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TEMA 3.- DINMICA DE UNA PARTCULA (LEYES DE NEWTON) 1.- Introduccin La dinmica estudia la relacin que hay entre el movimiento de un cuerpo y las causas que lo producen. La experiencia nos demuestra que el cambio de velocidad de un cuerpo es consecuencia de sus interacciones con otros cuerpos. Las interacciones se clasifican en fundamentales y no fundamentales. Hasta hace poco tiempo se consideraban cuatro las interacciones fundamentales:

A finales de los aos 1960, Abdus Salam y Steven Weinberg proponen una nueva teora, verificada experimentalmente a principios de la dcada de los 80: la unificacin de las interacciones electromagntica y nuclear dbil en la denominada interaccin electrodbil. Por tanto, actualmente se admiten tres interacciones fundamentales: la gravitatoria, la nuclear fuerte y la electrodbil, siendo la electromagntica y la nuclear dbil las manifestaciones macroscpica y microscpica, respectivamente, de la electrodbil. Las no fundamentales pueden explicarse en funcin de las fundamentales y pueden ser elsticas, de friccin, por colisiones, debidas a efectos de viscosidad, etc. Las interacciones se expresan en funcin de distintos parmetros, como la masa de la partcula, su carga, la distancia entre partculas, la velocidad, etc. y una serie de constantes universales. La idea fundamental es que estas interacciones se expresarn de forma matemtica como fuerzas que producirn un cambio en el estado de reposo o de movimiento de la partcula. Las leyes que rigen la relacin entre las fuerzas y el cambio de movimiento son las Leyes de Newton. Estas Leyes expresan de forma compacta las observaciones previas de Galileo. De estas leyes deduciremos tambin la conservacin de dos de las magnitudes fundamentales: el momento lineal (o cantidad de movimiento) y el momento angular. 2.- Observaciones de Galileo Las ideas bsicas de la dinmica fueron establecidas por Galileo tras una serie de experiencias con planos inclinados. Newton las resumi en solo tres Leyes. Las conclusiones de Galileo fueron: 1.- Es necesaria una influencia externa para poner un cuerpo en movimiento, pero no se necesita una influencia externa para conservar el movimiento de un cuerpo.

Fundamentales

Gravitatoria

Electromagntica de largo alcance

Nuclear fuerte

Nuclear dbil de corto alcance

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2.- Los estados naturales de un cuerpo son: el reposo y el movimiento rectilneo uniforme. 3.- Todo cuerpo por naturaleza tiende a conservar dichos estados mientras no haya una causa exterior que los modifique. Esta tendencia a conservar su estado se llama inercia. 4.- La causa capaz de vencer la inercia de un cuerpo es la interaccin con otros cuerpos. 5.- El movimiento de un cuerpo es el resultado de las interacciones que existen entre l y los cuerpos que le rodean. 3.- Primera Ley de Newton Antes de enunciarla necesitamos definir el concepto de partcula libre. Partcula libre es aquella que no est sometida a ninguna interaccin. Realmente no existe ninguna partcula libre, pero existen partculas a las que se pueden considerar libres, bien porque sus interacciones sean despreciables o bien porque se produzca una cancelacin entre distintas interacciones. Primera Ley de Newton o Ley de la inercia: Una partcula libre se mueve siempre con velocidad constante, es decir sin aceleracin Esta primera ley nos dice que una partcula libre o permanece en reposo o se mueve indefinidamente en movimiento rectilneo uniforme. Como el movimiento es relativo, cuando establecemos la ley de inercia debemos indicar a qu o a quin est referido el movimiento de la partcula libre. El principio de inercia se cumple solo desde un sistema de referencia que tambin es libre al que denominamos Sistema de referencia inercial. 4.- Precedentes de la Segunda Ley de Newton Las Leyes de Newton se derivan directamente de la experiencia; de esta forma se recogen de forma matemtica hechos experimentales. Podramos enunciarlas directamente y despus analizar sus implicaciones, pero preferimos analizar primero las diferentes experiencias que llevaron finalmente a su formulacin. 4.1- Masa gravitatoria y masa inercial La masa gravitatoria se define operacionalmente utilizando el principio de la balanza de brazos iguales; esto es, una balanza simtrica soportada en su centro 0. Se dice que dos cuerpos tienen la misma masa cuando, colocando un cuerpo en cada platillo, la balanza permanece en equilibrio. Experimentalmente se verifica que si la balanza se halla en equilibrio en un lugar de la tierra, permanece en equilibrio cuando se coloca en cualquier otro lugar de la tierra o incluso en otro planeta. De esta forma la masa gravitatoria es una propiedad intrnseca a la partcula, no as su peso (P = mg) que depende de la gravedad en el lugar que nos encontremos. Por tanto esta masa, definida cuando el cuerpo est en reposo, es una constante que relaciona la respuesta de la partcula ante la interaccin gravitatoria. Pero la partcula puede estar sometida a otras interacciones y queremos saber si existe una magnitud constante que relacione la respuesta de la partcula en movimiento con la interaccin que produzca el cambio de movimiento, y si existiera, si coincide con el valor de la masa gravitatoria. La respuesta a esta cuestin es positiva, siempre que la

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velocidad de la partcula sea muy inferior a la velocidad de la luz (v

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Es una magnitud vectorial que tiene la misma direccin y sentido que la velocidad de la partcula. Si volvemos al experimento anterior, y definimos i22

i11i vmvmp

rrr += como el momento lineal antes de la interaccin mutua y d22

d11d vmvmp

rrr += el momento lineal despus de la interaccin nos queda: di pp

rr = ya que, segn lo visto anteriormente, 2211 vmvm

rr = o 21 pp rr = , el momento que gana una partcula es el que pierde la otra. Es decir: El momento lineal de un sistema compuesto de dos partculas sujetas slo a su interaccin mutua, permanece constante. Este hecho experimental se deducir ms adelante como consecuencia de la Segunda Ley de Newton, o lo que es lo mismo, la Segunda Ley de Newton est basada en estos hechos experimentales. De forma ms general, puede enunciarse: El momento lineal total de un sistema de partculas aislado permanece constante. Se retoma as la Primera ley de Newton ya enunciada. 5.- Segunda Ley de Newton Con el principio de conservacin del momento sera suficiente para conocer el cambio de velocidad despus de una interaccin, pero en la mayora de los casos que observamos vemos slo el movimiento de una partcula, ya sea porque no tenemos manera de observar las otras partculas con las cuales interacta o porque las ignoramos a propsito. Pero sabemos que si ha habido cambio de momento, es que ha habido una interaccin; la cuantificacin de este hecho nos lleva a la introduccin del concepto de fuerza. Definimos la fuerza que acta sobre la partcula como el cambio de momento, pr , que experimenta en un intervalo de tiempo, t, cuando este intervalo de tiempo tiende a cero:

amdtvdmF)ctemsi(vmpcomo

dtpd

tplimF

0t

rrrrrrrr ======

Si existen ms interacciones, su efecto es aditivo y tendramos: =

ii amF

rr Esta es la conocida como ecuacin de movimiento de la partcula

La resultante de las fuerzas que actan sobre una partcula es proporcional a la aceleracin que le produce. La constante de proporcionalidad entre ambas es la masa inercial que, para velocidades mucho ms pequeas que la de la luz, coincide con la masa gravitatoria. Unidades de la fuerza: Como [F]=MLT-2, en el sistema internacional sus unidades son kg m s-2, que se denomina Newton (N).

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6.- Tercera Ley de Newton (o Principio de accin y reaccin) Recordamos que cuando dos partculas interactan entre s el cambio de momento lineal en cada una de ellas en un intervalo de tiempo t cumple:

21 pprr =

si dividimos por el intervalo de tiempo y tomamos el lmite cuando el intervalo de tiempo tiende a cero nos queda:

dtpd

dtpd 21

rr=

y segn la definicin de fuerza tenemos:

21 FFrr =

1Fr

es la fuerza que acta sobre la partcula 1 debido a su interaccin con la partcula 2 (podramos llamarla 12F

r)

2Fr

es la fuerza que acta sobre la partcula 2 debido a su interaccin con la partcula 1 (podramos llamarla 21F

r)

Hay que poner cuidado en la caracterstica principal de estas fuerzas: ambas (accin y reaccin) estn aplicadas a cuerpos distintos. Cuando dos partculas interaccionan, la fuerza que la primera ejerce sobre la segunda es igual y opuesta a la fuerza que la segunda ejerce sobre la primera, estando ambas sobre la recta que une a las partculas Partiendo de este principio podemos ahora deducir el principio de conservacin del momento lineal: Si sobre un sistema solo acta la interaccin mutua entre las partculas, la fuerza neta resultante es cero, por lo que ctep =r 7.- Impulso A la variacin del momento lineal que se produce en una partcula entre un intervalo de tiempo definido, se le llama impulso. Matemticamente es tambin la integral de la fuerza entre el intervalo de tiempo en el que sta acta.

ppptvtvmdtdtvdmdtamdtFI

t

t

t

t

t

t

rrrrrrrrr ====== 010110

1

0

1

0

)()((

Por ejemplo, cuando un palo de golf golpea una pelota est actuando una fuerza pero solo en un intervalo de tiempo, en este caso muy pequeo; como resultado ha habido un cambio de momento lineal en la pelota, o lo que es lo mismo a la pelota se le ha dado un impulso. Despus de este intervalo de tiempo la fuerza ya no acta y la pelota se ha quedado con una velocidad final distinta de la inicial debido al cambio de momento.

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8.- Ejemplos de fuerzas

8.1.- Peso

La fuerza gravitatoria terrestre es la fuerza sobre una partcula debida a su interaccin con la masa de la Tierra (interaccin gravitatoria terrestre). A esta fuerza se le dedicar una atencin especial en el tema de Gravitacin. Cuando la partcula se encuentra a una altura, h, prxima a la superficie de la Tierra, en primera aproximacin, la fuerza gravitatoria terrestre es constante y no depende de la distancia a la Tierra, es decir su valor es constante e igual a la masa de la partcula por g, donde g=9,8m s-2. A esta fuerza gravitatoria se le llama peso, pero insistimos en que es de la misma naturaleza que la que, por ejemplo, ejerce la Tierra sobre la Luna, solo que para distancias pequeas nos quedamos con la primera aproximacin. Adems como el radio de la Tierra es grande comparado con las dimensiones de los experimentos sobre la superficie de la Tierra, podemos considerar que tiene siempre la misma direccin sobre el trozo de superficie terrestre considerado. Esta direccin es perpendicular al suelo. Es decir P = mg donde m es la masa de la partcula; de esta forma si una partcula slo est sometida a esta fuerza, se mueve con aceleracin constante e igual a g (a=g). Este es el experimento que llev a Newton a intuir que la masa inercial y la gravitatoria deban de ser iguales. Aplicada en la Tierra existe otra igual y de sentido contrario (tercera ley), pero es tan pequea que no afecta al movimiento de la Tierra, por lo que la ignoramos a propsito, pero no significa que no exista.

8.2.- Fuerzas de reaccin o normales y tensiones Son fuerzas que aparecen cuando dos cuerpos estn en contacto fsico. Aparecen dos normales, una sobre cada uno de los cuerpos que estn en contacto. Son perpendiculares a la superficie de contacto y dirigidas en cada cuerpo en el sentido del empuje que el otro hace sobre ste. Su valor absoluto no esta determinado a priori, depende de cmo de intenso sea el contacto, es decir, de las otras interacciones y de la velocidad de las superficies, por lo que hay que determinarlo en cada problema en particular. Es un ejemplo claro de accin y reaccin ya que son dos fuerzas iguales y de sentidos opuestos y cada una de ellas aplicada a un cuerpo distinto; por esta razn no se anulan cuando consideramos el movimiento de cada cuerpo por separado.

Las tensiones son otro tipo de fuerzas que aparecen cuando el contacto se produce a travs de un hilo, normalmente, inextensible y sin masa.

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8.3- Fuerzas de rozamiento por deslizamiento o friccin

Son las fuerzas que se oponen al movimiento relativo entre dos cuerpos. Existen tambin dos iguales y de sentidos contrarios cada una de ellas aplicadas en cada cuerpo. Su direccin es paralela a la direccin del movimiento; su sentido en cada cuerpo trata de impedir que exista deslizamiento relativo entre ambos. Si, por ejemplo, tenemos dos cuerpos, uno encima del otro y tiramos del de abajo con una fuerza, las fuerzas de rozamiento por deslizamiento que aparecen sobre cada cuerpo son:

Con este ejemplo observamos que no es cierta la afirmacin de que estas fuerzas se oponen al movimiento del cuerpo, ya que como vemos en el cuerpo 2 es precisamente la fuerza de rozamiento la que produce el movimiento. A lo que se oponen es al movimiento relativo entre los cuerpos. En el cuerpo 1, efectivamente, se opone tambin al movimiento del cuerpo. Estas fuerzas se deben a la interaccin entre las molculas de los dos cuerpos, por eso a veces, tambin se las llama de adhesin. Es un fenmeno complejo que depende de las condiciones de las superficies, de su naturaleza, etc. Se verifica experimentalmente que esta fuerza de friccin por deslizamiento, cuando el cuerpo est en movimiento, es proporcional a la fuerza normal de uno sobre otro, N. La constante de proporcionalidad se llama coeficiente de rozamiento dinmico y se denomina d. Si el cuerpo an no est en movimiento la fuerza de rozamiento es igual a la fuerza que se est aplicando al cuerpo para ponerlo en movimiento, pero si el cuerpo est a punto de moverse, es decir en el instante antes de moverse, la fuerza de rozamiento es tambin proporcional a N, y la constante de proporcionalidad se llama ahora, coeficiente de rozamiento esttico y se denomina por e. Por tanto Fre = e N representa la fuerza mnima necesaria para poner un cuerpo, inicialmente en reposo, en movimiento.

8.4- Viscosa o friccin en el seno de un fluido Cuando un cuerpo se mueve en el seno de un fluido, aparece una fuerza de friccin que, para velocidades relativamente bajas, puede considerarse proporcional a la velocidad en mdulo y direccin pero de sentido contrario. La constante de proporcionalidad depende de la forma del cuerpo y de las caractersticas del fluido.

vKFfrr =

Si el cuerpo est sometido a una fuerza externa constante y la fuerza viscosa, puede llegar un momento en que se mueva con velocidad constante. Demustrelo. Para la resolucin de los problemas se analizan las distintas fuerzas que estn actuando sobre la partcula, despus se escribe la ecuacin de movimiento en su forma vectorial y se descompone escalarmente segn un sistema de referencia que se elige de forma que la resolucin resulte lo ms sencilla posible.

F Fr12

Frs 1

2 Fr21