3. El convertidor en fuente de tensión como filtro...

El convertidor en fuente de tensión como filtro activo

3. El convertidor en fuente de tensión como filtro activo

El filtro activo está constituido por dos bloques funcionales, el bloque

relativo al convertidor y el de cálculo de las referencias. El convertidor es el

responsable del procesado de la potencia, sintetizando la intensidad de

compensación. El módulo de cálculo de referencias trabaja el lazo cerrado,

responsabilizándose de determinar en tiempo real la intensidad a compensar

(��), información que es continuamente enviada al convertidor.

La Figura 3.1 muestra la configuración de un filtro activo paralelo para un

determinado fin, mitigación de armónicos y/o compensación de potencia

reactiva. Básicamente consiste en un convertidor con un determinado control y

un módulo de cálculo de referencias.

Figura 3.1 Configuración del filtro activo paralelo.

3.1. Topología del convertidor en fuente de tensión de dos niveles

El convertidor es el responsable del sintetizando la intensidad de

compensación (también se le conoce como PWM (del inglés, Pulse Width Modulation),

aunque realmente PWM es una técnica de modulación (ver apartado 3.2.4)). Hay

diferentes diseños, el convertidor en fuente de tensión (SVC, del inglés Voltage Source

Converter) y convertidor en fuente de intensidad (CSC, del inglés Current Source

Converter). El controlador del convertidor de ambos diseños tienen la misma

funcionalidad, forzar al convertidor a comportarse como una fuente de intensidad

controlada. En general, el CSC es más robusto y el VSC tiene más eficiencia, menor

tamaño físico y menor coste inicial. En la Figura 3.2 se muestra un esquema simple de

ellos, con configuración de dos niveles (dos IGBT por columna, que de forma ideal se

comportan como interruptores que conmutan forzadamente). Existen configuraciones

��

PCC � �

��

L

� ��

Cálculo de

referencias

Control

del

convertid

or

��


de tres o más niveles. Estas pueden lograr mayores tensiones y potencias que en el caso

de de un de dos niveles, incluso las formas de ondas obtenidas pueden ser de mayor

calidad. Sin embargo, hoy día con el desarrollo de los semiconductores cada vez se

están logrando mejores resultados con configuraciones más simples.

Figura 3.2a VSC dos niveles . Figura 3.2b CSC de dos niveles.

Actualmente el módulo de IGBT (IGBT + diodo) con mayor disponibilidad de

mercado y mejor diseño corresponde a los utilizados en el VSC, debido a que el diodo

está conectado en anti-paralelo con el IGBT, eximiendo a este último de su bloqueo por

sí mismo. Esto conlleva más flexibilidad en el diseño del dicho dispositivo. De hecho la

mayoría de los filtros activos utilizados en multitud de aplicaciones adoptan un equipo

con configuración de VSC.

El convertidor no suministra potencia neta al sistema eléctrico. Sólo tiene conectado

un elemento almacenador de energía, un condensador para topología VSC y una

bobina para CSC, ambos encargados de suministrar la potencia de compensación. La

razón es que el APF tiene como principal función comportarse como un compensador

de intensidad; en otras palabras, el promedio de energía intercambiada entre el filtro

activo y el sistema de potencia debe ser cero. Ello no significa que por el no circule

potencia. De hecho circulará aproximadamente entre un 5 y 20% de la potencia de la

carga.

El filtro activo debe ser diseñado para mantener constante la tensión DC del

condensador en el caso de un VSC, o la corriente DC que circula a través de la bobina

del CSC. Además debe forzar al sistema eléctrico a suministrar las pérdidas que se

producen en el convertidor (pérdidas por conducción y pérdidas de conmutación,

siendo necesaria la refrigeración) y en la inductancia de acoplamiento (ambas

especificaciones son conseguidas mediante el control del convertidor, descrito en el

apartado 3.2.3).

Control PWM

��

��

��

��

��

��

Control PWM

��

�

�

�

� �

�

�

��

��

��

� ��

� ��

�

��

��

��

��

��


3.1.1. Modelo del VSC

En la Figura 3.3 se puede observar un esquema muy simple de un VSC de dos

niveles (IGBT �� y su complementario �� , , �� .

Figura 3.3 Esquema de un APF paralelo con configuración VSC de dos niveles.

Se trabajará con modelos dinámicos de electrónica de potencia, utilizándose

el denominado modelo electromagnético promediado del elemento en cuestión.

Para la deducción del modelo un VSC de dos niveles se plantean las leyes de

Kirchhoff sobre el circuito anterior, considerando que los IGBTs pueden estar

encendidos o apagados de forma ideal (se comporta idealmente como un

interruptor).

3.1.1.1. Modelo de la parte alterna

El modelo es elaborado con intensidades de línea (la configuración en estrella

implica equivalencia con las de fase) y tensiones de fase, éstas últimas referidas

al punto común N; por lo tanto es un modelo equivalente en estrella. Se

considerará cada fase por separado, en la que se calculará la relación de

tensiones entre el punto N y M. Dado que el condensador actúa como una

fuente de tensión se tratará con referencia activa.

Se introduce la variable de conmutación �, que modela el propio estado de

los IBGTs, de tal manera que los interruptores superiores siempre están en un

estado de operación complementario al correspondiente inferior su propia

columna, evitándose así un posible indeseado cortocircuito. Por lo tanto el

conjunto de los 6 IGBTs sólo tienen 8 estados posibles (2�), ilustrados en la

Figura 3.4.

��

��

� �

� �

�

�

�

��

��

�

�

��

��

��

��

�

�

��

��


1, �� ! �� ""

� � �1, �� "" ! ��

Figura 3.4 Función de conmutación � (� � � �, , �).

La función de conmutación � será la variable entrada del convertidor,

siendo ésta discreta. El modelo por lo tanto resulta no lineal y de estructura

variable. Los controladores que se desarrollarán en este proyecto se basarán en

modelos dinámicos de ecuaciones diferenciales ordinarias, ODE (del inglés

Ordinary Differential Equations). Así que se debe obtener un modelo ODE a partir

del modelo de estructura variable. Esto se logra promediando el modelo

obtenido. Para ello se debe considerar que las conmutaciones, modeladas con la

variable �, ocurren de manera muy rápida, teóricamente a frecuencia infinita.

En este trabajo se considerará el modelo promediado como representativo del

problema, si la frecuencia de conmutación es tal que la corriente de salida

presenta un bajo rizado, al ser filtrada por el circuito RL de acoplamiento,

comprendidos por la resistencia R y la inductancia L mostradas en la Figura 3.3.

Independientemente de los estados de conmutación de los IBGTs, las

relaciones de tensión entre los terminales del VSC del lado de alterna y el punto

común N se pueden expresar como sigue:

�� #��#$ � �� %3.1�

�� #��#$ � �� %3.2�

�� #��#$ � �� %3.3�

Sin embargo, las tensiones �� (� � � �, , �� sí dependen del estado de

conmutación del convertidor, por ello se dice que es un modelo de estructura

variable. Se diferenciará entre los estados complementarios � � 1 y � � �1.


◦ () � *:

Figura 3.5 Esquema del VSC para �� ! �� "". � � � �, , �.

Resultando las expresiones (3.4)-(3.6) al plantear las relaciones de tensiones

entre los puntos M y N de la Figura 3.5 para cada fase k:

�� %3.4�

�� %3.5�

�� %3.6�

Donde �� y �� k � a, b, c.

◦ () � �*:

Figura 3.6: Esquema VSC cuando �� "" ! �� . � � � �, , �.

Las nuevas relaciones de tensiones das lugar a las expresiones (3.7)-(3.9).

�� %3.7�

�� %3.8�

�� %3.9�

A continuación se expresa el modelo de estructura variable, dado por las

expresiones (3.4)-(3.6) y (3.7)-(3.9), mediante una ecuación compacta por fase

que contemple los dos estados posibles de la variable binaria modeladora del

estado de conmutación � � 6�1,17:

�� 1 � �2 �� %3.10�

��

� � �

��

�

�

��

��

��

��

��

� � �

��

��


�� 1 � �2 �� %3.11�

�� 1 � �2 �� %3.12�

Considerando que el sistema trifásico está equilibrado (tensiones de igual

módulo y desfasada 120° e impedancias iguales por fase), se cumple la

siguiente expresión:

�� 0 %3.13�

La identidad anterior permite que a través de la suma las ecuaciones (3.10)-

(3.12) se determine el valor de �� exclusivamente en función de la tensión del

condensador y la variable binaria modeladora del estado de los IGBTs, �:

�� 9 � � � � �6 � 12: · �� %3.14�

Llegado a este punto se considera la siguiente hipótesis. Debido a la propia

naturaleza del sistema eléctrico a estar equilibrado, se fuerza el cumplimiento

de que la suma de los valores promedios de � sea nula. Para aplicar dicha

hipótesis es necesario promediar los respectivos �:

Figura 3.7 Promediado <� de la función de conmutación � . � � � �, , �.

El promediado <� de la función de conmutación no es más que la media o

promedio de la función � en el intervalo o periodo C0, DE, expresión (3.15). Se

recuerda que el promediado representa adecuadamente los cambios de estado

sólo si éstos se producen a elevada frecuencia:

� FGHIJK <�

<� � LM N �#$MO %3.15�

<� P [ -1 , 1 ]

<�

�

Q

D

$

1

�1


Luego, la ecuación (3.14) se reescribe como:

�� 9<� � <� � <�6 � 12: · �� %3.16�

Introduciendo la expresión (3.13) (consecuencia de la hipótesis de sistema

eléctrico equilibrado) en el resultado (3.16), se obtiene el valor de �� en

función de la tensión del condensador:

�� 12 �� %3.17�

Por lo tanto las ecuaciones (3.10)-(3.12) que expresan el modelo de estructura

variable pueden ser reescritas al emplazar �� por el resultado (3.17):

�� <��2 %3.18�

�� <��2 %3.19�

�� <��2 %3.20�

Finalmente, igualando las ecuaciones (3.1)-(3.3) y (3.18)-(3.20) se obtiene el

modelo promediado del VSC, donde <� P [-1,1] %� k � a, b, c� gobierna el

comportamiento del convertidor:

� �RS�T � USVWXY �� %3.21�

� �RZ�T � UZVWXY �� %3.22�

� �RX�T � UXVWXY �� %3.23�

El modelo promediado del VSC expresado mediante las ecuaciones (3.21)-

(3.23) no proporciona una entrada directa para el PWM (técnica que permite

invertir un modelo promediado en un modelo de estructura variable,

desarrollada en el apartado 3.2.4.). No se puede tomar <� como entrada por el

hecho de que <� P [-1,1]. La entrada necesaria del PWM o convertidor es el ciclo

de trabajo o Duty <�� , que por definición: <�� P [0,1] (ver apartado 3.2.4). El

desarrollo de la ecuación (3.15) proporciona una relación entre <� y <�� .

<� � 1D [ �#$ � 1DM

O \[ 1#$ � [ �1#$M]

]O ^ � 2 QD � 1 � 2<�� 1

<� � 2<�� 1 %3.24�

Introduciendo la identidad (3.24) en las expresiones (3.21)-(3.23) resulta un

modelo en el que la principal ventaja es la obtención directa del ciclo de trabajo:


� �RS�T � %<�� 1 2⁄ �� %3.25�

� �RZ�T � %<�� 1 2⁄ �� %3.26�

� �RX�T � %<�� 1 2⁄ �� %3.27�

EL modelo expresado por las ecuaciones (3.25-3.27) podría haberse obtenido

directamente si el modelo de estructura variable compacto (3.10)-(3.12) se

hubiese expresado a través de �� , una variable binaria diferente que también

modela el cambio de estado de los IGBTs, pero que al promediarse proporciona

directamente el ciclo de trabajo.

1, �� ! �� ""

�� 0, �� "" ! ��

Figura 3.8 Función de conmutación �� . � � � �, , �. Por definición de ciclo de trabajo, éste corresponde al promedio <�� de la

variable binaria �� :

<�� 1D [ `#$ � 1

DD

0 [ 1#$ � QD

Q0 %3.28�

<�� P [0 ,1]

Figura 3.9 Duty <�� k � a, b, c.

No obstante se utilizará el modelo con <� con objeto de simplificar los

cálculos para obtener el modelo en ejes dq.

<��

Q D

$

1

0

��


Figura 3.10 Modelado del VSC.

Es requisito necesario que <�� P[0 ,1] o en su defecto <� P [-1 ,1]. En caso

contrario se dice que el ciclo de trabajo está saturado, condición que implica el

modelo no está consiguiendo bien el seguimiento de las intensidades de

referencia (aspectos sobre análisis de capacidad de control en apartado 3.2.3.4).

3.1.1.2. Modelo de la parte de continua. Modelo del VSC

En cuanto a la parte de continua se plantea un balance de potencia activa.

Despreciando las pérdidas del inversor (abcdd), la potencia del lado de continua

(a��) se conserva en la potencia de la parte de alterna (a��).

Figura 3.11 Balance de potencia activa en el VSC.

Por un lado, la potencia del lado de corriente de alterna se obtiene como la

suma de las potencias de cada fase:

a�� a�� a�� a�� %3.29�

Donde para la fase a se tiene:

a�� %3.30�

� �RS�T � USVWXY ��

� �RZ�T � UZVWXY ��

� �RX�T � UXVWXY ��

ef$$! ��gh � <�� 1 � <�2

� � � �, , �

<� P [-1 ,1]

<�� P [0 ,1]

��

��

� �

� �

�

�

�

��

��

�

�

��

��

��

��

�

�

��

��

��

ibcdd

a��

a��

i�� i�� ibcdd


Siendo �� la tensión entre el punto medio de la columna de IGBTs relativa a

la fase en cuestión y el punto N, la cual viene dada por la siguiente expresión:

�� #��#$ � �� <��2 %3.31�

Así la potencia en el lado alterna para la fase a puede expresarse como:

a�� <��2 %3.32�

Análogamente para las otras dos fases. De esta forma la potencia en el lado

de alterna viene dada por la suma las potencias de cada fase:

a�� a�� a�� a�� 2 %��<� � ��<� � ��<�� %3.33�

En el lado de corriente continua, la potencia se puede escribir en función de

las variables de continua:

a�� %3.34�

Donde:

�� #��#$ %3.35�

Por tanto la potencia en el lado de continua se puede expresar de la siguiente

forma:

a�� 9 #��#$ : %3.36�

Si se considera que no existen pérdidas en los IGBTs, la potencia que

suministra el condensador fluye íntegramente a la parte de alterna. Así se tiene

que ambas potencias planteadas anteriormente son equivalentes:

a�� a�� %3.37�

Relación que al ser reemplazada según las expresiones (3.33) y (3.36)

obtenidas en anteriores desarrollos proporciona la relación siguiente:

�� 9 #��#$ : � ��2 %��<� � ��<� � ��<�� %3.38�

De modo que queda determinada la ecuación diferencial que modela la

dinámica del bus continua:

#��#$ � 12 %��<� � ��<� � ��<�� 0 %3.39�


Finalmente, el modelado del VSC queda gobernado por cuatro ecuaciones

diferenciales ordinarias de primer orden no lineales, las cuales pueden

expresarse de la forma jk � `%j, f�: #��#$ � 1� l<��2 � �� m %3.40�

#��#$ � 1� l<��2 � �� m %3.41�

#��#$ � 1� l<��2 � �� m %3.42�

#��#$ � 1 n 12 %��<� � ��<� � ��<��o %3.43�

Es un sistema no lineal pues no cumple el principio de superposición.

Técnicamente el principio de superposición afirma que cuando las ecuaciones

que rigen el comportamiento de un problema físico son no lineales, entonces el

resultado de la solución de un problema asociado a un fenómeno, cuando están

presente un conjunto de entradas A y B, no puede obtenerse como la suma de

los efectos de A y B. Matemáticamente, el sistema se puede expresar

reducidamente como:

%�� `%<��

Dado un conjunto de entradas A y B:

p � �<L��y q � <Y��

Donde a y b son números reales. Si el sistema es no lineal se cumple que:

`%�<L�� <Y�� r �`%<L�� `%<Y��

3.1.1.3. Modelo dq del VSC

El modelo anteriormente obtenido está planteado en valores de fase

instantáneos. En el caso de un sistema trifásico de alterna las variables de dicho

modelo varían sinusoidalmente en el tiempo. Esto dificulta el desarrollo de

estrategias de control basadas en el modelo, donde se prefieren valores

constantes en estado estacionario (sin quitar la variación durante los

transitorios a controlar). Es más sencillo desarrollar un controlador que debe de

conseguir seguir una referencia constante que una variación sinusoidal. No

obstante por especificación del presente trabajo, los armónicos de distintas

frecuencias provocarán variables no constantes. Pero al estar en coordenadas dq

sí serán menos variables en el tiempo, ya que se elimina la variación de


armónico de frecuencia fundamental, que corresponde en general al de mayor

valor eficaz. Dicha trasformación se consigue aplicando la transformada de

Park ( s ) a las expresiones (3.40)-(3.43). Antes se reagrupará matricialmente las

magnitudes del problema con objeto de simplificar los posteriores cálculos:

t�� u��v w�� u<�<�<�

v x�� u��v

Y las siguientes matrices constantes:

y � u� 0 00 � 00 0 �v z � u� 0 00 � 00 0 �v

Por lo tanto las ecuaciones dinámicas del sistema se pueden compactar:

�RS�T � Lb lUSVWXY � �� m

�RZ�T � Lb lUZVWXY � �� m z �tSZX�T � w�� VWXY � yt�� x��

�RX�T � Lb lUXVWXY � �� m

�VWX�T � L� { LY %��<� � ��<� � ��<��| �VWX�T �

LY w��t��M

Quedando el conjunto completo como:

z #t��#$ � w�� 2 � yt�� x�� %3.44�

�VWX�T � LY w��t��M %3.45�

La transformada de Park (T) permite relacionar las magnitudes expresadas

en ejes dq y las trifásicas:

t�� s}Lt�~ %3.46�

w�� s}Lw�~ %3.47�

x�� s}Lx��~ %3.48�


Introduciendo éstas últimas en las expresiones matriciales (3.44) y (3.45) se

obtienen las siguientes expresiones:

z #%s}Lt�~�#$ � %s}Lw�~� ��2 � y%s}Lt�~� � s}Lx��~ %3.49�

�VWX�T � %s}Lw�~�%s}Lt�~�M %3.50�

Desarrollando la derivada del producto y multiplicando por T la ecuación

(3.49):

sz ��%s��T t�~ � szs}L �tW��T � ss}Lw�~ VWXY � sys}Lt�~ � ss}Lx��~ %3.51�

Sacando factor comun L y R respectivamente de L y R, se quedan como el

producto de una constante y la matriz identidad I:

�s� ��s��T t�~ � �s�s}L �tW��T � ss}Lw�~ VWXY � �s�s}Lt�~ � ss}Lx��~ %3.52�

Simplificando:

�s ��s��T t�~ � � �tW��T � w�~ VWXY � �t�~ � x��~ %3.53�

Donde:

s #%s}L�#$ � l0 �11 0 m %3.54�

Debido a los términos no diagonales no nulos de la matriz anterior queda

patente el acoplamiento del sistema de ecuaciones. Desglosando en ambas

compotentes queda:

�RW�T � Lb %UWVWXY � �� L��~ � �� %3.55�

�R��T � Lb %U�VWXY � ��~ �L�� ~� %3.56�

En cuanto a la ecuación gobernante de la dinámica del bus de contínua, si

dicha expresión (3.50) es multiplicada por la transformada de Park T y se opera

debidamente se tiene:

�VWX�T � LY w�~t�~M %3.57�

Efectuando el producto entre los vectores w�~! t�~M:

�VWX�T � L� {L

Y %<�� <~�~�| %3.58�


En resumen, el modelo promediado en coordenadas dq que representa la

dinámica de un VSC queda expresado por las siguientes ecuaciones

diferenciales (3.59)-(3.61):

�RW�T � L

b %UWVWXY � �� L��~ � �� (3.59)

�R��T � Lb %U�VWXY � ��~ � L�� ~� %3.60�


Y %<�� <~�~�| (3.61)

Figura 3.12 Modelo del VSC en coordenadas dq.

Simulaciones y modelos a escala

Todo modelo que se plantee debe ser validado. En este punto se suele

plantear una discusión entre los que trabajan con modelos experimentales a

escala y los que optan por utilizar sólo simulaciones. Determinar cuál de los dos

métodos se acerca más a la realidad no es fácil, y hasta puede resultar una tarea

inútil. Lo que sí es cierto es que ninguno de los dos podrá reproducir

exactamente la realidad. En el caso de los modelos a escala se suele recurrir a

grandes simplificaciones. La eficiencia de un modelo a escala por lo general es

mucho menor que la del sistema real porque se suelen realizar importantes

simplificaciones topológicas. Por otro lado, en un modelo simulado, se

mantiene el tamaño verdadero del sistema real y no es necesario realizar

simplificaciones topológicas, puesto que poner más o menos elementos no

encarece las simulaciones. Sin embargo, el hecho de pretender similar la

realidad con ecuaciones matemáticas puede dar resultados totalmente erróneos.

Por más que el modelo utilizado sea el más complejo y realista, siempre se

cometerán errores. Así, lo único que se puede afirmar es que la única verdad es

la realidad. Todas las demás intentos que se puedan plantear para lograr

reproducirla son sólo aproximaciones de la realidad. Por tal motivo, se propone

�RW�T � Lb %UWVWXY � �� L��~ � ��

�R��T � Lb %U�VWXY � ��~ � L�� ~�


Y %<�� <~�~�|

ef$$! ��gh � <�� 1 � <�2

� � � #, �

<� P [-1 ,1]

<�� P [0 ,1]


que todas las aproximaciones no sean consideradas como exclusivas, sino

complementarias.

En este trabajo se considera la reproducción de la realidad sólo por medio de

simulaciones. El modelo es implementado en SimPowerSystem/Matlab. En

estos programas comerciales se pueden simular los IGBTs. También se pueden

simular los transformadores, líneas, y otras dinámicas. Se trata de modelos

fuertemente no lineales, de estructura variable, con un rango de frecuencias y

constantes de tiempo muy amplias. Toda la industria de convertidores utiliza

algunos de estos programas o similares con fin de estudiar un prototipo que se

desee implementar físicamente a escala real. La aceptación de los mismos está

basada en la proximidad de los resultados obtenidos, a la realidad que

modelan.


3.2. Bloques funcionales de un filtro activo

3.2.1. Medida

Tanto el control del convertidor (encargado del seguimiento de las

intensidades de referencia) como el control del filtro activo (encargado de

calcular en tiempo real las señales o intensidades de referencia) están

fundamentados en algoritmos que requieren el conocimiento de magnitudes

trifásicas de tensiones e intensidades.

Las medidas necesitadas para la ejecución del seguimiento de las

intensidades de referencia son las intensidades trifásicas inyectadas por el

convertidor. Para el cálculo de las referencias en tiempo real se requieren las

tensiones simples de fase en el punto PCC y las intensidades de línea de la

carga. El filtro activo debe ser diseñado para mantener constante la tensión DC del

condensador en el caso de un VSC, o la corriente DC que circula a través de la bobina

en caso de topología CSC. Luego se requiere medir la tensión o la intensidad DC.

3.2.2. Cálculo de la señal de referencia

3.2.2.1. Cálculo de intensidades de referencia mediante Teoría pq

Una ventaja significativa del uso de la Teoría pq [1] en el diseño de controles

de filtros activos es la posibilidad de seleccionar independientemente la porción

de potencia real y/o imaginaria a ser compensada.

�� + �

�� + ��

Potencia Potencia

promedia oscilatoria

La potencia real (p) representa el flujo total de energía por unidad de tiempo

en el circuito. El valor promedio de ésta es la potencia intercambiada en una

sola dirección. Las oscilaciones de potencia real contiene la energía por unidad

de tiempo que produce un promedio de valor cero, representando una cantidad

adicional de flujo de potencia en el sistema eléctrico sin contribución efectiva de

energía transferida entre la fuente y la carga.


El conjunto de la potencia imaginaria promedia y la potencia imaginaria

oscilatoria proporciona la magnitud de la potencia intercambiada entre fases sin

transferencia de energía entre la fuente y la carga. La componente oscilatoria

presenta un valor promedio.

Tanto las oscilaciones de potencia real como imaginaria están asociadas

exclusivamente al contenido armónico demandado por la carga. Anteriormente

se mencionó la ventaja selectiva del método, permitiendo eliminar las

componentes armónicas de la corriente mediante la compensación de ambas

partes oscilatorias y/o compensar potencia reactiva. De esta forma se consigue

una corriente sinusoidal desde el punto de vista de la red, y/o el mínimo valor

eficaz de la intensidad de la red que transporta la misma cantidad de potencia

activa hacia la carga con las mínimas pérdidas de transmisión, significando que

la corriente de la fuente está en fase con la tensión de ésta, es decir, que la

corriente y la tensión son proporcionales.

La Figura 3.13 describe mediante diagramas de bloques el procedimiento de

cálculo de las intensidades de referencia mediante la Teoría pq.

Figura 3.13 Diagrama general de cálculo de corrientes de referencias

por el método de la Teoría pq.

El módulo de cálculo de la potencia instantánea requiere la toma de medidas

de tensiones de fase en el punto PCC (��) y de intensidades de línea de la

carga��). A través de la Transformación de Clarke se expresan las magnitudes

medidas en referencia estacionaria, y con éstas últimas el valor de la potencia

instantánea real e imaginaria:

��

�

� p �

q ��

Cálculo de la

potencia

instantánea

Selección de

compensación

de potencia

Regulador de

tensión DC

Cálculo de

intensidades

de referencia

��

��

��

��

��

��

��

��

��


Figura 3.14 Cálculo de la potencia real e imaginaria.

El siguiente bloque permite hacer uso de la selectividad (característica del

propio método) posibilitando la compensación de armónicos de corriente y/o el

factor de potencia. En caso de requerir ambas, la obtención de � se ejecutará,

en general, con un filtro paso bajo de frecuencia de corte entre 20 y 100 Hz, de

forma que proporcione el valor promedio , el cual es descontado a la potencia

real. Por lo tanto las potencias a compensar son �= � y �� = �.

Hay que tener en cuenta que la tensión del condensador del bus de continua

hay que mantenerla constante para el correcto funcionamiento del inversor.

Esta especificación de operación se traduce en forzar a la red a suministrar las

pérdidas (de conmutación y conducción de los IGBTs y de la inductancia de

acoplamiento de convertidor). Según el criterio de signos adoptado en el

modelo de VSC (Figura 3.11), desde el punto de vista del convertidor, éste debe

inyectar una potencia negativa en la red de valor absoluto ��.En el apartado

3.2.3.3 se analizará como calcular y controlar dicha potencia (o la corriente

asociada a ella). Finalmente, una vez decididas y obtenidas las potencias a

compensar se calculan las intensidades de referencia trifásica asociadas a ellas.

Figura 3.15 Selección de la potencia a compensar.

La referencia calculada depende de la tensión del punto PCC, de forma que si

está distorsionada, la referencia calculada es errónea. En este caso, sería

��

�

��

��

p = �!·! + �"·"

p = �"·! - �!·"

vαβ

T. Clarke

p

q

��

� � �� !�

�"�

Inversa de

T. Clarke

��

#$��$ � % � 1v() � v*) +�! �"�" ��! , - $ � ./00 �$ 1

��

��


necesaria la detección de la componente fundamental de secuencia positiva de

dicha tensión, con el fin de dibujar una corriente sinusoidal desde el punto de

vista del sistema. La Figura 3.16 muestra el diagrama de bloques del detector de

tensiones.

Figura 3.16 Diagrama general de cálculo de corrientes de referencias.

Método Teoría pq con detector de secuencia directa.

El detector de tensión es un dispositivo basado en la Teoría pq. Las tensiones

de fase �� son transformadas a ejes estacionarios mediante la Transformación

de Clarke. Las tensiones resultantes son usadas junto con las intensidades !2 e "2 producidas por el PLL para calcular 2 y �2 (una parte importante del detector

de secuencia directa es el PLL (descrito en el apartado 3.2.2.4) que debe "ver"

sólo lo que ocurre a frecuencia fundamental). Se asume que las corrientes

auxiliares !2 e "2 son magnitudes derivadas sólo de la secuencia positiva de la

corriente a frecuencia fundamental. La amplitud de las corrientes auxiliares no

��

��2

#$��$ � % � 1�!) � �") +�! �"�" ��! , - 3 � ./00 � 1

PLL

p’ = �!·!2 + �"·"2

p’ = �"·!2 - �!·"2

sin(45 )= !2

cos(45) = - !2

2 Filtro

paso

bajo

Filtro

paso

bajo

q’ �6 6 Inversa de

T. Clarke

�!2

�"2

T. Clarke

�2


son importantes, se pueden elegir arbitrariamente, por simplicidad serán la

unidad. En otras palabras 2 y �2 no tienen significado físico. En caso de

necesitarse detector de la componente fundamental de secuencia positiva de la

tensión, las nuevas tensiones simples, que se necesitan para calcular la potencia

instantánea con objeto de calcular las intensidades de referencia, será ��2 .

3.2.2.2. Cálculo de intensidades de referencia mediante el método síncrono

(SRF)

La implementación del método SRF [2] se muestra en la Figura 3.17.

Figura 3.17 Diagrama general de cálculo de corrientes de referencias

por el método síncrono.

Las intensidades trifásicas �� son medidas y transformadas a referencia

síncrona (referencia rotativa a frecuencia fundamental). Ello requiere conocer la

frecuencia o el ángulo eléctrico fundamental del sistema para todo instante de

tiempo. La técnica del PLL lo proporciona (apartado 3.2.2.4).

Un filtro paso alto (tipo Butterworth) de segundo orden con una frecuencia

de corte de 30 Hz actuando sobre las intensidades en referencia síncrona (7 e 8)

es suficiente para dejar pasar las componentes armónicas de de éstas, siendo

éstas las intensidades a compensar 7� � 8� . El último es expresar las

intensidades 7� � 8� en referencia trifásica, a través de la transformación inversa

de Park. Indicar que este método no permite compensar potencia reactiva.

Este método tiene independencia directa de la tensión del sistema, aunque

indirectamente sí, ya que depende del ángulo de la tensión a la hora de realizar

la transformación. Si el PLL detecta que la tensión está distorsionada, el método

errará en el cálculo de las intensidades de referencia, eso sí, menos que el

método pq.

8

7

θe

T. Park

Filtro paso

alto

Filtro paso

alto

��

7�

8�

Inversa de

T. Park

��


3.2.2.3. Cálculo de intensidades de referencia mediante el método estacionario

(StatRF)

El método StatRF [3] consiste en utilizar un filtro paso alto directamente a las

intensidades medidas de la carga en coordenadas trifásicas, de forma que sólo

se deje pasar el contenido armónico. Es decir, permite pasar el conjunto de

intensidades a compensar. Este método propone el siguiente filtro paso alto

(obtenido al pasar un filtro paso alto en dominio dq (9 �9 � :�;⁄ ), a coordenadas

trifásicas):

=��9; �>???@9) � :�9 � :�:A√3 � :A)

9) � 2:�9 � :�) � :A)2:�:A√39) � 2:�9 � :�) � :A)� 2:�:A√39) � 2:�9 � :�) � :A)

9) � :�9 � :�:A√3 � :A)9) � 2:�9 � :�) � :A) E

FFFG

Donde:

- :A: frecuencia fundamental del sistema.

- :�: frecuencia de corte. De valor 3-15 dB. Cuanto mayor sea antes se

llegará al régimen permanente.

Podría haberse utilizado un filtro paso bajo. La implementación de este

método se muestra en la Figura 3.18. Sólo es necesario filtrar la fase a y b. La

fase c es la suma cambiada de signo de las dos anteriores. Este método no

permite compensar potencia reactiva.

Figura3.18 Diagrama general de cálculo de corrientes de referencias

por el método estacionario.

Las ventajas de este método son:

1. No depende de las tensiones del sistema.

2. No requiere el conocimiento del ángulo de las tensiones.

��

��

=��

��


Grado de sensibilidad Cte. proporcional Cte. integral

Insensible 1.43 318

Poco sensible 2.85 1268

Muy sensible 28.5 126610

Tabla 3.1 Sensibilidad de percepción a la distorsión de tensión.

Indicar que el grado de sensibilidad insensible no lo es infinitamente, debe

de verse como muy poco sensible. Un PLL infinitamente insensible es

equivalente a integrar en el tiempo sólo la frecuencia angular fundamental de

las tensiones del sistema.

3.2.3. Seguimiento de corriente (control del filtro activo)

Los controladores del presente trabajo se diseñarán basándose en el modelo

promediado. Con este modelo se simulará la respuesta del controlador y el

sistema objeto del presente trabajo ante unas referencias y perturbaciones. Una

vez obtenida una respuesta satisfactoria se procedería a implementar el

controlador en un modelo mucho más realista realizado en PSCD o RTLAB y

Matlab/Simulink, tarea que excede del objetivo de dicho proyecto. En cualquier

caso (simulación o realidad), al realizar el PWM (técnica de modulación

analizada en apartado 3.2.4.), las señales medidas tienen una importante

cantidad de ruido que debe ser filtrado todo lo posible. Este ruido puede afectar

a la respuesta del controlador. Controles con ganancias elevadas tienen mejores

comportamientos, sin embargo se debe cuidar que los ruidos no sean

amplificados hasta el punto de obtenerse respuestas inadmisibles que incluso

pueden derivar en sistemas inestables.

En general, todos los sistemas electrónicos cuentan con ciertas entradas y

salidas, que normalmente suelen ser estados o funciones de los mismos. En el

caso presente, el VSC modelado con las expresiones (3.59)-(3.60) tiene por

entradas las variables �� , �� y ��. Las salidas que se desean controlar son las

intensidades en ejes síncronos �� e �� (se desea que las salidas sigan una

referencia).

Se presenta un problema debido a que se tienen un número de entradas

superior al de salidas. Para poder abordar dicho se supondrá que la tensión del

bus de continua es fija o es un parámetro poco variable. Una vez desarrolladas

las distintas estrategias de control de intensidades se analizará y discutirá la

inclusión de la tensión del bus de continua �� como variable a controlar. Por

lo tanto, el sistema de ecuaciones que permite el control de las intensidades,

tomando la tensión del condensador como un parámetro, es el siguiente:


�� 1� ��2 � �� 3.77�

�� 1� ��2 � �� 3.78�

3.2.3.1. Control a lazo abierto

Mediante las entradas ��y ��Se desea controlar las corrientes �� e ��. El

primer control que se plantea determina las entradas necesarias para hacer que

las salidas sean las deseadas de manera algebraica. Para ello, se utilizan las

expresiones (3.59)-(3.60) del modelo obtenido y se agregan dos ecuaciones

algebraicas que proporcionen las restricciones para que las corrientes que se

obtengan sean las deseadas (�� e ��).

� �� 2 � �� 3.79�

� �� 2 � �� 3.80�

0 � �� 3.81� 0 � �� 3.82�

La solución de este sistema algebraico determina (en estado estacionario) las

entradas necesarias para lograr los valores de consigna o referencia. Para

solucionar el sistema anterior se puede utilizar un algoritmo numérico como el

de Newton-Raphson. Sin embargo, en este caso la solución es muy simple y se

plantea de manera simbólica como sigue:

�� !"!�!# $%&!� $ '&(� $ )*!+!, (3.83)

�� - !"(�!# $%&(� . '&!� $ )*(/!, (3.84)

El control a lazo abierto es impracticable por diversos motivos descritos en el

apartado 3.2.3.2..


3.2.3.2. Control proporcional-integral

El control a lazo abierto tiene una importante desventaja, la de tener que

conocer exactamente el modelo a controlar. Cualquier diferencia entre el

modelo utilizado (con objeto de obtener las entradas necesarias para lograr un

determinado objetivo) y la realidad, causará que se cometa un error que pueda

ser inadmisible. Por tal motivo, lo más común en la industria es realimentar las

salidas para que el sistema de control pueda eliminar errores paramétricos o

rechazar perturbaciones inesperadas. Si bien el modelo tiene un fuerte

acoplamiento entre las entradas (��y ��) y las salidas a controlar (�� e ��), para

ciertos valores de de inductancias y resistencias, se puede encontrar cierta

independencia entre unas y otras. Cuando esto ocurre se podría plantear dos

sistemas del tipo una entrada y una salida, SISO (del inglés Single-Input-Simple-

Output). Luego, se puede utilizar un controlador del tipo proporcional-integral

por cada sistema y así comparar la salida con una referencia a conseguir. Se

definen dos nuevas variables, la diferencia entre los valores deseados para los

estados y los propios estados, no son más que los errores de seguimientos y

pueden expresarse como sigue: 0&� � �� 3.85� 0&� � �� 3.86�

Obteniendo de las expresiones (3.59)-(3.60), que son no lineales y están

acopladas, las entradas en función de los parámetros y las salidas:

�� 2 3�� 4�� 3.87�

�� 2 �� +�� 3.88�

Es un sistema de múltiples entradas y múltiples salidas (MIMO, del inglés

Multiple-Input-Simple- Multiple), en el que existe un cierto acoplamiento, es

decir, que tanto la entrada �� como �� influyen en ambas salidas (�� e ��).

A partir de simulaciones o de un análisis de variación de estados, según la

variación de las entradas, se observa una mayor dependencia de �� con ��.

Análogamente, �� tiene una relación más estrecha con ��. Expresando

MIMO ��

��


matemáticamente lo anteriormente expuesto a través de las expresiones (5.11)-

(5.12) queda:

�� 5 26�� 7�� 3.89�

�� 5 26�� 7�� 3.90�

Así podemos desacoplar el problema de control, a sacrificio de un error, ya

que realmente sí existe acoplamiento. Ahora se tiene dos sistemas SISO no

lineales:

Para esta alternativa de control se propone un controlador proporcional-

integral para cada componente desacoplada, mostrado en los diagramas de

bloques de la Figura 3.22. Antes se necesita expresar las intensidades �� e �� en

función de �� y ��, a través de las ecuaciones (3.89)-(3.90):

�� 5 �� 2�� 3.91�

�� 5 ��2 � �� 3.92�

Las expresiones (3.91)-(3.92) modela el comportamiento del correspondiente

sistema SISO, recalcado y enmarcado en la siguiente figura con un recuadro en

línea de trazos.

��

��

SISO

SISO

��

��


Figura 3.22 Diagramas de control de intensidades. Control

proporcional-integral.

Este método de control no es apropiado debido que el simplificado, objeto de

desacoplar las ecuaciones del modelo, está sujeto a errores. No obstante es de

interés los análisis anteriores.

3.2.3.3. Linealización exacta

Una estrategia muy utilizada es la linealización exacta por realimentación

(FL, del inglés Feedback-Linearization). Esta estrategia consiste en linealizar y

desacoplar el sistema a controlar mediante un cambio de variables, de tal forma

que el nuevo sistema transformado sea lineal y esté desacoplado. Luego, se

pueden aplicar estrategias de control lineales muy simples para definir

completamente el controlador. En general la estrategia de control por

realimentación que se aplicará en este trabajo es la denominada linealización

exacta entrada-salida. Así lo que se obtiene es una serie de entradas que "ven" a

las salidas a controlar a través de una dinámica lineal. Al aplicar esta estrategia

se debe tener en cuenta que si bien las entradas y salidas obedecen a un sistema

dinámico lineal estable, puede quedar un sistema remanente cuya dinámica no

sea estable. Sin embargo, en el caso particular estudiado en este trabajo, las

dinámicas internas son estables. Particularmente el sistema VSC es un sistema

muy propicio para aplicar esta estrategia de control. Para formular la estrategia

FL, las dos expresiones (3.59)-(3.60) se igualan a dos entradas auxiliares 8� y 8�:

��

��

PI �� 2��

�� 0&� ��

��

�

� �� 0&�

PI

�� 2 � ��

��

� ��


�� 1� ��2 � �� 8� �3.93�

�� 1� ��2 � �� 8� �3.94�

Así, por un lado se tiene:

8� � 1� ��2 � �� 3.95�

8� � 1� ��2 � �� 3.96�

Y por otro: �� 8� �3.97�

�� 8� �3.98�

De (3.97) y ( 3.98) se puede decir que las nuevas entradas 8� y 8�, sin

interpretación física pero con unidades V/H, controlan un sistema SISO y

lineal, el cual es simplemente un integrador para cada entrada. El sistema de

ecuaciones puede plantearse en dominio de Laplace (la transformada de

Laplace es útil para resolver problemas lineales de valores iniciales en los que

la ecuación diferencial tiene coeficientes constantes y gobierna un sistema

SISO):

1: ��

8�8�

1: �� 8�


Se plantea un lazo de control mediante un controlador proporcional-integral

para cada intensidad (Figura 3.23), esta vez teniendo como entradas 8� y 8� en

lugar de ��y ��:

Figura 3.23 Diagramas de bloque de control. Linealización exacta.

Si bien 8� y 8� "ven" el sistema de forma lineal y desacoplado, lo cierto es

que estas entradas son ficticias, son un artilugio matemático. Sin embargo, de �3.95�-�3.96� se pueden obtener las entradas reales, o al menos con la que

después, con la transformada de Park inversa, se convertirán en las señales

reales para controlar el generador de pulsos del PWM. De esta forma,

despejando las entradas ��y ��, se obtienen las siguientes expresiones:

�� 26�8� � �� 7�� 3.99�

�� 26�8� � �� 7�� 3.100�

Esta será la estrategia de control utilizada en las simulaciones del presente

trabajo, considerándose practicable pues se consigue linealizar y desacoplar en

sistemas SISO mediante un simple cambio de variables y no mediante

simplificaciones sujetas a errores tal como ocurre en el control proporcional-

integral desarrollado en el apartado 3.2.3.2..

8� �� PI 0&�

� ��

1:

��

� ��

0&� PI 8� 1:

��


3.2.3.4. Control de tensión

En el apartado 3.2.2.4. se mencionó que era interesante, desde el punto de

vista del control del bus de continua, que todo el peso de la tensión del punto

PCC recaiga sobre la componente q. De esta forma la tensión del bus de

continua (��) tendría una fuerte dependencia de ��, y el control quedaría

reducido al seguimiento de dicha intensidad. �� 5 12> �� 3.101�

A continuación se demuestra la dependencia (3.101). La ecuación que

modela la parte de continua del VSC viene dada por la siguiente expresión: �� 12> �� 3.102�

Se parte del siguiente modelo eléctrico (Figura 3.23) expresado en el sistema

de referencia síncrono.

Figura 3.24 Modelo dq de la parte de alterna.

Para la demostración se hace uso de las hipótesis � ? 1 y � ? 1. Entonces, se

puede despreciar la caída de tensión de la inductancia y de la resistencia:

�� 5 @!)!,� �3.103�

�� 5 �A)!,2 �3.104�

Si el PLL es tal que �� 0 0 5 �� 5 0

Luego, queda en evidencia que la tensión del bus de continua depende

principalmente de la corriente ��: �� 5 12> �� 3.105�

El hecho de que todo el peso de la tensión del punto PCC recaiga sobre la

componente q produce un interesante desacople en las potencias inyectadas en

punto PCC. Se puede manejar potencia activa y reactiva de forma

independientemente (ver Tabla 7.1).

� ��

��

�

�

��

��

�� 2

�� 2

�


B 5 �� 3.106� A 5 �� 3.107�

El siguiente paso es diseñar un algoritmo o diagrama de control para

mantener la tensión del condensador del bus de continua constante. Cualquier

flujo de potencia activa que sea proporcionado por el condensador hacia la red

hará que éste reduzca su tensión. Por consiguiente, cualquier flujo de activa que

la red le entregue al condensador inflará dicha tensión. El VSC no suministra

potencia neta a la red, es decir, el promedio de la potencia inyectada (potencia

armónica activa y/o reactiva) es nulo. Eso sí, la entrega-consumo de potencia

activa armónica hace oscilar la tensión del condensador en torno un valor

medio. El control de la tensión es necesario para que la energía almacenada en

el condensador no suministre las pérdidas de potencia activa (B CDD, producidas

en las conmutaciones, las resistencias internas y en las resistencias asociadas a

las inductancias de acoplamiento), fenómeno que iría acompañado de una

reducción de la tensión. En cambio, la potencia reactiva, que siempre tiene

promedio nulo, no repercute en la tensión del condensador ya que dicha

potencia es un mero intercambio de potencia entre fases sin intercambio neto de

potencia entre dos subsistemas (en el presente trabajo entre el VSC y la red). En

resumen, se requiere que el sistema eléctrico aporte las pérdidas de potencia

activa (en definitiva un aporte de ��). Como criterio de signos adoptado, se

considera positiva toda potencia (o intensidad asociada) que sea extraída del

convertidor o inyectada al punto PCC (Figura 3.3). Así, el convertidor

demandaría de la red una potencia activa equivalente a las pérdidas, o lo que es

lo mismo el VSC debe inyectar en el PCC, además de la potencia armónica, una

potencia activa instantánea asociada a las pérdidas de valor �B CDD.

En primer lugar se analizará el caso en el que la tensión del bus de continua

es controlado, a través de un Δ��. Desde el punto de vista de la compensación

de intensidades armónicas, Δ�� debe de ser descontada a ��FGH, tal y como exige el

criterio de signos adoptado. �� 12> ��Δ�� 3.108�

Expresando la ecuación diferencial (3.108) en el dominio de Laplace (para

ello ha de suponerse que �� no varía demasiado y que ésta se toma como un

parámetro que es absorbido por el propio controlador proporcional-integral) e

introduciéndola en un lazo de control en el que se toma como variables de

entrada y salida a �� y Δ�� respectivamente, se obtiene el diagrama de bloques

de la Figura 3.25.


Figura 3.25 Diagrama de bloques de control del condensador mediante �� .

La segunda alternativa propuesta parea controlar la tensión se apoya en la

potencia activa. En la parte de continua del convertidor sólo existe un tipo de

potencia, la activa. Por lo tanto la tensión del bus ha de ser controlada

exclusivamente vía potencia activa. Se podría decir que la red tiene que

inyectarle al condensador una potencia activa tal que contrarreste las pérdidas �B CDD) suministradas por el propio inversor. Ciertamente las pérdidas se

producirían en las resistencias que se encuentre por el camino hacia el VSC,

pero no debe de llegar al condensador (aumentaría la tensión), de esta forma se

exime a éste de suministrad las pérdidas. Si a la idea anterior se añade que el

PLL impone �� 5 0, la única componente de la intensidad que hace que se varíe

la potencia activa es �� . Reorganizando y multiplicando por �� la expresión

(3.105) queda: ��> �� 5 12 ��Δ�� 3.109�

B� 5 BI 5 B CDD �3.110�

La potencia activa que cedería el condensador para las pérdidas (B CDD) viene

dada por la siguiente expresión:

B CDD � ��> �� 3.111�

Expresando la relación (5.35) en el dominio de Laplace:

J�K � L CDD>M �3.112�

Donde J�K � �J��. Si se toma como variable de entrada y de salida

respectivamente L CDD y J�K , y un control a lazo cerrado, se puede conseguir la

especificación de referencia de la tensión del condensador. Se insiste en que la

N��

J�

ΔO� J� PI 1M

� J�FGH

�


potencia B CDD ha de ser descontada a la potencia armónica de referencia por

motivo del criterio de signos adoptado.

Figura 3.26 Diagrama de bloque de control del condensador DC

mediante potencia activa.

Una última consideración sobre la tensión del bus de continua permite

enfatizar que ésta ha de tomarse como un parámetro desde el punto de vista del

control de intensidades, para así poder realizar y aprovechar las virtudes de la

técnica Feedback Linearization.

3.2.3.5. Capacidad de control de corrientes de un APF

Se establecerá que condiciones han cumplirse a la hora de diseñar e

implementar un filtro activo, para garantizar la capacidad de control de

intensidades, con objetivo de generar unas intensidades de referencia [5].

El análisis de capacidad propuesto hace uso de las magnitudes en referencia

estacionaria. Para conseguir dicha referencia se aplica la Transformación de Clarke

a las ecuaciones trifásicas del modelo, obteniéndose así las ecuaciones del

modelo en ejes PQ. En los siguientes desarrollos se desprecia la resistencia

asociada al factor de calidad de la inductancia de acoplamiento del filtro. A

continuación se describe el procedimiento para expresar el modelo en

coordenadas PQ.

Lo más sencillo es trabajar matricialmente las expresiones trifásicas de

estructura variable (3.10)-(3.12), estructura provocada por los diferentes estados

asociados a la función de conmutación >R : 1, :� MR ST U MRK SVV

>R �

�1, :� MR SVV U MRK ST

Figura 3.27 Función de conmutación >R . W X � Y, Z, [.

J��

L CDD J�� PI 1>M

� J��,FGH

�


Indicar que el modelo requerido para el análisis de capacidad de control es el

expresado mediante los estados, es decir, en función de >R, que corresponde a

las expresiones (3.10)-(3.12). Se insiste en que no es el modelo promediado.

0 � ��I � � ��I� � 13 �>I � >\ � >2 + �� 3.113�

0 � ��\ � � ��\� � 13 �>\ � >I � >2 + �� 3.114�

0 � �� 13 �> � >I � >\2 + �� 3.115�

]I\ � ^�I�\� _ Ì\ � Na bcd>I � �e$�,�>\ � �f$�,�> � �f$�e� gh

i

�I\ � ^��I��\�� _ j � ^� 0 00 � 00 0 �_

La relación �3.116� expresa el modelo de forma matricial.

j �]I\� � Ì\�� I\ �3.116�

Aplicando la Transformación de Clarke k a las variables involucradas en el

desarrollo: ]I\ � k.N]lm �3.117� Ì\ � k.N`lm �3.118� �I\ � k.N�lm �3.119�

Introduciendo las expresiones (5.41)-(5.43) en (5.40) se obtiene:

j �k.N]lm� � k.N`lm�� k.N�lm �3.120�

La transformación de variables es ejecutada mediante una matriz de

coeficientes constantes. Esta característica hará que las ecuaciones del modelo

obtenido no estén acopladas.

jk.N �]lm� � k.N`lm�� k.N�lm �3.121�


Multiplicando toda la ecuación por T y sabiendo que j � �n, donde n es la matriz identidad:

�knk.N �]lm� � kk.N`lm�� kk.N�lm �3.122�

Finalmente, simplificando se obtiene la ecuación diferencial matricial que

modela y permite gobernar la parte de alterna en coordenadas PQ:

j �]lm� � `lm�� lm �3.123�

Una vez obtenido el modelo se prodece al análisis de capacidad de control o

controlabilidad de las intensidades de referencia. Se propone un cambio de

nomenclatura con el fin de facilitar la escritura y comprensión: {�>� � `lm�� 3.124�

De forma que la expresión (3.124) puede reescribirse como:

j �]lm� � {�>� � �lm �3.125�

A continuación se define un vector error de intensidad (∆]lm):

∆]lm � ]lmFGH � ]lm �3.126�

Donde ]lmFGH e ]lm son respectivamente las intensidades de referencia y

compensada, expresadas en componentes PQ. Al manipular la relación (3.126) e

introducirla en (3.125):

j �∆]lm� � ^j �]lmFGH� � �lm_ � {�>� �3.127�

Reescribiendo la ecuación (3.127):

j �∆]lm� � }~ � {�>� �3.128�

Donde }~ es un vector de voltages el cual permite al filtro activo de potencia

inyectar una compensación de corriente igual a la de referencia:

}~ � j �]lmFGH� � �lm �3.129�

La expresión (3.128) advierte que una posible desviación de voltaje entre }~ y {�>� produce error en la corriente ]lm. El objetivo es obtener una expresión de {�>� para poder ser comparada con }~, con el fin de establecer un criterio de


capacidad de control de intensidades. Para ello hay que manipular la expresión

(3.124): {�>� � k`I\�� 3.130�

Intruciendo las expresiones de cada término en la relación (3.130� queda una

expresión (3.131� que permite evaluar {�>� en los 8 estados posibles que se

puede encontrar el VSC. Las evaluaciones quedan recogidas el la Tabla 3.2.

{�>� � �JlJm+ � �2 3⁄3 · �1 �1 2� �1 2�0 � √3 2� √3 2� � ·bccd

�>I � >\ � >2 +�>\ � >I � >2 +�> � >I � >\2 +g

hhi · �� 3.131�

Donde:

1, :� MR ST U MRK SVV

>R �

�1, :� MR SVV U MRK ST

Figura 3.28 Función de conmutación >R . W X � Y, Z, [.

{� `� `� `� {� {� JN 1 -1 -1 �2 3⁄ 0 J� -1 -1 1 ��2 3⁄ 2⁄ √2 2⁄ Ja 1 -1 1 �2 3⁄ 2⁄ √2 2⁄ J� -1 1 -1 ��2 3⁄ 2⁄ � √2 2⁄ J� 1 1 -1 �2 3⁄ 2⁄ � √2 2⁄ J� -1 1 1 ��2 3⁄ 0 J� 1 1 1 0 0 J� -1 -1 -1 0 0

Tabla 3.2: Evaluación de {�>� según estado de conmutación � � 1, … ,8.


Gráficamente {�>� queda ilustrado en la Figura 3.29.

Figura 3.29 Hexágono J� W � � 1, … ,8 y 0~.

El hexágono proporciona información sobre la posibilidad de controlar las

intensidades a fin de un exhaustivo seguimiento de referencia. El criterio es tal

que no aparecerá error en entre �lmFGH e �lm mientras que 0~ siempre este en el

interior del hexágono formado.

En cuanto a la controlabilidad, a mayor tamaño del hexágono, es decir,

cuanto mayor sea ��, mayor será ésta. Como regla general, en la industria e

instalaciones, la tensión �� es suficiente con el doble de la tensión del punto

PCC. Tener en cuenta que cuanto mayor �� mayor coste del equipo. Desde el

otro punto de vista cuanto menor sea la inductancia de acoplamiento L menor

será 0~, por lo que aumentará la controlabilidad de las corrientes. En

contraposición, a menor inductancia mayor rizado indeseado de las

intensidades. No obstante podemos contrarestar dicho rizado aumentando la

frecuencia de conmutación de los IGBTs, siempre y cuando el increnmento de

pérdidas asociado al aumento de frecuencia de conmutación sea tolerable.

Dada unas intensidades de referencia a compensar (�lmFGH), por lo tanto dado

un ,��lmFGH � ⁄ , el objetivo es alcanzar un compromiso entre ��, L, y el rizado de

las intensidades compensadas, de forma que el sistema sea controlable, es decir,

que se alcance un error prácticamente nulo en las corrientes de compensación.

Jm

Jl

J� � ^√22 ��[, � �2 3⁄2 ��[_

Ja � ^√22 ��[, �2 3⁄2 ��[_

JN � 30, �2 3⁄ ��[4

^� √22 ��[, �2 3⁄2 ��[_ � J�

^� √22 ��[, � �2 3⁄2 ��[_ � J�

J� � 30, ��2 3⁄ ��[4

J� J�

0~


3.2.4. Modulación por ancho de pulsos

La Modulación por Ancho de Pulsos (MAP o PWM, del inglés Pulse-Width-

Modulation) es una técnica que permite controlar el comportamiento de ciertos

dispositivos de electrónica de potencia, principalmente MOSFETs e IGBTs

(Ambos se comportan idealmente como interruptores). Por ejemplo, los

inversores, dispositivos compuestos por una serie de IBGTs y una fuente de

tensión de tensión o intensidad de continua, necesitan esta técnica para poder

controlar la magnitud y la frecuencia de la señal de salida, en general un voltaje

de continua. PWM es el proceso de modificar el ancho de los pulsos de un tren

de pulsos. Estos pulsos provocan que los interruptores estén en estado abierto o

estado cerrado, de forma que se modifica el ciclo de trabajo de éstos. Se define

el ciclo de trabajo o Duty Cicle de una señal periódica como el ancho relativo de

su parte positiva en relación con el período:

� � �� 3.132�

Donde:

- � es el ciclo de trabajo (Duty Cicle), � 0,1�. - τ es el tiempo en que la función es positiva (ancho del pulso).

- T es el período de la función.

El estado de los interruptores puede modelarse a través de diversas

funciones (funciones de conmutación). Si se modela mediante una función ��

que tome valor binario,

1 si �� 0, �� 3.133�

0 si �� , ��

el ciclo de trabajo también se define como el promedio de la función g(t) en el

intervalo de tiempo T:

� � 1� � �� 1

��

�� 1��

��

� �3.134�

En la Figura 3.30 se ilustra una interpretación gráfica del Duty y la función

��.


Figura 3.30 Interpretación gráfica del Duty.

La construcción típica de un circuito que ejecuta la técnica PWM se lleva a

cabo mediante un comparador con dos entradas y una salida. Una de las

entradas se conecta a un oscilador de onda (señal portadora), generalmente de

dientes de sierra, mientras que la otra entrada queda disponible para la señal

moduladora o Duty. En la salida se obtendrá una señal cuya frecuencia es

generalmente igual a la de la portadora (se adelanta que producirán armónicos

indeseables de tensión e intensidad de dicha frecuencia de conmutación),

obtenido por comparación de las dos entradas. La Figura 3.31 ilustra lo

anteriormente expuesto.

Figura 3.31 Señal portadora (azul), moduladora (verde)

y de salida (rosa).

Un análisis de lo sucedido en un periodo de tiempo T, mostrado en la Figura

3.31, permite visualizar que cuanto mayor sea la frecuencia de la señal

portadora, más parecido habrá entre los promedios de las señales portadora y

de salida. Por lo tanto, si la frecuencia de la portadora tiende a infinito, el

promedio de la moduladora en un periodo de tiempo T tenderá al ciclo de

trabajo.

�

0

1

� T- �

�

�

��

�


A continuación se propone un pequeño ejemplo de aplicación de PWM con

objeto de obtener una mejor comprensión de dicha técnica. Dado el siguiente

circuito ideal de la Figura 3.32 y mediante las ideas anteriormente expuestas,

se desea obtener una intensidad cosenoidal mediante PWM. Como fuentes

generadoras de potencia se dispone de dos fuentes de tensión de continua

dispuesta según Figura 3.32. Además, dos interruptores A y B y una

inductancia la cual actuará como filtro paso bajo.

Figura 3.32 Circuito ejemplo para aplicación de PWM.

En el circuito de la Figura 3.32 se cumple, independientemente del estado de

los interruptores, la siguiente relación de tensiones entre el punto M, la tierra

del circuito y la tensión de la bobina:

� ! �" � 0 �3.135�

Introduciendo la relación existente entre la tensión de la bobina y la

intensidad que circula a través de éste en la expresión (3.135) se obtiene la

ecuación diferencial que gobierna el circuito de la Figura 3.32:

� ! $ �� 0 �3.136�

Es necesario introducir una variable no continua C (llamada comúnmente

función de conmutación) la cual tiene como misión modelar el estado de

conmutación de ambos interruptores (A y B), de tal forma que siempre se

encuentren en estados complementarios. Es decir, nunca estarán los dos

interruptores cerrados a efectos de provocar un indeseado cortocircuito.

1, &� ' () * + (,,

- � !1, &� ' (,, * + ()

Figura 3.33 Función de conmutación. Estados de conmutación

de los interruptores A y B.

. V

'

0 V

/

�

� �

�"

-

+

. V

$

�012 � cos�6�� +


El circuito ejemplo presenta dos estructuras diferentes, una para cada valor

de la función de conmutación. Cada circuito resultante lleva asociado un

modelo matemático, implicando que el modelado sea de estructura variable,

con tantas estructuras como estados pudiese haber.

• Si 7 � 8:

Figura 3.34 Interruptor ' () * + (,,.

Dado el estado de conmutación de la Figura 3.34, el circuito queda modelado

por la siguiente expresión:

9 . $ �� 0 �3.137�

• Si 7 � !8:

Figura 3.35 Interruptor ' (,, * + ().

Resultando el modelo matemático (3.138) para el estado de conmutación - � !1.

!9 . $ �� 0 �3.138�

. V

. V

. V

. V

-

�

+

�

+ $

'

0 V

/

�"

-

�

+

�

+ $

'

0 V

/

�"


La tensión del punto M puede expresarse en función de la conmutación

mediante la siguiente expresión:

� � !9- �3.139�

La ecuación de estructura variable que contempla las dos situaciones

relativas al estado de conmutación se consigue introduciendo la expresión

(3.140) en la ecuación (3.136), resultando:

9- . $ �� 0 �3.140�

La complementariedad de ambos interruptores puede visualizarse

gráficamente en las Figuras 3.36-3.37.

Figura 3.36 Estado de conmutación del interruptor A.

(' � 1 abierto, ' � !1 cerrado).

Figura 3.37 Estado de conmutación del interruptor B.

(+ � 1 abierto, + � !1 cerrado).

Realmente debe existir un tiempo muerto que asegure que los interruptores

no conduzcan al mismo tiempo, evitándose así un posible cortocircuito. Dicha

zona hay que tratarla con cierto cuidado, ya que si es muy grande puede haber

una pérdida sensible de información, en el sentido de que la salida no

reproduzca bien la moduladora. Las Figuras 3.36-3.37 y la expresión (3.139)

- � !1 - � 1

- � !1 - � 1

-1

A

1

� T- �

�

�

B

-1

1

� T- �

�

�


ponen en evidencia que la tensión del punto M (� ), sigue la evolución

mostrada en la Figura 3.38 en un periodo T.

Figura 3.38 Tensión del punto M en un período T.

Se busca un modelo del circuito que no sea de estructura variable, es decir,

que la ecuación diferencial gobernante del circuito no varíe estructuralmente en

el tiempo en función del estado, a fin de un modelo más simple y manipulable.

Para ello se recurre a un modelo promediado, de forma que se tomará el

promediado de C (expresión (3.142)) como variable modeladora del estado en

un período de tiempo T. El promedio está relacionado con el ciclo de trabajo tal

y como muestra la expresión (3.142). El modelo promediado resultante es más

representativo del problema original, cuanto mayor sea la frecuencia de la

portadora. Teóricamente, si la frecuencia de conmutación es infinita el modelo

promediado es exactamente igual que el original.

-= � 1� � -�� 1

��

�>� 1�� . � �!1��

��

�? � 2 �

� ! 1 �3.141�

-= � 2 �� !� 2� ! 1 �3.142�

Así queda un modelo promediado expresado por una única ecuación:

9-= . $ �� 0 �3.143�

Se introduce la relación (3.142) en la expresión (3.143) con objeto de

introducir el ciclo de trabajo en el modelo promediado, ya que ésta es la

variable que realmente actuará como señal moduladora que requiere la técnica

PWM:

9�2� ! 1� . $ �� 0 �3.144�

A efectos de una simple aplicación de la técnica PWM se hace un pequeño

control a lazo abierto, tomándose como variable de entrada y salida,

�

9 - � 1 - � !1

�

-V

� T- �

�


respectivamente a � y �. Para ello se impone en la expresión del modelo (3.144)

que la intensidad i sea una intensidad de referencia solicitada �012.

�012 � cos�6�� 3.145�

9�2� ! 1� . $ �� 0 �3.146�

� � �012 �3.147�

La resolución del sistema de expresiones (3.145-3.147) proporciona el valor

del ciclo de trabajo que produce una modulación por ancho de pulsos tal que la

intensidad i del circuito sea la intensidad de referencia (�012).

� � $6sin�6��29 . 1

2 �3.148�

Para un correcto funcionamiento de la técnica PWM, debe de cumplirse

necesariamente la condición (3.149), de forma que se garantice que � � 0,1�.

!1 B $69 B 1 �3.149�

En sucesivos análisis y figuras se supondrá que el cociente CDE anterior es de

valor unidad. Entonces

� � sin�6��2 . 1

2 �3.150�

Figura 3.39 Señal portadora (azul), moduladora (verde)

y de salida (rosa).

El ciclo de trabajo reproduce un tren de pulsos (-F) al ser comparado con la

señal portadora. El tren de pulsos corresponde a una función de conmutación

�

-G ��


binaria, cuyo promediado se acerca al ciclo de trabajo cuanto más alta es la

frecuencia de la señal portador.

El modelo de estructura variable podría haberse formulado directamente con

una función de conmutación -F:

1 si � � 0, �� -F � �3.151�

0 si � � �, ��

Donde los nuevos estados de conmutación viene dado por la Figura 3.40. El

promediado de -F coincide exactamente con el ciclo de trabajo.

-′H � 1� � -�� 1

��

�>� 1�� . � �0��

��

�? � � �3.152�

1, &� ' () * + (,,

-F � 0, &� ' (,, * + ()

Figura 3.40 Estados de conmutación alternativo de los interruptores A y B

Se ha optado por un modelo con - � I!1,1J, ya que es más intuitivo a la

hora de ver el problema. La expresión (3.142) permite relacionar C y -F (el

promediado de (3.151) da la relación (3.142)).

- � 2-’ ! 1 �3.153�

Como se aprecia en la Figura 3.39, la esencia del método consiste en generar

un tren de pulsos -F de altura fija pero de anchura variable, más o menos

proporcional a la amplitud de la onda de referencia a modular, mediante la

comparación de la señal moduladora y portadora. Indicar que la frecuencia de

la señal portadora debe ser al menos diez veces superior a la de la referencia

para que el método sea efectivo. Teniendo en cuenta la expresión (3.139), la

tensión del punto M tomará valor +V o -V según el tren de pulsos.


Figura 3.41 Tensión � generada.

Se puede demostrar que la frecuencia fundamental del tren de pulsos

coincide con la señal moduladora. Por consiguiente la componente fundamental

de la tensión � generada tiene como componente fundamental � L. Se supone

que la inductancia L actúa de filtro paso bajo de tal forma que absorbe todos los

armónicos de intensidad. Dicho resultado es alcanzado si y solo sí la tensión

generada sólo tuviese componente fundamental tal que la corriente cumpla la

restricción de forma cosenoidal. El problema se reduce a comprobar que la

tensión generada tiene una componente fundamental tal que la intensidad

circulante sea la deseada. Para realizar dicha tarea se supondrá que � es

puramente fundamental.

� � � L � 9&�M�6�� 3.154�

Sustituyendo (3.154) en la ecuación diferencial gobernante del circuito (3.136)

se tiene:

9&�M�6�� . $ �� 0 �3.155�

Integrando la expresión (3.155) se obtiene finalmente el resultado del

problema.

� � � ! 9$ &�M�6�� cos �6�� 3.156�

El objeto en cuestión de dicho proyecto es forzar al PWM a generar unas

intensidades de referencia mediante una fuente de tensión. Mediante pulsos de

tensión positivos y negativos se tienen que conseguir dichas intensidades. La

clave está en relacionar las corrientes de referencia con el Duty a través de las

expresiones promediadas representativas del modelo en estudio.

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��

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3. El convertidor en fuente de tensión como filtro...

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