4 POLINOMIOS - INTEF -...

4 POLINOMIOS

P A R A E M P E Z A R

Un cuadrado tiene de lado x centímetros. Escribe la expresión algebraica correspondiente a su área.

Expresión algebraica: A � x2

¿Cuáles de las siguientes expresiones algebraicas son monomios y cuáles polinomios?

a) �13

� x2 b) abc c) �1x

� d) x2 � y2

a) Monomio b) Monomio c) Monomio d) Polinomio

Indica los coeficientes y los grados de los siguientes monomios.

a) 2a2bc c) 3x2 y2

b) �x5 d) ac

Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones para x � 5 e y � 4.

a) x2 � 2xy � y2 b) �12

� (x � xy) � 3y3

a) 52 � 25 � 4 � 42 � 141 b) �12

� (5 � 5 � 4) � 3 � 43 � 184,5

Gustave Eiffel relacionó la presión del viento (w) con la altura de la torre (x) mediante la siguiente ex-presión polinómica.

w(x) � 0,69 � 1,53 � 10�3x � 3,9 � 10�5x2 � 9,22 � 10�8x3

¿Cuál será la presión del viento ejercida a 50 metros de altura?

w(50) � 0,69 � 1,53 � 10�3 � 50 � 3,9 � 10�5 � 502 � 9,22 � 10�8 � 503 � 0,699

Operaciones con polinomios

P A R A P R A C T I C A R

Realiza las siguientes operaciones.

a) 5x2 � 3x2 � x2 d) �(2yz � yz � 4yz2 � yz2)

b) 4xy � 10xy � 2xy e) 79x � (9y � 7x)

c) 30xy3 � 9xy3 � 4x3y f) 5x2z � 3 (2x2zt � x2z

a) 5x2 � 3x2 � x2 � 7x2 d) �(2yz � yz � 4yz2 � yz2) � �(yz � 4yz2 � yz2) � �yz � 4yz2 � yz2

b) 4xy � 10xy � 2xy � �4xy e) 79x � (9y � 7x) � 86x �9y

c) 30xy3 � 9xy3 � 4x3y � 39xy3 � 4x3y f) 5x2z � 3 (2x2zt � x2z) � 2x2z � 6x2zt

4.1

5

4

3

2

1

70

Monomio Coeficiente Grado

2a2bc 2 4

�x5 �1 5

3x2 y2 3 4

ac 1 2

Realiza los siguientes productos.a) 2x3 � 3xy3 � 6x2y3 d) 7x3y4 � 10xy6 � �

12

�xy

b) 3x2y � 5x3y3 � 4y4 e) 6xy4 � �32

�y3 � �152�x4

c) �2x3 � x2 � x f) ��12

�x � 6x4 � ��23

�� x5

a) 2x3 � 3xy2 � 6x2y3 � 36x6y5 d) 7x3y4 � 10xy6 � �12

�xy � 35 x5y11

b) 3x2y � 5x3y3 � 4y4 � 60x5y8 e) 6xy4 � y3 � �152�x4 � �

52

�x5y7

c) �2x3 � �12

�x2 � x � �x6 f) ��12

�x � 6x4 � ��23

��x5 � 2x10

Calcula las siguientes operaciones. a) 6x4 : 2x3 d) 40xy4z2 : 10y3zb) (8x5 : 2x2)4 e) (5x2yz2 � 3xy) : yz2

c) 4x2y : �12

�xy f) ��23

�x2y�2

: �12

�xy

a) 6x4 : 2x3 � 3x d) 40xy4z2 : 10y3z � 4xyz

b) (8x5 : 2x2)4 � 4x12 e) (5x2yz2 � 3xy) : yz2 � 15x3y

c) 4x2y : �12

�xy � 8x f) ��23

�x2y�2

: �12

�xy � �89

� x3y

Dados los polinomios: P(x) � x2 � 5x � 4, Q(x) � 3x2 � 6x � 4 y R(x) � �2x2 � x � 1, realiza las ope-raciones indicadas.a) P(x) � Q(x) d) P(x) � Q(x) � R(x)

b) P(x) � Q(x) e) P(x) � Q(x) � R(x)

c) Q(x) � P(x) f) P(x) � [Q(x) � R(x)]

a) P(x) � Q(x) � 4x2 � x d) P(x) � Q(x) � R(x) � 2x2 � 2x � 1

b) P(x) � Q(x) � �2x2 � 11x � 8 e) P(x) � Q(x) � R(x) � �4x2 � 10x � 7

c) Q(x) � P(x) � 2x2 � 11x � 8 f) P(x) � [Q(x) � R(x)] = �12x � 9

Realiza las siguientes operaciones.a) 4xy2 � x � (y2 � 5xy) c) (20x3y2 � 15x5y4 � 10x4y) : 5xy

b) 5z3 � (z4 � 3z2) d) (4x � 2x2y � �12

�xy2 ) : 2x

a) 4xy2 � x � (y2 � 5xy) � 4xy 2 � xy 2 � 5x 2y � 3xy2 � 5x2y c) (20x3y2 � 15x5y4 � 10x4y) � 5xy � 4x2y � 3x4y3 � 2x3

b) 5z3 � (z4 � 3z2) � 5z7 � 15z5 d) (4x � 2x2y � �12

� xy 2) � 2x � 2x3y3

Ejercicio resuelto

Saca factor común en esta expresión.

6x3y2 � 9x2y � 12xy2

Se busca el término común en todos los términos del polinomio y se expresa como producto de un monomio por un polinomio:

6x3y 2 � 9x2y � 12xy 2 � 3xy (2x2y � 3x � 4y)

4.6

4.5

4.4

4.3

4.2

71

Saca factor común en las siguientes expresiones.

a) 49y2 � 35y4 c) 2x5y � x2y2 � 3x4y

b) 8x5 � 4x2 � 12x4 d) x3y2t � x2yt � xy2t3

Se busca el término común en todos los términos del polinomio y se expresa como producto de un monomio por un polinomio.

a) 49y2 � 35y4 � 7y2 (7 � 5y2) c) 2x5y � x2y2 � 3x4y � x2y (2x3 � y � 3x2)

b) 8x5 � 4x2 � 12x4 � 4x2(2x3 � 1 � 3x2) d) x3y2t � x2yt � xy 2t 3 � xyt (x2y � x � yt2)

Dados: P(x) � 3x2 � x � 6 y Q(x) � �2x2 � x � 1, realiza las siguientes operaciones.

a) 2 � P(x) c) 2 � P(x) � 3 � Q(x)

b) �3 � Q(x) d) �34

� P(x) � �56

� Q(x)

a) 2 � P(x) � 6x2 � 2x � 12

b) �3 � Q(x) � 6x2 � 3x � 3

c) 2 � P(x) � 3 � Q(x) � 6x2 � 2x � 12 � 6x2 � 3x � 3 � 12x2 � 5x � 9

d) �34

� P(x) � �56

� Q(x) � �94

� � x2 � �34

� � x � �148� � �

160�x2 � �

56

�x � �56

� � �1172�x2 � �

1192� � �

4142�

Calcula los siguientes productos de polinomios.

a) (x � 6y)(x � 6y) e) (x2 � 2y � 1)(2x � 3y)

b) (2x � 1)(3x2 � 5) f) (5x3y � 3x)(4xy2 � xy3 � y)

c) (3xy � 2x)(3x2 � 5) g) (abc � 2b2 � 3a)(a2b � 3c3)

d) (a2 � bc)(a � b � bc) h) 2x (4x2y � 3x)(5xy3 � x2y)

a) (x � 6y)(x � 6y) � x2 � 36y2

b) (2x � 1) (3x2 � 5) � 6x2 � 10x � 6

c) (3xy � 2x) (3x2 � 5) � 9x3y � 15xy � 6x2 � 10x

d) (a2 � bc)(a � b � bc) � a3 � a2b � a2bc � abc � b2c � b2c2

e) (x2 � 2y � 1) (2x � 3y) � 2x3 � 3x2 y � 4xy � 6y2 � 2x � 3y

f) (5x3y � 3x) (4xy2 � xy3 � y) � 20x4y3 � 5x4y4 � 5x3y2 � 12x2 y2 � 3x2 y3 � 3xy

g) (abc � 2b2 � 3a) (a2b � 3c3) � a3bc � 3abc4 � 2ab3 � 6b2c3 � 3a3b � 3ac3

h) 2x (4x2y � 3x) (5xy3 � x2y) � 40x4y4 � 8x5y2 � 30x3y3 � 6x4y

Dados los polinomios: P(x) � 4x2 � 6x � 1, Q(x) � 2x2 � 2x � 7 y R(x) � 2x � 5, realiza las siguientesoperaciones.

a) P(x) � Q(x) b) P(x) � [R(x)]2

a) P(x) � Q(x) � 8x4 � 4x3 � 42x2 � 40x � 7

b) P(x) � [R(x)]2 � (4x2 � 6x � 1) (4x2 � 10x � 25) � 16x4 � 64x3 � 154x2 � 140x � 25

Dados los polinomios: P(x) � x2 � x � 1, Q(x) � 2x2 � 3x � 7 y R(x) � 2x2 � 5x, realiza las siguientesoperaciones.

a) [P(x) � Q(x)] � R(x) c) [2P(x) � Q(x)] � R(x)

b) 2P(x) � 5Q(x) d) [P(x) � Q(x)] � R(x)

a) [P(x) � Q(x)] � R(x) � (3x2 � 2x � 8) (2x2 � 5x) � 6x4 � 11x3 � 26x2 � 30x

b) 2P(x) � 5Q(x) � (2x2 � 2x � 2) (2x2 � 3x � 7) � 4x4 � 2x3 � 24x2 � 8x � 14

c) [2P(x) � Q(x)] � R(x) � (�5x � 5) (2x2 � 5x) � �10x3 � 35x2 � 25x

d) [P(x) � Q(x)] � R(x) � (�x2 � 4x � 6) (2x2 � 5x) � 2x4 � 3x3 � 32x2 � 30x

4.11

4.10

4.9

4.8

4.7

72

P A R A A P L I C A R

La diferencia de los cuadrados de dos números consecutivos, ¿es un número par o impar? Razona tu res-puesta.

Números consecutivos: x, x � 1

Expresión o diferencia de cuadrados:

(x � 1)2 � x2 � x2 � 2x � 1 � x2 � 2x � 1

Por tanto, la diferencia de los cuadrados es un número impar.

Dos números naturales consecutivos se elevan al cuadrado. ¿A qué es igual su diferencia? Aplícalo paracalcular la diferencia de los cuadrados de 9 y 8.

Números naturales consecutivos: x, x � 1

Diferencia de cuadrados: (x � 1)2 � x2 � x2 � 2x � 1 � x2 � 2x � 1

La diferencia de los cuadrados de dos números consecutivos es igual a la suma de ambos.

Aplicación: 92 � 82 � (9 � 8)(9 � 8) � 17

El Parque del Canal es cuadrado y tiene 100 metros de lado. Está rodeado por un paseo pavimentadode x metros de ancho, para poder andar y correr. ¿Cuál es la superficie del paseo en función de la an-chura?

Diferencia de cuadrados: (100 � x)2 � 1002

Se opera: 1002 � 200x � x2 � 1002

Se opera: 200x � x2 metros cuadrados.

O también: x(200 � x)

Un cuadrado tiene de lado 2x. Se aumenta 2 unidades y se reduce la altura a la mitad. Determina la ex-presión algebraica que da el área de la figura resultante.

Lado del cuadrado: 2x

Valor del lado si se incrementa 2 unidades: 2x � 2.

Altura si se reduce el lado a la mitad: x.

Área de la figura resultante: (2x � 2)x � 2x2 � 2x.

Escribe la expresión que da el número de diagonales de un polígono regular. ¿Qué polígono regular tie-ne 119 diagonales?

Número de lados del polígono: x

Número de diagonales del polígono: �x(x �

23)

� � 119

Expresión polinómica: x2 � 3x � 238

Ecuación de segundo grado asociada: x2 � 3x � 238 � 0

Soluciones de la ecuación: 17, �14

Solución válida: polígono convexo de 17 lados

Un centro escolar tiene 350 alumnos. El primer día de clase cada alumno saluda a todos los demás.

a) ¿Cuál es la fórmula general si el número de alumnos es x?

b) ¿Cuál sería el número de saludos para 350 alumnos?

a) Sea x es el número de alumnos.

Cada alumno saluda a los demás menos a sí mismo: x � 1.

Como se saludan todos los alumnos: x(x � 1).

Para no contar dos veces el saludo entre dos niños: �x(x �

21)

�

b) Saludos: �350(35

20 � 1)� � 61 075

4.17

4.16

4.15

4.14

4.13

4.12

73

Potencia de polinomios. Identidades notables


Calcula las siguientes potencias.

a) (m � 2n)2 d) (�4x � 5y)2

b) (�5 � 9b)2 e) (a � b � c)2

c) (2a � 3b)2 f) (3x � y � 2z)2

a) (m � 2n)2 � m2 � 4n2 � 4mn

b) (�5 � 9b)2 � 25 � 81b2 � 90b

c) (2a � 3b)2 � 4a2 � 9b2 � 12ab

d) (�4x � 5y)2 � 16x2 � 25y2 � 40xy

e) (a � b � c)2 � a2 � b2 � c2 � 2ab � 2ac � 2bc

f) (3x � y � 2z)2 � 9x2 � y2 � 4z2 � 6xy � 12xz � 4yz

Calcula las siguientes potencias de polinomios.

a) (2x � y)3 d) (�3x � y)3

b) (y2 � z2)3 e) (4a � 5)3

c) (2a � b)3 f) (3x � y)3

a) (2x � y)3 � 8x3 � y3 � 12x2y � 6xy2 d) (–3x � y)3 � �27x3 � y3 � 27x2y � 9y2

b) (y2 � z2)3 � y6 � z6 � 3y4z2 � 3y2z4 e) (4a � 5)3 � 64a3 � 125 � 240a2 � 300a

c) (2a � b)3 � 8a3 � b3 � 12a2b � 6ab2 f) (3x � y)3 � 9x3 � y3 � 27x2y � 27xy2

Realiza las siguientes operaciones utilizando las identidades notables.

a) (x � 4)2 e) (4 � 8y)2

b) (9a � 5b)2 f) (3a � 5b)2

c) (4x � 5y)2 g) (2m � 3n)2

d) �x � �13

�y�2

h) (3x � �2�y)2

a) (x � 4)2 � x2 � 8x � 16 e) (4 � 8y)2 � 16 � 64y2 � 64y

b) (9a � 5b)2 � 81a2 � 25b2 � 90ab f) (3a � 5b)2 � 9a2 � 25b2 � 30ab

c) (4x � 5y)2 � 16x2 � 25y2 � 40xy g) (2m � 3n)2 � 4m2 � 9n2 � 12mn

d) �x � �13

�y�2

� x2 � �13

�y2 � �23

�x � y h) (3x � �2�y)2 � 9x2 � 2y2 � 3�2�xy

Realiza las siguientes operaciones utilizando las igualdades notables.

a) (2x2 � 3y)2 d) (2x5 � 6x3)2

b) (5a3 � 2b5)2 e) ��32

�x2 � �13

�x6�2

c) ��a � �34

�b�2

f) ��3�x2 � �2�y3�2

a) (2x2 � 3y)2 � 4x4 � 12x2y � 9y2 d) (2x5 � 3x3)2 � 4x10 � 24x8 � 36x6

b) (5a3 � 2b5)2 � 25a6 � 20a3b5 � 4b10 e) ��32

�x2 � �13

�x6�2

� �94

�x4 � x8 � �19

�x6

c) ��a � �34

�b�2

� a2 � �32

�ab � b2 f) (�3�x2 � �2�y3)2 � 3x4 � 2�3��2�x5 � 36y9

4.21

4.20

4.19

4.18

74

Realiza las siguientes operaciones utilizando las identidades notables.

a) (5x � 8)(5x � 8) c) (x � �2�)(x � �2�)

b) (2x2 � 5x)(2x2 � 5x) d) ��23

�a � b2��23

�a � b2�a) (5x � 8)(5x � 8) � 25x2 � 64 c) (x � �2�)(x � �2�) � x2 � 2

b) (2x2 � 5x)(2x2 � 5x) � 4x4 � 25x2 d) ��23

�a � b2� ��23

�a � b2� � �49

�a2 � b4

Completa el término que falta para obtener el desarrollo del cuadrado de un binomio.

a) x2 � � � 16 d) x2 � 10x � �

b) x4 � 6x2 � � e) � � 24x � 9

c) 4a2 � b2 � � f) 2x2 � � � 2�2�xy

a) x2 � 8x � 16 d) x2 � 10x � 25

b) x4 � 6x2 � 9 e) 4x2 � 24x � 9

c) 4a2 � b2 � 8ab f) 2x2 � y2 � 2�2�xy

Expresa cada polinomio como producto de dos factores utilizando las identidades notables.

a) x2 � 6x � 9 d) �19

�x2 � �1265�

b) 16x4 � 1 e) 81x2 � 2x � �811�

c) 25x6 � 4 � 20x3 f) �20x � x2� 100

a) x2 � 6x � 9 � (x2 � 9x)2 d) �19

�x2 � �1265� � ��

13

�x � �45

�� 13

�x � �45

��b) 16x4 � 1 � (4x2 � 1) (4x2 � 1) e) 81x2 � 2x � �

811� � �9x � �

19

��2

c) 25x6 � 4 � 20x3 � (5x3 � 2)2 f) �20x � x2 � 100 � (x � 10)2

Utiliza las identidades notables para expresar de otra forma los siguientes polinomios.

a) ��2�x � �2��2

c) 2x2 � 2�6�x � 3

b) ��3�x5 � �7�x4� �3x5 � �7�x4� d) 3x4 � 16x2

a) (�2�x � �2�)2 � 2x2 � 4x � 2

b) ��3�x5 � �7�x4� ��3�x5 � �7�x4� � 3x10 � 2�21�x9 � 7x8

c) 2x2 � 2�6�x � 3 � ��2�x � �3��2

d) 3x4 � 16x2 � ��3�x2 � 4x� ��3�x2 � 4x�


Halla el valor numérico para a � 6 y b � 4, de las expresiones algebraicas siguientes utilizando las iden-tidades notables.

a) a2 � 2ab � b2 b) a2 � 2ab � b2

a) a2 � 2ab � b2 � (a � b)2, luego el valor numérico es 102 � 100.

b) a2 � 2ab � b2 � (a � b)2, luego el valor numérico es 22 � 4.

4.26

4.25

4.24

4.23

4.22

75

Los lados de dos salas cuadradas se diferencian en 8 metros, ¿en cuánto se diferencian sus áreas? Utili-za la fórmula de la diferencia de cuadrados.

Medidas de los lados: x � 8 metros y x metros

Diferencia de áreas: (x � 8)2 � x2 � (2x � 8) � 8 � 16x + 64 m2

Estíbaliz tiene un truco para calcular rápidamente la diferencia de los cuadrados de dos números con-secutivos. Averigua cuál es aplicándolo a la expresión: 1012 � 1002.

Números consecutivos: x, x � 1

Diferencia de cuadrados: (x � 1)2 � x2

(x � 1)2 � x2 � x2 � 2x � 1 � x2 � 2x � 1 � x � (x � 1)

Como se ve, la diferencia de los cuadrados es igual a la suma de sus bases.

Por tanto: 1012 � 1002 � 101 � 100 � 201

Utiliza la propiedad de los cuadrados consecutivos de la actividad anterior para calcular estas diferen-cias.

a) 112 � 102 d) 1002 � 992

b) 232 � 222 e) 712 � 702

c) 5012 � 5002 f) 60012 � 60002

a) 112 � 102 � (11 � 10) � 1 � 21

b) 232 � 222 � (23 � 22) � 1 � 45

c) 5012 � 5002 � (501 � 500) � 1 � 1001

d) 1002 � 992 � (100 � 99) � 1 � 199

e) 712 � 702 � (71 � 70) � 1 � 141

f) 60012 � 60002 � (6001 � 6000) � 1 � 12 001

Utilizando la fórmula (a � b)(a � b) � a2 � b2, indica si la diferencia de los cuadrados de dos númerosconsecutivos es par o impar. Razona tu respuesta.

Sean A y B dos números consecutivos: A � B � 1.

Diferencia de cuadrados:

A2 � B2 � (A � B) (A � B)2 � 2A � 1 � A � B

Luego la diferencia es impar.

Demuestra que para cualquier pareja de números pares consecutivos la diferencia de sus cuadrados esigual al cuádruple del número impar intermedio.

Sean A y B dos números pares consecutivos, donde A � B: A � B � 2.

El cuádruple del número impar intermedio será: 4 (B � 1).

Diferencia de cuadrados:

A2 � B2 � (A � B) (A � B)2 � (B � B � 2) (B � 2 � b) � 2(B � 1)2 � 4(B � 1)

Un arquitecto diseña una plaza cuadrada de 40 metros de lado. ¿Cuánto aumentaría su área si el ladocrece x metros? Utiliza este resultado para conocer su incremento si el lado aumenta 5 metros.

Metros cuadrados que crece:

(40 � x)2 � 402 � 1600 � 80x � x2 � 1600 � 80x � x2

Incremento para x � 5: 80x � x2 � 80 � 5 � 25 � 400 � 25 � 425 m2

4.32

4.31

4.30

4.29

4.28

4.27

76

División de un polinomio por x � a. Regla de Ruffini


Realiza las siguientes divisiones de polinomios entre monomios.

a) �3x2

3�x

6x� d)

b) e) �100x

�

8

5�x4

20x6

�

c) �12x3 �

39xx2 � 6x� f)

a) x � 6 d) 7x2 � 4x � 2b) 3x2 � 4x � 8 e) �50x4 � 4x2

c) 4x2 � 3x � 2 f) 2x3 � 4x2 � 8x

Efectúa las siguientes divisiones de polinomios.

a) �12x2

2x�

�6x

1� 8

� f) �4x3 �

x2

1�0x

4� 2

�

b) g) ��xx

4

3

��

55xx

��

33

�

c) �4x2

x�2 �

7x2x

� 3� h) �

xx

4

3

��

xx

3

2

��

xx

2

�

d) ��

63xx

2

��

41

� i)

e) j) �3x

x

4

2

��

5xx

�

3 �4

2�

i) �3x4 � 5x3 � 5x2 � 4x � 2 x2 � x � 4�3x4 � 3x3 � 12x2 � 8 3x2 � 2x � 14 Cociente

�2x3 � 12x2 � 4x � 22x3 � 2x2 � 4x

�14x2 � 4x � 214x2 � 14x � 28

�18x � 26 Resto

e) �3x3 � 7x2 � 4x � 5 x2 � x � 6�3x3 � 3x2 � 18x � 8 3x � 11 Cociente

�11x2 � 14x � 511x2 � 11x � 66

3x � 71 Resto

i) �2x4 � 3x3 � 5x2 � 4x � 1 x2 � 6x � 4�2x4 � 12x3 � 6x2 � 8 6x2 � 8 Cociente

9x3 � x2 � 4x � 1�9x3 � 54x2 � 27x

53x2 � 31x � 1�53x2 � 318x � 159

�287x � 158 Resto

d) �6x2 � 6x � 1 �3x � 46x2 � 8x � 8 2x � 8/3 Cociente

�8x � 18x � 35/3

35/3 Resto

h) �x4 � x3 � x2 x3 � x2 � x�x4 � x3 � x2 � 8 x � 2 Cociente

�2x3

2x3 � 2x2 � 2x2x2 � 2x Resto

c) �4x2 � 7x � 3 x2 � 2x�4x2 � 8x � 8 4 Cociente

15x � 3 Resto

g) �x4 � 5x2 � 5x � 3 x3 � 5x � 3�x4 � 5x2 � 3x � 8 x Cociente

�5x2 � 8x � 3 Resto

b) �20x2 � 10x � 50 10x � 3�20x2 � 6x � 8 2x � 8/5 Cociente

�16x � 50�16x � 18/5

268/5 Resto

f) �4x2 � 10x � 2 x2 � 4�4x2 � 8x2 � 8 4x2 � 8 Cociente

8x2 � 10x � 2�8x2 � 10x � 32

� 10x � 34 Resto

a) �12x2 � 6x � 8 2x � 1�12x2 � 6x � 8 6x � 12 Cociente

�12x � 812x � 12

30 Resto

3x3 � 7x2 � 4x � 5��

x2 � x � 6

2x4 � 3x3 � 5x2 � 4x � 1��

x2 � 6x � 3

20x2 � 10x � 50��

10x � 3

4.34

18x6 � 36x5 � 72x4

��9x3

12x4 � 16x3 � 8x2

��4x2

21x5 � 12x4 � 3x3

��3x3

4.33

77

Comprueba, sin efectuar la división, que el cociente y el resto de la división �x3 �

x2

5�x2

2� 3

� son, respecti-vamente: C(x) � x � 5 y R � 2x � 7.Para que sea cierto se tiene que cumplir la regla de la división:

D(x) � d(x) � C(x) � R(x) � (x2 � 2)(x � 5) � 2x � 7 � x3 � 5x2 � 2x � 10 � 2x � 7 � x3 � 5x2 � 3

Escribe el dividendo, el divisor, el cociente y el resto de cada división.

a) 3 1 4 5 b) 6 �3 8 0

2 �1

a) Regla de Ruffini: 3 1 4 5 b) Regla de Ruffini: 3 1 4 5

� � � � � �

2 6 14 36 �1 ↓ �3 6 �14

3 7 18 41 3 �6 14 �14

Divisor: x � 2 Divisor: x � 1

Cociente: 3x2 � 7x � 18 Cociente: 3x2 � 6x � 14

Resto: 41 Resto: �14

Divide el polinomio 3x3 � x2 � 2x � 360 entre x � 5. ¿Es exacta la división?

Regla de Ruffini: 3 �1 2 �360

� � �

5 ↓ 15 70 360

3 14 72 0 ← Resto

Cociente: 3x2 � 14x � 72 Resto: 0 → División exacta

Realiza las siguientes divisiones utilizando la regla de Ruffini. Indica cuáles son el cociente y el resto decada división.

a) c)

b) d)

a) Regla de Ruffini: 3 �5 4 �1 c) Regla de Ruffini: 4 0 �3 1 �10

� � � � � � �

2 ↓ 6 2 12 1 ↓ 4 4 1 1

3 1 6 11 4 4 1 1 �9

Cociente: 3x2 � 1x � 6 Cociente: 4x3 � 4x2 � 1x � 1


b) Regla de Ruffini: 3 5 4 �1 d) Regla de Ruffini: 4 0 �3 1 �10

� � � � � � �

�2 ↓ �6 2 �12 �1 ↓ �4 4 �1 0

3 �1 6 �13 4 �4 1 0 �10

Cociente: 3x2 � 1x � 6 Cociente: 4x3 � 4x2 � 1x

Resto: �13 Resto: �10

Realiza las siguientes divisiones utilizando dos métodos distintos. Comprueba que en ambos casos seobtiene el mismo resultado.

a) �x3 �

x4�x2

4� 6

� c)

b) �xx

4

��

11

� d)

a) Cociente: 3x2 � 4x � 2 Resto: 134 c) Cociente: 4x2 � 4x � 3 Resto: 16

b) Cociente: x3 � x2 � x � 1 Resto: 0 d) Cociente: 3x2 � 3x � 6 Resto: 0

3x3 � 3x2 � 12x � 12��

x � 2

4x3 � 8x2 � 9x � 7��

x � 3

4.39

4x5 � 3x3 � x � 10��

x � 13x3 � 5x2 � 4x � 1��

x � 2

4x5 � 3x3 � x � 10��

x � 13x3 � 5x2 � 4x � 1��

x � 2

4.38

4.37

4.36

4.35

78


Ejercicio resuelto

Halla el valor de k para que el resto de la división �3x2

x�

�kx

2� 5

� sea 1.

Se resuelve la división mediante la regla de Ruffini.

3 k �5

2 6 12 � 2k

3 6 � k 7 � 2k

Como 7 � 2k � 1, el valor de k debe ser �3.

Halla en cada caso el valor de k para que la división sea exacta.

a) b)

Para que la división sea exacta, el resto debe ser cero. Se resuelve cada división mediante la regla de Ruffini.

a) 3 �5 k �6 b) k �1 3 �6

� � � � � �

1 3 �2 k � 2 �2 �2k 4k � 2 �8k � 10

3 �2 k � 2 k � 6 k �2k � 1 4k � 5 �8k � 16

Como k � 6 � 0, el valor de k debe ser 6. Como �8k � 16 � 0, el valor de k debe ser 2.

Utiliza la regla de Ruffini para hallar el valor de la constante k, tal que el resto de la división del poli-nomio P(x) � x3 � 2x � 6k entre el binomio x � 2 sea 0.

Regla de Ruffini: 1 0 2 6k

2 2 4 12

1 2 6 6k � 12

Como el resto ha de ser 0, se obtiene la ecuación: 6k � 12 � 0.

Por tanto, k � �2

¿Qué valor debe tener m para que al dividir el polinomio 2(m � 1)x2 � 3x � (m � 2) entre x � 2 suresto sea 0?

Regla de Ruffini: 2m � 2 3 m � 2

2 4m � 4 8m � 14

2m � 2 4m � 7 9m � 12

Ecuación: 9m � 12 � 0

Solución: m � ��192� � ��

43

�

Averigua el número m que se ha de añadir al polinomio x3 � 2x2 para que sea divisible por x � 4.

Sea el polinomio: x3 � 2x2 � m

Valor numérico para x � �4 → �64 � 32 � m � 0 → m � 32

Realiza las siguientes divisiones.

a) �xx

2

��

11

� b) �xx

3

��

11

� c) �xx

4

��

11

�

Observando los cocientes obtenidos, ¿podrías indicar el cociente de �xx

10

��

11

� sin hacer la división?

a) �xx

2

��

11

� � x � 1 b) �xx

3

��

11

� � x2 � x � 1 c) �xx

4

��

11

� � x3 � x2 � x � 1

�xx

10

��

11

� � x9 � x8 � x7 � x6 � x5 � x4 � x3 � x2 � x � 1

4.45

4.44

4.43

4.42

kx3 � x2 � 3x � 4��

x � 23x3 � 5x2 � kx � 6��

x � 1

4.41

4.40

79

Halla un polinomio de segundo grado sabiendo que cumple estas tres condiciones.

• El coeficiente principal es 1.

• El polinomio es múltiplo de x � 2.

• Al dividir el polinomio entre x � 1 el resto de la división es �5.

Sea el polinomio x2 � ax � b

Para calcular el polinomio utilizamos la regla de Ruffini para cada una de las divisiones:

1 a b

2 2 4 � 2a

1 2 � a 4 � 2a � b

Para que se cumpla que el polinomio sea múltiplo de x � 2, el resto debe ser 0: 4 � 2a � b � 0.

1 a b

1 1 1 � a

1 1 � a 1 � a � b

Resto � 5 → 1 � a � b � �5 → 6 � a � b � 0

Resolviendo el sistema de ecuaciones:

Valor de a: a � 2; Valor de b: b � �8

Por tanto, el polinomio será: x2 � 2x � 8.

Descomposición factorial de un polinomio


Dados los polinomios P(x) � 3x2 � 5x � 6, Q(x) � 2x3 � 5x � 7 y R(x) � �13

�x2 � 3x � 6, halla los valores

numéricos indicados de dos formas, sustituyendo y usando el teorema del resto.

a) P(1) b) Q(1) c) R(3)

a) P(1) � 3 � 5 � 6 � 4 b) Q(1) � 2 � 5 � 7 � 4 c) R(3) � 3 � 9 � 6 � 0

Halla el resto sin hacer la división.

a) (3x2 � 5x � 9) : (x � 2) c) (3x3 � 5x2 � 2x � 50) : (x � 2)

b) (x12 � 3x � 5) : (x � 1) d) (x5 � 10x4 � 3x � 1) : (x � 10)

a) P(2) � 12 � 10 � 9 � �11 c) P(�2) � �24 � 20 � 4 � 50 � �98

b) P(1) � 1 � 3 � 5 � 3 d) P(�10) � �100 000 � 100 000 � 30 � 1 � 29

Ejercicio resuelto

Calcula las raíces del siguiente polinomio: P(x) � 8x3 � 14x2 � 7x � 6.

Si el polinomio tiene raíces enteras, estas serán divisores de 6, es decir: �1, �2, �3 o �6.

Comprobamos que x � 2 es raíz, porque la división por (x � 2) es exacta.

8 �14 �7 6

2 16 4 �6

8 2 �3 0

Continuamos dividiendo y comprobamos que ninguno de los otros divisores es raíz; por tanto, el polinomio no tiene más raícesenteras. Buscamos las raíces fraccionarias resolviendo la ecuación:

3x2 � 2x � 3 → x � ��34

�, x � �12

�

Por tanto, las raíces de P(x) son ��34

�, 2 y �12

�.

4.49

4.48

4.47

4.46

80

Calcula las raíces de estos polinomios.

a) x3 � 3x2 � 4x � 12 d) 6x3 � 23x2 � 38x � 15b) 3x3 � 9x2 � 6x � 18 e) 12x3 � 20x2 � x � 3c) 2x3 � 3x2 � 23x � 12

a) Si el polinomio tiene raíces enteras, estas serán divisores de �12, es decir: �1, �2, �3, �4, �6 o �12.

Se van probando valores y se comprueba que x � 2 es raíz, porque la división por (x � 2) es exacta.

1 3 �4 �122 2 10 12

1 5 6 0

Se divide de nuevo, esta vez por divisores de �3, y se comprueba que x � �3 es raíz:

1 5 6�3 �3 �6

1 2 0

Por último, también es raíz x � 2. Por tanto, las raíces son �2, 2 y �3.

b) Si el polinomio tiene raíces enteras, estas serán divisores de �18, es decir: �1, �2, �3, �9 o �18.

Se van probando valores y se comprueba que x � �3 es raíz, porque la división por (x � 3) es exacta.

3 9 �6 �18�3 �9 0 18

3 0 �6 0

Se continúa dividiendo y se comprueba que ninguno de los otros divisores es raíz; por tanto, el polinomio no tiene más raí-ces enteras. Se buscan las raíces resolviendo la ecuación:

3x2 � 6 � 0 → x � ��2�, x � �2�. Por tanto, las raíces son x � �3, x � ��2�, x � �2�.

c) Si el polinomio tiene raíces enteras, estas serán divisores de 12, es decir: �1, �2, �3, �4, �6 o �12.


2 �3 �23 12�3 �6 27 �12

2 �9 4 0

Se divide de nuevo, esta vez por divisores de 4, y se comprueba que x � 4 es raíz:

2 �9 44 8 �4

2 �1 0

Por último, 2x �1 � 0, por lo que x � �12

� es raíz. Por tanto, las raíces son �3, 4 y �12

�.

d) Si el polinomio tiene raíces enteras, estas serán divisores de �15, es decir: �1, �3, �5 o �15.


6 23 �38 �15�5 �30 35 15

6 �7 �3 0

Se continúa dividiendo y se comprueba que ninguno de los otros divisores es raíz; por tanto, el polinomio no tiene más raícesenteras. Se buscan las raíces resolviendo la ecuación:

6x2 � 7x � 3 � 0 → x � ��13

�, x � �32

�. Por tanto, las raíces son x � �5, x � ��13

�, x � �32

�.

e) Si el polinomio tiene raíces enteras, estas serán divisores de 3, es decir: � 1 o � 3.

Se van probando valores y se comprueba que ninguno de los divisores es raíz; por tanto, el polinomio no tiene raíces enteras

y no puede factorizarse por este método. Las raíces son x � ��13

�, x � �32

�, x � �12

�

Ejercicio resuelto

Factoriza los siguientes polinomios, utilizando las identidades notables:P(x) � x2 � 4 Q(x) � 3x2 � 6x � 3El polinomio P(x) es una diferencia de cuadrados, que se puede escribir como una suma por una diferencia:P(x) � x2 � 4 � (x � 2)(x � 2)Si en el polinomio Q(x) se extrae factor común al 3, se obtiene el cuadrado de una suma:Q(x) � 3x2 � 6x � 3 � 3(x2 � 2x � 1) � 3(x � 1)2 � 3(x � 1) (x � 1)

4.51

4.50

81

Factoriza los siguientes polinomios de segundo grado.a) P(x) � x2 � 7x � 10 c) R(x) � 3x2 � 6x � 9b) Q(x) � x2 � 7x � 18 d) X(x) � 3x2 � 5x � 2a) P(x) � x2 � 7x � 10 � (x � 5) (x � 2) c) R(x) � 3x2 � 6x � 9 � (x � 3) (x � 1)

b) Q(x) � x2 � 7x � 18 � (x � 9) (x � 2) d) S(x) � 3x2 � 5x � 2 � (x � �13

�) (x � 2)

Factoriza los siguientes polinomios.a) P(x) � x3 � 3x2 � 6x � 8 c) R(x) � x4 � x3 � 5x2 � x � 6b) Q(x) � x3 � 6x2 � 5x � 12 d) S(x) � x4 � x3 � 9x2 � 11x � 4Se buscan las raíces utilizando el método de Ruffini.a) P(x) � (x � 1) (x � 2) (x � 4) c) R(x) � (x � 3) (x � 2) (x2 � 1)b) Q(x) � (x � 1) (x � 3) (x � 4) d) S(x) � (x � 4) (x � 1)3


Si se divide el polinomio 3x3 � 2x2 � kx � 1 por x � 1 el resto es 2. ¿Cuánto vale k?El resto de la división de (3x3 � 2x2 � kx � 1) : (x � 1) es igual al valor numérico del polinomio para x � 1.

Valor numérico para x � 1 ⇒ 3 � 2 � k � 1 � 2

Resolviendo la ecuación: k � 0.

Calcula el valor de a para que el resto de la división (2x3 � ax2 � 5x � 10) : (x � 4) sea 6.El resto de la división de (2x3 � ax2 � 5x � 10) : (x � 4) es igual al valor numérico del polinomio para x � �4.

Valor numérico para x � �4 ⇒ �128 � a � 16 � 20 � 10 � 6; 164 � 16a

Resolviendo la ecuación: a � �441�.

Halla los valores de a y b para que el polinomio P(x) � x3 � ax2 � ax � b tenga raíces 2 y �1.P(�1) � �1 � a � b � 0P(2) � 8 � 2a � b � 0Resolviendo el sistema se obtiene: a � �3, b � 2.

¿Son ciertas las siguientes afirmaciones?a) Un factor de x2 � 1 es x � 1. b) Un factor de x2 � 1 es x � 1.

a) Para x � �1, el valor numérico de x2 � 1 es 0. b) Para x � 1, el valor numérico de x2 � 1 es 2.Luego x � 1 es un factor. Luego x � 1 no es factor.

Escribe un polinomio de grado 3 que cumpla las siguientes condiciones.• Es divisible entre (x � 3). • Una de sus raíces es x � �2. • El término independiente es 24.

Sea el polinomio ax3 � bx2 � cx � d.

Al ser el término independiente 24: d � 24.


a b c 24

3 3a 9a � 3b 18a � 9b � 3c

a 3a � b 9a � 3b � c 18a � 9b � 3c � 24

Para que se cumpla que el polinomio sea múltiplo de x � 3, el resto � 0: 18a � 9b � 3c � 24 � 0.

a b c 24

�2 �2a 4a � 2b �8a � 4b � 2c

a �2a � b 4a � 2b � c �8a � 4b � 2c � 24

Resto � 0 ⇒ �8a � 4b � 2c � 24 � 0

Si a � 1, se resuelve el sistema de ecuaciones:

18a � 9b � 3c � 24 � 0 3b � c � 17 � 0b � �5, c � 2

8a � 4b � 2c � 24 � 0 } 2b � c � 8 � 0 }El polinomio buscado es: x3 � 5x2 � 2x � 24.

4.58

4.57

4.56

4.55

4.54

4.53

4.52

82

Dos números a y b cumplen la siguiente relación. a) Si a es par, ¿b es par o impar?

b) ¿Qué relación hay entre ambos números? Pon un ejemplo.

Diferencia de cuadrados: a2 � b2 � (a � b) (a � b) � 2(a � b) ; (a � b) � 2

a) Si A es par, B es par.

b) La relación es que si b es par, a es el siguiente par consecutivo, y si b es impar, a es el impar consecutivo.

Por ejemplo: 52 � 32 � 25 � 9 � 2(5 � 3) � 16 ó 42 � 22 � 16 � 4 � 2(4 � 2) � 12

Resuelve la ecuación x4 � 19x2 � 30x � 0 factorizando el polinomio.Se saca factor común a la x (una raíz será, por tanto, x � 0), quedando por factorizar una ecuación de grado 3, que se resuel-ve por Ruffini, obteniéndose las raíces x � 0, x � �5, x � 3, x � 2.

La ecuación factorizada es: x(x � 5) (x � 3) (x � 2).

Matemáticas aplicadas


Estima mediante la regla del cuadrado la distancia de seguridad que debería guardar el vehículo delejemplo en un día de lluvia y utiliza el dato para calcular el valor de la aceleración de frenado en esecaso.Como la velocidad es de 72 km/h, la distancia de seguridad en seco es de 49 metros, y en mojado, de 98, despejamos la acele-ración de la siguiente fórmula:

98 � 20 � 1 � �220a

2

� 98 � 20 � �20

a0

� ⇒ 78a � �200 ⇒ a � ��

72800� � �2,56

Luego la aceleración es de �2,56 m/s2.

Calcula la distancia de seguridad en las siguientes condiciones.a) El vehículo circula a una velocidad de 90 kilómetros por hora, y debido al cansancio, el tiempo de re-

acción es de 3 segundos.

b) El vehículo circula a 120 kilómetros por hora, y debido al mal estado de los frenos, la aceleración defrenado es de �7 metros por segundo cuadrado.

a) Pasamos la velocidad a m/s. b) Pasamos la velocidad a m/s.

v � 90 km/h � �90

3�6100000

� m/s � 25 m/s v � 120 km/h � �120

36�010000

� m/s � 33,33 m/s

Calculamos la distancia de seguridad: Calculamos la distancia de seguridad:

dseguridad � 25 � 3 � �2 �

2(5�

2

9)� � 110 m dseguridad � 33,33 � 1 � �

2(3

�3(,3�37)2

)� � 113 m

Actividades finales

P A R A P R A C T I C A R Y A P L I C A R

Dados los monomios A � 6x2, B � 3x4, C � �12

�x4y y D � �2x, realiza las siguientes operaciones.a) A � D e) B : C

b) B � C f) D � B

c) A � B � C g) A � B � C

d) A � D h) A : D � B

a) A � D � 6x2 � 2x e) B : C � �6y

�

b) B � C � 3x4 � �12

�x4y f) D � B � �6x5

c) A � B � C � 6x2 � 3x4 � �12

�x4y g) A � B � C � 9x10 y

d) A � D � 123 h) A : D � B � �9x5

4.63

4.62

4.61

4.60

4.59

83


a) �3x2 � 5x � �23

�x2 c) 5x2y � 6x2y � 3x2y

b) d) �4z3p4 � 7p4z3

a) �3x2 � 5x2 � �23

�x2 � �43

�x2 c) 5x2y � 6x2y � 3x2y � 2x2y

b) � �abc d) �4z3p4 � 7p4z3 � 3p4z3

Dados los polinomios:P(x) � 2x4 � x3 � x2 � 3x � 1

Q(x) � 3x3 � x2 � x � 2

R(x) � �4x4 � x2 � 4


a) P(x) � Q(x) c) R(x) � Q(x)

b) Q(x) � R(x) d) P(x) � Q(x) � R(x)

a) P(x) � Q(x) � 2x4 � 2x3 � 2x2 � 4x � 3 c) R(x) � Q(x) � P(x) � �2x4 � 4x3 � x2 � 2x � 5

b) Q(x) � R(x) � 4x4 � 3x3 � x � 6 d) P(x) � Q(x) � R(x) � �2x4 � 2x3 � 3x2 � 4x � 1

Realiza las siguientes operaciones con los polinomios:

P(x) � �12

�x4 � 2x3 � 1

Q(x) � 3x3 � 4x � 2

R(x) � 4x2 � 5x � 3

a) P(x) � [Q(x) � R(x)]

b) 2x � Q(x) � 3P(x) � x2 � R(x)

c) x � [Q(x) � x2 � P(x)]

a) P(x) � [Q(x) � R(x)] � ( x4 � 2x3 � 1)(3x3 � 4x2 � 9x � 1) � �32

�x7 � 8x6 � �72

�x5 � �325�x4 � 5x3 � 4x2 � 9x � 1

b) 2x � Q(x) � 3P(x) � x2 � R(x) � �22

30�x4 � x3 � 5x2 � 4x � 3

c) x � [Q(x) � x2 � P(x)] � �12

�x7 � 2x6 � x3 � 3x4 � 4x2 � 2x

Utiliza las identidades notables para desarrollar estos productos.a) (x � 3y)2 d) (2x4 � x2)2

b) (3x � 2y)2 e) (5a � 3b) � (5a � 3b)

c) (3x3 � �x�)2 f) (�2�x � �3�) (�2�x � �3�)

a) (x � 3y)2 � x2 � 3y2 � xy d) (2x4 � x2)2 � 4x8 � x4 � 4x6

b) (3x � 2y)2 � 9x2 � 4y2 � 12xy e) (5a � 3b) � (5a � 3b) � 25a2 � 9b2

c) (3x3 � �x�)2 � 9x6 � x � 3�x� f) (�2�x � �3�) (�2�x � �3�) � 2x2 � 3

Efectúa estas divisiones y comprueba que se cumple la regla de la división.

D(x) � d(x) � C(x) � R(x)

a) �3xx2

2

��

23xx

��

11

� b) �4xx2

2

��

31

�

D(x) � (x2 � 2x � 1) � 3 � (�9x � 4) � 3x2 � 3x � 1 D(x) � (x2 � 2x � 1) � 4 � 8x � 3 � 4x2 � 1

b) �4x2 � 3x � 1 x2 � 2x � 1�4x2 � 8x � 4 4 Cociente

�8x � 3 Resto

a) �3x2 � 3x � 1 x2 � 2x � 1�3x2 � 6x � 3 3 Cociente

�9x � 4 Resto

4.68

4.67

1�2

4.66

4.65

6abc � 12abc � 4abc��

2

6abc � 12abc � 4abc��

2

4.64

84

Efectúa la siguiente división por dos métodos distintos, y comprueba que se obtiene el mismo resultado.

(3x6 � 5x4 � 3x3 � x � 7) � (x � 1)

División por Ruffini:

3 0 �5 3 0 �1 7

1 3 3 �2 1 1 0

3 3 �2 1 1 0 7

Cociente: 3x5 � 3x4 � 2x3 � x2 � x

Resto de la división: 7

Realiza las siguientes divisiones aplicando la regla de Ruffini, e indica el cociente y el resto.a) (3x4 � 2x2 � x � 3) : (x � 1)

b) (x5 � 2x3 � x � 1) : (x � 1)

c) (2x3 � x2 � 3x � 1) : (x � 2)

a) 3 �2 1 �3 Cociente: 3x2 � 5x � 6

�1 �3 5 �6 Resto de la división: �9

3 �5 6 �9

b) 3 0 �2 0 �1 1 Cociente: 3x4 � 3x3 � x2 � x

1 3 3 1 1 0 Resto de la división: 1

3 3 1 1 0 1

c) 2 �1 3 �1 Cociente: 2x2 � 5x � 13

�2 �4 10 �26 Resto de la división: �27

2 �5 13 �27

Calcula el resto de las siguientes divisiones sin necesidad de realizarlas. ¿Qué teorema has utilizado?a) (x7 � 3x2 � 1) : (x � 1) d) (x5 � x4 � x3 � x2) : (x � 1)

b) (x101 � 2) : (x � 1) e) (3x10 � 4x5 � 7) : (x � 1)

c) (x5 � 2x3 � 3) : (x � 3)

Según el teorema del resto, el resto de la división de un polinomio es igual al valor numérico del polinomio: R � P(a).

a) (x7 � 3x2 � 1) : (x � 1) ⇒ 17 � 3 � 12 � 1 � �1 ⇒ Resto � �1

b) (x101 � 2) : (x � 1) ⇒ (�1)101 � 2 � �3 ⇒ Resto � �3

c) (x5 � 2x3 � 3) : (x � 3) ⇒ 35 � 2 � 33 � 3 � 192 ⇒ Resto � 192

d) (x5 � x4 � x3 � x2) : (x � 1) ⇒ (�1)5 � (�1)4 � (�1)3 � (�1)2 � 0 ⇒ Resto � 0

e) (3x10 � 4x5 � 7) : (x � 1) ⇒ 3 � 110 � 4 � 15 � 7 � 6 ⇒ Resto � 6

Calcula los valores numéricos del polinomio P(x) � x2 � 6x � 5, en cada uno de los valores de x que seindican.x � 1 x � 2 x � 3 x � 4 x � 5 x � 6

¿Cuáles de estos valores son raíces del polinomio? ¿Puede haber más? ¿Por qué?

P(1) � 1 � 6 � 5 � 0 P(4) � 16 � 24 � 5 � �3

P(2) � 4 � 12 � 5 � 13 P(5) � 25 � 30 � 5 � 0

P(3) � 9 � 18 � 5 � �4 P(6) � 36 � 36 � 5 � 5

Son raíces x � 1 y x � 5. No puede haber más raíces, ya que es un polinomio de segundo grado y únicamente tiene dos soluciones.

4.72

4.71

4.70

4.69

85

3x6 � 5x5 � 5x4 � 3x3 � x2 � x � 7 x � 1�3x6 � 3x5 3x5 � 3x4 � 2x3 � x2 � x

3x5 � 5x4 � 3x3 � x2 � x � 7 Cociente�3x5 � 3x4

�3x5 �2x4 � 3x3 � x2 � x � 7�3x5 �2x4 � 2x3

�3x5 �2x4 � 3x3 � x2 � x � 7�3x5 �2x4 ��x3 � x2

�3x5 �2x4 ��x3 � x2 � x � 7�3x5 �2x4 ��x3 �x2 � x�3x5 �2x4 ��x3 � x2 � x � 7 Resto

Halla el valor de k para que el polinomio P(x) � kx2 � 5x � 3 sea divisible entre x � 2.Regla de Ruffini: k �5 3

�2 �2k 4k � 10

k �2k � 5 4k � 13

Si el resto ha de ser 0, se obtiene la ecuación: 4k � 13 � 0. Por tanto, k � ��143�.

Halla el valor de k para que el polinomio P(x) � x2 � 4kx � 3k2 sea divisible entre x � 3.Regla de Ruffini: 1 �4k 3k2

3 3 �12k � 9

1 �4k � 3 3k2 � 12k � 9

Si el resto ha de ser 0, se obtiene la ecuación: 3k2 � 12k � 9 � 0. Por tanto, k � 27 y k � 9.

El polinomio de segundo grado 2(m � 1)x2 � 3x � (m � 2) es divisible por el binomio x � 2. ¿Qué va-lor debe tener m? Regla de Ruffini: m � 1 3 m � 2

2 2m � 2 4m � 10

m � 1 2m � 5 5m � 8

Si el resto ha de ser 0, se obtiene la ecuación: 5m � 8 � 0. Por tanto, k � ��85

�.

Calcula las raíces de estos polinomios.a) P(x) � x3 � x2 � x � 1 b) Q(x) � x3 � x2 � 4x � 4c) c) R(x) � x3 � 6x2 � 11x � 6

a) Si el polinomio tiene raíces enteras, estas serán divisores de �1, es decir: �1.

Se comprueba que x � 1 es raíz, porque la división por (x � 1) es exacta.

1 1 �1 �1

1 1 2 1

1 2 1 0

Se divide de nuevo, esta vez por �1, y se comprueba que es raíz:

1 2 1

�1 �1 �1

1 1 0

Por último, x � 1 � 0, por lo que x � �1 es raíz doble. Por tanto, las raíces son �1 (doble) y 1.b) Si el polinomio tiene raíces enteras, estas serán divisores de �4, es decir: �1, �2 o �4.

Se van probando divisores y se comprueba que x � �1 es raíz:

1 1 �4 �4

�1 �1 0 4

1 0 �4 0

Se divide de nuevo, esta vez por 2, y se comprueba que es raíz:

1 0 �4

2 2 4

1 2 0

Por último, x � 2 � 0, por lo que x � �2 es raíz. Por tanto, las raíces son �1, 2 y �2.c) Si el polinomio tiene raíces enteras, estas serán divisores de 6, es decir: �1, �2, �3 o �6.


1 6 11 6

�1 �1 �5 �6

1 5 6 0

Se divide de nuevo, esta vez por �2, y se comprueba que es raíz: 1 5 6

Se divide de nuevo, esta vez por �2, y se comprueba que es raíz: �2 �2 �6

Se divide de nuevo, esta vez por �2, y se comprueba que es raíz: 1 3 0

Por último, x � 3 � 0, por lo que x � �3 es raíz. Por tanto, las raíces son �1, �2 y �3.

4.76

4.75

4.74

4.73

86

Factoriza los siguientes polinomios e indica sus raíces.a) P(x) � x3 � x2 � 6x d) S(x) � x3 � 9x

b) Q(x) � x3 � 3x2 � 4x � 12 e) T(x) � x3 � x2 � 4x � 4

c) R(x) � x3 � 6x2 � 12x � 8

a) P(x) � x3 � x2 � 6x � x (x � 2) (x � 3). Las raíces son: x � 0, x � 2 y x � �3.

b) Q(x) � x3 � 3x2 � 4x � 12 � (x � 2) (x � 2) (x � 3). Las raíces son: x � 2, x � �2 y x � �3.

c) R(x) � x3 � 6x2 � 12x � 8 � (x � 2)3. La raíz es: x � 2 (triple).

d) S(x) � x3 � 9x � x (x � 3) (x � 3). Las raíces son: x � 0, x � 3 y x � �3.

e) T(x) � x3 � x2 � 4x � 4 � (x � 2) (x � 1) (x � 2). Las raíces son: x � �1, x � 2 y x � �2.

P A R A R E F O R Z A R

Rellena en tu cuaderno cada recuadro con el coeficiente adecuado.

a) (2x2 � �x � 1) � (�3x2 � 5x � �) � x2 � 2x � 4

b) (3x4 � x � 2) � (�x4 � �x � �) � 4x4 � 3x � 3

c) (5x3 � �x2 ��) � (�x3 � x2 � 2) � 2x3 � 3x2 � 3

a) (2x2 � 3x � 1) � (�3x2 � 5x � 3) � x2 � 2x � 4

b) (3x4 � x � 2) � (�7x4 � 4x � 1) � 4x4 � 3x � 3

c) (5x3 � 4x2 � 1) � (�3x3 � x2 � 2) � 2x3 � 3x2 � 3

Dados los polinomios:P(x) � 3x2 � x � 1 Q(x) � �2x2 � 5x � 6

realiza las operaciones indicadas.

a) P(x) � Q(x) c) 2x � P(x)

b) P(x) � Q(x) d) 5 � P(x) � 3 � Q(x)

a) P(x) � Q(x) � x2 � 4x � 5

b) P(x) � Q(x) � 5x2 � 6x � 7

c) 2x � P(x) � 6x3 � 2x2 � 2x

d) 5 � P(x) � 3 � Q(x) � 15x2 � 5x � 5 � 6x2 � 15x � 18 � 21x2 � 20x � 22

Saca factor común en estas expresiones.a) 28a3 � 42a2 � 36a b) 3xy5 � 12xy4 � 3xy

a) 28a3 � 41a2 � 36a � 2a (18a2 � 21a � 14) b) 3xy5 � 12xy4 � 3xy � 3xy (y4 � 4y3 � 1)

Desarrolla estas identidades notables.a) (6x3 � 7x2)2 b) (2a � 5b3)2 c) (2xz2 � t) � (2xz2 � t)

a) 36x6 � 49x4 � 84x5 b) 4a2 � 25b10 � 20ab5 c) 4x2z4 � t

Realiza la siguiente división.(3x4 � 5x2 � 7x � 6) : (x2 � 2x � 8)

Cociente: �3x2 � 6x � 17

Resto: � 75x � 130

4.82

4.81

4.80

4.79

4.78

4.77

87

3x4 � 5x5 � 5x2 � 7x � 6 x2 � 2x � 8�3x4 � 6x3 � 24x2 �3x2 � 6x � 17

6x3 � 29x2 � 7x�6x3 � 12x2 � 48x�3x5 �17x2 � 41x � 6�3x5 �17x2 � 34x � 136�3x5 �2x4 � 75x � 130

Efectúa la siguiente división por Ruffini.(2x6 � 5x4 � 3x2 � x � 21) : (x � 1)

2 0 �5 0 3 1 �21 Cociente: 2x5 � 2x4 � 3x3 � 3x2 � 1

�1 �2 2 3 �3 0 �1 Resto de la división: �16

2 �2 �3 3 0 1 �22

Escribe el dividendo, el divisor, el cociente y el resto de esta división.3 0 4 �5 2 0

�1

3 0 4 �5 2 0 Dividendo: 3x5 � 4x3 � 5x2 � 2x

�1 �3 3 �7 12 �14 Divisor: x � 1

3 �3 7 �12 14 �14 Cociente: 3x4 � 3x3 � 7x2 � 12x � 14

Resto: �14

Utilizando la regla de Ruffini, averigua si x � 3 es factor del polinomio P(x) � x3 � 4x2 � 8x � 15.¿Tiene más factores dicho polinomio? ¿Por qué?

División por Ruffini: 1 �4 8 �15

3 3 �3 15

1 �1 5 0

Sí es factor del polinomio, ya que la división es exacta.Para ver si tiene más factores, se prueba con el resto de divisores de �15, no quedando ninguna división entera, por lo que notiene más raíces enteras. Al resolver la ecuación de segundo grado, para comprobar si tiene raíces racionales o fraccionarias, estano tiene solución, por lo que el polinomio P(x) no tiene más raíces.

Halla el resto de las siguientes divisiones sin hacerlas.a) (x25 � 3x2 � 4) : (x � 1) b) (x33 � 1) : (x � 1)

a) P(x) � x25 � 3x2 � 4 b) P(x) � x33 � 1

Valor numérico: P(1) � 1 � 3 � 4 � �6 Valor numérico: P(�1) � �1 � 1 � �2

Resto de la división: �6 Resto de la división: �2

Utiliza las identidades notables para desarrollar o para factorizar en cada caso las siguientes expresio-nes algebraicas.a) 16x2 � 4y2 � 16xy c) (2x � 3y)2

b) 25z4y2 � 16x2b6 d) (5xy � 2zt) � (5xy � 2zt)

a) 16x2 � 4y2 � 16xy � (4x � 2y)2 c) (2x � 3y)2 � 4x2 � 9y2 � 12xy

b) 25z4y2 � 16x2b6 � (5z2y � 4xb3) (5z2y � 4xb3) d) (5xy � 2zt) � (5xy � 2zt) � 25x2y2 � 4z2t2

Indica si los valores x1 � 2 y x2 � 1 son raíces del polinomio P(x) � x5 � x4 � 7x3 � 7x � 6.Para que sean raíces P(x) � 0.

P(2) � 32 � 16 � 56 � 14 � 6 � �10. Luego x1 � 2 no es raíz del polinomio.

P(1) = 1 � 1 � 7 � 7 � 6 � �4. Luego x2 � 1 no es raíz del polinomio.

Factoriza estos polinomios e indica sus raíces.a) (x2 � 1) (x2 � 4x � 4) d) x3 � 10x2 � 31x � 30

b) (x � 7) (x2 � 11x � 24) e) x6 � 2x5 � 13x4 � 14x3 � 24x2

c) 3x3 � 9x2 � 6x

a) (x2 � 1) (x2 � 4x � 4) � (x � 1) (x � 1) (x � 2)2. Raíces: 1, �1, �2 doble

b) (x � 7) (x2 � 11x � 24) � (x � 7) (x � 8) (x � 3). Raíces: 7, 8, 3

c) 3x3 � 9x2 � 6x � x(x � 1) (x � 2). Raíces: 0, 1, 2

d) x3 � 10x2 � 31x � 30 � (x � 5) (x � 3) (x � 2). Raíces: 5, 3, 2

e) x6 � 2x5 � 13x4 � 14x3 � 24x2 � x2 (x � 1) (x � 3) (x � 2) (x � 4). Raíces: 0 doble, 1, 3, �2, �4

4.89

4.88

4.87

4.86

4.85

4.84

4.83

88

P A R A A M P L I A R

Averigua el valor que debe tomar m para que el polinomio x3 � (m � 4)x2 � 2x � (2m � 1) sea divisi-ble por x � 1.Para que sea divisible, el resto de la división debe ser 0:

1 m � 4 �2 �2m � 1

�1 �1 �m � 5 m � 3

1 m � 5 �m � 3 �m � 4

Para que el resto sea 0: m � �4.

¿Por qué polinomio hemos dividido �6x3 � 4x2 � 3 para que el cociente de la división sea �6x2 � 28x � 112,y el resto, 445?

Se utiliza la prueba de la división, despejando el divisor: D(x) � d(x) � C(x) � R(x) ⇒ d(x) � �D(x)

C�(x)

R(x)�

d(x) � ��(33xx

3

2��

21x4

2

x��

25264)

�� x � 4

Halla el polinomio de cuarto grado cuyo coeficiente principal es 3 y que tiene por raíces x1 � 1 (raíz do-ble), x2 � �2 y x3 � 4. Desarróllalo.

Si el polinomio tiene por raíces las dadas, se verifica la relación:

3(x � 1)2 (x � 2)(x � 3) � 3(x4 � 3x3 � 3x2 � 11x � 6) � 3x4 � 9x3 � 9x2 � 33x � 18

Halla el polinomio de segundo grado que cumple estas tres condiciones.— Su coeficiente principal es 5.

— Tiene como factor (x � 3).

— El resto de su división entre (x � 2) es 25.


5 a b 5 a b

�2 –10 20 � 2a 3 15 45 � 3a

5 �10 � a 20 � 2a � b 5 15 � a 45 � 3a � b

Resto � 25: 20 � 2a � b � 25 Al ser divisible por 3: 45 � 3a � b � 0

Resolviendo el sistema de ecuaciones: a � �10 y b � 15.

Por tanto, el polinomio será: 5x2 � 10x � 15.

Un polinomio de grado 3 es divisible por x � 1, x � 2 y x � 3. Calcula ese polinomio sabiendo que elcoeficiente del término de grado 3 es 1.

Si el polinomio es divisible por los binomios dados, se verifica la relación:

(x � 1)(x � 2)(x � 3) � x3 � 6x2 � 11x � 6 � x3 � 6x2 � 11x � 6

Una raíz r es múltiple cuando el factor (x � r) aparece elevado a una potencia mayor que 1 en lafactorización del polinomio. Por ejemplo, en el polinomio (x � 3)2 � (x � 1), x � 3 es una raíz do-ble.Halla las raíces de estos polinomios teniendo en cuenta que en alguno de ellos puede haber raíces múl-tiples.

a) P(x) � x5 � 6x4 � 8x3 c) R(x) � x5 � 9x3 � 4x2 � 12x

b) Q(x) � x4 � 3x3 � 3x2 � 11x � 6 d) S(x) � x4 � 6x2 � 8x � 3

a) P(x) � x3 (x2 � 6x � 8) � x3 (x � 4) (x � 2) c) R(x) � x (x � 2)2 (x � 3) (x � 1)

b) Q(x) � (x � 1)2 (x � 3) (x � 2) d) S(x) � (x � 1)3 (x � 3)

4.95

4.94

4.93

4.92

(x � 4) � (3x2 � 14x � 56)��

3x2 � 14x � 56(6x3 � 4x2 � 3) � 445��

6x2 � 28x � 112

4.91

4.90

89

El largo de una caja mide 6 centímetros menos que el ancho, y la altura es 5 cen-tímetros mayor que el largo. El volumen de la caja es 0,36 dm3. ¿Cuáles son sus medidas? ¿Cuántas solucionesposibles hay?

Sea x el ancho de la caja:

Largo: x � 6

Altura: x � 6 � 5 � x � 1

Por tanto: 0,36 � 103 � 280 � x(x � 6)(x � 1) � x3 � 7x2 � 6x

Se resuelve la ecuación de tercer grado para hallar las soluciones:

1 �7 6 �360

10 10 30 360

1 3 36 0

No tiene más raíces reales, por lo que x � 10 y la caja mide 10 � 4 � 9 cm.

P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R

Decorando la paredPara decorar la pared del instituto, los alumnos deben realizar un graffiti.La dirección del centro les indica las siguientes instrucciones:El dibujo debe ubicarse en una pared cuadrada que hay a la entrada del instituto.

El dibujo debe estar centrado en la mencionada pared y de-jando unos márgenes inferior y superior de 50 centímetros ylaterales de 20 centímetros.

a) Escribe la expresión algebraica que determina el área dela zona pintada en función de la medida del lado de lapared.

b) Determina entre qué valores, en metros cuadrados, varía lamencionada área si la longitud del lado de la pared es ma-yor de 3 metros y menor de 4.

a) A � (x � 40) � (x � 100) � x2 � 140x � 4000 cm2

b) 300 x 400 3002 � 140 . 300 � 4000 A 4002 � 140 . 400 � 4000 ⇒ 52000 A 108000 en cm2

En m2 : 5,2 A 10,8

Buscando un polinomioJuan, Alberto, Juanjo y Rocío proponen un juego a Diana: debe encontrar un polinomio de tercer gra-do, y para ello, cada uno le dará una pista. Sin embargo, una de las pistas y solo una será falsa.“El término independiente del polinomio es 5, y el polinomio es divisible por x � 3.”“El coeficiente de mayor grado es 1, y si al polinomio se le suma una cantidad, el resultado es divisiblepor x � 1.”“No solo eso. Si al polinomio se le suma esa misma cantidad, el resultado también es divisible por x � 1.”“¡Qué curioso, si al polinomio se le suma también esa cantidad, el resultado también es divisible por x � 2!”Diana responde que le falta una pista. “¡De acuerdo, te daré un dato más!”, le indica Rocío, “el princi-pio de la pista falsa es verdad”. Di cuál es la pista falsa y encuentra la expresión del polinomio. Comprueba que verifica las pistas ver-daderas.La pista de Juan es falsa, ya que si el término independiente vale 5, el polinomio no puede ser divisible por x � 3 (3 no es di-visor de 5).

Gracias a las otras tres pistas, se puede escribir:

P(x) � k � (x � 1) � (x � 1) � (x � 2) � x3 � 2x2 � x � 2 ⇒ P(x) � x3 � 2x2 � x � (k � 2)

Como el término independiente es 5, P(x) � x3 � 2x2 � x � 5.

La cantidad que se suma es k � �7, y efectivamente:

x3 � 2x2 � x � 5 � 7 � x3 � 2x2 � x � 2 � (x � 1) (x � 1) (x � 2)

4.98

4.97

4.96

90

A U T O E V A L U A C I Ó N

Los lados de una piscina rectangular miden a y b metros. ¿Qué expresiones algebraicas determinan superímetro y su área?

Las letras representan, de manera general, valores numéricos, por ejemplo, en el área de un rectángulo:

— Sus lados se expresan por a, b.

— Su perímetro será entonces: 2a � 2b.

— Su área es a � b � ab.

Simplifica las siguientes expresiones.

a) (7x2 � 5x � 6) � (2x2 � 8x � 9) b) (3x3 � 5x2 � 6x � 4) � (2x2 � 1)

a) 5x2 � 13x � 15 b) 6x5 � 10x4 � 15x3 � 13x2 � 6x � 4

Calcula el valor numérico del siguiente polinomio para x1 � 2 y x2 � �1.

P(x) � �x2

3

� � 2(x2 � 1)

P(2) � 4 � 2(4 � 1) � �2

P(�1) � ��21� � 2(1 � 1) � �

�21�

Divide (3x3 � 2x2 � 7) : (x2 � x � 5).

3x3 � 2x2 � 5x � 7 x2 � x � 5�3x3 � 3x2 � 15x � 8 �3x2 � 1 Cociente

x2 � 15x � 7�x2 � x � 5

� 14x � 12 Resto

Divide usando la regla de Ruffini.

a) (3x3 � 6x2 � 2x � 6) : (x � 2) b) (3x3 � 6x2 � 2x � 6) : (x � 2)

a) b)

3 6 �2 �6 3 6 �2 �6

2 6 24 44 �2 �6 0 4

3 12 22 38 3 0 �2 �2

Cociente: 3x2 � 12x � 22 Cociente: 3x2 � 2


Sin hacer la división, indica el resto de la siguiente operación (x4 � x2 � 7x � 9) : (x � 1):

Se aplica el teorema del resto: (�1)4 � (�1)2 � 7(�1) � 9 � �14. El resto es �14.

Desarrolla las siguientes identidades notables.a) (10x � 1)2

b) (5x2 � 4y)2

c) (3 � 2x) (3 � 2x)

a) (10x � 1)2 � 100x2 � 20x � 1

b) (5x2 � 4y)2 � 25x2 � 8xy � 16y2

c) (3 � 2x) (3 � 2x) � 9 � 4x2

4.A7

4.A6

4.A5

4.A4

4.A3

4.A2

4.A1

91

Calcula el valor que debe tener k para que el polinomio P(x) � x5 � kx � x3 � 4x2 � x � 4 tenga comofactor (x � 4).Para que el polinomio sea divisible por 4 se tiene que cumplir:

P(4) � 0 � 1024 � 4k � 64 � 64 � 4 � 4 ⇒ k � ��10

424� � �256

¿Es (x � 1) un factor del polinomio x71 � 1? Razona tu respuesta.

Para que (x � 1) sea factor del polinomio, este debe ser divisible entre �1, es decir, se tiene que cumplir que al sustituir la xpor �1 en el polinomio, este valga cero. Al sustituir, el polinomio vale �2, por lo que (x � 1) no es factor.

Factoriza los siguientes polinomios.a) 2x3 � 14x � 12 b) x4 � x3 � 11x2 � 9x � 18

Se buscan las raíces aplicando Ruffini, para poder escribir los polinomios como producto de factores.

a) Las raíces enteras son divisores de �12, es decir: �1, �2, �3, �4 o �12.


2 0 �14 �12

�1 �2 2 12

2 �2 �12 0

Se divide de nuevo, esta vez por �2, y se comprueba que es raíz:

2 �2 �12

�2 �4 12

2 �6 0

Por último, 2x � 6 � 0, por lo que x � 3 es raíz. Por tanto, las raíces son �1, �2 y 3.

2x3 � 14x � 12 � 2(x � 1)(x � 2)(x � 3)

b) Las raíces enteras son divisores de 18, es decir: �1, �2, �3, �6, �9 o �18.


1 �1 �11 9 18

�1 �1 2 9 �18

1 �2 �9 18 0

Se divide de nuevo, esta vez por 2, y se comprueba que es raíz:

1 �2 �9 18

2 2 0 �18

1 0 �9 0

Por último, x2 � 9 � 0, por lo que x � �3 y x � �3 son raíces. Por tanto, las raíces son �1, 2, 3 y �3.

x4 � x3 � 11x2 � 9x � 18 = (x � 3) (x � 3) (x � 2) (x � 1)

4.A10

4.A9

4.A8

92

E N T R E T E N I D O

¡El área no se conserva!

Observa el cuadrado y el rectángulo.

Ambos están formados por las mismas piezas y, sin embargo, el cuadrado tiene 8 � 8 � 64 unidades de superfi-cie, mientras que el rectángulo tiene 5 � 13 � 65 u2.

Parece que por arte de magia se ha creado de la nada un área de 1 u2. ¿Cómo es posible?

Construye materialmente este juego y trata de explicar qué ocurre.

Existen juegos matemáticos que solo pueden resolverse mediante una prueba u operando concretamente sobre ellos. Este es uno.

En realidad, también en este juego hay un truco: bastará con construir materialmente el juego para comprender que el asunto no cuadra.

El truco está en lo siguiente: los lados de los triángulos y de los dos trapecios no forman realmente una diagonal en el nuevo rectángulo;en otras palabras, la que figura como diagonal del rectángulo no es una recta, sino una ilusión óptica creada por el gráfico. En realidad seforma una figura especial, similar a la final, pero en la que el área del paralelogramo interno es exactamente de un cuadradito.

5

8

3

5

35

5 8

93

4 POLINOMIOS - INTEF -...

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