1

Flujo Máximo/Corte MínimoFlujo Máximo/Corte Mínimo

--

Presentación basada en cáp 6 de:Luenberger and Ye. Linear and Nonlinear programming

2

Redes con CapacidadRedes con Capacidad

● Un grafo en el cual las aristas tienen capacidad.

● Las capacidades son valores positivos y su valor se indica junto a la arista respectiva.

a b

c

4

2

3 d

6

3

FlujosFlujos

● Tomese un red de m nodos.

● Se designa un nodo como la fuente (source) y otro como el desagüe (sink). Los demás nodos siguen estríctamente la ley de conservación. Se designarán como los nodos 1 y m.

● El flujo por un arco no puede superar la capacidad del arco.

● Un conjunto de flujos por los arcos que satisfacen estas condiciones se llama un flujo.

● Se designa como f el valor del flujo de fuente a desagüe.

5

Representación MatricialRepresentación Matricial

Sean:

● A la matrix de incidencia de aristas

● x el vector de flujos por cada arista.

● c el vector de capacidades por arista.

● e el vector de dimension m, con e1=1, e

m=-1 y demás

componentes en ceros.

6

Características de este problemaCaracterísticas de este problema

● Siempre que el grafo sea conexo, existe una solución factible.

● La matrix A es la misma del problema de flujo de coste mínimo, más la columna e.

● La matrix es triangular, se puede utilizar el mismo procedimiento para determinar una base y utilizar el método simplex para hallar la solución.

● Existen soluciones más eficientes

7

Solución más eficienteSolución más eficiente

● Si existe un camino P del nodo 1 al m, se puede establecer el flujo

● Determinan las capacidades residuales en las aristas de P

● El grafo obtenido se denomina grafo residual G'. Se puede encontrar el flujo adicional en G', y repetir el procedimiento hasta que no exista un camino de la fuente al desagüe.

8

ConvergenciaConvergencia

● Si todas las capacidades son finitas y dado que cada iteración del algoritmo siempre produce un aumento del flujo, el algoritmo converge al flujo máximo.

9

EjemploEjemplo

● Consideremos la siguiente red con las capacidades indicadas. Nodo 1 es la fuente y nodo 6 es el desagüe.

1

2

3

6

4

5

1

2

2

1

1

3

1 2

10

Interación 1Interación 1

● Se encuentra un camino

● La capacidad mínima es 1

● Se establece el flujo de 1 unidad y se resta de las capacidades

1

2

3

6

4

5

1

2

2

1

1

3

1 2

11

Grafo residualGrafo residual

● Se resta f en las aristas utilizadas.

● Se incrementa la capacidad en dirección opuesta en f.

1

2

3

6

4

5

2

1

3

1 2

0

1

0

1

1

1

12

Iteración 2Iteración 2

● Se encuentra un nuevo camino

● La capacidad máxima es 1

● Se establece el flujo de 1 unidad y se cálcula el grafo residual

1

2

3

6

4

5

2

1

3

1 2

0

1

0

1

1

1

13

Grafo residualGrafo residual

● Se resta el flujo de una unidad correspondiente a esta camino.

● Se incrementa la capacidad en dirección opuesta.

1

2

3

6

4

5

1

0

2

1 2

0

1

0

1

1

1

1

1

1

14

Iteración 3Iteración 3

● Se encuentra un camino que incrementa el flujo (augmenting path)

● El enlace de menor capacidad es 1

1

2

3

6

4

5

1

0

2

1 2

0

1

0

1

1

1

1

1

1

15

Grafo residualGrafo residual

● Se actualizan de nuevo las capacidades del las aristas

1

2

3

6

4

5

0

0

1

0 1

0

1

0

1

2

0

2

1

2

11

16

Resultado finalResultado final

● No existe ningún camino que permita llevar flujo positivo de fuente a desagüe.

● El flujo total es 3

1

2

3

6

4

5

1/1

2/2

0/2

1/1

1/1

2/3

1/1 1/2

17

CortesCortes

● Se dividen los nodos en dos grupos, S y S; tal que la fuente esta en S y el desagüe en S.

● El conjunto de aristas con un nodo en S y el otro en S se denomina el corte.

● Se denota (S,S).

● La capacidad del corte es la suma de las capacidades en sus aristas.

18

EjemploEjemplo

1

2

3

6

4

5

1

2

2

1

1

3

12

S S

19

Flujo máximo = Corte mínimoFlujo máximo = Corte mínimo

● Es claro que la capacidad del corte es una cota superior al flujo máximo entre la fuente y el destino.

Prueba informal:

● Cuando el algoritmo de flujo máximo termina, es porque no existe un camino de fuente a destino.

● En otras palabras el grafo residual es no conexo.

● Las aristas entre las dos componentes conexas tienen capacidad residual 0. Llevan un flujo igual a su capacidad.

● La suma de estas capacidades es la capacidad del corte mínimo.

20

Ejemplo: Corte mínimoEjemplo: Corte mínimo

1

2

3

6

4

5

1

2

2

1

1

3

1 2