4-Optimizacion derivadas

MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS Carlos Orihuela Romero, MSc

CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN 81

CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN Optimización es el proceso de hallar el máximo o mínimo relativo de una función, generalmente sin la ayuda de gráficos. 4.1 Conceptos claves A continuación se describirá brevemente algunos conceptos necesarios para comprender apropiadamente el tema de optimización. 4.1.1 Funciones crecientes y decrecientes Se dice que una función f(x) es creciente (decreciente) en x=a, si en la vecindad inmediata del punto [a,f(a)] el gráfico de la función crece (cae) al moverse de izquierda a derecha. Puesto que la primera derivada mide la tasa de cambio y la pendiente de una función, una primera derivada positiva en x=a indica que la función es creciente “a”; una primera derivada negativa indica que es decreciente.

Gráfico 4-1

Función creciente en x = a

(Pendiente >0) Función decreciente en x = a

(Pendiente <0)

f´(a) > 0: función creciente en x = a f´(a) < 0: función decreciente en x= a

4.1.2 Concavidad y convexidad Una función f (x) es cóncava en x = a, si en alguna pequeña región cercana al punto [a, f(a)] el gráfico de la función se ubica completamente debajo de su línea tangente. Una función es convexa en x = a, si en un área cercana a [a, f(a)] el gráfico esta complemente arriba de su línea tangente. Una segunda derivada positiva en x = a

x

y

a

y

x

a



denota que la función es convexa en x = a. Análogamente, una segunda derivada negativa en x = a denota que la función es cóncava en “a”. Gráfico 4-2

Convexo en x=a f′(a) > 0 f′′(a) > 0 f′(a) < 0 f′′(a) > 0

Cóncavo en x=a f′(a) > 0 f′′(a) < 0 f′(a) < 0 f′′(a) < 0

f′′(a) > 0: f(x) es convexo en x = a f′′(a) < 0: f(x) es cóncavo en x = a

4.1.3 Extremo relativo Un extremo relativo es un punto en el cual una función esta a un máximo o mínimo. Para ello, la función debe estar en un punto en el cual no esta creciendo ni decreciendo, y por ende, su primera derivada debe ser igual a cero o indefinida. Un punto en el dominio de una función donde la derivada iguala a cero o es indefinida es llamado punto o valor critico.

y

x

a

x

y

a

x

y

a x

a

y



a a a

x

y y

x a

Gráfico 4-3

Mínimo relativo en x=a Máximo relativo en x=a f′(a) = 0 f′′(a) > 0 f′(a) = 0 f′′(a) < 0

4.1.4 Puntos de inflexión Un punto de inflexión es un punto en el grafico donde la función cruza su línea tangente y cambia de cóncavo a convexo y viceversa. Los puntos de inflexión pueden ocurrir solo donde la segunda derivada iguala a cero o es indefinida. Es decir, f′′(a)=0.

Gráfico 4-4

f′′(a)=0

f′(a) = 0 f′(a) = 0 f′(a) < 0 f′(a) > 0

f′′(a) = Nd

f′(a) > 0 f′(a) < 0 f′(a) = 0

y

x

y

x

a

x

y y

x

a

y

x

y

x

y

x


4.2 Optimización sin restricción 4.2.1 Funciones objetivo de una variable Sea la función: y = f(x), los pasos o condiciones para obtener el (los) máximo(s) o mínimo(s) relativo(s) serán:

1. Identificar los puntos críticos. Tomar la primera derivada e igualarla a 0, dy 0dx

=

2. Tomar la segunda derivada, evaluar los puntos críticos, y revisar los signos. Esta condición es llamada “condición suficiente”. Si un punto critico es “a”, entonces:

• f′′(a) < 0, la función es cóncava en “a”, por ende un máximo relativo • f′′(a) > 0, la función es convexa en “a”, por ende un mínimo relativo • f′′(a) = 0, el test es inconcluso y es necesario realizar el test de las “derivadas

sucesivas”:

- Si el primer valor diferente de cero de una derivada de orden superior, cuando se evalúa un punto critico es una derivada de grado impar (tercer, quinto, etc.) la función es un punto de inflexión.

- Si el primer valor diferente de cero de una derivada de orden superior,

cuando es evaluado en un punto crítico es una derivada de grado par, entonces la función es un extremo relativo en “a”. Si esta derivada tiene valor negativo entonces la función es cóncava en “a” (y por ende, es un máximo relativo). Caso contrario, la función es convexa y presenta un mínimo relativo en “a”.

Ejercicio 76: Obtener el extremo relativo de la siguiente función:

f(x) = -7x2 + 126x - 23 Solución. Calculando la primera derivada e igualándola a 0:

f′(x)=-14x + 126 = 0 x = 9 (valor critico)



Tomando la segunda derivada y evaluando el valor critico:

f′′(x) = -14, entonces f′′(9) = -14 < 0 es cóncavo, máximo relativo. Ejercicio 77: Obtener el extremo relativo de la siguiente función:

f (x) = 2x4 – 16x3 + 32x2 + 5 Solución. Calculando la primera derivada e igualándola a 0:

f′(x) = 8x3 – 48x2 + 64x = 0 f′(x) = 8x( x – 2 ) ( x – 4) = 0

x=0, x=2, x=4 (puntos críticos)

Tomando la segunda derivada y evaluando los puntos críticos:

f′′(x) =24x2 - 96x +64 f′′(0) =24(0)2 – 96(0) +64 = 64 >0 convexo, mínimo relativo f′′(2) =24(2)2 – 96(2) +64 = -32 <0 cóncavo, máximo relativo f′′(4) =24(4)2 – 96(4) +64 = 64 >0 convexo, mínimo relativo Ejerció 78: Obtener el extremo relativo de la siguiente función:

f(x) = - ( x - 8 )4 Solución. Calculando la primera derivada e igualándola a 0:

f′(x) = -4( x - 8 )3 = 0 x=8 (punto critico) Tomando la segunda derivada y evaluando el punto crítico:

f′′(x) = -12( x - 8 )2

f′′(8) = -12( 8 - 8 )2 = 0 Se requiere el test de derivadas sucesivas.

f′′′ (x) = -24( x - 8 )

f′′′ (8) = -24( 8 - 8 ) = 0 test inconcluso



f′′′′ (x) = -24 f′′′′ (8) = -24

<0 cóncavo, máximo relativo

Ejercicio 79: Buscar la relación entre: a) Producto total, b) Producto medio, y c) Producto marginal de la siguiente función de producción:

PT = 90K2 – K3 Solución. a) Condición de 1er Orden para encontrar los valores críticos.

PT′ = 90K – 3K2 = 3K (60-K) = 0

K=0 y K=60 (valores críticos)

Probar las condiciones de 2do Orden. PT′′ = 180 – 6 K PT′′ (0) = 180 (convexo mínimo relativo) PT′′ (60) = -180 (cóncavo, máximo relativo) Comprobar puntos de inflexión.

K < 30 → PT′′ > 0 (convexo) PT′′ = 180 – 6 K = 0 ⇒ K = 30 K > 30 → PT′′ < 0 (cóncavo)

Puesto que K = 30, PT′′ = 0, hay un punto de inflexión en K=3

b) Pmek = PTK

= 90K – K2

Pme′k = 90 – 2K = 0 K=45 (valor critico) Pme′′k = -2 < 0 (cóncavo, máximo relativo) c) PMgk= PT′ = 180K - 3K2 PMg′′k = 180 – 6K = 0 K=30 (valor crítico)



PMg′′k = –6 <0 (cóncavo, máximo relativo)

Gráfico 4-5 PT Pmg=0 108000 91125 Pme máximo 54000 Pmg máximo Pmg. 30 45 60 K Pme. 2700 Pmg. Pme. 30 45 60 K

4.2.2 Funciones objetivo de dos variables

Para que una función como z = f (x,y) tenga un mínimo o máximo relativo, tres condiciones deben ser satisfechas: 1. Las derivadas parciales de primer orden deben simultáneamente ser iguales a

cero. Ello indica que en un punto dado (a,b) llamado “punto critico”, la función no esta creciendo ni decreciendo con respecto a los ejes principales sino a una superficie relativa.



2. Las derivadas parciales de segundo orden deben ser negativas cuando ellas son evaluadas en el punto critico (a,b) para un máximo relativo y positivas para un mínimo relativo. Ello asegura que la función es cóncava y moviéndose hacia abajo en relación a los ejes principales en el caso de un máximo relativo y la función es convexo y moviéndose hacia arriba en relación a los ejes principales en el caso de un mínimo relativo.

3. El producto de las derivadas parciales de segundo orden evaluadas en el punto

crítico deben exceder el producto de las derivadas parciales cruzadas también evaluadas en dicho punto. Esta condición adicional es necesaria para evitar un punto de inflexión o punto de silla (ver gráfico 4-6). En resumen:

Condición necesaria Máximo Mínimo

Primer orden fx = fy = 0 fx = fy = 0

Segundo orden* fxx , fyy < 0 y fxx , fyy > (fxy)2 fxx , fyy > 0 y fxx , fyy < (fxy)2 Nota: las derivadas parciales de segundo orden son evaluadas en el punto critico (a,b) o los puntos críticos que hubieren.

En la situación que fxx fyy < (fxy)2, cuando fxx y fyy tienen el mismo signo, la función esta en un punto de inflexión. Caso contrario, la función estará en un punto de silla. Si fxx fyy = (fxy)2 entonces se requeriría mayor información.

Gráfico 4-6

xy

Mínimo Máximo

y x

z

z



Punto de Silla

z

y

x

Ejercicio 80: En la siguiente función encontrar los puntos críticos y determinar si éstos son máximos o mínimos relativos, puntos de inflexión o puntos de silla:

f(x, y) = 3x3 – 5y2 – 225x + 70y + 23 Solución. Calculando la primera derivada e igualándola a 0:

fx = 9x2 – 225 = 0 fy = -10y + 70 = 0

Resulta: x = 5, ± y 7= . Entonces los puntos críticos serán: (5,7) y (5,-7) Las segundas derivadas (sin evaluarlas o testearlas)

fxx = 18 x

fyy = -10

fxy = fyx = 0

Evaluando el punto crítico (5,7):

fxx ( 5, 7 ) = 18 (5) = 90 fyy ( 5, 7 ) = -10

¿Cumple fxx ( 5, 7 ). fyy ( 5, 7 ) > [ fxy(5,7) ]2 ?

90. (-10) < [ 0 ]2 (no cumple!)

Entonces este punto crítico no es ni máximo ni mínimo. Puesto que fxx y fyy (evaluadas en este punto crítico) tienen signo diferente, se concluye que este punto es un punto de silla.



Evaluando el punto crítico (-5,7) fxx ( -5, 7 ) = 18 (-5) = -90

fyy ( -5, 7 ) = -10

¿Cumple fxx ( -5, 7 ). fyy ( -5, 7 ) > [ fxy(-5,7) ]2 ?

-90. (-10) > 0 (Si cumple!)

Dado que se cumple fxx ( -5, 7 ). fyy ( -5, 7 ) > [ fxy(-5,7) ]2 y además, fxx, fyy < 0 entonces el punto en análisis es un máximo. Ejercicio 81: En la siguiente función encontrar los puntos críticos y determinar si éstos son máximos o mínimos relativos, puntos de inflexión o puntos de silla:

f (x,y) = 3x3 +1.5y2 – 18xy +17 Solución. Calculando la primera derivada e igualándola a 0 (condición de primer orden):

fx= 9x2 – 18y = 0 y= ½ x2 fy= 3y – 18x = 0 y = 6x

Donde x = 0, x = 12, y = 0, y = 72. Así, los puntos críticos son: (0,0) y (12,72) Calculando las segundas derivadas:

fxx = 18x fyy = 3 fxy = fyx = -18 Evaluando el punto crítico (0,0) fxx = ( 0, 0 ) = 18 (0) = 0

fyy = ( 0, 0 ) = 3

¿Cumple que fxx ( 0, 0 ). fyy ( 0, 0 ) > [ fxy(0,0) ]2 ?

0.3 < ( -18 )2 (No cumple)

Entonces este punto crítico no es ni máximo ni mínimo. Puesto que fxx y fyy (evaluadas en este punto crítico) tienen signos iguales entonces es un punto de inflexión. Evaluando el punto crítico (12,72)




fxx = ( 12, 72 ) = 18 (12) = 216 fyy = ( 12, 72 ) = 3 ¿Cumple que fxx( 12, 72 ).fyy( 12, 72 ) > [ fxy(12,72) ]2 ?

216.3 > ( -18 )2 (Si cumple!)

Dado que se cumple fxx ( 12, 72 ). fyy ( 12, 72 ) > [ fxy (12,72) ]2 y además, fxx , fyy > 0 entonces el punto en análisis es un mínimo relativo.

4.2.3 Funciones objetivo con más de dos variables

Considerando una función de tres variables z = f ( x1, x2, x3 ) cuyas derivadas parciales primeras son f1, f2 y f3 y las derivadas parciales segundas fij ( ≡ ∂2z / ∂xi∂xj ) ; con i, j=1, 2, 3. Conforme al teorema de Young se sabe que fij = fji .Como en los casos anteriores, para tener un máximo o un mínimo de z es necesario que dz = 0 para valores arbitrarios de dx1, dx2 y dx3, no todos nulos. Ya que el valor de dz es ahora dz = f1dx1 + f2dx2 + f3dx3. Ya que dx1, dx2 y dx3 son no nulos, la única forma de garantizar que dz = 0 es f1 = f2 = f3 = 0. En otras palabras, lo mismo que en el caso de dos variables. Generalizando para 3 o más variables, el test de determinante para un extremo relativo en este caso será:

Condición necesaria Máximo Mínimo

Primer orden f1 = f2 = f3 = .. = fn = 0 f1 = f2 = .. = fn = 0 Segundo orden* ∣H1∣ < 0; ∣H2∣ > 0; ∣H3∣ < 0;..;(-1)n ∣Hn∣ > 0 ∣H1∣, ∣H2∣,..,∣Hn∣>0

Donde nH es el determinante de la matriz Hessiana (simétrica).

Hessiano (simétrico) Es simplemente una matriz conformada por derivadas de segundo grado. Esta matriz es utilizada para testear máximos o mínimos en funciones con n variables. En general, el hessiano será:

∣H1∣ = f11

11 122

21 22

f fH

f f=

11 12 13

3 21 22 2

31 32 33

f f fH f f f

f f f= 3

11 12 1n

21 22 2n

n1 n2 nn

f f ... ff f ... f

H. . ... .

f f ... f

=

Donde los Menores serán

Y así sucesivamente.



Para el caso de una matriz hessiana del orden 3 x 3, los menores pueden denotarse como:

∣H1∣ = f11

11 122

21 22

f fH

f f=

11 12 13

21 22 23

31 32 33

f f fH f f f

f f f=

∣H3∣ = ∣H∣ Ejercicio 82: Hallar los valores extremos de

z = - x13 + 3x1 x3 + 2x2 - x22 - 3x32 Solución. Las derivadas parciales son:

f1 = - 3x12 + 3x3 f2 = 2 - 2x2 f3 = 3x1 - 6x3 Ahora, haciendo f1 = f2 = f3 = 0, los puntos críticos serán: (0, 1, 0) y (0.5, 1, 0.25). Reemplazando tales puntos en la función original “z”, se tiene que z 1= , y z 17 16= ,

respectivamente. Las derivadas parciales de segundo orden dispuesta ordenadamente en el hessiano:

16x 0 3H 0 2 0

3 0

−= −

6−

1. Usando (0, 1, 0), el hessiano es:

∣H1∣ = 0 ∣H2∣ = 0

0 0 3H 0 2 0

3 0 6= −

−

∣H3∣ = 18 No concuerda con ninguna de las dos test. Entonces es necesaria mayor información.

2. Usando (1/2, 1, 1/4) el hessiano es:


∣H1∣ = -3 ∣H2∣ = 6

3 0 3H 0 2 0

3 0 6

−= −

−

∣H3∣ = -18 Cumple el test, entonces, el punto z 17 16= es máximo.

Ejercicio 83: Utilizar el criterio del Hessiano con el ejercicio 81. Solución. En el ejemplo 81 se obtuvieron los puntos críticos (0, 0) y (12, 72), ahora analizaremos la segunda derivada con el criterio del Hessiano. Las segundas derivadas: fxx = 18x fyy = 3 fxy = fyx = -18 El hessiano será:

xx xy

yx yy

f fH f f=

18x 18H

18 3−

=−

1. Evaluando el hessiano para el punto (0,0):

∣H1∣ = 18(0) = 0 18(0) 18

H18 3

−=

−

∣H2∣ = 18(0) x 3 – (-18) (-18)= -324 Puesto que ∣H1∣ = 0 y ∣H2∣ < 0 entonces el punto no es máximo ni mínimo. Es un punto de silla o de inflexión (revisar los criterios).

2. Evaluando el hessiano en el punto (12,72):

∣H1∣ = 18(12) = 216 18(12) 18H

18 3−

=−

∣H2∣ = 18(12) x 3 – (-18) (-18)= 324

Dado que ∣H1∣ > 0 y ∣H2∣ > 0, el punto es un mínimo. Cuando se utiliza el criterio del hessiano para funciones de dos variables es necesario resaltar lo siguiente:




La matriz hessiana será de orden 2:

xx xy

yx yy

f fH f f=

Para el caso de un máximo, el hessiano requiere inicialmente que:

∣H1∣ < 0, o lo que es igual

fxx < 0 (i)

Además, se requiere que 2H > 0 , o lo que es igual:

fxx fyy - fyx fxy > 0 (ii)

Recordando que fxy = fyx, tal expresión puede quedar como:

fxx fyy > (fxy)2 (iii)

Dado que fxx < 0, para que la expresión (iii) sea válida, es necesario que:

Entonces, para que el punto critico sea un máximo se requiere que se cumpla (i), (iii) y (iv), condiciones de suficiencia conforme a la sección 4.2.2. Note que la multiplicación de las segundas derivadas parciales debe ser positiva (fxx fyy > 0) ya que cada segunda derivada debe ser negativa. Para el caso de un mínimo, el lector puede fácilmente demostrar que las condiciones señaladas en el punto 4.2.2 igualmente coinciden con el criterio del hessiano (simétrico). ¿Por qué?. En realidad, el hessiano (simétrico) es el caso general para optimización funciones de cualquier orden. 4.3 Optimización con restricción 4.3.1 Funciones con igualdades Se plantea un nuevo problema, el de optimizar una función sujeta a una restricción de igualdad:

fyy < 0 (iv)



Maximizar f (x1, x2) Sujeto a g(x1, x2) = k (una constante),

Para encontrar la solución a este nuevo tipo de problema, se debe formar una nueva función F que debe ser formada por (1) estableciendo la restricción igual a cero, (2) multiplicándolo por (el multiplicador de Lagrange) y (3) sumando el producto a la función original:

λ

F(x1, x2, λ ) = f(x1, x2) + λ [ k - g(x1, x2)]

Aquí, F(x1, x2, ) es llamada la función Lagrangiana, f(x1, x2) es la función objetivo u original, y g(x1, x2) es la restricción. Puesto que la restricción es siempre igual a cero, el producto [ k - g(x1, x2)] también es igual a cero y la suma de tal término no cambia el valor de la función objetivo. Los valores críticos x0, y0 y

λ

λ

0λ (para los cuales la función

es optimizada) son obtenidos tomando las derivadas parciales de F (con respecto a cada una de las tres variables independientes) e igualándolas a cero. Es decir, simultáneamente:

F1(x1, x2, λ ) = 0 F2(x1, x2, λ ) = 0 λF (x1, x2, λ ) = 0

Donde F1 expresa una derivada parcial ∂ F/ ∂ x1 Ejemplo: Considere el siguiente problema con tres variables de decisión (x, y, z),

donde la ecuación G(.) = c (es una constante) y determina un conjunto de restricciones para (x, y, z), en el espacio, el cuál es una superficie y lo denotaremos por SG. El problema es determinar el valor más grande de la función V (x1, y, z ) para puntos (x, y, z) sobre la superficie SG.

Maximizar V ( x, y, z ) Sujeto a G ( x, y, z ) = c (1)

Solución: Paso 1: formar el lagrangiano.

L = V (x, y, z ) – λ [G (x, y, z ) – c] (2)


Paso 2: Por las condiciones de primer orden tomar las derivadas parciales.

Lx = Ly = Lz = 0 (3)

Paso 3: La solución a este problema es mostrado en la gráfico (4-7) por el punto

P* = ( x*, y*, z* ) sobre la superficie SG donde la función objetivo V (x1, y, z ) consigue

ser máximo. Considere también que el volumen V (.) pasa por P* y es tangente a la

superficie de restricción SG.

Gráfico (4-7)

x

P∗ z

GS

y

∗ ∗ ∗ ∗=V V(x ,y ,z )

Ejercicio 84: Considerar el siguiente ejemplo:

Maximizar 2x – 3y + z Sujeto a x2 + y2 + z2 = 9

Solución. Paso 1: formamos el lagrangiano para este problema

L = 2x – 3y + z - λ (x2 + y2 + z2 - 9)

Paso 2: Por las condiciones necesarias de primer orden




∂∂Lx

= 2 - 2λ x = 0 (1)

∂∂Ly

= -3 - 2λ y = 0 (2)

∂∂Lz

= 1 - 2λ z = 0 (3)

∂∂λL = - x2 - y2 - z2 + 9 (4)

Paso 3: Resolver el sistema de ecuaciones: De la ecuación (1) y (2)

2 - 2λ x = 0 →λ = 1/x -3 - 2λ y = 0 →λ = -3/2y Igualando λ se obtiene: y = - 3x/2 (en función de x) …(a) De la ecuación (1) y (3)

2 - 2λ x = 0 →λ = 1/x 1 - 2λ z = 0 →λ = 1/2z Igualando λ se obtiene: z = x/2 (en función de x) …(b) Luego reemplazamos (a) y (b) en la restricción

2 22 3x xx 0

2 2−⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠= x 3 2= ± 7

Resulta en dos soluciones:

x1 = 3 2 7 = 1.6 y1 = -9 / 14 = -2.41 z1 = 3 / 14 = -0.8

x2 = 3 2 7 = -1.6 y2 = 9 / 14 = 2.41 z2 = -3 / 14 = -0.8

Notamos sin embargo que:

V (x1, y1, z1)= 42/ 14 = 11.22

V (x2, y2, z2)= -42/ 14 = -11.22



Por lo tanto, el punto máximo es ( x1, y1, z1 ) y el punto mínimo es ( x2, y2, z2 ). El problema y la solución son retratados en la siguiente gráfico (4-8).

Gráfico (4-8)

V* 11.22 2x 3y z= = − +

2 2 2x y z 9+ + =

1 1 1(x ,y ,z ) (1.6, 2.4,0.8)= − Ejercicio 85: Considere una economía de recurso basada en que cada obreros (L) puede optar por cosechar árboles madereros (T) o pescar (F). Suponga que la economía exporta tanta madera como peces y se enfrentan a precios mundiales constantes significados PT y PF respectivamente. La siguiente curva de transformación son combinaciones técnicamente eficientes de madera, peces y trabajo

G( T, F, L ) = T2 + F2 / 4 – L = 0

Suponga que PT = $ 500 / TM, PF = $ 1000 / TM y L = 1700 es el número de las horas disponibles asignados entre cosechar árboles madereros o pescar. Resolver el problema de optimización estático que trata de maximizar el valor de la cosecha sujeto a la función de transformación.

z

y

x

11

4

6

3

3

3


Solución. Paso1: Formamos el problema de maximización. Maximizar V = 500T + 1000F Sujeto a T2 + F2 / 4 = 1700 Paso 2: Formamos el lagrangiano.

L = 500T +1000F - λ ( T2 + F2 / 4 - 1700 ) Paso 3: Por las condiciones de primer orden

∂∂LT

= 500 – 2λ T = 0 (1)

∂∂LF

= 1000 – 0.5λ F = 0 (2)

∂∂λL = -T2 + F2 / 4 - 1700 (3)

Paso 4: Resolvemos el sistema de ecuaciones -De la ecuación (1)

500 – 2λ T = 0 → λ = 250/T (a) -De la ecuación (2)

1000 – 2λ F = 0 → λ = 2000/F (b) - Igualamos (a) y (b) y obtenemos F en función de T.

λ = =250 2000T F

→ F = 8T

(c)

Luego reemplazamos (c) en la restricción (3). ( )2

2 8TT 1700

4+ =




Las soluciones son:

T = 10 F = 80 λ = 25

Por lo tanto, la economía debe asignar la fuerza de trabajo disponible para producir 10 toneladas métricas de madera y 80 toneladas métricas de peces. El valor marginal (precio sombra) de una unidad adicional de trabajo es $25/horas. Hessiano Orlado Ahora, para determinar si los valores críticos corresponden a un máximo o mínimo, es necesario utilizar el criterio del Hessiano Orlado. Este tipo de hessiano se aplica para el caso de optimización de funciones con restricciones. En general, cuando la función objetivo toma la forma de F = F ( x1, x2,…. Xn) sujeta a g( x1, x2,…. Xn) = k, el Hessiano Orlado será de la forma siguiente:

1 2

2 1 11 12

2 21 22

0 g gH g F F

g F F≡

2

1 2 n

1 11 12 1n

21 22 2n

n n1 n2 nn

0 g g ... gg F F ... Fg F F ... FH... ... ... ... ...g F F ... F

= 1 2 3

1 11 12 133

2 21 22 23

3 31 32 33

0 g g gg F F F

Hg F F Fg F F F

≡

Condición necesaria

Máximo Mínimo

Primer orden λF = F1 = F2 = .. = Fn = 0 λF = F1 = .. = Fn = 0

Segundo orden 2H 0> ; 3H 0< ; 4H 0> ;..; nn( 1) H 0− > 2 3 nH , H ,..., H 0<

Ejercicio 86: Optimizar la función sujeto a una restricción. Maximizar z = 4x2 + 3xy + 6y2 Sujeto a x + y = 56 Solución. Paso 1: Formar el lagrangiano, pero primero establecemos la restricción igual a cero, sustrayendo las variables de la constante:



56 – x – y Multiplicar esta diferencia por y sumar el producto de ambos a la función objetivo a fin de formar la función Lagrangiana Z.

λ

Z = 4x2 + 3xy + 6y2 + λ ( 56 – x – y )

Paso 2: Calcular las derivadas parciales de primer orden, igualarlas a cero y resolverlas simultáneamente.

Zx = 8x + 3y - λ = 0 Zy = 3x + 12y - λ = 0

Z = 56 – x – y λ

Paso 3: Resolviendo las derivadas parciales se obtiene

x = 36 y = 20 λ = 348 Luego substituyendo tales valores críticos en la función objetivo

Z = 4 (36)2 + 3 (36)(20) + 6(20)2 + (348)( 56 - 36 - 20 ) Z = 9744 Paso 4: Ahora es necesario corroborar si el punto critico obtenido es máximo o mínimo local. Para ello, se formulará el Hessiano Orlado y luego se procederá a analizar los test respectivos. El Hessiano Orlado requiere derivadas de segundo orden:

Zxx = 8 Zyy = 12 Zxy = 3 Ordenando estos valores apropiadamente en el Hessiano Orlado:

0 1 1

H 1 8 31 3 12

= y calculando su determinante



2 3 42

8 3 1 3 1 8H H 0( 1) 1( 1) 1( 1) 14

3 12 1 12 1 3= = − + − + − = −

Así el punto (36, 20) es un mínimo relativo.

4.3.2 Funciones con desigualdades Algunos problemas económicos requieren condiciones de desigualdades, por ejemplo cuando se desea maximizar la utilidad sujeta a gastar no más que x soles o minimizar costos sujeto a producir no menos que x unidades de producción. En estos casos se utiliza la programación “cóncava” (llamada así porque tanto la función objetivo como la restricción son funciones asumidas cóncavas) es una forma de programación no lineal diseñada para optimizar funciones sujetas a restricciones de desigualdad. Las funciones convexas no son excluidas ya que el negativo de una función convexa es una función cóncava. Normalmente, el problema de optimización se establece en el formato de problema de maximización, no obstante, la programación cóncava puede además minimizar una función mediante la maximización del negativo de la función convexa. Dado un problema de maximización sujeto a una restricción de desigualdad con la siguiente función objetivo cóncava diferenciable,

Maximizar f ( x1, x2 )

Sujeto a g ( x1, x2 ) siendo x1, x2 ≥ 0 Así, la función Lagrangiana correspondiente será:

F( x1, x2, λ ) = f( x1, x2) + λ g( x1, x2) Las condiciones suficientes y necesarias de primer orden para la maximización, llamadas condiciones de Kuhn-Tucker son:

i i 2 i 1 2i

F f (x ,x ) g (x ,x ) 0x∂

= + λ∂

≤ 1 2

F g(x ,x ) 0∂= ≥

∂λ

ix 0≥

0λ ≥


ii

i

Fx 0x∂

=∂

F 0∂λ =∂λ

Donde las condiciones en (c) son llamadas condiciones complementarias, significando que tanto x como f '(x) no pueden ser -simultáneamente- cero. Puesto que una función lineal es cóncava y convexa, aunque no estrictamente cóncava o estrictamente convexa. En las condiciones de Kuhn-Tucker la restricción es siempre expresada como más grande o igual que cero. Esto significa que a diferencia de las restricciones de igualdad que son establecidas igual a cero, el orden de la sustracción es importante en programación cóncava. Para el máximo en F, una solución interior (Figura a)

f′(x) = 0 y x > 0 Para el máximo en G, una solución de frontera (Figura b)

f′(x) = 0 y x = 0 Para el máximo en H o J, ambas soluciones de frontera (Figura c)

f′(x) < 0 y

x = 0

Todas las posibilidades para un máximo en el primer cuadrante pueden ser resumidas como:

f′(x) ≤ 0 x ≥ 0 y x f′(x) = 0 Los cuales son reconocibles como parte de las condiciones de Kuhn-Tucker. Notar que tales condiciones automáticamente excluyen un punto como K en (a) el cual no es un máximo, porque f′(K) > 0. Cabe mencionar que la expresión x f′(x) = 0 significa que al menos una de las dos cantidades debe tomar el valor cero.



Gráfico 4-9

Condición (a) Condición (b) Condición (c)

f(x)

F

K

G

f(x)

J

H

x

f(x)

f(x)

x x

El problema entonces se reduce a probar las 8 diferentes posibilidades:

0λ > x > 0 y > 0 0λ = x > 0 y > 0

0λ > x = 0 y > 0 0λ = x = 0 y > 0

0λ > x > 0 y = 0 0λ = x > 0 y = 0

0λ > x > 0 y = 0 0λ = x = 0 y = 0

Normalmente, las posibilidades encerradas en el recuadro son las más comunes. Por ello, es sugerible que sean las primeras en ser probadas. Ejercicio 87: Maximizar la función de beneficio sujeto a una restricción de producción.

Maximizar : π = 64x – 2x2 + 96y - 4y2 - 13 Sujeto a : x + y ≤ 36 Solución. Paso 1: Formamos la función Lagrangiana

π = 64x – 2x2 + 96y - 4y2 - 13 + λ (36 – x – y) Paso 2: Por las condiciones de Kuhn-Tucker πx = 64 – 4x - ≤ 0 λ πy = 96 – 8y - λ ≤ 0 λπ = 36 – x – y ≥ 0



x ≥ 0 y ≥ 0 λ≥ 0 x ( 64 -4x - ) = 0 λ y ( 96 – 8y - λ ) = 0 λ ( 36 – x – y ) = 0 Paso 3: Se testean o revisan las condiciones de Kuhn-Tucker,

(a) Si λ , x, y > 0 entonces de las condiciones de Kuhn-Tucker llevan a:

64 -4x - λ = 0 96 – 8y - λ = 0 36 – x – y = 0

En forma de matriz, 4 0 1 x 64

0 8 1 y 961 1 0 36

− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − λ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Usando la Regla de Cramer donde:

∣A∣ = 12 ∣Ax∣ = 256 ∣Ay∣ = 176 ∣ λA ∣ = -256

se obtiene que: x= 21.33 y = 14.67 λ = -21.33 Lo cual no puede ser óptimo ya que λ< 0 y contradice las condiciones de Kuhn-Tucker. (b) Si λ= 0 y x, y > 0 entonces

64 – 4x = 0 x = 16 96 – 8y = 0 y = 12

Esto da la solución correcta: x = 16, y = 12 y λ= 0, lo cual es óptimo ya que no viola ninguna condición de Kuhn-Tucker. Ejercicio 88: Minimizar la función de costo, sujeto a una restricción de igualdad.

Maximizar : K = 5x2 – 80x + y2 – 32y Sujeto a : x + y ≥ 30




Solución. Paso 1: Multiplicando la función objetivo por –1 y estableciendo el Lagrangiano,

C = -5x2 + 80x - y2 + 32y + λ (x + y – 30) Paso 2: Donde las condiciones de Kuhn-Tucker son, Cx = -10x + 80 + ≤ 0 λ Cy = -2y + 32 + λ ≤ 0 λC = x + y – 30 ≥ 0

x ≥ 0 y ≥ 0 λ≥ 0 x( -10x + 80 + ) = 0 λ y(-2y + 32 + λ ) = 0 λ ( x + y – 30) = 0 Paso 3: Se testean o revisan las condiciones de Kuhn-Tucker, (a) Si λ= 0 x, y > 0 entonces de las condiciones de Kuhn-Tucker llevan a:

Si = 0 entonces de x ( -10x + 80 + λ λ ) = 0 se tiene que:

x =8, y = 16

Sin embargo, estos resultados violan λC = x + y – 30 ≥ 0 ya que: 8 + 6 – 30 ≤ 0.

(b) Si λ > 0, x, y > 0 todas las primeras derivadas parciales son estrictas igualdades:

10 0 1 x 800 2 1 y 321 1 0 30

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢λ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

Donde:

∣A∣= 12 ∣A1∣= 109 ∣A2∣= 252 ∣A3∣= 440 Y se obtiene que:

x = 9

y = 21

λ= 36.67

Lo cual dan la solución óptima, ya que ninguna condición de Kuhn-Tucker es violada.


4.4 Ejercicios resueltos Ejercicio 89: Maximizar la función de ingreso total

IT = 32q – q2 Solución. Paso 1: CPO: (condiciones de primer orden)

IT′ = 32 – 2q = 0 q = 16 (valor critico) Paso 2: Evaluar la segunda derivada

IT′′ = -2 < 0 (cóncavo, máximo relativo) Así, el ingreso total máximo será: IT(16) = 32(16) – (16)2 = 256 Ejercicio 90: Maximizar la función de beneficio:

π = - q3 / 3 - 5q2 + 200q - 326 Solución. Paso 1: CPO (condiciones de primer orden)

π ′ = - q2 - 10q + 2000 = 0 (q + 50) (q – 40) = 0 De donde los valores críticos son: q = -50 y q = 40

Paso 2: Evaluar la segunda derivada π ′′ = - 2q - 10 π ′′(40) = - 2 ( 40 ) – 10 = -90 < 0 (cóncavo , mínimo relativo) π ′′(50) = - 2 ( 50 ) – 10 = 90 > 0 (convexo , máximo relativo)

Puesto que q = -50 es negativo no tiene significado económico, el valor crítico negativo es descartado. Entonces el beneficio máximo será cuando q = 40:



π (40) = - 13

(40)3 – 5 (40)2 + 2000 (40) – 326 = 50340.37

Ejercicio 91: Encontrar el nivel de producción de cada bien a fin de maximizar el beneficio, si una firma produce dos bienes x e y; si la firma tiene la siguiente función de beneficio:

π = 64x – 2x2 + 4xy – 4y2 +32y – 14 Solución. Paso 1: CPO (condiciones de primer orden)

πx = 64 – 4x + 4y = 0

πy = 4x – 8y + 32 = 0

Paso 2: Resolver el sistema

x=40 y 24= Paso 3: Calcular las segundas derivadas y asegurarse que ambas son negativas, como se requiere para un máximo relativo.

πxx = -4 πyy = -8 (si cumple!)

Paso 4: Tomar las derivadas cruzadas para asegurarse que .

Sabiendo que ,

2xx yy xy( )π π > π

xy yx 4π = π =

2

xx yy xy( )π π > π

(-4)(-8) > (4)2 36 >16

Así, los beneficios son maximizados cuando x 40= e y 24= . En ese punto el beneficio es . 1650π =

Ejercicio 92: Sea la función de demanda:

P = 12.50e-0.005Q



a) Encuentre el precio y la cantidad que maximiza el ingreso total. b) Compruebe que realmente dicha cantidad y el precio maximizan P. Solución. a) Primero formamos el ingreso total: I = PQ

I = (12.50e-0.005Q )Q Luego por condición de primer orden

dIdQ

= (12.50e-0.005Q)(1) + Q (-0.005)( 12.50e-0.005Q)

dIdQ

= (12.50e-0.005Q)(1-0.005Q)

Ya que: dIdQ

= 0 ⇒ Q = 200 P = 12.50e-0.005(200) =4.60

b) Comprobando (segunda derivada)

I′′ = (12.50e-0.005Q)(-0.05) + ( 1 - 0.005Q )( -0.005 )(12.50e-0.005Q) I′′ = (-0.005) (12.50e-1)(1) = - 0.0625(0.36788)<0 Como I′′ < 0 , entonces la función es maximizada Ejercicio 93: Dado la siguiente función:

z = e (2x2 – 12x - 2xy + y2 – 4y) a) Encontrar los valores críticos b) Determinar si tales valores son máximos y/o mínimos. Solución.

a) zx = ( 4x – 12 – 2y ) e (2x2 – 12x - 2xy + y2 – 4y)

zy = ( -2x + 2y – 4 ) e (2x2 – 12x - 2xy + y2 – 4y)




Puesto que debe cumplirse: zx = zy = 0, entonces, x= 8 y y = 10 b)

zxx = ( 4x – 12 – 2y ) (4x – 12 – 2y ) e (2x2 – 12x - 2xy + y2 – 4y) + e (2x2 – 12x - 2xy + y2 – 4y) (4)

zyy = ( -2x + 2y – 4 ) ( -2x + 2y – 4 ) e (2x2 – 12x - 2xy + y2 – 4y) + e (2x2 – 12x - 2xy + y2 – 4y) (2)

zxy = zyx = ( 4x – 12 – 2y ) ( -2x + 2y – 4 )e (2x2 – 12x - 2xy + y2 – 4y) + e (2x2 – 12x - 2xy + y2 – 4y) (-2) Evaluando en x=8, y =10

zxx = 0 + 4e –68 > 0 zyy = 0 + 2e –68 > 0 zxy = 0 - 2e –68 < 0

Se cumple que:

zxx , zyy > 0 zxx , zyy > ( zxy )2 Es decir, 8e-76 > 4e-136. Por lo tanto el punto (8, 10) es mínimo. Ejercicio 94: Se tiene las siguientes funciones de demanda de una empresa y también su función de costos:

Q1 = 520 – 10P1 Q2 = 820 – 20P2

C = 0.1 Q12 + 0.1 Q1 Q2 + 0.2 Q22 + 325 Obtenga la combinación óptima de Q1, Q2 a fin de maximizar beneficios. Solución. Paso 1: Despejamos las funciones de demanda en función de las cantidades.

P1 = 520 - 0.1Q1 P2 = 140 - 0.01Q2

Paso 2: Formamos la función de beneficios

1 1 2 2P Q P Q Cπ = + −



π= ( 520 – 0.1Q1) Q1 + (410 – 0.05 Q2) Q2 - ( 0.1Q12 + 0.1 Q1 Q2 + 0.2 Q22 + 325 ) π= 520Q1 – 0.2 Q12 + 410 Q2 – 0.25 Q22 - 0.1Q1 Q2 - 325

Paso 3: Para obtener el máximo π es necesario que: 1 2 0π = π =

π =1 520 - 0.4Q1 - 0.1Q2 = 0

π =2 410 - 0.5Q2 - 0.1Q1 = 0

De ambas ecuaciones: Q1 = 1152.63 Q2 = 589.47 Reemplazando ambos resultados en las funciones de precios respectivas:

P1 = 520 - 0.1( 1152.63) = 404.74 P2 = 410 - 0.05( 589.47) = 380.53

Sea la función de beneficio:

π= 520Q1 – 0.2 Q12 + 410 Q2 – 0.25 Q22 - 0.1Q1 Q2 - 325 (1152.63, 589.47) = 420201.32 π

Ejercicio 95: Dado el siguiente problema de optimización

Maximizar c = 3x +4y Sujeto a 2xy = 337.5

a) Encuentre el(los) valor(es) crítico(s) de la siguiente función de costo. b) Demuestre matemáticamente si la respuesta de a) es un máximo o mínimo. Solución. a) Para encontrar los valores críticos de la fusión de costos, se procederá a resolver en tres pasos: Paso 1: Formar el Lagrangiano

C = 3x +4y + λ ( 337.5 – 2xy) Paso 2: Por condición de primer orden



Cx = 3 - 2λ y = 0 (1) Cy = 4 - 2λ x = 0 (2)

= 337.5 – 2xy λC (3)

Paso 3: Resolver el sistema de ecuaciones, primero despejamos λ de (1) y (2) y lo igualamos para obtener y en función de x

3 - 2 y = 0 λ1.5y

λ = ...(1)

4 - 2 x = 0 λ2x

λ = ...(2)

(1) = (2) 1.5 2 y 0.75xy x

= ⇒ =

Sustituyendo esto en la restricción: x=15,y=11.25 y 0.13λ = b) El hessiano Orlado será:

xx xy x

yx yy y

x y

C C gH C C g

g g 0

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Definiendo: Cxx = 0 Cyy = 0 Cxy = Cyx = -2λ De la restricción g (x, y) = 2xy, entonces gx= 2y y gy= 2x

0 2 2yH 2 0 2x

2y 2x 0

− λ⎡ ⎤⎢ ⎥= − λ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

De donde 2H H 16xy= = − λ . Dado que las 3 variables son positivas, entonces

2H < 0 : C es minimizado!.

Ejercicio 96: Si se gastan “x” miles de dólares en mano de obra, “y” miles de dólares en equipo, la producción de cierta fábrica será Q ( x, y ) = 60x1/3y2/3 unidades. Si hay US$ 120 000 disponibles,


a) ¿Cómo debe distribuirse el dinero entre mano de obra y equipo para generar la mayor producción posible?. b) Demuestre si el resultado maximiza o minimiza la función.

Solución. a) Se procederá a resolver en 4 pasos: Paso 1: Formar el problema de optimización con restricción de igualdad.

Maximizar 60x1/3y2/3 Sujeto a x+y = 120000

Paso 2: La nueva función Lagrangiana

L = 60x1/3y2/3 + λ ( 120000 – x – y ) Paso 3: Por condiciones de primer orden.

Lx = 20x-2/3y1/3 - λ= 0 (1) Ly = 40x1/3y-2/3 - λ= 0 (2)

= 120 – x – y = 0 λL (3)

Paso 4: Resolver el sistema. De (1) despejamos λ λ = 20x-2/3y1/3 (a) De (2) despejamos λ λ = 40x1/3y-2/3 (b) Igualando (a) y (b) se obtiene y en función de x

λ = 20x-2/3y1/3 = 40x1/3y-2/3 y = 2x ⇒ x = 40000, y = 80000 b) Formamos nuestro Hessiano Orlado, primero hallamos las segundas derivadas

Lxx = -40x-5/3y1/3 Lyy = -40x1/3y-5/3

Lxy = Lyx = 20x-2/3y-2/3




Luego reemplazamos en nuestro hessiano orlado y hallamos su determinante.

5 3 1 3 2 3 2 3

2 3 2 3 1 3 5 3

0 1 140 20H 1 x y x y3 3

20 401 x y x y3 3

− −

− − −

= −

−

−

2 3 2 3 5 3 1 3 1 3 5 3

240 40H H x y x y x y3 3

− − − −⎡ ⎤= = + +⎣ ⎦

Fácilmente puede inferirse que toda la suma será positiva, dado que x, y son positivos. Entonces 2H > 0 , por tanto estos valores maximizan la función.

Ejercicio 97: Encuentre los valores óptimos del siguiente problema de optimización

Minimizar C = 5x2 – 80x + y2 - 32y Sujeto a x + y ≥ 26 Solución. Cambiando de signos en la restricción para que el problema sea de maximización:

Maximizar C = -5x2 + 80x - y2 + 32y + λ ( x + y – 26 )

Cx = -10x + 80 + ≤ 0 λ Cy = -2y + 32 + λ ≤ 0 λC = x + y -26 ≥ 0

x ≥ 0 y ≥ 0 0λ ≥ x (-10x + 80 + ) = 0 λ y (-2y + 32 + λ ) = 0 λ ( x +y – 26 ) = 0 Testeando , x > 0 , y y > 0: 0λ >

-10x + 80 +λ= 0 -2y + 32 +λ= 0

Expresado en forma matricial:

10 0 1 x 800 2 1 y 321 1 0 26

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢λ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣

⎤⎥⎥⎥⎦



Sea el determinante principal A y aplicando Cramer:

A = 12 A1 = 100 A2 = 212 A3 = 40

De donde:

1Ax 8.3A

= =

2Ay 17.6A

= =

3A 3.3

Aλ = =

Estos resultados satisfacen las condiciones de Kuhn-Tucker, por tanto son los valores óptimos.

Ejercicio 98: Determine los valores óptimos para la maximización del beneficio.

Maximizar π = 64x – 2x2 + 96y -4y2 -13 Sujeto a x + y ≤ 27 Solución. La función será B = = 64x – 2x2 + 96y -4y2 -13 + λ ( 27 – x – y ) Bx = 64 – 4x - ≤ 0 λ By = 96 – 8y - λ ≤ 0 λB = 27 – x – y ≥ 0

x ≥ 0 y ≥ 0 0λ ≥ x(64 – 4x - λ ) = 0 y (96 – 8y - λ ) = 0 λ (27 – x – y) = 0 Probando con: (implica que debe solucionarse las siguientes ecuaciones): ,x,yλ > 0

64 – 4x - λ = 0 96 – 8y - λ = 0 27 – x – y = 0

Usando Cramer:

4 0 1 x 640 8 1 y 961 1 0 27

− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− − λ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

Sea el determinante principal A y aplicando Cramer:



A = 12 A1 = 184 A2 = 140 A3 = 32

De donde:

1A 184x 15.3A 12

= = =

2A 140y 11.6

A 12= = =

3A 32 2.6

A 12λ = = =

Lo cual es la solución optima porque cumple las condiciones de Kuhn-Tucker. Ejercicio 99: El departamento de investigación de mercado determino que hay una relación entre el precio y la cantidad: P = 12 – 2lnx ( 0 < x < 90 ) para un producto dado. Si cada unidad del producto cuesta S/. 3, determine la cantidad de tal producto que optimiza el beneficio de tal dpto. Compruebe si dicha cantidad maximiza o minimiza el beneficio. Solución. Sea π nuestra función de beneficio: = IT - CT π

= ( 12 -2 lnx)x - 3x π

= 9x – 2xlnx π

d 19 2x 2lnxdx xπ ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟

⎝ ⎠ Por condiciones de

primer orden: πd

dx= 7 – 2lnx

Resolviendo: d 0

dxπ= 7 – 2lnx = 0 x = e 3.5

Tomando la segunda derivada de la función de beneficio.

π ′′(x) = -2/x ⇒ ′′(e3.5) π (es máximo) Ejercicio 100: Compruebe formalmente y determine la cantidad que maximiza el beneficio. Si nos dan información sobre la forma funcional del ingreso total y costo total. IT = 15Q1 + 18Q2

CT = 2Q12 + 2Q1Q2 + 3Q22



Solución. Sea nuestra función de beneficio: π

π = 15Q1 + 18Q2 - 2Q12 - 2Q1Q2 - 3Q22

Por las condiciones de primer orden.

∂π∂ 1Q

= 15 - 4Q1 - 2Q2 = 0

∂π∂ 2Q

= 18 – 2Q1 - 6Q2 = 0

De ambas expresiones se tiene que: 1Q 2.= 7 y 2Q 2.= 1 Dado que ′′(Q1) = -4 , ′′(Q2) = -6 y = -2 , se tiene que el punto que maximiza

el beneficio.

π π π1 2Q Q

Ejercicio 101: Sea: Función de Ingreso:

aQ1 + bQ2

Función de Costo: cQ12 + dQ1Q2 +eQ22 Determine: a) Función de beneficios b) La cantidad que maximiza el beneficio c) La condición para que la función de beneficio tenga un máximo d) La condición para que la función de beneficio tenga un mínimo e) ¿Es posible establecer una(s) condición(es) para que la función de beneficio tenga un punto de silla?. De ser cierto, ¿cuál(es) seria(n)? f) ¿Es posible establecer una(s) condición(es) para que la función de beneficio tenga un punto de inflexión?. De ser cierto, ¿cuál(es) seria(n)? Solución. a) La función de beneficios se construirá a partir de la diferencia de la función de ingresos menos la función de costo:



π = aQ1 + bQ2 - cQ12 - dQ1Q2 - eQ22

b) Para hallar la cantidad que maximiza el beneficio se procederá a diferenciar la función de beneficios en función de cada una de las variables, en este caso será en función de Q1 y Q2:

π1Q = a – 2cQ1 - dQ2 π

2Q = b – dQ1 – 2eQ2

La condición de primer orden será: π

1Q = π2Q = 0. Entonces;

1 22ae bdQ4ec d

−=

− 2 2

2bc adQ4ec d

−=

−

c) Se sabe que: π = -2c

1 1Q Q

π = -2e 2 2Q Q

π = π1 2 2 1Q Q Q Q = -d

Para que tenga un máximo debe cumplirse que:

1 1 2 2Q Q Q Q, 0π π < 1 1 2 2 1 2

2Q Q Q Q Q Q( )π ⋅ π > π

Entonces: c, e > 0 y 4ce > d2 d) Debe cumplirse que:

1 1 2 2Q Q Q Q, 0π π > 1 1 2 2 1 2

2Q Q Q Q Q Q( )π ⋅ π > π

Entonces: c, e < 0 y 4ce > d2

e) Debe cumplirse que:

1 1 2 2 1 2

2Q Q Q Q Q Q( )π ⋅ π < π

1 1 2 2 1 1 2 2Q Q Q Q Q Q Q Q( 0; 0) ( 0; 0)π > π < ∧ π < π >

(que ambas derivadas difieran de signo). Entonces: bastara que c y e difieran de signo.


f) 1 1 2 2 1 2

2Q Q Q Q Q Q( )π ⋅ π < π 1 1 2 2 1 1 2 2Q Q Q Q Q Q Q Q( , 0) ( , 0)π π > ∧ π π <

(que ambas derivadas tengan el mismo signo). Entonces: c y e deben tener el mismo signo y además . 24ce d<

Ejercicio 102: Si la función de utilidad de un consumidor es U(x, y) = xy, siendo x e y las cantidades consumidas de los bienes A y B, cuyos precios unitarios son 2 y 3 unidades monetarias, respectivamente, maximizar la utilidad de dicho consumidor sabiendo que no puede destinar más de 90 unidades monetarias a la adquisición de dichos bienes. Solución. Formar nuestra restricción a partir de los datos del enunciado: Maximizar U ( x, y )

Sujeto a 2x – 3y ≤ 90 Formamos el lagrangiano

U = xy + λ ( 90 - 2x - 3y) Por condiciones de Kuhn-Tucker.

(1a) Ux= y - 2 ≤ 0 λ (2a) Uy= x - 2λ ≤ 0 (3a) Uλ = 90 - 2x - 3y ≥ 0

(1b) x ≥ 0 (2b) y ≥ 0 (3b) λ ≥ 0

(1c) x (y - 2xλ ) = 0 (2c) x (y - 2xλ ) = 0 (3c) λ (90 - 2x - 3y) = 0

1. Probando si λ= 0 y x > 0, y > 0

Usando (1.a) y (2.a): x, y ≤ 0, lo cual no concuerda con (1.b) y (2.b) 2. Probando λ> 0 y x > 0, y > 0

Aplicando esto en (1c), (2c) y (3c): y - 2x = 0 λ y - 2xλ = 0 ( 90 - 2x - 3y ) = 0




Resolviendo este sistema 3x3: x = 22.5, y = 15, λ= 7.5 Lo cual satisface las condiciones de Kuhn-Tucker.

Ejercicio 103: Encontrar los valores de x, y que optimizan el siguiente problema.

Maximizar 6x2 - 60x + y2 - 24y Sujeto a x + y ≥ 16 Solución. Por el tipo de restricción, es necesario transformar la función original en función cóncava multiplicando por -1 tanto dicha función como la restricción. Haciendo ello y formando el lagrangiano.

C = -6x2 + 60x - y2 + 24y +λ ( x + y - 16 ) Por condiciones de Kuhn-Tucker.

(1a) Cx= -12x + 60 + λ ≤ 0 (2a) Cy= -2y + 24 + λ ≤ 0 (3a) Cλ

λ

= x + y - 16 ≥ 0

(1b) x ≥ 0 (2b) y ≥ 0 (3b) ≥ 0

(1c) x (-12x + 60 + λ ) = 0 (2c) x (-2y + 24 + λ ) = 0 (3c) λ (x + y - 16) = 0

1. Probando λ ,x , y > 0 Si esta condición se cumple entonces de (1.c), (2c) y (3c):

-12x + 60 + λ = 0 -2y + 24 + λ = 0 x + y - 16 = 0 De este sistema se obtiene que:

34 114 108x y5 5

= − ∧ = ∧ λ =5

Lo cual viola el supuesto (1b).


2. Probando λ = 0 ٨ x , y > 0

Usando (1c) y (2c):

-12x + 60 = 0 x = 5 -2y + 24 = 0 y = 12

Lo cual satisface todas las condiciones. Por lo tanto este es el punto (5, 12) que maximiza el problema de optimización.

Ejercicio 104: Una firma enfrenta una función F ( x, y ) = 3x2 +5xy +6y2 y tiene una función de restricción g ( x, y ) = 5x + 7y = 732. Determine FORMALMENTE que tipo de función es F (¿beneficio o costo?) Solución. Paso 1: La función lagrangiana será:

E = 3x2 +5xy +6y2 λ ( 732 - 5x - 7y) Paso 2: Las condiciones de optimización:

Ex = 6x + 5y – 5λ= 0 Ey = 5x + 12y - 7λ= 0 Eλ = 732 - 5x - 7y = 0

Resolviendo el sistema: x = 75 ٨ y = 51 ٨ = 141 λ

Paso 3: El hessiano orlado será:

xx xy x

yx yy y

x y

E E gH E E g

g g 0

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Reemplazando los datos:

6 5 5H 5 12 7

5 7 0=

el 2H = 5 (35 -60) - 7 (42 - 25) = -244. Entonces E es minimizado. Se trata de una

función de costo.




Ejercicio 105: Resuelva el siguiente problema de optimización y demuestre formalmente que la solución encontrada corresponde a un máximo. Maximizar U = xy + x Sujeto a 6x + 2y = 110 Solución.

Ux = y + 1 – 6λ= 0 Uy = x - 2λ= 0 Uλ = 110 - 6x -2y = 0

Resolviendo el sistema:

0 1 6 x 11 0 2 y 06 2 0 110

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− − λ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

Del cual se tiene que:

1 2x 9 y 27 43 3

= ∧ = ∧ λ =

0 1 6

H 1 06 2 0

−= −− −

2 Donde 2H 2= 4 , entonces como

2H > 0 , U es maximizado.

Ejercicio 106: Optimice la siguiente función:

y = 3x12 – 5x1 - x1x2 + 6x22 - 4x2 - 2x2x3 + 4x32 + 2x3 - 3x1x3 (1) a) Determine la coordenada del punto crítico b) Calcule el valor de la función en dicho punto c) ¿Correspondería a una típica función de costos o ingresos? d) Si la función fuera, y = 3x12 - 5x1 - x1x2 + ax22 - 4x2 - 2x2x3 + 4x32 + 2x3 - 3x1x3, ¿Cuál debería ser el valor de “a” para que no exista solución única (un único punto critico)? Solución. a) Por condición de primer orden, obtenemos las derivadas parciales de la función (1). y1 = 6x1 - 5 - x2 - 3x3 Por condición de 1er Orden: y2 = -x1 + 12x2 - 4 - 2x3 y1 = y2 = y3 = 0 y3 = 2x2 + 8x3 - 2 - 3x1 (se forman 3 ecuaciones lineales)

Lo cual se puede resolver por matrices y determinantes:



1

2

3

6 1 3 x 51 12 2 x 43 2 8 x 2

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A = 424

A1 = 440

A2 = 196

A3 = 108

De donde: x1 = 1.04 x2 = 0.46 x3 = 0.26 b) Reemplazar los valores obtenidos de a) en la función (1) para obtener el valor de y. y = 3(1.04)2 - 5(1.04) - (1.04)(0.46) + 6(0.46)2 - 4(0.46) - 2(0.46)(0.26) + 4(0.26)2 + 2(0.26) - 3(1.04)(0.26) y = - 3.26

c) Será necesario el hessiano simétrico para averiguar si el punto obtenido corresponde a un máximo o mínimo, de lo cual se concluye que la función podría ser una típica función de beneficios o costos, respectivamente. Para ello, se obtienen las segundas derivadas:

y11 = 6 y12 = -1 y13 = -3 y21 = -1 y22 = 12 y23 = -2 y31 = -3 y32 = -2 y33 = 8

6 1H 1 12

3 2 8

− −32= − −

− −

d) Para que no exista un solo punto crítico entonces el determinante 6 1 31 2a 23 2 8

− −−− −

− debe

ser cero. Entonces, det ( A ) = 2 (39a - 22) = 0 ⇒ a = 22 / 39 Ejercicio 107: Sea el ingreso total, 15q1 + 18q2 el cual esta sujeto a un costo:

2q12 + 2 q1q2 + 3q22 a) Determine el nivel de producción que maximiza/minimiza el beneficio b) Demuestre que ese nivel maximiza o minimiza el beneficio. c) Si el costo es 2q12 + 2 q1q2 + aq22, ¿que requisito debe cumplir “a” para que exista un beneficio máximo? d) Sea la función de costo, bq12 + 2 q1q2 + aq22, que requisito debe cumplir a, b, para que esta función sea una función de beneficio? Solución. a) La función de beneficio será:


CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN

B = Ingreso – Costo = 15q1+18q2 - 2q12 - 2q1 q2 - 3q22

Bq1 = 15 - 4q1 - 2q2

Bq1q1 = -4

Bq1q2 = Bq2q1 = -2

Bq2 = 18 - 2q1 - 6q2 Bq2q2 = -6

El punto crítico saldrá de la condición de primer orden:

Bq1 = Bq2 = 0 de donde q1= 2.7 y q2= 2.1.

b) Debe probarse las condiciones para un máximo o minino en el hessiano simétrico:

Se cumple que:

Bq1q1 < 0 Bq1Bq2 - (Bq1q2)2 > 0 4 2

H2 6

− −⎡ ⎤= ⎢ ⎥− −⎣ ⎦

Bq2q2< 0 Entonces el punto es un máximo.

c) Sea la nueva función de beneficio: B = 15 q1 + 18 q2 – 2q12 - 2q1q2 – aq22

Bq1

Bq1 = 15 – 4q1 - 2q2

Bq1q1 = -4

Bq1q2 = Bq2q1 = -2

Bq2 = 18 - 2q1 - 6q2 Bq2q2 = -2a

Es necesario hacer que Bq1 = Bq2 = 0 para obtener el punto crítico. Usando el criterio

del determinante, se llega a que: a ≠ 1/2. Aplicando el criterio de hessiano simétrico:

Para que el punto sea un máximo:

q1 < 0 Bq1Bq2 - (Bq1q2)2 > 0 8a > 4 → a > 1/2 ⇒

4 2

H2 2a

− −⎡ ⎤= ⎢ ⎥− −⎣ ⎦

Bq2q2< 0

De ambas condiciones se concluye que: a ∈ ] ½,∞[ d) Solo se pide analizar esta función y convertirla en una función de beneficios. No construir una función de beneficios a partir de la función de ingreso. Análogamente, usando el criterio de determinante (condición para obtener un punto crítico) se llega a que ab ≠ 1. Usando el hessiano simétrico: b<0, a<0 y ab>1.

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