3esomapi Gd Esu12

Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Sugerencias didácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Actividades de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Actividades de ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Propuesta de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17*También la podrás encontrar en el CD Programación.

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G U Í A D I DÁ C T I C A UNIDAD 12

Traslaciones, girosy simetríasen el plano

CO N T E N I D O

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Como ya se expuso en el tema anterior, el mejor modo de aprender geometría es a través de la experiencia.

Es importante que los alumnos manipulen, experimenten y construyan sus propios resultados y conclusiones. Se debe con-seguir que sepan construir con facilidad la transformada de una misma figura a la que se le apliquen transformaciones geo-métricas. Hay que hacerles ver que todas las transformaciones estudiadas conservan la forma y el tamaño de las figuras.

Los alumnos deben asimilar el concepto de vector en el plano, y que sea ya un término conocido para cursos posterio-res, entendiendo el significado de sus elementos.

Es importante establecer la utilidad de las transformaciones geométricas en el mundo que nos rodea, y en especial enel arte. Los alumnos deben identificar las transformaciones que hay en mosaicos y rosetones.

• Vector fijo en el plano. • Elementos y componentes.• Vectores equipolentes.• Traslación. Propiedades.• Vector de traslación.• Traslaciones sucesivas.• Giros en el plano. Centro y ángulo de giro.• Sentido de giro.• Giros sucesivos concéntricos.• Giros sucesivos de distinto centro.• Simetría axial. Propiedades.• Eje de simetría.• Simetría central. Propiedades.• Centro de simetría.• Coordenadas de puntos simétricos.• Ejes de simetría de figuras planas.• Centros de simetría de figuras planas.• Movimientos compuestos e inversos.

• Identificación de vectores equipolentes.• Transformación de una figura en otra mediante la aplica-

ción de una sola transformación: traslación, giro y simetría.• Producto de transformaciones.• Reconocimiento del proceso que transforma una figura en

otra.• Cálculo de coordenadas de puntos transformados.• Localización del eje y centro de simetría en figuras planas.• Valoración del uso de mosaicos y otras figuras geomé-

tricas en el arte y la arquitectura.• Interés por la investigación sobre formas y relaciones

geométricas del entorno cotidiano.• Valoración del conocimiento y buen uso de los instru-

mentos de dibujo.

Unidad 12 Traslaciones, giros y simetrías en el plano

CONTENIDOS

Programación de aula


OBJETIVOSCRITERIOS

DE EVALUACIÓNCOMPETENCIAS

BÁSICAS

1. Aplicar traslaciones, giros y sime-trías a figuras planas sencillas.

1.1 Operar con vectores correcta-mente, tanto analítica como grá-ficamente.

• Lingüística

• Matemática

• Interacción con el mundo físico

• Social y ciudadana

• Cultural y artística

• Tratamiento de la información ycompetencia digital

• Aprender a aprender

• Autonomía e iniciativa personal

1.2 Obtener la figura transformadade una dada mediante una trans-formación geométrica.

1.3 Obtener la figura transformadade una dada mediante un pro-ducto de transformaciones.

2. Conocer las propiedades de losdistintos movimientos en el pla-no e identificar el tipo de movi-miento que liga dos figurasiguales en el plano y que ocupanposiciones diferentes. Determi-nar los elementos invariantes, loscentros y ejes de simetría.

2.1 Reconocer la transformación oproducto de transformacionesque nos lleva de una figura a otrae indicar las propiedades delmovimiento.

2.2 Aplicar las propiedades de lastransformaciones para identifi-car figuras simétricas y resolverproblemas de distancias.

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ORIENTACIONES METODOLÓGICAS

1. Conocimientos previosAunque las ideas de traslación, giro y simetrías están de forma intuitiva en los alumnos, esta es la primera vez que seenfrentan a ellas desde un punto de vista matemático. Así, los conocimientos previos que deben tener se refieren a laidentificación de formas geométricas elementales y al uso de los elementos de dibujo básicos: regla, escuadra, carta-bón y compás.

2. Previsión de dificultadesLas dificultades no suelen ser de tipo matemático, sino que tienen que ver con la utilización correcta de los elementosde dibujo y con la falta de entrenamiento de la visión espacial.

3. Vinculación con otras áreasExisten multitud de problemas y situaciones de la vida cotidiana y de otras materias en las que los movimientos geométricos,especialmente las simetrías, están presentes. De esta forma, y al igual que en otras unidades, conviene tomar ejemplosde dichos contextos para despertar el interés de los alumnos.

4. Esquema general de la unidadLa unidad comienza con el concepto de vector fijo y hace un de sa rrollodetallado de todos los términos relacionados con él: módulo, direc-ción y sentido, coordenadas, vectores equipolentes y vector de posi-ción de un punto.

Seguidamente se describen las tres transformaciones geométricasque dan título al tema, siguiendo en todas ellas el mismo principioexpuesto en la introducción de la programación: que la geometríase aprende a través de la experiencia.

En cada uno de los epígrafes se construye la transformación de unpunto y, a partir de ella, se establece la definición formal de la trans-formación y se describen los elementos que intervienen en la mis-ma, identificándolos en la construcción.

El epígrafe 6 estudia con detalle cómo se transforma un punto median-te simetrías respecto de los ejes y del origen de coordenadas.

El penúltimo epígrafe trata de los ejes y el centro de simetría en lasfiguras.

La unidad termina con las definiciones y algunos ejemplos de movi-mientos compuestos e inversos.

5. TemporalizaciónSe propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en siete sesiones:

1.ª Introducción: desarrolla tus competencias.

2.ª Vectores en el plano. Traslaciones en el plano.

3.ª Giros en el plano. Simetrías axial y central.

4.ª Simetrías y coordenadas. Ejes y centro de simetría en figuras.

5.ª Movimientos compuestos e inversos.

6.ª Actividades de repaso y consolidación.

7.ª Trabajo en competencias mediante la doble página final de la unidad.

En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de losque se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades.

Por supuesto que el contexto de la clase es también un factor determinante en cuanto al número de sesiones necesa-rias para desarrollar la unidad.

Traslaciones, giros y simetrías en el plano Unidad 12

TRANSFORMACIONES EN EL PLANO

Coordenadas

Central

Axial

Vectores

Figuras

Traslaciones

Giros

Simetrías

Movimientoscompuestos

Movimientosinversos

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CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS

Competencia lingüísticaEsta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovecha-miento de la misma. En particular, el texto de entrada, los problemas con enunciado contextualizado y las actividadescompetenciales finales desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en la subcompetencia de comu-nicación escrita.

Competencia matemáticaEsta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas lassubcompetencias y descriptores.

En esta unidad se puede considerar que se trabaja fundamentalmente la subcompetencia de uso de elementos y herra-mientas matemáticos.

Interacción con el mundo físicoSe trabaja la subcompetencia de aplicación del método científico en distintos contextos.

Social y ciudadanaA través de referencias a diferentes manifestaciones artísticas se puede tratar la subcompetencia de desarrollo perso-nal y social.

Cultural y artísticaEsta es la competencia más presente en la unidad. Se pueden trabajar tres de las cuatro subcompetencias asociadas,las de sensibilidad artística, expresión artística y patrimonio artístico.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digitalLa unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la reso-lución de actividades interactivas. Se trabaja la subcompetencia de obtención, transformación y comunicación de lainformación.

Competencia para aprender a aprenderA partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en la secciónde “Autoevaluación”, se puede indagar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a lassubcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendi-zaje. Las actividades de trabajo en grupo desarrollan la subcompetencia de manejo de estrategias para desarrollar laspropias capacidades y generar conocimiento.

Competencia de autonomía e iniciativa personalLa realización de un trabajo artístico y su posterior exposición en la clase permite trabajar las subcompetencias de pla-nificación y desarrollo de proyectos y de liderazgo.

Otras competencias de carácter transversal

Aprender a pensarEl proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido críticodel alumno. La unidad presenta oportunidades en las que las actividades exigen al alumno este ejercicio reflexivo y crí-tico.

En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunos temas de reflexión y debate enrelación con las actividades señaladas.



5

TRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDADA lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias básicas que preescribe el currículo. Para esta unidadsugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado descriptores com-petenciales específicos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.



COMPETENCIA1.er nivel de concreción

SUBCOMPETENCIA2.º nivel de concreción

DESCRIPTOR3.er nivel de concreción

DESEMPEÑO4.º nivel de concreción

LingüísticaComunicación escritaen diferentescontextos.

Leer, buscar, recopilar, procesar y sintetizarla información contenida en un texto paracontribuir al pensamiento crítico.

– Aumenta el vocabulario buscando el significado depalabras no conocidas. Pon a prueba tus competencias: Analiza y diseña, 5.

MatemáticaUso de elementos yherramientasmatemáticos.

Conocer y utilizar los elementosmatemáticos básicos en situaciones realeso simuladas de la vida cotidiana.

– Reconoce simetrías y movimientos geométricos en lanaturaleza, la arquitectura y el arte.Desarrolla tus competencias. Sabías que…(epígrafe 6). Pon a prueba tus competencias.

Conocer y aplicar herramientasmatemáticas para interpretar y producirdistintos tipos de información.

– Aplica la simetría y los movimientos para interpretar yresolver problemas reales.Actividades 79 y 87.Pon a prueba tus competencias: Analiza y diseña.

Interaccióncon el mundo físico

Aplicación delmétodo científico endiferentes contextos.

Conocer y manejar el lenguaje científicopara interpretar y comunicar situacionesen diferentes contextos.

– Analiza la morfología de los seres vivos y reconoce enella elementos de simetría.Desarrolla tus competencias, II.

Social y ciudadanaDesarrollo personal ysocial.

Conocer y comprender la realidad históricay social del mundo y su carácter evolutivo.

– Sitúa históricamente creaciones artísticas.Sabías que… (epígrafe 6).Pon a prueba tus competencias.

Cultural y artística

Sensibilidadartística.

Comprender y valorar críticamentediferentes manifestaciones culturales yartísticas.

– Conoce la trayectoria y la obra de Anish Kapoor y surelación con las matemáticas. Desarrolla tus competencias, I.

Expresión artística.

Conocer y utilizar de forma básica lasprincipales técnicas, recursos yconvenciones de los lenguajes artísticos.

– Diseña y construye un friso geométrico.Pon a prueba tus competencias. Analiza y diseña, 2.

– Realiza un reportaje fotográfico.Pon a prueba tus competencias.Descubre y reflexiona, 7.

Poner en funcionamiento la iniciativa, laimaginación y la creatividad para expresarde forma personal ideas, experiencias osentimientos mediante códigos artísticos.

Patrimonio cultural yartístico.

Conocer las principales instituciones,obras y manifestaciones del patrimoniocultural y fomentar el interés por participaren la vida cultural.

– Conoce y analiza construcciones del entorno cercano(ciudad y comunidad).Desarrolla tus competencias, III.

– Conoce y valora el arte de otras culturas y épocas.Sabías que… (epígrafe 6).Pon a prueba tus competencias.

Tratamiento de lainformación y

competencia digital

Obtención,transformación ycomunicación de lainformación.

Buscar y seleccionar información condistintas técnicas según la fuente o elsoporte, valorando su fiabilidad.

– Visita la página librosvivos.net.Actividades 6 y 24. Paso a paso, organiza tus ideas,autoevaluación.

– Obtiene información o hace actividades en internet.En la red. Actividad 88. Desarrolla tuscompetencias. Pon a prueba tus competencias.

Aprender a aprenderManejo de estrategiaspara desarrollar laspropias capacidades.

Desarrollar experiencias basadas enestrategias de aprendizaje cooperativo.

– Realiza actividades en grupo.

Pon a prueba tus competencias: Analiza y diseña, 2.

Autonomía einiciativa personal

Planificación ydesarrollo deproyectos.

Analizar las posibilidades y limitacionespara emprender un proyecto.

– Realiza un reportaje fotográfico.

Pon a prueba tus competencias:Descubre y reflexiona, 7.

Liderazgo.Desarrollar la empatía y valorar las ideasde los demás.

– Expone trabajos en clase.

Pon a prueba tus competencias:Descubre y reflexiona, 7.

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EDUCACIÓN EN VALORESTanto los contenidos de la unidad como las actividades para el trabajo específico de las competencias que se citan en latabla de la página anterior nos permiten desarrollar algunos aspectos relacionados con la educación en valores:

• Educación ciudadana: educación vial en la actividad 79.

ATENCIÓN A LA DIVERSIDADHay que recordar que los ejercicios resueltos y propuestos en el libro de texto están clasificados por un código de colo-res según su dificultad: verde, nivel básico; naranja, nivel medio, y rojo, de alguna dificultad.

De esta forma, el profesor podrá adaptar el contenido de la unidad bien a las características particulares de la clase, biena las específicas de cada grupo de alumnos dentro de la misma.

Además, en este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno:

• Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido.

• Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cadaunidad del libro.

• Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asi-milación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados.

• Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve paraevaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados a situa-ciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas.

MATERIALES DIDÁCTICOS


SM

Repaso de contenidos de cursos anteriores

• Cuadernos de matemáticas. 2.º de ESO: N.º 5: Geometría y medida en el plano.

• Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 2.º de ESO.

– Unidad 7. Teoremas de Tales y de Pitágoras. Semejanza.

Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso

• Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 3.º de ESO.

– Unidad 8. Transformaciones geométricas en el plano.

• Cuadernos de matemáticas. 3.º de ESO: N.º 6: Geometría y medida.

– Unidad II. Transformaciones geométricas.

• Cuaderno de matemáticas para la vida. 3.º de ESO.

• Cuadernos de resolución de problemas I y II.

Otros

CASADO BARRIO, María Jesús: Geometría dinámica con papel. Granada, Proyecto Sur, colec-ción 2 Puntos, 2002. Es un libro con actividades manuales para que los alumnos cons-truyan por sí mismos la figura transformada de una dada mediante una transformación,con instrumentos muy sencillos: papel y tijeras.

SMwww.smconectados.com

www.librosvivos.net

Otros

Movimientos en el plano en la página correspondiente a 3.º de ESO del proyecto Descartesy en el tema correspondiente de la página de educación digital a distancia del Ministerio deEducación:

www.e-sm.net/3esomatprd39

www.e-sm.net/3esomatprd40

Buscadores específicos de matemáticas como www.e-sm.net/3esomatprd41 (en inglés).

• Material e instrumentos de dibujo: regla, compás y transportador.

• Programas informáticos como GeoGebra o Cabri.

• Vídeo Simetría axial, de la serie Geometría y Proyección, producida por Südwestfunk (Alemania) y distri-buida en España por Mare Nostrum.

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Sugerencias didácticas

Desarrolla tus competencias

3. Giros en el plano

mal. El ejemplo del libro es suficiente, si bien se puedeoptar por ejemplos previos más sencillos, como puedenser las traslaciones de puntos aislados, para pasar des-pués a traslaciones de figuras planas. Una vez dada ladefinición, se deben hacer ejercicios tanto gráfica comoanalíticamente para que los alumnos se acostumbren atrabajar con coordenadas.

• Remarcar que en una traslación no existen puntos inva-riantes.

• Al tratar las traslaciones sucesivas, se recomienda tras-ladar una figura primero según un vector y luego segúnun vector , y trasladar después la misma figura prime-ro según el vector y en segundo lugar según el vector

. A continuación se trasladará la misma figura según elvector . Para que los alumnos vean que se obtie-ne siempre la misma figura, sería interesante llevar hechaslas traslaciones en transparencias, marcando en un colorque destaque la figura final, y superponerlas, o bien hacerlas representaciones utilizando soporte digital.

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• Es recomendable introducir el concepto de giro gráfica-mente, aplicando un giro a un punto y a un segmento, y des-cribiendo los elementos que intervienen en la construcción.

• Al igual que en las traslaciones, es conveniente hacerejercicios tanto gráfica como analíticamente (estos últi-mos, siempre que se trate de giros de 90º, 180º y 270º).

• Para finalizar el epígrafe, conviene poner algún ejemplode giro con figuras invariantes: aplicar un giro a una cir-cunferencia con centro el centro de la circunferencia ycualquier amplitud, y aplicar un giro a una recta con cen-tro cualquier punto de la recta y amplitud de 180º.

• La asociación de un signo al sentido de giro, tal y comose ilustra en el “Ten en cuenta” del margen, no es fun-damental a este nivel, pero sí debe realizarse si el alum-nado es receptivo al tema.

• Para los giros sucesivos se puede comenzar aplicando dosgiros consecutivos a un punto con el mismo centro, perocon distinta amplitud, para que los alumnos se den cuen-ta de que la transformación resultante es un nuevo giro delmismo centro, y de amplitud la suma de las amplitudes.

• Al igual que en las traslaciones, es recomendable reali-zar la transformación del producto de giros de igualcentro a una misma figura en los dos órdenes posiblesy, además, aplicar a esta el giro de mismo centro y ampli-tud suma de las amplitudes.

Tanto la fotografía como el texto propuestos pretendenhacer reflexionar al alumno sobre el concepto de simetríay su papel central en el mundo que nos rodea.

Al trabajar con ellos esta actividad hay que insistir en queanalicen la presencia de la simetría tanto en la naturaleza–fenómenos luminosos como el halo solar o el arco iris, lamorfología de los seres vivos, los minerales…– como enlas creaciones humanas –objetos de uso diario, vestimen-ta y, por supuesto, todas las creaciones artísticas.

Los vídeos cuyo visionado se propone tienen por objetoahondar en la reflexión anterior y suscitar en los alumnosla sensación de bienestar que produce la contemplaciónde formas simétricas tan bellas como las allí incluidas.

En este caso, las tres preguntas que se realizan no tienenque ver exclusivamente con las matemáticas, sino que per-miten trabajar temas culturales y artísticos, búsqueda deinformación, discusión y debate, y en el caso de la pregun-ta II, estudio y conocimiento de la morfología de algunosseres vivos.

Así, esta introducción a la unidad nos puede permitir tra-bajar con las competencias matemáticas, cultural y artís-tica y de interacción con el mundo físico, citadas en la tablade la página 5, y, aunque no se cita explícitamente allí, tra-bajar la competencia de aprender a aprender a través de laactividad grupal de la pregunta III.


1. Vectores en el plano• El concepto de vector es nuevo para los alumnos, y en este

epígrafe se debe conseguir que manejen el término consoltura, conociendo sus propiedades. Hay que hacerles verla importancia que tiene esta nueva magnitud para la físi-ca, precisamente por su capacidad de representar magni-tudes en las que la dirección y el sentido son determinantes,tales como el desplazamiento, la velocidad o la fuerza.

• Se debe hacer hincapié en la representación gráfica y enel significado de las coordenadas, entendidas estas comodesplazamiento.

• Como en toda la unidad nos vamos a mover en ejes car-tesianos, es importante comenzar recordando cómo serepresenta un punto en el plano.

ACTIVIDADES POR NIVEL

Básico 1 a 4 y 31 a 34.

Medio 2 y 35.

Alto 89.

2. Traslaciones en el plano• En el caso de que el grupo presente motivación e interés

hacia el tema, al definir la traslación en función del vec-tor de traslación y de la equipolencia de vectores, se pue-de optar por introducir el concepto de vector libre delplano, diferenciándolo del vector fijo en que el primero notiene punto de aplicación.

• Es recomendable que el concepto de traslación se tra-baje gráficamente antes incluso de dar la definición for-


Básico 7 a 10, 36 a 42, 81 y 82.

Medio 11 y 43 a 47.

Alto 91.


Básico 12 a 14, 48 a 54 y 78.

Medio 55 a 59.

Alto 60 y 92.

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6. Ejes y centro de simetría en las figuras

7. Movimientos compuestos e inversos

4. Simetrías axial y central

• La definición de movimientos compuestos no es más queextender la ya vista de traslaciones y giros sucesivos alcaso de combinar movimientos de distinto tipo. Lo másimportante es resaltar con ejemplos claros la no con-mutatividad de esta operación.

• El concepto de movimiento inverso es intuitivo y no deberepresentar problemas para su captación por los alumnos.

• La utilización de GeoGebra, propuesta en el lateral, o deotros programas de geometría dinámica puede ayudarmucho a la comprensión de la composición de movi-mientos.

Organiza tus ideas• Como una actividad que sirva para que trabajen el esque-

ma-resumen, los alumnos pueden asignar las activida-des realizadas en la unidad a los distintos contenidospresentados en el resumen. Sería suficiente con queencontraran dos o tres ejemplos de actividades para cadaapartado. De esta forma se les obliga a repasar el tra-bajo realizado y a reflexionar sobre los conceptos y pro-cedimientos adquiridos.

• Una segunda actividad de interés puede ser que los alum-nos completen el resumen tanto con otros contenidospresentes en el tema, pero no incluidos en este esquema,como con contenidos de cursos anteriores relacionados,pero no tratados explícitamente en el tema.

Actividades79. Con la excusa de analizar las simetrías de las señales

de tráfico, se puede extender esta actividad para com-probar hasta qué punto los alumnos conocen los dife-rentes tipos de señales. A las aquí presentadas se lespueden añadir las circulares y las cuadradas. Una posi-ble actividad puede consistir en que hagan una lista deseñales que correspondan a cada uno de los tipos y queexpliquen su significado a sus compañeros.

87. En esta actividad se puede hacer un análisis de si lasolución matemática a un problema práctico concretoes siempre la que hay que llevar a efecto. En este casohay que pedir a los alumnos que piensen en posiblescausas que hagan que la colocación del embarcaderono sea en el lugar obtenido matemáticamente. De estaforma se darán cuenta de que circunstancias medioam-bientales, económicas… pueden condicionar en la vidareal las decisiones técnicas.

• Los alumnos ya conocen de otros cursos el término desimetría, por ello se puede empezar pidiéndoles que denejemplos de simetrías que encuentren a su alrededor.

• Seguidamente se construye con regla y compás el pun-to simétrico de un punto respecto de un eje. Y la figurasimétrica de una dada respecto al mismo eje.

• Estos ejemplos nos ayudarán a definir la simetría axial,enumerando sus elementos y propiedades.

• Para la simetría central se puede proceder de forma simi-lar, construyendo primero con regla y compás el simétricode un punto respecto de otro. Se puede comparar con ungiro de centro el punto respecto al cual se obtiene elsimétrico, y amplitud de 180º.

• Se puede finalizar dibujando la figura simétrica respec-to del origen de coordenadas de figuras planas sencillas.

• Es importante incitar a los alumnos a que busquen ele-mentos invariantes respecto de los dos tipos de simetría.

• Al término de este epígrafe, y antes de pasar al siguien-te, sería conveniente aplicar a una misma figura todaslas transformaciones para que los alumnos vean las dife-rencias que hay entre ellos y, así, cuando vean una figu-ra y su transformada, sean capaces de identificar latransformación que ha llevado de una a la otra.

• Aquí se estudian los ejes de simetría de algunas de lasfiguras elementales conocidas. Se puede pedir a los alum-nos que utilicen papel y tijeras y recorten las figuras queaparecen en el epígrafe, y que hagan dobleces por losejes marcados para comprobar las coincidencias.

• La nota del lateral en el “Sabías que…” puede utilizarsepara ahondar en las conclusiones obtenidas al trabajar lasección inicial, “Desarrolla tus competencias”.


Básico 27.

Medio 28 y 70 a 74.

Alto 75 y 76.


Básico 29.

Medio 30 y 77.

Alto 90 y 93.



Básico 16 a 20, 61 a 65, 79 y 80.

Medio 52 a 54.

5. Simetrías y coordenadas• Este epígrafe es continuación del anterior y está dirigido

a que los alumnos vean la relación que hay entre las coor-denadas de un punto y las de su simétrico. Para ello, lomejor es dibujar unos ejes coordenados, señalar un pun-to cualquiera, y a continuación, dibujar el transformadosegún una simetría de eje X, el transformado según unasimetría de eje Y y el transformado según una simetríarespecto al origen de coordenadas.


Básico 23 a 25 y 67.

Medio 68 y 69.

Alto 85, 86 y 87.

9


Pon a prueba tus competencias

ANALIZA Y DISEÑA. FRISOS

Tanto esta actividad como la siguiente tienen un eminentecarácter práctico y observacional para resaltar la relaciónentre los movimientos en el plano y la creación artística.

Se propone realizar la actividad por equipos para fomen-tar el trabajo cooperativo y poder compensar las lógicasdiferencias en percepción espacial que existen entre losalumnos.

Con la pregunta 4 se busca que sean capaces de aplicar loaprendido a la hora de identificar frisos en diferentes mani-festaciones artísticas.

En la pregunta 5 se pretende que reflexionen sobre cómouna misma idea se aplica en el lenguaje a situaciones dife-rentes pero que mantienen una relación entre sí.

Por último, los enlaces propuestos al final pretenden moti-var su curiosidad por dos de los ejemplos clásicos de fri-sos y mosaicos: los de la Alhambra de Granada y los delgenial M. C. Escher.

DESCUBRE Y REFLEXIONA. MÁNDALAS

Esta actividad continúa en la línea de la anterior. Ahora sonlos mándalas los objetos que deben analizar desde el pun-to de vista de las simetrías y los movimientos en el plano.

En la pregunta 6 se propone una pequeña investigaciónpara situar geográfica e históricamente diferentes objetosy diseños tipo mándala. Con esto se persigue que lleguena la conclusión de que las mismas ideas han servido a lo lar-go de la historia como cauce para la expresión artística y téc-nica del ser humano.

La pregunta número 7 puede ser una buena excusa paramotivar en el alumnado la realización de un proyecto detrabajo lúdico y formativo. Se plantea como la realizaciónde un reportaje fotográfico en el que deben buscar y retra-tar objetos de su entorno que tengan relación con los mán-dalas. Es una actividad para ser desarrollada en dos o tressemanas y que debe terminar con la realización de unapequeña exposición en la que cada alumno exponga tres ocuatro fotografías, junto con una explicación oral de las cir-cunstancias en las que descubrió los diferentes objetos y depor qué le parece que cumplen con los requerimientos dela actividad. Si se plantea en varios grupos de 3.º, puede darlugar a una experiencia muy enriquecedora. Podría encua-drarse dentro de la semana cultural del centro, en el casode que tal semana existiera.


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Actividades de refuerzo

Unidad 12 Traslaciones, giros y simetrías en el planoORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Al finalizar esta unidad sería suficiente que los alumnos:

• Supieran representar puntos y vectores en el plano cartesiano.

• Entendieran el concepto de coordenadas de un vector.

• Aplicaran las transformaciones estudiadas tanto a puntos como a figuras planas sencillas.

• Identificaran los centros y ejes de simetría de figuras sencillas.

1. Pedro se lleva el corazón, la piruleta y el lápiz.

2.

3. Basta con unir los puntos siguiendo el orden de numeración.

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS

Construcción de transformaciones

Para esta actividad se necesita lápiz y láminas de papel cebolla.

Con diferentes láminas de papel cebolla, y mediante plegado y calco, iremos construyendo diferentes transformaciones.

Para una simetría axial, se dobla un pliego por la mitad y se dibuja en una de las mitades una figura. Se vuelve a doblarel papel por la misma línea y se calca la figura.

Para un simetría central, se dobla el papel por la mitad tanto longitudinal como transversalmente. En uno de los cua-drantes se dibuja una figura, se dobla el papel por uno de los pliegues anteriores y se calca esta. A continuación se des-dobla el papel, se dobla por la mitad en la otra dirección y se calca la figura.

Para una traslación, se dibuja la misma figura en dos papeles, y en otro, un vector. Se superpone el papel con una figu-ra y el vector de traslación con el origen en un punto determinado de la misma. A continuación se coloca la otra figurasituando el extremo del vector sobre el mismo punto que se ha situado en la anterior el origen.

ACTIVIDAD DE GRUPO


Más recursosen tu carpeta

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de refuerzo.

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1. En un concurso televisivo han situado sobre un tablero, que representa unos ejes coordenados, seisobjetos. El concursante se llevará un objeto siempre y cuando indique correctamente su posición. En latabla te indicamos la posición de los objetos en el tablero y las posiciones que ha indicado el concursante.¿Qué objetos se llevará?

Respuestas:

2. Señala el centro y todos los demás ejes de simetría de la siguiente figura.

3. Ayúdate de los puntos y dibuja la transformada de la figura dada según lo indicado en cada caso.

a) Simetría de eje e. c) Simetría central de centro O.

b) Traslación de vector d) Giro de centro O y �90º.

1

23

4

5

6

7 8

9

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Objeto Posición

Corazón A(3, 4)

Caramelo B(–5, –2)

Piruleta C(–6, 2)

Helado D(0, 8)

Lápiz E(–2, 7)

Pelota F(2, 7)

E

22

A

B

C

F

D0 X

Y


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iab

le

ACTIVIDADES de REFUERZO


12

Actividades de ampliación

Unidad 12 Traslaciones, giros y simetrías en el planoORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Estos alumnos deben ser capaces de aplicar las propiedades de las distintas transformaciones para demostrar diver-sas propiedades geométricas.

1. a) Basta escribir donde ,sustituir coordenadas y despejar m1 y m2

b)

2. y

Al igualarlos tenemos que:

3.

4. D(4, 3)

5. Perpendiculares

6. El centro tiene que estar sobre la recta, y la amplitud delgiro debe ser de 180º.

7.

M m m1 2,( )AB AM2= B p a p a p p

C p a p

( , )

( ,2 2 1 1 1 2

1 1 22 2

− + − +

− −−

− + − +

a

D a p p p a p2

2 2 1 1 1 2

)

( , )

g a g a

a b c a b1 1 2 2

1 1 1 22

3

2

− −( ) =

=− + + − +

,

, 22 2

1 21 1 1

3

2

+⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⇒

( ) = − + +

c

g ga b c

,33

2

312 2 2

2

1

+− + +

+⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

=

aa b c

a

a

,

++ + + +⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟b c a b c1 1 2 2 2

3 3,

23

23 2 2

1 11

2 22AM

b ca

b ca=

+−

+−

⎛

⎝⎜⎜ ,⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟=

=− + + − + +⎛ 2

3

2

31 1 1 2 2 2a b c a b c

,⎝⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

AG g a g a= − −( )1 1 2 2,

P'( , )8 8

P

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS

Transformaciones

Para esta actividad se necesita lápiz y láminas de papel cebolla.

Con diferentes láminas de papel cebolla, y mediante plegado y calco, iremos construyendo diferentes transformaciones.

Para una simetría axial, se dobla un pliego por la mitad y se dibuja en una de las mitades una figura. Se vuelve a doblarel papel por la misma línea y se calca la figura.

Para una simetría central, se dobla el papel por la mitad tanto longitudinal como transversalmente. En uno de los cua-drantes se dibuja una figura, se dobla el papel por uno de los pliegues anteriores y se calca esta. A continuación se des-dobla el papel, se dobla por la mitad en la otra dirección y se calca la figura.

Para una traslación, se dibuja la misma figura en dos papeles, y en otro, un vector. Se superpone el papel con una figu-ra y el vector de traslación con el origen en un punto determinado de la misma. A continuación se coloca la otra figurasituando el extremo del vector sobre el mismo punto que se ha situado en la anterior el origen.

ACTIVIDAD DE GRUPO


Más recursosen tu carpeta

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de ampliación.

13

1. a) Dado un segmento de extremos A(a1, a2) y B(b1, b2), demuestra que su punto medio tiene por coor-

denadas .

b) Utiliza el resultado anterior para calcular analíticamente las coordenadas del simétrico de P(−2, 4)respecto de Q(3, 6).

2. Dado un triángulo de vértices A(a1, a2), B(b1, b2) y C(c1, c2), demuestra que las coordenadas de su bari-centro son:

Para ello puedes seguir estas indicaciones:

1. Representa en unos ejes coordenados un triángulo cualquiera, de vértices A, B, C.

2. Calcula el punto medio M del lado BC. (Recuerda el resultado demostrado en el ejercicio anterior.)

3. El baricentro verifica que .

3. El punto donde se cortan las diagonales de un cuadrado es P(p1, p2), y uno de sus vértices es A(a1, a2).Calcula, mediante transformaciones, las coordenadas del resto de sus vértices en función de las coor-denadas de P y A.

4. Considera el paralelogramo ABCD. Calcula las coordenadas de D, sabiendo que el resto de sus vérticestienen por coordenadas A(3, 0), B(6, −1) y C(7, 2).

5. Consideramos dos rectas r y s. ¿Qué posición relativa deben tener ambas para que al aplicar a r unasimetría axial de eje s, la recta r quede invariante?

6. ¿Cuáles deben ser el centro y la amplitud de un giro, distinta de 0º, para que una recta quede invariante?

7. El dibujo representa un hoyo de un minigolf. ¿Qué trayectoria debe seguir la pelota para meterla en elhoyo si obligatoriamente tiene que dar en uno de los laterales?

P

AG AM=23

Ga b c a b c1 1 1 2 2 2

3 3

+ + + +⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟,

Ma b a b1 1 2 2

2 2

+ +⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟,


ACTIVIDADES de AMPLIACIÓN

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14

APELLIDOS: NOMBRE:

FECHA: CURSO: GRUPO:

1. Dados los puntos A(3, 2), B(�5, 7) y C(2, �2):

a) Representa en unos ejes cartesianos los vectores , y calcula sus coordenadas.

b) Realiza los siguientes cálculos: y .

2. a) Dado el punto P(22, 3), calcula gráficamente el simétrico respecto del origen de coordenadas.

b) ¿Cuáles serán las coordenadas del punto Q, simétrico de P respecto del eje X?

3. Con ayuda de la cuadrícula, construye la trasladada de la siguien-te figura según el vector guía .

4. Dibuja la transformada de la siguiente figura mediante un giro de centro Oy amplitud 135°.

5. a) Aplica al triángulo de vértices A(1, 1), B(3, 5) y C(3, 2) el producto de dos giros de centro el origen decoordenadas y amplitud 90°.

b) ¿Podrías haber obtenido el nuevo triángulo aplicando una sola transformación?

6. ¿Qué transformación se obtiene de aplicar primero una simetría respecto del origen de coordenadas ydespués otra simetría respecto del eje X?

7. La figura A‘B‘C‘ es la transformada de la figura ABC mediante una simetría central.

Señala el centro de la simetría.

8. Halla la transformación que ha llevado cada figura en su homóloga.

9. Identifica en un pentágono regular sus ejes y centros de simetría.

�u

BC AC−AB AC+

AB AC BC, y

Pági

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iab

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PROPUESTA de EVALUACIÓN


u

A B

C

B'

C'

A'

O

A B

DC

15

1. a)

b) = (−9, 1) = (8, −5)

2.

3. 4.

5. a)

b) Con un giro de centro el origen de coordenadas y amplitud 180º, o lo que es lo mismo, una simetría respecto alorigen de coordenadas.

6. Una simetría respecto del eje Y.

7. 8. Son una simetría axial y una traslación.

9.

u

eA B

C

B' A'

O

C'

O X

Y

A

B

C

A'

B'

C'

1

1

A B

C D

A'

B' O

D'

C'

135º

u

P Q'( , ); ( , )2 3 2 3− − −

BC AC−AB AC+

AB AC BC= − = − − = −( , ) ( , ) ( , )8 5 1 4 7 9

22

B(–5,7)

C(2,–2)

A(3,2)AB

ACBC

O

Y

X

SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN

Propuesta de evaluación



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