [a, b] [c, d]

Considrese cualquier punto Cjk del rectngulo Rjk y frmese la suma

llamada suma de Riemann para f

En la siguiente grafica hemos representado las sumas de Riemann para lafuncion f(x, y) = x2 + y2 tomando como punto cjk el punto medio delrectangulo y el punto inferior del rectangulo.

Clculo de integrales dobles

El clculo de una integral doble se realiza mediante el clculo de dos integralesiteradas, de acuerdo al siguiente teorema: Teorema 10.6 (Teorema de Fubini) Seaf una funcin integrable sobre un rectngulo R = [a, b] [c, d].

1. Si para cada x [a, b], la seccin transversal fx(y) := f(x, y), y [c, d], esintegrable sobre [c, d], entonces la funcin


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Es integrable sobre [a, b] y se verifica

2. Si para cada y [c, d], la seccin transversal fy(x):= f(x, y), x [a, b], esintegrable sobre [a, b], entonces la funcin

Es integrable sobre [c, d] y se verifica

INTEGRALES DOBLES SOBRE RECINTOS ACOTADOSPara generalizar el concepto de integral doble a recintos acotados se hace uso de

la funcin caracterstica

Si el conjunto A es acotado y verifica que su frontera tiene medida nula, entoncesla funcin caracterstica es integrable sobre cualquier rectngulo R que contiene a

A y, en este caso, existe

Que se llama la medida o rea de A. El conjunto A se dice, entonces, medible.Entonces, dada una funcin integrable sobre un rectngulo R A, se define

En la figura siguiente puede verse grficamente este proceso, donde F(x, y) =1A(x, y) f (x, y):


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Recinto acotado y funcin caracterstica

INTEGRALES ITERADAS TRIPLESDefinicin de integral tripleUna integral triple es una generalizacin de una integral doble en el mismosentido que una doble es una generalizacin de una integral sencilla.Esto es, una integral triple extiende el concepto de una integral al caso en que Fes una funcin de tres variables independientes cuyo dominio es una regincerrada acotada en el espacio de 3 dimensiones.En este tipo de espacio los conceptos de conjunto abierto, conjunto cerrado,regin, punto frontera, punto interior, regin cerrada, y regin cerrada acotada sondefinidos por extensiones de las definiciones en el espacio de dos dimensiones,con una adaptacin de la terminologa.

Las integrales triples no tienen ya mayor dificultad salvo la aadida por unadimensin ms. Los rectngulos anteriores se substituyen ahora por rectngulostridimensionales, o sea, cajas R = [a, b] [c, d] [p, q]. Una particin P de R esahora P = P1 P2 P3 siendo P1, P2 y P3 particiones de los intervalos [a, b], [c,d] y [p, q], con respectivamente.Si P1 tiene n + 1 puntos, P1 tiene m + 1 puntos y P3 tiene r + 1 puntos, laparticin P = P1P2P3 divide al rectngulo R en nmr sub rectngulosRijk = [xi1, xi] [yj1, yj ] [zk1, zk]; cada uno de los cuales tiene volumenV (Rijk = (xi xi1)(yj yj1)(zk zk1).

Procediendo de forma similar al caso de dos variables, dada una funcin realacotada f definida en R, se define la suma de Riemann correspondiente a laparticin de P de R como

Con xijk Rijk.


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Dada la funcin acotada f: R R se define la integral triple como el lmite de lassumas de Riemann cuando llPll tiende a 0:

Siempre que dicho lmite exista y sea independiente de la eleccin del punto xijk.Como antes toda funcin continua es integrable y toda funcin acotada cuyasdiscontinuidades tienen medida nula es integrable.Finalmente, el clculo de una integral triple puede reducirse al clculo de tresintegrales iteradas:

Sea f una funcin integrable sobre un rectngulo R = [a, b] [c, d][p, q]. Si existecualquier integral iterada, es igual a la integralTriple

Y as sucesivamente hasta completar todas las ordenaciones posibles.

EjemploCalcular la integral sobre R = [1, 1] [0, 2] [1, 2] de la funcin f(x, y,z) = x y zSolucin:Se tiene que

Ejemplo 2.1.4. Calcular en el cuadriltero Q delplano x, y que tiene vrtices A = (0, 0), B = (1, 1), C = (2, 1), D = (1, 3).


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Primero dibujemos el cuadriltero en el plano x, y, tomando x en el eje deabscisas horizontal, e y en el eje de ordenadas vertical. Observamos que x varaentre un mnimo x = 0 y un mximox = 2 en el eje de abscisas. El intervalo [a, b], proyeccin vertical sobre el ejehorizontal del cuadriltero Q = ABCD es: [a, b] = [0, 2].

Para cada valor de x fijo en [0, 2] consideremos los bastones verticales deextremos (x) (x).Estos bastones son la interseccin del cuadriltero Q (incluido su interior), con larecta vertical x constante. Entonces, las graficas de las funcionesy = (x) e y = (x), son, para cada x constante, los dos puntos de interseccin delborde inferior de Q, y superior de Q respectivamente, con la recta vertical xconstante.Encontremos estas funciones (x) y (x):Cuando 0 x 1, la funcin y = (x) es la ecuacin del segmento de recta AB; ycuando1 x 2 la funcin y = (x) es la ecuacin del segmento de recta BC. Ambossegmentos de rectas forman el borde del cuadriltero Q por abajo. Esto es:Ecuacin 1 (x): y = x si 0 x 1Ecuacin 2 (x): y = 2x 3 si 1 x 2

Integr ales paramtric as e integ rales d ob les y tr iples .Para encontrar la ecuacin del segmento de recta no vertical PQ donde P = (xP,yP ) y S =(xS, yS), se us la frmula de la ecuacin de una recta, restringida alintervalo de abscisas donde se proyecta el segmento; es decir:

Las frmulas (1) y (2) son las que corresponden a una nica funcin (x),definida en el intervalo [0, 2] de la variable independiente x. Esto es porque (1)vale en el intervalo [0, 1], y (2) en [1,2]. Ambas son tales que en la interseccin delos dos intervalos, (que es x = 1), dan el mismo punto x = 1, y = 1 (que es elvrtice B = (1, 1) del cuadriltero Q). Por lo tanto la funcin (x), dada por lasecuaciones (1) y (2), est bien definida, y adems es continua en su dominio[0, 2].

Ahora, para 0 x 1, busquemos la(s) frmula(s) de la funcin y = (x). Sugrfica son losSegmentos de recta AD y DC, que forman el borde del cuadriltero Q por arriba.Esto es:

Las frmulas (3) y (4) son las que corresponden a una nica funcin (x), definidaen el intervalo[0, 2] de la variable independiente x. La frmula (1) vale en el intervalo [0, 1], y lafrmula (2) en[1,2]. Son tales que en la interseccin de ambos intervalos, (que es x = 1), ambasdan el mismo punto x = 1, y = 3 (que es el vrtice D = (1, 3) del cuadriltero).


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Por lo tanto la funcin (x), dada por las ecuaciones (1) y (2), est bien definida, yadems es continua en su dominio [0, 2].Calculemos ahora la integral pedida:

Para poder sustituir las frmulas (1), (2), (3) y (4), de _(x) y (x), en la igualdad (5),hay que separar el intervalo de integracin [0, 2] de las x, en dos partes,escribiendo la integral en [0, 2] respecto de x (que es la ultima a calcularse),como la suma de la integral en [0, 1] ms la integral en [1, 2]:

Ahora calculemos cada una de las integrales dobles en el segundo miembro de(6):

En definitiva:

Ahora calculemos la ultima integral doble en el segundo miembro de (6):

En definitiva:

Sustituyendo (7) y (8) en (6) se deduce:


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Integral triple iterada en dominio(tridimensional) simple respecto de x, y o de y,x. Sea D _ [a, b][c, d][e, h] un dominio simple respecto de x, y o de y, x(comoen la definicin 3.1.1), y sea f(x, y, z) continua en D. Se llama Integral triple iteradade f en el dominio D al nmero:

Que se denota

Observacin: Las integrales iteradas se calculan de derecha a izquierda,tomando, cuando se integra en cierta variable (por ejemplo z) constantes lasvariables que estn en la o las integrales de la izquierda (en este ejemplo x e y).

Las integrales de la igualdad de arriba se calculan de derecha a izquierda: esdecir, primero con x, y constantes, se integra f(x, y, z) respecto de z en el intervalo[ (x, y), (x, y)] (no olvidarse que x e y son constantes mientras se integra en z).

Al resultado obtenido, que depende slo de x e y, y es por lo tanto una funcin de(x, y), se leIntegra con x constante, respecto de y variable en el intervalo (x), (x) (con xconstante).

Al resultado obtenido ahora, que depende slo de x, se le integra finalmenterespecto de x en el intervalo [a, b]. (Vase el ejemplo ms abajo.)

Anlogamente, si D es simple respecto de y, x (como en la igualdad (1d)), laintegral triple de f en D.

Las integrales de la igualdad de arriba se calculan de derecha a izquierda: esdecir, primero con x, y constantes, se integra f(x, y, z) respecto de z en el intervalo[_(x, y), (x, y)] (no olvidarse que x e y son constantes mientras se integra en z). Alresultado obtenido, que depende slo de x e y, y es por lo tanto una funcin de (x,y), se le integra con y constante, respecto de x variable en el intervalo _(y), _(y)(con y constante). Al resultado ahora obtenido, que depende slo de y, se leintegra finalmente respecto de y en el intervalo [c, d].

Ejemplo:Calcular

En el dominio slido D del espacio x, y, z que tiene por ecuaciones:


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5.4 APLICACIN A REAS Y SOLUCION DE PROBLEMAS.

El problema del clculo del reaUno de los problemas que ms repercusin ha tenido en la historia de lasmatemticas es el del estudio del rea encerrada bajo una curva, pues tiene unaaplicacin inmediata en algunos problemas de fsica.Ejemplo: Consideremos un cuerpo que se mueve con una velocidad constante de3m/s. La grfica velocidad-tiempo del cuerpo es la representada en el dibujo.Calcular el espacio recorrido por el cuerpo entre t = 0 y t = 6, con las frmulas defsica conocidas. Estudiar la relacin que existe entre este resultado y el reaencerrada por las rectas t = 0, t = 6, v = 0 yv = 3.

Solucin:El hecho de que la velocidad sea constante nos indica que estamos en un casode MRU, por lo que deberemos usar la frmula e = v*t que nos da el espaciorecorrido por el cuerpo si conocemos su velocidad y el tiempo transcurrido t. Porlo tanto, para calcular el espacio recorrido por el cuerpo desde t = 0 hasta t = 6hacemos e = 3*6 = 18, que coincide con el rea del rectngulo coloreado, y quees al mismo tiempo el rea encerrada por las rectas:t = 0, t = 6, v = O y v = 3.Hasta ahora hemos calculado el rea encerrada por funciones continuas peroqu haramos para calcular el rea encerrada bajo la funcin del dibujo 1 entre x= 1 y x = 4?, es siempre posible descomponer la figura encerrada bajo una curva

en figuras cuya rea conocemos?Para investigarlo, consideremos la grfica velocidad-tiempo del dibujo 2, ycalculemos el espacio recorrido entre t = 0 y t = 1. Cmo calcularamos,aproximadamente, el rea encerrada bajo esta funcin entre t = 0 y t = 1?.

Acotaremos dicha rea superior e inferiormente, utilizando rectngulos. Cmopodramos hacer que estas acotaciones fuesen cada vez ms exactas?


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Dibujo 1. Grfica funcin escalonada Dibujo 2. Grfica v(t) = -2t2 + 2t + 1

Es intuitivo que el rea encerrada por la funcin del dibujo 1 se calcula sumandolas reas de los rectngulos que define la funcin entre dichos puntos. Este tipode funciones cuya grfica en un intervalo son tramos de rectas paralelas al eje delas x, se llaman funciones escalonadas, y las estudiaremos con ms detalle msadelante. Como se ve en el dibujo 2, no siempre es posible descomponer el reaencerrada bajo una curva, en figuras geomtricas simples. En el caso delejercicio, dicha rea se encuentra comprendida entre un rectngulo de base 1 yaltura 1, y un rectngulo de base 1 y altura 1.5, por lo tanto sabemos que seencuentra entre uno y uno y medio, pero no podemos decir con exactitud cul essu valor. Para estos casos precisamente es para los que se ide el mtodo deexhaucin.El mtodo de Exhaucin.El mtodo de exhaucin fue ideado por el matemtico griego Arqumedes paradeterminar el rea de un recinto. Este mtodo consiste en inscribir y circunscribirel recinto considerado en regiones poligonales cada vez ms prximas a l,tendiendo a llenarlo y cuyas reas se pueden calcular fcilmente. As se obtienenvalores mayores y menores que el rea que deseamos calcular y que seaproximan, tanto ms a dicho valor, cuanto mayor sea el nmero de lados deregiones poligonales inscritas y circunscritas. Segn el mtodo de exhaucin,para aproximar el rea encerrada entre la funcin, el eje OX, y las rectas x = 0, x= 2, tomamos poligonales que inscriban y circunscriban dicho recinto. En estecaso dichas poligonales son rectngulos y es evidente que el rea se conocercon mayor exactitud cuanto menor sea la base de los rectngulos tomados.

Consideremos primero rectngulos inscritos en el recinto. En este caso la sumade las reas de los rectngulos es menor que el rea del recinto, pero se vanaproximando ms a su valor segn vayamos tomando rectngulos de menorbase, como podemos ver en lasaproximaciones de los dibujos.


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Si consideramos ahora rectngulos que circunscriban al recinto, es evidente quela suma de las reas de dichos rectngulos es mayor que el rea que encierra lafuncin, pero a medida que vamos tomando rectngulos cuyas bases seanmenores, nuestra aproximacin ser ms exacta.

rea del recinto limitado por una funcin que cambia de signo en

[a,b]Finalmente, si la grfica de una funcin queda parte por encima, y parte pordebajo deleje de abscisas, la integral se descompondr en varios sumandoscuando se quiera calcular el rea de la regin que delimita con el eje de abscisasen el intervalo [a, b].Sabemos que:

Si la funcin f se anula y cambia de signo en ms puntos, se procede de formaanloga, calculando las reas de cada uno de los recintos.

rea del recinto limitado por dos funcionesEn este apartado vamos a calcular el rea de recintos planos ms generales quelos estudiados en los apartados anteriores.Uno de los problemas que suele plantearse es la determinacin exacta de laregin cuya rea queremos calcular. Como norma conviene, siempre que sea


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posible, hacer una representacin lo ms aproximada posible de dicha regin o

recinto.Sean f y g dos funciones continuas en [a,b]. Supongamos que sus grficas secortan en [a,b] para x = a1, x = a2, ..., x = an, con lo que determinan n+1 regionesR1, R2,..., Rn+1.

El rea de cada regin Ri es , luego el rea limitada por las dosfunciones en el intervalo [a,b] bale:

EJERCICIOS RESUELTOS DE APLICACIONES DE LA INTEGRAL. REAS

Ejercicio: 1Calcular el rea del recinto limitado por la curva y = 9 x2y el eje OX.

En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar lacurva y conocer los lmites de integracin.


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Como la parbola es simtrica respecto al eje OY, el rea ser igual al doble delrea comprendida entre x = 0 y x = 3.

Ejercicio: 2

Calcular el rea del tringulo de vrtices A(3, 0), B(6, 3), C(8, 0).Ecuacin de la recta que pasa por AB:

Ecuacin de la recta que pasa por BC:

Ejercicio: 3Calcular el rea limitada por las grficas de las funciones y2= 4x e y = x2.


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Ejercicio: 4Calcular el rea limitada por la curva xy = 36, el eje OX y las rectas: x = 6, x = 12.

Ejercicio: 5Calcular el rea limitada por la curva y = 2(1 x2) y la recta y = 1.


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Ejercicio: 6Calcular el rea del recinto limitado por la parbola y = x2+ 2 y la recta que pasapor los puntos (1, 0) y (1, 4).

Ejercicio: 7

Hallar el rea limitada por la recta , el eje de abscisas y las ordenadascorrespondientes a x = 0 y x = 4.


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Ejercicio: 8Calcular el rea limitada por la curva y = 6x2 3x3y el eje de abscisas.

Ejercicio: 9Hallar el rea de la regin del plano limitada por las curvas y = ln x, y = 2 y losejes coordenados.Calculamos el punto de corte de la curva y la recta y = 2.


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El rea es igual al rea del rectngulo OABC menos el rea bajo la curva y = ln x.El rea de rectngulo es base por altura.

A1=e2.2=2e2U2

El rea bajo la curva y = ln x es:

Ejercicio: 10Calcular el rea de la regin del plano limitada por el crculo x2+ y2= 9.

El rea del crculo es cuatro veces el rea encerrada en el primer cuadrante y losejes de coordenadas.

Hallamos los nuevos lmites de integracin.


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Ejercicio: 11Hallar el rea de una elipse de semiejes a y b.

Por ser la elipse una curva simtrica, el rea pedida ser 4 veces el reaencerrada en el primer cuadrante y los ejes de coordenadas.

Hallamos los nuevos lmites de integracin.

Ejercicio: 12Calcular el rea de la regin del plano limitada por la curva: f(x) = |x2 4x + 3| y eleje OX.


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Ejercicio: 13Hallar el rea de la figura limitada por: y = x2, y = x, x = 0, x = 2Puntos de corte de la parbola y la recta y = x.

De x = 0 a x = 1, la recta queda por encima de la parbola.

De x = 1 a x = 2, la recta queda por debajo de la parbola.


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Ejercicio: 14Hallar el rea del recinto plano y limitado por la parbola y = 4x x2 y lastangentes a la curva en los puntos de interseccin con el eje OX.Puntos de interseccin:

Ecuacin de la tangente a la parbola en el punto (0, 0):

Ecuacin de la tangente a la parbola en el punto (4, 0):

Ejercicio: 15Hallar el rea limitada por la recta x + y = 10, el eje OX y las ordenadas de x = 2 yx = 8.


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5.5 INTEGRACION DOBLE EN COORDENADAS POLARES.

En ocasiones las integrales son ms fciles de evaluar si se cambia acoordenadas polares. En esta seccin se muestra como hacer el cambio y como

evaluar las integrales sobre regiones con fronteras dadas por ecuaciones polares.En la definicin de la integral doble de una funcin sobre una regin R en el planoxy utilizamos rectngulos con lados paralelos para dividir la regin. Encoordenadas polares la forma natural es un sector polar cuyos lados tienen

valores de r y constante

Sector polar

Para definir la integral doble de una funcin continua z = f(x; y) en coordenadas

polares, la regin R esta acotada por las curvas r = g1 () y r = g2 () y las rectas

= y = . La regin R se divide en mltiples sectores polares (en lugar de

rectngulos). El rea de un sector especfico i es

La suma de Riemann (convirtiendo a polares x y y) es

El lmite de la sumatoria cuando n es la integral doble

En forma anloga a las regiones en coordenadas rectangulares, se pueden definir

regiones r-simples en las cuales la regin est limitada por ngulos fijos 1 y 2,

y por r constante o funcin de y se especifican como


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En las regiones q-simples, la regin esta acotada por valores constantes de r (r1 yr2) y por ngulos funciones de r y se especifican de la siguiente forma

Para definir los lmites de regiones polares, se utiliza un rayo desde el origen (enlugar de una recta), si el rayo entra y sale por las mismas curvas en toda la reginR, entonces es una regin r-simple. Si los lmites en r son constantes y losngulos mnimo y mximo de la regin son funciones de r, entonces es una regin

-simple.

EjemploDetermine los lmites en forma polar de la regin acotada por el crculo

y la rectaSolucin:Se procede de la misma manera que para identificar las regiones en coordenadasrectangulares, esto es, se hace un dibujo de la regin y se traza el rayo deprueba.

El rayo L siempre entra en la regin por la recta y sale por la curva. Estasecuaciones en coordenadas polares son, para la curva

y para la recta


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El ngulo mnimo es la interseccin de la recta con la curva

y el ngulo mximo es . La regin se especifica como

y la integral doble

rea en coordenadas polares

Al igual que en coordenadas rectangulares, si f(x; y) = 1, el resultado de la integraldoble es el rea de la regin plana, esto es

Donde dA = dr d= ddr. Y para los slidos sobre la regin plana en el plano xy ylimitados por la superficie f(x; y), la integral doble que da el volumen se transformaen

Donde la ecuacin de la superficie se convierte a coordenadas polares al sustituirx = r cos y y = r sen .

Ejemplo 2Calcular el rea entre los crculos de radio 1 y radio 2 con el mismo centro.Solucin. Por facilidad, se considera que el centro de ellos es el origen (0,0), porlo que las ecuaciones de ellos sonx2+ y2= 1; y en coordenadas polares r = 1x2+ y2= 4; y en coordenadas polares r = 2Puesto que las ecuaciones de los crculos son ms sencillas en coordenadaspolares que en coordenadas rectangulares, se calcula el rea en coordenadaspolares. Para el anlisis, se hace un bosquejo de la regin (con winplot) y se trazaun rayo desde el origen que cruce la regin.


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El rayo entra por el crculo de radio 1 y sale por el crculo de radio 2, y el nguloes desde 0 hasta 2_ para que el rayo pase por toda la regin. La regin seespecifica con

Los lmites para ambos, y r son constantes, por lo tanto, se puede utilizar

cualquier orden de integracin dr do d dr. La integral doble para el clculo delrea es

Ejemplo 3Calcular el rea de la superficie limitada por la curva r = 1 cos .Solucin:Sehace un bosquejo de la regin (con winplot en coordenadas polares) y se traza

un rayo desde elorigen

.En la figura se observa que el rayo, entra a la regin por el origen y sale por lacurva r = 1 - cos , o sea, que los limites son 0 y 1- cos . Al girar el rayo paracubrir toda la regin, el ngulo vara de 0 a 2. La regin se especifica como


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La integral doble para calcular el rea es

Diferencial de rea en coordenadas polares:Recordando la relacin entre el radio y la longitud de arco en un sector circularest dada por: s = r , tenemos entonces que el diferencial de rea en

coordenadas polares est dado por dA = (dr) (rd) como se muestra en lafigura. Se acostumbra escribir como

dA = r dr d

Ejemplo 1: Evale la integral en donde D es la regin limitadapor el semicrculo y el eje y,pasando a coordenadas polares.Solucin:


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Ejemplo 2:Encuentre el volumen del slido limitado por el plano z = 0, y el Paraboloidez =1 -x2 y2.La curva de interseccin de las superficies es:z

1= z

2

1x2

y2

= 0X2 + y2 =1r

2 =1r =1

Ejemplo 3:Encuentre el volumen del slido debajo del paraboloide z = x2 + y2, arriba delplano x y, y dentro del cilindrox2+ y2= 2xLa base del volumen es:x

2 + y2 = 2x

(x2 2x +1)+y2 =1(x 1)2 + y2 =1Crculo C(1,0);r =1Su ecuacin en c. polares:

x2 + y2 = 2x r2 = 2r cosr =2cos


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Ejemplo 4:Use coordenadas polares para calcular el volumen del slido dentro de la esfera

16 x + y + z = y fuera del cilindro 4La esfera x 2 + y 2 + z 2 = 16r 2 + z 2 = 16

El cilindrox 2 + y 2 = 4r 2 = 4r = 2


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5.6 coordenadas cilndricas y esfricas.

COORDENADAS CILNDRICAS.

Ya hemos tenido ocasin de comprobar que ciertas graficas bidimensionales sonms fciles de representar en coordenadas polares que en coordenadasrectangulares. Lo mismo ocurre con las superficies. En esta seccin introducimosdos sistemas alternativos de coordenadas para el espacio. El primero, el sistemade coordenadas cilndricas, es una generalizacin de las coordenadas polares enel espacio.

EL SISTEMA DE COORDENADAS CILNDRICAS.

En un sistema de coordenadas cilndricas, un punto pdel espacio se representapor un tro ordenado (r, , z).1.- (r, ) son las coordenadas polares de la proyeccin de psobre el plano x y.2.- z es la distancia dirigida de pa (r, ).Para pasar de rectangulares a cilndricas, o viceversa, hay que usar las siguientesformulas de conversin.Cilndricas a rectangulares.X = r cos , y = r sen , z = zRetangulares a cilndricas:R2 =x2 + y2, tg =y/x, z = z.

El punto (0, 0,0) se llama el polo. Adems, como la representacin de un punto enpolares no es nica, tampoco lo es en cilndricas.

Ejemplo 1:Expresar en coordenadas rectangulares el punto (r, , z) = (4,5/6,3).

Solucin:Con las formulas de conversin de cilndricas a rectangulares obtenemos.X = 4 cos 5 / 6 = 4 (-3 / 2) = -2 (3).Y = 4 sen 5 / 6 = 4 (1/2) = 2Z = 3

As pues, en coordenadas rectangulares ese punto es (x, y, z) = (-2)( 3, 2, 2).

Ejemplo 2:Hallar ecuaciones en coordenadas cilndricas para las superficies cuyasecuaciones rectangulares se especifican a continuacin:

x2+ y2=4z2y2= x


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Solucin a)Por la seccin procedente sabemos que la grafica de x2+y2=4z2es un cono

con su eje en el eje z. si sustituimos x 2+ y2por r2, obtenemossu ecuacin en cilndricas.

x2+y2=4z2 ecuacin en coordenadas rectangulares.

r2= 4z2 ecuacin en coordenadas cilndricas.

Solucin b)La superficie y2= x es un cilindro parablico con generatrices paralelas al eje z.Sustituyendo y2por r2sen2 y x por r cos , obtenemos:

y2= x ecuacin rectangular.r2sen2 = r cos sustituir y por sen , x por r cos .r(r sen2 cos ) = 0 agrupar trminos y factorizarr sen2 cos = 0 dividir ls dos miembros por rr = cos / sen2 despejar rr cosec ctg ecuacin en cilndricas.

Ntese que esta ecuacin incluye un punto con r = 0, as que no se ha perdidonada al dividir ambos miembros por el factor r.

Ejemplo 3:Hallar la ecuacin en coordenadas rectangulares de la grafica determinada por laecuacin en cilndricas:r2cos 2+ z2+ 1 = 0

Solucin:r2cos 2+ z2+ 1 = 0 ecuacin en cilndricasr2(cos2sen2) + z2= 0 identidad trigonomtrica.r2cos2 r2sen2 +z2= -1X2y2+z2= -1 sustituir r cos por x y r sen por yY2x2z2= 1 ecuacin rectangular.Es un hiperboloide de dos hojas cuyo eje es el eje y.

COORDENADAS ESFERICAS.

Es el sistema de coordenadas esfricas cada uno se representa por un troordenado: la primera coordenada es una distancia, la segunda y la tercera sonngulos. Es un sistema similar al de longitud-latitud que se suele utilizar paralocalizar puntos sobre la superficie terrestre.


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EL SISTEMA DE COORDENADAS ESFERICAS.

Es en sistema de coordenadas de sistemas esfricas un punto p del espacioviene representado por un tro ordenado (p, , ).1.-pes la distancia de Pal origen,p>< 0.

2.- es el mismo Angulo utilizado en coordenadas cilndricas para r> 0. 3.- es el Angulo entre el semieje z positivo y el segmento recto OP, 0 > < .

Ntese que las coordenadas primeras y terceras son siempre no negativas.La relacin entre las coordenadas rectangulares y las esfricas. Para separar unoa otro deben usarse las formas siguientes:Esfricas a rectangulares:X =psen cos , y=psen sen , z =p cos .

Rectangulares a esfricas:P2= x2+ y2 + z2, tg =y/x, = arcos (z/ x2+ y2+z2).

Para cambiar de coordenadas esfricas a cilndricas, o viceversa, deben aplicarselas formulas siguientes:

Esfricas a cilndricas (r > 0):r2=p2sen2, = , z =pcos.

Cilndricas a esfricas (r> 0):P= r2+ z2, = , = arcos (z / r2+ z2).

Las coordenadas esfricas son especialmente apropiadas para estudiarsuperficies que tenga un centro de simetra.

Ejemplo 1:Hallar una ecuacin en coordenadas esfricas parar las superficies cuyasecuaciones en coordenadas rectangulares se indican.a).- cono: x2+ y2= z2b).- esfera: -4z = 0

Solucin:a).-haciendo las sustituciones adecuadas para x, y, z en la ecuacin dada seobtiene:x2+ y2= z2

p2sen2cos2+p2sen2 sen2=p2cos2p2sen2(cos2+ sen2) =p2cos2p2sen2 =p2cos2sen2/ cos2 = 1 p> 0tg2 = 1 = /4 o = 3/4


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La ecuacin = /4 representa la mitad superior del cono y la ecuacin = 3/4su mitad inferior.b).-comop2= x2+y2+ z2y z = p cos , la ecuacin dada adopta la siguiente

forma en coordenadas esfricas.P24pcos = 0 p (p-4 cos ) = 0

Descartando por el momento la posibilidad de que p = 0, obtenemos la ecu

4 Unidad Kal

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