3M Cinematica Del Movimiento Plano

UNIVERSIDAD TECNOLOGIA NACIONAL

FACULTAD REGIONAL MENDOZA

MECANICA Y MECANISMOS AO 2012

Chung Roger, Legajo 3441, TP N3- Cinemtica del Movimiento Plano Pgina 43

TPN3 Cinemtica del movimiento plano

Ejercicio 3.1.12

Determinar grficamente la posicin del centro instantneo de rotacin de la barra AB y luego definir la

velocidad de los puntos A,B ,D, G encontrndose este ltimo en la

mitad de AB

Teniendo el valor del radio R de la rueda superior y la velocidad angular, podemos determinar la velocidad de C

y D

Para obtener la velocidad el CIR de la barra AB ( ) necesitamos conocer la direccin de dos de sus puntos

Si yo uno el extremo de la velocidad en D y el extremo de la velocidad en

C, obtengo el gradiente de velocidad del solido donde se puede hallar la

velocidad en cualquier punto.

De la misma manera la proporcionalidad se puede marcar en el punto E,

luego la velocidad en E, C, D valen los mismo.





Para determinar el centro instantneo de rotacin de la barra EF( ) , va ah estar en la interseccin de las

perpendiculares a las velocidades de y

Luego por la proporcionalidad que existe entre la velocidad

tangencial de un punto y su distancia al centro de giro, podemos

obtener los mdulos de la velocidades y

Determinamos las distancias que hay desde el centro instantneo de rotacin ( ) a las velocidades ,

y

Establecemos la relacin





Al tener en el grafico la direccin de podemos encontrar el centro instantneo de rotacin de la barra AB

( ) , ya que sabemos que la velocidad de a es perpendicular a la barra OA:

Determinamos las distancias que hay del CIR de la barra AB ( ) a las velocidades , y

Aplicando la relacin de proporcionalidad tenemos, obtenemos el

valor de la velocidad de A.





Ejercicio 3.2.13

El mecanismo biela-manivela de la figura gira a 400rpm. Determinar grfica y analticamente la velocidad de

los puntos A,B y uno intermedio M de la biela.

Resolucin:

Determinamos la velocidad angular, luego obtenemos la velocidad de a

*

+

| |

[ ]

La velocidad de A es perpendicular a OA y la de B es horizontal, entonces el CIR de la barra AB ( ) va a estar

en la interseccin de la prolongacin del segmento OA con la recta que pasa por B:

Determinamos la distancia de O a B llamndola x

| | ( )

( )

[ ]

Como el ngulo alfa es de 45 grados y OCB es un tringulo rectngulo, la

distancia OC es igual a CB





Determinamos la distancia CA

Luego por la proporcionalidad que existe entre la velocidad tangencial de un punto y su distancia al centro de

giro, podemos obtener los mdulos de las velocidades VM y VB





Para encontrar las direcciones de las velocidades nombradas hacemos:





Ejercicio 3.3.14

En un cuerpo en movimiento plano, que se encuentra con las condiciones cinemticas mostradas, determinar

el CIR y la velocidad en el punto A.





Ejercicio 3.4.15

Sea la rueda de radio igual 1 metro que se desplace sin resbalar sobre una superficie horizontal, con una

aceleracin angular de 3 rad/s2 hacia la izquierda; en el instante considerada la velocidad angular de 2 rad/s

tambin hacia la izquierda determina.

a) Centro instantneo de rotacin

b) Velocidad en los puntos ABCD

c) centro instantneo de aceleracin

d) Aceleracin en los puntos ABCD

e) Encontrar las ecuaciones de la base de la ruleta para el caso dado.

Resolucin:

a) Centro instantneo de rotacin:

De la ecuacin para determinar el CIR: ( )

Aplicamos la ecuacin para velocidad de un punto del cuerpo rgido en funcin de otro punto del mismo punto

Donde la velocidad del punto O1 respecto al punto C ser:

Debido a que rodar implica que la velocidad del punto de contacto C respecto a la superficie sea cero

Nos queda

( ) (( ) ( ))

Luego el centro instantneo de rotacin ser:

( )





b) Velocidad en los puntos ABCD

Una vez obtenido el centro instantneo de rotacin podemos calcular las velocidades de A, B, D del rigido.

( ) [( ) ( )] ( ) |

|

( ) [( ) ( )] ( ) |

|

( ) [( ) ( )] ( ) |

|

( ) [( ) ( )] ( ) |

|

c) centro instantneo de aceleracin

De la expresin: ( )

Para determinar la

Aplicamos la ecuacin para la aceleracin de un punto del cuerpo rgido en funcin de otro punto del mismo

punto

( ) ( )

( ) ( )





Donde el punto de contacto C tiene velocidad nula, entonces

Quedndonos solo la expresin: ( )

( )

Si nos ubicamos en la terna fija, El punto O1 solo se traslada, por lo tanto no tiene aceleracin normal,

El otro trmino entonces nos da:

|

|

Reemplazando en la expresin para hallar el centro instantneo de aceleraciones:

( )

( )

d) Aceleracin en los puntos ABCD

( ) ( )

(( ) (

)) (

)

( ) ( )

(( ) (

)) (

)

( ) ( )

(( ) (

)) (

)

( ) ( )

(( ) (

)) (

)





Grfico de lo punto Ca y las aceleraciones de los puntos A,D,B

e) Encontrar las ecuaciones de la base y de la ruleta para el caso dado.

Calculo de la ecuacin de la base

Las ecuaciones para determinar la base son Y

Ahora del problema deducimos que la figura que formara el movimiento del punto C respecto a la terna fija,

sera una recta, debido a que siempre el centro instantneo de rotacin va a estar en la superficie.

La ecuacin de una recta es: Pero como solo tenemos una recta constante en Y , la coordenada x

tendra que ser cero. Entonces la ecuacin de la recta nos dara de la forma

Donde esta ecuacin de la base nos dice que el punto C solo se traslada en una recta constante y=0





Calculo de la ecuacin de la ruleta

Las ecuaciones para determinar la ruleta son

Ahora del problema deducimos que la figura que formara el movimiento del punto C respecto a la terna mvil

va a ser una circunferencia.

Donde la ecuacin de la circunferencia centrada es:

Sabemos que y

( ) ( )

Ejercicio 3.5.16

Aplicando el mtodo grafico de las circunferencias encontrar centro instantneo de la aceleracin del ejercicio

3.4

Tenemos una circunferencia, si yo tengo un cuadriltero que est

inscripto dentro de una circunferencia los ngulos opuestos suman

180, y la suma de los ngulos interiores suman 360.

Adems:

Del grafico determinamos

( )





Ahora si el punto P es el centro de aceleracin, y que la direccin es la direccin de la aceleracin en el punto

A, y la direccin es la direccin de la aceleracin en el punto B, y mantengo que los ngulos son iguales.

Esto me permite decir que si yo tengo las dos direcciones dentro de una misma circunferencia, la interseccin de

esas dos rectas de accin pertenecientes a la circunferencia, el centro instantneo de aceleracin va estar

dentro de esa circunferencia.

Teniendo los puntos de aplicacin de las aceleracin en A, B, C y D y sus direcciones.

Hacemos la Interseccin las rectas de accin de A y B, luego dibujamos una circunferencia que pase por los

puntos de A y B y la interseccin. Para encontrar el centro de la circunferencia, tomamos la mitad el tramo de A

hasta la interseccin y trazamos una perpendicular, hacemos lo mismo con el tramo de B hasta la interseccin.

Luego en la interseccin de las perpendiculares va estar el centro de la circunferencia

Donde el centro de instantneo de aceleracin s que est en algn punto de la circunferencia.

Hacemos lo mismo con AD y DB, y en la interseccin de las 3 circunferencias es el centro instantneo de

aceleracin.





Ejercicio 3.6.17

Transcribir ejercicio de la escalera que se encuentra en teora considerando que la longitud de la misma es de

3 metros.

Supongamos que queremos encontrar la base y la ruleta del movimiento de una escalera que apoyada sobre la pared con un extremo, desliza el otro sobre el piso. Tomamos los ejes mviles, de tal manera que es el extremo de la escalera que est sobre el piso, en la direccin de la escalera y perpendicular al anterior. La longitud de la escalera es y el ngulo que esta forma con la pared en un instante cualquiera es

Ecuacin de la ruleta:

Ecuacin de la base:

Calculo de la ecuacin de la ruleta:

Analizando el problema tenemos:

Se desplaza solo en X

Reemplazo:

Por lo tanto la ecuacin de la recta nos queda:





Si elevamos al cuadrado y sumamos, a ambos miembros de la ecuacin:

Factorizo:

Tiene la forma de una circunferencia descentrada

Donde la expresin de una circunferencia descentrada es:

( )

Sabiendo que 2R es igual al dimetro D

Es una circunferencia desplazada

Ecuacin de una circunferencia de radio L/2 con centro sobre el eje y1 a distancia L/2 del origen. En la terna

X1,Y1

Calculo de la ecuacin de La base:

(

)

( )

Factorizo

Es una circunferencia Centrada de radio L y centro en O. en la terna XY





Ejercicio 3.7.18

Una varilla AB de longitud L desliza sobre guas rectas perpendiculares entre si practicadas en la barra fija (1).

Hallar la base y la ruleta del movimiento de la varilla (compas de varas)

Solucin

El c.i.r de la varilla se encuentran en I .El segmento , por tanto, la base es una circunferencia de

radio AB y centro O, Adems, puesto que AIB es ngulo recto en todas las posiciones de la varilla AB, el lugar

geomtrico de I con relacin a la varilla es una circunferencia de dimetro AB.

Esta circunferencia es la ruleta y el movimiento de la varilla puede, pues, ser reproducido haciendo rodar sin

deslizamiento la circunferencia menor (ruleta) con la varilla fija a ella, por el interior de la circunferencia mayor

(base)





Solucin analtica del problema

Calculo de la ecuacin de la BASE:

Las ecuaciones para determinar la base son Y

( )

( )

( )

Eliminando el parmetro entre las dos ecuaciones (1) y (2), obtenemos la ecuacin cartesiana de la base del

movimiento de la barra. Para ellos elevamos al cuadrado las dos expresiones y sumamos:

}

La base por tanto es una circunferencia centrada de radio L, en la terna X,Y.





Calculo de la ecuacin de la Ruleta:

Las ecuaciones para determinar la Ruleta son

Teniendo como dato:

( )

( )

En definitiva tenemos

De las relaciones trigonomtricas:

Remplazamos:

(

)

(

)

Despejamos:





Elevamos al cuadrado ambos miembros:

(

)

( )

Sumamos los trminos

(

)

( )

(

)

Completamos el cuadrado sumando (

)

a ambos miembros

(

)

(

)

(

)

(

)

Es una circunferencia de centro (

) y radio (

), en la terna X1,Y1.

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