María del Consuelo Valle Espinosa

Instituto Tecnológico Superior de

Zacapoaxtla

Departamento de Desarrollo

Académico

La probabilidad suministra las reglas apropiadas para

cuantificar la incertidumbre y constituye la base para

la estadística inferencial.

Como regla general para realizar inferencia válidas

sobre una población a partir de una muestra se

necesita conocer la probabilidad de que ocurran

ciertos sucesos bajo distintas circunstancias.

La determinación de la verosimilitud, o la posibilidad,

de que ocurra un sucesos es el objetivo de la

probabilidad.

El termino probabilidad se utiliza habitualmente en

relación con la posibilidad de que ocurra un

determinado suceso cuando se lleva a cabo un

experimento.

Un experimento será cualquier proceso del que se

deduzca una observación, o un resultado.

El conjunto de todos los posibles resultados de un

experimento se denomina espacio muestral, que

denotaremos como S.

Cualquier conjunto de resultados de un experimento se

denomina suceso. Se denotarán con letras mayúsculas A,

B, C, etc.

Hay dos formas de calcular o estimar la probabilidad.

El enfoque clásico o "a priori« proveniente de los juegos de

azar o definición clásica de Laplace que se emplea cuando

los espacios muestrales son finitos y tienen resultados

igualmente probables.

La definición empírica, "a posteriori" o frecuencial que se

basa en la frecuencia relativa de ocurrencia de un evento con

respecto a un gran número de ensayos repetidos.

Las definiciones anteriores son netamente empíricas o

experimentales, sin embargo después de establecer una

forma de determinar la probabilidad experimentalmente, se

pueden deducir leyes o propiedades de la probabilidad en

forma lógica o computacional bajo ciertas suposiciones

llamados axiomas de la probabilidad.

DEFINICIÓN AXIÓMATICA DE KOLMOGOROV:

La probabilidad de un suceso A se define como el

número P(A), tal que cumple con los siguientes axiomas:

AXIOMA 1:

La probabilidad P(A) de cualquier suceso no debe ser menor que

cero ni mayor que uno:

0 < P(A) < 1

AXIOMA 2:

P(S) = 1

AXIOMA 3:

Si A y B son dos sucesos mutuamente excluyentes (no pueden

ocurrir simultáneamente) entonces:

P (A U B) = P(A) + P(B)

Cuando todos los resultados del espacio muestral de un

experimento son igualmente probables, un elemento

seleccionado de ese espacio muestral se dice que ha

sido seleccionado aleatoriamente.

Dos sucesos son independientes si la probabilidad de

que uno de ellos ocurra no se ve afectada por la

información de que el otro haya ocurrido.

Los sucesos A y B son independientes si:

P(B) P(A) B) P(A

Como se ha dicho las probabilidades se calculan contando el

número de resultados diferentes que caen dentro de un suceso

determinado. La clave para que esto se haga de manera efectiva

es utilizar la regla conocida como principio básico de recuento.

Principio básico de recuento

Supongamos que un experimento consta de dos partes. Si en

la parte 1 se pueden obtener n posibles resultados y si, por

cada resultado de la parte 1, existen m resultados posibles de

la parte 2, el número total de resultados posibles del

experimento es nm.

Principio básico de recuento generalizado

Supongamos que un experimento consta de r partes.

Si en la parte 1 se pueden obtener n1 posibles resultados y si,

por cada resultado de la parte 1, existen n2 resultados

posibles de la parte 2 y si, por cada resultado de la parte 2,

existen n3 resultados posibles de la parte 3, y así

sucesivamente. En estas condiciones, existen un total de

resultados posibles del experimento.

rnnn

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Como aplicación del principio generalizado,

supongamos que se quiere determinar el número de

formas en las que se quiere colocar n objetos, entonces

existen n elecciones para el para el primer lugar, (n-1)

para el segundo, (n-2) para el tercero y así, por último

existe una elección posible para el último lugar. El

total de resultados posibles será:

Cada una de estas colocaciones determina una

permutación.

123)2()1(! nnnn

Supongamos ahora que se está interesado en determinar el

número de grupos diferentes de tamaño r que se pueden extraer de

un conjunto de n elementos.

Existen n posibilidades para la primera elección, (n-1) para la

segunda, (n-2) para la tercera y así sucesivamente , por lo que se

tiene

posibles elecciones, cuando el orden de elección se considera

importante.

Sin embargo, en este conjunto de elecciones ordenadas cada grupo

de r elementos aparece r! veces. En consecuencia, el número de

grupos diferentes de tamaño r que se pueden formar de un

conjunto de n elementos cuando el orden es irrelevante es:

)1()2()1()!(

!rnnnn

rn

n

!

)1()2()1(

r

rnnnn

r

n

Referencia:

INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA

ROSS, SHELDON M. Editorial REVERTE

ISBN: 978-84-291-5039-1