3. Dualidad y Sensibilidad

Juan José Bravo B., M.Sc.Juan José Bravo B., M.Sc.

Modelos de Programación Lineal

Dualidad y Dualidad y SensibilidadSensibilidad

Juan José Bravo B, M.Sc. Juan José Bravo B, M.Sc. ©©


Ejemplo Prototipo

Un fabricante tiene tres centros de distribución en: Bogotá, Medellín y Cali. Estos centros tienen disponibilidades de: 20, 50 y 40 unidades respectivamente. Sus detallistas requieren los siguientes cantidades: Pereira 25, Tulúa 10, Anserma 20, Ibagué 30 y Armenia 15. El costo de transporte por unidad en pesos entre cada centro de distribución y las localidades de los detallistas se dan en la siguiente tabla:

Cuantas unidades debe mandar el fabricante desde cada centro de distribución a cada detallista, de manera que los costos totales de transporte sean mínimos?

/1


Ejemplo Prototipo /2

Xij = Cantidad de unidades a enviar desde el centro de distribución i al

detallista j. i = 1 = Bogotá j = 1 = Pereira j = 4 = Ibaguéi = 2 = Medellín j = 2 = Tulúa j = 5 = Armenia i = 3 = Cali j = 3 = Anserma

Minimizar Z = 55X11 + 30X12 + 40X13 + 50X14 + 40X15 + 35X21 + 30X22 + 100X23 + 45X24 + 60X25 + 40X31 + 60X32 + 95X33 + 35X34 + 30X35 Sujeta a:

X11 + X12 + X13 + X14 + X15 ≤ 20X21 + X22 + X23 + X24 + X25 ≤ 50 X31 +X32 + X33 + X34 + X35 ≤ 40 X11 + X21 + X31 ≥ 25 X12 + X22 + X32 ≥ 10 X13 + X23 + X33 ≥ 20 X14 + X24 + X34 ≥ 30 X15 + X25 + X35 ≥ 15 Xij ≥ 0 ; i = 1, 2 y 3 ; j = 1, 2, 3, 4 y 5

Disponibilidad máxima de los centros de distribución

Requerimientos mínimos de los Detallistas


Tabla Final Simplex

WinQSB (fraccionada)

/3


Su identificación en la Tabla Final Simplex

Precios Sombra y Costos Reducidos

Observe el renglón (Cj – Zj) de la Tabla Final arrojada por el WinQSB. (Verifique que se trata de una tabla optima de minimizacion)

Cada valor de este renglón tiene un importante significado y por ello estos valores se dividen en dos grupos:

a) Los llamados Precios Sombra (ó Precios Duales) Asociados a las Variables de Holgura y Exceso

b) Los Llamados Costos Reducidos Asociados a las variables originales (en este caso las Xij)


Los Los Precios Precios SombraSombra

Los Los Precios Precios SombraSombra

ó

Precios Precios DualesDualesPrecios Precios DualesDuales


Significado Económico de los Precios Sombra

Existe un Precio Sombra por cada restricción

Restricción 1

Restricción 2

Restricción 3

Restricción 4

Restricción 5

Restricción 6

Restricción 7

Restricción 8

Precio Sombra

Y1 = 0

Y2 = 0

Y3 = - 10

Y4 = 35

Y5 = 30

Y6 = 40

Y7 = 45

Y8 = 40

/1

Precio que estamos dispuestos a pagar por un recurso adicional en cada restricción “≤”. Tienen un efecto NULO ó FAVORABLE en el valor de la Funcion Objetivo.

Precio que estamos dispuestos a pagar por un recurso adicional en cada restricción “≥”. Tienen un efecto NULO ó DESFAVORABLE en el valor de la Funcion Objetivo.

¿Por qué Y3 = -10?


Identifique los Precios Sombra (Shadow Prices) en la solución proporcionada por el software WinQSB, centrándose en la parte correspondiente al análisis de restricciones.


/2

Estos corresponden a los rangos de variación del Lado Derecho de las restricciones, en donde los Precios Sombra mostrados tienen vigencia. Es decir, cuando quiero hacer sensibilidad y cambio el lado derecho de las restricciones, al salirme de estos rangos el problema cambia, algunas variables que eran básicas ya no lo son (cambia el Basis Status que muestra la siguiente diapositiva), los precios sombra pueden cambiar y el análisis ya no lo puedo hacer con los precios sombra mostrados. Veremos luego qué análisis es al que nos referimos.



/3

Detalle las Variables que actualmente son Básicas en la columna Basis Status

Cuando se modifica un modelo y se dice que “la Base no cambió” es porque las variables básicas continúan siéndolo según el Basis Status.



/4

Observe en la Tabla Final Simplex que:

Zopt = $3.525

Variable Holgura/Exces

o

Holgura = 0

Holgura = 10

Holgura = 0

Exceso = 0

Exceso = 0

Exceso = 0

Exceso = 0

Exceso = 0

Disponibilidad del

Recurso

C1 20

C2 50

C3 40

C4 25

C5 10

C6 20

C7 30

C8 15

Note que:

20Y1 + 50Y2 + 40Y3 + 25Y4 + 10Y5 + 20Y6 +30Y7 + 15Y8 = $3.525

Precio Sombra

Y1 = 0

Y2 = 0

Y3 = - 10

Y4 = 35

Y5 = 30

Y6 = 40

Y7 = 45

Y8 = 40

Estado del Recurso

Escaso

Abundante

Escaso

Sin Exceso

Sin Exceso

Sin Exceso

Sin Exceso

Sin Exceso


Maximizar D = 20Y1 + 50Y2 + 40Y3 + 25Y4 + 10Y5 + 20Y6 +30Y7 + 15Y8

Función Objetivo Dual

Minimizar Z = 55X11 + 30X12 + 40X13 + 50X14 + 40X15 + 35X21 + 30X22 + 100X23 + 45X24 + 60X25 + 40X31 + 60X32 + 95X33 + 35X34 + 30X35

Función Objetivo Primal (Original)

Zopt = $3.525

Dopt = $3.525

Los cambios en el Zopt al variar los lados derechos de las restricciones, pueden estudiarse analizando la Función Objetivo Dual, y observando los cambios en Dopt.

Hay que recordar que: Dopt = Zopt

Significado Económico de los Precios Sombra /5



/6

Disponibilidad del

Recurso

C1 20

C2 50

C3 40

Precio Sombra

Y1 = 0

Y2 = 0

Y3 = - 10

Estado del Recurso

Escaso

Abundante

Escaso

Precio Sombra

Interpretación Básica

Y1 = 0 A pesar de que el recurso es escaso, estamos dispuestos a pagar $0 por una unidad adicional de este recurso (capacidad de Centro de Distribucion 1). Observando los rangos de variación, vemos que si la capacidad del Centro de Distribución 1 se incrementa unitariamente hasta 25, la Base no cambia y además el Zopt tampoco según lo indica la Función Obj. Dual. Efecto NULO en el Valor Objetivo.

Y2 = 0 Recurso abundante, y por lo tanto es razonable estar dispuestos a pagar $0 por una unidad adicional de capacidad en el C. de D. 2. Efecto NULO en el Valor Objetivo.

Y3 = - 10

Recurso escaso, y estoy dispuesto a pagar $10 por cada unidad adicional de capacidad en el C.de.D 3. Según la Función Obj. Dual y los rangos de variación R.H.S., por cada incremento unitario de capacidad hasta 45, la función objetivo disminuirá en $10. Efecto FAVORABLE en el Valor Objetivo.



/7

Disponibilidad del

Recurso

C4 25

C5 10

C6 20

C7 30

C8 15

Precio Sombra

Y4 = 35

Y5 = 30

Y6 = 40

Y7 = 45

Y8 = 40

Estado del

Recurso

Sin Exceso

Sin Exceso

Sin Exceso

Sin Exceso

Sin Exceso

Precio Sombra

Interpretación Básica

Y4 = 35 No hay excesos, y es debido a que cada incremento unitario en la demanda del detallista 1 (restricción C4) por encima de 25 y hasta 35 según los rangos de variación, ocasionará, de acuerdo a la Función Objetivo Dual, un incremento del Zopt en $35. Efecto DESFAVORABLE en el Valor Objetivo.

Similar interpretación tienen los precios sombra Y5, Y6, Y7, Y8



/8

Ejemplo: Suponga que la capacidad del Centro de Distribución 3 pasa de 40 a 44 unidades. Como este cambio está dentro del rango permisible, el precio sombra Y3=-10 rige para este caso y decimos que la función objetivo mejorará en $40 según lo indica la Función Objetivo Dual, es decir, el nuevo Zopt = $3.485. La Base no cambiará pero las variables básicas tomarán nuevos valores que el WinQSB muestra:



/9

El Problema Dual

Todo modelo de programación lineal tiene un modelo hermano que se llama el modelo dual. Suele llamarse al problema original “Problema Primal (PP)” y al otro “Problema Dual (PD)”.

Las variables del PD son los Precios Sombra del PP.

Supóngase que el PP tiene n variables y m restricciones. Puesto que por cada restriccion existe un precio sombra, entonces el PD tendrá m variables y n restricciones


X11 + X12 + X13 + X14 + X15 ≤ 20X21 + X22 + X23 + X24 + X25 ≤ 50 X31 +X32 + X33 + X34 + X35 ≤ 40 X11 + X21 + X31 ≥ 25 X12 + X22 + X32 ≥ 10 X13 + X23 + X33 ≥ 20 X14 + X24 + X34 ≥ 30 X15 + X25 + X35 ≥ 15 Xij ≥ 0 ; i = 1, 2 y 3 ; j = 1, 2, 3, 4 y 5

Xij = Cantidad de unidades a enviar desde el centro de distribución i al

detallista j. i = 1 = Bogotá j = 1 = Pereira j = 4 = Ibaguéi = 2 = Medellín j = 2 = Tulúa j = 5 = Armenia i = 3 = Cali j = 3 = Anserma


El Problema Primal


X11 + X12 + X13 + X14 + X15 ≤ 20 X21 + X22 + X23 + X24 + X25 ≤ 50 X31 +X32 + X33 + X34 + X35 ≤ 40 X11 + X21 + X31 ≥ 25 X12 + X22 + X32 ≥ 10 X13 + X23 + X33 ≥ 20 X14 + X24 + X34 ≥ 30 X15 + X25 + X35 ≥ 15 Xij ≥ 0 ; i = 1, 2 y 3 ; j = 1, 2, 3, 4 y 5


Reordenando los términos


-X11 - X12 - X13 - X14 - X15 ≥ -20

- X21 - X22 - X23 - X24 - X25 ≥ -50

- X31 -X32 - X33 - X34 - X35 ≥ -40 X11 + X21 + X31

≥ 25 X12 + X22 + X32 ≥ 10

X13 + X23 + X33 ≥ 20

X14 + X24 + X34 ≥ 30

X15 + X25 + X35 ≥ 15 Xij ≥ 0 ; i = 1, 2 y 3 ; j = 1, 2, 3, 4 y 5


Convirtiendo las restricciones a

“≥”


-Y1 + Y4 ≤ 55 -Y2 + Y4 ≤ 35 -Y3 + Y4 ≤ 40-Y1 + Y5 ≤ 30 -Y2 + Y5 ≤ 30 -Y3 + Y5 ≤ 60-Y1 + Y6 ≤ 40 -Y2 + Y6 ≤ 100 -Y3 + Y6 ≤ 95-Y1 + Y7 ≤ 50 -Y2 + Y7 ≤ 45 -Y3 + Y7 ≤ 35-Y1 + Y8 ≤ 40 -Y2 + Y8 ≤ 60 -Y3 + Y8 ≤ 30

Y1, Y2, Y3, Y4, Y5, Y6, Y7, Y8 ≥ 0

Maximizar D = -20Y1 – 50Y2 – 40Y3 + 25Y4 + 10Y5 + 20Y6 + 30Y7 + 15Y8

Sujeta a:

Obtenemos el Problema Dual

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