Parámetros de Líneas de Transmisión

23m

Dist. Fases externas 24m

Alt. cond.31mAlt. guardia

18m

19m24m

500 kV (345 500 E.A.T.)

150 kV (69 230 A.T.)

Algunas configuraciones típicas

765 kV U.A.T.

Conductores más utilizados

ACSR – aluminiun conductor steel reinforcedAACSR – alloy aluminium steel reinforced

AAAC – all-aluminium alloy conductor

Consideraciones adicionales respecto a conductores

Arriba de 230 kV es preferible usar más de un conductor por fase, lo que es conocidocomo haz de conductores. El haz consiste de dos, tres o cuatro conductores. Conesto se logra incrementar el radio efectivo de la líneas así como reducir el campo eléctrico en la superficie de los conductores (gradiente superficial) y con estominimizar los fenómenos asociados al efecto corona esto es: pérdidas, ruido audibley radio interferencia. Otra importante ventaja es la reducción de la reactancia de lalínea.

Aisladores de suspensión

Porcelana

Vidrio templado

Determinación de los Parámetros de Líneas de Transmisión

Resistencia de los conductores

La resistencia dc de un conductor sólido a una determinada temperatura está dada por:

A

lRdc

La resistencia del conductor es afectada por tres factores:

-- Constructivos, ejemplo al ser espiralado la longitud termina siendo algo mayor.-- Efecto skin, aumenta del orden del 2% debido a este fenómeno.-- Incremento con la temperatura, dentro de los rangos normales de utilización el comportamiento es líneas y puede ser determinado por:

1

212 tT

tTRR

Dado los factores arriba, la resistencia del conductor es mejor determinada por la hoja de datosdel fabricante, el que normalmente la determina por el ensayo:

2I

PR p

ac

Donde R1 y R2 son las resistencias de los conductores a t1 y t2 (°C) respectiva-Mente, T constante de temperatura (228 para Al y 234.5 para el Cu).

Inductancia

Una corriente eléctrica circulando a través de un conductor, crea un campo magnético en formade lazos circulares que rodean al conductor (regla de la mano derecha). Si la corriente i(t) es variable en el tiempo, el campo magnético también lo será y en cualquier circuito eléctrico queconcatene una porción del flujo magnético se inducirá una tensión dada por:

dt

tdtv

)()(

El flujo concatenado es proporcional a la corriente que lo crea, siendo la constante de proporcionali-dad el denominado coeficiente de inducción L, que unicamente depende de la geometría de loscircuitos.

)(

)(

ti

tL

Considerando en primera instancia un único conductor

x0 rdx

xB

dS

La intensidad del campo magnético alrededor de un circulo de radio x es constante y tangente al circulo. La ley de Ampere la relaciona con la corriente :

I

xI

x

xx IdlH2

0

.x

IH x

x 2

Donde es la corriente encerrada en el radio xxI

Inductancia interna

x0 rdx

xB

dS

I

22 22 x

I

r

Ix

Asumiendo densidad de corriente uniforme y despreciando el efecto skin, tenemos:

Sustituyendo en la expresión anterior:

xr

IH x 22

Y siendo la densidad de flujo magnético dada por xx HB 0 Donde es la permeabilidad

magnética del vacío (o aire) y vale

0710.4 H/m tenemos que:

xr

IBx 2

0

2

El flujo para una pequeña área dS de ancho dx y largo unitario es:

xdxr

IdxBdSBd xxx 2

0

21...

Entonces, cada punto interior del conductor a una distancia x del centro esta rodeado porUn flujo interior dado por:

)(22

222

02

0int xrr

Ixdx

r

Ir

x

x

Por el hecho de la variación de la corriente respecto al radio, para calcular la inductancia debida a este flujo interno, se calculará su valor medio en toda la sección del conductor, como:

8)(

22

1 0

0 0

224

0int2

int Idxxr

r

Ixdx

r

r r

xmedio Por lo que la inductancia interna vale:

70int 10.

2

1

8

L Interesante notar que es constante.H/m

Inductancia externa

0 r

I

xdx

xB

dS

Desde que en este caso el circulo de radio x encierra la totalidad de la corriente I

x

IBx

2

0

D1 D2

El flujo para una pequeña área dS de ancho dx y largo unitario es:

dxI

dxBdSBd xxx 2

1... 0

El flujo externo entre los puntos D1 y D2 que concatena al conductor está dado por:

1

270 ln..10.21

2

2

1D

DIdx

x

ID

D

extx

1

27 ln.10.2D

DLext

Entonces:

H/m

Inductancia línea compuesta por dos conductores

r

D

rI I

Para determinar la inductancia externa del conductor 1, debemos evaluar la integral anteriorentre r y D, ya que más allá de D la corriente neta es cero por lo que no hay contribuciónneta al flujo magnético que concatena al circuito:

1 2

r

DL ext ln.10.2 7

,1 H/m

Por lo que la inductancia total del es:

1ln.10.2

'

1ln10.2 77

1

D

rL

La ecuación anterior se puede reordenar como:

1ln

.

1ln10.2

1ln

1ln)ln(10.2

ln4

110.2

41

7

4

17

71

D

er

D

re

r

DL

Haciendo: 41

.'

err

Analogamente:

1ln.10.2

'

1ln10.2 77

2

D

rL

H/m

H/m

H/m ln.10.210.22

1 771 r

DL

Flujo magnético en términos de impedancia propia y mutua

I 1

L 11

I 2

L 22

L 12

2221212

2121111

..

..

ILIL

ILIL

Desde que I1=-I2

222212

112111

).(

).(

ILL

ILL

Comparando estas expresiones con las obtenidas para L1 y L2:

DLL

rL

rL

1ln10.2

'

1ln10.2

'

1ln10.2

72112

722

711

Este concepto puede ser extendido para un grupo de n conductores desde quela suma de los n fasores de corriente sea igual a cero, por ejemplo para un sistematrifásico equilibrado donde:

0321 III

El flujo que concatena al conductor 1 vale:

3132121111 ... ILILIL

313

72

12

71

71 .

1ln10.2.

1ln10.2.

'

1ln10.2 I

DI

DI

r

o

NOTA: r’ se le denomina GMR, esto es radio medio geométrico, como se vió para unconductor cilindrico, vale 4

1.

er En la práctica siendo conductores multi-hilos el GMR

si bien se puede calcular considerando el radio propio de los hilos y las diferentesdistancias entre estos, no entanto lo común es que el dato lo dé el fabricante.

Cálculo de la impedancia serie:

.

b

bl

Ib

RbLbb

c

cl

Ic

RcLcc

a

al

Ia

RaLaa

g

gl

Ig

RgLg

a b c

g

tierra

Lac

Lcg

LbgLag

Lab Lbc

Corriente de retorno por tierra

Problema: determinación de la impedancia de una línea de transmisión AC en funciónde la frecuencia, considerando el retorno por tierra.

Lo resuelve Carson (Bell) en 1926 para líneas telefónicas, su método es directamente aplicable alíneas de potencia.

En 1976 Gary (EDF), propone una aproximación donde la tierra es substituida por un conjuntode conductores ficticios de retorno por tierra localizados a una profundidad compleja. Esto es la distancia entre los conductores ficticios y los reales son ¡Números Complejos!.

En 1981 Deri (U. de Budapest) demuestra la correlación entre el método de Carson y el de Gary validando este último.

Fines de los 90 aparecen los métodos basados en elementos finitos.

La caída de tensión de cada conductor en un tramo de longitud l está dada por:

Ig

Ic

Ib

Ia

ZggZgcZgbZga

ZcgZccZcbZca

ZbgZbcZbbZba

ZagZacZabZaa

l

Vgg

Vcc

Vbb

Vaa

l

l

l

l

Donde, por el método de profundidad compleja, los elementos de Z están dadospor:

))(2

ln2

( 0

i

iii r

phwjRz

)ln2

())(2

ln2

(''

022

0

ik

ik

ik

ikkiik d

dwj

d

Xphhwjz

Siendo:

i

k

k’

i’ k’’

i’’

p Plano ‘espejo’ complejo

ikx

ih

khikd ''

p2

p2

i’ , k’ conductores simétricos respecto al plano de tierrai’’ , k’’ conductores simétricos respecto al plano complejo

La profundidad compleja está dada por:

0

jwp Donde es la resistividad del terreno en m.

0 Permeabilidad del espacio libre = kmH / 10..4 4

R es el dato de la resistencia del conductor dadopor el fabricante, según a la frecuencia que sehaga el cálculo requerirá corrección por efecto skin

conductor. del geométrico medio radioir

ikd

2

1

0

0

1

2212222

2111111

21

21

21

Ig

Ig

Ic

Ib

Ia

zzzzz

zzzzz

zzzzz

zzzzz

zzzzz

Vcc

Vbb

Vaa

l

ggggcgbgag

ggggcgbgag

cgcgcccbca

bgbgbcbbba

agagacabaa

l

l

l

Eliminación de (los) cables de guardia, variando el caso anterior suponiendo dos cables deguardia:

[Vabc-Vabcl]z00 z0n

zn0 znn

Iabc

Ig

Produce:

IabczzzzVabcVabc

IabczzzIabczVabcVabc

IabczzIg

Ig

IgzIabcz

IgzIabczVabcVabc

nnnnl

nnnnl

nnn

nnn

nl

:ecuación primera la en dosustituyen

:eliminar podemos donde De

0

01

000

01

000

01

0

000

[0]

[zabc]

1 - Cuando una fase está formada por un haz de subconductores, a los efectos de los cálculos se usará el GMR (radio medio geométrico) equivalente, estos están dados por:

Consideración adicional:

Matriz impedancia de fase

4 3

3 2

* 09.1 :oressubconduct 4

* :oressubconduct 3

* :oressubconduct 2

drGMR

drGMR

drGMR

ii

ii

ii

Siendo ri el radio medio geométrico de los subconuctores (dado por el fabricante) y d la separación entre los mismos.

Función zser:

Esta función calcula la impedancias serie de una línea de transmisión:

Argumentos de entrada:• Matriz coordenadas de los conductores y cables de guardia en m (estos al final).• Vector datos del conductor: radio en mm, resistencia en /km, nro. subconductores y separación en cm, radio interno en mm (solo para efecto skin).• Vector datos del cable de guardia: radio en mm, resistencia en /km radio interno en mm (solo para efecto skin).• Resistividad del terreno .m.• Frecuencia en Hz.

Argumentos de salida, matrices de impedancia en Ohmios:• Secuencia• Traspuesta• Fases• Conductores y cables de guardia (antes de la eliminación de Ig).

. .

29m

20m

10m

7m

=100 .m

Conductor:radio (GMR)= 15.19 mmResis. = 0.0234 /kmHaz de 3 subconductores separados 40cm

Cable de guardia:radio (GMR)= 4.75 mmResis. = 3.75 /km

Datos de entrada para la función:

xy=[-10 20;0 20;10 20;-7 29;7 29];datc=[15.19 0.0234 3 40];datn=[4.75 3.75];ro=100;f=60;

[z012,zt,zabc,z]= zser(xy,datc,datn,ro,f)

c’1

b’1

a’1

c’2

a’2

b’2

Conductores imágenes:Conductores ficticios simétricos a los originales respectoa tierra.

. .g’1 g’2

Los parámetros son dependientes de las distancias entre conductoresy sus alturas, por lo tanto es útil crear una matriz que contenga todaesta información:

ha1 a1g2a1b1 a1c1 a1a2 a1b2 a1c2 a1g1

a1b’1 b1g2hb1 b1c1 b1a2 b1b2 b1c2 b1g1

a1c’1 c1g2b1c’1 hc1 c1a2 c1b2 c1c2 c1g1

a1a’2 a2g2b1a’2 c1a’2 ha2 a2b2 a2c2 a2g1

b2g2a2b’2 hb2 b2c2 b2g1

c2g2b2c’2 hc2 c2g1

g1g2c2g’1 hg1

hg2c2g’2 g1g’2

a1b’2

a1c’2

a1g’1

a1g’2

b1b’2

b1c’2

b1g’1

b1g’2

c1b’2

c1c’2

c1g’1

c1g’2

a2c’2

a2g’1

a2g’2

b2g’1

b2g’2

a1

b1

c1

a2

c2

b2

. .g1 g2

Función auxiliar de zser (y de yshunt): dcon, distancia entre conductores

Función dcon

La siguiente es una función en la que dadas las coordenadas de los conductores de una línea de transmisión, arma la matriz distancias definidas anteriormente.

Argumento de entrada:• Matriz coordenadas de los conductores.

Argumento de salida :• Matriz distancias entre conductores.

a1

b1

c1

a2

c2

b2

. .g1 g2

x

yDatos de entrada:

xa1 ya1

xb1 yb1

xc1 yc1

xa2 ya2

xb2 yb2

xc2 yc2

xg1 yg1

xg2 yg2

Ejemplo:

20

12

624 » xy=[-12 20;0 20;12 20;-6 24;6 24]

xy =

-12 20 0 20 12 20 -6 24 6 24

» dcon(xy)ans =

20.0000 12.0000 24.0000 7.2111 18.4391

41.7612 20.0000 12.0000 7.2111 7.2111

46.6476 41.7612 20.0000 18.4391 7.2111

44.4072 44.4072 47.5395 24.0000 12.0000

47.5395 44.4072 44.4072 49.4773 24.0000

..

..

Matriz de impedancia traspuesta

A

B

C

i

k

m

m

i

k

k

m

i

La impedancia traspuesta está dada por:

]][[][ 1012 AZAZ t

Donde la matriz [A] vale :

2

2

1

1

111

][

aa

aaA Siendo: 1201a

)(3

1

)(3

1:Donde

3

1

imkmikm

mmkkiis

smm

msm

mms

t

iiimik

mimmmk

kikmkk

kkkikm

ikiiim

mkmimm

mmmkmi

kmkkki

imikii

t

zzzz

zzzz

zzz

zzz

zzz

Z

zzz

zzz

zzz

zzz

zzz

zzz

zzz

zzz

zzz

Z

La línea de transmisión en si es un elemento desequilibrado en un sistema de transporte debido a las distancias, y por lo tanto inductancias, no uniformesPara transformarlo en un elemento equilibrado se recurre a torres de transposiciónCon las mismas se logra que cada conductor a lo largo del recorrido de la línea pase por las tres fases estando en cada una de ellas los mismos kilómetros:

Matriz de impedancia de componentes de secuencia

z012 =

0.3066 + 1.2214i -0.0000 + 0.0000i -0.0000 + 0.0000i -0.0000 + 0.0000i 0.0082 + 0.3423i -0.0000 -0.0000 + 0.0000i -0.0000 + 0.0000i 0.0082 + 0.3423i

zt =

0.1077 + 0.6353i 0.0995 + 0.2930i 0.0995 + 0.2930i 0.0995 + 0.2930i 0.1077 + 0.6353i 0.0995 + 0.2930i 0.0995 + 0.2930i 0.0995 + 0.2930i 0.1077 + 0.6353i

zabc =

0.1066 + 0.6359i 0.1002 + 0.3101i 0.0980 + 0.2589i 0.1002 + 0.3101i 0.1099 + 0.6341i 0.1002 + 0.3101i 0.0980 + 0.2589i 0.1002 + 0.3101i 0.1066 + 0.6359i

z =

Columns 1 through 4

0.0648 + 0.6681i 0.0570 + 0.3432i 0.0569 + 0.2909i 0.0565 + 0.3477i 0.0570 + 0.3432i 0.0648 + 0.6681i 0.0570 + 0.3432i 0.0565 + 0.3338i 0.0569 + 0.2909i 0.0570 + 0.3432i 0.0648 + 0.6681i 0.0565 + 0.2944i 0.0565 + 0.3477i 0.0565 + 0.3338i 0.0565 + 0.2944i 3.8060 + 0.9212i 0.0565 + 0.2944i 0.0565 + 0.3338i 0.0565 + 0.3477i 0.0560 + 0.3188i

Column 5

0.0565 + 0.2944i 0.0565 + 0.3338i 0.0565 + 0.3477i 0.0560 + 0.3188i 3.8060 + 0.9212i

El resultado de ejecutar el caso propuesto es:

Cálculo de la capacitancia:

Las líneas de transporte tienen las siguientes capacitancias asociadas:

.

qa qbqc

qg

-qa-qb

-qc

-qg

Conductores imágenes con carga igual y de signo contrario a los originales, sirven para modelar el efecto de la tierra la que impone una superficie equipotencialcero.

qa

-qa

Aplicando la ley de Gauss, para un metro de conductor cilíndrico, la intensidad delcampo eléctrico está dada por:

x

qE

02 0Siendo la constante dieléctrica del vacío, la que es igual

a 8.85.10-12 F/m

r

r

2h

a

a’

La diferencia de potencial entre dos cilindros desde la posición D1 a D2 es definido comoel trabajo necesario para mover una carga de un Coulomb desde D2 a D1:

D2

D11

2

0012 ln

2.

2.

2

1

2

1D

Dqdx

x

qdxEV

D

D

D

D q

Aplicándolo al sistema a-a’, tenemos que, considerando el conductor a aislado, la diferencia de potencial entre el

conductor a y a’ es:r

hqV a

aa

2ln

2 0'

Análogamente para el conductor a’: r

hqV a

aa

2ln

2 0'

o lo que es lo mismo:

r

hqV a

aa

2ln

2 0'

Aplicando superposición: r

hqVVV a

qaaaqaaaaa

2ln

0)'(')(''

Como nos interesa el potencial respecto a tierra, esto es, la mitad entre aa’: r

hqV a

a

2ln

2 0

Las tensiones referidas a tierra son función de las cargas y están dadas por:

qg

qc

qb

qa

PggPgcPgbPga

PcgPccPcbPca

PbgPbcPbbPba

PagPacPabPaa

Vg

Vc

Vb

Va

0

Donde [P] se le conoce como la matriz de los coeficientes potenciales de Maxwell y está dada por:

'

ln2

1

:diagonal la de fuera y

2

ln2

1

:diagonal la de elementos los Para

0ij

0ii

ij

ijP

r

hP

i

i

De forma similar, el potencial en el conductor a debido a las cargas de los conductores b y b’ está dado por:

qa

-qb

ab

b’

qb

b

ab’

ab

abqV a

ba

'ln

2 0)(

Aplicando superposición, las tensiones referidas a tierra debido a la presencia de todas lascargas se puede representar como:

Rescribiendo el sistema de ecuaciones y realizando la siguiente partición:

qg

qc

qb

qa

PggPgcPgbPga

PcgPccPcbPca

PbgPbcPbbPba

PagPacPabPaa

Vc

Vb

Va

0

[Vabc]

P00 P0n

Pn0 Pnn

[0]

qabc

qn

qabcPPPPVabc

qgzqabcP

qgPqabcPVabc

nnnn

nnn

n

:qg eliminamos serie impedancia la a teAnalogamen

0

01

000

0

000

[Pabc]

La capacitancia de línea está dada entonces por:[Cabc]=[Pabc]-1

Observación:1 - [Cabc] es una matriz nodal Los elementos de la diagonal Cii es la suma de las

capacitancias entre la fase i y el resto de las fases. y los elemento C ij son el negativo de la capacitancia entre las fase i y la j.

2 - Cuando una fase está formada por un haz de subconductores, al igual que en el cálculo de la impedancia se utilizan las formulas ya presentadas del radio medio geométrico .

v

qC Sabiendo que por definición la capacitancia está dada por:

Ejemplo

El archivo zyfa.m estudia la variación de la reactancia serie y admitancia paralelo (sec. positiva) en función del área de los conductores de una línea de transmisión.Se estudian 4 casos: para 1, 2, 3 y 4 subconductores, tal que en todos los casos la sección total sea la misma (o sea la sección del subconductor del caso 1 es igual a la suma de las secciones de los dos subconductores del caso 2 etc.).

Para cada caso (nro. de subconductores) se varia la sección de 500 a 3000 mm2 de 10en 10, se calcula el radio en función de la sección y número de subconductores:

*sn

Ar

xy=[-10 20;0 20;10 20;-7 29;7 29]; % Datos de entradadatc=[15.19 0.0234 3 40];datn=[4.75 3.75];ro=100;f=60;

for ns=1:4 % n lleva el numero de subconductores datc(3)=ns; % Se actualiza el nro. de subconductores k=0; % Indice para recorrer las filas de cada columna (ns) for A=500:10:3000 % Rango de variación de la sección k=k+1; datc(1)=sqrt(A/(ns*pi)); % Cálculo del radio [z012]=zser(xy,datc,datn,ro,f); [y012]=yshunt(xy,datc,datn,ro,f); X(k,ns)=imag(z012(2,2)); % Calculo reac. serie sec. positiva Y(k,ns)=1e6*imag(y012(2,2)); % Cálculo admitancia paralela sec. positiva. endend

A=500:10:3000; % Abscisa

figure(1) % Sentencias de ploteoplot(A,X);title('Reactancia serie')xlabel('Sección en mm2')ylabel('ohm/km')legend('1','2','3','4')gridfigure(2)plot(A,Y);title('Admitancia paralelo')xlabel('Sección en mm2')ylabel('umho/km')legend('1','2','3','4')grid

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