3.8 Distribuciones de Probabilidad Exponencial

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3.8 DISTRIBUCIN DE PROBABILIDAD EXPONENCIALA pesar de la sencillez analtica de sus funciones de definicin, la distribucin exponencial tiene una gran utilidad prctica ya que podemos considerarla como un modelo adecuado para la distribucin de probabilidad del tiempo de espera entre dos hechos que sigan un proceso de Poisson. De hecho la distribucin exponencial puede derivarse de un proceso experimental de Poisson con las mismas caractersticas que las que enuncibamos al estudiar la distribucin de Poisson, pero tomando como variable aleatoria , en este caso, el tiempo que tarda en producirse un hecho Obviamente, entonces , la variable aleatoria ser continua. Por otro lado existe una relacin entre el parmetro a de la distribucin exponencial , que ms tarde aparecer , y el parmetro de intensidad del proceso l , esta relacin es a = l Al ser un modelo adecuado para estas situaciones tiene una gran utilidad en los siguientes casos: Distribucin del tiempo de espera entre sucesos de un proceso de Poisson Distribucin del tiempo que transcurre hasta que se produce un fallo, si se cumple la condicin que la probabilidad de producirse un fallo en un instante no depende del tiempo transcurrido .Aplicaciones en fiabilidad y teora de la supervivencia.

Funcin de densidad.A pesar de lo dicho sobre que la distribucin exponencial puede derivarse de un proceso de Poisson, vamos a definirla a partir de la especificacin de su funcin. De densidad: Dada una variable aleatoria X que tome valores reales no negativos {x 0} diremos que tiene una distribucin exponencial de parmetro a con a 0, si y slo si su funcin de densidad tiene la expresin:

Diremos entonces que

Grficamente como ejemplo planteamos el modelo con parmetro a =0,05 En consecuencia, la funcin de distribucin ser:

En la principal aplicacin de esta distribucin , que es la Teora de la Fiabilidad, resulta ms interesante que la funcin de distribucin la llamada Funcin de Supervivencia o Funcin de Fiabilidad. La funcin de Supervivencia se define cmo la probabilidad de que la variable aleatoria tome valores superiores al valor dado X:

Si el significado de la variable aleatoria es "el tiempo que transcurre hasta que se produce el fallo": la funcin de distribucin ser la probabilidad de que el fallo ocurra antes o en el instante X: y , en consecuencia la funcin de supervivencia ser la probabilidad de que el fallo ocurra despus de transcurrido el tiempo X ; por lo tanto, ser la probabilidad de que el elemento, la pieza o el ser considerado "Sobreviva" al tiempo X ; de ah el nombre. Grficamente, la funcin de distribucin para un modelo exponencial de parmetro a =0,05 sera :

En la que se observa lo que sera la diferencia entre funcin de distribucin y la de supervivencia

La Funcin Generatriz de Momentos ser:

tendremos as que la F.G.M ser :

Una vez calculada la F.G.M podemos , partiendo de ella , calcular la media y la varianza As la media ser:

En cuando a la varianza su expresin ser :

Ya que

La mediana del modelo exponencial ser aquel valor de la variable x =Me que verifica que F (Me) =

De manera que

por lo que

Tasa instantnea de fallo.Dentro del marco de la teora de la fiabilidad si un elemento tiene una distribucin del tiempo para un fallo con una funcin de densidad f(x) , siendo x la variable tiempo para que se produzca un fallo , y con una funcin de supervivencia S(X) La probabilidad de que un superviviente en el instante t falle en un instante posterior t + D t ser una probabilidad condicionada que vendr dada por:

Al cociente entre esta probabilidad condicionada y la amplitud del intervalo considerado, t , se le llama tasa media de fallo en el intervalo [t , t+D t] :

Y a la tasa media de fallo en un intervalo infinitsimo es decir, al lmite de la tasa media de fallo cuando D t 0 se le llama Tasa Instantnea de Fallo (o, simplemente, tasa de fallo) en t:

La tasa de fallo es, en general, una funcin del tiempo, que define unvocamente la distribucin. Pues bien, puede probarse que el hecho de que la tasa de fallo sea constante es condicin necesaria y suficiente para que la distribucin sea exponencial y que el parmetro es, adems, el valor constante de la tasa de fallo. en efecto: si

De donde integrando esta ecuacin diferencial entre 0 y x:

de modo que la funcin de distribucin ser

Funcin de Distribucin de una Exponencial

Si X tiene una distribucin exponencial

de manera que As pues si un elemento tiene una distribucin de fallos exponencial su tasa de fallos se mantiene constante a lo largo de toda la vida del elemento. La probabilidad de fallar en un instante no depende del momento de la vida del elemento en el que nos encontremos; lo que constituye la propiedad fundamental de la distribucin que ahora enunciamos:

Propiedad fundamental de la distribucin exponencialLa distribucin exponencial no tiene memoria : Poseer informacin de que el elemento que consideramos ha sobrevivido un tiempo S (hasta el momento) no modifica la probabilidad de que sobreviva t unidades de tiempo ms. La probabilidad de que el elemento falle en una hora (o en un da, o en segundo) no depende del tiempo que lleve funcionando. No existen envejecimiento ni mayor probabilidad de fallos al principio del funcionamiento

Expresin que no depende, como se observa, del tiempo sobrevivido s

La distribucin exponencial es el equivalente continuo de la distribucin geomtrica discreta. Esta ley de distribucin describe procesos en los que:

Nos interesa saber el tiempo hasta que ocurre determinado evento, sabiendo que, el tiempo que pueda ocurrir desde cualquier instante dado t, hasta que ello ocurra en un instante tf, no depende del tiempo transcurrido anteriormente en el que no ha pasado nada.

Ejemplos de este tipo de distribuciones son:

El tiempo que tarda una partcula radiactiva en desintegrarse. El conocimiento de la ley que sigue este evento se utiliza en Ciencia para, por ejemplo, la datacin de fsiles o cualquier materia orgnica mediante la tcnica del carbono 14, C14; El tiempo que puede transcurrir en un servicio de urgencias, para la llegada de un paciente; En un proceso de Poisson donde se repite sucesivamente un experimento a intervalos de tiempo iguales, el tiempo que transcurre entre la ocurrencia de dos sucesos consecutivos sigue un modelo probabilstico exponencial. Por ejemplo, el tiempo que transcurre entre que sufrimos dos veces una herida importante. , es tal que su

Concretando, si una v.a. continua X distribuida a lo largo de funcin de densidad es

se dice que sigue una distribucin exponencial de parmetro

,

.

Figura: Funcin de densidad, f, de una

.

Un clculo inmediato nos dice que si x>0,

luego la funcin de distribucin es:

Figura: Funcin de distribucin, F, de , calculada como el rea que deja por debajo de s la funcin de densidad. Para calcular el valor esperado y la varianza de la distribucin

exponencial, obtenemos en primer lugar la funcin caracterstica

para despus, derivando por primera vez

y derivando por segunda vez,

Entonces la varianza vale

En estadstica la distribucin exponencial es una distribucin probabilidad continua con un parmetro cuya funcin de densidad es:

de

Su funcin de distribucin es:

Donde

representa el nmero e.

El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con distribucin exponencial son:

La distribucin exponencial es un caso particular de distribucin gamma con k = 1. Adems la suma de variables aleatorias que siguen una misma distribucin exponencial es una variable aleatoria expresable en trminos de la distribucin gamma. Ejemplos para la distribucin exponencial es la distribucin de la longitud de los intervalos de variable continua que transcuren entre la ocurrencia de dos sucesos "raros", que se distribuyen segn la distribucin de Poisson.

Calcular variables aleatoriasSe pueden calcular una variable aleatoria de distribucin exponencial medio de una variable aleatoria de distribucin uniforme : por

O, dado que

es tambin una variable aleatoria con distribucin

, puede utilizarse la versin ms eficiente:

EJEMPLO 1

En un experimento de laboratorio se utilizan 10 gramos de que la duracin media de un tomo de esta materia es de 140 das, Cuantas idas transcurrirn hasta que haya desaparecido el material?

. Sabiendo de este

Solucin: El tiempo T de desintegracin de un tomo de distribucin exponencial:

es una v.a. de

Figura: Como el nmero de tomos (observaciones) es extremadamente alto en 10 gramos de materia, el histograma puede ser aproximado de modo excelente por la funcin de densidad exponencial, y el polgono de frecuencias acumuladas por la funcin de distribucin.

Como el nmero de tomos de existentes en una muestra de 10 gramos es enorme, el histograma de frecuencias relativas formado por los tiempos de desintegracin de cada uno de estos tomos debe ser extremadamente aproximado a la curva de densidad, f. Del mismo modo, el polgono de frecuencias relativas acumuladas debe ser muy aproximado a la curva de su funcin de distribucin F. Entonces el tiempo que transcurre hasta que el del material radiactivo se desintegra es el percentil 90, t90, de la distribucin exponencial, es decir

EJEMPLO 2 Se ha comprobado que el tiempo de vida de cierto tipo de marcapasos sigue una distribucin exponencial con media de 16 aos. Cul es la probabilidad de que a una persona a la que se le ha implantado este marcapasos se le deba reimplantar otro antes de 20 aos? Si el marcapasos lleva funcionando correctamente 5 aos en un paciente, cul es la probabilidad de que haya que cambiarlo antes de aos?

Solucin: Sea T la variable aleatoria que mide la duracin de un marcapasos en una persona. Tenemos que

Entonces

En segundo lugar

Luego como era de esperar, por ser propio a un mecanismo exponencial,

O sea, en la duracin que se espera que tenga el objeto, no influye en nada el tiempo que en la actualidad lleva funcionando. Es por ello que se dice que ``la distribucin exponencial no tiene memoria".

EJEMPLO 3 El tiempo durante el cual cierta marca de batera trabaja en forma efectiva hasta que falle (tiempo de falla) se distribuye segn el modelo exponencial con un tiempo promedio de fallas igual a 360 das.

a) qu probabilidad hay que el tiempo de falla sea mayor que 400 das?. b) Si una de estas bateras ha trabajado ya 400 das, qu probabilidad hay que trabaja ms de 200 das ms? c) Si se estn usando 5 de tales bateras calcular la probabilidad de que ms de dos de ellas continen trabajando despus de 360 das.

Solucin Sea X=el tiempo que trabaja la batera hasta que falle. El tiempo promedio de falla es de 360 das. Entonces, X ~Exp (=1/360) y su funcin de densidad es:

EJEMPLO 4 Suponga que la vida de cierto tipo de tubos electrnicos tiene una distribucin exponencial con vida media de 500 horas. Si X representa la vida del tubo (tiempo q dura el tubo).

a) Hallar la probabilidad que se queme antes de las 300 horas. b) Cul es la probabilidad que dure por lo menos 300 horas? c) Si un tubo particular ha durado 300 horas. cal es la probabilidad de que dure otras 400 horas?

Solucin

Este, es una propiedad de la distribucin exponencial que se conoce como la de no tener memoria.

EJEMPLO 5 Suponga que el tiempo que necesita un cajero de un banco para atender a un cliente tiene un distribucin exponencial con una media de 40 segundos.

a) Hallar la probabilidad que el tiempo necesario para atender un cliente dado sea mayor que 20 minutos? b) Cul es la probabilidad que el tiempo necesario para atender a un cliente est comprendido entre 1 y 2 minutos.

Solucin