Potencial eléctrico. Energía potencial eléctrica.

1. En el modelo de quark de las partículas fundamentales, el protón está compuesto de tres quarks: dos quarks

“arriba”, cada uno de ellos con una carga de +2e/3, y un quark “abajo”, con una carga de –e/3. Supóngase

que los tres quarks están equidistantes entre sí. Considere que la distancia es de 1.32 X 10-15

m, y calcule a)

la energía potencial de la interacción entre los dos quarks “arriba” y b) la energía potencial eléctrica de todo

el sistema.

a)LA energía potencial de la interacción entre los dos quarks arriba es dada por la ecuación

b)Ahora solo debemos considerar la energía potencial del sistema, este es

2. Obtenga una expresión para el trabajo requerido por un agente externo para juntar cuatro cargas como se

indica en la figura. Cada lado del cuadrado tiene una longitud a.

Como el trabajo es el negativo de la energía potencial, basta con deducir la energía potencial del sistema. Está energía

potencial es:

Por lo tanto, el trabajo para traer del infinito estas cargas, es

3. Diez años antes de que Einstein publicara su teoría de la relatividad, J.J. Thomson propuso que el electrón

estaba constituido de pequeñas partes y que su masa se debía a la interacción eléctrica de las partes.

Además, sugirió que la energía era igual a mc2. Haga un cálculo aproximado de la masa del electrón de la

siguiente manera: suponga que el electrón está compuesto de tres partes idénticas las cuales se traen desde

el infinito y se colocan en los vértices de un triangulo equilátero que tiene lados iguales al radio clásico del

electrón, 2.82 X 10-15

m. a) Halle la energía potencial eléctrica total de este arreglo. b) Divida entre c2 y

compare su resultado con el de la masa aceptada para el electrón. El resultado mejora si se suponen más

partes.

a)La energía potencial total del sistema es:

c)Al dividir la energía potencial entre c2, obtenemos que la masa del electrón es

m = 9.08 X 10-31

kg.

4. Las cargas mostradas en la figura están fijas en el espacio. Determine el valor de la distancia x de modo que

la energía potencial eléctrica del sistema sea cero.

Suponemos que la energía potencial es cero, así

esto implica que:

por lo que x = 10 cm.

5. La figura es una representación idealizada de un núcleo de 238

U (Z=92) el cual está a punto de fisionarse.

Calcule a) la fuerza de repulsión que actúa sobre cada fragmento y b) la energía potencial eléctrica mutua

de los dos fragmentos. Suponga que los fragmentos son iguales en tamaño y carga, esféricos, y que apenas

se tocan. El radio del núcleo de 238

U, inicialmente esférico, es de 8 fm. Considere que el material del que

están hechos los núcleos es de densidad constante.

Potencial eléctrico

6. Dos superficies conductoras planas y paralelas con un espaciamiento d=1 cm tienen una diferencia de

potencial ∆V=10.3 kV. Un electrón es proyectado de una placa directamente hacia la segunda. ¿Cuál es la

velocidad inicial del electrón si llega al reposo justo en la superficie de la segunda placa? No tome efectos

relativistas.

De la ecuación F=ma, como el cambio en la energía potencial es el negativo del trabajo y por la ecuación ,

tenemos

recordemos la ecuación de movimiento

como la vf = 0, entonces al reemplazar ad en la expresión

anterior tenenemos:

1 2

3 4

Potencial eléctrico.

7. En un relámpago la diferencia de potencial entre los puntos de la descarga es alrededor de 1 GV y la

cantidad de carga transferida es de unos 30 C. a) ¿Cuánta energía se libera? b) Si toda la energía liberada

pudiera emplearse para acelerar un automóvil de 1200 kg desde el reposo, ¿cuál sería su velocidad final? c)

Si pudiera emplearse para fundir hielo, ¿Cuánto hielo fundiría a 0°C?

a)De la ecuación , al sustituir los valores tenemos: U = 30 GJ.

b)Tomamos los datos del problema anterior, solo que esta vez la velocidad inicial es ceo, así

8. La diferencia de potencial eléctrico entre puntos de descarga durante una tormenta eléctrica en particular

es de 1.23 GV. ¿Cuál es la magnitud del cambio en la energía potencial eléctrica de un electrón que se

mueva entre estos puntos? a) en J, b) en eV.

De la ecuación , tenemos

= 197 pJ, o bien 1.23 GeV.

9. a)¿A través de qué diferencia de potencial debe caer un electrón, según la mecánica newtoniana, para

adquirir una velocidad v igual a la velocidad c de la luz? b) La mecánica newtoniana no funciona cuando v ->

c. Por lo tanto, usando la expresión relativista correcta para la energía cinética.

en

lugar de la expresión newtoniana K=1/2 mv2, determine la velocidad real del electrón adquirida al caer a

través de la diferencia de potencial calculada en a). Exprese esta velocidad como una fracción apropiada de

la velocidad de la luz.

De un problema anterior sabemos que

, o bien

= 256 kV.

b)Primero determinemos la energía potencial del electrón para esta diferencia de potencial, la cual es ∆U=41 fJ, asi por

el principio de la conservación de la energía tenemos que ∆U+∆K=0, o bien,

10. Un electrón es proyectado con una velocidad inicial de 3.44 X 105 m/s directamente hacia un protón que

está esencialmente en reposo. Si el electrón está inicialmente a una gran distancia del protón, ¿a qué

distancia del protón es su velocidad instantáneamente igual al doble del valor inicial?

Tomando el punto inicial del electrón con un potencial cero, y tomando el potencial en esa distancia d en la cual la

velocidad instantánea del electrón es un medio de su velocidad inicial, entonces tenemos:

11. Una partícula de carga q se mantiene en una posición fija en un punto P y una segunda partícula de masa

m, que tiene la misma carga q, se mantiene inicialmente en reposo a una distancia r1 de P. Luego se suelta

la segunda partícula y es repelida por la primera. Determine su velocidad en el instante en que se encuentre

a una distancia r2 de P. Sea q = 3.1 μC, m = 18 mg, r1=0.9mm y r2= 2.5 mm.

Tenemos lo siguiente:

12. Calcule a) el potencial eléctrico generado por el núcleo de un átomo de hidrógeno a la distancia promedio

de la órbita del electrón (r=5.29 X 10-11

m), b) la energía potencial eléctrica del átomo cuando el electrón

está en este radio, y c) la energía cinética del electrón, suponiendo que esté moviéndose en una órbita

circular de este radio centrado en el núcleo. d) ¿Cuánta energía se requiere para ionizar al átomo de

hidrógeno? Exprese todo en eV.

13. Suponga que una carga Q (positiva) tiene una posición fija en P. Una segunda partícula de masa m y carga

(negativa) –q se mueve a velocidad constante en un círculo de radio r1, centrado en P. Encuentre una

expresión para el trabajo W que un agente externo debe realizar sobre la segunda partícula con objeto de

aumentar el radio del circulo de movimiento, centrado en P, hasta r2.

Sabemos que existe una fuerza centrípeta que mantiene a la carga –q girar alrededor de la carga +Q. Esta fuerza es dada

por F=mv/r1. Como el trabajo es igual a la fuerza por la distancia, siendo la trayectoria igual a r2 – r1, tenemos además

que el negativo de la energía potencial es igual al trabajo, por lo que:

14. En el rectángulo mostrado en la figura, los lados tienen una longitud de 5 cm y 15 cm, q1=-5 μC y q2=+2 μC.

a) ¿Cuáles son los potenciales eléctricos en la esquina B y en la esquina A? b) ¿Cuánto trabajo externo se

requiere para mover a una tercera carga q3=+3 μC desde B hasta A a lo largo de una diagonal del

rectángulo? c) En este proceso, ¿se convierte el trabajo externo en energía potencial electrostática o

viceversa? Explique.

La energía potencial del sistema es

=- 0.57 J, de ese modo, el potencial en el punto A es

= -

171 kV.

El potencial en el punto B, es igual.

Lo anterior se basa en el hecho de que el potencial no cambia, pues es una propiedad del sistema.

b)Como W=fd

15. Tres cargas de 122 mC cada una están colocadas en las esquinas de un

triangulo equilátero de 1.72 m de lado. Si se abastece energía a razón

de 831 W, ¿cuántos días se necesitarían para mover a una de las

cargas al punto medio de la línea que une a las otras dos?

Tenemos que 831 W = 831 J/s. El cambio de la energía potencial es:

Potencial eléctrico.

La energía potencial final es:

Luego el cambio de energía potencial del sistema es ∆U = 156 MJ. Luego tenemos que el sistema recibe energía a razón

de 831 J/s, Por lo tanto el tiempo necesario para cambiar la configuración del sistema es:

Cálculo del potencial a partir del campo

16. Una lámina infinita de carga tiene una densidad de carga σ=0.12 μC/m2. ¿Cuál es la separación entre las

superficies equipotenciales cuyos potenciales difieren en 48 V?

Suponemos un campo uniforme dado por la ley de Gauss como

el campo de la lámina es E = 6.8 kV/m.

Luego tenemos que

Por lo tanto

7mm.

17. Dos placas conductoras paralelas y grandes están separadas por 12 cm y portan cargas iguales pero

opuestas. Un electrón situado a medio camino entre las dos placas experimenta una fuerza de 3.9 X 10-15

N.

a) Calcule el campo eléctrico en la posición del electrón. b) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre las

placas?

a)Como E=F/q, entonces el campo eléctrico en esta posición es de E = 24 kV/m.

b)De la ecuación ∆V = Ed, tenemos con el campo dado por a), que ∆V = 2.9 kV.

18. En el experimento de Millikan de la gota de aceite, un campo eléctrico de 1.92 X 105 N/C, se mantiene en

equilibrio entre dos placas con una separación entre ellas de 1.5 cm. Calcule la diferencia de potencial entre

las placas.

De la ecuación ∆V = Ed, tenemos que el potencial eléctrico es de ∆V = 2.9 kV

19. Un conductor de Geiger tiene un cilindro metálico de 2.1 cm de diámetro a lo largo de cuyo eje se extiende

un alambre de 1.34 X 10-4

cm de diámetro. Si se aplican 855 V entre ellos, determine el campo eléctrico en la

superficie de a) el alambre y b) el cilindro. (Vea prob 36, cap. 29)

20. El campo eléctrico dentro de una esfera no conductora de radio R, que contiene una densidad uniforme de

carga, está dirigido radialmente y tiene una magnitud de

, donde q es la carga total en la

esfera y r es la distancia desde el centro de la esfera. a) Encuentre el potencial V® dentro de la esfera,

considerando que V=0 cuando r=0. ¿Cuál es la diferencia de potencial eléctrico entre un punto en la

superficie y el centro de la esfera? Si q es positiva, ¿Qué punto está al potencial más elevado? c) Demuestre

que el potencial a una distancia r del centro, cuando r<R, está dado por

, donde el cero de

potencial se considera en r=∞. ¿por qué este resultado es diferente del de a)?

El potencial debido a una carga puntual

21. Un núcleo de oro contiene una carga positiva igual a la de 79 protones y tiene un radio de 7 fm; véase el

prob muestra 6. Una partícula alfa (que consta de dos protones y dos neutrones) tiene una energía cinética

K en los puntos alejados del núcleo y está viajando directamente hacia él. La partícula alfa toca apenas la

superficie del núcleo cuando su velocidad invierte la dirección. a) Calcule K. b) La energía real de la partícula

alfa usada en el experimento de Rutherford y sus colaboradores y que condujo al descubrimiento del

concepto del núcleo atómico era de 5 MeV. ¿A qué conclusión llega usted?.

22. Calcule la velocidad de escape de un electrón de la superficie de una esfera cargada uniformemente de 1.22

cm de radio y 1.76 X 10-15

C de carga total. Desprecie las fuerzas gravitatorias.

El potencial de la esfera en la superficie es de

, por otro lado si solo la fuerza eléctrico

interactúa, entonces , así que tenemos, además K = -U, por lo tanto, ∆U = e(V) = 2 X 10-22

J.

Luego tenemos que 2 X 10-22

J = mv2/2 =>

/s

23. Una carga puntual tiene q=1.16 μC. Considérese el

punto A, que está a 2.06 m de distancia, y el punto B,

que está a 1.17 m de distancia en dirección

diametralmente opuesta, como en la figura a. a)

Halle la diferencia de potencial VA-VB. Repita si los

puntos A y B se localizan como en la figura b.

Tenemos que la diferencia de potencial debida a una carga

puntual es:

El potencial es el mismo en la figura b).

24. La mayor parte del material que forma los anillos de Saturno tiene la forma de diminutas partículas de

polvo que tienen radio del orden de 1μm. Estos granos están en una región que contiene un gas ionizado

diluido, y capturan electrones en exceso. Si el potencial eléctrico en la superficie de un grano es de -400V,

¿Cuántos electrones en exceso ha capturado?

El potencial de una caga puntual es

, así al despejar q de esta expresión tenemos que q = - 4.45 X 10

-14 C, o

bien, q = 27 813 electrones en exceso.

25. Cuando un vehículo espacial se mueve a través del gas ionizado diluido de la ionosfera de la Tierra, su

potencial cambia típicamente en -1 V antes de completar una revolución. Si se supone que el vehículo es

una esfera de 10 m de radio, calcule aproximadamente la cantidad de carga que recoge.

De nuevo el potencial de una carga puntual es de

, así al despejar q de esta expresión tenemos que q = - 1.1

nC, o bien, q = 6.9 Giga electrones en exceso.

26. Una partícula de masa m, carga q>0, y energía cinética inicial K es proyectada desde el infinito hacia un

núcleo pesado de carga Q, que se supone tiene una posición fija en nuestro marco de referencia. a)Si la

puntería es perfecta, ¿cuán cerca del centro del núcleo está la partícula cuando llega instantáneamente al

reposo? b) Con una puntería imperfecta en particular, la máxima aproximación de la partícula al núcleo es

el doble de la distancia determinada en a). Determine la velocidad de la partícula en esta distancia de

aproximación más cercana. Suponga que la partícula no alcanza la superficie del núcleo.

Potencial eléctrico. Como la partícula q llega al reposo entonces su energía cinética es cero y su energía potencial final es diferente de pero

contrario a su energía potencial inicial que es cero. Luego por el principio de la conservación de la energía tenemos – Ki

+ Uf = 0 => Uf = Ki, así que

Con ∆V el potencial debido a la carga puntual Q y r la distancia en la cual la partícula q llega al reposo. Por lo tanto la

distancia es:

Para una distancia del doble de la anterior, tenemos que la velocidad a la distancia pedida es v, tomamos el cambio de

energía cinética igual al cambio de la energía potencial en los puntos dados, pero al inicio U=0, así:

27. Una gota esférica de agua con una carga de 32 pC tiene un potencial de 512 V en su superficie. a) ¿cuál es

el radio de la gota? b) Si dos de tales gotas de la misma carga y radio se combinan para formar una sola

gota esférica ¿Cuál es el potencial en la superficie de la nueva gota así formada?

Tratamos a la gota como una carga puntual con toda su carga contenida en su centro, y tomamos como punto de

referencia el punto en su superficie, asi por la ecuación del potencial de una carga puntual

al despejar r,

tenemos que:

La densidad de la gota es la misma que al inicio, y su masa será del doble, por lo que el radio final de la doble gota será

Por la conservación de la carga, se debe cumplir que q + q = qi = qf, Por lo tanto la carga de la gota doble es 64 pC.

Finamente de la ecuación del potencial de una carga puntual tenemos que:

28. Supóngase que la carga negativa de una moneda de cobre de un centavo fuese retirada y se llevara a una

distancia lejos de la Tierra – quizá a una galaxia distante – y que la carga positiva estuviese distribuida

uniformemente sobre la superficie de la Tierra. ¿En cuánto cambiara el potencial eléctrico en la superficie

de la Tierra?

En un punto arbitrario el potencial es dado por

, tomando el campo eléctrico distribuido

uniformemente en la superficie de la tierra tenemos que el campo es dado por

, pero tomemos q=σA, así que

29. A menudo se observa un campo eléctrico de aproximadamente 100 V/m cerca de la superficie de la Tierra.

Si este campo fuese el mismo en toda la superficie, ¿cuál sería el potencial eléctrico de un punto en la

superficie?

Tenemos lo siguiente, para un campo eléctrico uniforme,

tomando d igual al radio terrestre.

Potencial debido a un conjunto de cargas puntuales

30. La molécula de amoniaco NH3 tiene un momento dipolar eléctrico

permanente igual a 1.47 D, en donde D es la unidad de debye con un valor

de 3.34 X 10-39

Cm. Calcule el potencial eléctrico debido a una molécula de

amoniaco en un punto alejado a 52 mm a lo largo del eje del dipolo.}

De la figura, tenemos que el voltaje del dipolo es:

Pero tomamos r2 = x+d/2, y r1 = x-d/2, y además la carga de la molécula es de 10e.,

recuerde también que d=p/q.Así que:

31. a)Para la figura, encuentre una expresión de VA- VB b)

¿se reduce su resultado a la respuesta esperada cuando

d=0? ¿Cuándo a=0? ¿Cuándo q=0?

Primero calculamos el potencial en los puntos A y en B, así

Luego la diferencia de potencial es

Con este resultado si d=0, la diferencia de potencial es cero, lo cual es cierto pues en este punto A=B y tiene una carga –

q y otra +q a la misma distancia.

Si a=0, entonces ambas cargas estarán a una distancia d la una de la otra. Por nuestra relación conforme a -> 0, la

diferencia de potencial se hace infinita y no existe cuando a=0.

Si q=0 el potencial también será cero y esto concuerda con nuestra expresión hallada.

32. En la figura, ubique los puntos, si los hay, a) cuando V=0 y b) cuando E=0. Consideré únicamente los puntos

sobre el eje.

Un punto donde V=0 sería donde se tendría que tener en el infinito o bien a una distancia lo suficientemente lejos de

ambas cargas.

Por otro lado en punto donde el campo sea cero se localiza entre ambas cargas, pues aquí las flechas de campo son

opuestas, y además este sitio debe estar más cercano a la carga q. Así:

33. Una carga puntual q1=+6e está fija en el origen de

un sistema de coordenadas rectangulares, y una

segunda carga puntual q2=-10e está fija en x=9.6

nm, y=0. El lugar geométrico de todos los puntos en

el plano XY, cuando V=0, en un círculo centrado en

el eje X, como se muestra en la figura. Halle a) la

ubicación xe del centro del círculo y b) el radio R del

círculo. c) ¿Es también un círculo la equipotencial

V=5V?

Como la diferencia de potencial en un punto sobre el eje x que

interseque con el círculo es cero tenemos:

Potencial eléctrico.

con x1 la distancia del origen a la carga q1.

Ahora tomemos como punto de referencia un puto sobre el eje –x donde V=0, aquí,

Con x la distancia del origen al intersección del eje –x con el circulo V=0.

Finalmente el diámetro del circulo es de 18 nm y por lo tanto el radio es de 9nm, además el punto xc está en una

distancia del origen de (3.8 – 9nm) = -5.2 nm.

34. Dos cargas q=+2.13 μC están fijas en el espacio separadas por una distancia d=1.96 cm, como se muestra en

la figura 34. a)¿Cuál es el potencial eléctrico en el punto C? b) Luego se lleva a una tercera carga Q=+1.91

μC lentamente desde el infinito hasta C. ¿Cuánto trabajo debe realizarse? c)¿Cuál es la energía potencial U

de la configuración cuando la tercera carga está en su lugar?

El potencial eléctrico en el punto C, donde r = 2

-1/2d, es

35. Para la configuración de la figura, demuestre que V(r) para los puntos en el eje hirizontal, suponiendo que

r>>d, está dado por

Calculemos el campo debido a un dipolo y la carga aislada q, así, por superposición

Como r>>d el termino

se puede reescribir como

o bien,

pero el segundo termino tiende a

cero pues r>>d, así que solo consideraremos el primer término, por lo tanto,

El potencial eléctrico de las distribuciones continuas de carga.

36. La figura muestra, de canto, una lámina “infinita” de densidad de carga σ. a) ¿Cuánto trabajo realiza el

campo eléctrico de la lámina cuando una pequeña carga de prueba positiva q0 se lleva desde una posición

inicial, sobre la lámina, hasta una posición final, ubicada a una distancia perpendicular z de la lámina? b)

Use el resultado de a) para demostrar que el potencial eléctrico de una lámina infinita de carga puede

escribirse como

donde V0 es el potencial en la superficie de la lámina.

Tenemos la siguiente ecuación

Además por la ley de Gauss sabemos que el campo debido a la lamina infinita de carga es E=σ/2ϵ0. Por lo tanto el

trabajo será:

37. Una carga eléctrica de -9.12 nC está distribuida uniformemente alrededor de un anillo de 1.48 m de radio

que se encuentra en el plano YZ con su centro en el origen. Una partícula que tiene una carga de -5.93 pC

está ubicada sobre el eje x en x=3.07 m. Calcule el trabajo realizado por un agente externo para mover la

carga puntual hasta el origen.

El potencial a una distancia x perpendicular al centro del anillo es

, con R el radio del anillo. El cambio de

energía potencial eléctrica de la carga q0 al pasar del punto x al origen es el negativo del trabajo, así como

, por lo tanto el trabajo de pasar a la carga de prueba de la distancia x al origen será:328

38. Una cantidad total de carga positiva Q es distribuida en un anillo circular plano, no conductor, de radio

interna a y radio externo b. La carga se distribuye de modo que la densidad de carga está dada por σ = k/r3,

en donde r es la distancia desde el centro del anillo a cualquier punto sobre él. Demuestre que el potencial

en el centro del anillo está dado por

El potencial de un anillo con carga, en el punto P. Considere el elemento dq, el

potencial dV debido a este elemento esta dado por la ecuación

. Luego nos interesa integrar desde r=a hasta r=b y al sustituir el valor de

dq=σA, con A el área del anillo igual a π(b2-a

2). Tenemos:

Potencial eléctrico.

Por otro lado como Q=

Superficies equipotenciales

39. Dos cargas lineales y paralelas al eje z. Una, de carga por unidad de longitud +λ, está a una distancia a a la

derecha de este eje. La otra, de carga por unidad de longitud –λ, está a una distancia a a la izquierda de

este eje (las líneas y el eje z están en el mismo plano.) Dibuje algunas de las superficies equipotenciales.

40. Al moverse desde A hasta B a lo largo de una línea de un campo eléctrico, este realiza un trabajo de 3.94 X

10-19

J sobre un electrón en el campo ilustrado en la figura. ¿Cuáles son las diferencias en el potencial

eléctrico a) VB – VA , b) VC – VA , y c) VC – VB?

Como y al moverse el electrón de A a B, realizó un trabajo de 3.94 X 10-19

J, entonces la diferencia de

potencial del punto B a A, es W/q0, así que VB – VA

= 2.46 V.

La diferencia de potencial de C y A es la misma

que anteriormente pues C esta al mismo

potencial que el punto B.

Y por lo tanto la diferencia de potencial entre el

punto B y C es cero.

41. Considérese una carga puntual con q

= 1.5 X 10-8

C. a)¿Cuál es el radio de una superficie

equipotencial que tenga un potencial de 30 V? b) Estarán uniformemente espaciadas las superficies cuyos

potenciales difieren en una cantidad constante (digamos, 1 V)?

Como las superficies equipotenciales de una carga puntual son esferas concéntricas, a una distancia r de la carga el

potencial es

, así que al despejar r de la ecuación anterior y al sustituir los valores tenemos que el radio de la

superficie equipotencial de 30 V es de r = 4.5 m.

42. En la figura trace cuantitativamente a) las líneas de fuerza y b) las intersecciones de las superficies

equipotenciales con el plano de la figura. (SUG: Considere el comportamiento cerca de cada carga puntual y

a distancias grandes del par de cargas.)

43. Las líneas de carga, paralelas y largas tienen las densidades lineales de carga relativas mostradas en la

figura. Dibuje algunas líneas de fuerza y las intersecciones de algunas superficies equipotenciales con el

plano de la figura.

Cálculo del campo a partir del potencial.

44. Supóngase que el potencial eléctrico varía a lo largo del eje x como se muestra en la figura. De los intervalos

mostrados, determine los intervalos en los que Ex tiene a) su máximo valor absoluto y b) el mínimo.

c)Grafique Ex contra x.

Potencial eléctrico.

45. Dos placas metálicas paralelas y grandes están separadas por 1.48 cm y contienen cargas iguales pero

opuestas sobre sus superficies enfrentadas. La placa negativa hace tierra y se considera que su potencial es

cero. Si el potencial en medio de las placas es de +5.52 V, ¿cuál es el campo eléctrico es esta región?

Como ∆V = ∆U/q0 = -W/q0 = Fd/q0= Ed => E = V / d, por lo tanto , E = 5.52V / 0.74 cm = 746 V/m.

46. De la ecuación encuentre una expresión para E en los puntos axiales de un anillo cargado uniformemente.

Tenemos que el potencial de un disco cargado en un punto x perpendicular a su centro es

Por simetría el único componente del campo eléctrico es en la dirección z, por lo que tenemos que

, así que:

igual que en secciones anteriores.

47. Calcule el gradiente radial del potencial, en V/m, en la superficie de un núcleo de oro.

48. En el problema 49 del cap 29, trata del cálculo de Rutherford del campo eléctrico, quién dio una distancia r

del centro de un átomo. Rutherford dio también el potencial eléctrico como

.

a)Demuestre cómo la expresión para el campo eléctrico dada en el problema 49 del cápitulo 29 se deduce

de esta expresión para V. b)¿Por qué esta expresión para V no tiende a cero cuando r->∞ ?

Tomamos el vector de posición r=(x, y, z), así tomamos el valor de r en la ecuación para V como r = (x2 + y

2 + z

2)

1/2. Luego

tendremos:

y como

, entonces derivando la ec. anterior:

Si los componentes que no aparecen en las derivadas parciales son cero, entonces se tendrá:

49. El potencial eléctrico V en el espacio entre las placas cierto de tubo al vacío, y que ahora está en desuso,

está dado por V = 1530 x2, donde V está en volts si x, la distancia desde una de los placas, está en metros.

Calcule la magnitud y la dirección del campo eléctrico en x = 1.28 cm.

Sabemos que

, si suponemos que E es perpendicular a las equipotenciales, tenemos:

50. Una carga por unidad de longitud λ está distribuida uniformemente a lo

largo de un segmento de línea recta de longitud L. a) Determine el

potencial (eligiendo que sea cero en el infinito) en un punto P a una

distancia y de un extremo del segmento cargado y en línea con él. b) Use

el resultado de a) para calcular la componente del campo eléctrico en P

en la dirección y (a lo largo de la línea). c) Determine la componente del

campo eléctrico en P en una dirección perpendicular a la línea recta.

Supongamos que la línea se comporta como una carga puntual en el punto P, así que

el potencial debido a la línea de carga en el punto P es

, pero q=λL, así que

el potencial es:

Luego como E cosθ=-dV/dy =>

el ángulo es cero pues las equipotenciales son perpendiculares a las líneas del campo.

c)El campo en esta posición por la ley de Gauss es

51. En una varilla, de longitud L, que se encuentra a lo largo del eje x con uno de sus extremos en el origen

(x=0), como se muestra en la figura, existe una distribución de carga por unidad de longitud dada por λ = kx,

donde k es una constante. a) Si se considera que el potencial electrostático en el infinito sea cero, encuentre

V en el punto P sobre el eje y. b) Determine la componente vertical Ey del campo eléctrico en P a partir del

resultado de la parte a) y también por el cálculo directo. c)¿Por qué no puede determinarse Ez, la

componente horizontal del campo eléctrico en P, usando el resultado de la parte a)? d) ¿A que distancia de

la varilla, a lo largo del eje y, el potencial es igual a la mitad del valor en el extremo izquierdo de la varilla?

Tenemos que

Tenemos que r = (x2 + y

2)

1/2 y dq = λdx=kxdx, donde x va

de x=0, hasta x=L.

Por lo tanto tenemos:

Por otro lado, como

, así que el componente y

Potencial eléctrico. del campo será:

EL componente z no puede determinarse de a) por que no está ésta variable en la ecuación.

El valor del potencial en el extremo izquierdo de la varilla es, con y=0,

Y el valor medio de este potencial es

, luego igualando con el potencial en un punto y tenemos:

Un conductor aislado.

52. Un cascaron esférico de paredes delgadas, conductor, de 20 cm de radio exterior, contiene una carga de 3

μC. Dibuje a) la magnitud del campo eléctrico E y b) el potencial V contra la distancia r desde el centro del

cascaron.

Para los puntos dentro del cascaron el campo eléctrico es cero y para los puntos fuera o en la superficie del conductor el

campo es dado por la ecuación

, con r la distancia del origen de la esfera al punto de observación.

Para los puntos dentro del conductor tenemos que el potencial es dado por

, , y con E=σ/ϵ0, donde se

debe tener el mismo potencial en todo punto interior del conductor, y así V=r σ/ϵ0 con r=0 hasta 1 y σ = q/4πr

2. En los

puntos fuera del conductor el potencial es dado por

.

53. Considérense dos esferas conductoras separadas por una gran distancia, 1 y 2, teniendo, la segunda, el

doble del diámetro que el de la primera. La esfera más pequeña tiene inicialmente una carga positiva q y la

más grande está inicialmente sin carga. Se conectan ahora las esferas con un alambre delgado y largo. a)

¿Cómo se relacionan los potenciales finales V1 y V2 de las esferas? b) Halle las cargas finales q1 y q2 sobre las

esferas en términos de q.

El potencial es el mismo es decir, V1 = V2.

Como los potenciales son iguales de las dos esferas, entonces

lo cual nos da

, de donde R2 = 2R1, así que

y por otro lado por la ley de conservación de la carga, q1 +

q2 = q. Así tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas. Luego al resolver tenemos: q2 = q/3, y q1 = 2q/3.

54. Si la tierra tuviera una carga neta equivalente a 1 e/m2 de área superficial (una hipótesis muy alejada de la

realidad) a) ¿ Cuál sería el potencial de la tierra? b) ¿Cuál sería el campo eléctrico debido a la tierra justo

por arriba de su superficie?

Tenemos que σ = q / A, y por la ecuación

, como todos los puntos están a la misma distancia del

origen, sale r de la integral y así,

Por lo tanto el potencial será, V = 115 mV.

El campo viene dado por

, tomando el ángulo como 0° y ds como dr componente radial. Por lo tanto,

igual al campo debido a un conductor en su superficie.

55. Una carga de 15 nC puede producirse por simple frotamiento. ¿A qué potencial elevaría dicha carga a una

esfera conductora aislada de 16 cm de radio?

Como el potencial esta dado por la ecuación

, así que el potencial será de V = 843V.

56. Encuentre a) la carga y b) la densidad de carga sobre la superficie de una esfera conductora 15.2 cm de

radio cuyo potencial es de 215 V.

De la ecuación

, al despejar q se tiene que q = 3.6 nC. Como σ=q/A, σ = 12.4 nC/m

2.

57. Considere que la Tierra sea un conductor esférico de 6370 km de radio y que inicialmente esté descargada.

Una esfera metálica, que tiene un radio de 13 cm y una carga de -6.2 nC es puesta en contacto eléctrico con

la Tierra. Demuestre que, efectivamente, este proceso descarga a la esfera, al calcular la fracción de los

electrones en exceso inicialmente presentes en la esfera que permanecen después de que la esfera ha sido

“aterrizada”.

Como al inicio se encuentran al mismo potencial la esfera y la Tierra entonces tenemos

lo cual nos da

Luego por la conservación de la carga q1 + q2 = -6.2 nC = 378 Te. Y resolviendo para obtener la carga final de la esfera q1,

tenemos q1 = 2.2 X 10-26

C = 137 ne.

58. Dos esferas conductoras una de 5.88 cm de radio y la otra de 12.2 cm de radio, contienen cada una una

carga de 28.6 nC y están muy lejos una de la otra. Si posteriormente las esferas se conectan por medio de

un alambre conductor, encuentre a) la carga final sobre cada esfera y b) el potencial de cada una de ellas.

Si todo el conjunto se encuentra a algún potencial elevado V, los potenciales iguales de las dos esferas, son:

lo cual nos da

= 0.48

Además por la conservación de la carga tenemos, que q1 + q2 = 2(28.6 nC) = 56.4 nC. Luego resolviendo para las cargas

tenemos, q2 = 38 nC y q1 = 18.4 nC.

Finalmente el potencial es,

59. Considérese un cascaron esférico aislado, delgado y conductor que se carga uniformemente a una densidad

σ(C/m3) constante de carga. ¿Cuánto trabajo implicaría mover una pequeña carga de prueba positiva q0 a)

desde la superficie de la esfera al interior, a través de un pequeño orificio, b) desde un punto a otro sobre la

superficie, independientemente de la trayectoria, c) desde un punto a otro dentro de la esfera, y d) desde

cualquier punto P fuera de la esfera sobre cualquier trayectoria, ya sea que atraviese o no a la esfera, de

regreso a P? e) Para las condiciones dadas, ¿importa o no que la esfera sea conductora?

Potencial eléctrico. Como W = Fd, con F la fuerza eléctrica, pero al estar dentro no recibe fuerza alguna por los teoremas de los cascarones.

Por lo tanto el trabajo es cero.

Todos los puntos dentro o fuera de la esfera tienen el mismo potencial entonces al moverla de un sitio a otro dentro del

conductor o de un punto a otro en la superficie, el potencial es constante y asi el trabajo será cero pues W = -∆U = ∆V q0

= 0q0.

Como la fuerza eléctrica es conservativa entonces no importa la trayectoria y el potencial sigue siendo cero.

No importa que la esfera sea o no conductora pues por el teorema de los cascarones se tiene el resultado así como por

la ley de Gauss para conductores.

60. Dos esferas conductoras idénticas de 15 cm de radio están separadas por una distancia de 10 m, ¿Cuál es la

carga sobre cada esfera se el potencial de una es de +1500 V y el de la otra es de -1500 V? ¿Qué

suposiciones ha hecho usted?

Como el sistema esta bajo la misma magnitud de potencial entonces al ser también los radios y de las carga iguales

entonces las cargas deben ser iguales pero opuestas, siendo

61. El objeto metálico de la figura es un perfil de revolución alrededor del eje horizontal. Si el objeto está

cargado negativamente, dibuje algunas equipotenciales y líneas de fuerza. Use un razonamiento físico más

que matemático.

62. Una esfera de cobre cuyo radio es de 1.08 cm tiene un recubrimiento superficial muy delgado de níquel.

Algunos de los átomos de níquel son radioactivos, emitiendo cada átomo un electrón conforme se

desintegra. La mitad de estos electrones entran a la esfera de cobre, depositando cada uno de ellos 100keV

de energía. La otra mitad de los electrones se escapa, cada uno con una carga de –e. El recubrimiento de

níquel tiene una actividad de 10 mCi (= 10mCuries = 3.7 X108 decaimientos radiactivos por segundo). La

esfera está colgada de un hilo largo, no conductor, y aislada de su entorno. ¿Cuánto tiempo le tomará al

potencial de la esfera aumentar en 1000V?

63. Una esfera metálica cargada de 16.2 cm de radio tiene una carga nta de 31.5 nC. a) Halle el potencial

eléctrico en la superficie esférica. b)¿A qué distancia de la superficie de la esfera ha decrecido el potencial

en 550 V?