LMDEL LMDE 3° medio

 

Desigualdades e Inecuaciones  

El conjunto de  los números  reales, provisto de  las operaciones de suma y multiplicación y de  la 

relación de orden “mayor que” constituye el Sistema  ),,,( >⋅+IR  y que, de acuerdo a los axiomas 

de cuerpo y  la relación de orden descrita a continuación, hacen que el Sistema  ),,,( >⋅+IR , sea 

un Cuerpo Ordenado. 

Axiomas de Orden. 

Se define  +IR , subconjunto de  IR , llamado el conjunto de los reales positivos. En este conjunto se satisfacen los siguientes axiomas: 

O.1) Si  +∈ IRba,  , entonces  +∈+ IRba )(     

O.2)  Si  +∈ IRba,  , entonces  +∈⋅ IRba )(     

O.3)   Si  0≠a  , entonces    +∈ IRa    ó    +∈− IRa  

Definición de la relación “mayor que”. 

baIRba >∈∀ ,,   si y sólo si   +∈− IRba )(  

Esta  relación  cumple  una  serie  de  propiedades  que  nos  permitirán  definir  otras  relaciones  de orden y resolver algunos problemas, en particular, inecuaciones. 

I. Verificar mediante ejemplos numéricos adecuados, las siguientes propiedades: 

1) Dados dos números reales a  y b , sólo una de las condiciones se cumple: 

ba =    ó     ba >    ó     ab >  

2) IRaa ∈∀≥ ,02  

3) Si  ba >  y   cb > , entonces   ca >  

4) Si   ba > , entonces  IRccbca ∈∀+>+ ,  

5) Si   ba >   y    dc > , entonces   dbca +>+  

6) Si   ba >   y   0>c , entonces   bcac >  

7) Si   ba >   y   0<c , entonces   bcac <  

8) Si   ba > , entonces  ba −<−  

9) Si   0>a , entonces   01 >−a   

10)  Si   0>> ba , entonces   011 >> −− ab  

II. En  la  resolución  de  inecuaciones,  será  frecuente  encontrar  subconjuntos  de  números reales que podremos expresar de al menos tres formas: 1) En lenguaje de conjuntos 2) En forma gráfica  3) Como intervalo 

Exprese gráficamente los siguientes conjuntos de números reales: 

}53:{ ≤≤∈= xIRxA  

}32:{ <<−∈= xIRxB  

}3:{ −>∈= xIRxC  

}4:{ ≤∈= xIRxD  

  Exprese en forma de intervalo, los conjuntos descritos en el ejercicio anterior. 

 

III. Las  inecuaciones  son  desigualdades  que  contienen  incógnitas.  En  esta  guía  nos abocaremos a las inecuaciones lineales. 

Resuelva las siguientes inecuaciones, expresando su conjunto solución como conjunto, gráficamente y como intervalo. 

1) 5345 +<− xx  

2) 6

32

43

5 +≥

++

− xxx 

3) 10

53

135

12 −>

+−

− xxx 

4) 6

38

132

44

72 −−

−≤

++

− xxxx 

5) )32(2)4(213 −<++− xxx  

6) 4

43

56

32 −−

+≥

− xxx 

Es posible analizar algunos problemas a la luz de la resolución de inecuaciones lineales 

IV. Problemas. 1) Sabiendo  que  los  tres  jugadores  más  altos  de  un  equipo  de  basquetbol  tienen  un 

promedio de estatura de 1.96 metros, ¿Qué promedio de estatura deben alcanzar los dos jugadores más bajos del equipo si el promedio del equipo debe ser por lo menos de 1.92 metros? 

2) Durante cierto período, la temperatura en grados Celsius varió entre 25° y 30°. ¿Cuál fue el 

intervalo en grados Fahrenheit para este período? . ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += 32

59 CF . 

3) Para determinar el coeficiente  intelectual de una persona se usa  la fórmula: C

MI 100= , 

donde I es el coeficiente intelectual, M es la edad mental (determinada mediante un test) y C es la edad cronológica. Si la variación de I de un grupo de niños de 11 años está dada 

por  14080 ≤≤ I  , encuentre el intervalo de edad mental de este grupo.  

4) Un furgón pesa 875 kg. La diferencia entre el peso del furgón vacío y el peso de  la carga que  lleve no debe  ser  inferior que 415  kg.  Si hay que  cargar  cuatro  cajones  iguales de idéntico peso, ¿cuánto puede pesar, como máximo, cada uno de ellos para poder llevarlos en ese furgón?. 

 

V. Sistemas de inecuaciones lineales 

Existen  dos  tipos  de  sistemas  de  inecuaciones:  los  sistemas  con  conjunción  y  los  sistemas  con disyunción. Los primeros están asociados a la intersección de conjuntos y los otros, a la unión de conjuntos. 

Resuelva los siguientes sistemas de inecuaciones: 

1) 025 <−x    y      013 >−x  

2) 223 −<−x    o      223 >+x        

3) 9341 <+< x  

4) 193425 ≤+≤− x  

5) 4

35

2 +>

− xx    y    

21

35 +<

− xx     

6) 21

41

32

≤−

−xx

    o     43

23

62

≥++ xx

   

 

VI. Inecuaciones con expresiones fraccionarias: 

1) 023<

+−

xx

 

 

2) 0212≥

−−

xx

 

 

3) 01223>

+−

xx

 

 

4) 234≤

−−

xx

 

VII. Determine la alternativa correcta en cada ejercicio: 

a) ¿Cuál de los siguientes números NO es una solución de la inecuación 5x – 4 < 12?            A) ‐2                 B) 3                       C) 0                                 D) 1,8                     E) 4 

 

b) ¿De qué inecuación NO es solución el  gráfico? 

 

           A) ‐2x > 4          B) ‐4 > 2x               C) –x < 2                         D) 8 < ‐4x             E) ‐2 > x 

 

c) Si  7  veces  un  número  se  disminuye  en  5  unidades  resulta  un  número menor  que  47, entonces el número debe ser menor que: 

    A) 42                   B) 49                      C) 52                                D) 82/7                E) 52/7 

 

d) El conjunto solución de 3x‐8 < 5x+5 es:     A)  x < 13/2         B) x > 13/2           C) x < ‐13/2                      D) x > ‐13/2         E) x > ‐2/13 

 

e) El conjunto solución de la inecuación 3

438

12 −<

+ xx es: 

      A) x > 0              B) x > 35/18          C) x < 35/18                     D) x = 35/18        E) x > 18/35 

 

f) El conjunto solución del sistema  ⎭⎬⎫

>−<+42332

xx

  es: 

    A)    0≤x             B)  6≥x               C)   0<x   o  x>6              D) IR                   E)  Otra solución 

 

g) El conjunto solución de la inecuación  2x –[x –(x –50)] < x – (800 –3x) es: A)   x<375           B)   x>375             C)   x<750                        D)  x>750          E) Otra solución