3er Sem Pre Álgebra 2012-i

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CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2012 – I SEMINARIO Nº 03 CEPRE-UNI ÁLGEBRA - 1 - ÁLGEBRA 01. Determine el gráfico que mejor representa a gx f 1 x , si la gráfica que representa a la función f es: 02. Determine la figura que mejor representan a la gráfica de la función gx fx x si la gráfica de f es f 1 y x 1 1 y x 2 E) y x A) -1 -1 y x B) -1 y x D) -1 -1 y x C) -1 -1 1 1 y x A) 1 1 y x C) y x D) y x E) 1 y x B) 1 1 y x

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Problemas de Álgebra

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CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2012 – I SEMINARIO Nº 03

CEPRE-UNI ÁLGEBRA - 1 -

ÁLGEBRA

01. Determine el gráfico que mejor

representa a g x f 1 x , si la

gráfica que representa a la función f es:

02. Determine la figura que mejor representan a la gráfica de la función

g x f x x si la gráfica de f es

f

1

y

x

1

1

y

x 2

E)

y

x

A)

-1

-1

y

x

B)

-1

y

x

D)

-1

-1

y

x

C)

-1

-1

1

1

y

x

A)

1

1

y

x

C)

y

x

D)

y

x

E)

1

y

x

B)

1

1

y

x

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CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2012 – I SEMINARIO Nº 03

CEPRE-UNI ÁLGEBRA - 2 -

03. Determine la gráfica que mejor representa a la gráfica de la función

g x f 1 x x , si la grafica de f

es:

04. Indique la grafica de

g x f 1 x f 1 x , si la gráfica

de f es la figura adjunta

y

x

E)

y

x

C)

y

x

D)

y

x

C)

y

x

B)

y

x

A)

y

x 1

1

y

x 1

1

y

x

A)

y

x

B)

y

x

D)

y

x

E)

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CEPRE-UNI ÁLGEBRA - 3 -

05. Determine la figura que mejor

representa a g x f x x 3 , si la

gráfica de f es

06. Determine la gráfica que mejor

representa a g x f 1 x , si la

gráfica de f es la figura adjunta

1

y

x

A)

y

x

B)

-1

y

x

D)

1

y

x

E)

y

x

f

1

y

x

A)

y

x

B)

1

y

x

C)

-1

y

x

D)

1

y

x

E)

-1

1

y

x

f

2

y

x

C)

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CEPRE-UNI ÁLGEBRA - 4 -

07. Si la gráfica de g x 2 f 1 x 1 es

determine la figura que mejor representa a la gráfica de f.

08. Sea la función x 1;x 1

f x1 x ;x 1

.

Indique la gráfica que mejor

representa a g x f x 2

y

x

g 1

2

x

y

1

1 -1

A)

y

x

1

1 -1

B)

y

x 1 -1

C)

y

x 1 -1

D)

-1

y

x 1 2

A)

3 4 -1 -2 -3 -4

1

2

3

B)

x

x

y x

1

x

1 x

2

y

x 1 2

C)

1

y

x -1

D)

1

1/2

1

y

x 1 2

E)

3 -1 -2 -3

1

y

x 1 -1

E)

-1/2

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CEPRE-UNI ÁLGEBRA - 5 -

09. Si la gráfica de f es la figura adjunta

esbozar la gráfica de g x f 1 x

10. Sea f :R R , si f x 3 x 4; x R .

¿Cuál es la gráfica que mejor

representa a f x x 3 4 ?

11. Dada la función f x x ; determine

la gráfica de f x 1 1 1

A)

y

x

B)

y

x

C)

y

x

D)

y

x

E)

y

x

y

x 0

A)

y

x 0

B)

y

x 0

C)

y

x

D)

B)

x

y

1

A)

y

x

-1

y

x 1

E)

0

f y

x

1

-1

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CEPRE-UNI ÁLGEBRA - 6 -

12. Sea la función definida mediante:

2

2 x ; x 3

f x x 4 ; 3 x 2

x 4 6 ; 2 x

Bosqueje la gráfica de f x 1

13. Indique cuál de los siguientes gráficos representa la función f, definida

mediante x 1

f xx 2

x

y

C)

-1 1

2

x

y

D)

E)

x

y

2

A)

y

x

B)

y

x

C)

y

x

E)

y

x

y

D)

x

A)

y

x

B)

y

x

C)

y

x

y

x

D)

y

x

E)

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CEPRE-UNI ÁLGEBRA - 7 -

14. Indique el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:

I. 2 3P x y x x y , es un

polinomio de grado 2.

II. 2P x x x es un polinomio en

x.

III. P x / P x 1 P 2x x 2 ,

P x polinomio en x.

A) VVV B) FVV C) VFV D) VVF E) VFF

15. 3 2 5P x ax 5a 2 x a 1 x 2ax 2a

es un polinomio completo, determine

el valor de P 2 .

A) 2 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

16. Determine a b ab , si

a 2b a b b a 2b a b 8P x,y x y 5x y 7x y

es un polinomio homogéneo. A) 80 B) 100 C) 120 D) 160 E) 180

17. Si el polinomio es homogéneo, halle la suma de los coeficientes, si:

m n m n2 m 2 6 6 mP x,y m x nx y 4x y

A) 7 B) 11 C) 14 D) 16 E) 20

18. Si el polinomio:

2P x a b x 5 b c 3x 7 a c

es idénticamente nulo, entonces

a b

c

es

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6

19. Si los polinomios

3 2P x ax 2bx a b x 5 y

3 2Q x ax a 8 x a 3 x a b

son iguales, encuentre a b

a b

A) -1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 4

20. En un polinomio P x;y homogéneo

y completo en x e y, la suma de los grados absolutos de todos sus términos es 182. ¿Cuál es su grado de homogeneidad? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

21. Sea P un polinomio definido por

n n

P x 1 3x 2x 1 , si la suma

de coeficientes excede en 23 al término independiente, indique el valor de verdad de las proposiciones siguientes: I. El polinomio P(x) es de grado 2. II. La suma de sus coeficientes es

25. III. El término cuadrático del

polinomio P(x) es 12x2.

A) VVF B) VFV C) VVF D) FVV E) FFV

22. Sea P x,y un polinomio homogéneo

de grado 2 tal que

P 12;18 P 14;21 170 .

Halle P 10;15 .

A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50

23. Si al polinomio

a c a 1 c 3 b 8P x;y bx y ax y 7x , le

restamos 4 510x y su grado absoluto

disminuye. Determine el valor de a b c .

A) 4 B) 5 C) 9 D) 10 E) 19

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24. Halle el valor de c a a b , si el

monomio a b cM x;y;z 5x y z cumple

que la suma de sus grado relativos tomados de 2 en 2, es 9,10,11, respectivamente. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6

25. Si M y N son dos polinomios de grados 5 y 3 respectivamente ¿cuál de las expresiones tiene grado 12?

I. 2 2M N

II. 2

2M N

III. 7M 2N

IV. 3 2M N

V. 3

M N

A) I B) II C) III D) IV E) V

26. Si P es un polinomio homogéneo

dado por:

2 2n 5n 2 2 3n nP x,y 5 a n x y 2 2a 4b n x

a 3b8 2y 5 b n 2n xy

. Calcule la

suma de sus coeficientes A) 31 B) 40 C) 38 D) 41 E) 42

27. Sea el polinomio homogéneo

4 2 2 3P x,y 8x 11x y 5xy y

considere el polinomio Q(x;y) que debe agregarse a P(x;y) para que el polinomio resultante T(x;y) sea un polinomio homogéneo y completo respecto a x e y, que la suma de sus coeficientes sea 10 y su valor numérico para x 1; y 1 sea -10.

Halle Q(-1;1). A) -5 B) -2 C) 0 D) 2 E) 5

28. Si el polinomio

n 8 n 7 n 6P x n 3 x n 4 x n 5 x

Es ordenado y completo. Halle el valor de P(-1).

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

29. Dado el polinomio a 6 m a 5 pP(x,y) 5x y 6x y

a 8 2p m11x y .

Calcule a m p , sabiendo que es

homogéneo, completo y ordenado y

de a p términos respecto a “x”.

A) 18 B) 19 C) 20 D) 21 E) 22

30. Halle el valor de a b en la siguiente identidad de polinomios

b 3 a 4 4a 3 b 4a x a y b x b y

A) 1

4 B)

1

2 C)

3

4

D) 1 E) 5

4

31. Si los grados de los polinomios

2

P x Q x y R x son 27 y 23

respectivamente, determine el grado de P(x) si se cumple que:

3

P x Q x R x

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

32. Indique el valor de verdad de las

siguientes proposiciones:

I. Si P x,y es un polinomio

homogéneo de grado 2; si

P 1;2 8 entonces P 4; 8 128 .

II. Si el grado de

P(x) Q x y P x Q(x) son 2 y 3

respectivamente, si además el

grado de P(x) Q x es 2

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entonces el grado de 4 3P x Q (x)

es 11. III. Si P(x) es un polinomio lineal y

mónico, tal que P(3) y P(8) son números cuadrados perfectos, entonces P(0)=1

A) VVV B) VVF C) VFV D) FVV E) VFF

33. Si P es un polinomio definido por:

nnn 2 13 n 32P x 3x 4x 7x 2x

entonces el número de valores enteros que admite n es A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

34. Indique la secuencia correcta acerca de las afirmaciones si es verdadera

(V) o falsa (F), P x , Q x polinomios

sobre .

I. 2P x / Gr P Gr P

II. 2P x / P x P x 2x

III. Siempre 2Gr P Gr P 1, P x

es un polinomio. A) VFF B) VVF C) VFV D) FFF E) FFV

35. Sea A={P(x)/P(x) es un polinomio

sobre de grado 2}. Indique la

secuencia correcta acerca de las siguientes afirmaciones:

I. P x ,Q x A P x Q x A

II. P x Q x A P x Q x A

III. P x ,Q x A P x A Q x A

IV. 2P x A :P x 1 A P x x 1

A) VFFF B) FVFF C) FFVF D) FFFV E) FFFF

36. Si P(x) es un polinomio de grado “3” que cumple:

P x 1 P x 2x 3x 2 , halle el

coeficiente del término cuadrático. A) 10 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5

37. Si 2 4 6P x 1 x 1 x 1 x ... hay

n factores, halle el grado de nP x .

A) 2n n B) 2n n 1

C) n 2

2

D) n2

E) 3n n

4

38. Sea P x x 3 un polinomio

racional entero; si se cumple las siguientes condiciones:

P R x Q x x 1 y

2 2 2P R x Q x x 1

. Determine

el valor de la expresión

M P R x Q x .

A) x 2 B) 2x 4 C) 3x 5

D) 4x 3 E) 6x 7

39. Dado el polinomio

m n q n q sP x,y,z,w x y

m n s m q sz w se pide determinar la condición necesaria y suficiente para que sea un polinomio homogéneo. A) m n q s B) m q s n

C) 2m n q s D) m q n s

E) m n q s

40. Sea

n n 1 n 2P x nx n 1 x n 2 x

22x x m , si sus coeficientes

suman 63 y P 0 n 2 . Halle la

suma de coeficientes de

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m m 1 2Q x mx m 1 x 2x x n

A) 10 B) 18 C) 36 D) 46 E) 63

41. Sean P y Q dos polinomios definidos mediante:

2P x 1 x 3x 1

2Q 2x 1 P x x

Halle el polinomio P x 2Q x .

A) 2x B) 2x2 C) x2

D) 22x E) 2x 2

42. Si P x x x 1 x 2 x 3 x 4

Q x x x 1 x 2 x 3 x 4

4R x 20x

Determine: P x Q x R x

A) 16x2 B) 25x2 C) 36x2

D) 100x2 E) 125x2

43. Se define el polinomio P(x), tal que

b 1

3

1 x b x1 xP x

1 b b b

2

3 6

1 x b x b x

b b

2 m 1

m m 1 m m 1

2 2

1 x b x b x b x

b b

.

Determine el valor de

2011 2010K P b P b

A) 0 B) 1 C) 2010 D) 2011 E) 4021

44. Cierto polinomio Mónico de 4º grado

es divisible por 2x 4x 3 ; también

por 2x 5x 6 y 2x 3x 2 . Si se divide dicho polinomio entre x 4 es residuo es 42. Halle el residuo de dividir el polinomio entre x 5 .

A) 162 B) 172 C) 182

D) 192 E) 202

45. Halle el resto de dividir

16 8

7 6 5 4 3 2

x x 1

x x x x x x x 1

A) 4 B) x 1 C) 3 D) x 1 E) 1

46. Determine el resto de la siguiente división

100 5

4 3 2

x x x 2

x x x x 1

A) x 1 B) x 1 C) x 4

D) x 4 E) 2x x 1

47. Si a b c 0 la expresión 2 2 2 2 2 2M 2a b 2b c 2c a es

equivalente a

A) 3 3 3ab bc ca

B) 2 2 2a b c ab bc ca

C) 4 4 4a b c

D) 2

ab bc ca

E) 0

48. Si a, b y c son números reales positivos que cumplen la condición

a b a c b c6

b a c a c b , entonces el

valor de

3

3 3

a b c

a b 7abc

es

A) 1

4 B)

1

3 C) 1

D) 3 E) 9

49. Halle el resto de dividir

51 60 2x 2 x 1 3 x 3x 2

A) 1 B) 2 C) 2x D) 3x E) 4x 1

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50. Efectuar

K x 1 x 4 x 3 x 2 x 2 x 3 x 5 x 4

212 x x 1

A) -84 B) -80 C) -70 D) -50 E) -30

51. Sabiendo que 9

9

a x7

ax , el valor de

la expresión 9

449

a x

ax es

A) 3 B) 4 C) 5

D) 5 E) 2

52. Al dividir un polinomio separadamente

entre x 1 , x 2 y x 3 , si se

obtiene siempre como resto -20. Calcule el término independiente de dicho polinomio sabiendo que es de tercer grado y que si se divide entre x 4 , se obtiene como resto 16. A) -10 B) -56 C) 20 D) 36 E) -46

53. Si al dividir

4 3 2Ax 4x Bx 18x 12

x 1 x 3

se obtiene

como residuo 2x 3 . Halle A B .

A) -5 B -3) C) 3 D) 4 E) 6

54. Halle la suma de los coeficientes del residuo de la división

36 18 6 3

12 9 3

4x 3x 5x x 8

2x x 2x 3

A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2

55. Dada la siguiente división por Horner

1 2 -b -2 30

a 4 -8

b

2 8

Determine el resto de la división. A) x 8 B) x 4 C) 6x 2

D) 2x 6 E) x 6

56. Si al efectuar la división 4 3 2

2

ax x bx 11x 2

3x 5x 2

; se obtiene

como resto 3x 6 . Determine el

valor de 2 2a b . A) 15 B) 35 C) 21 D) 34 E) 27

57. Halle m y n si el residuo de 4 3 2

2

12x 23x 8mx 35x n

4x 5x m

es

2x 3 . De cómo respuesta n m . A) 30 B) 31 C) 32 D) 33 E) 40

58. Determine B A si la división

4 3 2

2

Ax Bx 21x x 12

2x 4x 3

es exacta.

A) 11 B) 16 C) 20 D) 22 E) 30

59. Si la división del polinomio

2 2 3 2P x a b x 2b a b x

4abx b 2b a por d x a b x b a

es exacta. Halle el valor de 2 2

2 2

a b 5abM

3ab a b

.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 6 E) 9

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60. Halle c para que

2Q x x a 1 x b sea divisible

por x c ; sabiendo que

5 4 3 2x 12x 31x 14x ax b es

divisible por 2x 5x 2 .

A) 1 ó 4 B) -1 ó 4 C) -4 ó -1 D) 1 E) 4

61. Determine el mayor valor del residuo de la división

5 4 3 28x 2m 4 x 2n m 2 x 1 n x 4x mn

2x 1

Si se sabe que m,n R y que la

suma de coeficientes del cociente es 5. A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

62. Determine el resto de dividir

2

x 1 x 2 x 3 x 4 6

x 5x 7

A) -2 B) 0 C) 6 D) 9 E) 11

63. Proporcionar el resto de dividir

100 99 98 2x x x x x 1 entre

3x 1 .

A) 34x 33 B) 22x 2x 2

C) 2x x 1 D) 233x 34x 34 E) x 1

64. Si se cumple P x x 2 Q x y

Q(x) es divisible por x 3 . Indique

el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:

I. P(x) es divisible por x 3 .

II. P(x) posee más factores primos que Q(x).

III. Q 2 0

A) FVF B) VVF C) VVV D) VFF E) FFF

65. Si el polinomio

5 4 2P x 2x x ax bx c es

divisible por 4x 1 ; entonces el

valor de a b c

Ea b c

es

A) 3

2 B) -1 C)

2

3

D) 2

3 E)

3

2

66. Un polinomio P(x) Mónico de grado 3

es divisible por x 4 y genera un

cociente Q(x) que al ser dividido por

x 1 el residuo es 2. El resto de la

división de P(x) por x 4 x 1 es

A) x 2 B) x 4 C) 2x 8

D) x 1 E) 2

67. Un polinomio P(x) de 5to grado con término independiente -6 es divisible

separadamente por 2x 1 y

2x 2x 2 . Si se divide P(x) por

3x 1 se obtiene por residuo

11x 3 . Halle P(-1).

A) 5 B) -3 C) -16 D) 10 E) -12

68. Un polinomio cúbico es divisible por

2x 1 ; al ser dividido entre 2x 1 el residuo es 6x 2 . Determine el valor

de verdad de las proposiciones siguientes: I. P(x) es divisible entre 3x 1 .

II. Es resto de dividir P x x 2

es 25.

III. Al dividir 2P x x 6 es resto

es 21x 7 . A) FVF B) FFV C) VVF D) VVV E) FVV

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69. Dado el polinomio

4 3 2P x ax 4x bx cx 2 en x,

divisible por x 1 y x 2 ; al

dividirlo por x 1 el resto es -6.

Indique el valor de 2a c b . A) -15 B) 10 C) 18 D) 21 E) 30

70. Al dividir P(x) entre

x 2 x 4 x 2 se obtiene como

resto 2x x 1 . Calcule el resto de

dividir P(x) entre 2x 2x 8 . A) x 3 B) x 3 C) x 3 D) 2x 6 E) 3x 9

71. Si 4 2 3 2 2P x ax a 1 x ax a 1 x a

es un polinomio factorizable, entonces la suma de coeficientes de un factor primo es A) 2a 12 B) a 20

C) a 16 D) 2a 1 E) 8a 1

72. Dado el siguiente polinomio P que

puede factorizar por aspa simple

4 2 2 2P x,y,z x x y z 2yz y z .

Determine un factor primo.

A) 2x y 2 B) 2x y z

C) 2x y z D) 2x y z 1

E) 2x y z 1

73. Notando que el siguiente polinomio se

puede factorizar por aspa doble

2 2P x,y 2y 3x xy 16x 9y 5 .

Determine la suma de sus factores primos. A) 2y 3x 1 B) y x 5

C) 3y 4x 6 D) 3y 2x 4

E) 2y 3x 9

74. Obtener la suma de los factores primos de:

3 3 2 2 2 2 2 2x y ax y bx y cx y abxy

acxy bcxy abc

A) 2xy a b B) 3xy a c

C) 3xy a b c D) 3xy b

E) 3xy

75. Dado el siguiente cociente notable

162 n

2 2 4

x 2y y

x 4x 1 y 4y

, si se sabe que

m es el grado absoluto del cuarto término en el desarrollo de dicho cociente. Halle m n . A) 16 B) 22 C) 36 D) 38 E) 52

76. Determine el número de términos del

cociente notable mp p

m

x y

x y

; si los

grados absolutos de todos los términos de su expansión disminuyen de 3 en 3; además el término de lugar 40 de sus expansión tiene grado absoluto 87. A) 42 B) 44 C) 46 D) 48 E) 52

77. Si uno de los coeficientes del

desarrollo del cociente m m n

2 m 1 m 4

x y

x y y

es x50 determine n m .

A) 35 B) 40 C) 41 D) 42 E) 43

78. Simplifique y luego determine el número de sumados de la expresión

95 90 5

80 60 20

x x x 1

x x x 1

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

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CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2012 – I SEMINARIO Nº 03

CEPRE-UNI ÁLGEBRA- 14 -

79. Si el quinto término del cociente

notable

x x4 4

y y5 9 5 9

a b

a b

es 176 64a b .

¿Cuál es el número de términos del cociente? A) 8 B) 12 C) 16 D) 24 E) 32

80. Uno de los factores primos de la

expresión

4x x c x 2c x 3c 24c es

A) x c B) x 2c

C) x 4c D) 2 2x 3cx 6c

E) 2 2x 3cx 9c

81. Determine la suma de coeficientes de un factor primo de

6 5 4 2E x 2x 3x 4x 1 A) -2 B) 0 C) 2 D) 3 E) 4

82. El producto de dos polinomios es

2

2x 1 y el cociente de su MCM y

su MCD es 2

x 1 . Determine el

MCD. A) x 1 B) x 1 C) x 2 D) x 2 E) x

83. Determine la suma de los coeficientes

del MCD de los polinomios

4 3 2P x 2x x 3x 3x 9

3 2Q x 10x 9x 17x 6

A) 0 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8

84. Halle la suma de los coeficientes del

resto de extraer la raíz cuadrada de 4 2 3x 20x x 20x 4 .

A) -2 B) 1 C) 0 D) 2 E) -3

85. Determine “ab”, si la raíz cuadrada de 4 3 216x 32x 24x ax b es exacta.

A) -8 B) -4 C) -2 D) 2 E) 4

86. Si al extraer la raíz cuadrada del polinomio

4 3 2P x a 3 x b 2 x 13x 9x 5

se obtiene un residuo igual a

P x 5x 1 . Halle el valor de a b .

A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2

87. Al racionalizar la expresión

3

1A

5 3 2 8 27 125

el denominador resultante es A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19

88. Racionalizara la siguiente expresión 3

6

3

3 9 y de cómo respuesta su

nuevo denominador. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

89. Racionalizar 20

E7 6 14 21

A) 7 6 21 14

B) 7 14 6 21

C) 7 14 6 21

D) 7 21 6 14

E) 7 6 21 14

90. Si 0 y se cumple la

siguiente igualdad

7

6 8 27 6

.

Calcule .

A) 45 B) 46 C) 47 D) 48 E) 49