21

3. SISTEMAS DE REFERENCIA

3.1. INTRODUCCIÓN A LA TRANSFORMACIÓN QD0

En 1929 R. H. Park introdujo un cambio de sistema de referencia que

reemplazaba las variables asociadas al estátor por otras variables asociadas con

arrollamientos ficticios asociados al rótor, revolucionando el análisis de las máquinas

eléctricas. Esta transformación tiene la característica de que elimina todas las

inductancias dependientes del tiempo de las ecuaciones de tensión de la máquina

síncrona originadas bien por movimiento relativo de los circuitos eléctricos, bien por

circuitos eléctricos con reluctancia magnética variable.

En 1938 H. C. Stanley empleó un cambio de sistema de referencia para el

análisis de la máquina de inducción, mostrando que las inductancias dependientes del

tiempo debidas al movimiento relativo de los circuitos eléctricos podían ser eliminadas

de las ecuaciones de tensión mediante la trasformación de las variables asociadas a los

arrollamientos del rótor a unas variables asociadas a unos arrollamientos estacionarios

ficticios.

En 1951 G. Kron usó un cambio de sistema de referencia que eliminaba las

inductancias dependientes del tiempo de una máquina de inducción simétrica mediante

la transformación de las variables asociadas a los arrollamientos tanto del estátor como

del rótor a unos arrollamientos ficticios que girarían solidariamente al campo magnético

rotativo.

En 1957 D.S. Brereton empleó el cambio de sistema de referencia apuntado por

Park en 1929 pero aplicándolo a la máquina de inducción, consiguiendo también

eliminar las inductancias dependientes del tiempo.

Durante unos años se emplearon estos cambios de sistemas de referencia como

si fuesen diferentes unos de otros, hasta que en 1965 P. C. Krause y C. H. Thomas se

dieron cuenta de que todos estos cambios eran casos particulares de un cambio que

elimina las inductancias variables mediante la trasformación de las variables del rótor y

el estátor a un sistema de referencia común que giraría a una velocidad indeterminada,

incluyendo el caso de que dicha velocidad fuera nula, esta transformación es la llamada

transformación qd0.

Por tanto, la transformación qd0 es un tipo de cambio de variables para convertir

un sistema trifásico, sea o no equilibrado, a un nuevo sistema de referencia formado por

dos ejes perpendiculares entre sí, que pueden ser giratorios en el espacio, más una

tercera variable que contiene el promedio de los valores de las tres fases. Esta idea tan

simple conducirá a referir de una forma muy sencilla a referir las variables o magnitudes

asociadas a los devanados del rótor y del estátor a una referencia común que, según

cómo sea elegida, se verá que tiene distintas propiedades.

Este tipo de transformación tiene más aplicaciones aparte de la utilización en el

planteamiento de las ecuaciones de maquinas eléctricas y su simulación por ordenador,

como puede ser el análisis de la influencia de armónicos en una red o su estabilidad y el

análisis de transitorios en la misma. Aún así, este proyecto se va a centrar solamente en

3 Sistemas de referencia

22

la máquina de inducción y, dadas las simplificaciones que introduce a la hora de

plantear el sistema de ecuaciones diferenciales, conviene introducir el concepto de la

transformación y su aplicación a las variables eléctricas.

3.2. LA TRANSFORMACIÓN QD0

Supóngase cualesquiera tres variables función del tiempo, representadas por tres

ejes en un plano desplazados 2 3 rad entre ellos y, por el momento, se considerará que

dichos ejes están fijos en el espacio. La principal idea de la transformación qd0 es

convertir los valores de las variables dependientes del tiempo a unas nuevas variables

ubicadas sobre dos ejes de un nuevo sistema de referencia (qd) más una tercera variable

(0) que será el promedio de los tres valores. Los dos ejes mencionados serán

ortogonales y nuestro sistema de referencia podrá ser giratorio o fijo.

En la figura 3-1 se aprecian en color negro los tres ejes abc, de momento fijos en

el espacio, donde estarán representadas las tres variables origen, mientras que en color

rojo están representados los ejes ortogonales qd, que giran a una velocidad angular ω

que es, en principio, cualquier función del tiempo. Entre el eje a y el eje q se forma un

ángulo que, al ser el sistema qd giratorio, será función del tiempo. La transformación

qd0, o lo que es lo mismo, de las variables abc en las nuevas variables qd, será la suma

de sus proyecciones ortogonales según los ejes q y d para cada instante dado, más la

tercera variable (0) promedio de los tres valores comentada anteriormente.

a

b

c

d

q

θ

θ0

ω

dt

3-1 Sistemas de referencia abc y qd0

3 Sistemas de referencia

23

En la figura 3-2 se ilustra la transformación de las tres variables mediante la

proyección ortogonal según el eje q.

q

θ

ω

2π/3+θ

2π/3-θ2

cos 3cf

b

2cos -

3f

cosaf

dt

0

bf t

cf t af t

3-2 Proyección sobre eje q de las variables a b y c.

De una manera análoga se realiza la proyección sobre el eje d. En la

transformación a ejes qd que se va a realizar, los resultados sobre dichos ejes se

multiplican por un factor de 2/3. Esta trasformación [1] con este factor resulta bastante

controvertida, ya que la formula de la potencia no es invariante con la trasformación del

sistema abc al sistema qd0, y aunque hay otros posibles factores para la transformación

y otras transformaciones utilizadas, incluyendo la que origina que la formula de la

potencia sea invariante, no es objeto de este proyecto el analizar todas ellas. Así pues,

escogiendo esta transformación por ser la más extendida en la literatura y centrándonos

en el caso referido, la matriz de transformación resultante es:

2 2cos cos cos

3 3

2 2 2

3 3 3

1 1 1

2 2 2

s sen sen sen

K (3-1)

El ángulo girado por el sistema de referencia qd0 en función del tiempo no tiene

ninguna restricción y por tanto puede ser una función del tiempo cualquiera. Este ángulo

se puede expresar en función de la velocidad angular de dicha referencia de la

siguiente manera:

0

(0)

t

t dt (3-2)

Esta matriz de transformación va a permitir realizar el cambio de variables

mediante la siguiente expresión:

0 ·qd s s abcsf K f (3-3)

Donde

3 Sistemas de referencia

24

as

abcs bs

cs

f

f

f

f (3-4)

0

0

qs

qd s ds

s

f

f

f

f (3-5)

Una vez llegado a este punto hay que indicar que la notación utilizada es la

misma que la empleada en [1], de modo que el subíndice s indica que el sistema de

referencia origen es el estacionario. Análogamente, mediante un superíndice, se indica

el sistema al que se realiza la transformación qd0. Cuando se usa un sistema de

referencia general o arbitrario como destino de la transformación no se emplea dicho

superíndice.

En estas ecuaciones las variables , yas bs csf f f pueden ser tanto las tensiones,

como las intensidades, los flujos magnéticos, las cargas eléctricas o cualesquiera

variables asociadas a los componentes eléctricos de cualquier circuito. Los subíndices y

superíndices pueden ser s, e y r, que indican, respectivamente, estacionario (o sea, fijo

en el espacio con ω = 0), síncrono (indica que el sistema qd0 gira a la velocidad de la

red eléctrica), y rotórico (el sistema qd0 gira solidariamente con el rótor, para el caso de

motores). Esta transformación de variables no tiene restricción alguna y por tanto puede

ser aplicada a cualquier tipo de funciones del tiempo y con cualquier tipo de secuencia.

La transformación es reversible y su matriz de transformación inversa resulta ser

la siguiente:

1

cos 1

2 21

3 3

2 21

3 3

s

sen

cos sen

cos sen

K (3-6)

De modo que

1

0·abcs s qd s

f K f (3-7)

Una última consideración a tener en cuenta es que , yas bs csf f f son valores

instantáneos y, por tanto, también lo son sus transformaciones, que han de considerarse

como tales. Para tener una visión más clara de la transformación sólo hay que imaginar

que las variables son los flujos magnéticos instantáneos producidos por las tres bobinas

del estátor de un motor de inducción trifásico de 2 polos.

3 Sistemas de referencia

25

3.3. APLICACIÓN A ELEMENTOS DE UN CIRCUITO ELÉCTRICO

3.3.1. EXPRESIÓN DE LA POTENCIA

La potencia total instantánea en un circuito eléctrico debe ser igual en los dos

sistemas de referencia, ya sea el abc o el qd0. Dicha potencia expresada en variables

abc es:

abcs as as bs bs cs csP v i v i v i (3-8)

Expresando las variables abc en función de las variables qd0 mediante la matriz

de transformación inversa se llega a las siguientes expresiones de potencia por cada una

de las fases:

0 0

0 0

0

cos · cos

2 2 2 2cos · cos

3 3 3 3

2 2cos ·

3 3

as as qs ds s qs ds s

bs bs qs ds s qs ds s

cs cs qs ds s qs

v i v v sen v i i sen i

v i v v sen v i i sen i

v i v v sen v i

0

2 2cos

3 3ds si sen i

(3-9)

Sumando los términos y agrupando:

2 2 2

0

2 2 2

2 2

3 3

2 2

3 3

2 2 2 2cos cos cos  

3 3 3 3

abcs qd s qs qs

ds ds

qs ds ds qs

P P v i cos cos cos

v i sen sen sen

v i v i sen sen sen

0 0

0 0 0 0

2 2cos cos cos

3 3

2 2  º   3

3 3

qs s s qs

ds s s ds s s

v i v i

v i v i sen sen sen v i

(3-10)

y teniendo en cuenta las siguientes relaciones:

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2cos cos cos 0

3 3 3 3

2 2 3 

3 3 2

2 2 3

3 3 2

2 2cos cos cos 0

3 3

2 

3

sen sen sen

cos cos cos

sen sen sen

sen sen

20

3sen

(3-11)

3 Sistemas de referencia

26

se llega a la siguiente ecuación:

0 0 0

3( 2 )

2abcs qd s qs qs ds ds s sP P v i v i v i (3-12)

Por tanto, aunque las formas de onda de las variables dependen de la velocidad

angular , la forma de onda de la potencia total es independiente del sistema de

referencia utilizado, tal y como se ha impuesto al principio de este apartado siendo su

fórmula igual para cada referencia qd0 elegida.

Por otra parte la potencia reactiva instantánea viene dada por la siguiente

ecuación.

1

3abcs as bs cs cs as bs bs cs asQ v v i v v i v v i (3-13)

Otra vez transformando las variables abc por las qd0 mediante la matriz de

trasformación y simplificando

sen1 2 2

sen cos cos3 33

2 2 2 2cos sen cos

3 3 3 3

2 2sen cos sen cos

3 3

sen

abcs ds qs qs dsQ v vi i

(3-14)

y teniendo en cuenta que sen sen cos sen cos

1 2 4 2sen sen

3 3 3sen

3

1 3 3 3

2 23

abcs ds qs qs ds

ds qs qs ds ds qs qs ds

Q v v

v v v

i i

i i i i v

(3-15)

de forma que tampoco depende del sistema de referencia qd0 escogido.

3.3.2. ELEMENTOS RESISTIVOS

En un circuito resistivo trifásico

abcs s abcsv r i (3-16)

y de la ecuación (3-3)

1

0 0( )qd s s s s qd s

v K r K i (3-17)

Lo normal es que las resistencias sean equilibradas, ya sea en líneas de

transmisión, motores eléctricos, e incluso las cargas monofásicas suelen estar repartidas

3 Sistemas de referencia

27

de forma más o menos equilibrada. En ese caso, en el que los elementos diagonales de

la matriz sr son todos iguales y dado que los elementos no diagonales son nulos, la

transformación resulta en la misma matriz sr .

En el caso de que el circuito no fuera simétrico o se considerara una carga

desequilibrada, la transformación conduciría a valores independientes de sólo cuando

el sistema de referencia estuviera fijo al lugar donde se encuentra la descompensación.

3.3.3. ELEMENTOS INDUCTIVOS

En un circuito inductivo trifásico

abcs abcs

d

dtv λ (3-18)

En la ecuación (3-18), la variable abcsλ es el vector de flujos magnéticos de cada

una de las fases a, b y c. Cuando el circuito magnético es lineal se suele expresar los

flujos magnéticos como producto de inductancias por intensidades para la resolución de

circuitos. En este caso, se verá más adelante que es conveniente representar las

ecuaciones directamente en función de los flujos magnéticos.

Transformando la ecuación (3-18):

1

0 0qd s s s qd s

d

dt

v K K λ (3-19)

Desarrollando la derivada del producto:

1 1

0 0 0 qd s s s qd s s s qd s

d d

dt dt

v K K λ K K λ (3-20)

Se puede calcular la derivada de la matriz inversa de la transformación como

1

cos 0

2 2· 0

3 3

2 20

3 3

s

sen

dsen cos

dt

sen cos

K (3-21)

Premultiplicando por sK y utilizando las relaciones dadas en (3-11):

1

0 1 0

· 1 0 0

0 0 0

s s

d

dt

K K (3-22)

Por tanto:

3 Sistemas de referencia

28

 qs ds qs

dv

dt (3-23)

 ds qs ds

dv

dt (3-24)

0 0 s s

dv

dt (3-25)

Estas ecuaciones se convierten en las usuales del sistema abc cuando el sistema

de referencia es estacionario, o sea 0 . Las ecuaciones referidas son independientes

de si el circuito magnético es lineal o no, pero para el caso de que fuera lineal se puede

expresar:

·abcs s abcsλ L i (3-26)

Transformando

1

0 0qd s s s s qd s

λ K L K i (3-27)

Un tipo de matriz de inductancias muy común en equipos trifásicos y

especialmente en motores y generadores es la siguiente:

1 1

2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

ls ms ms ms

s ms ls ms ms

ms ms ls ms

L L L L

L L L L

L L L L

L (3-28)

Donde lsL es la inductancia de dispersión y msL la de magnetización.

Transformando esta matriz y utilizando las relaciones trigonométricas de (3-11) resulta:

1

30 0

2

30 0

2

30 0

2

ls ms

s s s ls ms

ls ms

L L

L L

L L

K L K (3-29)

De aquí se obtiene una conclusión muy importante: si el sistema magnético es

simétrico (elementos diagonales iguales entre sí y elementos no diagonales también

iguales entre sí) no importa a que sistema de referencia se realice la transformación, que

resultará en un nuevo sistema desacoplado.

3 Sistemas de referencia

29

3.3.4. ELEMENTOS CAPACITIVOS

La fórmula que rige el comportamiento de los elementos capacitivos en el

sistema abc es la siguiente:

abcs abcs

d

dti q (3-30)

Donde q es la carga eléctrica almacenada. Transformando análogamente a lo

realizado en los elementos inductivos, resulta lo siguiente.

1

0 0qd s s s qd s

d

dt

i K K q (3-31)

Y desarrollando la diferencial:

1 1

0 0 0 qd s s s qd s s s qd s

d d

dt dt

i K K q K K q (3-32)

La derivada de la matriz de transformación inversa, premultiplicada por la

matriz de transformación está calculada en la ecuación (3-22). Así pues, sustituyendo:

 qs ds qs

di q q

dt (3-33)

 ds qs ds

di q q

dt (3-34)

0 0 s s

di q

dt (3-35)

Estas últimas ecuaciones son validas para cualquier relación entre la tensión y la

carga eléctrica. En el caso concreto de un sistema capacitivo lineal esta relación viene

dada por:

·abcs s abcsq C v (3-36)

Que transformando al sistema de referencia arbitrario conduce a la siguiente

relación:

1

0 0qd s s s s qd s

q K C K v (3-37)

Análogamente a lo descrito para elementos inductivos, cuando el sistema es

capacitivamente simétrico, la transformación de la matriz de capacidades resulta en una

matriz diagonal con los elementos desacoplados.

3.4. TRANSFORMACIÓN ENTRE SISTEMAS DE REFERENCIA

En algunas ocasiones es útil transformar entre distintos sistemas de referencia

qd0. Se verá en este apartado que la transformación es directa y sencilla.

3 Sistemas de referencia

30

Supóngase que se tienen dos sistemas, uno origen, que viene indicado mediante

x y otro destino, indicado mediante y. En este caso:

0 0   ·y x y x

qd s qd sf K f (3-38)

La transformación original era:

0 ·x x

qd s s abcsf K f (3-39)

Que sustituyéndolo en (3-38):

0   · ·y y x

qd s s

x

abcsf K K f (3-40)

Además, se sabe que la transformación al sistema y desde el sistema estacionario

es:

0 ·y y

qd s s abcsf K f (3-41)

Y despejando se obtiene:

1   ( )x y y x

s s

K K K (3-42)

Operando y utilizando relaciones trigonométricas de ángulos desfasados 2 3

se concluye que:

( ) ( ) 0

  ( ) ( ) 0

0 0 1

y x y x

x y

y x y x

cos sen

sen cos

K (3-43)

Además, se cumple:

1( )  ( )x y x y T K K (3-44)

Gráficamente se aprecia la trasformación entre sistemas en la figura 3-3, en la

que se observa como las variables según q y d del sistema de referencia x se

descomponen según los ejes qd del nuevo sistema de referencia y, adicionándose según

estos nuevos ejes para dar lugar a las nuevas variables mediante nueva composición. En

la figura se ha copiado la variable y

dsf con trazo de líneas y puntos con objeto de que

quede más clara la composición con una clara similitud con la representación en el

plano complejo. En cuanto al eje de referencia 0, este no varía entre sistemas de

referencia diferentes, como se aprecia en la matriz de trasformación x yK .

3 Sistemas de referencia

31

θx

ωxθy

θy-θx

θy-θx

y

qsf

ωy

x

qsf

y

dsf

x

dsf

cos

xqs

y

x

f

sen

yds

y

x

f

sen

xqs

y

x

f

cos

yds

y

x

f

3-3 Transformación entre sistemas de referencia.

3.5. TRANSFORMACIÓN DE UN SISTEMA TRIFÁSICO

EQUILIBRADO

Se dispone de un sistema trifásico equilibrado dado por las siguientes

ecuaciones:

·cosas eff f (3-45)

2

·cos3

bs eff f

(3-46)

2

·cos3

cs eff f

(3-47)

Aquí f puede ser una función cualquiera del tiempo, la única condición que

debe cumplir es que sea común a las tres fases. El ángulo de las variables eléctricas, que

no del sistema de referencia síncrono, ya que puede diferir en un desfase, viene dado

por:

0

(0)

t

ef e eft dt (3-48)

3 Sistemas de referencia

32

Realizando la transformación a un sistema de referencia arbitrario y utilizando

las relaciones trigonométricas entre ángulos desplazados 2 3 rad se llega a:

·cosqs eff f (3-49)

·sends eff f (3-50)

0 0sf (3-51)

Lo cual indica que, dado un sistema trifásico equilibrado en la referencia abc, la

transformación a cualquier referencia qd0 es también un sistema equilibrado, salvo que

es bifásico y su componente 0 es nula. Es más, si el sistema de referencia elegido para la

transformación es el síncrono, el resultado de la transformación al variar ef y e de la

misma manera y no diferir más que en el ángulo inicial, es una constante y, por tanto,

las dos funciones e

qsf y e

dsf varían como lo hace f. Además, si se hacen coincidir los

ángulos iniciales del sistema de referencia síncrono y el sistema eléctrico, siendo las

variables abc equilibradas, resulta lo siguiente:

e

qsf f (3-52)

0e

dsf (3-53)

Por tanto la variable q da la amplitud de las ondas del sistema y la variable d

resulta nula, o si se escoge como origen del sistema de referencia el apropiado resultaría

el contrario, de forma que según el eje q sería nula y según el eje d resultaría la amplitud

de las ondas de las variables del sistema abc.

Es importante advertir un detalle. Como se indica dos párrafos atrás, la

transformación de un sistema trifásico equilibrado con amplitud constante al sistema de

referencia qd0 síncrono resulta en dos variables que no dependen ni del tiempo ni del

ángulo eléctrico. Esta propiedad es la responsable de que se pueda diferenciar

claramente en las formas de onda según los ejes q y d los transitorios (desequilibrados y

por tanto variables en la referencia síncrona) de los regímenes permanentes

(equilibrados y por consiguiente constantes en la referencia síncrona).

Otro detalle a considerar es que si se adopta el sistema de referencia estacionario

entonces 0 , y por tanto las formas de onda de las variables según q y d son

exactamente iguales, salvo un desfase, a aquellas del sistema de referencia abc cuando

esté último es equilibrado. Además, como se puede elegir el ángulo inicial del sistema

de referencia, se puede imponer que sea 0 0s . Con lo que la transformación resulta

s

qs asf f y s

dsf es la misma onda retrasada 90º.

En cualquiera de los casos, tal y como viene definido en el apartado 3.3.1 la

forma onda de la potencia es exactamente igual sin importar el sistema de referencia

elegido.

Supóngase ahora otro sistema trifásico equilibrado con un desfase α con respecto

al descrito en las ecuaciones (3-45)-(3-47)

3 Sistemas de referencia

33

·cosas efg g (3-54)

2

·cos3

bs efgg

(3-55)

2

·cos3

cs efgg

(3-56)

Realizando la transformación otra vez al sistema de referencia arbitrario y

utilizando las relaciones trigonométricas entre ángulos desplazados 2 3 rad se llega a:

·cosqs efg g (3-57)

·sends efgg (3-58)

0 0sg (3-59)

lo que muestra comparando con las ecuaciones (3-49) - (3-51), que el desfase entre dos

variables distintas se mantiene al realizar la transformación. Además, si escogemos el

sistema de referencia síncrono y si se hacen coincidir los ángulos iniciales del sistema

de referencia síncrono y el sistema eléctrico resultan los siguientes valores constantes,

considerando por supuesto, régimen permanente equilibrado

·cose

qs gg (3-60)

·sene

ds gg (3-61)

Además de las ecuaciones (3-57) y (3-58) se extrae otra conclusión interesante.

Para cualquier sistema de referencia, y para el régimen equilibrado la suma de los

cuadrados de las componentes q y d es el cuadrado de la amplitud de la variable de

alimentación. Es decir:

2 2 2

qs dsg g g (3-62)

3.5.1. RELACIONES FASORIALES PARA RÉGIMEN PERMANENTE

EQUILIBRADO

Para el régimen permanente equilibrado e es constante, de forma que las

ecuaciones (3-45)-(3-47) se pueden escribir de la siguiente forma

02 cos R0 e 2 ef e

j j t

as s e eff F F et e

(3-63)

20

32 cos R2

e3

20ef

ej j t

bs e efsf F Fet e

(3-64)

3 Sistemas de referencia

34

20

32 cos R2

e3

20ef

ej j t

cs e efsf F Fet e

(3-65)

Si la velocidad del sistema de referencia arbitrario es una constante no

especificada, entonces las ecuaciones para los ejes q y d (3-49) y (3-50) resultan

0 0

2 cos 0 0 Re 2 ef ej j t

qs s e ef sf F t F e e

(3-66)

0 0

2 sen 0 0 Re 2 ef ej j t

qs s e ef sf F t j F e e

(3-67)

De la ecuación (3-63) el fasor que representa a la variable de la variable as será

0efj

as sF F e

(3-68)

Para el caso en el que no sea igual a e entonces qsf y dsf serán variables

senoidales y de las ecuaciones (3-66) y (3-67)

0 0efj

qs sF F e (3-69)

0 0efj

ds qs sF jF jF e (3-70)

Aquí sí tienen sentido frecuencias negativas, ya que puede ser mayor que e .

Los fasores rotarán en el sentido contrario a las agujas del reloj para e y en el

sentido de las agujas del reloj para e .

Como se puede escoger 0 , si se hace que sea nula, entonces

qs asF F (3-71)

de forma que en todos los sistemas de referencia asíncronos con 0 0 el fasor que

representa a la variable as es igual que el fasor que representa a la variable qs. De igual

forma es fácil ver que el desfase entre fasores se mantiene con el cambio de sistema de

referencia.

En el sistema de referencia síncrono e y entonces los fasores qs y ds se

convierten en

0 02 cos 0 0 Re 2 ef eje

qs s ef e sf F F e

(3-72)

0 02 sen 0 0 Re 2 ef eje

ds s ef e sf F j F e

(3-73)

y si 0 0e

2 cos 0e

qs s eff F (3-74)

3 Sistemas de referencia

35

2 sen 0e

ds s eff F (3-75)

siendo e

qsf y e

dsf valores constantes que además cumplen

2 e e

as qs dsF f j f (3-76)

de manera que esta última ecuación relaciona dos valores constantes del sistema de

referencia síncrono con un fasor del sistema de referencia abc, de forma que mediante la

ecuación (3-71) también se relacionan los dos valores constantes del sistema de

referencia síncrono con los fasores del resto de sistemas de referencia.

3.6. TRANSFORMACIÓN PARA SISTEMAS NO ESTACIONARIOS.

En un sistema no estacionario, como puede ser el rótor de un motor, la dirección

de las variables abc no es una dirección fija en el espacio, sino que gira alrededor de un

eje. Este caso, que aparentemente introduce una complejidad mayor a la hora de realizar

la transformación, resulta muy sencillo una vez entendida la aplicación a sistemas

estacionarios, además este caso puede ser considerado como la trasformación general

más amplia, siendo la trasformación para sistemas estacionarios un caso particular de la

aquí explicada.

as

d

q

θ

θ0

ωr

rdtθr

ar

br

cr

bs

cs

ω

β=θ-θr

dt

θr(0)

3-4 Transformación para un sistema abc giratorio

Considerando el caso del rótor de un motor, este gira con una velocidad angular

r mientras que el sistema de referencia qd0 arbitrario gira a una velocidad ω. Todas

3 Sistemas de referencia

36

las ecuaciones anteriores son validas, sin más que sustituir θ por β y ω por r ,

siendo en este caso:

r (3-77)

0

(0)

t

r r rt dt (3-78)

Se aprecia en la figura como la transformación del sistema marcado por los

vectores azules según ar br y cr se convierte de la misma manera que en el caso de

sistemas estacionarios en nuestro nuevo sistema de referencia.

Por tanto, la transformación y su matriz quedan de la siguiente forma.

0 0' · 'qd r r qd rf K f (3-79)

2 2cos cos cos

3 3

2 2 2

3 3 3

1 1 1

2 2 2

r sen sen sen

K (3-80)

El subíndice r indica que el sistema de referencia abc origen de la

transformación es solidario al rótor.

Esta trasformación permitirá llevar a una misma referencia dos circuitos

acoplados que se muevan en el espacio a distintas velocidades.