3,4 CALCULO DIFERENCIAL

8/15/2019 3,4 CALCULO DIFERENCIAL

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Unidad III Aplicaciones de la integral.

3.1 Áreas.3.1.1 Área bajo la gráfica de una función.

3.1.2 Área entre las gráficas de funciones.3.2 Longitud de curvas.3.3 Cálculo de volúmenes de sólidos de sólidos de revolución.3.4 Cálculo de centroides.3.5 Otras aplicaciones.

Interpretar enunciados de problemas para construir la función que al ser integrada dala solución.Resolver problemas de cálculo de áreas, centroides, longitud de curvas y volúmenesde sólidos de revolución.Reconocer el potencial del Cálculo integral en la ingeniería.

3.1 Áreas .

Refiriéndonos a la historia, el cálculo integral se dio a la luz gracias al problemageométrico de hallar áreas de regiones no poligonales, es decir de regiones conaspecto curvo. De hecho, vamos a mostrar, como poder hallar áreas haciendouso de la integral. Comencemos dando una primera definición de la relación queexiste entre la integral y el área (bajo curva en primera medida) de una región nopoligonal

3.1.1 Área bajo la gráfica de una función.

Sí f es continua y no negativa en un intervalo cerrado [ a, b ], el área de la regiónlimitada por la gráfica de f , el eje x y las rectas verticales x = a y x = b vienedada por:


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En ella se ve que f es una función continua, positiva (por encima del eje x), y laregión R está limitada (acotada) por las rectas verticales x = a y x = b. Podemoshallar el área de la región R por medio de una integral definida aplicando ladefinición anterior.

Como lo hemos planeado, daremos algunos ejemplos para ver cómo se puedeaplicar la definición.

EJEMPLO 1: Hallar el área de la región acotada por la curva y las rectas f(x) = 4 yx =−3 y x = 2.

SOLUCIÓN:

1. TRAZO DE LA REGIÓN : En primera medida, se debe trazar la región que sepide. Aquí f es positiva y continua.

2. PLANTEAMIENTO DE LA INTEGRAL: Aplicando la definición anterior, el áreade la región R viene dado por:

3. EVALUACIÓN DE LA INTEGRAL : Ahora procedemos a evaluar la integral.

http://areasbajoyentrecurvas.soy.es/files/2010/05/dibujo4.jpghttp://areasbajoyentrecurvas.soy.es/files/2010/05/dibujo3.jpghttp://areasbajoyentrecurvas.soy.es/files/2010/05/dibujo2.jpg


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Luego el área de la región es 20 u 2.

Obsérvese que esta región es rectangular, luego se puede encontrar su áreausando los métodos de la geometría. Desde este punto de vista se puede hacer losiguiente:

No es sorprendente que se hayan obtenido resultados equivalentes.

EJEMPLO 2: Hallemos el área de la región acotada por la curva

acotada por [ −5,5]

SOLUCIÓN:

1. TRAZO DE LA REGIÓN : Presentamos el trazo de la curva junto con el intervalode acotación sobre el eje x, por su puesto.

2. PLANTEAMIENTO DE LA INTEGRAL: Si se observa la figura anterior, lasrectas x= −5 y x = 5 dividen la región en dos partes; A 1 y A2 respectivamente.También se puede ver que el intervalo se puede dividir en dos, así: [ −5,5] , [−5,0] y[−0,5] . Luego el área de la región (sombreada) viene dada por:



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A = A 1 + A 2

3. EVALUCION DE LA INTEGRAL: Ahora procedemos a evaluar la integral de lasiguiente forma:

Luego el área de la región sombreada es de u 2.

3.1.2 Área entre las gráficas de funciones.

Para estas regiones en particular, no se es dado los límites de integración, queserían los puntos de corte entre dos gráficas. Más bien, para encontrarlos, bastahallar los x (o los y) para los cuales f-g. Por un momento observemos lassiguientes gráficas, conservando las mismas condiciones de las definicionesanteriores: (dos funciones continuas en un intervalo cerrado, etc.) Aquí, para laprimera gráfica, a y b son los puntos de corte de f (x) y g(x) . En la segunda gráfica,c y d son los puntos de corte de f (y) y g(y) . Ahora planteamos las definicionescorrespondientes que sugieren las graficas:

Definición 1: Dadas f y g positivas y continuas en un intervalo cerrado [ b,a ] con,f(x) > g(y) , el área de la región R está dada por:



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Definición 2: Dadas f y g positivas y continuas en un intervalo cerrado [ d,c ] conf(y)>g(y), el área de la región R está dada por:

EJEMPLO 1 : Hallar el área de la región determinada por las curvas

SOLUCIÓN : En primera medida trazamos la región correspondiente:


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Ahora tenemos que encontrar los límites de integración, pero en la gráficapodemos decir que esos límites lo determinan los puntos de intersección de f y g.Como dijimos anteriormente, estos se hallan de la siguiente forma:

Luego x=0, 2, –2 son los puntos de corte de ambas funciones. Después de esto,podemos establecer la integral que nos permitirá hallar el área de la región pedida:


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Luego el área de la región es

3.2 Longitud de curvas.

En matemática, la longitud de arco , también llamada rectificación de unacurva , es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva odimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud ensegmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvasespecíficas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtenersoluciones cerradas para algunos casos.

Al considerar una curva definida por una función y su respectiva derivada

que son continúas en un intervalo [a, b] , la longitud S del arco delimitadopor a y b es dada por la ecuación:

En el caso de una curva definida paramétricamente mediante dos funcionesdependientes de t como e , la longitud del arco desde el

punto hasta el punto se calcula mediante:

Si la función está definida por coordenadas polares donde la coordenadas radial yel ángulo polar están relacionados mediante , la longitud del arcocomprendido en el intervalo , toma la forma:

En la mayoría de los casos, no hay una solución cerrada disponible y seránecesario usar métodos de integración numérica. Por ejemplo, aplicar esta fórmulaa la circunferencia de una elipse llevará a una integral elíptica de segundo orden.

http://es.wikipedia.org/wiki/Curvahttp://es.wikipedia.org/wiki/Segmentohttp://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculohttp://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculohttp://es.wikipedia.org/wiki/Segmentohttp://es.wikipedia.org/wiki/Curva


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Ejemplos:

1.-Calcular la longitud de arco de la siguiente curva = √3 El dominio de la función es [0,+

∞)

x F(x)0 01 12 2.83 5.14 85 11.186 14.697 18.52

= 1 +�250 =

1 +�

32

12250

= 1 + 9450 = 1 +

94

=94

=49 12 = 49 12+112 + 150

=49

3232

=49�

23

32 = 827 32 = 827 �1 + 94 350


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=8

27 �1 + 9(5)4 3 817 �1 + 94 (0) 3 = 12.70

8

27 = 12.40

Calcular la longitud de arco de la siguiente curva 8 2 = 27 3, en los puntos A1,23 y B 8, 83

Despejo y

3 = 8 227 = 8 227 13

=13

8 227 −23 8 227

=13

8 227

−2316

27

= 1 + 1681 8 227 −232 = 1 + 1681 28 227 −232 = 1 + 2566561 28 227 −43


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= 1 + 256 26561 (8 2)43(27 )43

= 1 + 256 26561 [8 2]4381 = 1 + 256 2104976 8381 =

1 + 20736 2104976 83

= 1 + 1681 −23 = 1 + 1681 23 =

81 23 + 16

81

23 = 81 32 + 16

9

13

= 81 23 + 16 = 54 −13 = 5413

=19

154

54 8 32 + 161/2

=1

486 12 = 1486 3232 = 1486�23 32 = 21458 32 = 21458 (81) 2 + 16 3

81

=2

1458 (81 ) (8)2 + 16 3 21458 (81 ) (1)2 + 16 3 = 19.35


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3.3 Cálcul o de volúm enes de sól idos de revolución.

Definición: El volumen de un sólido con área transversal conocida e integrable A(x ) desde x = a hasta x = b , es:

Comúnmente a esta integración se le denomina “método de las rebanadas”.

Si una gráfica de una función continua f(x) en el intervalo [a,b] se hace girar

sobre el eje x , a la superficie bajo la curva se le denomina “área generatriz”, a lasuperficie delimitada por f(x) al girar se le llama “superficie de revolución” y alvolumen delimitado por la superficie de revolución se le llama “sólido derevolución”. La rotación no necesariamente se debe de efectuar sobre el eje x ,pero sin pérdida de generalidad el eje siempre se puede ubicar en esa posición.Volumen de un sólido de revolución (método de los discos):El volumen de un sólido generado alrededor del eje x la región bajo la curva de f(x)en el intervalo [a,b] en que f(x) es continua es:


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El “disco” señalado en azul en la figura tiene radio f(x) de ahí empleando el áreadel círculo se obtiene la expresión previa.

Si el volumen se genera por una superficie entre curvas, se generaliza el métodode los discos y se le denomina método de las arandelas , en este caso si f(x)≥g(x)en [a,b] limitan la superficie, se tiene:

Volumen de un sólido de revolución (método de los tubos o casquillos cilíndricos):

El sólido de revolución generado por una función f(x) que gira alrededor del eje y ,limitado por las rectas x = a y x = b , el eje x y la gráfica de f(x) , tiene un volumen:


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En la figura se observa –en azul– un tubo típico de radio x, espesor dx y alturaf(x), que puede ser convertido en una lámina rectangular de superficie 2πxf(x ) yespesor dx .

3.4 Cálculo de centroides.

Cuando una placa sólida es de espesor constante y homogéneo, su masa esdirectamente proporcional a su área, en donde la proporcionalidad depende delespesor de la placa y la densidad del material.

Definición: Las coordenadas del centro de masa de una placa plana delimitada porla superficie A, se definen como:


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En donde la A bajo las integrales implica que éstas se realizan para toda lasuperficie, ym y xm corresponde con el punto medio del elemento dA .Cuando A está delimitada por f(x) y g(x) , y f(x)>g(x) en [a,b] :

y

Debido al principio físico de la palanca, se define el momento o torque t de unafuerza respecto de un punto, como el producto de la magnitud de la fuerza y ladistancia de la fuerza al punto, t = Fs . Por otro lado, si consideras una placa planade cualquier material y la cortaras en pequeños rectángulos de masa dm , cadauno de ellos respecto de un eje elegido provocará un pequeño momento dt =sdm , de donde el momento total será:

en donde se indica que la integral se realiza sobre toda el área. En particular si losejes seleccionados son el x o el y , y además el material de la placa eshomogéneo, la masa es proporcional al área y los momentos se puedes expresaren función de las coordenadas y y x respectivamente. Así el momento total sobreel eje x e y son respectivamente:


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¿Existirá algún valor de x en el que se pueda concentrar toda la masa de la placay provoque el mismo momento total? ¿Se podrá dar una condición similar en y?Supóngase que esos valores existen y son:

O finalmente:

Estas coordenadas encontradas definen el centroide de la superficie o centro degravedad de la placa .

3.5 Otras aplicaciones.

Área de una superficie de revoluciónPartiendo de la longitud del arco y el método de tubos de altura diferencial dL setiene:

Definición: Si la funciónf(x)≥0 es suave en [a,b] , el área de la superficie generada

al girar la curva de f(x) alrededor del eje x es:

Definición: Si la funcióng(y) ≥0 es suave en [c,d] , el área de la superficie generadaal girar la curva de g(y) alrededor del eje y es:

Momentos de InerciaEn el contexto de la Dinámica de los cuerpos rígidos, la inercia es una medida dela resistencia que opone un cuerpo a que se produzca un cambio en su estado de


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reposo o de movimiento. A mayor inercia mayor es la resistencia al cambio, de talforma que si se aplica la misma fuerza a dos cuerpos, el de mayor inercia sufrirá elmenor cambio en su estado de movimiento, o “reaccionará en forma más lenta”.Para el movimiento de translación la inercia es equivalente a la masa, pero para elmovimiento de rotación depende de “momentos de inercia”.

En el caso de un sólido “plano”, el momento de inercia se mide respecto del puntoen que se coloca el eje de rotación –cualquiera que se quiera– y se define para unpunto de materia como I = r 2 m , donde r es la distancia del punto materia hasta eleje de rotación.Para poder considerar un cuerpo completo se tendrá que dI = r 2 dm o finalmente:

En donde nuevamente r es la distancia entre cada elemento diferencial de masa y

el punto p (el eje de rotación), la integral se hace sobre todo el cuerpo de masa M,z identifica que el cuerpo se pretende hacer girar sobre un eje perpendicular a lasuperficie y que pasa por p . Si el cuerpo es homogéneo el peso se distribuyeigualitariamente a lo largo del cuerpo y la masa dependerá del volumen y sudensidad específica, a su vez si el cuerpo es de espesor constante t, el volumendepender de t y del área, por lo que finalmente se puede escribir:

En donde r se sustituyó con respecto al teorema de Pitágoras. Resolviendo lasintegrales adecuadamente podrás comparar en donde conviene colocar el ejesobre un cuerpo que va a girar.


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Unidad IV

Series

4.1 Definición de serie.

4.1.1 Finita.4.1.2 Infinita.4.2 Serie numérica y convergencia.4.3 Serie de potencias.4.4 Radio de convergencia.4.5 Serie de Taylor.4.6 Representación de funciones mediante la serie de Taylor.

Objetivo

Identificar series finitas e infinitas en distintos contextosDeterminar la convergencia de una serie infinita.Usar el teorema de Taylor para representar una función en serie de potencias yaplicar esta representación para calcular la integral de la función.

4.1 Definición de serie.

En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión.Se representa una serie con términos a i como, donde N es el índice final de laserie.

4.1.1 Finita.

Cuando N es finita, hace referencia a una serie finita.

4.1.2 Infinita.

Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos losnúmeros naturales.


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4.2 Serie numérica y convergencia.

4.3 Serie de potencias.Una serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma:

Una serie de potencias alrededor de x=c es una serie de la forma:

En el cual el centro es c, y los coeficientes a n son los términos de unasucesión.

4.4 Radio de convergencia.

Si nos limitamos al conjunto de los números reales, una serie de la forma


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Con , recibe el nombre de serie de potencias centrada en x 0. Laserie converge absolutamente para un conjunto de valores de x que verifica que

| x − x 0 | < r

donde r es un número real llamado radio de convergencia de la serie. Estaconverge, pues, al menos, para los valores de x pertenecientes al intervalo(x 0 − r , x 0 + r ), ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarseaparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semiabiertoo cerrado. Si la serie converge solo para x 0, r = 0 . Si lo hace para cualquier valorde x , r =

4.5 Serie de Taylor.

En matemáticas, una serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable(real o compleja) definida en un intervalo abierto ( a-r, a+r ) se define como lasiguiente suma:

La función exponencial (en azul), y la suma de los primeros n+1 términos de suserie de Taylor en torno a cero (en rojo).

Aquí, n ! es el factorial de n y f (n)(a ) indica la n-ésima derivada de f en el punto a .

Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo ( a-r, a+r ) y la suma esigual a f (x), entonces la función f (x) se llama analítica . Para comprobar si la serieconverge a f (x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor.Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie depotencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados enla fórmula de la serie de Taylor.

Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin .


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4.6 Representación de func iones mediante la serie de Taylor .

A continuación se enumeran algunas series de Taylor de funciones básicas. Todoslos desarrollos son también válidos para valores complejos de x .

Función exponencial y logaritmo natural

Serie geométrica

Teorema del binomio

para

y cualquier complejo

Funciones trigonométricas

Donde B s son los Números de Bernoulli.


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ReferenciasJames – Stewart Cálculo de una variable. Edit. Thomson Editores.Swokowski Earl W. Cálculo con Geometría Analítica. Grupo Editorial Iberoamérica.

Roland E. Hostetler Robert P. Cálculo y Geometría Analítica Edit. McGraw Hill.Zill Dennis G. Cálculo con Geometría Analítica. Grupo Editorial IberoaméricaEdwards Jr. C. H. y Penney David E. Cálculo y Geometría Analítica. Edit. PrenticeHall.Fraleigh John B. Cálculo con Geometría Analítica. Edit. Addison- Wesley.

Anton Howard. Cálculo con Geometría Analítica Edit. Wiley.Cuadernillo de ejercicios, Telésforo Zamorano Soriano http://www2.uca.es/facultad/innova-empresariales/bego/matonline/int-impropias.html

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http://portales.educared.net/wikiEducared/index.php?title=Propiedades_de_la_integral_definida "
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3,4 CALCULO DIFERENCIAL

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