3 Unid Mates Eso3

Sucesiones

ÍNDICE DE LA UNIDAD

1. Sucesiones

2. Progresiones aritméticas

3. Progresiones geométricas

4. Sucesiones recurrentes

Conoces

3_Unid_Mates_Eso3 17/11/06 15:31 Página 1

1 Sucesiones

1.1 Sucesiones

Intenta completar lo que falta en las siguientes series: (Adornar estas series)

1, 11, 111, 1 111, __, 111 111, ........

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, __, 34, 55, __, ....... Az, By, Cx, ___, Ev, ___, .......

FALTA DIBUJO

Observa que los elementos que forman estas series siguen una regla y se

pueden continuar. Estos conjuntos se llaman sucesiones. Hay sucesiones de

números, de letras, de símbolos y de figuras.

Cada uno de los números que componen una sucesión se denomina térmi-

no. Los términos se representan por a1, a

2, a

3, ......, que corresponden al tér-

mino que ocupa el lugar primero, el lugar segundo, el tercero ...... Por ejemplo,

en la sucesión 3, 7, 11, 15, 19, ...... se tiene: a1=3, a

2=7, a

3=11, a

4=15 y a

5=19.

1.2 Término general de una sucesión

El término general de una sucesión numérica es una expresión matemáti-

ca que nos da el valor de cualquier término de la misma en función del lugar

que ocupa, n. Se representa por an.

Obtención del término generalCalcular el término general de una sucesión significa encontrar la relación

entre el valor de cada término y el lugar que ocupa, es decir, la relación entre

an y n. Del momento, el término general lo averiguaremos por tanteo.

Una sucesión numérica es una secuencia de números que siguen una pauta.

1,1

2

1

3

1

4

1 1

6

1

7

1, , , , , , ,

.... ....

3. Sucesiones

2

Escribe cinco términos más de la sucesión

Di cuál o cuáles de las siguientes secuencias nu-méricas son sucesiones:

a) 3, 22, -8, 0, 5,...... c) 3, 17, 11, 0, 224,......

b) –3, 1, 5, 9, 12,...... d) 1, -1, 1, -1, 1,......

Calcula el término general de las sucesiones:

a) 10, 20, 30, 40,........ b) 1, 10, 102, 103, 104,........

c)

Escribe los cinco primeros términos de las sucesio-nes que tienen por término general:

a) an = 3n + 4 b) an = n2+ 1 c) an = (-1)n d) an = n2 -n

4

23

45

67

89

1011

, , , , , .......

3

2

23

45

67

89

1011

, , , , , .......

1

Ejemplo resuelto

Hallar el término general de las siguientes sucesiones:

a) 12, 22, 32, 42, 52,... b) 1, 4, 9, 16, 25,...

a1

= 12 = 10 + 2 = 1 · 10 + 2 a1

= 1 = 12

a2

= 22 = 20 + 2 = 2 · 10 + 2 a2

= 4 = 22

a3

= 32 = 30 + 2 = 3 · 10 + 2 a3

= 9 = 32

an

= n · 10 + 2 = 10n

+ 2 an

= n2


1.3. Cálculo de los términos de una sucesión a partirdel término general

Ejemplo resuelto

Hallar los términos a3

y a20

de las sucesiones de término general:

a) an

= n2 + 1 b) bn = 3n – 2

Sustituyendo en an = n2 + 1: Sustituyendo en bn = 3n – 2:

Para n = 3, a3

= 32 + 1 = 9 + 1 = 10. Para n = 3, b3= 3 · 3 – 2 = 7.

Para n = 20, a20

= 202 + 1 = 400 + 1 = 401 Para n = 20, b20

= 3 · 20 – 2 = 58.

3

3. Sucesiones

Halla los cuatro primeros términos de las sucesiones de término general:

a) an = n2 – 7n + 12 b) an = 3n2 – 1

Calcula el término general de la sucesión formada por los números cubos perfectos 1, 8, 27, 64, 125........

Calcula los ocho primeros términos de las sucesiones de término general:

a) an = n + (-1)n b) an = n + (-1)2n c) an = n – (-1)2 d) an = n2 – (-1)n

Escribe los términos a10, a20 y a100 de las siguientes sucesiones:

Calcula el término a9 de la sucesión

El número de diagonales de un polígono de n lados viene dado por la expresión:

Halla el número de diagonales de cada uno de los polígonos de la tabla del margen.

Dn n

n =( )· – 3

2

10

an nnn =

+·

1

9

a ann

b an

nc an n n)

–) )

(– )=+

=+

= +11 1

112 nn

nn

nd a) ( ) –= 1

22

8

7

6

5

Observa que…

Al sustituir la n de la sucesión an = 3n2 –– 1 por un valor concreto, lo primeroque tenemos que efectuar es el cuadra-do, después la multiplicación por 3 y,por último, sumar – 1.Es decir:a1 = 3 · 12 – 1 = 3 · 1 – 1 = 2Del mismo modo:a4 = 3 · 42 – 1 = 3 · 16 – 1 = 47

Polígono Nº de ladosn

Triángulo 3Cuadrilátero 4Pentágono 5Hexágono 6Heptágono 7Octógono 8Eneágono 9Decágono 10Isodecágono 20Triacontágono 30Tetracontágono 40Pentacontágono 50Hexacontágono 60Heptacontágono 70Octacontágono 80Eneacontágono 90Hectágono 100Megágono 106

Googólgono 10100

Procedimiento Ejemplo

Cálculo de los primeros términos Hallar los tres primeros términos

de una sucesión a partir del de la sucesión de término

término general. general an =

Para hallar a1, sustituimos n por 1.



Y así sucesivamente.

a3

3

3 1

3

4=

+=

a2

2

2 1

2

3=

+=

a1

1

1 1

1

2=

+=

n

n+1


2 Progresiones aritméticas

2.1. Progresión aritmética

Observa las siguientes sucesiones e intenta encontrar qué tienen en común:

a) 2, 4, 6, 8, 10, ........ c) 4, 0, - 4, -8, -12, ........

b) 4, 7, 10, 13, 16, ........ d) -100, -80, -60, -40, -20, ........

Te habrás dado cuenta de que todas las sucesiones anteriores son fáciles

de continuar. Son progresiones aritméticas y tienen en común que, para pa-

sar de un término al siguiente, se suma siempre una cantidad constante o, lo

que es igual, la diferencia entre dos términos consecutivos es constante.

En los ejemplos anteriores las diferencias son:

a) d = 2 b) d = 3 c) d = – 4 d) d = 20

2.2. Término general de una progresión aritmética

La diferencia entre dos términos consecutivos en toda progresión aritmética es

constante, e igual a la diferencia de la progresión, d. Así: a2

- a1

= d, a3

- a2

= d,........

Despejando en a2

- a1 = d, tenemos que a

2= a

1+ d (I)

Despejando en a3 - a

2= d, tenemos que a

3= a

2+ d (II)

Sustituyendo (I) en (II): a3

= a2

+ d = a1

+ d + d = a1

+ 2d

Razonando de la misma forma: a4

= a1

+ 3d

En general: an = a1

+ (n –1) · d

La fórmula para calcular el término general de una progresión aritmética es:

an = a1

+ (n –1) · d

Donde an es el término general, a1

es el primer término, n es el lugar que

ocupa y d es la diferencia.

Una progresión aritmética es una sucesión en la que, al restar dos términos

consecutivos, se obtiene siempre un mismo número, llamado diferencia, d.

3. Sucesiones

4


Obtención del término general Escribir el término general

de una progresión aritmética. de la progresión -3, 1, 5, 9, ........

Identificamos el primer término a1. El primer término es a

1= -3

Determinamos el número Para hallar la diferencia, restamos

que se ha sumado para pasar dos términos consecutivos

de un término al siguiente. cualesquiera:

Este número es la diferencia, 1- (-3) = 4

d, de la progresión. 5 – 1 = 4

9 – 5 = 4

Por lo tanto, d = 4.

Sustituimos a1

y d en la fórmula Sustituimos a1= -3 y d = 4 en an:

an = a1

+ (n –1) · d an = - 3 + (n – 1) · 4

Efectuamos las operaciones an = - 3 + 4n – 4

y simplificamos. an = - 7 + 4n


5

3. Sucesiones

El primer término de una progresión aritmética es 12 y la diferencia es 5. Escribe sus diez primeros términos.

De las siguientes sucesiones, indica las que son progresiones aritméticas y determina la diferencia:

a) 1, 2, 3, 4, 5, ........ b) 2, 4, 8, 16, 32, ........ c) – 23, – 20, – 17, – 14, – 11, ........ d) 2, 1, 2, 1, 2, ........

Escribe los ocho primeros términos de una progresión aritmética en la que el 2º término es 8 y la diferenciaes –2.

Halla el término general de las siguientes progresiones aritméticas:

a) – 4, 0, 4, 8, 12,........

b) 0, 5, 10, 15, 20,........

c) 10, 20, 30, 40,........

d) 8, 11, 14, 17, 21,........

14

13

12

11

Ejemplo resuelto

La escalera de un edificio de siete pisos tiene todos los peldaños iguales.

Se sabe que entre dos pisos consecutivos hay 19 peldaños y cuando se su-

ben dos pisos se asciende una altura de 532 cm:

a) Escribir las dos sucesiones de 7 términos que están implícitas en este

enunciado y obtener su término general.

Observa las siguientes relaciones; ambas son progresiones aritméticas.

– Número de piso y número de peldaños:

Piso 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º

Nº de peldaños (desde el piso 0) 19 38 57 76 95 114 133

Los números {19, 38, 57, 76, 95, 114, 133} son los 7 primeros términos de

una progresión aritmética con a1

= 19 y d = 19.

El término general es: an

= a1

+ (n – 1) d = 19 + (n – 1) · 19 = 19 + (n – 1) ·

19 = 19 + 19n – 19 = 19n. Es decir: an

= 19n para 0< n < 8

– Número de piso y altura:

Piso 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º

Altura (cm) 266 532 798 1064 1330 1596 1862

Los números {266, 532, 798, 1064, 1330, 1596, 1862} son los 7 primeros

términos de una progresión aritmética con a1

= 266 y d = 266. Procedien-

do de forma análoga, tenemos que:

an

= 266n para 0 < n < 8, que es el término general de la progresión arit-

mética que relaciona el número de piso y su altura.

b) ¿Qué altura tiene cada peldaño?¿A qué altura se encuentra el piso

7º?¿Cuántos peldaños hay en total?

Entre dos pisos hay 19 · 2 = 38 peldaños, que corresponde a una altura de

532 cm. Por tanto, cada peldaño tiene una altura de532

= 14 cm. La altura38

de un piso es = 266 cm = 2,66 m. El número total de peldaños es

19 · 7 = 133

532

2


2.3. Progresiones aritméticas crecientes y decrecientes

Si los términos de una progresión aritmética son cada vez mayores, a me-

dida que se avanza en la progresión, la progresión es creciente; si los térmi-

nos son cada vez menores, es decreciente.

Por ejemplo, la progresión -2, 4, 10, 16, ........ es creciente, mientras que la pro-

gresión 4, 1, -2, -5, -8,........es decreciente.

Observa que, cuando una progresión aritmética es decreciente, su diferen-

cia es un número negativo.

Por ejemplo, en 4, 1, -2, -5, -8,........la diferencia es -3, y el término general es:

an = 4 + (n – 1) · (-3) = 4 – 3n + 3 = 7 – 3n.

La diferencia de una progresión aritmética también puede ser un número

fraccionario.

3. Sucesiones

6

En una progresión aritmética a1 = 4 y a5 = 28. Calcula la diferencia.

En una progresión aritmética a1 = 5 y a3 = 10. Calcula d y an.

Los ángulos de un triángulo están en progresión aritmética y el mayor mide 70º. ¿Cuánto miden los otros?

FALTA DIBUJO

De las siguientes sucesiones, indica las que son progresiones aritméticas y determina luego la diferencia yel término general:

a) 1, 2, 3, 4, ........ b) 2, 4, 6, 8, ........ c) 1, 4, 9, 16, ........d) – 25, – 30, – 35, – 40, ........ e) 5, 13, 5, 13, 5, ........ f) 3, 7/2, 4, 9/2, ........

Calcula el término a12 y el término general, an, de las siguientes progresiones aritméticas:

a) 15, 11, 7, ........ b) 1, 10, 19, ....... c) -10, -5, 0, ........ d) 1,5; 1,8; 2,1;........ e) :

f) 2; 0,5; -2; -3,5, ........

3103

113

4133

, , , , ,...

19

18

17

16

15

Ejemplo resuelto

En una progresión aritmética a1= 2 y a

11= 0. Calcular la diferencia y el tér-

mino general y escribir los doce primeros términos.

Para calcular la diferencia, sustituimos los valores de a1

y a11

en la fórmu-

la a11

= a1

+ 10 · d :

0 = 2 + 10 · d ; d = - ;

Sustituyendo el valor de d en la expresión an= a

1+ (n – 1) · d , calculamos

el término general:

an= a

1+ (n – 1) · d = 2 + (n – 1) · (- ) = (11 – n) / 5

Los doce primeros términos de la sucesión son:

29

5

8

5

7

5

6

51

4

5

3

5

2

5

1

50

1, , , , , , , , , , , −

55

2

5, ,...

1

5

1

5


2.4. Suma de los n primeros términos de unaprogresión aritmética

Imagina que queremos sumar los 20 primeros términos de la progresión

aritmética: 2, 4, 6, 8, .....:

En primer lugar calculamos el término a20

:

Sustituyendo los valores de a1 = 2 y d = 2 en la fórmula a20

= a1

+ 19d, ob-

tenemos a20

= 2 + 19 · 2 = 40

Los términos que debemos sumar son:

FALTA DIBUJO

Observa que la suma de los términos primero y último es igual a la de los

términos segundo y penúltimo, a la del tercero y el antepenúltimo, etc.

Es decir, 2 + 40 = 4 + 38 = 6 + 36 = ........ = 42

Por tanto, para calcular la suma de los 20 primeros términos, basta con ha-

cer la suma una sola vez, sumando el primer y el último término, y multiplican-

do este resultado por el número de veces que aparece la suma, que en este

caso es 10. Es decir:

(2 + 40) · 20S

20= 2 + 4 + 6 + ............. + 36 + 38 + 40 = (2 + 40) · 10 = 420

2

La suma de la n primeros términos de una progresión aritmética viene

dada por la fórmula:

7

3. Sucesiones

Calcula la suma de los 100 primeros números pares.

Calcula la suma de todos los números pares de dos cifras

Halla la suma de los 111 primeros términos de la progresión aritmética: 3, 5, 8, 11, 14, .....22

21

20

Sa a

nnn= +1

2·


Cálculo de los primeros Hallar la suma de los 40 primeros

términos de una progresión términos de la progresión

aritmética. aritmética 3, 7, 11, 15,......

Identificamos a1

y d: a1

= 3, d = 4

Se calcula a40

utilizando la fórmula a40

= 3 + (40 – 1) · 4 = 159.

del término general:

Se aplica la fórmula de la suma:

Y así sucesivamente.S40

3 159

240 3 240= + =·


3. Sucesiones

8

3 Progresiones geométricas

3.1. Progresión geométrica

Dada la sucesión 2, 6, 18, 54, 162, ........, si calculamos el cociente entre cada

uno de los términos y su anterior obtenemos siempre el mismo resultado:

Se dice que esta sucesión es una progresión geométrica de razón 3.

3.2. Término general de una progresión geométrica

En toda progresión geométrica se tiene:

a2

= a1

· r

a3

= a2

· r = a1

· r · r = a1

· r2

a4

= a3

· r = a1

· r2 · r = a1

· r3

En general,: an

= a1 · rn – 1:

La fórmula para calcular el término general de una progresión geométrica es:

an

= a1 · rn – 1

Donde an es el término general, a1

es el primer término, n es el lugar que

ocupa y r es la razón.

Una progresión geométrica es una secuencia de números reales a1, a

2,

a3, ........, an, de forma que cada término se obtiene multiplicando el ante-

rior por una cantidad fija llamada razón de la progresión, r.

6

2

18

6

54

183= = = =........

Ejemplo resuelto

Escribir los cinco primeros términos de una progresión geométrica cuyo

primer término es 100 y cuya razón es 0,2.

a1

= 100, a2

= 100 · 0,2 = 20, a3

= 100· 0,22 = 4, a4

= 100 · 0,23 = 0,8, a5

=

= 100 · 0,24 = 0,16


Obtención del término general Escribir el término general de la

de una progresión geométrica. progresión 1, 3, 9, 27 ........

Se identifica el primer término a1. El primer término es a

1= 1

Se determina el número por el que Para hallar la razón, dividimos dos

se ha multiplicado para pasar de un términos consecutivos cualesquiera:

término al siguiente. Este número 3 : 1 = 3

es la razón, r, de la progresión. 9 : 3 = 3

27 : 9 = 3

Por lo tanto, r = 3.

Se sustituye a1

y r en la fórmula Sustituimos a1= 1 y r = 3 en an:

an

= a1 · rn – 1 an

= 1 · 3n-1

Efectuamos las operaciones an = 3n-1

y simplificamos.


3.3. Suma de los n primeros términos de unaprogresión geométrica

Supón que queremos calcular la siguiente suma: 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 +

+ 27 + 28 + 29 + 210

Al tratarse de la suma de los términos de una progresión geométrica, exis-

te una forma simplificada de efectuarla. La veremos a continuación.

Queremos efectuar la suma de los n primeros términos de una progresión

geométrica:

Sn

= a1

+ a2

+ a3

+ ........ + an-2

+ an-1

+ an

Si multiplicamos los dos miembros de la igualdad anterior por r:

Sn

r = a1

r + a2

r + a3

r + ........ + an-2

r + an-1

r + an

r

Restando las dos últimas expresiones y simplificando, queda:

r · Sn

= a2

+ a3

+ a4

+ ........ ........ + an-1

+ an

+ an+1

– Sn

= a1

+ a2

+ a3

+ ........ ........ + an-2

+ an-1

+ an

r · Sn

– Sn

= an+1

– a1

= a1

· rn – a1

= a1

· (rn – 1)

Sn

· (r – 1) = a1 · (rn – 1), de donde:

Aplicando esta fórmula a la suma 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210:

[fracción] S10

= 2 · (210 – 1) / 2 – 1 = 2046

Sa r

rn

n

= 1 1

1

· ( – )

–

9

3. Sucesiones

El primer término de una progresión geométrica es 2 y la razón es 5. Escribe sus seis primeros términos.

De las siguientes sucesiones, indica las que son progresiones geométricas y determina la razón:

a) 1, 2, 4, 8, ........ b) 2, -8, 32, -128........

c) – 3, – 60, – 120, – 2400, ,........ d) 2, 1, 2, 1, 2,........

Halla el término general de las siguientes progresiones geométricas:

a) 4, 16, 64, 256,........ b) 1, 5, 25, 125,........

c) 10, 100, 1000, 10000,........ d) 8, 24, 72, 216, ........

Calcula las siguientes sumas siguiendo el procedimiento anterior:

a) 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256

b) 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729

La suma de los siete primeros términos de una progresión geométrica de razón 3 es 7651. Halla el primery séptimo términos.

Calcula la suma de los cuatro ángulos de un cuadrilátero sabiendo que están en progresión geométricay que el ángulo segundo es nueve veces menor que el mayor.

28

27

26

25

24

23

Observa que…

Las progresiones geométricas con ra-zón menor que 1 decrecen muy rápi-damente.

Invención del ajedrez

???????La invención del ajedrez. CUA-DRO DE LA PÁGINA 47 DEL LIBRO ES-FERA – 3º ESO


3.4. Progresiones geométricas crecientes, decrecientes yoscilantes

Una progresión geométrica es creciente si su razón es mayor que 1; es de-

creciente si su razón es positiva y menor que 1, y es oscilante si su razón es

negativa.

Ejemplos:

La progresión 2, 4, 8, 16, ........ es creciente, con r = 2;

La progresión 4, 2, 1, 1/2, 1/4,........es decreciente, con r = ?

La progresión 3, -6, 12, -24, ........ es oscilante, con r = -2

3.5. Suma de todos los términos de una progresióngeométrica decreciente

Observa la sucesión:

Te habrás dado cuenta de que se trata de una progresión geométrica de1

razón . Los términos de esta progresión decrecen aproximándose a cero.2

En estas sucesiones decrecientes, con 0 < r < 1 y en las que por tanto an

· r

es menor que a1, la fórmula de la suma se puede expresar del siguiente modo:

Cuando n es muy grande (se indica, para n? ∞), an

· r se aproxima a cero, y

puede eliminarse este término. Por lo tanto:

La fórmula de la suma de todos los términos de una progresión geo-

métrica de razón -1 < r < 1 es:

Sna r a

r

a a r

rn n· –

–

– ·

–= =1 1

1 1

1

2

1

4

1

8

1

16, , , , ........

3. Sucesiones

10

Sa

r∞ =

–1

1

Suma todos los términos de la progresión

Calcula la suma de todos los términos de una progresión geométrica en la que a1 = 4 y r = 0,2

¿Cuánto sumarán todos los términos de la sucesión: ?

Identifica las progresiones aritméticas, las geométricas y las que no sean de ninguno de estos dos tipos. Cal-

cula el término general de cada una:

a) d)

b) 2, 0, 2, 0, 2, 0, ...... e) 1, 10, 100, 1000, 10000, ......

c) 2, 5, 10, 17, 26, ...... f) 5, 8, 11, 14, 17, ......

3 5 7 9 11, , , , , .......12

132

452

, , , , , .......

32

112

14

18

116

, , , , , ........31

30

13

19

127

181

, , , , ........29

1

32

1

161

8

1

4

1

2

1

Observa que…

En una progresión geométrica con IrI> 1, la suma de todos los términos esinfinita. Por ejemplo, la suma 1 + 3 +9 + 27 +........ es una suma infinita.


3.6. Producto de n términos consecutivos de una pro-gresión geométrica

Imagina que queremos calcular el producto de los seis primeros términos,

P6, de la progresión 2, 4, 8, 16, 32, 64,........ P

6= 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64

Invirtiendo el orden de los factores, resulta: P6

= 64 · 32 · 16 · 8 · 4 · 2

Multiplicando las dos expresiones:

P6

· P6

= (2 · 64) · (4 · 32) · (8 ·16) · (16 · 8) · P

6= 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64

· (32 · 4) · (64 · 2)P

6= 64 · 32 · 16 · 8 · 4 · 2 �

Por lo que P6

2 = (2 ·64) 6

Haciendo la raíz cuadrada,

3.7 Interés compuesto y progresiones geométricasUna cantidad de dinero, C, puesta a un interés del i % durante t años se trans-

forma en

Si sustituimos en esta expresión el valor de t por 0, 1, 2, 3,........ obtenemos

una progresión geométrica de razón

1100

+ i

C Ci

t

1 0 1100

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟·

La fórmula general del producto de los n términos consecutivos de

una progresión geométrica es:

P6

62 64= ( · )

11

3. Sucesiones

P a an n

n= ( · )1

Ejemplo resuelto

Ingresamos en un banco 2000 €, al 4% anual, al comienzo del año 2000.

Hallar el capital disponible al final de cada año, durante los 7 años siguien-

tes, suponiendo que no sacamos ningún dinero.

Es una progresión geométrica de razón 1 + 4/100 = 1,04.

El capital disponible en cada año es:

Año 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

Capital 2080 € 2163,2 € 2249,73 € 2339,72 € 2530,64 € 2737,14 € 2960,49 €

Observa que…

La fórmula del interés compuesto esun caso particular del término gene-ral de una progresión geométrica derazón

Donde a1 es el capital inicial en el ins-tante inicial (t = 0); a2 es el capital máslos intereses del primer año; a3 el ca-pital más los intereses del segundoaño, y así sucesivamente

ri= +1

100

Halla el producto de los 10 primeros términos de la progresión 1, 4, 16, 64,........

Halla la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica con primer término 6 y razón ?.

La suma de de los infinitos términos de una progresión geométrica es 8 y el primer término es 4. Calcula larazón.

¿Cuánto dinero tendremos al cabo de 5 años si colocamos 6000 € a un interés compuesto del 12%?

¿Qué intereses producen 12000 €, en 4 años, al 8% de interés compuesto?37

36

35

34

33


4 Sucesiones recurrentes

Hay sucesiones cuyos términos se obtienen a partir de términos anteriores.

Se llaman sucesiones recurrentes. En la mayoría de los casos no es posible

calcular su término general.

Ejemplos:

1. En la sucesión 1, 2, 5, 9, 14, ........ se tiene: an= a

n – 1+ n, es decir, cada térmi-

no es igual a la suma del término anterior más el lugar que ocupa en la sucesión.

2. El número de caminos distintos, sin retroceder, que hay desde cada uno

de los puntos numerados hasta el punto 0 en el dibujo del margen es igual a

la suma del número de caminos desde los dos vértices anteriores.

FALTA DIBUJO

Número de caminos desde el vértice 1, C1

= 1

Número de caminos desde el vértice 2, C2

= 2

Continuando: C3

= 1 + 2 = 3; C4= 2 + 3 = 5; C

5= 3 + 5 = 8; C

6= 5 + 8 = 13........

En general: Cn

= Cn – 1

+ Cn – 2

Los números que aparecen en esta secuencia son: 1, 2, 3, 5, 8, 13,........

Comprueba que al calcular la diferencia entre dos términos consecutivos vuel-

ve a aparecer la propia sucesión. Esto indica que es imposible determinar su

término general, al no hacerse las diferencias constantes. Sin embargo, en algu-

nos casos es posible averiguar el término general de una sucesión recurrente.

3. Sucesiones

12

Ejemplo resuelto

Calcular el término general de la sucesión 1, 2, 5, 14, 41, ........, en la que

cada término se obtiene multiplicando por 4 el término anterior y res-

tándole el triple del que está detrás de este:

a1

= 1

a2

= 1 + 30

a3

= 1 + 30 + 31

a4

= 1 + 30 + 31 + 32

a5

= 1 + 30 + 31 + 32 + 33

........

an

= 1 + 30 + 31 + 32 + ........ + 3n -2

Aplicando la fórmula de la suma de los n – 1 primeros términos de una

progresión geométrica,

Sn - 1

= a1( rn - 1 – 1)/r – 1, para a

1= 1 y r = 3:

Por tanto, an

n n

= + − = +− −( ) ( )1

3 1

2

1 3

2

1 1

Sn

n

–

· ( )1

11 3 1

2= −−

suma de los n – 1 primeros de la progresión

geométrica 1, 3, 9, 27

¿Por qué la expresión [an = an – 1 + n] no es un término general?

En las siguientes sucesiones, calcula el término siguiente y descubre la ley de recurrencia.

a) 1, 3, 2, 2,5, 2,25, ........ b) 2, -2, 4, -6, 10, -16, ........

Razona por qué son recurrentes las sucesiones del ejercicio anterior.

Calcula el término general de las sucesiones: a) 3, 5, 9, 17, 33,........ b) 2, 6, 14, 30, 62, 126,........38

37

36

35


13

3. Sucesiones

R E S U M E N

SUCESIONES

Sucesión numérica. Es una secuencia de números que siguen una pauta. Ejemplo: 7, 17, 27, 37, ........

En la sucesión anterior sería an = 10n – 3.

Término general: an = a1

+ (n –1) · d

Suma de los n primeros términos

an

= 5 + (n – 1) · 3 = 5 + 3n – 3 = 3n + 2

El término 100 es: a100

= 302

Suma de los 100 primeros términos:

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

Progresión geométrica. Es una es una secuencia de números reales

de forma que cada término se obtiene multiplicando el anterior una

cantidad fija, r, llamada razón.

Término general: an = a1 · rn – 1

Ejemplo: 1, 2, 4, 8, 16, ........

r = 2

an

= 2n - 1

SUCESIONES RECURRENTES

Sucesión recurrente. Son sucesiones en las que sus términos

se obtienen a partir de términos anteriores.

Ejemplo: 4, -4, 0, -4, -4, -8, -12,........

donde a1

= 4, a2

= -4 y an

= an-2

+ an-1

para n > 2.

PROGRESIONES ARITMÉTICAS

Progresión aritmética. Es una sucesión en la que, al restar dos térmi-

nos consecutivos, se obtiene siempre un mismo número, d, llamado

diferencia.

Término general de una sucesión. Es una expresión matemática que

nos da el valor de cualquier término de la misma en función del lugar

que ocupa, n. Se representa por an.

Ejemplo: 5, 8, 11, 14, 17, ........

d = 3

Sa a

nnn= +1

2· S

a an100

1 100

2

5 302

2100 15 350=

+ + =· ·

Suma de los n primeros términos La suma de los 20 primeros términos es:

Sa r

rn

n

= 1 1

1

· ( – )

–S

a20

1

20202 1

2 12 1 1048575= = =· ( – )

––

Suma de todos los términos con -1 < r < 1Ejemplo:

Sa

r∞ =

–1

1

, , , , ........11

2

1

2

1

2

SSn = =1

11

2

2

Producto de n términos consecutivos

P a an n

n( · )= 1

P5

511

16

1

1024( · )= =


3. Sucesiones

14

AC T I V I D A D E SNiveles de dificultad: sencillo medio alto

1 SUCESIONES

Escribe los 5 primeros términos de las sucesionesque tienen por término general:

a) an = 2 + 3(n – 2)

b) an = n2 – 1

c) an = an = n(n+1)

d) an = (1/2)n

e) an = (1/2)n – 1

f) an = (n + 1)2

Halla el término general de las sucesiones:

a) 1, -1, 1, -1,........

b) -1, 2, -3, 4, -5,........

2 PROGRESIONES ARITMÉTICAS

Escribe los seis primeros términos de una progre-sión aritmética, sabiendo que el primer término es8 y la diferencia, 5.

Escribe el término general de una progresión arit-mética en la que a1 = 8 y a6 = 23.

Comprueba que 4, 13, 22, 31,........ es una progre-sión aritmética y calcula a20.

En una progresión aritmética la diferencia es 5 y elprimer término es 11. Calcula a100 y la suma delos 100 primeros términos.

¿Cuántas campanadas da diariamente un reloj quesuena solo en las horas?

Calcula 7 + 14 + 28 + 56 + 112 + 224 + 448 + 896 + 1792

En una progresión aritmética a1 = 200 y a5 = 0.Calcula:

a) La diferencia

b) El término a10

c) La suma de los diez primeros términos

Miriam gastó 120 € el primer día del mes, y 10 €menos cada uno de los días siguientes. Se quedó sindinero el día 13. ¿Cuánto dinero tenía a principiodel mes?

El último término de una progresión aritméticade 100 términos es 199, y la suma de todos elloses 10000. Calcula:

48

47

46

45

44

43

42

41

40

39

a) El primer término

b) La diferencia.

Calcula la distancia que recorre un jardinero quearroja un cubo de agua en cada uno de los 30 ár-boles situados al lado de un camino, sabiendo queel primer árbol dista del pozo 40 m.

Los ángulos de un triángulo están en progresiónaritmética y el mediano mide 60º. ¿Cuánto midenlos otros?

Los ángulos de un pentágono están en progresiónaritmética y el menor mide 98º. ¿Cuánto miden losotros?

En la siguiente figura los números de cada octógo-no deben estar en progresión aritmética. Comple-ta los números que faltan teniendo en cuenta losdatos que se dan en cada caso y que el número cen-tral es la suma de todos ellos.

FALTA DIBUJO

3 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

Calcula la suma de los diez primeros términos de unaprogresión geométrica que cumple las condiciones:

El primer término es a1 = 13,25

La razón es 1,5

Efectúa la suma de los 20 primeros números múl-tiplos de 4.

Calcula 5 + 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 + 640

Una rana da saltos en línea recta hacia delante,saltando cada vez los 3/4 del salto anterior.

a) Calcula cuántos saltos tiene que dar para cruzar uncamino de 6 metros si su primer salto es de 2 metros.

b) ¿A qué distancia quedará del límite del camino? Ex-presa el resultado con 3 cifras decimales.

Es casi seguro que conoces la leyenda del inventordel ajedrez, que pidió al rey un grano de trigo por

57

56

55

54

53

52

51

50

49


15

3. Sucesiones

ACTIVIDADES

la primera casilla del tablero, 2 por la segunda, 4por la tercera, 8 por la cuarta y así sucesivamentehasta la última casilla.¿Cuántos granos pidió en total?

FALTA DIBUJO

Calcula la suma de los infinitos términos de unaprogresión geométrica de primer término 16 y ra-zón 3/4.

Calcula la suma de los infinitos términos de la pro-gresión geométrica 9, 3, 1, 1/3,........

Ingresamos 5000 € en un banco, al 3% anual, alcomienzo del año 2007. Calcula el capital dispo-nible al final de cada año, durante los seis años si-guientes.

Guillermo ingresa 6000 € al comienzo de cada añoal 3,5% anual. ¿Cuál será su capital al final del dé-cimo año?

Calcula en cuánto se convertirá 1 euro al 5% de in-terés anual compuesto durante 20 años.

Calcula los ángulos de un hexágono sabiendo queestán en progresión geométrica de razón 2.

4 SUCESIONES RECURRENTES

Escribe los doce primeros términos de una suce-sión recurrente con estos datos:

a1 = 4, a2 = 9, an = an - 1 + an - 2


a1 = - 3, a2 = 3, an = an - 1 + an - 2


a1 = 1, a2 = 5, an = an - 1 – an - 2

Escribe los siete primeros términos de una suce-sión en la que an = an - 1 – an – 2, a7 = 1 y a5 = -5.

¿Por qué es imposible calcular el término generalde la sucesión 1, 2, 3, 5, 8, 13,........?

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58

A CTIVIDADES DE SÍNTESIS

Identifica las progresiones aritméticas, las geomé-tricas y las que no sean de ninguno de estos dos ti-pos. Calcula el término general de cada una:

a) ........

b) 2, 2, 2, 2, 2,........

c) 1, 4, 9, 16, 25,........

d) ........

e) ........

f) 7, 12, 17, 22, 27........

Realiza las siguientes sumas y después deduce lafórmula general que se indica:

a) 1 + 3

b) 1 + 3 + 5

c) 1 + 3 + 5 + 7

d) 1 + 3 + 5 + 7 + 9

e) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11

f) 1 + 3 + 5 + 7 + ........ + (2n – 1)

g) Aplica el resultado obtenido en el apartado anteriorpara hallar la suma de los 500 primeros números im-pares.

Para construir la torre de la figura, de 4 pisos, senecesitan 20 cubos.

a) ¿Cuántos cubos se necesitarían para construir unatorre de 7 pisos?

b) ¿Cuántos cubos se necesitarían para construir unatorre de n pisos?

FALTA DIBUJO

Números poligonales

Los números poligonales son los que se generan me-diante un polígono: números triangulares, cuadrados,pentagonales, hexagonales, etc.

71

70

2 4 6 8 10, , , , ,

2 4 8 16 32, , , , ,

34

154

32

74

, , , , ,

69


3. Sucesiones

16

Números triangularesEn la figura aparecen los cuatro primeros números trian-gulares, llamados así porque con el número de puntosque los forman se pueden formar triángulos equiláteros.

FALTA DIBUJO

T1

T2

T3

T4

a) ¿Cuál es el quinto número triangular?

b) Escribe los diez primeros términos de la sucesión for-mada por los números triangulares.

c) Encuentra la expresión general del número de pun-tos que hay que añadir para pasar del triángulo T

n

al triángulo Tn + 1

.

d) Encuentra una expresión general que indique el nú-mero de puntos, tn , del triángulo Tn .

Números cuadradosA continuación están representados los 4 primeros nú-meros cuadrados.

FALTA DIBUJO

C1

C2

C3

C4

a) ¿Cuál es el quinto número cuadrado? ¿Y el vigésimo?

b) Escribe los diez primeros términos de la sucesión for-mada por los números cuadrados.

c) Encuentra la expresión general del número de pun-tos que hay que añadir para pasar del cuadrado C

n

al triángulo Cn + 1

.

d) Encuentra una expresión general que indique el nú-mero de puntos, cn , del triángulo Cn .

En el gráfico se muestra cómo obtener con fichas unnúmero cuadrado a partir del anterior. Si tenemosun cuadrado de (n x n) fichas, ¿cuántas fichas hayque añadir para obtener el cuadrado siguiente?

FALTA DIBUJO

Números rectangulares

Los números rectangulares están formados por unacantidad de puntos que permiten formar un rectángu-

72

lo en el que una de sus dimensiones (base o altura) esuna unidad mayor que la otra.

FALTA DIBUJO

R1

R2

R3

R4

a) Escribe los diez primeros números rectangulares.

b) Encuentra la expresión general que relaciona a dosnúmeros rectangulares consecutivos, rn y r n + 1.

Números pentagonales

En la figura se muestran los cinco primeros númerospentagonales, p1 = 1; p2 = 5; p3 = 12; p4 = 22; p5 = 35,donde el número pi indica el número de puntos delpentágono Pi:

FALTA DIBUJO

1 5 12 22 35

4 7 10 13

Observa que:

p1 = 1

p2 = 1 + 4

p3 = 1 + 4 + 7

p4 = 1 + 4 + 7 + 10

p5 = 1 + 4 + 7 + 10 + 13

a) Completa: El término p5 es la suma de 5 númerosque están en progresión ___________ de razón ____.

b) Completa: El término pn es la suma de ___ númerosque están en progresión ____________ de razón 3.

c) Completa los términos que faltan:p10 = 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + ___ + ___ + ___ + ___ + ___

d) Calcula la expresión general del último sumandodel término pn.

e) Calcula el número de puntos que tendrá el pentá-gono P10.

En el cuadrado C3 del gráfico puedes observar quela línea que aparece permite expresar los 9 puntoscomo la suma de dos números triangulares conse-cutivos: c3 = t2 + t3.

73

ACTIVIDADES


17

3. Sucesiones

a) Dibuja los cuadrados C4 y C5 y traza una línea quelos divida de forma análoga.

b) Demuestra la siguiente propiedad: cn = tn + 1 + tn

FALTA DIBUJO

A continuación aparecen los seis primeros núme-ros triangulares, cuadrados, pentagonales y hexa-gonales.

FALTA DIBUJO

a) Completa los números que faltan en los cuadros.

b) Comprueba que se cumple:

b1) c5= t5 + t4 b2) p5= c5 + t4 b3) h5= p5 + t4

c6 = t6 +t5 p6 = c6 +t5 h6 = p6 +t4

c) Observando las igualdades anteriores, completa lassiguientes expresiones generales:

c1) cn= ___ + ___ c2) pn= ___ + ___ c1) hn= ___ + ___

Escribe los diez primeros términos de la sucesiónformada por los números hexagonales y calculael término general.

FALTA DIBUJO

El siguiente problema aparece en el papiro de Rhind(2000 a.C.): Entre cinco personas se reparten cienmedidas de trigo de forma que la quinta personarecibe más que la cuarta tanto como la cuarta másque la tercera, que la tercera más que la segunda yque la segunda más que la primera. Entre las dosprimeras recibieron siete veces menos que entre lastres restantes. Calcula cuánto recibió cada persona.

76

75

74

La figura muestra cuatro rectángulos, cada uno for-mado por la unión de dos cuadrados. El rectángu-lo A está formado por dos cuadrados de lado a, elrectángulo B está formado por dos cuadrados de la-do b siendo b = a/2, y así sucesivamente; es decir,la altura de cada rectángulo es la mitad de la al-tura del rectángulo anterior.

a) Escribe, en función de a, la sucesión de 4 términosque exprese el perímetro de los rectángulos.

b) Escribe, en función de a, la sucesión de 4 términosque exprese el área de los rectángulos.

c) Calcula la altura, el perímetro y el área de la figu-ra en función de a.

d) Si se continúa el proceso indefinidamente hacia arri-ba, calcula la altura y la superficie de la figura.

FALTA DIBUJO

Dibuja un triángulo equilátero de 10 cm de lado yune los puntos medios de sus lados. Obtendrás cua-tro triángulos.

a) ¿Cuánto miden sus lados? ¿Y sus áreas?

Repite el proceso anterior uniendo los puntos mediosde los tres triángulos y calcula:

b) El número de triángulos obtenidos.

c) Las longitudes de sus lados y sus áreas.

Si el proceso se repite sucesivamente, calcula los diezprimeros términos de la sucesión formada por:

d) El número de triángulos obtenidos

e) El valor de los lados de los triángulos

f) El valor de las áreas

FALTA DIBUJO

78

77

ACTIVIDADES


3. Sucesiones

18

ACTIVIDADES


19

3. Sucesiones

ACTIVIDADES


ENTORNO MATEMÁTICO


TECNOLOGÍ@S


3. Sucesiones

22

E VA LU AC I Ó N

El término a10 de la sucesión de término general es

igual a:

a) 1,001

b) 1,01

c) 2

d) 0,9

La suma de los 30 primeros términos de una pro-gresión aritmética en la que a1 = 6 y d = 4 es:

a) 720

b) 2160

c) 2400

d) 1920

Sumando los 10 primeros términos de una progre-

sión geométrica en la que y r = 2 resulta:

a) 255,75

b) 256

c) 750

d) 2750

El término a27 de la sucesión es igual a:

a) 26

b) 28

c) -28

d) 0

En una progresión geométrica ilimitada el segun-do término es 3 y el tercero,1. Sus infinitos térmi-nos suman:

a) 27/2

b) 15

c) 12

d) 17/2

Sumando todos los términos de la progresión geo-

métrica ........ se obtiene:

a) 450

b) 0,75

c) 0,5

d) 0,4

15

110

120

140

, , , ,

6

5

4

a1

14

=

3

2

ann

n

= − +( )11

1 El producto de los 10 primeros términos de la pro-gresión geométrica 2, 4, 8,........ resulta:

a) 2048

b) 255

c) 25302

d) 210

En una progresión geométrica el primer término es12 y el cuarto, 96. ¿Cuál es la razón?

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

Los ángulos de un pentágono están en progresiónaritmética y el menor de ellos vale 20º. ¿Cuánto mi-de el ángulo mayor?

a) 100º

b) 196º

c) 440º

d) 120º

¿Cuánto dinero tendremos al cabo de dos años sicolocamos a plazo fijo 2000 € al 7% anual?

a) 2289,8 €

b) 3302,8 €

c) 4505 €

d) 4890 €

10

9

8

7


3 Unid Mates Eso3

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