· 4 3.6. Factorizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....

Osuna Omero Antonio

Cálculo básico para estudiantes Universitarios

Universidad de Los Andes-Facultad de Ciencias-Departamento de Matemática. 2010. p. 299

Venezuela

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OMERO A. OSUNA

Profesor Universitario, Educacion Media General y Profesional del Ministerio del Poder

Popular para la Educacion

CALCULO BASICO PARA ESTUDIANTES UNIVERSITARIOS.

Merida, 2010.

2

Titulo de la obra: Calculo Basico

Autor: Profesor Omero A. Osuna

Coleccion: Ciencias Basicas

Serie: Matematica

Indice general

Introduccion 7

1. Los Numeros Reales 8

1.1. Algunas Propiedades de los Numeros Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2. Exponentes y Radicales 19

2.1. Aplicacion en Ciencias Sociales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2. Definicion de Exponentes negativos y cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3. Propiedades de los Exponentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4. Expresiones Numericas Mixtas: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3. Expresiones Algebraicas 34

3.1. Operaciones de Expresiones Algebraicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.1.1. Adicion y Sustraccion de Expresiones Algebraicas . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2. Multiplicacion de Expresiones Algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3. Operaciones Combinadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.4. Division larga de Polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.5. Division abreviada de Polinomios. Metodo de Ruffini. . . . . . . . . . . . . . . . 45

3

4

3.6. Factorizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.7. Expresiones Fraccionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.7.1. Simplificacion de Fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4. Ecuaciones 68

4.1. Ecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.2. Metodo de Factorizacion para Resolver Ecuaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.3. Resolucion de Ecuaciones de la formaP

Q= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.4. Resolucion de Ecuaciones de la forma xk = d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.5. Resolucion de Ecuaciones Cuadraticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.6. Ecuaciones con Radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.7. Resolucion de Formas Cuadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.8. Ecuaciones Fraccionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.9. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5. Desigualdades 113

5.1. Desigualdades Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.2. Desigualdades Triviales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.3. Aplicacion de desigualdades en el Calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.4. Desigualdades de la forma a < cx + d < b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.5. Desigualdades Cuadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

5.6. Desigualdades Cuadraticas Triviales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.7. Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5.8. Ecuaciones con Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5.9. Desigualdades con Valores Absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

6. Sistemas de Coordenadas Cartesianas 147

6.1. Distancia entre dos Puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

5

6.2. Punto Medio de un Segmento de Recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

6.3. Graficas de Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

6.4. Intersecciones con los Ejes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

6.5. La Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

6.6. La Recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

6.7. Rectas Paralelas y Rectas Perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

7. Funciones 188

7.1. Aplicaciones Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

7.2. Distintos Tipos de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

7.3. Funciones Racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

7.4. Funcion Definida Por Partes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

7.5. Funcion Valor Absoluto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

7.6. Graficas de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

7.7. Simetrıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

7.8. Intersecciones con los Ejes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

7.9. Prueba de la recta vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

7.10. Dominio y Rango a traves de la grafica de la funcion . . . . . . . . . . . . . . . . 216

7.11. Grafica de una funcion definida por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

7.12. Operaciones con funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

7.13. Funcion compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

7.14. Operaciones geometricas de graficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

7.15. Resolucion geometrica de sistemas no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

7.16. Funcion inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

7.17. Grafica de la funcion inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

7.18. Funciones cuadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

7.19. Maximos y mınimos en funciones cuadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

6

7.20. Funciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

7.21. Graficas de la funcion exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

7.22. Funciones logarıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

7.23. Graficas de funciones logarıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

7.24. Propiedades de los logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

7.25. Ecuaciones logarıtmicas y exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

7.26. Formula de cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

7.27. Aplicaciones a las ciencias naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

7.28. Escala de Richter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

7.29. Estimacion de la edad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

7.30. Geometrıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

Introduccion

De acuerdo a la experiencia y preparacion en el area de Matematicas, quise dar a conocer los

objetivos mas importantes de dicha ciencia de una manera mas facil y precisa, siempre y cuando

el estudiante realice un estudio cotidiano sobre la misma, ya que esta es la madre de todas las

ciencias.

Este pequeno texto brindara un gran aporte a todos los educandos de las universidades publi-

cas y privadas, para el proceso de ensenanza aprendizaje en las carreras de Matematicas, Inge-

nierıa, Estadıstica, Fısica, Quımica, Biologıa, Administracion, Contadurıa, Farmacıa y Bioana-

lisis.

Para comprender el material se sugiere ser lo mas analıtico, permitiendo ası la concentracion,

siendo el proceso logico formal que requiere el estudio del calculo matematico. En este sentido,

la elaboracion del presente texto busca constituir ese material de referencia, dirigido especıfi-

camente a los estudiantes que cursan el primer semestre de las carreras antes mencionadas, a

quienes por un interes propio quieran tener acceso al inicio del conocimiento matematico, desde

una perspectiva que, si bien es poco formal y rigorosa, pretende dar el fundamento del calculo.

7

1Los Numeros Reales

Los numeros 1, 2, 3, . . . Se denominan numeros naturales. El conjunto de los numeros natu-

rales se representa con la letra N, ası.

N = 1, 2, 3, . . .

Si se suman dos numeros naturales el resultado es otro natural, pero si se resta el resultado

no necesariamente es un numero natural. Los numeros enteros representados por Z y dados por.

Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}

Son cerrados bajo las operaciones de suma, resta y multiplicacion, esto quiere decir que si

multiplicamos dos numeros enteros el resultado es entero. Sin embargo los numeros enteros no

son cerrados bajo la division, es decir que si dividimos dos numeros enteros el resultado no

necesariamente es un numero entero.

Los numeros racionales, Q expresados de la forman

m, donde n, m son numeros enteros con

m distinto de cero, es cerrado bajo las cuatro operaciones. Sin embargo no contempla todos los

numeros que podemos conseguir. Por ejemplo 2π que es el perımetro de una circunferencia de

radio 1, no es un numero racional. Tampoco√

2 ≈ 1.41 . . . es un numero racional, este numero

representa la solucion de la ecuacion h2 = 2 y es un numero que esta en la naturaleza pues

8

9

el es la longitud de la hipotenusa de un triangulo rectangulo con los dos catetos iguales a 1

estos numeros que no son racionales, pues no pueden ser expresados de la forman

mse llaman

numeros irracionales. Una diferencia entre los numeros racionales y los irracionales esta dada

en su representacion decimal. Los numeros racionales pueden ser representados por numeros

decimales que terminan

(1

4= 0.25

)

o por numeros decimales que se repiten indefinidamente(

1

6= 0.16666 . . . ,

1

11= 0.09090 . . .

)

. En cambio los numeros irracionales son representados por

numeros decimales que no terminan y que no tienen ninguna periodicidad es decir son la union

de los numeros racionales e irracionales√

2 es un numero irracional y por tanto real.

Ejemplo 1. Diga cuales de los siguientes numeros son naturales, enteros, irracionales, racionales

y reales a) − 3; b) − 4

3; c) 0, 2; d)π + 1; e) 101

Solucion:

a) −3 es un numero entero, tambien es racional pies puede ser escrito como−3

1y es real.

b) −4

3es un numero racional pues puede ser escrito como

−4

3. Tambien es real

c) 0.2 es un numero racional pues puede ser escrito como2

10. Tambien es real.

d) π + 1 es irracional. Observe que como π es irracional su expansion decimal es infinita no

periodica al sumarle 1 da como resultado un numero cuya expansion tambien es infinita

no periodica. Es un numero real

e) 101 es natural, entero, racional y es real.

Ejercicio de desarrollo. Diga cuales de los siguientes numeros son naturales, enteros, irra-

cionales, racionales y reales.

a) 3π; b)√

2 + 2; c) − 3.1

Los numeros reales pueden ser representados en la recta real. Para ellos se traza una lınea

recta y se escoge arbitrariamente un punto en ella, el cual representara el numero 0. Se escoge una

unidad de medida y a partir del 0 se hacen mediciones de una unidad tanto a la izquierda como a

10 CAPITULO 1. LOS NUMEROS REALES

la derecha, los puntos medidos representan los numeros enteros en el orden dado en la figura. Los

puntos a la derecha del 0 representaran los numeros positivos y a la izquierda podemos valernos

de su forma mixta. Ab

ccon b < c, este numero representa a a +

b

c, por ejemplo el numero

13

5puede ser escrito como 2

3

5. Ahora es claro que el numero

13

5= 2

3

5esta a 3/5 unidades de

distancia a la derecha del 2. La representacion del numero −10

3es simetrica con respecto al

origen del numero10

3= 3

1

3. Hay metodos precisos para representar los numeros irracionales a

traves de construcciones geometricas, sin embargo en este texto se haran representaciones no

muy exactas de estos numeros a traves de los primeros dıgitos de su representacion decimal.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

−10

3

√2 ≈ 1.41 . . .

13

3

Ejercicio de desarrollo. Represente aproximadamente numeros en la recta real.

a) 3; b)√

2 + 2; c) − 3.1; d)−3

5

1.1. Algunas Propiedades de los Numeros Reales

A continuacion enunciamos las propiedades mas importantes de los numeros reales. Asuma

en lo que queda de seccion que a, b, c y d son numeros reales, tenemos entonces.

1.- Propiedad conmutativa Propiedad conmutativade la suma de la multiplicacion

a + b = b + a a · b = b · aEjemplo: 3 + 4 = 4 + 3 2 · 6 = 6 · 2

2.- Propiedad asociativa Propiedad asociativade la suma de la multiplicacion

(a + b) + c = a + (b + c) a · (b · c) = (a · b) · cEjemplo: (2 + 13) + 7 = 2 + (13 + 7) 13 · (2 · 5) = (13 · 2) · 5

Comentarios En ambos la cifra es 22 En ambos casos da 130, peroes mas rapido el calculo de la primera

1.1. ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES 11

El elemento neutro es aquel que con la operacion que consideremos deja inalterable el numero

esto es a⋆− = a

3.- Elemento neutro de la suma 0 Elemento neutro de la multiplicacion 1

a + 0 = a a · 1 = a

El inverso de un numero es aquel que con la operacion que consideremos nos produce el

elemento neutro de la operacion: a⋆− =elemento neutro.

4.- Propiedad de inverso de la suma: −a Inverso de la multiplicacion:1

a

a + (−a) = 0 a · 1

a= 1

El inverso de la multiplicacion es denotado en ocasiones por a−1. Esto es a−1 =1

a.

El numero 0 no tiene inverso para la multiplicacion ya que no existe ningun numero que

multiplicado por 0 de 1.

5.- Propiedad transitiva: Si a = b y b = c entonces a = c

Ejemplo: Si sabemos que x = y, y, y = 4 entonces x = 4

6.- Propiedad distributiva Propiedad distributiva

a · (b + c) = a · b + a · c (b + c) · a = b · a + c · aEjemplo 3 · (2 + 5) = 3 · 2 + 3 · 5 (2 + 5) · 3 = 2 · 3 + 5 · 3Comentarios En todos los casos da 21

La resta se define como una suma:

a − b = a + (−b)

Recuerde que (−b) es el inverso u opuesto de b.


Muchas veces usamos la definicion al escribir una resta como una suma:

4 − 9 = 4 + (−9) Para definir el producto a.b.c usamos la propiedad asociativa

a.b.c = a.(b.c)

A continuacion listamos una serie de propiedades de los numeros negativos de mucha utilidad.

Propiedades Ejemplos Comentarios

−a = (−1)a −4 = (−1)4 Reescritura

(−a).b = −(a.b) = a(−b) (−2)3 = (−2 · 3) = 2(−3)

−(a + b) = −a − b −(4 + 7) El signo se distribuye

a(b − c) = a · b − a · c 2(4 − 5) = 2 · 4 − 2 · 5 La distributiva se cumplecon la diferencia tambien.

Ejemplo 1.- Demostrar que√

3 − 4 = −4 +√

3

Solucion: Tenemos que√

3−4 =√

3+(−4). Ahora por la propiedad conmutativa√

3+(−4) =√

3+ (−4). Por la propiedad transitiva de la suma resulta que√

3− 4 = (−4)+√

3 quitando los

parentesis en el lado derecho tenemos la igualdad deseada.

En general tenemos que:

x − y = −y + x

Ejercicios de desarrollo: Demostrar

a) (y − x) = −(x − y)

b) (x +√

3) − 4 = (x − 4)√

3

Propiedades del cero

1. a,0 = 0

2. Si a.b = 0 entonces a = 0 o b = 0

La division, a ÷ b es definida a traves de la multiplicacion


Si b#0, entonces a ÷ b = a.b−1

Donde b−1 es el inverso de la multiplicacion

Para la division tambien se emplea la notaciona

b= a ÷ b Recordando que b−1 =

1

b, la

division tambien puede ser definida con la siguiente notacion.

a

b= a

(1

b

)

Con esta notacion podemos interpretar por ejemplo que5

7es cinco veces

1

7

La propiedad 1 del cero permite justificar porque la division entre 0, a÷0, no esta definida.

Si a ÷ 0 = c y a#0 entonces a = c · 0 = 0, pero α no es cero.

0 ÷ 0 tampoco esta definida. Si 0 ÷ 0 = c entonces 0 = c · 0 es decir que 0 pudiese dar

cualquier valor lo cual no tiene sentido.


Para fracciones presentamos el siguiente recuadro de propiedades.

Propiedades Ejemplos Comentarios

−a

b=

−a

b=

a

−b−3

5=

−3

5=

3

−5El signo menos se puede transferir a cualquier partede la fraccion

a

c± b

c=

a ± b

c

1

3+

4

3=

1 + 4

3=

5

3Suma o diferencia con igual denominador

a

c± b

d=

a · d ± b · cc · d

2

7− 5

6=

2 · 6 − 7 · 56 · 7 Suma en cruz, recomendable cuando los denomi-

nadores no tienen factores comunes

=12 − 35

42= −23

42

a

b· c

d=

a · c

b · d2

3· 7

9=

2 · 73 · 9

=14

27Multiplicacion de fracciones

Fracciones equivalentesa · cb · c

=a

b

3 · 25 · 2

=3

5;

−4

−7=

(−1)4

(−1)7=

4

7Ley de Cancelacion: c es un factor en el numerador yel denominador

a · b

c=

a

1· b

c=

a · bc

2 · 5

3=

2

1

5

3=

2 · 53

Multiplicacion de un numero entero por una fraccion

a · bc

=a

cb = a

b

c

3 · 52

=3

25 = 3

5

2Reescrituras

a

b · c=

a

b· 1

c

2

3 · 5=

2

3· 1

5Reescrituras

a

c÷ b

d=

acbd

=a · d

b · c2

3÷ 7

5=

2375

=2 · 53 · 7

=10

21Division

a

c÷ b

d=

a

c· d

b=

a · d

c · b1

3÷ 9

4=

1

3· 4

9=

1 · 43 · 9

Division a traves de una multiplicacion

abd

=a1bd

=a · d

b

352

=3152

=3 · 25

=6

5Division entre un numero y una fraccion

ac

b=

acb1

=a

b · c

13

5=

1351

=1

3 · 5=

1

15Division entre una fraccion y un numero


Ejemplo 2.- Realice y simplifique las siguientes

a) 3(x

3+ 1)

, b) − (−2)(−3); c)

(1

2− 3

)

· 4; d)−x

−2÷ (−4); e)

3

5− 1

5+ 3

Solucion: a) Se usa primero la propiedad distributiva

3(x

3+ 1)

= 3 · x

3+ 3 · 1 =

3

1· x

3+ 3 Se realiza la multiplicacion de fracciones

=3 · x3

+ 3 se simplifica usando la ley de cancelacion

= x + 3

Observe: en este tipo de situacion se distribuye y luego se simplifica

b) Se usa primero la propiedad asociativa

−(−2)(−3) = (−1) · (−2)(−3) = (−1)(−2)(−3) = (−1)(6) = −6

c) Podemos distribuir primero(

1

2− 3

)

· 4 =1

2· 4 − 3 · 4 se realiza la multiplicacion de fracciones

=1

2· 4

1− 3 · 4 =

4

2− 12 = 2 − 12 = 10

d) Para la division rescribimos la expresion como fraccion el numero entero −4

−x

−2÷ (−4) =

x(−1)

2(−1)

−4Se usa la ley de cancelacion

=

x

2−4

1

=x · 1

2 · (−4)=

x

−8= −x

8

e) Usamos primero la propiedad asociativa de la suma

3

5− 1

5+ 3 =

(3

5− 1

5

)

+ 3 las fracciones tienen igual denominador

=2

5+

3

1=

2 · 1 + 5 · 35 · 1 =

2 + 15

5=

17

5

Para expresiones numericas mas complicadas se debe tomar en cuenta que lo primero que se

resuelve o elimina son los parentesis mas internos, o bien haciendo la operacion interna o bien

aplicando alguna propiedad de los numeros reales. Luego se procede a realizar la multiplicacion

o divisiones planteadas de izquierda a derecha y finalmente las sumas y restas.


Ejemplo 3.- Realice y simplifique: a)2 − 4

53

− 1; b) 2 + 5

(1

2− 2

3

)

; c) − 3 + 5

(3

5− 2

)

Solucion:

a) Resolvemos primero la diferenciabilidad en el numerador de2 − 4

53

− 1

2 − 4

53

− 1 =

2

1− 4

53

− 1 =

2 · 5 − 4 · 153

− 1 =

10 − 4

53

− 1 =

6

53

1

− 1

Aplicamos la doble C para resolver la division planteada, luego procedemos a simplificar

para finalmente realizar la diferencia planteada.6

53

1

− 1 =6

5 · 3 − 1 =2

5− 1 =

2 · 1 − 5 · 15

= −3

5

Posteriormente en este texto se realizan las sumas de fracciones usando la tecnica del mınimo

comun multiplo de los denominadores.

b) Resolvemos primero el parentesis

2 + 5

(1

2− 2

3

)

= 2 + 5

(1 · 3 − 2 · 2

6

)

= 2 + 5

(

−1

6

)

Pasamos a resolver la multiplicacion planteada:

2 +5

1

(

−1

6

)

= 2 − 5

6

y finalmente resolvemos la diferencia:

2 · 6 − 5

6= −7

6

c) En esta parte, preferimos eliminar los parentesis usando la propiedad distributiva, pues

observamos que al aplicarla en este ejemplo desaparece el denominador.

−3 + 5

(3

5− 2

)

= −3 + 5 · 3

5− 5 · 2 = −3 + 3 − 10 = −10

Ejercicio de desarrollo.- Realice y simplifique.

a)

2 −(

2

4− 1

3

)

1 − 1

2


b) 3 − 5

(

1 − 2

3

)

· 1

5

EJERCICIOS

1. Diga cuales de los siguientes numeros son naturales, enteros, irracionales, racionales y

reales:

1.1) -12; 1.2) -4; 1.3) 3√

5; 1.4.) 0; 1.5) -6.4; 1.6) 31

2. Represente aproximadamente los siguientes numeros en la recta real.

2.1) - 12; 2.2) −√

2 + 2; 2.3) −√

3 − 1; 2.4)1

5; 2.5)

π

2

3. Realice y simplifique las siguientes:

3.1) (−3x) · 1

9; 3.2) (−5)(−4)(−3); 3.3)

(−1

5÷ 3

)

· (−4) 3.4) 3 ÷ −x

23.5)

3 − 1

3− 5

2; 3.6) (−3)

(

−x +1

3

)

3.7) 0.(12)(-27); 3.8) (-3)(-3)+2;

3.9)1

3x÷(

1

9

)

; 3.10) 2 · 0

53.11) 2 · 5

0; 3.12)

(1

5− 3

5

)

÷(

4

3− 1

2

)

;

3.13)

2

3− 1

43

2− 4

3

; 3.14)1 − 4

3

2 − 8

3

; 3.15) 1 − 2

(1

2− 1

)

; 3.16) 2 − 6

(1

2− 2

3+

5

6

)

;

3.17)

(2

3− 1 +

4

3

)

÷ 2; 3.18)

(1

2− 2 +

3

5

)

10 − 3; 3.19) 3 + 2

(1

5− 3

)

· 1

2;

3.20) 4 − 3

(4

3− 3

2

)

; 3.21) −−3

4+ 1; 3.22)

3

−4+ 1; 3.23)

−3

−4+ 1;

3.24) 1 − 3

(1

3− 3

)

2

Respuestas:

1.1) Es un numero entero, tambien es racional y es real. 1.2) es un numero irracional y es

real; 1.3) es un numero irracional y es real; 1.4) es un numero entero, tambien es racional y es


real; 1.5) es un numero entero, tambien es racional y es real; 1.6) es un numero natural entero,

tambien es racional y es real.

3.1) −x

3; 3.2) -60; 3.3)

4

15; 3.4) −6

x; 3.5)

1

5; 3.6) 3x − 1; 3.7) 0; 3.8) 11; 3.9)

3

x; 3.10) 0; 3.11) No esta definido; 3.12) −12

25; 3.13)

5

2; 3.14)

1

2;

3.15)13

5; 3.16) -2; 3.17)

1

2; 3.18) -12; 3.19)

1

5; 3.20)

9

2; 3.21)

7

4;

3.22)1

4; 3.23)

7

4; 3.24) 5.

EJERCICIOS ADICIONALES

1) Realice y simplifique las siguientes:

1.1)1

3−

2 · 1

3· 5

4· 3

5; 1.2)

3

4− 3

5· 2

3− 5

4; 1.3) 3 − 1

2− (−2)5

3 · 2 ; 1.4) 3 − 1

2

(

−2

3+

5

2

) −

2; 1.5)−4

3÷ 2 − 3

(1

−2− 2

3

)

; 1.6) (5.0.3.12)÷(

1

2− 1

3+

1

4− 1

5+ 4

)

− 91

3+

−1

4; 1.7)

−3

4

(6

5· 4

3

)

; 1.8)−3

4

(6

5+

4

−3

)

Respuestas:

1.1) −1

6; 1.2) −17

5; 1.3)

2

3; 1.4)

8

11; 1.5)

17

6; 1.6) −13

4; 1.7)

6

5; 1.8)

1

10.

2Exponentes y Radicales

La potenciacion exponencial. Es una notacion pata abreviar una multiplicacion:

Notacion: an = aa . . . a︸︷︷︸

n−veces

, para n un entero positivo y a 6= 0

Se lee como a a la n.

a es llamada la base y n el exponente o potencia e indica el numero de veces que se repite el

factor a.

Presentamos a continuacion varios ejemplos ilustrativos

Ejemplo 1:

a) 23 = 2 · 2 · 2 = 8

b) (−5)3 = (−5)(−5)(−5) = −125

c)

(1

3

)5

=1

3

1

3

1

3

1

3

1

3=

1

3 · 3 · 3 · 3 · 3 =1

243

d)

(

−1

2

)4

=

(

−1

2

)(

−1

2

)(

−1

2

)(

−1

2

)

=1

2 · 2 · 2 · 2 =1

16.

e) (a + b)2 = (a + b).(a + b)

Observaciones:

1. Si a negativo entonces an es positivo si n es par y negativo si n es impar, como podemos

apreciar en el ejemplo anterior en b y d.

19

20 CAPITULO 2. EXPONENTES Y RADICALES

2. Una expresion como 2xn o simplemente 2xn es una escritura abreviada de 2.(xn), donde

se puede analizar que las convencion es que primero se hace la potencia y luego la multi-

plicacion por 2. De manera similar −xn representa a −(xn) y −2.xn quiere decir (−2).(xn)

3. −xn 6= (−x)n

Convencion: La potencia es la primera operacion que se ejecuta frente a multiplicaciones,

divisiones, sumas o restas o cambio de signo.

Ejemplo 2.- Evaluar a) 2 · 33; b) −23; c) 3 · (−4)3;

Solucion:

a) 2 · 33 = 2,27 = 54

b) −23 = −(23) = −8

c) 3 · (−4)3 = 3.(−4).(−4)(−4) = 3 · (−64) = −192

2.1. Aplicacion en Ciencias Sociales

Ejemplo 1.- Supone que una sustancia radioactiva tarda 1 semana en desintegrarse la mitad

de la cantidad inicial. Si se tiene 44 gramos de una sustancia radiactiva ¿Cuanto quedara a las

4 semanas?

Solucion: Observe que despues de una semana queda1

5· 50 gramos.

A las dos semanas queda la mitad de la primera semana:1

2

(1

2· 44)

=

(1

2

)2

· 44

A la tercera semana queda la mitad de la segunda semana1

2

((1

2· 44)2)

=

(1

2

)3

· 44

gramos

Ası en la cuarta semana queda1

2

((1

2· 44)3)

= 44 ·(

1

2

)4

gramos

2.2. Definicion de Exponentes negativos y cero

Los casos exponentes negativos o cero se definen como:

2.3. PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES 21

Definicion 2.1 Si a 6= 0 se define a0 = 1 y si n un entero positivo

an =1

an00 no esta definido

Ejemplo 1.-

a) 2−3 =1

23=

1

8

b) 20 = 1;

c) (√

3)0 = 1

d) (x + 2)−n =1

(x + 2)n

e) (2x2)0 = 1

Ejercicio de desarrollo.- Complete la igualdad

a) (3π)0 =

b) (x2 + 1)−2 =

2.3. Propiedades de los Exponentes

En la siguiente tabla se presentan las propiedades mas importantes de exponentes


Propiedad Ejemplo Justificacion solo para el caso n natural

an · am = (a · a · · · a︸︷︷︸

n−veces

) · (a · a · · · a︸︷︷︸

m−veces

)

1 an · am = an+m 23 · 24 = 22+4 = 26 = a · a · · · a · a · · · a︸︷︷︸

n+m−veces

= an+m

2 (an)m = an·m (22)4 = 22·4 = 28 (an)m = an · an . . . an︸︷︷︸

m−veces

= an·n...n = an·m

3 (a · b)n = an · bn (2 · b)3 = 23 · b3 = 8b3 (a · b)n = (a · b) · (a · b) . . . (a · b) = an · bn

4(a

b

)n=

an

bn

(2

5

)2

=22

52=

4

25

(a

b

)n=

a

b· a

b. . .

a

b=

a · a . . . a

b · b . . . b=

an

bn

5an

am=

1

am−n

33

35=

1

35−3=

1

9

an

am=

an · a−n

am · a−n=

a0

am−n=

1

am−n

6an

am= an−m 35

33= 35−3 = 9 Ejercicio

7(a

b

)−n=

(b

a

)n (2

3

)−4

=

(3

2

)4 (a

b

)−n=

a−n

b−n=

1/an

1/bn=

bn

an=

(b

a

)n

8an

bm=

1

bm · a−n=

b−m

a−n

2−3

5−1=

5

23Ejercicio

Ejemplo 1.- Simplifique las expresiones dadas. Exprese sus respuestas usando exponentes

positivos.

a) (2x2y)2(2−23x3y2); b)

(y2

x

)4(2x

y3

)2

; c) a(a

b

)−2


Solucion:

a)

(2x2y)2(2−23x2y2) = 22x4y22−23x3y2

= 222−23x4x3y2y2 = 22−23x4+3y2+2

= 3x7y4

b)(

y2

x

)4(2x

y3

)2

=(y2)4

x4· (2x)2

(y3)2

=y8

x4· 22x2

y6=

22y8x2

x4y6

=22y8−6

x4−2=

4y2

x2

c)

a(a

b

)−2= a

a−2

b−2=

a

1· a−2

b−2=

a1−2

b−2=

b2

aEn c) tambien se pudo usar la propiedad 7.

Entenderemos que una expresion de esta naturaleza que consiste en productos y cocientes

de variables esta simplificada cuando aparece una sola vez cada variable.

Ejercicio de desarrollo.- Simplifique la siguientes expresion. Exprese su respuesta usando

exponentes positivos.

(2y2

x

)−2(x−1

2y−2

)2

El lector habra podido darse cuenta de las siguientes:

Extension de la propiedad 3 y 4:

3 (an · bm)k = ank · bmk (33 · xk)2 = 36 · x2k (an · bm)k = (an)k · (bm)k = ank · bmk

4

(an

bm

)k

=ank

bmk

(22

x5

)3

=26

x5·3 =64

x15Ejercicio


Los exponentes sirven para representar cantidades muy grandes usando la notacion cientıfica

Recordemos lo siguiente:

Definicion 2.2 Se dice que a es una raız n−esima de b si an = b. En este caso se escribe

n√

b = a

Es claro que n√

0 = 0, para los otros valores de b tenemos que hacer consideraciones acerca

del signo de b y la partida del ındice, la cual es mostrada en la siguiente tabla.

n par (ejemplo n = 4) n impar (ejemplo n = 3)

b > 0 Hay dos raıces reales. Se denotan porn√

b y − n√

b 4√

81 = 3 y − 4√

81 = −3 sonlas raıces cuartas de 81Observe que (−3)4 = 81

Hay una sola raız real Se denotanpor n

√b y siempre es positiva.

3√

27 = 3 es la raız cubica de 27(3)3 = 27

b < 0 No existen raıces reales:Por ejemplo si b = −16, vemos que noexiste a tal que a4 = −16.Observe que el signo de a4 es positivo

Hay una sola raız real Se denotanpor −→ n

√b y siempre es negativa.

3√−27 = −3 es la raız cubica de −27

(−3)3 = −27

Notacion: Si n = 2 entonces colocamos√

a

Observaciones:

1.√

4 6= ±2,√

4 es la positiva, el signo se omite.√

4 es simplemente 2.

2. n√

an = a para n impar.

3. Para n par tenemos

n√

an =

a si a ≥ 0

−a si a < 0

Por ejemplo√

(−2)2 =√

4 = 2 = −(−2) 6= −2.

En el resto del capıtulo, a menos que se diga lo contrario, supondremos que todas las variables

representan numero positivos.

Para definir los exponentes racionales se usan radicales


Definicion 2.3 Sea m,n numeros, n > 1, si n√

a existe, entonces se define

am/n = n√

am.

Se exceptuan de la definicion los siguientes casos:

1. n par y a negativo.

2. m impar y a cero.

Ejemplo 2.- Exprese los siguientes radicales como potencia de exponentes racionales.

a) 3√

2; b)5√

x3; c)√

8

Solucion:

a) 3√

2 = 21/3; b)5√

x3 = x5/3;√

8 = 81/2

La siguiente tabla muestra las propiedades de los radicales, se ha colocado en el lado derecho

r la propiedad equivalente usando la notacion con exponente racional.

Propiedad Ejemplo Escritura en exponentefraccionario

n√

a · b = n√

a · n√

b 1)√

18 =√

9 · 2 =√

9 ·√

2

2) 3√

8 · 27 = (8 · 27)1/3 = (23 · 33)1/3 = 6 (a · b)1/n = a1/n · b1/n

n

√a

b=

n√

an√

b

3

√

8

3=

3√

83√

3=

23√

3

(a

b

)1/n=

a1/n

b1/n

n√

m√

a = n·m√

a√

4√

27 = 8√

27 (a1/m)1/n = a1

n·m

n√

am = ( n√

a)m 1) 5√

(32)3 = ( 5√

32)3 = (5√

25)3 = 23 = 8

Si n es par y a es negativa 2) (−1)5/3 =

(

(−1)1/3

)5

= (−1)5 = −1 am/n = (a1/n)m

la propiedad no es valida

Esta ultima propiedad se usa para evaluar expresiones como5√

323. Este numero es el mismo

que ( 5√

32)3 = 23 = 8.

Ejemplo 3.- Evalue las siguientes cantidades a) (−8000)1/3 ; b) (√

0.16)−3

Solucion:


a) Descomponemos −8000 = −1.8 · 1000. Para luego expresar cada factor como potencias.

(−8000)1/3 = (−1 · 23 · 103)1/3 = (−1)1/3(23)1/3(103)1/3 = −1 · 233 · 10

33 = −2 · 10 = −20.

b) En los siguientes pasos se usa las propiedades de los exponentes.

(√

0.16)−3 =1

(√

0.16)3. Escribimos 0,16 =

16

100, para luego usar la propiedad del cociente de

la raız

(√

0.16)−3 =1

(√

16

100

)3 =1

( √16√100

)3 =1

(4

10

)3 =1

(2

10

)3

=1123

53

=125

8

Ejercicio de desarrollo.- Simplifique la siguiente expresion. Exprese su respuesta usando ex-

ponentes positivos

a) (400)3/2

b) 3√−0.027

c) −91/2

Ejemplo 4.- Simplifique las expresiones dadas. Evite radicales en su respuesta, use exponentes

positivos

a)√

18 ·√

2; b)√

(x2y)3 ·√

y5

Solucion:

a)√

18 ·√

2 =√

18 · 2 =√

36 = 6

b)√

(x2y)3 ·√

y5 = (x2y)32 y

52 = (x2)

32 y

32 y

52 = x

2 32 y

32 y

52 = x3y

32+ 5

2 = x3y4

Ejercicio de desarrollo. Simplifique las expresiones dadas. Evite radicales en su respuesta, use

exponentes positivos.

a)3√

(xy2)4

xy1/3

b)

√

(x2y5)3

xy


Ejemplo 5.- Elimine los exponentes negativos y/o los radicales en las siguientes expresiones:

a)√

x +√

2y; b)x−1 + 2√−1; c)x(x−1 +

√y)−1

Solucion:

a)√

x +√

2y = x1/2 + (2y)1/2

b)x−1 + 2√−1 =

1

x+ 2

√1

y=

1

x+ 2

(1

y

)1/2

c)

x(x−1 +√

y)−1 = x · 1

(x−1 +√

y)=

x

1· 1

1

x+

√y

=x

1 + x√

y

x

=x2

1 + x · y1/2

Ejemplo 6.- Escriba las formas exponenciales en otra forma que involucre radicales

a) 5 − 2x1/2; b) (5 − 2x)−1/2

Solucion:

a) En la expresion 5−2x1/2, x es la expresion que esta elevada a la 1/2. Ası que convertimos

esta expresion con exponentes fraccionarios en una con radicales

b) En este caso es (5 − 2x) que esta elevado a la −1/2. Primero eliminamos el signo menos,

pasando la expresion al denominador:

(5−2x)−1/2 =1

(5 − 2x)1/2Es importante que el estudiante entienda que en esta situacion el

parentesis no se puede omitir, este parentesis va indicar que la raız se va aplicar a la expresion

5 − 2x. Ası

(5 − 2x)−1/2 =1√

5 − 2x

Tipificacion de errores


Error Comentario

(a + b)1/n 6= a1/n + b1/n La propiedad no es con la suma sino con la multiplicacionn√

a + b 6= n√

a + n√

b

anam 6= an·m Los exponentes de igual base se suman, no se multiplican

ab−n 6= 1

abnLa potencia es la primera operacion a considerar, afecta soloa b

n√

an + b 6= a + b Para poder simplificar debe ir todo el radicando elevado ala n.

n√

abn 6= a · b

2.4. Expresiones Numericas Mixtas:

Para evaluar las expresiones numericas mixtas existe una convencion en el orden de las

operaciones. Esta es:

1. Se resuelven las operaciones delimitadas por los parentesis mas internos.

2. Se encuentran las potencias y radicales de izquierda a derecha.

3. Se consideran las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha

4. Se resuelven las sumas y restas de izquierda a derecha.

Ejemplo: 1.- Evaluar las siguientes expresiones numericas

a)1

27− 2

(2

3

)3

; b)1 − 4 · 32

22 − 3 · 23; c)

√2 · 32 − 2 − 12

3− 3 · 4

Solucion:

a) Resolvemos primero el parentesis aplicando las propiedades de los exponentes.

1

2− 2

(2

3

)3

=1

27− 2

1· 23

33=

1

27− 2

1· 8

27

Se realiza entonces la multiplicacion y por ultimo la diferencia de fracciones

=1 − 2 · 8

27=

1 − 16

27= −15

27= −5

9

2.4. EXPRESIONES NUMERICAS MIXTAS: 29

b) En este caso se calcula primero las indicadas, luego se pasa a resolver las multiplicaciones

y por ultimo las diferencias de cada parte de la fraccion.

1 − 4 · 32

22 − 3 · 23=

1 − 4 · 94 − 3 · 8 =

1 − 36

4 − 24=

−35

−20=

7

4

c) Se realiza primero la radicacion, para ello debemos resolver la operacion indicada en el

radicando

√2 · 32 − 2 − 1

2

3− 3 · 4

Simultaneamente podemos trabajar las operaciones del denominador

√16 − 1

2

3− 12

=4 − 1

2

3− 12

1

=3

2 − 36

3

=3 · 3−34

= − 9

34

Ejercicio de desarrollo. Evaluar la siguiente expresion numerica

1

27+ 2 − 4

25·(

6

5

)−3

;

Ejemplo 2.- Simplificar las siguientes expresiones numericas:

a)√

2500 − 3√

250 −√

10 + 5; b)

√27 − 3

√8 + 5

√12 +

√32√

2Solucion:

a) Primero sacamos factores cuadraditos factorizando el radicando

√2500 − 3

√250 −

√10 + 5 =

√25 · 100 − 3

√25 · 10 −

√10 + 5

=√

25 ·√

100 − 3√

25 ·√

10 −√

10 + 5

= 5 · 10 − 3 · 5√

10 −√

10 + 5

Agrupamos terminos con radicales iguales

= 50 + 5 − 15√

10 −√

10 Se saca factor comun√

10

= 55 −√

10(15 + 1) = 55 − 16√

10

b) De nuevo, lo primero que hacemos es sacar factores cuadraticos


√27 − 3

√8 + 5

√12 +

√32√

2=

√32 · 3 − 3

√22 · 2 + 5

√22 · 3 +

√24 · 2√

2

=

√32√

3 − 3√

22√

2 + 5√

22√

3 +√

24√

2√2

=3√

3 − 6√

2 + 10√

3 + 4√

2√2

Agrupamos terminos con radicales iguales

=3√

3 + 10√

3 − 6√

2 + 4√

2√2

Se saca factor comun√

3 y√

2 y queda

=13√

3 − 2√

2√2

Este tipo de expresiones se suelen expresar con el denominador racionalizado. En el caso que

exista un solo termino en el denominador se multiplica y divide por un numero que complete la

potencia del ındice. Ası

3√

3 + 10√

3 − 6√

2 + 4√

2√2

=13√

3 − 2√

2√2

·√

2√2

=(13

√3 − 2

√2)√

2√2√

2=

13√

3√

2 − 2(√

2)2

(√

2)2=

13√

6 − 2

2

Ejercicio de desarrollo.

Simplificar las siguientes expresiones numericas:

a)√

6 − 3√

24 −√

54 −√

8; b)

√12 −

√75 + 5 +

√6√

3EJERCICIOS:

1) Simplificar las expresiones dadas. Exprese sus respuestas usando exponentes positivos.

1 � 1) 2(a4b2)3(3a2b3)2; 1 � 2)

(xy2

2

)3(2y

x3

)2

; 1 � 3)

(xy2

2

)−3 (xy

2

)2;


1 � 4)xy2

(y2

2x

)−2

; 1 � 5) (xy)2(

y2

2x

)−2

; 1 � 6)

(

a( a

a−2b3

)−2)3

;

1 � 7) a

(( a

a−2b3

)−2)3

2) Evalue las expresiones:

2 � 1)

√

1

16; 2 � 2)

√

4

9; 2 � 3) 3

√

−27

8; 2 � 4) 3

√0 · 027;

2 � 5) (0 · 04)1/2; 2 � 6) (27000)1/3 ; 2 � 7) (−32)1/5; 2 � 8) 3√−64;

2 � 9) (32)−1/5; 2 � 10) (0 · 09)−3/2; 2 � 11) (−8000)−2/3

3) Escriba las formas exponenciales en otra forma que involucre radicales

3 � 1) 3x1/2 − 21/2; 3 � 2) 3x − 21/2; 3 � 3) (3x − 2)1/2; 3 � 4) 31/2x − 23/2;

3 � 5) (3x)1/2 − 21/2; 3 � 6) (3 − 2x)−3/2; 3 � 7) 3x−1/2 − 23/2; 3 � 8) 3x − 2−1/2;

3 � 9) (3x − 2)−1/2

4) Escriba las formas dadas en otra que use exponentes positivos, evite radicales y exponentes

negativos.

4 � 1)√

5 −√

2x; 4 � 2)√

5 − 2x; 4 � 3) 5x−1 − 2; 4 � 4) (5x − 2)−1

4 � 5) (5x)−1 − 3; 4 � 6)√

5 − 2√

x; 4 � 7) (5x − 2)−2; 4 � 8) 5x − 2−2

5) Simplifique las expresiones dadas. Exprese sus respuestas usando exponentes positivos.

Evite radicales.

5 � 1) 3

√

27x6

−y3; 5 � 2)

√27x2

3x; 5 � 3)

√

x2y√

x3y5; 5 � 4) 3√

xy2

(y

2 · 3√

x

)−2


5 � 5) (xy)2(

y2

2x

)−2

; 5 � 6)

(

a

(3√

a

a−2b3

)−2)3

; 5 � 7)3√

a2 ÷((

a√a−2b3

)−2)3

;

5 � 8)

(a2b√

a

) √ab2

b−1; 5 � 9) 3

√

x√

y(x2y)−2; 5 � 10) 2(a√

b)33a2√

b3;

5 � 11)

(y2

2x

)2√

xy3; 5 � 12)√

x−1y(xy

2

)2; 5 � 13)

√

xy2

xy2÷ xy−1.

6) Evalue las siguientes expresiones mixtas.

6 � 1) 2 − 3 · 41/2; 6 � 2) 2 ·(

3

2

)2

− 4 3√

27

2; 6 � 3)

−2

1 − 2 · 22; 6 � 4) − 22 − 5

(1

2− 2

3

)2

6 � 5)

(3

2− 2

3

)2

−(

3

2

)2

+ 1; 6 � 6) 1 − 9

(1

9− 1

)2

+ 21

5; 6 � 7)

(

√2 − 4

√2

3

)2

;

6 � 8)2 − 1

3√5 + 5 · 22 − 1

4

6 � 9)

√9 · 22 − 1

2

3 · 4 − 1

2

; 6 � 10) 1 − 2 · 8−2/3;

6 � 11)(√

2√

52 − 17 − 2)2√52 − 9

; 6 � 12)

(

1 − 3√

54 − 33

2

)3

7) Simplificar las siguientes expresiones numericas:

7 � 1)√

28 − 3√

16 + 2√

7 − 3; 7 � 2)

√24 −

√108 +

√54√

6;

7 � 3)√

8 +√

28 − 3(√

18 +√

63); 7 � 4)

√6 − 2

√54 +

√8√

6; 7 � 5)

√48 − 1 − 3

√3

PROBLEMAS DE CIENCIAS NATURALES:

1) La densidad de la atmosfera de la Tierra es aproximadamente

D = 1.2225−(1.12×10−4)h+(3.24×10−9)h2 en Kg/m3, donde h es la altitud en metros. ¿Cual

es la densidad de la atmosfera a una altitud de 1000 metros? 1 (Respuesta: 11704kg/m3).

Hr = 100

(112 − 0.1T + Pr

112 + 0.9T

)8

Pr = Punto de rocıo.


T = Temperatura en grados ◦ Celsius

Hr = Humedad relativa. “De Wikipedia

La temperatura de una masa de aire es de 20◦C y la temperatura de punto de rocıo es de

10◦. Calcular la humedad relativa. (Respuesta: 76, 9%)

3) Una sustancia radiactiva tiene la propiedad que el tiempo para que se desintegra a la

tercera parte de la cantidad inicial es de siete dıas. Si la cantidad original de esa sustancia es de

250 mg. Exprese la cantidad de sustancia existente al cabo de n semanas. (respuesta: 250(1

3)n)

4) La altura en metros de cierto arbol se puede modelar con el tiempo a traves de la siguiente

formula.

A = 112

(1

4

) 20r

Pronostique la altura a los 10 anos, 20 anos y 40 anos se sembrado.

(Respuesta: 7, 23 y 56m.)

3Expresiones Algebraicas

Un grupo de variables representadas por letras junto con un conjunto de numeros combina-

dos con operaciones de suma, resta, multiplicacion, division, potencia o extraccion de raıces es

llamada una expresion algebraica.

Ejemplo 1.- Los siguientes son ejemplos de expresiones algebraicas:

a.-(√

x − 1)x

x3 + 1. En este caso la variable es x.

b.-1

2xy− (x + y)2. Aquı tenemos una expresion algebraica en las variables x y y.

c.- 3ax5−5x2−1. Si asumimos a una constante, esta es una expresion algebraica en la variable x.

Esta expresion algebraica tiene tres terminos. Recordemos que un termino es un sumando

de una expresion. En este caso los terminos son 3ax5, −5x2y − 1. Como a representa un

numero fijo entonces 3a es el coeficiente de x5 y 3 es el coeficiente numerico. El termino

−1 es el termino constante.

Las expresiones algebraicas con un solo termino se las conoce como monomios. Por ejemplo√

2x. Las que tienen dos terminos se las denomina binomios. Las que tienen tres terminos

trinomios. El ejemplo b es un binomio y el c un trinomio. Cuando tiene mas de un termino se

les llama un multinomio. La expresion c es conocido tambien como un polinomio.

Un polinomio es una expresion de la forma

34

3.1. OPERACIONES DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS. 35

anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0

con n un entero no negativo. Si an 6= 0, entonces n es el grado del polinomio y an es conocido

como el coeficiente principal. Por ejemplo: 2x3 − 1 es un polinomio de grado 3 con coeficiente

principal 2 ·√

5x + 1 es un polinomio de grado 1, el coeficiente principal es√

5. La expresion√

x = x1/2 no es un polinomio porque el exponente no es entero. Tampoco x−1 − 1 es polinomio

porque el exponente de la x es negativo.

3.1. Operaciones de Expresiones Algebraicas.

Como las variables representan numero reales, las propiedades de los numeros reales pueden

ser usadas para operar expresiones algebraicas con la idea de ir obteniendo expresiones equiva-

lentes pero mas sencillas. A continuacion indicaremos como proceder con sumas, restas, multi-

plicaciones y divisiones.

3.1.1. Adicion y Sustraccion de Expresiones Algebraicas

El primer ejemplo que mostramos es muy riguroso en el uso de las propiedades. De este

ejemplo intentaremos extraer los pasos mas importantes para proceder de manera mas rapida

en los siguientes. Una clave en este tipo de manipulacion es la suma de los terminos semejantes.

Se dice que dos terminos son semejantes si son iguales salvo en el coeficiente numerico. Por

ejemplo la expresion: 2√

x + 1 +√

x + 1 tiene dos terminos semejantes.

En√

x + 2x2 + 3x√

x + 3x2, solo 2x2 y 3x2 son terminos semejante, no ası√

x y 3x√

x, pues

difieren en algo mas que su parte numerica.

Ejemplo 1.- Determine la suma (x2 − 3x + 2) + (4x3 − 5x2 − 1). Simplifique tanto como sea

posible

Solucion: Podemos quitar los parentesis.

36 CAPITULO 3. EXPRESIONES ALGEBRAICAS

(x2 − 3x + 2) + (4x3 − 5x2 − 1) = x2 − 3x + 2 + 4x3 − 5x2 − 1

= 4x3 + x2 − 5x2 − 3x + 2 − 1

Aplicamos propiedad conmutativa, agrupando los terminos semejantes

= 4x3 + (1 + (−5))x2 − 3x + 1

Aplicamos la propiedad distributiva para realizar x2 − 5x2

Realizamos la suma algebraica de los terminos constantes.

= 4x3 − 4x2 − 3x + 1

Observe como en el ejemplo anterior terminamos sumando algebraicamente los coeficientes de

los terminos semejantes. Podemos obviar el paso de la propiedad conmutativa y la aplicacion

de la propiedad distributiva y de una vez sumar los coeficientes de los terminos semejantes y

colocar la parte no numerica: axr + bxr = (a + b)xr

Veamos el siguiente, donde aprovecharemos este comentario:

Ejemplo 2.- Determine (x2 −3√

x+2)− (2x2 −5x−√x). Simplifique tanto como sea posible

Solucion: Reescribimos la resta como una suma y luego quitamos los parentesis aplicando la

propiedad distributiva.

(x2 − 3√

x + 2) − (2x2 − 5x −√x) = (x2 − 3

√x + 2) + (−1)(2x2 − 5x −√

x)

= x2 − 3√

x + 2 − 2x2 + 5x +√

x

[

x2y − 2x2

]

son terminos semejantes igualmente − 3√

x y√

x

= (1 + (−2))x2 + 5x + (1 − 3)√

x + 2

Se suma algebraicamente los coefientes de terminos semejantes

= −x2 + 5x − 2√

x + 2

Comentarios: Cuando hay una resta podemos proceder a eliminar el parentesis tomando en

cuenta que el signo menos cambia el signo de cada termino de la expresion que estamos restando,

3.2. MULTIPLICACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICA 37

como efectivamente ocurrio en el ejemplo anterior.

Ejemplo: 3.- Determine (x3 − 3√

x + 4)− (−4x3 − 5x2 +√

x) = x3 − 3√

x + 4 + 4x3 + 5x2 −√x.

Simplifique tanto como sea posible

Solucion: En esta ocasion hacemos uso del comentario anterior, eliminamos el parentesis cam-

biando el signo a cada termino de la segunda expresion

(x3 − 3√

x + 4) − (−4x3 − 5x2 +√

x) = x3 − 3√

x + 4 − 4x3 + 5x2 −√x

Se suma algebraicamente los coefientes de terminos semejantes

= 5x3 + 5x2 − 4√

x + 4

Ejercicio de desarrollo: Determine (3x2 − 3√

x+3)− (x2 −x+2√

x). Simplifique tanto como

sea posible.

3.2. Multiplicacion de Expresiones Algebraica

Para multiplicar expresiones algebraica podemos proceder usando la propiedad distributiva

o bien si es el caso aplicando un producto notable de uso frecuente, los cuales se aprenden de

memoria.

Productos Notables:

1) (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

2) (x + a)(x − a) = x2 − a2

3) (x + a)2 = x2 + 2ax + a2

4) (x − a)2 = x2 − 2ax + a2

5) (x + a)3 = x3 + 3ax2 + 3a2x + a3

6) (x − a)3 = x3 − 3ax2 + 3ax2 − a3

En el siguiente ejemplo se presenta distintos casos donde es apropiado usar productos notables.


Ejemplo: 1.- Realizar los siguientes productos.

a) (x + 3)(x + 6); b) (x + 3)(x − 4); c) (3x2 − 2)(3x2 + 2); d) (√

x2 + 1 − 2)2; e) (4y − 3)3

Solucion:

a) Lo identificamos con el producto I : (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab en este caso a = 3 y

b = 6. Ası:

(x + 3)(x + 6) = x2 + (3 + 6)x + 3 · 6 = x2 + 9x + 18

b) Este producto lo identificamos de nuevo con 1, en este caso a = 3 y b = −4. Tenemos entonces:

(x + 3)(x − 4) = x2 + (3 + (−4))x + 3 · (−4) = x2 − x − 12

c) En este caso tenemos la forma 2. Aquı tenemos que tener amplitud y pensar que el nuevo x

es 3x2 y a = 2. De esta forma

(3x2 − 2)(3x2 + 2) = (3x2)2 − 22 = 9x4 − 4

d) La forma apropiada a aplicar es la 4 como√

x2 + 1 como el nuevo x y a = 2. Entonces

tenemos

(√

x2 + 1 − 2)2 = (√

x2 + 1)2 − 2√

x2 + 1 · 2 + 22 = x2 + 1 − 4√

x2 + 1 + 4

= x2 + 5 − 4√

x2 + 1

e) Lo identificamos con el producto notable 6, con x = −4y y a = −3. Ası

(4y − 3)3 = (4y)3 − 3 · 3(4y)2 + 3 · 32(4y) − 33

= 43y3 − 9 · 42y2 + 27 · 4y − 27

= 64y3 − 144y2 + 108y − 27

Ejercicio de desarrollo.- Realizar los siguientes productos

a) (2x − 5)2

3.2. MULTIPLICACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICA 39

b) (2x + 3√

3)(3√

3 − 2x)

c) (√

x + 2)3

En el ejemplo 2 tenemos el caso es apropiado usar la propiedad distributiva

Ejemplo 2.- Realizar los siguientes productos:

a)x(x3 − 3x + 1); b) (3y − 1)(y2 + 2y − 4)

Solucion: Usamos en ambos casos la propiedad distributiva

a) x(x3 − 3x + 1) = x4 + 3x2 + x

b) En este caso interpretaremos (3y − 1) como el factor que se distribuye en (y2 + 2y − 4)

(3y − 1)(y2 + 2y − 4) = (3y − 1)y2 + (3y − 1)2y + (3y − 1) − (3y − 1)4

Ahora interpretamos y2, 2y y 4 como los factores que se distrubuyen en (3y − 1)

= (3y3 − y2) + (6y2 − 2y) − (12y − 4)

Finalmente, distribuimos los signos y sumamos terminos semejantes

= 3y3 + 5y2 − 14y + 4

Cuando examinamos la primera lınea de ejemplo 2b, vemos que en realidad cada termino de

cada factor se multiplica con cada termino del segundo factor.

(3y − 1)(y2 + 2y − 4)

De esta manera procederemos en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 3.- Realizar los siguientes productos:

a) (x2 − 3x + 2)(4x3 − 3x − 1); b) (√

x + 2)(x + 2√

x + 2)

Solucion:


a)

(x2 − 3x + 2)(4x3 − 3x − 1) = 4x3x2 − 3xx2 − 1x2 + 4x3(−3x) − 3x(−3x) − 1(−3x) + 2 · 4x3 − 2 · 3x − 2 · 1

= 4x5 − 3x3 − x2 − 12x4 + 9x2 + 3x + 8x3 − 6x − 2

Se suman los terminos semejantes

= 4x5 − 12x4 + 5x3 + 8x2 − 3x − 2

b)

(√

x + 2)(x + 2√

x + 2) = x√

x + 2√

x√

x + 2√

x + 2x + 2 · 2√x + 2 · 2

= x√

x + 2x + 2√

x + 2x + 4√

x + 4

Se suman los terminos semejantes

= x√

x + 4x + 6√

x + 4

Ejercicio de desarrollo: Realizar el siguiente producto:

(x2 + 2)(x2 − 3x − 4)

3.3. Operaciones Combinadas

Una expresion como 2

{

x− [x− (x2 +1)2]

}

− (x− 3)(x+3) puede ser escrita de una manera

mas sencilla tanto para evaluar como en su propia escritura. Para realizar este tipo de operacion

se debe eliminar primero los parentesis o separadores mas internos, intentando con este criterio

de ir eliminando todos los parentesis o separadores. Una vez eliminados se suman los terminos

semejantes.

En ocasiones es util usar las propiedades asociativas, conmutativa o alguna otra dada.

Analicemos algunas expresiones:

Ejemplo 1.- Simplificar

a) 2 − 8(t − 1); b) 2 − 8(t − 1)2; c) 2 − (8(t − 1))2; d) 2(x − 3)2 − x(x − 2)(x − 3);

e) 2

{

x − [x − (x2 + 1)2]

}

− (x − 3)(x + 3)

3.3. OPERACIONES COMBINADAS 41

Solucion:

a) Primero se resuelve el parentesis mas interno, en este caso hay uno solo

2 − 8(t − 1) = 2 − 8t + 8 = −8t + 8 + 2 = −8t + 10 Cuidado!!! 2 − 8(t − 1) 6= −6(t − 1)

b) Aquı interpretamos que 8 esta multiplicando la expresion (t − 1)2. Luego de obtener el

resultado de este producto se realiza la resta algebraica entre 2 y 8(t − 1)2.

Realizamos entonces primero el producto notable. Hay que mantener el parentesis para in-

dicar que −8 esta multiplicando el resultado completo de (t − 1)2.

2 − 8(t − 1)2 = 2 − 8(t2 − 2t + 1) = 2 − 8t2 + 16t − 8 = −8t2 + 16t − 6

c) En este caso, podrıamos ejecutar primero 8(t−1) y luego esta expresion elevarla al cuadrado.

Sin embargo, se le sugiere al estudiante aplicar la propiedad (x.y)n = xnyn. De esta manera

2 − [8(t − 1)]2 = 2 − 82(t − 1)2 = 2 − 64(t2 − 2t + 1)

= 2 − 64t2 + 128t − 64 = −64t2 + 128t − 62

d) Primero efectuamos los productos de dos terminos de la expresion 2(x−3)2−x(x−2)(x−3).

Para el segundo usamos la propiedad asociativa.

2(x − 3)2 − x(x − 2)(x − 3) = 2

(

(x − 3)2)

− x

(

(x − 2)(x − 3)

)

= 2(x2 − 6x + 9) − x

(

x2 − 5x + 6

)

Ahora se usa la propiedad distributiva

= 2x2 − 12x + 18 − x3 + 5x2 − 6x

Se suman terminos semejantes

= −x3 + 7x2 − 18x + 18


e)

2

{

x − [x2 − (x2 + 1)2]

}

− (x − 3)(x + 3) = 2

{

x − [x2 − (x4 + 2x2 + 1)]

}

− {(x − 3)(x + 3)}

= 2

{

x − [x2 − x4 − 2x2 − 1]

}

− {x2 − 9}

= 2

{

x − [−x4 − x2 − 1]

}

− x2 + 9

= 2

{

x + x4 + x2 + 1

}

− x2 + 9

= 2x4 + 2x2 + 2x + 2 − x2 + 9

Se suman terminos semejantes

= 2x4 + x2 + 2x + 11

Ejercicio de desarrollo.- Simplificar

2(2x − 3)(2x + 3) − x(x − 2)2

Ejercicios:

1. Realizar los siguientes productos, simplifique tanto como pueda:

1.1) (3x2 + 2)2; 1.2) (9x2 + 2)2; 1.3) (x3 − 2)2; 1.4) (x2 + 2)3;

1.5) (2x − 3)(2x + 3); 1.6) (3x2 − x + 1)(2x3 − 1); 1.7) (√

2x + 3)2;

1.8) (t1/2 + 1)(t1/2 − 2); 1.9) (√

x + 2)(2 −√x); 1.10) (2

√x + 3)2;

1.11) (4x4 + 3x2 + 2)(4x3 − 3x); 1.12) (4√

x3 −√x)(

√x + 4

√x − 1);

1.13) (3 − 2t)2; 1.14)

(

2 − 1

x

)2

; 1.15)

(

2z − 1

z

)2

: 1.16)

(

3√

x − 1

x

)3

;

3.4. DIVISION LARGA DE POLINOMIO 43

1.17) (3 −√

2x)2; 1.18) (2 −√

2x)2; 1.19) (2 +√

2y)(2 −√

2y);

1.20) (2 −√

2x)(2 +√

2x); 1.21) ( 3√

4 − 3√

x)3; 1.22) (2x1/2 − 1)3

2. Realice las siguientes operaciones, simplifique tanto como pueda:

2.1) (2x2 − 3x − 2) + 2(x − 3); 2.2) (z2 − 3z + 3) − 2(z − 1);

3.2) (√

x3 + 2√

x) − (x + 3x√

x +√

x); 2.4) ( 4√

x +√

x) + 2(2√

x + 4√

x);

2.5) (x + 3)2 + 2(x − 1)2; 2.6) (x − 2)2 − 3(2x − 1)2; 2.7) (√

x + 2)2 − (√

x + 1)2;

2.8) (x2 + 2)3 − 4(x4 + 2x2); 2.9) (y2 − 3)(y + 3) + y;

2.10) −[1 − (3x2 − x + 1)] + (2x3 − 1);

2.11) 4(x − 1)2 − 3{2[(x2 + 3) − (2x + 2)] − (x2 + x − 2)} − 2(x − 1)(x + 3);

2.12) x(x − 2)(x + 2) − x(x + 1); 2.13) 2x(x − 3)(x + 2) + 2(x + 2)(x + 1);

2.14) 3(2x − 3)(2x + 3) − (4x − 1)(x − (5x − 1))

3. Realice las siguientes operaciones, simplifique tanto como pueda.

3.1) (3z2 − 2)2; 3.2) (√

2x +√

8)2; 3.3) (x3 + 2x + −2) − (x4 − x3 + 3x2 − 2x + 1);

3.4) (√

x + 2√

x3)3; 3.5) (x√

x − 2x +√

x − 3) − (√

x3 − 2x −√x + 3);

3.6) (3t2 − t + 1)(2t3 − 2); 3.7) (√

2x + 3√

x)2; 3.8) (√

x − 2√

y)2(√

x + 2√

y)2;

3.9) (2√

x + 2)(2√

x − 3)

3.4. Division larga de Polinomio

Supongamos que tenemos los polinomios P (x) = 2x4 − x2 + 3x + 1 y D(x) = x2 − 2x + 3.

Se pretende mostrar en esta seccion como es la divisionP (x)

Q(x)entre polinomios. Al igual que en

los numeros enteros, existira un cociente y un residuo. Pero en nuestro caso el cociente sera un

polinomio y el residuo un polinomio de grado estrictamente menor que el divisor.

Para realizar la division arreglamos P (x) en orden de decreciente de potencias de xn, colo-

cando 0 en los coeficientes que no aparecen, en este caso el coeficiente de grado 3 de P (x) es


0.D(x) tambien similar a la division de numeros enteros.

Buscamos un monomio tal que cuando se multiplique por x2 (Primer termino del divisor) nos

de 2x4 (primer termino del dividendo). Este es 2x2 que se obtiene al realizar2x4

x2. Multiplicamos

cada termino de D(x) por 2x2 y los resultados los colocamos con signo cambiado en la columna

del grado respectivo.

x2 − 2x + 3

2x2

2x4 0 −x23x 1

−2x44x3 −6x2

Sumamos y bajamos el siguiente termino de p(x).

x2 − 2x + 3

2x2

2x4 0 −x23x 1

−2x44x3 −6x2

4x3 −7x23x

Repetimos el proceso. Dividimos 4x3 entre x2, el resultado 4x es el segundo termino del

cociente, el cual lo multiplicaremos por el divisor (x2−2x+3) y lo colocamos con signo cambiado

debajo de la ultima lınea escrita del lado izquierdo, segun su grado, procedemos hacer la suma

de estas lıneas y repetimos el proceso hasta el grado de la ultima lınea del lado izquierdo (el

residuo) sea menor que el del divisor D(x). Presentamos a continuacion la division completa:

x2 − 2x + 3

2x2 + 4x + 1

2x4 0 −x23x 1

−2x44x3 −6x2

4x3 −7x23x

−4x38x2 −12x

x2 −9x 1

−x22x −3

−7x −2

Cociente

4x =4x3

x2

Residuo R(x)

de grado menor que D(x)Resultado de la suma.El grado no es menor

que el del divisor,

continua la division

Igual como ocurre en la division de los numeros enteros tenemos que

P (x) = D(x) · C(x) + R(x)

3.5. DIVISION ABREVIADA DE POLINOMIOS. METODO DE RUFFINI. 45

27 4

3 6Recuerde que

27 = 4 · 6 + 3

En este caso tenemos entonces que

2x4 − x2 + 3x + 1 = (x2 − 2x + 3)(2x2 + 4x + 1) + (−7x − 2)

Ejercicio de desarrollo.- Determinar el cociente y el residuo de la siguiente divisionP (x)

Q(x), donde

p(x) = 2x4 + 2x2 + 2; D(x) = x2 + 3. expresar P en terminos del cociente y el residuo.

3.5. Division abreviada de Polinomios. Metodo de Ruffini.

Este metodo se usa cuando el divisor es de grado 1.

Para dividir anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0 entre x − c, usando Ruffini, seguimos los

siguientes pasos:

1. Colocamos en orden los coeficientes de mayor a menor en una lınea horizontal, incluyendo

los coeficientes ceros. En la izquierda colocamos c. Observe que es el numero que acompana

al menos en x − c trazamos las rayas como en la figura.

an

c

an an−1 an−2 . . . a1 a0

2. Multiplicamos an por ce y lo colocamos debajo de an−1 sumamos estas dos cantidades:

an−1 + can y lo colocamos en el ultimo nivel al lado de an. Volvemos a repetir este proceso

hasta llegar a la ultima columna.


an

c

an an−1 an−2 . . . a1 a0

can cbn−2 . . . cb1 cb0

bn−2 bn−3 b0 r

Multiplicar

Sumar como:

bn−3 = an−2 + cbn−2

3. El cociente de la division es

C(x) = anxn−1 + bn−2xn−2 + . . . + b1x + b0

El residuo es R(x) = r. Observe que en este caso el residuo es un numero, ¿ Por que?

Ejemplo 1.- Divida P (x), determine el cociente y el residuo, donde

P (x) = −2x3 − x2 + 4x + 2 y D(x) = x + 1

Solucion: Como el divisor es un polinomio de grado 1 podemos usar Ruffini.

Ejemplo 2.- Determinar el cociente y el residuo de P (x)÷D(x). Expresar P en terminos del

cociente y el residuo. P (x) = 2x3 − 32 − 3 y D(x) = x − 3

Solucion: De nuevo usamos Ruffini.

De esta tabla obtenemos C(x) = 2x2 + 3x + 9; el residuo es R(x) = 24 y

P (x) = (2x2 + 3x + 9)(x − 3) + 24.

Ejercicio de desarrollo. Divida P (x) entre D(x), determine el cociente y el residuo donde

P (x) = 3x4 − 4x3 − 1 y D(x) = x − 1

3Expresar P en terminos del cociente y el residuo.

Ejercicios:

1. Determinar el cociente y el residuo de las siguientes divisiones de P (x) entre D(x), expresar

P en terminos del cociente y el residuo.

1.1) P (x) = 4x4 + 3x + 9; D(x) = x2 + 2x; 1.2) P (x) = 2x5 + x2 + 1; D(x) = x3 + 3x

1.3) P (x) = x3 + 16; D(x) = x2 − 3x + 9; 1.4) P (x) = 9 − 4x + 8x5; D(x) = 4x − x3;

1.5) P (x) = 9 − x2 − 2x4; D(x) = x3 − 2x + 1;

3.6. FACTORIZACION 47

1.6) P (x) = 4x4 + 3x + 6; D(x) = x2 + 2; 1.7) P (x) = x5 − 5x + 2; D(x) = x2 + 2;

1.8) P (x) = 15x3 + 3x; D(x) = 1 + 3x2; 1.9) P (x) = 9x5 − 15x + 2; D(x) = 3x − 5

2. Determinar el cociente y el residuo de las siguientes divisiones P (x) ÷ D(x), expresar P

en terminos del cociente y el residuo. Aplique Ruffini.

2.1) P (x) = x4 − x2 + 3; D(x) = x + 2; 2.2) P (x) = 2x5 − x + 2; D(x) = x + 3;

2.3) P (x) = x3 + 27; D(x) = x − 4; 2.4) P (x) = 4 − 8x + 3x3; D(x) = x − 1;

2.5) P (x) = −x4 − 2x2 + 9; D(x) = x + 1; 2.6) P (x) = x − 2x2 + x3; D(x) = x − 1;

2.7) P (x) = 2x4 − 8x2 + 2x − 3; D(x) = x − 2;

2.8) P (x) = 1 − 2x + 4x3; D(x) = x +1

2.

3.6. Factorizacion

Empezamos esta seccion recordando que dos expresiones que se multiplican se llaman fac-

tores. Por ejemplo, la expresion (x + 1)(x − 2) esta expresado como un producto, donde (x + 1)

y (x− 2) son los factores. En ocasiones va ser de suma importancia escribir una expresion como

un producto, ese producto de expresarlo como un producto se llama factorizacion, Por ejemplo,

x2 − 4 no es un producto, pero sabemos que:

(x + 2)(x − 2) = x2 − 4.

Aquı hemos factorizado la expresion x2 − 4, identificado con un producto notable.

Hay varias tecnicas para factorizar expresiones, listamos algunas.

1. Factor comun

2. Identificando con productos notables

3. Raıces de polinomio

4. Division del polinomio


En general buscamos que los factores sean polinomios de grado menor que el polinomio

original.

Cuando se pretende factorizar completamente una expresion se busca que los factores no

puedan factorizarse mas y en ocasiones tendremos que mezclar tecnicas.

1.- Factor Comun.

La tecnica de factor comun consiste en aplicar la propiedad distributiva en sentido inverso.

xy + xa = x(y + a)

Veamos ejemplos donde es apropiado usar la tecnica de factor comun.

Ejemplo 1.- Factorice completamente

a) 4a2x3 − 12ax; b) 6yx3 − 18x3 + 24yx4; c) (x + 2)2 − 2(x + 1)(x + 2); d)x1/3 − x4/3.

Solucion: a) En 4a2x3−12ax tenemos dos terminos en esta expresion. El primer termino puede

ser expresado como 4a2x3 = 4aaxx2. El segundo lo podemos escribir como

12ax = 3 · 4ax. Podemos ver que 4ax es un factor comun en ambos terminos. Al identificar

4ax como el factor que esta en los dos terminos aplicamos la propiedad distributiva en sentido

inverso.

4a2x3 − 12ax = 4ax(ax2 − 3)

Comentarios: x tambien es un factor comun en ambos, pero nos piden factorizar completamente

la expresion, es por ello que sacamos el maximo factor comun.

b) En este caso, 6 es un factor que esta en cada termino de 6yx3 − 18x2 + 24yx4 igualmente x2.

Observe que y no esta en el segundo termino, por lo tanto no es comun. Ası 6x2 es el maximo

factor comun entre los tres terminos. Entonces

6yx3 − 18x2 + 24yx4 = 6x2(yx − 3 + 4yx2)

c) En este ejemplo conviene sacar factor comun (x + 2). Ası


(x + 2)2 − 2(x + 1)(x + 2) = (x + 2)((x + 2) − 2(x + 1))

= (x + 2)(x + 2 − 2x − 2)

= (x + 2)(−x) = −x(x + 2)

d) Aun cuando esta expresion no es un polinomio se puede factorizar. Sacamos el maximo

factor comun que es x al mınimo exponente de los terminos. En este caso este exponente es 1/3.

Ası

x1/3 − x4/3 = x1/3(1 − x)

2.- Factorizacion por productos notables:

Esta tecnica consiste en identificar una suma con un producto notable. Antes de continuar

damos los productos notables escritos de derecha a izquierda.

1. x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)

2. x2 − a2 = (x − a)(x + a)

3. x2 + 2ax + a2 = (x + a)2

4. x2 − 2ax + a2 = (x − a)2

Conviene aprenderse de memoria otros dos resultados, por su frecuencia en el calculo:

5. x3 − a3 = (x − a)(x2 + ax + a2)

6. x3 + a3 = (x + a)(x2 − ax + a2)

Comentarios:

1) Si tenemos un polinomio de grado 2 de tres terminos y el coeficiente principal es 1 podemos

intentar aplicar la formula 1. Para ello debemos pensar en dos numeros que sumados algebraica-

mente den el coeficiente en x y multiplicados den el termino constante. Por ejemplo al factorizar

x2 − 3x − 4, buscamos dos numeros que multiplicados den −4 (el signo − nos dice que tienen


que ser de signos contrarios) y sumados −3 (el signo − en este caso nos dice que el mayor es el

negativo). Estos numeros son −3 y 1. Efectivamente (x−3)(x+ l) = x2 −3x−4. (En general, se

intenta de aplicar la formula 1 cuando el grado del polinomio es par, luego otro termino de grado

la mitad del anterior y luego la constante, por ejemplo que aparezca el termino x4 y tambien

uno con x2 y luego la constante).

2) Se puede intentar usar 2, 5 o 6 cuando tenemos dos terminos. Usamos 2 cuando la variable

esta como un cuadrado perfecto: x2x2etc . Usamos 5 y 6 cuando la variable esta como un cubo

perfecto: x3, x6, etc.

Veamos los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1.- Factorice completamente: a)x2 − 5x + 4; b) t2 − 9; c)x3 − 27

Solucion:

a) Intentamos la forma (x + a)(x + b) pues es un polinomio de grado 2 con tres terminos.

Buscamos dos numeros que multiplicados den 4 y sumados algebraicamente den −5. Observe

que son del mismo signo (lo dice la multiplicacion) y este signo debe ser − (lo indica la suma).

Estos numeros son −1 y −4. Ası

x2 − 5x + 4 = (x − 1)(x − 4)

b) Intentamos asociarlos con la forma x2−a2 = (x−a)(x+a). En este caso 9 = a2, de aquı a = 3.

De esta manera:

t2 − 9 = t2 − 32

= (t − 3)(t + 3)

c) Vemos que es de la forma x3 − a3 = (x − a)(x2 + ax + a2), con a3 = 27 = 33. Ası a = 3. Por

tanto:

x3 − 33 = (x − 3)(x2 + 3x + 9).

Ejercicio de desarrollo.- Factorice completamente.


a) x2 − x − 12

b) x2 − 36

c) 27x3 + 8

d) 6x − x2

El siguiente ejemplo muestra una mezcla de los metodos hasta ahora vistos:

Ejemplo 2.- Factorice completamente: a)x3 − 6x2 + 9x; b) y4 − 16; c) 2 − 2x3;

d)x3(x + 1) − x(x + 1)(x + 2)

Solucion:

a) Observamos primero que x es factor comun en cada termino por lo tanto: x3 − 6x2 + 9x =

x(x2 − 6x + 9). Este segundo factor no esta completamente factorizado, identificamos con la

forma (x − a)2 = x2 − 2ax + a2. En este caso a2 = 9. Ası a = 3 y es efectivamente 2ax = 6x.

Entonces finalmente:

x3 − 6x2 + 9x = x(x2 − 6x + 9) = x(x − 3)2

b) Intentamos asociarlos con la forma x2 − a2 = (x− a)(x + a). Aquı y4 se identifica con x2, de

donde y2 es x. Por otro lado 16 = a2, ası a = 4. De esta manera.

y4 − 16 = ((y2)2 − 42) = (y2 − 4)(y2 + 4).

c) Para empezar una factorizacion, el lector ha podido apreciar que primero intentamos extraer

factor comun. En este caso 2 es el factor comun.

2 − 2x3 = 2(1 − x3) Factorizamos (1 − x3) usando 5). Observe que se hacambiado los papeles de x por a y de 1 por a

= 2(1 − x)(1 + x + x2)

Esta ultima tambien puede ser expresado como −2(x − 1)(1 + x + x2)


d) En este ejemplo, se puede en principio realizar las operaciones para luego factorizar la

expresion resultante, sin embargo es mas facil sacar de factor comun x(x + 1).

x3(x + 1) − x(x + 1)(x + 2) = x(x + 1)[x2 − (x + 2)]

= x(x + 1)[x2 − x − 2] Se factoriza la ultima expresion

= x(x + 1)[(x + 1)(x − 2)]

= x(x + 1)2(x − 2)

Ejercicio de desarrollo.- Factorice completamente

a) 36x + 3x2 − 3x3

b) 4x2(2 + x)3 − 2(2 + x)

Ejercicios

1) Factorice completamente los siguientes polinomios:

1.1) x2 − 9; 1.2) x2 + 3x + 2; 1.3) x2 − 6x − 7; 1.4) t2 − 3t + 2;

1.5) x6 − 16x3 + 64; 1.6) y3 + 8; 1.7) 5x3 − 45x; 1.8) 3z3 − 12z2 + 9z;

1.9) 2x3 − 54; 1.10) x6 − 64; 1.11) 3x4 + 15x3 + 18; 1.12) 3x4 − 12x2; 1.13)

3x4 + 24x; 1.14) 3x4 + 15x3 + 18x2; 1.15) 2x3 + 10x2 + 12x;

1.16) 2x(x2 − 4) − 3x(x + 2); 1.17) 3x(x2 − 9) + 15x; 1.18) x4 − 8x2 + 16;

1.19) (x + 3)3 − (x + 3)2(x + 1); 1.20) (x + 2)5 − 4(x + 2)3; 1.21) y1/5 − y6/5;

1.22) 1 − 4x2; 1.23) 81x3 − 18x + 1; 1.24) 8 − 27x3

3.- Factorizacion por raıces del polinomio

Si tenemos un polinomio de segundo grado:

P (x) = ax2 + bx + c

Con a 6= 0 y si este polinomio tiene raices reales: r1 y r2 entonces podemos factorizar P (x) =

ax2 + bx + c como:


P (x) = a(x − r1)(x − r2)

(Observe que al multiplicar esta ultima expresion obtenemos el mismo coeficiente de grado 2.

por otro lado P (x) = a(x − r1)(x − r2) tambien se hace cero en r1 y r2)

Si P es un polinomio de segundo grado que no tiene raıces reales entonces no admite mas

factorizacion en el campo real. Cuando un polinomio no se puede factorizar mas como producto

de polinomios de grados menor, pero distintos a cero se dice que el polinomio es irreducible en

los reales.

Ejemplo 1.- Factorizar P (x) = x2 + 3x + 2.

Solucion: Planteamos x2 + 3x + 2 = 0. Las raıces son:

r1,2 =−3 ±

√9 − 4 · 22

De aquı

r1 = −2; r2 = −1.

Entonces podemos factorizar P (x) como P (x) = (x − (−1))(x − (−2)), es decir P (x) = (x +

1)(x + 2).

Observe que la factorizacion por identificacion del producto notable

P (x) = (x + a)(x + b) es mas rapida en este caso. Sin embargo, no siempre resulta este metodo.

En el caso a 6= 1 o cuando a = 1, peor no conseguimos numeros que multiplicados den c y

sumados den b en ax2 + bx + c, es recomendable la factorizacion por las raıces del polinomio.

Ejemplo 2.- Factorizar completamente P (x) = x2 + 3x + 1;

Solucion: En este ejemplo no puede conseguir dos numeros que multiplicados den 1 y sumados

3. En este caso es apropiado usa el metodo de las raıces. Busquemos las raıces.

r1,2 =−3 ±

√9 − 4 · 12


De aquı,

r1 =−3 +

√5

2y r2 =

−3 −√

5

2.

Entonces podemos factorizar P (x) como

P (x) =

(

x − −3 +√

5

2

)(

x − −3 −√

5

2

)

.

Es decir

P (x) =

(

x +3 −

√5

2

)(

x +3 +

√5

2

)

.

Ejemplo 3.- Factorizar completamente P (x) = 2x2 + 3x + 1

Solucion: Primero se calcula las raıces: 2x2 + 3x + 1 = 0,

r1,2 =−3 ±

√9 − 4 · 2

2 · 2tenemos

r1 = −1 y r2 =−1

2.

Entonces P (x) = 2(x − (−1))

(

x −(

−1

2

))

= (x + 1)(2x + 1).

Ejemplo 4.- Factorizar completamente P (x) = x2 + 3x + 3.

Solucion: Como las raıces de x2 + 3x + 3 = 0

r1,2 =−3 ±

√9 − 4 · 32

=−3 ±

√−3

2No son reales (el discriminante es menor que cero) entonces

el polinomio no se puede factorizar mas en los reales. El polinomio es irreducible.

4.- Factorizacion por Ruffini.

Supongamos un polinomio de grado n : P (x) = anxn + . . . + a1x + a0 y que r1 es raız de

P (x). Esto es P (r1) = 0. Entonces es facil ver que (x − r1) divide exactamente al polinomio

P (x). Si el cociente de la division es C(x), entonces


P (x) = (x − r1)C(x)

Pues R(x) = 0

Luego hay que considerar factorizar C(x), pues (x − r1) es ya irreducible. En el siguiente

ejemplo se realiza la division de polinomio a traves de Ruffini.

Un resultado conocido en algebra es que si r, numero racional, es una raız de P, entonces r

puede ser escrito en la formap

q, donde p es divisor de a0 y q es divisor de an.

Ejemplo 1. factorizar completamente P (x) = x3 + 7x2 + 16x + 12

Solucion: Las posibles raıces racionales son: ±1; ±2; ±3; ±4; ±6 y ±12. Podemos verificar que

−2 es raız. Esto es P (−2) = 0. Aplicamos Ruffini

1 7 16 12

-2 -2 -10 -12

1 5 6 0

De esta manera C(x) = x2 + 5x + 6 y R(x) = 0. Por lo tanto

P (x) = (x2 + 5x + 6)(x + 2)

Para analizar la factorizacion se identificara con el producto notable (x + a)(x + b). Ası rapida-

mente vemos C(x) = (x + 3)(x + 2). Finalmente.

Ejemplo 2- Factorizar completamente P (x) = 2x3 − 3x2 − 8x − 3

Solucion: Las posibles raıces racionales son: ±1

2; ±3

2; ±1; ±3 Podemos verificar que −1 es

raız


2 -3 -8 -3

-1-2 5 3

2 -5 -3 0

3 6 3

2 1 0

Volvemos aplicar Ruffini con 3 como raız.

De esta manera obtenemos la factorizacion deseada.

P (x) = (2x + 1)(x − 3)(x + 1)

Observe que a diferencia del ejemplo pasado en este ejemplo se dedico reiterar la division de

polinomio para factorizar completamente a P.

Ejemplo 3. Factorizar completamente P (x) = −2x3 − x2 + 3x + 2

Solucion: Las posibles raıces racionales son: ±1

2; ±1; ±2. Podemos verificar que −1 es raız.

Esto es P (−1) = 0. Aplicamos Ruffini.

-2 -1 3 2

-1 2 -1 -2

-2 1 2 0

De esta manera c(x) = −2x2 + x + 2 y R(x) = 0. Por lo tanto tenemos

P (x) = (−2x2 + x + 2)(x + 1).

Para finalizar la factorizacion se usara el metodo de las raıces en C, pues no hay mas raıces

racionales. Se puede verificar que las raıces de C(x) son−1 ±

√17

−4. Estas son los numeros

irracionales1 −

√17

4y

1 +√

17

4

Ası, C(x) = −2

(

x −(

1 −√

17

4

))(

x −(

1 +√

17

4

))

. Finalmente,


P (x) = −2(x + 1)

(

x −(

1 −√

17

4

))(

x −(

1 +√

17

4

))

Ejercicio de desarrollo.- Factorizar completamente P (x) = x4 − 3x2 + 2

Ejemplo 4.- Factorizar completamente P (x) = x3 + x − 2

Solucion: Las posibles raıces racionales son: ±1; ±2. Podemos verificar que 1 es raız. Esto es

P (1) = 0. Aplicamos Ruffini.

1 0 1 -2

1 1 0 2

1 1 2 0

Podemos verificar que no tiene mas raıces racionales

Hasta ahora la factorizacion es

x3 + x + 2 = (x2 + x + 2)(x − 1).

Se intenta de factorizar (x2+x+2) por otro metodo. Ahora bien, vemos que las raıces−1 −

√1 − 8

2=

−1 −√−7

2de este polinomio no son reales (es un numero complejo). Ası podemos concluir que

(x2 + x + 2) es irreducible sobre los reales, y la factorzacion completa de P es:

x3 + x + 2 = (x2 + x + 2)(x − 1)

Ejercicios: Factorizar los siguientes polinomios

1.1) P (x) = 6x2 − 16x − 6; 1.2) P (z) = −6z2 + 3z − 4; 1.3) P (x) = 2x2 + 5x − 12;

1.4) P (x) = 6x3 − 3x2 − 9x; 1.5) P (x) = x5 − x3 − x2 + 1; 1.6) P (x) = 8x3 − 16x2 − 10x;

1.7) P (z) = z3 − 16z2 + 63z; 1.8) P (x) = (x5 − x3) − (x2 − 1);

1.9) P (t) = t3 + 3t2 + 2t − 2(t2 + 3t + 2); 1.10) P (z) = 2z3 + 10z2 + 14z + 4;

1.11) P (x) = x4 − 10x3 + 16x2 + 90x − 225; 1.12) P (z) = 2z4 + z3 + 2z + 1;

1.13) P (t) = 2t3 − t2 − 8t + 4; 1.14) P (x) = 2x3 − 6x2 − 8x;


1.15) P (x) = x4 − 3x3 + x2 + 3x − 2; 1.16) P (x) = 4x4 − 5x2 + 1;

1.17) P (x) = 18x4 − 9x3 − 11x2 + x + 1; 1.18) P (x) = 1 + 3x − 4x3;

1.19) P (x) = 6x4 − 7x3 + x.

3.7. Expresiones Fraccionarias

Una expresion es una expresion que se puede escribir como el cociente de dos polinomios.

Ejemplo: 1.- Las siguientes expresiones son racionales

a)x2 − 1

3x3 + 2x2 + 3x − 6, pues es el cociente de polinomios

b) 1 + x−2, pues puede ser escrita como:x2 + 1

x2y tanto x2 + 1 como x2 son polinomios.

c) 3x3 − 2x2 + x− 4, pues puede ser escrita como3x3 − 2x2 + x − 4

1. En general, un polinomio

es una expresion racional.

Ejemplo.- Las siguientes expresiones no son racionales.

a) 3x3 − 2x1/2

b)

√x − 1 + x√x + 1 − x

.

Estas ultimas expresiones, que se puede expresar como cociente de expresiones algebraicas

son conocidas como expresiones fraccionarias.

En esta seccion ademas de algunas manipulaciones propias de expresiones fraccionarias,

estudiaremos la simplificacion, la suma, diferencia, multiplicacion y cociente de expresiones

racionales.

3.7.1. Simplificacion de Fracciones

Como la variable representa un numero se puede usar las reglas de simplificacion de los

numeros reales, esta es:

3.7. EXPRESIONES FRACCIONARIAS 59

a · cb · c =

a

b

(

conviene recordar que:a · cb · c =

a

b· c

c=

a

b· 1 =

a

b

)

En nuestro caso las letras seran expresiones. Una expresion se podra simplificar en una fraccion

cuando aparece multiplicando el resto del numerador y al mismo tiempo al resto del denomi-

nador. Ası que para simplificar, tanto el numerador como el denominador deben estar factoriza-

dos.

Veamos los siguientes ejemplos.

Ejemplo 1.- Simplifique las siguientes expresiones.

a)2x2 − 8

x2 − 3x + 2; b)

x3 − 4x2 + 3x

3x2 − x3; c)

2x2 + 3x + 1

x3 + 1.

Solucion: Lo primero es factorizar tanto numerador como denominador, para luego si hay

factores comunes simplificar.

a)

2x2 − 8

x2 − 3x + 2=

2(x − 2)(x + 2)

(x − 2)(x − 1)=

2(x + 2)

x − 1

Estas expresiones son iguales salvo para x = 2, pues la primera no esta definida y ultima si.

En x = 1, no estan definidas ambas.

b)

x3 − 4x2 + 3x

3x2 − x3=

x(x − 3)(x − 1)

x2(3 − x)=

(x − 3)(x − 1)

−x(x − 3)= −x − 1

x

Es conveniente, para visualizar mejor las posibles simplificaciones, reescribir los polinomios con

coefientes principal positivo. En este caso se reescribio (3 − x) = −(x − 3)

c)

2x2 + 3x + 1

x3 + 1=

(2x + 1)(x + 1)

(x + 1)(x2 − x + 1)=

2x + 1

x2 − x + 1

Para multiplicar expresiones radicales, de nuevo recordamos la regla de multiplicacion de

numeros reales.


a

b· c

d=

a · cb · d

Ejemplo 1.- Realice y simplifique tanto como pueda

a)x − 4

3x − 2· x

x + 1; b)

x2 − 5x + 6

x3 + 3x2· 2x2 + 7x + 3

x − 2Solucion:

a)x − 4

3x − 2· x

x + 1=

(x − 4)x

(3x − 2)(x + 1)b)

x2 − 5x + 6

x3 + 3x2· 2x2 + 7x + 3

x − 2=

(x2 − 5x + 6)(2x2 + 7x + 3)

(x3 + 3x2)(x − 2)

=(x − 2)(x − 3)(2x + 1)(x + 3)

x2(x + 3)(x − 1)=

(x − 3)(2x + 1)

xEjercicio de desarrollo.- Realice y simplifique tanto como pueda

x2 − 3x

2x2 + x − 1· x2 − x − 2

x2 − 9Para la division, podemos empelar la propiedad de los numeros reales o bien expresar la

division de dos fracciones a las que se le aplica la regla doble c.

a

b÷

c

d=

a

b

c

d

Ejemplo. 2.- Realice y simplifique tanto como pueda.

a)2x2 − 2

x2 + x − 6÷ x2 − 2x + 1

x + 1; b) (x2 − x) ÷ x3 − 1

x + 1

Solucion:

a) Expresamos el cociente para aplicar la doble C.

2x2 − 2

x2 + x − 6x2 − 2x + 1

x + 1

=

2(x − 1)(x + 1)

(x − 2)(x + 3)

(x − 1)2

x + 1

=2(x − 1)(x + 1)2

(x − 1)2(x − 2)(x + 3)=

2(x + 1)2

(x − 1)(x − 2)(x + 3)


b) A fin de aplicar la doble C, expresamos x2 − x comox2 − x

1

x2 − x

1x3 − 1

x + 1

=(x2 − x)(x + 1)

x3 − 1Se factoriza a fin de simplificar

=x(x − 1)(x + 1)

(x − 1)(x2 + x + 1)=

x(x + 1)

x2 + x + 1

Ejercicio de desarrollo.- Realice y simplifique tanto como pueda.

2x2 − 8

3x2 + x − 2÷ 3x2 − 3x − 36

x + 1

Sumas y Restas

Para sumar o restar racionales se procede de manera similar que en los numeros reales,

tomando en cuenta que ahora los factores irreducibles toman el papel de los numeros primos del

caso numerico.

El primer ejemplo nos recuerda que si los denominadores son iguales, simplemente se suman

o se restan los numeradores y se coloca el mismo denominador

Ejemplo 1.- Realice y simplifique tanto como puedax2 − x

x + 1− 4x + 6

x + 1

Solucion:

x2 − x

x + 1− 4x + 6

x + 1=

(x2 − x)(4x + 6)

x + 1=

x2 − 5x − 6

x + 1

=x2 − 5x − 6

x + 1Se factoriza a fin de simplificar

=(x − 6)(x + 1)

x + 1= x − 6

Para sumar fracciones con denominadores distintos emplearemos el metodo de simplificar

del m.c.m de los denominadores. Recordemos el caso numerico.

Ejemplo 2.- Realice y simplifique tanto como pueda1

30− 7

24− 5

18Solucion:

Cada denominador se descompone en sus factores primos a fin de calcular el m.c.m de ellos.


30 = 2 · 3 · 5; 24 = 23 · 3 y 18 = 2 · 32

Recordemos que el m.c.m de tres numeros son los factores primos comunes y no comunes con

su mayor exponente.

Comunes: 2 y su maximo exponente 3 : Aporta 23

3 y su maximo exponente 2 : Aporta 32

no comunes: 5 y su exponente 1 : Aporta 5

Por lo tanto el m.c.m (30, 24, 18) = 23 ·32 ·5 = 360. Es conveniente dejarlo factorizado, parta

realizar las divisiones mas rapidamente.

1

2 · 3 · 5 − 7

23 · 3 − 5

2 · 32=

1 · (22 · 3) − 7(

23·32·523·3︷︸︸︷

3 · 5 ) − 5(

23·32·52·32︷︸︸︷

22 · 5)=

m.c.m

denominador tercer termino

23 · 32 · 5

=12 − 105 − 100

360= −193

360

Ahora imitaremos el procedimiento con expresiones algebraicas, considerando que los polinomio

irreducibles hacen las veces de los numeros primos.

Ejemplo: Realice y simplifique tanto como pueda

x − 1

x(x + 2)2− x − 3

x2(x + 1)(x + 2)− 5

x2(x + 2)

Solucion: Calculemos primero el m.c.m de los denominadores . observe que este caso ya estan

factorizados los denominadores:

Comunes: (x + 2) su maximo exponente es 2 : Aporta (x + 2)2

x su maximo exponente es 2 : Aporta x2

No comunes: (x + 1) su maximo exponente es 1 : (x + 1)

Ası, el m.c.m de los denominadores es: x2(x + 2)2(x + 1)


x − 1

x(x + 2)2− x − 3

x2(x + 1)(x + 2)− 5

x2(x + 2)=

(x − 1)(x(x + 1)) + (x − 3)

x2(x+1)(x+2)2

x2(x+1)(x+2)

︷︸︸︷

(x + 2) −5(x + 1)(x + 2)

x2(x + 1)(x + 2)2

=x3 − x + x2 − x − 6 − 5(x2 + 3x + 2)

x2(x + 1)(x + 2)2

=x3 − x + x2 − x − 6 − 5x2 − 15x − 10

x2(x + 1)(x + 2)2

=x3 − 4x2 − 17x − 16

x2(x + 1)(x + 2)2

No se factoriza el numerador pues se verifico que n1 0, ni = 1, ni = 2 son raıces del numerador

y por consiguientes no hay simplificacion posible en esta fraccion

Ejemplo: 4.- Realice y simplifique tanto como puedax

x2 + 3x − 4+

2x + 1

x2 − 4x

Solucion: Primero se debe factorizar los denominadores con el objeto de calcular el m.c.m de

los denominadores.

x

x2 + 3x − 4+

2x + 1

x2 − 4x=

x

(x + 4)(x − 1)+

2x + 1

x(x + 4)

El lector puede verificar que el m.c.m = x(x − 1)(x + 4)

Ası tenemos

x

(x + 4)(x − 1)+

2x + 1

x(x + 4)=

x(x) + (2x + 1)(x − 1)

x(x + 4)(x − 1)

=x2 + 2x2 − x − 1

x(x + 4)(x − 1)=

3x2 − x − 1

x(x + 4)(x − 1)

Ejercicio de desarrollo.- Realice y simplifique tanto como pueda

a)1

x2 + 2x + 1− 3x − 1

x2 − 4

b)1

x(x + 1)− 3

x2(x + 1)− 5

x2(x + 1)(x + 2)

Operaciones Mixtas

Ejemplo 1.- Realice y simplifique tanto como pueda

1

z− 2

z + 1z − 1


Solucion: En esta expresion debemos primero realizar la diferencia del numerador, expresarlo

como una sola fraccion, para luego realizar la division mediante la doble C, estando claro que la

expresion z − 1 debe ser expresado como una fraccion.

1

z− 2

z + 1z − 1

=

z + 1 − 2z

z(z + 1)

z − 1=

−z + 1

z(z + 1)z − 1

1

=(−z + 1) · 1

z(z + 1)(z − 1)=

−(z − 1)

z(z + 1)(z − 1)

= − 1

z(z + 1)

Ejemplo 2.- Realice y simplifique1√

x − 4+ 2

√x − 4

Solucion: Primero escribimos el segundo termino como una fraccion a fin de realizar una suma

de fracciones:

1√x − 4

+ 2√

x − 4 =1√

x − 4+

2√

x − 4

1

Es claro que el m.c.m de los denominadores es√

x − 4.Alternativamente se puede hacer la suma es cruz

=1√

x − 4+

2(√

x − 4)2√x − 4

=1 + 2(x − 4)√

x − 4

Observe de la necesidad de colocar parentesisen la expresion 1 + 2(x − 4)

=1 + 2x − 8√

x − 4=

2x − 7√x − 4

Ejercicio de desarrollo: Realice y simplifique tanto como pueda

a)3 − 3

z + 1z2 − 1


b)

3 − 3x

2√

x − 1x2 − 3x + 2

Racionalizacion de Denominadores

En ocasiones pudieramos tener expresiones como3√

3 − 4o bien

x − 1√x + 1 − 2

, donde nos

conviene eliminar las raıces en el denominador, esto es debemos racionalizar el denominador.

Observe que estamos tratando el caso que el denominador tiene dos terminos.

Para realizar este objetivo es reescrita multiplicando y dividiendo por la conjugada del de-

nominador.

a)3√

3 − 4; b)

x − 1

2√

x + 1 − 3; c)

√x + 1 −√

x√x + 1 +

√x

Solucion:

a) Multiplicamos arriba y abajo por la conjugada del denominador. Esta es la misma expresion

que el denominador pero con el segundo termino cambiado de signo:√

3 + 4

3√3 − 4

=3√

3 − 4· 1 =

3√3 − 4

·√

3 + 4√3 + 4

Se ha provocado el producto notable (a − b)(a + b) = a2 − b2,sin alterar la expresion original

=3(√

3 + 4)

(√

3 − 4)(√

3 + 4)=

3(√

3 + 4)

(√

3)2 − 42

=3(√

3 + 4)

3 − 16=

3(√

3 + 4)

−13= − 3

13(√

3 + 4)

b)


x − 1

2√

x + 1 − 3=

x − 1

2√

x + 1 − 3· 1 =

x − 1

2√

x + 1 − 3· 2

√x + 1 + 3

2√

x + 1 + 3

=(x − 1)(2

√x + 1 + 3)

(2√

x + 1 − 3)(2√

x + 1 + 3)=

(x − 1)(2√

x + 1 + 3)

(2√

x + 1)2 − 32

=(x − 1)(2

√x + 1 + 3)

22(√

x + 1)2 − 9=

(x − 1)(2√

x + 1 + 3)

4(x + 1) − 9

=(x − 1)(2

√x + 1 + 3)

4x − 5

c)

√x + 1 −√

x√x + 1 +

√x

=

√x + 1 −√

x√x + 1 +

√x·√

x + 1 −√x√

x + 1 −√x

=(√

x + 1 −√x)2

(√

x + 1)2 − (√

x)2=

(√

x + 1 −√x)2

x + 1 − x= (

√x + 1 −√

x)2

Ejercicio de desarrollo.- Racionalice el denominador de las siguientes expresiones:

a)−2

2 +√

8

b)x√

x2 − 1 − x

c)

√2x + 1 + 2

√x√

2x + 1 − 2√

x

Ejercicios

1. Realice las siguientes sumas de fracciones por el metodo del m.c.m de los denominadores

simplifique

1.1)3

26+

4

39; 1.2)

5

72− 1

24+

4

9; 1.3)

3

10− 4

25+

3

8;

1.4)5

48− 7

90− 2; 1.5)

1

4− 5

24− 2 +

2

9; 1.6)

1

2− 25

48− 2

3+ 1


2. Realice las siguientes operaciones y simplifique tanto como pueda

2.1)3x

x + 3+

2x − 3

x + 3; 2.2)

2x

2x + 1− x − 1

2x + 1; 2.3)

4

3x + 1− (1 − 3x);

2.4)x

x + 1+

x − 1

x + 2; 2.5)

4

x2 − 2x + 1+

2x − 3

x2 − 1; 2.6)

2t

t2 − 4t + 3+

t + 1

t − 1

2.7)2x

2x2 − x − 1− x − 1

2x2 + x+

4

x; 2.8)

6 − 3x

3x2 + 2x − 1− 2x − 1

x2 + 2x + 1+

3

x + 1

2.9)2x + 5

2x2 + x− 1

x− 2; 2.10)

x − 2

2x2 − x − 1÷ x − 1

2x2 + x; 2.11)

x3 − 9x

x2 + 2x + 1÷ 3x − 9

x2 + x;

2.12) y2 ÷ y − 1

2y2 + y; 2.13)

x − 1

x2 + 5x + 62x2 + 4x − 6

; 2.14)

1

(x + 1)2− 1

x2

2x2 + x;

2.15)

(

1 − 2x + 1

x2 + 2x + 1

)(x + 1

x

)

; 2.16)2

z+

z + 3

z2 − 3z− 3;

2.17)x3 − 16x

x2 + 3x + 2÷ x − 4

x2 + 2x; 2.18)

1

(2 + h)2− 1

4

h;

2.19)x

x2 − 4+

2

x2 + 3x + 2− 1

x + 2; 2.20)

1

1 + t− 1

2

t + 1− 2

t − 1

;

2.21)8 − z3

z2 − 9÷ z2 + 5z + 6

2z2 − 5z − 3; 2.22) 3

√x2 + 1 − x√

x2 + 1

3. Racionalice el denominador de las siguientes expresiones

3.1)5√

5 −√

3; 3.2)

2

7 +√

2; 3.3)

x − 1

2√

x + 1 − 33.4)

2x√2z − 1 +

√z − 1

3.5)

√2x + 3

√x√

2x − 3√

x

4Ecuaciones

Se quiere establecer las dimensiones do un rectangulo de tal manera que la base sea el doble

de la altura. ¿Como deben ser las dimensiones del rectangulo para que su area sea 1200m2?

Una persona recibe un salario de 100UM mas un 4%, sobre las ventas mensuales. Otra

persona no recibe salario pero en cambio se le da una bonificacion del 8% sobre las ventas

mensuales. ¿Cual es el nivel de ventas para el cual las dos personas reciben el mismo ingreso al

mes?

Estos tipos de problemas pueden ser resueltos planteando,- una ecuacion. Veremos posterior-

mente que por ejemplo la ecuacion que resuelve el ultimo problema esta dada por: 100+0.04·r =

0.08 · x.

Las ecuaciones son protagonistas en las resoluciones de muchos problemas de aplicaciones

pero tambien son piezas claves para conseguir ciertos resultados en calculo. Es por consiguiente

una herramienta que el estudiante debe dominar.

Una ecuacion en una variable es un enunciado de igualdad entre dos expresiones algebraicas

en la variable.

Ejemplo 1.- Los siguientes son ejemplos de ecuaciones

a) 2x = 10

b) t2 = −2t + 3

68

69

c) 1 −√

2r + 1 = 0

d)5x − 1

x − 1+

1

x= 0

e) x(x + 1) − x + 1 = 0

Estos son ejemplos de ecuaciones-en una variable. En los ejemplos a, d y e la variable es

x. En b la variable es i y en c la variable es r. Las expresiones que estan al lado del signo de

igualdad se llaman miembros de una ecuacion.

Se dice que a es una solucion o raız de una ecuacion si es un valor de x que hace que la

ecuacion sea una proposicion verdadera.

5 es una raız o una solucion de la ecuacion del ejemplo a, por cierto es la unica solucion. 1

y −3 son raıces de la segunda ecuacion.

Resolver una ecuacion consiste1 en encontrar todos los valores de x que son solucion de la

ecuacion. El conjunto de todas las soluciones es llamado el conjunto solucion. A veces se usa la

terminologıa incognita para referirse a la variable.

Para resolver una ecuacion normalmente realizamos una serie de pasos, de acuerdo a la

caracterıstica de la ecuacion. Debemos estar claros si los pasos que realicemos nos conducen a

una ecuacion con las mismas soluciones o no que la original. Si despues de realizar operaciones

en las ecuaciones obtenemos otra con las mismas soluciones que la original diremos que ambas

ecuaciones son equivalentes.

Existen operaciones que garantizan que vamos a obtener ecuaciones equivalentes a la

original como:

1) Sumar o restar el mismo polinomio a ambos lados de la ecuacion.

2) Multiplicar o dividir por una constante distinta de cero ambos miembros de la ecuacion.

3) Sustituir una expresion por otra equivalente.

Hay operaciones que pueden agregar solucion:

70 CAPITULO 4. ECUACIONES

1) Multiplicar por un polinomio ambos miembros de la ecuacion.

Ejemplo: Si en la ecuacion 2x = 10 cuya unica solucion es 5, multiplicamos por (x−1) ambos

lados de la ecuacion, nos queda la ecuacion

2x(x − 1) = 10(x − 1)

Esta ultima ecuacion tiene como soluciones 5 y 1. Se agrego una solucion.

2) Elevar al cuadrado o a una potencia par ambos lados de una ecuacion.

Ejemplo: Si en la ecuacion x = l, cuya solucion es explıcita: 1, elevamos ambos miembros al

cuadrado nos queda x − 1, el lector puede verificar que las soluciones de esta ultima son −1 y

1 : De nuevo se agrego una solucion: −1 que no satisface la original: Las ecuaciones x2 = 1 y

x = 1 no son equivalentes.

No siempre se agrega solucion, Por ejemplo la ecuacion√

x = 1 tiene como unica solucion 1.

Si se eleva al cuadrado ambos miembros queda la ecuacion x = 1 donde la solucion es explıcita

y la misma que la original. Las ecuaciones√

x = 1 y x = 1 son equivalentes.

En algunos metodos de resolucion hay que realizar estas operaciones. En este caso se debe

verificar siempre las soluciones encontradas para ver si fueron soluciones anadidas. En el caso

do multiplicar por un polinomio, las posibles soluciones anadidas son las raıces del polinomio.

Observe como al multiplicar en la ecuacion 2x = 1 0 por x − 1 ambos lados de la ecuacion se

agrego la solucion 1, efectivamente este polinomio se hace cero en 1. Ası que en el caso que

se multiplique por un polinomio simplemente se verifica que las soluciones encontradas tengan

sentido en la ecuacion original. En el caso de elevar al cuadrado se tienen que verificar las

soluciones en la ecuacion original.

Hay operaciones que pueden quitar soluciones a la ecuacion original como: Dividir por un

polinomio a ambos miembros.

La operacion de dividir entre un polinomio debe ser evitada, pues se puede perder soluciones.

Es frecuente en los estudiantes resolver la ecuacion de la siguiente manera:

4.1. ECUACIONES LINEALES 71

CUIDADO!!!Al cancelar puede perder soluciones

x2 = x

x2 = x · 1x = 1

Al cancelar, realmente se esta

dividiendo ambos lados por x

La ecuacion original x2 = x tiene dos soluciones: 0 y 1. Al cancelar o dividir entre un

polinomio en la variable se perdio la solucion 0.

En esta seccion aprenderemos a resolver ciertos tipos de ecuaciones. Un primer paso para

resolver una ecuacion es reconocer que tipo es y entonces aplicar las recomendaciones del caso.

El ejemplo 1 nos da una muestra de las ecuaciones a estudiar en este tema:

a) 2x = 10 es una ecuacion lineal

b) t2 = −2t + 3 es una ecuacion cuadratica

c) 1 −√

2r + 1 = 0 es una ecuacion con radicales

d)5x − 1

x − 1+

1

x= 0 es una ecuacion racional

Tambien se ensenaran estrategias que pueden servir para resolver una cierta variedad de ecua-

ciones.

4.1. Ecuaciones Lineales

Definicion 4.1 Diremos que una ecuacion es lineal en la variable x si puede escribir en la

forma

ax + b = 0

con a y b constantes y a 6= 0.

Para resolver ecuaciones lineales se debera realizar una serie de operaciones que conduzcan a

ecuaciones equivalentes a la original hasta obtener una ecuacion de la forma x = c cuya solucion


es explıcita. Normalmente se dice que la-jx debe quedar despejada en un lado de la ecuacion.

Veamos el siguiente ejemplo que ilustra como vamos-obteniendo ecuaciones equivalentes:

Ejemplo 1.- Resolver 4x = 2x − 5

Solucion:

4x − 2x = 2x − 5 − 2x Restamos 2x a ambos miembros

2x = −5

2x

2=

−5

2Dividimos por 2 a ambos miembros

x = −5

2

De aquı, x = −5

2es la unica solucion de la ecuacion 4x = 2x − 5.

Comentario: Como se puede observar en este ejemplo restar una expresion a ambos lados de

una ecuacion es equivalente a pensar que una expresion que esta sumando pasa restando al otro

miembro. De manera similar, si una expresion esta dividiendo todo un miembro de la ecuacion

pasa multiplicando. Si esta multiplicando todo un miembro de la ecuacion pasa dividiendo al

otro miembro.

Ejemplo 2.- Resolver. x − 1 = 3(x − 5)

Solucion: Se resuelven primero los parentesis para luego agrupar las x de un lado y las constantes

del otro. En general, es conveniente eliminar los parentesis. Para ello aplicamos la propiedad

distributiva en el lado derecho:


x − 1 = 3(x − 5)

x − 1 = 3x − 15 Pasamos el 15 sumando al otro lado, equivalemente sumamos 15 a ambos lados

x − 1 + 15 = 3x Pasamos la x restando al otro lado, equivalemente sumamos x a ambos lados

14 = 3x − x

14 = 2x Pasamos el 2 dividiendo al otro lado, equivalemente dividimos por 2 a ambos lados

14

2= x

x = 7

Ejemplo 3.- Resolverx − 1

2− 1

6= 3

Solucion: Cuando existen denominadores numericos podemos multiplicar ambos lados por el

m.c.m. de los denominadores. Con ello se eliminan los denominadores y se evita de esta forma

sumar fracciones que puede ser mas tedioso. En esta caso el m.c.m de los denominadores es 6.

6

(x − 1

2− 1

6

)

= 3 · 6 Se distribuye el 6

6 · x − 1

2− 6 · 1

6= 18 Se simplifica

3(x − 1) − 1 = 18 Se distribuye el 3

3x − 3 − 1 = 18

3x = 22

x =22

3Tres consejos se han dado en esta seccion para resolver ecuaciones lineales

1) Si existen denominadores numericos, elimınelos multiplicando ambos miembros por el m.c.m

de los denominadores.

2) Resuelva los parentesis de acuerdo con las reglas ensenadas.


3) Agrupe los terminos en x en un miembro y las constantes en otro para despejar x.

Hay que reiterar que estos son solo consejos practicos muy generales, seguramente en casos

particulares existan otros procedimientos mas rapidos.

Ejercicios

1) Determine si las siguientes ecuaciones son equivalentes o no

1.1) x = 3;x

x − 2=

3

x − 2; 1.2) x − 1 = 6; (x − 1)x = 6 · x; 1.3) x3 = x2; x = 1

2) Resolver las siguientes ecuaciones

2.1) 3 − 2x = 7; 2.2) 5 − 2(x − 2) = 13; 2.3) 2x − 1 = 4(x − 3); 2.4) x − 1

2=

x − 2

4;

2.5)x + 1

3+

x + 4

6= 2; 2.6)

z − 1

2− z − 1

3+

z − 1

4= 0; 2.7)

3 − x

6− x − 1

3= 3 − x;

2.8)√

3x − 3 = x; 2.9) (3x − 1)2 = (3x − 1)(3x + 1); 2.10)1

3(3x − 1) = 2[1 − (2x + 1)];

2.11) (1 +√

2)t = 0; 2.12) 3(z − 1) − 2(3 − 2z) = 3; 2.13)3

4(z − 1) + 2(1 − z) = 5;

2.14)√

2z − 2

3(1 − z) = 3; 2.15)

2(1 − 3z)

3= 0; 2.16)

1 − 3(3 − 4x)

3= 0;

2.17)(2x − 1)(x + 4)

2− (x − 4)(x − 3) − 1 = 0.

Aplicaciones:

Una gran variedad de problemas que surgen en la practica se pueden resolver usando ecua-

ciones. No hay una regla basica para resolverlos frente a la gran variedad de problemas que se

pueden plantear. Sin embargo podemos dar algunas sugerencias de trabajo que puedan ayudar

al lector a plantear la ecuacion que conduzca a la solucion de cada problema.

1. Lea el problema detenidamente si hace falta varias veces, hasta que sea capaz de decir que

se quiere conseguir y que informacion o datos dispone.


2. Represente una de las cantidades desconocidas en terminos de una variable, x suele ser la

mas usada. Si hay otra cantidad desconocida intente escribirla en terminos de su variable

(probablemente necesite algun dato del problema).

3. Un dibujo o esquema siempre ayuda aclarar situaciones.

4. Plantear una ecuacion. Esto es plantear una igualdad entre expresiones, busque las expre-

siones que son iguales en terminos de su variable a traves de las relaciones entre cantidades.

Estas expresiones estan dadas en forma verbal en el problema usted debera llevarlas a una

expresion algebraica donde intervenga su variable.

5. Resuelva la ecuacion. Puntualice o remarque la respuesta.

6. Responda en palabras cada pregunta del problema.

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo l.-Una poblacion tiene 20.000 habitantes, si el ritmo de crecimiento ha sido del 5%.

¿Cual era su poblacion hace un ano?

Solucion: Una variable natural aquı es

p = tamano de la poblacion hace un ano. La siguientes expresiones verbales son iguales

Poblacion actual =20.000.

Ahora debemos expresar poblacion actual en terminos de p. Aquı usamos el hecho que ha

aumento en un 5%. El 5% de p es 0.05p, ası que la poblacion actual es

P + 0.05p.

Ahora planteamos la ecuacion

p + 0.05p = 20.000

Resolvemos la ecuacion planteada


1.05p = 20.000

p =20.000

1.05≈ 19048 hab.

El tamano de la poblacion era aproximadamente de 19048 habitantes hace un ano.

Ejemplo 2.- Una persona necesita 15.000 litros de una solucion, al 7%. En el mercado existe

dos presentaciones: una al 6% y el otro al 8.25%. ¿Cuanto debe comprar de cada presentacion

a fin de tener la solucion con la concentracion que necesita?

Solucion: En este problema hay dos cantidades desconocidas, cuanto se debe comprar de la

solucion al 6% y′′; cuanto de la de 8.25. Elegimos

x = cantidad comprar 6% Observe que podemos expresar la otra cantidad en terminos de x

15.000 − x = cantidad a comprar de la solucion al 8.25%.

x litros UM a una concentracion del 6% tiene: 0.06 ·x soluto. 15.000−x a una concentracion

del 8,25% tiene: 0.0825 · (15.000 − x) de soluto.

La mezcla de estas dos compras contiene una cantidad de, soluto igual a:

0.06x + 0.0825 · (15.000 − x)

Esta expresion debe ser igual al soluto existente en 15.000 litros al 7% :

0.07 − 15.000 = 1050 UM. Ası debemos plantear

0.06x + 0.0825 · (15.000 − x) = 1.050;

Resolvemos ahora la ecuacion planteada:

−0.0225x + 1237, 5 = 1050

0.0225x = 187, 5;

x = 8333, 33

Ası que debe comprar 8333, 33 litros en la presentacion al 6% y 6666, 66 litros en la pre-

sentacion de 8.25%.

4.2. METODO DE FACTORIZACION PARA RESOLVER ECUACIONES. 77

4.2. Metodo de Factorizacion para Resolver Ecuaciones.

Este es un metodo de resolucion de ecuaciones que permite resolver una gran variedad de

ecuaciones. Se basa en la propiedad de los numeros reales en que si: a · b = O entonces a = O

o b = O. Este metodo es aplicable si luego de transformar la ecuacion original en otra donde el

cero este en un miembro de la ecuacion, el otro miembro sea facil de factorizar.

Puntualicemos los pasos para resolver ecuaciones por este metodo

1. Se lleva a la forma expresion=0,

2. Se factoriza la expresiont

expresion(fact.1) · (fact.2) . . . · (fact.K)

Ası la ecuacion queda escrita como

3. Se usa el razonamiento que si un producto es cero ·′ · ·5,

(fact.1) · (fact.2) . . . (fact.k) = 0

entonces algunos de los factores es cero. Por consiguiente se plante un tantas ecuaciones

como factores, todas las ecuaciones igualadas a cero.

fact.1 = 0; fact.2 = 0; . . . fact.K = 0

4. Se resuelven todas las ecuaciones planteadas. Las soluciones de la ecuacion original son las

soluciones de todas las ecuaciones planteadas de los factores, excepto aquellas donde no

tienen sentido en la ecuacion original.

Ejemplo 1.- Resolver las siguientes ecuaciones

a)x2 − 4x + 5 = 0; b)x3 − 2x2 + x = 0; c) 2x3 − 3x2 − 8x − 3 = O


Solucion:

a) Primero factorizamos x2 − 4x + 5 = 0

(x − 5)(x + 1) = 0

(x − 5) = 0 o (x + 1) = 0 Un producto es 0 si al menos uno de los factores es 0

x = 5 o x = −1

b) Primero factorizamos x3 − 2x2 + x = O usando primero factor comun.

(x2 − 2x + 1) = 0

x(x − 1)2 = 0 Un producto es 0 si al menos uno de los factores es O

x = 0 o (x − 1) = 0 o (x + 1) = 0 Alternativamente podemos pensar√

(x + 1)2 =√

0

x = 0 o x = 1 o x = 1

Ası que el conjunto solucion de esta ecuacion es {0, 1}.c) Usamos la tecnica de factorizacion para resolver la ecuacion 2x3 − 3x2 − 8x− 3 = 0, pero

para ello debemos de factorizar el lado izquierdo, usamos Ruffini.

2 -3 -8 -3

-1-2 5 3

2 -5 -3 0

3 6 3

2 1 0

De esta tabla obtenemos

P (x) = (2x + 1)(x − 3)(x + 1) = 0

4.2. METODO DE FACTORIZACION PARA RESOLVER ECUACIONES. 79

Ası que la ecuacion de arriba es equivalente a

(2x + 1)(x − 3)(x + 1) = 0

planteamos

(2x + 1) = 0; (x − 3) = 0; (x + 1) = 0

Es inmediato ver que las soluciones de estas ecuaciones son −1

2, 3 y −1, las cuales pueden ser

evaluadas en la ecuacion original.

Ası que el conjunto solucion de la ecuacion original es

{

−1

2, 3, 1

}


a)x3 = 2x2; b) (x − 1) = 2x(x − 1)

Solucion:

a) Observe que en esta ecuacion x3 = 2x2 no podemos simplificar las x, pues perdemos

solucion, (eliminar las x es lo mismo que dividir entre x2). Si pasamos todo al lado izquierdo,

dejando en el lado derecho el cero, podemos aplicar la tecnica e factorizacion.

x3 − 2x2 = 0 Factorizamos

x(x − 2) = 0

x = 0 o (x −√

2)(x +√

2) = 0 Un producto es 0 si al menos uno de los factores es 0

x = 0 o x −√

2 = 0 o x +√

2 = 0

x = 0 o x =√

2 o x = −√

2

Ası que el conjunto solucion de la ecuacion x3 = 2x2 es {−√

2, 0,√

2}.

b) Podemos hacer un comentario similar al ejercicio pasado, ası que aplicamos la tecnica de

factorizacion, con el primer paso que es dejando de un lado el 0.


(x − 1) = 2x(x − 1)

(x − 1) − 2x(x − 1) = 0 Factorimos sacando de factor comun (x − 1)

(x − 1)(1 − 2x) = 0 Planteamos 2 ecuaciones

(x − 1) = 0 o (1 − 2x) = 0 Un producto es 0 si al menos uno de los factores es 0

x = 1 o x =1

2

Ası es el conjunto solucion de la ecuacion (x − 1) = 2x(x − 1) es

{1

2, 1

}

El siguiente ejemplo pretende ilustrar que este metodo se aplica no solo a ecuaciones polinomi-

cas.

Ejemplo 3.- Resolver las siguientes ecuaciones x(x + 1)1/2 − 3(x + 1)3/2 = 0.

Solucion:

x(x + 1)1/2 − 3(x + 1)3/2 = 0 Primero factorizamos sacando factor comun (x + 1)1/2

(x + 1)1/2[x − 3(x + 1)] = 0

(x + 1)1/2(x − 3x − 3) = 0

(x + 1)1/2(−2x − 3) = 0 Planteamos 2 ecuaciones

(x + 1)1/2 = 0 o (−2x − 3) = 0

Para resolver la primera ecuacion elevamos ambos miembros al cuadrado

((x + 1)1/2

)2= 02 o x = −3

2

x + 1 = 0 o x = −3

2

x = −1 o x = −3

2

4.3. RESOLUCION DE ECUACIONES DE LA FORMAP

Q= 0 81

Siempre se debe chequear que ambas soluciones tengan sentido en la ecuacion original, en este

caso x = −3

2lo descartamos como solucion de la ecuacion original es x = −1.

Ejercicio de desarrollo: Resolver las siguientes ecuaciones

a) x2 − 4x + 3 = 0

b) (x + 2)2 − 3(x + 2)3 = 0

Ejercicios:

1) Resolver las siguientes ecuaciones por factorizacion

1.1) x2 − 6x + 8 = 0; 1.2) (x − 1)(x + 2)(x + 4) = 0; 1.3) x3 − x2 − 12x = 0;

1.4) x2√x =√

x; 1.5) (x − 2)(x − 1)3 − 2(x − 2)2(x − 1)2 = 0;

1.6) (x − 2)(x2 − 3)1/2 + 4(x2 − 3)3/2 = 0; 1.7) (x − 1)3 = (x − 1)2; 1.8) x3 = x(x + 2);

1.9) 3x3 − 2x2 − 7x − 2 = 0; 1.10) 5x4 − 25x3 + 30x2 − 8x − 3 = 0

4.3. Resolucion de Ecuaciones de la formaP

Q= 0

En la seccion pasado vimos como la propiedad de los numeros reales concernientes a un

producto igualado a cero nos lleva a un metodo de resolucion de ecuaciones. En esta seccion

queremos ver el metodo cuando un cociente es cero.

Veamos primero la propiedad en los numeros reales.

Si b 6= 0, tenemos quea

b= 0 si y solo si a = 0

Si tenemos una ecuacion de la formaP

Q= 0, entonces P = 0, donde P es una expresion en

la variable x. Las soluciones deP

Q= 0 son todas las soluciones de P = 0 que tienen sentido en

P

Q= 0.


a)x2 − 2

x − 2= 0; b)

x(x + 1)2 − x2(x + 1)

(x + 1)2= 0; c)

2

2x − 1= 0

Solucion:


a) Las soluciones dex2 − 2

x − 2= 0 son las soluciones de x2 − 2 = 0 siempre y cuando tengan

sentido en la original. Las soluciones de x2 − 2 = 0 son −√

2 y√

2. Estas son soluciones de la

ecuacion original.

b) Las soluciones dex(x + 1)2 − x2(x + 1)

(x + 1)2= 0 son las soluciones de

x(x + 1)2 − x2(x + 1) = 0 siempre y cuando tenga sentido en la ecuacion original

La ecuacion x(x + 1)2 − x2(x + 1) = 0 la resolvemos por factorizacion:

x(x + 1)[(x + 1) − x] = 0 Se saca x(x + 1) de F.C.

x(x + 1)(x + 1 − x) = 0

x(x + 1) · 1 = 0 Planteamos dos ecuaciones

x = 0 o x + 1 = 0

Ası que x = 0 satisface x(x + 1)2 − x2(x + 1) = 0 tiene como soluciones x = 0, −1. En este caso

tenemos que x = 0 satisface la ecuacion originalx(x + 1)2 − x2(x + 1)

(x + 1)2= 0 sin embargo x = −1

no tiene sentido en esta ecuacion, pues0

0no esta definido. Por tanto la ecuacion original tiene

una unica solucion dada por x = 0.

c) En la ecuacion2

2x − 1= 0, planteamos 2 = 0, esta ecuacion no tiene solucion, por tanto la

ecuacion original tampoco.

Ejemplo 2.- Resolver ecuacion 1 − 2

2 − x= 0

Solucion: Esta ecuacion no es de la forma.P

Q= 0, sin embargo lo podemos llevar a esta forma

sumando los terminos del lado izquierdo.x − 2 − 2

x − 2= 0

Las soluciones de esta ultima estan contenidas en las soluciones de x − 4 = 0 cuya solucion

x = 4 efectivamente satisface la original. Por tanto x = 4 es la unica solucion de 1 − 2

x − 2= 0.

(Otra forma de resolver esta ecuacion es trabajando con la ecuacion equivalente

1 =2

2 − xcomo el x − 2 esta dividiendo pasa multiplicando al otro lado, equivale a decir que

multiplicamos por x − 2 ambos lados, queda entonces x − 2 = 2 cuya solucion es la misma que

la anterior).

4.4. RESOLUCION DE ECUACIONES DE LA FORMA XK = D 83

Ejercicios:

1) Resolver las siguientes ecuaciones identificandola con la formaP

Q= 0.

1.1)x2 − 8x

x + 1= 0; 1.2)

√4

x − 1= 0; 1.3)

2(x − 1)(x + 2)3 − 3(x − 1)2(x + 2)2

(x + 2)6= 0;

1.4)1

x− 4x = 0; 1.5)

1

x− 1

x3= 0

4.4. Resolucion de Ecuaciones de la forma xk = d

Este tipo de ecuacion es bastante frecuente. La recomendacion para resolver este tipo de

ecuacion es:

Tomar raız con ındice k a ambos lados considerando que para k par esta la solucion negativa

tambien. Ası

x = k√

d si k es impar

x = ± k√

d si k es par d ≥ 0

Si k es par y d < 0 la ecuacion no tiene solucion

Justificacion para el caso k = 3x3 = d se escribe como

x3 − d = 0, se factoriza

(x − 3√

d)(x2 + ( 3√

d)2 + d) = 0 se plantean dos ecuaciones

(x − 3√

d) = 0 y (x2 + ( 3√

d)2 + d) = 0

La primera tiene como solucion x = 3√

d. Se puede verificar que la segunda no tiene soluciones

reales.

Justificacion para el caso k = 2

Si d en negativo es claro que la ecuacion x2 = d no tiene solucion pues cualquier numero

real al elevarlo al cuadrado da mayor o igual a cero, nunca podra ser negativo.


Si d es positivo entonces usamos el metodo de factorizacion.

x2 = d se escribe como

x2 − d = 0, se factoriza (lo pensamos como x2 − (√

d)2 = 0)

(x −√

d)(x +√

d) = 0 se plantean dos ecuaciones

(x −√

d) = 0 y (x +√

d) = 0

la primera tiene como solucion x =√

d y la segunda tiene como solucion x = −√

d

Ejemplo 1.- Resolver las siguientes ecuaciones a)x2 = 4; b)x3 = −81; c)x6 = −2;

Solucion:

a) Tomando raız cuadrada a ambos lados de la ecuacion: x2 = 4. Recuerde que como el ındice

es par se agrega la positiva y la negativa. Ası las soluciones son: x = ±√

4 = ±2.

b) Al tomar raız cubica en ambos lados x3 = −81 queda3√

x3 = 3√−81.

c) Como 6 es un ındice par, la ecuacion x6 = −2 no tiene solucion real, efectivamente x =

6√−2 6∈ R.

Ejemplo 1.- Resolver las siguientes ecuaciones a) 2x6 − 6 = 0; b) (y + 1)3 = 7;

Solucion: La ecuacion 2x6 − 6 = 0, la llevamos a la forma xk = d, despejando x6.

2x6 = 6

x6 =1

3

Ahora tomamos raız a ambos lados y consideramos que al ser el ındice de la raız par se tiene la

raız positiva y la negativa.

x = ±√

1

3= ±

√3

3

b) La ecuacion (y + 1)3 = 7 no es exactamente de esta forma, pero igual se puede resolver

usando la recomendacion.

4.5. RESOLUCION DE ECUACIONES CUADRATICAS. 85

3√

(y + 1)3 = 3√

7

(y + 1) = 3√

7

y = 3√

7 − 1

Ası que la solucion de esta ecuacion es 3√

7 − 1.

4.5. Resolucion de Ecuaciones Cuadraticas.

La ecuacion de segundo grado ax2 + bx+ c = 0 es resuelta frecuentemente usando la formula

x =−b ±

√b2 − 4ac

2a

Con los metodos vistos anteriormente podemos justificar esta formula, llevando la ecuacion

ax2 + bx + c = 0 a otra equivalente de la forma (x + d)2 = k.

1. Dejamos los dos primeros terminos de un lado de la ecuacion y el termino constante del

otro lado.

ax2 + bx = −c

2. Dividimos ambos terminos por a.

x2 +b

ax = − c

a

3. La idea ahora es completar cuadrados. Esto es sumar en ambos miembros una misma

cantidad de tal manera que el miembro izquierdo sea el desarrollo de un producto notable

de la forma

(x + d)2 = x2 + 2 dx + d2. El terminob

ax debe ser el termino 2 dx, ası que

b

a= 2d

De aquı d =b

2a. Ası que debemos sumar a ambos lados

(b

2a

)2


x2 +b

ax +

(b

2a

)2

= − c

a+

(b

2a

)2

(

x +b

2a

)2

=b2

4a2− c

aRestando las fracciones del lado derecho obtenemos

(

x +b

2a

)2

=b2 − 4ac

4a2

4. Esta ultima tiene la forma anteriormente vista con potencia par. Tomamos raız cuadrada

a ambos lados, considerando que tenemos potencia par.

x +b

2a= ±

√

b2 − 4ac

2aSe despeja x

x = − b

2a±√

b2 − 4ac

2aFinalmente obtenemos la formula de la ecuacion de segundo grado.

x =−b ±

√b2 − 4ac

2a

La cantidad b2 − 4ac es llamada el discriminante. Es claro que

Si b2 − 4ac < 0 la ecuacion ax2 + bx + c = 0 no tiene solucion.

Si b2 − 4ac = 0 la ecuacion ax2 + bx + c = 0 tiene una unica solucion

(

x =−b

2a

)

.

Si b2 − 4ac > 0 la ecuacion ax2 + bx + c = 0 tiene dos soluciones distintas.

El metodo de factorizacion para resolver ecuaciones cuadraticas puede resultar mas rapido

que usar la ecuacion de segundo grado cuando se puede aplicar, pero ni siempre se puede

o resulta facil la factorizacion

Ejemplo.- 1. Resolver las siguientes ecuaciones a) 2x2 − x − 6 = 0; b) (y + 1)(y + 4) = 2y

Solucion:

a) Como no se puede conseguir una factorizacion de una manera rapida en el lado izquierdo

de la ecuacion 2x2 − x − 6 = 0 es preferible usar la ecuacion de segundo grado, identificando

a = 2; b = −1; c = −6.

4.5. RESOLUCION DE ECUACIONES CUADRATICAS. 87

x =−(−1) ±

√

(−1)2 − 4 · 2(−6)

2 · 2

x =1 ±

√1 + 48

4

Ası que las soluciones estan dadas por x1 =1 + 7

4= 2 y x2 =

1 − 7

4= −3

2

Observacion: De nuevo el metodo escogido fue apreciado, pudimos haber factorizado por Ruffi-

ni, pero en el momento consideramos que podıamos perder mas tiempo que empleando la formula

de segundo grado.

b) Observamos que la ecuacion (y + 1)(y + 4) = 2y es de segundo grado, pues cuando desar-

rollamos el producto vemos que aparece un termino cuadratico . ası que realizamos operaciones

para llevar esta ecuacion a la forma canonica. Primero realizamos el producto del lado izquierdo.

y2 + 5y + 4 = 2y

y2 + 3y + 4 = 0

No podemos factorizar rapidamente, usamos entonces la formula de segundo grado para resolver

esta ecuacion, identificando a = 1; b = 3 y c = 4

y =−3 ±

√32 − 4 · 3 · 42 · 4

y =−3 ±

√−45

8

Como el discriminante es negativo la ecuacion no tiene solucion real. Comentario: En este

ejemplo no habıa factorizacion posible.

Ejemplo 2.- Resolver la siguiente ecuacion (x2 − 3x + 1)(2x2 − 8)(x2 − 2x − 3) = 0;

Solucion: Resolvemos esta ecuacion por el metodo de factorizacion, como un producto esta igual-

ado a cero entonces uno de los tres factores es cero. Ası pues planteamos tres ecuaciones

(x2 − 3x + 1) = 0 o (2x2 − 8) = 0 o (x2 − 2x − 3) = 0


Las tres ecuaciones son de segundo grado, pero cada una tiene su manera conveniente de re-

solverla. La primera la resolvemos por la formula de segundo grado, la segunda despejando x2

y tomando mas o menos raız y la tercera la resolvemos por factorizacion.

En la ecuacion (x2 − 3x + 1) = 0 tiene dos soluciones

x =3 ±

√

(−3)2 − 4 · 12 · 1 =

3 ±√

5

2

La ecuacion (2x2 − 8) = 0 es equivalente a x2 = 4, cuyas soluciones son +2 y −2

La ecuacion (x2 − 2x − 3) = 0 la resolvemos por el metodo de factorizacion

(x − 3)(x + 1) = 0 Planteamos dos ecuaciones

(x − 3) = 0 o (x + 1) = 0

Las soluciones de estas ecuaciones son x = 3 o −1.

En conclusion la ecuacion (x2 − 3x + 1)(2x2 − 8)(x2 − 2x − 3) = 0 tiene como soluciones

x = −5, −1, 3, 5,3 +

√5

2,

3 −√

5

2.

Ejercicio de desarrollo. Resolver la siguiente ecuacion (2x2 − 3x + 1)

(2 − 3x2

x − 2

)

Ejercicios:

1. Resolver las siguientes ecuaciones identificandola con la forma xk = d

1.1) x3 + 8 = 0; 1.2) x2 + 8 = 0; 1.3) 64x6 − 1 = 0; 1.4) (x + 1)4 = 16;

1.5) 9x2 − 25 = 0; 1.6) 8(x + 2)3 − 1 = 0; 1.7) (x + 3)4 = 0

2. Resolver las siguientes ecuaciones

2.1) 2 − 3x + 2x2 = 0; 2.2) x2 +√

2x − 2 = 0; 2.3) x3 − 4x2 − x = 0;

2.4) (x2 − 4x + 1)4 = 0; 2.5) (x2 − 25)(x2 − 2x − 3) = 0; 2.6) (x + 2)2 − 4x = 0.

4.6. ECUACIONES CON RADICALES 89

4.6. Ecuaciones con Radicales

Las ecuaciones con radicales son aquellas donde la incognita esta dentro del radical. Por

ejemplo la ecuacion√

x2 + 3−3 = x la llamaremos de esta manera porque la variable esta dentro

del signo radical. La ecuacion√

2x+3 = x2 no la consideramos una ecuacion con radical porque

la variable no esta dentro de la raız.

Para resolver este tipo de ecuacion se recomienda los siguientes pasos.

1. Dejar el termino con el radical solo de un lado de la ecuacion.

2. Elevar ambos miembros a la potencia del ındice. Estar pendiente si hay planteado un

producto notable

3. Simplifique e identifique la ecuacion resultante para resolverla de acuerdo a la recomen-

dacion. Recuerde que al elevar a una potencia par puede estar agregado soluciones extranas,

en este caso hay que verificar las soluciones en la original.

Ejemplo 1.- Resolver las siguiente ecuaciones a) 3√

x − 3 − 2 = 0;

b)√

x2 + 3 + 3 = x; c)x − 4√

x + 3 + 6 = 0

Solucion: Todas estas ecuaciones son con radicales. Recuerde: que este tipo de ecuacion el

primer paso de la recomendacion es dejar solo el radical

a)3√

x − 3 − 2 = 0 Se deja solo el radical

3√

x − 3 = 2 Se eleva al cubo ambos miembros

( 3√

x − 3)3 = 23

x − 3 = 8 Quedo una ecuacion lineal que resolvemos

x = 11


b) √x2 + 3 + 3 = x Se deja solo el radical

√x2 + 3 = x − 3

(√

x2 + 3)2 = (x − 3)2 Se eleva al cuadrado ambos miembros

x2 + 3 = x2 − 6x + 9 El lado derecho es el desarrollo de un producto notable

6x = 6 Se simplifico

x = 1Como elevamos al cuadrado pudimos agregar solucion. Se procede a comprobar la solucion

en la ecuacion original.

Parte de comprobacion: Veamos si x = 1 satisface la ecuacion√

x2 + 3 + 3 = x

Lado izquierdo de la ecuacion:√

12 + 3 + 3 =√

4 + 3 = 5

Lado derecho: 1.

Como 5 6= 1, entonces x = 1 no es solucion de la ecuacion. La ecuacion no tiene solucion.

c)x − 4

√x + 3 + 6 = 0 Se deja solo el radical

x + 6 = 4√

x + 3 Se eleva al cuadrado ambos miembros

(x + 6)2 = (4√

x + 3)2

x2 + 12x + 36 = 42(√

x + 3)2 El el lado izquierdo de desarrollo un producto notable

x2 + 12x + 36 = 16(x + 3) Se aplica la propiedad distributiva

x2 + 12x + 36 = 16x + 48 Quedo una ecuacion cuadratica que se resuelve por la resolvente

x2 − 4x − 12 = 0 (Se pudo resolver tambien por factorizacion)

x =4 ±

√16 + 48

2=

4 ± 8

2

x = 6 y x = −2.

Como elevamos al cuadrado pudimos agregar solucion. Se procede a comprobar la solucion

4.6. ECUACIONES CON RADICALES 91

en la ecuacion original.

Parte de comprobacion: Veamos si x = 6 satisface la ecuacion x − 4√

x + 3 + 6 = 0

Lado izquierdo: 6 − 4√

6 + 3 = 12 − 4√

9 = 0 Lado derecho: 0 Como 0 = 0, entonces x = 12

si es solucion de la ecuacion

Veremos si x = −2 satisface la ecuacion x − 4√

x + 3 + 6 = 0

Lado izquierdo: −2 − 4√−2 + 3 + 6 = 4 − 4

√1 = 0.

Lado derecho: 0

Como 0 = 0, entonces x = −2 tambien es solucion de la ecuacion

Como conclusion la ecuacion dada tiene dos soluciones; −2 y 6

Ejemplo 2.- Resolver (√

x + 1 − 2)(2√

x2 + 1 − 1) = 0

Solucion: Se resuelve por el metodo de factorizacion planteando dos ecuaciones

(√

x + 1 − 2) = 0 o (2√

x2 + 1 − 1) = 0

Las dos son ecuaciones con radicales donde se debe aislar el radical

Resolvemos la primera ecuacion.√

x + 1 = 2 Se eleva ambos miembros al cuadrado

x + 1 = 4

La solucion de este ultima es x = 3 la cual satisface la ecuacion (√

x + 1 − 2) = 0

Resolvemos la segunda ecuacion

2√

x2 + 1 = 2

(2√

x2 + 1)2 = 4

4(x2 + 1) = 4

x2 + 1 = 1

x = 0

Las unicas soluciones de (√

x + 1 − 2)(2√

x2 + 1 − 1) = 0 Son {0, 3}.


Comentario final: Una ecuacion de la forma (p(x))n/m = k, con k una constante, la podemos

resolver rapidamente elevando ambos miembros al inverso del exponente:m

n. Ası

((p(x)n/m)

)m/n= km/n

p(x) = km/n

Esta ultima ecuacion la identificamos y la resolvemos de acuerdo a las recomendaciones.

Debemos tener en cuenta que si n es par entonces k no puede ser negativo y si m es par

entonces podemos estar agregando solucion. (Observe que la ecuacion (p(x))n/m = k puede ser

escrita como m√

(p(x))n = k o bien como(

m√

p(x))n

= k, ambas ecuaciones le realizamos dos

operaciones consecutivas para llegar a la forma p(x) = km/n).

Ejercicio de desarrollo.- Resolver la siguiente ecuacion (√

2x2 + 8 − 3)( 3√

x2 − 2 + 3) = 0

Ejercicios:

1) Resolvemos las siguientes ecuaciones con radicales

1.1) 2√

x − 1 − 2 = 0; 1.2)√

3x2 + 6 + 3 = 6x; 1.3) 3x + 4√

x + 2 + 6 = 0;

1.4) 3√

x2 − 16 + 1 = 0; 1.5) (x − 2)1/5 = 0; 1.6) (x − 2)2/5 = 1

2) Resolver las siguientes euaciones:

2.1) (√

x + 4 − 2)(x2 − 4) = 0; 2.2) (√

3x2 − 6)(2x3 − 54) = 0;

2.3) (x + 1)2(4√

x + 2 + 6) = 0; 2.4) (2√

x − 1 − x)(2x2 + 8)( 3√

3x − 1) = 0.

4.7. Resolucion de Formas Cuadraticas

Las ecuaciones en formas cuadraticas son las que se pueden llevar a la forma

a(Expresion)2 + b(Expresion) + c = 0

Donde expresion es una expresion en la variable. Algunos ejemplos de este tipo de ecuaciones

son:

a)1

(x − 1)2− 2

x − 1− 3 = 0 (Reescriba como

1

(x − 1)2− 2

1

x − 1− 3 = 0 para comprobar)

4.7. RESOLUCION DE FORMAS CUADRATICAS 93

b) 2x6 − x3 − 1 = 0

c) x + 3√

x + 2 = 0

Los pasos recomendados para resolver la ecuacion a(expresion)2 + b(Expresion) + c = 0 son:

1. Hacer el cambio de variable y = expresion en la ecuacion original.

2. Resolver la ecuacion cuadratica que quedo en y : ay2 + by + c = 0.

3. Si existen soluciones de la ecuacion anterior, entonces se plantean y se resuelven las ecua-

ciones.

Expresion = y1 y Expresion = y2

Donde y1, y2 son las soluciones de ay2 + by + c = 0. Las soluciones de estas ecuaciones

son las soluciones de la ecuacion original.


a)1

(x − 1)2− 2

x − 1− 3 = 0; b) 2x6 − x3 − 1 = 0; c)x + 3

√x + 2 = 0

Solucion: Todas estas ecuaciones se pueden identificar como formas cuadraticas. Observe que

cada una tiene alternativas para resolverlas, (la primera es una forma racional, la segunda se

puede hacer por factorizacion y la tercera puede ser vista como una ecuacion con radicales),

pero para cada una de ellas recomendamos usar la tecnicas de formas cuadraticas.

a) Resolvemos por los pasos de la recomendacion

1. En la ecuacion1

(x − 1)2− 2

x − 1− 3 = 0 se hace el cambio y =

1

x − 1, de aquı

y2 =1

(x − 1)2quedando y2 − 2y − 3 = 0 Efectivamente quedo una ecuacion cuadratica.


2. Se resuelve la ecuacion cuadratica, en este caso lo hacemos por factorizacion.

(y − 3)(y + 1) = 0

y − 3 = 0 o y + 1 = 0

y = 3 o y = −1

3. Se sustituye y por1

x − 1. Quedan ecuaciones racionales en x que se resuelven

1

x − 1= 3 o

1

x − 1= −1

1 = 3(x − 1) o 1 = −1(x − 1)

1 = 3x − 3 o 1 = −x + 1

x =4

3o x = 0

Como conclusion la ecuacion dada tiene dos soluciones 4/3 y 0.

b)

1. En la ecuacion 2x6 − x3 − 1 = 0 se hace el cambio de variable y = x3, de aquı y2 = x6.

Resulta 2y2 − y − 1 = 0.

2. Esta ecuacion cuadratica la resolvemos por la formula de segundo grado.

y =1 ±

√1 + 8

4=

1 ± 3

4

y = 1 o y = −1

2

3. Ahora se sustituye por x3

x3 = 1 o x3 = −1

2Se extrae raız cubica a ambos miembros

x = 3√

1 = 1 o x = 3

√

−1

2

Como conclusion la ecuacion dada tiene dos soluciones: 1 y 3

√

−1

2. No hace falta comprobar.

4.7. RESOLUCION DE FORMAS CUADRATICAS 95

c)

1. En la ecuacion x+ 3√

x+ 2 = 0 Se hace el cambio de variable y =√

x, ası y2 = x. Resulta

y2 + 3y + 2 = 0

2. Esta ecuacion cuadratica se resuelve por factorizacion

y2 + 3y + 2 = 0

(y + 2)(y + 1) = 0

(y + 2) = 0 o (y + 1) = 0

y = −2 o y = −1

3. Se sustituye y por√

x√

x = −2 o√

x = −1 Ecuacion con radicales, se eleva ambos miembros al cuadrado

x = (−2)2 = 4 o x = (−1)2 = 1

Como en el proceso se elevo al cuadrado se tiene que comprobar si las soluciones satisfacen

la original.

El lector puede chequear que ninguna de las dos soluciones satisface la ecuacion original.

Ni siquiera satisfacen√

x = −2 ni√

x = −1.

Como conclusion la ecuacion dada no tiene soluciones.

Instintos: Esta ecuacion tambien la podemos clasificar como una ecuacion con radicales

y resolverlas siguiendo las indicaciones dadas.

Ejercicio de desarrollo resolver las siguientes ecuaciones

a)√

x − 3 − x + 3 = 0

b) (x + 1)2 − 2(x + 1) + (−3) = 0

Ejercicios:

1) Resolver las siguientes ecuaciones de formas cuadraticas


1.1) 2x4 − 5x2 + 2 = 0; 1.2)1

(x + 1)2+

3

x + 1+ 2 = 0;

1.3)

(x

x + 2

)2

− 2x

x + 2− 3 = 0; 1.4) 2x2/3 − x1/3 − 1 = 0.

4.8. Ecuaciones Fraccionarias

Las ecuaciones fraccionarias son aquellas donde hay terminos fraccionarios y la incognita

esta en el denominador.

Por ejemplo la ecuacion2

x − 1+ 3 = x la llamaremos de esta manera porque la variable

esta en el denominador. La ecuacionx

2+ 3 = x2 no la consideramos una ecuacion fraccionaria

porque la variable no esta en el denominador.

Identificaremos dos tipos de ecuaciones fraccionarias.

1. Aquellas que tienes un solo termino igualado a cero. Estas las habıamos identificado con

la formaP

Q= 0. Por ejemplo

2x − 1

x − 1= 0.

2. Las que no tienen esta forma. Por ejemplo4

x2 − 4+

2

x − 2= 1

Los pasos recomendados para resolver este ultimo tipo de ecuacion son:

1. Factorice los denominadores y calcule m.c.m de los denonimadores.

2. Multiplique ambos lados por el m.c.m de los denominadores a fin de eliminarlos. (no se

olvide de distribuir antes de simplificar).

3. Identifique la ecuacion resultante y resuelva de acuerdo a la recomendacion del caso.

Este pendiente que se pueden agregar como soluciones extranas las raıces de los denomi-

nadores, (hay que eliminarlos como soluciones, pues no se puede dividir entre cero).

Recuerde que para resolver la ecuacion de la formaP

Q= 0, se usaba el argumento que una

fraccion es cero si el numerador es 0, ası se plantea la ecuacion P = 0 y las soluciones de esta

ultima son soluciones de la original siempre y cuando tenga sentido en la original.

4.8. ECUACIONES FRACCIONARIAS 97

Ası por ejemplo en2x − 1

x − 1= 0 debemos plantear 2x − 1 = 0 y verificar que la solucion de

esta ecuacion tiene sentido en la original. Observe que podemos llegar al mismo planteamiento

siguiendo las recomendaciones dadas anteriormente, sin embargo es mas rapido plantear de una

vez numerador igual a cero.

Ejemplo 1.- Resolver las siguientes ecuaciones racionales

a)2x

x2 − 3x + 2− 1

x − 1=

2

x − 2; b)

2

x2 − x− 1

x − 1; c) − 1

1 − x=

1

x+

3

x − x2;

d)2

x − 2=

4

x2 − 2x+

1

xSolucion: Todas estas ecuaciones son racionales con mas de un termino. Seguimos la recomen-

dacion de multiplicar ambos lados de la igualdad por el m.c.m de los denominados.

a) 1) Se factoriza los denominadores a fin de conseguir el m.c.m

2x

(x − 2)(x − 1)− 1

x − 1=

2

x − 2

2) Multiplicamos ambos miembros por m.c.m

(x − 2)(x − 1)

(2x

(x − 2)(x − 1)−

1

x − 1

)

=2

x − 2(x − 2)(x − 1) Se distribuye el m.c.m

(x − 2)(x − 1)2x

(x − 2)(x − 1)− (x − 2)(x − 1)

1

x − 1=

2

x − 2(x − 2)(x − 1) Se simplifica

2x − (x − 2) = 2(x − 1)

3) Resulto una ecuacion cuadratica

2 − x = x2 − 3x + 2

x2 − 2x = 0 resolvemos por factorizacion

x(x − 2) = 0

x = 0 o x − 2 = 0

x = 0 o x = 2

Las posibles soluciones que se pudiesen agregar son donde el m.c.m es cero: x(x − 1) = 0.

Estas son {0, 1}. El cero entonces es una solucion agregada al multiplicar la ecuacion original


por el m.c.m. (no es solucion de la original porque no se puede dividir entre 0). Como 2 no

esta en el conjunto {0, 1} si es solucion.

Como conclusion la ecuacion dada tiene una solucion: 2

c) 1) Se factoriza primero los denominadores − 1

1 − x=

1

x+

3

x − x2

Ası el m.c.m de los denominadores es x(1 − x).

2) Multiplicamos ambos miembros por el m.c.m.

x(1 − x) · −1

1 − x=

(1

x+

3

x(1 − x)

)

x(1 − x) se distribuye el m.c.m

−x =1

xx(1 − x) +

3

x(1 − x)x(1 − x) Se simplifica

−x = (1 − x) + 3

3) Resulto una ecuacion inconsistente 0 = 4.

En conclusion la ecuacion dada no tiene una solucion.

d) 1) Se factoriza los denominadores, queda la ecuacion2

x − 2=

4

x(x − 2)+

1

x, el m.c.m.

de los denominadores es x(x − 2)

2) Multiplicamos ambos miembros por el m.c.m.

x(x − 2)2

x − 2=

(4

x(x − 2)+

1

x

)

x(x − 2) se distribuye el m.c.m

2x =4

x(x − 2)x(x − 2) +

1

xx(x − 2) se simplifica

2x = 4 + (x − 2)

3) Resulto una ecuacion lineal al despejar x obtenemos x = 2

Las posibles soluciones que se pudiesen agregar son donde el m.c.m es cero: x(x − 2) = 0.

estas son {0, 2},2 entonces es una solucion agregada al multiplicar la ecuacion original por el

m.c.m (no es solucion de la original porque no se puede dividir entre 0).


Como conclusion la ecuacion dada no tiene una solucion.

Ejemplo 2.- Resolver la ecuacion√

x + 1 − 2x√x + 1

= 0

Solucion:

1) El m.c.m de los denominadores es√

x + 1. Multiplicamos izquierda y derecha por el.

√x + 1

(√x + 1 − 2x√

x + 1

)

= 0 · 2√

x + 1

(√

x + 1)2 − 2x = 0

(x + 1) − 2x = 0

−x + 1 = 0

La solucion es x = 1, la cual es solucion de la ecuacion original.

Ejemplo 3.- Resolver las siguientes ecuaciones racionales a)4

x − 1= 0;

b)9x2 − 4

x − 1= 0

Solucion:

a) Esta ecuacion se resuelve con el planteamiento que una fracciona

bes 0 si el numerador a

es 0. En este caso se plantearıa que 4 = 0, lo cual es cierto por tanto la ecuacion no tiene

solucion. Usando la recomendacion general para resolver ecuaciones fraccionarias llegamos al

mismo resultado. Se multiplica ambos miembros por el m.c.m. de los denominadores.

4

x − 1= 0

(x − 1)4

x − 1= 0 · (x − 1)

4 = 0

Como conclusion la ecuacion dada no tiene una solucion.


b) Como en la ecuacion9x2 − 4

x − 1= 0 se plantea cuando una fraccion es cero, ya sabemos que

esto ocurre si el numerador es cero. Ası que planteamos de una vez.

9x2 − 4 = 0

Esta es una ecuacion cuadratica la cual resolvemos despejando x2

x2 =4

9Ahora tomamos mas o menos la raız

x = ±√

4

9

x = ±2

3

Siempre hay que chequear que la solucion encontrada este bien definida en la ecuacion original,

esto es, que el denominador no se haga cero, lo cual efectivamente ocurre en este caso.

Ejercicio de desarrollo Resolver las siguientes ecuaciones

a) − 1

1 + x+

2

x= − 4

x + x2

b) −√

x − 1 − 3

x − 2= 0

Ejercicios

1) Resuelva las siguientes ecuaciones racionales

1.1)1

x + 1=

3

x − 2; 1.2)

x

x2 − 4− 1

x − 2=

x + 4

x2 − 4; 1.3) −1

x=

1

x+

3

x − x2;

1.4)x

x − 2+

2

x2 − 5x + 6=

2

x − 3; 1.5) 4 +

4

3x + 7= 0; 1.6)

2

x − 1+

3

x − 2= 4;

1.7)x2

(x − 1)2− 1

x − 1= 1; 1.8)

3x − 1

2x − 7=

6x

4x − 1; 1.9)

8x3 − 1

x − 7= 0;

1.10)8

x2 − 3= 0

La siguiente tabla muestra algunos tipos de ecuaciones que aparecen frecuentemente y las

recomendaciones para resolver.


Definicion y ejemplos Recomendaciones

Forma xk = d. (axk − b = 0)1.1) x2 = 4; Sol: x = ±

√4 = ±2

1.2) x3 = −81; Sol:3√

x3 = 3√−81

1.3) x6 = −2; Sol: x = 6√−2 6∈ R La ecuacion

no tiene solucion real.1.4) (y + 1)3 = 7. No es exactamente de estaforma, pero igual se puede resolver usando larecomendacion.

Tomar raız con ındice k a ambos lados, considerando que para k par esta lasolucion negativa tambien. Asıx =

k√

d si k es imparx = ± k

√d si k es par

Recuerde que la raız de ındice par de un numero negativo no es real, es unimaginario puro. Si este fuera el caso la ecuacion no tiene solucion real(√−2 6∈ R; 3

√−2 ∈ R)

Ecuaciones con radicales: la variableesta en el radicando

2.1) 3√

x − 3 − 2 = 0

2.2)√

x2 + 3 + 3 = x

2.3) x − 4√

x + 3 + 6 = 0

1) Deje el termino con el radical solo de un lado de la ecuacion,

2) Eleve ambos miembros a la potencia del ındice. Este pendiente si hayplanteado un producto notable.3) Simplifique e identifique la ecuacion resultante para resolverla de acuerdoa la recomendacion. Recuerde que al elevar a una potencia par puede estaragregando soluciones extranas, en este caso hay que verificar las solucionesen la original.

Forma cuadratica: Se puede llevar a la formaa(exp)2 + b(exp) + c = 0, donde exp es unaexpresion en la variable.

3.1)1

(x − 1)2− 2

x − 1− 3 = 0

3.2) 2x6 − x3 − 1 = 03.3) x + 3

√x + 2 = 0

1) Hacer el cambio de variable y = Expresion queda la ecuacion cuadraticaen y : ay2 + by + c = 0,2) Se resuelve la ecuacion cuadratica. Si dan soluciones yi = k siga con paso3 (Si la ecuacion ecuacion cuadratica no tiene solucion la original tampoco)3) Se sustituye Expresion por yi en yi = k y se resuelven las ecuacionesplanteadas. Las soluciones de estas ecuaciones son las soluciones de la ecuacionoriginal.

Tecnica de factorizacion: Aplicada cuandola ecuacion se puede llevar a la forma expre-

sion= 0, donde expresion se puede factorizar4.1) x(x − 3)(x + 1) = 0; Sol: = {0, 3,−1}4.2) x2 − 4x + 5 = 04.3) x3 − 2x2 + x = 04.4) x3 = 2x (si simplifica o divide entre

la variable pierde solucion)4.5) x(x + 1)1/2 − 3(x + 1)1/2 = 0

1) Se lleva a la forma expresion= 02) Se factoriza laexpresion = fact.1 · fact.2 . . . fact.k3) Se plantean tantas ecuaciones como factores, igualadas a 0 :fact.1 = 0 fact.2 = 0 . . . fact.k = 0(se uso el razonamiento que un producto es cerofact.1 · fact.2 . . . fact.k = 0si algunos de los factores es cero.)Las soluciones de la ecuacion original son las soluciones de todas las ecuacionesplanteadas de los factores que tengan sentido en la original.

Ecuaciones con racionales: la variableesta en el denominador

5.1)2x − 1

x2 − x= 0

5.2) − 1

1 − x=

1

x+

3

x − x2

5.3)2

x − 2=

4

x2 − 2x+

1

x

5.4)4

x − 1= 0.

Si en la formaP

Q= 0, plantee y resuelva P = 0. Verifique que las soluciones

de esta ultima tiene sentido en la original.Si no es de esta forma entonces:Factorice los denominadores, calcule el m.c.m. de los denominadores y multi-pliques ambos lados por este m.c.m. a fin de eliminar los denominadores (nose olvide de distribuir antes de simplificar), entonces identifique la ecuacionresultante y resuelva de acuerdo a la recomendacion del caso. Recuerde quese pueden agregar como soluciones extranas las raıces de los denominadores,(hay que eliminar las como soluciones, pues no se puede dividir entre cero).


Ejercicios:

1) Resuelva las siguientes ecuaciones:

1.1)√

3x2 − 2 + 3x2 − 8 = 0; 1.2)1

x + 3− 2

x2 + 4x + 3=

−1

3;

1.3) (x2 − 1)(x4 − 3x2 − 4) = 0; 1.4) (x2/5 − 4x1/5 + 4)(x3 − 8) = 0;

1.5) (x6 − 4x3 − 5)(x2 − 9) = 0; 1.6)(3 − x)2

4= 4; 1.7)

√−2 − 6x − 6x = 8;

1.8)2

x − 2+

1

x2 − x − 2=

−x

x + 1; 1.9) (x − 2)4 = 2(x − 2)3;

1.10)

(2

x − 2

)

·(

x − 3

x2 − x − 2

)

= 0; 1.11) x4 − 4x3 + 2x2 + 4x − 3 = 0.

4.9. Aplicaciones

Ejemplo 1.- Se sabe que dos obreros hacen un trabajo de manera conjunta 4 horas. Si cada

uno trabajara solo el segundo obrero tarda 2 horas mas que el primero. ¿Cuanto tardarıa cada

obrero si tuviese que realizar el trabajo solo?

Solucion: Definimos la variable

x = tiempo que tarda el primer obrero todo el trabajo haciendolo solo. Entonces

x + 2 = tiempo que tarda el segundo obrero haciendo el trabajo solo.

Podemos pensar ahora el problema como la cantidad de trabajo que hace cada uno por hora.

El primer obrero realiza1

xfraccion del trabajo por hora

4

x + 2fraccion del trabajo por 4

horas.

Como cada uno trabajo 4 horas, el aporte del tiempo completo de esto dos trabajadores da

el trabajo completo esto es.

4

x+

4

x + 2= 1

4.9. APLICACIONES 103

Esta es una ecuacion racional. Se multiplica m.c.m. de los denominadores. Trasformandose en

la ecuacion

4(x + 2) + 4x = x2 + 2x

La cual es una ecuacion de segundo grado. La solucion positiva da x = 3+√

17. Ası que el primer

trabajador hace el trabajo solo en aproximadamente 6,12 horas y el segundo en 8,12 horas.

Ejemplo 2.- Se desea instalar un cable desde un punto A en la orilla de un rıo a otro punto B

del otro lado del rıo 100 metros mas abajo. El cable que va por debajo del rıo cae en un punto x

metros mas alla del punto A como muestra el dibujo ¿como sabe ser tendido el cable para usar

exactamente los 120 metros, si el ancho del rıo es 30m ?

Solucion:

A

A’ x B

30m.

100

Observe que

Metros de Cable submarino + metros de cable aereo = 120

Recuerde que

x = numero de metros A’ al punto donde cae el cable submarino. El cable aereo va del punto

x al punto B.

La cantidad de metros aereos de B al punto x es 100 − x

El cable submarino va del punto A al punto x. Podemos usar Pitagoras para calcular la

cantidad de metros de cable submarino, pues el segmento Ax es la hipotenusa del triangulo

rectangulo AA′x.


Recordemos Pitagoras: h2 = c21 + c2

2. En nuestro caso c1 = 30 y c2 = x. Ası sustituyendo y

despejando en la ecuacion de Pitagoras obtenemos.

La cantidad de metros de cable submarinos es h =√

900 + x2.

Sustituyendo en la anterior tenemos:

√

900 + x2 + (100 − x) = 120

A

A’

x

30m.

Esta es una ecuacion con radicales, la cual resolvemos rapidamente, primero dejando solo el

radical.

√900 + x2 = 20 + x

(√

900 + x2)2 = (20 + x)2

900 + x2 = 400 + 40x + x2

500 = 40x

x = 12, 5m.

Se concluye entonces que el cable submarino debe ser tendido en el otro lado del rıo a 12,5

metros del punto A’.

Ejemplo 3.= Se estima que si en un terreno se siembran 100 matas de alcachofas la produccion

por mata sera de 80UM al ano y que por cada mata adicional que se siembre la produccion por

mata disminuira en 1.5UM. ¿cuantas matas deberan plantarse a fin de tener unos ingresos de

6000UM anuales.?


Solucion:

Una variable que ayuda a plantear una ecuacion conveniente esta dada por

x =numero de matas adicionales a sembrar

El ingreso en este caso lo podemos expresar como:

Ingreso=(N◦ de matas a sembrar)x(produccion por mata)

Podemos expresar cada uno de estos factores en terminos de la variable x.

N◦ de matas a sembrar = 100 + x

Produccion por mata = 80 − 1.5x

La igualdad a plantear en este caso.

Ingreso = 6000

Sustituyendo el ingreso en terminos de la variable x queda:

(100 + x)(80 − 1.5x) = 6000

8000 − 150x + 80x − 1.5x2 = 6000

1.5x2 + 70x − 2000 = 0

x =−70 ±

√702 − 4 · 15 · 2000

3

x =−70 ± 130

3

La unica solucion positivas es x = 20. recordemos que x es el numero de matas adicionales a

sembrar conclusion. Deberan sembrarse 120 matas a fin de tener unos ingresos de 6000UM.

PROBLEMAS GENERALES


1. Se desea instalar un cable desde un punto A en la orilla de un rıo a otro punto B del otro

lado del rıo 200 metros mas abajo. El ancho del rıo es 30m. El cable que va por debajo del

rıo cae en un punto x metros alla del punto A como muestra el dibujo.

A

A’ x B

30m.

200

El precio del metro de cable submarino es de 3,6UM y el aereo 2UM ¿como debe ser tendido

el cable para gastar exactamente los 500 UM? (Res: debe caer a 4,64 metros debajo de A

o 40 metros).

2. Una malla de 100 metros lineales se desea cortar en dos trozos que se usaran parta cercar

dos terrenos cuadrados separados ¿como deber ser cortado el alambre para que un terreno

tenga el doble del area del otro? (Ayuda: Si el lado del cuadrado de area menor es x, el

de area mayor es√

2x)

Resp. El cuadrado pequeno necesita 1000(√

2 − 1)m.

3. Un terreno rectangular tiene area de 1000m2 y su diagonal 50m ¿cuales son las dimensiones

del terreno? Sug. La altura h, puede ser expresado en terminos de la base, b, h = 1000/b

(Resp. 10√

5 × 20√

5m).

4. Se tiene dos bases a una distancia la una a la otra de 50km, las cuales corren paralelas a

un rıo de 20km de ancho. Del otro lado del rıo se quiere establecer un centro de control de

tal manera que la distancia del centro de control a la base A sea el doble que del centro a

la base B.


A B

Base

20

¿Donde se debe situar el centro de control? (Resp. A 40km. De la base A).

5. Un aserradero quiere cortar vigas rectangulares de un tronco con 40cm de diametro de tal

manera que el area de la seccion transversal de la viga sea de 768cm2 ¿Cuales deben ser

las dimensiones de la viga? (Sug. La altura h, de la viga puede ser expresado en terminos

de la base, b, de la viga h = 768/b.) (Resp. 24 × 32cm2).

6. Repita el problema anterior cuando se necesita vigas de 800cm2.

(Resp. 20√

2 × 20√

2).

7. Repita el problema 5) cuando se necesita vigas de 900cm2. (Resp. No tiene solucion).

8. El area de la superficie de una caja de base cuadrada esta dada por A = 2x2 + 4x − h. Si

se quiere construir una caja con 24cm2 de superficie y una altura de 3cm, ¿Como debe ser

escogido las dimensiones de la base? (Resp.√

21 − 3cm).

9. Dos tuberıas llenan un tanque en 2 horas. Si solo estuviera trabajando la primera tuberıa

necesitarıa 3 horas mas que usando solo la segunda tuberıa. ¿Cuanto tiempo demorarıa

cada tuberıa en llenar ellas solas el tanque? (Resp, 3 y 6 horas).

10. En un tanque existen dos tuberıas. Si solo se usa la primera tuberıa llenarıa el tanque en

6 horas. La segunda necesitarıa 3 horas trabajando ella sola. ¿Cuanto tiempo demorarıa

las dos tuberıas en llenar conjuntamente el tanque? (Resp. 2 horas).

11. Se quiere disponer de un terrena rectangular de 500m2 dentro de un terreno triangular de

base 40 y altura 30 metros, como muestra el dibujo.


300 metroscuadrados

40mt.

30m

t.

Encuentre las dimensiones del terreno. Sug. Use triangulos semejantes. (Resp. 20m la base

y 15m. la altura).

12. Un tanque de agua tiene forma cubica. El tanque se vacıa en una hora, a un promedio de

100lts/seg.

¿Cuales son las dimensiones del cubo? Resp. Cada lado mide 100 · 3√

360cm.

13. Se va a realizar parcelamientps de terrenos rectangulares de 1200m2 todos con iguales

dimensiones. Si se quiere que el ancho sea tres veces la profundidad, como deben ser

escogidas las dimensiones de de los terrenos?

(Resp. 20m. de ancho ×20/3m. de profundidad).

14. El volumen de un cilindro es: V = π · r2h. Despejar

Problemas de Ciencias Naturales

1. La temperatura t, en grados centıgrados, a la cual hierve el agua se relaciona con la altitud,

h, en metros sobre el nivel del mar, mediante la formula

h = 1000(100 − t) + 580(100 − t)2

¿A que temperatura hierve el agua a 5000 metros sobre el nivel del mar?


2. La sensacion termica por efecto del viento es aproximada en ocasiones por la siguiente

formula.

WC = 33 + (T − 33)(0.474 + 0.24√

v − 0.0126v)

Donde t es la temperatura en ◦C v es la velocidad del viento en Km/h.

Si WC = 0◦ y la temperatura del aira es 8◦C, ¿Cual la velocidad del viento?

3. El agua cubre el 70.8%, se la superficie del planeta. Si la superficie de la Tierra es 5 · 16×108Km2. Calcule aproximadamente la superficie de la Tierra, 3.61 × 108Km2.

4. La densidad de la atmosfera de la Tierra es aproximadamente

D = 1225 − (1, 12 × 10−4)h + (3, 24 × l0−9)h2 en Kg/m3.

¿Cual es la altura de la atmosfera aproximadamente si la densidad del aire es 0,75kg/m3?

5. La temperatura T, en ◦C, a la cual hierve el agua se relaciona con la altitud, h, en metros

sobre el nivel del mar, mediante la formula

h = 1000(100 − T ) + 580(100 − T )2

a) ¿A que altura hierve el agua a una temperatura de 98◦C?

b) ¿A que temperatura hierve el agua en el pico Bolıvar?

6. “El punto de rocıo o temperatura de rocıo es la temperatura a la que empieza a

condensar el vapor de agua contenido en el aire, produciendo rocıo, neblina o, en caso de

que la temperatura sea lo suficientemente baja, escarcha.

Para una masa dada de aire, que contiene una cantidad dada de vapor de agua (humedad

absoluta), se dice que la humedad relativa es la proporcion de vapor contenida en relacion


a la necesaria para llegar al punto de saturacion, expresada en porcentaje. Cuando el aire

se satura (humedad relativa igual al 100%) se llega al punto de rocıo.

Para el calculo se puede utilizar esta formula:

Hr = 100

(112 − 0, 1T + Pr

112 + 0, 9T

)8

Pr = Punto de rocıo.

T = Temperatura en grados ◦Ceisius

Hr = Humedad relativa. “De Wikipedia

Dada la ecuacion de arriba, despejar Pr.

7. La velocidad a la que viaja el agua en un rıo se la puede determinar colocando un codo en

la corriente y determinando la altura que alcanza. La ecuacion que relaciona la altura h

(en cm) que alcanza con un codo de 10cm de alto y la velocidad (cm/seg) esta dada por

v2 = 1960(h + 10)

a) Si h = 6. Determine la velocidad de la corriente.

b) Despeje h en funcion de v

8. En una cierta ciudad ha estado aumentando la contaminacion. La ecuacion

C = 680t3/2 + 12000 partes por millon, predice la contaminacion promedio en el tiempo

t medido en anos despues del ano 2000. ¿Cuando la contaminacion promedio alcanzara el

nivel de 16.000 partes por millon?

Problemas en Ciencias Sociales

1. La poblacion de cierto paıs se estima por la formula: Ct = 10− 6

t − 1millones de habitantes

dentro t anos. ¿Cuando la poblacion tendra 18 millones de habitantes?. ¿En que ano. se

espera que la poblacion aumente 500.000 habitantes? (b dentro de 2 anos).


2. El modelo de crecimiento de una determinada poblacion P se ha estimado por medio de

P = 18 +√

2t + 1 miles de habitantes a partir del presente ano, ¿Cuando la poblacion

tendra 21.000 habitantes? (Resp. dentro de 4 anos).

3. Un modelos de crecimiento poblacional asta dado por.

Pn = P0(1 + r)n

Donde Pn es el tamano de la poblacion dentro de n, P0 la poblacion y r la tasa de

crecimiento anual. Despeje n.

4. El modelo de crecimiento de una determinada poblacion P se ha estimado por medio de

P = 18+√

2t + 1 miles de habitantes. ¿Cuando la poblacion tendra 21.000 habitantes? (4

anos)

mas aplicaciones

1) Se estima que si en una hectarea se siembra 60 naranjos la produccion por arbol sera de

450 naranjas anuales y que por cada arbol adicional que se siembre la produccion por arbol

disminuira en 5 unidades. ¿Cuantos arboles debera plantearse por hectarea a fin de tener una

produccion de 28000 naranjas anuales? (70 o 80 naranjos).

Ejercicios Adicionales

Resuelva la ecuacion:

1.1) 2x +√

2x − 4 − 4 = 0; 1.2)3√

x2 − 3√

x − 6 = 0; 1.3) 3x−4 + 2x−2 − 1 = 0;

1.4) (y − 3)2 − (y − 3) = 0; 1.5) (3x3 + 24)(√

2x2 + 1 + 6)(2x2 − 32) = 0;

1.6)1

x2 − 2x− 2

x=

1

x − 2; 1.7)

1

(x + 2)2− 3

x + 2+ 2 = 0;

1.8) (z2 − 4)2 − 2(z2 − 4)3 = 0; 1.9) z4(z3 − 8) − 2z(z3 − 8)4 = 0;


1.10)x − 3

x − 1− 2

x+

2

x2 − x= 0; 1.11) t4 + 2t3 − 7t2 − 20t − 12 = 0;

1.12)

√8x + 1 − 3

x − 7= 0; 1.13) (2x3 − 54)

(x − 1

x2 − 4

)

(√

x2 + 5 − 3) = 0;

1.14) (2x3 − 8x)(x3 + 3x2 − x − 3) = 0; 1.15) (8x3 − 2x)(x2 + 1)(4x3 + 1) = 0;

1.16)3

x + 1= 0; 1.17) (2x3 − 54)(x

√x + 2 − 4)

(2x2 + 50

x − 3

)

= 0.

5Desigualdades

5.1. Desigualdades Lineales

En esta seccion trataremos las desigualdades lineales en una variable. Ellas son las que se

pueden escribir en la forma ax + b > 0. (≥) donde a y b son constantes, (a 6= 0). Resolver una

desigualdad es conseguir todos los valores x que satisfacen esta relacion, el conjunto solucion

suele ser un intervalo.

Las desigualdades lineales surgen del planteamiento de determinados problemas, como por

ejemplo, en una industria ¿cuantas unidades debera producirse de un artıculo si se desea ten-

er utilidades semanales mayores a 10.000 UM?. Tambien son importantes en la resolucion de

determinados planteamientos matematicos.

Repasemos algunos conceptos y resultados que nos seran de utilidad para puntualizar la

resolucion de desigualdades lineales.

Sean a y b dos numeros reales.

Al situarlos en la recta real, si a esta a la izquier-da de b entonces decimos que a es menor que bo equivalentemente podemos decir tambien queb es mayor que a.

a b

b > a

a > b

El sımbolo ≤ significa menor o igual, en una expresion como a ≤ b significa que a < b o a = b.

El sımbolo ≥ tiene un significado equivalente.

113

114 CAPITULO 5. DESIGUALDADES

Podemos decir: −3 < −1, 1 < 3,− 1 < 0 y 1 > 0. La expresion a > 0 esequivalente a decir que a es positivo.

-3 -1 0 1 3

La expresion a < 0 es equivalente a decir que a es

Recordemos que uno de los objetivos de esta seccion es resolver desigualdades lineales con una

variable. Es decir encontrar aquellos valores de x que satisfacen la desigualdad. Hay desigualdades

lineales cuya solucion

1) x > a. La solucion es el intervalo (a,∞)

a

2) x < a. La solucion es el intervalo(−∞, a)

a

3) x ≥ a. La solucion es el intervalo [a,∞)

a

4) x ≤ a. La solucion es el intervalo(−∞, a]

a

Remarcarnos que el corchete ] significa que ese extremo esta en el conjunto solucion y el

parentesis ) no esta.

La expresion a < x < b quiere decir quea < x y x < b. Observe que son dos de-sigualdades que se tienen que cumplir si-multaneamente.

a

b

El conjunto de las x que satisfacen esta proposicion es el intervalo abierto (a, b).

Si tenemos una expresion como por ejemplo

−3 < x < 1,

5.1. DESIGUALDADES LINEALES 115

normalmente la leemos como: x esta entre −3 y 1.

Ejercicio de desarrollo.- Completar los espacios en blanco a fin que el texto tenga concor-

dancia.

La expresion a b quiere decir que

a x x b.

El conjunto de las x que satisfacen esta proposicion es el intervalo [a, b].

Observacion: Cuando escribimos un intervalo debemos asegurarnos que el numero mayor es el

extremo derecho del intervalo y el menor es el extremo izquierdo

Remarquemos lo siguiente:

Definicion 5.1 Una desigualdad lineal en la variable x es una proposicion que puede ser escrita

de la forma cx+b > 0, (o bien ≥) donde c y b son constantes con c 6= 0. Resolver una desigualdad

es conseguir todos los valores x que satisfacen esta relacion.

La manera para resolver desigualdades lineales es llevarla a otra equivalente de la forma x > a

o cualquiera de las otras tres formas cuya solucion es evidente: x < a, x ≥ a o x ≤ a. Para

llevarla a alguna de estas tres formas debemos tener en cuenta ciertas reglas que enunciamos a

continuacion

Regla 1.- Cuando un numero real c se suma o se resta a ambos lados de una desigualdad, el

sentido de la desigualdad no se altera:

Si a < b entonces a + c < b + c y a − c < b − c

Ejemplo 1.-

a) 2 < 9, entonces 2 + 4 < 9 + 4.

b) La desigualdad 3x+1 > 2 es equivalente a 3x+1−1 > 2−1. Observe que esta expresion

es equivalente a su vez a 3x > 2 − 1. Normalmente esta regla la usamos como se indica:


Aplicacion de la regla 1.- Si un numero esta sumando en un lado de la desigualdad pasa al otro

lado restando sin cambiar el sentido de la desigualdad. Similarmente si un numero esta restando

pasa al otro lado sumando sin cambiar el sentido de la desigualdad.

Regla 2.- Cuando multiplicamos o dividimos por un numero real c positivo a ambos lados de

una desigualdad, el sentido de la desigualdad no se altera:

Si a < b entonces ac < bc ya

c<

b

c

Cuando multiplicamos o dividimos por un numero real c negativo a ambos lados de una de-

sigualdad, el sentido de la desigualdad se cambia:

Si a > b entonces ac > bc ya

c>

b

c

Ejemplo 2.-

a) −5 < 4 por la regla 2 tenemos que efectivamente−5

−5>

4

−5, esto es 1 > −4

5. Tambien

−5(−2) > 4(−2) : es decir 10 > −8, lo cual sabemos es cierto y no la desigualdad en el

otro sentido.

b) La desigualdad −3x < 1 es equivalente3x

−3>

1

−3, es decir x > defrac13

c) La desigualdadx

2> 4 es equivalente a 2

x

2> 2 · 4, es decir x > 8.

Aplicacion de la regla 2.- Si un numero positivo esta multiplicando (dividiendo) un lado de la

desigualdad pasa al otro lado dividiendo (multiplicando) sin cambiar el sentido de la desigualdad.

Si un numero NEGATIVO esta MULTIPLICANDO (dividiendo) un lado de la deisgualdad pasa

al otro lado dividiendo (multiplicando) y el sentido de la desigualdad SE INVIERTE.

Observe como utilizando la regla 2 logramos transformar en el ejemplo 2b y 2c desigualdades

lineales en otras equivalentes cuya soluciones eran evidentes. Veamos ejemplos mas complicados

para resolver desigualdades lineales. Nuestra tecnica se traduce en dejar sola la variable x.

Ejemplo 3.- Resolver 3(x − 1) ≤ 9

5.1. DESIGUALDADES LINEALES 117

Solucion:

Afirmativa 1: Una estrategia a emplear es resolver primero los parentisis distribuyendo el 3.

3x − 3 ≤ 9.

Luego dejamos los terminos en x en un lado y las constantes en el otro lado. El 3 esta restando

pasa sumando sin alterar el sentido de la desigualdad

3x ≤ 9 + 3

Ahora 3 esta multiplicando, pasa dividiendo sin alterar el sentido de la desigualdad

x ≤ 12

3

x ≤ 4.

Expresamos la solucion en terminos de intervalos y geometricamente: Conjunto solucion (−∞, 4]

4

Alternativa 2: Esta pretende iustrar que los procedimientos analıticos sugeridos en el despeje

no son la unica alternativa para despejar la variable.

Como 3 esta multiplicando todo el miembro izquierdo entonces pasa dividiendo sin alterar

el sentido de la desigualdad

x − 1 ≤ 3

1 esta restando entonces pasa sumando sin alterar el sentido de la desigualdad

x ≤ 3 + 1

x ≤ 4.


Esta claro que el conjunto solucion concuerda con el calculado con el anteriormente, este el todos

los numeros menores o iguales a 4.

Ejemplo 4.- Resolver −3x − 1 > 4. Dar la solucion por intervalos y geometricamente.

Solucion: 1 esta restando pasa sumando:

−3x > 5

−3 esta multiplicando, pasa dividiendo y por ser un numero negativo, invierte el sentido de la

desigualdad:

x < −5

3

Ası la solucion de esta desigualdad es el intervalo

(

−∞,−5

3

)

, representada geometricamente

por:

−5

3

Ejemplo 5.- Resolver 4 − 3(x − 2) ≥ 2(x + 3).

Solucion: Resolvemos primero los parentesis y luego agrupamos los terminos en x de un lado y

luego las constantes del otro lado:

4 − 3x + 6 ≤ 2x + 6

−3x + 10 ≤ 2x + 6

10 − 6 ≤ 2x + 3x

4 ≤ 5x

4

5≤ x.

5.2. DESIGUALDADES TRIVIALES 119

Esta expresion la podemos leer alternativamente como x ≤ 4

5. La solucion es

(

−∞,4

5

]

.

Ejercicio de desarrollo.- Resolver 4− 3

2(x−1) > 2. Dar la solucion por intervalos y geometri-

camente.

5.2. Desigualdades Triviales

Algunas desigualdades triviales tienen como solucion el conjunto ∅ o bien toda la recta real

R.

Veamos los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1.- Resolver la desiguadad1

2(1 − 2x) − 3 ≤ 2 − x

Solucion: Se recomienda en caso de desigualdades con fracciones. Mutiplicar por el m.c.m. de

los denominadores ambos lados de la desigualdad a fin de evitar trabajar con fracciones. En este

caso el m.c.m. de los denominadores es 2

2

[1

2(1 − 2x) − 3

]

≤ 2[2 − x] Se distribuye el 2 y luego se simplifica.

(1 − 2x) − 6 ≤ 4 − 2x

−5 ≤ 4

Esta desigualdad se cumple para cualquier valor de x. Por tanto el conjunto solucion es R.

Ejemplo 2.- Resolver la deisgualdad 5 − 2x ≤ 2(2 − x)

Solucion: Esta desigualdad es equivalente a

5 − 2x ≤ 4 − 2x

Esta ultima es equivalente a

5 ≤ 4

Como no existe ningun x que satisfaga esta desigualdad entonces el conjunto solucion es el vacıo

∅. Alternativamente se dice que la desigualdad no tiene solucion.


Ejercicio de desarrollo.- Resolver

a)x − 3

4− 1 − x

3≥ 1

b)3x − 1

3+

1 − 2x

2≥ 0

c) 2

(x + 1

2− 1

)

≥ x

5.3. Aplicacion de desigualdades en el Calculo

Sera importante posteriormente que el estudiante determine para determinadas expresiones

algebraicas cuales son los valores de la variable que hacen que la expresion este bien definida y

sea un numero real.

Ejemplo 1.- Determine para cada expresion algebraica cuales son los valores de la variable

que hacen que la expresion este bien definida y sea un numero real.

a)√

3 − 2x; b)2

4√

3x + 6Solucion:

a) Para que la expresion√

3 − 2x sea un numero real el radicando debe ser mayor o igual a 0.

En notacion matematica esto es:

3 − 2x ≥ 0

Esto es una desigualdad lineal la cual resolvemos:

−2x ≥ −3

x ≤ −3

−2

x ≤ 3

2

En conclusion√

3 − 2x esta bien definida y es un numero real en

(

−∞,3

2

]

.

5.4. DESIGUALDADES DE LA FORMA A < CX + D < B. 121

b) Tenemos tambien una raız con ındice par. Ası que el radicando debe ser mayor o igual a cero

a fin que sea un numero real, pero no olvidemos que no podemos dividir entre 0, (la division

entre 0 no esta definida). 4√

3x + 6 = 0, si y solo si 3x + 6 = 0.

Ası pues, la expresion2

4√

3x + 6esta bien definida y es un numero real si y solo si para

aquellos valores x que satisfacen la desigualdad: 3x + 6 > 0, cuya solucion es (−2,∞).

En conclusion:2

4√

3x + 6esta bien definida y es un numero real en (−2,∞).

5.4. Desigualdades de la forma a < cx + d < b.

Ya hemos visto que este tipo de expresion es equivalente a:

a < cx + d y cx + d < b

Se pueden resolver ambas desigualdades y luego determinar la parte comun de ambos conjuntos

solucion. Pero en general, es preferible resolverla simultaneamente. Ambos procedimientos lo

ilustraremos en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 1.- Resolver la desigualdad 7 ≤ 2(3 − x) ≤ 9

Solucion:

Alternativa 1: (Resolver por separado y luego determinar la parte comun de los conjuntos

solucion)

Esta doble desigualdad es equivalente a

7 ≤ 2(3 − x) y 2(3 − x) ≤ 9

Se resuelve cada una

El conjunto solucion es la interseccion de ambas soluciones. Graficamente es la parte comun

de los conjuntos solucion:


−1

2

−3

2

−3

2−

1

2

−1

2≥ x

x ≤ −3

2

Conjunto solucion

de 7 ≤ 2(3 − x) ≤ 9

Alternativa 2: (Se trabaja simultaneamente las dos desigualdades)

Despejaremos la x de la expresion del medio, optamos por distribuir el 2.

7 ≤ 2(3 − x) ≤ 9 Resolvemos los parentesis

7 ≤ 6 − 2x ≤ 9 Se resta 6 a cada miembro de las desigualdades

7 − 6 ≤ 6 − 2x − 6 ≤ 9 − 6

1 ≤ −2x ≤ 3 Dividimos cada miembro entre −2

−1

2≥ x ≥ −3

2Recuerde que el sentido de las desigualdades se invierte

Podemos reescribir estas desigualdades de derecha a izquierda como −3

2≤ x ≤ −1

2.

Conviene recordar que esta desigualdad se lee: x esta entre −3

2y −1

2. Ası el conjunto solucion

intervalo cerrado

[

−3

2,−1

2

]

. La solucion geometrica es

−3

2−

1

2

Ejercicio de desarrollo.- Resolver 3 <2

3− 2x < 5

Aplicaciones

Ciencias Naturales


Ejemplo 1.- Las especificaciones para realizar unas pruebas a una muestra de campo es que

debe ser mantenida entre los 34◦F y 60◦F ¿ Cual es el rango de temperatura en centıgrado que

la muestra debe ser mantenida? C =5

9(F − 32)

Solucion: Las especificaciones escritas en terminos de desigualdad son que

34 ≤ F ≤ 60

La idea es expresar la temperatura en Fahrenheit en funcion de la de centıgrados y sustituirla

en la expresion de arriba. Esta esta dada por

F =9

5C + 32

Ası que sustituyendo queda:

34 ≤ 9

5C + 32 ≤ 60

Esta es la desigualdad que resolveremos:

34 − 32 ≤ 9

5C + 32 − 32 ≤ 60 − 32

2 ≤ 9

5C ≤ 28

10 ≤ 9C ≤ 140

10

9≤ C ≤ 140

9

De interes General

Ejemplo 2.- Una companıa de telefonos ofrece dos planes para llamadas nacionales donde el

valor del minuto es de 50 UM. El primer plan vale 13.000 UM al mes mas el valor de los minutos

consumidos. El segundo plan vale 26000 UM al mes y le rebaja 25% al valor de los minutos

consumidos ¿ A que tipo de clientes le conviene el segundo plan?


Solucion: Definimos nuestra variable de interes como:

x numero de minutos consumidos al mes.

Debemos expresar el valor de cada plan en terminos de x.

Es claro que:

El costo del plan 1 = 13.000 + 50x

El plan 2 tiene un 25% de descuento en el valor de los minutos. Esto es

50x − 0,25 · 50x = 0,75 · 50x = 37,5x. Ası, El costo del plan 2 = 26.000 + 37,5x

Una vez que se ha logrado expresar ambos planes en terminos de x planteamos nuestra

pregunta

Costo del plan 2 > Costo del plan I

Sustituimos ahora en la desigualdad planteada

Costo del plan 2 < Costo del plan I

26.000 + 37,5 < 13.000 + 50x

13.000 < 12,5x

1040 < x

damos ahora la respuesta a la pregunta:

Un cliente con un mayor consumo mayor a los 1040 minutos al mes le conviene mas el plan

2

Ejercicios

1) Resuelva las siguientes desigualdades:

1.1) 2x + 1 > 5; 1.2) 2x + 1 ≤ 2 − x; 1.3) −1

2x + 1 ≥ −3

2; 1.4) 4 − 3x > 4;

1.5)1

3(1 − 2x) < 4; 1.6) 2(3 − x) ≤ 5 − 4x; 1.7)

x − 3

3− 2 < 5x;


1.8) −3(x − 1) > 4(1 − x); 1.9) 4x − 1

3< 5 − 2(3 − x); 1.10)

1

3− 2t <

5 + t

2;

1.11)3

2≥ x − 2 ≥ −3

2; 1.12) 4 ≥ 1 − 3x ≥ 2; 1.13) 2 <

1

3− 2x < 5;

1.14) 2 ≤ 3(3 − 2x) ≤ 5; 1.15) 5 >−3x − 1

2> 4; 1.16) 1 ≤ 1

3− 2x < 3;

1.17)1

4− t

3<

5 + t

2; 1.18) 5 − 2t ≥ 2 − 4t

2; 1.19)

6x − 1

3− 2 > 2x

2) Resuelva las siguientes desigualdades

2.1) 1 < 2 − x < 2x; 2.2) 1 ≤ x − 2 ≤ 3x − 4;

2.3) 3x − 1 ≥ x − 2 ≥ −5; 2.4) 2x ≤ 3x − 1 ≤ x + 3.

3) Determine para cada expresion algebraica cuales son los valores de la variable que hacen que

la expresion este bien definida y sea un numero real.

3.1)

√

1

2+ 3x; 3.2) 4

√

1 − 3x

2; 3.3)

2√1 − x

; 3.4) 3√

1 + 3x

Problema de Ciencias Naturales

1) Se encontro que la relacion entre la temperatura T (en grados centıgrados) y la profundidad

x (medidos en kilometros) esta dada por la siguiente relacion:

T = 30 + 25(x − 3)

¿A que profundidad la temperatura estara entre 100 y 200 grados centıgrados?

2) Se encontro que la relacion entre la temperatura T (en grados centıgrados) y la altura h

(medidos en metros) esta dada por la siguiente relacion:

9

5T = 40 − 0,0056h


¿ A que altura la temperatura estara 0◦ y 10◦ grados centıgrados?

De Interes General

1) Suponga que una companıa le ofrece en ventas y que usted elija entre dos metodos para

determinar su salario. Un metodo paga 12.600 UM mas un bono de 2% sobre sus ventas anuales.

El otro metodo paga una sola comision del 8% sobre sus ventas. ¿Para que nivel de ventas anuales

es mejor seleccionar el primer metodo? (Resp. Para ventas menores de 210.000)

5.5. Desigualdades Cuadraticas

Una desigualdad en la variable cuadratica cuando la podemos escribir en la forma ax2 +bx+

c > 0(≥ 0), en donde a, b y c son constantes con a 6= 0.

Para resolver esta desigualdad, es decir encontrar las x′s que la satisfacen, escribimos el lado

izquierdo como el producto de dos expresiones lineales, esto es, factorizamos y examinamos el

signo de los factores en los intervalos definidos por las raıces de los factores.

Observe que resolver una desigualdad del tipo

(x − r1)(x − r2) > 0

lo podemos interpretar como encontrar los valores de x tales que el producto de los signos de

los factores es positivo.

Por otro lado (x − r1) cambia de signo solo en r1. Efectivamente x − r1 > 0 (lease (x − r1)

positivos) si y solo si x > r1. Ası que los unicos candidatos a cambio de signo en (x− r1)(x− r2)

son la raıces: r1, r2. Estos dos puntos definen tras intervalos en la recta real donde los factores

no cambian de signo.

r1 r2

Intervalo Intervalo Intervalo(−∞, r1) (r1, r2) (r2,+∞)

Es suficiente tomar un valor de prueba dentro de cada intervalo para averiguar el signo de

5.5. DESIGUALDADES CUADRATICAS 127

cada factor en intervalo. Luego se multiplican los signos de los factores para obtener el signo de

(x − r1)(x − r2). Finalmente se averigua donde el producto de signo dio positivo.

Ejemplo 1.- Resolver la siguiente desigualdad cuadratica x2 − 3x − 4 > 0.

Solucion: Al tener la desigualdad en su forma canonica podemos factorizar como:

(x − 4)(x + 1).

−1 4

()() ()() ()()

Colocamos las raıces de los factores enla recta real; en este caso −1 y 4. Estosnumeros particionan la recta real en tresintervalos: (−∞,−1), (−1, 4) y (4,∞). Encada uno de ellos el signo de cada fcatorsera el mismo. Colocaremos encima de ca-da intervalo dos pares de parentesis y elsigno del primer factor dentro del primerpar de parentesis y el signo del segundofactor dentro del segundo factor.

−1 4

(−)(−) (−)(+) (+)(+)

Entonces para determinar el signo de cadafactor en cada intervalo, usaremos valoresde prueba pertenecientes a cada intervalo.Para el intervalo (−∞,−1), usaremos co-mo valor de prueba x = −10.x+1 = −9, pero solo nos interesa el signo“-”, igualmente x− 4 = −6, solo colocare-mos el “-”.En el intervalo (−1, 4) podemos tomar co-mo valor de prueba al 0, en este caso x+1da “+”, y x − 4 da “-”.

−1 4

(−) (+)

(−)(−) (−)(+) (+)(+)

(+)

Debajo de cada intervalo colocaremos unpar de parentesis y dentro el signo resul-tante de la multiplicacion de signos de losfactores en el intervalo respectivo.La solucion a nuestra pregunta se basa enque intervalos el producto es estrictamentepositivo, ası concluimos que la solucion esel conjunto(−∞,−1) ∪ (4,∞).

Concretemos los pasos a seguir para resolver desigualdades cuadraticas.


1.- Escribir la desigualdad en su forma canonica: ax2 + bx + c > 0; (< 0; ≤ 0 o ≥ 0).

2.- Factorizar el lado izquierdo. En caso que no se pueda la solucion es trivial: R o ∅.

3.- Colocar las raıces de los factores en la recta real

4.- Colocar dos pares de parentesis encima de cada intervalo establecido por las raıces.

5.- Tomar valores de prueba, evaluar los factores en los valores de prueba y colocar el signo

resultante en el parentesis respectivo del factor.

6.- Debajo de cada intervalo definido por los factores colocar un par de parentesis, realizar

la multiplicacion de signo de arriba y colocar el resultado en el parentesis de abajo.

7.- Responder la pregunta. Por ejemplo si la desigualdad es < 0, colocar los intervalos en

donde el signo dio negativo. Analogamente en los demas casos.

Ejemplo 2.- Resolver la desigualdad 1 ≥ 2x2 + x.

Solucion:

Paso 1: −2x2 − x + 1 ≥ 0.

Paso 2: (Factorizar): Vamos a factorizar usando el metodo de las raıces. Usted puede chequear

que las raıces de −2x2 − x + l = 0 son −1 y 1/2. Ası

−2x2 − x + 1 = −2(x − 1/2)(x + 1).

Vamos a escribir nuestro polinomio como el producto de dos factores. El −2 lo distribuimos

en (x − 1/2), para obtener finalmente:

−2x2 − x + 1 = (−2x + 1)(x + 1)

(Intente de factorizar por Ruffini).

Paso 3: Colocar las raıces de los factores en la recta real. Estas son −1 y 1/2

Paso 4: Colocar dos pares de parentesis encima de cada intervalo establecido por las raıces

Paso 5: Evaluar cada uno de los factores en los valores de prueba. En nuestro caso (l − 2x)

es el primer factor y (x + 1) segundo factor. Como valores de prueba se pueden tomar −2, 0 y

1 respectivamente.

5.6. DESIGUALDADES CUADRATICAS TRIVIALES 129

−1

signo (1 − 2x)× signo (x + 1)

1/2

signo (1 − 2x)(x + 1)

(+) (−)

(+)(−) (+)(+) (−)(+)

(−)

Paso 6: Colocar el signo resultante de cada multiplicacion

Paso 7: Como nuestra desigualdad, −2x2 − x + 1 ≥ 0, es equivalente a (1 − 2x)(x + 1) ≥ 0,

el conjunto solucion sera el intervalo donde el producto es positivo, este es [−1, 1/2]. Observe

que en este caso se incluye los extremos del intervalo por haber una igualdad en la desigualdad.

Conjunto Solucion = [−1, 1/2]

Comentario: Observe como efectivamente (1 − 2x) cambia de signo en su raız:1

2y (x + 1)

cambia de signo en su raız: −1.

Ejercicio de desarrollo.- Resolver la desigualdad x2 ≤ 4x.

Observacion importante: Puede ahorrarse trabajo si toma en cuenta que un factor cambia

de signo solo en su raız.

5.6. Desigualdades Cuadraticas Triviales

Algunas desigualdades resultan triviales. Un tipo de ellas es cuando la expresion cuadratica

no tiene raıces reales y por consiguiente no se puede factorizar.

Ejemplo 1- Resolver la desigualdad 0 ≥ x2 + 1

Solucion: Observe que el lado derecho no se puede factorizar. Es la desigualdad tiene una

solucion trivial: R o ∅. Hay una manera logica para determinar cual conjunto. Como x2 + 1 es

un numero estrictamente positivo, pues es la suma de dos numeros positivos. Ası nunca va a ser

menor que 0. Por tanto la solucion es el conjunto vacıo.

Comentario: 1) x + 1 > 0 tiene como solucion R.

2) Ya sabemos que si no se puede factorizar como producto de dos polinomios de segundo

grado, entonces la solucion es R o ∅. Una manera de determinar cual de las dos soluciones es


consiste en tomar un valor de prueba: x0. Si x0 satisface la desigualdad entonces la solucion es

R, (no puede ser vacıo ∅). Si x0 no satisface la desigualdad entonces la solucion es ∅ (no puede

ser R).

Ejemplo 2.- Resolver las siguientes desigualdades

a)x2 + x + l ≤ 0; b) − x2 + 2x − 4 ≤ 0.

Solucion: a) No se puede factorizar. La solucion es trivial. Se toma como valor de prueba 0 y se

evalua en la desigualdad: 02 +0+1 ≤ 0. Como esta desigualdad se satisface entonces la solucion

es R.

b) No se puede factorizar. La solucion es trivial. Se toma como valor de prueba 0 y se evalua

en la desigualdad: −02+2−0−4 ≤ 0. Como esta desigualdad no se satisface entonces la solucion

es ∅.Otro tipo de desigualdad cuadraticas trivial tiene como solucion R − {x0} o {x0}. Son de-

sigualdades que pueden ser escritas en la forma.

a) (x − x0)2 > 0 o

b) (x − x0)2 ≤ 0

Es claro que la solucion de a) es R − {x0} y la de b) la solucion es {x0}.

Ejemplo 3.- Resolver la desigualdad 2x ≤ x2 + 1.

Solucion: Esta desigualdad puede ser escrita en forma canonica como

x2 − 2x + 1 ≤ 0.

Al factorizar tenemos

(x − 1)2 ≤ 0

La unica solucion es cuando se hace 0 el lado izquierdo y ello ocurre cuando x = 1. Remarcamos

que el lado izquierdo por estar elevado al cuadrado es mayor o igual a cero, nunca menor a cero.

Otros tipos de Desigualdades que conducen a Desigualdades Cuadraticas

Otras formas de desigualdades caen en el caso de las desigualdades cuadraticas.


Ejemplo 1- Resolver la desigualdad3x2

x2 + 2≤ 2.

Solucion: Primero tenemos que hacer el lado derecho de la desigualdad 0, para ello pasamos el

2 restando y expresaremos el lado izquierdo en una sola fraccion:

3x2

x2 + 2− 2 ≤ 0

Se realiza la suma de fracciones:

3x2 − 2(x2 + 2)

x2 + 2≤ 0

x2 − 4

x2 + 2≤ 0

El denominador es siempre positivo, ası que el signo depende de x2 − 4. Es decir la desigualdad

es equivalente a x2−4 < 0, Esto es una desigualdad cuadratica a la que le aplicaremos los pasos

dados.

2.- Factorizar el lado izquierdo, como producto de dos factores.

(x − 2)(x + 2) ≤ 0

3.- Colocar las raıces de los factores en la recta real. En este caso −2 y 2

4.- Colocar dos pares de parentesis encima de cada intervalo establecido por las raıces.

5.- Tomar valores de prueba, evaluar los factores en los valores de prueba y colocar el signo

resultante en el parentesis respectivo del factor.

−2 2

signo de (x − 2)(x + 2)

(−) (+)

(−)(−) (−)(+) (+)(+)

(+)

6.- Debajo de cada intervalo definido por los factores colocar un par de parentesis, realizar

la multiplicacion de los signos de arriba y colocar el resultado en el parentesis de abajo.


7.- Como la desigualdad original es equivalente a (x−2)(x+2) ≤ 0. Ası la solucion de nuestra

desigualdad es el intervalo [−2, 2].

Ejercicio de desarrollo.- Resolver las siguientes desigualdades

a)x2 ≤ −2x − 1

b)5x

x2 + 6≤ −1

Resolucion de Desiguladades Polinomicas y Racionales por el metodo de multipli-

cacion de signos.

Se puede extender el metodo vistos a desigualdades polinomicas de mayor potencia, incluso a

desigualdades racionales. Si una desigualdad polinomica puede ser escrita de manera factorizada

como:

A(x − x1)(x − x2) . . . (x − xn) ≥ 0,

se procede de manera analoga como antes.

Se colocan las raıces en la recta real y se toman valores de pruebas a evaluar en cada uno

de los parentesis a fin de conocer el signo de los factores en cada uno de los intervalos definidos

por las raıces, juego se hace la multiplicacion de signos para conocer el signo de producto, para

finalmente conseguir el conjunto solucion en base al sentido de la desigualdad con respecto al

cero.

a( )( ) . . . ( ) a( )( ) . . . ( ) a( )( ) . . . ( )s1 s2 sx s1 s2 sx s1 s2 sx

x1 x2 xx( ) ( ) ( )

Nota: Debe considerar tambien el signo de a

Ejemplo 2.- Resolver la desigualdad x3 − 2x2 < 5x + 6.


Solucion: Recuerde escribirlo en forma canonica, es decir el cero en el lado derecho, no importa

el sentido de la desigualdad

x3 − 2x2 − 5x − 6 < 0

Se factoriza:

(x − 1)(x − 3)(x + 2) < 0.

Se colocan las raıces en la recta real.

( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )

−2 1 3( ) ( ) ( )( )

Signo de (x-1) Signo de (x-3) Signo de (x+2)

Se determina el signo de cada factor en cada intervalo a traves de un valor de prueba dentro

del intervalo. Recuerde que el primer parentesis se deja para el primer factor, el segundo para

el segundo y ası. Posibles valores de prueba para este ejercicio son −3, 0, 2 y 4 para el primer,

segundo, tercer y cuarto intervalo respectivamente. El lector puede chequear.

(−)(−)(−) (−)(−)(+) (+)(+)(+)(+)(−)(+)

−2 1 3(−) (+) (+)(−)

Signo de los factores

Signo del producto

Ası como la desigualdad original es equivalente a (x− 1)(x− 3)(x + 2) < 0, el conjunto solucion

esta dado por la union de los intervalos donde este producto da negativo. Conjunto solucion:


(−∞,−2) ∪ (1, 3).

Veamos un ejemplo de como resolver una desigualdad racional. De nuevo la idea es llevarla

a la formaP

Q> 0, donde p y q son polinomios que se expresan factorizados.

Ejemplo 3.- Resolver la desigualdad 1 ≥ 3

x2 − 1

Solucion: Antes que nada hay que darse cuenta que la expresion no esta definida en −1 y 1

pues la division entre cero no lo esta.

Primero pasamos todo de un solo lado a fin de conseguir el cero sin el lado derecho.

1 − 3

x2 − 1≥ 0

Se realiza la suma de fracciones:

x2 − 4

x2 − 1≥ 0

Se factoriza numerador y denominador

(x − 2)(x + 2)

(x − 1)(x + 1)≥ 0

Ahora colocamos lar raıces de los factores en la recta real y tomamos valores de prueba, el lector

debe darse cuenta como se ha indicado los parentesis en la misma forma que la expresion.

Signo de(x − 2)(x + 2)

(x − 1)(x + 1)

(−)(−)

(−)(−)

(−)(+)

(−)(−)

(+)(+)

(+)(+)

(−)(+)

(+)(+)

(−)(+)

(−)(+)

−2 −1 1 2(+) (−) (+)(−)(+)

Signo de los factores

Signo del producto


Los cırculos de −1 y 1 son para recordarnos que la expresion no esta definida en estos valores.

Como nuestra desigualdad es equivalente a(x − 2)(x + 2)

(x − 1)(x + 1)≥ 0, buscamos los intervalos donde

este producto y cociente de signo es positivo: (−∞,−2]∪ (−1, 1). Observe como se ha suprimido

−1 y 1 en la respuesta.

Conjunto solucion: (−∞,−2] ∪ (−1, 1)

Ejercicio de desarrollo.- Resolver las siguientes desigualdades

a)x3 > (3x + 28)x

b)2x

2x + 1>

x − 1

2x + 1

Ejercicios:

1) Resolver las siguientes inecuaciones:

1.1) x2 + x − 2 > 0; 1.2) x2 + x < 0; 1.3) x2 − 7x + 12 > 0; 1.4) 16x2 ≥ 9x;

1.5) x2 ≤ 16; 1,6) x2 > −2x; 1.7) x(x − 2) > 3; 1.8) 4 − x2 ≥ 0;

1.9) (3 − 5x)(1 − 2x) ≤ 0; 1.10) 2x2 + x − 2 > x2 + 2x; 1.11) x2 − 1 < x − 3;

1.12) x < 2(x + 2)2; 1.13) 16 − 15x ≥ x2; 1.14) 2x2 + 3x − 5 ≤ 0

1.15) x(x + 1) > −1; 1.16)3t + 3

(t + 1)2≤ 1; 1.17) (2 − x)(x − 1) ≤ 1 − x;

1.18) 4x ≤ 2(x + 2)(x − 1); 1.19) 2x2 + 2x − (x2 + x + 6) > 0;

1.20) x2 + x − 2(x2 + 3x) > 0; 1.21) x(x − 4) + 4 ≤ 0;

1.22) (3x − 2)(3x + 2) − (3x + 2)2 ≤ 0

2) Resolver las siguientes inecuaciones:

2.1) x3 + 2x − x − 2 ≥ 0; 2.2) t3 + 3t2 + 2t < 2(t2 + 3t + 2);

2.3) −x3 + 3x − 2 > 0; 2.4)4

3x + 1> 1 − 3x; 2.5)

x

x + 1<

−x

x + 2;


2.6)2t

t2 − 4t + 3≤ t + 1

1 − t; 2.7)

2x + 5

2x2 + x≥ 1

x− 2.

Problemas

1) Se estima que si en una hectarea se siembran 60 naranjos la produccion por arbol sera de

450 naranjas anuales y que por cada arbol adicional que se siembra la produccion por abro

disminuira en 5 unidades ¿Cuantos arboles debera plantarse por hectarea a fin de tener una

produccion de al menos 28000 naranjas anuales? (Entre 70 y 80 naranjos)

2) El porcentaje de sobrevivencia de un cierto tipo de larvas a una temperatura constante T

(grados Celsius) al cabo de una semana es modelado por la formula

P (T ) = −1,42T 2 + 68T − 746 para 20 ≤ T ≤ 30

¿Cuales son los niveles de temperatura en que se consigue mas de un 60% de sobrevivencia?

3) El tamano T de una cosecha depende del nivel de nitrogeno N de acuerdo al siguiente modelo

T (N) =2N

4 + N2. ¿Cuales deben ser los niveles de nitrogeno a fin que la cosecha sea mayor que

0.4?

5.7. Valor Absoluto

Cualquier numero a tiene su representacion en la recta real. El valor absoluto de un numero

representa la distancia del punto a al origen. Observe en el dibujo que la distancia del 3 al origen

es 3 unidades, igualmente la distancia del punto −3 al origen es 3. En notacion, esto es |−3| = 3.

−3 30

3 unidades 3 unidades

Las barras se leen como el valor absoluto de lo que esta dentro de ellas. En el valor absoluto

no importa en que lado de la recta real esta representado el numero. Analıticamente podemos

ver que si a es positivo, es decir esta a la derecha del cero, entonces |a| = a y si esta a la

5.8. ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO 137

izquierda del origen, es decir si a es negativo, entonces el valor absoluto le cambia el signo, esto

es |a| = −a. Tenemos entonces la siguiente definicion

Definicion 5.2 El valor absoluto de un numero real, x, se define como:

|x| =

x, si x ≥ 0

−x, si x < 0

Veamos los siguientes ejemplos

Ejemplo 1.-

a.-

∣∣∣∣

1

2

∣∣∣∣=

1

2

b.- Observe como el valor absoluto a una cantidad positiva la deja igual y a una cantidad

negativa le cambia el signo.

c.- x > 2 entonces |x−2| = x−2, pues x−2 > 0 y ası usamos la primera parte de la definicion.

Visto de otra manera a la expresion que le estamos tomando valor absoluto es de signo

positivo y el valor absoluto lo deja igual.

d.- Si x < 2 entonces |x − 2| = −(x − 2), pues x − 2 < 0 y ası usamos la segunda formula de

la definicion. Visto de otra manera a la expresion que le estamos tomando valor absoluto

es de signo negativo y el valor absoluto le cambia el signo.

e.-|x|x

=

1, si x ≥ 0

−1, si x < 0

5.8. Ecuaciones con Valor Absoluto

Si x es una incognita en la expresion |x − 3|, entonces no sabemos si x − 3 es positivo o

negativo. Ahora bien, si tenemos la ecuacion:

|x − 3| = 5,


deberıamos considerar las dos posibilidades de signo. Es decir hay dos alternativas:

x − 3 = 5 o x − 3 = −5

La primera es en el caso que x − 3 sea positivo, la segunda en la situacion que sea negativo.

Resolviendo las dos ecuacion, tenemos que

x = 8 o x = 2

Efectivamente estos valores de x satisfacen la ecuacion: |x − 3| = 5. Veamos mas ejemplos de

resolucion de ecuaciones en valor absoluto.

Ejemplo 1.- Resolver |x − 4| = 3

Solucion: Hay dos posibilidades

x − 4 = 3 o x − 4 = −3.

Las soluciones de ellas son 7 y 1.

El lector puede comprobar que si sustituimos estos valores en la ecuacion ellos satisfacen la

igualdad.

Ejemplo 2.- Resolver 3|5 − 4x| = 9

Solucion: Sabemos resolver una ecuacion con valor absoluto cuando el valor absoluto esta solo

en el lado izquierda, ası que lo llevamos a esta forma, dividiendo entre 3. De esta manera la

ecuacion dada es equivalente a:

|5 − 4x| = 3

Ahora esta ecuacion en valor absoluto es equivalente a

5 − 4x = 3 o 5 − 4x = −3

La solucion de ellas son1

2y 2.

5.9. DESIGUALDADES CON VALORES ABSOLUTOS 139

Podemos representar el conjunto solucion de nuestra ecuacion 3|5 − 4x| = 9 a traves de la

notacion de conjunto como:

{1

2, 2

}

.

Recuerde que un valor absoluto siempre es mayor o igual a cero, nunca negativo.

Ejemplo 3.- Resolver |x − 5| = −2

Solucion: Esta igualdad es imposible de cumplirse. Por tanto la solucion es vacıa.

Ejercicio de desarrollo.- Resolver las siguientes ecuaciones en valor absoluto

a) 3|x − 4| + 1 = 7

b) 3|2x + 1| + 8 = 1

otra interpretacion geometrica ysando valor absoluto.

Recordemos que |x| representa la distancia del punto x al origen.

a b 0

b − a

b − a

0 a b

b − a

a 0 b

−a b

En la figura se puede observar que encualquier situacion tenemos que|a − b| = |b − a|representa la distancia entre a y b.

Ejemplo 4- Conseguir todos los puntos cuya distancia a 3 es igual a 4.

Solucion: Sea x los puntos cuya distancia 3 es igual a 4. Entonces |x − 3| = 4. El lector puede

chequear que las soluciones de esta ecuacion son −1 y 7.

5.9. Desigualdades con Valores Absolutos

Esta interpretacion geometrica del valor absoluto nos puede ayudar a conseguir un metodo

para resolver ecuaciones en valor absoluto.


−2 0 2

|x| < 2

−2 < x < 2

La expresion |x| < 2 la podemos interpretar co-mo los x cuya distancia al origen es menor que2, estos x son todos los numeros que estan entre−2 y 2. Ası la desigualdad|x| < 2 es equivalente a −2 < x < 2

−2 0 2

|x| > 2

x < −2 o x > 2

La expresion |x| > 2 la podemos interpretar co-mo los x cuya distancia al origen es mayor que2, estos x son todos los numeros mayores que 2y los menores que −2. Ası la desigualdad|x| > 2 es equivalente a x < −2 o x > 2

Generalizando, si a < 0, tenemos dos tipos de situaciones

Forma 1) |x| > a si y solo si x < −a o x > a.

−a 0 a

|x| > a

x < −a o x > a

Este tipo de conjunto se suele presentar u-sando el sımbolo union, ∪, y se escribe co-mo (−∞, −a) ∪ (a,∞), que significa todos losnumeros que estan en (−∞, −a) o en (a, ∞)

Forma 2) |x| < a si y solo si −a < x < a

−a 0 a

|x| < a

Estas equivalencias entre desigualdades nos permitiran resolver desigualdades en valores

absolutos al convertirlas en desigualdades sin valor absoluto. Una estrategia a utilizar sera in-

terpretar que x representa una expresion mas complicada.

Ejemplo 1.- Convertir las siguientes desigualdades en otra proposicion equivalente sin valor

absoluto.

a) |2x − 1| > 1; b) |2 − 5x| ≤ 3; c) 4 − |1 − x| ≤ 1.


Solucion:

a) Usamos la forma 1.

|2x − 1| > 1 es equivalente a 2x − 1 > 1 o 2x − 1 < −1. (Note que 2x − 1 hace las veces de

x).

b) Usamos la forma 2. Observe que un resultado similar a 2 se cumple en el caso de la desigualdad

con ≤

|2 − 5x| ≤ 3 es equivalente a − 3 ≤ 2 − 5x ≤ 3.

c) Para usar algunas de las dos formas anteriores, debemos primero dejar el valor absoluto

completamente despejado en el lado izquierdo de la desigualdad.

4 − |1 − x| ≤ 1 Como el 4 esta sumando, pasa restando al otro lado

−|1 − x| ≤ −3 Multiplicamos por (−1) ambos lados de la desigualdad,hay que recordar que la desigualdad cambia de sentido

|1 − x| ≥ 3. Esta es la forma 2

Finalmente:

|1 − x| ≥ 3 es equivalente a 1 − x ≥ 3 o 1 − x ≤ −3.

Ejercicio de desarrollo.- Convertir la siguiente desigualdad en otra expresion equivalente sin

valor absoluto. 2|x − 2| − 1 ≤ 2.

Recuerde: Despejar completamente el valor absoluto en el lado izquierdo luego expresar la

desigualdad planteada en otra equivalente usando forma 1 o forma 2 segun sea el caso. Estas

expresiones equivalente seran las que nos conduciran a la solucion.

NO PUEDE QUITAR ARBITRARIAMENTE EL VALOR ABSOLUTO EN UNA

DESIGUALDAD LLEVELA A LA FORMA 1 O FORMA 2 A FIN DE TENER

UNA PROPOSICION SIN VALOR ABSOLUTO

Ejemplo 2.- Resolver a) |2x − 1| ≤ 3; b) 10 − 3|2x − 3| < 4

Solucion:


a) |2x − 1| ≤ 3 es equivalente a −3 ≤ 2x − 1 ≤ 3, es decir tiene las mismas soluciones. Esta

ultima es

−3 + 1 ≤ 2x − 1 + 1 ≤ 3 + 1 Primero sumamos 1 a cada lado de la desigualdad

−2

2≤ x ≤ 4

2Dividimos entre 2 cada miembro de la desigualdad.

−1 ≤ x ≤ 2

la que resolvemos:

Ası la solucion son todos los numeros contenidos en el intervalo cerrado [−1, 2]

−1 0 2

b) Primero, se busca escribir esta desigualdad con el valor absoluto despejado del lado izquierdo,

la desigualdad 10 − 3|2x − 3| < 4 primero pasamos el 10 restando al otro lado

−3|2x − 3| < −6 Dividimos entre -3 ambos lados.

|2x − 3| > 2 Recuerde que la desigualdad cambia de sentido

Esta desigualdad es de la forma 2. Por tanto es equivalente a

2x − 3 > 2 o 2x − 3 < −2

Este tipo de desigualdades dobles no pueden ser resueltas de la manera sintetizada como en el

caso a). En el lado izquierdo resolvemos la primera y en el lado derecho resolvemos la segunda

desigualdad, manteniendo el conectivo “o”.


2x − 3 > 2 o 2x − 3 < −2 Sumamos 3 a cada lado de la desigualdad

2x > 5 o 2x < 1 Se divide entre 2 ambos miembros

x >5

2o x <

1

2

Ası las soluciones de la desigualdad 10 − 3|2x − 3| < 4 es el conjunto

(

−∞,1

2

)

∪(

5

2,∞)

.

Representados por

1

2

5

2

Ejercicio de desarrollo.- Resolver

a) |1 − x| ≥ 3; b) 7 − 3

2|2x − 1| < 4

El siguiente ejemplo muestra algunas desigualdades en valor absoluto cuya soluciones son

triviales: R o ∅ o un punto.

Ejemplo 3.- Resolver a) |x − 1| ≤ −3; b) 1 − |2x − 3| < 4; c) |x − 3| ≤ 0

Solucion:

a) En la primera desigualdad estamos comparando un valor absoluto, el cual es positivo, con

un numero negativo. Obviamente esta relacion no se cumple para ningun x. Ası la solucion

es el conjunto ∅.

b) En este caso primero despejamos el valor absoluto en el lado izquierdo, dando |2x−3| > −3.

Para cualquier valor de x tenemos que |2x − 3| ≥ 0, esto es por la propia definicion de

valor absoluto y por tanto mayor que −3. Ası la solucion de esta desigualdad son todos

los numero reales R.


c) Como el valor absoluto siempre da una cantidad mayor o igual a 0, la unica forma que se

cumpla esta proposicion es cuando |x − 3| = 0 y esto ocurre solo cuando x− 3. Ası que la

unica solucion de esta desigualdad es el punto x = 3

Comentarios:

1) Observe que el ejemplo 3a no es de la forma 2, pues a tiene que ser positivo. Por la misma

razon, |2x − 3| > −3 no es de la forma 1.

2) Otro tipo de soluciones triviales es R menos un punto. Por ejemplo |x − 1| > 0, tiene

como solucion R − {1}.

PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO

A continuacion damos algunas propiedades utiles del valor absoluto.

1. |a · b| = |a| · |b|

2.∣∣∣a

b

∣∣∣ =

|a||b| con b 6= 0

3. |x| =√

x2

4. |a − b| = ||b − a

Ejemplo 4.-

a) La ecuacion|6 − 6x|

3= 1 es equivalente a las siguientes:

|3(2 − 2x)|3

= 1 Se factoriza

|3||2 − 2x|3

= 1 Propiedad de la multiplicacion

3|2 − 2x|3

= 1 Se simplifica

|2 − 2x| = 1 Propiedad 4

b) La desigualdad

∣∣∣∣

1 − 2x

3

∣∣∣∣≤ 4 es equivalente a las siguientes:


|1 − 2x|3

≤ 4 Propiedad del cociente

|1 − 2x|3

≤ 4 Propiedad 4

|1 − 2x| ≤ 12

En ocasiones se utiliza el valor absoluto para expresar ciertas relaciones entre cantidades:

Ejemplo 5.- Escriba las siguientes proporciones en terminos de desigualdades y valores abso-

lutos

a.- x esta a mas de 3 unidades de −7 : |x − (−7)| > 3

b.- x esta al menos a 3 unidades de 5 : |x − 5| ≥ 3

c.- x dista de 7 en menos de 3 unidades: |x − 7| < 3

d.- El numero de horas que trabaja una maquina sin interrupciones, x, difiere, x, de 12 en

menos de 2 horas: |x − 12| < 2.

e.- El caudal en un instante dado se diferencia del caudal medio en mas de 3 unidades:

|ci − cm| > 3

Ejercicios

1) Resolver las siguientes ecuaciones:

1.1) |3 − x| = 4; 1.2) |5x − 3| = 2; 1.3) 1 − |2 − x| = −6;

1.4) 3 − 2|4x − 1| = 9; 1.5)3

2|3x − 1| = 6; 1.6) |3 − x| + |x| = 0;

1.7) |x| + |x − 1| = −3; 1.8)

∣∣∣∣

1 − x

2

∣∣∣∣= 1; 1.9)

∣∣∣∣x − 3

2

∣∣∣∣= 2;

1.10)|1 − x|

3= 9; 1.11)

∣∣∣∣

1 − 2x

x

∣∣∣∣= 4; 1.12) |1 − x| = |3x − 1|

2) Resolver las siguientes desigualdades. Represente las soluciones en notacion de intervalos

y geometricamente


2.1) |2 − x| ≥ 2; 2.2) |x + 3| < 5; 2.3) 2 − |4 − x| ≤ −5;

2.4) 2|4x − 1| > 9; 2.5)3

2|2x − 3| < 5; 2.6)

|1 − x|2

≤ 2;

2.7) 3|x − 1| + 1 > −3; 2.8)

∣∣∣∣

1 − x

2

∣∣∣∣≤ −1; 2.9) 1 +

∣∣∣∣x − 3

2

∣∣∣∣≥ 2;

2.10)

∣∣∣∣

2 − x

3

∣∣∣∣− 1

2≥ 2; 2.11) |1 − x| + |3x − 1| ≤ 0; 2.12)

|1 − x|2

≤ 0.

3) Escriba las siguientes proposiciones en terminos de desigualdades y valores absolutos

3.1) x esta entre −3 y 3, ambos inclusive

3.2) La distancia entre x y −2 es cuanto mucho 3

3.3) El numero de kilos que dan un arbol de mangos se diferencia de su media 150 en menos

de 20 kilos

3.4) x es mayor que 4 o menor que −4

3.5) x no esta a mas de 4 unidades de 5.

3.6) La temperatura se alejan de 20◦C en no mas de 2◦C

6Sistemas de Coordenadas Cartesianas

Un par ordenado de numeros reales (x, y) lo podemos representar en el plano en un sistema

de coordenadas cartesianas o rectangulares o plano xy. Este sistema esta constituido por dos

rectas perpendiculares orientadas, llamadas ejes coordenadas y la interseccion de ellas se llama

origen. En la figura el eje horizontal es llamado eje; y el eje vertical es el eje y. Estos ejes dividen

al plano en cuatro partes llamadas primer, segundo, tercer y cuarto cuadrante, denotados por

I, II, III, IV respectivamente.

I

x > 0, y > 0

II

x < 0, y > 0

III

x < 0, y < 0

IV

x > 0, y < 0

0 x

y P (x, y)

Y

X

Como ya hemos dicho un par ordenado de numeros reales (x, y) lo podemos representar

mediante un punto P en este plano. El numero x se llama abscisa o coordenada x del punto y

147

148 CAPITULO 6. SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS

y se conoce como la ordenada o coordenada y del punto. Para granear se procede como sigue.

Se localiza el numero x en el eje (real) xy se traza una perpendicular al eje, igual se procede

con el numero y en el eje y. La interseccion de estas dos rectas es un punto en el plano y es

la representacion del par (x, v). Recıprocamente, podemos ver que cada punto P en el plano

representa a un par de numeros reales ordenados.

Ejemplo 1.- Represente en el plano cartesiano los puntos (−2, 1); (−4,−2); (0,−1); (2,−3)

y (5, 0).

(-2,1)

(-4,-2)

(5,0)

(2,-3)

(0,-1)

Y

X

6.1. Distancia entre dos Puntos

A continuacion vamos a mostrar como calcular la distancia entre dos puntos P1(x1, y1) y

P2(x2, y2)

En la figura podemos ver como formamos un triangulo rectangulo, la longitud de la hipotenusa

es el valor a calcular. Observe que los catetos se pueden calcular al conocer las coordenadas de

los dos puntos.

6.2. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO DE RECTA 149

P1(x1, y1)

P2(x2, y2)

√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

|y2 − y1|

|x2 − x1|

Y

X

Usando el Teorema de Pitagoras tenemos que

d(P1, P2) =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

Ejemplo 1.- Representar graficamente los puntos P1(−2, 1) y P2(3,−4) y calcular la distancia

entre estos dos puntos.

Solucion: Por la formula de distancia entre dos puntos tenemos

d(P1, P2) =√

(3 − (−2))2 + (−4 − 1)2

=√

(5)2 + (−5)2

=√

25 + 25

= 5√

2

(-2,1)

(4,-3)

Y

X

6.2. Punto Medio de un Segmento de Recta

En esta seccion se quiere mostrar la formula para las coordenadas PM(xM , yM ) del punto

medio del segmento que une los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2).


PM esta en la mitad entre P1 y P2. Del dibu-jo Podemos apreciar que xM , tambien esta enla mitad entre x1 y x2. Este resultado lo pode-mos deducir a traves de la semejanza entre lostriangulos P1AP2 y PMBP2.

P1(x1, y1)

P2(x2, y2)

PM

x2

x1 xM

A B

Y

X

P1(x1, y1)

P2(x2, y2)

PM

x2

x1 xM

x2 − x1

(x2 − x1)/2

Y

X

La distancia entre xM y x1 es(x2 − x1)

2. Ası xM

esta(x2 − x1)

2unidades mas alla de x.

Esto es xM = x1 +(x2 − x1)

2.

Realizando la suma y simplificando queda:

xM =x1 + x2

2

De manera analoga deducimos que

yM =y1 + y2

2

Es decir: las coordenadas del punto medio es el promedio de las coordenadas. En conclusion

(xM , yM) =

(x1 + x2

2,

y1 + y2

2

)

Ejemplo 1.- Calcular el punto medio del segmento de recta que une a P1(2, 1) y P2(−2,−3).

Compruebe que d(P1, PM ) =d(P1, P2)

2

Solucion:

6.2. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO DE RECTA 151

(xM , yM ) =

(2 + (−2)

2,1 + (−3)

2

)

= (0,−1)

d(P1, P2) =√

(−2 − 2)2 + (−3 − 1)2 = 4√

3

d(P1, PM ) =√

(0 − 2)2 + (1 − (−1))2 =√

8 = 2√

2

(2,1)

(-2,-3)

(0,-1)

Y

X

Efectivamente

d(P1, PM ) =d(P1, P2)

2pues 2

√2 =

4√

2

2.

Ejercicio de desarrollo.- Calcular el punto medio del segmento de recta que une a los puntos

P1(3, 1) y P2(0,−4). Compruebe que d(P1, PM ) = d(P2, PM ).

Ejercicios

1) Represente en el plano cartesiano los puntos (−2, 1); (−4,−2); (0, 2); (2,−3) y (5, 0).

2) Representar graficamente los puntos: P1(−2, 1) y P2(3,−4) y calcular la distancia entre

estos dos puntos.

3) Representar graficamente los puntos P1(2,−1) y P2(0, 4) y calcular la distancia entre estos

dos puntos.

4) Calcular el punto medio del segmento de recta que une P1(2, 1) y P2(−6, 3). Compruebe

que d(P1, PM ) =d(P1, P2)

2

5) Calcular el punto medio del segmento de recta que une a los puntos P1(2, 1) y P2(6, 3).

Compruebe que d(P1, PM ) = d(P2, PM )

6) Determine todos los puntos en el eje y que estan a una distancia de 5 unidades del punto

(3, 4).

7) Determine todos los puntos de la forma (x, 2x) que estan a una distancia de 4 unidades

de (2, 4).


8) Si dos puntos son de la forma (3, y1) y (3, y2). Deduzca una formula para la distancia

entre estos puntos en que no aparezcan radicales. Generalice.

9) Localice la coordenada x de un punto P en el plano con coordenada y = −4 tal que este

punto P equidiste de los puntos (2, 1) y (5, 2).

10) Dados los puntos A(2,−1) y B(−2, 4). Determine el punto entre A y B que esta a un

cuarto de la distancia entre A y B.

11) Determine un punto situado en el eje x cuya distancia al punto (1, 2) es

6.3. Graficas de Ecuaciones

Frecuentemente tenemos una ecuacion algebraica que relaciona los valores de dos varia-

bles. Para describir mejor el comportamiento entre estas dos variables es util construir una

representacion geometrica de la ecuacion llamada grafica de la ecuacion.

Definicion 6.1 La grafica de una ecuacion en dos variables x y y son todos los puntos con

coordenadas (x, y) que satisfacen la ecuacion.

Hay muchas tecnicas para hacer la grafica de una ecuacion. Algunas mas sofisticadas que

otras. En esta seccion aprenderemos una tecnica bastante sencilla de entender, pero que pudiera

ser tediosa y en ocasiones nos puede conducir a graficos que se alejan de la grafica real. En

general todas las tecnicas de graficacion buscan un bosquejo de la grafica real, exhibiendo las

caracterısticas mas notorias de lo que queremos representar.

La tecnica de esta seccion se basa en conseguir suficientes puntos (x, y) que satisfagan la

ecuacion, representarlos en el plano y unir los puntos a traves de una curva suave. Refinare-

mos la tecnica resaltando caracterısticas importantes de la grafica como son las simetrıas y las

intersecciones con los ejes.

Para conseguir puntos que satisfacen la ecuacion en general despejamos una de las variables

en terminos de la otra, le damos valores a esta ultima y obtenemos los valores de la variable

despejada. Los puntos obtenidos se llevan a una tabla de valores.

6.3. GRAFICAS DE ECUACIONES 153

Ejemplo 1.- Bosquejar la grafica de la ecuacion y − x2 − 1 = 0

Solucion: Primero despejamos y en funcion de x :

y = x2 + 1

Luego damos valores a x y calculamos los valores de y. Los valores que demos a la variable x

tienen que ser un poco con sentido comun, proponiendo valores de x en zonas donde no intuimos

bien el comportamiento de la grafica.

x y

-2 5

-1 2

0 1

1 2

2 5

(-2,5)

(-1,2)

(0,1)

(1,2)

(2,5) (-2,5)

(-1,2)

(0,1)

(1,2)

(2,5)

Y

X

Y

X

SIMETRIAS

Observe que en el ejemplo anterior la grafica de la ecuacion y = x2 + 1 es simetrica con

respecto al eje y. Hay varios tipos de simetrıas, las mas importantes son con respecto a algunos

de los ejes y simetrıas con respecto al origen.

La simetrıa es una caracterıstica importante en una grafica, y esto hay que resaltarlo, pero

tambien no puede ahorrar trabajo, pues con la mitad de la grafica podemos obtener por simetrıa

el resto.


Tipo de simetrıa Definicion Ejemplo grafico Prueba de simetrıaEjemplo

Con respecto al eje x Cada vez queesta (x, y) en la grafi-ca entonces (x,−y)tambien esta.

Si se reemplaza y por −y en la ecuacionse obtiene una ecuacion equivalente:

Ejemplo: y2−x+1 = 0 es simetrica conrespecto al eje x pues (−y)2−x+1 = 0es equivalente a la ecuacion original.

Con respecto al eje y Cada vez queesta (x, y) en la grafi-ca entonces (−x, y)tambien esta.

Si se reemplaza x por −x en la ecuacionse obtiene una ecuacion equivalente:

Al doblar la hoja entorno al eje y la partederecha coincide con laparte izquierda de lagraficas

Ejemplo: y−x2+1 = 0 es simetrica conrespecto al eje x pues y−(−x)2+1 = 0es equivalente a la ecuacion original.

Con respecto al origen Cada vez queesta (x, y) en la graficaentonces (−x,−y)tambien esta.

Si se reemplaza x por −x y y por −yen la ecuacion se obtiene una ecuacionequivalente.

Si se rota la grafica180◦ se obtiene la mis-ma grafica

Ejemplo: y3 − x + x3 = 0 es simetri-ca con respecto al origen pues al reem-plazar queda: −y3+x−x3 = 0 si amboslados lo multiplicamos por “-” queda laecuacion original.

Ejercicio de desarrollo.- Discuta las simetrıas de las siguientes graficas de ecuaciones:

a) yx − x2 − 2 = 0; b)x2√

x2 + y + 1 = 0

6.4. INTERSECCIONES CON LOS EJES 155

6.4. Intersecciones con los Ejes

Las intersecciones con los ejes es una caracterıstica que se toma en cuenta en muchas apli-

caciones.

Y

X

Corte con el eje yx = 0

Las intersecciones con el eje y son los pun-tos donde la grafica de la ecuacion cortael eje y. Para conseguir estos puntos colo-camos x = 0 en la ecuacion y resolvemosla ecuacion en y que resulte. Si el valorb es una solucion de la ecuacion plantea-da entonces el punto (0, b) es un punto deinterseccion con el eje y.

Analogamente, las interseccionescon el eje x son los puntos dondela grafica de la ecuacion corta el ejex. Para obtener estos puntos colo-camos y = 0 en la ecuacion y re-solvemos la ecuacion en x que re-sulte. Si el valor a es una solucionde la ecuacion planteada entonces elpunto (a, 0) es un punto de intersec-cion con el eje x.

Y

X

Corte con el eje x

Ejercicio de desarrollo.- Calcule las intersecciones con los ejes de las siguiente graficas de las

ecuaciones dadas

a) y =x2 − x − 2

1 + x2; b) yx +

√

x2 + 1 − 2 = 0

En el siguiente ejemplo consideramos todos estos elementos para granear

Ejemplo 1- Bosqueje la grafica de y2 + 4x2 − 1 = 0. Considere simetrıa e intersecciones con

los ejes.


Solucion: Primero conseguiremos las intersecciones con el eje x. Hacemos y = 0 en la ecuacion

dada, obteniendo la ecuacion: 4x2 − 1 = 0, cuya solucion es x = ±1

2. Para las intersecciones con

el eje y hacemos x = 0 en la ecuacion dada, obteniendo la ecuacion: y2 − 1 = 0, cuya solucion

es y = ±1.

En resumen, los cortes con los

ejes son: (0, 1); (0,−1);

(1

2, 0

)

y(

−1

2, 0

)

.

Observe que esta informacion lapodemos ir llevando a la grafica.

(1

2, 0

)

(0,1)

(0,-1)

(

−1

2, 0

)

Y

X

La grafica es simetrica con respecto al eje x, pues al reemplazar y por −y en la ecuacion se

obtiene (−y)2 + 4x2 − 1 = 0 la cual es la misma ecuacion que la original.

Tambien es simetrica con respecto al eje y, ya que si se reemplaza x por −x en la ecuacion

se obtiene y2 + 4(−x)2 − 1 = 0 tambien equivalente a la original.

Con algun valor de y positivo sera suficiente para tener una idea de la grafica. Colocamos

y =1

2en la ecuacion y obtenemos x = ±

√3

4. Siempre en conveniente realizar una tabla de

valores:


x y

0 1

0 -1

1

20

−1

20

√3

4

1

2

−√

3

4

1

2

Y

X

Esta informacion la agregamos a nuestro grafico y hacemos un primer trazo en el primer

cuadrante

Haciendo uso de la simetrıa pode-mos bosquejar la grafica completa.La grafica resultante es una curvaconocida como elipse.

Y

X

Ejercicio de desarrollo.- Para la siguiente ecuacion discuta simetrıas, calcule las intersecciones

con los ejes y bosqueje la grafica de la ecuacion: y =1 − 2x2

1 + x2. No se olvide de hacer una tabla

de valores.

Ejercicios

1) Para las siguientes ecuaciones discuta simetrıas, calcule las intersecciones con los ejes y

bosqueje su grafica.


1.1) x23 − 2y + 4 = 0; 1.2) x2 + 2y2 − 4 = 0; 1.3) x + 4y2 − 8 = 0;

1.4) 2x2 + 2y2 − 16 = 0; 1.5) 4x2 + y2 − 16 = 0; 1.6) y =x

1 + x2;

1.7) y =5

1 + x2; 1.8) 4x2y2 − 16 = 0.

2) Trazar la grafica de las siguientes ecuaciones: a) x − 2y2 = 1; b) y =

√

x − 1

2;

c) y = −√

x − 1

2

6.5. La Circunferencia

Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos que distan r unidades de un punto fijo

llamado centro de la circunferencia, r es llamado el radio de la circunferencia.

Podemos obtener la ecuacion de una cir-cunferencia con centro (h, k) y radio r atraves de la formula de distancia entre dospuntos, pues la distancia entre el centro ycualquier punto (x, y) de la circunferenciatiene que ser igual a r.

r =√

(x − h)2 + (y − k)2

C(h,k)

P(x,y)

0

Y

X

Esta ecuacion es equivalente a:

r2 = (x − h)2 + (y − k)2

Es claro que un punto satisface esta ecuacion si y solo si esta sobre la circunferencia porque son

los unicos puntos que satisfacen esta relacion de distancia con respecto al centro. Esta ecuacion

la llamaremos la forma centro-radio de una circunferencia.

Ejemplo l.- Encontrar una ecuacion de la circunferencia con centro (2,−1) y radio 3.

6.5. LA CIRCUNFERENCIA 159

Solucion: Usamos la forma centro-radio con C(2,−1)

(x − 2)2 + (y − (−1))2 = 32

Realizando el producto notable

x2 − 4x + 4 + y2 + 2y + 1 = 32

Simplificando

x2 + y2 − 4x + 2y − 4 = 0

Esta forma es conocida como la forma general de la circunferencia.

La ecuacion de una circunferencia escrita comox2 + y2 + bx + cy + d = 0

es conocida como la forma general de la circunferencia.

Ejemplo 2.- Encontrar la ecuacion general de la circunferencia con centro (3,−1) y que pasa

por (0,−2).

Solucion: Primero se determina el radio, usando el hecho que la distancia entre el centro y

cualquier punto de la circunferencia es r.

√

(x − h)2 + (y − k)2 = r

√

(0 − 3)2 + (−2 − (−1))2 = r

r =√

10

ahora podemos usar la forma centro-radio con C(3,−l)

(x − 3)2 + (y − (−1))2 = (√

10)2

realizando el producto notable

x2 − 6x + 9 + y2 + 2y + 1 = 10


simplificando

x2 + y2 − 6x + 2y = 0

observe que la forma centro-radio se ha llevado a la forma general de la circunferencia.

Ejercicio de desarrollo: Encontrar una ecuacion de la circunferencia con centro (−1, 5) y que

pasa por (−2,−3).

En ocasiones es dada la ecuacion general y puede resultar conveniente llevarla a la forma

centro-radio. Por ejemplo una utilidad de esta forma es que nos permite identificar el centro y

el radio de la circunferencia. La manera de llevarlo a la forma centro-radio

(x − h)2 + (y − k)2 = r2

es completando cuadrados. Observe que la suma x2 + ax son los dos primeros terminos del

desarrollo de (x − h)2, especıficamente ax = −2hx, de aquı vemos que h = −a

2, ası que el

termino que falta para completar cuadrados es (a/2)2, ya que

x2 + ax + (a/2)2 = (x + (a/2))2. El siguiente ejemplo ilustra detalladamente el procedimiento.

Ejemplo 3.- Encontrar el centro y el radio de la circunferencia x2 + y2 + 4x − 8y − 5 = 0.

Granear la circunferencia.

Solucion: Debemos llevarlo a la forma centro-radio a fin de identificarlos. Primero agrupamos

los terminos en r y los terminos en y. La constante la pasamos al otro miembro.

x2 + 4x + y2 − 8y = 5

Sumamos y restamos el mismo numero para no alterar la ecuacion con el fin de completar el

desarrollo de (x − h)2 y (y − k)2

x2 + 4x + − + y2 − 8y + − = 5


Observe que el termino 4x corresponde a− 2hx. Ası h = −2. Para los terminos en x el termino

que falta para completar cuadrados es (−2)2 = 4

Para los terminos en y, −8y corresponde a − 2ky. De aquı que k = 4, el termino que falta

para completar cuadrados es (4)2 = 16. Ası

x2 + 4x + 4 − 4 + y2 − 8y + 16 − 16 = 5

(x2 + 4x + 4) − 4 + (y2 − 8y + 16) − 16 = 5

(x + 2)2 − 4 + (y − 4)2 − 16 = 5

(x + 2)2 + (y − 4)2 = 5 + 4 + 16

(x − (−2))2 + (y − 4)2 = 25

Al identificar con la forma centro-radio, tenemos que r2 = 25, de aquı que r = 5 y el centro

esta dado por C(−2, 4). Observe que para granear ubicamos primero el centro y luego trazamos

a partir de allı dos rayos, uno vertical y otro horizontal, ambos de longitud 5. Luego hacemos el

trazo de la circunferencia que pasa por los puntos finales de estos rayos.

4 4

-2 -2

3 3

0 0

Y Y

X X

Ejemplo 4.- Determinar si la ecuacion dada es la ecuacion de una circunferencia, en caso que

lo sea encontrar el centro y el radio de la circunferencia y graficar la circunferencia. x2 + y2 −8x − 6y + 40 = 0


Solucion: Debemos llevarlo a la forma centro-radio a fin de identificarlos. Primero agrupamos

los terminos en x y los terminos en y. La constante la pasamos al otro miembro. x2−8x+y2−6y =

−40

Sumamos y restamos el mismo numero para no alterar la ecuacion con el fin de completar el

desarrollo de (x − h)2 = x2 − 2hx + h2 en x2 − 8x. Realizamos el mismo tipo de procedimiento

con (y − k)2 = y2 − 2ky + k2

x2 − 8x + − + y2 − 6y + − = −3

Identificando, vemos que −8x = −2hx, de donde h = 4. Para los terminos en x el termino que

falta para completar cuadrados es (4)2 = 16

Similarmente vemos que −6y = −2hy, de donde k = 3. Para los terminos en y el termino

que falta para completar cuadrados es (3)2 = 9. Ası

x2 − 8x + 16 − 16 + y2 − 6y + 9 − 9 = −40

(x2 − 8x + 16) − 16 + (y2 − 6y + 9) − 9 = −40

(x − 4)2 + (y − 3)2 = −40 + 16 + 9

(x − 4)2 + (y − 3)2 = −15.

Observe que el lado izquierdo es siempre positivo para cualesquiera valores de x y y, por ser

suma de cuadrados, ası que nunca puede ser igual al lado derecho. Podemos concluir que no

existe ningun punto (x, y) para el cual la ecuacion anterior se satisfaga. Ası que la ecuacion

x2 + y2 − 8x − 6y + 40 = 0 no define una circunferencia.

Ejercicio de desarrollo: Encontrar el centro y el radio de la circunferencia

x2 + y2 − 6x + 12y − 3 = 0. Graficar la circunferencia

Aplicaciones.

Curva de Transformacion de Productos

La mayorıa de los centros de produccion elaboran dos o mas bienes que compiten en ¡os

recursos, esto es. necesitan mano de obra, maquinarias, el mismo tipo de materias primas, etc.


El aumento de la produccion de un tipo de bien puede conllevar a la disminucion de los otros.

La forma como se relacionan las cantidades de cada tipo a producir muchas veces se pueden

llevar a una ecuacion. Cuando solo existen dos bienes tenemos una ecuacion en dos variables

que se puede granear y la grafica de esta ecuacion es conocida como la curva de transformacion

de productos. Muchas veces se usa la circunferencia para modelar la relacion entre dos variables

de este tipo.

Ejemplo 1.- Un aserradero puede hacer dos cortes para un tronco especıfico: A y B. Las

cantidades posibles x y y que se puede obtener en metros cubicos para un determinado lote de

troncos estan dadas por la siguiente ecuacion.

x2 + y2 + 200x + 300y = 90000

donde x corresponde al tipo A y y al tipo B. a) Bosqueje la curva de transformacion de productos

en este caso, b) ¿Cuales son los maximos posibles de produccion de cada tipo al mes?

Solucion: a) La curva dada tiene la forma general de una circunferencia, para graficarıa la

llevamos a la forma centro-radio: (x− h)2 + (y − k)2 = r2 a fin de identificarlos. Entonces en x2

x2 + 200x + y2 + 300y = 90000

x2 +200x corresponde a los dos primeros terminos del desarrollo de (x−h)2. Podemos identificar

200x = −2hx. De aquı deducimos que h = 100, por consiguiente el termino que falta en el

desarrollo de (x−h)2 es h2 = 1002. Lo sumamos y restamos en la ecuacion. Igualmente podemos

ver que k = 150 y el termino que falta para completar cuadrados en y2 + 300y es 1502, lo

sumamos y restamos para no alterar la ecuacion.

x2 + 200x + 1002 − 1002 + y2 + 300y + 1502 − 1502 = 90000

(x2 + 200x + 1002) + (y2 + 300y + 1502) = 90000 + 1502 + 1002

(x − (−100))2 + (y − (−150))2 = 122500


Ası el centro es el punto (100, 150) y el radio lo sacamos de la relacion r2 = 122500.

Despejando obtenemos r =√

122500 = 350.

400

-400

200

200-200

200

0

Y

X

Recordamos de nuevo la estrategia para granearuna circunferencia. Ubicamos primero el centroy luego a partir del centro un rayo vertical de350 unidades y otro rayo horizontal de 350. Sebosqueja la circunferencia que pasa por los pun-tos finales de estos rayos.En la grafica se hizo un trazo continuo de lacircunferencia solo para las x y y positivas, puesestan son las que tienen sentido, en el resto sehizo un trazo punteado.

b) La maxima produccion de cortes de tipo A ocurre cuando y = 0, para obtener el valor x de

produccion maxima podemos. sustituir y = 0 en cualquiera de las ecuaciones de la circunferencia,

por comodidad usarnos la forma centro-radio

(x − (−100))2 + (y − (−150))2 = 122500

(x + 100)2 + (0 − (−150))2 = 122500

(x + 100)2 = 122500 − 22500

x = −100 ±√

100000

Tomamos la solucion positiva x = 216.2

La maxima produccion de cortes de tipo B ocurre cuando x = 0, para obtener el valor x de

produccion maxima sustituimos x = 0 en la forma centro-radio

(x − (−100))2 + (y − (−150))2 = 122500

(0 + 100)2 + (y + 150)2 = 122500

y = −150 ±√

112500. Tomamos la solucion positiva. y ≈ 185, 4.

6.6. LA RECTA 165

En conclusion: la maxima produccion posible de cortes de tipo B es 185 y de tipo A es de

216

Ejercicios

1) Encuentre la ecuacion de la circunferencia que cumple las condiciones dadas.

1.1) Centro (2,-1) y radio 3.

1.2) Centro

(1

2, −3

)

y radio√

7

1.3).Centro (-3.0) y radio 2√

3

1.4) Centro (-2,-1) y pasa por el punto (-3,-2)

1.5) Centro (2,-3) y pasa por el punto (-2,1/2)

1.6) Los puntos extremos de un diametro son (4,1) y (3,0)

1.7) Centro en el origen y pasa por (3,4)

1.8) Centro (2,3) y es tangente al eje x.

1.9) Centro (-2,-3) y es tangente al eje y.

2) Determine si las siguientes ecuaciones representan una circunferencia, en caso positivo deter-

mine el centro, el radio y grafica la circunferencia.

3) En una zona se pueden sembrar dos tipos de arboles A y B. Las cantidades posibles x y

y que se pueden plantar de cada tipo estan relacionadas por la siguiente ecuacion.

Bosqueje la curva de transformacion en este caso. ¿Cuales son los maximos posibles de cada

especie?

6.6. La Recta

La lınea recta es quizas la curva mas-utilizada para describir relaciones entre dos variables:

Empezaremos el estudio sobre rectas definiendo una magnitud que cuantifique la inclinacion de

las distintas rectas. La inclinacion puede ser medida a traves de la pendiente que es el cociente

del cambio vertical entre el cambio horizontal, cuando pasamos de un punto a otro punto de la

recta.


m =cambio vertical

cambio horizontal

{

{ {

{

(2,5)

(4,9)

(2,2)

(4,3)

4=cambio vertical

2=cambio horizontal

1=cambio vertical

X

Y

X

Y

m =9 − 5

4 − 2= 2 m =

4 − 3

4 − 2=

1

2

Observe que la recta de la figura 1 tiene una inclinacion mayor que la recta de la figura La

diferencia de inclinacion puede ser explicada en terminos de la pendiente. El cambio vertical

en la figura 1 es de 4 unidades, cuando nos movemos de (2, 5) a (4, 9) y el de la figura 2 es de

1 unidad, cuando nos movemos de (2, 2) a (4, 3). En ambos casos el cambio horizontal es de 2

unidades. Por tanto la pendiente de la recta de la figura 1 es 2 y la pendiente de la recta de la

figura 2 es 1/2.

0

y2

(x1, y1)

(x2, y2)

x1

y2 − y1

x2 − x1

X

Y

En general si tenemos dos puntos sobre una rec-ta no vertical: (x1, y1) y (x2, y2). El cambio ver-tical esta dado por y2−y1 y el cambio horizontalpor x2 − x1.

6.6. LA RECTA 167

Definicion 6.2 Sea l una recta no paralela al eje y y sean (x1, y1) y (x2, y2) sobre la recta. La

pendiente m de la recta esta definida por:

m =y2 − y1

x2 − x1

Observacion 1: La definicion de la pendientees independiente de los puntos escogidos sobre larecta. En la figura observamos que los triangulos1 y 2 son Semejantes, por tanto las razones desus lados son iguales, particularmente

y2 − y1

x2 − x1=

y4 − y3

x4 − x3

0(x1, y1)

(x4, y4)

(x2, y2)

(x3, y3)

Triangulo 1

Triangulo 2

X

Y

0

(x1, y1)

(x2, y2)

X

Y

Observacion 2: Para las rectas verticales noesta definida la pendiente. Para cualesquiera dospuntos distintos (x1, y1) y (x2, y2) sobre la recta,tenemos que x1 = x2, por tanto el denominadorda cero en la formula de m.

Observacion 3: Cualquier recta horizontal tiene pendiente cero. Efectivamente dos puntos

distintos de una recta horizontal tienen igual coordenada y; estos puntos son de la forma (x1, y1)

y (x2, y1), con x1 6= x2, ası el numerador es 0 en la formula de la pendiente.

m =y2 − y1

x2 − x1= 0


Ejemplo 1.- Graficar la recta que pasa por (2, 4) y (5,−2), y calcular su pendiente.

0

(2,4)

(5,-2)

X

Y

Solucion: Cualquiera de estos puntos puede sertomado como (x2, y2), digamos que es el primeroy el otro es (x1, y1) Ası:

m =y2 − y1

x2 − x1=

4 − (−2)

2 − 5

=6

−3= −2

Observe que en este caso la pendiente es negativa, esto ocurre cuando la recta baja de

izquierda a derecha. La magnitud 2 significa que cuando x aumenta una unidad, la y disminuye

2 unidades

m = 0

m = 1/5

m = 1/2

m = 1m = 2m

=5

m=

−5

m=

−2

m = 1

m = −1/2

m = −1/5

En la figura mostramos un haz de rectas condiferentes pendientes. Cuando la recta es menosinclinada casi horizontal, la pendiente esta cercade 0, cuando es mas inclinada, casi vertical sumagnitud es grande. Ya hicimos la observacionque cuando la recta baja de izquierda a derechala pendiente es negativa y cuando sube es posi-tiva.

Observacion 4: Si una recta no esparalela al eje y la pendiente es latangente del angulo de inclinacion.Ver figura

0

θ

m = tan(θ)

X

Y

6.6. LA RECTA 169

A continuacion deduciremos la ecuacion de la recta llamada forma punto-pendiente. Esto

es, dada la pendiente m y un punto (x0, y0) sobre la recta encontraremos una ecuacion tal que

cualquier punto (x, y) que este sobre la recta satisface la ecuacion y recıprocamente cualquier

punto que satisfaga la ecuacion esta sobre la recta.

Por la observacion 1, la definicion de la pendiente de una recta es independiente de los puntos

de la recta que tomemos, en particular podemos tomar el punto (x0, y0) y un punto cualquiera

de la recta (x, y) distinto al primero. Esta pendiente debe ser igual a

y − y0

x − x0= m

Esta ecuacion puede ser reescrita como

y − y0 = m(x − x0)

A esta ecuacion la llamaremos forma punto-pendiente. Luego veremos otras ecuaciones

equivalentes de una recta.

0(x0, y0)

(x, y)

X

Y

Observe que:1) El punto (x0, y0) satisface la ecuacion2) Cualquier otro punto (x, y) esta sobre la rectasi y solo si satisface la ecuacion, porque solo lospuntos sobre la recta son los que forman con(x0, y0) una pendiente m.

Ejemplo 2.-

a) Encontrar la recta que pasa por el punto (−2, 1) con pendiente igual a −3.

b) Encuentre el punto sobre esta recta cuya coordenada x es igual a 4.

Solucion: a) Usamos la ecuacion punto-pendiente: y−y0 = m(x−x0), con m = −3 y (x0, y0) =

(−2, 1). Sustituyendo:


y − 1 = −3(x − (−2))

y − 1 = −3x − 6

y = −3x − 5

b) Para conseguir este punto debemos evaluar la ecuacion de la recta y = −3x−5 en x = 4 :

y = −3(4) − 5,

y = −17

Ası la recta pasa por el punto (4,−17).

Ejemplo 3.-

a) Encontrar la ecuacion de la recta que pasa por los puntos (−1, 3) y (2, 4).

b) Verifique que el punto (5, 5) esta sobre la recta.

Solucion: a) Primero encontraremos la pendiente de la recta para luego usarla junto con

cualquiera de estos puntos en la forma punto pendiente de una ecuacion de la recta.

La pendiente esta dada por:

m =y2 − y1

x2 − x1=

4 − 3

2 − (−1)=

1

3

Usaremos el punto (2, 4) como el punto (x0, y0) en la forma punto-pendiente ası obtenemos:

y − 4 =1

3(x − 2)

Podemos reescribir esta ecuacion de varias maneras:

3(y − 4) = (x − 2)

3y − 12 = x − 2

3y − x − 10 = 0

Otra forma de escribirla es despejando la y

6.6. LA RECTA 171

y =x + 10

3

b) Para verificar que el punto (5, 5) esta sobre la recta es suficiente verificar que este punto

satisface la ecuacion. Usamos para ello la ultima ecuacion:

y =x + 10

3

5?=

5 + 10

3

Efectivamente como el punto satisface la igualdad anterior entonces esta sobre la recta.

Ejercicio de desarrollo.-

a) Encontrar la ecuacion de la recta que pasa por los puntos (0,−2) y (−1, 4).

b) Encuentre el punto de corte de esta recta con el eje x.

Ecuaciones de rectas horizontales y verticales: Para encontrar la ecuacion de una recta

horizontal que pasa por (a, b) usamos la forma punto-pendiente.

0

b (a, b)

X

YYa hemos dicho que en este caso la pendiente es0. Ası

y − b = 0(x − a)

y − b = 0

Ası y = b es la ecuacion de la recta horizontalque pasa por (a, b).Observamos que los puntos de la recta cuyaecuacion es y = b es el conjunto de los puntos(x, b), con x un numero real.


0

a

(a, b)

X

Y

Aprovechando las ideas, podemos decir que elconjunto de puntos de la recta vertical que pasapor (a, b) satisface la condicion x = a, la coor-denada y asume cualquier valor.Recıprocamente si una recta vertical satisfacex = a entonces en particular pasa por (a, b).Ası x = a es la ecuacion de la recta verticalque pasa por (a, b).

Ejemplo 4.-

a) Encontrar la ecuacion de la recta horizontal que pasa por el punto (−3, 5)

b) Encontrar la ecuacion de la recta vertical que pasa por el punto (−3, 5)

0

5

-3

y = 5

x=

−3

X

Y Es conveniente graficar las rectas para recordarcuales son las exigencias de las rectas horizon-tales y verticales. En el dibujo vemos que todaslas coordenadas y de los puntos sobre la rectahorizontal son iguales a 5. Esta es precisamentela ecuacion de dicha recta: y = 5. Por otro ladola ecuacion de la recta vertical es x = −3, efecti-vamente puede comprobar graficamente que to-dos los puntos de esta recta tienen abscisas xigual a − 3.


a) Encontrarla ecuacion de la recta que pasa por los puntos (0,−2) y (1 − 2).

b) Encontrar la ecuacion de la recta que pasa por el punto (3,−2) y corta el eje x en 3.

c) Encontrar la ecuacion de la recta con pendiente 0 y pasa por (−1, 4).

d) Encontrar la ecuacion de la recta que pasa por el puntos (1,−2) y corta el eje x en 3.

La forma punto-pendiente y − y0 = m(x − x0), puede ser escrita como:

y = mx − mx0 + y0,

6.6. LA RECTA 173

mas generalmente como:

y = mx + b Forma pendiente-ordenada en el origen

Observe que si x = 0 entonces y = b. Es decir el corte con el eje y es b, comunmente llamada

ordenada en el origen. La ecuacion de la recta escrita como

y = mx + b

es llamada la forma pendiente-ordenada en el origen. Es muy util para identificar la

pendiente, el corte de la recta con el eje y y de allı granear rapidamente.

Ejemplo 5.- Representar la ecuacion 2y − 4x + 5 = 0 en la forma pendiente ordenada en el

origen, conseguir la pendiente y el punto de corte con el eje y y graficar la recta.

Solucion: Debemos despejar y de la ecuacion

2y − 4x + 5 = 0

2y = 4x − 5

y =4

2x − 5

2

y = 2x − 5

2

Esta ecuacion es de la forma y = mx + b, en esta caso m = 2 y b = −5

2

0

−5

2

X

Y

Para graficar marcamos primero el punto(

0,−5

2

)

. Por allı pasa nuestra recta. Luego es-

timamos una pendiente de 2. Si los ejes estanigualmente escalados, esta inclinacion corre-sponde a un cambio de 2 unidades en y cuandola x cambia 1 unidad.


Alternativamente, para graficar una recta podemos localizar dos puntos sobre la recta y unir

dichos puntos. Unos puntos muy convenientes son los cortes con los ejes. Pero a veces existe

uno solo y entonces hay que localizar otro punto que satisfaga la ecuacion. Veamos el siguiente

ejemplo

Ejemplo 6.- Granear las siguientes ecuaciones: a) 2y − 3x + 6 = 0; b) y = 3x

Solucion: a) La primera recta se graficara consiguiente los puntos de cortes con los ejes. Entonces

primero se plantea para conseguir los cortes con los ejes.

Interseccion con y: Colocamos x = 0 en la ecuacion resultando 2y + 6 = 0. De aquı que el

corte ocurre cuando y = −3

Interseccion con el eje x : Colocamos y = 0 en la ecuacion resultando −3x + 6 = 0. De

aquı que el corte es para x = 2. Llevamos eticos dos cortes al plano cartesiano y trazamos la

recta que pasa por ellos.

Y

X

Y

X2

2

-2

-2

0 0

-2

-2

2 4

b) Es facil chequear que el corte con x y con y coincide con el origen (0, 0). En este caso

podemos conseguir otro punto, por ejemplo si x = 1 entonces y = 3 · 1. Ası el punto (1, 3) es un

punto sobre la recta. De una vez llevamos estos puntos al plano xy y trazamos la recta que pasa

por ellos.

6.6. LA RECTA 175

Y

X2

2

-2 0

Ejercicio de desarrollo.- Graficar las siguientes ecuaciones en el mismo sistema de coordenadas

a) 3y + 5x + 10 = 0; b) y = −3x + 1

Y

X

Recordemos que las formas punto-pendiente y pendiente-ordenada en el origen abarcan solo

el caso de rectas donde esta definida la pendiente, estas son las rectas no paralelas al eje y.

Una alternativa para escribir el conjunto de todas las ecuaciones de rectas posibles, incluyen-

do las verticales, es la forma:

ax + by + c = 0

donde a y b no pueden ser simultaneamente 0. Esta forma de la ecuacion es llamada la ecuacion

general de la recta.


6.7. Rectas Paralelas y Rectas Perpendiculares

Y

X

y = m1x + b1

y = m2x + b2

Es claro que dos rectas no verticales son para-lelas si sus pendientes son iguales. Esto es y =m1x + b1 y y = m2x + b2 son paralelas si y solosi m1 = m2

Ejemplo 1.- Encontrar la ecuacion general de la recta que pasa por el punto (−1, 4) y es

paralela a la recta 2y − 3x − 1 = 0.

Solucion: Lo primero que debemos hacer es conseguir la-pendiente de la recta dada, llevando

la ecuacion a la forma pendiente-ordenada en el origen

2y − 3x − 1 = 0

2y = 3x + 1

y =3

2x +

1

2

Esta ecuacion esta en la forma y = mx + b, de aquı que m =3

2

Como la ecuacion que queremos obtener es paralela a la recta y =3

2x +

1

2entonces tiene la

misma pendiente m =3

2. Ası ya podemos usar la forma punto-pendiente

y − 4 =3

2(x − (−1))

Como nos piden la ecuacion general de la recta, debemos hacer aun algunas manipulaciones

algebraicas para llevarla a esta forma.

6.7. RECTAS PARALELAS Y RECTAS PERPENDICULARES 177

2(y − 4) = 3(x + 1)

2y + 8 = 3x + 3

−3x + 2y − 11 = 0

En la grafica se puede apreciar dos rectas per-pendiculares. Observe que una esta creciendo deizquierda a derecha y la otra decrece, esto escuando una pendiente es positiva la otra es neg-ativa. Cuando la magnitud de una en valor ab-soluto es grande, la otra es pequena. Efectiva-mente las pendientes de rectas perpendicularesguardan una relacion recıprocas negativas entresı. Esto es

m1 = − 1

m2

Y

X0

Otra forma de recordar esta relacion es a traves de la formula:

m1 · m2 = −1

Ejemplo 2.- Encuentre la recta que es perpendicular a 4y − 2x − 5 = 0 y pasa por el punto

(−5,−2). Exprese la recta en la forma pendiente-ordenada en el origen y grafique las dos rectas.

Solucion: Debemos conseguir primero la pendiente de la recta dada, para ello la escribimos en

la forma pendiente-ordenada en el origen

4y = 2x + 5

y =1

2x +

5

4

De aquı identificamos m =1

2. La pendiente de la recta perpendicular esta dada por

m1 =11

2

= −2

Ahora planteamos la ecuacion punto-pendiente para hallar la recta:


y − (−2) = −2(x − (−5))

Finalmente obtendremos la forma pendiente or-denada en el origen.

y + 2 = −2x − 10

y = −2x − 12

Y

X0

-10

-2


a) Encontrar la ecuacion general de la recta que corta el eje x en −3 y es paralela a la recta

2y + 5x − 8 = 0

b) Encuentre la recta que es perpendicular a 3x − 2y + 6 = 0y pasa por el punto (1,−3).

c) Encuentre la recta que es perpendicular a y+6 = 0 y pasa por el punto (5,−2). Recuerde:

La pendiente no es otra cosa que la tasa de cambio.

APLICACIONES:

Ejemplo 1.- La relacion y = 240.3t+13400 expresa el PIB de un paıs en miles de millones de

U.M. como funcion del tiempo, medido en anos desde el ano 2001. Diga el valor de la pendiente

y la ordenada en el origen. De una interpretacion de ambas.

Solucion: Directamente podemos ver que la pendiente es 240.3, este valor se puede interpretar

diciendo que el PIB esta creciendo a una razon promedio de aproximadamente 240.3 miles de

millones U.M. por ano. La ordenada en el origen es 13400, es el valor de y cuando t es cero. Este

valor se interpreta que es el PIB en el ano 2001.

Ejemplo 2.- Se estima que la cosecha de apio sera de 120 toneladas para la primera semana

de Septiembre y que crecera a una razon de 2.5 toneladas por semana a partir de esta fecha. Este

modelo es valido hasta el 1 de Diciembre. Encuentre el modelo lineal que relaciona el tamano

de la cosecha con el tiempo en semanas medido a partir del primero de Septiembre.


Solucion: En este problema nos dan la tasa de cambio de la cosecha de apio, su valor es

la pendiente de la recta, ella es m=2.5. Como t esta medido a partir de la primera semana de

Septiembre, b=120 es la ordenada en el origen por ser t = 0. Para este problema es recomendable

entonces usar la ecuacion pendiente-ordenada en el origen:

y = mt + b

Sustituyendo, obtenemos de una vez el modelo pedido

y = 2.5t + 120

Ejemplo 3.- Consiga la relacion lineal entre la temperatura Fahrenheit ◦F y la temperatura

en grados Centıgrados ◦C, sabiendo que el punto de ebullicion en grados Fahrenheit es 212◦F y

100◦C y el punto de congelacion es 32◦F y 0◦C.

Solucion: Para conseguir la relacion lineal entre C y F, debemos considerar que tenemos dos

puntos (C1, F1) = (0, 32) y (C2, F2) = (100, 212) de esta relacion. Primero calcularemos la

pendiente, en este caso C es la variable independiente x, y F la variable dependiente. Ası:

m =F2 − F1

C2 − C1=

212 − 32

100 − 0=

18

10=

9

5

Ahora usamos la ecuacion punto-pendiente-, debemos tener presente que en la coordenada y

hemos puesto los grados F :

F − F1 =9

5(C − C1)

F − 32 =9

5(C − 0)

Finalmente obtenemos:

F =9

5C + 32


Si el cambio de una cantidad con respecto al cambio de la otra permanece constante paratodos los valores x entonces la ecuacion que relaciona las dos variables es una recta y lapendiente es la razon (el cociente) entre los cambios.

Ejemplo 4.- El numero promedio de habitantes por casa ha estado disminuyendo en los

ultimos anos en el paıs, manteniendose una tendencia lineal con respecto al tiempo. En el ano

2000 habıa un promedio de 5.3 habitantes por casa. En el 2005 cerca de 4.8. Si N representa el

numero promedio por casa y t el numero de anos despues del 2000, a) Encuentre una ecuacion

lineal que represente N en funcion de t. b) ¿Cual es la prediccion para el ano 2010 de personas

por casa? c)¿Este es un modelo valido por mucho tiempo?

Solucion: a) Como el modelo se asume lineal debemos conseguir la ecuacion de la recta que

pasa por (t1, N1) = (0, 5,3) y (t2, N2) = (5, 4,8). Para ello primero calculamos la pendiente que

pasa por estos puntos

m =N2 − N1

t2 − t1=

5.3 − 4.8

0 − 5= −0.5

5= 0.1

Ahora usamos la ecuacion punto-pendiente:

N − N1 = −0.1(t − t1)

N − 5.3 = −0.1(t − 0)

N = −0.1t + 5.3

b) Para el ano 2010 han transcurrido 10 anos despues del 2000. Ası que en la ecuacion recien

obtenida evaluamos t en 10 para obtener el numero de habitantes promedio estimado para ese

ano

N = −0.1(10) + 5.3 = 4.3 habitantes por casa.

c) Este modelo no es razonable a largo plazo. Por ejemplo si pasa 50 anos el promedio de

habitantes por casa es 0.3 lo cual no tiene sentido.


Ejemplo 5.- Las reservas probadas de un mineral en cierto paıs en los actuales momentos

son de 12.5 millones de toneladas. Si la explotacion se mantiene constante en 20.000 toneladas

al mes y no hay nuevas exploraciones que aumenten las reservas probadas a) Justifique que hay

una relacion lineal entre las reservas y el tiempo, b) Consiga esa relacion lineal, c) ¿Cuando se

acabaran las reservas probadas? d) Dibuje la recta de reservas probadas contra el tiempo en

meses.

Solucion:

a) Como el cambio de las reservas es constante por mes (t) entonces hay una relacion lineal

entre ellas.

b) -20.000 toneladas representa la razon de cambio de y por mes (por una unidad de cambio

en t), ası que ella es la pendiente m=-20.000, recuerde que es razon de cambio. Expresamos

nuestras cantidades en millones, ası m=-0.02 millones por mes. Para conseguir la ecuacion de la

recta hace falta un punto en el plano. Como dan la informacion que hay 12.5 millones, tomamos

este como la coordenada y de las reservas. El tiempo lo inicializamos en 0 a partir de los actuales

momentos. Ası la recta pasa por (0,12.5). Se puede usar la ecuacion punto-pendiente o la ecuacion

ordenada en el origen para encontrar la ecuacion de la recta. Usamos la segunda pues 12.5 es la

ordenada en el origen:

y = mt + b

Lo que equivale a 52 anos se acabaran las actuales reservas con los niveles de produccion actual


Al sustituir los valores se obtiene:y = −0.02t + 12.5 millones detoneladasc) Se acabaran las reservas cuandoy = 0 Sustituimos este valor en laecuacion encontrada en b):

0 = −0.02t + 12.5 y se despeja t

t =12.5

0.02= 625 meses

Esta cantidad de meses equivale a52 anos.En conclusion: en 52 anos seacabaran las actuales reservasprobadas con los niveles de produc-cion actual.

Y

X600 800

Ejercicios:

1) Para cada par de puntos consiga la pendiente de la recta que pasa por ellos:

1.1.- (-1,2) y (-3,-4); 1.2) (0,1) y (-1,1); 1.3)

(

1,2

3

)

y

(1

3, 2

)

; 1.4) (3,1) y (3,5).

2) Para los siguientes determinar la ecuacion general de la recta que satisface las condiciones

indicadas

2.1) Pasa por el punto (3,-1) y tiene pendiente 4:

2.2) Pasa por el origen y tiene pendiente −1.

2.3) Pasa por el punto (2.-1) y tiene pendiente 0

2.4) Pasa por los puntos (3,5) y (4,0);

2.5) Pasa por los puntos (-2,1) y (1 ,0)

2.6) Pasa por los puntos (-2,-1) y (1.-3);

2.7) Pasa por los puntos (-2.1) y (9,1)

2.8) Es horizontal y pasa por (1,3);

2.9) Es paralela al eje; y pasa por (1,3)


2.10) Pasa por el punto (-2,5) y tiene pendiente

2.11) Pasa por los puntos (-2,1) y (1,1):

2.12) Pasa por los puntos (3,-1) y (3,0)

2.13) Pasa por el origen y tiene pendiente -3:

2.14) Tiene pendiente 3 y cota el eje y en -4

2.15) Tiene pendiente -2 y corra el eje y en 5;

2.16) Tiene pendiente 3 y corta el eje x en 1

2.17) Tiene pendiente3

4y corta el eje y en -4

3) Para la siguiente recta conseguir los cortes con ejes y graficar: y = 2x − 10

4) Graficar la siguiente: y =−3x

2

5) Encuentre, si existe, la pendiente, la intercepcion con el eje y, y grafique las siguientes

rectas:

5.1) 2y − 3x + 3 = 0; 5.2) y = 4; 5.3) 2y − 3x = 0;

5.4) 2x = y − 1; 5.5) x + 1 =1

5y; 5.6) x + 2y = 0

6) Diga si los siguientes pares de rectas son paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos.

6.1) 2x = y − 1, 4x + l − 2y = 0

6.2) 2y − 3x = 0, 2x + 3y + 1 = 0

6.3) x = 2y + 5, 2x + 3y + 1 = 0.

6.4) 3y + 4x + 1 = 0, 4x = 3y + 5

6.5) 3y + 4x + 5 = 0, 8y − 6x + 1 = 0

7) Para los siguientes encuentre la ecuacion de la recta que satisface las siguientes condiciones.

De su respuesta en la forma pendiente-ordenada en el origen en el caso que se pueda.

7.1) Pasa por el punto (1,2) y es paralela a la recta 2y − 3x + 1 = 0

7.2) Es paralela a la recta x = 5 y pasa por (1,-3).

7.3) Pasa por el punto (-1,4) es perpendicular a la recta 2y = x.

7.4) Pasa por el punto (-3,2) es perpendicular a la recta x − 3.


7.5) Es perpendicular a la recta y = −3x y pasa por la intercepcion de las rectas 3y+4x+5 =

0 y −2y − 3x + 1 = 0

7.6) Es perpendicular a la recta que pasa por (0,0) y (-1,2) y pasa por (2,3).

7.7) Pasa por el punto (0,-2) y es perpendicular la recta y=4.

7.8) Pasa por el punto (-1,2) y es paralela a la recta y = −2.

7.9) Es perpendicular a la recta 5y = −3x + 3 y corta el eje y en 5.

7.10) Es paralela a la recta x − 2y + 5 y pasa por origen.

7.11) Pasa por el punto (4,0) y es perpendicular a la recta 3y + 4x + 1 = 0.

8) Encuentre el valor de k para que la recta ky−3x+1, sea paralela a la recta 4y+6x+5 = 0

9) En el mismo sistema de coordenadas grafique los siguientes pares de rectas:

9.1)

4x − y = 5

x + 4y = 19.2)

3x + 2y = 3

2x − 3y = −1

¿Que relacion existe entre los siguientes pares de rectas?

Ax − By = C

Bx + Ay = C

1) En analisis de produccion, una lınea de isocosto es una lınea cuyos puntos representan

todas las combinaciones de dos factores de produccion que pueden ser compradas por la misma

cantidad. Suponga que un granjero tiene asignados 20.000 UM para la compra de x toneladas

de fertilizantes (con un costo de 200 UM por kg) y y de insecticida (con un costo de 2000

UM por galon). Determine una ecuacion de isocosto que describa las distintas combinaciones

que pueden ser compradas con 20.000UM. Observe que ni x ni y pueden ser negativas. (Resp.

20000 = 200x + 2000y)

2) Desde el comienzo del ano el precio de la gasolina corriente ha aumentado a una tasa

constante de 0.02 UM por litro al mes. Si el primero de junio el precio habıa llegado a 1.2 UM


por litro. Exprese el precio de la gasolina corriente como una funcion del tiempo y dibuje su

grafica. (Resp. p = 0.02t+1.08; t es el numero de meses contados a partir del primero de enero.)

3) En una companıa un empleado recien contratado cobra 150 UM y el empleado con cinco

anos de antiguedad recibe un sueldo de 250 UM . a) Hallar la ecuacion del sueldo en uncion

de tiempo que lleva en la companıa, suponiendo que hay una relacion lineal entre el sueldo y

el numero de anos que lleva trabajando en la companıa, b) ¿Cuanto cobrara un empleado que

lleva en la empresa 10 anos de servicio? (Resp. y = 20t + 150; 350)

4) La tarifa por el servicio de un ciber esta dado por la siguiente formula c = 8+0, 5t, donde

t es la cantidad de minutos consumidos. Exprese en un lenguaje sencillo como trabaja la tarifa.

5) Un taxista cobra 3 UM por parar y subir a los pasajeros y luego 2 UM por cada 100

metros de recorrido. Encontrar la ecuacion lineal que relacione la tarifa y los metros recorridos.

(Resp. v = 3 + 2x, donde x son los cientos de metros recorridos)

Problemas de Ciencias Naturales

1) Se encontro que la relacion entre la temperatura T (en grados centıgrados) y la profun-

didad x (medidos en kilometros) es lineal. Si se determino que a una profundidad de 3 km la

temperatura es 30◦C y a una profundidad de 25 km la temperatura es 80◦C. Determinar la

ecuacion que relaciona la temperatura con la profundidad ¿A que profundidad la temperatura

estara a 100 grados centıgrados? (Resp. T = 30 + 25(x − 3))

2) Se considera que para alturas inferiores a 11 Km, la temperatura varıa con la altitud

a razon de 6, 5◦C por Km. Si a una altitud de 1.6 km la temperatura es 27◦C. Consiga una

ecuacion que relacione la altitud con la temperatura.

3) La presion debajo del agua aumenta linealmente con la profundidad. Si a nivel del mar

la presion es de 15 libras por pulgada cuadrada y de 30 libras por pulgada cuadrada a 33 pies

debajo del nivel del mar. Si d es la profundidad y p la presion, encuentre una relacion lineal

entre la profundidad y la presion, b) Un determinado equipo no puede soportar mas de 35 libras

sobre pulgada cuadra de presion. ¿A que profundidad maxima puede estar el equipo?

Exprese su respuesta en el sistema ingles y en el sistema MKS.


(30lb/pul2 = 2.10930kg/cm2 35lb/pul2 = 2.46085kg/cm2 33 pies = 10.05840 Metros

15lb/pul2 = 1.05465kg/cm2)

4) El peso promedio P de una trucha en una laguna depende de la cantidad x de truchas

existentes de acuerdo al siguiente modelo

P = 600 − 1

2x

a) Bosquejar la grafica de P versus x. b) ¿Que ocurre cuando r = 1200? c) ¿Que puede

decir usted de este modelo cuando la cantidad de truchas es muy grande?

5) Cuando una barra de acero es calentada ella se expande una cierta cantidad de manera

lineal. Se estima que por cada grado C de temperatura que se aumente ella se expande 11 ×lO−6cm. Si a 0◦C la barra mide 2 m. Encontrar la relacion lineal entre la longitud de la barra

y la temperatura.

6) El aire seco al subir se enfrıa. Suponga que a 200 mt sobre el nivel del mar se tiene una

temperatura de 23◦C y a 2 Km es de 15◦C. Encontrar la relacion lineal entre la temperatura y

la altura, suponiendo que existe una relacion lineal entre ellas. ¿Cual es la temperatura a 1000

m sobre el nivel del mar?

Problemas de Administracion Ambiental

1) E1 costo y de reducir la emision de gases toxicos de un carro depende del porcentaje de

reduccion x de una manera lineal. Encuentre esta relacion sabiendo que si se reduce en un 20%

la emision, entonces el gasto es de 50 UM y si se reduce en un 25% el costo es 60 UM. Encuentre

la relacion lineal entre el costo y el porcentaje de reduccion de emisiones toxicas. Encuentre el

costo cuando el porcentaje de reduccion es 90%. (y = 2x + 10; 190)

Problemas de Administracion del Agro

1) En los ultimos anos se ha observado un incremento constante en la produccion de arroz

en cierta zona del paıs. Si en 1998 la produccion fue de 42 toneladas y en el 2002 la produccion

fue de 49 toneladas. Asuma que hay una relacion lineal entre la produccion de arroz en esa

zona y el tiempo medido en anos a partir de 1998 (t=0) a) Estime esta relacion. B)¿Cual

sera aproximadamente la produccion en 2010? (Resp. y =5

4t + 42;

139

2)


2) Se estima que el tamano de una cosecha es de 200 sacos para el primero de septiembre y

que aumenta a una razon constante de 3 sacos por semana. Encuentre la relacion lineal entre el

tamano de la produccion y el tiempo.(Resp. y = 200 + 3t con t medido en semanas)

3) Se quiere plantar dos tipos de arboles en una region. Las horas de trabajo por cada tipo

estan dadas en la tabla anexa.

Horas

Tipo I 1.4

Tipo II 1.1

Si se dispone de un maximo de 250 horas de trabajo. Encuentre la relacion entre el numero

de arboles a plantar de cada tipo si se utilizan por completo las horas de trabajo disponible.

(Resp. 1.4x + 1.1y = 250)

Problemas de Ciencias Sociales

1) En un paıs despues del ano 2000 ha estado incrementandose el empleo a un promedio de

0.02 cientos de miles de personas mensuales. Si en el ano 2000 habıa 2.5 millones de personas

empleadas y el empleo esta aumentando de una forma lineal, encuentre una relacion entre el

numero de personas empleadas y el tiempo t en meses, (y = 0.002t + 2.5 millones de personas)

2) Realizar el ejemplo 2 considerando que el tiempo cambia en anos. Primero calcule cambio

de las reservas cuando transcurre un ano.

3) En la pagina WEB del grupo del Banco Mundial aparece publicada entre otras estadıstica

la esperanza de vida en Brasil. Para el ano 2000 era 69,7, y para el ano 2004 fue de 70,9 anos,

a) Asuma que en esta decada la esperanza de vida sigue un modelo lineal, ajuste una ecuacion

a partir de estos dos datos, b) En la estadıstica aparece que en el ano 2003 la esperanza de vida

era de 70,6 anos. ¿Este dato satisface su ecuacion? Si es ası es pura casualidad, ya que este tipo

de modelo es aleatorio, c) Use el modelo en a) para predecir la esperanza de vida para el ano

2009. d) ¿Le parece razonable este modelo a largo plazo. Justifique?

7Funciones

El concepto de funcion es una de las herramientas fundamentales del calculo, ella permite

describir como una cantidad y depende de otra x. Por ejemplo:

1. Los costos totales de produccion, c, dependen de la cantidad de artıculos a producir, x

2. El nivel de contaminacion en una determinada region puede depender del numero de

vehıculos circulando en la vıa.

3. El area de un cırculo depende del radio.

4. La presion depende de la temperatura.

Una funcion tiene tres partes: Dos conjuntos A y B y una regla que relaciona dichos conjuntos.

Mas precisamente:

Definicion 7.1 Una funcion de un conjunto A a un conjunto B es una regla que asigna a cada

elemento de A exactamente un elemento de B. El conjunto A se denomina dominio de la funcion

y el rango de la funcion es un subconjunto de B formado por todos los valores asignados.

Aun cuando el dominio puede ser cualquier coleccion de objetos: personas, ciudades, etc.,

aquı solo consideraremos subconjuntos de R.

188

189

Una variable que represente los valores del dominio x se llama variable independiente y la

variable dependiente y es la que representa los valores del conjunto B, ya que su valor depende

del valor de la variable independiente.

Una forma de dar la relacion entre A y B es traves de ecuaciones o formulas, las mas usuales

son donde explıcitamente se indique como obtener y a partir de x. Por ejemplo y = x2+2x−1. A

las funciones se les suele colocar nombres, es frecuente usar las letras f, g, h, F, G. Podemos, por

ejemplo, llamarla la funcion que relaciona R con R mediante la ecuacion y = x2. Esta relacion

tambien la podemos escribir como f(x) = x2.

A B

x

y

f

Para desarrollos teoricos usamos la repre-sentacion de diagramas como el que se ilustrael la figura.Para indicar que f es una funcion con un do-minio A y codominio B se escribe:

f : A −→ B

Si esta en el dominio de f entonces decimos que f esta definida en x.

En una funcion, un elemento del dominio se leasocia un solo elemento en el rango. Sin embargopudiera ocurrir que dos elementos del dominio sele asocien el mismo elemento del rango.

A B

x1

y2

x2y1

x3

x4

f

f(x) se lee f de x o f en x o f evaluada en x.

190 CAPITULO 7. FUNCIONES

f(x) representa un valor del rango, este es el valor de la funcion en el punto x. Por ejemplo

si f(x) = x2, entonces

f(1) = 1

f(2) = 22 = 4

f(3) = 32 = 9

Tenemos que 1, 4 y 9 son valores del rango de esta funcion. Si el dominio esta, dado por todos

los numeros reales entonces el rango son los reales no negativos.

Usted podra observar que para evaluar una funcion en un valor simplemente hay que sustituir

la variable independiente por el valor.

Ejemplo 1.- Sea f una funcion cuyo dominio es R dada por f(x) = x2 − 3x. Encontrar los

siguientes valores de f. Simplifique:

a) f(−1), b) f(b) y c) f(b + 1)

Solucion:

a) Cuando tenemos que evaluar expresiones mas complicadas recomendamos que el estudi-

ante en un principio piense la funcion como:

f( ) = ( )2 − 3( )

Es decir colocar parentesis donde iba la x. Luego colocar dentro del parentesis el valor a evaluar,

ası por ejemplo. f(−1) es

f(−1) = (−1)2 − 3(−1)

Realizando simplificando queda f(−1) = 12 + 3. De aquı que f(−1) = 4

b) f(b) = b2 − 3b

c) Para evaluar la funcion en b + 1, colocamos dentro de los parentesis de

f( ) = ( )2 − 3( ) la expresion b + 1 :

191

f(b + 1) = (b + 1)2 − 3(b + 1).

Desarrollando tenemos:

f(b + 1) = b2 + 2b + 1 − 3b − 3.

Simplificando

f(b + 1) = b2 − b − 2

Ejercicio de desarrollo: Sea g una funcion cuyo dominio es R dada por g(x) =√

2x2 + 1.

Complete los espacios vacıos en los siguientes desarrollos a fin de encontrar los siguientes valores

de g

a) g(−3); b) g(2r) y c) g(x + h)

Desarrollo:

a) g(−3) =√

2(−3)2 + 1 =√

+ 1 =√

19. Observe donde se han colocados los parentesis.

b) g( ) =√

2( )2 + 1 =√

2( ) + 1 =√

8r2 + 1. (Complete los espacios en blancos)

c) De nuevo dejamos en blanco el espacio donde iba x, el estudiante debera colocar x + h en el

desarrollo:

g( ) =√

2( )2 + 1 =√

2( ) + 1 =√

2x2 + 4hx + 2h2 + 1

Cuidado:g(x + h) 6= g(x) + hg(x + h) 6= g(x) + g(h)

Recuerde: En un principio escribir la funcion sin la variable y donde iba la variable abrir y

cerrar parentesis, luego en cada parte colocar dentro de los parentesis el valor a evaluar.

Ejercicio de desarrollo: Sea f una funcion cuyo dominio es R dada por

f(x) = 2x2 − x + 1. Encontrar los siguientes valores de f.


a) f

(1

2

)

b) f(√

2 − 2)

c) f(x + h)

Tambien es importante evaluar expresiones que implique distintos valores de la funcion. El

siguiente ejemplo es importante en calculo.

Ejemplo 2.- Sea f una funcion cuyo dominio es R dada por f(x) = x2 − 3. Calcule con

f(x + h) − f(x)

hcon h 6= 0. Simplifique su respuesta

Solucion: Al sustituir obtenemos

f(x + h) − f(x)

h=

f(x+h)︷︸︸︷

(x + h)2 − 3−f(x)︷︸︸︷

x2 − 3

hDesarrollando y simplificando

=x2 + 2xh + h2 − 3 − x2 + 3

h=

2xh + h2

h

=(2x + h)h

h= 2x + h.

Ejercicio de desarrollo.- Sea f una funcion cuyo dominio es R dada por

f(x) = x − 2x2, h 6= 0. Calcule y simplifique.f(x + h) − f(x)

h

DOMINIO IMPLICITO

Definicion 7.2

Si la funcion se define mediante una formula, sin especificar el dominio, entonces se enten-

dera que el dominio es el subconjunto mas grande de R donde tiene sentido aplicar la formula y

el resultado es un numero real.

Ejemplo 3.- Encontrar el dominio de cada funcion

a) f(x) =√

1 − 3x; b) g(x) =4x + x2

x2 − 1

193

Solucion:

a) Para que la raız sea un numero real, el radicando tiene que ser mayor o igual a 0. Esto

es 1 − 3x ≥ 0

Tenemos que buscar las soluciones de esta desigualdad lineal.

−3x ≥ −1

x ≤ 1

3

Ası, el dominio de f es el intervalo

(

−∞,1

3

]

.

b) En el caso de la funcion g(x) =4x + x2

x2 − 1el dominio es el conjunto de todos los reales excep-

to aquellos numeros donde el denominador se hace 0 (pues la division entre 0 no esta definida).

Entonces tenemos que quitar a R los x′s que satisfacen

x2 − 1 = 0

Estos son:

x = ±1

Podemos expresar el dominio como

Dom g = R − {−1, 1}

Esto se lee como el conjunto de numeros reales excepto el −1 y el 1,

Recuerde:

1) Cuando queremos calcular el dominio de una funcion que tiene una expresion con radical

con ındice par se debe plantear la desigualdad: radicando mayor o igual a cero, pues e1 dominio

esta contenido en este conjunto para que la formula tenga valores reales. En este caso la solucion

suele ser un intervalo o uniones de intervalos.


2) Por otro lado si se tiene una fraccion donde la variable esta en el denominador, se debe

plantear la ecuacion denominador igual a 0, entonces deberemos quitar las soluciones de esta

ecuacion del conjunto de numeros reales que estamos considerando.

Ejemplo 4.- Encontrar el dominio de cada funcion

a)h(x) =√

x2 − 2x − 3; b)F (x) =x3 − 3x

2Solucion:

a) Como en la funcion h(x) =√

x2 − 2x − 3 existe un radical, el dominio es el conjunto solucion

de la desigualdad: x2 − 2x − 3 ≥ 0. (Recuerde que el radicando debe ser mayor o igual a cero).

Esta desigualdad es cuadratica, para resolverla empleamos el metodo de los signos: Factorizamos,

colocamos las raıces de los factores en la recta real, tomamos valores de prueba en los intervalos

definidos por las raıces y evaluamos en los factores, para finalmente ver el resultado del producto.

A continuacion se da el desarrollo lo anterior:

x2 − 2x − 3 = (x − 3)(x + 1)

−1 3

(−) (+)

(−)(−) (−)(+) (+)(+)

(+)

De la figura vemos que la solucionde la desigualdad:

x2 − 2x − 3 ≥ 0

es el conjunto (−∞,−1] ∩ [3,∞)Por lo tanto Dom h = (−∞,−1] ∪ [3,∞).

b) La funcion F (x) =x3 − 3x

2puede ser evaluada en cualquier parte. Cualquier numero real

puede ser elevado al cubo, restarle tres veces ese numero, para luego el resultado dividirlo entre

2. En conclusion

Dom F = R

En este ejemplo el denominador nunca es cero.

Comentario: Para los estudiantes que saben codificar expresiones en la calculadora pueden

pensar el dominio como los valores x donde al usar su calculadora no arroja E (error). Si usted

evalua la funcion f(x) =√

1 − 3x en -0.5 va obtener un valor real, sin embargo si evalua en

7.1. APLICACIONES GENERALES 195

1 (que no esta en el conjunto

(

−∞,1

3

]

= Dom f) obtendra error, porque el radicando es un

numero negativo.

Ejercicio de desarrollo.- Encontrar el dominio de cada funcion

a) f(x) =√

4 − x2; b) g(x) =4x + x2

x2 − x − 2; c) f(x) =

x2 + 1

2

7.1. Aplicaciones Generales

Ejemplo 1.- Se quiere tender dos tuberıas quesalgan desde un mismo punto de la orilla un la-go y lleguen 20 km. arriba a dos puntos difer-entes A y B de una ciudad, los cuales estan 5km. distantes uno del otro. Suponga que la lıneaque une estos puntos corre paralela al lago. De-termine los kilometros totales de tuberıa a em-plear en terminos de la distancia que hay entrela proyeccion de punto A al otro extremo dellago y el punto desde el cual sale la tuberıa x.

x 3x

BA

20

0

Solucion:

Por Pitagoras podemos ver que la distancia en kilometros desde el punto x a A es:

√

x2 + 202

v la distancia desde x a B es

√

(5 − x)2 + 202

La funcion buscada es la suma de estas dos distancias. En conclusion

f(x) =√

x2 + 202 +√

(5 − x)2 + 202

donde x ∈ [0, 5].


Ejemplo 2.- Se quiere cercar un terreno rec-tangular con 200 metros de malla. Si x y yson las dimensiones de los lados. a) Exprese elarea como funcion de x. b) Diga cual es el do-minio natural de esta funcion, tomando en con-sideracion las restricciones fısicas

x

y

Solucion:

a) El area esta dada por

A = x · y

En este caso la funcion area viene expresada en terminos de las dos variable x y y. Sin embargo

podemos sustituir y por una expresion que depende de x, debido a la relacion entre x, y y el

perımetro.

El perımetro del rectangulo esta dado por x + x + y + y y debe ser igual a 200.

x + x + y + y = 200

Esto es

2x + 2y = 200

De aquı podemos expresar y en funcion de x, despejando

y =200 − 2x

2

y = 100 − x

Sustituyendo y en el area, tenemos finalmente

A(x) = x · (100 − x)

b) Es claro que x tiene que ser mayor que 0. Pero tambien x debera ser menor que 100.

Ası Dom A = (0, 100)


Ejemplo 3.- Un museo de ciencias naturales tiene como polıtica admitir grupos grandes de

30 hasta 80 personas con la siguiente polıtica de rebajas. Para grupos menores o iguales a 30

personas la tarifa es de 160 UM, pero por cada persona adicional la tarifa por persona se reduce

en 2 UM. Exprese el ingreso del museo cuando recibe grupos de descuentos como funcion del

numero de persona por encima de 30.

Solucion: En este caso la variable independiente es

x = numeros de personas por encima de 30

Ası,

Numero de personas del grupo = x + 30 y

el precio de entrada por persona = 160 − 2x

El ingreso viene dado por

Ingreso = (numero de personas en el grupo)(Tarifa por persona)

Asi

I(x) = (x + 30)(160 − 2x)

Tal como se define la funcion el dominio I = (0, 80)

Ejemplo 4.- Se quiere construir un tanque de agua rectangular de l.000 m3 de capacidad, sin

tapa, donde el largo sea el triple del ancho. Se estima que la construccion del fondo es de 1.5

UM por metro cuadrado y la de los lados el doble. Expresar el costo de construccion en funcion

del ancho de la base.

Solucion: Lo primero es obtener un dibujo como se muestra en la figura, mostrando las variables:

ancho y altura, observe que el largo puede ser expresado en terminos del ancho.


x

3x

h

x = ancho de la base.h = altura

Por otro lado podemos expresar el costo en terminos de x y h. Para ello primero conseguimos

el costo de la base, cuya area es x · (3x) = 3x2 metros cuadrados, ası

Costo de la base = 1.5 − 3x2 = 4.5x2

El area de los laterales = x · h + x · h + 3x · h + 3x · h = 8xh.

De esta manera

El costo de los laterales = 3 · 8xh = 24xh Podemos entonces expresar el costo total en

terminos de x y h.

Costo total=Costo de la base+costo de los laterales .

Costo total = 4 · 5x2 + 24xh.

Como nos piden el costo solo en funcion de x, para hacerlo usamos la condicion

Volumen = 1000

x · (3x) · h = 1000

3x2h = 1000

Despejamos la variable h para luego sustituirla en la funcion de costo total

h =1000

3x2

Al sustituir, obtenemos el costo total solo en funcion de x.


1000 Costo total = C(x) = 4 · 5x2 + 24x

Simplificando

C(x) = 4 · 5x2 +8000

x

Comentario: La condicion

Volumen = 1000

que expresada en terminos de las variables puede ser escrita como:

3x2h = 1000

es llamada la ecuacion de restriccion, por ser una ecuacion que debe cumplirse. Otros autores

la llaman la ecuacion de ligadura porque establece la relacion que deben cumplir las variables.

En muchos problemas encontramos la ecuacion de restriccion. En el ejercicio del rectangulo,

ecuacion de restriccion o ligadura era

El perımetro = 200.

Escrita en terminos de la variable quedaba

x + x + y + y = 200

Ejercicios

1) Sea f(x) = x2 − 2x − 3. Calcular f(−3); f(2 +√

2) y f(5)

2) Sea f(x) =√

2x2 + 1 − 3. Calcular f(−2); f(−12) y f(2)

3) Sea f(x) =√

x + 5 Calcular f(−3); f(0) y f(5)

4) Determine a) f(2 + h) y b)f(2 + h) − f(2)

h, para las siguientes funciones

4.1) f(x) = 2 − 3x; 4.2) f(x) = 2x2 − 3x; 4.3) f(x) =2

x + 3


5) Para las siguientes funciones determine a) f(x + h) y b)f(x + h) − f(x)

h

5.1) f(x) = 2x2 − 3; 5.2) f(x) = 3x − x2; 5.3) f(x) =3

x;

5.4) f(x) =1

5 − x

6) Determine el dominio de las siguientes funciones:

Problemas Generales

1) Se corta un alambre de 20 cm. de longitud en cuatro trozos para formar un rectangulo.

Si x representa el lado mas corto. Expresar el area del rectangulo en funcion de x

(Resp. A(x) = (10 − x)x)

l

x

20

2) Desde un poste de 20 metros de altura sale un trozode cuerda que llega a nivel de piso x metros mas alla.Si l representan la longitud de la cuerda. a) Expresel como funcion de x. b) Exprese x como funcion de l.(Resp. 17 a) f(x) =

√x2 + 400

l

24

30

x

3) Desde un poste de 30 metros de alturasale un trozo de cuerda que llega a otro postede altura x metros, 24 metros mas alla. Si lrepresentan la longitud de la cuerda.

a) Exprese l como funcion de x.

b) Exprese x como funcion de l. (Resp.a) l(x) =√

(30 − x)2 + 242

a

r

4) Exprese el area de un sector circular de unacircunferencia, de radio fijo r, en funcion de a,el angulo del sector dado en grados.Recuerde que el area de un circulo esta dada porπ · r2.

Resp. A(a) =aπ · r2

360


5) En un descampado se quiere cercar un terreno rectangular de l.000 m2. Escriba la funcion

perımetro en terminos del ancho del rectangulo.

6) En ciertos terrenos se estima que si se plantan 600 naranjos por hectarea, se obtendra una

produccion-, promedio de 300 naranjas por mata y que por cada 10 arboles que se siembre de

mas hara que la produccion promedio por arbol disminuya en 3 unidades. Exprese la produccion

promedio por arbol en funcion del numero de arboles adicionales sembrados.

7) Con 120 metros se quiere cercar 2 corralesidenticos como muestra la figura, a) Exprese elarea total como funcion de x b) Diga cual es eldominio natural de esta funcion, tomando enconsideracion las restricciones fısicas.

Resp. A(x) = 60x − 3

2x2.

x

y y

Para los siguientes dos problemas se requiere conocimiento de rectas.

Ciencias Naturales

1) El aire seco al subir se enfrıa. Suponga que a 200 m. sobre el nivel del mar se tiene una

temperatura de 23◦C y a 2 Km es de 15◦C. Expresar la temperatura en funcion de la altura,

suponiendo que existe una relacion lineal entre ellas. ¿Cual es la temperatura a l000m sobre el

nivel del mar?

2) A nivel del mar el agua hierve a 100◦C . A una altitud de 1600m. sobre el nivel del mar

el agua hierve aproximadamente 92◦C. Suponiendo que existe una relacion lineal entre punto de

ebullicion y la altitud, calcule el punto de ebullicion en funcion de la altitud. (Nota: realmente el

punto de ebullicion depende de la presion atmosferica, pero esta se puede inferir por la altitud).

3) En ciertos terrenos se estima que si se plantan 100 matas de aguacates por hectarea, se

obtendra una produccion promedio de 400 aguacates por arbol en su edad adulta. Se estima que

por cada arbol que se siembre de mas hara que la produccion promedio por arbol disminuya

en 2 unidades. Exprese la produccion total de una hectarea en funcion del numero de arboles

adicionales sembrados. (Resp: −2y2 + 200y + 40.000)


7.2. Distintos Tipos de Funciones

Funciones Polinomicas

Una funcion f se llama funcion polinomica si es de la forma

f(x) = cnxn + cn−1xn−1 + . . . + c1x + c0,

donde n es un entero no negativo y los coeficientes cn cn−1 son numeros reales.

Si cn 6= 0, entonces n es el grado de la funcion polinomica y cn es el coeficiente principal. El

dominio de las funciones polinomicas son todos los numeros reales.

Hay funciones polinomicas especiales, algunas de ellas son

a.- Funcion constante: es una funcion de la forma f(x) − k, con k una constante. El

grado es 0. Por ejemplo f(x) = 2. Es una funcion que siempre asume el valor 2. Por ejemplo

f(−1) = 2; f(200) = 2

b.- Funcion lineal: es de la forma f(x) = ax + b. donde a y b son constantes, con c 6= 0. El

grado es 1. Por ejemplo f(x) = 4 − x

3es una funcion lineal, donde a = −1

3.

c.- Funcion cuadratica: es un polinomio de grado 2. Esto es f(x) = ax2 +bx+c, con a 6= 0

Ejemplo 1.- Diga si las siguientes funciones son polinomicas o no. En caso afirmativo clasifıque-

las de acuerdo al grado y senale el coeficiente principal.

a) f(x) =x

3es un polinomio de grado 1 o funcion lineal, con coeficiente principal −1

3

b) g(x) = x−3 + x no es un polinomio porque el exponente de la x del primer termino es

negativo. Funciones que involucren expresiones de la forma1

xntampoco seran funciones.

c) F (x) = x1/2 no es polinomica porque el exponente de la x es fraccionario. Funciones que

involucren expresiones tampoco seran polinomicas.

d) H(x) =√

2x3 − x − 1 es un polinomio de grado 3. El coeficiente del grado principal es√

2.

7.3. FUNCIONES RACIONALES 203

7.3. Funciones Racionales

Una funcion se llama funcion racional si puede ser escrita como un cociente de polinomios.

Ejemplo 1.- Determine si las siguientes funciones son funciones racionales

a) f(x) =3x − 1

x2 + x − 3. Es el cociente de polinomios y por tanto es una funcion racional.

b) f(x) = x−x−1 es una funcion racional. Observe que puede ser reescrita como f(x) =x − 1

x

c) f(x) = 4x2 − 2. Como esta funcion puede ser reescrita como f(x) =4x2 − 2

1y 1 es un

polinomio entonces es una funcion racional. Mas generalmente:

Una funcion polinomica es una funcion racional

7.4. Funcion Definida Por Partes.

En algunas ocasiones hace falta mas de una formula para poder definir una funcion. El

siguiente ejemplo ilustra una funcion definida por partes.

f(x) =

x2, si −5 ≤ x < 0

0, si 0 ≤ x < 1

2 + x, si 1 ≤ x ≤ 5

Claramente si f no esta en ninguno de estos conjuntos de x′s la funcion no esta definida. En

este ejemplo, el dominio de f es el intervalo [−5, 5]. Si queremos evaluar la funcion, tenemos que

determinar en que region esta el valor a evaluar para usar la formula correspondiente. Este tipo

de funcion, efectivamente, define una regla. La regla en este ejemplo es:

Si y esta en el intervalo [−5, 0) usamos la formula x2 para evaluar la funcion.

Si x esta en el intervalo [O, 1) la funcion esta definida por f(x) = 0 y por ultimo

Si x esta en el intervalo [1, 5] usamos la formula 2 − x para evaluar la funcion

Ejemplo 1.- Para la funcion f definida arriba encontrar:

Solucion:

a) f(−1) Observe que −1 esta en el intervalo [−5, 0), por tanto se usa la primera formula:


f(−1) = (−1)2 = 1.

b) f

(1

2

)

. Como esta en el intervalo [0, 1) se tiene que usar la segunda expresion. Por tanto

f

(1

2

)

= 0

c) f(1) Como 1 ≤ 1 ≤ 5 se tiene que usar la tercera expresion. Por tanto

f(1) = 2 + 1 = 3.

Las funciones definidas por partes tiene muchas aplicaciones y usos en matematicas.

Ejemplo 2.- El pago mensual para estar suscrito a un plan de llamadas de celulares es 20 UM

y contempla los primeros 50 minutos a una tarifa de 1.5 UM y 3 UM los minutos adicionales

durante el mes. Sea x el numero de minutos en llamadas del celular con este plan. Escriba la

funcion C(x) costo total del plan dependiendo de x, minutos de llamadas al mes.

Solucion: Observe que esta funcion la tenemos que definir en dos partes, dependiendo si x ≤ 50

o x > 50. En ambos casos tenemos que considerar que el plan sale a 20 mas el costo de las

llamadas. Es claro que si x ≤ 50, el costo total de estas llamadas sera de 1, 5 · x. Sin embargo si

x > 50, tenemos que considerar que los primeros 50 minutos se les aplico la tarifa de 1.5 UM y

los siguientes x − 50 minutos se les aplico la tarifa de 3 UM. Ası el costo total de las llamadas

en este caso es: 1.5 · 50 + 3(50 − x). De estas observaciones tenemos que:

f(x) =

20 + 1.5 · x x ≤ 50

20 + 75 + 3(x − 50) x > 50

Simplificando:

f(x) =

20 + 1.5 · x x ≤ 50

−55 + 3x x > 50

7.5. Funcion Valor Absoluto.

La funcion f(x) = |x| es llamada funcion valor absoluto. Esta funcion tambien la podemos

escribir por partes

7.5. FUNCION VALOR ABSOLUTO. 205

f(x) =

x si x ≥ 0

−x si x < 0

Ejercicios:

1) Clasifique las siguientes funciones como polinomicas FP o no NFP, Racionales FR o no

NFR. Justifique. En caso que sea polinomica diga el grado del polinomio y el coeficiente principal.

1.1) f(x) = 2x; 1.2) g(x) =x − 1

2x − 3; 1.3) g(x) = x2 + 3x5;

1.4) f(x) =√

3 − x; 1.5) f(x) =1

1 + 2x; 1.6) f(x) =

1

2x+ 3x;

1.7) f(x) =√

3x − 1; 1.8) g(x) =x3

x + 1; 1.9) h(x) =

√3x − 1

2) Para la siguiente funcion determine su dominio y evalue f(−2) y f(3)

f(x) =

x2 − 1 si x ≤ 0

x − 1 si 0 < x < 4

3x si x ≥ 43) Para la siguiente funcion determine su dominio y evalue g(2) y g(−1/2)

f(x) =

−1 si −2 ≤ x ≤ 0

3x + 7 si 0 < x ≤ 24) Una companıa de buses adopto la siguiente polıtica de precios para grupos que desean

contratar sus vehıculos. A los grupos de no mas de 40 personas se les cobrara una cantidad fija

de 2400UM (40x60). Los grupos que tienen entre 40 y 80 personas pagaran 60UM y las personas

adicionales a 40 tendran un descuento de menos 5UM. La tarifa mas baja de la companıa es

de 50UM por persona, se ofrecera a grupos de mas de 80 personas. Exprese el ingreso de la

companıa de buses como funcion del tamano del grupo.

Resp.

I(x) =

2400 si 0 ≤ x ≤ 40

55x + 200 si 40 < x ≤ 80

50x si x > 80


5) Un museo cobra la admision a grupos de acuerdo a la siguiente polıtica. Los grupos con

menos de 50 personas pagan 3.5UM por persona, mientras que los grupos de 50 personas o mas

pagan una tarifa reducida de 3UM por persona, a) Exprese la cantidad que pagara un grupo

por su admision como una funcion del tamano del grupo, b) ¿Cuanto dinero ahorrara un grupo

de 49 personas en el costo de admision si puede incluir un miembro adicional?

Resp.

P (x) =

3.5x si 0 ≤ x ≤ 50

3x si x > 50

b) 21.5 UM

6) Un camionero esta ofreciendo las patillas a 10 UM cada kilo si compran menos de 10

kilos, a 8 UM el kilo si compran entre 10 y 50 kilos y las deja a 6 UM si compran mas de 50

kilos. Determine el precio total de adquisicion de las patillas en funcion del numero de kilos que

comprara el cliente.

Resp.

f(x) =

10x si 0 ≤ x < 10

8x si 10 ≤ x ≤ 50

6x si x > 50

7) A fin de regular el consumo de electricidad la alcaldıa de una ciudad fijo las siguientes

tarifas. Los primeros 200HWh se pagara 3UM el KWh, para los siguientes 400 KW h pagara 5UM

el KW y 8 de allı en adelante. Exprese el valor de la factura como una funcion de la cantidad

de KWh consumidos al mes.

Resp.

V (x) =

3x si 0 ≤ x ≤ 200

5x − 400 si 200 < x ≤ 600

8x − 2200 si x > 600

8) La contaminacion atmosferica en una ciudad varıa de acuerdo a la hora del dıa. Sea t

el numero de horas despues de las 6:OO A.M. La funcion C(t) da el ındice de contaminacion

atmosferica en funcion de t.

7.6. GRAFICAS DE FUNCIONES 207

Resp.

C(x) =

3 + 3t si 0 ≤ t ≤ 3

12 + 2t si 4 < t ≤ 12

36 − 2t si 12 < t ≤ 16¿Cuales son los niveles de contaminacion a las 7:00a.m.; 12m y a las 7p.m.? (Respuestas: 6;

24; 10).9) Una piscina mide 36 metros de largo por 15de ancho. En las figuras tenemos un corte lon-gitudinal de la piscina. Como se podra observelos primeros 12 metros es totalmente horizontal.Luego empieza una declinacion como lo muestrala figura. Sea h el nivel del agua medido en ellado derecho desde el fondo de la piscina. Exp-rese el volumen del agua como una funcion de h.(Observe que tiene que definir una funcion porpartes, para h menor que 4 y para h entre 4 y10.

6

12

10

6

12

10

h

h

Resp.

v(h) =

45h2 si h ≤ 4

720 + 540(h − 6) si 4 < h ≤ 10

7.6. Graficas de Funciones

La representacion grafica entre x y f(x) puede ayudar a interpretar mejor las relaciones entre

x y f(x)

La grafica de una funcion f es el conjunto de todos los puntos (x, f(x)) donde x esta en el

dominio de f. Observe que la grafica de una funcion es la grafica de la ecuacion y = f(x).

Ejemplo 1.- Considere f(x) =√

x

a) Calcular el dominio de f b) Trazar la grafica de f

Solucion:

a) El dominio de f en este caso son los x tales que x > O.

b) Como se esta interesado en el trazo de la funcion y resulta imposible conseguir todos los

puntos de la grafica, solo se determinaran algunos punios de ella, los necesarios para hacerse


una idea de la forma de la grafica. Damos valores a x para obtener el valor de y a traves de la

formula y =√

x

x 0 1 2 9/4 4

y 0 1√

2 3/2 2 2 4

2

-2

-2 0

Y

X

Luego se hace un trazo suave uniendo los puntosde la grafica dibujados.

0

2

0 2 4

Y

X

Sin duda este no es el mejor metodo para graficar funciones. A lo largo de este capıtulo

daremos algunas tecnicas que facilitara determinar mas rapidamente la forma y las caracterısticas

mas importantes de la funcion. Posteriormente se estudiaran otras tecnicas para graficar.

7.7. Simetrıas

Para graficar funciones es util tomar en cuenta las posibles simetrıas. Esto se determina

estudiando si la funcion es par, impar o ninguna de las anteriores.

Definicion 7.3 Una funcion es par si f(x) = f(x) para todo x perteneciente al Dominio de f

e impar si f(−x) = −f(x)

7.7. SIMETRIAS 209

Observe que si una grafica es par y (x, y) es un punto de la grafica entonces (−x, y) tambien

esta en la grafica. Esto significa que la grafica es simetrica con respecto al eje y. Es decir, si

doblamos el papel a lo largo del eje y entonces el trozo de la grafica de la derecha coincide con

el de la izquierda.

Y

X

f es impar

Y

X

f es par

Similarmente vemos que si f es impar y (x, y) es un punto de la grafica de f entonces

(−x,−y) es tambien un punto de la grafica de f. La grafica de una funcion impar permanece

igual tras la rotacion de 180◦ en tomo al origen.

Ejemplo 1.- Para cada una de las siguientes funciones determine si es par o impar o ninguna

de las anteriores.

a) f1(x) = 2x2 + 2; b) f2(x) = 33 − x; c) f3(x) = 3x + 1.

Solucion: En todos los casos debemos evaluar la funcion en −x

a) f1(−x) = 2(−x)2 + 2 = 2x2 + 2 = f1(x), por tanto la funcion es par.

b) f2(−x) = 3(−x)3 − (−x) = −3x3 + x = −(3x3 − x) = −f2(x), por tanto la funcion es impar.

c) f3(−x) = 3(−x) + 1 = −3x + 1, lo cual es distinto de f3(x) y −f3(x), por tanto no es ni par

ni impar.


Ejercicio de desarrollo.- Para cada una de las siguientes funciones determine si es par o impar

o ninguna de las anteriores.

a) f1(x) =√

x2 + 1; b) f2(x) = 4x3 − x2

La simetrıa es una caracterıstica importante en una grafica, y esto hay resaltarlo, pero

tambien nos puede ahorrar trabajo, pues con la mitad de la grafica podemos obtener por simetrıa

el resto.

Ejemplo 2.- Bosquejar la grafica de f(x) = x2

Solucion: La funcion es par f(−x) = (−x)2 = x2 = f(x). Ası evaluaremos la funcion solo en

algunos numeros no negativos.

x 0 1 2 3 4

y 0 1 4 9 16

1

2

3

−1

2−2

Y

X

Ejemplo 3.- Bosquejar la grafica de f(x) = x3

Solucion: En este caso la funcion es impar f(x) = (−x)3 = −x3 = −f(x). Ası evaluaremos la

funcion solo en algunos numeros no negativos


x 0 1 2 3 4

y 0 1 8 27 64

Observe que los valores de y son bastante altoscomparados con los de x, ası se uso una escalamenor en el eje y para peder granear la funcion.

1

2

3

−1

−2

−3

2−2

Y

X

7.8. Intersecciones con los Ejes

Las intersecciones con los ejes es una caracterıstica que se toma en cuenta en muchas apli-

caciones.

La interseccion con el eje y es el punto donde la grafica de la funcion corta el eje y.

Para obtenerla colocamos x = 0 en y = f(x)dando un valor de y = b. El valor b es conocidocomo ordenada en el origen y el punto (0, 6) esel punto en el cual la grafica corta el eje y.

Y

X

(0,b)


Y

X(a1, 0) (a2, 0) (a3, 0)

Las intersecciones con el eje x son los pun-tos donde la grafica de f corta el eje y. Estospuntos son donde la coordenada y es 0, en-tonces para obtener estos punto planteamosf(x) = 0 y despejamos x.

Ejemplo 3.- Calcular las intersecciones con los ejes de las siguientes graficas

a) f(x) = x2 − 2; b) f(x) =√

x + 3

Solucion:

a) Interseccion con el eje y : Tenemos que evaluar la funcion en x = 0 para obtener la

ordenada en el origen

y = 02 − 2 = −2

Ası la ordenada en el origen es −2 y la grafica corta el eje y en el punto (0,−2).

Interseccion con el eje x : Tenemos que plantear la ecuacion y=0 para conseguir las abscisas en

el origen:

x2 − 2 = 0

x2 = 2

x = ±√

2

Ası las abscisas en el origen son x = ±√

2 y la grafica corta el eje x en los puntos y (√

2, 0) y

(−√

2, 0).

b) Interseccion con el eje y : Tenemos que evaluar la funcion en x = 0 para obtener la ordenada

en el origen


f(0) =√

0 + 3 =√

3

Concluimos que la ordenada en el origen es√

3 y la grafica corta el eje y en el punto (0,√

3).

√x + 3 = 0

(√

x + 3)2 = 0

x + 3 = 0

x = −3

De esta manera la abscisa en el origen es x = −3 y la grafica corta el eje x en el punto (−3, 0).

Ejercicio de desarrollo.- Para cada una de las siguientes funciones determine las intersecciones

con los ejes

a) f1(x) =√

x2 + 1 + 3; b) f2(x) = 4x3 − x2

Ejemplo 4.- Determine simetrıas, intersecciones con los ejes y bosqueje la grafica de f(x) =1

x.

Solucion:

Analicemos primero las simetrıas. Para ello evaluarnos f(−x)

f(−x) =1

−x= −1

x= −f(x). Concluimos que la funcion es impar y por tanto simetrica con

respecto al origen.

Veamos ahora intersecciones:

Para obtener el corte con el eje y deberıamos evaluar f en 0, pero la funcion no esta definida

en 0, (0 no esta en el Dominio de la funcion), pues la division entre 0 no esta definida. Ası no

hay corte con el eje y.

Para conseguir el corte con el eje y deberıamos plantear f(x) = 0, esto es

1

x= 0,

pero esta ecuacion no tiene solucion. Entonces la grafica de f tampoco tiene interseccion con eje

x. Evaluemos la funcion en algunos valores claves. Aquı es importante conocer el comportamiento


de la funcion para valores muy altos y valores cercanos a cero.

x y

0.001 1000

0.01 100

0.1 10

1/2 2

1 1

2 1/2

5 1/5

100 0.01 1

2

3

−1

1 2 3 4−1−2−3

Y

X

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3 4−1−2−3−4

Y

X

Como la grafica es simetrica con re-specto al origen entonces obtenemosfinalmente:

Ejercicio de desarrollo.- Grafique las siguientes funciones. Recuerde simetrıas, cortes y tabla

de valores.

a) f1(x) =√

x2 − 1 + 3; b) f2(x) = 4x3 − x2

7.9. PRUEBA DE LA RECTA VERTICAL 215

7.9. Prueba de la recta vertical

Recordemos que en ocasiones a una funcion se la puede definir a traves de una ecuacion

en dos variables. Esto es valido siempre y cuando para cada x en la ecuacion corresponda un

solo valor de y. Por ejemplo la ecuacion x2 + y2 = 1 no define una funcion pues al despejar

y, obtenemos para una misma x dos valores de y : y = ±√

1 − x2. Una manera alternativa

para determinar si una ecuacion define una funcion o no es a traves del grafico de la ecuacion

mediante la prueba de la recta vertical.

Una ecuacion define a una funcion si cada rectavertical corta la grafica de la ecuacion en a losumo un punto.

Y

X

Si es funcion

Si una recta vertical corta en dos puntos o masla grafica de la ecuacion entonces la ecuacion nodefine a una funcion.

Y

X

No es funcion

Si una ecuacion define a y como funcion de x y y no esta dada explıcitamente (no esta de-

spejada), diremos que y es una funcion implıcita de x.


7.10. Dominio y Rango a traves de la grafica de la funcion

Y

X

-1

1

1

2 x

f(x)

La figura muestra la grafica de una funciony = f(x). Se puede observar que f(2) = 1 esun elemento del dominio de f. El dominio de lafuncion es el conjunto [−1, 3], pues allı la fun-cion esta definida, ya que todos estos elementostienen asignados un valor y y cualquier otro val-or de x fuera de este intervalo no tiene asignadoninguna imagen.1 es la imagen de 2, 1 es un elemento del rangodel f. En la grafica podemos ver que el rango def es el conjunto [−2, 2], pues estos puntos y soloestos son imagen de alguna x.

Observe que el dominio de f es la proyeccion delgrafico sobre el eje x. Se deja al lector deducircomo obtener el rango de la funcion a partir dela grafica.

Y

X

7.11. Grafica de una funcion definida por partes

Ejemplo 1.- Grafique la siguiente funcion definida por partes. Diga el dominio y el rango de

la funcion

f(x) =

−x2 si x < 0

1 si 0 < x < 2

x − 1 si 2 ≤ x ≤ 4

7.11. GRAFICA DE UNA FUNCION DEFINIDA POR PARTES 217

Solucion: El dominio es el conjunto donde esta definida la funcion, en este caso

(−∞, 0)∪(0, 4]. Para trazar la grafica de la funcion haremos tres tablas de valores correspondientes

a las tres partes de la funcion. Se tomaran los valores extremos de los intervalos de las partes

ası no esten contenidos en las partes. Valores dentro de parentesis indicara que la funcion no

toma este valor pero podemos conseguir valores de esa parte de la funcion que se aproximan al

punto tanto como se quiera.

Primera parte: x en (−∞, 0)

Si x < 0, entonces f(x) = −x2, esto resulta un trozo de parabola. Recordemos que nor-

malmente se toman como valores de x los extremos del intervalo a granear si hace falta algun

punto extra. En este caso no hay extremo izquierdo, se tomaron dos valores en el interior de la

region: −2 y −1. En este caso 0 es el extremo derecho, evaluamos 0 : f(0) = −02 = 0 de nuevo

remarcamos que el punto (x, y) = (0, 0) no esta en la grafica pero la grafica se aproxima a este

punto, en el momento de granear este punto se senalara con un cırculo agujereado y se llevara la

grafica hasta este punto. Para recordar que este punto no esta en la grafica en la tabla de valores

lo colocamos entre parentesis.

x y...

...

-2 -4

-1 -1

(0) (0)

TABLA DE LA PRIMERA PARTE: x en (−∞, 0)

Segunda parte: x en (0, 2)

Si x esta entre 0 y 2 los valores de la funcion son siempre 1. De nuevo se insiste que el punto

(0, 1) no esta en la grafica, para indicar esto colocamos un cırculo agujereado en este punto,

es necesario calcular el valor del extremo para indicar que la funcion arranca desde allı en esta

parte (o bien termina).

x y

(0) (1)

(2) (1)

TABLA DE LA SEGUNDA PARTE: x en (0, 2)


Tercera parte: x en [2, 4]

Por ultimo, si x esta entre 2 y 4 entonces f(x) = x− 1. La representacion grafica es un trozo

de recta, es suficiente evaluar la funcion en los extremos de los intervalos para conseguir esta

parte de la grafica.

x y

2 1

4 3

TABLA DE LA TERCERA PARTE: x en [2, 4]

Todos estos valores los llevamos al plano cartesiano uniendo los puntos de las partes.

Comentarios: El punto (2, 1) esta incluido en la graficaporque esta en la tabla de valores de la tercera formula.La flecha en la parte izquierda de la curva indica que lagranea continua; El punto relleno en la derecha indicaque la grafica termina allı y ese punto pertenece a lagrafica

2 4

Por medio de la grafica podemos determinar el rango de la funcion f recuerde que es el

conjunto de valores y que son imagen de algun x en el dominio. En este caso

Rango f = (−∞, 0) ∪ [1, 3]


Grafique la siguiente funcion definida por partes. Diga el dominio y el rango de la funcion

f(x) =

3x si −1 < x ≤ 1

2x + 1 si 1 < x < 3

6 − x si x ≥ 4

(Recuerde: Realizar una tabla de valores por cada parte, debera incluir, de ser posible, los

valores de los extremos. Si un extremo de un intervalo no esta en la parte colocar un cırculo

agujereado.

7.11. GRAFICA DE UNA FUNCION DEFINIDA POR PARTES 219

Las tres partes se representan en una misma grafica pues el todo es la grafica de la funcion.

Use flecha para indicar que la grafica continua indefinidamente y el punto relleno o agujereado

para indicar que la grafica termina allı, alcanzandose ese valor o no.)

Y

X

EJERCICIOS

1) Clasifique las siguientes funciones como par, impar o ninguna de las anteriores.

1.1) f(x) = 2x; 1.2) g(x) =x2 − 1

2x2 − 3; 1.3) f(x) =

√x2 + 5;

1.4) g(x) = x2 − 3x4; 1.5) f(x) = x3 − x − 1; 1.6) g(x) = x4 + 4x2 − 4;

1.7) f(x) =1

1 + 2x3; 1.8) f(x) =

1

x3 − 2x;

1.9) f(x) = (x4 − 2x2 − 1)(√

x2 − 5); 1.10) f(x) = (x5 − 2x3)(x3 − x).

2) Calcule las intersecciones con los ejes de la grafica de las siguientes funciones

2.1) f(x) = 2x; 2.2) g(x) =x2 − 1

2x2 − 3; 2.3) f(x) =

√x2 + 5;

2.4) g(x) = x2 − 3x4; 2.5) f(x) = 2√

x2 + 1 − 3; 2.6) f(x) = x(x − 3)(x − 4)(x − 7);

2.7) f(x) = x3 − 3x2 − 4x; 2.8) g(x) =x

x2 + 4; 2.9) g(x) =

3x

x2 − 4+ 1;

2.10) h(x) = x3 − 2x2 − 5x + 6.


3) Consiga simetrıas, intersecciones con los ejes y bosqueje las graficas de las siguientes

funciones

3.1) f(x) = −x + 3; 3.2) f(x) =1

1 + x2; 3.3) f(x) =

√x2 + 5;

3.4) g(x) = x4 − 2x2; 3.5) f(x) = −2x3 − 1

4) Grafique las siguientes funciones definidas por partes. Diga el dominio y el rango de la

funcion

4.1) f(x) =

x2 − 1 si −1 < x ≤ 0

2x si 0 < x < 3

−1 si x ≥ 3

4.2) f(x) =

x2 − 1 si x < −1

2x si |x| ≤ 1

−1 si x > 1

4.3) f(x) =

−x − 2 si −1 < x ≤ 0

x2 si 0 < x < 2

x + 1 si x ≥ 2

4.4) f(x) =

√9 − x2 si 0 ≤ x ≤ 3

3 − x si x ≥ 3

5) Diga si las siguientes ecuaciones definen o no una funcion a traves de la prueba de la recta

vertical.

5.1) y2 + 4x2 − 1 = 0; 5.2) x + xy − 1 = 0; 5.3) y + 2x = 1; 5.4) yx2 − 1 = 0

6)

a) Demuestre que si f es un polinomio tal que los coeficientes de grados pares son 0 entonces

la funcion es impar y si g es un polinomio tal que los coeficientes de grados impares son 0

entonces la funcion es par.

b) Demuestre que si f y g son pares entonces: f + g, f − g y f · g, son pares yf

ges par

donde este definida. Asuma que los dominios de f y g coinciden.

c) Demuestre que si f y g son impares entonces: f + g, f − g son impares y f · g yf

gson

pares en su dominio.

7.12. OPERACIONES CON FUNCIONES 221

d) Sea f una funcion no negativa. Demuestre que si f es par entonces y f es par entonces

Realice de nuevo el ejercicio VI con estos resultados.

7.12. Operaciones con funciones

A menudo se definen nuevas funciones a partir de otras. Por ejemplo la funcion f(t) representa

el numero de mujeres trabajando en un paıs en funcion del tiempo y g(t) el numero de hombres

trabajando. La suma f(t) + g(t) representa la cantidad total de personas trabajando en funcion

del tiempo.

Podemos considerar la suma como una nueva funcion que la representaremos como f + g o

(f + g), definida por

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

Igualmente podemos definir f − g, fg yf

gcomo sigue

(f − g)(x) = f(x) − g(x)

(f · g)(x) = f(x) · g(x)

(f

g

)

(x) =f(x)

g(x)

Los dominios de f +g, f−g y fg son la parte comun del dominio de f y g, esto es la interseccion

de ambos dominios, pues debe estar definida para f y g simultaneamente. El dominio def

ges

igualmente la parte comun de los dominios menos los r′s tales que g(x) = 0, esto es con el fin

de evitar la division entre 0. En notacion conjuntista esto es

Domf

g= Dom (f · g) − {x/g(x) = 0} :

Ejemplo 1.- Sean f(x) =√

x2 − 1 y g(x) =x − 1

2x − 3. Encuentre (f +g)(x), (f−g)(x), (fg)(x)

y

(f

g

)

(x) y establezca su dominio.


Solucion: El dominio de f es el conjunto (−∞,−1] ∪ [1,∞). El Dom g = R − {3/2}

Los dominios de de f + g, f − g y fg son la interseccion o parte comun de los dominios de

f y g. Esto es:

Dom (f + g)(x) = Dom (f − g)(x) = Dom (f · g)

= Dom f ∩ Dom g = (−∞,−1] ∪ [1,3

2

)

∪(

3

2,∞ ]

-1 1

-1 1 3/2

dom f

dom g

dom f+g

Por otro lado:

(f + g)(x) =√

x2 − 1 +x − 1

2x − 3

(f − g)(x) =√

x2 − 1 − x − 1

2x − 3

(fg)(x) =√

x2 − 1 · x − 1

2x − 3

Para el cociente tenemos que considerar aquellos puntos tales que g(x) = 0, esto es la solucion

de esta ecuacion es x = 1 (cuando el numerador es cero). Ası que este punto lo tenemos que

quitar de la parte comun de los dominios de f y g. De aquı concluimos que:

Domf

g= (−∞,−1] ∪ [1,

3

2

)

∪(

3

2,∞ ]

-1 1 3/2

y

(f/g)(x) =

√x2 − 1x − 1

2x − 3

=(2x − 3)

√x2 − 1

x − 1

Domf

g= Dom (f + g) − {x/g(x) = 0}

= (−∞,−1] ∪ [1,3

2

)

∪(

3

2,∞ ] − {1}

= (−∞,−1] ∪ [1,3

2

)

∪(

3

2,∞ ]

7.12. OPERACIONES CON FUNCIONES 223

Observacion. Si usamos esta ultima formula para obtener el dominio nos darıa que 3/2 estarıa

en el dominio de f/g, pero recuerde que para definir f/g tiene que tener sentido evaluar la

funcion tanto en f como en g y en este caso g no esta definida en 3/2.

Recuerde:

1)Dom(f + g)(x) = Dom(f − g) = Dom f · g = Dom f ∩ Dom g

2)Domf

g= Dom(f + g) − {x/g(x) = 0}

Ejercicios de desarrollo.- Dadas las funciones f(x) =√

x2 − 1 y g(x) = x3 − 3x2 + 2x,

determinar (f + g)(x), (f − g)(x), (fg)(x) y

(f

g

)

(x) y establezca el dominio de cada una.

Si una funcion la podemos interpretar como suma, diferencia o multiplicacion de dos fun-

ciones, podemos usar lo dado arriba para calcular el dominio de ella. El siguiente ejemplo ilustra

el procedimiento.

Ejemplo 2.- Calcular el dominio de las siguientes funciones:

a) f(x) =√

1 − x − 2

x2 − 4; b) g(x) =

√x2 − 4

7 − 2x

Solucion:

a) La funcion f la podemos interpretar como la diferencia de

f1(x) =√

1 − x y f2(x) =2

x2 − 4

Observe que la funcion se ha descompuesto en dos partes donde la funcion presenta problemas

diferentes. El dominio de f debe ser la parte comun del dominio de f1 y el dominio de f2 a fin

de que no existan problemas a la hora de evaluar f.

El dominio de f1 es el intervalo (−∞, 1]

El dominio de f2 es el conjuntoR − {−2, 2}

1

2

-2 1

Dom f1

Dom f2

Dom f

La interpretacion entre estos dos subconjuntos es:

Dom f1 ∩ Dom f2 = (−∞,−2) ∪ (−2, 1]


De aquı que Dom f = (−∞,−2) ∪ (−2, 1].

b) La funcion g la podemos interpretar como la multiplicacion de g1(x) =√

x2 − 4 y g2(x) =

1

7 − 2x

El dominio de g1 es el conjunto(−∞,−2] ∩ [2,∞)

El dominio de f2 es el intervaloR − {7/2}

-2 2

-2 2 7/2Dom g

Dom g1

Dom g2

La interseccion o parte comun entre estos dos subconjuntos es:

Dom g1 ∩ Dom g2 = (−∞,−2] ∪ [2, 7/2) ∪ (7/2,∞).

Remarcamos que: El dominio de g es la interseccion de los dominios de g1 y de g2 pues para

estos valores y solo en estos no existe problemas a la hora de evaluar g. Concluyendo:

Dom g = (−∞,−2) ∪ [2, 7/2) ∪ (7/2,∞).

Observacion: El ejercicio anterior se pudo resolver interpretando la funcion g como un cociente

Ejercicio de desarrollo.- Calcular el dominio de la siguiente funcion:

f(x) =√

3x − x2 +2

x2 − 4Ejercicios:

1) Para cada uno de los siguientes pares de funciones encuentre (f + g)(x),

(f −g)(x), (fg)(x) y

(f

g

)

(x) y determine para cada una de ellas su dominio. Simplifique tanto

como sea posible.

1.1) f(x) = 2x y g(x) =x − 1

2x − 3; 1.2) f(x) =

√x + 5 y g(x) = x2;

1.3) f(x) =√

3 − x y g(x) =√

x − 1; 1.4) f(x) =1

1 + 2xy g(x) = x2 − 1;

1.5) f(x) =x − 1

x + 2y g(x) =

x

x + 1; 1.6) f(x) =

1

1 − 2xy g(x) = x + 1;

1.7) f(x) =x

4 − x2y g(x) =

2

x + 2; 1.8) f(x) =

√x2 − 4x y g(x) = x2;

7.13. FUNCION COMPUESTA 225

2) Sea f(x) =√

x y g(x) = x2 − 1. Encuentre

2.1) (f + g)(1); 2.2) (f − g)(4); 2.3) (fg)(0); 2.4)

(f

g

)

(3)

3) Calcule el dominio de las siguientes funciones

3.1) f(x) =√

x + 1 − x; 3.2) f(x) =

√x + 1

x2 − 3; 3.3) g(x) =

√1 − x2 − 1

x;

3.4) h(x) =√

1 − x + 2√

x; 3.5) f(x) =1

x3 − 3x− 1

x + 1; 3.6) g(x) =

x√1 − x

7.13. Funcion compuesta

A

B

C

x

f(x)

f

g

f ◦ g

z = (f ◦ g)(x)

= f(y)

Imaginemos que se tiene una cantidad en fun-cion de una variable y y esta variable tambienpuede ser expresada en terminos de una segundavariable x, entonces podrıamos estar interesadosen expresar la cantidad directamente en funcionde x. Por ejemplo la utilidad depende de la de-manda q del mercado y a su vez la demandadepende del precio p que se coloca al consumi-dor. En definitiva podemos expresar la utilidadtambien en terminos del precio p.Esta operacion entre funciones es conocida comola composicion, dando como resultado la funcioncompuesta. Veamos mas precisamente su defini-cion.

Definicion 7.4 Dadas dos funciones f y g, se define la funcion compuesta f ◦ g como

(f ◦ g)(x) = f(g(x))

El dominio de (f ◦ g) es el conjunto de todos los x del dominio de g tales que g(x) pertenece al

dominio de f

Para calcular (f ◦ g) primero se puede sustituir g(x), y luego se evalua f en la formula de

g(x), esto es f(g(x)). En este caso decimos que f es la funcion externa y g es la funcion interna.

La funcion (f ◦ g) en general es distinta a la funcion (g ◦ f), en esta ultima se evalua g en f,

esto es g(f(x)). En los ejemplos se remarcara esta observacion.


El dominio puede ser expresado a traves de operaciones conjuntistas como:

Dom (f ◦ g) = {x /x ∈ Dom (g) y Dom (f)}


1 + x y g(x) = 2x − 1. Encuentre las siguientes funciones y

determine su dominio.

a) f ◦ g b) g ◦ f

Solucion: Se puede verifcar que Dom f = [−1,∞] y Dom g = R

a) Calculemos primero (f ◦ g)

(f ◦ g)(x) = f(g(x)) Se sustituye primero g(x)

= f(2x − 1) Se evalua f en 2x − 1

=√

1 + (2x − 1) Se simplifica

=√

2x

Para calcular el dominio tomamos en consideracion el dominio de g, en este caso todos los reales

y nos restringuimos a aquellas x′s tales que g(x) esta en [−1,∞) = dom f. Esto es:

g(x) ≥ −1 Observe como la expresion:

2x − 1 ≥ −1 “g(x) esta en [−1,∞)”

Se paso en terminos de desigualdad

La solucion de esta desigualdad es x ≥ 0. De aquı Dom f ◦ g = [0,∞)

b) Calculemos primero (g ◦ f)

(g ◦ f)(x) = g(f(x)) Se sustituye primero f(x)

= g(√

1 + x) Se evalua g en√

1 + x

= 2√

1 + x − 1

Para calcular el dominio tomamos en consideracion el dominio de f, en este caso [−1,∞) y nos

restringimos a aquellas x′s tales f(x) estan en el dominio de g. Pero como dominio de g son


todos los reales queda Dom g ◦ f = [−1,∞).

En formulas tenemos

Dom (g ◦ f) = {x /x ∈ Dom (f) y f(x) ∈ Dom (g)}

= {x /x ∈ [−1,∞) y g(x) ∈ R}

= [−1,∞).

Observe con estos ejemplos que efectivamente

(f ◦ g)(x) 6= (g ◦ f)(x)


1 + x y h(x) = x2. Encuetre las siguientes funciones y determine

su dominio

a) f ◦ h; b)h ◦ f

Solucion: Se puede verificar que Dom f = [−1,∞) y Dom h = R

a) Calculemos primero f ◦ h

(f ◦ h)(x) = f(h(x)) = f(x2) =√

1 + x2

Calculemos el dominio de esta composicion:

Dom (f ◦ h) = {x /x ∈ Dom (h) y h(x) ∈ Dom (f)}

= {x /x ∈ R y x2 ∈ [−1,∞)}

= {x /x2 ≥ −1} = R

b) Calculemos la funcion h ◦ f

(h ◦ f)(x) = h(f(x)) = h(√

1 + x) = (√

1 + x)2 = 1 + x

Calculemos el dominio de esta descomposion

En formulas tenemos


Dom (h ◦ f) = {x /x ∈ Dom (f) y f(x) ∈ Dom (h)} =

= {x /x ∈ [−1,∞) y√

1 + x ∈ R}. Recuerde que√

1 + x ∈ R siempre se cumple

= {x /x ∈ [−1,∞)} = [−1,∞)

Observe que el dominio de la funcion definida por la formula 1 + x, la cual es la misma formula

que (h ◦ f)(x), es R diferente al dominio de (h ◦ f)(x) el cual es [−1,∞).

No podemos calcular el dominio de una composicion a traves de su formula. Veamos otro

caso.

Ejemplo 3.- Sea f(x) =1

x. Encuentre f ◦ f y determine su dominio

Solucion.- Se puede verificar que Dom f = R − {0}. a) Calculemos primero f ◦ f

(f ◦ f)(x) = f(f(x)) = f

(1

x

)

=11

x

= x

Ejercicio de desarrollo.- Sean f(x) =√

1 − x2 h(x) =2x

4 + x2− 1. Encuentre las siguientes

funciones y determine su dominio

a) f ◦ g, b) g ◦ f, c)h ◦ g, g ◦ h

Ejemplo 4.- Exprese las siguientes funciones como la composicion de dos funciones.

a)h(x) =√

1 + 3x; b)h(x) =1

(2x − 1)2

Solucion.- Este tipo de ejercicio trata de proponer f y g tal que h puede ser expresada como

la composicion de estas dos funciones. Esto es: (f ◦ g)(x) = h(x). Para resolver este tipo de

ejercicio debemos considerar el orden de las operaciones que se hacen.

a) En este caso podemos interpretar 1 + 3x lo primero que se hace y luego se extrae la raız.

Ası que una posibilidad para expresarlo como composicion de dos funciones es definir f(x) =√

x

y g(x) = 1 + 3x. Verifiquemos:


(f ◦ g)(x) = f(g(x))

= f(1 + 3x)

=√

1 + 3x = h(x)

Comentario: Normalmente la funcion g(x) = 1+3x es llamada la funcion interna y f(x) =√

x

la funcion externa

b) De nuevo este ejercicio, dependiendo como interpretemos la funcion, puede tener varias re-

spuestas. A fin que el estudiante verifique su respuesta debera realizar la composicion. Una

forma conveniente y muy frecuente de ver esta funcion como composicion de dos funciones es

reescribiendo primero la funcion como:

h(x) = (2x − 1)−2

Ahora interpretamos que 2x − 1 como la parte mas interna y que luego se eleva a la −2.

Ası que una posibilidad para expresarlo como composicion de dos funciones es definir f(x) =

x−2 y g(x) = 2x − 1. Verifiquemos:

(f ◦ g)(x) = f(g(x))

= f(2x − 1)

= (2x − 1)−2 = H(x) Recuerde: verificar a fin de chequear su respuesta

Aplicaciones

Ejemplo 1.- Se ha estimado que la demanda q de la gasolina en funcion del precio es

q(p) =5400

1 + 2p

miles de litros por dıa. Se preve que el precio de la gasolina aumente en funcion del tiempo a

un valor por litro de p(t) = 0.02t2 + 0.1t + 10 UM en el mes t.

a) Expresar la demanda mensual en funcion del tiempo t.


b) ¿Cual sera el consumo de gasolina dentro de un ano?

Solucion:

a) Como la demanda es funcion del precio a traves de la relacion q(p) =5400

1 + 2py el precio del

tiempo por la relacion p(t) = 0.02t2 + 0.1t + 10. Entonces la funcion compuesta esta dada:

(q ◦ p)(t) = q(p(t)) =5400

1 + 2p(t)=

5400

1 + 2(0.02t2 + 0.1t + 10)

q(p(t)) =5400

0.04t2 + 0.2t + 21

expresa la demanda mensual en funcion del tiempo.

b) Como t esta dado en terminos de meses, debemos evaluar la formula anterior en t = 12.

q(p(12)) =5400

0.04(12)2 + 0.2(12) + 21=

5400

29, 16= 185, 18 miles de litros de gasolina

Ejemplo 2.- Un incendio en una sabana se propaga en forma de cırculo. Si el radio de este

cırculo aumenta a una velocidad de 30m/h, exprese el area total en funcion del tiempo en horas.

Solucion: El area en funcion del radio es:

A(r) = π · r2

Por otro lado el radio en el momento t = 0 es 0, y al cabo del t horas lo podemos deducir a

traves de la relacion:

v =r

t.

donde v = 30, ası el radio en funcion del tiempo es:

Para obtener el area de la region incendiada tenemos que realizar la composicion entre la

A(r) y r(t). De esta manera obtenemos

A(r(t)) = π(r(t))2 = π(30t)2

A(t) = 900π · t2


Ejercicios

1) Sean f(x) =√

x y g(x) = x2 − 1. a) Encuentre (f ◦ g)(−2); b) encuentre (g ◦ f)(2);

c) verifique que (g ◦ f)(x) = x − 1; d) ¿ Puede evaluar (g ◦ f)(−2)?

2) Sean f(x) =1

x + 2y g(x) =

1

x + 1. a) Calcule el dominio de h(x) =

x + 1

2x + 3;

b) verifique que (f ◦ g)(x) =x + 1

2x + 3; c) ¿ −1 pertenece al dominio de (f ◦ g)?

3) Para cada uno de los siguientes de funciones encuentre f ◦ g, g ◦ f y f ◦ f y determine

para cada una de ellas su dominio. Simplifique tanto como sea posible.

3.1) f(x) = 2x y g(x) =x − 1

2x − 3; 3.2) f(x) =

√x + 5 y g(x) = x2;

3.3) f(x) =√

3 − x y g(x) =√

x − 1; 3.4) f(x) =1

1 + 2xy g(x) = x2 − 1;

3.5) f(x) =1

1 − 2xy g(x) = x + 1; 3.6) f(x) = x − 1 y g(x) =

x

x + 1;

3.7) f(x) =1

2 − xy g(x) =

x

x + 1; 3.8) f(x) =

√4 − x2 y g(x) = 1 +

√x2 − 1

4) Exprese las siguientes funciones como la composicion de dos funciones

4.1) f(x) =1

(1 + 2x)2; 4.2) g(x) = (2x + 1)5;

4.3) g(x) =

√x

x + 1; 4.4) f(x) =

1

1 + 2√

x + 1

Problemas en ciencias naturales

1) Un barco deja una mancha circular de aceite que se va expandiendo en forma circular.

El radio de la mancha sigue el modelo r(t) = 0.5(√

t + 3√

t)cm, donde t es medido en minutos.

Encotrar el area en funcion del tiempo.

2) Se ha estimado que la contaminacion por monoxido de carbono depende en ciertas zonas

del planeta del tamano de la poblacion mediante la relacion:


C(p) =

√2000 + 0.5p

10partes por millon

donde p esta dado en miles de habitantes. Estudios demograficos han estimado que dentro de t

anos la poblacion de una ciudad sera de

p(t) = 700 + 3t2

Exprese el nivel de contaminacion en funcion del tiempo. ¿ Cuando llegara el nivel de monoxido

a 6 ppm?

7.14. Operaciones geometricas de graficas

En esta seccion estudiaremos como granear funciones a partir de las graficas de funciones

conocidas mediante operaciones geometricas de traslacion, reflexion, contraccion y alargamiento.

Anteriormente se ha obtenido el trazo de una serie de graficas muy usadas en el calculo.

Estas graficas conviene siempre tenerlas en mente. Ellas seran la base para graficar una familia

de funciones.

Y

X

y=x

Y

X

y = x2

7.14. OPERACIONES GEOMETRICAS DE GRAFICAS 233

Y

X

y =1

x

Y

X

y = x3

Y

X

y =√

x

Suponga que la grafica de y = f(x) es conocida y c una constante. A continuacion veremos

como obtener las graficas de y = f(x) + c; y = f(x + c); y = −f(x) y y = cf(x) a partir de

la grafica de f

1.- Funcion y = f(x)+c, con c > 0. Si un punto (x, y) esta en la grafica de y = f(x), entonces

(x, y + c) esta en la grafica de y = f(x) + c. De aquı que la grafica de y = f(x) + c es la grafica

de y = f(x) trasladada verticalmente c unidades hacia arriba.

2.- y = f(x)−c, c > 0. Por un razonamiento analogo, la nueva grafica se consigue trasladando

verticalmente la original c unidades hacia abajo.

Ejemplo 1.- Bosquejar y = x2 + 3.

Solucion:


Las ordenadas de esta grafica son 3unidades mas que las ordenadas de lagrafica de y = x2, para cada x. Esto haceque la grafica de y = x2+3 este 3 unidadespor arriba de la grafica de y = x2

Y

X

y = x2

y = x2 + 3

3

3.- y = f(x + c), c > 0. Observe que esta nueva funcion asume los mismos valores y de

y = f(x) pero en la abscisas x − c. Esto significa que la grafica esta desplazada c unidades a la

izquierda de la grafica y = f(x).

4.- y = f(x− c), c > 0. Similarmente la nueva funcion tiene las mismas y que y = f(x) pero

asumiendo estos valores en x + c. Esto significa que la grafica de y = f(x− c) esta c unidades a

la izquierda de la grafica de y = f(x).

Ejemplo 2.- Trazar la grafica de las siguientes funciones. Determine geometricamente el

dominio y rango de la funcion

a) y =1

x − 3; b) y = x + 2

Solucion:

a) La grafica y =1

x − 3es la grafica de y =

1

xtrasladada 3 unidades a la derecha. Se recomienda

al trabajar pon la grafica de y =1

xtrasladar el eje que corresponda como una recta punteada.

En este caso se traslada la recta vertical x = 0 tres unidades a la derecha


Y

X

y =1

x

Y

X3

x=3

y =1

x − 3

De la grafica de y =1

x − 3, vemos claramente que x = 3 es el unico punto de la grafica

que no tiene imagen (al proyectar la grafica sobre el eje x el unico valor que no esta en esta

proyeccion es x = 3). Por tanto el dominio de f es el conjunto R − {3}.

Ejemplo 5.- Granear y = −√x.

Solucion: La grafica de y = −√x es una reflexion en torno al eje x de la grafica de y =

√x

Y

X

y =√

x

Y

X

y = −√

x

El siguiente ejemplo ilustra como puede ser obtenida la grafica de algunas funciones a traves

de varias operaciones geometricas.

Ejemplo 6.- Granear y =√

x − 3 − 2. Determine el dominio y el rango de la funcion por


medio de la grafica

Solucion.- Para obtener esta grafica primero obtendremos la de y =√

x − 3 y a partir de esta

haremos una traslacion vertical 2 unidades hacia abajo para obtener la grafica y =√

x − 3 − 2.

Y

X

y =√

x

Y

X

y =√

x − 3

Y

X

y =√

x − 3 − 2

La grafica y =√

x − 3 − 2 seobtiene a partir dey =

√x − 3 por una traslacion

de 2 unidades hacia abajo


Y

X

y=x

y=x+2

-2

-2

b) La grafica y = x + 2 se obtienetrasladando la grafica de y = x mas2 unidades a la izquierda. Es claroque el dominio de y = x + 2 es R.

5.- y = cf(x), c > 0. Pensemos por ejemplo que c = 2. Entonces las nuevas coordenadas y

seran el doble que las de y = f(x). Si c = 1/2 entonces las nuevas ordenadas seran la mitad de

las de y = f(x).

En general, si c > 1, la grafica se alarga y si c > 1 la grafica se comprime.

Ejemplo 3.- Graficar y = 4x3.

Solucion:

La grafica de y = 4x3 se obtiene porun estiramiento vertical de la grafi-ca de y = x3. Si para cada abscisa laordenada era y, ahora la nueva or-denada es 4 veces y.

Y

X

y = x3

y = 4x3

Ejercicio de desarrollo. Trazar la grafica de las siguientes funciones en el mismo sistema de

coordenadas. Determine geometricamente el dominio y rango de la funcion.


a) y =√

x/2

b) y =√

x − 3

c) y =√

x + 1

Y

X

6.- y = −f(x). Observe que las ordenadas de la grafica de esta funcion tienen las mismas

magnitudes pero de signo contrario que las de y = f(x), para cada x. Ası por ejemplo si un punto

sobre la grafica de f tiene coordenadas (a, b), (considere b positivo y luego negativo) entonces el

punto (a, b) esta en la grafica de y = −f(x). Geometricamente esto es una reflexion en torno al

eje x.

Recordemos que el dominio de una funcion lo podemos determinar a partir de la grafica de

la funcion proyectando la grafica sobre el eje x. El rango similarmente es la proyeccion sobre el

eje y. De la figura vemos claramente que:

Dom f = [3,∞) Rango f = [−2,∞)

Y

X

Dom f=[3,∞)

Y

X

Rang f=[−2,∞)


La siguiente es una tabla resumen con las operaciones geometrica mas importantes.

Ejemplo sobre Ejemplo sobre

Nueva funcion Efecto geometrico f(x) =√

x f(x) =1

x

y = f(x) + k, k > 0 La grafica de y = f(x) se desplaza y =√

x + 3 = 3 +√

x y =1

x+ 3

k unidades hacia arriba.

y = f(x) − k, k > 0 La grafica de y = f(x) se desplaza y =√

x − 3 y =1

x− 3

k unidades hacia abajo.

y = f(x + k), k > 0 La grafica de y = f(x) se desplaza y =√

x + 3 y =1

x + 3k unidades hacia la izquierda.

y = f(x − k), k > 0 La grafica de y = f(x) se desplaza y =√

x − 3 y =1

x − 3k unidades hacia derecha.

y =1

kf(x), k > 1 Se contrae la grafica de y = f(x) y =

1

2

√x =

√x

2= 0.5

√x y =

1

2x=

1

2x = 0.5x

verticalmente.y = kf(x), k > 1 Se expande la grafica de

y = f(x) verticalmente. La nueva y = 3√

x y = 31

x=

3

xcoordenadas y son k veces la anterior

y = −f(x), Se refleja la grafica de y = −√x y = − 1

xy = f(x) en torno al eje x.

y = f(−x)

Ejemplo 7.- Graficar y = 1 − (x − 2)3

Solucion: Esta funcion la reescribimos como y = −(x − 2)3 + 1. En la siguiente secuencia de

planos mostramos los pasos para obtener la grafica de la funcion.

Y

X

Y

X

La grafica de la funcion

y = (x − 2)3 es una

translacion a la derecha

de y = x3


Y

X


y = −(x − 2)3 se obtiene

reflejando la grafica de

y = (x − 2)3 en torno al eje X

Y

X


y = (x − 2)3 + 1 es obtiene

desplazando 1 unidad

hacıa arriba la grafica de

y = −(x − 2)3

y = −(x − 2)3 + 1

A continuacion mostraremos unos graficos resumiendo las transformaciones dadas en esta

seccion

Comentario: Cuando tenemos varias operaciones se recomienda primero considerar la operacion

mas interna de la x : sumar o restar una constante (si la hay) luego las multiplicaciones por

constantes, incluye el cambio de signo y por ultimo la suma de constantes.

Ejercicio de desarrollo: Trazar la grafica de las siguientes funciones. Determine geometrica-

mente el dominio y rango de la funcion.

a) y = 2 +1

1 − x

b) y = −2 + 3(x + 1)3

Y

X

(Sugerencia: Reescriba la funcion. Considere1

1 − x= − 1

x − 1

7.15. RESOLUCION GEOMETRICA DE SISTEMAS NO LINEALES 241

Recuerde que cuando la grafica de la funcion tiene asintotas se recomienda hacer una

traslacion, punteada de las asintotas si la grafica se traslada).

Ejercicios:

1) Diga como es la grafica de y = f(−x) con respecto a la grafica de y = f(x). Justifique

2) Diga como es la grafica de y = f(x) con respecto a la grafica de y = f(x). Justifique

3) Utilice las graficas de las funciones elementales y la tecnica de transformacion para graficar

las funciones dadas. Diga cual es el dominio y el rango de cada funcion.

3.1) f(x) =√

x − 2 + 1; 3.2) f(x) = −(x − 2)3; 3.3) f(x) = 2|x + 1|;

3.4) f(x) = −x2 + 1; 3.5) f(x) =−1

x + 2; 3.6) f(x) =

√−x;

3.7) f(x) =1

x − 3− 4; 3.9) f(x) = −

√1 − x;

3.10) f(x) = 3 − (x − 2)2; 3.11) f(x) =2

x − 4− 1; 3.12) f(x) =

2

4 − x.

4) Trazar la grafica de las funciones definidas por partes usando el bosquejo de las graficas

elementales en las partes.

4.1) f(x) =

x2 − 1 si x < −1

3 − x si |x| ≤ 1

−√x si x > 1

4.2) f(x) =

−x − 2 si −1 < x ≤ 0

−x2 si 0 < x < 2

√x + 2 si x ≥ 2

4.3) f(x) =

x2 + 1 si 0 ≤ x < 3

−(x − 2)3 si x ≥ 3

7.15. Resolucion geometrica de sistemas no lineales

Existe una gran variedad de sistema no lineales en esta seccion mostraremos como obtener

una solucion aproximada mediante la graficacion de la ecuaciones del sistema. Tambien daremos


recomendaciones analıticas para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incognitas cuando

una de las dos ecuaciones es lineal.

Ejemplo 1.- Resolver el siguiente sistema analıticamente y geometricamente

y − x2 + 2 = 0

y + 2x = 6

7.15. RESOLUCION GEOMETRICA DE SISTEMAS NO LINEALES 243

Solucion:Este es un sistema no lineal con la caracterısticaque una de las ecuaciones es lineal. Para resolvereste sistema la recomendacion es despejar una delas variables y sustituirla en la otra ecuacion. Sihay una ecuacion lineal, siempre podemos despe-jar cualquiera de las variables y sustituirla en laotra. Aquı despejamos y en la segunda ecuacion:y = 6 − 2x y la sustituimos en la primera

6 − 2x − x2 + 2 = 0

Quedo una ec. de segundo grado, la cual resolve-mos por factorizacion

x2 + 2x − 8 = 0

(x − 2)(x + 4) = 0

x = 2 y x = −4

Una vez que conseguimos las soluciones de x, paracada una de ellas sustituimos su valor en algunasde las dos ecuaciones y obtenemos para ese x lacorrespondiente y.

Para x = 2 : Sustituimos en la segunda ecuaciony = 6 − 2 − 2 = 2. Ası que una solucion es (2, 2).

Para x = −4 : Sustituimos en la segunda ecuacion

y = 6 − 2 − (−4) = 14. Ası que la otra solucion

Y

X

(−4, 14)

(2, 2)

En el lado derecho se ha hecho la grafica de las dos ecuaciones con la tecnica vista en la

seccion pasada se puede verificar que efectivamente las dos soluciones analıticas coinciden con

las dos soluciones geometricas, que son los dos puntos de interseccion de las dos curvas.

En conclusion: El sistema dado tiene dos soluciones dadas por (x1, y1) = (2, 2) y (x2, y2) =

(−4, 14)

Ejemplo 1.- La ecuacion de oferta de un determinado artıculo esta dado por

p =√

q + 12 + 2 y la de demanda por p + q = 20. Encontrar el punto de equilibrio de este

artıculo, a) resolviendo el sistema de ecuaciones, b) Graneando la curva de oferta y demanda y

estimando el punto de interseccion.

Solucion: Debemos resolver el siguiente sistema no lineal:


p =√

q + 12 + 2

p + q = 20

Este es un sistema no lineal con la caracterıstica que una de las ecuaciones es lineal. Para resolver

este sistema se sigue la recomendacion: despejar una de las variables en una ecuacion y sustituirla

en la otra ecuacion. Ası despejamos p en la segunda ecuacion: p = 20 − q y la sustituimos en la

primera

20 − q =√

q + 12 + 2

Quedo una ecuacion con radicales. Para este tipo de ecuacion se recomienda dejar solo el radical

en cualquier lado de la ecuacion y elevar al cuadrado ambos lados, tomando en prevision que al

elevar al cuadrado podemos estar agregando solucion.

18 − q =√

q + 12

(18 − q)2 = (√

q + 12)2

182 − 36q + q2 = q + 12

q2 − 37q + 312 = 0

q =37 ±

√121

2

q = 24 y q = 13

Y

X

Ec. de oferta

Ec. demanda

Para la primera q tenemos un precio de p = 20 − 24 = −4. Esta solucion se elimina.

Para 9 = 13, obtenemos un precio de p = 20−13 = 7. Ası que el punto de equilibrio esta dado

por (13, 7). En la grafica esta dibujada las curvas de demanda y oferta, un estimado del punto

de interseccion es (13, 7).

7.16. FUNCION INVERSA 245

Ejercicio:

1) Resolver los siguientes sistemas analıticamente y geometricamente

1.1)

y − 4x3 = 0

y − x = 0; 1.2)

x =8

y

3y − x = 2

; 1.3)

y −√x + 6 = 0

y + x = 6;

7.16. Funcion inversa

En esta seccion estamos interesados endefinir la funcion inversa de una funcion,es decir aquella funcion que hace regre-sarnos al x de partida.Muchas veces tenemos el precio p en fun-cion de la demanda existente. Al expresarla demanda q en funcion del precio p es-tamos obteniendo la funcion inversa de laanterior

A B

x y = f(x)

funcioninversa

f

No todas las funciones se les pueden definir una funcion inversa.

A B

ay

b

f

Por ejemplo si hay un y que es imagen de dospuntos a y b, no vamos a poder definir una fun-cion que diga plenamente como es el regreso alconjunto de salida, sin dejar de ser funcion.


La existencia de la funcion inversa de f lapodemos establecer mediante la grafica dela funcion. Si existe una recta horizontalque corta la grafica en dos puntos entoncesno existe la funcion inversa.

Y

X

Una funcion f tiene inversa si toda recta horizontal corta la grafica de f a lo sumo en un

punto. Una funcion con esta caracterıstica la llamaremos biunıvoca.

Definicion 7.5 Sea f una funcion biunıvoca y g una funcion cuyo dominio es el rango de f.

Diremos que g es la inversa de f si

a) g(f(x)) = x para todo x en el dominio de g.

b) f(g(x)) = x para todo x en el rango de f.

La funcion inversa se suele representar por f−1

(f−1 no debe confundirse con y =1

f(x), f−1 es un sımbolo para nombrar la funcion inversa

y que recuerda el origen de la funcion recien definida).

Para conseguir la funcion inversa es aconsejable en un principio seguir los siguientes pasos.

Paso 1.- Realizar la prueba de la recta horizontal para ver si tiene inversa

Paso 2.- Despejar x en funcion de y en la ecuacion y = f(x), para obtener una funcion.

x = f−1(y)

Paso 3.- Intercambiar x e y para escribir y = f−1(x)

Paso 4.- Verificar

a) f−1(f(x)) = x para todo x en el dominio de f.

b) f(f−1(x)) = x para todo x en el dominio de f−1.

Ejemplo 1.- Determinar la funcion inversa de f(x) = 3x + 1, si existe.


Solucion:

Paso 1.- Observamos que en la grafica de fcualquier recta horizontal corta a la grafica en alo sumo un punto. Por tanto podemos proseguirpara conseguir la inversa.

Y

X

1

Paso 2.- Despejar x de la ecuacion y = f(x)

y = 3x + 1

y − 1 = 3x

x =y − 1

3

Paso 3.- Intercambiar x e y

y =x − 1

3

f−1(x) =x − 1

3

Paso 4.- Verificamos

1.- f−1(f(x)) = f−1(3x + 1) =(3x + 1) − 1

3= x

2.- f(f−1(x)) = f

(x − 1

3

)

= 3x − 1

3+ 1 = x − 1 + 1 = x

Conclusion: f−1(x) =x − 1

3es la funcion inversa de f(x) = 3x + 1.

Ejemplo 2.- Determinar la inversa si existe de f(x) = x2 + 1

Solucion:


Y

X

Como existe una recta horizontal que corta ala grafica de y = x2 + 1 en 2 puntos entoncesconcluimos que la funcion no tiene inversa.

Ejercicio de desarrollo.- Determinar si existe, la inversa de y = 2√

x + 1

Ejercicio de desarrollo.- Determinar si existe, la inversa de f(x) =2

x + 1Ejemplo 3.- Determinar si existe, la inversa de f(x) = x2 − 2, para x ≥ 0

Solucion:

Paso 1.- Graficamos la funcion.Tome en cuenta en este caso que lafuncion esta definida para los x may-ores o iguales a cero.Por este motivo la grafica resulta serla mitad de la parabola.Observamos que cualquier horizon-tal corta a la grafica en a lo sumoun punto. Por tanto la funcion tieneinversa.

Y

X

-1

1

Paso 2.- Despejar x de la ecuacion y = f(x)

y = x2 − 2

y + 2 = x2

Como la x es positiva, desecha


x =√

y + 2

Paso 3.- Intercambiar x e y

y =√

x + 2

f−1(x) =√

x + 2

Paso 4.- Verificamos f−1(f(x))

f−1(f(x)) =√

f(x) + 2 =√

(x2 + 2) − 2 = x

f(f−1(x)) = (f−1(x))2 = (√

x + 2)2 − 2 = (x + 2) − 2 = x

Conclusion: f−1(x) =√

x + 2 es la funcion inversa de f(x) = x2 − 2, para x ≥ 0

Comentarios:

1) Observe que si la funcion no tuviese el dominio restringido, entonces la funcion no hubiese

tenido inversa. Esto se hubiese podido concluir graficando la funcion, pero sin necesidad de

graficar, al despejar, tendrıamos dos valores de x para una sola y.

Es decir, del despeje podemos concluir si hay inversa o no, dependiendo si conseguimos una

sola x para cada y del rango o no.

2) Una funcion que no tenga inversa, podemos eventualmente conseguir una inversa re-

stringiendo el dominio.

Por ejemplo, la funcion f(x) = (x − 1)2 + 1, notiene inversa. Sin embargo podemos restringirel dominio de la funcion. Si redefinimos la fun-cion ahora con dominio [1,∞), esta nueva fun-cion con la misma formula pero con diferentedominio a la primera si tiene inversa. El lectorpuede chequear que es:

Y

X

2

1 2


f−1(x) = +√

x − 1 + 1

El signo + se toma por ser elala derecha de la parabola.

Y

X

2

1 2

7.17. Grafica de la funcion inversa

Y

X

2

1 2

(a, b)

(b, a)

Observe que si (a, b) esta en la grafi-ca de f entonces (b, a) esta en lagrafica de f−1. Estos dos puntos sonsimetricos con respecto a la rectay = x. En general, las graficas def y f−1 son simetricas con respectoa la recta y = x.

7.17. GRAFICA DE LA FUNCION INVERSA 251

Y

X-2 2

-2

y = x2 − 2

y =√

x + 2

Al lado hemos graficado y = x2 − 2,x ≥ 0 y su inversa y =

√x + 2 en el mismo

sistema de coordenadas. Vemos que efec-tivamente las graficas son simetricas conrespecto a la recta y = x

Entonces si tenemos la grafica de f podemos obtener la grafica f−1 a traves de la reflexion

con respecto a la recta y = x.

Ejemplo 4.- Determinar, si existe, la inversa de f(x) = x3 − 1. En caso que exista, graficar

la funcion y la inversa en un mismo sistema de coordenadas.

Solucion:

Y

X

-1

1

Paso 1.- La funcion tiene inversa,pues cada recta horizontal corta lagrafica en a lo sumo un punto.Paso 2.- Despejar x de la ecuaciony = f(x)

y = x3 − 1

y + 1 = x3

x = 3√

y + 1

Observe de nuevo que el paso 1 no era necesario, pues sin duda para cada y existe un solo x.

Paso 3.- Intercambiar x e y.


y = 3√

x + 1

f−1(x) = 3√

x + 1

El paso 4 no es un paso necesario, es solo la verificacion del despeje.

A continuacion presentamos las graficas de f y su inversa f−1.

Y

X-2 2

-2

y = x3 − 1

y = x

Ejercicios de desarrollo: Determinar, si existe, la inversa de y = (x− 1)2 + 1. En caso que no

exista redefinir la funcion restringiendo el dominio a fin que tenga inversa, conseguir la inversa de

la nueva funcion restringida, graficar la funcion y la inversa en un mismo sistema de coordenadas.

(Seguramente a usted no le cuesta hacer una reflexion sobre un eje horizontal, ası que para

graficar tambien recomendamos rotar su hoja de papel de tal manera que la recta y = x quede

horizontal en su visual y luego proceda hacer la reflexion).

Ejercicios:

1) Diga si las siguientes funciones tienen funcion inversa. En caso afirmativo encuentrela.

Verifıquela que efectivamente es la inversa.

1.1) y = −(x + 1)3; 1.2) y = − 1

x − 3; 1.3) y =

√x − 1; 1.4) y = −x2 − 1, x ≥ 0

2) Determine la funcion inversa si existe. Grafique f y f−1 en el mismo sistema de coorde-

nadas. Verifique que efectivamente f−1 es la inversa de f.

2.1) y = (x + 2)2; 2.2) y =1

5 + x; 2.3) y = |x| + 2;

7.18. FUNCIONES CUADRATICAS 253

2.4) y = (x − 1)2, x ≥ 1 2.5) y = −√

x − 2; 2.6) f(x) =1

x + 3+ 2

3) Determine la funcion inversa. En caso que no existe, de una restriccion del dominio de f

para poder definir la funcion inversa y calculela.

3.1) f(x) = (x + 1)2; 3.2) f(x) = −(x − 2)2 − 1; 3.3) f(x) = |x − 1|;

3.4) f(x) =1

(x − 4)2; 3.5) f(x) =

√1 − x2

7.18. Funciones cuadraticas

Una funcion f se llama cuadratica si puede ser escrita de la forma a, b y c numeros reales

con

El dominio de esta funcion son todos los reales y su representacion grafica es una parabola.

Son innumerable la cantidad de ejemplos practicos donde esta involucrada la funcion cuadratica,

es por ello que merece especial atencion.

La idea para granear cualquier funcion de la forma es llevarla a la forma completando cuadra-

dos. La grafica de esta ultima sabemos que es una dilatacion, posible reflexion con el ejes x y

traslaciones de la grafica de f(x) = −(x2 − 6x + h2 − h2) − 5

El termino −6x corresponde a − 2hx. Ası que −6x = −2hx, de donde h = 3.


El termino que falta para completarcuadrados es (3)2 = 9

f(x) = −(x2 − 6x + 9︸︷︷︸

(x−3)2

−9) − 5

f(x) = −((x − 3)2 − 9) − 5

Se aplica la ley distributiva

f(x) = −(x − 3)2 + 9 − 5

f(x) = −(x − 3)2 + 4

La grafica de esta funcion puedeser obtenida por una reflexion de lagrafica de y = x2 en torno al eje x,luego una traslacion horizontal ha-cia la derecha de tres unidades y porultimo una traslacion vertical de cu-atro unidades hacia arriba.

1

2

3

4

−1

−2

−3

1 2 3 4 5−1

Y

X

Comentario: Una vez que sacamos a de factor comun en los dos primeros terminos, resulto en

ambos casos que h es la mitad del coeficiente en x con signo cambiado. Efectivamente en el primer

ejemplo se tenia f(x) = 2(x2 + 2x) + 5 y h = −1, en el segundo ejemplo f(x) = −(x2 − 6x) − 5

y h = 3.

Ejercicio de desarrollo: Expresar la funcion f(x) = 3x2 + 6x + 5 en la forma

f(x) = a(x − h)2 + k. Graficar.Y

X


A continuacion se hacen varias observaciones, algunas de las cuales el lector habra podido

darse cuenta a lo largo de estos ejemplos y que se pudiese establecer como resultados a fin de

ahorrar trabajo. Se puntualizan.

Observaciones:

1) Si a > 0 la parabola abre hacia arriba. Si a < 0 la parabola abre hacia abajo

2) (0, c) es el corte con el eje y

3) En la forma f(x) = a(x − h)2 + k, h es la coordenada x del vertice y k es la coordenada

y del vertice.

A partir de la forma f(x) = ax2 +bx+c se puede hacer un desarrollo teorico a fin de obtener

una formula para h. Primero se saca a de factor comun de los dos primeros terminos.

F (x) = a

(

x2 +b

ax

)

+ c

El terminob

ax corresponde a − 2hx. Ası que

b

ax = −2hx, de donde h = − b

2a. El termino que

falta para completar cuadrados es

(b

2a

)2

.

f(x) = a (x2 +b

2ax +

(b

2a

)2

︸︷︷︸

x−(

b

a

)2

−(

b

2a

)2

) + c

f(x) = a

[(

x −(

− b

2a

))2

−(

b

2a

)2]

+ c

Se aplica la ley distributiva

f(x) = a

(

x −(

− b

2a

))2

− a

(b

2a

)2

+ c

Ası la coordenada x del vertice es h = − b

2a. En vez de identificar k en el desarrollo anterior, es

preferible en la practica evaluar f en h = − b

2a.

Estas observaciones nos permiten hacer las siguientes recomendaciones


Recomendaciones para graficar una funcion cuadratica f(x) = ax2 + bx + c

1.- Si a > 0 la parabola abre hacia arriba.

Si a < 0 la parabola abre hacia abajo.

2.- Calcular la coordenada x del vertice por medio de xv = − b

2a.

Para calcular la coordenada y evaluar f en − b

2a. Esto es yv = f(xv).

3.- Para la interseccion con el eje x plantear la ecuacion f(x) = 0 y resolver esta ecuacion en

x.

La interseccion con el eje y es el punto (0, c).

4.- Llevar estos puntos al plano: vertices y cortes y tomar en cuenta 1 para bosquejar la

grafica. Tambien recuerde que la parabola es simetrica en torno a la recta x = − b

2a.

Ejemplo 3.- Graficar f(x) = 2x2 − 8x + 6

Solucion: Tomamos en cuentas las recomendaciones

1.- Como a = 2 > 0 la parabola abre hacia arriba

2.- Calculamos ahora la coordenada x del vertice, observe en este caso b = −8

xv = − b

2a= − −8

2 · 2 Pasamos ahora a calcular la coordenada y del vertice

yv = f(xv) = 2(2)2 − 8(2) + 6 = −2. En conclusion el vertice es (xv, yv) = (2,−2)

3. Para las intersecciones con el eje x planteamos: 2x2 − 8x+6 = 0, esta ecuacion cuadratica

tiene como solucion x = 1 y x = 3. ası los puntos de cortes con el eje x son (1, 0) y (3, 0).

(0, 6) es el corte con el eje y

4.- Se llevan estos puntos a un plano cartesiano, se traza el eje de simetrıa de la parabola,

tomando en cuenta que la parabola abre hacia arriba, hacemos el bosquejo recordando la simetrıa

de la curva y haciendola pasar por los puntos marcados.


Y

X2

3

vertice

Y

X1

2

3

Ejercicio de desarrollo: Graficar f(x) = −3x2 − 12x + 4. Consiga vertice y puntos de inter-

secciones con los ejes.

Ejemplo 4.- Resolver graficamente la desigualdad x2 + 5x + 6 ≥ 0.

Solucion: La idea para resolver este tipo de ejercicio es definir primero la funcion y = x2+5x+6,

observe que la cuestion ahora es conseguir los x′s donde la grafica esta por encima del eje x

(tienen la coordenada y positiva).

A continuacion se graficara y = x2 + 5x+ 6. Como a > 0 la parabola abre hacia arriba. Para

localizar el vertice planteamos:

xv = − b

2a= −−5

2= −2.5 yv = f(xv) = (−2.5)2 + 5(−2.5) + 6 = −0.25


Para los cortes con el eje x, planteamos

x2 + 5x + 6 = 0

(x + 3)(x + 2) = 0

x = −2 o x = −3

En la figura se puede apreciar que los x′s talesquey = x2 + 5x + 6 ≥ 0, es el conjunto: (−∞,−3] ∩[−2,∞)

Y

X-2-3

Ejercicio de desarrollo.- Resolver graficamente la desigualdad −3x2 + 5x + 2 < 0

7.19. Maximos y mınimos en funciones cuadratica

En muchas ocasiones es de interes el valor maximo de una funcion. En una funcion cuadratica

cuya grafica abre hacia arriba este maximo se alcanza en el vertice dela parabola. Alternativa-

mente tambien se puede estar interesado en el valor mınimo de una funcion cuadratica cuya

grafica abre hacia arriba.

Sea f(x) = ax2 + bx + c y xv = − b

2ala coordenada x del vertice

Si a < 0 entonces f alcanza un valor maximo en xv. Este valor maximo de f es yv = f(xv)

Si a > 0 entonces f alcanza un valor mınimo en xv. Este valor mınimo de f es yv = f(xv)

7.19. MAXIMOS Y MINIMOS EN FUNCIONES CUADRATICA 259

Y

X

yy

xy

Valor Mınimo

Y

X

yyValor Maximo

Comentario: Es claro que si a > 0 no hay un valor maximo de f pues la funcion toma valores

arbitrariamente altos.

Ejemplo 1.- Encontrar el valor maximo o mınimo segun corresponda de las siguientes fun-

ciones

a) f(x) = −2x2 + 6x + 1; b) f(x) = 3x2 + 12x + 4

Solucion: a) Como a = −2 < 0 la parabola abre hacia abajo, por lo tanto la funcion alcanza

un maximo. Para conseguir el valor maximo primero calculamos la coordenada x del vertice.

xv = − b

2a= − 6

2 · (−2)=

3

2

El valor maximo es f

(3

2

)

= −2

(3

2

)2

+ 6

(3

2

)

+ 1 =11

2y remarcamos que se alcanza en

xv =3

2.

b) Como a = 3 > 0 la parabola abre hacia arriba, por lo tanto la funcion alcanza un mınimo.

Para conseguir el valor mınimo primero calculamos la coordenada x del vertice.


xv = − b

2a= − 12

2(3)= −2

Ahora el valor maximo de f es y = f(−2),

f(−2) = 3(−2)2 + 12(−2) + 4 = −8

En conclusion: −8 es el valor maximo de la funcion y se alcanza, en x = −2.

Ejercicio de desarrollo: Encontrar el valor maximo o mınimo de f(x) = −x2 + 6x + 1.

Aplicaciones:Ejemplo 1.- Una persona tiene 25metros de malla para construir uncorral rectangular. La persona pien-sa usar una pared existente para de-limitar el corral, a) Exprese el areacomo funcion de x b) Calcule las di-mensiones del corral que tiene areamaxima

y

x

pared

Solucion:

a) Observe que el area esta dada por

A = x − y

En este caso viene expresada en terminos de las dos variable x y y. Sin embargo podemos

sustituir y por una expresion que depende de x, debido a la relacion entre x, y y la cantidad de

malla a utilizar. Esta relacion viene dada por

x + x + y = 25

Esto es

2x + y = 25y metrosde malla

x metrosde malla

x metrosde malla

De aquı podemos expresar y en funcion de x, despejando

y = 25 − 2x


Sustituyendo y en el area, tenemos finalmente A como funcion de x

A(x) = x · (25 − 2x).

Conviene observa que el Dom A = (0, 12.5)

b) En a) se obtuvo que el area es una funcion cuadratica de x. La llevamos a la forma canonica.

A(x) = 25x − 2x2

Como a < 0, entonces A(x) alcanza un maximo en xv, el cual esta dado por

xv = − b

2a= − 25

2 · (−2)=

25

4= 6, 25.

Pasamos ahora a calcular la dimension y, la cual puede ser obtenida de la relacion

y = 25 − 2x.

Al sustituir x por −6, 25 obtenemos y = 12, 5.

Concluyendo las dimensiones que hacen maxima el area son 6, 25 × 12, 5.

Adicionalmente podemos decir que el area maxima es 78, 125m2, la cual se obtuvo evaluando

la funcion Area en 6, 25.

Ejemplo 2.- Se estima que en un terreno si se plantan 200 matas de naranjas, la produccion

promedio sera de 300 naranjas por arbol y que por cada arbol menos que se siembre la produccion

aumentara en 3 naranjas por arbol. a) ¿Cual es el numero de arboles que debe plantarse en el

terreno a fin de obtener la maxima cosecha posible del terreno? b) ¿Cual es la produccion maxima

posible?

Solucion: La variable que puede ser usada para modelar este problema es

x = Numero de arboles que se dejan de plantar

Ası que

numeros de arboles a plantar = 200 − xy


La produccion promedio por arbol es

Produccion por arbol = 300 + 3x

De esta manera

la produccion total = numero de arboles a plantar × produccion por arbol

= (200 − x) · (300 + 3x)

la produccion total = 60000 + 300x − 3x2

a) La funcion produccion es una funcion cuadratica que alcanza un maximo, para ver donde

se alcanza planteamos

xv = − b

2a= − 300

2 · (−3)= 50

Entonces hay que sembrar 200−50 = 150 arboles en ese terreno para alcanzar la maxima cosecha

por arbol.

b) Para conseguir el valor maximo simplemente evaluamos la funcion produccion en x = 5

produccion total = 60000 + 300(50) − 3(50)2

la produccion total = 67500 naranjas es la maxima produccion posible

Ejercicios:

1) Graficar las siguientes funciones utilizando la tecnica de completacion de cuadrados:

1.1) f(x) = −x2 − 10x − 24; 1.2) f(x) = 4x2 − 4x − 1; 1.3) f(x) = −3x2 − 6x

2) Granear las siguientes funciones utilizando la formula del vertice y cortes con los ejes.

2.1) f(x) = −x2 + 2x − 2; 2.2) f(x) = 1 − 3x + 2x2; 2.3) f(x) = x(2x + 1);

2.4) f(x) = (x + 4)(x − 1); 2.5) f(x) = 5x − 6 − (x + 2)(x − 1); 2.6) f(x) = 2(x + 2)2 + x

3) Encuentre los maximos o mınimos de las siguientes funciones cuadraticas segun corres-

ponda.


3.1) f(x) = −2x2 − 3; 3.2) f(x) = (x + 3)(x + 1) + 8x; 3.3) f(x) = 3 − 10x − 5x2;

3.4) f(x) = 2x2 − 3x; 3.5) f(x) = −1

2(x − 1)2 + 3/2

4) Resolver graficamente las siguientes desigualdades

4.1) 2x2 + 3x + 1 < 0; 4.2) x2 + 3x − 10 > 0; 4.3) x2 + 3x + 3 > 0;

4.4) 2x2 + 3x + 2 ≤ 0; 4.5) x2 − 5x + 4 ≤ 0

5) Expresar las siguientes funciones en la forma f(x) = a(x − h)2 + k

5.1) f(x) = −4x2 − 2x + 1; 5.2) f(x) = 3x2 − 3x + 2; 5.3) f(x) = 2x2 + 5x + 2

Problemas de economıa

1) En ciertos terrenos se estima que si se plantan 100 matas de mangos por hectarea se

obtendra un valor de la cosecha por arbol de 500 UM en su edad adulta. Se estima que por cada

arbol que se siembre de mas liara que el valor promedio por arbol disminuya en 4 UM a) Exprese

el valor total de la cosecha de una hectarea en edad adulta en funcion del numero de arboles

adicionales sembrados, b) ¿Cual es el numero de arboles que debe plantarse por hectarea a fin

de obtener el valor maximo posible de la cosecha por hectarea? c) ¿Cual es este valor maximo?

(Resp. V = 50000 + 200x − 4x2; 112, 5; 50.625)

2) Un agricultor puede vender el saco de apio a 30UM el primero de septiembre, el precio

del apio empieza a disminuir a una tasa aproximada de 0.5 UM por semana. Para la fecha del 1

de septiembre el tiene 120 sacos y estima que su cosecha aumentara en tres sacos por semana.

¿Cuando le convendra vender su cosecha? (Resp. dentro de 10 semanas)

Problemas Generales

1) Con 200 metros se quiere cercar 2 corralesidenticos como muestra la figura, a) Exprese elarea total como funcion de x b) Calcule las di-mensiones de los corrales que tiene area maxi-ma(Resp. 100/3m × 25m)

x

y y


2) El numero de kilometros K, que puede viajar un automovil con un litro de gasolina

depende de la velocidad. Para una cierta marca de automovil se estima que la cantidad de

kilometros esta dada por el siguiente modelo: K(v) =−v + 190v

1400donde v es la velocidad y

el modelo se ha demostrado apropiado para velocidades menores de 180km/seg. Calcule la

velocidad mas rendidora.

3) La tasa de crecimiento de una poblacion esta dada por: y = 1.3x(130.000− x) individuos

por lano, donde x es el tamano actual de la poblacion. Estime el tamano de la poblacion donde

la tasa de crecimiento es mas alta.

(En el modelo y = 1.3x(130.000 − x)130.000 representa el tamano tope de la poblacion. Este

modelo esta sustentado en que la tasa de crecimiento es directamente proporcional al tamano de

la poblacion y a la diferencia entre el tope de crecimiento de la poblacion y el tamano existente)

4) El porcentaje de sobrevivencia de un cierto tipo de larvas a una temperatura constante

T (grados Celsius) al cabo de una semana es modelado por la formula

P (T ) = −1.6T 2 + 80.32T − 953.016 para 20 ≤ T ≤ 30

Halle las temperaturas a las cuales sobrevive el mayor y el menor porcentaje de larvas, (en

25.1◦C sobrevive el mayor porcentaje y en 30◦ el menor)

5) La velocidad de la sangre que esta a r centımetros del eje central de una arteria de radio

R es S(r) = c(R2 − r2), donde c es una constante positiva. ¿Donde es mayor la velocidad de la

sangre? (Resp. En el centro)

7.20. Funciones exponenciales

Las funciones exponenciales tienen muchas aplicaciones, en especial ellas describen el crec-

imiento de muchas cantidades de la vida real.

Definicion 7.6 La funcion con dominio todos los reales y definida por

7.20. FUNCIONES EXPONENCIALES 265

F (x) = ax,

con a > 0, a 6= 1 es llamada funcion exponencial con base a.

Comentarios:

1.- Conviene aclarar que la funcion esta bien definida para todo numero real. Suponga ten-

emos la funcion exponencial con base 2. 2pq esta definido como q

√2p. Para definir 2x, con x

irracional, se realiza a traves de aproximaciones. Por ejemplo para definir 2π, lo hacemos por

medio de una sucesion de numeros racionales que se acerque cada vez mas a π como

3,31

10,

314

100,

3141

1000,

31419

10000, . . .

Se puede mostrar que la sucesion

23, 23110 , 2

314100 , 2

31411000 , 2

3141910000 , . . .

se acerca a un solo numero positivo, el cual es la definicion de 2π. Para los muy curiosos, la

definicion de 2x, es independiente de la sucesion de numeros que se acerca cada vez mas a π.

2.- Funciones como f(x) = b−x, h(x) =√

bx y g(x) = b2x son de tipo exponencial. Lo

verificamos al reescribirlas, la primera como f(x) =1

bx=

(1

b

)x

, siendo entonces exponencial

con base1

b; la segunda como h(x) = (

√b)x la ultima como g(x) = (b2)x, de aquı que la funcion

h y g son exponencial con base√

b y b2 respectivamente.


7.21. Graficas de la funcion exponencial

Realizaremos la grafica de f(x) = 2x

Para ello calcularemos algunos valores de la fun-cion y los uniremos a traves de un trazo suave.

x -3 -2 -1 0 1 2 3

f(x) 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8

bb

b

b

b

bY

X

2

1 2

f(x) = 2x

Usted puede chequear que el comportamiento de la grafica de las funciones de la forma

f(x) = ax, con a > 1, es similar y lo resumimos en el siguiente reporte:

Reporte de la grafica de la funcion f(x) = ax,con a > 1 :1) El dominio es todos los reales. El rango losreales positivos2) La interseccion con el eje y es el punto (0, 1)3) La funcion crece de izquierda a derecha4) La recta y = 0 (el eje x) es una asıntota hor-izontal por la izquierda, esto quiere decir que lagrafica de la funcion se acerca cada vez mas aesta recta. Sin embargo cuando incrementamoslos valores de x entonces la grafica asciende rapi-damente.

Y

X

f(x) = ax

a > 1

Este tipo de funcion es conocida a veces como la ley de crecimiento exponencial.

Remarcamos que la grafica anterior es solo un bosquejo o trazo de la funcion. Por otro lado,

una mayor o menor inclinacion en el primer cuadrante depende del valor de a, para a grande la

grafica es mas inclinada.

Para ver el comportamiento de la grafica f(x) = ax, con 0 < a < 1, primero obtendremos

la grafica de f(x) =

(1

2

)x

. Usaremos las tecnicas aprendidas cuando estudiamos operaciones

7.21. GRAFICAS DE LA FUNCION EXPONENCIAL 267

geometricas de graficas de funciones. Tambien se puede obtener una tabla de valores y llevarlos

puntos al plano cartesiano para hacer un trazo suave de la curva.

La funcion f(x) =

(1

2

)x

, puede ser reescrita como f(x) =1

2x= 2−x. Esta funcion puede

ser obtenida de la grafica de la funcion 2x por simetrıa con respecto al eje y.

Y

X

2

1 2

f(x) = 2xf(x) = 2−x

La forma de la grafica de la funciones f(x) = ax, con 0 < a < 1, es similar a la de

f(x) =

(1

2

)x

salvo la inclinaciones que depende del valor de a. A continuacion presentamos la

grafica de estas funciones junto con el reporte de las caracterısticas mas notorias de la grafica.

Reporte de la grafica de la funcion f(x) =ax, con 0 < a < 1 :1) El dominio es todos los reales. El rangolos reales positivos2) La interseccion con el eje y es el punto(0, 1)3) La funcion decrece de izquierda aderecha4) La recta y = 0 (el eje x) es una asınto-ta horizontal por la derecha, esto quieredecir que la grafica de la funcion se acercacada vez mas a esta recta cuando x. Sinembargo la funcion toma valores tan altoscomo se quiera para valores de x negativosy grandes en magnitud.

Y

X

0 < a < 1

f(x) = ax

Ejemplo 1.- Trazar la grafica de la funcion f(x) = 3x − 1 y realizar un reporte acerca de su

comportamiento.


Solucion: Para realizar esta grafica par-timos de la forma general de la grafica ax,con a > 1. La grafica es un desplazamien-to hacia abajo de 1 unidad de la graficade f(x) = 3x. Conviene en estos casos de-splazar la asıntota para un mejor bosquejode la grafica.

Y

X1

f(x) = 3x − 1

f(x) = 3x

-1

Reporte de la grafica de la funcion f(x) = 3x − 1:1) El dominio es (−∞,∞). El rango es el conjunto (−1,∞)2) La interseccion con el eje x es el punto (0, 0)3) La funcion crece de izquierda a derecha4) La recta y = −1 es una asıntota horizontal por la izquierda.

Ejemplo 2.- Trazar la grafica de la funcion f(x) =

(1

4

)x−2

y realizar un reporte acerca de

su comportamiento.

Solucion: Para realizar esta grafica partimos dela forma general de la grafica ax, con a < 1,con una forma relativamente inclinada. Nuestragrafica es un desplazamiento hacia la derecha

de 2 unidades de la grafica f(x) =

(1

4

)x

. Con-

viene en estos casos desplazar la asıntota paraun mejor bosquejo de la grafica

Y

X1

f(x) = 0.25x−2

f(x) = 0.25x


La grafica corta el eje y cuando x = 0

Esto es en

(1

4

)0−2

= 42 = 16

Reporte de la grafica de la funcion f(x) =

(1

4

)x−2

1) El dominio es R. El rango el conjunto (0,∞)2) La interseccion con el eje y es el punto (0, 16)3) La funcion decrece de izquierda y derecha.4) La recta y = 0 es una asıntota horizontal por la derecha.

Ejercicios:

1) Graficar las siguientes funciones. Realizar un reporte de la grafica

1.1) f(x) = 3x + 3; 1.2) f(x) = 3x−1; 1.3) f(x) = 3−x;

1.4) f(x) = 2 − e−x; 1.5) f(x) =√

2x; 1.6) f(x) =

(2

3

)−x

.

Aplicaciones crecimiento y decrecimiento poblacional

Supongamos que el tamano inicial de una poblacion es P0, y la poblacion aumenta a una

tasa por periodo de r, al finalizar un periodo de tiempo la poblacion habra aumentado P0r y el

tamano total de la poblacion al final de este periodo sera de P0+rP0 = P0(1+r). En un segundo

periodo de tiempo la poblacion aumentara a una tasa de r sobre una poblacion de P0(1 + r),

entonces el aumento de la poblacion en el segundo periodo de tiempo es de P0(1 + r)r y ahora,

al finalizar este segundo periodo de tiempo, el tamano de la poblacion sera de

P0(1 + r) + P0(1 + r)r = P0(1 + r)(1 + r) = P0(1 + r)2

Podemos chequear que el tamano de la poblacion al finalizar el tercer perıodo sera de P0(1+r)3.

Mas generalmente, al finalizar el periodo t, el tamano de la poblacion P(t) sera

P (t) = P0(1 + r)t

donde P0 es el tamano inicial de la poblacion.

Observacion: 1.- r viene expresada como una cantidad decimal. Por ejemplo si se habla que la

poblacion crece a una tasa del 6%, entonces r=0.06.

Ejemplo 4.- Una poblacion de 4 millones de habitantes crece a una tasa de 3% anual. Estime

el tamano de la poblacion al cabo de 5 anos.


Solucion: a) Utilizamos la ecuacion P (t) = P0(1 + r)t, con P0 = 4, r = 0.03 y t = 5 :

P (5) = 4(1 + 0.03)5

P (5) = 4(1.03)5 = 4.63 millones de habitantes

Ejercicio de desarrollo: Una poblacion crece a una tasa de 2.5% anual. Si actualmente tiene

3.3 millones de habitantes, a) Estime el tamano de la poblacion dentro de 3 anos, b) ¿Cuantas

habitantes tenıa hace una decada?, suponga que la tasa de crecimiento se ha mantenido con-

stante? (Comentario: Podemos emplear el modelo P (t) = P0(1 + r)t con t que empieza a contar

a partir de este ano para a) y para b) que empieza a contar hace 10 anos, si se hace ası para b),

debemos plantear una ecuacion donde P0 es la incognita.)

Observacion: Si la poblacion disminuye a una tasa de r es facil ver que el tamano de la poblacion

despues de un periodo de t anos es P (t) = P0(1 − r)t.

Este modelo de crecimiento poblacional, P (t) = P0(1 + r)t, esta sujeto a la condicion que

el porcentaje de crecimiento sea constante a traves de los anos. Sabemos que a veces esto no

es ası, existen factores que inhiben el crecimiento indefinido como el hacinamiento, la falta de

alimentos y otros factores sociologicos en el caso de la poblacion humana: crisis en la familia,

crisis economica. Etc.

Ası que un modelo de crecimiento exponencial es recomendable por periodos pequenos o en

poblaciones recien establecidas donde aparentemente no hay limitantes de crecimiento.

Para poblaciones creciendo inicialmente rapido y luego se vuelven tan numerosas que pier-

den su capacidad de crecer debido a interacciones entre los miembros de la poblacion, resulta

apropiado un modelo de crecimiento logıstico, dado por

P (t) =a

1 + Ce−kt

donde a, C y k son constantes, a representa el tamano de la poblacion lımite. Si denotamos por

P0 = P (0) =a

1 + Cel tamano inicial de la poblacion entonces el lector puede comprobar que


C =a − P0

P0

Ejemplo 5.- Cierta poblacion crece de acuerdo al modelo logıstico con a=75 millones, C=5 y

k=0.05. ¿Cual es el tamano de la poblacion cuando t = 0, para t = 20, t = 40 y para t = 100?

Solucion:

P (0) =75

1 + 5e−k0=

75

6≈ 12.5 millones

P (20) =75

1 + 5e−k20=

75

1 + 5 · 0.36 ≈ 26.41

P (40) =75

1 + 5e−k40=

75

1 + 5 · 0.135 ≈ 44.7

P (100) =75

1 + 5e−100k=

75

1 + 5 · 0.00673 ≈ 72.55

12.5

Y

X

Comentario: El modelo logıstico no solo resulta util para modelar crecimiento de determi-

nadas poblaciones sino tambien para propagacion de ciertas epidemias, crecimiento de ciertos

seres vivos, crecimientos de companıas, ventas de nuevos productos, propagacion de rumores,

etc.

Una curva como la dada arriba es el comportamiento tıpico de una curva logıstica.

Ejercicios

1) Dibuje las siguientes graficas para x > 0

1.1) f(x) = c1

ekx= ce−kx; 1.2) f(x) = c(1 − e−kx), c, k > 0

1.1) Pertenece a la familia de decaimiento exponencial usada en desintegracion radioactiva,

presion atmosferica, absorcion de luz en el agua. En contadurıa: devaluacion continua. Densidad

de probabilidad exponencial cuando c − k.

1.2) Pertenece a la familia de las curvas de crecimiento limitado. Si c = 1 es la funcion de

distribucion de probabilidad exponencial, la cual da la probabilidad que una variable exponencial

sea menor o igual que x.

PROBLEMAS:


1) Si el crecimiento de una poblacion siguiera el modelo exponencial P (t) = P0e002t, donde

P0 = 200.000 es la poblacion en el ano 1990 y P (t) es la poblacion t anos despues de 1990 ¿Cual

era la poblacion en 1997? (Resp. 230.054).

2) Si el crecimiento de la poblacion mundial siguiera el modelo exponencial

P (t) = P0e0.012t, donde P0 = 6.000.000 es la poblacion en el ano 1999 y P (f) es la poblacion

despues de t anos de 1999 ¿Cual sera la poblacion dentro de 5 anos? (Respuesta: tomado de

Wikipedia Poblacion humana actual 6.000, millones en 1999. “Las estimaciones de las Naciones

Unidas para el 2004 son de 6.350 millones, con un crecimiento del 1, 2% (77 millones) por ano.”,

resp. de calculo 6.371 millones) ¿Se ajusta este modelo a las proyecciones de las Naciones Unidas.?

3) El porcentaje de arboles en una plantacion que se ha infectado por cierta plaga esta dado

por

P (t) =100

1 + 20e−0.05t

donde t es el numero de semanas despues que se reporto la enfermedad. Calcule a)P (0), b)P (20)

y c)P (50) (Resp. a) 4.7; b) 12; c) 37.8).

7.22. Funciones logarıtmicas

Suponga una poblacion cuyo modelo de crecimiento esta dado por P (t) = 4e0.02t millones a

partir del ano 2000. Si quisieramos saber cuando la poblacion tendra 5 millones de habitantes,

debernos plantear la ecuacion

5 = 4e0.02t

y obtener el valor de t que satisface esta ecuacion. Para resolverla deberemos usar el proceso

inverso de la exponencial el cual es el logaritmo.

La funcion logarıtmica en base a es la funcion inversa de la funcion exponencial en base a.

Es claro, viendo la grafica de la funcion exponencial, que ella tiene inversa. Esta funcion inversa

7.22. FUNCIONES LOGARITMICAS 273

tiene una notacion propia: loga . Los valores de esta funcion vienen dados por loga(x).

Del concepto de funcion inversa, sabemos que y = f−1(x) si y solo si x = f(y). Puntualicemos

entonces la definicion de logaritmo

Definicion 7.7 Sea a > 0, a 6= 1. El logaritmo de x con base a se define como

y = loga(x) si y solo si ay = x,

siempre y cuando x > 0.

Observaciones:

1.- Conviene recordar siempre al loga(x) como el exponente al que hay que elevar la base

para que se produzca el numero x. Por ejemplo 32 = 9, entonces 2 es el logaritmo de 9 en base

3 :

log3 9 = 2.

2.-Los logaritmos en base 10 son conocidos como logaritmos decimales, En este caso se

suprime el subındice en la notacion, esto es: log10(x) = log(x). En el caso que la base sea el

numero e, el logaritmo se escribe como ln(x) para representar el logaritmo en base e de x y se

lo llama logaritmo natural de x

3.- El logaritmo solo esta definido para los numeros estrictamente positivos. El dominio de

la funcion logarıtmica y = loga(x) es el conjunto (0,∞). Recuerde que el rango de la funcion

exponencial es (0,∞).

4.- y = loga(x) es conocida como la forma logarıtmica y ay = x la forma exponencial. En

ocasiones es util pasar de la forma exponencial a la logarıtmica y viceversa.

5.- De la propia definicion, si sustituimos y en la expresion exponencial obtenemos que

aloga x = x


Si ahora sustituimos x en la expresion logarıtmica resulta que

y = loga(ay)

Ejemplo 1.- Convertir las siguientes formas exponenciales en logarıtmicas

a) 25 = 32; b) 103 = 1000; c) e0 = 1

Solucion: Hay que tener siempre en mente que el logaritmo es el exponente.

a) El exponente es 5, por tanto es el logaritmo, ası: 5 = log2 32

b) En este caso 3 es el exponente, por tanto el logaritmo, ası: 3 = log 1000 En este caso la

base se suprime por ser decimal.

c) 0 es el exponente y la base es e, por tanto usamos la notacion ln para representar el

logaritmo en base e : 0 = ln 1

Ejemplo 2.-Convertir las siguientes formas logarıtmicas en exponenciales

a) log164 = 1/2; b) log31

3= −1; c) log(0,001) = −3

Solucion: Las respuestas estan dadas en la siguiente tabla.

Forma FormaLogarıtmica exponencial

log16 4 = 1/2 161/2 = 4

log31

3= −1 3−1 =

1

3

log(0,001) = 3 10−3 = 0.001

Ejercicio de desarrollo: Convertir las siguientes formas exponenciales en logarıtmicas:

a)1

64= 4−3; b)

3√

8 = 2

Convertir las siguientes formas logarıtmicas en exponenciales

a) log21

2; b) log25 5 =

1

2


Sin aplicar calculadora, ni propiedades, salvo la propia definicion y tanteo podemos calcular

algunos logaritmos.

Ejemplo 3.- Calcular los siguientes logaritmos

a) log2(8); b) log(0,01) y c) ln(√

e)

Solucion:

a) La base es 2, para conseguir log2(8) debemos pensar en un exponente y tal que 2y = 8,

como 23 = 8, entonces 3 = log2(8)

b) Tenemos en este caso que la base es 10, recuerde que el logaritmo es el exponente y tal

que 10y = 0.01, el cual se satisface con y = −2. Ası −2 = log(0.01)

c) En este caso la base es e, se quiere conseguir y tal que y = ln(√

e). Se lleva a la forma

exponencial: ey =√

e, esto es ey = e1/2 de aquı que ln(√

e) = 1/2.

Algunas ecuaciones exponenciales se pueden resolver pasandola a su forma logarıtmica y

algunas logarıtmicas se resuelven pasandolas a su forma exponencial. Veamos las siguientes

ecuaciones:


a) 21−3y = 5; b) e2x = 8; c) log2(x − 1) = 3; d) logx(27) = 3

Solucion: a) y b) las pasamos a su forma logarıtmica para resolverlas a) 1 − 3y = log2 5. Esto

es una ecuacion lineal en y la cual resolvemos

1 − 3y = log2 5 − 1 ⇒ y =1 − log2 5

3

b) 2x = ln 8. De nuevo es una lineal x, en la cual despejamos la variable x =ln 8

2;

c) y d) las pasamos a su forma exponencial

c) 23 = x − 1 ⇒ x = 9; d)x3 = 27. Esta es una ecuacion cubica: x = 3√

27 = 3

Ejercicio de desarrollo: Resolver las siguientes ecuaciones

a) log5(x + 10) = 2; b) e√

x2−1 = 6

Volvemos al problema que nos planteamos al comienzo de la seccion.


Ejemplo 5.- Suponga una poblacion cuyo modelo de crecimiento esta dado por P (t) = 4e0.02t

millones a partir del ano 2000. ¿Cuando la poblacion tendra 5 millones de habitantes?

Solucion: Debemos plantear la ecuacion.

5 = 4e0.02t

Antes de pasar a su forma logarıtmica, dejamos sola la exponencial:

5

4= e0.02t

Pasamos ahora la ecuacion a su forma logarıtmica para resolverla:

0.02t = ln

(5

4

)

t =ln

5

40.02

Usando una calculadora, obtenemos que

t ≈ 11.16

Concluimos que aproximadamente en el ano 2011, la poblacion tendra 5 millones de habitantes.

Ejercicio

1) Pase a la forma logarıtmica las siguientes:

1.1) 10−4 = 0,0001; 1.2) 2−4 =1

16; 1.3) (16)1/2 = 4; 1.4) 34 = 81;

1.5) e−1 =1

e; 1.6) 103 = 1000.

2) Pase a la forma exponencial:

2.1) log2 = 64 = 6; 2.2) log3

√3 =

1

2; 2.3) log

(1

3√

100

)

= −3

2;

2.4) log51

25= −2; 2.5) ln

15√

e= −1

5; 2.6) log(10000) = 4


3) Resuelva las siguientes ecuaciones:

3.1) ln(x − 1) = 1; 3.2) log(x + 3) − 2 = 0; 3.3) log2(2x) = −3;

3.4) e−3x+1 = 4; 3.5) 2 · 4x+1 = 1; 3.6) 2√

x = 8; 3.7) 2x2= 8

4) Calcular los siguientes logaritmos sin usar calculadora:

4.1) log(100); 4.2) log4(4); 4.3) ln

(1

e

)

; 4.4) log(0,001);

4.5) log2(3√

4); 4.6) ln(e0); 4.7) log16(4); 4.8) log2

(1√27

)

Aplicaciones ciencias sociales

1) La poblacion de un paıs P (t) en millones de habitantes, t anos despues de 1990, esta

modelada por P (t) = P0e0.02t ¿Cuando se duplicara la poblacion? (Resp. t =

ln(2)

0.02En el ano

2024).

2) Poblacion de un paıs P (t) en millones de habitantes, t anos despues de 1999, esta modelada

por P (t) = 22e0.04t. ¿Cuando la poblacion llegara a los 35 millones de habitantes? Suponga que

el modelo permanece en el tiempo. (resp. en el 2010).

Y

X

0 < a < 1

1

y = loga(x)

Reporte de la grafica de la funcion y = loga(x), con0 < a < 1

1) El dominio es el conjunto de los reales positivos.El rango es el conjunto de todos los reales.

2) La interseccion con el eje x es el punto (1, 0)

3) La funcion decrece de izquierda a derecha

4) La recta x = 0 (el eje y) es una asıntota vertical,esto quiere decir que la grafica de la funcion se acercacada vez mas a esta recta cuando x se acerca a 0.

Ejemplo 1.- Graficar la funcion y = log(x − 1) + 2, haga un reporte de la grafica

Solucion: Para calcular la intercepcion con el eje x se plantea la ecuacion 0 = log(x−1)+2, a fin


de solucionar esta ecuacion dejamos el logaritmo en un solo lado de la ecuacion log(x−1) = −2.

Esta ultima la pasamos a su forma exponencial 10−2 = x − 1, de aquı x = 1 + 10−2.

Y

X1

Reporte de la grafica de la funcion y = log(x − 1) + 2

1) Dom f = (1,∞). El rango es el conjunto de todoslos numeros reales.

2) La interseccion con el eje x es el punto (1+10−2, 0)

3) La funcion crece de izquierda a derecha

4) La recta x = 1 es una asıntota vertical, esto quieredecir que la grafica de la funcion se acerca cada vezmas a esta recta.

Ejercicio de desarrollo: Graficar la funcion y = log(x+0.5)+1, haga un reporte de la grafica.

Y

X

Reporte de la grafica de la funcion

1) Dom f = . El rango

2) La interseccion con el eje x es el punto

3) La funcion de izquierda aderecha

4) La recta , es una asıntotaesto quiere decir que la

grafica de la funcion se acerca cada vezmas a esta recta.

En la funcion logarıtmica dada arriba pudimos calcular el dominio a partir de la grafica, pero

no siempre lo podremos hacer cuando hay un logaritmo en la funcion y no conocemos la grafica.

El siguiente ejemplo ilustra como calcular dominio de funciones en donde parece un logaritmo

Ejemplo 2.- Calcular el dominio de las siguientes funciones

a) y = log(x2 − x − 2); b) y =√

x log(x − 1)

7.23. GRAFICAS DE FUNCIONES LOGARITMICAS 279

7.23. Graficas de funciones logarıtmicas

Por ser y = loga(x) la funcion inversa de y = ax, usamos la tecnica de obtencion de la grafica

de f−1 a partir de la de f por medio de la reflexion en torno a la recta y = x, como muestra la

siguiente figura, para a > 1 :Y

X

y = ax

y = x

1

1 y = loga(x)

Para 0 < a < 1 tenemos

Y

X

0 < a < 1

1

y = x

y = ax

y = loga(x)

En resumen, las formas generales de las graficas del logaritmo son dos, dependiendo si la

base es mayor que 1. a continuacion presentamos cada una con su reporte.


Y

X1

y = loga(x)

a > 1

Reporte de la grafica de la funcion,y = loga(x) con a > 1 :

1) El dominio es el conjunto de los realespositivos. El rango es el conjunto de todoslos numeros reales

2) La interseccion con el eje x es el punto(1, 0)

3) La funcion crece de izquierda a derecha

4) La recta x = 0 (el eje y) es una asınto-ta vertical, esto quiere decir que la grafi-ca de la funcion se acerca cada vez mas aesta recta.

Solucion: a) Para calcular el dominio de y = log(x2 − x − 2) solo debemos plantear y resolver

la desigualdad cuadratica x2 − x− 2 > O. Para ello factorizamos y hacemos un estudio de signo

de los factores

(x − 2)(x + 1) > 0

Recuerde que los pares de parentesis arri-ba de la recta lleva el signo de los factoresen el intervalo definido por las raıces, y elparentesis de abajo lleva el signo del pro-ducto de signos en el intervalo respectivo.De la figura vemos entonces que la solu-cion de la desigualdad planteada es:

Dom f = (−∞,−1) ∪ (2,∞)

−1 2

(−) (+)

(−)(−) (−)(+) (+)(+)

(+)

signo(x-2)* signo(x+1)

signo(x-2)*(x+1)

b) Para calcular el dominio de esta funcion debemos plantear la parte comun del dominio

de√

x y del dominio de log(x − 1). Esto es la interseccion de los dos dominios. El dominio de

y =√

x esta dado por [0,∞). Para el dominio de log(x − 1) debemos plantear la desigualdad

x − 1 > 0, cuya solucion es x > 1.

7.24. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS 281

0

1

10

1

0

√x

log(x − 1)

Dom f

Ası el dominio de f es el intervalo (1,∞)por ser la parte comun entre los dominiosde los dos factores.

Ejercicio de desarrollo.- Calcular el dominio de la siguiente funcion y =log(x2 − 2x)

x

Ejercicios

1) Bosqueje la grafica de las siguientes funciones. Realice un reporte de la grafica

1.1) y = log(x − 2); 1.2) y = log1/2(x + 3); 1.3) y = − log(x) + 1;

1.4) y = log2(x − 2) − 3

2) Encuentre el dominio de las siguinetes funciones:

2.1) f(x) = log(x2 − 9); 2.2) f(x) =x

log(x − 3); 2.3) f(x) =

√1 − x log(x + 2);

2.4) y =ln(x + 1)

x3 − 5x2 + 6x; 2.5) g(x) =

1

x + 1− log(x+1); 2.6) h(x) =

√x ln(x2 −x−6);

2.7) f(x) =1

log(x + 1).

7.24. Propiedades de los logaritmos

En esta seccion se estudiaran las propiedades de los logaritmos. Como los logaritmos son

los exponentes, las propiedades se establecen en base a las propiedades de los exponentes. Por

ejemplo, si x = loga m y y = loga n entonces ax = m y ay = n, de donde

mm = ax · ay = ax+y

De aquı tenemos, volviendo esta forma mn = ax+y a su forma logarıtmica que loga(mn) = x+y.

Sustituyendo finalmente establecemos nuestra primera propiedad.


loga(mn) = loga m + loga n.

En el siguiente recuadro remarcamos estas y otras propiedades de logaritmos de uso frecuente.

1.- loga(mn) = loga m + loga n

2.- loga

(m

n

)

= loga m − loga n

3.- loga(mc) = c loga m

4.- loga(a) = 1

5.- loga(1) = 0

Dado que las formas de estas propiedades no son usuales, los estudiantes suelen cometer

muchos errores en ellas. Uno muy frecuente es decir que el logaritmo de la suma (diferencia) es

la suma (diferencia) de los logaritmos, lo cual es falso.

Esto es

loga(m + n) 6= loga m + loga n o bien loga m − loga n

Una correcta lectura de estas igualdades pueden ayudar a no cometer estos y otros errores muy

comunes. Por ejemplo las propiedades las podemos leer como:

1.- loga(mn) = loga m + loga n : El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos.

2.- loga

(m

n

)

= loga m − loga n : El logaritmo de un cociente es la resta de los logaritmos.

3.- loga(mc) = c loga m : El logaritmo de una potencia es el exponente por el logaritmo del

numero.

4.- loga(a) = 1 : El logaritmo de la base es 1.

5.- loga(1) = 0 : El logaritmo de 1 en cualquier base es 0.

7.24. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS 283

Observe que en la propiedad 2 se refiere al logaritmo de un cociente, esto es estamos evaluando

el logaritmo en un numero expresado como cociente:m

n. El logaritmo de un cociente no es el

cociente de los logaritmos: loga

(m

n

)

6= loga(m)

loga(n).

Para los logaritmos de una suma, loga(m + n), y una diferencia, loga(m − n), no hay

propiedades generales.

De nuevo estas propiedades son faciles de demostrar al pasar las formas logarıtmicas en

exponenciales. Por ejemplo la propiedad 4: loga(a) = 1 ⇔ a1 = a.

Los siguientes ejercicios seran de utilidad mas adelante. Por medio de las propiedades se pide

reescribir una expresion con logaritmos:

Ejemplo 1.- Expresar log(x√

x) en terminos de log(x)

Solucion: Tal como esta expresado log(x√

x) lo podemos interpretar como el logaritmo de un

producto y entonces aplicar la propiedad 1. Pero alternativamente podemos reescribir (x√

x =

x3/2 y aplicar la propiedad 3.

log(x√

x) = log(x3/2) =3

2log(x).

Ejemplo 2.- Expresar log

(x3

√x + 1

x − 2

)

en terminos de log(x), log(x + 1) y log(x − 2)

Solucion: La forma de resolver este tipo de ejercicio es analizando cual es la ultima operacion

que se realiza en la expresion que se le toma logaritmo. En este caso es un cociente, por tanto

se aplica la propiedad 2 del cociente.

log

(x3

√x + 1

x − 2

)

= log(x3√

x + 1) − log(x − 2)

= log(x3) + log(√

x + 1) − log(x − 2)

= 3 log(x) +1

2log(x + 1) − log(x − 2)

El primer termino del lado derecho

es un producto por tanto aplicamos,la propiedad 1 del producto

El primer termino ahora es una potencia,

por tanto aplicamos esta regla.

El segundo que es un radical.

Lo expresamos como una potencia y tambien

le aplicamos esta propiedad.

Ejercicio de desarrollo.- Expresar ln

(

(x + 3)2√

x(x + 2)

)

en termino de ln(x), ln(x+2) y ln(x+3)


7.25. Ecuaciones logarıtmicas y exponenciales

Las propiedades de los logaritmos permiten solucionar algunas ecuaciones logarıtmicas.

Basicamente tendremos dos tipos de formas y deberemos llevar la ecuacion planteada a una

de estas dos formas a traves de las propiedades de los logaritmos:

Forma 1: loga(g(x)) = c. La recomendacion para resolverla es llevarla a la forma exponencial.

Forma 2: loga(g(x)) = loga(f(x)) Para resolverla usamos el hecho que la funcion logarıtmica

es biunıvoca entonces esta expresion ocurre si y solo si g(x) = f(x), la cual es la que resolveremos.

Comentarios:

1) Al llevar una ecuacion a la forma 1 o 2 podrıamos estar agregando solucion, ası que

debemos siempre verificar que las soluciones satisfacen la ecuacion original.

2) La forma 1 o 2 tambien se resuelven elevando ambos miembros en base a.

Veamos los siguientes ejemplos donde debemos llevar la ecuacion que se nos presente a una

de estas dos formas usando las propiedades de los logaritmos.

Ejemplo 1.- Resolver las siguientes ecuaciones logarıtmicas:

a) log(3x + 1) − log(x) − 1 = 0; b) 2 log(x) = log(x + 1) + log(x + 2)

Solucion:

a) Esta ecuacion la llevamos a la forma 1:

log(3x + 1) − log(x) = 1

log

(3x + 1

x

)

= 1

Ahora la llevamos a su forma exponencial

10 =3x + 1

x

Esta es una ecuacion racional, multiplicamos ambos lados por x y ası obtenemos una ecuacion

lineal:

Cuya la solucion es: x =1

7

7.25. ECUACIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES 285

Esta solucion debe ser verificada en la ecuacion racional pues puede ser una solucion anadida.

En la ecuacion logarıtmica original, se debe sustituir la solucion en cada expresion logarıtmica

para verificar que cada expresion a la que se le toma logaritmo sea mayor que cero. El lector

puede verificar que cumple con la ecuacion racional y que 3x + 1 > 0 con x =1

7

b) Esta ecuacion la llevamos a la forma 2: loga(x) = loga(f(x)). Para ello en el lado izquierdo

usamos la regla de la potencia y en el lado derecho la propiedad de la suma:

2 log(x) = log(x + 1) + log(x + 2)

log(x2) = log((x + 1)(x + 2))

Entonces

x2 = (x + 1)(x + 2)

Ahora resolvemos esta ecuacion:

x2 = x2 + 3x + 2

3x + 2 = 0

x = −3

2:

Esta solucion la sustituimos en la ecuacion original para verificar que estemos aplicando logar-

itmo a numeros positivos:

2 log

(−2

3

)

= log

(

−2

3+ 1

)

+ log

(

−2

3+ 2

)

. Como log

(−2

3

)

no esta definido, entonces

x =−2

3no es solucion. En conclusion esta ecuacion no tiene solucion.

Ejercicio de desarrollo: Resolver las siguientes ecuaciones logarıtmicas:

a) ln(x + 1) = ln(2x + 1) − ln(x − 1); b) 1 − log(3x + 1) = log(x − 2)

Si una ecuacion exponencial puede ser expresada de forma ag(x) = c · kf(x), entonces para

resolverla aplicamos logaritmos a ambos lados con la idea que los exponentes pasen multiplicando


logb(ag(x)) = g(x) logb(a);

logb(c · kf(x)) = logb(c) + logb(kf(x)) = logb(c) + f(x) logb(k)

Si estamos interesados en la solucion numerica, podemos emplear o bien el logaritmo decimal o

el neperiano. Si k = ar, se puede aplicar logaritmos en base a para tener una solucion exacta.

Ejemplo 2.- Resolver las siguientes ecuaciones:

a) 5x2−1 = 5 · 2x2−3; b) 2x2+1 = 2 · 4x−4

Solucion:

a) Tomamos logaritmo decimal en ambos lados: log(5x2−1) = log(5 · 2x2−3) y aplicamos

propiedades del logaritmo

(x2 − 1) log(5) = log(5) + log(2x2−3)

(x2 − 1) log(5) = log(5) + (x2 − 3) log(2) Se distribuyen el logaritmo

x2 log(5) − x2 log(5) = log(5) − 3 log(2) + log(5)Se agrupan los terminos en el lado

izquierdo y en el derecho las constantes

x2(log(5) − log(2)) = 2 log(5) − 3 log(2) Se saca factor comun x2 y se despeja

x2 =2 log(5) − 3 log(2)

log(5) − log(2);

x = ±√

2 log(5) − 3 log(2)

log(5) − log(2)≈ 1.11 Puede confirma que x = ±

√√√√√√√

log

(25

9

)

log

(5

2

)

b) Para resolver 2x2+1 = 2 · 4x+2, primero expresamos 4 como potencias de 2

2x2+1 = 2(22)x+2

7.26. FORMULA DE CAMBIO DE BASE 287

2x2+1 = 2 · 22(x+2). Aplicamos logaritmo en base 2 a ambos lados de la ecuacion

log(2x2+1) = log2(2 · 22(x+2))

(x2 + 1) log2(2) = log2(2) + log2(22(x+2))

(x2 + 2) = 1 + (2x + 4) log( 2)

x2 + 1 = (2x + 4)

x2 − 2x − 3 = 0

Las soluciones son x = 3 y x = −1

Ejercicio de desarrollo: Resolver las siguientes ecuaciones:

a) 8x2+1 = 23−2x; b) 5x+1 = 4 · 23−2x

7.26. Formula de cambio de base

Si tenemos un numero expresado como logaritmo de una base y queremos expresarlo en otra

base usamos la formula

loga x =logb x

logb a

que permite hacer este cambio de base.

Demostracion: Supongamos y = loga(x), llevamos esta forma exponencial

x = ay

tomando logaritmo en base b a ambos lados, tenemos

logb x = logbay


y =logb x

logb a

Finalmente sustituimos y por su valor para alcanzar la igualdad.

En particular, las formulas de cambio de base a la decimal y a la logarıtmica viene expresada

por las siguientes

loga x =log x

log a

loga x =ln x

ln a

Ejemplo 1.- Expresar los siguientes logaritmos en base 10 : a) log2(10); b) ln(x)

Solucion: Aplicamos la formula de cambio de base en arabos casos:

a) log2(10) =log 10

log 2=

1

log 2; b) ln(x) =

log x

log e

Ejemplo 1.- La alcaldıa esta promoviendo el desarrollo de la zona con ciertos incentivos y

con ello se espera que en los proximos anos crezca un 8% anual. ¿Cuanto tiempo tardara la

poblacion en triplicarse, si sigue esta polıtica?

Solucion: En este problema se aplica la formula P (t) = P0(1 + r)t. En este caso r = 0.08.

Aquı P0 no lo dan, pero esta informacion no hace falta para resolver el problema. Simplemente

queremos conoce t tal que P (t) = 3P0

La ecuacion a plantear entonces es: 3P0 = P0(1.08)t, la cual es equivalente a

3 = (1.08)r

Es una ecuacion exponencial, tomamos logaritmos naturales a ambos lados (se pido tomar tam-

bien el decimal).

7.27. APLICACIONES A LAS CIENCIAS NATURALES 289

ln 3 = ln(1.08)t

ln 3 = t ln(1.08)

t =ln 3

ln(1.08)≈ 14.2

Tardara 14 anos aproximadamente en duplicarse.

Observacion.- Esta cantidad de anos es independiente de la poblacion inicial.

7.27. Aplicaciones a las ciencias naturales

Ejemplo 1.- La presion atmosferica, en milibares, para h kilometros sobre el nivel del mar

esta dada aproximadamente por

P (h) = 1013e−0.13h

¿A que altura la presion atmosferica sera la mitad de la presion sobre el nivel del mar?

Solucion: En este caso nos preguntan h tal que P (h) =P (0)

2. La presion sobre el nivel del mar

es P0 = 1013. Ası que la ecuacion a resolver es:

1310

2= 1013e−1.13h

Tomando logaritmos, tenemos

− ln(2) = −0.13h

h = 5.28h

La altura cuya presion corresponde a la mitad sobre el nivel del mar es 5280 metros.

7.28. Escala de Richter

Existen diversas escalas para medir la intensidad de los terremotos. La medida apropiada

deberıa ser la energıa liberada. Sin embargo esta medida se escapa de la nocion intuitiva del


desastre. El terremoto de mayor intensidad ha liberado una energıa aproximada 2× l017 joules,

esto es exorbitantemente grande comparado con un ligero movimiento. Se ha convenido en

estandarizar la energıa por E0 = 104.4 joules, que corresponde a la energıa liberada por un leve

movimiento. Mas especıficamente la magnitud M en la escala de Richter se define como:

M =2

3log

(E

E0

)

Ejemplo 1.- ¿Cual fue la magnitud en la escala de Richter del terremoto mas intenso?

Solucion:

M =2

3log

(2 × 1017

104.4

)

2

3log(2 × 1012.6) =

2

3(log 2 + log 1012.6) =

2

3(0.301 + 12.6)

= 8.6

Ejemplo 2.- Si la energıa liberada por un terremoto es 1000 veces la de otro terremoto ¿Como

se pueden comparar las lecturas en la escala de Richter?

Solucion: E1 = 1000E2 : Calculemos M1 como funcion de M2

M1 =2

3log

(1000E2

E0

)

M1 =2

3(log

(E2

E0

)

+ log(103))

M1 =2

3log

(E2

E0

)

+2

3· 3 log(10)

M1 = M2 + 2.

Ası el terremoto de mayor intensidad mide 2 puntos mas en la escala de Richter.

7.29. ESTIMACION DE LA EDAD 291

7.29. Estimacion de la edad

El carbono 14 se mantiene constante en los tejidos de los seres vivos. Una vez que el organismo

muere empieza a disminuir su presencia de acuerdo a la siguiente ley:

C(t) = C0e−kt,

donde k=0.000121. y C0 es la cantidad inicial del carbono 14 al momento de morir.

Observacion: Gracias a que la cantidad de carbono 12 permanece en el organismo aun despues

de miles de anos muerto y que las plantas fijan el carbono 14 y 12 en la misma proporcion que

esta en el aire se puede predecir la cantidad inicial de carbono 14, asumiendo que la composicion

del aire ha permanecido en el tiempo.

Ejemplo 1.- Si se ha encontrado un fosil que ha perdido la mitad de su Carbono 14. Calcule

la edad del fosil.

Solucion: Recuerde que C0 es la cantidad de carbono 14 en el momento de morir. Se debe

conseguir t tal que C(t) =C0

2, que es la mitad del carbono 14 inicial. Se sustituye la formula

del decaimiento del carbono 14:

C0

2= C0e

−kt

Simplificando:

1

2= e−kt

Tomando logaritmos y despejando tenemos

− ln 2 = −kt

t = 5728.48 anos

Este tiempo es lo que se conoce como la vida media del C14.

Ejercicios:


1) Expresar log

(x2 − 1

x2

)

en terminos de log(x), log(x − 1) y log(x + 1)

2) Expresar ln(2x(x − 1)√

(x + 3) en terminos de ln(x), ln(x − 1) y ln(x + 3)

3) Expresar log

(√

(x − 1)2

x(x + 2)

)

en terminos de log(x), log(x − 1) y log(x + 2)

4) Expresar ln

(

x

√

(x + 1)

(x − 2)

)

en terminos de log(x), log(x + 1) y log(x − 2).

5) Resolver las siguientes ecuaciones:

5.1) log(x + 3) + log(x) − 1 = 0; 5.2) log(x) + log(x + 3) = 2 log(x + 2);

5.3) log(x) = log(x + 4) − log(x + 1); 5.4) log(√

x) = log(x − 2);

5.5) 2 = log(20x + 10) − log(x + 2); 5.6) 5x2= 25x+4;

5.7) 72x = 53x−1; 5.8) 2 log(x − 2) = 4;

5.9) eln(1−x) = 2x; 5.10) ln x = 2 + ln(1 − x);

5.11) ln(x2 − 1) = 0; ⋆5.12) (ln x)2 − ln x = 0

(⋆Sugerencia: Use el metodo de factorizacion para resolver ecuaciones)

6) Expresar los siguientes logaritmos en base 10 :

6.1) log3(100); 6.2) ln(√

5).

Expresar los siguinetes logaritmos en base e :

6.3) log(12); 6.4) log2(√

e).

7) Demuestre que y = log2(x − 1) es la funcion inversa de y = 2x + 1. Dibuje ambas en el

mismo sistema de coordenadas.

Problemas de crecimiento poblacional

1) La poblacion de un paıs P (t) en millones de habitantes, t anos despues de 1990, esta

modelada por P (t) = P0e0.02t ¿Cuando se duplicara la poblacion? (Resp. t =

ln(2)

0.02. En el

7.29. ESTIMACION DE LA EDAD 293

ano 2024) La poblacion de un paıs P (t) en millones de habitantes, t anos despues de 1999,

esta modelada por P (t) = 22e0.04t ¿Cuando la poblacion llegara a los 35 millones de habitantes?

Suponga que el modelo permanece en el tiempo (Resp. En el 2010)

2) En una zona del paıs existen dos poblaciones, A y B, con 200.000 y 250.000 habitantes

respectivamente. La poblacion A crece a un ritmo de 3.5% anual y la B a 3% anual. ¿En cuanto

tiempo la poblacion A llegarıa a ser igual a la poblacion B, si se mantienen constantes los ritmos

de crecimiento? Resp. 46 anos

3) La densidad de la poblacion a × km del centro de la ciudad esta dada por

D(x) = Ae−kx. Si la densidad de la poblacion es 10.000 personas/km2 y la densidad a 5 km. es

de 7000 personas, halle completamente la funcion, b) ¿Cual sera ¡a densidad a 8 km de distancia

del centro?

4) En el modelos de crecimiento poblacional dado por

Pn = P0(1 + r)n

donde Pn es el tamano de la poblacion dentro de n, P0 la poblacion inicial y r la tasa de

crecimiento anual, despeje r en funcion de Pn, P0 y n

Problemas de ciencias naturales

1) El crecimiento de los arboles en ocasiones es modelado usando el modelo logıstico. Suponga

que cierta variedad sigue el siguiente modelo, h(t) =50

1 + 210e−0.3tdonde h(t) es la altura en

metros despues de t anos de sembrado. ¿Que altura tendra a los 10 anos de sembrado? ¿Cuanto

tiempo tiene que transcurrir para que su altura sea de 25 metros) (9.6; 17.8 anos)

2) El yodo radioactivo tiene una ley de decrecimiento exponencial con un tiempo de vida

de 20.9 h. Si a una persona se inyecta yodo 133 y tiene una tiroides sana ella absorbe todo el

iodo a) Despues de 24 horas de haberse inyectado yodo a una persona sana ¿Que porcentaje de

yodo 133 deberıa encontrarse en la tiroides? b) Si al paciente se le detecto el 43% de yodo 133

inyectado. ¿Que porcentaje queda en el cuerpo? (45%, 2%)

3) El terremoto de San Francisco libero una energıa aproximada de 5.96× l0l6 joules. ¿Cual


fue su magnitud en la escala de Richter? (8.25)

4) El mayor terremoto registrado hasta ahora fue de 8.6 en la escala de Richter. Si un

terremoto es de 7.5 en la escala de Richter. ¿Cuantas veces mas intenso es este terremoto con

respecto a uno de 7.5? (Sugerencia: Calcule la energıa liberada por ambos terremotos y haga el

cociente entre ellas.

5) La presion atmosferica, en milibares, para h kilometros sobre el nivel del mar esta dala

aproximadamente por P (h) = 1013e−0.13h. Si la presion del aire fuera de un avion que esta volan-

do es de 700 mb ¿A que altura esta volando? (2.84 km)

6) El porcentaje de arboles en una plantacion frutal que se ha infectado por una enfermedad

esta dada por

P (t) =100

1 + 20e−0.05t

donde t es el numero de dıas, medido a partir del momento en que se descubrio el contagio.

¿Cuantos dıas tardara en infectarse el 80% de la plantacion? (t =ln(80)

0.05≈ 87.6 dıas).

7.30. Geometrıa

Una de las interesantes tareas que asumimos a diario los docentes de matematicas, consiste

en despertar interes por el espacio que nos rodea a todos los seres humanos. Estos debieran

abundar, hoy en dıa, en objetivos educacionales vinculados con geometrıa, todo eso a causa de

que espacio y numero constituyen una dupla inseparable indisoluble. Entonces geometrıa nos

acerca a las matematicas como metodo para pensar la realidad, como herramienta poderosa en

la solucion de problemas. El metodo, por ejemplo, usado por Eratostenes para medir la tierra

de manera tajante que matematicas no es una ciencia acabada, terminada. Ademas demuestra

que el metodo tiene su base en la intuicion, la imaginacion, el ensayo, el error, la invencion, el

descubrimiento y que la intuicion y la construccion son las fuerzas que dirigen hacia el logro del

resultado. El modelo matematico ecuacion o conjunto de ecuaciones, se usan errores cometidos

7.30. GEOMETRIA 295

en la construccion del modelo para perfeccion del modelo y la solucion de problemas relacionados

con el entorno que nos rodea.

Ejemplos relacionados con el entorno que nos rodea aplicados a la geometrıa uti-

lizando los conocimientos abstractos.

1.- Se tiene un terreno de forma rectangular, su perımetro es de 550 m y su superficie es 1100

m. Hallar sus lados.

Razonamiento:

Como sabemos que el perımetro es la suma, planteamos la siguiente ecuacion

x + y + x + y = 550

2x + 2y = 550 1◦ ecuacion

Ahora sabemos que el area es b.h por lo tanto 1100 = x.y 2◦ ecuacion

Simplificando la primera ecuacion 2x + 2y = 550 lo divido entre dos y se tiene x + y = 275

despejamos x y tendremos x = 275 − y 3◦ ecuacion

Sustituyo en la segunda ecuacion la tercera ecuacion

1100 = (275 − y)y entonces 1100 = 275.y − y2

Procedemos a encontrar el valor de y a traves de la ecuacion de segundo grado

−y2 + 275y − 1100 = 0 entonces:

y =275 ±

√

(275)2 − 4(−1)(−1100)

2 · (−1)=

−275 ±√

75625 − 4400

−2=

−275 ±√

71225

−2

y =−275 ± 266,8

−2=

−275 − 266,8

−2=

−541,8

−2= 270,9 Por lo tanto y = 270,9 m

Ahora sustituimos en la segunda ecuacion 1100 = xy despejamos x

x =1100

y=

1100

270,9= 4.06 Por lo tanto x = 4.06

y = 270.9


Los valores encontrados son y = 270.9 m y x = 4.06 m si sumamos los lados obtenemos

270,9 + 270,9 + 4,06 + 4,06 = 549,92 m. Tambien podremos comprobar el area del rectangulo

que es 270,9 ∗ 4,06 = 1099,85 m

2.- Si el largo de un salon de clase de forma rectangular es de 6 m, menos 3 veces el ancho y

el largo mide 30 m. Hallar el ancho. Ver figura.

30

3x-6

Planteamos la ecuacion 3x − 6 = 30 por lo tanto 3x = 30 + 6 donde 3x = 36 y nos queda

que x =36

3= 12

En conclusion el ancho mide 12 m

Problemas de geometrıa.

1.- Los catetos de un rectangulo suman 21 y su diferencia es 3. ¿ Cual es el area?

2.- En un rectangulo, el perımetro mide 60 m y su superficie 98 m. Hallar su base y altura

3. En una calle de anchura desconocida, es colocada una escalera, con su pie en un punto p

entre las paredes. Si la apoyamos sobre la pared de la derecha, la escalera forma un angulo de

45◦ con el suelo. Apoyandola sobre la otra pared, el angulo que forma ahora es de 75◦. Ademas,

la altura del punto R es de 4 m. Hallar el ancho de la calle.

4.- Un pino de 8 m de altura proyecta una sombra de 10.5 m. Dos pajaritos se posan en

dicho arbol, uno en el tope y otro un poco mas abajo. Si la distancia entre las sombras que esos

pajaritos proyectan en el suelo es de 4m. ¿Cual es la distancia entre los pajaritos?

5.- Se tiene un tanque de forma cilındrica cuyo diametro es de 6.5 m y la altura es de 2.30

m. ¿Cual es la cantidad de litros almacenada?

7.30. GEOMETRIA 297

6.- ¿Que altura necesitamos para hacer un tanque de forma cilındrica cuya capacidad sea de

700000 litros teniendo 12 m de radio?.

7.- A 300 m de una carretera rectilınea hay un campamento escolar (llamemoslo A) en la

carretera y a 500 m del campamento A hay otro campamento (designemolo por B) se desea

construire un restauran, en la carretera, y a igual distancia de cada campamento. Hallar la

distancia del restauran a cada campamento.

8.- Se tienen dos postes de cable telefonico uno de 8.5 m y otro de 4.2 m situados en el suelo.

Cada uno esta sujeto con dos tensores como se muestra en la figura. Encontrar la altura donde

se cruzan los tensores.

4.2 m

8.5 m

h

Bibliografıa

298

Bibliografıa

[1] Rivero F. (1998) Numeros Enteros.

[2] E. Navarro (1972) Problemario de Analisis y Geometrıa Analıtica.

[3] Cadenas y Rivas (2009) Fundamentos de matematicas basicas en la formacion de docentes.

[4] Cadenas, R. (2007) Analisis matematicos de una variable real

[5] Leithold, L. (1973) El Calculo con Geometrıa Analıtica.

[6] Saenz, J. (2005) Caculo diferencial con funciones trascendentes tempranas para ciencias e

ingenierıa.

[7] Baldor A. (1989) Algebra.

[8] Osuna, O. (1992) Guıa sobre ejercicios fundamentales para el ingreso a las universidades.

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