Unidad 3: Hidrodinámica

SUBTEMA 3.3 ECUACIÓN DE BERNOULLI

Investigar en diversas fuentes como deducir las ecuaciones de energía aplicándola en el análisis de la ecuación de Bernoulli para un volumen de control.

El principio de Bernoulli, también denominado ecuación de Bernoulli o Trinomio de Bernoulli, describe el comportamiento de un fluido moviéndose a lo largo de una línea de corriente y expresa que en un fluido ideal (sin viscosidad ni rozamiento) en régimen de circulación por un conducto cerrado, la energía que posee el fluido permanece constante a lo largo de su recorrido. La energía de un fluido en cualquier momento consta de tres componentes:

1. Cinética: es la energía debida a la velocidad que posea el fluido.2. Potencial gravitacional: es la energía debido a la altitud que un fluido posea.

3. Energía de flujo: es la energía que un fluido contiene debido a la presión que posee.

La siguiente ecuación conocida como "Ecuación de Bernoulli" (Trinomio de Bernoulli) consta de estos mismos términos.

Dónde:

= velocidad del fluido en la sección considerada. = densidad del fluido.

= presión a lo largo de la línea de corriente.

= aceleración gravitatoria

= altura en la dirección de la gravedad desde una cota de referencia.

Ecuación de Bernoulli

= } expresada en alturas

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z= altura geodésica = ; e2 =

= altura de presión =

En un fluido ideal no hay viscosidad ni rozamiento ni, por tanto, transformación de energía hidráulica ene energía térmica. Además en régimen permanente la trayectoria de una partícula de fluido coincide con una línea de corriente. Si además esta partícula de fluido no recibe energía de una máquina (bomba) ni tampoco cede energía a una máquina (turbina), en el tránsito de la partícula de un punto 1 a otro punto 2 de una línea de corriente la energía podrá transformarse de una clase a otra, pero según el principio de conservación de la energía la suma total de la energía que posee la partícula debe de permanecer constante. Considerando energías específicas esta suma en un fluido ideal e incompresible

se compone de energía geodésica, zg; energía de presión, p/ y energía de

velocidad, v2/2. La suma de estas tres energías debe pues permanecer constante.

1 g =

(1 y 2 en la misma línea de corriente, fluido ideal)

Nótese, sin embargo, que aun en un fluido ideal sin pérdidas, y sin adición ni cesión de energía, no se opone al principio de conservación de la energía el que partículas situadas en líneas de corriente diversas puedan transportar diversa cantidad de energía. Por tanto en un fluido ideal es posible que, siendo verdad porque 1 y 2 están en la misma línea de corriente no sea verdad que

1 g = porque 1 y 3 están en distinta de corriente

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El principio de Bernoulli es una consecuencia de la conservación de la energía en los líquidos en movimiento. Establece que en un líquido incompresible y no viscoso, la suma de la presión hidrostática, la energía cinética por unidad de volumen y la energía potencial gravitatoria por unidad de volumen, es constante a lo largo de todo el circuito. Es decir, que dicha magnitud toma el mismo valor en cualquier par de puntos del circuito. Su expresión matemática es:

Donde es la presión hidrostática, la densidad, la aceleración de la gravedad, la altura del punto y la velocidad del fluido en ese punto. Los subíndices 1 y 2

se refieren a los dos puntos del circuito.

La otra ecuación que cumplen los fluidos no compresibles es la ecuación de continuidad, que establece que el caudal es constante a lo largo de todo el circuito hidráulico:

Donde es el área de la sección del conducto por donde circula el fluido y su velocidad media.

Este teorema puede ser considerado como la ecuación fundamental de la hidrodinámica. Constituye una aplicación del principio de conservación de la energía.

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Considérese el tubo de líquido de la figura. Sean ∆S1 y ∆S2 las áreas correspondientes a las secciones AB y CD. Después de un tiempo ∆ t las partículas de fluido de la región ABCD pasan a ocupar la región A´B´C´D. Siendo el fluido incompresible, esas dos regiones son iguales, por lo que en definitiva, habiendo permanecido invariable la región A´B´CD, lo que ha ocurrido equivale a transportar la masa de fluido de la región ABA´B´ a la región CDC´D´, debiendo ser asimismo iguales, por la incompresibilidad del fluido, estas dos regiones.

En dinámica vimos que el trabajo absorbido o realizado por un sistema se traduce en la variación de su energía cinética y potencial, es decir: ∆W = ∆Ec + ∆Ep. Vamos a aplicar esta ecuación a la masa de fluido contenida, inicialmente, en la región ABA´B´.

El trabajo de las fuerzas de presión hidrostática es:

∆W = (p1 ∆S1) (p2 ∆S2) CC´

Es decir, la diferencia entre el trabajo (fuerza por espacio) absorbido por esa masa de fluido y el realizado por la misma. Ahora bien, como dijimos, los volúmenes de las regiones ABA´B´B y CDC´C´D son iguales, por lo que deberá ser:

∆V = ∆S1 AA´ = ∆S2 CC´

De donde, ∆W = (p1 p2) ∆V

Si la densidad del líquido es y si v1 y v2 son las velocidades en AB y CD, la

variación de la energía cinética de la masa de fluido que estamos considerando será:

∆Ec = ∆V (v22 v1

2)

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Y la de su energía potencial:

∆Ep = ∆V (z2 z1)

Haciendo ∆W = ∆Ec + ∆Ep y simplificando el factor ∆V, llegamos a:

p1 p2= (v22 v1

2) + (z2 z1)

Que puede escribirse en la forma:

p1 v12 z1 = p2 v2

2 z2 = cte

Ésta es la ecuación fundamental de la hidrodinámica, que se reduce a la de la hidrostática si v1 = v2 = 0.

BIBLIOGRAFÍA

http://mit.ocw.universia.net/1.061/f01/pdf/CONSERVE.pdf

http://webserver.dmt.upm.es/~isidoro/bk3/c05/Termodinamica%20del%20volumen%20de%20control.pdf

MECÁNICA DE LUIDOS Y MÁQUINAS HIDRÁULICAS.

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