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1Anlisis de sistemas en el dominio de la frecuencia3.3Como responden los sistemas ante entradas de distinta velocidad de cambio cualquier tipo de entrada?Definir y graficar la respuesta en frecuenciaAnalizar el comportamiento dinmico de un sistema desde el punto de vista de la frecuenciaComo usar la respuesta en frecuencia para analizar la estabilidad; medidas de robustez: margen de ganancia, margen de fasePALABRAS CLAVE Y TEMASRespuesta en frecuenciaPico y frecuencia de resonanciaAncho de bandaDiagramas de Bodecompetencias

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2Dominio de la frecuenciaEl estudio en el dominio de la frecuencia permite ver y analizar los sistemas de control desde otra perspectiva. Muchos aspectos se ven mas fcilmente desde el dominio de la frecuencia.

2

3Seales sinusoidales

Alta frecuencia: cambio rpidoBaja frecuencia: cambio lento

Tu = A sen(t)

donde

frecuencia

3

4Respuesta en frecuenciaG(s)

Y(s)U(s)

La respuesta en estado de rgimen permanente ante una entrada sinusoidalNos centraremos en el estado estacionario

La salida en rgimen permanente (despus de pasar el transitorio) tambin es sinusoidal de igual frecuencia que la entrada pero con diferente amplitud y desfasada

Sistema lineal estable(1/3)

4

5

5

6Respuesta en frecuencia

Amplitud de la salida:

ngulo de fase:

La respuesta del sistema oscila con la misma frecuencia que la sinusoide de entrada pero atenuada por un factor |G(j)| y desfasada un ngulo = arg(G(j)) que dependen de G(s)

Y(s)U(s)(2/3)

6

7

Ejemplo

Para una entrada

donde

Transitorio

Permanentey(t)

u(t)

Desfase

7

8

USO DE SIMULINK

9

transitorio

estacionario

transitorioestacionario

10Respuesta en frecuenciaLos valores de la atenuacin |G(j)| y el desfase = arg(G(j)) que introduce un sistema lineal dependen solo de G(s) y pueden representarse en funcin de la frecuencia en diversos tipos de diagramas sin ms que sustituir la variable s por j en G(s) y calcular el mdulo y el argumento del complejo G(j) resultante

(3/3)

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11Representaciones de la respuesta frecuencial Diagrama logartmico (diagrama de Bode) (1945) 2 curvas en funcin de la frecuencia en escala logartmica: 1. relacin de amplitudes |G(j)| [dB] 2. ngulo de fase () []

Diagrama polar (diagrama de Nyquist) (1932) diagrama de la amplitud de G(j) en funcin del ngulo de fase de G(j) en coordenadas polares al variar desde cero a infinito

Diagrama magnitud fase (diagrama Nichols) diagrama del logaritmo del mdulo en funcin de la fase para un rango de frecuencias de inters

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12ESTABILIDAD RELATIVAEs una propiedad por el cual se mide los tiempos relativos de estabilizacin de cada raz o par de races los cuales se miden por especificaciones o parmetros

13Especificaciones en dominio de la frecuencia

14 1.-Margen de ganancia:

Es la cantidad de ganancia que se puedeaadir a la F.T. en lazo abierto antes queel sistema en lazo cerrado se vuelva inestable.Se determina con la siguiente relacin:

W: Es la frecuencia a la cual el argumento es igual a -180.(Frecuencia de cruce de fase)

152.- Margen de Fase:

Es la cantidad en ngulo que se puede aadir a laF.T. en Lazo Abierto antes que el sistema en lazocerrado se vuelva inestable y se determina:

W1 se determina a partir de la condicin:(Frecuencia de cruce de ganancia)

163.-Frecuencia de resonancia(Wr) y Mximo Pico de resonancia (Mr) Frecuencia de Resonancia (Wr):Es la frecuencia a la cual ocurre el mximo pico de resonancia.Mximo pico de resonancia (Mr) Es valor mximo de la magnitud de la respuesta en frecuencia de la F.T. en lazo cerrado (Mr esta comprendido entre 1.1 hasta 1.5 en un sistema estable)

174.-Ancho de Banda (AB):

Es la frecuencia en la cual el modulo cae a 70.7% de su valor mximo o tambien se puede decir 3 decibelios (dB) abajo de su valor de su frecuencia cero.

18EJERCICIO 1.-Hallar el M.G. y M.F. de la F.T. en lazo abierto:

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20CALCULO GRAFICO

1

21EJERCICIO 2

22

23Mr y Wr para Sistemas de segundo orden

24EJERCICIO 3

25Ejercicio 4

26ANALISIS DE BODELa representacin de Bode consiste en 2 graficas de magnitud y argumento en funcin de la frecuencia. (De la F. T en lazo abierto G(j)H(j) ). La escala de magnitud o mdulo es lineal y el eje de frecuencias es escala logartmica.

27Diagrama de Bode: escala logartmica

(rad/s)

10 010 1102103

dcadaMultiplicar por 10 la frecuencia supone subir una dcadaLa representacin logartmica presenta las caractersticas de alta y baja frecuencia de la funcin de transferencia en un solo diagrama

Dcada: separacin existente entre dos potencias consecutivas del mismo nmero

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28Diagrama de Bode: decibelios

20log|G(j)| [dB]

2010 0-10-20Multiplicar o dividir por 10 a |G(j)| supone sumar o restar 20 dB a |G(j)| (la multiplicacin de amplitudes se convierte en suma)

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Diagrama de BodeConsta de 2 trazados representados en funcin de la frecuencia en escala logartmicaDiagrama del logaritmo del mdulo de una funcin sinusoidalDiagrama del ngulo de fasearg(G(j)) [] en grados20log|G(j)| [dB] (en decibelios) en escalalogartmicaMatlab:bode(n,d)dB = 20log | . |

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30Por qu diagramas logartmicos?Considerando la siguiente funcin de transferencia:

La magnitud de la respuesta en frecuencia es el producto de la magnitud de las respuestas en frecuencia de cada trmino:

Resulta que trabajando con el logaritmo de la magnitud, el proceso se simplifica puesto que la magnitud de las respuestas de los trminos de ceros se sumaran y la magnitud de las respuestas de los trminos de polo se restaran.(1/2)

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31Por qu diagramas logartmicos?

En decibelios, el diagrama de |G(j)| puede obtenerse por superposicin de los diagramas de trminos elementales correspondientes a cada polo, cero, ganancia y retardo.

(2/2)

31

32Factores bsicosLos factores bsicos que se producen frecuentemente en una funcin arbitraria G(j) son:Ganancia K

Factores integrales y derivativos

Factores de primer orden

Factores cuadrticos

La respuesta en frecuencia del sistema puede obtenerse por superposicin de los diagramas de los trminos elementales que componen la funcin de transferencia.

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33Bode real y asinttico(1)El diagrama de Bode asinttico es una aproximacin en base a lneas rectas tanto de la magnitud como de la fase.El diagrama de Bode real es el dibujo exacto.

A mano es ms sencillo y rpido dibujar el Bode asinttico.

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34El diagrama de Bode se puede dibujar tanto del sistema en lazo abierto como en lazo cerrado.Para disear compensadores usamos el sistema en lazo abierto.Para calcular el ancho de banda, normalmente se usa el sistema en lazo cerrado.Bode real y asinttico(2)

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35FORMA DE BODE PARA TRAZOS ASINTOTICOS

36Bode: respuesta de una constante (ganancia)

El Bode de una constante son lneas rectas

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37Bode de una constante positiva

37

38Bode de una constante negativa

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39Bode: respuesta de un polo en el origen (integrador)

Pendiente = -20 dB/dcada

La curva de la magnitud logartmica es una recta con una pendiente de 20 dB/dcada que pasa por cero dB en =1.La grfica de fase es igual a una constante de 90.

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40

Bode: respuesta de un polo mltiple en el origen (integrador)

Pendiente = -20n dB/dcada

La curva de la magnitud logartmica es una recta con una pendiente de 20n dB/dcada que pasa por cero dB en =1.La grfica de fase es igual a una constante de n90.

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Bode: respuesta de un cero mltiple en el origen

Pendiente = 20n dB/dcada

La curva de la magnitud logartmica es una recta con una pendiente de 20n dB/dcada que pasa por cero dB en =1.La grfica de fase es igual a una constante de n90.

OJO!

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42Grados en en funcion a nSi tenemos 1 cero la fase ser 90Si tenemos 2 ceros la fase ser 180Si tenemos 3 ceros la fase ser 270=-90Si tenemos 4 ceros la fase ser 360=0Si tenemos 5 ceros la fase ser 90Esto sucede por un tema numrico de Matlab y normalmente slo pasa cuando la funcin de transferencia de la que se dibuja el Bode tiene el grado del numerador mayor que el del denominador

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43

43

44Bode: respuesta de un polo simple

Cuando /p=1 la aproximacin de alta frecuencia es igual a la aproximacin de baja frecuencia y tambin =-45/p=1 = frecuencia de corte (de transicin)Cuando /p=10, el log de la amplitud es de 20 dB (1/3)

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45Bode: respuesta de un polo simplec= /p=1 = frecuencia de corte: la frecuencia a la que se encuentran las dos asntotasLa frecuencia de corte divide la curva de la respuesta de frecuencia en dos regiones: una curva (lnea de 0 dB) para la regin de baja frecuencia (0 /p1 ) y una curva (lnea recta con pendiente 20 dB/dcada) para la regin de alta frecuencia (1< /p1 el factor cuadrtico se puede expresar como un producto de dos de primer orden con polos reales)donde

(1/8)

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68Bode: polos complejos conjugados

Para bajas frecuencias tales que

La asntota de baja frecuencia es una lnea horizontal a 0 db.Para frecuencias elevadas tales que

La asntota de alta frecuencia es una lnea recta con pendiente de 40 db/dcada que pasa por 0 dB cuando =n

Frecuencia de corte para el factor cuadrticoLas asntotas son independientes del valor de (2/8)

68

69Bode: polos complejos conjugados Presenta un mximo la magnitud 20log|G(j)| ?

Cuando

existir un mximo en |G(j)| conocido como pico de resonancia Mr cuando

frecuencia de resonancia

(3/8)

69

70Bode: polos complejos conjugados

Cuando

resulta que Para

(si el sistema no amortiguado es excitado a su frecuencia natural, la magnitud de |G(j)| se hace infinita)Si

(4/8)

70

71Bode: polos complejos conjugadosEl ngulo de fase de G(j):

El ngulo de fase depende tanto de como de

En la frecuencia de transicin el ngulo es 90 independientemente de En la frecuencia en que se produce el pico de resonancia =r:

(5/8)

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72Bode: polos complejos conjugadosCaso < 0.707 (caso con resonancia)

Ejemplo para n=1 y =0.1

Asntotas

RealPico de resonancia

20logMr

r frecuencia de resonancia

n frecuencia de corte

-90/dec-40dB/dec0.1 n10 n

La amplitud de la salida se ve amplificada a ciertas frecuencias y es mxima para r,, creciendo inversamente con

(6/8)

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73Resonancia

En la resonancia la amplitud de la oscilacin es muy grande.Si un sistema mecnico entra en resonancia puede ocurrir que se destruya.Puente

antesdurante su destruccin (7.11.1940)

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74Bode: polos complejos conjugadosCaso > 0.707 (caso sin resonancia)Sin resonancia, la atenuacin es montonamente decreciente, con pendiente -40dB por dcada para frecuencias superiores a n

Ejemplo para n=1 y =0.8

n frecuencia de corte

-40dB/dec-90/dec

Asntotas

Real(7/8)

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75Bode: polos complejos conjugadosComparacin de la respuesta en frecuencia cuando se modifica el parmetro ()

Respuesta del logaritmo de la magnitud normalizada y escalada(8/8)

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76Bode: ceros complejos conjugados

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77Bode: ejercicio1

R(s)+-Y(s)

Se pide obtener el diagrama de Bode asinttico y determinar, M.G y M.FForma de Bode:

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20log2=6 dB

1/jw

5

-20db/dec-40db/dec-60db/dec

M.F=21M.G.=8dB

W 1=1.08W =2.4

n=[0 0 0 10 ];d=[1 6 5 0 ];Bode(n,d);grid[mg mf wpi w1 ]=margin(n,d)Gbod=20*log10(mg)

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83Bode: ejercicio2

R(s)+-Y(s)

Se pide obtener el diagrama de Bode para el lazo cerrado y tambin el pico de resonancia, la frecuencia de resonancia y el ancho de banda.

Pico_resonancia =5.2388Frec_resonancia = 0.7906ancho_banda = 1.2649

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84numg=[0 0 0 1];deng=[0.5 1.5 1 0];G=tf(numg,deng);T=feedback(G,1);w=logspace(-1,1);bode(T,w); grid[mag,fase,w]=bode(T,w);[Mr,i]=max(mag);M_r=20*log10(Mr)Wr=w(i)% Calcular el ancho de bandan=1;while 20*log10(mag(n))>=-3; n=n+1;endancho_banda=w(n)