4° Geometría

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GEOMETRAI Nivel Secundaria

Nociones Generales de Geometra Clsica Euclidiana

Lineas

Posiciones Relativas entre dos Rectas

Repaso

Punto de Corte entre Rectas

Segmento de Recta

Operaciones con Segmentos

Ejercicios de Reforzamiento

ngulo y Sistema Sexagesimal

ngulos segn su medida

174

180

185

191

195

199

205

209

212

218

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174

Nociones Generalesde Geometra Clsica

Euclidiana

En nuestro alrededor, tanto en lanaturaleza como en las ms diversasconstrucciones humanas, se despliegaun maravilloso universo de formas yestructuras regidas por el orden y lalgica. Muy pocas cosas surgen o sedesarrollan sin orden. Al contrario,bien en su esencia interna o bien ensu apariencia exterior, todo en nuestroentorno respira armona y sentido.La naturaleza puede ser caprichosa,pero en ningn modo es ilgica oinconsistente.

Ahora bien, si todo lo que nosrodea tiene una determinada forma, y si

toda forma tiene un orden lgico en suestructura, no resulta razonable desearaprender sobre todo esto? Verdad quete daras el trabajo de cavar un inmensohoyo siempre y cuando supieras queal final del mismo encontrars unvaliossimo tesoro?

Pues bien, la ciencia que seencarga del estudio de las relaciones,proporciones, medidas y propiedadesde las formas que estructuran nuestroentorno es la Geometra.

Etimolgi camente hablando,Geometra proviene de dos palabrasgriegas:

Geo : TierraMetra : Medida

Por consiguiente, la medida dela tierra fue el humilde origen dela Geometra. S, de acuerdo con lamayora de versiones, la Geometra

tuvo sus inicios en Egipto, debido ala constante necesidad del hombre demedir sus tierras regularmente, ya queel ro Nilo, al desbordarse, barra conlas seales que indicaban los lmites delos terrenos de cada persona.

Sin embargo, el hombre, desdetiempos remotos, no slo se preocuppor medir las tierras. Su afn de erigiredificaciones descomunales tambin

contribuy al rpido desarrollo de laGeometra, pues tuvo que disearfiguras adecuadas para que su trabajono fuese en vano.

Si bien es cierto que el origenemprico de la Geometra ocurri enEgipto, debe considerarse a Greciacomo su verdadera patria pues aqu seerige la Geometra como ciencia.

Es en Grecia donde se reemplaza laobservacin y la experiencia cotidianaspor las deducciones racionales apartir de axiomas y postulados quese concibieron por un agudo procesolgico.

Veamos a continuacin una breveresea histrica de uno de los principalessabios griegos de la antigedad quien,con su valioso aporte, contribuya elevar a la Geometra al grado deciencia.

Pitgorasf u e e ld i s c p u l om ssobresalientede la EscuelaJnica, quienluego fundla EscuelaPitagrica,

cuyo lema era: Los nmeros

rigen al mundo.

Esta escuela se caracterizpor dividir el saber cientficoen cuatro ramas: Aritmtica,Geometra, Msica y Astronoma.En cuanto a Pitgoras debemosdecir que su figura ha llegadoa nosotros llena de mitos yleyendas. Sin embargo, nadiecuestiona que su ms grandeaporte a la ciencia geomtrica es

Teorema de Pitgoras

En todo tringulo

rectngulo, se cumple:

a2+ b2= c2

c

b

a

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175

Divisin Fundamental de la Geometra

Llamada tambin Planimetra. Se encarga del estudio de todas las figurasplanas, como por ejemplo: el tringulo, el rectngulo, la circunferencia, etc.

1. GEOMETRA PLANA

Para un mejor estudio, tal como lo hizo Euclides en la antigedad, dividiremosa la Geometra en:

Geometra PlanaGeometra del Espacio

R

Llamada tambin Estereometra. Se encarga del estudio de los slidosgeomtricos, como por ejemplo: la pirmide, el cubo, la esfera, etc.

2. GEOMETRA DEL ESPACIO

R

APLICACIONES DE LA GEOMETRA

Tan importante es el conocimiento geomtrico que hoy su estudio se hacenecesario para las diversas profesiones y disciplinas existentes, como por ejemplo:Arquitectura, Ingeniera, Fsica, Qumica, Bellas Artes, Diseo Grfico, DiseoIndustrial, Astronoma, Telecomunicaciones, etc.

Por consiguiente, la Geometra es una pieza bsica para comprender la realidad.De all que algunos consideran que la Geometra es el lazarillo de todas las demsciencias.

OTRAS GEOMETRAS MS COMPLEJAS

Geometra Analtica Geometra Fractal

Geometra Algortmica Geometra Elptica

Geometra Diferencial Geometra Hiperblica

Geometra Descriptiva Geometra Riemanniana

La Geometra que estudiaremos

en secundaria es la Geometra

Euclidiana y, slo si la analizamos

a cabalidad, veremos claramente

el armonioso desarrollo lgico

que presenta. Ms importante

an, habremos puesto bases

slidas para el estudio de

otras geometras mucho ms

complejas, pero a la vez, mucho

ms importantes que, entre otras

cosas, buscan ansiosamente una

respuesta matemtica, es decir,

una respuesta perfecta a las

cuestiones relacionadas con la

forma y origen del universo.

Importante

Ningn edificio grande podra

sostenerse sin un fundamento,

verdad?

De manera similar, no

podemos pretender alcanzar

grandes conocimientos matem-

ticos sin haber estudiado la

Geometra Euclidiana.

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176

1) Calcula (a+5).

a) 1 b) 3 c) 4 d) 6 e) 5

5

a2

5

L1

L2

L3

3

15

a

4) Halla a.

a) 10 b) 9 c) 12 d) 6 e) 8

16

L1

L2

L3

10b

8

2n

L1

L2

L3

93

8

2x+2

L1

L2

L3

24

12

12

L1

L2

L3

42

3y

9) Calcula a + 2 si L1// L

2// L

3.

a) 4 b) 5 c) 2 d) 3 e) 6

12) Halla x + y si L1// L

2// L

3.

a) 10 b) 12 c) 16 d) 20 e) 24

3

L1

L2

L3

x 8

6 y

16

11) Halla a si L1// L

2// L

3.

a) 3 b) 4 c) 6 d) 5 e) 8

9

L1

L2

L3

a4

a

10) Calcula n + 3 si L1// L

2// L

3.

a) 6 b) 9 c) 5 d) 8 e) 12

10

L1

L2

L3

63

n1

30

L1

L2

L3

31

5a

8) Calcula y si L1// L

2// L

3.

a) 1 b) 5 c) 4 d) 2 e) 3

7) Halla x si L1// L

2// L

3.

a) 1 b) 3 c) 5 d) 2 e) 4

6) Si L1// L

2// L

3, halla n.

a) 8 b) 9 c) 12 d) 15 e) 18

5) Calcula b si L1// L

2// L

3.

a) 8 b) 4 c) 3 d) 10 e) 5

3) Halla a.

a) 5 b) 4 c) 5 2 d) 6 e) 8

8 6

a 5 3

x

5

3

4

2) Halla x.

a) 8 b) 10 c) 7 d) 9 e) 5 2

Nivel I

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3L

1

L2

L3

n 6

2 4

m

a

L1

L2

L3

b3

5

17) Calcula el permetro del tringulodel problema anterior.

a) 20 b) 32 c) 40 d) 23 e) 30

3

5

2a

21) Halla a.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

8

3x10

8

5a6

2

1x

27) Halla a2.

a) 35 b) 32 c) 30 d) 24 e) 40

a

2015

26) Halla x.

a) 3 b) 3 c) 5 d) 5 e) 2

25) Halla a.

a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 6

2a+4

10

6

24) Halla a.

a) 6 b) 10 c) 3 d) 4 e) 2

23) Calcula x.

a) 6 b) 3 c) 2 d) 4 e) 5

4

5 2n+1

20) Halla x.

a) 3 b) 2 c) 5 d) 6 e) 8

4

3x+2

19) Aplicando el teorema de

Pitgoras, halla el valor de x.

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

x23

7

x2

7

16) Aplicando el teorema dePitgoras, halla el valor de x.

a) 12 b) 10 c) 6 d) 8 e) 14

x

17

15

Nivel II

15) Halla a + b si a -b = 16 m.

a) 32 m b) 42 m c) 48 m d) 72 m e) 64 m

14) Halla n + m si L1// L

2// L

3.

a) 20 b) 18 c) 21 d) 12 e) 24

13) Halla (a + 3) si L1// L

2// L

3.

a) 4 b) 6 c) 8 d) 12 e) 9

2a

L1

L2

L3

8a

9


Observacin: n2= n

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

22) Halla n.

a) 2 b) 3 c) 4 d) 1 e) 6

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178

2

b

3

28) Calcula b.

a) 13 b) 5 c) 10 d) 13 e) 15

A D

B E

C F

x 3

x+2 9

L1

L2

L3

4

n2 5

29) Halla (n + 3).

a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 5

31) Indique verdadero (V ) o falso(F) observando el problemaanterior.

a) El segmento BC es cincoveces el segmento AB.

( )

b) El segmento DF mide 18. ( )

c) El segmento AC mide 15.( )

d) El segmento DE es menorque el segmento AB.

( )

32) Aplicando el teorema de Tales ,indica el valor de x siL

1// L

2// L

3.

a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 5

33) Del problema anterior, calcula la

longitud del segmento AC.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

CatetoMenor

Cateto Mayor

Hipotenusa

34) Sabiendo que en todo tringulorectngulo los lados que formanel ngulo recto se llama catetos yque el lado que se opone a dichongulo se llama hipotenusa,coloque estos nombres encada lado de los tringulos

mostrados.

Ejemplo:

a)

b)

c)

d)

35) Indica verdadero (V) o falso (F)segn corresponda.

a) La hipotenusa es siempremayor que los catetos.

( )

b) La hipotenusa siempre seopone al ngulo recto.

( )

c) Los catetos son lados demayor longitud que lahipotenusa. ( )


a) 3 b) 4 c) 10 d) 5 e) 6

x3

4

x

8

6

37) Aplicando el teorema dePitgoras, halle el valor de x.

a) 8 b) 6 c) 12 d) 10 e) 15

x 13

12


a) 13 b) 12 c) 5 d) 10 e) 8

A

B

C F

E

D L1

L2

L3

30) Aplicando el teorema de Tales,indique la medida del segmentoAB si BC = 10, EF = 15,DE = 3 y adems L

1// L

2// L

3.

a) 3 b) 5 c) 10 d) 2 e) 6

Nivel III

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179

39) Sabiendo que el permetro es la

suma de las longitudes de todoslos lados, halla el permetrodel tringulo del problemaanterior.

a) 25 b) 20 c) 30 d) 17 e) 21

43) A continuacin te mostramosuna relacin de nombres devarios objetos conocidos.Ordnalos apropiadamente deacuerdo a la Geometra que los

estudia.

El tarro de leche. La caja de fsforo. La tarjeta de crdito. El dato. Una moneda muy delgada. La pelota de playa. Un pedazo de cinta adhesiva. La hoja de tu cuaderno.

47) Aplicando el teorema de Talesindique el valor de x.( L

1// L

2// L

3)

a) 3 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

A

Planimetra

Estereometra

D

B E

C F

L1

L2

L3

1 3

2 x

49) De acuerdo al teorema de Talesindique el valor de x.( L

1// L

2// L

3)

a) 5 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

M Q

N R

P S

1 x

3 6

L1

L2

L3

50) Del problema anterior, indiqueverdadero (V) o falso (F) enforma adecuada.

a) El segmento QR es el tripledel segmento RS. ( )

b) El segmento NP es la mitaddel segmento RS. ( )

c) El segmento QS mide 8.( )

d) El segmento MP es elcudruple del segmentoMN. ( )

48) Del problema anterior, indiqueverdadero (V) o falso (F) enforma adecuada.

a) El segmento AB es el doble delsegmento BC. ( )

b) El segmento DE es el tripledel segmento AB. ( )

c) El segmento EF es el dobledel segmento DE. ( )

d) El segmento EF es seis vecesel segmento AB. ( )

46) Qu escuela de la antigedaddividi el saber cientfico enGeometra, Msica, Astronoma

y Aritmtica?

a) Maranguita d) Alejandra b) Jnica e) Egipcia c) Pitgoras

45) De qu escuela fue fundadorTales de Mileto?

a) Pitagrica d) Academia b) Alejandra e) Trilce c) Jnica

44) Con la ayuda de tu profesor y deun buen diccionario encuentrael significado de las siguientespalabras:

a) Empirismo d) Lazarillo b) Etimologa e) Axioma c) Didctico

42) Complete de manera adecuadalo siguiente:

a) El famoso teorema de . . . . . . e saplicado slo a tringulosrectngulos.

b) Los nmeros rigen almundo, fue el lema de laEscuela

c) La obra de Euclides tituladaLos Elementos es unacoleccin de ..libros.

41) Relacione de manera adecuadalas dos columnas.

a) Pitgoras ( ) Elementos

b) Tales ( ) Tierra

c) Geo ( ) Samos

d) Euclides ( ) Mileto

40) Indique si son verdaderos(V) o falsos (F) los siguientesenunciados.

a) Los Elementos fue escrito porPitgoras. ( )

b) Euclides pas gran parte desu vida en Alejandra. ( )

c) Tales de Mileto fue discpulode Pitgoras. ( )

d) Pitgoras fue discpulo deTales de Mileto. ( )

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180

Lneas

Es aquel conjunto de puntos que seextiende en un slo sentido de formailimitada.

1. LNEA RECTA

Es aquella que no tiene segmentorecto alguno, por pequeo que sesuponga.

2. LNEA CURVA

L

Lnea recta L.

A

M

B

Lnea quebrada o poligonal es la quese compone de dos o ms segmentosrectilneos.

3. LNEA QUEBRADA

S e c o n f o r m a d e m a n e r aintercalada de segmentos curvilneosy rectilneos.

4. LNEA MIXTA

Es aquella porcin de lnea rectaque tiene un punto de origen y que seextiende en un solo sentido de forma

ilimitada.

5. RAYO

Oorigen A

Rayo: OA

Es aquella porcin de lnea rectaque no tiene punto de origen pero seextiende en un slo sentido de forma

ilimitada.

6. SEMIRRECTA

AB

Semirrecta: AB

Es aquella porcin de lnea rectaque tiene punto de origen y puntofinal.

7. SEGMENTO DE RECTA

A B

1) Del grfico, calcula x si lalnea tiene una longitud iguala (40 + 2) cm.

a) 10 cm b) 2 cm c) 2cmd) 5 cm e) 20 cm

Segmento AB.

x x

2

2) Halla el permetro de la figuramostrada.

a) (2+ 10) m d) 24m b) (4+ 20) m e) 32m c) 12m

6m

6m

8m

8m

Nivel I

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O P

14) Con una cuerda de 12 m sepuede construir un tringulode ................ de permetro.

a) 12 cm b) 24 cm c) 7 cmd) 26 cm e) 18 cm

13) Con una cuerda de 60 cm sepuede construir un hexgonode lados iguales. Cuntomide un lado?


12) Mencione la longitud de unalnea quebrada si con stapodemos formar un cuadradode lado igual a 2 m.

a) 2 m2

b) 2 cm c) 2 md) 2 km e) 8 m

11) Relacione correctamente ambascolumnas.

a) ( ) Tringulo curvilneo

b) ( ) Tringulo esfrico

c) ( ) Tringulo

rectilneo

d) ( ) Tringulo mixtilneo


a) ( ) Lnea

recta

b) ( ) Segmento

c) ( ) Rayo

d) ( ) Semirrecta


a) ( ) Lneamixta

b) ( ) Lnea quebrada

c) ( ) Lnea recta

d) ( ) Lneacurva

A B

R S

M N


I. ( ) Recta

II. ( ) Rayo

III. ( ) Semirrecta

IV. ( ) Lneaquebrada

V. ( ) Segmento

7) Del grf ico , ca lcula x s iel permetro del tringuloequiltero es 18 m.

a) 6 mb) 18 mc) 9 md) 15 me) 7 m

x

6) La distancia de A a B es 5 kmy de B a C es 8 km. Calcula ladistancia de A a C.

a) 10 kmb) 12 kmc) 11 kmd) 15 kme) 13 km

A B

C

5) Calcule la longitud de lassiguientes lneas, quebrada ymixta.

I.

a) 6 m b) 30 m c) 15 md) 25 m e) 60 m

II.

a) 6 m b) 12 m c) 18 md) 24 m e) 30 m

6m

6m

6m

4) Calcule la longitud total de lalnea quebrada A B C D E FG.

a) 3 b) 11 c) 12d) 14 e) 13

A

B C

DE

F G

33

11

12

3) E s c r i b a e l n o m b r e q u ecorresponde a las siguienteslneas.

a) ................

b) ................

c) ................

d) ................

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10/50

182

16) Si la lnea horizontal PQ mide36 cm, calcule el lado deltringulo equiltero que sepuede formar.


colegio

Carlitos

Danielito

1cm

1cm

26) Una soga se enrolla en un prismacuadrangular de base cuadrada

de lado 2 cm. Halla la longitudde la soga si da 1200 vueltasalrededor del prisma.

a) 100 m b) 120 m c) 60 md) 96 m e) 84 m

25) Para enrollar un hilo en un tubocilndrico se dieron 450 vueltas.Calcula la longitud del hilo si eltubo tiene 4 cm de permetro ensu seccin recta.

a) 10 m b) 12 m c) 16 md) 18 m e) 20 m

23) Calcula el permetro de la figurasombreada.


24) Calcula el permetro de la figurasombreada:


1cm

1cm

22) Menciona la longitud de unalnea quebrada si con sta sepuede formar un pentgonoregular de lados iguales a 3 cm.

a) 3 cm b) 6 cm c) 12 cmd) 5 m e) 25 cm

21) Indica si es verdadero (V) o falso(F) segn corresponda.

I. Una lnea puede ser mixta.( )

II. Un segmento de lnea curvase puede medir. ()

III. La lnea quebrada es la uninde varias porciones de lneasrectas. ( )

a) VVF b) VVV c) FVVd) FFV e) FFF

20) Indica si es verdadero (V) o falso(F) segn corresponda.

I. El rayo tiene origen. ( )

II . El rayo tiene un soloextremo. ( )

III. La lnea curva es ilimitada.( )

IV. La lnea mixta se puedemedir. ( )

a) VFVV b) FFFF c) VFVV

d) VVVF e) VVVV

19) Completa de manera adecuadalo que a continuacin semenciona:

Una lnea recta es aquella enla que todos sus ...................siguen una misma ...............

Una lnea ................... esel conjunto de dos o mslineas rectas (segmentos)consecutivos de diferentesdirecciones.

Una l nea curva es la.... . . . . . . . . . . . . . . . de infinitos

p u n t o s e n c u a l q u i e rdireccin.

A la combinacin de algunalnea curva y una lnearecta se le conoce como...................

18) Mencione la longitud de unalnea mixta, si est formada a

partir de una circunferencia de12 m de longitud.

a) 6 m b) 12 c) 24 md) 12 m e) 12 km

17) Si Carlitos y Danielito partenal mismo tiempo de su casay llegan al mismo tiempo alcolegio siguiendo caminosdiferentes, entonces podemosdecir:

I. Carlitos es ms veloz queDanielito.

II. Danielito escogi el caminoms corto.

III. Carlitos y Danielito tienen lamisma velocidad.

IV. El camino de Carlitos es unalnea recta y el de Danielitoes una lnea mixta.

15) Si la lnea horizontal PQ mide64 cm, calcula el lado delcuadrado formado con dichalnea.


Nivel II

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11/50

183

40) U n c a r r e t e d e f o r m acuadrangular se puede enrollarpor un hilo cuya longitud sedesea conocer, sabiendo quese realiza para ello 20 vueltasy el carrete tiene la siguienteforma:

a) 8 ub) 2 u

c) 20 ud) 16 ue) 160 u

39) Calcula la longitud total de lassiguientes lneas quebradas.

a) 40 u b) 41 u c) 42 u

d) 43 u e) 44 u

38) Calcula la longitud total de lassiguientes lneas quebradas.

a) 59 u b) 69/2 u c) 3/2 ud) 29/2 u e) 28/2 u

30) Con 2 bolsas de cemento sepueden construir 3 metros devereda. Cul es la longitud deuna vereda si se han empleado100 bolsas de cemento?

a) 100 m b) 120 m c) 150 md) 130 m e) 180 m

29) En una edificacin se construyen20 vigas de 3 m cada una y 60columnas de 2,10 m cada una.Cuntos metros lineales de

concreto se han empleado?

a) 120 m b) 140 m c) 152 md) 186 m e) 164 m

28) Calcula el permetro de una mesarectangular de 2 m de largo y 1m de ancho.

a) 7 m b) 8 m c) 10 md) 6 m e) 12 m

27) Calcula el largo de la paredmostrada si cada ladrillo tiene25 cm de largo y entre ladrillo yladrillo hay una junta de 3 cm.

a) 2,00 m b) 1,50 m c) 1,93 md) 1,80 m e) 4,00 m

x

31) Con media tonelada de asfaltose puede construir 20 m linealesde carretera. Cuntos metrosde carretera se pueden construir

con 10 toneladas de asfalto?

a) 200 m b) 250 m c) 300 md) 400 m e) 600 m

37) Calcula el lado del pentgonoregular si tiene todos sus ladosiguales, y su permetro mide

25 cm.


36) Para hacer una red de desagese necesitan 120 tuberas dedesage de 1,5 m cada una.Calcula la longitud de la red.

a) 120 m b) 150 m c) 180 md) 160 m e) 200 m

35) Halla el permetro de unaventana de 1,5 m de largo y0,80 m de ancho.

a) 3,2 m b) 4,5 m c) 4,2 md) 5,4 m e) 4,6 m

34) Calcula el permetro de unapuerta de 2,30 m de alto y1,20 m de ancho.

a) 5 m b) 6 m c) 7 md) 9 m e) 4 m

33) Una viga peraltada posee 6varillas de fierro de 4 m cadauna. Cuntas varillas de fierrode 8 m cada una se necesitanpara construir 30 vigas?

a) 90 b) 80 c) 60d) 120 e) 180

32) Una columna posee cuatrovarillas de fierro de 3 m cadauna. Cuntas varillas de fierrode 6 m lineales cada una senecesitan para construir 20

columnas?

a) 20 b) 40 c) 60d) 30 e) 50

2u

4u

3/2

1u

2u

2u

2u

1u

2u

Nivel III

4u

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12/50

184

45) La longitud de una lnea es 60 m.Calcula la longitud del lado delcuadradro que se puede formarcon dicha lnea.

a) 12 m b) 14 m c) 15 md) 16 m e) 20 m

44) La longitud de una lnea es 40 m.Calcula la longitud del lado delcuadrado que se puede formarcon dicha lnea.

a) 8 m b) 10 m c) 12 md) 14 m e) 15 m

43) La longitud de una lnea es48 m. Calcula la medida del ladodel tringulo equiltero que sepuede formar con dicha lnea.

a) 12 m b) 14 m c) 15 md) 16 m e) 20 m

42) Si una lnea mide 30 cm, calculala longitud del lado del tringuloequiltero que se puede formarcon dicha lnea.

a) 5 m b) 8 m c) 10 md) 12 m e) 15 m

41) Anita debe saber a qu distancia(d) est su cometa. Para ellodebe enrollar y contar cuntasvueltas dara todo el hilo de sucometa, sabiendo que cuando la

ech a volar dio 2400 vueltasy enroll el hilo en el siguientelistn:

a) 96 m b) 32 m c) 48 md) 162 m e) 192 m

1=4cmd

2m

48) Halla la longitud de una lneasi con ella se puede formar elhexgono regular mostrado.

a) 12 mb) 16 mc) 18 md) 24 me) 32 m

47) Halla la longitud de una lnearecta si con ella se puede formarun cuadrado de lado 3m y untringulo equiltero de lado4 m.

a) 12 m b) 16 m c) 20 md) 24 m e) 32 m

46) Cul es la longitud de una lneasi con sta se puede formar doscuadrados de lado 2 m y dos delado 4 m, respectivamente?

a) 32 m b) 48 m c) 36 md) 54 m e) 64 m

4m

50) Calcula la longitud de la lneaquebrada mostrada formada porsegmentos iguales a 4 m cadauno.

a) 36 m b) 32 m c) 28 md) 40 m e) 48 m

49) Calcula la longitud de una lneasi con ella se puede formar elpentgono regular mostrado.

a) 15 mb) 10 mc) 16 md) 24 me) 20 m

La Geometra es una rama de la matemticaque estudia idealizaciones del espacio:puntos, rectas, planos, polgonos, poliedros,curvas, superficies, etc.

En el mundo real se utiliza para solucionarproblemas concretos y es la justificacinterica de muchos instrumentos: comps,teodolito, pantgrafo Tambin da fundamento terico a inventos,como sistema de posicionamiento global (en especial cuando sela considera en combinacin con el Anlisis Matemtico y sobre

todo con las Ecuaciones Diferenciales). Es til en la preparacin dediseos (justificacin terica de la Geometra Descriptiva y del DibujoTcnico), e incluso en la fabricacin de artesanas.

5/28/2018 4 Geometr a

13/50

185

Posiciones Relativasentre dos rectas

Av. La Marina

Carlitos

Danielito

Carli

tos

Danielito

A

Veamos la siguiente narracin sobreel comportamiento de dos rectas enel plano.

Danielito y Carlitos deciden caminarexactamente por dos veredasopuestas de una gran avenidarecta y del mismo ancho. Llegarna encontrarse en algn momento silos nios continan caminando talcomo lo decidieron?

E v i d e n t e m e n t e q u e n o ,comprobando que ambos nioshan caminado sobre rectasparalelas, stas son rectas que no seencuentran o nunca se intersecan.

En cambio, qu sucedera si losnios caminan sobre lneas talcomo indica la figura?

Vemos pues que ambos seencuentran en algn momento,ello quiere decir que las lneasrectas se cortan o intersecan. Aestas lneas rectas se les llama rectassecantes.

L1// L

2

L1

L2=

Matemticamente tenemos losiguiente:

Son aquellas rectas que no tienen

punto en comn y son coplanares.

A. RECTAS PARALELAS

L1

L2

Notacin

Son aquellas rectas que slo tienenun punto en comn y son coplanares.

B. RECTAS SECANTES

A

L3

L4

Notacin

L3

L4= A

Las rectas secantes pueden serperpendiculares o no.

L2

M

L1

Lnea RectaVertical

Lnea RectaHorizontal

L3

Q

Lnea Oblicua haciala derecha

L4

Propiedades

Si una recta L1es paralela a otra

recta L2, entonces la recta L

2es paralela

a la recta L1.

1. REFLEXIVA

Si L1// L

2

L1//L

2

Euclides

Uno de lospostuladosms famososd e l aG e o m e t r aEuclidiana es:Por un puntoexterior a una

recta, se puede trazar una y slouna recta paralela a la primera.

5/28/2018 4 Geometr a

14/50

186

Si un recta L1

es paralela a una recta

L2y sta a su vez es paralela a otra recta

L3, entonces la primera recta L1serparalela a la ltima L

3.

2. TRANSITIVA

Si L1// L

2

y L2// L

3

L1//L

3

L3

L1

L2

L1

L2

L3

3. Si dos rectas son paralelas, entonceslos ngulos que forman con una secantesern iguales en medida.

L1 L2

L3

Si L1// L

2 a

= b

Si L1 L

3

y L2 L

3

L1

// L2

1) Completa los s iguientesenunciados:

a) Dos rectas que se intersecan

se llaman .......................... .

b) Dos rectas que no se cortan

se llaman rectas ................ .

c) Seg n el postu lado de

Euclides, por un punto

exterior a una recta se puede

trazar una y slo una ............

..................... .

2) Def ina cada uno de losenunciados:

a) Lnea Recta

______________________ ______________________

b) Rectas Perpendiculares

______________________

______________________

c) Rectas Paralelas

______________________ ______________________

d) Rectas Secantes

______________________ ______________________

e) Rectas Coplanares

______________________ ______________________

B

A

C

D

4) Del grfico mostrado, indiquecuntas rectas secantes hay.

a) 5b) 6c) 10d) 15e) 9

7) S e g n l a G e o m e t r a n oEuclidiana, cuntas rectasparalelas se pueden trazar por

un punto exterior a una rectadada?

a) 1 b) 2 c) 3d) Infinitos e) Ninguno

6) Calcula cuntas rectas paralelasse pueden trazar por un puntoexterior a una recta dada.

a) 1 b) 2 c) 3d) Infinitos e) Ninguno

5) Del ejercicio anterior, cuntospuntos de interseccin existen?

a) 5 b) 6 c) 10d) 15 e) 9

3) En el rectngulo ABCD, sealeverdadero (V) o falso (F) lo que acontinuacin se menciona.

I. BC es paralelo a AD. ( )

II. AB es paralelo a CD. ( )

III. AB es secante a BC. ( )

IV. CD es paralelo a BC. ( )

Nivel I

5/28/2018 4 Geometr a

15/50

187

11) Relaciona correctamente losdatos de ambas columnas.

a) ( ) Rectas

perpendi-culares

b) ( ) P es elpie de lasperpendi-culares

c) ( ) Rectas paralelas

d) ( ) Rectas

secantes

8) De acuerdo a la pregunta 3,indica verdadero (V) o falso (F)segn corresponda:

I. Existe slo un par desegmentos paralelos. ( )

I I . Existen dos pares desegmentos paralelos. ( )

III. AB y BC tienen un solopunto en comn. ( )

IV. C es el punto de nterseccinde BC y CD. ( )

9) Cuntas lneas rectas sonnecesarias para formar untringulo?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) Infinitas

13) De las siguientes notaciones,indique las correctas.

I. AB : segmento AB

II. OA : rayo OA

III. L1// L

2: L

1es paralelo a L

2

IV. L1L

2: L

1es perpendicular a L

2

V. Si L1// L

2 y L

2// L

3

L1// L3a) I y II d) Todasb) I y III e) Ningunac) I, II y III

14) Representa con smbolos lo quese menciona a continuacin.a) La recta L

1es perpendicular

a la recta L2

.b) La recta L

3es paralela a la

recta L4.

c) El punto B es la interseccinde las rectas L

5y L

6.

12) Las huellas dejadas por las ruedasde un auto que viaja en lnearecta, nos dan la idea de:

a) Rectas oblicuasb) Rectas cruzadasc) Rectas paralelasd) Rectas secantese) Rectas coplanares

10) De acuerdo a la figura, relacionacorrectamente las afirmacionesde ambas columnas.

I. AB y CD ( ) Rectassecantes

II. BC y CD ( ) Rectasparalelas

III. AB CD ( ) N

IV. BC AN ( )

P

A

B

A

C

D

N

15) Escribe el significado de lassiguientes representaciones:a) L

3 L

4

______________________

b) L1 L

2=

______________________

c) L2// L

3

______________________

d) L1L2= A

______________________

17) En la figura, . Indique

verdadero (V) o falso (F)sobre lo que a continuacin semenciona.

L1y L

2son paralelas.

L1

, L2

y L3

son paralelas. L2y L3son paralelas. L

2y L

3son no paralelas.

a) VVVV b) VFFV c) VFFFd) FVVF e) FFFF

L1 L2 L3

L4

b

16) De la figura:

L1// L

2 ; L

2// L

3 L

3// L

4

Cuntos pares de rectas

paralelas y cuntos pares de

rectas secantes hay?

a) 6 y 4 b) 6 y 3 c) 6 y 2d) 3 y 3 e) 3 y 2

L1

L2

L3

L4

Nivel II

P

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188

21) Indique dos ejemplos de rectasparalelas y rectas secantes quepuedas hallar en tu aula de clases(grafcalas).

Rectas paralelas

Rectas secantes

20) En un plano, si dos rectas sonperpendiculares a una tercera,entonces estas dos rectas son:

a) Iguales

b) Perpendicularesc) Secantesd) Paralelase) No se sabe

19) Del problema anterior, indiquelo correcto.

I. Hay dos pares de rectasparalelas.

II. 90III. L

1// L

2

a) I y II b) I y III c) Slo IId) Slo I e) Slo III

18) Del problema anterior, indiqueverdadero (V) o falso (F) segncorresponda:

I. = 45

II. 45 L2L3III. L

1// L

2// L

3

a) VVV b) VFF c) FFFd) FFV e) FVV

22) Indica la relacin correcta.

a) Si = L1L

2

b) Si L1 // L

2

c) Si L1// L

2

d) Si L1// L

2 >

e) Si = L1// L

2

L1 L2

b

24) Segn el croquis de algunas

calles principales del distrito deSan Miguel y Magdalena, indicaverdadero (V ) o falso (F) segncoresponda.

I. La Av. Venezuela es paralelaa una porcin de la Av. LaMarina. ( )

23) Del problema anterior si

L1// L

2, entonces:

a) < b) = 2c) < d) = e) = 2

25) Del grfico del problema anterior,es correcto que:

I. Las avenidas Faucett, RafaelEscard, Silva Ochoa, JorgeDintilhac y Universitaria sonparalelas. ( )

II. Las avenidas Venezuela yUniversitaria son secantes.

( )I I I . Las avenidas Brasi l y

Universitaria son paralelas.( )

a) VVF b) VVV c) FVFd) FFF e) VFV

Av

.Jo

rge

Din

tilh

ac

Av.Pershing

A

v.E.

Faucett

Av

.R

afa

elE

scard

A v . V e n e z u e l a

A v . La Marina

Av.

Silv

aOc

hoa

AV.G

.Escob

edo

Av.Brasil

A

v.

U

ni

ver

si

tari

a

Ovalo

U.N.M.S.M

II. La Av. Faucett y la Av.Universitaria son paralelas.

( )III. La Av. Dintilhac es paralela a

la Av. Silva Ochoa. ( )IV. La Av. Brasil y la Av. Escobedo

son no paralelas. ()V. La Av. Pershing y la Av. Brasil

son perpendiculares. ( )

a) VFFVF d) VVVFVb) FVFVF e) VFVFVc) VFFFF

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17/50

189

27) Utilizando comps y regla trazauna perpendicular a la recta a.

a

30) Utilizando comps y regla traza

una perpendicular a la recta aque pase por el punto B.

D b

B

a

29) Utilizando comps y regla trazauna perpendicular a la recta Lque pase por el punto A.

A L

28) Utilizando comps y regla trazauna perpendicular a la recta b.

b

L

31) Utilizando comps y regla traza

por D una perpendicular a larecta b.

P

a

b

37) Utilizando comps y regla trazauna perpendicular a la recta bque mida 1,5 cm.

a

36) Utilizando comps y regla trazauna perpendicular a la recta a

que mida 2 cm.

L

35) Utilizando comps y regla trazauna perpendicular a la recta Lque mida 3 cm.

34) Desde el punto P traza unaperpendicular a la recta autilizando comps y regla.

33) Desde el punto B traza unaperpendicular a la recta butilizando comps y regla.

B

b

32) DesdeA traza una perpendiculara la recta L, utilizando comps yregla.

A L

A

B

P Q R

42) Utilizando comps y regla trazados rectas paralelas que disten2 cm.

41) Utilizando escuadras traza tresrectas paralelas que pasen por P,Q y R.

40) Utilizando escuadras traza dosrectas paralelas que pasen porA y B.

39) Utilizando escuadras traza dosparalelas.

38) Utilizando escuadras traza unaparalela a la recta L.

L

Nivel III

26) Por cualquier punto de la rectaL traza una recta perpendicularutilizando comps y regla.

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190

45) Utilizando comps y regla trazados rectas paralelas que disten2,5 cm.

44) Utilizando comps y regla trazados rectas paralelas que disten1,5 cm.

43) Utilizando comps y regla trazados rectas paralelas que disten3 cm.

46) Segn el grfico mostrado, indicala afirmacin correcta.

Av.

Tac

na

Av.Wil

son

Av. Quilca

Av.Colmena

Av

.Alf

onso

Ugart

e

Av.Uruguay

Av.Bolivia

a) La Av. Colmena es paralelaa la Av Tacna.

b) La Av. Alfonso Ugarte essecante a la Av. Wilson.

c) La Av. Uruguay es paralela a

la Av. Bolivia.d) La Av. Uruguay es paralela a

la Av. Wilson.e) La Av. Quilca es perpendicular

a la Av. Bolivia.

49) Si L1 // L

2, entonces indica lo

verdadero.

a) = b) + = 180c) + = 180d) = e) + = 180

L1

L2

48) Del grfico anterior, indica lofalso.

a) La Av. Tacna es secante a laAv. Colmena.

b) La Av. Uruguay es secante ala Av. Quilca.

c) La Av. Alfonso Ugarte esparalela a la Av. Wilson.

d) L a A v . U r u g u a y e sperpendicular a la Av.Colmena.

e) La Av. Wilson es secante a laAv. Quilca.

47) Del grfico anterior, indica locorrecto.

a) La Av. Quilca es paralela a laAv. Wilson.

b) La Av. Colmena es paralelaa la Av. Tacna.c) La Av. Tacna es paralela a la

Av. Quilca.d) La Av. Quilca es paralela a la

Av. Bolivia.e ) L a A v . C o l m e n a e s

perpendicular a la Av.Alfonso Ugarte.

50) Del problema anterior indica lofalso.

a) = bb) =

c) = d) = e) + = 180

La palabra fractal fue usadapor primera vez hace menos de20 aos por el matemtico polacoBenoit Mandelbrot en su trabajoLageometrafractal de la naturaleza.Deriv la palabra del verbo latnfractus, que significa romper enfragmentos irregulares.

Los fractales son figurasgeomtricas al igual que lostringulos y los rectngulos, perocon unas propiedades especialesque los distinguen de stos.Primero, son muy complejosa cualquier tamao. Tienenautosimilitud, es decir, que puedendividirse en partes que son copiasreducidas del total.

Uno de los usos ms populareses en la msica, donde sta

es acompaada de imgenesfractales.

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19/50

191

Repaso

2) Del problema anterior, indica sison verdaderos (V) o falsos (F),los siguientes enunciados:

EF es el doble de DE. ( )

EF es la mitad de DE. ( )

Si BC es el triple de AB,entonces EF es el triple deDE. ( )

El valor de x es 4. ( )

3) De acuerdo al teorema dePitgoras, calcula el valor dex.

a) 3

b) 4c) 5d) 6e) 8 4

x 3

7) Con una cuerda de 12 m sepuede construir un tringulo de............... de permetro.

a) 12 cm b) 24 m c) 7 md) 12 m e) N.A.

6) Menciona la longitud de unalnea quebrada si con stapodemos formar un cuadradode lado igual a 2 m.

a) 2 m2 b) 8 cm c) 6 md) 2 cm e) 8 m

5) Relaciona de manera convenienteambas columnas.

a) ( ) Lnea mixta

b) ( ) Lneaquebrada

c) ( ) Lnearecta

d) ( ) Lneacurva

4) Completa de manera adecuadalo siguiente.

La hipotenusa de un tringulorectngulo siempre es mayor

que los .............................. .

Si los catetos de un tringulorectngulo miden 3 y 4, lahipotenusa mide ............... .

La hipotenusa siempre seopone a un ngulo ............ .

4m

3m

10) En la siguiente figura, calculala longitud de la hipotenusautilizando el teorema dePitgoras.

a) 5 m2

b) 8 mc) 5 cmd) 5 me) 7 m

9) Del problema anterior, indicaverdadero (V) o falso (F) segncorresponda.

La longitud de la lnea curvaes mayor que la longitud dela lnea recta. ( )

La lnea recta y la lnea curvatienen la misma longitud.

( )

La longitud de la lnea curvaes menor que la lnea recta.

( )

La longitud de la lnea enforma de S es de 7 m.

( )

8) A un hilo bien estirado de 7 mde longitud se le dobla en formade S. Cul es la longitud de lalnea curva?

a) 7 m2 b) 7 m3 c) 7 md) 7 cm e) 14 m

Nivel I

1) De acuerdo al teorema deTales, indique el valor de x siL

1

// L2

// L3

.

a) 3 b) 5 c) 6d) 7 e) N.A.

A

B

C

E

F

2 x

1 3D L

1

L2

L3

5/28/2018 4 Geometr a

20/50

192

14) Relaciona de manera adecuadaambas columnas.

I. ( ) Recta

II. ( ) Rayo

III. ( ) Semirrecta

IV. ( ) Lneaquebrada

V. ( ) Segmento

13) Indique el camino que sigue unahormiga para llegar a su casa enmenor tiempo.

I.

II.

III.

IV.

a) I b) I y II c) IIId) IV e) II

12) Relaciona correctamente.

Es una lneacurva

Es una lneamixta

Es una lneaquebrada

Es una lneacurva

11) Del problema anterior, cuntomedir el borde de un aro sitiene la misma longitud de lahipotenusa?

a) 5 m2 b) 5 m3 c) 5 cmd) 5 m e) 7 m

15) Indique verdadero (V) o falso (F)segn corresponda.

Al rayo tambin se le conoce

como vector. ( ) En la semirrecta se consideraal origen. ( )

AB y AB indican lo mismo. ( ) mAB y AB indica n lo

mismo. ( ) El rayo tiene origen. ( )

19) Dibuja las l neas que acontinuacin se mencionan.

Lnea quebrada :

Lnea mixta :

Lnea recta :

Lnea curva :

18) Con un alambre serpentino de16 cm de longitud se construye

un cuadrado de ......... de lado.

a) 16 cm b) 16 cm2 c) 4 md) 4 cm e) N.A.

17) Menciona la longitud de unalnea mixta si est formada apartir de una circunferencia de12 m.

a) 12 m2 b) 24 m c) 12 md) 4 cm e) N.A.

23) Del problema anterior, cuntomedir el lado de un cuadradocuyo permetro es igual a laaltura del rectngulo?

a) 6 m b) 2 m c) 1 md) 1,5 m e) 2,5 m

22) Utilizando el teorema dePitgoras, calcula la altura del

rectngulo.

a) 3 m b) 4 m c) 5 md) 6 m e) 8 m

10m

8m

h

21) Del problema anterior, indicaverdadero (V) o falso (F) segncorresponda.

El cable estirado representauna lnea mixta. ( )

El cable no estirado representauna lnea curva. ( )

Ambas lneas tienen la mismalongitud. ( )

La lna curva mide 50 m.( )

20) A un cable bien estirado de50 m de longitud se le da la formade una serpiente. Menciona lalongitud de esta ltima.

a) 50 m3 b) 50 m2 c) 50 md) 25 m e) 12 m

24) Calcula la longitud del segmentoEF si en la figura es aplicable elteorema de Tales.

a) 6 mb) 4 mc) 3 md) 2 me) F. D.

A

B

C F

E

D3m

3m

4m

16) Relaciona de manera adecuadaambas columnas.

a) ( ) Lnea mixta

b) ( ) Lnea quebrada

c) ( ) Lnea recta

d) ( ) Lnea curva

Nivel II

5/28/2018 4 Geometr a

21/50

193

27) Si la cuerda L1es paralela a la

cuerda L2y esta es paralela a la

cuerda L3, entonces:

a) L1 L

2

b) L2// L3c) L

2 L

3d) L

1 L

2=

e) N.A.

L1 L

2L

3

AB

C

26) Completa correctamente lo quea continuacin se menciona.

Se llama pie de la oblicua al......... de interseccin de dosrectas oblicuas.

S e l l a m a p i e d e l aperpendicular al punto deinterseccin de dos ......... .

Dos rectas perpendiculareso dos rectas oblicuas sonrectas ......... .

25) Relaciona correctamente losdatos de ambas columnas.

1) Rectas paralelas.

2) Rectas oblicuas.3) Pie de la perpendicular.4) Rectas perpendiculares.

( )

( )

( )

( )

A

30) En el rectngulo ABCD, sealeverdadero (V ) o falso (F) lo que

a continuacin se menciona.

I. BC es pararlelo a AD. ( )

II. AB es paralelo a CD. ( )

III. AB es secante con BC. ( )

IV. CD es paralelo a BC. ( )

A

B

D

C

29) En la figura, cuntos pares derectas paralelas y cuntos paresde rectas secantes hay?

a) 2 y 1 b) 1 y 2 c) 2 y 2d) 3 y 3 e) 2 y 3

a a a

28) Representa con smbolos lo quese menciona a continuacin.

Si la recta L1es paralela a la

recta L2, entonces la recta L2es paralela a la recta L1.

El segmento AB es paraleloal segmento CD.

La intersecci n de lossegmentos AB y BC es elpunto B.

31) De acuerdo a la preguntaanterior, indica verdadero (V)o falso (F) segn corresponda.

I. Existe slo un par desegmentos paralelos. ( )

II. Existendosparesdesegmentosparalelos. ( )

III. AB y BC tienen un solopunto de interseccin. ( )

IV. C es punto comn de BCy CD. ( )

32) De acuerdo a la figura, relacionacorrectamente las informacionesde ambas columnas.

I. AB y CDII. BC y CDIII. AB CDIV. BC AM

( ) Rectas secantes( ) Rectas paralelas( ) M( )

A

B

D

CM

35) Halla el nmero mximo depuntos de corte de 3 rectas

secantes.

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 2

34) Las huellas dejadas por las llantas

de un auto que viaja en lnearecta nos dan idea de:

a) Rectas oblicuasb) Rectas perpendicularesc) Rectas paralelasd) Rectas cruzadase) N.A.

33) Completa correctamente lo quea continuacin se menciona.

El punto de interseccin dedos rectas oblicuas se llamapie de la ................... .

El punto de interseccin dedos rectas perpendicularesse llama ................... de laperpendicular.

Dos rectas secantes puedenser rectas oblicuas o rectas.................... .

Nivel III

5/28/2018 4 Geometr a

22/50

194

41) En cuntos puntos cortarn dosrectas secantes a las 3 paralelasmostradas?

a) 2b) 4c) 6d) 8e) 10

L1

L2

L3

40) En cuntos puntos cortar unarecta secante a las 3 paralelasmostradas?

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

L1

L2

L3

36) Halla el nmero mximo depuntos de corte de 4 rectassecantes.

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 3

39) Halla el mximo nmero depuntos de corte de n rectas

secantes.

a) b) c)

d) e) N.A.

n2

n(n+1)2

n(n-1)2

n2

2

38) Halla el mximo nmero depuntos de corte de 20 rectassecantes.

a) 170 b) 19 c) 190d) 17 e) 180


a) 4 b) 6 c) 8d) 10 e) 12

42) En la figura, indica el nmero depuntos de corte.

a) 10 b) 11 c) 20d) 13 e) N.A.

43) Cuntos puntos de corte hay?

a) 8 b) 10 c) 12d) 13 e) 15

47) En cuntos puntos cortar una

secante a diez rectas paralelas?

a) 8 b) 10 c) 11d) 12 e) N.A.

46) Halla el mximo nmero depuntos de corte entre 3 rectassecantes y 3 rectas paralelas.

a) 10 b) 12 c) 9d) 15 e) 18

45) Halla el mximo nmero depuntos de corte entre 3 rectassecantes y dos rectas paralelas.

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

44) Calcula el nmero mximo depuntos de corte entre 2 rectas

paralelas y 3 rectas secantes.

a) 6 b) 7 c) 5d) 4 e) 3

50) Halla el nmero mximo depuntos de corte de siete rectassecantes.

a) 19 b) 21 c) 23d) 25 e) 17

49) Halla el nmero mximo depuntos de corte de seis rectassecantes.

a) 12 b) 13 c) 15d) 17 e) 6

48) Halla el mnimo nmero depuntos de corte entre seis rectassecantes.

a) 6 b) 5 c) 3d) 2 e) 1

Tres famosos problemas deconstruccin que datan de lapoca griega se resistieron alesfuerzo de muchas generaciones

de matemticos que intentaronresolverlos: la duplicacin del cubo(construir un cubo de volumendoble al de un determinadocubo), la cuadratura del crculo(construir un cuadrado con reaigual a un crculo determinado) yla triseccin del ngulo (dividir unngulo dado en tres partes iguales).Ninguna de estas construccioneses posible con la regla y el comps.Y la imposibilidad de la cuadraturadel crculo no fue finalmentedemostrada hasta 1882.

5/28/2018 4 Geometr a

23/50

195

En un da de paseo al campo, los alumnos del primer ao observaron una grancantidad de fibras rectas y delgadas de hilo de una telaraa, uno de ellos exclam:Averigemos la cantidad de fibras! y todos con gran entusiasmo y cuidadoempezaron a contarlos, uno, dos, tres, .... 499, 500 (quinientas) fibras. Luego de

un breve silencio, Jaime, el ms inquieto del grupo, hace la siguiente pregunta: Sila araa cruza todas las fibras, cuntos puntos de cruce como mnimo y cuntoscomo mximo se obtendr? ... Al instante respondieron todos, como mnimose obtendr un punto de cruce y como mximo, la respuesta fue variada, unosdecan 500, otros 800, otros 1000 y hubo ms nmeros diferentes como respuesta.Al no ponerse de acuerdo, acudieron al profesor de geometra y le plantearonel problema. El profesor pidi silencio para resolver el dilema y dijo lo siguiente:Si cada fibra nos representa una recta, entonces tendremos 500 rectas secantes.Resolvamos el problema de manera gradual.

2 rectas se cortan en 1 puntoPodemos escribirlo como

= 1

3 rectas se cortan en 3 puntos Podemos escribirlo como

= 3

4 rectas se cortan en 6 puntos Podemos escribirlo como

= 6

500 rectas = 124 750

Qu cantidad tan grande! Exclamaron contentos los alumnos por la acertadarespuesta de su profesor, y siguieron indagando ms cosas. Veamos uno de ellos.

Si se tiene 3 rectas secantes y 4 rectas paralelas, cuntos puntos de cortecomo mximo se obtendrn? Sin mayores esfuerzos los alumnos dicen: * 1 recta secante corta a las 4 paralelas en 4 puntos, esto quiere decir que: * 3 rectas secantes cortarn a las 4 paralelas en 3 x 4 = 12 puntos.

Las 3 rectas secantes se cortarn entre s en: = 3 puntos

Puntos de corteentre rectas

1

1 2

3

1 2 3

4 56

2 x 12

3 x 22

4 x 32

500 x 4992

3 x 22

El nmero de puntos de corte ser: 12 + 3 = 15

Ptolomeo I

Rey de Egipto, mandllamar a Euclides y le exigiun camino ms sencillo y cortopara aprender y entender laGeometra. Euclides le contest:Mi estimado rey de Egipto, noexiste camino privilegiado algunopara los reyes, para todos es elmismo (igual de complicado).

As que, mi estimado Rey,pngase a estudiar los postuladosy axiomas!

5/28/2018 4 Geometr a

24/50

196

5) Indica el nmero de puntos decorte.

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 17

4) Indica el nmero de puntos decorte.

a) 4b) 6c) 8d) 10e) 11


a) 4 b) 28 c) 82 d) 27 e) 64

2) Halla el nmero mximo depuntos de corte de siete rectassecantes.

a) 19 b) 21 c) 23 d) 25 e) 17

1) Halla el nmero mximo depuntos de corte de seis rectassecantes.

a) 12 b) 13 c) 15 d) 17 e) 6

6) En cuntos puntos de cortecortar una recta secante a lascuatro paralelas mostradas?

a) 3b) 4c) 5d) 6

e) 1

9) En la figura, indica el nmero de

puntos de corte.

a) 10b) 11c) 20d) 13e) 15

8) En cuntos puntos de cortecortarn cuatro rectas paralelasa tres rectas secantes?

a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18

7) En cuntos puntos de cortecortarn dos rectas secantes alas cuatro paralelas mostradas?

a) 8b) 6c) 4d) 3e) 10


a) 8b) 10c) 12d) 13e) 15

15) Halla el mnimo nmero depuntos de corte entre seis rectassecantes.

a) 6 b) 5 c) 3d) 2 e) 1

14) En cuntos puntos cortar unasecante a diez rectas paralelas?

a) 8 b) 10 c) 11d) 12 e) 13


a) 10 b) 12 c) 9d) 15 e) 18


a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

11) Calcula el nmero mximo depuntos de corte entre 2 rectasparalelas y 3 rectas secantes.

a) 6 b) 7 c) 5d) 4 e) 9


a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 2

Nivel I

Nivel II

5/28/2018 4 Geometr a

25/50

197

23) Halla el mximo nmero depuntos de corte entre seis rectas

secantes y dos paralelas.

a) 19 b) 21 c) 23d) 25 e) 27

22) En cuntos puntos cortarn dosrectas secantes a 3 paralelas?

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

21) En cuntos puntos cortar unarecta secante a 3 paralelas?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

20) Halla el mximo nmero depuntos de corte de n rectassecantes.

a) b) c)

d) e)

n2 n(n+1)2 n(n-1)2

n2

22n-1

2


a) 170 b) 19 c) 190d) 17 e) 180


a) 4 b) 6 c) 8d) 10 e) 12


a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 3

30) Cuntos puntos de corte existen

entre 10 rectas secantes?

a) 45 b) 40 c) 50d) 100 e) 20

29) Cuntos puntos de corte existenentre 4 rectas paralelas y 5 rectassecantes?

a) 20 b) 32 c) 24d) 36 e) 30

28) Cuntos puntos de corte existenentre 9 rectas secantes?

a) 36 b) 32 c) 30d) 40 e) 48

27) Cuntos puntos de corte existenentre 50 rectas paralelas?

a) 10 b) 5 c) 25d) 0 e) 50

26) Cuntos puntos de corte existenentre 3 rectas paralelas?

a) 1 b) 2 c) 0d) 3 e) 9

25) En cuntos puntos cortaruna recta secante a p rectasparalelas?

a) p b) p -1 c) p + 1d) p/2 e) p + 2

24) Halla el mximo nmero depuntos de corte entre 5 rectassecantes y 5 paralelas.

a) 35 b) 37 c) 33d) 39 e) 31

35) Halla el mximo nmero de

puntos de corte entre 6 rectassecantes y 4 rectas paralelas.

a) 32 b) 36 c) 38d) 39 e) 40

34) Calcula el mximo nmero depuntos de corte de K rectassecantes y P rectas paralelas.

a) 2PK

b) P(K -1)

c)

d)

e) PK +

K(K-1)2

K(K+1)2

K(K-1)2

33) Calcula el mximo nmero depuntos de corte entre A rectassecantes y B rectas paralelas.

a) d) 2AB

b) AB + A e) AB

c) + AB

A(A-1)2

A(A-1)2

32) Calcula el mximo nmero depuntos de corte entre N rectassecantes.

a) N(N -1) d) n2

b) N(N + 1) e)

c) N(N-1)2

N-12

31) Calcula el mximo nmero depuntos de corte de x rectas

secantes.

a) x2 b) c)

d) x(x -1) e) (x + 1)

x(x-1)2

(x-1)2

Nivel III

5/28/2018 4 Geometr a

26/50

198


a) 18 b) 20 c) 22d) 24 e) 25


a) 26 b) 27 c) 28d) 29 e) 30

39) Cuntos puntos de corte hay enla figura mostrada?

a) 16b) 17c) 20d) 18e) 19


a) 8b) 9c) 10d) 12

e) 14


a) 20b) 10

c) 15d) 16e) 24


a) 3 b) 4 c) 7d) 5 e) 6

L1

L2

L3

L4

123

n

123

m

45) La figura muestra m rectasparalelas. Cuntos puntosde corte se determinan si setraza 3 rectas secantes a dichasparalelas?

a) m b) 2m c) m + 3d) 3m -1 e) 3m

44) La figura muestra n rectasparalelas. Cuntos puntos decorte se determinan si se trazauna secante a dichas paralelas?

a) n + 1 b) n c) n -1d) 2n e) n/2

43) Cuntos puntos de corte existenen la figura mostrada si L

1// L

2//

L3// L

4?

a) 12b) 10c) 8d) 14e) 15

42) Cuntos puntos de corte existenen la figura?

a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 12

50) Cuntas rectas secantes

determinan 105 puntos decorte?

a) 12 b) 15 c) 10d) 9 e) 16

49) Cuntas rectas secantes existensi determinan 45 puntos decorte?

a) 8 b) 9 c) 10d) 12 e) 15

48) Cuntas rectas secantes existensi determinan 28 puntos decorte?

a) 13 b) 12 c) 10d) 8 e) 9

1

2

3

47) L a f i g u r a m u e s t r a a

circunferencias y b rectasque pasan por un mismo punto.Cuntos puntos de corte sedeterminan en total?

a) 2ab + 1 d) 4ab + 1

b) 2ab e) 4ab -1c) 2ab -1


a) 16 b) 19 c) 18d) 12 e) 13

5/28/2018 4 Geometr a

27/50

199

En el captulo III estudiamos a laslneas rectas y vimos que el segmentoes una de estas lneas. Recordemosque el segmento es una porcin derecta limitada por dos puntos llamados

extremos.

Segmento deRecta

Arqumedes(287 -212 a.C.)

S i ndiscusin,f u e e lmatemticogriego msgenial quev i v i e nSiracusa. Su

padre fue el astrnomo Fidias.Se atribuyen a Arqumedesnumerosos inventos, entre ellosel tornillo sin fin destinadoa traer agua del subsuelo enEgipto.

Particip en la defensa deSiracusa.

La originalidad de Arqumedeslo convirti, junto a Platn, en

la flor innata del genio griego.Descubri las propiedades delnmero y las enunci en ellibro Medida del crculo.

Se antici p a Newton2000 aos, pues descubri losconceptos y principios bsicosdel Clculo Integral.

Muri asesinado por unsoldado romano en la crcelmientras resolva un problema.

P QL

M N

3m

A B

En la figura anterior, tomamos Py Q de la recta L. A esta porcinde recta limitada por los puntos enmencin se le llama segmento PQ osegmento QP.

Notacin de unSegmento

A todosegmento suele representarseescribiendo los dos puntos asignados asus extremos con una pequea rayitasobre ellos, as:

MN : segmento MNo

NM : segmento NM

Longitud de unSegmento

La longitud de un segmento esun nmero positivo que representaa su medida y suele representarse dedos maneras. Para esto pongamos elsiguiente ejemplo:

Si el segmento AB tiene unalongitud de 3 m, entonces:

31071

31070

< PB e) PB = 2PAc) PA = PB

4) De acuerdo a la figura anterior,indica si es verdadero (V) o falso(F) lo que a continuacin seenuncia.

a) mAB = mCD ( )b) BC es la notacin del

segmento BC. ( )

c) BC indica la medida delsegmento BC. ( )

d) La longitud de un segmentoes un nmero mayor quecero. ( )

Nivel I

7) Si M es el punto mediodel segmento AB, entonceslas medidas de AB y AM,respectivamente son:

a) 7 y 1b) 7 y 7c) 14 y 7d) 7 y -14e) -7 y -14

A BM

7

5/28/2018 4 Geometr a

30/50

202

A

B

O

15) Por el mtodo de la regla y elcomps, trace la mediatriz de lacuerda AB. Qu observa de estarecta?

a) No pasa por el centro.b) Pasa por el centro.c) A veces pasa.d) Sin precisar.e) Todas se cumplen.

14) Cuntos segmentos se puedenobtener con tres puntos nocolineales?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

13) Por el mtodo de la regla y elcomps, construye un tringuloy trace las mediatrices de suslados. Indica en cuntos puntosse cortan.

a) En unob) En tresc) En cuatrod) En dose) En ningn punto

17) Completa de manera adecuadalo que a continuacin semenciona.

a) Si M es un punto que bisecaal segmento, entonces lo_______ en partes iguales.

b) Con tres puntos colinealesse puede obtener _________segmentos.

c) Dos puntos cualesquieradeterminan una ________.

16) Utilizando el criterio anterior,

dibuja una circunferencia y ubicasu centro.

A CB

D

22) Cuntos segmentos se puedenformar con los puntos A, B, C yD?

a) 6b) 2c) 3d) 4e) 5

A C E

B D

21) Indica el nmero de segmentosen la figura.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

20) Indica verdadero (V) o falso (F)segn corresponda:

PQ es la notacin delsegmento PQ. ( )

mPQ indica la medida delsegmento PQ. ( )

El segmento tiene un nmerolimitado de puntos. ( )

19) Indica el nmero de segmentos

que hay en la figura.

a) 3b) 6c) 9d) 12e) 13

18) Relaciona correctamentelas informaciones de ambascolumnas.

a) PQ ( ) Pie de la oblicua

b) mPQ ( ) Vector PQ

c) ( ) Medida del segmento PQ

d) ( ) Pie de la perpendicular

12

A B

27) Utilizando comps y regladetermina el punto medio delsegmento PQ.

P

Q

26) Utilizando comps y regla,determina el punto medio delsegmento AB.

13

25) De acuerdo al problemaanterior, usando solamente elcomps como instrumento decomparacin, qu puedes decirde las medidas de MN y AC?

a) MN = AC

b) MN = AC

c) MN = AC

d) MN = 2AC

e) MN = 3AC

23) Halla las medidas de MN y NP,de acuerdo a la figura.

a) 12 y 24 b) 12 y 12 c) 24 y 24d) 6 y 12 e) F. D.

M PN

12

18

A

B

C

24) Mediante el mtodo de laregla y el comps, ubica My N sabiendo que son lospuntos medios de AB y BC,respectivamente.

Nivel II

5/28/2018 4 Geometr a

31/50

203

30) Graf ica un segmento de3,5 cm y ubica su punto medioutilizando comps y regla.

29) Graf ica un segmento de3 cm e indica su punto medioutilizando comps y regla.

28) Utiliza ndo comps y regladetermina el punto medio deRS.

R

S

32) Grafica un segmento de 5 cm ytraza una perpendicular por supunto medio, utilizando compsy regla.

31) Grafica un segmento de 4 cm ytraza una perpendicular por supunto medio, utilizando compsy regla.

38) Divide el segmento mostrado en3 segmentos proporcionales a 1,2 y 3.

37) Dividir el segmento mostradoen 2 segmentos proporcionalesa 5 y 3, utilizando comps yescuadras.

36) Divide el segmento mostradoen 2 segmentos proporcionales

a 3 y 2, utilizando comps yescuadras.

35) Divide el segmento mostradoen cinco segmentos de iguallongitud utilizando comps yescuadras.

34) Divide el segmento mostradoen cuatro segmentos de iguallongitud utilizando comps yescuadras.

33) Divide el segmento mostrado entres segmentos de igual longitudutilizando comps y escuadras.

43) Utilizando comps y regladibuja un tringulo equilterode permetro 6 cm.

42) Utilizando comps y regla dibujaun tringulo equiltero de lado3 cm.

41) Utilizando comps y regla dibujaun tringulo cuyos lados midan5 cm, 6 cm y 3 cm.

40) Utilizando comps y regla dibujaun tringulo cuyos lados midan3 cm, 4 cm y 5 cm.

39) Divide el segmento mostrado en3 segmentos proporcionales a 2,3 y 5.

Nivel III

5/28/2018 4 Geometr a

32/50

204

A CB D

46) Calcula la cantidad de segmentosque tiene la figura mostrada.

a) 3b) 2c) 5d) 4e) 6

A B C

D

45) Cuntos segmentos existen enla figura mostrada?

a) 4b) 6c) 3d) 2e) 8

44) Cuntos segmentos existen enla figura mostrada?

a) 2b) 3c) 1d) 4e) 5

A CBA

B

CD

E

B

12

CA

5

48) Calcula el mximo valor enteroque puede tomar el segmentoAC.

a) 5

b) 12c) 17d) 15e) 16

47) Calcula la cantidad de segmentosque tiene la figura mostrada.

a) 4b) 3c) 2d) 5e) 6

10x

y

18

50) Calcula el mximo valor enteroque puede tomar x + y.

a) 26b) 28c) 30d) 25e) 27

49) Calcula el mnimo valor enteroque puede tomar el segmentoPQ.

a) 3b) 2c) 5d) 1e) 4

P

9

R13Q

El ADN (la huella digital de lascriaturas vivientes) tiene la formade una larga escalera que setuerce como un espiral. Si todoel ADN de una de tus clulas sedesempacara y se estirara tendraaproximadamente 180cm. Debidoa que t tienes ms o menos cincotrillones de clulas (5x1018) en tu

cuerpo, la longitud total del ADNempacado en ellas sera al estirarse 30 veces la distancia de ida y vueltaal Sol. Este ADN, desempacado y estirado constituira un segmento puestiene dos extremos y una longitud.

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33/50

205

Queridos amigos, operar con segmentos es fcil y sencillo, de manera que notendremos dificultad en resolver problemas referentes a este tema. Dos son lasoperaciones bsicas que trataremos: la suma de segmentos y la resta de segmentos.stas se basan en un principio sencillo llamado el postulado de la reunin y que

se menciona de la manera siguiente: El total es igual a la suma de las partes.Este postulado podemos explicarlo con el siguiente ejemplo: Carlitos se dirige ala casa de Fabiola distante 5 km, para luego recorrer 3 km ms hacia la casa deDanielito, tal como indica la figura.

Operaciones conSegmentos

5 km 3 km

C F D

Carlitos recorri entonces : 5 km + 3 km = 8 km

Pero notemos que: 5 km es la longitud de CF3 km es la longitud de FD8 km es la longitud de CD

Notamos pues que la suma de las partes (CF y FD) es igual al total (CD).

De manera similar e intuitiva notamos que si a CD le quitamos o restamosFD, nos quedamos con CF; esto es:

Entonces:

CF + FD = CD

CD -FD = CF

Practiquemos un poco, tomando en cuenta la siguiente figura:

2 km 7 km

A D

3 km

B C

AB + BC = AC = 5 km

AC + CD = .................... = ..................

BC + CD = .................... = ..................AC BC = AB = 3 km

AD CD = .................... = ..................

BD CD = .................... = ..................

Euclides

En tiempo de Ptolomeo I, elgran matemtico griego Euclidesfund y cre en Alejandra (sigloIV a.C.) la geometra que llevasu nombre, cuyos principios hanservido de base durante dos mil

aos a la Geometra.

Interesante

Einstein dijo:R e s t r i n g i rn u e s t r o sconocimientosa un pequeogrupo de personas debilita elespritu filosfico de un puebloy lo conduce a una pobrezaespiritual.

5/28/2018 4 Geometr a

34/50

206

A B DC

A B DC

A B DC

5) Relaciona de manera adecuadalo que a continuacin semenciona.

El postulado de la reunin,indica que el ............ es igual

a la suma de las ................ . Dos segmentos son .................si tienen la misma longitud.

Si AB > PQ, entonces laexpresin ABPQ es mayorque ............... .

4) Halla el valor de mBC siAB = 14, BD = 18 y C es puntomedio de AD.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

3) H a l l a m B C , s i A B = 1 0 ,BD = 24 y C es punto medio deAD.

a) 2 b) 3 c) 5d) 7 e) 8

2) De acuerdo a la figura, calculaBC si AD = 10, AC = 8 yBD = 6.

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

1) De acuerdo a la figura, indica si esverdadero (V) o falso (F) lo quea continuacin se menciona.

a) AB BC = AC ( )b) AB BC = AC ( )c) AB BC = B ( )d) AB + BC = AC ( )

A B C

11) Del problema anterior, halla elvalor de CD BC.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

10) Halla el valor del menor segmentodeterminado si AD = 21.

a) 12 b) 2 c) 6d) 3 e) 4

A B DC

x+3 x+5x+4

A BM

9) Calcula el valor de en lasiguiente figura si AB = 12.

a) 2 b) 4 c) 6

d) 8 e) 10

P RQ

x x+10

8) Halla el valor de x si PR = 30.

a) 8 b) 20 c) 10d) 15 e) 6

A B C D

7) Halla el valor de BC si AD = 12,AC = 10 y BD = 9.

a) 5 b) 4 c) 6d) 8 e) 17

6) Si A, B, C y D son puntoscolineales y consecutivos,halla el valor de BC cuandoAC = BD = 3 y AD = 5.

a) 1 b) 2 c) 3d) 0,5 e) 1,5

P Q R

x x+10

15) Del problema anterior, indica si

es verdadero (V) o falso (F) loque se menciona.

* CB < BA ( )* CB > BA ( )* CB BA = 10 ( )* CB = BA ( )

14) De acuerdo a la figura, halla elvalor de BC AB.

a) 5 b) 10 c) x50

d) 0 e) F. D.

A B C

x50x50+10

BMA

BMAaa+1

BMAa a+5

13) R e l a c i o n a d e m a n e r aadecuada:

a)

b)

c)

( ) MB -MA = 5

( ) AM = MB ( ) AM > MB

12) De la figura, encuentra el valorde QR PQ.

a) 5 b) 10 c) 15d) 20 e) F. D.

Nivel I

5/28/2018 4 Geometr a

35/50

207

P Q R

16) De acuerdo a la figura, indica si esverdadero (V) o falso (F) lo que

a continuacin se menciona.

PQ + QR = PR ( ) PR QR = PQ ( ) PQ QR = PR ( ) PR PQ = PQ ( )

A B DC

12

10

15

A B Cx x+3

21) Calcula la mnima distancia

entre los puntos A y D.

a) 10 b) 15 c) 5d) 20 e) 12

20) Calcula la mnima distanciaentre los puntos A y D.

a) 5 b) 10 c) 7d) 8 e) Imposible

A B DC

3+x 2+x 52x

19) Halla el valor de la longitud delmenor segmento si AD = 27.

a) 9 b) 8 c) 7

d) 6 e) 5

A B DC

x1 x x+1

18) De la figura, halla la longitud delmenor segmento si AC = 10.

a) 2 b) 2,5 c) 3d) 3,5 e) 4

17) De la figura, indica el valor deBC.

a) 3 b) 5 c) 7d) 9 e) 4

A B C

x+7 x

A B CM

x+10 x+5 9x

A B DC

A B DC

P Q R

27) Cuntos segmentos existen en

la figura?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

26) Segn la figura, indica locorrecto.

a) AB = BCb) BC = CDc) AC = BDd) AB + BC = BDe) BC + CD = BD

25) Calcula BC si AB = 10, BD = 16y C es punto medio de AD.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

24) De acuerdo a la figura, relacionacorrectamente los datos deambas columnas.

a) x ( ) 12

b) AB BM ( ) 5

c) AB ( ) 2d) BM MC ( ) BC

23) Encuentra el valor deAB BC.

a) 0 b) 5 c) 7d) 2 e) F. D.

22) Del problema anterior, indica si esverdadero (V ) o falso (F) lo quea continuacin se menciona.

AB = BC ( ) BC AB = 2 ( )

AD = 15 ( )

AD BC = BC ( )

R Q DP

A P RQ

A B C

30) De acuerdo a la figura, calcula ABsi AC = 18m y BC = 10m.

a) 6 m b) 8 m c) 3 md) 5 m e) 9 m

29) De acuerdo a la figura, indica loverdadero:

a) AQ = PRb) AP = QRc) AP + PQ =AQd) AQ PQ = QR

e) AP = 2PQ

28) Cuntos segmentos existen enla figura?

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

A B PC

A P DQ

A M C

34) Si AC = 18m y M es puntomedio de AC, calcula AM.

a) 9 m b) 8 m c) 10 md) 11 m e) 12 m

33) Segn la figura, calcula PQ siAD = 24m y AP = QD = 10m.

a) 3 m b) 2 m c) 8 md) 6 m e) 4 m

32) Segn la figura, AP = 18m yAB = CP = 5m. Halla BC.

a) 6 m b) 8 m c) 7 md) 5 m e) 9 m

31) De acuerdo a la figura, halla ABsi AC = 30m y BC = 18m.

a) 10 m b) 12 m c) 15 md) 9 m e) 13 m

A B C

Nivel II

Nivel III

A B DC

x+3 x+5 72x

5/28/2018 4 Geometr a

36/50

208

43) Determina PM siendo M puntomedio de AQ, AQ = 32m yAP = 12 m.

a) 3 m b) 2 m c) 4 md) 6 m e) 5 m

A B CM

P Q RM

A M CB

A M NB C

41) Segn la figura, calcula PQsiendo P y Q puntos mediosde AB y BC, respectivamente.Adems AB = 16m y BC = 20m.

a) 14 m b) 16 m c) 19 md) 18 m e) 20 m

A B C

40) En la figura, calcula MN si M

es punto medio de AB y N espunto medio de BC. AdemsAB = 10m y BC = 18 m.

a) 13 m b) 14 m c) 12 md) 15 m e) 16 m

39) H a l l a A M s i A M = B M ,BC = 15m y AC = 27m

a) 8 m b) 12 m c) 6 md) 10 m e) 4 m

38) Calcula PM si M es punto mediode QR, PQ = 8m y QR = 24m.

a) 18 m b) 12 m c) 16 md) 20 m e) 24 m

37) Halla AM si M es punto mediode BC y AB = 14m, BC = 18m.

a) 18 m b) 20 m c) 23 md) 25 m e) 28 m

36) Si AC = 40m y CQ = 12m, hallaMQ sabiendo que M es puntomedio de AC.

a) 28 m b) 30 m c) 32 md) 36 m e) 34 m

A M QC

35) Si AC = 30m y PC = 12m,halla MP si M es punto mediode AC.

a) 15 m b) 18 m c) 30 md) 25 m e) 27 m

A M PCA B CM

A M CB

P M QD

P Q R

48) Halla AB si AB = BC = 2CD y

adems AD = 50m.

a) 10 m b) 15 m c) 25 md) 20 m e) 12 m

A B DC

47) Calcula PQ si PQ = 3QR yPR = 40 m.

a) 20 m b) 24 m c) 32 md) 36 m e) 30 m

46) Hal la AB s i AB = 2BC yAC = 30 m.

a) 10 m b) 12 m c) 20 md) 18 m e) 24 m

A B C

45) Halla MD si M es punto mediode PQ, PQ = 36m y DQ = 11 m.

a) 4 m b) 6 m c) 8 md) 5 m e) 7 m

44) Calcula BM si AM = MC,AC = 28m y BC = 10m.

a) 4 m b) 2 m c) 3 md) 5 m e) 6 m

42) Determina BM si AM = MC,AC = 30m y AB = 10m.

a) 1 m b) 3 m c) 4 md) 5 m e) 2 m

A P QB C

50) H a l l a P Q s i e n d o P y Qpuntos medios de AB y BC,respectivamente, y ademsAC = 32m.

a) 16 m b) 18 m c) 12 m

d) 14 m e) 10 m

49) Calcula MN si M y N sonpuntos medios de AB y BC,respectivamente, y ademsAC = 24 m.

a) 10 m b) 12 m c) 16 md) 18 m e) 13 m

A M NB C

S i h a yun parsitoq u e s i n

duda ponelos pelosde puntatan slo con la idea de poderalbergarlo en el interior esla tenia. La tenia o solitariaes un parsito intestinal quellega a alcanzar los 10 metrosde longitud y vive solo en elinterior del intestino delgado ygrueso del individuo. Imagnateun gusano as adherido a las

paredes de tu intestino.

La Teniasis se suele contraeral ingerir carne cruda o pococ o c i n a d a c o n u n a l a rv aenquistada.

Se han reportado casos en losque la tenia ha salido del cuerpototal o parcialmente por el ano.

Este parsito, extrado y

estirado constituira un segmentopues tiene dos extremos y unalongitud.

A P QM

5/28/2018 4 Geometr a

37/50

209

Ejercicios deReforzamiento

Nivel I

1) Completa de manera adecuadalo que a continuacin semenciona.

Una figura geomtrica es unconjunto de ___________.

En una ____________ rectatodos sus puntos siguen unamisma direccin.

La planimetra, llamadatambin ____________,estudialasfiguras geomtricasen el plano.

10) Calcula el mximo nmero depuntos de corte entre doce rectasparalelas y dos rectas secantes.

a) 24 b) 23 c) 25d) 21 e) 503) Relaciona de manera convenientelos datos de ambas columnas.

A) Lnea ( )quebrada

B) Figura no ( ) convexa

C) Rectas ( ) paralelas

D) Rayo ( )

a) CDBA b) DCAB c) ABCDd) CDAB e) CADB

2) Indica verdadero (V) o falso (F)en los siguientes enunciados:

Tales de Mileto fue discpulode Pitgoras. ( )

Dos rectas secantes se cortanen dos puntos. ( )

La interseccin de dos rectasparalelas es nula. ( )

La circunferencia es unaf igura geomtrica noconvexa. ( )

B C

A D

7) Indica el nmero de puntos decorte en la siguiente figura.

a) 8

b) 10c) 12d) 16e) 14

6) Del problema anterior, escriba

verdadero (V) o falso (F).

a) BC // AB ( )

b) BC AB = C ( )

c) AB CD = ( )

d) AB BC ( )

5) Para el cuadrado ABCD, sealaverdadero (V) o falso (F) segncorresponda.

BC es paralelo a AD ( )

CD es paralelo a BC ( )

AB es paralelo a CD ( )

AB es secante a BC ( )

4) Indica las figuras geomtricasconvexas.

a) b) c)

d) e) f)

a) a, c y d b) b y e c) d y fd) Todas e) b, d y e

11) Completa de manera adecuadalo que a continuacin semenciona: Si un punto biseca a un

segmento, entonces lo_____________ en partesiguales.

Dos segmentos se intersecan

en ______________ punto.

La distancia ms corta entre____________ es la longituddel segmento que los une.


a) 6b) 8c) 9d) 10e) 12

8) En la figura, . Indique laalternativa incorrecta.

a) L1// L

2

b) L1L

4= A

c) L2// L

3d) L

2L

4= B

e) L2// L

1

L1

L2

L3

L4

A B

5/28/2018 4 Geometr a

38/50

210

16) Ubica el punto medio delsegmento PQ utilizando la reglay el comps.

P Q

13) Calcula mAC.

a) 15 b) 12 c) 3d) 36 e) 18

BA M P

8x 12+x

18) Del problema anterior, indicael valor de 2 mPB.

a) 16 b) 24 c) 20d) 10 e) 8

17) Si P es punto medio de AB,halla mAP.

a) 8 b) 12 c) 4d) 6 e) 10

15) Relaciona correctamente ambascolumnas.

a) ( ) Rayo

b) ( ) Lneaquebrada

c) ( ) Lnea curva

d) ( ) Segmento

14) Del problema anterior, si x = 1,halla AC BC.

a) 12 b) 13 c) 15d) 11 e) 10

A CB

12+x3 3x3

12) En la figura, AC AB = 6. HallamBC.

a) 6 b) 3 c) 12d) 24 e) 4

A B C

A DB C

23) Las regiones que se muestranson equivalentes. Halle el valorde x.

a) 25 m b) 25 m3 c) 25 m2

d) 50 m2 e) 80 m2

x 25m2

22) C a l c u l a B C s i A D = 1 2 ,AC = 10 y BD = 9.

a) 7 b) 5 c) 4d) 6 e) 8

21) Indica el mximo nmero depuntos de corte entre 5 rectassecantes.

a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 5

20) Relaciona de manera adecuadalos datos de ambas columnas.

a) ( ) tringulo

b) ( ) lneacurva

c) ( ) figura convexa

d) ( ) figura no convexa

19) Indica si es verdadero (V ) ofalso (F) lo que a continuacinse menciona:

El segmento es una porcinde recta limitada por dospuntos. ( )

El rayo no tiene origen. ( )

La semirrecta tiene origen.( )

El rayo tiene origen. ( )

L1

L2

L3

9

31

x+1

29) Calcula x + 3 siL

1// L

2// L

3.

a) 2

b) 5c) 4d) 6e) 8

28) Calcula (a + 2) siL

1// L

2// L

3.

a) 4b) 5c) 7d) 6e) 8

2L

1

L2

L3

a

a

8

x

12

4

3

27) Halla x.

a) 11b) 13c) 14d) 12e) 15

26) Halla x.

a) 1b) 3c) 4d) 2e) 5

2x+1

4

3

25) Del problema anterior, calculamAC.

a) 8 b) 10 c) 14d) 16 e) 12

24) Si AB = BC, halla el valor dex.

a) 4 b) 6 c) 8d) 7 e) 12

4 + x

A CB

12 x

Nivel II

5/28/2018 4 Geometr a

39/50

211

L1

B

8

4

CA

3

a+1

30) Halla a si L1// AC.

a) 6 b) 5 c) 7d) 4 e) 8

Nivel III

Aa 12

C

3a

B4

L1

34) Calcula el permetro de untringulo equiltero de lado9m.

a) 12 m b) 27 m c) 18 md) 24 m e) 30 m

33) Calcula 2a -3 si L1// AB.

a) 5 b) 4 c) 3d) 6 e) 2

32) Calcula (x -2) si L1// BC.

a) 8 b) 6 c) 4d) 5 e) 3

x B

C8L

1

2xA

9

L1

2n+1R

15

6 2QP

31) Calcula n si L1// PQ.

a) 1 b) 3 c) 4d) 5 e) 2

2

40) Si una lnea mide 30 m, cuntostringulos equilteros cuyos

lados midan 5 m se puedenformar?

a) 1 b) 3 c) 2d) 4 e) 5

39) Calcula el permetro de la figurasombreada.

a) 8 + 2 d) 8 + b) 10 e) 10 + 2c) 18

38) Cuntas caras tiene el slido

mostrado?

a) 3b) 2c) 8d) 4e) 6

37) Cuntas caras tiene el slidogeomtrico mostrado?

a) 6b) 7c) 8d) 9e) 10

36) Calcula el permetro de uncuadrado de diagonal 6m.

a) 12 m d) 12 2 mb) 24 m e) 18 2 mc) 36 m

35) Halla el permetro de uncuadrado de lado 15 m.

a) 40 m b) 44 m c) 48 m

d) 64 m e) 60 m

P

L

L

Q

A B

P

Q

46) Utilizando comps y regla trazauna perpendicular al segmentoPQ que pase por su punto

medio.

45) Utilizando comps y regladetermina el punto medio delsegmento AB.

44) Utilizando comps y regla trazapor Q una perpendicular a larecta L.

43) Utilizando comps y regla traza ala recta L una perpendicular quepase por P.

42) Utilizando comps y regla traza ala recta L una perpendicular porcualquier punto.

L

41) Si una lnea tiene una longitudde 64m, cuntos cuadradoscuyos lados midan 4m se puedenformar?

a) 3 b) 2 c) 5d) 4 e) 6

5/28/2018 4 Geometr a

40/50

212

ngulo y SistemaSexagesimal

ngulo es la figura geomtrica formada por dos rayos con el mismo origen

llamado vrtice.

* Lados : OA y OB

* Vrtice : O

* Notacin : AOB, AOB O

A

B

Hemos entendido que una mayor abertura implica un mayor ngulo. Sinembargo, el hombre para ser ms exacto en sus apreciaciones y clculos ha ideadomuchsimos sistemas de medicin angular a travs de la historia. Podramos decirque los ms conocidos son:

* El Sistema Sexagesimal

* El Sistema Centesimal* El Sistema Radial

Ahora bien, el sistema que utilizaremos en nuestro curso ser el sexagesimal,el cual se concibe dividiendo a la circunferencia en 360 partes iguales a partir delcentro. A cada una de estas partecitas se le llama grado sexagesimal (1).

Para ilustrarlo, imaginemos que Lorenita hubiese dividido su torta en 360tajadas, todas iguales entre s. Puedes imaginarlo? Pues bien, cada tajadarepresentara un grado sexagesimal.

El instrumento que utilizaremos para medir los ngulos en forma precisa y enel sistema acordado ser el transportador sexagesimal.

1. Definicin Geomtrica del ngulo

ELEMENTOS:

2. Medicin Angular

OE180

150

90

50

0

A

B

C

D

m AOB = 50; mAOC = 90 ;

m AOD = 150, mAOE = 180^

^

3. ngulos Congruentes

O

E

F

B

A

C

Recuerdas cul es el sistema queacordamos utilizar para medir los

ngulos?___________________________.

Por consiguiente, es menester quesepamos ms sobre este sistema.

Se dice que dos o ms ngulosson congruentes si tienen la mismamedida.

Si el ngulo ABC es congruente con

el ngulo EOF, entonces escribiremos

ABC EOF.

Tambin: mABC = mEOF =

^ ^

^ ^

5/28/2018 4 Geometr a

41/50

213

En la direccin de internet www.sexagesimal.org hay una novedosa propuestade convertir el calendario que actualmente usamos (calendario gregoriano) enun calendario sexagesimal. Segn esta propuesta ya no habran 12 meses de 30das como promedio sino 6 meses de sesenta das. Esos meses se llamaran frige,close, flore, grane, rcole y caduce. Entre mes y mes se colocara un da llamadoadventicio. Desearas saber ms sobre esta innovadora propuesta? Ingresa ala direccin citada.

Interesante

Para medir el tiempo, al igual que los ngulos, se utiliza el sistemasexagesimal, llamado as pues una unidad superior es sesenta veces launidad inmediata inferior.

Sin embargo, para medir perodos de tiempos mayores se utilizanunidades que no guardan relacin con el sistema sexagesimal. Por

ejemplo, el ao se divide en 12 meses, a su vez , el mes se divide en 30das, la semana en 7 das, etc.

Para el tiempo1 hora < > 60 minutos1 minuto < > 60 segundos

Para los ngulos1 < > 60'1' < > 60''

Ejemplos:

a) 178'' < > ______________ Como 1' 60'' dividamos 178 60 para saber cuntos minutos hay en 178 segundos.

b) 10 925'' < > ______________ Como 1 3600'' dividamos

10 925 3600 para saber cuntosgrados hay en 10 925 segundos.

178'' 60

58'' 2

10 925'' 3600

125'' 3

Me han sobrado 125''. Cuntosminutos habr en 125''?

Observa el reloj de la fotografaadjunta. Verdad que las docedivisiones de las horas no han sidocolocadas al azar?, puesto que lashoras tienen la misma duracinestemos donde estemos, cmocrees que sern los ngulos queforman con respecto al centro el3 con el 4, el 7 con el 8 el 11 conel 12? ...

Excelente! Estas aberturas

son un ejemplo preciso de nguloscongruentes.

125'' 60

5'' 2'

Recuerda

El antiqusimo, pero an vigente sistema sexagesimal, se concibe

dividiendo a la circunferencia en 360 partes iguales, todas con respecto alcentro de la circunferencia. A cada una de esas partes se le llama gradosexagesimal (1). El grado sexagesimal (1) es la unidad del sistema.

Ahora bien, en pos de una mayor precisin, cada grado sexagesimalfue dividido en sesenta partes ms pequeas, todas iguales entre s, a lasque se le dio el nombre de minutos sexagesimales (').

Finalmente, y aunque no lo crean, se requera de mayor precisinan. Por eso, a cada minuto se le dividi en sesenta partecitas, diminutasen extremo, todas iguales entre s, a las que se les llam segundossexagesimales ('').

1 vuelta < > 360 1 < > 60' 1' < > 60'' 1 < > 3600''

5/28/2018 4 Geometr a

42/50

214

Nivel I

1) Si el ngulo mostrado tienecomo medida 60, halla el valorde x.

a) 30 b) 20 c) 60d) 12 e) 5

O3x

B

A

2) A partir del grfico, calcula x sim AOB = 66.

a) 60 b) 66 c) 30d) 20 e) 15

B

O 2x+6

A

3) El ngulo mostrado mide 45.Halla el valor de .

a) 45 b) 60 c) 30d) 15 e) 20

O+30

A

B

O2x-10

D

C

4) En la figura, AOB y COD soncongruentes. Halla el valor dex.

a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 50

^ ^

O

B

A30

5) En la figura, los ngulos MNP y

RST son congruentes. Halla elvalor de x.

a) 10 b) 5 c) 15d) 30 e) 35

^

^

N

M

P

7x-5

S

R

T

2x+20

6) Del grfico mostrado, calcula x+ y si los ngulos AOB y PQR soncongruentes.

a) 25 b) 20 c) 40d) 45 e) 60

Q45-y

P

RO

A

Bx+20

7) Del grfico mostrado, calculax - y si los ngulos AOB, PQR ySTU son congruentes.

Q

P

R

3y

-20

O2x-10

A

B

T70

U

S

a) 30 b) 40 c) 10d) 20 e) 25

8) La medida de un nguloes 2x - 10. Calcula x si dichongulo es congruente con eldoble de la medida de un ngulode 80.

a) 85 b) 40 c) 50d) 55 e) 60

9) La medida de un ngulo es3x - 20. Calcula 2x si dichongulo es congruente con otrongulo cuya medida es la terceraparte de 120.

a) 60 b) 50 c) 40d) 20 e) 30

10) Del grfico mostrado, calculax - y si los ngulos AOB, MNPy QRS son congruentes.

a) 30b) 50c) 20d) 15e) 35

N

MP

80

O2x-20

B

A

Rx+y

S

Q

5/28/2018 4 Geometr a

43/50

215

Nivel II11) Indica el valor de x si los ngulosmostrados son congruentes.

a) 35' b) 25' c) 35d) 25 e) 30

O15+x

A

B N3 000'

M

P

12) Indica el valor de x si los ngulosmostrados son congruentes.

a) 40' b) 50' c) 50d) 50'' e) 500''

O10

A

B Q550'+x

R

P

13) Indica el valor de x si los ngulosmostrados son congruentes.

a) 1 b) 10 c) 9d) 8 e) 7

S36 000''

R

TNx+1

P

M

14) Indica el valor equivalente de.

a) 32 b) 31 c) 31 8'd) 31 18' e) 32 18'

O=3068'

B

A

15) Si la medida de un nguloe s 1 5 1 2 0 ' , i n d i c a s uequivalencia.

a) 16 b) 17 c) 14d) 16 30' e) 18

16) De acuerdo a la figura, relacionacorrectamente los datos de

ambas columnas.

a) OA c)

b) O d) AOB( ) Notacin del ngulo

( ) Medida del ngulo( ) Lado del ngulo( ) Vrtice del ngulo

O

A

B

^

17) Si dos ngulos tienen la mismamedida, se dice que son:

a) Agudosb) Suplementariosc) Complementariosd) Congruentese) Rectos

M

N

19) Haciendo uso de tu transportadory tomando como lado inicial elrayo MN, dibuja un ngulo de90 en sentido horario.

O

AB

3x-4

D

C

E

86

21) Si los ngulos AOB y CDEson cong ruen tes, calcula x.

a) 10 b) 20 c) 35d) 30 e) 25

22) Indica verdadero (V) o falso (F),segn corresponda.

a) La notacin de un ngulo sehace con letras minsculas.

( )b) Los rayos que forman al

ngulo son sus lados.( )

c) El ngulo es la figura formadapor dos semirrectas. ( )

d) Se dice que dos ngulosson cong ruen tes cuandotienen la misma medida.

( )

23) La medida de un ngulo es3x + 25. Calcula x si dichongulo es congruente con otrongulo cuya medida es 100.

a) 3 b) 20 c) 25d) 30 e) 28

24) Cuntos segundos hay en2 2' 2''?

a) 7200'' b) 7300'' c) 7320''d) 7321'' e) 7322''

25) Cuntos segundos hay en15'?

a) 720'' b) 800'' c) 1080''d) 900'' e) 1000''

26) Cuntos minutos hay en1500''?

a) 5' b) 10' c) 15'd) 20' e) 25'

18) H a c i e n d o u s o d e t utransportador y tomandocomo lado inicial el rayo OB,dibuja un ngulo de 60 ensentido antihorario.

B

O

A

B

20) Haciendo uso de tu transportadory tomando como lado inicial el

rayo BA, dibuja un ngulo de140 en sentido antihorario.

5/28/2018 4 Geometr a

44/50

216

Nivel III

31) Expresa el equivalente de 136'.

a) 2 16'' b) 2' 16'' c) 2 46'

d) 3 16' e) 2 16'

27) Indica el valor de:

E =

a) 60 b) 61 c) 31

d) 3 e) 120

3 3'3'

28) Simplifica e indica el valorde:

E =

a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 6

5 15'45'


T =

a) 5 b) 6 c) 8d) 9 e) 10

3' 20''25''


R =

a) 70 b) 72 c) 79d) 80 e) 89

2 11' 40''1' 40''

32) Expresa el equivale nte de11055''.

a) 2 4' 15'' d) 1 4' 15''b) 3 4' 15'' e) 3 3' 15''c) 4 4' 15''

33) Expresa el equivale nte de

3945''.

a) 1 15' 45'' d) 1 15' 55''b) 1 5' 45'' e) 2 5' 45''c) 1 25' 45''

34) Indica si es verdadero (V) o falso(F), segn corresponda.

a) 180 < > 179 60' ( )

b) 180 < > 179 60'' ( )c) 180 < > 179 59' 60'' ( )d) 180 < > 179 120' ( )

35) Con la ayuda del transportador,indica el valor de x.

O

x(O: centro de lacircunferencia)

36) De acuerdo con la figura y con laayuda del transportador, indicala relacin correcta.

a) = 2 d) > b) = 2 e) = c) <

37) Del grfico mostrado, calculax + 2y si los ngulos AOB, MNPy QRS son congruentes.

a) 49b) 55c) 69d) 35e) 52

O2x+5

B

AN

MP

x+5y

R75

Q

S

38) Del grfico mostrado, calculax - 2y si los ngulos PQR, STUy AOB son congruentes.

a) 10b) 20c) 30d) 35e) 5

4° Geometría

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